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cos cot xsenxx coscos.)( coscos.)( .2 )2( 1 seccos 2 2 senysenxyxyx senysenxyxyx 4.3)3( 1cossen += += += xtgx xsenxxsen 22 Soma e Diferença de Arcos .cos.cos)cos( .cos.cos)cos( xsenyysenxyxsen xsenyysenxyxsen + xsensenxxsen 1sec -1 π − = 22 22 cos..2)2( cot1seccos cot1seccos π/2 = 90º cos3cos.4)3cos( π/6 = 30º π/4 = 45º CESF-Fucapi Prof. Walter Lucas Arco Duplo 3 − 2 − Eixo dos Senos Relações Fundamentais: Fórmulas do - Arco Triplo cos)2cos( Relações Derivadas: -1 1 0 xtg =
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Relações Fundamentais:
xgx
xtgx
xgx
xx
xx
x
xx
xx
xgx
xx
xtgx
22
22
22
22
cot1seccos
1sec
cot1seccos
0sen,sen
1seccos
0cos,cos
1sec
1cossen
0sen,sen
coscot
0cos,cos
sen
+=+=
+=
≠∀=
≠∀=
=+
≠∀=
≠∀=
senysenxyxyx
senysenxyxyx
xsenyysenxyxsen
xsenyysenxyxsen
.cos.cos)cos(
.cos.cos)cos(
coscos.)(
coscos.)(
+=−−=+−=−+=+
Relações Derivadas:
)3cos(
)3()3(
cos3cos.4)3cos(
4.3)3(
1
.2)2(
cos)2cos(
cos..2)2(
3
3
2
22
x
xsenxtg
xxx
xsensenxxsen
xtg
tgxxtg
xsenxx
xsenxxsen
=
−=−=
−=
−==
tgytgx
tgytgxyxtg
tgytgx
tgytgxyxtg
.1)(
.1)(
+−=−
−+=+
Fór
mul
as U
suai
s
Fór
mul
as d
o
Arc
o D
uplo
F
órm
ulas
do
A
rco
Trip
lo
Som
a e
Dife
renç
a de
Arc
os
CESF-Fucapi Prof. Walter Lucas
1 π/2 = 90º
2
3− 2
2− 2
1− 2
1
2
2 2
3
2
3
2
2
2
1
2
1−
2
2−
2
3−
π/6 = 30º
π/4 = 45º
π/3 = 60º 2π/3 = 120º
3π/4 = 135º
5π/6 = 120º
7π/6 = 210º
5π/4 = 225º
4π/3 = 240º
3π/2 = 270º -1
5π/3 = 300º
7π/4 = 315º
11π/6 = 330º
0º 1 2π
-1 π 180º
Eixo dos Cossenos
Eixo dos Senos
+
-
0
−
=
+
−=
+
=
+−=
+=
−=
21
2.2
21
21
cos
21
2.2
sen
cos1
cos1
2
2
cos1
2cos
2
cos1
2sen
2
2
2
2
xtg
xtg
tgx
xtg
xtg
x
xtg
xtg
x
x
xxtg
xx
xx
yx
yxtgytgx
yx
yxtgytgx
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
cos.cos
)(sen
cos.cos
)(sen
2cos
2cos2coscos
2sen
2sen2coscos
2sen
2cos2sensen
2sen
2cos2sensen
−=−
+=+
+
−=+
+
−−=−
+
−=+
−
+=−
Arcos Notáveis (1º Quadrante)
30º 45º 60º
Seno 2
1 2
2 2
3
Cosseno 2
3 2
2 2
1
Tangente 3
3 1 3
yx
yxgygx
yx
yxgygx
yx
yxyx
yx
yxyx
yx
yxyx
yx
yxyx
sen.sen
)(sencotcot
sen.sen
)(sencotcot
sen.sen
)sen(senseccosseccos
sen.sen
sensenseccosseccos
cos.cos
)cos(cossecsec
cos.cos
coscossecsec
−−=−
+=+
−−=−
+=+
−−=+
+=+
Arcos Notáveis
no Ciclo 0
2
π π 2
3π π2
Seno 0 1 0 -1 0 Cosseno 1 0 -1 0 1 Tangente 0 ∅ 0 0 0
Cotangente ∅ 0 ∅ 0 ∅ Secante 1 ∅ -1 ∅ 1
Cossecante ∅ 1 ∅ -1 ∅ Obs.: ∅ significa que não existe o valor.
