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TRIÀNGULOS
A) CONCEPTO
a) ELEMENTOS
.A .C
CONCEPTO.-
SI
son no colineales
tres puntos
.B
.A .C
de los segmentos
.B
SE LLAMA TRIÁNGULO
a la unión
que unen los tres puntos
AB AC BC
AB AC BCUU
ángulos
lados
vértices
.A .C<A
<B
.B
<C
<A <B <C
.C.B.A
ELEMENTOS
AB AC BC
1)SEGÚN SUS LADOS
2) SEGÚN SUS ÁNGULOS
B) CLASES DE TRIÁNGULOS
1)SEGÚN SUS LADOS
a) EQUILÁTEROS
b) ISÓSCELES
c) ESCALENOS
a) EQUILÁTEROS.-
sus ángulos
A
60º
60º
60º
B C
miden 60º
Tienen igualestres lados
AB AC BC==
60º<C<B<A ===
b) ISÓSCELES.-
BC
A
iguales
a dichos lados
ángulos adyacentes
son iguales
los
dos ladosTienen
AB AC=
<C<B =
c) ESCALENOS.-
diferentessus
B C
A
ángulos
diferentestres ladosTienen
AB AC BC
<C<B<A
2) SEGÚN SUS ÁNGULOS
a) RECTÁNGULOS
b) OBLICUÁNGULOS
b1) ACUTÁNGULOS
b2) OBTUSÁNGULOS
Recordando ángulo agudo Recordando ángulo obtuso
a) RECTÁNGULOS.-
A
B C
Angulo recto = 90º.
Tienen un ángulo recto
90º<B =
Recordando ángulo agudo:
Aquel que su medida es menor que 90º
ejemplo..…30º , 60º , 89º
<<A 90º
Recordando ángulo obtuso :
Su medida es mayor que 90º y menor que 180º
ejemplo……110º , 150º , 179º
90º <A 180º<<
b1) ACUTÁNGULOS
agudos
A
B C
Tres ángulos
Tienen sus
<B
<C 90º<
<
<<A
90º
90º
B
b2) OBTUSÁNGULOS
A
C
obtuso
ángulo
Tienen un
90º <C 180º<<
C) Relaciones de desigualdad entre los lados de un triángulo
Un lado cualquiera siempre es menor
que la suma de los dos lados
pero mayor que la diferencia de los dos lados
En un triángulo entonces se tiene
A
CB
>+ ABAC BC > -AC BC
A
B C
A
B CC
D) Relaciones entre ángulos de un triángulo
D1) Suma de los ángulos internos
D2) Ángulo externo
ES IGUAL A 180º
LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS
EN UN TRIÁNGULO
+ <C<B<A = 180º+
C
BA
NO ADYACENTES
A LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS
EN UN TRIÁNGULO
EL ÁNGULO EXTERNO ES IGUAL
A
B
C
= <E + <C<B
E) Relación entre lados y ángulos de un triángulo
E1) A MAYOR LADO
E2) A MENOR ÁNGULO
A MAYOR LADO
EN UN TRIÁNGULO
MAYOR ÁNGULO
SE OPONE
C
B
AC AB
<A > <B <C >
BC > >
SI
entonces
C
AA B
A MENOR ÁNGULO
EN UN TRIÁNGULO
MENOR LADO
SE OPONE
AC AB
<A < <B <C <
BC < <
SI
entonces
A
C
B
A
C
B
E) Postulados de
congruencia de triángulos
ambos son iguales en tamaño y en forma
tienen respectivamente iguales:
C) Dos ángulos y el lado adyacente a dichos ángulos
(ALA)
a) Los tres lados (LLL).
