Trigo_T5

7/29/2019 Trigo_T5

1/18

TrigonometraCompendio de Ciencias - V - A

119SISTEMA HELICOIDAL

7/29/2019 Trigo_T5

2/18

Trigonometra Compendio de Ciencias - V - A

120 PASCUAL SACO OLIVEROS

7/29/2019 Trigo_T5

3/18



Las identidades auxiliares principales son:1. sen

4x+ cos

4x= 1 2 sen

2xcos

2x

2. sen6x+ cos

6x = 1 3 sen

2xcos

2x

3. tgx+ ctgx = sec xcscx

4. sec2x+ csc

2x= sec

2xcsc

2x

5. (1 + senx cosx)2

= 2 (1 + senx) (1 + cosx)

Adems:

(1+senx cosx)2

= 2 (1 + senx) (1 cosx)

(1senx+ cosx)2

= 2 (1 senx) (1 + cosx)

En general: (1senxcosx)

2=2(1senx)(1cosx)

Ejemplo 1

Demustrese que: sen4x+ cos

4x= 1 2 sen

2xcos

2x

Resolucin:

sabemos: sen2x+ cos

2x= 1

luego: (sen2x+ cos

2x)

2= 1

2

desarrollando: sen4x+ 2 sen

2xcos

2x+ cos

4x= 1

sen4

x+ cos4x= 1 2 sen

2xcos

2x

Ejemplo 2:

Demustrese que: tgx+ ctgx= secxcscx

Resolucin: se tiene que:

Ejemplo 3

Reconocerlasprincipalesidentidadesauxiliares.

Aplicarlasidentidadesauxiliaresensituacionesproblemticas.

Relacionarlasidentidadesauxiliaresconlasbsicas.

7/29/2019 Trigo_T5

4/18



Demustrese que: (1 + senx+ cosx)2

= 2 (1 + senx) (1 + cosx)

Resolucin:

Agrupando:

Recordando: cos

2

x= 1 sen

2

x= (1 + senx) (1 senx)Reemplazando: (1 + senx+ cosx)

2= (1 + senx)

2+ 2 (1 + senx) cosx+ (1 + senx) (1 sen

x)

= (1 + senx) (2 + 2 cosx)

= (1 + senx) 2 (1 + cosx)

1. Reducir la siguiente expresin:

Resolucin:

Sabemos:

sen4x+ cos

4x= 1 2 sen

2xcos

2x

sen6x+ cos

6x= 1 3 sen

2xcos

2x

Reemplazando:

2. Problema

Demustrese que:

Resolucin:

7/29/2019 Trigo_T5

5/18



1. Simplificar:

K = sen4x sen

6x+ cos

4x cos

6x

Rpta.: ...........................................................

2. Si:

calcular:

Rpta.: ...........................................................

3. Reducir:

M = (tgx+ ctgx) senxcosx+ 1

Rpta.: ...........................................................

4. Si:

calcular: K = 2 (1 + tgx+ ctgx)

Rpta.: ...........................................................

5. Si:

calcular: E = sec2x+ csc

2x

Rpta.: ...........................................................

6. Simplificar:

Rpta.: ...........................................................

7. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

8. Simplificar:

Rpta.: ...........................................................

9. Si:

calcular:

Rpta.: ...........................................................

10. Calcule K para la expresin:

E = sen4x+ cos

4x+ K (sen

6x+ cos

6x)

sea independiente dex.

Rpta.: ...........................................................

11. Calcule K de la siguiente identidad:

Rpta.: ...........................................................

12. Simplificar:

E = (sen6x+ cos

6x 1) (sec

2x+ csc

2x)

Rpta.: ...........................................................

13. Si: sen4x+ cos

4x= 1 + 2n

calcular: E = sen6

x+ cos6x 1

Rpta.: ...........................................................

7/29/2019 Trigo_T5

6/18



1. Si:

calcular: K = 5 (1 + sen6x+ cos

6x)

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10

2. Reducir:

A) B) C) D) E)

3. Si: sen4x + cos

4x = K, calcule: sen

6x +

cos6x

A) K B) C)

D) E)

4. Reducir:A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5. Simplificar:

A) ctg2x B) 2ctg

2x C) 3ctg

2x

D) 4ctg2

x E) 6ctg2

x

6. Si:

14. Si:

Adems:

calcular:

Rpta.: ...........................................................

