Universidad de ValparasoFacultad de HumanidadesPedagoga en Filosofa

Una Discreta Hereja: Algunos aspectosfilosficos y formales respecto delsignificado en la lgica intuicionista.

Seminario IXMario Tapia Ramrez30 de julio de 2014

0. Introduccin

El presente trabajo se articula como una aproximacin muy bsica a las cuestiones de lalgica intuicionista de orden filosfico, en primera instancia, seguido de problemas formalesque ataen a cuestiones filosficas, a propsito del significado de las conectivas en lainterpretacin intuicionista. Por las caractersticas del presente texto me centrar nicamente enlo debe entenderse como lgica proposicional intuicionista, la que bien sirve para tratar losproblemas filosficos planteados por el intuicionismo y el problema de la prueba para unenunciado aleatorio en un contexto informativo que permita afirmar tal enunciado. El problemaa abordar ser informalmente semntico y formalmente sintctico. As el problema ser dividoen dos partes, a saber, una que permita dar cuenta de qu y cmo se afirma y otra que permitadar cuenta de qu y cmo se niega con un enunciado dentro de un sistema intuicionista en unlenguaje.

Se pueden considerar, de esta forma, que hay al menos dos tipos de aproximacin paraefectos de una explicacin del intuicionismo, que funcionan paralela y complementariamente:uno, que podra entenderse como una aproximacin pragmtica, o que al menos trabaja con unprincipio pragmtico, en la cual lo relevante es el uso de un determinado enunciado que exige,en ltima instancia, asumir los costos informativos y comunicativos de una determinadaexpresin puesto el significado de las oraciones expresadas en alguna forma de lenguaje, tantosea uno formal como en uno ordinario (Dummett, 1978); la otra es una aproximacin quepodra entenderse como matemtica o formalista, estar ms interesada en la interpretacin delas conectivas y las oraciones que permita deducir vlidamente dentro del sistema de forma talque se puedan educir significados para los distintos tipos de relacin (Heyting, 1971; Molina2008; Quirin, 2011). En ambos casos quedan en entredicho las nociones epistemolgicasclsicas (matemticas y lgicas) de forma que se demanda una reduccin del sistema clsico envirtud de eliminar algunos problemas y con ello algunos supuestos conceptuales problemticosque se siguen de ellos. Sera justo, de esta forma, pensar que el sistema intuicionista proponeuna pausada disidencia al sistema clsico. Pausada disidencia que, para ciertos crculos,tambin se puede entender como una discreta hereja.

Sin embargo por muy firme que intente plantearse el sistema, tambin hay quereconocer que admite paradojas para los mismos trminos en que es planteado el sistema. Estotambin ser expuesto en el contexto ya antes mencionado: no abordar asuntos relativos a susemntica formal y restringindose slo a la lgica proposicional intuicionista.

1. Lo discreto de una discreta hereja: significado.

La expresin intuicionismo se le debe a Kant, propuesto por el hecho de que la intuicinrevela los principios bsicos de la matemtica como verdaderos a priori, de forma tal quepuedo formar un juicio sobre la base de esa intuicin, puesto que lo que afirmo mediante eljuicio est sustentado en el conocimiento que me confiere la intuicin. Pasara lo mismo conuna expresin cualquiera de un lenguaje L: sus fundamentos quedan al descubierto en el mismoacto de proferirlo. Sin embargo la relacin que se podra inferir entre el contenido de la oraciny lo conferido por la intuicin debera entenderse como una relacin de significado. Elproblema para poder afirmar un enunciado pasara por admitir un problema del significado.Asimismo cuando somos capaces de entender, ulteriormente y en un lenguaje intuicionista, quecada oracin propuesta es un problema para el cual requiero una prueba, la prueba sera dar, enespecfico, con el significado del enunciado. Luego es que deberamos suponer que hay unacierta armona (Dummett 1978) entre estas dos partes para afirmar con un concepto, dado poruna teora del significado, la relacin entre lo que un enunciado expresa y lo que intuitivamentepuedo afirmar. Esto nos permitira llegar al problema del intuicionismo, por el cual se pone enduda el criterio clsico por cual derivo que toda oracin (sea esta del orden que sea) establecede manera concluyente aquello propone afirma, es decir que el intuicionismo pone en duda quetoda oracin porte en efecto algn tipo de conocimiento.

