Unidad 0

INTRODUCCION

BERNARDO ARENAS GAVIRIAUniversidad de Antioquia

Instituto de Física

2013

Índice general

0. Introducción 10.1. Cantidades físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.1.1. Análisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2. Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.2. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2.1. Cantidades escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2.2. Cantidades vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2.3. Notación vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2.4. Representación de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2.5. Dirección de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2.6. Vectores iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2.7. Vectores iguales y opuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2.8. Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2.9. Suma o composición de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2.10. Suma de vectores por el método gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2.11. Componentes rectangulares de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.2.12. Suma de vectores por componentes rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . 80.2.13. Producto entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100.2.14. Producto escalar o producto punto entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . 100.2.15. Producto vectorial o producto cruz entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . 120.2.16. Derivadas con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

0.3. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140.4. Matemática para la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

0.4.1. Algebra y trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150.4.2. Geometría Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170.4.3. Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

0.5. Pautas generales en la solución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190.6. ENUNCIADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Bibliografía 23

3

Capıtulo 0Introducción

COMPETENCIASEn esta introducción se busca que el estudiante

Manipule adecuadamente las herramientasmatemáticas que son indispensables en lafísica.

Infiera la importancia del análisis dimen-sional y de las unidades en la física.

Obtenga las relaciones numéricas entre losdiferentes sistemas de unidades que se em-plean en la física.

Distinga entre una cantidad escalar y unacantidad vectorial.

Utilice correctamente la notación vectorial.

Analice las diferentes operaciones con vec-tores.

Obtenga las relaciones matemáticas entrecoordenadas rectangulares y coordenadaspolares.

0.1. Cantidades físicas

0.1.1. Análisis dimensional

Los conceptos, leyes y principios de la física,se expresan mediante ecuaciones matemáticasque contienen diferentes tipos de cantidades de-nominadas cantidades físicas. Desde el puntode vista dimensional, estas cantidades físicas se

clasifican en dos grupos: fundamentales y deri-vadas. Una cantidad fundamental se define comoaquella que no es posible expresar en funciónde ninguna otra; en cambio una cantidad deriva-da se define como aquella que se expresa en fun-ción de una o varias cantidades fundamentales.En física se reconocen cuatro cantidades funda-mentales, a partir de las cuales es posible expre-sar cualquier otra cantidad física. Estas son: lalongitud cuya dimensión es L, la masa cuya di-mensión es M, el tiempo cuya dimensión es T yla carga eléctrica cuya dimensión es C.

En lo que sigue, la dimensión de una cantidadfísica se expresa encerrando la cantidad físicaentre corchetes. Por ejemplo si F es una fuerza,su dimensión se expresa en la forma [F].

En el área de la mecánica, sólo es necesarioconsiderar las tres primeras cantidades funda-mentales, esto es, L, M y T, ya que se tratarántemas en los cuales no interviene la carga eléc-trica. Por ello, se hace referencia únicamente alas que son de interés en los conceptos a tratarcuando se analiza el movimiento de los cuerpos.

Cualquier otra cantidad física se encuentradentro del grupo de las denominadas cantida-des derivadas, tales como: área (A) con dimen-sión [A] = L2, volumen (V) con dimensión[V] = L3, densidad (ρ) con dimensión [ρ] =ML−3, fuerza (F) con dimensión [F] = MLT−2,velocidad (v) con dimensión [v] = LT−1, etc.

0.1.2. Unidades

A cada una de las cantidades fundamentales sele asigna una unidad patrón, dependiendo del

2 CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN

sistema de unidades a emplear. Existen tres sis-temas de unidades: El Sistema Internacional (SI),el Sistema Gaussiano y el Sistema Inglés (SU).

El sistema de unidades más utilizado en la ac-tualidad y que será empleado en la mayoría delos casos, es el SI. En este sistema de unidadesla dimensión L se expresa en metros (m), la di-mensión M se expresa en kilogramos (kg) y ladimensión T se expresa en segundos (s).

El sistema gaussiano es un sistema derivadodel anterior y en el cual las unidades de las di-mensiones L, M, T son, respectivamente, el cen-tímetro (cm), el gramo (g) y el segundo (s).

Los factores de conversión, entre los sistemasde unidades SI y gaussiano, están dados por:

1 m ≡ 102 cm y 1 kg ≡ 103 g.

El sistema de unidades SU es de poco uso en laactualidad. En este sistema las cantidades fun-damentales son la fuerza con dimensión F, lalongitud con dimensión L y el tiempo con di-mensión T y sus unidades patrón son, respec-tivamente, la libra (lb), el pie (p) y el segundo(s). Otra unidad utilizada en este sistema es lapulgada (in o pul), cuya relación con el pie es

1 p ≡ 12 in.

Las relaciones entre las unidades del sistema SIy el sistema SU son:

1 lb ≡ 4.448 N y 1 p ≡ 0.3048 m.

Como se verá, en el desarrollo de los diferentestemas del curso, un buen manejo de las dimen-siones y sus respectivas unidades, tanto de lascantidades fundamentales como derivadas, per-mitirá detectar posibles errores cometidos en loscálculos matemáticos que se llevan a cabo en elanálisis de situaciones físicas.

En la tabla 1 se muestran las cantidadesfísicas que serán utilizadas en los temas a trataren este curso. Se incluyen sus correspondientesdimensiones y las unidades respectivas en elsistema SI, con el fin de ir adquiriendo familia-ridad desde ahora con ellas. Algunas de ellasreciben los siguientes nombres

Tabla 1: Cantidades físicas, dimensiones y uni-dades

Cantidad física Símbolo Dimensión UnidadLongitud x, y,z L m

Masa M, m M kgTiempo t T sPosición r L m

Desplazamiento ∆r L mVelocidad v LT−1 m s−1

Aceleración a LT−2 m s−2

Vel. angular ωωω T−1 s−1

Acel. angular ααα T−2 s−2

Mto. lineal P, p MLT−1 kg m s−1

Fuerza F, f MLT−2 kg m s−2

Mto. angular L ML2T−1 kg m2s−1

Mto. de una fuerza M ML2T−2 kg m2s−2

Trabajo W ML2T−2 kg m2s−2

Energía E ML2T−2 kg m2s−2

Potencia P ML2T−3 kg m2s−3

Abreviaturas. Vel.: Velocidad, Acel.: Aceleración Mto.:Momento

Fuerza: 1 kg m s−2 ≡ 1 N (Newton).

Trabajo y energía: 1kg m2 s−2 ≡ 1 J (Julio).

Potencia: 1 kg m2 s−3 ≡ 1 W (Vatio).

Presión: 1 N m−2 ≡ 1 Pa (Pascal).

Ejemplo 0.1 Determine las dimensiones y unidades,en cada uno de los sistemas anteriores, de k1, k2, k3 enla expresión s = k1t2 − k2t + k3, sabiendo que s es unalongitud (L) y t es un tiempo (T).SoluciónSi s es una longitud, cada uno de los términos de esta ex-presión debe tener dimensiones de longitud, es decir, parael primer término[

k1t2]= [k1]

[t2]= [k1] T2 = L,

así

[k1] =LT2 = LT−2,

por consiguiente, sus unidades son: m s−2 en el sistema SI,cm s−2 en el sistema gaussiano y en el sistema inglés p s−2,por lo que de acuerdo con la tabla 1, k1 corresponde a unaaceleración.

0.2. VECTORES 3

Para el segundo término

[k2t] = [k2] [t] = [k2] T = L,

de donde[k2] =

LT= LT−1,

en este caso las unidades son: m s−1 en el sistema SI,cm s−1 en el sistema gaussiano y p s−1 en el sistema in-glés, o sea que k2 corresponde a una velocidad.

Para el tercer término

[k3] = L,

donde finalmente, las unidades de k3 son: m en el sistemaSI, cm en el sistema gaussiano y p en el sistema inglés, yaque sólo tiene dimensiones de longitud.

Ejercicio 0.1 Halle las dimensiones y unidades, en lostres sistemas, de la constante G que aparece en la expre-sión

F = Gm1 m2

r2 ,

donde F es una fuerza, r es una longitud y tanto m1 comom2 son masas.

Ejercicio 0.2 Teniendo en cuenta las dimensiones obte-nidas para G en el ejercicio 1, determine a qué cantidadfísica corresponde g en la expresión

g = Gmr2 .