15. Si:

calcular:

Rpta.: ...........................................................

calcule: E = sen6

x + cos6x

A) 1 B) C) D) E)

7. Si:

calcule: M = sec2

x+ csc2

x

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

8. Reducir:

K=(senxcosx)(senx+cosx)

(12sen2xcos

2x)+cos

8x

A) 1 B) 2 C) sen4

x

D) sen6

x E) sen8

x

9. Simplificar:

A) 1 B) C) D) E)

10. Si: senx+ cosx= n, calcular: E=sen8x+cos

8

x

A) 1 4n2

B) 1 + 4n2

C) 1 2n2

+ 4n2

D) 1 4n2

+ 2n4

E) 1 + 2n2

+ 4n4

7/29/2019 Trigo_T5

7/18



Ejemplo 1Si: sen x cosx= n

Demustrese que:

Resolucin:

De la condicin: senxcosx= n

elevamos al cuadrado:

(senxcosx)2

= n2

sen2

x2sen xcos x+ cos2

x = n2

12senxcos x = n2

2senxcos x = n2

1

Ejemplo 2

Si: reducir:

Resolucin:

Sabemos:

Reemplazando en la ecuacin:

Identificarlosproblemasdeidentidadescondicionales.

Relacionarlacondicinconlasidentidadestrigonomtricas.

Eliminarelnguloapartirdelascondiciones.

Ejemplo 3Eliminarxde:

sen x= m + n ... (1)

cosx = m n ... (2)

Resolucin:

Para eliminar el ngulo se relaciona las funciones

trigonomtricas dadas.

Sabemos: sen2

x+ cos2x = 1

De las condiciones (1) y (2) tenemos:

(m + n)2

+ (m n)2

= 1

reduciendo: 2 (m2 + n2) = 1

Ejemplo 4

Eliminarxde:

... (1)

... (2)

Resolucin:

Sabemos: tg xctgx = 1

de las condiciones (1) y (2):

7/29/2019 Trigo_T5

8/18



1. Si:

demustrese que:

Resolucin:

De la condicin:

(a + b) (a sen4x + b cos

4x) = ab

a2sen

4x+ ab cos

4x + ab sen

4x+ b

2cos

4x

= ab

Agrupando:

a

4

sen

4

x+b

2

cos

4

x+ab(sen

4

x+cos

4

x)=ab

a2sen

4x + b

2cos

4x 2ab sen

2xcos

2x= 0

(a sen2x)

22 (a sen

2x) (b cos

2x)+(b

cos2x)

2=0

(a sen2x b cos2x)2 = 0

a sen2x b cos

2x= 0

a sen2x= b cos

2x

2. Problema

Si: a senx + b cosx = c adems: c

2= a

2+ b

2

demustrese que:

Resolucin:

1. Si:

calcular: sen cos

Rpta.: ...........................................................

2. Si:

calcular: tg2x + ctg

2

Rpta.: ...........................................................

3. Si:

calcular: K= sen3 + cos

3

Rpta.: ...........................................................

4. Si: secx cosx= 3

calcular: sec2x + cos

2x

Rpta.: ...........................................................

5. Si: sen3x+ senx= a

cos3x+ cosx= b

calcular: K= a cscx + b secx

Rpta.: ...........................................................

6. Si: , reducir:

Rpta.: ...........................................................

7. Si: , reducir:

7/29/2019 Trigo_T5

9/18



Rpta.: ...........................................................

8. Eliminar de:

sen cos = a ... (1)

sen cos = b ... (2)

Rpta.: ...........................................................

9. Eliminar de:

tg ctg = a ... (1)

sen2 + csc

2 = b ... (2)

Rpta.: ...........................................................

10. Eliminarxde:

secx+ tgx = m ... (1)

secx tgx = n ... (2)

Rpta.: ...........................................................

11. Calculexde:

Rpta.: ...........................................................

12. Si: tg2 + ctg

2 = 5

calcule: K= tg ctg

Rpta.: ...........................................................

13. Si:calcule: E = sec + 3 cos

Rpta.: ...........................................................

14. Si: csc sec = 1

calcular: K= tg + ctg + cos sen

Rpta.: ...........................................................

15. Del grfico mostrado calcular tgxen trminos

de .

