U5 5to CJSF 2019

Unidad No. 5: Derivadas

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Armado y diseño de la Unidad: Prof. Andrea Gandolfi

Apuntes y videos tutoriales: http://acgandolfi.wix.com/matematica

Unidad No. 5

Derivadas

Nombre: ………………………….………………

5to. año-2019

Casa Salesiana

Juan Segundo Fernández


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CJSF 5to. Año 2019


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Unidad nº 5: Derivadas

Los siguientes gráficos muestran la distancia (d) en función del tiempo (t).

a. ¿Cuál fue la velocidad en cada caso?

b. ¿Siempre fue a la misma velocidad? ¿Cómo te das cuenta?

Velocidad media

Si la función d t determina la distancia de un móvil a un cierto lugar en función del tiempo, llamamos velocidad media del móvil en el intervalo de tiempo a; b al cociente:

¿Si queremos calcular la velocidad en un instante?

Simbólicamente:

b a

d b d aVi a lim

b a

El concepto de derivada fue desarrollado en el siglo XVII simultáneamente por dos matemáticos: Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que trabajaron sobre los conceptos del cálculo. Esto generó una gran disputa entre ellos, pues cada uno suponía que el otro había plagiado el concepto de derivada.

En algunas funciones sucede que, en algún intervalo, al aumentar x aumenta también el valor de f x . Entonces decimos que estas funciones crecen.

Pero ahora nos interesa saber, ¿cuál crece más rápido?.

La derivada es una herramienta fundamental para responder a esta pregunta, así como a todo lo

relacionado con el comportamiento de las funciones.

La noción de derivada nos permitirá distinguir, no sólo los cambios que se producen entre variables, sino también lo más o menos rápidamente que ocurren estos cambios. La necesidad de medir y de cuantificar la variación ocurrida, fue lo que condujo a la noción de derivada.

a;b

d b d aVm

b a

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Derivada de una función en un valor

L lamamos derivada de la función f x en el valor a :

x a

f x f af a lim

x a (s iempre que este l ímite sea un número real)

1. Realizar la siguiente actividad (con el link: https://www.geogebra.org/m/ahhebdru o escaneando el código QR :

a. Ubicamos el punto A y B en una curva. Desplazar el punto B de la curva y observar que pasa con la recta secante cuando en punto B se acerca al punto A.

x a h 0

f a h f af x f af a lim f a lim

x a h

cociente

Incremental

f x

Desde el punto de vista geométrico, la derivada de una función en un punto indica: la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Desde el punto de vista físico, la derivada de una función en un punto indica: la velocidad instantánea en ese momento determinado

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Una función f x es der ivable en un valor “a” s i f a es un número real.

Ejemplo 1: Calcular f a para f x 2x 3 si a 1 y a 2

Tenemos que realizar el siguiente límite:

h 0

f a h f af a lim

h

f 1

f 1 h

h 0

f 1 limh

f 1

Es decir que la pendiente de la recta

tangente en x=1 es:

f 2

f 2 h

h 0

f 2 limh

f 2

Es decir que la pendiente de la recta

tangente en x=-2 es:

Ejemplo 2: Calcular f a para 2f x x 2x si a 0

f 0

f 0 h

h 0

f 0 limh

f 0

2. Realizar la siguiente actividad (con el link: https://www.geogebra.org/classic/wc9sjqpg o escaneando

el código QR :

a. Desplazar el punto A sobre la cuadrática, y observar que pasa con la recta tangente.

b. ¿Para qué valores del dominio la pendiente de la recta tangente es positiva?

c. ¿Para qué valores del dominio la pendiente de la recta tangente es negativa?

d. ¿Para qué valores del dominio la pendiente de la recta tangente es cero?

e. Completar la siguiente tabla y graficar la función derivada:

x -1 0 1 2 3

f x

f. Hallar la formula de la función derivada: f x

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h 0

h 0

h 0

lim hf 0 lim f 0 h limh

Ejemplo 3: Calcular f a para f x x si a 0

f 0

f 0 h

3. Calculen la derivada por definición, de las siguientes funciones en el valor de a indicado:

a. f x 3x 2 si a 2

b. 3g x 2x si a 1

c. h x x si a 4

Ejemplo 4: Determinar si existe la derivada de la función para los valores a ,b , c , d y e

No existe la derivada de una función en los valores donde la función no es

continua, tienen puntos angulosos o la recta tangente es vertical.

