INDICE

I. OBJETIVOS……………………………………………….……………….Pág. 03

II. FUNDAMENTO TEORICO……………………………………………….Pág. 03

III. ELEMENTOS A UTILIZARSE……………………………………..…….Pág. 08

IV. CIRCUITOS A EMPLEARSE…………………………………………….Pág. 10

V. PROCEDIMIENTO…………………………………………………..…….Pág. 11

VI. CUESTIONARIO…………………………………………………….…….Pág. 13

VII. OBSEVACIONES Y RECOMENDACIONES…….…………………….Pág. 22

VIII. BIBLIOGRAFIA…………………………………………………...……….Pág. 23

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MEDIDA DE LA INDUCTANCIA MUTUA EN UN CIRCUITO ACOPLADO

I. OBJETIVOS:

Analizar y evaluar el acoplamiento magnético que existe en un circuito acoplado

Determinar el coeficiente de acoplamiento magnético “k” y la inductancia mutua “M” en dicho circuito.

II. FUNDAMENTO TEORICO:

INDUCTANCIA MUTUA

Los circuitos magnéticamente acoplados poseen inductores para poder transmitir la energía de un lugar a otro del circuito. Gracias a un fenómeno conocido como inductancia mutua.

La inductancia mutua consiste en la presencia de un flujo magnético común que une a dos embobinados. En uno de los cuales una excitación causa el cambio de corriente y por tanto, un cambio de flujo magnético. Como este flujo es común para los dos, entonces debe existir un voltaje en el segundo por la ley de Faraday.

El voltaje producido en el segundo inductor es proporcional a la razón de cambio de la corriente del primer inductor y al valor del segundo inductor.

La relación entre la corriente del primer inductor y el voltaje del segundo inductor es:

v2 ( t )=M 2.1

d i1( t)dt

El valor de la inductancia mutua se mide en henrys y es siempre positivo, sin embargo, el valor del voltaje producido en una inductancia debido al flujo magnético de otra inductancia puede ser positivo o negativo.

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Como existen cuatro terminales involucradas en la inductancia mutua, no se puede utilizar la convención de signos que hemos utilizado en otros capítulos, sino que ahora se tiene que utilizar la convención del punto.CONVENCIÓN DEL PUNTO

La corriente que entra a un punto (cualquier punto) “intenta” salir del otro punto. “Entra” quiere decir desde el punto hacia el inductor, e inversamente “salir” quiere decir desde el inductor hacia el punto.

La corriente que entra a un terminal punteado del inductor induce un voltaje positivo en el otro punto. Inversamente, la corriente que sale de un terminal punteado induce un voltaje negativo en el otro punto.

El voltaje inducido del cual hemos estado hablando, es un término independiente del voltaje que existe en el inductor. Por lo consiguiente, el voltaje que existe en el inductor, va a formarse por la suma del voltaje individual y el voltaje mutuo.

V 1=L1d i1dt

+Md i2dt

V 2=L2d i2dt

+Mdi1dt

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De este modo también se definen los voltajes en la frecuencia “s”.V 1=−s L1 I 1+sM I 2

Así como los voltajes en estado estable sinusoidal “s=jw”.V 1=− j ω L1 I 1+ j ωM I 2

La convención del punto, nos evita tener que dibujar el sentido en el que está enrollado el inductor, de tal manera que los puntos colocados en el mismo lugar en los dos inductores indican que los flujos producidos por estos son aditivos (se suman), y los puntos colocados en distinto lugar en los inductores indican que los flujos se restan.

Considerando que la energía no puede ser negativa M tiene un valor máximo:M=√L1L2

TRANSORMADOR LINEAL

Existen dos elementos prácticos que utilizan la inductancia muta: El transformador lineal y el ideal. El primero de ellos es sumamente utilizado en los sistemas de comunicaciones.

Primero asumimos que el transformador es lineal, es decir no posee ningún material magnético que elimine su linealidad. En muchas aplicaciones se conecta el primario en un circuito en resonancia mientras que el secundario muchas veces también está resonancia. Esto tiene como ventaja que se puede realizar circuitos con respuestas de picos anchos y caídas bruscas lo cual se utilizan en sistemas de filtrado.

