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TrigonometraCompendio de Ciencias - V - A
119SISTEMA HELICOIDAL
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Trigonometra Compendio de Ciencias - V - A
120 PASCUAL SACO OLIVEROS
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TrigonometraCompendio de Ciencias - V - A
121SISTEMA HELICOIDAL
Las identidades auxiliares principales son:1. sen
4x+ cos
4x= 1 2 sen
2xcos
2x
2. sen6x+ cos
6x = 1 3 sen
2xcos
2x
3. tgx+ ctgx = sec xcscx
4. sec2x+ csc
2x= sec
2xcsc
2x
5. (1 + senx cosx)2
= 2 (1 + senx) (1 + cosx)
Adems:
(1+senx cosx)2
= 2 (1 + senx) (1 cosx)
(1senx+ cosx)2
= 2 (1 senx) (1 + cosx)
En general: (1senxcosx)
2=2(1senx)(1cosx)
Ejemplo 1
Demustrese que: sen4x+ cos
4x= 1 2 sen
2xcos
2x
Resolucin:
sabemos: sen2x+ cos
2x= 1
luego: (sen2x+ cos
2x)
2= 1
2
desarrollando: sen4x+ 2 sen
2xcos
2x+ cos
4x= 1
sen4
x+ cos4x= 1 2 sen
2xcos
2x
Ejemplo 2:
Demustrese que: tgx+ ctgx= secxcscx
Resolucin: se tiene que:
Ejemplo 3
Reconocerlasprincipalesidentidadesauxiliares.
Aplicarlasidentidadesauxiliaresensituacionesproblemticas.
Relacionarlasidentidadesauxiliaresconlasbsicas.
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Trigonometra Compendio de Ciencias - V - A
122 PASCUAL SACO OLIVEROS
Demustrese que: (1 + senx+ cosx)2
= 2 (1 + senx) (1 + cosx)
Resolucin:
Agrupando:
Recordando: cos
2
x= 1 sen
2
x= (1 + senx) (1 senx)Reemplazando: (1 + senx+ cosx)
2= (1 + senx)
2+ 2 (1 + senx) cosx+ (1 + senx) (1 sen
x)
= (1 + senx) (2 + 2 cosx)
= (1 + senx) 2 (1 + cosx)
1. Reducir la siguiente expresin:
Resolucin:
Sabemos:
sen4x+ cos
4x= 1 2 sen
2xcos
2x
sen6x+ cos
6x= 1 3 sen
2xcos
2x
Reemplazando:
2. Problema
Demustrese que:
Resolucin:
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TrigonometraCompendio de Ciencias - V - A
123SISTEMA HELICOIDAL
1. Simplificar:
K = sen4x sen
6x+ cos
4x cos
6x
Rpta.: ...........................................................
2. Si:
calcular:
Rpta.: ...........................................................
3. Reducir:
M = (tgx+ ctgx) senxcosx+ 1
Rpta.: ...........................................................
4. Si:
calcular: K = 2 (1 + tgx+ ctgx)
Rpta.: ...........................................................
5. Si:
calcular: E = sec2x+ csc
2x
Rpta.: ...........................................................
6. Simplificar:
Rpta.: ...........................................................
7. Reducir:
Rpta.: ...........................................................
8. Simplificar:
Rpta.: ...........................................................
9. Si:
calcular:
Rpta.: ...........................................................
10. Calcule K para la expresin:
E = sen4x+ cos
4x+ K (sen
6x+ cos
6x)
sea independiente dex.
Rpta.: ...........................................................
11. Calcule K de la siguiente identidad:
Rpta.: ...........................................................
12. Simplificar:
E = (sen6x+ cos
6x 1) (sec
2x+ csc
2x)
Rpta.: ...........................................................
13. Si: sen4x+ cos
4x= 1 + 2n
calcular: E = sen6
x+ cos6x 1
Rpta.: ...........................................................
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Trigonometra Compendio de Ciencias - V - A
124 PASCUAL SACO OLIVEROS
1. Si:
calcular: K = 5 (1 + sen6x+ cos
6x)
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10
2. Reducir:
A) B) C) D) E)
3. Si: sen4x + cos
4x = K, calcule: sen
6x +
cos6x
A) K B) C)
D) E)
4. Reducir:A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
5. Simplificar:
A) ctg2x B) 2ctg
2x C) 3ctg
2x
D) 4ctg2
x E) 6ctg2
x
6. Si:
14. Si:
Adems:
calcular:
Rpta.: ...........................................................
