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Un acercamiento a los procesos de objetivación y subjetivación en el contexto de
tareas sobre razones trigonométricas: una experiencia con estudiantes de grado
noveno
Yeison Andrés Guerrero Osorio
Paola Catterine Sáenz Martínez
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Maestría en Educación
Énfasis en Educación Matemática
Bogotá, Junio de 2019
Un acercamiento a los procesos de objetivación y subjetivación en el contexto de
tareas sobre razones trigonométricas: una experiencia con estudiantes de grado
noveno
Yeison Andrés Guerrero Osorio
20172184011
Paola Catterine Sáenz Martínez
20172184014
Trabajo para optar al título de Magíster en Educación
Modalidad Profundización
Director
Rodolfo Vergel Causado
Doctor en Educación con Énfasis en Educación Matemática
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Maestría en Educación
Énfasis en Educación Matemática
Bogotá, Junio de 2019
Tabla de contenido
Introducción ........................................................................................................................... 5
Capítulo 1 ............................................................................................................................... 7
1.1. Campo o área problemática .................................................................................. 7
1.2. Antecedentes ........................................................................................................... 8
1.3. Delimitación de trabajo ....................................................................................... 11
1.4. Pregunta de investigación ................................................................................... 12
1.5. Objetivos .................................................................................................................. 12
Objetivo General ........................................................................................................... 12
Objetivos Específicos .................................................................................................... 12
Capítulo 2 ............................................................................................................................. 13
2.1. La perspectiva semiótica cultural ........................................................................... 13
2.1.1. El papel de la actividad como mediadora entre el saber y el conocimiento ........ 15
2.1.2. Objetivación y subjetivación ............................................................................... 15
2.1.3. Medios semióticos ............................................................................................... 18
2.2. Razones trigonométricas desde el pensamiento matemático ............................... 18
2.2.1. Pensamiento algebraico ....................................................................................... 22
2.2.2. Pensamiento geométrico ..................................................................................... 23
Capítulo 3 ............................................................................................................................. 25
3.1. Diseño del estudio ..................................................................................................... 25
3.2. Caracterización de los participantes en el estudio ................................................ 27
3.3 Acciones preliminares y pilotaje de las tareas ........................................................ 27
3.3.1. Categorías Iniciales ............................................................................................. 27
3.3.2. Fase de Pilotaje.................................................................................................... 28
3.3.3. Resultados prueba piloto ..................................................................................... 31
3.4. Diseño y justificación de las tareas ......................................................................... 33
3.4.1. Consideraciones para el diseño de tareas ............................................................ 33
3.4.2. Justificación de las tareas .................................................................................... 35
3.5. Naturaleza del trabajo y proceso de recolección de la información .................... 38
3.6. Obtención y constitución del dato .......................................................................... 38
Capítulo 4 ............................................................................................................................. 41
4.1. Tarea 1 Sombra según el día ................................................................................... 43
4.2. Tarea 2. Al salir del colegio ..................................................................................... 47
4.3. Tarea 3. Relación entre las distancias .................................................................... 59
2
4.4. Otros elementos de análisis ..................................................................................... 74
Capítulo 5 ............................................................................................................................. 82
5.1. Respuesta a la pregunta orientadora ..................................................................... 82
5.2. Síntesis, discusión y comentarios finales ................................................................ 86
Bibliografía .......................................................................................................................... 91
3
Índice de ilustraciones y tablas.
Ilustración 1. El fin de la educación apunta hacia las dimensiones del conociendo y del
volviéndose tomado de Radford 2014, p.135. ...................................................................... 14
Ilustración 2. Derechos básicos de aprendizaje que refieren a razones trigonométricas. ... 21
Ilustración 3. Estructura Metodológica Moreno (2015)...................................................... 26
Ilustración 4. Uso de sus manos para hacer referencia a la relación entre los lados de las
figuras plasmadas en la tarea. ............................................................................................... 31
Ilustración 5. Representación con sus manos del triángulo formado por la proyección de los
rayos de sol, la altura del árbol y su sombra. ........................................................................ 32
Ilustración 6. Movimiento de las manos haciendo referencia a relación entre lados de los
triángulos. ............................................................................................................................. 45
Ilustración 7. Relación entre lados de los triángulos representados por la profesora. ....... 46
Ilustración 8. Estrategia para comparar lados de los triángulos por Katherine.................. 50
Ilustración 9. Representación de perpendicularidad con las palmas de María Camila. ...... 52
Ilustración 10. Señalamiento del triángulo formado. .......................................................... 54
Ilustración 11. Secuencia de señalamientos y deícticos espaciales acompañada de palabras
de Laura en interacción con la profesora Paola. ................................................................... 56
Ilustración 12. Segunda secuencia de señalamientos y deícticos espaciales acompañada de
palabras de Laura en interacción con la profesora Paola. ..................................................... 57
Ilustración 13. Representación y deslizamientos con las palmas con referencia al ángulo
recto. ..................................................................................................................................... 62
Ilustración 14. Estrategia para representar el ángulo recto, para la determinación de ángulos
agudos. .................................................................................................................................. 63
Ilustración 15. María Fernanda representando con las manos ángulo agudo imagen 1 y
ángulo obtuso imagen 2. ....................................................................................................... 64
Ilustración 16. Estefanía representa el ángulo recto y la apertura de los lados para ubicar el
ángulo de 60°. ....................................................................................................................... 64
Ilustración 17. Secuencia de gestos movilizada por Estefanía que permite evidenciar la
contracción semiótica. .......................................................................................................... 65
Ilustración 18. Uso del símbolo para referirse a un ángulo recto. ...................................... 66
Ilustración 19. Representación gráfica del triángulo SCC. ................................................. 68
Ilustración 20. Procesos realizados por Valeria. ................................................................. 68
Ilustración 21. Procesos realizados por Laura. ................................................................... 69
Ilustración 22. María Fernanda estableciendo razones mediante señalamientos entre lados
de triángulos. ........................................................................................................................ 70
Ilustración 23. Representación de triángulos invertidos con las manos. ............................ 71
Ilustración 24. Orquestación icónica de las estudiantes. ..................................................... 73
Ilustración 25. Procesos para estimar segmentos a partir de razones trigonométricas. ...... 74
Tabla 1. Relación entre pensamientos y estándares............................................................. 20
Tabla 2. Categorías de análisis. ........................................................................................... 28
Tabla 3. Organización de la información. ........................................................................... 40
Tabla 4. Tipología de formas de pensamiento trigonométrico ............................................ 89
4
Dedicatoria
A Dios por permitirme cumplir un propósito más en mi vida.
A mis padres por su apoyo incondicional en todo el transcurso de mi carrera, por estar
para mí en todo momento.
Paola
A mis padres por ser mi fuente de motivación e inspiración para poder superarme día a día
y poder entregar lo mejor de mí.
A mis compañeros que compartieron de su conocimiento para contribuir tanto a esta
investigación como a mi formación como magister.
Yeison
Agradecimientos
A nuestro director de tesis el Dr. Rodolfo Vergel Causado por su dedicación y
acompañamiento permanente en nuestra formación.
A nuestros docentes que acompañaron los seminarios en la maestría y nos compartieron
sus experiencias.
A nuestros compañeros por sus aportes y reflexiones frente a nuestra investigación.
A las estudiantes de grado 9° del Instituto Clara Fey por su participación en el proceso de
indagación.
5
Introducción
El trabajo de investigación se enfoca en documentar los procesos de objetivación y
subjetivación desde la Teoría de la Objetivación (TO) planteada por Luis Radford. Según
este autor, dichos procesos suceden en la interacción entre profesor y estudiantes durante la
actividad matemática para volver el objeto razón trigonométrica en objeto de conciencia y
pensamiento (Radford, 2018). Para poder abordar este estudio se tendrán en cuenta la
identificación y la descripción de los medios semióticos de objetivación que emergen en la
actividad matemática en la resolución de tareas con la intención de actualizar el saber.
La investigación se enmarca en la TO, ya que esta aproximación teórica brinda
elementos que posibilitan la interpretación de las acciones de los estudiantes cuando
resuelven problemas matemáticos. Las tareas se realizaron en el Instituto Clara Fey de la
ciudad de Bogotá D.C colegio femenino privado de corte católico. Los capítulos que
estructuran el trabajo se describen a continuación.
El primer capítulo “Planteamiento del problema” expone el campo problemático de
la investigación partiendo de la concepción actual de las prácticas de aula como un sistema
capitalista, ubicando el proceso de enseñanza – aprendizaje en la dimensión del saber. Luego,
se realiza una contextualización sobre los principios teóricos de la TO que brindan elementos
para el desarrollo de la investigación desde un punto de vista en el que lo importante no es
solo el saber sino el ser. Además, se reportan algunas investigaciones nacionales e
internacionales en el marco de la en concordancia con la teoría, al igual que los objetivos y
pregunta orientadora.
El segundo capítulo “Referentes teóricos” describe y explicita los elementos que dan
coherencia a la propuesta de investigación, presentando constructos de la TO, entendiendo el
proceso de enseñanza y aprendizaje como labor conjunta, de cooperación, participación e
interacción entre sujetos de educación; seguido por la conceptualización de los medios y
procesos de objetivación y subjetivación. Por último, se expone una posible caracterización
de los pensamientos algebraico y geométrico.
6
El tercer capítulo “Metodología” expone los referentes metodológicos considerados
en el diseño, planeación y puesta en marcha del estudio, el cual se desarrolla desde un enfoque
de investigación cualitativa de carácter descriptivo e interpretativo; toma como referencia el
ciclo metodológico propuesto por TO, realizando algunas modificaciones a las últimas fases
en concordancia con la investigación. Además, se realiza una caracterización de la población,
la selección de tareas, los instrumentos de recolección de información son transcripciones de
videos que reflejen la actividad kinestésica y gestual, al igual que la información contenida
en las hojas de trabajo.
El cuarto capítulo “análisis de datos” muestra el análisis como producto de la
constitución de los datos (producción en las hojas de trabajo de los estudiantes, video
grabación, transcripciones), basada en una interpretación de la teoría, con el fin de establecer
conclusiones respecto a la convergencia de los procesos objetivación y subjetivación de las
estudiantes en la actividad. De acuerdo con la TO el análisis se da desde una concepción
multimodal del pensamiento, considerando importante la inclusión del cuerpo en el acto de
conocer.
El quinto capítulo presenta las conclusiones en concordancia con la pregunta
orientadora y los objetivos de la investigación; considerando las tareas, la labor conjunta que
se dio en el aula y el análisis de los datos. Posteriormente, se pondrán en manifiesto algunas
consideraciones que pueden derivarse de este estudio para posibles trabajos en el futuro y
aportes a la TO que puedan surgir desde lo encontrado en los resultados del análisis.
7
Capítulo 1
Planteamiento del problema
En este capítulo se esbozan las ideas que fundamentan la investigación. Inicialmente
se exponen elementos que permiten centrar la investigación en la perspectiva sociocultural
de la Teoría de la Objetivación, posteriormente se exponen algunos informes investigativos
bajo la TO que reportan medios semióticos en el abordaje de tareas dentro de la labor
conjunta. Finalmente se presenta la pregunta de investigación que dio el rumbo a la
investigación y los objetivos que enmarcan las pretensiones de este trabajo.
1.1. Campo o área problemática
Algunas prácticas en la escuela son reflejo de las prácticas económicas y políticas que
rigen el sistema capitalista donde se desprecia el sujeto y el objeto producido por él se
convierte en sujeto tal como lo denomina Marx: “Personificación de una cosa y cosificación
de una persona” (Dussel, 2006). Estos modos de producción cosifican a los sujetos y vuelven
personas a sus productos donde lo importante es lo que se produce, no cómo y qué cambios
tuvo el sujeto, lo cual genera sujetos alienados. Eso mismo pasa en el aula, los estudiantes no
entienden por qué deben aprender, el aprendizaje se ve como una adquisición de
conocimientos, algo muy parecido a comprar en un supermercado, y se mide a partir de una
evaluación por lo general escrita, en la cual no se puede reflejar todo lo que él ha desarrollado.
Carranza (2009) refiere que las escuelas “apuestan a una educación mecanicista, antivalórica
y deshumanizante, puesta al servicio de una sociedad moderna conformada por grupos
sociales radicalmente diferenciados y con características consumistas” (p 75).
Radford (2017) menciona que no es una exageración asegurar que la mayoría de los
estudiantes están alienados, pues no se reconocen, se sienten en un espacio ajeno, por lo tanto,
el aula requiere una reconceptualización de las formas de colaboración humana y sus modos
de producción del conocimiento. Además, si la Educación Matemática se ve como un
apéndice de las matemáticas, se entenderá como la búsqueda de métodos pedagógicos
eficientes para la trasmisión de saberes matemáticos, dejando de lado cuestionamientos éticos
y subjetivos.
8
Una de las teorías socioculturales que se ha caracterizado por sus principios teóricos
consolidados es la Teoría de la Objetivación TO. Esta, surge a fines de los años 80 y difiere
de enfoques individualistas basados en la filosofía romántico-individualista, tal como el
constructivismo, donde el alumno aprende construyendo su propio saber, idea que según
Radford es problemática ya que se reduce a la actividad subjetiva del individuo donde el
estudiante adquiere el conocimiento basado en un aprendizaje a través de la experiencia
propia. Contrario a esto, la perspectiva asumida desde la TO toma la dimensión histórica y
cultural del saber y del aprendizaje sin asumir una posición subjetiva o racionalista.
Por lo tanto, es importante romper con estas prácticas, donde el colegio no se
desarrolle como empresa y el estudiante no se vea como mero productor de su conocimiento,
es necesario reivindicar compromisos éticos por parte del docente a partir de la enseñanza y
establecer nuevas formas de interacción por parte de los estudiantes.
La TO brinda aspectos teóricos que posibilitan realizar espacios de cambio en el aula
de matemáticas, pues expresa nuevas formas de relación, así como formas de pensamiento
matemático se pueden desarrollar a partir de la relación entre el cuerpo, la percepción y el
uso de símbolos en la medida que los estudiantes propician formas colectivas de producción
de saberes (Vergel, 2015).
1.2. Antecedentes
Luis Radford ha dedicado varios años a la investigación para consolidar la Teoría de
la Objetivación centrado en el problema de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
enfatizando que esta no debe ser entendida como una simple difusión del conocimiento, sino
desde esta perspectiva sociocultural de la TO debe ser entendida como el esfuerzo orientado
tanto al saber como al ser, por esta razón Radford (2009) entiende la enseñanza y aprendizaje
como trabajo conjunto que incluye la dimensión del ser como parte fundamental en el acto
educativo.
Esta idea toma fuerza y se ha evidenciado en gran parte de los trabajos desarrollados
por Radford. Dichos trabajos se han enfocado en el aprendizaje del álgebra temprana, su
interés por indagar y documentar las formas en cómo los estudiantes se encuentran de manera
subjetiva con un sistema de signos constituido histórico-culturalmente y las manifestaciones
de los estudiantes que reflejan formas de pensamiento algebraico que no son precisamente el
9
uso del lenguaje alfanumérico sino que los estudiantes identifican elementos que les permiten
comunicarse por medio de gestos, lenguaje y de sistemas de representación gráfica en el
intento de encontrase con el objeto matemático.
En los referentes teóricos que se encuentran abarcados por las intenciones
investigativas de este documento existen trabajos que se destacan por sus valiosos aportes y
que ofrecen claridad conceptual frente a diversos elementos de la TO, uno de ellos es la tesis
doctoral de Vergel (2015) titulada Formas de pensamiento algebraico temprano en alumnos
de cuarto y quinto grados de Educación Básica Primaria (9-10 años), en su marco teórico
nos ofrece aproximaciones teóricas acerca de la interpretación del desarrollo del pensamiento
desde la perspectiva de Vygotsky y como desde estas ideas se contribuye a la consolidación
de la TO.
Un elemento que es transversal en esta investigación, es la concepción del gesto como
medio semiótico de objetivación, entendido como la forma de expresión de intencionalidades
del sujeto que ocurre en asociación con el discurso y la intención de adquirir formas estables
de conciencia y pensamiento, esencialmente en la manifestación y constitución del
pensamiento algebraico temprano. Otra claridad conceptual se hace con referencia al nodo
semiótico, comprendido como un segmento de la actividad de los estudiantes en donde varios
recursos se complementan para tomar conciencia sobre el objeto matemático y finalmente la
contracción semiótica, entendida como la evolución de las formas de expresión y
comunicación de los medios semióticos, estas aproximaciones teóricas brindan insumos para
pensar en la forma de documentar y analizar la actividad matemática desarrollada por los
estudiantes.
Otro aporte investigativo es el trabajo de maestría realizado por Pantano (2014),
propone una investigación en la que permita evidenciar los medios semióticos y procesos de
objetivación en estudiantes de tercer grado de primaria al resolver tareas de tipo aditivo en
los naturales, en esta investigación se ha reportado un gran cantidad de recursos semióticos
a parte de las formas particulares y tradicionalistas de representaciones grafico textuales, se
han ampliado con manifestaciones a través del cuerpo, la ritmicidad, el movimiento, la
actividad perceptual entre otras, entendidas como actos de conocer, conceptualizar y pensar
por parte de los estudiantes, estos recursos fueron rescatados a partir de un proceso de análisis
10
desde una concepción multimodal del pensamiento matemático y la labor conjunta. Es de
valorar de esta propuesta da cuenta de los procesos de objetivación como contracción
semiótica e iconicidad.
Con el fin de realizar una revisión documental respecto a trabajos que daten sobre
procesos de subjetivación, está la tesis de maestría realizada por Bautista y Cardozo (2016),
donde manifiestan que la educación ha evolucionado respecto a metodologías de enseñanza
y didácticas; sin embargo, la evaluación continúa estática por décadas. Con el propósito de
reconocer la evaluación de manera diferente su investigación tiene como objetivo
“Caracterizar la evaluación desde la TO en el contexto de actividades que involucran tareas
sobre transformación del lenguaje natural al algebraico”. En sus conclusiones logran realizar
una organización de vectores para una evaluación desarrollados en la labor conjunta como
son: Compromiso, Responsabilidad, Cuidado del otro, Respeto, Poder Responsable y
Reconocimiento del otro.
El trabajo de tesis de maestría que realizó González (2016) titulado “Procesos de
objetivación en el desarrollo del pensamiento probabilístico por parte de estudiantes de
décimo grado”, fue pionera en la teoría al realizar una caracterización posible de formas de
pensamiento probabilístico al abordar tareas en torno a la asignación de probabilidad de un
evento, esto evidencia que se puede desarrollar investigación desde la TO en cualquier
pensamiento matemático.
Teniendo como fundamento que se debe desarrollar la investigación desde un
pensamiento, el cual en un primer momento suscitó la idea que fuera el pensamiento
trigonométrico, era menester realizar una caracterización, para esto, se tomó como referencia
el trabajo diseñado por el Departamento de Matemática Educativa del Centro de
Investigación y de Estudios Avanzados (Cinvestav) y la Subsecretaría de Educación Media
Superior de la SEP de México; Moore (citado por Montiel, 2013) propone el uso de dos
métodos para la enseñanza de la función trigonométrica, el primero es el uso de razones
trigonométricas en el triángulo rectángulo y el segundo es el círculo unitario para transitar de
la razón a la función trigonométrica. Estos objetos matemáticos favorecen el desarrollo del
pensamiento espacial y variacional.
11
De lo anterior, se puede decir que como tal no hay una caracterización especifica del
pensamiento trigonométrico desde la TO, pues los objetos de conocimiento pertenecen a dos
pensamientos espacial y variacional; esto también se puede evidenciar en los Estándares
Básicos de Competencias de Matemáticas presentados por el MEN (2006), en el documento
solo se mencionan las palabras funciones trigonométricas en dos estándares correspondientes
a los pensamientos espacial y variacional en el ciclo de décimo-undécimo.
Por otra parte, Moore no propone un diseño didáctico para aprender el concepto de
función trigonométrica, sino una serie de tareas que le dan coherencia al uso de múltiples
nociones matemáticas relacionadas con ella. Lo cual se desarrolla desde el enfoque teórico
de la socioepistemología, donde se pretende identificar el desarrollo y la evolución de las
nociones trigonométricas en relación con las circunstancias histórico-sociales del momento,
lo cual da un marco para entender la pertinencia de las tareas a trabajar.
1.3. Delimitación de trabajo
Las aulas contemporáneas se han convertido en espacios alienantes, donde no existen
modos de reflexión, ni posturas críticas frente a un objeto matemático. Los estudiantes,
terminan con sentimientos negativos respecto a las matemáticas convirtiendo el proceso de
enseñanza – aprendizaje poco significativo (Radford 2014, 2017c). Para tomar una lucha
contra este fenómeno es necesario repensar las formas de producción de saberes y de
colaboración humana en el aula matemáticas, considerando la actividad como un proceso
social a partir de las relaciones interpersonales entre los sujetos educativos en la interviene
la interacción con el otro no meramente en la dimensión cognitiva, sino se aprecia el valor
de lo afectivo, es decir, la transformación del sujeto respecto al saber y ser.
El aprendizaje es tanto conocer como devenir; no solo se ve desde el eje del
conocimiento, también se aborda el eje del ser, esto se da a partir de procesos de objetivación
y subjetivación.
Los procesos de objetivación son procesos co-transformadores y sensoriales a través
de los cuales los estudiantes gradualmente se familiarizan críticamente con significados
culturales históricamente constituidos y formas de pensamiento y acción (Radford, 2015). En
cuanto a los procesos de subjetivación son los procesos a través de que los estudiantes toman
12
posición en prácticas culturales y tienen la forma de sujetos cultural e históricamente únicos.
La subjetivación es el proceso histórico de la creación de la creación sin fin del yo.
Por esta razón, desde esta perspectiva, los procesos de objetivación son al mismo
tiempo procesos de subjetivación, si se mencionan aparte es por comodidad del análisis. “El
concepto de trabajo conjunto recurre a (a) formas colectivas específicas de producción de
conocimiento en el aula y (b) modos de colaboración humana definidos que descansan en la
ética crítica de la comunidad” (Radford, 2016, p.6).
Las intenciones de este trabajo son documentar elementos de procesos de objetivación
y procesos de subjetivación con el objeto matemático razones trigonométricas, que emergen
desde los pensamientos geométrico y algebraico que se encuentran como potencialidad para
los estudiantes. Se considera que esta investigación puede ser de aporte a la TO en la medida
que no se ha reportado ningún trabajo desde los objetos de conocimientos mencionados.
1.4. Pregunta de investigación
¿Cuáles son los procesos de objetivación y subjetivación que movilizan las estudiantes de
grado noveno en la actividad matemática al resolver tareas que involucran razones
trigonométricas?
1.5. Objetivos
Objetivo General
Identificar y describir los procesos de objetivación y subjetivación que movilizan las
estudiantes de grado noveno en la actividad matemática al resolver tareas que involucran
razones trigonométricas.