Ejercicio 0.3 Encuentre las dimensiones y unidades encada una de las siguientes expresiones (a)

√gR, (b) mgR,

(c) mvR[cos

( vtR)+ 1

]y (d) 1

2 mv2 + mgR(1− cos θ). Don-de g es una aceleración, R es una longitud, m es una masa,v es una velocidad y t es un tiempo. En cada caso, diga acuál cantidad física corresponde cada expresión.

Ejemplo 0.2 La densidad de una sustancia esρ = 4.5 g cm−3. Exprese esta densidad en el sistema SI deunidades.SoluciónUtilizando factores unitarios se tiene

ρ = 4.5 g cm−3

= 4.5 g cm−3 × 1 kg103 g

× 106 cm3

1 m3 ,

así, luego de efectuar y simplificar se obtiene

ρ = 4.5 × 103kg m−3.

Ejercicio 0.4 Exprese en unidades SI y en unida-des gaussianas: (a) 50 km h−1. (b) 3.03 × 103 p s−2. (c)300 p lb s−1.

0.2. Vectores

La física es una ciencia natural que tiene comoobjetivo explicar los fenómenos físicos que ocu-rren en la naturaleza, tal como el movimientode los cuerpos.

Para poder explicar estos fenómenos se dis-pone de modelos físicos, los cuales están sus-tentados por leyes comprobadas experimental-mente y que se expresan en forma de ecuacio-nes matemáticas. Es decir, se toma la matemá-tica como el medio más adecuado para explicarlos fenómenos de la naturaleza que están direc-tamente relacionados con la física, en otras pa-labras, la matemática es el lenguaje de la física.

Por ello, es necesario utilizar el álgebra, la tri-gonometría, la geometría euclidiana, la geome-tría vectorial y el cálculo, ya que mediante estasramas de la matemática, es posible llevar a ca-bo procedimientos matemáticos adecuados conlas cantidades físicas a utilizar, para un buen en-tendimiento de los fenómenos físicos involucra-dos.

Lo anterior lleva a una clasificación de lascantidades físicas, dependiendo de la forma co-mo se expresan. De este modo, se clasifican encantidades escalares y cantidades vectoriales.

0.2.1. Cantidades escalares

Son aquellas cantidades físicas que quedancompletamente determinadas por su magnitudy su unidad respectiva. Las cantidades escala-res se operan de acuerdo con las reglas de laaritmética, el álgebra y el cálculo. Cantidadesfísicas de este tipo son el área (A), el volumen(V), la masa (m), el tiempo (t), el trabajo (W),la potencia (P), el momento de inercia (I), lapresión (p), la energía (E), la temperatura (T), laentropía (S ), etc.

Ejemplos: A = 10 cm2, V = 3 m3, m = 5 kg,t = 3 s.

0.2.2. Cantidades vectoriales

Son aquellas cantidades físicas que para sucompleta determinación, se requiere añadir una


dirección además de su magnitud y su unidadrespectiva. A diferencia de las cantidades es-calares, las cantidades vectoriales se operan deacuerdo con las reglas de la geometría vectorial.Cantidades físicas de este tipo son la velocidad(v), la aceleración (a ), la velocidad angular ( ω),la aceleración angular (α ), el momento lineal (p), la fuerza (F ), el torque (τ ), el momento angu-lar (L ), etc.

0.2.3. Notación vectorial

Como se ha podido observar, las cantidades es-calares y las cantidades vectoriales, se deno-tan de manera diferente con el fin de distinguirunas de otras. En textos impresos, generalmentese utiliza letra negrilla para representar los vec-tores; por ejemplo, la fuerza se expresa como F yen otros casos como F. Igualmente, la magnituddel vector A se representa como |A| = |A| = A,que corresponde a un escalar.

En los temas que se tratarán de acá en adelan-te, es indispensable distinguir claramente entreuna cantidad escalar y una cantidad vectorial.

0.2.4. Representación de un vector

Un vector se representa gráficamente medianteuna flecha cuya longitud, utilizando una escalaadecuada, corresponde a la magnitud del vec-tor. Igualmente, la dirección del vector está da-da por el sentido de la flecha, como se ilustraen la figura 1 para los vectores A, B, C y D, quetienen direcciones diferentes.

AB

C

D

Figura 1: Representación de un vector.

0.2.5. Dirección de un vector

Por definición, a un vector se le debe asignar,además de su magnitud, una dirección. Para

que la dirección del vector quede completamen-te determinada, es necesario definir una direc-ción de referencia, respecto a la cual se mide elángulo que forma el vector considerado. En lafigura 2 se muestra la dirección de los vectoresde la figura 1, donde se ha tomado la horizontalcomo la dirección de referencia.

Matemáticamente, los vectores de la figura 2,se expresan en la forma:

A = A 45o

D =D 45o

B = B

C = C

A B

CD

45o

0o

90o

45o

Figura 2: Dirección de un vector.

0.2.6. Vectores iguales

Los vectores A y B son iguales si tienen la mis-ma magnitud y la misma dirección, como seilustra en la figura 3. Matemáticamente, lo an-terior se expresa en la forma A = B.

A B

q q

Figura 3: Vectores iguales.

0.2.7. Vectores iguales y opuestos

Dos vectores A y B son iguales y opuestos si tie-nen la misma magnitud pero sentidos opuestos,como se ilustra en la figura 4. Por lo que mate-máticamente A = −B.

0.2. VECTORES 5

A

B

q

q

Figura 4: Vectores iguales y opuestos.

0.2.8. Vectores unitarios

Un vector unitario es aquel cuya magnitud esigual a la unidad. Por ello, como en la figura 5,se define el vector unitario λ, que es paralelo alvector A, en la forma

λ ≡ AA

,

donde A es la magnitud del vector A.

A

l

x

y

z

Figura 5: Vector unitario paralelo al vector A

De este modo, el vector A se puede expresaren la forma A = λA, lo cual indica que un vec-tor unitario es adimensional, esto es, no tiene di-mensiones.

Para trabajar operacionalmente con vectores,a cada uno de los ejes coordenados se le asociaun vector unitario, como se ilustra en la figura6 donde al eje x se le asocia el vector unitarioi, al eje y el vector unitario j y al eje z el vectorunitario k.

x

y

z

Oi

jk

Figura 6: Vectores unitarios en coordenadas rectan-gulares.

0.2.9. Suma o composición de vectores

Los vectores se pueden sumar gráfica y analíti-camente, como se describe a continuación. Estaoperación vectorial es de utilidad, por ejemplo,cuando se trata de hallar la fuerza neta o fuerzaresultante que actúa sobre un cuerpo. En este ymuchos otros casos, es necesario sumar variosvectores con el fin de obtener el vector suma ovector resultante.

0.2.10. Suma de vectores por el métodográfico

Dentro de este método existen dos maneras dehacerlo, por el método del polígono y el métododel paralelogramo.

Cuando se trata de sumar dos vectores, sepuede utilizar el método del triángulo o el mé-todo del paralelogramo, en la forma que semuestra en las figuras 7 y 8, donde se ilustragráficamente la suma de los vectores A y B.

A

B

S=A+B

A

B

BA

S=B+A

Figura 7: Método del triángulo.

En el caso del método del triángulo, se tomauno de los vectores y donde éste termina se tras-lada el otro vector, de este modo, el vector sumaestá dado por el vector que va desde donde em-pieza el primer vector hasta donde termina elsegundo, como se ilustra en la figura 7.

Al observar la figura 7, se encuentra que A +B = B + A, lo cual indica que la suma de vecto-res es conmutativa.

En el método del paralelogramo, se trasladan


los dos vectores a un punto común, se comple-ta el paralelogramo cuyos lados opuestos tienenvalores iguales a la magnitud del vector corres-pondiente. El vector suma está dado por la dia-gonal que parte del punto común a los dos vec-tores, como se muestra en la figura 8.

A

B

S=A+B

A

B

Figura 8: Método del paralelogramo.

Cuando se trata de sumar más de dos vecto-res, se hace una generalización del método deltriángulo y en este caso se habla del método delpolígono, el cual se ilustra en la figura 9, para lasuma de los vectores A, B, C y D.

A

B

S=A+D+B+C

A

B C

D

D

C

Figura 9: Método del polígono.

Igual que para dos vectores, sigue siendo vá-lida la conmutatividad en la suma de vectores,esto es, A + B + C + D = D + C + B + A =A + D + B + C.

Cuando se suman vectores gráficamente, altrasladarlos, no se debe cambiar ni la magnitudni la dirección de ninguno de ellos, pues si estoocurre se encontraría un vector suma diferenteal buscado.

0.2.11. Componentes rectangulares de unvector

En la sección 0.2.12, se considera el método ana-lítico que permite sumar vectores. En dicho mé-todo se emplea el concepto de componentes rec-tangulares de un vector.