f a

f b

f c

f e

f d

a b c d e

m

f(b)f(e) f(d)

Animación de

la derivada

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4. Analicen si cada una de las siguientes funciones es derivable en el valor a que se indica. Justifiquen sus respuestas:

a. 3f x x 2 si a 1

b. 1f x

x 1 si a 1

c. f x x si a 2

d. f x x 2 si a 2

5. Observen el siguiente gráfico y analicen si existe la derivada de la función para los valores a, b , c, d y e.

6. Indiquen si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Justifiquen sus respuestas:

a. La función 1f x

x 3no es derivable en 3 porque no es continua en ese valor.

b. La función f x x 2 es derivable en -2 porque es continua en dicho valor.

c. La función 1f x

x 5es derivable en cada valor de su dominio, o sea, en todo su

dominio.

Si una función es derivable en x0 , entonces es continua en x0

Si una función es continua en x0 , puede no ser derivable en x0

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Función Derivada

Hasta aquí, hemos calculado la derivada de una función en un valor. Es posible, también, hallar la derivada de una función en cada uno de los valores donde dicha función está definida, obteniendo una nueva función que calcula la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función dada en cada uno de sus puntos. Esa nueva función se llama función derivada.

El dominio de f x está formado por todos los valores del dominio de f x para los cuales existe

la derivada. Por lo tanto, el dominio de Domf Domf

Para cada una de las siguientes fórmulas de funciones, hallen sus dominios, la función derivada y el dominio de la función derivada:

Función Constante : /f f x k

f x h

0

limh

f xh

Función lineal : /f f x mx b

f x h

0

limh

f xh

Función polinómica 3: /f f x x

f x h

0

limh

f xh

Función Homográfica 1: 0 /f f xx

f x h

0

limh

f xh

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Función Irracional : 0; /f f x x

f x h

0

limh

f xh

Reglas de derivación

Las funciones que vamos a estudiar en lo que sigue, están definidas como sumas, productos, cocientes o composiciones de funciones elementales como las que figuran en la tabla de derivadas del Anexo 1.

Veremos ahora cómo actúa la derivada con estas operaciones, lo que nos permitirá calcular numerosas derivadas conociendo unas pocas de ellas.

Derivada de la suma y resta: f g x f x g x

Ejemplos:

3f t t t cos t

f t

f t

2g v lnv 4v

dgdv

r 2p r e 3r sentp r

7. Hallen la función derivada de:

a. 11 74 2t s s ss

b. 3 23 2 5p v v v v

c. m z senz z x

d.

1f u senuu

e. 3g t lnt t

f. 234R w w pw

g. 3 24 2p u u u senx

h. 5 2m y yy i.

ln 2vt v e v r

j. 3 t 2r u t u e u

k. 3 t 2r t t u e u

l. 4 2t 3r y t lny e y

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Recta Tangente al gráfico de una función en un punto

Llamamos recta tangente a l gráf ico de f en el punto 0 0x ;f x a la recta que pasa

por ese punto y cuya pendiente es 0f x .

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico 2f x x 1en el punto a 1 :

f 1

Por lo tanto, reemplazamos este punto en la recta buscada y despejamos “b”.

Recta Tangente a en el punto 2f x x 1en el punto a 1 :

8. Calculen la ecuación de la recta tangente al gráfico cuya fórmula es 3f x x 2 en x 1 .

Verificar graficando la función y la recta tangente en el programa .

9. Calculen la ecuación de la recta tangente al gráfico cuya fórmula es 2f x 4x 3 en x 0 .


Estamos buscando una ecuación de la forma y mx b ,

donde: 0m f x

f x

m f 1

La recta buscada pasa por el punto 0 0x ;f x , en nuestro

ejemplo sería 1;f 1

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10. Calculen la ecuación de la recta tangente al gráfico cuya fórmula es 2f x x x 1 en x 2 .


11. ¿Existe algún punto ;x y donde la recta tangente al gráfico de

21

xf xx

sea horizontal?

.Justifiquen la respuesta

12. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes al gráfico cuya fórmula es 2f x x 6x 8 en los

puntos donde la parábola corta a los ejes coordenados. Verificar graficando la función y la recta

tangente en el programa .

13. ¿En qué punto de la gráfica de la función 2f x x 6x 8 la recta tangente es paralela al eje de

abscisas?