Objetivos Específicos
Identificar y describir los medios semióticos de objetivación que emergen en la actividad
matemática al resolver tareas que involucran razones trigonométricas.
Describir los procesos de alteridad de las estudiantes durante la actividad de resolución
de tareas que involucran razones trigonométricas.
13
Capítulo 2
Referentes teóricos
En este capítulo se reportan los elementos teóricos que a la base de la Teoría de la
Objetivación dan el sustento a este trabajo de investigación. Inicialmente se exponen algunos
aportes que fundamentan la TO, para así, dar paso a los ejes centrales de la investigación
procesos de objetivación y procesos de subjetivación, teniendo en cuenta que estos procesos
se materializan en la emergencia de los medios semióticos también existe un
pronunciamiento frente a estos. Finalmente se realiza una aproximación a elementos
característicos del pensamiento trigonométrico.
2.1. La perspectiva semiótica cultural
La Educación Matemática se ha transformado en las últimas décadas con el propósito
de cambiar el sentido de la enseñanza y el aprendizaje en el aula a partir de las diferentes
conceptualizaciones, desde difusión de contenidos matemáticos hasta la facilitación del
desarrollo de las estructuras cognitivas matemáticas por parte de los estudiantes; la primera
con orientación teórica epistemológica, mientras que la segunda con orientación teórica
psicológica. Aunque estas teorías tienen méritos en el campo, fue necesario considerar las
demandas sociales contemporáneas. Por lo cual surgen las teorías socioculturales desde
campos como la sociología y la antropología, tal como la TO cuya posición política-
conceptual de la educación no trata solo de saberes, sino que va más allá, pues trata de saberes
y seres.
Radford (2014) como precursor de la teoría plantea el objetivo de la Educación
Matemática como “un esfuerzo político, social, histórico y cultural cuyo fin es la creación de
individuos éticos y reflexivos que se posicionan de manera crítica en prácticas matemáticas
constituidas histórica y culturalmente” (p.135). Esta finalidad no solo busca agregar la
dimensión subjetiva. Sino evidenciar que desde un punto de vista ontológico el ser y el saber
están interrelacionados de una manera profunda en la que uno no ocurre sin el otro.
14
Esto se da a partir de ver la enseñanza y aprendizaje como una relación entre
conociendo (knowing) donde se desarrolla la transformación del saber en conocimiento, y el
volviéndose (becoming), es decir, la transformación perpetua del sujeto. Como lo ilustra la
ilustración 1.
El principio central de la TO está basado en el materialismo dialéctico hegeliano y su
idea fundamental de la constitución dinámica y recíproca entre ser y cultura. Esta
constitución ocurre en la labor o trabajo. Al entender la Educación Matemática como labor
conjunta lleva a la reconceptualización del sujeto como sujeto constituido histórico y
culturalmente, concreto y real que siente, goza y sufre (Radford 2014). En otras palabras, el
estudiante no se ve como un sujeto meramente cognitivo y el profesor como un agente
tecnológico y burocrático, poseedor del conocimiento. Al contrario, los profesores y los
estudiantes, aunque de diferentes maneras, se involucran, intelectual y emocionalmente,
hacia la producción de un trabajo común. Radford (2013a) menciona que:
La corriente sociocultural histórico-materialista pone al centro el concepto de trabajo
o labor o, como Leont’ev (1978) lo ha tematizado, actividad. Estos tres nombres
hacen referencia a una misma entidad cultural: una serie de acciones guiadas por un
fin común que los individuos realizan en conjunto (p.5).
Actividad es la forma específica en que los individuos expresan su vida. "A medida
que los individuos expresan su vida, lo son. Qué son, por lo tanto, coincide con su producción,
Ilustración 1. El fin de la educación apunta hacia las dimensiones del conociendo y del volviéndose
tomado de Radford 2014, p.135.
15
tanto con lo que producen y cómo lo producen " (Marx, 1998 citado por Radford, 2016, p.
3). En otras palabras,
La actividad es una forma social de esfuerzo conjunto que comprende la
autoexpresión, el desarrollo intelectual y social y el disfrute estético. Es un proceso
en un sistema de relaciones sociales que realiza la naturaleza social de los seres
humanos (Radford y Roth, 2011, p.229).
La Educación Matemática como una cuestión de trabajo conjunto es un intento de
restablecer la idea de la actividad en general y la actividad del aula en particular como una
forma de vida no alienante (Radford, 2016).
2.1.1. El papel de la actividad como mediadora entre el saber y el conocimiento
Desde la TO el conocimiento no se adquiere, posee o construye, tampoco se trasmite.
Por el contrario, entender la concepción histórico- cultural implica diferenciar entre el saber
y el conocimiento. El saber es potencialidad, es pura posibilidad, es decir “El saber es un
sistema codificado de procesos corpóreos, sensibles y materiales de acción y de reflexión,
constituidos histórica y culturalmente” (Radford, 2017b, p. 101). Al ser una codificación
cultural de maneras de actuar, significa que es algo general. Por otro lado, el conocimiento
es actualización o materialización del saber, es una de sus formas singulares desarrolladas, y
el proceso a través del cual se materializa es la actividad,
En otras palabras, la actividad demarca la manera en que el saber se manifiesta en
conocimiento, media el conocimiento, no existe conocimiento inmediato Ilyenkov (citado
por Radford, 2017b) menciona que el conocimiento lleva la huella o impresión de la
actividad.
2.1.2. Objetivación y subjetivación
Considerando que la actividad como labor conjunta el aprendizaje se teoriza como
procesos de objetivación, constructo teórico que está entrelazado con los procesos de
subjetivación, es de gran importancia dar claridad conceptual desde la TO frente a estos dos
procesos con la intención de identificar y comprender tanto las acciones de reflexión
16
matemática, como las formas de interacción de los estudiantes y profesor dentro de la
actividad.
Los procesos de subjetivación refieren a los procesos en los que los estudiantes toman
posición en prácticas culturales y tienen la forma de sujetos cultural e históricamente únicos.
La subjetivación es el proceso histórico de la creación sin fin del yo.
El ser que busca la TO va hacia una ética comunitaria que está dirigida por la
responsabilidad, por el compromiso hacia los demás y el cuidado del otro. Estos tres vectores
se materializan en una participación en aula, tal como un espacio público de debates, lo que
los antiguos griegos llamaban la polis. Donde los estudiantes son alentados a demostrar
abiertamente a los demás la solidaridad y la conciencia crítica (Radford, 2013a). Es decir, se
pretende desarrollar una colaboración humana, y a su vez se invita a discutir ideas
matemáticas entre sus propios grupos y con otros grupos del aula.
Responsabilidad, significa que el alumno se muestra vigilante de la acción del otro
sujeto. No desde el sentido de Foucault, es decir como toma de distancia (Radford, 2017c).
Tampoco trata de verse desde lo formal o pragmático, sino desde lo ontológico. La
responsabilidad como vigilancia significa una sensibilidad que permite conectar con el otro;
en otras palabras, es un acto de darse o entregarse (Radford, 2013a).
Respecto al segundo vector, el compromiso es entendido como la promesa de hacer
todo lo posible y hasta lo imposible, durante la labor conjunta en la realización de la “obra
común”, que en esta oportunidad son las diferentes tareas puestas en juego para resolver
ecuaciones trigonométricas.
El cuidado, hace referencia a preocuparse por alguien requiere el reconocimiento de
la necesidad del otro y la acción solidaria intersubjetiva correspondiente, es la posibilidad de
vernos a nosotros mismos en el otro; de reconocer nuestra vulnerabilidad en la vulnerabilidad
del otro, donde los sufrimientos y las esperanzas son cuestiones de todos (Radford, 2017c).
Para Radford (2017a) la TO considera que dentro de la actividad el aprendizaje se
teoriza como procesos de objetivación, constructo teórico que está entrelazado con los
procesos de subjetivación. Se establece que estos procesos no pueden correr separadamente,
se habla distintamente de ellos para facilitar la identificación y descripción de los medios que
17
los sustentan, por esta razón es importante dar claridad conceptual desde la TO frente a estos
dos procesos con la intención de identificar y comprender tanto las acciones de reflexión
matemática, como las formas de interacción de los estudiantes y el profesor dentro de la
actividad matemática.
Sobre los procesos de objetivación Radford (2008b, p. 230) manifiesta que estos
refieren a “procesos sociales a través de los cuales los estudiantes se adaptan a las formas de
acción y pensamiento histórico-culturalmente constituidas que se comunican por medio de
nuestra actividad corpórea, sensorial y artefactual”.
Es claro afirmar que un elemento fundamental de la TO son los procesos de
objetivación, por lo cual ciertas investigaciones se han preocupado por evidenciar dichos
procesos. Particularmente un trabajo desarrollado por Radford (2008a), parte de un análisis
semiótico de la actividad matemática de algunos estudiantes que abordaron tareas de
generalización de patrones, logrando identificar dos procesos de objetivación llamados
contracción semiótica e iconicidad, este aporte teórico ha dado insumos para reportar
elementos de análisis de la actividad matemática que permiten describir e interpretar la
evolución de ideas, pensamiento, razonamiento y reflexiones con los medios semióticos que
utilizan los estudiantes.
En este trabajo investigativo Radford (2008a) da evidencia de acciones de los
estudiantes en medio de la actividad matemática. Declara que al momento de abordar la
primera tarea se comunicaban por medio de gestos, señalamientos con su índice y realizando
movimientos de los palillos acompañándolos con lenguaje hablado El uso de estos medios
semióticos de objetivación manifiestan la acción de reflexión matemática además de la
evolución que los estudiantes reflejan en acciones posteriores, por ejemplo cuando tratan de
referirse a lo mismo reduciendo los medios semióticos de manera refinada, con la intención
de obtener una simplificación de significados con menores gestos, señalamientos o palabras
Esta acción es un intento de refinar su forma de comunicar, es lo que la TO ha llamado
contracción semiótica, así, el hecho de que los estudiantes excluyan gestos para
reemplazarlos por formas de expresión como el lenguaje, muestra una manera más sofisticada
de comunicarse y dan una clara evidencia de su evolución, haciendo presencia del proceso
de objetivación.
18
En este mismo trabajo de investigación Radford (2008) describe las acciones y el uso
de medios semióticos que utilizaron algunos estudiantes en eventos anteriores replicándolos
en una nueva situación, expresa que ellos desarrollaron la capacidad de discriminar entre lo
mismo y lo diferente, una manera de notar rasgos similares en un procedimiento anterior para
orientarse en una nueva situación, esta acción refiere al segundo proceso de objetivación que
plantea la TO la iconicidad. Este proceso hace referencia a reutilización de formas de acción
y expresión usadas en eventos anteriores para aplicarlas en una nueva tarea que ha criterio de
los estudiantes, contiene características similares.
2.1.3. Medios semióticos
Se ha dicho que los procesos de objetivación y subjetivación se manifiestan a través
de los medios semióticos y evolucionan en las formas de expresión y acción, dichos medios
semióticos son entendidos por Vergel (2015) como todas las formas de expresión y acción
como gestos, movimiento, ritmicidad, artefactos, actividad perceptual, formas lingüísticas,
etc. Estas formas de expresión emergen en la actividad al momento de reflexionar
matemáticamente con la intención de comunicar o hacer visible alguna intención, idea que
se sustenta en lo que plantea Radford (2013) los medios semióticos son usados por los
individuos de manera intencional en los procesos de creación de significados en la búsqueda
de una forma estable de conciencia, manifestando sus intenciones para lograr el propósito de
sus acciones.
2.2. Razones trigonométricas desde el pensamiento matemático
Existen diferentes investigaciones desde la TO que han caracterizado algunos
pensamientos matemáticos, como es el caso del algebraico (Radford, 2008a, 2018; Vergel,
2015), aditivo (Pantano, 2014) y probabilístico (González, 2016), entre otros. Sin embargo,
en lo documentado no se ha precisado en la TO una caracterización del pensamiento
trigonométrico, esto conlleva a un reto para este trabajo de investigación, puesto que las
intenciones investigativas se centran en la emergencia de medios semióticos (MS) que
permitan dar cuenta de procesos de objetivación y subjetivación al abordar tareas que
involucren el objeto matemático razones trigonométricas. Para poder iniciar la identificación
19
y la descripción de estos medios semióticos es pertinente ubicar el objeto en un pensamiento
matemático, no solo por cuestiones de organización sino porque desde la TO el saber
matemático puede entenderse como una acumulación de formas abstractas previas del
pensamiento que pueden ser lingüísticas, perceptivas, artefactuales y corporales, que
constituyen el saber matemático en una cultura, (Radford 2017b), en esta perspectiva la TO
busca la identificación de elementos de acción y reflexión que surgen y evolucionan, en este
caso brindar insumos que permitan caracterizar el pensamiento trigonométrico.
Sin embargo, se debe tener en cuenta que el pensamiento trigonométrico debe tener
unas bases conceptuales para referirnos a éste y realizar un análisis desde su caracterización,
así como los trabajos desarrollados en la TO respecto al pensamiento algebraico, Vergel
(2015) realiza una caracterización del pensamiento algebraico de manera general, él lo
entiende como una manera de pensar y actuar sobre objetos, relaciones, estructuras y
situaciones matemáticas, en otras palabras es entendido como las formas de acción,
pensamiento y reflexión que han quedado codificadas en la cultura. Además de la
comprensión del pensamiento se reconocen tres estratos o formas de pensamiento algebraico
factual, contextual y simbólico los cuales permiten comprender las actuaciones de los
estudiantes (Radford, 2018).
De igual manera como se ha descrito brevemente el pensamiento algebraico, la
intención es describir el pensamiento trigonométrico o ubicar el objeto matemático en algún
pensamiento desde algunos trabajos de investigación y referentes teóricos que permitan
comprender las características al pensar trigonométricamente, además de establecer algunos
niveles o estratos de pensamiento, que nos permitan proponer elementos teóricos en el
análisis y caracterizar las formas de acción y reflexión de los estudiantes, que abordan tareas
que involucran razones trigonométricas.
Para hacer una descripción del pensamiento trigonométrico, en un primer momento,
acudimos a los documentos oficiales planteados por el MEN (1998; 2006; 2015)
Lineamientos, Estándares y Derechos Básicos de Aprendizaje, documentos que ofrecen
insumos para la organización curricular de las matemáticas en educación básica y media, en
los cuales se pueden evidenciar los ejes que consolidan una propuesta curricular, para ser
matemáticamente competente. Estos ejes son conocidos como Pensamiento Matemático que
20
se divide en cinco pensamientos: numérico, espacial, métrico, aleatorio o probabilístico y
variacional. Como se observa no se habla de un pensamiento trigonométrico, sin embargo,
realizando una revisión a los documentos oficiales precisando en cada pensamiento
matemático con el fin de ubicar elementos esenciales de la trigonometría se han encontrado
pocos elementos pero que podrían ubicarnos en el camino de la caracterización del
pensamiento trigonométrico.
La primera evidencia se encuentra en los Estándares planteados por MEN (2006), este
estándar corresponde a los grados 10 – 11, en el cual se enuncian dos estándares relacionados
con la trigonometría como se observa en la siguiente tabla.
Pensamiento Matemático Estándar
Pensamiento espacial y sistemas
geométricos
Describo y modelo fenómenos periódicos del
mundo real usando relaciones y funciones
trigonométricas.
Pensamiento variacional y sistemas
algebraicos y analíticos
Modelo situaciones de variación periódica con
funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus
derivadas.
Tabla 1. Relación entre pensamientos y estándares.
Por otro lado, en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas no existe evidencia
del concepto trigonometría, sin embargo, en el documento reciente, Derechos Básicos de
Aprendizaje en su primera versión (MEN, 2015) se evidencia el objeto matemático razones
trigonométricas en el enunciado 13 de grado noveno (ilustración 2 imagen superior), además
en una de las ideas secundarias ilustración 2 imagen inferior), se puede identificar que la
ubicación de los elementos trigonométricos pertenece tanto a la parte geométrica como a la
algebraica.
21
A pesar de que el interés del trabajo de investigación no se concentra en el desarrollo
o la comprensión del objeto razones trigonométricas, es importante ubicar el objeto en
elementos conceptuales iniciales para una la posible caracterización del pensamiento
trigonométrico.
Como se pudo contemplar, tanto en los Estándares como en los DBA, la trigonometría
puede recoger elementos de las dimensiones geométrica y algebraica, lo que lleva a pensar
que el pensamiento trigonométrico necesita de elementos del pensamiento geométrico, como
del pensamiento algebraico. Esta misma idea la contempla Montiel (2013) , manifestando
que “la introducción a la trigonometría se contextualiza en la geometría y ésta por tradición
escolar hace uso de los ángulos medidos en grados” (Montiel 2013, Pág. 38) a pesar de esta
tradición escolar la representación de los triángulos es meramente ilustrativa y esto puede
generar que la trigonometría se minimice a la idea de relación entre ángulos y catetos y se
desconozca la esencia, el análisis y la comprensión de esta relación para hablar de razones
trigonométricas, por esta razón la trigonometría debe valerse de los elementos analíticos que
ofrece el pensamiento algebraico al trabajar con cantidades indeterminadas.
No muy lejos de estas ideas está el sustento histórico de la trigonometría. Por un lado,
la astronomía dio paso al uso de elementos geométricos para el cálculo de distancias y por
otro lado Viéte Loi citado por Montiel (2005, p.83) “En los trabajos de Euclides
(aproximadamente 300 a. C.) No hay trigonometría en el sentido estricto de la palabra, pero
hay teoremas equivalentes a leyes o fórmulas trigonométricas, elaborados en lenguaje
geométrico”.
Ilustración 2. Derechos básicos de aprendizaje que refieren a razones
trigonométricas.
22
El objeto de conocimiento razones trigonométricas es un objeto transversal, en el
sentido que potencia el pensamiento algebraico y geométrico, por tal razón no se debe
privilegiar un pensamiento sobre el otro, por el contrario, se debe propender por la
actualización de ambos. Por lo tanto, se pretende realizar una caracterización considerando
elementos teóricos de la TO y elementos desde otras teorías que aborden el pensamiento
geométrico.
2.2.1. Pensamiento algebraico
Desde consideraciones filosóficas de la TO, Vergel (2015) asume que el pensamiento
algebraico es una forma particular de reflexionar matemáticamente. Es un sistema de
procesos corporizados de acción y de reflexión constituidos histórica y culturalmente; este
tipo de pensamiento se caracteriza a partir de tres componentes estrechamente relacionados:
el sentido de indeterminancia de objetos como incógnitas y variables; la analiticidad como
forma de trabajar los objetos indeterminados; y la designación o expresión simbólica como
manera específica de referir los objetos (Radford, 2001 citado por Vergel, 2015).
Para desarrollar los componentes existen tres estratos del pensamiento caracterizados
por medios semióticos de objetivación, tales como, signos y artefactos de diferente tipo
(símbolos matemáticos, gráficos, palabras, gestos, calculadoras, etc.) (Radford, 2008a) que
se utilizan para comunicar o hacer visible una intención, es importante resaltar que no son
únicamente herramientas, además son portadores de una conciencia histórica de la actividad
cognitiva de generaciones anteriores (Radford, 2010).
Pensamiento algebraico factual: los medios semióticos de objetivación movilizados son los
gestos, los movimientos, el ritmo, la actividad perceptual y las palabras. La indeterminancia
no alcanza el nivel de la enunciación, queda implícita, pues se expresa en acciones concretas.
Pensamiento algebraico contextual: los gestos y las palabras son sustituidos por otros medios
semióticos de objetivación como “frases clave”. La indeterminancia es explícita, se vuelve
objeto del discurso, aquí surge una descripción del término general.
Pensamiento algebraico simbólico: las frases clave son representadas por símbolos
alfanuméricos del álgebra. En este estrato de pensamiento se piensa en otro estado del
proceso de objetivación de contracción semiótica.
23
2.2.2. Pensamiento geométrico
Se pueden adoptar elementos que definen el pensamiento desde la TO, considerando
que el pensamiento geométrico es “labor humana cristalizada, esto es, formas de acción,
pensamiento y reflexión que han quedado codificadas en la cultura” (Vergel, 2015, p.59).
Esta forma de pensamiento ha sido desarrollada y refinada en el curso de la historia cultural
y tiene relación con el pensamiento algebraico en varios momentos históricos.
Existen diversas dimensiones del pensamiento geométrico que se apoyan en dos
procesos cognitivos: la visualización y los procesos de razonamiento discursivo (Molina,
Rosas y Castañeda, 2011)
Algunos estudios asienten que “El aprendizaje de la geometría juega un papel
fundamental en la resolución de problemas, puesto que, si se considera como un modelo de
representación y descripción de la realidad, se constituye en un importante elemento
unificador” (Fortuny y Giménez, 1998 citado por Díaz y Espinosa, 2013). Este pensamiento
ayuda al estudiante a desarrollar diversos procesos de razonamiento que en la mayoría de los
casos tienen adecuados soportes gráficos y manipulativos.
Al igual que el pensamiento algebraico, el geométrico tiene unos niveles de
comprensión donde los estudiantes van refinando los medios semióticos de objetivación
como el lenguaje geométrico. Molina, Rosas y Castañeda (2011) refieren que se inicia la
transformación del discurso desde una argumentación informal, apoyada fuertemente en la
visualización de una figura, de carácter descriptivo, donde establece configuraciones por
asociaciones evidentes y espontáneas; seguido por una a una organización discursiva formal
que encadena proposiciones usando reglas lógicas, la cual requiere del uso de proposiciones
de tipo teórico (axiomas, definiciones, teoremas).
Los educadores y matemáticos holandeses Pierre M. Van Hiele y Dina Van Hiele-
Geldof, desarrollaron una teoría de aprendizaje en la década de los setenta que describe las
formas de razonamiento de los estudiantes en geometría, mediante el cual, explican cómo se
produce la evolución del razonamiento geométrico de los estudiantes, además, el modelo
brinda herramientas para realizar actividades didácticas.
24
Para identificar los diferentes procesos de razonamiento geométrico Jaime y Gutiérrez
(1998) realizaron un análisis documental de categorías y habilidades desde autores,
adquiriendo una posición intermedia, identificando diferentes procesos de razonamiento
como característicos.
Características de varios (pero no todos) niveles1 de van Hiele:
1. Reconocimiento de tipos y familias de figuras geométricas, identificación de componentes
y propiedades de las figuras.
2. Definición de un concepto geométrico. Este proceso puede verse en dos formas: a medida
que los estudiantes formulan definiciones del concepto, están aprendiendo, y mediante la
interacción en el aula con el profesor, sus compañeros o artefactos.
3. Clasificación de figuras o conceptos geométricos en diferentes familias o clases.
4. Prueba o demostración de propiedades o declaraciones, es decir, para explicar de alguna
manera convincente. Por qué tal propiedad o declaración es cierta.
1 No se referencia el último, pues los autores refieren que este nivel trabaja procesos de demostración para
matemáticos o estudiantes de la ciencia.