Con ayuda de los vectores unitarios asocia-dos a los ejes coordenados, siempre es posibleexpresar un vector en componentes rectangula-res, como se ilustra en la figura 10, para el vectorA.

x

y

z

OAxi

Ay j

Azk A

Figura 10: Componentes rectangulares de un vector.

En este caso se ha aplicado el método gráficopara la suma de vectores, con la condición quelos vectores componentes son perpendicularesentre sí, esto es, el vector A expresado en com-ponentes rectangulares está dado por

A = Axi + Ayj + Azk,

donde las componentes rectangulares Ax, Ayy Az pueden ser positivas o negativas, depen-diendo de la orientación del vector respecto alos sentidos positivos de los ejes rectangulares.En el caso de la figura 10, las tres componentesson positivas. La magnitud del vector A está re-lacionada con la magnitud de sus componentesrectangulares, por medio de la expresión

A2 = A2x + A2

y + A2z .

Donde se ha utilizado el teorema de Pitágoras.Para expresar la dirección de un vector en el

espacio tridimensional, se utilizan los ángulosque el vector en consideración forma con ca-da uno de los ejes coordenados.En el caso dela figura 10, el vector A forma los ángulos θx,

0.2. VECTORES 7

θy y θz, con los ejes x, y y z, respectivamente.De este modo, las respectivas componentes delvector A, se obtienen mediante las expresionesAx = A cos θx, Ay = A cos θy y Az = A cos θz.Así

A = A(cos θx i + cos θy j + cos θzk),

donde el vector unitario paralelo al vector A, es-tá dado por

λ = cos θx i + cos θy j + cos θzk,

expresado en función de los cosenos directorescos θx, cos θy y cos θz.

Igualmente, como la magnitud del vector λ esla unidad, se satisface la igualdad

cos2θx + cos2θy + cos2θz = 1,

esto es, la suma de los cuadrados de los cosenosdirectores es igual a la unidad.

En el caso de dos dimensiones, se procede deforma idéntica, solo que únicamente aparecendos componentes rectangulares, como se mues-tra en la figura 11, para el vector A.

x

y

O Axi

Ay jA

q

b

Figura 11: Componentes rectangulares de un vector.

En este caso, aplicando de nuevo el métodográfico para la suma de vectores, se tiene que elvector A expresado en componentes rectangu-lares está dado por

A = Axi + Ayj,

donde igualmente las componentes rectangula-res Ax y Ay pueden ser positivas o negativas,dependiendo de la orientación del vector res-pecto al sentido positivo de los ejes de coorde-nadas, esto es, del cuadrante donde se encuen-tre el vector. En la figura 11, las componentesson positivas.

En el caso particular de un vector en dos di-mensiones, como sus componentes rectangula-res son perpendiculares, el teorema de Pitágo-ras permite relacionar la magnitud del vectorcon la magnitud de sus componentes rectangu-lares, mediante la expresión

A2 = A2x + A2

y ,

donde, conociendo las magnitudes de dos deellas, es posible conocer la magnitud de la otra.

Por otro lado, una vez que se conocen lasmagnitudes de las tres cantidades, la direccióndel vector A se obtiene utilizando cualquiera delas definiciones de las funciones trigonométri-cas, aunque es costumbre emplear la función tri-gonométrica tangente, esto es,

tan θ =Ay

Ax, θ = tan−1 Ay

Ax,

ótan β =

Ax

Ay, β = tan−1 Ax

Ay.

De acuerdo con lo anterior, en la figura 11 sepuede tomar como referencia el eje x o el eje yDe este modo, el vector A de la figura 11, mate-máticamente se expresa en la forma

A = A q

A = A b

Ejemplo 0.3 Encuentre las componentes rectangularesdel vector unitario paralelo a la línea AB, apuntando en elsentido de A hacia B.

x

y

z

O

600 mm

510m

m320 mm

A

B

SoluciónSea λ un vector unitario paralelo al vector

−→AB, esto es

λ =

−→ABAB

.


x

y

z

O

600 mm

510m

m320 mm

A

B

l

De acuerdo con la siguiente figura, el vector−→AB tiene las

componentes rectangulares−→AB = (− 0.6i + 0.32j − 0.51k)m,

donde su magnitud está dada por

AB =√

0.62 + 0.322 + 0.512 m= 0.85 m.

Por consiguiente el vector unitario paralelo al vector−→AB,

expresado en componentes rectangulares, está dado por

λ =(− 0.6 i + 0.32 j − 0.51 k)m

0.85m,

= −0.71 i + 0.38 j − 0.6 k.

O sea que las componentes rectangulares del vector unita-rio son

λx = −0.71, λy = +0.38, λz = −0.6.

Ejercicio 0.5 En el ejemplo 3, encuentre las componen-tes rectangulares del vector unitario paralelo a la línea BA,apuntando en el sentido de B hacia A. Compare su resul-tado con el obtenido en el ejemplo 3.

Ejemplo 0.4 Con ayuda del método gráfico, halle elvector suma de los vectores mostrados en la figura.

A

B

q

SoluciónTeniendo en cuenta el método del triángulo, la magnitudy dirección del vector suma se obtiene como sigue.

A

B

q

S=A+B

a b

c

De la figura se cumple la igualdad

(ac)2 = (ab)2 + (bc)2, (1)

donde

ac = S, ab = A + B cos θ, bc = B sen θ. (2)

Reemplazando las expresiones de la ecuación (2) en laecuación (1), se obtiene

S2 = (A + B cos θ)2 + (B sen θ)2

= A2 + B2 + 2AB cos θ,

donde mediante esta expresión, conocida como la ley delcoseno, es posible conocer la magnitud del vector suma.

Para hallar la dirección del vector suma, con ayuda dela figura, se procede como sigue.

A

B

q

S

a b

c

b

gd

e

cb = S sen β = B sen θ,S

sen θ=

Bsen β

, (3)

ed = A sen β = B sen γ,A

sen γ=

Bsen β

. (4)

Por las ecuaciones (3) y (4), se encuentra

Ssen θ

=A

sen γ=

Bsen β

.

Expresión conocida como la ley del seno, y mediante la cual esposible hallar el ángulo β, conociendo los valores de B, θ y S.

Ejercicio 0.6 Halle la magnitud y dirección del vectorsuma, de los vectores mostrados en la figura.

B=15 u57

o A=23 u

0.2.12. Suma de vectores por componen-tes rectangulares

Para sumar dos o más vectores por componen-tes rectangulares, primero se expresa cada unode los vectores en sus componentes rectangula-res y luego se suman, por separado, las compo-nentes rectangulares paralelas a cada eje coor-denado, es decir, al sumar los vectores A, B, C yD, se procede así

i) Se obtienen las componentes rectangularesde cada vector, como se ilustra gráficamente enla figura 12.

0.2. VECTORES 9

x

y

O Axi

Ay jA

B

C

DBxi

By j Dxi

Dyj

Figura 12: Componentes rectangulares de cada vec-tor.

A = Ax i + Ay j,B = Bx i + By j,C = Cy j,D = Dx i + Dy j,

donde,

- las componentes del vector A son positivas,ya que el vector se encuentra en el primercuadrante (Ax > 0, Ay > 0),

- la componente horizontal del vector B esnegativa, mientras que su componente ver-tical es positiva por estar ubicado el vectoren el segundo cuadrante (Bx < 0, By > 0),

- el vector C solo tiene componente verticalla cual es negativa por apuntar en sentidoopuesto a la dirección tomada como positi-va para el eje y (Cy < 0),

- la componente horizontal del vector D espositiva y su componente vertical negativa,ya que el vector se encuentra en el cuartocuadrante (Dx > 0, Dy < 0).

ii) Componentes rectangulares del vector su-ma

Sx = Ax + Bx + Dx,Sy = Ay + By + Cy + Dy.

De este modo, el vector suma en componentesrectangulares, está dado por

S = Sxi + Syj.

x

y

O Sxi

Sy jS

q

b

Figura 13: Vector suma de varios vectores.

iii) Magnitud del vector sumaComo las componentes del vector suma son

perpendiculares entre sí, de nuevo se utiliza elteorema de Pitágoras, esto es

S2 = S2x + S2

y

iv) Dirección del vector suma

tan θ =SySx

, θ = tan−1 SySx

,

tan β = SxSy

, β = tan−1 SxSy

dependiendo del eje que se tome como referen-cia, como se muestra en la figura 13.