La expresin de una oracin supone que estamos ciertos de lo que se dice con ella. Estoimplica por necesidad que cuando se enuncia una oracin se asume que esta comunica dealguna forma. No podra de esta forma haber un enunciado que no fuese comunicante, por loque

Estamos ciertos de la verdad de la oracin cuando tenemos fundamentos concluyentes para laoracin y estamos ciertos de los fundamentos que tenemos cuando son vlidos y sonconcluyentes para ella. (Dummett, 1978: 296)

Es decir que lo que se comunica con una oracin afirmativa a es que se ha podidoconcluir a debido es que sustentable afirmarlo. Desde este punto de vista sera inconducenteque una oracin no tuviese fundamentos o que, de tenerlos, estos no sean vlidos de forma queno permitan que se concluya. Esto es el conocimiento que porta una oracin de forma que paraque una oracin sea comunicante, y con ello se constituya propiamente como una oracin, esteconocimiento debe ser observable. Esto es evidente: Para que se comunique tiene que serobservable lo que se comunica. Dado un caso en que una oracin tenga un contenido que seaexclusivamente privado y sin embargo se propone frente a un oyente, el contenido no setransmite y la oracin pierde sentido en tanto ha sido expresada. An cuando esta oracinestrictamente privada no pueda comunicar un contenido por s misma, si es posible apelar a quesea explicada en trminos que sea entendida por un oyente. Si esto no es posible, la oracinentonces no tiene contenido y no se puede decir porte un conocimiento ni que tenga unsignificado. Si una oracin posee un contenido, entonces ese contenido es comunicable.

El contenido de una oracin, entonces, es lo que la hace adscribir de un significado. Elsignificado, por tal, tambin es comunicable. El conocimiento del significado de una oracin ode una serie de oraciones nos hace considerar que esta sea admitida o no. Si hay un significadodebe haber una compresin de ese significado, y esto es una representacin de qu es lo que seconoce cuando se conoce el significado. De esta forma se puede establecer, mediante lacomunicabilidad de la oracin, que el significado reportar una cierta cualidad a la oracin o ala cadena de oraciones que, mediante hacer observable el contenido de lo que se dice, le

otorgar a la oracin una cualidad de uso. Es decir, si la oracin o la cadena de oraciones portaun determinado conocimiento, entonces se puede decir de esta que tiene un significado.Asimismo si una oracin porta un determinado conocimiento, entonces tambin se aportar conello, en la comunicacin, la reglas de uso por las cuales puedo insertar vlidamente la oracindentro de un argumento.

Decimos entonces, si hay una oracin, sta debe tener un contenido, el que reporta unacierta cantidad de conocimiento. Si lo tiene, entonces comunica o es comunicable. Lacomunicabilidad de la expresin hace que se pueda educir de ello un significado a la vez que unuso correcto de la oracin. Dada esta relacin se podra establecer que la oracin es admisible ono, por la relacin entre su significado y reglas de uso con aquello que se comunica comoconocimiento de la oracin. De forma que podemos decir que el significado es un instrumentode la oracin para la comunicacin entre los individuos. Sobre la base de esta comunicabilidadpodemos establecer que el enunciar una oracin reporta intuitivamente a lo que esta tiene comocontenido en conocimiento y luego como significacin, de tal forma que puedo establecer sobreella una determinada valuacin. Esto lo podramos entender como la primera tesis delintuicionismo:

(1) Los objetos de un lenguaje son inmediatamente captados por el sujeto pensante, por lo queun lenguaje admite poseer conocimiento que es independiente de la experiencia.1

Con lo que no decimos otra cosa que, la relacin entre las partes lgicas de la oracinque se siguen del (insisto) enunciado contenido en trminos de conocimiento y significado,aparecen frente al sujeto de modo automtico. Es por esto que se pueden admitir comointuitivas.

De esta forma el significado de una oracin permite a los comunicantes reemplazar esaoracin por otra equivalente con el fin de hacer ms explcitos los conocimientos que porta laoracin. Sin embargo la comunicabilidad del significado no implica por necesidad que ste seaverbalizable. Lo propongo de la siguiente forma: una expresin a es comunicable por tantotiene un contenido y por lo tanto puedo inferir que tiene un significado, ese significado puedereportar a una serie de signos que den cuenta del significado antes dado, del tipo a es tal o cualcosa y de ella puedo predicar que tal o cual otra, y debo tambin afirmar mediante esesignificado que uso a para referir a tal o cual cosa y, dentro de un lenguaje, sta ocupa tal ocual posicin. Lo segundo es imprescindible para un enunciado y esto es sus reglas de uso,mientras que lo primero es solo contingente puesto que puedo inferir un signos o serie de signosque sean comunicativos y no sean susceptibles de ser aludidos en forma de definicioneslingsticas.