Rpta.: ...........................................................

7/29/2019 Trigo_T5

10/18



1. Si: a = sen y b = tg calcular: K= (1 a

2) (1 + b

2)

A) 1 B) 2 C) 3 D) E)

2. Si: es un ngulo agudo,

adems:

A) 0,2 B) 0,3 C) 0,4

D) 0,5 E) 0,6

3. Si: senx + cscx = 4

calcular: E = sen2x+ csc

2x

A) 2 B) 12 C) 16 D) 14 E) 18

4. Si: tgx+ ctgx= 2

calcule: K= tg3x + tg

5x + ctg

3x+ ctg

5x

A) 40 B) 32 C) 16 D) 44 E) 4

5. Hallar la relaci entre a y b si:

tgx + ctgx= a ... (1)

secx + cscx= b ... (2)

A) a2

+ 2a = b2

B) a2

2a = b2

C) a2

+ b2

= 2 D) a + b = ab

E) a2

+ 2ab = b2

6. Si:

calcule: K= cos2xcos

2y sen

2xsen

2y

A) B) C)

D) E) 1

7. Si: sen3x + senx= a

cos3x+ cosx = b

calcular: K= a cscx+ b secxA) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8. Si: tg2x+ tgx = m

calcule: E = m ctgx tgx

A) 1 B) 2 C) tgx

D) tg2x E) ctgx

9. Si: 0 < < 90 adems:

A = 1 + sen2 + sen

4 + sen

6 + ...

B = cos2

+ cos4

+ cos6

+ ...calcule: (A 1) B

A) 1 B) 2 C) tg2

D) ctg2 E) 3

10. Si: senx + sen2x = 1

calcular: K= 1 + cos2x+ cos

4x

A) 1 B) 2 C) 3

D) sen4x E) cos

4x

7/29/2019 Trigo_T5

11/18



SUMA

sen (x + y) = senxcos y + sen y cosx

cos (x + y) = cosxcos y senxsen y

DIFERENCIA

sen (x y) = senxcos y sen y cosx

cos (x y) = cosxcos y + senxsen y

Ejemplo 1

Calcule: sen 75

Resolucin:

sen 75 = sen (45 + 30)

= sen 45 cos 30 + sen 30 cos 45

Ejemplo 2

Calcule: cos 16

Identificarlasidentidadesdelosnguloscompuestos.

RelacionarngulosmedianteunasumaodiferenciaparacalcularsusR.T.

Aplicarlasidentidadesparasituacionesproblemticas.

Resolucin:cos 16 = cos (53 37)

cos 16 = cos 53 cos 37 + sen 53 sen 37

Luego:

7/29/2019 Trigo_T5

12/18



1. Calcule el valor de la expresin:

Resolucin:

Se sabe que: 20 + 40 = 60

tg (20 + 40) = tg 60

2. Problema

Si: senx+ sen y + senz = a

cosx+ cos y + cosz = bdemustrese que:

Resolucin:

1. Si: sen (x + y) = 3 sen y cosxcalcule: K= tgxctg y

Rpta.: ...........................................................

2. Si: cos (x + y) = 3 senxsen y

calcule: E = ctgxctg y

Rpta.: ...........................................................

3. Si:

calcule: K= cos (45 )

Rpta.: ...........................................................

4. Reducir: M = (1 tgxtg y) tg (x + y) tg

y

Rpta.: ...........................................................

5. Simplificar:

Rpta.: ...........................................................

6. Si: x + y = 150, calcular:

K= (senx + cos y)2

+ (sen y + cosx)2

Rpta.: ...........................................................

7. Calcular: 221 sen ( + )

si:

Rpta.: ...........................................................

8. Calcule: tg

7/29/2019 Trigo_T5

13/18



Rpta.: ...........................................................

9. Calcule x.

Rpta.: ...........................................................

10. Si: tg ( + ) = 5

tg ( + ) = 3

calcule tg 2.

Rpta.: ...........................................................

11. Calcular:

Rpta.: ...........................................................

12. Si: ctg tg = 2

calcular:

Rpta.: ...........................................................

13. Si:

calcular tg ( + )

Rpta.: ...........................................................

14. Calcule k si:

Rpta.: ...........................................................

15. Calcular x

Rpta.: ...........................................................