25
Capítulo 3
Aspectos metodológicos
El presente capítulo expone los referentes metodológicos considerados en el diseño,
planeación y puesta en marcha del estudio, el cual se desarrolla desde un enfoque de
investigación cualitativa de carácter descriptivo e interpretativo. Toma como referencia el
ciclo metodológico propuesto por TO, realizando algunas modificaciones a las últimas fases
en concordancia con la investigación, además se realiza una caracterización de la población,
la selección de tareas, los instrumentos de recolección de información son transcripciones de
videos que reflejen la actividad kinestésica y gestual y la información contenida en las hojas
de trabajo. En la fase de pilotaje se presenta un análisis conciso de la tarea y algunas de las
decisiones que se tomaron en relación con el diseño de las tareas a implementar en la
investigación.
3.1. Diseño del estudio
Este trabajo de investigación acoge el enfoque de investigación cualitativa para su
análisis. Como plantea Miles y Huberman (Citados por Álvarez y Jugerson, 2003), en este
enfoque el investigador intenta capturar los datos sobre las percepciones de los sujetos,
llevando a cabo un proceso de profunda atención, de comprensión y de interpretación de los
productos de los sujetos. En este sentido el método se acopla a las intenciones de esta
investigación ya que permite describir e interpretar lo que los estudiantes realizan durante el
desarrollo de una tarea específica, además, permite analizar y comprender el rol que juegan
los medios semióticos y como están inmersos en los procesos de objetivación y
subjetivación.
En términos más específicos, tomamos como base la estructura metodológica
propuesta desde la TO (Radford, 2010), la cual está constituida por cuatro fases; la primera
corresponde al diseño de tareas, la segunda a la implementación de dichas tareas, la tercera,
análisis e interpretación de los datos y finalmente la cuarta, generación de la teoría esta última
fase se remite a la primera realizando un proceso cíclico. Es pertinente aclarar que la
metodología de esta investigación tuvo en cuenta solo las tres primeras fases y una cuarta
que difiere, ya que no hace parte de la generación de teoría sino una comparación teórica,
26
Ilustración 3. Estructura Metodológica Moreno (2015).
descripción de resultados y conclusiones, etapas que coinciden con la estructura
metodológica planteada por Moreno (2015) como se aprecia en la siguiente ilustración.
Para la ejecución del desarrollo metodológico de las tareas se tiene en cuenta la
siguiente caracterización de las fases metodológicas.
Fase 1: Las tareas propuestas fueron planteadas en el marco de la TO, desde diversas
situaciones donde emergen espacios de reflexión crítica e interacción, además deben ser
interesantes y atractivas para las estudiantes, haciendo significativos los conceptos
matemáticos relacionados con resolución de triángulos y razones trigonométricas.
Fase 2: Considerando los resultados emitidos por el pilotaje, se definen y reconfiguran las
demás tareas, las cuales son aplicadas en sesiones de clases de matemáticas de grado noveno
en el Instituto Clara Fey.
Fase 3: Los datos obtenidos se analizaron desde la perspectiva multisemiótica, respecto a la
observación de aspectos relacionados a la emergencia de medios semióticos, procesos de
objetivación y procesos de subjetivación en la actividad matemática.
27
Fase 4: Evidencia las conclusiones en concordancia con la pregunta orientadora y los
objetivos de la investigación; considerando las tareas, la labor conjunta que se dio en el aula
y el análisis de los datos.
3.2. Caracterización de los participantes en el estudio
El trabajo de campo se realizó con estudiantes de grado noveno del Instituto Clara
Fey, colegio de carácter privado, femenino, ubicado en la localidad de Bosa de Bogotá D.C.
Es importante resaltar que la institución está implementando un nuevo modelo pedagógico
entorno al trabajo cooperativo, desarrollando en todos los cursos y las áreas, rutinas y
destrezas de pensamiento, igualmente propone realizar las tareas desde diferentes formas de
organización del aula.
Cada curso de grado noveno (9A-9B) se compone de aproximadamente 35
estudiantes entre los 14 y 16 años de edad. Para la aplicación de las tareas se tuvo en cuenta
el proceso de innovación metodológica en el que se encuentra la institución actualmente. Las
tareas se han aplicado desde la estrategia 1-2-4, entendida como; un abordaje inicial de
manera individual, luego por parejas y finalmente por grupos de cuatro estudiantes, esto
permitió evidenciar los espacios de interacción y las acciones de las estudiantes cuando
abordan las tareas en la labor conjunta.
La selección del grado noveno se dio considerando los acercamientos que han tenido
las estudiantes respecto al trabajo de resolución de triángulos, además, según los planes de
estudio en el último periodo hay un desarrollo inicial de las razones trigonométricas, donde
emergen formas de pensamiento algebraico y geométrico.
3.3 Acciones preliminares y pilotaje de las tareas
3.3.1. Categorías Iniciales
Para poder dar evidencias de las formas de acción y expresión, se determinaron los
insumos iniciales para la identificación de los procesos de objetivación y subjetivación, por
esta razón se generan categorías iniciales provenientes de la TO, considerando como unidad
de análisis la actividad, en tanto labor conjunta tal y como se ha teorizado en la TO (Radford,
28
2014, 2016, 2018)2; algunas de ellas conocidas como contracción semiótica, iconicidad
(Radford, 2008a) y acciones de alteridad con otros sujetos. Estas categorías iniciales se
evidenciarán en la movilización de los medios semióticos de objetivación, sin desconocer
que en el análisis de los datos podrían surgir categorías emergentes de los procesos de
objetivación y subjetivación que pueden ser nombrados de otra manera dependiendo de las
producciones de los estudiantes.
CATEGORIAS TEÓRICAS PRELIMINARES
Procesos de Objetivación
(PO)
Contracción
semiótica Iconicidad
Procesos de Subjetivación
(PS)
Responsabilidad
Compromiso El cuidado del otro
Medios Semióticos de objetivación
(MSO)
Gesto
Actividad
perceptual
Formas lingüísticas
(escrito – oral)
Señalamientos
Inscripciones
Ritmicidad
Uso de artefactos
Nodo semiótico
Tabla 2. Categorías de análisis.
3.3.2. Fase de Pilotaje
Fue de vital importancia centrar la prueba piloto bajo dos intereses, uno la
observación de los modos de actuar de los estudiantes para poder establecer relaciones con
las categorías iniciales y dos evidenciar la complejidad y pertinencia de las preguntas
planteadas, puesto que lo importante es objetar al estudiante evidenciar un interés por
encontrar la solución a la pregunta no obstaculizar con preguntas complejas y que fácilmente
abandonen lo que deben realizar. Sin lugar a dudas el proceso de obtención de la información
debía darse de manera natural, sin generar comportamientos provocados por el uso de un
artefacto de grabación (video y audio) o por acciones del profesor, debía ser un ambiente
habitual del espacio de clase.
2 Según estos autores, la idea de trabajo conjunto significa alteridad, por cuanto es el encuentro con formas
culturales de ser. La labor conjunta no significa necesariamente consenso; es un espacio subversivo que provoca
tensiones y contradicciones.
29
La prueba piloto se aplicó a un grupo de estudiantes de grado noveno 9B, del colegio
Clara Fey en el mes de octubre de 2018, se llevó a cabo con 35 estudiantes, las cuales
estuvieron a disposición de presentar la prueba diseñada, por medio de una tarea que
involucraba el uso de razones en triángulos, considerando que este objeto matemático es
previo a las razones trigonométricas y estas se trabajarían en tareas posteriores. Partiendo
que la intención era evidenciar las formas de expresión e interacción en las estudiantes, se
propuso trabajar en pequeños grupos (3 a 4 estudiantes) para promover la discusión de las
diferentes preguntas de la tarea propuesta y así las integrantes tuvieran el espacio para dar a
conocer los procesos a través de los cuales ellas plantearon la posible solución a las
preguntas, además el espacio permitió evidenciar el apoyo mutuo para alcanzar una solución
desde sus diferentes posturas.
El pilotaje pretendía observar la emergencia de algunos medios semióticos de
objetivación por parte de las estudiantes, además aspectos que permitieran refinar y verificar
la pertinencia de las preguntas planteadas. Para esto se obtuvieron dos tipos de evidencias de
la prueba piloto, por un lado los videos y audios que fueron grabados con ayuda de celulares
en modo grabación de video y grabación de audio y el material gráfico textual tanto de las
hojas de trabajo como del material impreso que se les entrego a cada una de las estudiantes.
Para el pilotaje se implementó la primera tarea La sombra según el día la cual estaba
planteada con la intención de que las estudiantes establecieran relaciones entre las medidas
de algunos elementos presentados en las imágenes (árbol, persona, y sombras), algunas de
las preguntas permitían la interacción y la discusión de los procedimientos realizados para la
solución de cada situación y especialmente la pregunta número 5 estaba planteada para
evidenciar los medios que usaban las estudiantes para expresar las ideas a otra de sus
compañeras.
30
TAREA 1
LA SOMBRA SEGÚN EL DÍA
Juan debe recoger cierta información para cumplir con el laboratorio de la asignatura de
física, la tarea que se le asigna es medir su sombra y la sombra que refleja un árbol en
diferentes horas del día para determinar las relaciones entre ellas, no obstante Juan en ciertas
horas del día solo tomo la medida de la sombra del árbol o la medida de su sombra como se
muestra en las siguientes imágenes.
1. Con la información que tienes en las imágenes puedes completar los datos restantes.
2. ¿En qué hora del día la razón entre la estatura de Juan y su sombra y la altura del árbol y
su sombra es menor a 1?
3. ¿En qué hora del día la razón entre la estatura de Juan y su sombra y la altura del árbol y
su sombra es mayor a 1?
4. Si a las 4:00 pm la medida de la sombra del árbol es de 4.5 metros ¿Cuál será la medida
de la sombra de Juan?
5. ¿Qué puedes decir respecto a las horas del día en las que se tomaron las medidas y la
medida de las sombras?
6. ¿Cómo explicarías a un compañero que no desarrollo el problema de manera detallada la
relación de las diferentes horas del día con la medida de las sombras?
31
3.3.3. Resultados prueba piloto
Al iniciar el abordaje de la tarea las estudiantes realizan una lectura de la situación
presentada en un enunciado inicial y revisan las imágenes de apoyo para la interpretación del
problema, entiende que lo inicial es completar los datos numéricos faltantes en los espacios
de las imágenes. En el intento de encontrar las medidas solicitadas se puede observar el
acompañamiento de gestos con las formas de expresión oral en la idea de entender el
problema, entre algunos de ellos se pudieron encontrar los señalamientos con los dedos con
el lápiz, las figuras y trayectorias con las manos o con algunos artefactos (regla, lápiz,
transportador) siempre acompañados de expresiones orales o escritas, es importante resaltar
el valor que tuvieron las imágenes para la emergencia de estos recursos, para dar sentido en
las maneras de organizar la información. Una evidencia del uso de los gestos se muestra en
la siguiente ilustración.
En la ilustración 4 se puede evidenciar el uso del cuerpo para explicar lo que se ha
comprendido de la lectura de la tarea. La estudiante hace referencia que para poder encontrar
los valores solicitados deben establecer relaciones entre los lados aparentes de la figura
Ilustración 4. Uso de sus manos para hacer referencia a la relación entre los lados de las
figuras plasmadas en la tarea.
32
“triángulo” formada en las imágenes de la tarea. En las imágenes de la parte superior de la
ilustración 4, la estudiante afirma que se debe encontrar la razón entre las medidas de las
sombra del árbol y la sombra de Juan, y las imágenes de la parte inferior de la ilustración 4
se evidencia que la razón se debe encontrar entre de la altura del árbol y la estatura de Juan,
esta se evidencia nace a partir del diálogo entre el grupo de trabajo y de la solicitud de la
profesora al pedir que comenten que habían entendido de la tarea y que debían realizar,
además las estudiantes hacen referencia que deben usar algunos conceptos y procedimientos
realizados en clase con referencia a la solución de triángulos, teniendo en cuenta que por la
apreciación de las imágenes las estudiantes asumen que son triángulos rectángulos y lo
muestran por medio del uso de gestos en el aire como se muestra en la ilustración 5.
Los medios semióticos representados por movimientos en el aire con sus manos están
acompañados por expresiones lingüísticas utilizados por la estudiante quien refiere que en la
tarea percibe dos triángulos rectángulos con diferentes elementos, uno la sombra generada y
dos la proyección de los rayos que ellas llamaron “hipotenusa”, asegurando que es posible
que esos elementos puedan brindarles insumos para también determinar las medidas de los
valores faltantes.
Como se pudo observar en la tarea piloto, se encontraron algunos elementos
semióticos al momento en que las estudiantes junto con la profesora abordaron e interpretaron
la tarea, por lo que se puede afirmar que la tarea ha permitido movilizar medios semióticos
de objetivación (señalamientos con el lápiz, representación en el aire, señalamientos y
Ilustración 5. Representación con sus manos del triángulo formado por la
proyección de los rayos de sol, la altura del árbol y su sombra.
33
deslizamientos de los dedos en la hoja de trabajo, entre otros). Además, permitió percibir
formas de interacción y colaboración de las estudiantes al momento de encontrar los
argumentos para defender las posibles respuestas a las preguntas, por lo que se concluye que
se ha acertado con las preguntas, las imágenes y la intención del instrumento inicial para
poder documentar lo que sucede dentro de la actividad. Sin embargo, se debe pensar en forma
en cómo se debe objetar a las estudiantes en las tareas 2 y 3 con preguntas que las lleven a la
discusión y por supuesto tener más sensibilidad a la hora de observar los grupos de trabajo.
3.4. Diseño y justificación de las tareas
3.4.1. Consideraciones para el diseño de tareas
La configuración de tareas desde los principios teóricos de la TO (uno de tipo
epistemológico, en tanto que desarrolla una idea de conocimiento como actualización del
saber; un principio de tipo ontológico que asume una concepción de saber como
potencialidad cultural; un principio educativo que postula una idea de aprendizaje como
procesos de objetivación, y uno de tipo ético en tanto que pone a la base un concepto de
individuo histórico-cultural (Radford, 2017, 2018)) no es una acción fácil, considerando que
dentro de lo documentado en la teoría no existe un manual que permita a los investigadores
seguir una línea para diseñar tareas, pero sí pretensiones e insumos teóricos que permiten
sustentar la estructura de las mismas.
En el caso de este trabajo de investigación, el diseño concreto de las tarea 1, 2 y 3
pretende que los estudiantes en ese espacio de abordaje encuentren no solo el saber potencial
que se pone en juego en ese escenario sociocultural, sino también las formas de acción e
interacción culturales que emergen en la puesta de ideas, posturas críticas, aceptación de la
opinión del otro, el apoyo y la participación activa en los debates, entre otras.
Algunos aspectos que se tuvieron en cuenta con la intención de evidenciar los medios
semióticos dentro de la actividad a partir del diseño de tareas se presentan a continuación.
Tareas atractivas e interesantes
Poner en juego tareas que involucren términos o conceptos con los que las estudiantes
tengan alguna relación, permite que ellas puedan asociarse a las acciones que deben
desarrollar para resolver la situación. Es pertinente involucrar temas de interés que estén
relacionados con el contexto en el que se desenvuelven, puesto que una tarea
34
descontextualizada tiende a no despertar en las estudiantes un interés por sumergirse en la
situación.
Tareas que objeten a las estudiantes pero abordables
Inicialmente las tareas deben presentar un nivel de complejidad acorde a sus procesos
cognitivos, debe usar conceptos de fácil comprensión pero también que al ser abordada
complejice a las estudiantes y las lleve a reflexionar y discutir con las demás (compañeras-
profesora) frente a lo que se presenta en la situación; en este punto a la hora de la aplicación
la docente y el investigador3 tienen un papel importante, el ser sensibles al momento de
evidenciar esas formas de acción y expresión de las estudiantes generando nuevas preguntas
que le permitan escudriñar sobre las formas de pensamiento que emergen al momento de
resolver la tarea.
Tareas con nivel de dificultad creciente pero relacionadas
El diseño de las tareas debe reflejar un incremento en la dificultad una tras otra pero
no deben ser tareas independientes. Como afirma Radford (2017), éstas pueden aparecer
como una secuencia de problemas relacionados con una dificultad creciente, por esta razón
es importante tener una conexión entre las tareas por medio del contexto de la tarea, ya sea
la situación en general, los personajes o por el objeto matemático, esto con la intención de
que las estudiantes necesiten de lo que van desarrollando en tareas anteriores para poder
abordar la siguiente tarea.
A partir de estas características de las tareas se diseñaron tres bajo la perspectiva de
la TO que presentan una situación que pretendemos posibilite el encuentro (Radford, 2018a)
con el objeto razones trigonométricas. Hacemos una muestra de las tareas que se diseñaron
para la aplicación y recolección de datos teniendo en cuenta que se realizó un pilotaje de la
Tarea 1 a un grupo de estudiantes de grado noveno para la aplicación y validación y a partir
de allí se generan las tareas4 2 y 3.
3 Es importante aclarar que en las tareas 1 y 2 quien preside como docente es Paola, luego Yeison interviene
en las tareas 2 y 3; en toda la investigación ambos somos investigadores de nuestra propia práctica. 4 La tarea piloto fue desarrollada en un grado noveno (9B), mientras que las tareas 2 y 3 fueron realizadas en
el curso 9A en ambos cursos se reportaron las evidencias de algunos grupos que fueron elegidos con
anterioridad puesto que demostraron mayor expresión de gestos y más compromiso con la actividad, además
permite precisar la movilización y evolución de los medios semióticos.
35
3.4.2. Justificación de las tareas
La primera tarea tiene como intención evidenciar los medios semióticos que las
estudiantes utilizan al momento de interpretar la tarea y al momento de determinar las razones
entre algunas medidas desconocidas, por medio de la comprensión de las imágenes al
momento de determinar los valores solicitados. Como se puede evidenciar, en el primer ítem
se solicita a las estudiantes determinar los valores que faltan en la imagen, con la intención
de que se dé el espacio de discusión entre el grupo para buscar estrategias de solución a la
solicitud. En las preguntas 2, 3 y 4 la intención es que las estudiantes hagan uso de sus
estrategias para determinar las razones entre lados de triángulo comprendidos en rectas
secantes y realicen las comparaciones entre los tres momentos evidenciados. Finalmente, las
preguntas 5 y 6 permiten generar una espacio de discusión dentro del grupo para la
construcción oral y/o escrita de lo que pudieron deducir de las tres preguntas anteriores, de
tal manera que sea comprensible a la hora de comunicar los procedimientos y lo interpretado
de los momentos de la tarea.
La tarea dos y tres tienen inicialmente un mapa y una contextualización de la
situación, con la intención de que las estudiantes representen la información de manera
detallada del enunciado en el mapa que se encuentra en la tarea, esto permite evidenciar los
diálogos dentro de los grupos frente a la ubicación de los datos que deben ser plasmados en
el mapa. Las preguntas de estas tareas tienen dos intencionalidades, por un lado, promover
la consolidación de acuerdos dentro del grupo frente a los procedimientos que se usarán para
encontrar los datos solicitados, y por otro lado, invitar a las estudiantes a expresar de manera
oral o escrita los modos de proceder, para dejar claro a una persona externa a su grupo lo que
decidieron realizar, es importante manifestar que la tarea número tres necesita de los datos
encontrados en la tarea número dos para poder abordar las preguntas, la diferencia entre
ambas tareas es el nivel de complejidad para su apreciación se muestran a continuación.
36
TAREA 2
AL SALIR DEL COLEGIO
Sara y Juliana son dos estudiantes del colegio Clara Fey ubicado en el punto A identificado
en el mapa. Al finalizar las clases en el colegio, las dos niñas toman caminos diferentes para
realizar algunas actividades.
Sara sabe que está a una distancia de 120 metros de su casa, pero al salir del colegio se dirige
caminando 150 metros al restaurante para almorzar con su mamá y luego se va caminando
hasta su casa. Mientras que Juliana al salir del colegio se fue caminando 80 metros hasta
biblioteca a entregar un libro que había sacado prestado y luego se dirige caminando en la
misma dirección 40 metros hasta el banco para pagar una factura que le había encargado su
padre, para regresar a su casa se devuelve a la biblioteca y desde allí recorre hasta su casa 60
metros.
1. ¿Qué elementos y procedimientos necesitas para determinar la distancia que ha recorrido
Sara desde el restaurante a su casa?
2. Si Juliana debe dirigirse con su mamá al supermercado luego de llegar a su casa ¿Es
posible determinar la distancia recorrida por Juliana y su mamá? ¿Cómo le explicarías a
tus compañeras?
3. Si Sara y Juliana salen a la misma hora de su casa hacia el colegio, caminando a la misma
velocidad ¿Cuál de ellas llegará primero al colegio Juliana o Sara? ¿Por qué?
4. Juliana afirma que la distancia que recorre del supermercado al banco es mayor que la
distancia que recorre Sara desde su casa al restaurante, pero Sara afirma lo contrario
¿Quién tiene la razón? ¿Cómo explicarías tu respuesta a una compañera del curso que no
asistió a la clase?
37
TAREA 3
RELACIÓN ENTRE DISTANCIAS
Camila es una compañera de Sara y Juliana, ella es una de las que vive más lejos del colegio.
El camino del colegio a su casa tiene una particularidad y es que forma un ángulo de 60° con
el camino del colegio a la casa de Sara.
1. Camila asegura que el recorrido del colegio a su casa es el doble que el recorrido del
colegio a la casa de Sara; mientras que Sara dice que el recorrido de Camila es mucho
mayor, afirmando que es el triple de lo que ella (Sara) camina a su casa. ¿Quién tiene la
razón? Explica o comenta con tus propias palabras quién está en lo cierto.
2. Los días jueves Sara y Camila siempre se van juntas, primero se dirigen a la casa de Sara
y luego Camila continúa su recorrido hasta su casa ¿Es posible determinar la distancia
que ha recorrido Camila desde el colegio a su casa? ¿Por qué?
3. Al acompañar Camila a Sara, ¿el recorrido de Camila es mayor, es menor o es el mismo
recorrido que realiza del colegio hacia su casa? Explica tu respuesta.
4. Podrías encontrar semejanzas entre las distancias de los lugares, explica por qué crees
que son semejantes esas distancias.
38
3.5. Naturaleza del trabajo y proceso de recolección de la información
Los medios de recolección de información son predeterminados desde el diseño de
las tareas, a partir de diferentes fuentes que den cuenta de la producción de las estudiantes
en la actividad matemática. De acuerdo con lo sugerido por Miranda, Radford y Guzmán
(2007) el acopio se realizó en cuatro fases como se describe a continuación.
Fase 1: Grabación en video de las actividades de clase. La grabación se realizó con
una cámara que capturó en las diferentes sesiones tanto la clase en general como las
discusiones que se daban entre los grupos y al interior de los mismos.
Fase 2: Obtención de las hojas de trabajo de cada estudiante. Éstas se recogían al final
de cada clase para digitalizarlas como evidencia de registros escritos.
Fase 3. Transcripción de los videos correspondientes a las sesiones de trabajo. Los
videos fueron observados con el fin de seleccionar episodios de interés para el estudio.