De esta forma el uso de un lenguaje implica que el individuo se comprometa con lossignificados que emite de las oraciones posibles de formular en ese lenguaje. De esta forma,entonces, formular una oracin en un lenguaje L, ser formular un enunciado, en el que

1 Ya que nunca fue el inters, con excepcin de Dummett, de los intuicionista el proveer de un aparataje tericofuera de la matemtica, ni siquiera para la lgica, sino como expresin nuclear de esta ltima (puedenconsiderarse las constantes aluciones a la innecesidad de establecer las bases de una lgica intuicionista fuerade la matemtica en Heyting [1978] o la distincin entre lenguaje y matemtica de Brouwer [Molina, 2008]).Por esto es que fue necesario adaptar las dos tesis de Heyting (Heyting, 1971; Pagin, 1998) de forma quefuesen expresadas como tesis intuicionistas sobre el lenguaje y no slo como tesis sobre la matemtica. Estastesis en el planteamiento de Heyting son:

(1) Mathematics has not only formal significance, but also content(2) Mathematics objects are immediately grasped by the thinking subject; therefore mathematical

knowledge is independient of experience. (Pagin, 1998: 2).

materialmente tengo acceso a la oracin y que mediante su uso puedo acceder a su significado,entonces a sus reglas de uso y, contingentemente, a un cierto contenido verbalizable, que haraexplcita y comunicable la relacin de ese enunciado con un cierto conocimiento.

Con esta relacin podramos establecer dos tipos de enunciado, materializados comooraciones, en virtud del tipo de conocimiento que portan, a saber, los enunciados que portan unconocimientos de estmulos observacionales y los que portan conocimientos de estmulos noobservacionales. Estos se pueden entender como registros ms o menos directos de laexperiencia que porta un contenido individual determinado; determinacin que se produce en laenunciacin misma.

Los enunciados de estmulos observacionales son aquellos que tienen contacto directocon la experiencia, y dado que el conocimiento que portan es directo, los estmulos mismosinstan a la admisin o rechazo de estas oraciones, puesto el significado que ellos se propone. Deforma que el modelo de significado de esta clase de enunciados est intrincado en la relacinque se propone entre el conocimiento del estmulo y la oracin. Por ello este tipo de enunciadosson los que tienen significados que pueden ser expresados en forma de definiciones lingu sticas,adems de mediante sus reglas de uso, es decir que pueden ser discutidos puesto el estmulo quelos aduce, asimismo pueden ser derivados de enunciados no observacionales. Los enunciadosde tipo no observacional son aquellos que no tienen una relacin con la experiencia y que porello no hay un estmulo que produzca el conocimiento, sino que su significado consiste en lacomprensin de la estructura total, del lugar que ocupa la oracin en ella y su interaccin conotras oraciones. De esta forma no es posible educir que un tipo de enunciado y el otro tengan elmismo modelo de significado. Sin embargo el conocimiento que estas oraciones pueden aducirpermite que sea directo o indirecto. Sin embargo sea cual fuere el caso, los enunciadosrequieren tener un contenido individual expresado mediante el significado.

Los enunciados no observacionales constituyen la estructura interna de un lenguaje, entanto que los enunciados observacionales podran entenderse como la estructura perifrica deese mismo lenguaje, por lo que ambos pueden ser entendidos como una aspecto de este. Ambosaspectos, a su vez, deberan mantener una cierta armona entre s, para que el lenguaje seacoherente, de modo que lo que se afirma como significado de un enunciado de un tipo, deberatambin poder ser afirmado en el significado de un enunciado del otro tipo,

[...] no debe ser posible deducir enunciados de observacin cuyo estmulo perceptual seanecesario disentir [] debe sostenerse de un enunciado de observacin deducido por medio deuna teora que podemos situarnos a nosotros mismos en una situacin en la cual ocurran losestmulos que piden asentirlo. (Dummett, 1978: 302)

Esto que se propone como condicin, implica que el lenguaje debe ser una expresinconservadora del fragmento del lenguaje que solo contenga enunciados de observacin. Y esimportante hacer hincapi en que esta extensin conservadora del lenguaje es la que mantiene laarmona del lenguaje como sistema. Esto propone que la parte observacional del lenguajeimplicar la parte no observacional, que ya habamos asumido como una subestrutura dellenguaje y como ncleo de l, de modo que entonces, en caso de no cumplirse un determinadoenunciado no observacional, tampoco podr haber un enunciado observacional con ms omenos el mismo contenido que exija ser asentido.

