Trigonometria
Trigonometra
Capitulo XI:
Trigonometra.
Trigonometra.
Trigonometra.
Rama de las matemticas que estudia las relaciones entre los
lados y los ngulos de tringulos, de las propiedades y aplicaciones
de las funciones trigonomtricas de ngulos. Las dos ramas
fundamentales de la trigonometra son la trigonometra plana, que se
ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometra esfrica,
que se ocupa de tringulos que forman parte de la superficie de una
esfera.Las primeras aplicaciones de la trigonometra se hicieron en
los campos de la navegacin, la geodesia y la astronoma, en las que
el principal problema era determinar una distancia inaccesible,
como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no
poda ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la
trigonometra se pueden encontrar en la fsica, qumica y en casi
todas las ramas de la ingeniera, sobre todo en el estudio de
fenmenos peridicos, como el sonido o el flujo de corriente
alterna.Trigonometra plana
El concepto trigonomtrico de ngulo es fundamental en el estudio
de la trigonometra. Un ngulo trigonomtrico se genera con un radio
que gira. Los radios OA y OB (figuras 1a, 1b y 1c) se consideran
inicialmente coincidentes con OA. El radio OB gira hasta su posicin
final. Un ngulo y su magnitud son positivos si se generan con un
radio que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, y
negativo si la rotacin es en el sentido de las agujas del reloj.
Dos ngulos trigonomtricos son iguales si sus rotaciones son de
igual magnitud y en la misma direccin.Una unidad de medida angular
se suele definir como la longitud del arco de circunferencia, como
s en la figura 2, formado cuando los lados del ngulo central (con
vrtice en el centro del crculo) cortan a la circunferencia.
Si el arco s (AB) es igual a un cuarto de la circunferencia
total C, es decir, s = 3C, de manera que OA es perpendicular a OB,
la unidad angular es el ngulo recto. Si s = 1C, de manera que los
tres puntos A, O y B estn todos en la misma lnea recta, la unidad
angular es el ngulo llano. Si s = 1/360 C, la unidad angular es un
grado. Si s = YC, de manera que la longitud del arco es igual al
radio del crculo, la unidad angular es un radin. Comparando el
valor de C en las distintas unidades, se tiene que 1 ngulo llano =
2 ngulos rectos = 180 grados = p radianesCada grado se subdivide en
60 partes iguales llamadas minutos, y cada minuto se divide en 60
partes iguales llamadas segundos. Si se quiere mayor exactitud, se
utiliza la parte decimal de los segundos. Las medidas en radianes
menores que la unidad se expresan con decimales. El smbolo de grado
es , el de minuto es ' y el de segundos es ". Las medidas en
radianes se expresan o con la abreviatura rad o sin ningn smbolo.
Por tanto,Se sobreentiende que el ltimo valor es en radianes. Un
ngulo trigonomtrico se designa por convenio con la letra griega
theta (q). Si el ngulo q est dado en radianes, entonces se puede
usar la frmula s=rq para calcular la longitud del arco s; si q
viene dado en grados, entoncesFunciones trigonomtricas
Las funciones trigonomtricas son valores sin unidades que
dependen de la magnitud de un ngulo. Se dice que un ngulo situado
en un plano de coordenadas rectangulares est en su posicin normal
si su vrtice coincide con el origen y su lado inicial coincide con
la parte positiva del eje x.En la figura 3, el punto P est situado
en una lnea recta que pasa por el origen y que forma un ngulo q con
la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser
positivas o negativas segn el cuadrante (I, II, III, IV) en que se
encuentre el punto P; x ser cero si el punto P est en el eje y o y
ser cero si P est en el eje x. La distancia r entre el punto y el
origen es siempre positiva e igual a x2+ y2, aplicando el teorema
de Pitgoras.Las seis funciones trigonomtricas ms utilizadas se
definen de la siguiente manera:
Como la x y la y son iguales si se aaden 2p radianes al ngulo es
decir, si se aaden 360 es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo
mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas
definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es
decir,Si el punto P, de la definicin de funcin trigonomtrica, se
encuentra en el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la
divisin por cero no est definida en el conjunto de los nmeros
reales, la tangente y la secante de esos ngulos, como 90, 270 y
-270 no estn definidas. Si el punto P est en el eje x, la y es 0;
en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ngulos, como 0,
180 y -180 tampoco est definida. Todos los ngulos tienen seno y
coseno, pues r no puede ser igual a 0.Como r es siempre mayor o
igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varan entre -1
y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier
valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o
menor o igual que -1.Como se ha podido ver en los anteriores
apartados, el valor de las funciones trigonomtricas no depende de
la longitud de r, pues las proporciones son slo funcin del ngulo.Si
q es uno de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo (figura 4),
las definiciones de las funciones trigonomtricas dadas ms arriba se
pueden aplicar a q como se explica a continuacin. Si el vrtice A
estuviera situado en la interseccin de los ejes x e y de la figura
3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el
punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y