15. Si:
calcular:
Rpta.: ...........................................................
calcule: E = sen6
x + cos6x
A) 1 B) C) D) E)
7. Si:
calcule: M = sec2
x+ csc2
x
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
8. Reducir:
K=(senxcosx)(senx+cosx)
(12sen2xcos
2x)+cos
8x
A) 1 B) 2 C) sen4
x
D) sen6
x E) sen8
x
9. Simplificar:
A) 1 B) C) D) E)
10. Si: senx+ cosx= n, calcular: E=sen8x+cos
8
x
A) 1 4n2
B) 1 + 4n2
C) 1 2n2
+ 4n2
D) 1 4n2
+ 2n4
E) 1 + 2n2
+ 4n4
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TrigonometraCompendio de Ciencias - V - A
125SISTEMA HELICOIDAL
Ejemplo 1Si: sen x cosx= n
Demustrese que:
Resolucin:
De la condicin: senxcosx= n
elevamos al cuadrado:
(senxcosx)2
= n2
sen2
x2sen xcos x+ cos2
x = n2
12senxcos x = n2
2senxcos x = n2
1
Ejemplo 2
Si: reducir:
Resolucin:
Sabemos:
Reemplazando en la ecuacin:
Identificarlosproblemasdeidentidadescondicionales.
Relacionarlacondicinconlasidentidadestrigonomtricas.
Eliminarelnguloapartirdelascondiciones.
Ejemplo 3Eliminarxde:
sen x= m + n ... (1)
cosx = m n ... (2)
Resolucin:
Para eliminar el ngulo se relaciona las funciones
trigonomtricas dadas.
Sabemos: sen2
x+ cos2x = 1
De las condiciones (1) y (2) tenemos:
(m + n)2
+ (m n)2
= 1
reduciendo: 2 (m2 + n2) = 1
Ejemplo 4
Eliminarxde:
... (1)
... (2)
Resolucin:
Sabemos: tg xctgx = 1
de las condiciones (1) y (2):
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Trigonometra Compendio de Ciencias - V - A
126 PASCUAL SACO OLIVEROS
1. Si:
demustrese que:
Resolucin:
De la condicin:
(a + b) (a sen4x + b cos
4x) = ab
a2sen
4x+ ab cos
4x + ab sen
4x+ b
2cos
4x
= ab
Agrupando:
a
4
sen
4
x+b
2
cos
4
x+ab(sen
4
x+cos
4
x)=ab
a2sen
4x + b
2cos
4x 2ab sen
2xcos
2x= 0
(a sen2x)
22 (a sen
2x) (b cos
2x)+(b
cos2x)
2=0
(a sen2x b cos2x)2 = 0
a sen2x b cos
2x= 0
a sen2x= b cos
2x
2. Problema
Si: a senx + b cosx = c adems: c
2= a
2+ b
2
demustrese que:
Resolucin:
1. Si:
calcular: sen cos
Rpta.: ...........................................................
2. Si:
calcular: tg2x + ctg
2
Rpta.: ...........................................................
3. Si:
calcular: K= sen3 + cos
3
Rpta.: ...........................................................
4. Si: secx cosx= 3
calcular: sec2x + cos
2x
Rpta.: ...........................................................
5. Si: sen3x+ senx= a
cos3x+ cosx= b
calcular: K= a cscx + b secx
Rpta.: ...........................................................
6. Si: , reducir:
Rpta.: ...........................................................
7. Si: , reducir:
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TrigonometraCompendio de Ciencias - V - A
127SISTEMA HELICOIDAL
Rpta.: ...........................................................
8. Eliminar de:
sen cos = a ... (1)
sen cos = b ... (2)
Rpta.: ...........................................................
9. Eliminar de:
tg ctg = a ... (1)
sen2 + csc
2 = b ... (2)
Rpta.: ...........................................................
10. Eliminarxde:
secx+ tgx = m ... (1)
secx tgx = n ... (2)
Rpta.: ...........................................................
11. Calculexde:
Rpta.: ...........................................................
12. Si: tg2 + ctg
2 = 5
calcule: K= tg ctg
Rpta.: ...........................................................
13. Si:calcule: E = sec + 3 cos
Rpta.: ...........................................................
14. Si: csc sec = 1
calcular: K= tg + ctg + cos sen
Rpta.: ...........................................................
15. Del grfico mostrado calcular tgxen trminos
de .
Rpta.: ...........................................................