Dentro de un sistema, esta armona puede mantenerse mediante las mismas reglas deuso de esas oraciones y de cmo estas proponen relaciones con otras oraciones, que portan losenunciados admisibles dentro del sistema. Decimos, entonces, las reglas de introduccin yeliminacin de oraciones, y con ello tambin las reglas de inferencia que permiten el uso de

oraciones, pero en ltima instancia

la armona que se pide depende de la teora del significado aceptada para el lenguaje, es decir,del modelo general del lenguaje en el que consiste el contenido de una oracin individual(Dummett, 1978: 303)

De esta forma se podra inferir que para la existencia de un teora del significado, paraque este sea posible calificarlo de x o de y, es necesario que haya un significado, puesto que hayargumentos de sistema que requieren la utilizacin de esta nocin la que, como veamos alprincipio, estn derivadas de que las oraciones se constituyan enunciados por ser portadores deciertos contenidos, derivados de un cierto conocimiento.

Entonces estamos en posibilidad de admitir la segunda tesis del intuicionismo, a saber

(2) Todo enunciado de toda teora debe tener un contenido individual.

Esto implica que, en un sentido pragmtico, detrs de la emisin de cada enunciadohaya un hablante que se compromete con lo que enuncia y que en un sentido matemtico oformal requerir de una prueba, la que ser el compromiso con lo que se enuncia y quesupondr una reinterpretacin de las conectivas en trminos de su significado.

2. Lo hereje de una discreta hereja: dos conectivas.

Para entrar en el sistema intuicionista, entonces habra que admitir, luego del significadoy del compromiso, las consecuencias de la que he expresado como (2), que directamente es lamodificacin de significado de las conectivas de forma tal que no permitan que sea pasada allevar ni la tesis (1) ni (2) del intuicionismo. Como es evidente esto nos reportar a dosconectivas problemticas en un sentido intuicionista: la negacin y la disyuncin .

Esto quiere decir que si estamos pensando el significado de una conectiva como su uso,puesto que estas son un caso de un enunciado no observacional en pleno, tendremos que pensaresto en la composicin de se usa para referir a b y se introduce en determinadoscontextos y se elimina en tales otros. Podemos establecer el significado de de modopleno. Cuando se piensa en trminos de referencia, estamos pensando, aun siguiendo en unsentido clsico a Frege, en que en ltima instancia implica asumir los valores de verdad queimplica tal conectiva.2 Por esta razn se puede considerar que la tabla de verdad de unaconectiva es tambin el significado de sta. Sin embargo esto no se niega, es aun muy limitado,puesto que subsume a cada oracin, y por ello a la conectiva, a tener un valor de verdadbivalorado, cuando esto no nos resulta admisible.

The intuitionist also accepts the truth tables, but for the intuitionist they do not explain themeaning of the costants. Since the principle of bivalence is not accepted, it cannot be assumedthat the entries in the truth table exhaust all posibilities. (Pagin, 1998: 3)

Dicho de otra forma, intuicionistamente la deduccin establecida por la tabla de verdadde una conectiva es correcta, pero esta no puede ser considerada exhaustiva, por la sencillarazn de que plantea no todas las posibilidades, sino algunas de ellas, en contextos en los cules

2 Cfr. FREGE, Gottlob, Sobre Sentido y Denotacin, En su: Lgica y Semntica, Valparaso: Ediciones Universitarias, 1972. Pg. 56.

las oraciones tienen slo dos valores, son finitas y para situaciones en las que efectivamente seconoce el valor de verdad de las oraciones conectadas. An ese efectivamente puede serpuesto en entredicho. Pero propone, por ejemplo, que si es el caso de la conectiva bicondicionaly poseo una pareja de oraciones a,b tal que la conectiva relaciona estas oraciones, y si para elcaso de las oraciones puedo admitir slo dos valores, a saber V o F, de modo que debo asignarnecesariamente uno de esos valores a las conectivas y ningn otro, entonces para el caso que laprimera oracin sea V y la segunda oracin F, el valor de la conectiva ser F. Esto implica unmontn de informacin que no parece tan posible que un hablante cualquiera pueda asegurar debuenas a primeras. Luego tambin est el problema de la saturacin de la tabla de verdad: siadmito para la tabla de verdad que tenga tres valores de verdad, o siete, cmo mantengo elsignificado de la conectiva en tales condiciones, o en casos de tener infinitos valores de verdad,o en caso de tener siempre un nmero variable y diferentes de mundos posibles o situacionesque me impidan hacer la antigua (y til) asociacin de que la cantidad de mundos posibles estdada por la relacin exponencial de valores de verdad sobre el nmero de variables a ocupar.Incluso, y creo que este es el ejemplo ms atingentemente intuicionista, qu pasara si tengo unacantidad x de valores al que le agrego una constante (que podramos entender como unaconstante de valoracin) por la cual la oracin admite que tiene un valor de verdadindeterminado, pero que es uno de los valores de verdad de los que es susceptible de tener laoracin. En particular es por esto que el intuicionismo admite las tablas de verdad, pero tan slocomo una forma de mostrar suficientemente, en contexto excesivamente limitados, elsignificado de la conectiva. As los significados es ptimo que estn dados en contextos lomenos rgidos posibles y que procuren ser lo ms infromativos posibles, a fin de establecer lascondiciones de necesidad para establecer la verdad o la falsedad de las conectivas.