Ejemplo 0.5 Halle el vector suma o vector resultante,de los cuatro vectores mostrados en la figura.

x

y

O

37o

D = 7 u

A=

20 u

25o

B = 15 u

29oC = 30 u

SoluciónLuego de considerar las componentes rectangulares de ca-da vector, se encuentra que las componentes rectangularesdel vector suma son

Sx = 5.77u y Sy = −17.75u.

De este modo, el vector suma expresado en componentesrectangulares está dado por

S = (5.77i − 17.75j)u.

Finalmente, luego de hallar la magnitud y dirección deeste vector, se obtiene


S = 18.66 u 71.99o

x

y

O 71.99o

18.66 u

-17.75 u

5.77 u

Gráficamente se tiene

Ejercicio 0.7 Encuentre los siguientes vectores, utili-zando los cuatro vectores de la gráfica. (a) V1 = A −(B − C) + D, (b) V2 = −(A − B) + C − D, (c) V3 =

A + D − (2C − B) y (d) V4 = −A − B − C − D.

x

y

O

37o

D = 7 u

A=

20 u

25o

B = 15 u

29oC = 30 u

0.2.13. Producto entre vectores

En física se definen cantidades, tales como eltrabajo realizado por una fuerza, el momentoangular de un cuerpo o el torque de una fuerza,en función del producto entre dos vectores. Perose debe tener cuidado al definirlas ya que exis-ten dos tipos de producto, uno de ellos se cono-ce como producto escalar o producto punto entredos vectores y el otro como producto vectorial oproducto cruz entre dos vectores, los cuales tie-nen propiedades o características diferentes co-mo se muestra en lo que sigue.

0.2.14. Producto escalar o producto puntoentre vectores

El producto escalar entre dos vectores, será degran utilidad en la definición matemática delconcepto de trabajo.

Se consideran los vectores A y B que formanentre sí un ángulo θ, como se ilustra en la figura14. El producto escalar entre estos dos vectores,que se representa como A · B, está definido por

A · B ≡ AB cos θ,

o sea que el producto escalar entre los vectoresA y B es igual al producto de sus magnitudespor el coseno del ángulo que forman.

A

q

B

Figura 14: Producto escalar de dos vectores.

De acuerdo con esta definición, se tiene que elproducto punto entre dos vectores es un escalarque cumple la condición

A · B = AB cos θ,B · A = BA cos θ,

lo cual indica que el producto escalar satisfacela propiedad de conmutatividad.

Partiendo de esta definición, es posible obte-ner otras dos definiciones para el producto esca-lar, teniendo en cuenta la figura 15, como sigue.

A

q

B

A

q

BA cos q

B cos q

(a) (b)

Figura 15: Proyección de un vector sobre el otro.

En la figura 15(a), la proyección del vector Asobre el vector B está dada por A cos θ, lo cualpermite expresar la definición de producto es-calar en la forma

A · B ≡ (A cos θ)B,

esto es, el producto escalar de los vectores A yB también se puede definir como el producto de

0.2. VECTORES 11

la componente del vector A paralela a B por lamagnitud de B.

Análogamente, al considerar la figura 15(b),la proyección del vector B sobre el vector A es-tá dada por B cos θ, por lo que la definición deproducto escalar se puede escribir en la forma

A · B ≡ A(B cos θ),

o sea, el producto escalar de los vectores A y Bigualmente se puede definir como el productode la magnitud del vector A por la componentedel vector B paralela al vector A.

Como consecuencia de la definición del pro-ducto escalar entre los vectores A y B, se obtie-nen las siguientes conclusiones

- Cuando los vectores son paralelos el pro-ducto punto es máximo, ya que en este casoel coseno adquiere su máximo valor.

- Cuando los vectores son antiparalelos elproducto punto es mínimo, ya que en estecaso el coseno adquiere su mínimo valor.

- Cuando los vectores son perpendiculares elproducto punto es nulo.

En síntesis, el producto punto entre los vectoresA y B adquiere valores comprendidos entre elintervalo −AB ≤ A · B ≤ +AB.

Teniendo en cuenta lo anterior, para los vec-tores unitarios i, j y k, que son linealmente in-dependientes por ser perpendiculares entre sí,se satisfacen las siguientes igualdades

i · i = j · j = k · k=1,

i · j = j · i = j · k = k · j = k · i = i · k = 0.

Por consiguiente, el producto escalar de los vec-toresA y B, teniendo en cuenta sus componen-tes rectangulares, también se puede expresar enla forma

A · B = AxBx + AyBy + AzBz.

Ejemplo 0.6 Utilizando la definición de productopunto, encuentre el ángulo que el vector A forma con cadauno de los vectores B, C y D, mostrados en la figura.

x

y

O

37o

D = 7 u

A=

20 u

25o

B = 15 u

29oC = 30 u

SoluciónInicialmente se expresa cada vector en componentes rec-tangulares

A = (20 cos 37 i + 20 sen 37 j)u,B = (−15 cos 25 i + 15 sen 25 j)u,C = (−30j)u,D = (7 sen 29 i − 7 cos 29 j)u.

Ahora, empleando la definición de producto escalar, entrelos vectores A y B, se tiene que el ángulo entre ellos estádado por

cos θ =A · BAB

.

Llevando a cabo las operaciones indicadas en la expresiónanterior, para cada pareja de vectores, se encuentraAngulo entre los vectores A y B: θ1 = 118o.Angulo entre los vectores A y C: θ2 = 127o.Angulo entre los vectores A y D: θ3 = 98o.

Resultados que están de acuerdo con los mostrados enla figura.

Ejercicio 0.8 Utilizando la definición de producto pun-to, encuentre el ángulo entre los siguientes vectores (a)A + B y A − C, (b) B − C y A − D, (c) B y A − C y (d)D − A y C + B, donde los vectores A, B, C y D, se mues-tran en la figura.

x

y

O

37o

D = 7 u

A=

20 u

25o

B = 15 u

29oC = 30 u

Ejercicio 0.9 Considere los vectores P1 y P2 de la figu-ra. Efectúe el producto escalar entre estos dos vectores yutilice el resultado para demostrar la identidad trigono-métrica

cos(θ1 − θ2) = cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2


P1 P

2

q1

q2

y

x

0.2.15. Producto vectorial o productocruz entre vectores

Se consideran los vectores A y B que forman en-tre sí un ángulo θ, como se ilustra en la figura16. El producto vectorial entre estos dos vecto-res, que se representa como A×B, está definidode tal forma que es igual a otro vector C perpen-dicular tanto al vector A como al vector B, estoes, el vector C = A × B es un vector perpendi-cular al plano formado por los vectores A y B,donde su magnitud está dada por

|C| = |A × B|= AB sen θ,

A

qB

C = A Bx

Figura 16: Producto vectorial entre vectores.

o sea, la magnitud del producto vectorial en-tre los vectores A y B es igual al producto de susmagnitudes por el seno del ángulo que forman.

Por otro lado, como consecuencia de la defi-nición del producto vectorial entre los vectoresA y B, se tienen las siguientes conclusiones

- Cuando los vectores son paralelos la mag-nitud del producto cruz es nula, ya que eneste caso el seno adquiere el valor cero.

- Cuando los vectores son antiparalelos lamagnitud del producto cruz es nula, ya queen este caso el seno adquiere el valor cero.

- Cuando los vectores son perpendiculares,la magnitud del producto cruz es máxima,ya que el seno adquiere su máximo valor,esto es AB.

- Cuando los vectores son perpendiculares,formando entre sí un ángulo de 270o, lamagnitud del producto cruz es mínima, yaque el seno adquiere su mínimo valor, estoes −AB.

En síntesis, el producto cruz entre los vectoresA y B adquiere valores comprendidos entre elintervalo −AB ≤ |A × B| ≤ +AB.

Teniendo en cuenta lo anterior, para los vec-tores unitariosi, j y k, que son linealmente inde-pendientes por ser perpendiculares entre sí, sesatisfacen las siguientes igualdades

i × i = j × j = k × k = 0,

i × j = k, j × i = −k, j × k = i,k × j = −i, k × i = j, i × k = −j

Por consiguiente, el producto vectorial de losvectores A y B, teniendo en cuenta sus compo-nentes rectangulares, también se puede expre-sar en la forma

C = A × B= (Axi + Ayj + Azk)× (Bxi + Byj + Bzk).

ConC = Cxi + Cyj + Czk,

se encuentra que

Cx = AyBz − AzBy,

Cy = AzBx − AxBz,

Cz = AxBy − AyBx.