14. Sean 2f x 3x x y g x 5x 2 . Encuentren el punto en el cual las rectas tangentes de f y

g resulten paralelas. Hallen las correspondientes ecuaciones. Verificar en el

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Derivada de una multiplicación: f .g x f x g x f x g x

Ejemplos:

5f t t lnt

f t

f t

g v 5cosvdgdv

2p r 3r 4r sent

p r

k.f x kf x

Derivada de una División:

2

f x g x f x g xf xg g x

Ejemplos:

f

3

g

3 2

6

cos th tt

sen t t cos t 3th tt

h t

f

4

x

g

ym y

e

m y

23r 4p r2 r

p r

15. Utilizando las reglas de derivación, calcular la función derivada de:

a. 3 aV a a 5a e b. 3

2g tt

c. T u usenu

d.

lnkf kk

e.

v

5

eu vv f.

3

sendX dd

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g. q 3l q e x q

h.

2r 1w r2r 3

i. V h 5h cosh

j.

d

3

e 1Q dn

k. D w 5w cosh

l. D w 5h cosw

Derivadas sucesivas

Al hallar la derivada de una función f cualquiera, obtenemos otra función llamada f .Luego, la noción

de derivabilidad puede aplicarse a la función f de la siguiente manera:

Dando lugar a una nueva función (cuyo dominio son todos los puntos x=a para los cuales f es

derivable) y que simplemente escribiremos f .

Por lo tanto, si f a existe se dice que f es dos veces derivable en x a y el número f a recibe el

nombre de segunda derivada de f en x a.

Análogamente, podríamos definir f f , ivf f , etc. llamadas respectivamente ,derivadas

tercera, derivada cuarta, etc.

Para encontrar fácilmente estas derivadas, calculamos primero su función derivada, y luego volvemos a derivar.

Ejemplo 4 2f u u 8u 9

f u

f u

f u

h 0

f a h f af a lim

h

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16. Hallen la función derivada primera, segunda y tercera de las siguientes funciones y calculen el dominio de cada una de ellas.

a. 5 4Y a a 3a

b. xW x e

c. C k lnk

d. T r senr

Derivada de una Función Compuesta

Sean f y g funciones derivables, entonces fog x es una función derivable y se cumple

que: fog x f g x g x

Ejemplo 1

3

3 2

f x sen x 2x

f x cos x 2x 3x 2

Ejemplo 2

23g u 2u 5u

g u

Ejemplo 3:

2M t ln 4t 1

M t

Ejemplo 4:

22 3aY a eY a

17. Hallen la función derivada de:

a. 4D w 1 w b.

3D w 1 2w

c. g t sen 2t d.

2g t sen t

e. f x 2x 3

f. 3u v senv

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g. 2D w 3cos 5w 2w h. 3u v sen v 1

i. 1f kk j.

3f v sen 5x

k. 42D w 5w 7 l.

225h 7D ww

18. La ley de movimiento en un punto a lo largo de una recta es 2S t 3t t (en el instante

t 0 el punto se encuentra en el origen). Hallar la velocidad del movimiento del punto para los instantes t 0 ; t 1 y t 2

19. Un objeto circular va aumentando de tamaño con el tiempo de modo que su radio r , en centímetros, viene dado por r 3t 2 siendo t el tiempo en minutos.

a. ¿Cuál es la velocidad de crecimiento del radior ?

b. ¿Cuál es la velocidad de variación del área?

20. La temperatura C de un cuerpo, que inicialmente estaba a 90ºC se enfría de acuerdo a la ley 0,1tC t 20 70e (se está suponiendo que la temperatura ambiente es de 20ºC) donde t es el tiempo en minutos.

a. Calcular con qué velocidad se está enfriando el cuerpo a los 5 minutos.

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21. La Corriente eléctrica, se define como Variación de la carga en el tiempo:

dq tI t q t

dt

a. La carga total que entra a una terminal está dada determinada por

5 4q t tsen t mC . Calcule la corriente en 0.5t s .

Derivada Logarítmica

En muchas ocasiones, para hallar funciones derivadas, es útil usar la regla de la cadena en fog x

siendo f x lnx .

