Una teoría es más impresionante cuanto mayor sea la simplicidad de sus postulados, el número de cosas que relacione y la extensión de su campo de aplicación. De aquí la impresión tan profunda que me ha causado la termodinámica. Es la única teoría física de contenido universal de la cual estoy convencido que, por lo que respecta al campo de aplicación de sus conceptos básicos, nunca será sustituida. Por sólo estas razones, es una parte muy importante en la educación de un físico.

Albert Einstein

La teoría cinética trata de

explicar las propiedades de los

gases, tales como la presión, la

temperatura ó el volumen,

considerando su composición

molecular y su movimiento

1. Un gas ideal consta de partículas que siguen un

movimiento aleatorio y que obedecen las leyes de la

mecánica clásica

2. El número total de moléculas es muy grande

3. El volumen ocupado por las moléculas es una fracción

muy pequeña del que ocupa el gas

4. La única fuerza que actúa sobre las moléculas es la

debida a las colisiones, ya sean con otras moléculas o

con las paredes del contenedor

5. Todas las colisiones son elásticas y de muy corta

duración

2

2

1

3

3

2 2

3

2

P v

m vkT

U T NkT

23

es la constante de Boltzmann

1.38 10 joules/kelvin

es la constante de los gases ideales

joules8.31

kelvin mol

k

k

R

R

El estado mecánico de cada partícula se define por su posición y su velocidad: , , y , ,r x y z v x y z

Es el número de partículas por unidad de

volumen del espacio de configuración:

, , , ,

x y zdr dxdydz dv dv dv dv

dN r v t f r v t drdv

Toda variable mecánica que exprese la energía

en forma del cuadrado de una variable contribuye

a la energía interna con la mitad de la constante

de Boltzmann por la temperatura absoluta.

Es decir, si l 2a energía mecánica es

la energía interna vinculada con esa variable vale:

1

2x

E x

U N kT

Sea una molécula que posee variables mecánicas,

o grados de libertad, que expresan la energía en

forma de cuadrado. En ese caso:

2 2

El calor molar del gas que forma valdrá:

1V

f

f fU N k T nR T

Uc

n

2

fR

T

Gas monoatómico:

1 3

2

5

2

VV

p v

Uc R

n T

c c R R

Gas diatómico:

1 5

2

7

2

VV

p v

Uc R

n T

c c R R

Gas poliatómico

Grados de libertad, 6 ó más, siendo traslaciones y rotaciones:

1 63

2

3 4

VV

p v

f

Uc R R

n T

c c R R R R

Cristal formado por átomos o moléculas monoatómicas

ordenados en el espacio.

Cada partícula vibra sobre su posición de equilibrio y

tiene tres grados de libertad cinéticos y tres potenciales:

1V p

Uc c

n T

6

32V

R R

El calor específico molar de un cristal es

Independientemente de la naturaleza

del cristal

3c R

La sección eficaz de choque es el área

dentro del que se debe situar el centro de

una partícula para que choque con otra.

Seguimos pensando en n partículas por

unidad de volumen con la velocidad media,

<v>.

Todas las partículas se sustituyen por sus

centros, y sólo una por sección eficaz, σ.

2

La sección eficaz de choque será entonces:

4 r

vt

rel 2rel rel

1 11

4n V

n V nr V

vt

rel

v

v

n V

cil

cil

2rel rel4

L

N

vt vt

n V t nr V t

v

´v

rel ´V v v

rel

2 2 2

rel

2 2 2

rel

´

´ ´ ´ 2 ´

Tomando los promedios

´ 2 ´

V v v

V v v v v v v v v

V v v v v

rel

0

2 2 2

rel

´

´ ´ cos

cos sin 0 ´ 0

y

´

V v v

v v v v

d v v

V v v

2 2 2

rel

22

rel rel

2 2 2

rel

´

Haciendo la aproximación

e igual para las otras velocidades, tenemos

´

V v v

V V

V v v

2 2 2

rel

2 2

rel

´

Por último, basados en nuestras suposiciones

es claro que ´

así que

2

V v v

v v

V v

2rel

rel

2 2

4

2

1

4 2 4 2

v t

nr V t

V v

v t

nr v t nr

2

2

2 2

1

4 2

Tenemos que

así que

4 2Usando la ecuación de estado de un gas ideal

4 2 4 2

r n

Nn

V

V

r N

PV NkT

V kT

r N r P

El estado mecánico de cada partícula se define por su posición y su velocidad: , , y , ,r x y z v x y z