Podemos observar en el siguiente circuito que una impedancia en el secundario se refleja en el primario según la relación:

Z¿=R1+s L1+ω2M 2 R22R222 +X22

2 − jω2M 2R22R222 +X22

2

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Para el caso en el que el circuito conectado al primario y el secundario son circuitos en resonancia idénticos, es decir con los mismos valores de inductancia, capacitancia y resistencia entonces se observa que existe una frecuencia de resonancia en el circuito el cual es ω0. Sin embargo, si el acoplamiento es alto a una frecuencia superior existe también resonancia lo mismo que a una frecuencia inferior. Esto es lo que causa que el ancho de banda de paso sea un poco mayor que en el circuito RLC. Este es el equivalente de un transformador lineal en el cual se muestra que el valor de cada inductor es L-M y el que une es de M. en el caso de alguna de las corrientes entre por una terminal en la que no haya un punto entonces se sustituye el valor por menos M.

EL TRANSFORMADOR IDEAL

El transformador ideal es una útil aproximación de un transformador altamente acoplado, cuyo coeficiente de acoplamiento se acerca a la unidad y las reactancias inductivas primarias y secundarias son muy grandes en comparación con las impedancias terminales.

Una aproximación al transformador ideal son los transformadores con núcleos de fierro.

Existe un concepto nuevo dentro del tema que hablamos, la razón del número de vueltas “a”. La inductancia individual de cualquiera de los inductores es proporcional al número del alambre.

La relación anterior es válida solamente si el flujo establecido por la corriente en el alambre une a todas las espiras individuales.

De lo anterior podemos ver que la proporcionalidad entre la inductancia y el cuadrado del número de vueltas es la siguiente:

L2L1

=N22

N12=a

2

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Características del transformador ideal:

- El uso de líneas verticales entre los inductores para indicar el uso de placas de fierro.- El valor unitario del coeficiente de acoplamiento.- La presencia del símbolo 1:a que representa la razón del número de vueltas N1 a N2.- La habilidad que tiene para cambiar la magnitud de una impedancia. Si en el primario

se tiene 100 vueltas y en el secundario se tienen 10000 vueltas entonces la impedancia decrece en un factor de 100.

Se tiene la siguiente relación:

a=V 2V 1

=N2N1

Con lo cual se pueden simplificar los cálculos para conocer el voltaje en el secundario a partir del número de vueltas en el transformador.

Para corrientes observas que la relación es:I 1I 2

=a

En caso de las impedancias:

Z¿=zla2

Entonces se tiene que:

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III. ELEMENTOS A UTILIZARSE 1 Auto transformador de 250 V – 6 Amp

1 Amperímetro de 0.06/0.3/1.5 amp. (A)

1 Vatímetro 5 amp. -220V.

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2 Mutimetros

1 Transformador 1Ф de potencia 220/115V Juego de conductores

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IV. CIRCUITOS A UTILIZARSE

Circuito Nº 1

Circuito Nº 2

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Circuito Nº 3

V. PROCEDIMIENTOa) Ubicar el cursor del autotransformador en cero antes de efectuar cualquier e

medida.

b) Armar el circuito N° 1, ubicar el cursor del autotransformador en 22Ov. Tomar un juego de 10 valores de V, W, A, V1 y V2 disminuyendo; V hasta 12Ov de 10 en 10.

N° V(V) W(W) A(A) V1(V) V2(V)1 219.8 30 0.477 219.2 110.62 210 25 0.404 210.9 106.33 200.1 20 0.331 201.2 101.24 190.3 16 0.272 191.1 96.25 180.1 12 0.221 180.7 916 170.3 11 0.18 170.5 85.97 160.5 10 0.15 161.1 81.18 150.4 9 0.125 150.8 769 139.7 7 0.107 140.2 70.5

10 130.7 4 0.095 131.2 66

c) Repetir el párrafo anterior considerando como bornes de entrada “c-d" y de salida “a-b”; variando V de 10 a 110 voltios en pasos de 10 a 10V. Tanto en b) como en c) ubicar el lado de alta tensión (220 V — bornes a-b) el de baja tensión (11OV- bornes c-d)