Fase 4: Análisis de los videos y de las hojas de trabajo. En los cuales se presentará
movilización de MSO, así como la emergencia de PO y PS en relación con las formas
de acción y reflexión asociadas al pensamiento algebraico y geométrico.
Con relación a lo anterior, el análisis que se pretendía estudiar está enfocado a las
formas de interacción en el aula, al igual que los procesos que desarrollaban los
estudiantes y la evolución de los MSO; más allá de validar si las respuestas eran
correctas o incorrectas.
3.6. Obtención y constitución del dato
La obtención y constitución de los datos para análisis de esta investigación parte del
enfoque metodológico planteado por Álvarez, J y Jurgenson, G. (2003), el conjunto de datos
está compuesto por videos con sus respectivas transcripciones de las seis sesiones realizadas
y el material gráfico textual, entre este encontramos, las hojas de trabajo de cada estudiante,
los apuntes en hojas extras. El proceso para focalizar el análisis de datos es capitalizado por
el criterio fundamental propuesto por Vergel (2015) el foco teórico, este criterio obliga a
considerar tanto la pregunta y el objetivo de investigación, como los principios teóricos de la
TO quienes le dan la esencia a los pronunciamientos frente a lo encontrado en los datos.
39
A partir de estos elementos, se toman las grabaciones de video5 y se realiza una
visualización, con el fin de depurar los datos que no son relevantes para el análisis, intentando
identificar los momentos que evidencien la emergencia de los medios semióticos de
objetivación y subjetivación, se realiza una triangulación con los aportes teóricos de la TO y
para finalizar con el análisis se implementó tabla de recolección de información (revisar la
tabla 3), que brinda señales tanto de la emergencia de medios semióticos en el abordaje de
las tareas planteadas, como las formas de acción, reflexión e interacción de las estudiantes
dentro de la actividad.
5 Las grabaciones de video fueron realizadas por el docente investigador Yeison, lo que permitió más precisión
en la recolección de información puesto que se comprende lo que se debe detallar desde la TO
Organización y sistematización de la información
Ses
ión
Tare
a
N°
del
Vid
eo
Fra
gm
ento
Evidencia inicial
Posibles Medios
Semióticos.
Interpretación de la evidencia
01
01
2795
00:0
9-0
0:2
6
Señalamientos
con el lápiz.
Lenguaje
hablado.
La profesora entra a la discusión en un grupo de
estudiantes ya que uno de los valores encontrados ellas
les da como resultado 30 metros, a lo que Sofía expresa
que no puede ser ese valor, y se cuestionan el porqué.
Vanessa señala con su lápiz en la representación gráfica
una recta de 80 metros que visualmente es menor que el
valor de la recta que están determinando. Vanessa
mientras habla, abre sus brazos para manifestar que
debe ser más grande una de las rectas en comparación
de la otra.
01
01
27
95
00
:26-1
: 37
Señalamientos
con el dedo.
Lenguaje
hablado.
La docente pregunta a las estudiantes qué creen que es
lo que están haciendo mal, Sofía responde que tal vez
están acomodando mal la razón y Vanessa lo confirma
moviendo su cabeza y diciendo si, respaldando la
afirmación de Sofía.
La docente pide que expliquen cómo determinaron la
razón, Sofía señalando con sus dedos y su lápiz los
segmentos de su hoja acompaña con palabras para
explicar el procedimiento encontrando el error que
cometieron al establecer la razón.
01
01
27
95
01
: 3
4-0
1:5
5 Chasquidos
con los dedos.
Lenguaje
hablado.
Señalamientos
con el dedo.
La discusión se generó por Sofía y Vanessa, a pesar de
esto en este fragmento se evidencia acciones en medio
de la discusión. Andrea con sus dedos realiza
chasquidos y luego señala con sus dedos la hoja de
trabajo en dos oportunidades intentando mostrar a su
compañera Sara que ha encontrado algo que puede
40
Tabla 3. Organización de la información.
Al realizar la triangulación con los elementos de la teoría, permite dar insumos para
responder la pregunta de investigación, estos datos están constituidos inicialmente por las
transcripciones de los videos, relacionados con las imágenes provenientes de las capturas de
los videos en las que se evidencia la emergencia del medio semiótico y las imágenes que se
toman de las hojas de trabajo de los estudiantes y finalmente el análisis bajo los principios
teóricos de la teoría.
La triangulación de estos tres elementos permite la constitución del dato, teniendo en
cuenta lo planteado por Pantano (2014) el análisis debe tener presente la relación de los
diferentes sistemas semióticos que emergen dentro de la actividad ya que estos sistemas están
entrelazados, uno no corre sin el otro, por tal razón el lenguaje hablado, lenguaje escrito y lo
gestuado por las estudiantes será analizado de manera conjunta ya que los elementos permiten
solidificar la raíz de los procesos de objetivación y subjetivación que movilizan los
estudiantes.
servir para solucionar la situación, mirando empieza
hablar en voz baja.
41
Capítulo 4
Análisis multimodal
Con el propósito de reducir la información recolectada por medio de las capturas de
video, se describe lo evidenciado en los videos para identificar elementos sensibles al análisis
desde la teoría y que develen formas de acción y reflexión asociadas a las razones
trigonométricas. Como se había mencionado en el capítulo anterior la revisión de los videos
tiene la intención de plasmar hallazgos iniciales de los medios semióticos para
posteriormente dedicarnos a seleccionar algunos episodios con su correspondiente
transcripción que den cuenta de la ocurrencia y evolución de los medios semióticos dentro
de la actividad y a partir de estos elementos encontrados nos permitiremos realizar un análisis
general de la emergencia de los medios semióticos al momento en que las estudiantes se
enfrentan a tareas relacionadas con razones trigonométricas.
Para esto se realiza una revisión de los videos y se eligen aquellos que son sensibles
al análisis y que evidencien una posible producción de medios semióticos y procesos de
objetivación y subjetivación, luego se realiza una transcripción de los episodios para describir
de manera detallada y posteriormente se realiza un análisis de las líneas evidenciando
elementos que surgen en la actividad matemática y como estos se relacionan con elementos
de la TO.
El análisis detalla a partir de las tres tareas desarrolladas por las estudiantes en las
diferentes sesiones, esto con la intención de revisar en el transcurso del análisis, posibles
episodios que develen la evolución de los medios semióticos o los procesos de objetivación
y subjetivación que surjan en la actividad conjunta.
Con los posibles medios semióticos que emergieron en la actividad, seleccionamos y
transcribimos algunas secciones del material obtenido por medio de video que a
consideración de este trabajo de investigación y de los aportes teóricos de la TO, son
episodios que resaltaron aportes importantes de acuerdo a nuestros objetivos de
investigación, lo que se encontrará a continuación son fragmentos de video compuestos por
su respectiva transcripción en líneas discursivas simbolizadas por la letra L, un número que
las acompaña para indicar el orden de intervención de los actores de la actividad matemática
y el nombre del personaje para identificar su proceso y evolución, además se tendrá como
42
medio de apoyo ilustraciones de fragmentos del video y del material gráfico textual para
mayor apreciación de los hallazgos .
En la transcripción de los videos se tendrá en cuenta algunos estilos de escritura para
dar claridad a la interpretación de los datos plasmados, en letra tipo cursiva y entre corchetes
([…]), se precisará si lo expresado por la estudiante fue acompañado de alguna acción, gesto
o algún símbolo escrito, también pueden apreciarse las acciones que paralelamente ocurren
por otras estudiantes del grupo en el intento de abordar la tarea. Los puntos suspensivos
(…) se usarán para indicar breves pausas hechas por parte de las estudiantes o los profesores
durante sus participaciones. Como se indicó anteriormente cada intervención de las
estudiantes y profesores se simboliza con la letra L numerada y acompañada del nombre del
participante, el número de la línea vuelve a iniciar cuando realizamos un cambio de episodio.
Para mayor claridad a continuación se precisa con un ejemplo de una de las evidencias.
El siguiente análisis intenta evidenciar el transcurso de evolución y refinamiento de
los medios semióticos, por esto es relevante realizar la descripción de los videos de manera
cronológica, iniciando con las capturas de video de la tarea 1 hasta llegar a episodios de la
tarea 3 y así poder brindar elementos esenciales que reflejen los procesos de objetivación y
subjetivación en los instrumentos de recolección de datos.
L1. Profesora Paola: Listo, entonces acá (…) x y x, estas asumiendo que estos lados valen lo
mismo, [señala con sus dedos los lados que aparentemente para las estudiantes son iguales
en la hoja de trabajo de Katherine] ¿Por qué?
L2. Katherine: Ummm (…) pues (…) [la estudiante observa a sus compañeras esperando
apoyo para contestar la pregunta de la docente]
L3. Andrea: Pensamos que medía lo mismo.
L4. Profesora Paola: Bueno, y ¿por qué? Piensan que miden lo mismo.
L5. Katherine: Pues es que [deslizando sus dedos sobre los lados del triángulo intenta explicar]
[Camila toma la palabra]
L6. Camila: Por ser opuestos al vértice.
L7. Profesora Paola: [Afirmando lo dicho por Camila] Sí, son opuestos por el vértice, pero
entonces, o sea que 60 mide lo mismo que este lado [señala con su dedo índice los lados
correspondientes en la hoja].
43
4.1. Tarea 1 Sombra según el día
Esta tarea, como se explicó en la justificación, intenta por un lado, familiarizar o
acercar a las estudiantes al trabajo con razones, por otro lado, permite el trabajo en grupo
para promover la interacción, comunicación y el trabajo conjunto en la solución de la tarea y
finalmente permite evidenciar los medios semióticos que emergen en el abordaje de la tarea,
en los ítems iniciales 1 al 4 queríamos indagar sobre las formas de relación que establecen
frente a distancias representadas en la imagen de sus hojas de trabajo, como proceso inicial
para acercarse al objeto razones trigonométricas. Los ítems 5 y 6 permiten identificar las
formas de interacción al momento de explicar los procedimientos que han realizado para
responder a las preguntas de la tarea.
A continuación, se presenta un episodio obtenido de un fragmento de video en el cual
las estudiantes abordan la tarea 1 en la primera sesión:
L1. Profesora Paola: Listo, que han hecho.
L2. Laura Camila: Bueno, pues determinamos la razón de la estatura de Juan y su sombra
[señalando la ilustración en la hoja de trabajo con su lápiz], y bueno sí, es menor que 1,
pero no sé, yo tenía una idea [mirando a la profesora] que era como su merced nos dijo
[señalando con el índice a la profesora] en el triángulo, ¿se acuerda profe? [la docente
afirma moviendo su cabeza de arriba hacia abajo] lados con lados, relacionando esos
valores [ubicando su palma de la mano izquierda horizontalmente y moviendo en el aire
de arriba hacia abajo], pero no sé si este bien.
L3. Profesora Paola: Bueno, ¿esto qué es?
L4. Laura Camila: Digamos como esta acá [señala su hoja con el lápiz] pasamos del chiquito
al grande [moviendo en el aire su mano derecha de arriba hacia abajo] entonces yo
coloqué así el valor del chiquito y después el grande, lo mismo aquí [señalando el respaldo
de la hoja en los procedimientos realizados, exactamente en la razón establecida].
L5. Profesora Paola: Pero estos valores, ¿qué son en el problema? [señala las razones
establecidas por las estudiantes en la hoja de trabajo con el índice].
L6. Laura Camila: Esto es la altura del árbol [señalando con su lápiz].
L7. Leidy Omaira: Esta es la altura del árbol y esta la sombra [señalando con su lápiz].
L8. Laura Camila: (…) Ah no, no, perdóname, esta es la sombra del niño y esta la sombra del
árbol y esta la altura del niño y la altura del árbol.
L9. Profesora Paola: Y bueno [dando vuelta a la hoja de trabajo] y ¿qué les están
preguntado?, la razón entre la estatura de Juan y su sombra, ¡y su sombra!, [nuevamente da
vuelta a la hoja y señala las razones establecidas] entonces ¿están bien relacionadas como
están acá?
L10. Laura Camila: No.
L11. Profesora Paola: No, entonces ¿qué números deberían estar relacionados?
L12. Laura Camila: Aquí deberían estar, uno coma dos (1,2) con dos coma uno (2,1), [señala
los números y mira a la profesora] y ¿eso se divide o qué se hace ahí? Se despeja para
hallar la razón [Leidy Omaira, mueve su cabeza de arriba hacia abajo, afirmado que sí
debería dividirse].
44
L13. Profesora Paola: Ustedes ¿qué creen?
L14. Leidy Omaira: Sí, se dividen [mirando con confianza a su compañera].
L15. Profesora Paola: Les están preguntando, ustedes ¿qué creen? que el número que debería
ir aquí, ¿cuál sería? [deslizando en forma de circulo el denominador de la razón].
L16. Laura Camila: Acá, pues debe ser el 2,1
L17. Profesora Paola: 2,1, entonces, ¿la razón debe ser mayor que uno o menor que uno?
[moviendo su índice en el aire de izquierda a derecha] en eso que está ahí.
L18. Laura Camila: (…) Mayor (…) [mirando la profesora y respondiendo segura].
L19. Leidy Omaira: …Menor que uno (…) [diciendo en tono bajo, insegura y abriendo la
palma de su mano derecha, como si se cuestionara de lo dicho].
L20. Profesora Paola: ¿Por qué menor? [preguntando a Leidy Omaira] (…) [quedan en
silencio] o ¿por qué mayor? [señalando a Laura Camila].
L21. Laura Camila: Porque 2,1 es mayor que 1,2 [mirando fijamente a la profesora].
L22. Profesora Paola: ¡Pilas! Es 1,2 sobre 2,1 [señalando numerador y denominador de la
razón].
L23. Laura Camila: Da como cero coma cuatro.
L24. Profesora Paola: ¿Y eso es menor que uno o mayor que uno?
L25. Leidy Omaira: Menor que uno [moviendo su cabeza de arriba hacia abajo].
L26. Laura Camila: Ah ya.
L27. Profesora Paola: Entonces, eso es lo que tiene que ir mirando [dando vuelta a la hoja] en
todas las horas del día [señalando con su índice las ilustraciones de la hoja de trabajo].
L28. Laura Camila: Ah ya profe, listo.
L29. Profesora Paola: Y definir en qué horas del día la razón es menor que uno y en qué horas
del día la razón es mayor que uno.
L30. Laura Camila: Listo profe gracias.
Como se puede evidenciar, las estudiantes intentan comprender la tarea y comunicar
por medio de algunos elementos lingüísticos y gestuales el abordaje y el desarrollo en vía de
dar solución a los cuestionamientos planteados en los ítems de la tarea, además, la acción de
la profesora en indagar por lo que han realizado las estudiantes en L1 consiste básicamente
en lograr identificar características de la situación que conlleven a una discusión dentro del
grupo de trabajo. La profesora se hace partícipe de la labor conjunta Radford (2014) e intenta,
desde las acciones llevadas a cabo en la labor conjunta, comprometerse éticamente a través
del lenguaje, el cuerpo, los signos y los artefactos. Un compromiso a partir del cual se realiza
la objetivación y la subjetivación (Radford y Roth, 2011).
En la línea L2 Laura Camila comunica de manera tímida apoyándose en los
procedimientos plasmados en su hoja de trabajo, aquellas ideas que tuvieron en cuenta para
dar respuesta al ítem 2, sin embargo presenta algunas dudas frente al procedimiento que ha
realizado. Por ejemplo, sus expresiones “pero no sé”, “¿se acuerda profe?” o “pero no sé,
si esté bien” constituyen un intento por buscar el apoyo en su profesora, de encontrar aquel
45
elemento que falta para validar lo que ella ha realizado en la palabra del otro (Radford, 2017).
En este episodio la estudiante reconoce al otro (profesora) como un ser que puede contribuir
a su lenguaje para comunicar de una manera más refinada lo que ha desarrollado.
Se puede identificar en algunas acciones de las estudiantes que recurren a
procedimientos anteriores (plasmados en la hoja de trabajo) para usarlos en la solución de
este nuevo cuestionamiento y asegurarse que con esos elementos tienen argumentos más
sólidos para defender sus ideas. Para Radford (2008) esta acción que refiere la estudiante se
puede catalogar como un proceso a través del cual los estudiantes recurren a experiencias
anteriores para orientar sus acciones en una nueva tarea que a su juicio tiene características
similares al momento de expresar “lados con lados, relacionando esos valores”. Según este
autor, las estudiantes del grupo se encuentran desarrollando un proceso de iconicidad (tomar
conciencia del uso de las razones entre triángulos semejantes para lograr solucionar la
exigencia de la tarea).
En consecuencia, lo que propone la estudiante en esta misma línea L2 se apoya de la
siguiente ilustración 6 acompañada de la expresión “lados con lados, relacionando esos
valores” [ubicando su palma de la mano izquierda horizontalmente y moviendo en el aire
de arriba hacia abajo]
En este sentido, Laura Camila está instanciando una forma de reflexión, acción y
expresión codificada culturalmente asociada a la relación de lados de triángulos semejantes
(razones trigonométricas), puesto que su palma dependiendo de la posición en que haya sido
Ilustración 6. Movimiento de las manos haciendo referencia a relación entre lados de los
triángulos.
46
levantada representa el lado de un triángulo especifico, es decir, el lado del triángulo mayor
es representado por la palma ubicada en la parte superior (ilustración 6 izquierda) y la palma
de su mano ubicada en la parte inferior representa el lado del triángulo menor (ilustración 6
derecha), acción que se refleja nuevamente en L4 [moviendo en el aire su mano derecha de
arriba hacia abajo] en su intento de dar explicación a la profesora de lo que ha intentado
realizar (Radford, 2008).
En L5, L11 y L15 se evidencian los esfuerzos de la profesora por promover la labor
conjunta en la cual emerge una variedad de gestos y la coordinación de éstos con las
expresiones lingüísticas movilizadas, con el propósito de llevar a las estudiantes a tomar
conciencia de la forma como están representando las razones entre los triángulos semejantes
con sus manos y cómo lo plasman en las hojas de trabajo. La coordinación de medios
semióticos de objetivación en los procesos de significación sugiere la presencia de un nodo
semiótico (Vergel, 2015). Así pues, la profesora pretende que las estudiantes centren la
atención en los procesos realizados, puesto que la forma en como han relacionado los lados
es una instanciación del saber asociada a las razones entre triángulos semejantes.
En la ilustración anterior, se puede evidenciar la intención de la profesora por brindar
insumos que permitan a las estudiantes entender la forma en cómo deben relacionar los lados
de los triángulos. Además, se observan dos imágenes, en la que la palma de la mano izquierda
permanece en una posición horizontal haciendo referencia al lado del triángulo que
representa la sombra del árbol y la sombra de Juan, asimismo se puede ver como por medio
del movimiento de la mano derecha, de arriba hacia abajo, hace referencia a la altura de Juan
Ilustración 7. Relación entre lados de los triángulos representados por la
profesora.
47
(ilustración 7 imagen izquierda) y al subir su mano derecha haciendo movimientos de arriba
hacia abajo, representa la altura del árbol (ilustración 7 imagen derecha). Estos gestos y
expresiones lingüísticas son realizados por la profesora con el propósito de comunicar una
intención que posteriormente se convertirá en acción reproducible, dado que para la
estudiante al replicar este medio semiótico refleja una forma de acción, reflexión y expresión
utilizada por María Camila para abordar el ítem 1 de la Tarea 1.
La profesora en L9 invita a las estudiantes a revisar los procedimientos realizados a
partir de las indicaciones del ítem 2 de la tarea 1; ella busca que las estudiantes tomen
conciencia de la forma en cómo se han establecido las relaciones y si existe una
correspondencia con las razones de semejanza en los triángulos. Como se puede observar, en
la intervención realizada por María Camila emerge la movilización del medio semiótico del
lenguaje hablado, a través del cual hace explícito los argumentos que ha elaborado en relación
con las razones entre los lados de los triángulos. Vale la pena destacar aquí que este proceso
está influenciado por la tarea y la actividad conjunta que promueve la profesora con las
estudiantes. (Radford 2014)
En L17 y L29 la profesora introduce el término razón dentro de la discusión como
medio para centrar a las estudiantes en el objeto matemático que intencionalmente están
usando, con el fin de ayudar a comprender y suscitar acciones que fueron realizadas en
anteriores tareas, en pocas palabras es un intento de inducir elementos para hablar de
iconicidad que para Radford (2008) en algunos casos, estas acciones puede permanecer en el
fondo del discurso, como aparentemente es el caso en la explicación de las estudiantes al
referirse a las relaciones establecidas como acciones de una experiencia anterior. Por otro
lado la acción de la docente posibilita evidenciar el compromiso con la labor conjunta al
intentar empujar hacia adelante las ideas de los otros, por medio de las preguntas y dando
algunos elementos para direccionar el camino de solución.
4.2. Tarea 2. Al salir del colegio
Para la tarea 2 se busca que los estudiantes determinen algunos lados representados
por caminos entre ciertos lugares dispuestos en la hoja de trabajo, la tarea se centra en que
los estudiantes en su interacción y abordaje movilicen algunos medios semióticos al usar
48
razones para determinar la distancia de dichos caminos, como podemos evidenciar en el
siguiente episodio.
L1. Profesor Yeison: Listo, y ¿por qué tienen que hacerlo así? (...) ¿Por qué utilizan esas
fracciones?
L2. Katherine: Porque cuando se divide el numerador con el denominador se saca una razón y
luego se igualan [señalando con su lápiz los procedimientos realizados en su hoja de
trabajo].
L3. Laura Camila: Porque deben ser las mismas razones, así se hallan las incógnitas [moviendo
sus manos y mirando fijamente a sus compañeras, segura de su afirmación y moviendo su mano
izquierda] es lo que nosotras siempre hemos hecho.
L4. Profesor Yeison: Si son las mismas razones ¿se igualan?
L5. Andrea: Pues(…) o sea, (…) digamos, (…) [señala la hoja de su compañera y finalmente
se anima acercarla a su espacio de trabajo] [Carolina dice en tono bajo, “es que, es como la
equivalencia ¿no?”,] el valor que da acá, digamos, [señala el numerador de la razón
establecida en la hoja] si dividimos este, con este(…) y este, con este [señalando con su lápiz
el procedimiento en la hoja de trabajo] y si nos da la misma razón, (…) es porque si es, así
como los que hemos hecho en el cuaderno, [busca algunos ejercicios donde se evidencia el
uso de razones entre triángulos ].
L6. Profesor Yeison: Y (…) ¿por qué lo hacen así? Ustedes tienen una incógnita aquí, que es y
[señalando la hoja de trabajo en los procedimientos plasmados] y es lo que tienen que
determinar, ¿cierto? Y ahora, ¿por qué dicen que 100 sobre 150 es lo mismo que 90 sobre
este? [señalando el lado que quieren determinar].