El resultado anterior también se puede obteneral resolver el determinante

A × B =

∣∣∣∣∣∣i j kAx Ay AzBx By Bz

∣∣∣∣∣∣El producto vectorial entre vectores se utilizarápara definir, respecto a un punto determinado,el vector momento de una fuerza y el vectormomento angular de un cuerpo.

0.2. VECTORES 13

P1 P

2

q1

q2

y

x

Ejemplo 0.7 Considere los vectores P1 y P2 de la figu-ra. Efectúe el producto vectorial entre estos dos vectoresy utilice el resultado para demostrar la identidad trigono-métrica

sen(θ1 − θ2) = sen θ1 cos θ2 − cos θ1 sen θ2

SoluciónPara hallar el producto vectorial de estos dos vectores, pri-mero se debe expresar cada uno de ellos en componentesrectangulares, esto es

P1 = P1xi + P1yj

= P1 cos θ1i + P1 sen θ1j,P2 = P2xi + P2yj

= P2 cos θ2i + P2 sen θ2j.

Por consiguiente, el producto vectorial de los vectores da-dos, que de acuerdo con la regla de la mano derecha apun-ta en la dirección negativa del eje z, está dado por

P1 × P2 = −P1P2(senθ1 cos θ2 − sen θ2 cos θ1)k,

por lo que su magnitud es

|P1 × P2| = P1P2(senθ1 cos θ2 − sen θ2 cos θ1). (1)

Por otro lado, considerando la definición de producto vec-torial, se tiene que la magnitud también está dada por

|P1 × P2| = P1P2sen(θ1 − θ2). (2)

Finalmente, igualando las ecuaciones (1) y (2), se obtiene

sen(θ1 − θ2) = (senθ1 cos θ2 − sen θ2 cos θ1).

Ejemplo 0.8 Utilizando la definición de productocruz, encuentre el ángulo que el vector A forma con ca-da uno de los vectores B, C y D, mostrados en la figura.

x

y

O

37o

D = 7 u

A=

20 u

25o

B = 15 u

29oC = 30 u

SoluciónInicialmente se expresa cada vector en componentes rec-tangulares

A = (20 cos 37 i + 20 sen 37 j)u,B = (−15 cos 25 i + 15 sen 25 j)u,C = (−30 j)u,D = (7 sen 29 i − 7 cos 29 j)u.

Ahora, empleando la definición de producto vectorial, en-tre los vectores A y B, se encuentra que el ángulo entreellos está dado por

sen θ =|A × B|

AB.

Llevando a cabo las operaciones indicadas en la expresiónanterior, para cada pareja de vectores, se encuentraAngulo entre los vectores A y B: θ1 = 62o, que es el suple-mento de θ1 = 118o.Angulo entre los vectores A y C: θ2 = 53o, que es el suple-mento de θ1 = 127o.Angulo entre los vectores A y D: θ3 = 82o, que es el suple-mento de θ1 = 98o.Resultados que concuerdan con los obtenidos en el ejem-plo 6, utilizando la definición de producto escalar.

Ejercicio 0.10 Encuentre, empleando la definición deproducto vectorial, el ángulo entre los siguientes vectores(a) A + B y A − C, (b) B − C y A − D, (c) B y A − C y (d)D − A y C + B, donde los vectores A, B, C y D, son losmostrados en la figura. Compare con los resultados obte-nidos en el ejercicio 8.

x

y

O

37o

D = 7 u

A=

20 u

25o

B = 15 u

29oC = 30 u

0.2.16. Derivadas con vectores

En diferentes situaciones se hace necesario de-rivar un vector, bien sea respecto a una de lascoordenadas o respecto al tiempo, es decir, res-pecto a una cantidad escalar. Esta operación seemplea al definir cantidades físicas tales comolos vectores velocidad (v), aceleración (a), fuer-za (F) y momento de una fuerza respecto a un


punto (τ). En lo que sigue, t es un escalar res-pecto al cual se tomarán las derivadas de unvector o de un producto de vectores.

Si el vector A está dado en componentes rec-tangulares por A = Axi+ Ayj+ Azk, su deriva-da respecto al escalar t, viene dada por

dAdt

=ddt

(Axi + Ayj + Azk),

=dAx

dti +

dAy

dtj +

dAz

dtk,

donde se ha tenido en cuenta que los vectoresunitarios i , j y k tienen magnitud y direcciónconstantes, es decir

didt

=djdt

=dkdt

= 0.

En algunas situaciones se hace necesario deter-minar la derivada de un producto escalar o deun producto vectorial. En este caso, se aplicanlas mismas reglas del cálculo para la derivadade un producto.

Así, la derivada del escalar A = B · C, estádada por

dAdt

=ddt

(B · C)

=dBdt

· C + B · dCdt

.

De igual manera, la derivada del vector D =P × Q, es

dDdt

=ddt

(P × Q)

=dPdt

× Q + P × dQdt

.

En este caso se debe tener presente que elproducto cruz no es conmutativo, mientras queel producto punto sí lo es.

Ejemplo 0.9 Derivar los siguientes vectores res-pecto al escalar t. (a) A(t) = 3t2i + 2tj + 8k. (b)r(t) = [Acos(ωt)] i + [Asen(ωt)] j, donde ω es unaconstante.Solución(a)

dA(t)dt

= 6ti + 2j.

(b)

dr(t)dt

= [−Aω sen(ωt)] i + [Aω cos(ωt)] j

= Aω[− sen(ωt)] i + [cos(ωt)] j.

Ejercicio 0.11 Halle la segunda derivada de los vecto-res dados en el ejemplo 9. Encuentre una relación entre elvector r(t) y su segunda derivada.

0.3. Coordenadas polares

Hasta este momento se han empleado coorde-nadas rectangulares para el trabajo con vecto-res. Como se verá más adelante, se presentansituaciones físicas en las que es más adecuadoemplear otro sistema de coordenadas conocidocomo coordenadas polares r θ, en las que un pun-to del plano xy, con coordenadas rectangulares(x, y), se expresa en la forma (r, θ) donde r esla longitud de la recta que va del origen al pun-to en consideración y θ es el ángulo que la rectaforma con respecto a un eje de referencia, medi-do en sentido antihorario, como se ilustra en lafigura 17.

q

( , )r q

r

Figura 17: Coordenadas polares.

Mediante el sistema de coordenadas rectan-gulares, es posible encontrar una relación en-tre ambos sistemas de coordenadas, teniendo encuenta la figura 18.

q

( , )r q

r

x

y

( , )x y

Figura 18: Coordenadas polares y coordenadas rec-tangulares.

De la figura 18 se tiene

x = r cos θ y y = r sen θ.

0.4. MATEMÁTICA PARA LA FÍSICA 15

Ejemplo 0.10 Las coordenadas cartesianas de dospuntos en el plano xy, están dadas por (2.0, − 4.0)m y( − 3, 0, 3.0)m. Determine (a) La distancia entre estospuntos. (b) Sus coordenadas polares.

Solución(a) Para determinar la distancia entre los puntos A y B, seconsideran los vectores r1 y r2, cuyas componentes rectan-gulares están dadas por

x (m)

y (m)

(2.00, -4.00)

(-3.00, 3.00)

O

A

B

r1

r2

q1

q2

D

r1 = (2i − 4j)m y r2 = (− 3i + 3j)m.

Ahora, la diferencia entre los vectores r1 y r2 es igual alvector D, esto es

D = r1 − r2

= (5i − 7j)m.

De este modo, la distancia entre los puntos A y B, corres-ponde a la magnitud del vector diferencia, es decir

D =√

52 + 72 ≈ 8.6 m.

(b) Coordenadas polares de cada puntoPara el punto A sus coordenadas polares son (r1 ,θ1),

cuyos valores están dados por

r1 =√

22 + 42

= 4.47 m,

θ1 = 360 − tan−1 42

= 296.57o.

Para el punto B las coordenadas polares son (r2 ,θ2), convalores

r2 =√

32 + 32

= 4.24 m,

θ2 = 180 − tan−1 33

= 135o.

Ejercicio 0.12 Dos puntos en el plano tienen coordena-das polares (2.5 m, 30.0o) y (3.8 m, 120.0o). Determine (a)Las coordenadas cartesianas de estos puntos. (b) La dis-tancia entre ellos.

0.4. Matemática para la física

Como la matemática es parte del lenguaje en elque se expresa la física, de ahí radica la impor-tancia de ella en esta área de la ciencia. Por loanterior, en esta sección se hace una revisión ge-neral de algunas operaciones y conceptos mate-máticos que se utilizan en la física, particular-mente en el curso de Física Mecánica.