N° V(V) W(W) A(A) V2(V) V1(V)1 10.1 0.5 0.054 10.4 20.542 20.8 1 0.079 20.86 41.18

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3 30.7 4 0.099 30.78 60.84 40.1 5 0.117 40.17 79.55 49.9 5.5 0.139 50.05 996 60.3 6 0.469 60.1 119.87 70.7 9.5 0.215 71.1 140.48 81 12 0.3 81.4 160.79 90 15 0.422 90.3 179.3

10 101 20 0.653 101.5 200.311 110.3 25.5 0.907 110.7 218.3

d) Armar el circuito N°2, variando el cursor del autotransformador (V) de 10 V a 12OV. Tomar un juego de 5 valores de A, A1 y V2 de 20 en 20 voltios.

N° V(V) A(A) V1(V) V2(V)1 9.9 0.016 10.2 5.2172 30.3 0.033 30.37 15.283 50.2 0.043 50.41 25.344 70.8 0.054 71.1 35.75 90.3 0.064 90.8 45.64

e) Armando el circuito N° 3 repetir el procedimiento que se indica en el paso anterior d).

N° V(V) A(A) V1(V) V2(V)1 9.8 0.007 6.65 3.542 29.8 0.016 19.9 103 50.3 0.023 33.58 16.94 69.9 0.027 46.53 23.445 90 0.032 60.08 30.21

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VI. CUESTIONARIO1. Determinar los valores de L1, M21 y R1 con los datos obtenidos en el paso b).

Presentarlo en forma tabulada y graficar M21 en función de V2.

Para el circuito N° 1 se tiene el siguiente circuito equivalente:

Como I2=0, entonces:

R1=W 1

I 12

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XL1=√(V 1I 1 )2

−(W 1

I 12 )2

L1=1ω √(V 1

I1 )2

−(W 1

I 12 )2

Siendo:ω=2πf (f=60Hz)

ω=377 rads

También

XM 21=V 2

I1

M 21=1ω

V 2I 1

Luego, utilizando las ecuaciones anteriores, realizamos la siguiente tabla:

V1(V) V2(V) A(A) W1(W) R1(Ω) L1(H) M21(H)219.2 110.6 0.477 30 131.851 1.168 0.615210.9 106.3 0.404 25 153.171 1.324 0.698201.2 101.2 0.331 20 182.547 1.538 0.811191.1 96.2 0.272 16 216.263 1.773 0.938180.7 91 0.221 12 245.695 2.069 1.092170.5 85.9 0.18 11 339.506 2.346 1.266161.1 81.1 0.15 10 444.444 2.593 1.434150.8 76 0.125 9 576.000 2.812 1.613140.2 70.5 0.107 7 611.407 3.074 1.748131.2 66 0.095 4 443.213 3.470 1.843

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60 70 80 90 100 110 1200.0000.2000.4000.6000.8001.0001.2001.4001.6001.8002.000

M21 VS V2

V2(V)

M21

(H)

2. Encontrar los valores de L2, M12 y R2 con los datos obtenidos en el paso c). Presentarlos en forma tabulada y graficar M12 en función de V1

Graficamos el equivalente del circuito N°1’:

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Se tiene que I 1=0, por lo tanto:

R2=W 2

I 22

XL2=√(V 2I 2 )2−(W 2

I 22 )2

L2=1ω √(V 2I2 )

2

−(W 2

I 22 )2

Siendo:ω=2πf (f=60Hz)

ω=377 rads

También

XM 12=V 1

I2

M 12=1ω

V 1I 2

Luego, utilizando las ecuaciones anteriores, realizamos la siguiente tabla:

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V2(V) V1(V) I2(A) W2(W) R2(Ω) L2(H) M12(H)10.4 20.54 0.054 0.5 171.468 0.233 1.009

20.86 41.18 0.079 1 160.231 0.557 1.38330.78 60.8 0.099 4 408.122 0.560 1.62940.17 79.5 0.117 5 365.257 0.575 1.80250.05 99 0.139 5.5 284.664 0.585 1.88960.1 119.8 0.169 6 210.077 0.761 1.88071.1 140.4 0.215 9.5 205.516 0.687 1.73281.4 160.7 0.3 12 133.333 0.627 1.42190.3 178.3 0.422 15 84.230 0.522 1.121

101.5 200.3 0.653 20 46.903 0.393 0.814110.7 218.3 0.907 25.5 30.997 0.313 0.638

0 50 100 150 200 2500.0000.2000.4000.6000.8001.0001.2001.4001.6001.8002.000

M12 VS V1

V1(V)

M12

(H)

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3. Hallar los valores promedio de L1, L2, R1, R2, M12 y N21 de los cálculos efectuados en los pasos anteriores 1 y 2. Comentar sobre éstos.