Fór
mul
as d
o A
rco
Met
ade
Fór
mul
as d
e P
rost
afér
ese
Funções Trigonométricas: 1 - Função Seno Informações Gerais Sinal da Função nos Quadrantes
π2
)()(,
]1,1[Im
sen)(
=−−=
−==
=
pperíododePeriódicaéFunção
xfxfpoisÍmparFunção
f
RDf
xxf
O Gráfico chama-se Senóide:
Gráfico da função f(x)= sen x
2 - Função Cosseno Informações Gerais Sinal da Função nos Quadrantes
π2
)()(,
]1,1[Im
cos)(
=−=
−==
=
pperíododePeriódicaéFunção
xfxfpoisParFunção
f
RDf
xxf
O Gráfico chama-se Senóide.
Gráfico da função f(x)= cos x
3 - Função Tangente Informações Gerais Sinal da Função nos Quadrantes
)(
)()(,
Im
,2
/
)(
ππ
ππ
kxtgtgxpperíododePeriódicaFunção
xfxfpoisímparFunção
Rf
ZkkxRxDf
tgxxf
+=⇒=−−=
=
∈+≠∈=
=
O Gráfico chama-se tangentóide:
Gráfico da f(x)= tg x
4 - Função Cossecante Informações Gerais Sinal da Função nos Quadrantes
{ }
π
π
=≥−≤∈=
∈≠∈==
pperíododePeriódicaFunção
youyRyf
ZkkxRxDf
xxf
}11/{Im
,/
seccos)(
Abaixo o Gráfico da f(x)= cossec x
5 - Função Secante Informações Gerais Sinal da Função nos Quadrantes
π
π
=≥−≤∈=
∈≠∈=
=
pperíododePeriódicaFunção
youyRyf
ZkkxRxDf
xxf
}11/{Im
,2
/
sec)(
Abaixo o Gráfico da f(x)= sec x
6 - Função Cotangente Informações Gerais Sinal da Função nos Quadrantes
{ }
π
π
==
∈≠∈==
pperíododePeriódicaFunção
Rf
ZkkxRxDf
gxxf
Im
,/
cot)(
Abaixo o Gráfico da f(x)= cotg x
Uma função RRXf →⊂: é periódica ⇔ .)()(/* XxxfpxfRp ∈∀=+∈∃ Teorema de Funções Periódicas: →→→→ Se uma função é do tipo )sen(. qmxbay ++= ou )cos(. qmxbay ++= onde
Rqemba ∈,, e 0, ≠mb então seu período é dado por m
pπ2=
→→→→ Se uma função é do tipo )(. qmxtgbay ++= onde Rqemba ∈,, e 0, ≠mb então seu
período é dado por m
pπ=
Critérios Gerais para Resolução de Equações Trigonométricas: →→→→ Se πππ kyxoukyxyx 2)(2sensen +−=+=⇒= →→→→ Se πππ kyxoukyxyx 2)2(2coscos +−=+=⇒= ou πkyx 2+±=
→→→→ Se πππ kycomkyxtgytgx +≠+=⇒=2
Obs.: No Caso de Inequações deve-se estudar nos quadrantes. Gráfico das Funções Trigonométricas Inversas:
1) Função Arco-Seno Se yxxy arcsensen =⇒= e tal função é chamada a inversa da função seno. Informações gerais sobre x = arc seny
−→−
−=
−=
2,
2]1,1[:
2,
2Im
]1,1[
ππ
ππ
F
f
Df
2) Função Arco-Cosseno Se yxxy arccoscos =⇒= e tal função é a inversa da função cosseno. Informações gerais sobre x = arc cosy
[ ][ ]π
π,0]1,1[:
,0Im
]1,1[
→−=−=
F
f
Df
3) Função Arco-Tangente Se ytgarcxtgxy =⇒= e tal função é chamada a inversa da função cosseno. Informações gerais sobre x = arc cosy
−→
−=
=
2,
2:
2,
2Im
ππ
ππ
RF
f
RDf
Triângulos Quaisquer: Lei dos Senos
RC
c
B
b
A
a2
sensensen===
Lei dos Cossenos
Cbabac
Bcacab
Acbcba
cos...2
cos...2
cos...2
222
222
222
−+=−+=−+=
Teoremas da Área A área de um triângulo qualquer é igual à metade do produto de dois de seus lados pelo seno do ângulo compreendido entre esses lados.
BcaA
CbaA
AcbA
sen...2
1
sen...2
1
sen...2
1
=
=
=
0 C D
B
A
a
b
c
R
B
A
C
b c
a
n m
H
A
B C a
b c