Dos triángulos son congruentes cuando:
b) Dos lados y el ángulo que forman (LAL)
A
B C B C
A
POSTULADO L LL
CB
A
CB
A
LALPOSTULADO
LPOSTULADO AA
B C
A A
B C
F) Líneas notables del
triángulo
trazado
perpendicular
un vértice
lado opuesto
a) ALTURA (H).-
A
B Ch
H
EN EL TRIÁNGULO
a un punto
segmento Es el
del
desde
b) MEDIATRIZ (M).-
recta perpendicular
punto medio
del triángulo
C
B
A
M
P
EN EL TRIÁNGULO
de un
levantada
Es la
lado
en el
c) MEDIANA (M).-
segmento
del triángulo
P
punto medio un vértice
M
C
B
A
EN EL TRIÁNGULO
Es el trazado desde
al
del lado
d) BISECTRIZ.-
segmento
vértice
en dos igualesA
<B/2
BISECTRIZ EXTERIOR
E
BC
<B/2
EN EL TRIÁNGULO
Es el que partiendo
de un ángulodivide al
ángulos
segmento
vértice ángulo
igualesB
BISECTRIZ INTERIOR
A CF
<B/2<B/2
d) BISECTRIZ.-EN EL TRIÁNGULO
Es el que partiendo
de un divide al
en dos ángulos
e) CEVIANA (C).-
con cualquier
P
C
CB
A opuesto
EN EL TRIÁNGULO
segmento un vértice que une
de supunto lado
Es el
Se debe recordar que :
la altura se confunde con
bisectriz mediatriz
A
mediana
En un triángulo equilátero
<A/2
B C
H<A/2
B C
H
A
la altura se confunde con
mediatriz mediana
En un triángulo isósceles
<A/2
La altura partirá del ángulo no común
bisectriz
<A/2
Toda bisectriz equidista
de los lados
del ángulo
TL
CBP
<C/2
<C/2
en el mismo vértice
=
A
LT LP
que concurre con ella
EN EL TRIÁNGULO
<E <C
<B
A
B
ADYACENTES
<A
C
+ <A<E 180º=
EN EL TRIÁNGULO
POR SER
G) Puntos Notables
del Triángulo
a) ORTOCENTRO .-
o de sus
prolongaciones
A
CB
P
de las
EN EL TRIÁNGULO
de intersecciónpuntoEs el
tres alturas
RN
M
b) CIRCUNCENTRO.-
de la
al triángulo
circunscrita
B C
A
C
EN EL TRIÁNGULO
Es el
punto
de intersección de las
Tres mediatrices
También es
el centro circunferencia
Circunscrita
=
fuera de
P
M N
c) INCENTRO .-
bisectrices interiores
I
B C
A
EN EL TRIÁNGULO
Es el
punto
de intersección de las
Tres
de la
al triángulo
inscritaTambién es
el centro circunferencia
inscrita
=
dentro de
d) BARICENTRO.-
de cada vértice
de su base respectiva
G
A
B C
se encuentra a
y
EN EL TRIÁNGULO
Es el
punto
de intersección de las
Tres medianas
2/3
1/3
N P
M
H) Relaciones entre líneas notables y
Ángulos del triángulo.
a) ÁNGULO ENTRE BISECTRICES INTERIORES .-
El ángulo
bisectrices interiores del tercer ángulo
<PB
A
P
<A
C
es igual a
<A/2 +90º=<P
más 90º
formado
la mitad
por dos
ASÎ
EN EL TRIÁNGULO
b) ÁNGULO ENTRE BISECTRICES EXTERIORES.-
El ángulo
bisectrices exteriores
tercer ángulo
<B
<EE
CB
A
menos 90º
es igual a
90º<E - <B/2=
formado
la mitad del
ASÎ
EN EL TRIÁNGULO
por dos
<Q
Q<A
C
El ángulo
bisectriz interior
B
A
c) ÁNGULO ENTRE BISECTRIZ INTERIOR Y EXTERIOR .-
tercer ángulo
una exterior
es igual a
por una
y
<A/2=<Q
la mitad del
formado
ASÎ
EN EL TRIÁNGULO
El ángulo
menos el
d) ÁNGULO ENTRE ALTURAS.-
tercer ángulo
NM
B C
A
<A
<x
<A
180º
alturas es igual a por dos
formado
180º = <X
ASÎ
-
EN EL TRIÁNGULO
mediatrices
El ángulo mediatrices
los lados
e) ÁNGULO ENTRE MEDIATRICES.-
del ángulo
X
P
B
N
C
A
<A<X
suplemento
es igual alpor dos formado
<X
parten las de donde
formado
=
- 180º <A
ASÎ
por
EN EL TRIÁNGULO
El ángulo
<C/2
ASí
f) ÁNGULO ENTRE ALTURA Y BISECTRIZ INTERIOR .-
bisectriz interior
correspondientes