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Trigonometra Compendio de Ciencias - V - A
128 PASCUAL SACO OLIVEROS
1. Si: a = sen y b = tg calcular: K= (1 a
2) (1 + b
2)
A) 1 B) 2 C) 3 D) E)
2. Si: es un ngulo agudo,
adems:
A) 0,2 B) 0,3 C) 0,4
D) 0,5 E) 0,6
3. Si: senx + cscx = 4
calcular: E = sen2x+ csc
2x
A) 2 B) 12 C) 16 D) 14 E) 18
4. Si: tgx+ ctgx= 2
calcule: K= tg3x + tg
5x + ctg
3x+ ctg
5x
A) 40 B) 32 C) 16 D) 44 E) 4
5. Hallar la relaci entre a y b si:
tgx + ctgx= a ... (1)
secx + cscx= b ... (2)
A) a2
+ 2a = b2
B) a2
2a = b2
C) a2
+ b2
= 2 D) a + b = ab
E) a2
+ 2ab = b2
6. Si:
calcule: K= cos2xcos
2y sen
2xsen
2y
A) B) C)
D) E) 1
7. Si: sen3x + senx= a
cos3x+ cosx = b
calcular: K= a cscx+ b secxA) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
8. Si: tg2x+ tgx = m
calcule: E = m ctgx tgx
A) 1 B) 2 C) tgx
D) tg2x E) ctgx
9. Si: 0 < < 90 adems:
A = 1 + sen2 + sen
4 + sen
6 + ...
B = cos2
+ cos4
+ cos6
+ ...calcule: (A 1) B
A) 1 B) 2 C) tg2
D) ctg2 E) 3
10. Si: senx + sen2x = 1
calcular: K= 1 + cos2x+ cos
4x
A) 1 B) 2 C) 3
D) sen4x E) cos
4x
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TrigonometraCompendio de Ciencias - V - A
129SISTEMA HELICOIDAL
SUMA
sen (x + y) = senxcos y + sen y cosx
cos (x + y) = cosxcos y senxsen y
DIFERENCIA
sen (x y) = senxcos y sen y cosx
cos (x y) = cosxcos y + senxsen y
Ejemplo 1
Calcule: sen 75
Resolucin:
sen 75 = sen (45 + 30)
= sen 45 cos 30 + sen 30 cos 45
Ejemplo 2
Calcule: cos 16
Identificarlasidentidadesdelosnguloscompuestos.
RelacionarngulosmedianteunasumaodiferenciaparacalcularsusR.T.
Aplicarlasidentidadesparasituacionesproblemticas.
Resolucin:cos 16 = cos (53 37)
cos 16 = cos 53 cos 37 + sen 53 sen 37
Luego:
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Trigonometra Compendio de Ciencias - V - A
130 PASCUAL SACO OLIVEROS
1. Calcule el valor de la expresin:
Resolucin:
Se sabe que: 20 + 40 = 60
tg (20 + 40) = tg 60
2. Problema
Si: senx+ sen y + senz = a
cosx+ cos y + cosz = bdemustrese que:
Resolucin:
1. Si: sen (x + y) = 3 sen y cosxcalcule: K= tgxctg y
Rpta.: ...........................................................
2. Si: cos (x + y) = 3 senxsen y
calcule: E = ctgxctg y
Rpta.: ...........................................................
3. Si:
calcule: K= cos (45 )
Rpta.: ...........................................................
4. Reducir: M = (1 tgxtg y) tg (x + y) tg
y
Rpta.: ...........................................................
5. Simplificar:
Rpta.: ...........................................................
6. Si: x + y = 150, calcular:
K= (senx + cos y)2
+ (sen y + cosx)2
Rpta.: ...........................................................
7. Calcular: 221 sen ( + )
si:
Rpta.: ...........................................................
8. Calcule: tg
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TrigonometraCompendio de Ciencias - V - A
131SISTEMA HELICOIDAL
Rpta.: ...........................................................
9. Calcule x.
Rpta.: ...........................................................
10. Si: tg ( + ) = 5
tg ( + ) = 3
calcule tg 2.
Rpta.: ...........................................................
11. Calcular:
Rpta.: ...........................................................
12. Si: ctg tg = 2
calcular:
Rpta.: ...........................................................
13. Si:
calcular tg ( + )
Rpta.: ...........................................................
14. Calcule k si:
Rpta.: ...........................................................
15. Calcular x
Rpta.: ...........................................................