L7. Katherine: Porque es una razón, entonces, es que… pues yo creo que es como una
equivalencia, como dijo carolina ¿no? [Toma su hoja de trabajo y señala el procedimiento]
como aquí sigue esta línea 100 y 150 [deslizando su lápiz por la línea diagonal como se
observa en la ilustración 8] entonces, 100 es a 150 [dando golpes suaves sobre los lados del
triángulo haciendo referencia a la relación] y vamos a averiguar esta [señalando el lado que
deben determinar], como 90 es a este.
En este fragmento se puede evidenciar el intento del docente por buscar en las
estudiantes argumentos que defiendan los procedimientos realizados en la tarea, se intentaba
lograr que las estudiantes produjeran una explicación que sustentará el por qué establecían
razones entre triángulos, era más una invitación a que mostrarán a partir de su lenguaje
hablado y escrito el uso de algunos elementos geométricos para insistir en el término razón.
Al momento de indagar por la forma como establecían las razones, las estudiantes
hablan de elementos que intencionalmente utilizan para encontrar los datos solicitados pero
a la hora de ofrecer una explicación del por qué hacen uso de estos elementos, no existe un
acuerdo dentro del grupo, sin embargo, en busca de la explicación hay una evidencia de
colaboración de las estudiantes a lo que llamamos en la teoría compromiso con la labor
conjunta en el momento de apoyarse mutuamente para responder a la solicitud de la tarea o
en este caso de las preguntas del docente. Se puede ver como se involucran las estudiantes
49
en el problema y reconocen la ética comunitaria en el respeto por el otro, el valor del otro y
el apoyo hacia el otro, esto da indicios de producción de subjetividades dentro de la labor
conjunta, pues así como lo afirman Presmeg, Radford, Roth y Kadunz (2018) la producción
de subjetividades es siempre un acto ético, en el cual las acciones y reflexiones de los
individuos son formas potenciales de vivir en el mundo.
En L3 se evidencia que una de las estudiantes al responder las inquietudes del docente,
sustenta que los procedimientos realizados en el abordaje de la tarea son una réplica de algo
que han venido trabajando en tareas anteriores y que siempre lo han realizado así, Laura
Camila está recurriendo a acciones pasadas que fueron utilizadas en tareas anteriores para
abordar las solicitudes de la actual tarea, al momento de expresar “es lo que nosotras siempre
hemos hecho” es aquí donde emerge en la labor conjunta el proceso de objetivación
iconicidad (Radford, 2008a), sustentados posteriormente por los argumentos de sus
compañeras que a su vez validan el uso recursivo de esos elementos. Por ejemplo en L5,
luego de la explicación de Andrea, se hace referencia a que ellas han desarrollado algunos
ejercicios similares en su cuaderno con tareas anteriores y por tal razón existe una confianza
en los apuntes y en las explicaciones de su profesora, de allí es evidente el respeto, no solo
en la intención de basarse en los insumos que están registrados sino el interés por sacar la
tarea adelante por parte de la estudiante y cómo la actitud es capaz de romper con la barrera
frente a la tarea.
En la línea L5 existe la intervención pasiva de una estudiante cuando intenta influir
en los argumentos por las cuales se relacionaban los lados de dicha manera, [Carolina dice
en tono bajo, “es que, es como la equivalencia ¿no?”], al parecer la estudiante se reportaba
como una estudiante silenciosa y su participación era mínima en la discusión, se puede
considerar que en el momento fue ignorada su apreciación en el intento de vincularse de
manera tímida, de cierta manera pudo ofrecer una idea a sus compañeras para referirse a las
razones al expresar que una razón era “una equivalencia entre los lados”, más adelante en
(L7) se puede identificar el reconocimiento del otro por parte de Katherine “pues yo creo que
es como una equivalencia como dijo Carolina ¿no?” nuevamente existen indicios dentro de
la labor conjunta del reconocimiento del otro, Katherine se apoyó en las ideas de Carolina
para manifestarse acerca del objeto matemático razones, a pesar de que existían algunas
50
dudas cuando finalizan con la pregunta “¿no?” con el propósito de buscar la validación por
parte del profesor.
En la línea L7 también podemos identificar la estrategia utilizada por Katherine y la
manera en como esta influye para determinar las razones que existen entre los triángulos
plasmados en la hoja de trabajo “como aquí sigue esta línea 100 y 150” [deslizando su lápiz
por la línea diagonal como se observa en la ilustración 8 ] a lo que se refiere Katherine es
que siempre que existan triángulos construidos por la intersección entre dos líneas, dicha
intersección será el vértice de los triángulos y en la proyección de las líneas estarán los lados
que se debe comparar para establecer la razón.
Lo que representa desde la teoría es que la estrategia de Katherine es una forma que
han sido codificada en el grupo de trabajo y se ha convertido en un esquema fijo de acción
que es reproducible por el grupo de estudiantes en labor conjunta, puesto que las estudiantes
del grupo han establecido esta regularidad para plantear las razones entre los triángulos, para
ellas, siempre se debe realizar de esta manera (L3), estas actuaciones son consideradas formas
de acción, reflexión y expresión (Radford, 2013b) que han sido establecidas por las
estudiantes para abordar y dar respuesta a una solicitud de la tarea.
En el siguiente fragmento se da continuidad con la discusión anterior, en este, se
puede evidenciar nuevos conceptos que surgen en la interacción de las estudiantes en la
búsqueda de argumentos para resolver las inquietudes del profesor, así como Teorema de
Thales, perpendicular, secante y ángulo recto.
Ilustración 8. Estrategia para comparar lados de los triángulos por Katherine.
51
L1. Laura Camila: Lo hacemos así porque estamos utilizando el Teorema de Thales, y por el
Teorema de Thales, dice que hay que establecer razones para que nos den las equivalencias.
L2. Carolina: Entre los semejantes [lo dice en un tono muy bajo].
L3. Profesor Yeison: Y ustedes ¿cómo saben que estos son semejantes?, ¿eso fue lo que dijiste,
semejantes? O bueno equivalentes.
L4. Laura Camila: Porque el teorema dice que se deben establecer razones y luego se dividen
para saber si nos da lo mismo (…) y si el resultado es igual pues ese es el valor de lo que
estamos hallando.[moviendo sus manos en el aire representando los triángulos y las posibles
razones entre los lados].
L5. Katherine: ¡Sí!, Porque son líneas perpendiculares, o sea que parten desde un mismo punto
y por eso es que se establecen así, o pues yo lo creo así.[señalando con sus dedos las líneas
diagonales en su hoja de trabajo]
L6. Profesor Yeison: Pero, (…) un momento ¿qué es perpendicularidad? (…) cualquiera me
puede responder.
L7. Andrea: Que no se cruzan, a no, que se cruzan.
L8. Katherine: Que parten desde un mismo punto.
L9. Laura Camila: Que se cruzan. [haciendo la representación con sus manos su palma derecha
abierta de forma vertical sobre su palma izquierda, ver ilustración 9], deberían ser así
[cruzando sus palmas lo dice en voz baja]
L10. Katherine: Ah (…) no, no, no, esas dos líneas no son perpendiculares, son secantes.
L11. Profesor Yeison: A bueno y entonces ¿qué es perpendicularidad? [señalando con sus
dedos el cruce de las dos diagonales]
L12. Laura Camila: Claro, las perpendiculares se cruzan, pero deben tener un ángulo de 90 [en
coro todas dicen “ah (…) sí un ángulo recto de 90”].
L13. Profesor Yeison: Bien y entonces ¿cuáles serían ahí perpendiculares? Si existen.
L14. Andrea: Eh (…) Creo que estas (…) a no, no hay. [señala los segmentos más pequeños de
los triángulos]. L15. Katherine: No, porque ninguno está haciendo un ángulo de 90°.
En la línea L8 y L12 Laura Camila recurre a lo que ella entiende como una estrategia
de solución y que justifica los procedimientos realizados, cuando expresa que “Lo hacemos
así porque estamos utilizando el Teorema de Thales, y por el Teorema de Thales, dice que
hay que establecer razones para que nos den las equivalencias”. Es evidente que existen
algunos elementos previos que les permite dar cuenta de los procesos utilizados, en este caso
recurren nuevamente a acciones que han trabajado anteriormente para dar sustento a los
procedimientos plasmados en sus hojas de trabajo. Lo interesante se muestra en el tránsito de
las líneas del episodio en el momento en que las estudiantes brindan insumos en la parte
lingüística para encontrar el sustento de las razones de los triángulos, por ejemplo, hacen
referencia a semejanza, equivalencia y perpendicularidad, con la intención de solidificar
dentro del grupo el por qué lo realizan de esa manera.
A partir de la línea L6 la pregunta realizada por el profesor ¿qué es
perpendicularidad? Invita a las estudiantes a discutir y consolidar dentro del grupo ese
52
concepto que usaron para argumentar sus procedimientos y que evidentemente conllevo al
encuentro del objeto matemático perpendicular. Inicialmente lo comprenden como dos líneas
que se cruzan (L9) llegando posteriormente a una interpretación de dos líneas que se cruzan,
pero deben tener un ángulo de 90° (L12), lo interesante es que ambos argumentos por medio
del lenguaje hablado se acompañaban de los medios semióticos de señalamiento y de
representaciones con sus manos en el aire.
Desde la TO para Radford (2013b) estas formas de acción pueden interpretarse como
formas que han sido constituidas histórica y culturalmente ya que están emergiendo en la
actividad matemática de las estudiantes y el reflejo de estas acciones o la consolidación de
una definición o comprensión de un objeto se da gracias a la configuración de la cultura al
usar el lenguaje hablado para definir el objeto, las estudiantes aparecen como fuente
consubstancial de las formas de acción y conciencia que emergen dentro de la actividad
matemática.
Ilustración 9. Representación de perpendicularidad con las palmas de María Camila.
En la ilustración 9 se puede evidenciar como María Camila con sus palmas intenta
representar lo que es perpendicularidad pasando por un proceso de comprensión y recogiendo
lo que dicen sus compañeras. En la primera imagen de izquierda a derecha señala la línea
diagonal (flecha verde) diciendo “Que se cruzan” luego en la imagen del centro se observa
como desliza su palma (línea azul) haciendo referencia el cruce entre dos líneas y finaliza
ubicando su palma derecha verticalmente sobre su palma izquierda para representar lo que
han podido encontrar del concepto perpendicularidad. En esta acción, la estudiante quiere
refutar de manera tímida que no es solamente el cruce entre dos líneas lo que define
perpendicularidad, dicha evidencia se fortalece en la línea L9 [haciendo la representación
con sus manos. Su palma derecha abierta de forma vertical sobre su palma izquierda, ver
ilustración 9], deberían ser así [cruzando sus palmas lo dice en voz baja].
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La discusión anterior, muestra las diferentes maneras de comprensión del problema,
con el fin de seleccionar el camino apropiado para resolverlo; en un primer momento las
estudiantes refieren que se puede solucionar con razones trigonométricas afirmando que uno
de los ángulos es de 45°.
L1. Profesora Paola: Este ángulo no puede medir 45°, ¿por qué este ángulo no podría medir
45°? [señala con su dedo índice el ángulo de la casa de Sara en la hoja].
L2. Emely: Es que, yo creo que no podría medir 45°, porque para medir 45° sus lados [señalando
con el esfero dos lados del triángulo correspondiente] deberían estar iguales, para así generar
los 180°(…), y este lado es más largo [señalando el lado comprendido entre el colegio y el
restaurante].
L3. Profesora Paola: O sea que este lado es menor a 120 [señalando el lado comprendido entre
la casa de Sara y el restaurante].
L4. Emely: Sí [asiente con la cabeza].
L5. Profesora Paola: Por lo tanto, ¿cuánto valdrían los ángulos ahí?
L6. Luisa: [responde a la profesora Paola] No sabemos [mira a sus compañeras].
L7. Emely: No porque (…) hay varias razones, podría valer 50 y eso, pero no sabemos
exactamente cuánto miden los ángulos.
L8. Profesora Paola: Entonces, tomar el camino de razones trigonométricas para este caso no
nos sirve, ¿qué nos podría servir?, estabas mirando en el cuaderno sobre teorema de Pitágoras
[mirando a Luisa quien revisa sus apuntes] ¿nos podría servir?
L9. Emely: [responde a la profesora Paola] No, nos sirve, porque necesitamos dos lados y solo
sabemos uno.
L10. Luisa: [vuelve a revisar sus apuntes, señalando que sirven las razones, dirigiéndose a su
compañera Emely] ¡esto nos sirve!
L11. Profesora Paola: Pero, no tenemos ángulos [responde a Luisa].
L12. Emely: ¡Ay Dios mío! [golpea la mesa].
L13. Profesora Paola: bueno, entonces van a pensar sobre eso.
Emely reacciona mencionando que no es así, como se puede ver en L2: “porque para
medir 45° sus lados [señalando con el esfero dos lados del triángulo correspondiente]
deberían estar iguales”, determinando características de un triángulo isósceles para
argumentar su respuesta, utilizando como medio semiótico el señalamiento con el esfero en
la hoja, tal como se puede evidenciar en la ilustración 10, valiéndose del proceso cognitivo
de visualización del triángulo correspondiente. La expresión semiótica producida por Emely
forma parte de la instanciación del saber (Radford, 2017b), comprendido como forma de
pensamiento geométrico.
54
Además, en el momento en que se pone en cuestión si el teorema de Pitágoras permite
dar solución al punto, Emely da como respuesta: No, nos sirve, porque necesitamos dos lados
y solo sabemos uno (ver L9), acudiendo a objetos de conocimientos ya actualizados, en este
sentido, Emely está usando una forma codificada de solucionar situaciones (Radford, 2014),
argumentando que los elementos que le proporcionan no son suficientes, estas acciones son
evidencias de procesos de iconicidad. Radford (2008) refiere que es el proceso a través del
cual las estudiantes se basan en experiencias previas para orientar sus acciones en una nueva
situación.
Por otra parte, se puede evidenciar como Luisa se encuentra interesada por encontrar
un camino para resolver el problema, y revisa en sus apuntes qué les puede servir. Ambas
estudiantes están profundamente implicadas en las tareas, tratando de comprender,
trabajando conjuntamente con la profesora para entender el posible camino que pueden tomar
para resolver la situación, con esto, se puede interpretar que nos encontramos ante un proceso
de subjetivación, Radford (2017c) refiere que es el proceso a través del cual nos afirmamos
como proyectos únicos de vida, como subjetividades en curso, en esta oportunidad se están
afirmando como sujetos de la educación.
Esta tarea propició que las estudiantes asumieran diferentes posiciones en cada uno
de los grupos, donde se desarrollaron discusiones interesantes en la negociación de saberes,
uno de los casos que queremos presentar fue lo sucedido en el grupo conformado por María
Ilustración 10. Señalamiento del triángulo formado.
55
Fernanda, Laura y Vanessa, el cual va a estar divido en dos apartados. A continuación, se
expone la transcripción de un fragmento de video.
L14. Profesora Paola: Explícanos el segundo punto [dirigiéndose a la estudiante María
Fernanda].
L15. María Fernanda: Para poder hallar el recorrido desde la casa de Juliana hacia el
supermercado, lo primero que hicimos fue hallar y, que es desde el colegio a la casa de Juliana
¿sí? [señalando con el esfero en la mano derecha y el dedo índice de su mano izquierda cada
uno de los lugares en el mapa de la tarea], entonces yo lo que hice fue que 150 es a y, como
120 es a 120, entonces el resultado me daba 150 ¿sí?
L16. Profesora Paola: Espérate, ¿por qué 120 m? [dirigiéndose a la estudiante María
Fernanda].
L17. María Fernanda: Porque yo sumé 80 más 40 [señalando los lados correspondientes con
la mano izquierda Y mantiene su mano derecha es el lado desconocido y].
L18. Profesora Paola: Y (…) ¿cuál es el lado que quieres hallar?
L19. María Fernanda: Este [señalando con ambas manos el seguimiento correspondiente el
colegio y la casa de Juliana].
L20. Profesora Paola: ¿Este pedazo de acá? [señala el mismo segmento que la estudiante María
Fernanda].
L21. María Fernanda: Sí, primero y (…).
L22. Laura: mmm no [niega con la cabeza lo dicho por su compañera].
L23. Profesora Paola: Espera, [refiriéndose a María Fernanda para que deje hablar a su
compañera] ¿Qué quieres decir con eso? [le preguntan a Laura].
L24. Laura: es que nosotras estábamos (…) acá dice que si era posible determinar la distancia
recorrida por Juliana y su mamá [señala el punto dos y rápidamente vuelve al mapa]. O sea,
hallamos y para luego sacar z, lo que yo había hecho primero era 100 es a 80, o sea obviamente
primera hallamos y, cogiendo ¿cómo fue que hallamos? [pidiendo ayuda a sus compañeras en
este procedimiento procedimiento].
L25. María Fernanda: [interviene para colaborarle a su compañera] 150 es a y, como 120 es
a 80.
L26. Laura: Eso [afirmando que lo que su compañera acaba decir era lo que necesitaba], y
eso nos daba 100, entonces para determinar esto habíamos dicho que 100 es a 80 como z es a
40 y eso nos daba 50. Otra forma es 150 es a z como 120 es a 40.
L27. Profesora Paola: Tú dices que 100 es a 80 como z es a 40, ¿sí? [la docente direcciona la
hoja hacía ella y señala los puntos que necesita].
L28. Laura: Sí, o sea si por ejemplo no hubiéramos encontrado la y, no hubiéramos tenido éste
término [señala con el dedo el segmento y], lo que hubiéramos hecho es 150 es a z como 120
es a 40 [realiza la operación en la calculadora para validar lo que dijo], bueno y eso nos da
50 (…), la otra opción es que y que es 100 m, 100 es a 80 como z es a 40 [señala con el dedo
la proporción correspondiente].
L29. Profesora Paola: Y, ¿les da lo mismo?
L30. Laura: Sí.
Las dos estudiantes se ven comprometidas e interesadas en mostrarle a la docente sus
producciones, durante el proceso, en varias oportunidades Laura necesita de los argumentos
de su compañera María Fernanda y viceversa (ver L22 y L25), estas acciones dan muestra de
56
que existe un cuidado del otro, el cual requiere de la acción solidaria intersubjetiva
correspondiente (Radford, 2017c), ambas estudiantes saben que deben colaborarse
mutuamente en la actividad matemática. Un hecho importante que evidencia formas codificas
de pensamiento como un proceso de encuentro con el saber cultural, es cuando Laura expone
dos formas de encontrar el valor z, correspondiente al segmento formado por la casa de
Juliana y el supermercado, en un primer momento como se puede observar en la ilustración
11 y en concordancia con la transcripción es: 100 es a 80 como z es a 40, (L24, y L28),
Laura realiza una razón, donde ya ha estimado primero el valor de y=100, equivalente al
segmento formado por el colegio y la casa de Juliana.
Luego, ella menciona que hay otra forma de realizar el procedimiento para encontrar
el valor de z sin necesidad del segmento y, en L26: 150 es a z como 120 es a 40; de la misma
forma que en la anterior razón ella representa la razón a partir de señalamientos con el esfero
a cada uno de los segmentos (ver ilustración 12) y valida la información, mediante el uso de
la calculadora, aludiendo que da el mismo resultado. La diversidad de caminos que este grupo
Ilustración 11. Secuencia de señalamientos y deícticos espaciales acompañada de
palabras de Laura en interacción con la profesora Paola.
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ofrece para encontrar un segmento, da cuenta de que las estudiantes identifican propiedades
de triángulos semejantes, así mismo, identifican relaciones entre segmentos de rectas
secantes.
Reconocemos que la actividad reflexiva de Laura esta mediada por la interacción de
diferentes medios semióticos, como es la actividad perceptual, el uso de deícticos espaciales,
en el sentido que establece las razones mediante señalamientos y el lenguaje hablado, lo cual
es denominado como nodo semiótico (Vergel, 2015).
Respecto al tratamiento que Laura realiza a las ecuaciones que propone para estimar
los lados desconocidos, ella decide asignar una letra a cada segmento, por ejemplo z, se
evidencia un carácter operatorio de lo indeterminado, donde la estudiante usa propiedades de
las rectas secantes para establecer relaciones entre los segmentos de las mismas, de aquí se
presentan evidencias de instanciaciones del pensamiento algebraico contextual.
El siguiente apartado de la discusión del grupo, se refleja como la docente en su
discurso busca que las estudiantes tomen conciencia respecto las diferentes proporciones que
Ilustración 12. Segunda secuencia de señalamientos y deícticos espaciales
acompañada de palabras de Laura en interacción con la profesora Paola.
58
las estudiantes expresaron llevaban a estimar diferentes segmentos, pues ellas en algunos
momentos descartaban algunas sin considerar por qué lo hacían (ver L31).
L31. Profesora Paola: Bueno, es que son dos procesos diferentes, como ustedes saben en el
teorema de Tales hay una relación de todos los segmentos de las rectas secantes, pero entonces,
¿cuál es esa que les dije que no? [la docente quiere llevar la discusión hacía otro punto].
L32. María Fernanda: Ah, pues es que (…).
L33. Profesora Paola: ¿Qué fue eso que te dije que me explicaras?
L34. María Fernanda: Yo estaba cogiendo 150 es a y como 120 es a 80, la primera opción para
sacar este y, después yo cogí 120 es a 120 como 150 es a z.
L35. Laura: Pero entonces, ahí no estaba hallando z [interviene señalando en la hoja de María
Fernanda], ¿si me hago entender? Entonces ella estaba hallando como otra cosa [refiriéndose
a María Fernanda].
L36. Profesora Paola: ¿Qué estabas hallando? [pregunta a María Fernanda].
L37. María Fernanda: Estaba hallando y, ya para poder encontrar z.
L38. Profesora Paola: Pero, ¿qué era lo que ibas a encontrar sí hacías ese proceso? [la docente
quiere que las estudiantes reflexionen sobre ¿cuál es el segmento encontrado en ese proceso?]
[ambas estudiantes se tocan el mentón en señal de que no saben la respuesta].
L39. María Fernanda: [se ríe] O sea yo quería encontrar el recorrido del colegio a la casa de
Juliana [señala ambos puntos en el mapa].
L40. Profesora Paola: Escribe la razón tal cual como la mencionas [sigue insistiendo en que
desarrollen ese proceso].
L41. Vanessa: Del colegio al supermercado [en voz baja].
L42. Profesora Paola: Vanessa dijo algo cierto.
L43. Vanessa: Del colegio supermercado [señalando ambos puntos en el mapa].
L44. Profesora Paola: ¿Por qué crees que se están hallando del colegio supermercado y no del
colegio a la casa de Juliana?
L45. María Fernanda: ¡Mmm! (…) [en señal de reconocimiento de lo dicho por su compañera
Vanessa] porque sume 80 + 40 y eso sería el recorrido de colegio hasta el banco, no del colegio
a la biblioteca.
L46. Vanessa: [Asiente con la cabeza]. L47. Profesora Paola: Entonces para que nos quede bien ¿cómo debería ser? o mejor para poder
hallar el recorrido del colegio a la casa de Juliana ¿qué es lo que deberías hacer?