<C
A
C B
<A/2
<A/2 <X
<B
altura
la semidiferencia es igual a
vértice que parten
de un mismo
y por la formado
ángulos de los
<B/2 =<X
a los vértices otros dos
-
la EN EL TRIÁNGULO
El ángulo altura
g) ÁNGULO ENTRE ALTURA Y MEDIANA.-
la mediana
ángulos agudos
HC
M
A
B<B
<X
<C
es igual atriángulo rectángulo
ángulo recto
formado
del vértice que parten del
la diferencia
<B
de los
ASí
de un
<X
y por la
- <C =
EN EL TRIÁNGULO
I) SEMEJANZA DE
TRIÁNGULOS Y
PROPORCIONALIDAD
A` B`
C` C
B A
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
LOS ÁNGULOS
DOS TRIÁNGULOS
SON SEMEJANTES
SON RESPECTIVAMENTE
DE UN TRIÁNGULO
IGUALES
CUANDO
DEL OTROÁNGULOS
A LOS
a` b`
c` A` B`
C`
b C
B
a
c A
DE CADA TRIÁNGULO
ÁNGULOS IGUALES
SON PROPORCINALES
kc
c
b
b
a
a```
LOS LADOS
A LOS
QUE SE OPONEN
Y
<A a`a
En el
b`b
triángulo ABC
SE PROCEDE ASÍtriángulo A` B` C`
RESULTANDO
a` b`
c` A` B`
C`
b C
B
a
c A
kc
c
b
b
a
a```
En el
c`c
Opuesto al está
<B
Opuesto al
está
<C
Opuesto al
está
<A`Opuesto al está
<B`Opuesto al está
<C`Opuesto al está
a es a`
K
SE LEE :
`a
a`b
b
`c
ces a una constante
Como ,
=
c es c`
b es b`
Como ,
Como ,
==
a` b`
c` A` B`
C`
b C
B
a
c A
TRIÁNGULO A` B` C`
TRIÁNGULO ABC k
c
c
b
b
a
a```
NOTACIÓN
CUANDO DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES ADEMÁS DE
LOS LADOS , SON PROPORCIONALES LAS ,
ALTURAS , LAS MEDIANAS Y LAS BISECTRICES , PORQUE
DICHAS LÍNEAS FORMAN CON LOS LADOS , TRIÁNGULOS PARCIALES SEMEJANTES
b`
A` B`
C`
ALTURAS
C
A B
HB
h`
`b
B
h
H
h`H
b`B
triángulo ABC
SE PROCEDE ASÍ
triángulo A`B`C`
RESULTANDO
En el En el
Opuesto al está<A
Opuesto a está90º
Opuesto al está<A`
Opuesto a está90º
B
D D`
MEDIANAS
B
M
A
C
b`
A` B`
C`
m``` b
B
m
M
m`M
b`B
SE PROCEDE ASÍ
RESULTANDO
triángulo ABC
triángulo A`B`C`En el En el
Opuesto al está<A
Opuesto al está<D
Opuesto al está<A`
Opuesto al está<D`
BISECTRICES
E
B
A CF
A` b` B
B`
C`X x`
<B/2<B`/2
<B/2
<B`/2
`` x
X
b
B
RESULTANDO
SE PROCEDE ASÍ
b`B
x`X
triángulo ABC
triángulo A`B`C`En el En el
Opuesto al está<A
Opuesto al está<B/2
Opuesto al está<A`
Opuesto al está<B`/2
J) LEMA Y TEOREMA
DE THALES
QR
PQ
BC
AB
A
B
R
Q
P
C
a) LEMA DE THALES.-
segmentos
rectas
RESULTANDO
determinan
cualesquiera Dos tres o más paralelas cortadas por
proporcionales en las rectas
NM
b) TEOREMA DE THALES.-
triángulo
Q
paralela
P
C
QP
BA
C
PQ
AB
QC
BC
PC
AC
RESULTANDO
Toda de un
determina
a un
un nuevo triángulo
original Semejante al
lado
K) CRITEROS DE
SEMEJANZA DE
TRIÉNGUOLS
DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES
CA
B`
C`
B
<C<A
A DOS
<A <C
CUANDO : DEL
ÁNGULOS DOS TRIÁNGULO ABC
IGUALES RESPECTIVAMENTE
SON
ÁNGULOS DEL TRIANGULO A`B`C`
A`
A`A
B`
C`<A`
bC
c
PROPORCIONALES
c`B
<A
b`
`` b
b
c
c
DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES CUANDO TIENEN :
DOS LADOS
E IGUAL EL COMPRENDIDO ÁNGULO
kc
c
b
b
a
a```
b
c`
C
cB
a
b`
a`
A A` C`
B`
DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES CUANDO TIENEN:
TRES LADOS3) LOS PROPORCIONALES
PREGUNTAS
1.-¿QUÉ ES UN TRIÁNGULO?
2.-DE ACUERDO A LA REGULARIDAD DE SUS LADOS LOS TRIÁNGULOS SON:
3.-¿QUÉ ES UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO?
5.-¿QUÉ ES UN TRIÁNGULO ESCALENO?4.-¿QUÉ ES UN TRIÁNGULO ISÓSCELES?