Partir entonces con las conectivas que no tienen ni exigen diferencia de significado enun sentido clsico y uno intuicionista.

La conjuncin, , de la forma [...] p q pueden aseverarse si y slo si pueden aseverartanto p como q. (Heyting, 1978: 111). Dado esto las reglas de eliminacin e introduccin(Gamut, 1982: 136-7)3 resultan evidente:

Regla de Introduccin Reglas de Eliminacin

m1 ::

m2 ::

n I , m1,m2

n : :

m1 E , n : :

m2 E , n

Luego la implicacin o condicional material: puede aseverarse pq, si y slo siposeemos una construccin r, que aadida a cualquier otra construccin que demuestre p(supuesto que se lleve a cabo esta ltima), efecte automticamente una construccin que

3 El mtodo propuesto en (Gamut, 1978) para las reglas de eliminacin e introduccin es el de deduccin naturalde Gentzen, que es el tambin utilizado en Quirin (2011: 3 - 4).

demuestre que q. Dicho de otro modo, una demostracin de p juntamente con r constituir unademostracin de q. (Heyting, 1978: 112) Resultar ms instructivo un ejemplo: si tengo unafrmula pq (en el ejemplo de Heyting: pq) si suponiendo p unido a una frmula otra (r)como lo podra ser pq, se me permite entonces concluir q. Ms precisamente en laexplicacin de Heyting (1978: 113): [dos variables proposicionales] A(p, q) exige unaconstruccin , E, que, a partir de una demostracin C de p, y de una demostracin D de pq,nos proporcione una demostracin de q; por la definicin de la implicacin, E, consistesimplemente en la yuxtaposicin de C y D; por ello podr aseverarse A(p, q) [los enunciados py q al ser tomados desde la frmula pq anlogamente]. Encontramos ac una forma deprobar la relacin de pq de forma que la construccin otra a la que alude Heyting, decualquier forma puede ser distinta a la que siendo unida al antecedente permita dar con laformula planteada en el antecedente. As como se ha dado para el caso antes mencionado laformula :

A(p, q) (p pq q)Tambin podra darse para las frmulas siguiente, por ejemplo:A(p, q) (p p q q)A(p, q) (p q q)Constructivamente tambin podra aplicarse para una formulacin que admitiera una

disyuncin a modo de frmula otra, siempre y cuando sea posible derivar la oracinconveniente. Esta forma de construir la aseveracin de la implicacin material, se ve msevidentemente cuando se consideran las reglas de introduccin y eliminacin respectivamente(Gamut, 1982: 138-9):

Regla de Introduccin Reglas de Eliminacin

m1 supuesto::

m2 ::

n I, m1-m2

m1 : :

m2 : :

n E, m1,m2

De esta forma resulta evidente que la explicacin antes mencionada puede ser probadamediante introduccin y eliminacin de los enunciados propuestos afirmativamente. En generalesto permite afirmar cualquier frmula a condicin de que tenga prueba del consecuente, esdecir que el consecuente sea verdadero, y como para el caso del intuicionismo tambin puedoafirmartivamente inferir desde lo falso cualquier cosa (baste considerar la introduccin de lanegacin, que se abordar ms adelante), entonces basta que tenga prueba que del antecedentese sigue una contradiccin para poder afirmar una frmula condicional, o que tenga prueba delconsecuente, como antes mencionaba.