as sucesivamente:
Los valores numricos de las funciones trigonomtricas de ciertos
ngulos se pueden obtener con facilidad. Por ejemplo, en un tringulo
rectngulo issceles, se tiene que q = 45 y
que b = a, y adems se sabe, por el Teorema de Pitgoras, que c2=
b2+ a2. De aqu se deduce que c2= 2a2 o que c = a2. Por tantoLos
valores numricos de las funciones trigonomtricas de un ngulo
cualquiera se pueden hallar de forma aproximada dibujando el ngulo
en su posicin normal utilizando la regla, el comps y el
transportador de ngulos. Si se miden x, y y r es fcil calcular las
proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los valores
del sen q y del cos q para unos cuantos ngulos especficos, pues los
valores de los dems ngulos y las dems funciones se calculan
utilizando las igualdades que se mencionan en el siguiente
apartado.Igualdades trigonomtricas
Las siguientes frmulas, llamadas igualdades o identidades,
muestran las relaciones entre las diversas funciones
trigonomtricas, que se cumplen para cualquier ngulo q, o pareja de
ngulos q y f: Utilizando con reiteracin una o ms frmulas del grupo
V, conocidas como frmulas de reduccin, es posible calcular el seno
de q y el coseno de q, para cualquier valor de q, en funcin del
seno y del coseno de ngulos entre 0 y 90. Utilizando las frmulas de
los grupos I y II, se pueden calcular los valores de la tangente,
cotangente, secante y cosecante de q en funcin del seno y del
coseno. Por tanto, es suficiente tabular los valores del seno y el
coseno de q para valores de q entre 0 y 90. En la prctica, para
evitar clculos tediosos, se suelen tambin tabular las otras cuatro
funciones para los mismos valores de q. Sin embargo, desde la
popularizacin de las calculadoras electrnicas y los ordenadores o
computadoras, las tablas de funciones trigonomtricas han cado en
desuso.La variacin de los valores de las funciones trigonomtricas
para diversos ngulos se pueden representar grficamente (ver figuras
adjuntas). Se puede ver con claridad en estas curvas que todas las
funciones trigonomtricas son peridicas, es decir, el valor de cada
una se repite a intervalos regulares llamados periodos. El periodo
de todas las funciones, excepto la tangente y la cotangente, es 360
o 2p radianes. La tangente y la cotangente tienen un periodo de 180
o p radianes.Funciones inversas
La expresin 'y es el seno de q,' o y = sen q, es equivalente a
la expresin q es el ngulo cuyo seno es igual a y, lo que se escribe
como q = arcsen y, o tambin como q = sen-1y. Las otras funciones
inversas, arccos y, arctg y, arccotg y, arcsec y, y arccosec y, se
definen del mismo modo. En la expresin y = sen q o q = arcsen y, un
valor dado de y genera un nmero infinito de valores de q, puesto
que sen 30 = sen 150 = sen (30 + 360)= 1. Por tanto, si q = arcsen
1, entonces q = 30 + n360 y q = 150 + n360, para cualquier entero n
positivo, negativo o nulo. El valor 30 se toma como valor principal
o fundamental del arcsen 1. Para todas las funciones inversas,
suele darse su valor principal. Hay distintas costumbres, pero la
ms comn es que el valor principal del arcsen y, arccos y, arctg y,
arccosec y, arcsec y y arccotg y, para y positiva es un ngulo entre
0 y 90. Si y es negativa, se utilizan los siguientes rangos:El
tringulo general
Entre las diversas aplicaciones prcticas de la trigonometra est
la de determinar distancias que no se pueden medir directamente.
Estos problemas se resuelven tomando la distancia buscada como el
lado de un tringulo, y midiendo los otros dos lados y los ngulos
del tringulo. Una vez conocidos estos valores basta con utilizar
las frmulas que se muestran a continuacin.Si A, B y C son los tres
ngulos de un tringulo y a, b, c son los tres lados opuestos
respectivamente, es posible demostrar queLas reglas del coseno y de
la tangente tienen otras dos expresiones que se obtienen rotando
las letras a, b, c y A, B, C.Estas tres relaciones son suficientes
para resolver cualquier tringulo, esto es, calcular los ngulos o
lados desconocidos de un tringulo, dados: un lado y dos ngulos, dos
lados y su correspondiente ngulo, dos ngulos y un ngulo opuesto a
uno de ellos (que tiene dos posibles soluciones), o los tres
lados.Trigonometra esfrica
La trigonometra esfrica, que se usa sobre todo en navegacin y
astronoma, estudia tringulos esfricos, es decir, figuras formadas
por arcos de circunferencias mximas contenidos en la superficie de
una esfera. El tringulo esfrico, al igual que el tringulo plano,
tiene seis elementos, los tres lados a, b, c, y los tres ngulos A,
B y C. Sin embargo, los lados de un tringulo esfrico son magnitudes
angulares en vez de lineales, y dado que son arcos de
circunferencias mximas de una esfera, su medida viene dada por el
ngulo central correspondiente. Un tringulo esfrico queda definido
dando tres elementos cualesquiera de los seis, pues, al igual que
en la geometra plana, hay frmulas que relacionan las distintas
partes de un tringulo que se pueden utilizar para calcular los
elementos desconocidos.La trigonometra esfrica es de gran
importancia para la teora de la proyeccin estereogrfica y en la
geodesia. Es tambin el fundamento de los clculos astronmicos. Por
ejemplo, la solucin del llamado tringulo astronmico se utiliza para
encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del da, la
posicin de una estrella y otras magnitudes. INCRUSTAR
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