6.-DE ACUERDO A LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS LOS TRIÁNGULOS SON :7.-¿QUÉ ES UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO?
8.-LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS SE DIVIDEN EN : 9.-¿QUÉ ES UN TRIÁNGULO ACUTÁNGULOY QUE ES ÁNGULO AGUDO ?
10.-¿QUÉ ES UN TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO Y QUE ES ÁNGULO OBTUSO ?
12.-¿LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DE UN TRIÁNGULO ES?
11.-EN UN TRIÁNGULO; LA RELACIÓN DE DESIGUALDAD ENTRE SUS LADOS NOS DICE …..
13.-EL ÁNGULO EXTERNO DE UN TRIÁNGULO ES IGUAL A :
14.-¿EL ÁNGULO EXTERNO MÁS SU ÁNGULO ADYACENTE DE UN TRIANGULO ES IGUAL A?
15.-SEGÚN LA RELACIÓN ENTRE LADOS Y ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO; A MAYOR LADO SE OPONE …….
16.-SEGÚN LA RELACIÓN ENTRE LADOS Y ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO; A MAYOR ÁNGULO SE OPONE ……..
17.-DOS TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES CUANDO18.-SEGÚN CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS QUE SIGNIFICA (LLL)
19.-SEGÚN CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS, QUE SIFNIFICA (LAL)20.-SEGÚN CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS QUE SIGNIFICA (ALA)
21.-¿QUÉ ES ALTURA?
22.-¿QUÉ ES MEDIATRIZ?23.-¿QUÉ ES MEDIANA?
25-¿CUÁNTOS TIPOS DE BISECTRICES HAY?26.-TODA BISECTRIZ EQUIDISTA DE…….
27.-¿QUÉ ES ORTOCENTRO?
24.-¿QUÉ ES BISECTRIZ?
28.-¿QUÉ ES CIRCUNCENTRO?
29.-¿QUÉ ES INCENTRO?30.-¿QUÉ ES BARICENTRO?31.-EL CIRCUNCENTRO TAMBIÉN SE DICE QUE ES EL CENTRO DE ……32.-EL INCENTRO TAMBIÉN SE DICE QUE ES EL CENTRO DE………… 33.-EL BARICENTRO SE ENCUENTRA A …… DE CADA VÉRTICE
37.-EN EL TRIÁNGULO ISÓSCELES LA ALTURA PARTIRÁ DEL ÁNGULO……
36.-¿QUÉ ES CEVIANA?
35.-EN LOS TRIÁNGULOS……..LA ALTURA SE CONFUNDE CON LA MEDIATRIZ, BISECTRIZ Y MEDIANA
34.-EL BARICENTRO SE ENCUENTRA A ….. DE CADA LADO
38.-EL ÁNGULO FORMADO POR DOS BISECTRICES INTERIORES ES IGUAL A
39.-EL ÁNGULO FORMADO POR DOS BISECTRICES EXTERIORES ES IGUAL A
40.-EL ÁNGULO FORMADO POR UNA BISECTRIZ INTERIOR Y UNA EXTERIOR ES IGUAL A
42.-EL ÁNGULO FORMADO POR DOS MEDIATRICES ES IGUAL A
41.-EL ÁNGULO FORMADO POR DOS ALTURAS ES IGUAL A
43.-EL ÁNGULO FORMADO POR LA ALTURA Y LA BISECTRIZ INTERIOR QUE PARTEN DE UN MISMO VÉRTICE, ES IGUAL A
44.-EL ÁNGULO FORMADO POR LA ALTURA Y LA MEDIANA QUE PARTEN DEL VÉRTICE DEL ÁNGULO RECTO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO ES IGUAL A
48.-TODA PARALELA A UN LADO DE UN TRIÁNGULO DETERMINA
47.-DOS RECTAS CUALESQUIERA CORTADAS POR TRES O MÁS PARALELAS DETERMINAN SEGMENTOS…………
46.-¿CUÁL ES LA NOTACIÓN DE LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS?
45.-¿CUÁNDO DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES ?
52.-CUANDO DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES ADEMÁS DE LOS LADOS SON PROPORCIONALES LAS……….
51.-DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES CUANDO TIENEN LOS TRES LADOS……….
50.-DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES CUANDO TIENEN DOS LADOS…… E IGUAL EL ……….. COMPRENDIDO
49.-DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES CUANDO TIENEN DOS ÁNGULOS RESPECTIVAMENTE ……………
EJERCICIOS
7a a
3
B A
C
E
a
Se tiene un triángulo equilátero ABC. Se toma E punto en de modo que = 7cm y = 3cm. Hallar el perímetro del ABC.