Las dos conectivas que genera complicacin en el contexto de la lgica intuicionista sonla disyuncin y la negacin. Estas, a diferencia de las anteriores, en alguna forma son

incompatibles con las de las lgica clsica en el sentido (restringido) de la lgica intuicionista,por el cual un teorema que de ellas se deriva para la lgica intuicionista, es necesariamente unteorema de lgica clsica, sin embargo a la inversa la relacin slo es posible.

En la disyuncin se hace muy patente la necesidad de prueba, decimos que no puedoafirmar nada si no me comprometo con un enunciado, o dicho de otro modo, no puedo admitiruna oracin cualquiera si es que no tengo forma de o ejercer un compromiso fuerte con lo quedice el enunciado o dar prueba de ello. Lo primero quiz lo pienso en un sentido pragmtico yen contextos dialgicos. Por tal cuando hago un enunciado de la forma pq me debera podercomprometer con la verdad de ste, lo que implica comprometerse con una de las oracionesconstituyentes de la frmula disyuntiva, as su significado estara dado porque [...] puedeaseverarse pq si y slo si es posible aseverar al menos una de las proposiciones p y q.(Heyting, 1978: 112). Lo problemtico, sin embargo, resulta ser el mtodo de eliminacin.Propondr, como antes la regla de eliminacin y de introduccin (Gamut, 1982: 143)

Regla de Introduccin Reglas de Eliminacin

m1 :::

n I, m1-m2

m1 :

m2 :

m3 :

n E, m1, m2,m3

La regla de introduccin resulta evidente, debido a la definicin, ya que si tengo certezade que la oracin p es verdadera, puedo luego enunciar que esta cualquier cosa, sin importar elcompromiso que tenga con esta segunda, puesto que ya me he comprometido con la primera. Lacomplicacin de esto es que si puedo afirmar p luego concluyo, menos informativamente, quepq por lo que expreso que alguna de los dos enunciados debe ser verdadero, sincomprometerme con uno en particular. Sin embargo la regla de eliminacin es un poco mscomplicada por su prueba, pero es una explicacin complementaria al significado de ladisyuncin que expresa la regla de introduccin: si tengo la frmula p q en una oracin puedodescomponerla de forma que de cada uno de estos dos elementos por separados puedaestablecer una conclusin comn, la que luego podr afirmar comprometidamente. Si seobserva con detenimiento, la regla de eliminacin en sentido estricto es una serie de reglasunidas que me permiten decir que si de cada uno de los elementos se sigue x, entonces para elcaso que sea puedo afirmar x. Esto es lo que se conoce como teorema de casos: planteo dosposibles hiptesis y verifico que esta sea planteada de forma tal que cumplan con dar cuenta deque los elementos de la disyuncin pueden ser afirmados.

Lo explico paso a paso. 1) tengo la disyuncin pq de forma que me es imposibleafirmar cul de los dos o si ambos elementos son verdaderos. 2) paso a generar un supuestohipottico p que se afirmar si y slo si puedo confirmar r como conclusin, de forma quepuedo afirmar, por lo pronto que pr. 3) genero un segundo supuesto hipottico mediante elcual pretendo comprobar que qr y 4) obtengo r. Ahora puedo hacer esto mismo para en vezde r afirmar q o afirmar p, para obtener prueba de que al menos una est afirmadaconstructivamente.

Aqu hay que hacer una aclaracin: si la frmula pq es dada con carcter de premisa,entonces puedo aceptar que esta sea una frmula verdadera, es decir que de exigir prueba, elsistema debera proveerme un elemento que me permita concluir cul de las dos es verdaderasino ambas, es decir, o la afirmacin o la negacin de uno de los disyuntos, de forma que (y yaque el sistema intuicionista admite el ex falso sequitor quod libet) podra admitir la frmula.Pero requiero una prueba y con eso negocio admitir slo aquello que me sirve paraconstructivamente admitir la frmula como afirmativa.

La negacin es la ms problemtica en relacin lo que se podra asumir en elrazonamiento clsico. Siguiendo la imagen, sera el fundamento de la hereja. La nocin quetradicionalmente se tiene de ella es que

la negacin es una operacin que realizada sobre una proposicin verdadera la convierte enuna falsa, y sobre una falsa la convierte en verdadera. (Molina, 2008: 92)

Es decir que clsicamente se la define como la negacin de la verdad, pero deberamospensarla ms bien como un operador proposicional mondico caracterizado por ciertas reglas deintroduccin y eliminacin (Gamut, 1982: 145):