L1(H) L2(H) R1(Ω) R2(Ω) M21(H) M12(H)1.168 0.233 131.851 171.468 0.615 1.0091.324 0.557 153.171 160.231 0.698 1.3831.538 0.560 182.547 408.122 0.811 1.6291.773 0.575 216.263 365.257 0.938 1.8022.069 0.585 245.695 284.664 1.092 1.8892.346 0.761 339.506 210.077 1.266 1.8802.593 0.687 444.444 205.516 1.434 1.7322.812 0.627 576.000 133.333 1.613 1.4213.074 0.522 611.407 84.230 1.748 1.1213.470 0.393 443.213 46.903 1.843 0.814

0.313 30.997 0.638PROMEDIO 2.217 0.528 334.410 190.982 1.206 1.393

Observamos que M21 no se mantiene constante ya que ∅ 21 e I 1 no sigue una relación

lineal (M 21=∂∅21∂ I 1 ), esto es debido a que el flujo se transmite a través del núcleo del

transformador, el cual es un material no lineal (material ferromagnético). De igual modo con M12.

4. Los valores de M12 y M21 son diferentes ¿Porque? Explique.

Se demuestra teórica y experimentalmente que estos coeficientes son iguales (M 12=M 21) para núcleos lineales como el aire.

No se cumple M 12=M 21 debido a las siguientes razones:

- La relación no lineal de M 21=∂∅ 21

∂ I1 y M 12=

∂∅ 12

∂ I2- La medida de los parámetros como corriente y voltaje no se mantienen constante

por el suministro.

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5. Considerando Z1 y ZZ conocidos (calculado en 3) y con los datos obtenidos en el procedimiento pasos d) y e); determinar los valores de M12 y M21 tabular.

Graficamos el equivalente del circuito N°2:

Se tiene que I 1=I 2Z1=R1+ j XL1Z2=R2+ j XL2

Por lo tanto:

V 1I1

=√(R1)2+( XL1−XM 12)

2

M 12=1ω (XL1−√(V 1I 1 )

2

−(R1 )2)De forma similar para M21:

V 2I 2

=√(R2 )2+( XL2−XM 21)2

M 21=1ω (XL2−√(V 2I 2 )

2

− (R2 )2)Luego, utilizando las ecuaciones anteriores, realizamos las siguientes tablas:

Para circuito 2

V1(V) I1(A) R1(Ω) XL1(Ω) M12(H)10.200 0.016 334.410 835.630 0.77730.370 0.033 334.410 835.630 0.05850.410 0.043 334.410 835.630 0.76471.100 0.054 334.410 835.630 1.161

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90.800 0.064 334.410 835.630 1.441V2(V) I2(A) R2(Ω) XL2(Ω) M21(H)5.217 0.016 190.982 199.204 0.173

15.280 0.033 190.982 199.204 0.59025.340 0.043 190.982 199.204 0.95035.700 0.054 190.982 199.204 1.15045.640 0.064 190.982 199.204 1.294

Graficamos el equivalente del circuito N°3:

Se tiene que I 1=I 2Z1=R1+ j XL1Z2=R2+ j XL2

Por lo tanto:

V 1I1

=√(R1)2+( XL1−XM 12)

2

M 12=1ω (XL1−√(V 1I 1 )

2

−(R1 )2)De forma similar para M21:

V 2I 2

=√(R2 )2+( XL2−XM 21)2

M 21=1ω (XL2−√(V 2I 2 )

2

− (R2 )2)

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Luego, utilizando las ecuaciones anteriores, realizamos las siguientes tablas:

Para circuito 3

V1(V) i1(A) R1(Ω) XL1(Ω) M12(H)6.65 0.007 334.410 835.630 0.14219.9 0.016 334.410 835.630 0.961

33.58 0.023 334.410 835.630 1.55346.53 0.027 334.410 835.630 2.26860.08 0.032 334.410 835.630 2.684

V2(V) I2(A) R2(Ω) XL2(Ω) M21(H)3.54 0.007 190.982 199.204 0.71410 0.016 190.982 199.204 1.050

16.9 0.023 190.982 199.204 1.35423.44 0.027 190.982 199.204 1.71830.21 0.032 190.982 199.204 1.924

6. Hallar el valor promedio de M12 y M21 de los cálculos efectuados en 5.- Comentar. De la pregunta 5, sacando el promedio por método de partes, tenemos:

CIRCUITO2 3

M12(H) M21(H) M12(H) M21(Ω)0.777 0.173 0.142 0.7140.058 0.590 0.961 1.0500.764 0.950 1.553 1.3541.161 1.150 2.268 1.7181.441 1.294 2.684 1.924

PROMEDIO 0.840 0.832 1.522 1.352

SUSTRACTIVA:

M 21ps=∑i=1

n

M 21i

n=0.832

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M 12ps=∑i=1

n

M 12i

n=0.840

ADITIVA:

M 21pa=∑i=1

n

M 21 j

n=1.352

M 12pa=∑i=1

n

M 12 j

n=1.522

De los datos calculados: M 21pa , M 21ps ,M 12pa , M 12ps hallamos:

M p21=M 21 pa+M 21 ps

2=1.352+0.832

2=1.092

M p12=M 12 pa+M 12 ps

2=1.522+0.840

2=1.181

De los Map y Msp le sacamos promedio y tenemos un M promedio general de los casos sustractivos y aditivos.

M p=M p21+M p21

2=1.092+1.181

2=1.137

7. Comparar los valores de M calculados en los pasos 3.- y 6.-. Explique las razones que ocasionan la diferencia entre dichos valores.

Los valores de los M para cada dirección y la mutua difieren debido a los flujos de dispersión que hay en los diferentes sentidos de 1-2 y de 2-1, ya que nuestra experiencia es real por lo cual los M se acercan relativamente.

8. Calcular el coeficiente de acoplamiento magnético “K” del circuito.

Sabemos:

M=K √L1L2K=

M p

√L1L2Además de las tablas anteriores:

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L1 p=∑i=0

n

Li

n=2.217

L2 p=∑i=0

n

Li

n=0.528

Reemplazando:

K=M p

√L1 pL2 p= 1.137

√2.217∗0.528K=1.051

VII. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Al calcular R1 y R2, no estamos midiendo resistencia de las bobinas, sino la resistencia de pérdidas del núcleo del transformador. La prueba de esto, es que los valores de R1 y R2 varían; si se tratara de las resistencias de las bobinas, estos valores se mantendrían constantes.

Al calcular L1 y L2, no estamos midiendo inductancia de las bobinas, sino la inductancia de magnetización de pérdidas del núcleo del transformador. La prueba de esto, es que los valores de L1 y L2 varían; si se tratara de la inductancia de las bobinas, estos valores se mantendrían constantes.

La inductancia mutua en los circuitos permite que se genere un voltaje en el secundario del transformador; si no hubiera esta inductancia mutua, simplemente no se induciría ningún voltaje en el secundario y V2 no marcaría nada.

La inductancia mutua depende de la forma de conexión del circuito (en este caso transformador); también depende de la corriente y del flujo inducido, los cuales en el transformador de núcleo ferromagnético son distintos para cada medición.

El valor de “k” es una característica de este transformador, es decir, no cambia cuando varían el voltaje de entrada y las corrientes.

Buscar mayor precisión posible al regular el auto-transformador. Revisar la continuidad en cada cable conductor para conductor para evitar que hallan

aberturas en el circuito y los instrumentos no registren valor alguno.

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VIII. BIBLIOGRAFIA

Circuitos Eléctricos, Morales – López

LINEAR CIRCUITS – Roland E. Scott

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