0.4.1. Algebra y trigonometría

Para operar de manera literal, en la deduc-ción de expresiones matemáticas que involu-cran diferentes cantidades físicas y en la so-lución de ecuaciones simultáneas, es necesarioutilizar el algebra y la trigonometría.

Algebra

Potencias Producto de potencias con la mis-ma base x.

xnxm = xn+m

xn

xm = xn−m

x1/n = n√

x(xn)m = xnm.

Operaciones algebraicas Operaciones alge-braicas entre fracciones, con las cantidades, a, b,c y d.

ab± c

d=

ad ± bcbd

(ab)(

cd) =

acbd

(a/b)/(c/d) =adbc

.

Productos notables Productos notables que seutilizan en muchas situaciones donde se debefactorizar una expresión matemática.

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

a2 − b2 = (a + b)(a − b)(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.


Ecuación cuadrática Cuando se tiene unaecuación cuadrática de la forma

ax2 + bx + c = 0,

donde x es la cantidad no conocida, sus solucio-nes están dadas por la expresión

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a.

Logaritmos Las propiedades de los logarit-mos, permiten disponer de una herramienta deutilidad en la física.Si y = ln x, entonces x = ey.

ln(ab) = ln(a) + ln(b)ln(a/b) = ln(a)− ln(b)

ln an = n ln aln e = 1

ln ea = a

ln1a

= − ln a.

Las propiedades anteriores, para los logaritmosnaturales cuya base es la constante de Euler e,son de validez general en cualquier base.

Trigonometría Las funciones trigonométricasy las identidades trigonométricas, son de usocomún en el manejo de expresiones matemáti-cas, particularmente cuando se trabaja con can-tidades vectoriales, tales como el momento li-neal, la fuerza y el momento angular. Utilizandoel triángulo de la figura 19, se obtienen las defi-niciones mostradas en la tabla 2, para los ángu-los γ y β.Mediante la figura 20, se ilustra la ley del seno

Figura 19: Triángulo rectángulo

g

ba

b

c

y la ley del coseno, las cuales se utilizan en el ca-so de triángulos que no son rectángulos, comoocurre en muchos casos al sumar cantidades fí-sicas de tipo vectorial, particularmente, vectoresfuerza.

Angulo β Angulo γ

sen β = a/c sen γ = b/ccos β = b/c cos γ = a/ctan β = a/b tan γ = b/acot β = b/a cot γ = a/bsec β = c/b sec γ = c/acsc β = c/a csc γ = c/b

Tabla 2: Definición de las funciones trigonomé-tricas

180 - b

Figura 20: Triángulo no rectángulo

Ley del seno

asen β

=b

sen γ

=c

sen α.

Ley del coseno

a2 = b2 + c2 − 2bc cos β

a2 = b2 + c2 + 2bc cos(180 − β)

b2 = a2 + c2 − 2ac cos γ

c2 = a2 + b2 − 2ab cos α.

En el caso particular que uno de los ángulos searecto, es decir, cuando el triángulo es rectángu-lo, se obtiene el teorema de Pitágoras. Por ejem-plo, si γ = π/2, la tercera de las ecuaciones an-teriores adquiere la forma

b2 = a2 + c2,

que corresponde al teorema de Pitágoras.

0.4. MATEMÁTICA PARA LA FÍSICA 17

Identidades trigonométricas

sen2 θ + cos2 θ = 1sen 2θ = 2 sen θ cos θ

cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ

= 2 cos2 θ − 1= 1 − 2 sen2 θ

sen2 12

θ =12(1 − cos θ)

cos2 12

θ =12(1 + cos θ)

sen(−θ) = − sen θ

cos(−θ) = cos θ

sen(θ ± π/2) = ± cos θ

cos(θ ± π/2) = ∓ sen θ

sen(θ ± π) = ∓ sen θ

cos(θ ± π) = − cos θ

sen(θ ± β) = sen θ cos β ± cos θ sen β

cos(θ ± β) = cos θ cos β ∓ sen θ sen β

.

0.4.2. Geometría Euclidiana

En esta parte, se enuncian tres teoremas de lageometría euclidiana, que a menudo es necesa-rio tener en cuenta en la física. Igualmente, seconsideran algunas propiedades de las figurasgeométricas más utilizadas.

Teorema Si una recta corta dos rectas para-lelas, los ángulos alternos internos entre ellasson iguales. En la figura 21, los ángulos β y γ

g

b

Figura 21: Angulos alternos internos entre para-lelas

son alternos internos, por lo tanto β = γ.

Teorema Si una recta corta dos rectas para-lelas, los ángulos correspondientes entre ellasson iguales. En la figura 22, los ángulos β y γson correspondientes, por lo tanto β = γ.

g

b

Figura 22: Angulos correspondientes entre pa-ralelas

Teorema Dos ángulos formados por ladosrespectivamente perpendiculares, son iguales.Como en la figura 23, el lado AB es perpendi-

A

B

D

C

E

b

g

Figura 23: Angulos iguales

cular al lado DC y el lado DB es perpendicularal lado AE, los ángulos β y γ están formados porlados respectivamente perpendiculares, es decirβ = γ.

Arco de una circunferencia La longitud delarco mostrado en la figura 24, es gual al radioR multiplicado por el ángulo θ en radianes, estoes,

s = Rθ

Rs

q

Figura 24: Arco de una circunferencia

Longitud de la circunferencia La longitudo perímetro de una circunferencia de radio R,está dado por,

l = 2πR


Area y volumen En la tabla 3 se indica elárea y el volumen de algunas figuras geométri-cas, que son útiles en el análisis de diferentestemas de la física.

Tabla 3: Area y volumenFigura geométrica Area Volumen

Rectángulo (lados a y b) abTriángulo (base b y altura h) bh/2

Círculo (radio R) πR2

Esfera (radio R) 4πR2 43 πR3

Cilindro (radio R y longitud l) 2πRl πR2l

0.4.3. Cálculo

En la física, el cálculo es una herramienta degran utilidad, ya que muchas cantidades se ex-presan o definen bien sea utilizando el conceptode derivada o de integral.

Cálculo diferencial Mediante el cálculo dife-rencial se definen cantidades físicas tales comoel vector velocidad, el vector aceleración y elvector fuerza. Por est razón, se considera la de-finición de derivada y algunas de sus propieda-des.

Definición de derivada

Si la variable y es una función de la variable x,esto es, y = y(x), la derivada de la función yrespecto a x, está dada por

dydx

≡ lım∆x→0

∆y∆x

.

Propiedades de la derivada A continuaciónse indican algunas propiedades de la operaciónderivada.

Derivada de la suma de dos funciones Sif (x) = g(x) + h(x), donde x es una variable,

la derivada de la función f (x) respecto a x, estádada por

d f (x)dx

=dg(x)

dx+

dh(x)dx

.

Derivada del producto de dos funciones Sif (x) = g(x)h(x), donde x es una variable, laderivada de la función f (x) respecto a x, estádada por

d f (x)dx

=dg(x)

dxh(x) + g(x)

dh(x)dx

.

Derivada del cociente de dos funciones Sif (x) = g(x)/h(x), donde x es una variable, laderivada de la función f (x) respecto a x, estádada por

d f (x)dx

=dg(x)

dx h(x)− g(x)dh(x)dx

[h(x)]2.

Regla de la cadena Si y = f (x) y x = g(t),donde x y t son variables, la derivada de la fun-ción y respecto a t, está dada por

dydt

=d f (x)

dxdg(t)

dt.

Segunda derivada Si y = f (x), donde x esuna variable, la derivada segunda de la funcióny respecto a x, está dada por

d2ydx2 =

ddx

d f (x)dx

.

Derivadas más comunes En la tabla 4, seindican las derivadas de las funciones máscomunes que se presentan en la física.

Cálculo integral La integral, cuyo símbolo esuna S alargada,

∫, corresponde a la operación

opuesta de la derivada y es de utilidad cuan-do se trabaja con cantidades continuas. De estemodo, la integral se interpreta como una sumade cantidades continuas. Cuando se trabaja concantidades discretas o contables a simple vista,

0.5. PAUTAS GENERALES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS 19

Tabla 4: Derivada de funcionesFunción d/dx =y = eax aeax

y = sen(ax) a cos(ax)y = cos(ax) −a sen(ax)y = tan(ax) a sec2(ax)y = cot(ax) −a csc2(ax)

y = sec x tan x sec xy = csc x − cot x csc x

y = ln(ax) a/xy = sen−1(ax) a/(1 − a2x2)1/2

y = cos−1(ax) −a/(1 − a2x2)1/2

y = tan−1(ax) a/(1 + a2x2)1/2

se utiliza el símbolo de sumatoria ∑. En físicase emplean, tanto la integral como la sumatoria,debido a que se trabaja con cantidades discretasy con cantidades continuas.