Regla de Introduccin Reglas de Eliminacin

m1 :

m2 :

n I, m1, m2

m1 :

m2 :

n E, m1, m2

Claramente como estas son reglas de inferencia vlida, es decir que de premisasverdaderas nos lleva a conclusiones verdaderas, deberamos admitir que: 1) la negacin es algoque le sucede a las proposiciones, y stas seran las nicas expresiones susceptibles de sernegadas, 2) cuando hablamos de negacin necesariamente hablamos de verdad y falsedad,aunque de forma implcita, 3) para hablar de falsedad tenemos necesariamente que hablar denegacin, pues sera la falsedad la negacin de la verdad (Molina, 2008: 93). En un sentidoantiguo una negacin es, y as lo habra afirmado Aristteles, la declaracin de que una cosaest separada de otra, es decir que no hay relacin entre ellas ya que la afirmacin se tiene porla declaracin de que una cosa se relaciona con otra (Aristteles en Molina, 2008). De formaque una negacin sera la falta de relacin de conceptos, as tambin la falta de relacin deentidades extralingsticas. De esta manera Brouwer habra pensado el enunciado negativocomo aquel que expresa incompatibilidad entre dos construcciones mentales. Brouwer esa faltade relacin o separacin, propuesta por Aristteles, la interpreta como la incompatiblidad dedos realidades, a saber dos construcciones que seran el sujeto y el predicado del enunciado.Esta nocin puede ser reinterpretada por nosotros a saber que sera la incompatibilidad de lafuncin y el argumento, de forma que

No A ser la construccin que a partir de una prueba de A dar lugar a una prueba de unenunciado absurdo (Molina, 2008: 97)

Esto en Molina (2008) se interpreta como la primera accin del intuicionismo: afirmarque la negacin slo puede ser la construccin que se deriva de una prueba de la implicacin

material en el que ella no se cumple. Esto puede verse en el problema que Brouwer planteaacerca de que todo problema matemtico tiene solucin o no la tiene: en este caso no hay uncontenido en la formulacin en el cual un hablante se compromete o puede dar prueba de lo unoo de lo otro, sino que se reduce a ser una frmula infrtil en el depsito de frmulas queBrouwer acusa se haba vuelto el razonamiento clsico. Esta es la fundamental razn por la cualrechaza el tercero excluido y deja de ser entendido como un teorema de cualquier teora.Adems como ya fue propuesto, si con la afirmacin de un enunciado, al introducir ladisyuncin, obtenemos un enunciado menos informativo (lo que es contra-intuitivo), sinembargo este tipo de formulaciones se pueden apreciar como sencillamente infructuosas cuandono hay forma de compromiso posible: hablante y oyente en una formulacin como sta estncondenados a no poder inferir significado alguno. La comunicacin del enunciado desaparece,puesto que si un enunciante (como admitimos en la primera parte del texto) comunica lo queobservablemente se puede decir que comunica y a ello se reporta el significado del enunciado,deberamos admitir que un enunciado de la forma A o No A ser incomunicante (salvo que sehaya afirmado una de las partes) y por ello, en sentido estricto deberamos pensar unaformulacin de este tipo como una oracin vaca, o como algo que no es un enunciado.

Sin embargo y en favor del razonamiento clsico (y su uso y abuso del tercero excluido)este tipo proposiciones sera sustentable en contextos finitos en el cual todas las formulacionesson conocidas, pero para contextos donde los elementos a considerar son infinitos esto no tienesentido, puesto que al no determinar qu es lo que se dice, se puede inferir que existenecesariamente prueba de alguna de las dos posibilidades puestas en contraste mediante ladisyuntiva. Para ocupar el ejemplo de Brower: si los problemas matemticos fuesen finitos, laafirmacin de que todos tienen o no todos tiene solucin sera poco informativa, pero asible.Sin embargo al no ser un conjunto finito, la formulacin se vuelve vaca puesto que no essusceptible de prueba. Debera entenderse esto como el problema principal del intuicionismo:no puedo afirmar algo que no es susceptible de prueba como forma de enunciadoobservacionales. Dicho de otra forma: no estoy posibilitado de afirmar un hecho por noencontrar prueba de lo contrario. Cito:

Los hombres, nos dice Brouwer, no reconocieron que las palabras son en su esenciainstrumentos para trasmitir nuestra voluntad, y las trataron como etiquetas para conceptos. Sepens que esos conceptos y las relaciones entre ellos nos llevaran a existencias independientesde la actitud causal del hombre, y se consider que los principios lgicos representaran lasleyes a priori que gobiernan esos conceptos y sus relaciones recprocas. (Molina, 2008: 100)