Pasos:

1. Aplicamos logaritmo natural a cada lado

2. Propiedad de logaritmo: ca alog b c log b

3. Derivamos a cada lado, utilizando la regla de la cadena

4. Despejamos f x

Hallar la función derivada de:

xf x a con a 0 y a 1 xf x e

Hallar la función derivada de xf x 2x 1

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22. Hallen la función derivada de las siguientes funciones y redúzcalas a la mínima expresión:

a. 3xf x x

b. 23ud u u

c. cosxf x 1 x

Dada la siguiente función, se pide:

2x 4 si x 0f : A / f x

3 x 1 si x 0

a. Dominio: b. Analizar la continuidad y la derivabilidad en x=0:

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23. Dadas las siguientes funciones, se pide: i. Dominio

ii. Continuidad y derivabilidad en el punto indicado.

iii. Ecuación de la recta tangente en dicho punto.

iv. Graficar con el Geogebra para verificar la solución.

a.

3x 1 si x 1

f : A / f x enx 13x 1 si x 1

b.

2x 1 si x 1

f : A / f x enx 13x 1 si x 1

c.

2x si x 1

f : A / f x enx 12x 1 si x 1

Razón de Cambio

En cierto tiempo 0t , la longitud del lado de un cuadrado es de 8cm y cada lado aumenta su

longitud a una velocidad de 0,2cm/min. Hallar la razón de cambio del área del cuadrado :

a. con respecto al tiempo;

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b. con respecto a la longitud del lado en el tiempo 0t .

Diferencial de una función en un valor

Dada una función f , un número real a , tal que f sea derivable en x a y un incrementox ,

llamamos diferencial de f ( ,df df a x ) al producto f a por x .

En símbolos: df f a x

Si en lugar de tomar un punto particular tomamos un punto genérico se obtienen la función diferencial:

df f x x .

24. Ejemplo: Calcular el diferencial de 3 2xf x x e

Cualquiera sea la variable independiente, siempre su incremento coindice con su diferencial. En efecto, si f x x su

diferencial es 1df f x x x x ,

pero como df dx , obtenemos que x dx .

Luego, si consideramos y f x , otra expresión para la función diferencial es:

dy f x dx

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Repaso para la evaluación:

1. Usando las reglas de derivación. Hallar la derivada de las siguientes funciones.

a. 3

ln uT u

u b.

k

5

e 1f k2k

c. 3X d d 5d d v d. q 3 2l q e q q

e. 2

5

eu vv

f. 2ql q e 1

g. l x sen 2x 1 h. 2 3l x sen x 1

i.

cosxf x 1 x j.

3 5l k sen 3k x

k. 2 51 tf t t l.

x 1f x senx

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2. Hallar la ecuación de la recta tangente a la función en el punto indicado. Verificar graficando la función y la recta tangente en el programa .

a. 3f x 2x 1 en x 2 .

b. 2f x 4x 3 en x 1 .

c. 2f x x x 1 en x 2 .

d.

2xf xx 1

en x 3

e. 2xf x e en x 0 .

f. f x x lnx en x 1 .

3. ¿En qué puntos ;x y la recta tangente al gráfico de 3 27 15f x x x x es

horizontal? Justifiquen la respuesta.

4. Obtengan la función derivada de las siguientes funciones:

a. 2

34

ta tt b.

33 5b v v v

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c. 5 5b u u d.

32 3a m m

e.

2

3xf x sen e

f. 33 7f w w w senw

g. 2 51 tf t t h.

2 3 senxd x x

5. Hallar los puntos ;x y donde la recta tangente al gráfico de 3 4 1f x x x es

paralela a la recta 23 2y x

6. Si 3xf x x e , indicar cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa.

Justificar la respuesta.

a. 3 23 1xf x e x b. 0 0f

7. Determinar para la siguiente frase cual es la opción correcta. Justificar la elección.

a. La función derivada de es 2 1xf x e :

i. 2 2 1xf x e x ii.

2 12 xf x x e iii. 2 1xf x e

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b. Sea la función:

x 1 si x 1x 1f : A / f x enx 1

1 si x 12

i. f es continua pero no derivable.

ii. f es continua y derivable.

iii. f no es continua pero si derivable.

iv. f no es continua ni derivable.

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Tabla de Derivadas

Función Derivada Función Derivada

y k

y 0

1yu

2

1y uu

y mx y m

y u

1y u2 u

ny x

n 1y nx ny u

n n 1

1y un u

ny u

n 1y nu u y lnu

1y uu

y senu

y cosu u ay log u

1y u

ulna

y cosu

y senu u uy e uy e u

y tgu

2y sec u u uy a uy a lna u

f x u x v x f x u x v x

f x u x v x f x u x v x u x v x

f x k u x f x k u x

2

u x u x v x u x v xf x f x

v x v x

fog x f g x g x

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