Es el número de partículas por unidad de

volumen del espacio de configuración:

, , , ,

x y zdr dxdydz dv dv dv dv

dN r v t f r v t drdv

3 / 2

2 24 exp / 22

mN v dv N v mv kT dv

kT

3 / 2

2 24 exp / 22

mN v dv N v mv kT dv

kT

3 / 22 2

0

4 exp / 22

mN v dv N v mv kT dv

kT

N N v dv

3 / 22 2

3 / 22 2

0 0

3 / 22 2

0

3 / 2 3 / 2

0

0

4 exp / 22

4 exp / 22

2exp / 2

4

24

2 4

mN v dv N v mv kT dv

kT

mN v dv N v mv kT dv

kT

kTv mv kT dv

m

m kTN v dv N N

kT m

N v dv N

3 / 22 2

3 / 22 2

2

p

4 exp / 22

8 exp / 2 / 2 12

0

/ 2 1 0

2

mN v dv N v mv kT dv

kT

dN v mN v mv kT mv kT

dv kT

dN v

dv

mv kT

kTv

m

3 / 22 2

0

3 / 23 2

0

2 23 2

20

3 / 2 2 2

2

4 exp / 22

1

4exp / 2

2

2exp / 2

88

2

mN v dv N v mv kT dv

kT

v vN v dvN

N mv v mv kT dv

N kT

k Tv mv kT dv

m

m k T kTv

kT m m

3 / 22 2

2 2

0

3 / 22 4 2

0

5 / 24 2

0

3 / 2 5 / 22

4 exp / 22

1

4exp / 2

2

3 2exp / 2

8

3 2 34

2 8

mN v dv N v mv kT dv

kT

v v N v dvN

N mv v mv kT dv

N kT

kTv mv kT dv

m

m kT kTv

kT m m

3 / 2

2 2

2

2rms

4 exp / 22

3

3

mN v dv N v mv kT dv

kT

kTv

m

kTv v

m

2

2 21rms

1

1 1 1

2 2 2

1 3 3

2 2

3

2

N

iNi

ii

vK m v Nm Nmv

N

kTK Nm kT

m

K kT

2 2rms rms

3 3y

Además

Por tanto,

3 3 3

y

P kTv v

m

M

V

P

PV N

PV kT

M m

kT

MPV kT

m

3 / 22 2

2

4 exp / 22

Como

1 2ó

2

2 1

2

N E dE N

mN v dv N v mv kT dv

kT

dvN E N v

dE

EE mv v

m

dvE

d

E m

v

d

v

3 / 22 2

3 / 2

3 / 2

4 exp / 22

2 1 1

2

1 2 1 14 exp /

2 2

2 1exp /

mN v dv N v mv kT dv

kT

dv dvN E N v

dE dE m E

mN E N E E kT

kT m E

NN E E E kT

kT

3 / 2

2 1exp /

NN E E E kT

kT

3 / 2

3 / 2

P

2 1exp /

2 1 1 2exp / 1

2

0

21 0

2

NN E E E kT

kT

dN E N EE kT

dE kTEkT

dN E

dEE

kTkT

E

3 / 2

0

3 / 23 / 2

0

5 / 2

3 / 2

2 1exp /

1

1 2 1exp /

2 1 3 3

4 2

3

2

NN E E E kT

kT

E E N E dEN

NE E E kT dE

N kT

kTE kT

kT

E kT