L48. María Fernanda: Sería 150 es y como 120 es a 80 [utilizar la calculadora para rectificar
que la proporción que menciona está bien] 100, este sería el resultado del colegio a la casa de
Juliana.
Anteriormente las estudiantes evadieron la pregunta que la profesora Paola hizo a
María Fernanda, como se evidencia en L18 ¿cuál es el lado que quieres hallar?, antes de que
Laura interviniera y mostrara otro proceso. Sin embargo, la docente retomó esa pregunta,
donde María Fernanda responde en L34 Yo estaba cogiendo 150 es a y como 120 es a 80, la
primera opción para sacar este y, después yo cogí 120 es a 120 como 150 es a z; explicando
lo que había hecho con el fin de encontrar y, luego Laura expone que eso que hizo su
compañera es para estimar otro segmento (ver L35), sin embargo, ambas estudiantes
59
manifestaban confusión respecto a cuál segmento se estimaría mediante ese proceso, en ese
preciso momento, la compañera Vanessa que ha estado reticente, decide participar y logra
responder a la cuestión planteada respondiendo “Del colegio al supermercado” (ver L34),
por lo tanto, se puede decir que ella aunque poco participa, está atenta, reconoce las relaciones
que establecen sus compañeras entre los diferentes segmentos, en términos de Radford
(2013a), ella asume responsabilidad hacia sus compañeras, siendo vigilante en la medida en
que puede leer signos de incomprensión matemática y ayuda. Esta situación permite que ella
se afirme como sujeto de educación, este proceso pone en devenir: como proyecto inacabado
a Vanessa (Radford, 2017c), en el momento en que interviene y colabora, sus compañeras
reconocen su labor.
En este apartado, no solo emergen procesos de objetivación, entendidos como
procesos co-transformadores y sensoriales a través de los cuales las estudiantes gradualmente
se familiarizan críticamente con significados culturales históricamente constituidos y formas
de pensamiento y acción (Radford, 2014), en este caso pensamiento algebraico y geométrico.
Además, emergen procesos de subjetivación, pues se evidencian características de ética
comunitaria, donde los miembros del aula se muestran solidarios y laboran hacia la
constitución de una conciencia crítica (Radford, 2013).
4.3. Tarea 3. Relación entre las distancias
Esta tarea vincula de manera secuencial los elementos de la tarea 1 y la tarea 2 con la
intención de evidenciar nuevas formas de acción y reflexión al abordar la resolución de
triángulos y el encuentro con nuevos objetos matemáticos que reluzcan en el intento de
solucionar las cuestiones planteadas en los ítems de la tarea 3. Con este propósito nos
permitimos mostrar dos episodios de la tarea 3 en donde a nuestro juicio permiten evidenciar
dichas formas de acción y reflexión de las estudiantes.
Esta tarea es un compendio de todo lo desarrollado en las anteriores y su objetivo es
permitir el encuentro con formas codificadas del pensamiento trigonométrico.
Para esta tarea vamos a denominar los triángulos de la siguiente manera:
Triangulo casa de Sara, colegio, casa de Camila – SCC.
60
Triángulo casa de Sara, colegio, restaurante – SCR.
Triángulo casa de Juliana, biblioteca, colegio – JBC.
Triángulo supermercado, banco, colegio – SBC.
L1. Profesora Paola: Oye, que interesante lo que estás haciendo, como si tuvieras un
transportador en las manos, dale otra vez ¿Qué fue lo que hiciste?
L2. Camila Andrea: ¡Ay!… no profe.
L3. Profesora Paola: Dale Camila.
L4. Camila Andrea: Pues mire profe, es que yo lo hice así [coloca sus palmas de manera
vertical sobre la hoja, la parte inferior de la palma derecha toca la parte inferior de la
palma izquierda, intentando representar un ángulo de 90°] pues si este es 90, entonces,
este es 80, 70, 60 y 50 [la estudiante descuenta de a diez grados señalando con su dedo
índice el lugar en que quedaría ubicado el lado según la inclinación del ángulo].
L5. Profesora Paola: Ahhh, le estas quitando como de a 10°, o sea que este ángulo ¿sería el de
60°? [señalando el ángulo del vértice de la casa de Camila del triángulo SCC].
L6. Camila Andrea: No, [tímidamente responde] (…) no sé.
L7. Profesor Yeison: Bueno y ustedes ¿cómo miden un ángulo de 60°?
L8. Estefanía: Pues es que, agudo es menor que 90, es decir, que debería ir más para acá
[mientras tanto María Fernanda acompaña a Estefanía moviendo sus palmas en el aire
representa los ángulos, haciendo aperturas de las palmas para indicar el ángulo agudo] y
obtusángulo es mayor de 90 [con sus palmas abre su mano izquierda con la intención de
representar un ángulo mayor que 90°].
L9. Camila Andrea: Ajam y ya, como hicimos aquí [nuevamente ubica sus palmas sobre su
hoja para representar el ángulo de 90°] e ir descontando los grados.
L10. Profesor Yeison: Bueno, entonces debería ser alguno de estos dos [señala los ángulos
agudos del triángulo].
L11. Camila Andrea: Ajam.
L12. Profesor Yeison: ¿Cuál es? Porque ustedes están diciendo, un ángulo agudo y no debe
sobre pasar una perpendicular o una recta como esta [señalando la representación en la
hoja de trabajo y la simbolización con las palmas que realiza Camila Andrea] o sea que
debería ser alguno de los dos y debe medir menos de 90°, es decir que debe ser más pequeño
que este [señala la hoja de trabajo de las estudiantes]
L13. Estefanía: Yo siento que es este [señala con sus dedos el “el colegio” sobre el triángulo
SCC] es que es más corta la distancia que este, [ubica sus palmas sobre el triángulo SCC
formado en la imagen de la hoja de trabajo revisar ilustración 8].
L14. Profesor Yeison: Más corta (…) ¿qué tiene que ver la distancia con el ángulo?
L15. Estefanía: Pues que va a ser mayor o menor, o sea sí, digamos, aquí esta línea recta como
decía Camila [representa con sus palmas sobre la hoja] es más chiquito, se aproxima más
al 90, que este.
L16. Profesor Yeison: Ok, bueno otra vez, ahí ¿cómo sería? [señala con sus dedos el vértice
de la hoja].
L17. Estefanía: Pues yo siento, que este es el de 60 porque es el que más se aproxima a un
ángulo recto que es el de 90, en cambio este está más inclinado que queda más a
obtusángulo. [abre sus manos de manera vertical en un intento de representar un ángulo
obtuso].
L18. Profesor Yeison: Ya, o sea la apertura de los lados es mucho más amplia en este que esta
acá, [se refiere al ángulo formado por la distancia del colegio-casa de Sara y la distancia
colegio a la casa de Camila] que en estos que están acá [se refiere al ángulo formado por
la distancia colegio a la casa de Camila y la distancia de la casa de Sara a la casa de
61
Camila](…) [señalando con su índice los ángulos agudos respectivos del triángulo SCC
que desean resolver las estudiantes].
L19. Estefanía: Que este que está aquí [desliza su lápiz sobre el lado más largo del triángulo
SCC] aquí es más amplio.
L20. Profesor Yeison: ¿La apertura es más amplia dónde? [pregunta intencionada que permite
evidenciar conocimientos previos de la estudiante].
L21. Estefanía: Aquí, [ubicada la hoja verticalmente y señalando con su lápiz la apertura del
triángulo SCC del vértice ubicado en el colegio] ah, no, es aquí [hace un giro a la hoja,
marca con su lápiz el ángulo que considera mayor y el lado mayor, interpretando que existe
una relación entre ambos. Luego, ubica sus palmas verticalmente en la hoja y
posteriormente realiza un trazo en la línea para completar el ángulo de 90° revisar
ilustración 13] (…) [hay un silencio constante].
L22. Profesor Yeison: Espera, porque hay una confusión ¿cuál es la apertura más grande de
esta a esta? [señala los dos ángulos del triángulo SCC en el que deben ubicar el ángulo de
60°].
L23. María Fernanda: [Tímidamente se involucra en la actividad señalando el ángulo de
90°considerando que ese es el que tiene mayor apertura].
L24. Camila Andrea: No, porque esta está de 90°.
L25. Profesor Yeison: Bien, ¿cómo ustedes identifican un ángulo recto?
L26. Estefanía: Por el signo y esta así, [Señala con su lápiz y deslizando un lado y luego el
otro].
L27. Camila Andrea: Cuando está así [con sus palmas en el aire de una de manera vertical y
la otra horizontal] (…) [sus compañeras la acompañan en coro diciendo “si así” y
acompañan entre risas la representación con sus palmas a Estefanía].
L28. Profesor Yeison: Bueno listo, y este parecería como si fuera un ángulo recto [señala el
ángulo de 90° del triángulo SCC] y un ángulo recto es de 90°, es decir que si yo empiezo
a bajar esta línea, el ángulo que va a formarse va a disminuir y la apertura será menor que
la del ángulo recto, o sea que los ángulos que yo forme aquí debería estar entre 0° y 90°.
L29. Estefanía: Si, para completar los 180° [en coro pero en un tono muy bajo las estudiantes
dicen “sí, todos los ángulos deben sumar 180”].
L30. Profesor Yeison: Pero ustedes están indecisas si el ángulo de 60 es este o es este. SCC
L31. Estefanía: Yo digo que el de aquí es 120 y el de aquí 60.
L32. Camila Andrea: ¿120? [con un tono de voz más alto y preguntando, no muy de acuerdo
con la afirmación de su compañera]. Tendría que ser 30.
L33. María Fernanda: Sí claro, debe ser 30.
L34. Estefanía: ¿30? Ah sí, 90, 30 y 60, sí claro [María Fernanda señala la hoja donde
debería estar ubicado el ángulo 60 diciendo “aquí debe estar”] para que la suma nos de
180.
L35. Camila Andrea: Porque dice, (…) es que miren tomen el 120, es que dice el enunciado,
“el camino del colegio a su casa, o sea del colegio a su casa tiene algo en particular que
forma un ángulo de 60°[lee el enunciado del problema intentando identificar la ubicación
del ángulo], es el camino de su casa al colegio [repite esta frase pensando que allí está la
clave] o sea del colegio a su casa [desliza suavemente su índice de la mano izquierda sobre
el lado más largo del triángulo mientras que su índice de la mano derecha está sobre el
vértice del triángulo en este caso el colegio] entonces es este SCC [señalando el vértice
con su índice donde debería estar ubicado el ángulo].
L36. Profesor Yeison: ¿Por qué dices que es ese?
L37. Camila Andrea: Porque aquí dice, [refiriéndose al enunciado inicial de la tarea 3] que el
camino del colegio a su casa en particular forma un ángulo de 60°, o sea del colegio a la
casa, o sea sería este ángulo SCC.
L38. Profesor Yeison: Sí, bien, el enunciado ya lo estaba dando.
62
Es importante resaltar en el anterior episodio la coordinación entre lo que quiere
comunicar Estefanía por medio del lenguaje hablado y lo que quiere comunicar a través del
gesto utilizado. Estos gestos realizados y las expresiones lingüísticas utilizados dan cuenta
de un nodo semiótico, para Radford (2008) de este modo los gestos y las expresiones
lingüísticas movilizadas por Estefanía son hechos para ella, para sus compañeras y para el
mismo profesor que están vinculados en la actividad semiótica y que permiten hacer presente
las formas de acción, reflexión y expresión utilizadas por ella y así poder dar respuesta a los
cuestionamientos del docente con relación a la ubicación de los ángulos del triángulo.
Estefanía en su intento de dar argumentos al docente y al observar que él no
comprendía las intervenciones de ella ni las apreciaciones de sus compañeras, acude a la
representación por medio de sus palmas y empieza a consignar algunos elementos adicionales
al triángulo en su hoja de trabajo, como se puede evidenciar en la ilustración 13, Estefanía
en su intento de comunicar la solución al ítem recurre a la movilización de varios medios
semióticos de objetivación. En un primer momento, ella recurre a la representación de un
ángulo recto (primera imagen de izquierda a derecha) con ayuda de su palma ubicada de
manera vertical, representa el ángulo recto para luego realizar un desplazamiento con su lápiz
sobre la hoja de trabajo de un lado a otro (segunda y tercera imagen de izquierda a derecha)
con la intención de realizar un trazo para formar el ángulo de 90° y de allí cómo parten para
la ubicación del ángulo de 60°. Además de poder hacer visible al profesor y a las demás
integrantes del grupo la forma en cómo se puede proceder para abordar la tarea.
Las palmas de las manos de las estudiantes se han convertido en un artefacto de
medida o de comparación de ángulos dentro la actividad matemática, para Radford (2012)
estos diversos tipos de movimiento corporal son recursos que movilizan las estudiantes que
se imbrican en la manera que pensamos y llegamos a conocer. Se puede evidenciar en la
Ilustración 13. Representación y deslizamientos con las palmas con referencia al ángulo recto.
63
ilustración 14 lo que sería para Radford (2013b) una instanciación de una forma de acción,
reflexión y expresión codificada culturalmente asociada a las medidas y comparación de
ángulos en triángulos.
Las palmas de Camila Andrea se convierten en un artefacto para realizar la medida
del ángulo de 90° (ilustración 14 imagen 1) ella coloca sus palmas de manera vertical sobre
la hoja, la parte inferior de la palma derecha toca la parte inferior de la palma izquierda,
intentando representar un ángulo de 90° para posteriormente empezar a descontar de a 10°
(ilustración 14 imagen 2) y así proponer una estrategia para ubicar el ángulo de 60°. Estas
acciones pueden ser resaltadas en la línea L4 “es que yo lo hice así pues si este es 90,
entonces, este es 80, 70, 60 y 50 [la estudiante descuenta de a diez grados señalando con su
dedo índice el lugar en que quedaría ubicado el lado según la inclinación del ángulo]”en la
cual se genera la evidencia del uso del medio semiótico lenguaje y el uso del cuerpo para
comunicar las acciones realizadas por la estudiante.
Por otro lado, Estefanía está recurriendo a acciones pasadas evidentes en L8, L13,
L17 y L19 estas acciones previamente abordadas en el aula de clase fueron utilizadas en la
nueva tarea, en los relatos de las estudiantes como “pues es que, agudo es menor que 90” “y
obtusángulo es mayor que 90”. En este sentido, está emergiendo en la labor conjunta el
proceso de objetivación iconicidad (Radford, 2008), puesto que la emergencia de estos
conceptos es una acción propia de la estudiante para hacer explícitos los procedimientos que
realizaron dentro del grupo de trabajo para identificar el ángulo de 60°. El uso de los
argumentos de Estefanía y María Fernanda están acompañados sincrónicamente por el uso
de gestos, más concretamente por el movimiento que está realizado en el aire, en la ilustración
Ilustración 14. Estrategia para representar el ángulo recto, para la
determinación de ángulos agudos.
64
15 se evidencia la representación a través de la cual hace visible y dota de significado la
apertura de los ángulos agudo y obtuso.
Además podemos remitirnos a las líneas L13 y L17 en las cuales Estefanía intenta
explicar al profesor el modo como pueden llegar a identificar la ubicación del ángulo de 60°,
ella usa sus manos para referirse en un momento inicial a un ángulo de 90° (ilustración 16
imagen 1) de allí parte para explicar que el ángulo de 60° debería estar ubicado en la
intersección de la palma izquierda con la línea color fucsia de la imagen 1, puesto que la línea
fucsia está más cerca de su palma derecha, lo que le permite afirmar que el ángulo formado
allí se acerca más a 90°. Este argumento se valida por el relato de Estefanía “Pues yo siento,
que este es el de 60 porque es el que más se aproxima a un ángulo recto”, mientras que el
otro ángulo luego de una rotación de la hoja de trabajo (ilustración 16 imagen 2) la línea
fucsia está más lejos del lado que representa el ángulo de 90° en este caso más lejos de la
mano izquierda.
El docente valida los argumentos de Estefanía, permitiendo más seguridad en el
discurso de ella con sus compañeras ofreciendo más elementos para solidificar las ideas que
Ilustración 16. Estefanía representa el ángulo recto y la apertura de los lados para
ubicar el ángulo de 60°.
Ilustración 15. María Fernanda representando con las manos ángulo agudo
imagen 1 y ángulo obtuso imagen 2.
65
han desarrollado durante el abordaje. El profesor involucra el concepto apertura de los lados
para dar una explicación a lo que ha podido decir Estefanía en su intervención anterior, el
profesor, expresa que “la apertura de los lados es mucho más amplia en este que esta acá,
que en estos que están acá” la emergencia de estos medios semióticos por parte de Estefanía
y del profesor permiten que las integrantes del grupo comprendan lo que deben tener en
cuenta para ubicar los ángulos en el triángulo SCC. Inicialmente las estudiantes presentaron
dudas en el enunciado y en el primer ítem de la tarea 3, sin embargo, a medida que Estefanía
expresaba las formas de abordaje y las explicaciones al docente se llegó a una comprensión
por parte de todas las estudiantes dentro de la actividad matemática. La acción de Estefanía
muestra un agrupamiento de medios semióticos (lenguaje hablado y movimientos corporales)
que para Radford (2008) es considerado un nodo semiótico ya que puede inferirse que en la
labor conjunta están emergiendo gestos realizados por la estudiante que se complementan
por expresiones lingüísticas generando una toma de conciencia de la manera en que la tarea
puede ser abordada.
Como respuesta a uno de los cuestionamientos del profesor en L25 “¿cómo ustedes
identifican un ángulo recto?” y de acuerdo a las discusiones anteriores se pudo observar el
uso de las manos para referirse a un ángulo recto (L9 y L12) este acto es catalogado como
una forma de acción y reflexión constituida dentro del grupo de las estudiantes, sin embargo
Estefanía al responder la pregunta del profesor usa el símbolo “┐” (ilustración 17 imagen 1),
luego desliza su lápiz por el lado vertical (ilustración 17 imagen 2) y después por el lado
horizontal con su lápiz (ilustración 17 imagen 3). Lo expuesto anteriormente, refleja la
Ilustración 17. Secuencia de gestos movilizada por Estefanía que permite evidenciar la contracción
semiótica.
66
codificación de elementos semióticos para hacer referencia al ángulo recto, la estudiante ha
hecho un esfuerzo por reducir los medios semióticos a un símbolo.
Además, se puede observar cómo Estefanía toma mayor conciencia de las
características que tienen los ángulos rectos y trae un símbolo usado anteriormente
escribiendo 90° en el triángulo SCC (ilustración 18), esta acción permite evidenciar la
reducción de los medios semióticos movilizados, puesto que la Estefanía transita desde el
uso de representaciones con su cuerpo hasta llegar a simplificación mediante el uso de un
símbolo. Para Radford (2008) la reducción de medios semióticos de objetivación que
emergen en la actividad matemática por las estudiantes conduce a una capa o estrato de
generalidad más profunda, lo que es denominado contracción semiótica, pues Estefanía hace
elección de lo que considera importante en las acciones para referirse nuevamente al ángulo
recto.
Luego de comprender y simplificar las acciones para referirse a ángulos de 90°, el
grupo de trabajo se remite nuevamente a ubicar el ángulo de 60° el docente con la intención
de ubicar nuevamente en la discusión en L28 realiza algunas precisiones de los dos ángulos
agudos “o sea que los ángulos que yo forme aquí deberían estar entre 0° y 90°” luego de
esta expresión, Estefanía recurre a conceptos usados anteriormente. Otra vez se evidencia la
iconicidad en L29 “Sí, para completar los 180°” pues la estudiante quiere referirse a la
propiedad en el campo geométrico con relación a los triángulos en sistemas de coordenadas
planas, en todo triángulo sus ángulos internos deben sumar 180°.En la intervención Estefanía
Ilustración 18. Uso del símbolo para referirse a
un ángulo recto.
67
asegura que uno de los ángulos debe ser de 120° y el otro 60°, rápidamente Camila Andrea
interviene (L32) afirmando que deberían ser de 30° y no 120° esta acción se puede relacionar
con la responsabilidad hacia el otro puesto que Camila Andrea está objetando por no estar
de acuerdo con lo propuesto por su compañera además de interesarse por comprender,
participar y tomar posición frente a las discusiones.
Luego en L35 y L37 Camila Andrea realiza la lectura del enunciado y emocionada
interviene en la discusión y hablando en un tono más fuerte siente que tiene la respuesta a las
preguntas del profesor, acompaña la lectura del enunciado haciendo algunas pausas para
señalar los lados del triángulo SCC y finalmente llega a la conclusión y con respaldo de sus
compañeras y el profesor afirma que el ángulo debe estar ubicado en el vértice “el colegio”
así como expresa en la línea L37 “Porque aquí dice, que el camino del colegio a su casa en
particular forma un ángulo de 60°, o sea del colegio a la casa, o sea sería este ángulo”. Se
puede decir que la estudiante en su intento de llegar a la respuesta de las preguntas realizadas
por el docente, decide retomar el enunciado en búsqueda de elementos adicionales que den
luz para resolver las solicitudes, en esta línea es evidente el gran interés y el compromiso por
la labor conjunta otorgando al grupo posibles formas de pensar.
Uno de los momentos que nos parece importante exponer, fue cuando dos grupos
confrontaron sus procesos y no tenían las mismas respuestas, esto generó un espacio de
debate y toma de posiciones.
Con el fin de establecer una organización para el análisis y considerando que este
episodio contiene información para abordar elementos de procesos de objetivación y
subjetivación en un primer momento vamos a exponer algunas evidencias de los procesos de
cada pareja antes del contraste de procesos y posteriormente vamos a centrarnos en el
momento en que surge el debate y la toma de posiciones.
68
Por un lado, se encontraba la pareja compuesta por Grace y Valeria, quienes
manifestaban que la tarea 3 se podía resolver de la misma manera que la tarea 2, pues el
nuevo triángulo SCC (casa de Sara, colegio, casa de Camila) era semejante al triángulo SCR
(casa de Sara, colegio, restaurante), por lo tanto, se podían establecer razones entre los lados
para encontrar los segmentos desconocidos; con el fin de poder establecer dicha semejanza.
Lo que primero hicieron las estudiantes fue
dibujar el triángulo SCR al costado izquierdo
inferior, como se puede evidenciar en la
ilustración 19, con el propósito de que quedara
en la misma posición que el triángulo SCC y
poder establecer de forma más simple las
razones entre los lados correspondientes, es
decir hipotenusas y catetos. En la solución del
primer punto de la tarea 3 se evidencia, cómo
Valeria ha puesto en movimiento el saber
proporciones, como forma codificada de
resolver la situación planteada, si observamos
la respuesta (ilustración 20), Valeria llega a
decir que ninguno de los dos personajes de la
tarea tiene la razón.
Mientras tanto, la pareja compuesta por Laura y María Fernanda, utilizaron las
razones trigonométricas para encontrar los segmentos desconocidos del nuevo triángulo
SCC, en la ilustración 21 se puede observar que Laura llega a la conclusión de que Camila,
está en lo correcto.
Ilustración 19. Representación gráfica del
triángulo SCC.