7/29/2019 Trigo_T5

14/18



1. Simplificar:

A) tgx B) ctgx C) 2tgx

D) 2ctg x E) 2

2. Calcule:

M = cos 50 cos 32 sen 50 sen 32

A) B) C)

D) E)

3. Calcular:

A) B) C) 1 D) E)

4. Calcule:

A) B) C)

D) E)

5. Si:

calcular tg (2 )

A) B) C)

D) E) 9

6. Calcule x.

7. Si: 3 senx+ 4 cosx es idntica a: k sen (x +

)

(0

7/29/2019 Trigo_T5

15/18



Reconocerlasidentidadesauxiliaresdelosnguloscompuestos.

Aplicarensituacionesproblemticas.

Reducirexpresionesmediantelasidentidadesauxiliares.

PROPIEDADES

1. sen (x + y) sen (x y) = sen2x sen

2y

cos (x + y) cos (x y) = cos2x sen

2y

2.

3.

4.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Reducir:

E = tg 2

+ tg

+ tg 3

tg 2

tg

E = tg 2 + tg + tg (2 + ) tg 2 tg

E = tg (2 + ) = tg 3

Ejemplo 4

Calcular:

K= tg 40 tg 3 tg 37 tg 40 tg 3

K= tg 40 tg 3 tg (40 3) tg 40 tg3

K= tg (40 3) K= tg 37

Ejemplo 5

Calcule el mximo valor de: K= senx+ cosxpor la

propiedad: en

la expresin:

7/29/2019 Trigo_T5

16/18



1. Demuestre que:

Resolucin:

i. D e m o s t r e m o s q u e :

ii. Aplicando la identidad de (i):

Sumando las ecuaciones:

2. Problema

Si: , demustrese que la

extensin de .

Resolucin:

1. Calcule:K= sen (x + 45) sen (x 45) + cos

2x

Rpta.: ...........................................................

2. Calcule:

M = cos (30 +x) cos (30 x) cos2x

Rpta.: ...........................................................

3. Si: x + y = 37 calcule:

Rpta.: ...........................................................

4. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

5. Calcular:

Rpta.: ...........................................................

6. Calcule:

Rpta.: ...........................................................

7. Calcule:

7/29/2019 Trigo_T5

17/18



K=tg (25+) + tg (20) + tg (25+) tg (20

)

Rpta.: ...........................................................

8. Si el mximo valor de es

a y el mnimo valor de es b,

calcule:

Rpta.: ...........................................................

9. Calcule la extensin de la expresin:E = 2 (senx cosx) + 3 (sen x + cosx)

Rpta.: ...........................................................

10. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

11. Calcule la relacin entre a y b de:

sen ( 60) cos (30 ) = a

cos ( 45) cos ( + 45) = b

Rpta.: ...........................................................

12. Calcular:

Rpta.: ...........................................................

13. Reducir:

K= tg 1 sec 2 + tg 2 sec 4 + tg 4 sec 8 + tg 1

Rpta.: ...........................................................

14. Calcular la extensin de la expresin:

E = 2 sen (x + 30) + 3 sen (90 x)

Rpta.: ...........................................................

15. Si: tg ( + ) = 3 tg ( )

calcular

Rpta.: ...........................................................

1. Calcule:E = sen (60 +x) sen (60 x) cos

2x

A) B) C)

D) E) 1

2. Reducir:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. Reducir:

P=(tg ( + ) + tg ( )) cos ( + ) cos (

7/29/2019 Trigo_T5

18/18



)

A) sen 2 B) sen 2 C) cos 2

D) cos 2 E) 1

4. Calcular:

E = 3 tg 33 + 3 tg 20 + 4 tg 33 + tg 20

A) B) C) 3 D) 4 E) 6

5. Calcular: K = (1 + tg 10) (1 + tg 35)

A) 1 B) 2 C) D) E) 3

6. Calcular el mximo valor de la expresin:

E = 2 sen (60 +x) + senx

A) B) C)

D) 2 E) 3

7. Simplificar:

A) 1 B) tgx C) ctgx

D) 2 E)

8. Si: = 37, calcular:

A) B) C) D) E) 1

9. Si: + = 45, calcular:

M = tg + tg + tg tg

A) B) C) D) E) 1

10. Calcule el mnimo valor de la expresin:

A) B)

C) D)

E)

Documents

Trigo_T5