BCAE CE
luego “a” estará entre los valores de : 4<a<10 entonces los valores de a serán 5,6,7,8,9 por lo tanto el perímetro será:15,18,21,24,27
Graficando la información se tiene: Perímetro = 3a….(*)
Debido a la relación de desigualdad entre lados
Se tiene: 7 - 3 < a < 7 + 3
B) Relaciones de desigualdad entre los lados de un triángulo
Aplicando teoría <AFB = 2X + 45º (por < exterior ) <AFB = <EFD; por ser opuestos por el vértice
LUEGO EN EL DEF :12º 30` + 2X + 45º = 90º 2X = 90º 00` - 12º 30` - 45º 00` X =16º 15`
Datos del problema
segmento AD = bisectriz del <A = 90º ; <A/2 = 45º segmento CB = hipotenusasegmento CL = bisectriz del <C; <C = <2X segmento ED = mediatriz del lado CB <D = 12º 30` = ángulo entre bisectriz del <A y la mediatriz del lado CB <x = ?
A
C
D
L
F BE<X<X
45º 45º
2x + 45º
AYUDA
12º 30`
1) La bisectriz del ángulo recto y la mediatriz de la hipotenusa, en un triángulo rectángulo, forman un ángulo de 12º 30`.¿Cuánto mide el ángulo que forman la hipotenusa con la bisectriz del ángulo menor?
EL ÁNGULO RECTO = 90º
SU BISECTRIZ
MEDIATRIZ DE LA HIPOTENUSA
HIPOTENUSA
C B
A
E
45º 45º
EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
A
C
D
BE
45º 45º
12º 30`
SE UNEN EN EL PUNTO D
FORMAN UN ÁNGULO DE 12º 30`
LA MEDIATRIZ LA BISECTRIZ Y
A
C
L
B
<X<X
ÁNGULO BUSCADO ES X
BISECTRIZ DEL <C (ÁNGULO MENOR)
HIPOTENUSA
2X 2X + 45º =45º+
APLICANDO ÁNGULO EXTERNO EN TRIÁNGULO ACF
A
C
L
FB
<X<X
45º 45º
2x + 45º
A
C
D
L
FBE
2x + 45º
<AFB = <EFD
APLICANDO ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
A
C
D
APLICANDO SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS EN TRIÁNGULO FED
F BE
90º 2X +45º
2x + 45º
12º 30`
+ + 12º 30` = 180º
2X 45º -
LOS ÁNGULOS
PASAN AL SEGUNDO MIEMBRO CON SIGNO CAMBIADO
DEJANDO VARIABLE EN PRIMER MIEMBRO
90º 2X +45º+ + 12º 30` = 180º
90º- - 12º 30`= 180º
90º 2X + + 12º 30` = 180º45º +
-12º 30`
- 90º 00` +
- 45º 00`
SUMANDO ÁNGULOS DE SIGNO NEGATIVO GRADOS CON GRADOS Y MINUTOS CON MINUTOS
- 147º 30`
2X 147º 30`-= 180º
RESULTANDO
QUITANDO UN GRADO A 180º QUE SERÁ IGUAL A 60`
1º
179º
-
EL GRADO SERÁ IGUAL A 60` EL CUAL SE AUMENTARÁ A 179º
180º
60` 179º180º =
RESULTANDO
2X 147º 30`-= 179º 60`
RESTANDO GRADO CON GRADO MINUTO CON MINUTO
147º 30`
-179º 60`
32º 30`
RESULTANDO
2X = 32º 30`
EL 2 PASA A DIVIDIR
X =32º 30`
2
DIVIDIENDO DESPUES DEL GRADO QUEDARÁ GRADOS Y LUEGO DE DIVIDIR MINUTOS QUEDARÁ MINUTOS
15`16º
32º 30` 2
EL ÁNGULO BUSCADO SERÁ
15`16º
2) En cierto triángulo isósceles, el ángulo opuesto a la base mide 162º. ¿Cuánto mide el ángulo formado por la bisectriz de uno de los ángulos
iguales del triángulo, con la altura relativa a la base? SOLUCIÓN
B
HC A
P
<X
<X
81º
<2X
<X + 81º
Datos del problemaTriángulo isósceles<B = 162º ; <B/2 = 81ºaltura = segmento BHbisectriz = segmento CP<x + 81º = ?
Aplicando teoría<p = <x + 81º ( por < externo) luego en CHP se tiene: <x + ( <x + 81º ) = 90º <2x = 9º <x = 4º 30`por lo tanto:<p = <x + 81º = 4º 30` + 81º <p = 85º 30`
AYUDA