Este sera el primer movimiento del intuicionismo, que por las lecturas de Schopenhauerde Brouwer tiene una lectura vitalista que, si bien no es objeto propiamente de este texto, hacedel lenguaje un objeto del que es necesario apropiarse positivamente puesto que es tanto elinstrumento mediante el cual se da cuenta de la realidad, as tambin el instrumento mediante elcual el hombre interviene el mundo. La actualidad de un mundo posible no puede ser ladistancia que hay entre un predicado negativo y su sujeto, puesto que en una afirmacin nopuede estar la apropiacin total del mundo, sino ms bien la apropiacin total del lenguaje quelo expresa. Contina Molina a propsito de Brouwer:

Los hombres, afirma Brouwer, han conseguido controlar los objetos observables y losmecanismos del mundo perceptivo cuando se trata de complejos extendidos de hechos yeventos, considerando y tratando el sistema de esos objetos y mecanismos en el mundoespaciotemporal como parte de un sistema finito y discreto de objetos cuyos elementos estnligados por un nmero finito de relaciones. (Molina, 2008: 100)

De esta forma, y en comparacin con el razonamiento clsico, la interpretacinintuicionista de la negacin es positiva, cito:

Ici on ne peut plus lire la propit es fausse , plus plutot comme on a une preuve que lapropit est contradictoire (Quirin, 2011: 4)4

Es la contradiccin que se sigue de una determinada propiedad la que hace que se puedaocupar el signo , puesto que no se puede arrancar del mundo la posibilidad de una propiedadslo por el hecho de que un sujeto determinado en un momento dado no puede dar prueba de ono se puede comprometer con ello. El mundo del razonamiento clsico no slo es un mundofinito (lo que ya parece inverosmil), sino que adems es uno esttico.

4 Ac no podemos leer la propiedad es falsa, sino ms bien como tenemos una prueba de que la propiedad es contradictoria

3. Conclusin

Me parece que se puede ver ac el problema que el intuicionismo desarrolla en relacinal planteamiento clsico, del que se puede inferir, primero, que el rechazo al principio detercero excluido no implica que se vuelva una frmula necesariamente invlida, sino que esnecesario admitirla como una contingencia, puesto que para los casos en que se tiene prueba ose puede dar prueba, si se la pide, de ella es legtimo introducirla; y hay que considerar que yano se la puede inferir como necesariamente verdadera en un caso en el que no sea atingente. Esdecir, y esto es exclusivamente en este sentido, deja de ser un teorema. Segundo, el rechazo delprincipio de bivalencia se rechaza sintcticamente por razones similares, filosficamente puestoque no se puede limitar a que enunciados observacionales, implicados por los noobservacionales, estn fijados a un horizonte finito donde todo ya ha sido conocido y dondenada nuevo puede aparecer, de manera que todos los enunciados posibles (y as lo determina elpensamiento clsico) ya estuvieran valorados, casi en una forma de anterioridad presentementemtica. Tercero, por razones formalmente similares la procedimiento de reduccin al absurdotambin queda rechazado, puesto que sobre la base de enunciar que no es el caso que unenunciado a implique una contradiccin, no se sigue que sea el caso que a. Sin embargo habraque hacer una aclaracin no antes hecha, y que es importante: ste en tanto procedimientoindirecto es ms rechazable que uno directo, sin embargo se puede admitir una prueba indirectaslo para el caso en que haya tambin una prueba directa. Por supuesto bajo esta premisa cmomtodo resulta infructuoso, pero puede permitir derivar una frmula vlida dentro de uncontexto que admita el procedimiento. Quiero decir se insta a asentir de una frmula si hayprueba de ella y ello implica que esa frmula es verdadera, en lo que, que sea verdaderasignifica que hay prueba; se nos insta a disentir de una frmula si no hay prueba de ella. Sinembargo se nos insta a negar una frmula slo para los casos en que de la frmula se deriva unacontradiccin.

Como ltimo comentario, quisiera mencionar que a pesar de lo firme y estrictamenteconstructivo del sistema, Brouwer descubri una frmula vlida que, bajo cualquier punto devista, no podra ser interpretado constructivamente. La propongo casi slo como una cuestinanecdtica, ya que no slo pone en entredicho el sistema, sino que es descubierta por el mismogestor del sistema (Cfr. Molina, 2008:102)

x x

1. (xy)(yx) Teorema de contraposicin de Li2. xx Teorema de Li3. (xx)(xx) Sustitucin uniforme 1: y/x4. xx Modus ponens, 2,3.

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