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Trigonometra Compendio de Ciencias - V - A
132 PASCUAL SACO OLIVEROS
1. Simplificar:
A) tgx B) ctgx C) 2tgx
D) 2ctg x E) 2
2. Calcule:
M = cos 50 cos 32 sen 50 sen 32
A) B) C)
D) E)
3. Calcular:
A) B) C) 1 D) E)
4. Calcule:
A) B) C)
D) E)
5. Si:
calcular tg (2 )
A) B) C)
D) E) 9
6. Calcule x.
7. Si: 3 senx+ 4 cosx es idntica a: k sen (x +
)
(0
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TrigonometraCompendio de Ciencias - V - A
133SISTEMA HELICOIDAL
Reconocerlasidentidadesauxiliaresdelosnguloscompuestos.
Aplicarensituacionesproblemticas.
Reducirexpresionesmediantelasidentidadesauxiliares.
PROPIEDADES
1. sen (x + y) sen (x y) = sen2x sen
2y
cos (x + y) cos (x y) = cos2x sen
2y
2.
3.
4.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Reducir:
E = tg 2
+ tg
+ tg 3
tg 2
tg
E = tg 2 + tg + tg (2 + ) tg 2 tg
E = tg (2 + ) = tg 3
Ejemplo 4
Calcular:
K= tg 40 tg 3 tg 37 tg 40 tg 3
K= tg 40 tg 3 tg (40 3) tg 40 tg3
K= tg (40 3) K= tg 37
Ejemplo 5
Calcule el mximo valor de: K= senx+ cosxpor la
propiedad: en
la expresin:
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Trigonometra Compendio de Ciencias - V - A
134 PASCUAL SACO OLIVEROS
1. Demuestre que:
Resolucin:
i. D e m o s t r e m o s q u e :
ii. Aplicando la identidad de (i):
Sumando las ecuaciones:
2. Problema
Si: , demustrese que la
extensin de .
Resolucin:
1. Calcule:K= sen (x + 45) sen (x 45) + cos
2x
Rpta.: ...........................................................
2. Calcule:
M = cos (30 +x) cos (30 x) cos2x
Rpta.: ...........................................................
3. Si: x + y = 37 calcule:
Rpta.: ...........................................................
4. Reducir:
Rpta.: ...........................................................
5. Calcular:
Rpta.: ...........................................................
6. Calcule:
Rpta.: ...........................................................
7. Calcule:
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17/18
TrigonometraCompendio de Ciencias - V - A
135SISTEMA HELICOIDAL
K=tg (25+) + tg (20) + tg (25+) tg (20
)
Rpta.: ...........................................................
8. Si el mximo valor de es
a y el mnimo valor de es b,
calcule:
Rpta.: ...........................................................
9. Calcule la extensin de la expresin:E = 2 (senx cosx) + 3 (sen x + cosx)
Rpta.: ...........................................................
10. Reducir:
Rpta.: ...........................................................
11. Calcule la relacin entre a y b de:
sen ( 60) cos (30 ) = a
cos ( 45) cos ( + 45) = b
Rpta.: ...........................................................
12. Calcular:
Rpta.: ...........................................................
13. Reducir:
K= tg 1 sec 2 + tg 2 sec 4 + tg 4 sec 8 + tg 1
Rpta.: ...........................................................
14. Calcular la extensin de la expresin:
E = 2 sen (x + 30) + 3 sen (90 x)
Rpta.: ...........................................................
15. Si: tg ( + ) = 3 tg ( )
calcular
Rpta.: ...........................................................
1. Calcule:E = sen (60 +x) sen (60 x) cos
2x
A) B) C)
D) E) 1
2. Reducir:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3. Reducir:
P=(tg ( + ) + tg ( )) cos ( + ) cos (
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Trigonometra Compendio de Ciencias - V - A
136 PASCUAL SACO OLIVEROS
)
A) sen 2 B) sen 2 C) cos 2
D) cos 2 E) 1
4. Calcular:
E = 3 tg 33 + 3 tg 20 + 4 tg 33 + tg 20
A) B) C) 3 D) 4 E) 6
5. Calcular: K = (1 + tg 10) (1 + tg 35)
A) 1 B) 2 C) D) E) 3
6. Calcular el mximo valor de la expresin:
E = 2 sen (60 +x) + senx
A) B) C)
D) 2 E) 3
7. Simplificar:
A) 1 B) tgx C) ctgx
D) 2 E)
8. Si: = 37, calcular:
A) B) C) D) E) 1
9. Si: + = 45, calcular:
M = tg + tg + tg tg
A) B) C) D) E) 1
10. Calcule el mnimo valor de la expresin:
A) B)
C) D)
E)
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