Ilustración 20. Procesos realizados por Valeria.
69
A continuación, presentamos una transcripción del episodio, en el momento en que
surgió el debate, el cual estará divido en dos fragmentos.
L1. Grace: ¿Cómo supo que estos dos triángulos no eran semejantes? [señala con las manos los
triángulos SCC Y SCR].
L2. María Fernanda: ¿Cuál, este? [señala el triángulo SCC], o ¿este con este? [señala los
triángulos SCC y JBC].
L3. Estudiantes en coro: No, estos dos [señalan los triángulos SCC Y SCR].
L4. Valeria: ¿No son semejantes?
L5. María Fernanda: No son semejantes. [niega con la cabeza].
L6. Valeria: ¿Por qué?
L7. María Fernanda: Primero tienen que mirar que de la casa de Sara al colegio son 120 m y del
colegio el restaurante hay 150 metros, en este caso sería semejante 120 m con [señala con
ambas manos cada segmento] el del colegio al banco, ya que se suman 80 con 40 metros, estos
sí son semejantes, e igual que estos dos [señala con ambas manos cada segmento] del colegio
al restaurante hay 150 metros como de colegio al supermercado hay 150 metros [voltea la
hoja].
L8. Laura: O sea, ustedes no pueden comparar ese triángulo con este [señala los triángulos SCC
y SCR]
L9. Grace: ¿Por qué comparas 150 si esto es un (…)?
L10. Estudiantes en coro: ¡No! No estamos comparando [las estudiantes interfieren en la hoja de
Grace señalando los triángulos SCC y SBC].
L11. Valeria: Ella dijo 120 con 120.
L12. María Fernanda: De la casa de Sara al colegio hay 120 m ¿Sí? [explicándole a Grace su
procedimiento] y tú cuando sumas del colegio al banco dan 120 metros, estos dos sí se pueden
comparar [señala los segmentos correspondientes].
L13. Estudiantes en coro: Al igual que estos dos, este con este y este con este. [señala los
segmentos comprendidos entre la casa de Sara – colegio y colegio – banco, luego, los
segmentos entre restaurante – colegio y colegio - supermercado].
L14. Laura: Eso quiere decir que estos dos triángulos son congruentes [Señala los triángulos SCR
y SBC] que tienen las mismas medidas sólo que están invertidos [voltea sus manos expresando
el significado de invertido].
L15. Valeria: Es que están preguntando por semejanza, entonces lo que yo hice fue sacar la razón
[señala el punto 4 de la tarea] lo que yo hice fue sacar la razón [repite la frase, afirmando el
proceso realizado], entonces las medidas de este triángulo yo las hice con este [señala los
triángulos SCC y SCR] y todas dan, todas son iguales, entonces por eso dije que son triángulos
semejantes.
Ilustración 21. Procesos realizados por Laura.
70
Al iniciar el diálogo se puede evidenciar como Grace en L1: ¿Cómo supo que estos
dos triángulos no eran semejantes? Pregunta interesada por escuchar los argumentos de sus
compañeras y comprender por qué hicieron los procesos con razones trigonométricas. María
Fernanda en un principio pretende explicar que los triángulos que son semejantes son SCC y
JBC, como se puede observar en la ilustración 22, donde a partir de señalamientos a la par
entre segmentos de un triángulo y otro establece la relación, en este proceso, María Fernanda
ha actualizado como forma cultural de acción y reflexión, el saber, una posibilidad pura
razones, pues ha puesto en movimiento a partir de la actividad, acciones y pensamientos,
símbolos y discursos necesarios para resolver y a su vez explicar a sus compañera la relación
entre lados de los triángulos.
Aunque María Fernanda realiza la semejanza de los triángulos SCC y JBC, Grace
sigue sin entender por qué realiza ese proceso, pues su duda esta en la semejanza de los
triángulos SCC y SCR, por lo tanto, Laura decide intervenir para apoyar a su compañera
María Fernanda, explicando de otra manera lo expuesto por ella.
Ilustración 22. María Fernanda estableciendo razones mediante señalamientos entre
lados de triángulos.
71
En L14 cuando Laura menciona: Eso quiere decir que estos dos triángulos son
congruentes [señala los triángulos SCR y SBC] que tienen las mismas medidas sólo que están
invertidos, acude a representar con sus manos mediante un giro, que los triángulos se
encuentran invertidos como se puede ver en la ilustración 23. Este medio semiótico, actúa
como mediador de sus intenciones (Vergel, 2015) pues expresa la posición de ambos
triángulos. Nuevamente, emerge un nodo semiótico en la actividad de Laura, debido a que
hay una sincronización de medios entre lenguaje hablando, deícticos espaciales y actividad
perceptual (Vergel, 2015); además, se puede evidenciar una evolución de nodos, que
conllevan a un refinamiento de medios semióticos, por lo tanto, se establece un proceso de
contracción semiótica (Radford, 2008a).
Valeria les muestra lo que realizó junto con Grace, en L15: Es que están preguntando
por semejanza, entonces lo que yo hice fue sacar la razón [señala el punto 4 de la tarea] lo
que yo hice fue sacar la razón. Aunque todos los procesos que realizaron, respecto a la
analiticidad, es decir, el carácter operatorio de las cantidades indeterminadas (Radford,
2018), estuvo bien desarrollado, partieron de una premisa errónea, debido que los triángulos
SCC y SCR no son semejantes, pues el único ángulo igual es 90°.
Después de realizar el análisis al primer fragmento, procedemos a mostrar la segunda
transcripción.
Ilustración 23. Representación de triángulos invertidos con las manos.
72
L16. María Fernanda: O sea, ¿tú estás comparando este triángulo con este? [señala los triángulos
SCC y SCR con ambas manos].
L17. Profesora Paola: Pero, miren lo que les dio a ellas.
L18. Laura: Pero, ya sé a ustedes también les quedó mal como al grupo de allá; porque lo que
usted tiene que hacer en un primer momento es poner los ángulos este es igual a 90 grados,
este es igual a 30 grados y este es igual a 60 grados, entonces supongamos que ustedes lo van
a hacer con coseno, coseno es igual a cateto adyacente sobre hipotenusa [señala los lados
correspondientes en el triángulo SCC] ustedes necesitan hallar este [señala con el lápiz la
hipotenusa] para mirar quién tiene la razón, para mirar ¿si este es el doble de este o no? [se
refiere a los lados colegio – casa de Camila y colegio – casa de Sara]. Entonces, coseno de
𝑎 es igual a 60 grados, entonces es igual a 120 sobre la hipotenusa, entonces la incógnita está
abajo, esta va a pasar multiplicar, queda 120 dividido sobre coseno de 60 grados [mientras
resuelve la ecuación en la hoja, va explicando el proceso]. Me prestas tu calculadora por
favor [le dice a Valeria].
L19. Valeria: [le pasa la calculadora a Laura].
L20. Laura: [hace la operación en la calculadora] Eso les da igual a 240. Eso quiere decir que les
dio algo diferente en este punto, Camila tiene la razón [refiriéndose al personaje de la tarea],
¿por qué? porque les están preguntando que del colegio a la casa de Sara es el doble que, del
colegio a la casa de Camila, ya que 240 es el doble de 120, entonces ahí les quedó mal.
L21. Valeria: No pues ahí cambian todos los resultados [le responde a Laura].
L22. Laura: Por eso, esto no es semejante a esto [señala los triángulos SCC y SCR con el lápiz].
L23. Profesora Paola: Entonces, ¿qué tienen para decir?
L24. Valeria: Nada profe, que toca volver a empezar.
Finalmente, María Fernanda y Laura logran comprender la duda que exponían sus
compañeras Valeria y Grace, en parte, gracias a la intervención de la profesora Paola en L17:
Pero, miren lo que les dio a ellas, quien se encontraba vigilante del accionar de las estudiantes
(Radford, 2013a), y Laura les explica que no fueron el único grupo que lo realizó así, que
hubo otro grupo que tuvo un proceso similar, luego decide describir su proceso de manera
más detalla para que sus compañeras lograran comprenderlas (ver L18). Coordinando
diferentes medios semióticos para hacer visible su intención (Radford, 2003, citado por
Vergel, 2015), podemos reconocer que Laura está comprometida con la tarea y tiene el firme
propósito de que sus compañeras comprendan sus formas de acción y reflexión, mostrando
acciones de solidaridad, pues no le es suficiente con que ella entienda, ella quiere que todas
lo hagan, gracias a esta labor conjunta, Valeria es capaz de entender las formas codificadas
de conocimiento, como se puede ver en L21: No pues ahí cambian todos los resultados, que
se han actualizado en la actividad (Radford, 2017a).
Esta tarea permitió el encuentro con otras voces (Radford, 2016), puesto que se
desarrolló un debate, un diálogo acompañado de tensiones y emociones, en el que las
73
estudiantes de ambos grupos utilizaron argumentos para defender su posición a partir de
diferentes medios semióticos, emergieron modos de colaboración humana e interacción que
promovieron la postura crítica, la solidaridad, la responsabilidad y el cuidado del otro
(Radford, 2015).
Por otra parte, se evidencia un subproceso de objetivación denominado orquestación
icónica, pues todas las estudiantes implicadas (Laura, María Fernanda, Grace y Valeria) y la
docente instauran como recurso semiótico el señalamiento a los segmentos de los triángulos
en la tarea (ver ilustración 24), al momento de establecer una razón. Este proceso es icónico,
pues las representaciones son similares entre los miembros del grupo; más allá de una simple
copia, puesto que ésta posibilita objetivar el saber, (Pantano, 2014) en esta oportunidad
permite volver objeto de conciencia el saber razones trigonométricas.
Con relación al tratamiento que desarrollan las estudiantes a las razones
trigonométricas, podemos observar que, para establecer una razón, deben considerar las
relaciones entre lados y ángulos del triángulo, en la siguiente ilustración (ilustración 25) se
pueden observar diferentes procesos para estimar el mismo segmento. En las secciones 1 y
2, las estudiantes utilizaron las razones coseno y secante de 60° para estimar la hipotenusa
(distancia entre colegio – casa de Camila), mientras que en las secciones 3 y 4, utilizaron las
razones seno y tangente de 60°, para estimar el cateto opuesto (distancia entre casa de Sara –
casa de Camila), respecto a la representación de la indeterminancia, en las producciones de
la sección 1, 2 y 3 conservaron las iniciales del lado del triángulo rectángulo (hipotenusa –
h, cateto opuesto – co); en cambio, en la 4 sección reemplazaron por la variable x.
Ilustración 24. Orquestación icónica de las estudiantes.
74
Considerando las evidencias presentadas y sus respectivas triangulaciones con la TO,
podemos decir que esta tarea permitió a las estudiantes el encuentro con formas codificadas
de pensamiento trigonométrico constituidas histórica y culturalmente, en otras palabras, las
producciones reflejaron un aprendizaje significativo, entendido como un proceso social
(Radford, 2017a), pues emergieron comprensiones conceptualmente profundas y
culturalmente variadas de las matemáticas, en cuanto a razones trigonométricas, y se
desarrollaron espacios de reflexión crítica en el aula, mediante debates y discusiones tanto al
interior de los grupos como entre grupos.
4.4. Otros elementos de análisis
Para sintetizar el análisis, apreciando los elementos hallados desde la interpretación
de los videos visualizados en la siguiente tabla se pueden identificar los medios semióticos
más recurrentes que emergieron en medio de la actividad matemática, entre ellos se precisan
los siguientes:
Representación con las manos en el
aire.
Señalamientos con el lápiz.
Lenguaje (hablado y escrito).
Señalamientos con los dedos.
Deslizamientos.
Chasquidos con los dedos.
Golpes suaves sobre su hoja de
trabajo.
Gestos.
Nodo semiótico.
Ritmicidad,
Responsabilidad
Respeto.
Cuidado del otro.
Uso de artefactos.
Ilustración 25. Procesos para estimar segmentos a partir de razones trigonométricas.
75
Con la intención de no perder algunos elementos de algunos videos, nos permitimos
poner en evidencia una síntesis del análisis de cada uno de los videos que se tomaron de las
seis sesiones.
Organización y sistematización de la información
Ses
ión
Tare
a
N°
del
Vid
eo
Fra
gm
ento
Evidencia inicial
Posibles Medios
Semióticos.
Interpretación de la evidencia
01
01
0101
00:2
5-0
2:4
0
Nodo semiótico.
Señalamientos.
Lenguaje
hablado.
Responsabilidad.
El docente pide a una de las estudiantes que
explique cómo obtuvieron los datos de la
tarea, a lo que Katherine realiza su
explicación señalando la hoja de trabajo y
con leguaje hablado establece las razones
justificando el resultado. Luego el docente le
pide que explique por qué realizan el
procedimiento de esa manera y por qué usan
esa fracciones para encontrar el valor del lado
del triángulo, sus compañeras en términos de
ética comunitaria se solidarizan con
Katherine, con la intención de explicar el por
qué utilizan las razones como fracciones, en
este instante se puede evidenciar la
emergencia de nodo semiótico debido a que
las estudiantes hacen uso de varios recursos
semióticos para tomar conciencia frente al
uso de las razones.
01
02
0201
00:0
9-0
0:2
6
Señalamientos
con el lápiz.
Lenguaje
hablado.
La profesora entra a la discusión en un grupo
de estudiantes ya que uno de los valores
encontrados por ellas es de 30 metros, a lo
que Sofía expresa que no puede ser ese valor
y se cuestionan el por qué. Vanessa señala
con su lápiz en la representación gráfica una
recta de 80 metros que visualmente es menor
que el valor de la recta que están
determinando. Vanessa mientras habla, abre
sus brazos para manifestar que debe ser más
grande una de las rectas en comparación de
la otra.
76
01
02
0202
00:2
6-1
: 37
Señalamientos con
el dedo.
Lenguaje hablado.
La docente pregunta a las estudiantes qué
creen que es lo que están haciendo mal,
Sofía responde que tal vez están
acomodando mal la razón y Vanessa lo
confirma moviendo su cabeza y diciendo si,
respaldando la afirmación de Sofía.
La docente pide que expliquen cómo
determinaron la razón, Sofía señalando con
sus dedos y su lápiz los segmentos de su
hoja acompaña con palabras para explicar el
procedimiento, encontrando el error que
cometieron al establecer la razón.
01
02
0203
01:
34-0
1:5
5 Chasquidos con
los dedos.
Lenguaje hablado.
Señalamientos con
el dedo.
La participación en la discusión se generó
por Sofía y Vanessa a pesar de esto en este
fragmento se evidencian acciones en medio
de la discusión. Andrea con sus dedos
realiza chasquidos y luego señala con sus
dedos la hoja de trabajo en dos
oportunidades intentando mostrar a su
compañera Sara que ha encontrado algo que
puede servir para solucionar la situación,
mirando y a continuación empieza hablar en
voz baja.
01
02
0204
02:4
5-0
3:4
8
Leguaje hablado.
Señalamientos.
Uso de las manos
para representar
un concepto
En la discusión se evidencia a la estudiante
Catalina en su intento por dar un argumento
del por qué usa el procedimiento de tal
manera, haciendo referencia que es por el
Teorema de Thales. En medio de la
explicación, la estudiante Katherine trae el
concepto perpendicular para fortalecer su
argumento, a lo que el docente pide al grupo
que explique qué es perpendicularidad, se
evidencian gestos y señalamientos en la hoja
para dar cuenta del concepto.
01
02
0205
00:2
2-0
2:4
5 Leguaje hablado.
Señalamientos.
Uso de las manos
para representar
un concepto
Respeto.
La docente pregunta a las estudiantes el por
qué se asumen que los dos lados miden lo
mismo, en conjunto las estudiantes en su
intento por explicar usan señalamientos en
su hoja acompañando con lenguaje hablado
el procedimiento realizado, la docente
interviene para dar claridad frente al trabajo
realizado haciendo uso de movimientos en
el aire con sus manos y con señalamientos
en la hoja, las estudiantes aceptan las
sugerencias y comprenden cual es el
procedimiento correcto e involucran nuevos
elementos (ángulo de 90°) para establecer la
razón correcta.
77
01
02
0206
02:3
8-0
4:4
4
Leguaje hablado.
Señalamientos.
Uso de las manos
para representar
un concepto
La estudiante Vanessa en su intento por
explicar la forma en cómo se determinaron
las distancias de los lados correspondientes
entre los triángulos, usa conceptos como
vértice y congruencia representándolo con
sus dedos en el aire, en ese instante Sofía
toma nuevamente la hoja para leer y
comprender que está solicitando el punto de
la tarea, llegando a la conclusión de que
ninguna de las afirmaciones es correcta,
señalando en su hoja los triángulos afirma
que los dos triángulos son congruentes.
02
02
0207
00:0
6-0
1:4
0
Señalamientos
Lenguaje hablado
Respeto
Cuidado del otro
La docente cuestiona el por qué
establecieron la razón de esa manera, lo que
manifiestan es que invirtieron la razón por
que en un principio la docente dijo que
estaba mal planteada y asumieron que
ambos triángulos son iguales, pero no se
sienten seguras de lo que han realizado,
Sofía interviene argumentando que lo
primero que deben realizar es encontrar uno
de los lados, en este caso la hipotenusa, el
grupo en apoyo a su compañera Sofía
intenta ubicar en sus apuntes algún método
para encontrar el valor de la hipotenusa
algunas hacen referencia al Teorema de
Pitágoras, el intento de sus compañeras por
brindar elementos a su compañera para dar
respuesta a las preguntas del profesor es
catalogado como el cuidado del otro,
alentando las ideas de su compañera.
02
02
0208
00:0
6-0
1:4
0 Uso de artefactos.
Lenguaje hablado.
Uso de las manos
para representar
un concepto.
Deslizamientos.
Las estudiantes en su intento por
comprender la forma adecuada para resolver
la tarea, expresan que pueden hacer uso de
las razones trigonométricas para encontrar
los lados faltantes de los triángulos, pero
para esto, dichos triángulos deben tener
ángulos de 90°, la docente interviene
preguntando si alguno de esos triángulos
tiene 90°, ellas a una sola voz dicen que sí,
señalando con sus dedos en donde podrían
estar ubicados dichos ángulos, sin embargo
la docente pregunta el cómo se puede
asegurar que es un ángulo de 90°, ellas dicen
que pueden representar un ángulo recto, con
sus manos, con un transportador o con la
78
esquina de una hoja, en ese instante dos
estudiantes sobreponen la esquina de una
hoja en el ángulo, validando que es de 90° y
se dedican a resolver el puno de la tarea, este
uso de artefactos para validar la tarea es
usual cuando se necesita validar los
argumentos expuestos por las estudiantes.
02
02
0209
00:0
6-0
3:4
0
Lenguaje hablado.
Uso de las manos
para representar
un concepto.
Deslizamientos.
Las estudiantes acuden a la docente para
intentar comprender en que están fallando al
establecer una razón, Estefanía explica
cómo se abordó el punto de la tarea para
establecer la razón, sin embargo el valor es
mucho menor de lo que ellas consideran
cuando comparan gráficamente con los
lados ya conocidos, la docente pide a Sofía
estudiante de otro grupo que con sus
compañeras identifiquen cuál es el error,
Sofía manifiesta que están ubicando mal los
datos en las razones, señalando con su lápiz
los lados correspondientes y que por esta
razón el valor del lado no corresponde con
la representación en la hoja.
03
02
0210
00:0
2-0
1:2
2
Leguaje hablado.
Lenguaje escrito
Señalamientos con
sus dedos.
La docente pide a Valeria que explique el
procedimiento que usaron para dar solución
a los puntos de la tarea, la estudiante explica
con lenguaje hablado sobrepasando los
lados del triángulo con su lápiz,
estableciendo las razones y mostrando los
procedimientos para respaldar los
resultados.
03
02
0211
00:0
0-0
2:3
1
Respeto por el
otro.
Cuidado del otro.
Señalamiento y
golpe uno a uno.
Las estudiantes tienen dos formas de
establecer la razón para determinar los lados
de los triángulos, al momento de explicar
sus abordajes consolidan la forma adecuada
de determinar los lados, apoyándose
mutuamente para alcanzar la solución de la
tarea, esta acción de las estudiantes desde la
TO es considerada como el cuidado del otro.
La estudiante Alejandra señala con su mano
los lados correspondientes con un golpe
suave sobre su hoja uno a uno para
establecer la razón, diciendo “este es a este
como este es a este”.
79
03
02
0212
00:0
0-0
1:4
3
Leguaje hablado.
Señalamientos con
sus dedos.
Señalamiento y
golpe uno a uno.
La estudiante en su intención de comprender
el problema, luego de encontrar los valores
faltantes, concluye explicando al docente
que los triángulos son iguales, mientras está
señalando su hoja establece las razones de
los lados y golpeando suavemente y luego
deslizando sus dedos sobre los lados de los
triángulos argumenta que los dos triángulos
son iguales.
03
02
0213
00:0
0-0
5:0
0
Lenguaje hablado.
Señalamientos con
sus dedos.
Las estudiantes con la finalidad de
identificar las medidas de los lados, intentan
determinar las medidas de los ángulos para
poder hacer uso del teorema de Pitágoras,
utilizan características que deben cumplir
los triángulos, así como la suma de sus
ángulos internos debe ser de 180°, las
estudiantes al momento de usar su lenguaje
para explicar su procedimiento se refieren a
una rotación del triángulo para comprender
de manera más simple la razón entre los
lados, el docente interviene en el grupo
ofreciendo algunos elementos que puede
servir de ayuda para clarificar la idea,
involucrando el término “correspondencia”
en la rotación que ellas manifiestan que
realizan al triángulo menor para comparar y
establecer las razones.
03
02
0214
00:0
9-0
0:2
2
● Señalamientos con
el lápiz.
● Lenguaje hablado.
La docente inicia un diálogo con la
estudiante Emely con el fin de establecer
propiedades del triángulo para decidir qué
camino tomar para solucionar el problema
planteado, descarta que este es triángulo
isósceles valiéndose de señalamientos con
en el lápiz en la ilustración de la tarea.
Mientras que la estudiante Luisa acude al
cuaderno para mirar apuntes.
03
02
0215
00:0
5-1
: 03
● Señalamientos con
el dedo.
● Deícticos
espaciales
● Lenguaje hablado.
Actividad perceptual.
En el grupo las estudiantes saben que
mediante teorema de Tales pueden saber la
distancia que hay entre la casa de Sara y el
restaurante, sin embargo, manifiestan que
carecen de datos para su operación. Por lo
que la docente las invita a leer nuevamente
el enunciado del problema, donde las
estudiantes reconocen los valores y
proceden a establecer relaciones de igualdad
80
y semejanza a través de señalamientos entre
segmentos y partes del problema. 03
02
0216
00:
11-0
4:3
0
● Señalamientos con
el dedo.
● Deícticos
espaciales
● Lenguaje hablado.
Actividad
perceptual.
Este grupo estudia diferentes estrategias
para encontrar variables de la situación y
poder hacer las comparaciones pertinentes.