Integrales más comunes A continuación, seindican las integrales más comunes que se pre-sentan en la física.

∫ b

axn dx =

xn+1

n + 1

∣∣∣∣b

a

= (1

n + 1)(bn+1 − an+1)∫ b

a

1x

dx = ln x|ba= ln b − ln a

= lnba∫ b

asen(cx) dx = −1

ccos(cx)

∣∣∣∣b

a

=1c[cos(ca)− cos(cb)]∫ b

acos(cx) dx =

1c

sen(cx)∣∣∣∣b

a

=1c[sen(cb)− sen(ca)]∫ b

aecx dx =

1c

ecx∣∣∣∣b

a

=1c[ecb − eca].

Alfabeto griego Por último y debido a queen el movimiento curvilíneo y rotacional, va-rias cantidades físicas se expresan mediante le-tras del alfabeto griego, se tiene la tabla 5 con elnombre de cada letra y su representación.

Tabla 5: Alfabeto griegoNombre Mayúscula Minúscula

Alfa A α

Beta B β

Gamma Γ γ

Delta ∆ δ

Epsilon E ϵ

Zeta Z ζ

Eta H η

Theta Θ θ

Iota I ι

Kappa K κ

Lambda Λ λ

Mu M µ

Nu N ν

Xi Ξ ξ

Omicron O oPi Π π

Rho P ρ

Sigma Σ σ

Tau T τ

Upsilon Υ υ

Phi Φ ϕ

Chi X χ

Psi Ψ ψ

Omega Ω ω

0.5. Pautas generales en la solu-ción de problemas

Los diferentes temas que se tratan en un cursode física, corresponden a situaciones que se pre-sentan en la naturaleza, tal como el movimientode los cuerpos. Estos temas se analizan prime-ro de una manera general y luego se aplican losconceptos involucrados en el análisis y soluciónde situaciones físicas particulares, más conoci-dos como problemas. A continuación, se consi-deran las pautas generales que se deben seguir


en la solución de problemas.

1. Mientras no se entienda con toda claridadla situación física planteada en un proble-ma particular, no es posible llegar a una so-lución que tenga sentido físico real. Por elloes indispensable leer detenida y cuidadosa-mente el enunciado propuesto. No enten-der el enunciado es quizá el origen de mu-chas salidas en falso, que pueden llevar asoluciones sin ningún significado.

2. Una vez que se ha logrado cumplir el pa-so anterior, es posible trazar un diagramao esquema de la situación planteada en elenunciado. Con esto se logra una mejor vi-sualización del caso que se describe.

3. Con ayuda del diagrama anterior, gene-ralmente, se escriben las cantidades dadasy las cantidades conocidas. Igualmente, sedebe estar seguro de cuáles cantidades de-be determinar, es decir, cuáles son las in-cógnitas del problema.

4. En la solución de un problema, por lo gene-ral, sólo se aplican pocos principios o con-ceptos físicos. En esta etapa es indispensa-ble analizar cuáles principios o conceptosse deben emplear, teniendo en cuenta la re-lación entre las cantidades a determinar ylas cantidades conocidas.

5. Teniendo en cuenta que la matemática es ellenguaje de la física, se expresan los prin-cipios o conceptos en función de las canti-dades físicas que intervienen en el proble-ma particular. En esta parte se debe tenermucho cuidado de utilizar expresiones ma-temáticas que sean válidas en la situaciónque se está tratando. Tenga presente quealgunas expresiones no son de validez ge-neral, sino que sólo son aplicables en cier-tos casos. Como algunas veces se obtienenvarias ecuaciones simultáneas que es nece-sario resolver, se debe contar el número deecuaciones y de incógnitas con el fin de sa-ber si es posible obtener una solución enfunción de las cantidades conocidas o no.En cada caso particular, utilice el método

más adecuado que le permita resolver dela forma más sencilla posible, el sistema deecuaciones simultáneas.

6. Hasta donde sea posible, trabaje en formaliteral, es decir, utilice los símbolos de lascantidades físicas conocidas en lugar de ha-cer los reemplazos numéricos desde un co-mienzo. Así es posible expresar literalmen-te las incógnitas en función de las cantida-des dadas en el enunciado, y de esta formase tiene la posibilidad de hacer un análisisfísico y dimensional de los resultados obte-nidos, permitiendo detectar posibles erro-res. Espere hasta el final para reemplazarlos valores numéricos con sus respectivasunidades. Es importante incluir unidades,porque la respuesta se debe expresar enfunción de ellas y porque se tendrá unacomprobación adicional al simplificar lasunidades en forma adecuada.

7. Cuando se obtengan respuestas numéricas,es necesario hacer un análisis de ellas res-pondiendo a la pregunta ¿tiene sentido fí-sico el valor encontrado? Por ejemplo, sise encuentra que la velocidad de un autoes mayor que la velocidad de la luz (3 ×108 m · s−1), o que un cuerpo, tal como unbalón, tiene una masa igual a la de la tie-rra (5.98 × 1024 kg) o a la de un electrón(9.1 × 10−31 kg), es porque existe un erroren la solución del problema, ya que son res-puestas o resultados que no están de acuer-do con la realidad.

8. Por último, se deben utilizar "todas" lascomprobaciones posibles de los resultados.

0.6. ENUNCIADOS

1. Considere las cantidades físicas masa (M),longitud (L), fuerza (F) y tiempo (T). Digacuál de ellas no es una cantidad física fun-damental en el sistema (a) internacional deunidades y (b) inglés de unidades.

2. Al analizar una situación física, se obtie-ne un resultado tal que el numerador tiene

0.6. ENUNCIADOS 21

las unidades kg ·m2 · s−1 y el denominadorkg ·m2 · s−2. ¿Qué cantidad física se obtuvofinalmente?

3. Justificando su respuesta, diga si cada unade las afirmaciones anteriores es correcta oincorrecta: (a) Sólo se pueden sumar can-tidades físicas que tengan las mismas uni-dades. (b) Dos cantidades físicas se puedenmultiplicar o dividir, si y sólo si, tienen lasmismas dimensiones.

4. Cierta región, la rapidez del sonido en elaire es 335 m · s−1. Halle, en km · h−1, la ra-pidez de un avión que se mueve con unarapidez igual al doble de la velocidad delsonido en dicha región.

5. Un deportista tiene una estatura de 5.8 py 9.9 pul. Halle su estatura en el sistemainternacional de unidades y en el sistemagaussiano.

6. La separación entre dos de los soportes delpuente Golden Gate, en San Francisco Cali-fornia, es de 4200 p. Exprese esta distanciakm.

7. Un cilindro circular recto tiene un diáme-tro de 7.1 pul y una altura de 1.9 p. Halle elárea de la base y su volumen, en el sistemainternacional de unidades.

8. En las ecuaciones siguientes, x se da en m,t en s, v en m · s−1 y a en m · s−2. Teniendoen cuenta estas unidades, determine las di-mensiones de las cantidades: (a) v2/x, (b)√

x/a y (c) at2/2.

9. En la expresión x = Ae−ωt, x es una lon-gitud, A es una longitud máxima y t es untiempo . ¿Cuáles son las dimensiones de ω?

10. Un objeto de cierta masa, que está sujetoal extremo de una cuerda, describe una cir-cunferencia. La fuerza ejercida por la cuer-da tiene las dimensiones ML/T−2 y depen-de tanto de la masa del cuerpo, como de surapidez y del radio de la circunferencia quedescribe. ¿Cuál combinación de estas últi-mas tres cantidades, genera las dimensio-nes de la fuerza?

11. Muestre que el momento lineal tiene las di-mensiones del producto de una fuerza porel tiempo.

12. Cuando un cuerpo se mueve en el aire, segenera una fuerza de fricción que es pro-porcional al área superficial A del cuerpoy a su rapidez al cuadrado v2, es decir,Ff = CAV2. Obtenga las dimensiones de laconstante C.

13. En el sistema internacional de unidades lafuerza se da en N. Halle las dimensionesy unidades, en dicho sistema, de la cons-tante de gravitación universal G, que apa-rece en la ley de gravitación de NewtonF = Gm1m2/r2

14. Simplifique cada una de las siguientes ex-presiones vectoriales: (a) 3(A − 2B) + C −4(6B − C) = 0, (b) P = 4[3(2A − 3B +C)− (5A − C) + 8B], (c) 8A − 7B − 4(3B +6A) = 0.