En la actividad emergen procesos de ética
comunitaria, pues desde la labor conjunta
entre estudiantes y profesores pueden
situarse como sujetos de educación.
También se evidencia nodos semióticos que
caracterizan la actividad reflexiva.
03
02
0217
00:2
1-0
4:3
0
● Responsabilidad
● Cuidado del otro
Nodo semiótico
Angie y Ana, en un primer momento
abordan el problema de manera individual,
luego se dan cuenta que tienen respuestas
diferentes, la docente les invita a compartir
los procesos donde reconocen el trabajo de
la otra y a partir de la labor conjunta,
generan estrategias para resolver el
problema.
04
03
0301
00:0
0-0
2:4
6
Señalamientos.
Uso de artefactos
(calculadora)
Para dar solución a la solicitud de la tarea las
estudiantes hacen uso de las razones
trigonométricas teniendo en cuenta el
ángulo que ofrece el enunciado (60°), hacen
uso del artefacto calculadora, para calcular
los valores solicitados y pronunciarse frente
a las preguntas, al momento de enunciar los
procedimientos que realizaron acompañan
sus explicaciones con señalamientos en su
hoja, relacionando los lados de los
triángulos con las razones trigonométricas
establecidas.
04
03
0302
00:0
0-0
2:2
3
Representación
con las manos en
el aire.
Lenguaje hablado.
Señalamientos con
sus dedos.
Las estudiantes nuevamente usan sus manos
para establecer un forma de representar el
ángulo de 60° partiendo de un ángulo recto,
acompañan con lenguaje hablado el proceso
que utilizan al descontar de 10° en cada
movimiento, y luego sobreponen sus manos
en su hoja para validar la ubicación de dicho
ángulo.
Además vinculan propiedades que deben
cumplir los triángulos con respecto a la
medida de sus ángulos internos, estos
elementos son recordados puesto que se han
abordado en tareas anteriores y han sido
81
puestos a disposición para tratar las tareas
actuales, elementos que dan pie para hablar
de una contracción semiótica. 04
03
0303
00:0
0-0
6:2
3
Señalamientos.
Uso de sus manos
para representar
ángulos
Uso de artefactos
(transportador)
La estudiante Camila en el intento de
abordar la tarea en la identificación de un
ángulo de 60° hace uso de sus manos, inicia
representando un ángulo de 90° con sus
palmas sobre la hoja de trabajo y empieza a
quitar de a 10° con su dedo índice, su
compañera más praática hace uso del
transportador para identificar la apertura del
ángulo, confirmando que el ángulo debe ser
ubicado en la parte inferior.
Las estudiantes hacen referencia, que la
longitud del lado influye con la medida del
ángulo y por tal razón el ángulo que
acompaña al lado mayor es más pequeño
que el ángulo que acompaña al lado menor.
05
03
0304
00:
30
-01:3
5 ● Responsabilidad
● Cuidado del otro
● Lenguaje hablado.
● Deícticos
espaciales
El grupo de Valentina inicia su análisis
desde la clasificación de triángulos,
establecen relaciones de semejanza para
poder hacer la proporción entre lados y
encontrar la variable, por lo que se
desarrolla un diálogo grupal donde discuten
sobre la posible semejanza.
05
03
0305
00:
30-0
1:3
5 ● Responsabilidad
● Cuidado del otro
● Lenguaje hablado.
● Deícticos
espaciales
● Nodo semiótico.
Luego que los grupos terminan de resolver
los puntos de la tarea, inicia un espacio de
socialización, en el cual Laura y María
Fernanda que forman un grupo comparan
sus producciones con las realizadas por
Grace y Ana; quienes después de una
confrontación de ideas, se desarrolla una
tensión donde las estudiantes son animadas
a demostrar una conciencia crítica.
82
Capítulo 5
Conclusiones
En este apartado se darán insumos para responder la pregunta de investigación
teniendo en cuenta los aportes de investigación de la Teoría de la Objetivación, la
metodología de investigación y lo encontrado en el análisis de la actividad al abordar tareas
respecto a razones trigonométricas. Al final, se proponen algunas reflexiones e invitaciones
investigativas para próximos trabajos bajo esta perspectiva.
5.1. Respuesta a la pregunta orientadora
La pregunta de investigación que encaminó este trabajo y que está plasmada en el
planteamiento del problema es ¿Cuáles son los procesos de objetivación y subjetivación que
movilizan las estudiantes de grado noveno al resolver tareas que involucran razones
trigonométricas? a partir de la pregunta podemos pronunciarnos frente a lo reportado en el
análisis de este trabajo investigativo.
Luego de la recolección de información, a partir del abordaje de las tareas por las
estudiantes, la clasificación de estos episodios sensibles al análisis en relación con los
principios teóricos de la TO, se puede evidenciar la emergencia de diferentes formas de
acción y expresión dentro de la labor conjunta, a partir de formas de colaboración y procesos
de producción de saber, donde las estudiantes y los profesores estuvieron comprometidos con
las tareas, desarrollaron procesos de alteridad, a partir del encuentro de voces, discursos y
toma de posiciones en la actividad, es decir, se propició un espacio que generó procesos de
enseñanza y aprendizaje, entendidos como proceso social, desarrollados por medio de
recursos semióticos movilizados dentro de la labor conjunta.
Para describir los procesos de objetivación, entendidos como el encuentro con
sistemas de acción y reflexión, histórico y culturalmente constituidos y la forma gradual de
familiarizarse con estos (Vergel, 2015), en este caso, con el saber razones trigonométricas,
se reconoce la emergencia en la resolución de las tres tareas dentro de la actividad
matemática, dichos procesos se pudieron identificar desde los medios semióticos que
movilizaban las estudiantes. A continuación realizaremos una descripción de algunos
recursos.
83
En primera instancia, uno de los medios de objetivación que queremos exponer es la
representación con las manos en el aire, este medio semiótico fue uno de los más recurrentes,
puesto que las estudiantes usaban movimientos en el aire para materializar con sus manos la
representación de algunos elementos de los triángulos rectángulos y los mismos triángulos,
por ejemplo, en los primeros abordajes las estudiantes usaban lenguaje hablado para referir
las distancias acompañando con deslizamientos de sus dedos sobre la hoja de trabajo, en el
transcurso de las discusiones e interacciones, las estudiantes refinan el medio semiótico
usando sus palmas representando los triángulos en el aire para explicar la relación de los
lados de los triángulos. Finalmente, las estudiantes sintetizan estas acciones con el lenguaje
escrito al momento de usar letras para referirse a los lados del triángulo, estableciendo
razones de semejanza. Este proceso permite poner en evidencia la evolución y el refinamiento
de medios semióticos de objetivación evocando el proceso de objetivación contracción
semiótica, puesto que las estudiantes inician con la necesidad de usar su lenguaje hablado
para referirse a la distancia de los lados, luego acompañan el lenguaje hablado con su cuerpo
para hacer referencia al triángulo y finalmente desaparece por completo el lenguaje hablado
con acompañamiento de gestos para dar paso al uso del lenguaje escrito.
Otros elementos relacionados con la contracción semiótica se reflejaron en el
momento en que las estudiantes se referían a la relación entre los lados de los triángulos
semejantes. Inicialmente las estudiantes usan expresiones lingüísticas para complementar y
sincronizar los gestos deícticos espaciales. En sus intentos por establecer la relación de los
lados entre los triángulos, las estudiantes usaban la expresión “este es a este, como este es a
este” acompañando con sus dedos para señalar los lados respectivos de cada triángulo;
progresivamente se evidencia otra forma de representación usando las palmas de sus manos
en el aire refiriéndose a los lados de manera vertical y horizontal para establecer la relación
y finalmente simplifican estas acciones optando por el uso de letras para referirse a los lados
y establecer la relación expresándolos como razones 60
𝑥=
80
120 y descartando el uso de las
expresiones lingüísticas y el uso de sus manos.
Este proceso de objetivación se pudo evidenciar dentro de la actividad matemática en
el momento que los estudiantes descartaban elementos para expresar o comunicar tanto a sus
compañeras como a los docentes los avances y abordajes de las tareas. Como se ha expresado
84
en lo anterior es claro que este proceso de refinamiento se generó desde el abordaje de la
tarea 1 progresivamente hasta la tarea 3, puesto que las estudiantes en sus últimos abordajes
muestran un nivel mayor de conciencia mostrando un aprendizaje y un desarrollo conceptual.
En el abordaje de las tareas dentro de la actividad se puede evidenciar hallazgos que
reflejan la recurrencia de medios semióticos, estos hacen referencia de algunas acciones
constituidas culturalmente, algunas instauraciones de las estudiantes cuando se refieren a las
relaciones entre lados de los triángulos, estas fueron establecidas y utilizadas de manera
permanente, por un lado el uso de las palmas para referirse a los lados de los triángulos fue
un medio semiótico que se instauro y se usó desde la primera tarea y se reflejó en el abordaje
de las tareas siguientes. Es decir las estudiantes están reiterando las acciones pasadas para
enfrentarse a nuevas tareas comunicando con los mismos gestos y acciones las intenciones y
las formas de reflexión esto en la TO es conocido como un proceso de objetivación nombrado
iconicidad.
Además las estudiantes en su intento por comprender o dar una explicación a las
cuestiones de las tareas se referían a objetos matemáticos abordados en su clase de
matemáticas en anteriores tareas como por ejemplo perpendicular, secante, ángulo recto,
teorema de Thales, entre otros, al indagar sobre la vinculación de estos objetos a las tareas
ellas aseguran haber usado estos elementos en tareas pasadas lo que permite concluir que en
la actividad matemática está emergiendo el proceso de objetivación iconicidad, puesto que
se acude a acciones, gestos y formas de reflexión que habían sido usadas para dar solución a
tareas pasadas.
En otro episodio emerge el proceso de objetivación iconicidad ya que los estudiantes
recurren a acciones que han sido utilizadas en el pasado para resolver otras tareas. La manera
como los estudiantes han aprendido a sumar cantidades fraccionarias a través de su propia
historia viene a jugar un papel importante en el momento que asumen operar con cantidades
desconocidas; se puede ver esto en la sección 4.2 cuando los dos estudiantes deciden sumar
las fracciones cada uno de la forma como lo ha aprendido y finalmente la narrativa construida
se desvanece y les genera un colapso o tensión para seguir resolviendo el problema.
En el abordaje de la Tarea 2 fue evidente la insistencia de los docentes por promover
la interacción y la discusión frente a diversas inquietudes que se presentaban del proceso de
85
solución. En esta tarea se evidenció el surgimiento de acciones conjuntas de las estudiantes
en un acto colaborativo para responder las inquietudes de los docentes, las estudiantes
movilizan de manera sincronizada varios medios semióticos de objetivación que para
Radford (2008a) es entendido como un nodo semiótico, esto es, un segmento de la actividad
en el cual las estudiantes utilizan varios medios semióticos para objetivar el saber
trigonométrico.
En relación con el subproceso de objetivación denominado orquestación icónica,
podemos decir que las estudiantes y la docente instauraron como recurso semiótico el
señalamiento a los segmentos de los triángulos en las tareas, al momento de establecer una
razón. Este proceso es icónico, pues las representaciones son similares entre los miembros
del grupo; más allá de una simple copia, puesto que ésta posibilita objetivar el saber.
No podemos hablar de procesos de objetivación sin hablar de procesos de
subjetivación, pues hay una relación entre el conocer y el devenir (Radford, 2017a). Desde
la TO ver la Educación Matemática como actividad, implica ver la enseñanza y el aprendizaje
de las matemáticas de acuerdo con la forma en que los profesores y los estudiantes participan
en la actividad de la clase (Radford, 2016). En esta oportunidad, las estudiantes y los
profesores lograron afirmarse como sujetos de educación. En cuanto a las estudiantes,
podemos decir que encontraron en la clase de matemáticas un espacio para reconocerse como
proyectos inacabados, para que sus voces fueran escuchadas, para posicionarse y poder
respaldar sus ideas. Fue un espacio que favoreció la participación, pues entre grupos se
alentaron, emergieron formas de colaboración humana que no permitían el individualismo.
A continuación vamos a mostrar algunos aspectos que encontramos con relación a los tres
vectores de la ética comunitaria.
Cuidado del otro
Esta acción se evidenció en diferentes momentos de las tareas, al momento en que las
estudiantes daban explicación de los procesos desarrollados al interior de los grupos; en la
mayoría de los grupos de trabajo hubo una o dos estudiantes con mayor participación a la
hora de explicitar lo desarrollado, cuando alguna no encontraba las palabras adecuadas para
continuar o presentaba confusión en algún aspecto, inmediatamente ingresaba otra
participante del equipo para vincularse en la discusión. En algunos episodios se evidenciaba
86
la solicitud de apoyo de manera explícita y en otros momentos solo con una mirada o a través
del reconocimiento de expresión de ayuda se vinculaban en la discusión, las estudiantes y los
docentes lograban reconocer la necesidad del otro y estaban atentos a colaborar.
Compromiso con la labor conjunta
En el transcurso de las sesiones, las estudiantes demostraban interés y se iban
comprometiendo cada vez más con las solicitudes de cada tarea, poco a poco fueron
abandonando la idea que esto era un simple ejercicio para obtener una nota, pues se
transformó hacia la necesidad de mostrar su posición frente a las diferentes situaciones de
buscar ese reconocimiento y a su vez reconocer a los demás, pues siempre podían
pronunciarse o referirse al abordaje de las tareas. Era un compromiso con sus compañeras y
docentes, fue una evolución en sus intenciones de trabajar. En varias ocasiones manifestaron
que no tenían las habilidades de hablar en clase de matemáticas, porque nunca las habían
cuestionado frente a los procesos desarrollados en una tarea, es decir, esta actividad generó
un espacio diferente e incluyente, además como no había una restricción de solo escribir,
pudieron expresarse de diferentes maneras.
Responsabilidad
Se pudo observar la responsabilidad, como acto de entregarse (Radford, 2017c), en
las tareas 2 y 3, cuando las estudiantes se encontraban en debate. Pues, estaban alerta frente
a los discursos de sus compañeras de trabajo, algunas estudiantes que se encontraban
reticentes encontraron el espacio idóneo para participar y demostraron que su silencio no era
sinónimo de que no entendían, sino que estaban esperando el momento oportuno para
expresar sus ideas y poder intervenir de manera más segura.
5.2. Síntesis, discusión y comentarios finales
El análisis de los datos ha permitido evidenciar un conjunto de ideas que a nuestro
juicio aportan elementos a la teoría y que pueden ser un insumo que promueva en otros
investigadores curiosidad e interés para aportar de manera sólida a la TO, a continuación
enunciamos lo que consideramos posibles medios semíoticos de subjetivación y la
caracterización de pensamiento trigonométrico.
87
Medios semióticos de subjetivación
Al realizar esta investigación, uno de los propósitos era documentar los procesos de
subjetivación, entendidos como procesos inacabados, continuos, donde se evidencia
instanciaciones del ser, correspondiente con formas codificadas de alteridad (esto es, de
relaciones con otros) (Vergel, 2015), podemos concluir que la emergencia de estos procesos
se realiza a partir medios semióticos de subjetivación, pues son mediadores de nuestras
intenciones y portadores de conciencia histórica.
La literatura correspondiente a la TO expone un trabajo exhaustivo sobre los medios
semióticos de objetivación, los cuales llegan a estratificar el objeto de saber matemático
(Vergel, 2015; Radford, 2008a; Radford, 2014). Sin embargo, respecto a los medios
semióticos de subjetivación hay un largo camino por recorrer, nosotros tenemos la intención
de evidenciar algunos medios que posibilitaron instanciar el ser, en la labor conjunta.
Los medios semióticos de subjetivación son esas acciones que emergen dentro del
abordaje de tareas en la actividad matemática que permiten evidenciar los procesos
mencionados anteriormente (Procesos de Subjetivación). Uno de los indicios para hablar de
medios semíoticos de subjetivación es la evidencia de movimientos, gestos y lenguaje que se
desliga de la representación matemática y tiene lugar a expresar acciones de colaboración,
compromiso y respeto al otro. Observamos que estos medios semióticos de subjetivación
constituyen formas de significación que vienen a promover procesos de subjetivación, es
decir procesos, sociales a través de los cuales las estudiantes encontraban otras voces y
perspectivas.
De manera inicial hacemos referencia a las acciones que presentaron algunas
estudiantes, en la Tarea 2 esporádicamente usaban sus dedos para hacer chasquidos en
símbolo de que habían encontrado algo, que tal vez podía ayudar al grupo a entender la tarea,
esta es un una forma de acción que emerge al intentar comprender la tarea, la estudiante ha
encontrado algo que le puede dar claridad al otro o puede dar indicios a la solución de los
cuestionamientos. En este intento de producir un sonido con sus dedos, se evidencia la
pretensión de llamar la atención para luego acompañar con la expresión “¡claro!” y dar
explicación a lo que ha encontrado, es un medio que surge en la necesidad de comprometerse
88
con el otro en la labor conjunta, a este medio semiótico de subjetivación lo hemos
denominado chasquidos con los dedos.
Otro medio semiótico de subjetivación hace referencia a la vinculación de las
estudiantes en el discurso del otro, al momento de observar la necesidad de colaboración
entre las estudiantes, cuando debían dar explicación de los abordajes de los grupos; las
estudiantes al ver que alguna de sus compañeras carecía de los argumentos para dar sustento
de lo desarrollado dentro de la tarea, sentía responsabilidad por aportar o colaborar a su
compañera complementando las ideas planteadas y empujar hacia adelante al grupo para
Giménez (2011) el “yo” obtiene su identidad desde la responsabilidad por el otro definiendo
la subjetividad como construcción a partir de la alteridad. Aquí vemos cómo las intenciones
de colaboración y responsabilidad de las estudiantes en el discurso convergen para encontrar
la meta en común constituida por el grupo de trabajo, a este medio semiótico de subjetivación
lo denominamos complemento discursivo del otro.
Somos conscientes que lo presentado es un ejercicio escueto, sin embargo, puede
brindar herramientas o puede ser el inicio de una investigación centrada en los medios
semióticos de subjetivación. Con esto estamos extendiendo una invitación a reflexionar y
estudiar sobre estos medios semióticos de subjetivación.
Saber trigonométrico - Pensamiento trigonométrico.
A lo largo de la investigación, desde lo expuesto por Radford, hemos entendido el saber como
movimiento, como posibilidad para hablar de saber trigonométrico. Consideramos pertinente
acoger la definición de saber propuesta por Vergel y Rojas (2018, p. 51) como “una síntesis
evolutiva -sintetiza acción humana, es dinámica, transformativa- y culturalmente codificada”
como formas de trabajar con los triángulos y sus propiedades, analíticamente, en el sentido
de formas de operar con cantidades indeterminadas, que pueden ser lados o ángulos.
En concordancia con lo anterior, podemos decir que las formas de pensamiento
trigonométrico emergen como instanciaciones o actualizaciones del saber razones
trigonométricas en la actividad de las estudiantes (Vergel, 2015). A partir del análisis
reportado respecto a las producciones, identificamos algunos vectores que manifiestan
características del pensamiento trigonométrico, los cuales son:
89
I. Sentido de lo indeterminado: Para este pensamiento los objetos desconocidos pueden
ser lados de un triángulo, segmentos de una recta o la medida de los ángulos
comprendidos.
II. Identificación de propiedades de los triángulos.
III. Analiticidad: Formas de operar los segmentos o ángulos desconocidos.
Considerando los estratos de generalidad del pensamiento algebraico propuestos por
Radford (2010), realizaremos una adaptación para brindar una posible tipología de
formas de pensamiento trigonométrico, caracterizados por la evolución de medios semióticos
de objetivación y la organización discursiva (Molina y otros, 2011) del uso de propiedades
de los triángulos. Proponemos la siguiente tipología.
Tipología de formas de pensamiento trigonométrico.
Factual Contextual Simbólico
Surge una argumentación
informal del discurso, basada
en visualización de las
propiedades de los triángulos,
los medios semióticos de
objetivación movilizados son
los gestos, los movimientos,
el ritmo, la actividad
perceptual y las palabras. La
indeterminancia queda
implícita en acciones
concretas.
Se evidencia una transición
hacia una organización
discursiva formal,
considerando la clasificación y
uso de propiedades de los
triángulos, los gestos son
acompañados por frases claves
“este es a este”, “del colegio a
la casa de Juliana”, el
establecimiento de razones se
da partir de deícticos
espaciales. La indeterminancia
es explícita, se vuelve objeto
del discurso
A partir de la clasificación
y uso de propiedades de
los triángulos, se instancia
una organización
discursiva formal. Las
frases claves son
representadas por
símbolos alfanuméricos
del álgebra, se designan
los lados o segmentos
desconocidos con letras
como x, y y z.
Tabla 4. Tipología de formas de pensamiento trigonométrico.
Esta tipología preliminar debería profundizarse y ser el objeto de estudio de
investigaciones posteriores. Fundamentalmente, las formas de pensamiento trigonométrico
que proponemos deben ser atravesadas por los vectores que hemos postulado.
90
Considerando la caracterización anteriormente expuesta, podemos decir que en las
producciones desarrolladas por las estudiantes, se evidencia una forma de pensamiento
trigonométrico simbólico, como una evolución del pensamiento contextual, pues las
estudiantes en sus hojas de trabajo llegaron a expresar y manejar operativamente la
indeterminancia (en este caso lados o segmentos desconocidos) con letras como x, y y z.
Podemos considerar que este trabajo de investigación puede ofrecer algunos insumos
importantes para la reflexión, puesto que abre la puerta para discutir frente a los medios
semióticos de subjetivación que promueven la creación del yo como subjetividad,
entendiendo la subjetividad como la instanciación o materialización del ser, un proyecto de
vida inacabado. A nuestro juicio, se producen pasos pequeños pero fructíferos para siguientes
investigaciones, que abren posibilidades para ampliar la discusión y aportar a la teoría.
Además, este avance investigativo permite dar el valor a la dimensión del ser que ha sido
olvidada en nuestras prácticas de aula, prácticas, que en algunas teorías de Educación
Matemática simplifican la concepción del sujeto a un propietario o productor de
conocimiento que intercambia de ideas y negocia significados, desconociendo la constitución
del ser, esto es desde los principios teóricos de la TO concibiendo al sujeto como un ser que
vive, siente y sufre, un sujeto que en la participación social de su cultura es constituido como
un ser único que piensa matemáticamente.
Como profesores e investigadores sentimos que este estudio nos brindó la
oportunidad de reconocernos como sujetos de educación, pues logró transformar nuestras
prácticas, nuestras metodologías, la forma en que reconocemos a los estudiantes, hasta el
punto de cambiar nuestros propósitos de enseñanza y aprendizaje. Sabemos que esto no
queda acá, pues es una oportunidad para continuar mejorando y ser conscientes de nuestra
labor.
91
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![Acercamiento Chuarrancho[1]](https://img.pdfslide.es/doc/110x75/55cceea4bb61eb515b8b4607/acercamiento-chuarrancho1.jpg)