15. Responda cada una de las siguientes pre-guntas. (a) Los vectores A y B tienen igualmagnitud. ¿Es posible que su suma sea ce-ro? Explique. (b) Los vectores P y Q tienenmagnitudes diferentes. ¿Es posible que susuma sea nula? Explique. (c) Los vectoresA, B y C tienen igual magnitud. ¿La su-ma entre ellos puede ser cero? Explique. (d)Los vectores P, Q y R tienen diferente mag-nitud. ¿La suma entre ellos puede ser cero?Explique.

(e) El vector M tiene una magnitud de 4unidades y el vector N de 3 unidades. Có-mo se deben combinar estos vectores pa-ra que se obtenga un vector resultante conmagnitud de: (i) 1 unidad, (ii) 5 unidades,(iii) 7 unidades y (iv) Cualquier magnitudentre 1 y 7 unidades.

16. La magnitud y dirección respecto a la ho-rizontal, de los vectores A, B y C, están da-das respectivamente por 50 unidades y 45o,75 unidades y 210o, 100 unidades y 330o.Determine la magnitud y dirección de: (a)A − B + C. (b) A + B − C, (c) el vector D,


si A + B − C + D = 0 y (d) el vector D siA − B − C − D = 0

17. Se tienen los vectores P y Q que forman en-tre sí un ángulo θ y cuya resultante o su-ma es el vector S. (a) Utilizando el métododel paralelogramo y la trigonometría, ob-tenga la magnitud y dirección del vector S,en función de P, Q y el ángulo φ que for-ma con la horizontal. (b) Resuelva el nu-meral anterior utilizando componentes rec-tangulares. (c) Compruebe sus resultados siθ = 0o, 90o, 180o.

q

A

B

18. Sobre un punto, que se encuentra sobreuna circunferencia, se aplica un vector de103 unidades que apunta hacia el centro yotro de 3 × 103 unidades que apunta hori-zontalmente hacia la derecha. (a) Utilizan-do el método del paralelogramo y la trigo-nometría, obtenga la magnitud y direccióndel vector suma, en función del ángulo θ.(b) Resuelva el numeral anterior, utilizandocomponentes rectangulares. (c) Comprue-be sus resultados si θ = 0o, 90o, 180o.

x

y

q

10 u3 3 10 ux

3

19. Un barco en alta mar recibe dos señalesdesde los transmisores A y B que se en-cuentran separados 100 km y uno al sur delotro. El localizador de direcciones del bar-co detecta que A está 30o al sur del este yque B se encuentra al este. (a) Encuentre laseparación entre el barco y cada transmisorde señales. (b) Exprese en componentes rec-tangulares los vectores que unen al barcocon cada transmisor. (c) Utilizando los vec-tores anteriores, obtenga el vector que une

al transmisor A con el transmisor B.¿Cuáloperación entre vector realizó en este caso?

20. (a) Encuentre un vector unitario paralelo alvector M = −i + 2j + k. (b) Halle la com-ponente del vector M = −i + 2j + k en ladirección del vector N = 4i + 3j.

21. La magnitud de la suma de dos vectores yla magnitud de su diferencia son iguales.Demuestre que los dos vectores son per-pendiculares.

22. Los vectores A y B, que se encuentran enplano xy, forman con el eje x los ángulosrespectivos θ1 y θ2. (a) Exprese cada vectoren sus componentes rectangulares. (b) Me-diante el producto punto, demuestre quecos(θ1 − θ2) = cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2

23. Dos vectores, de magnitudes P y Q, formanentre sí un ángulo β cuando se colocan apartir del mismo origen. Mediante compo-nentes rectangulares, halle la magnitud delvector suma de estos dos vectores. ¿Quénombre recibe el resultado obtenido?

24. La figura muestra dos conjuntos de ejescoordenados y sus vectores unitarios aso-ciados. (a) Demuestre que i′ = cosφi +senφj, j′ = −senφi + cosφj. b) Use el re-sultado del numeral anterior para demos-trar que las componentes rectangulares delvector A en ambos sistemas de coorde-nadas, se relacionan mediante las expre-siones Ax

′= Axcosφ + Aysenφ, Ay

′=

−Axsenφ + Aycosφ.

x

y

O i

i'

jj'

j

x'

y'

25. Demostrar que si la suma y la diferencia dedos vectores, son perpendiculares, los vec-tores tienen magnitudes iguales.

26. Dos vectores tienen la misma magnitud Vy forman entre sí un ángulo θ. Demostrar:

0.6. ENUNCIADOS 23

(a) Que la suma tiene una magnitud S =2V cos(θ/2), (b) Que la diferencia tiene unamagnitud D = 2V sen(θ/2) .

27. La figura muestra el sistema fijo de coor-denadas xy, con sus vectores unitarios aso-ciados i y j. Adicionalmente, se tienen losvectores unitarios rotantes a y b. Conside-re el instante en el cual el vector unitario aforma un ángulo θ con la horizontal. (a) Ex-prese los vectores unitarios a y b en compo-nentes rectangulares. (b) De acuerdo con elenunciado, ¿qué diferencia se presenta en-tre las parejas de vectores unitarios i y j cona y b? Explique. (c) Encuentre la derivadade cada vector unitario respecto al tiempo.Dar sus respuestas completamente simpli-ficadas. ¿Qué puede concluir de sus resul-tados? Explique.

x

y

O i

j

q

a

b

28. Obtenga la magnitud y dirección del vec-tor suma resultante entre los vectores A =−6i + j − 3k unidades y B = 4i − 5j + 7kunidades.

29. Se tienen los vectores P = 3i − 4j + 3k uni-dades y Q = −3i + 5j − 6k unidades. (a)Halle la magnitud y dirección del productocruz entre los vectores P y Q. (b) Encuentreel ángulo entre los vectores P y Q.

30. En el punto A, sobre el eje x, se aplican losvectores M y N cada uno de magnitud 100unidades. (a) Halle la magnitud y direccióndel vector S = M+N. (b) Encuentre el pro-ducto escalar entre M y N. ¿Qué ángulo for-man estos vectores? (c) Encuentre el pro-ducto vectorial entre M y N. ¿Qué ánguloforman estos vectores?

31. (a) ¿Qué ángulo forman los vectores A y B,sabiendo que su producto punto es −AB?(b) La magnitud de cada uno de los vec-tores A y B es 5.6 m y forman entre sí un

x

y

4 m

7 m

3 m

z

A

B

CM

N

ángulo de 58o. Halle el valor del productopunto entre estos vectores.

32. Determine tanto el producto punto entrelos vectores P y Q, como el ángulo com-prendido entre ellos, si (a) P = −6i + 3j,Q = 2i − 4j, (b) P = −5i − 5j, Q = −4i +2j, (c) P = −4i − 6j, Q = −6i + 4j.


Bibliografía

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[7] F. P. Beer y E. R. Johnston, Jr. "Mecá-nica Vectorial para Ingenieros, Estática".McGraw-Hill, 1998.

25

Índice alfabético

C,cantidad

derivada, 1escalar, 3fundamental, 1vectorial, 3

coordenadaspolares, 14rectangulares, 14

cosenos directores, 7

D,definición

de productoescalar, 10vectorial, 12

derivadade un producto escalar, 14de un producto vectorial, 14de un vector, 13–14

dimensiónde una cantidad física, 1

direcciónde un vector, 4, 6, 7

L,ley

del coseno, 8del seno, 8

M,método

analítico, 6del paralelogramo, 5del polígono, 5, 6del triángulo, 5

magnitudde un vector, 4

del productovectorial, 12

N,notación vectorial, 4

P,producto

entre vectores, 13escalar, 10–11

de vectores unitarios, 11vectorial, 10, 12

de vectores unitarios, 12producto entre vectores, 10propiedad

conmutativa, 10, 14proyección

de un vector, 11

R,representación vectorial, 4

S,sistema

gaussiano de unidades, 2inglés de unidades, 2internacional de unidades, 2

T,teorema

de Pitágoras, 6, 7

V,vector, 3

aceleración, 13componentes rectangulares, 6, 7en componentes rectangulares, 6–8en dos dimensiones, 7

26

ÍNDICE ALFABÉTICO 27

fuerza, 13momento angular, 12momento de una fuerza, 12, 13suma, 5, 6, 10

analíticamente, 8–10gráficamente, 5

unitario, 7velocidad, 13

vectoresiguales, 4iguales y opuestos, 4unitarios, 5

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Unidad 0