Unidad 1: Sistemas de control

SISTEMAS DE CONTROL. Los sistemas de control, segn la teora ciberntica, se aplican en esencia para los organismos vivos, las mquinas y las organizaciones. Estos sistemas fueron relacionados por primera vez en 1948 por Norberto Wiener en su obra Ciberntica y Sociedad con aplicacin en la teora de los mecanismos de control. Un sistema de control est definido como un conjunto de componentes que pueden regular su propia conducta o la de otro sistema con el fin de lograr un funcionamiento predeterminado, de modo que se reduzcan las probabilidades de fallos y se obtengan los resultados buscados.Hoy en da los procesos de control son sntomas del proceso industrial que estamos viviendo. Estos sistemas se usan tpicamente en sustituir un trabajador pasivo que controla un determinado sistema (ya sea elctrico, mecnico, etc.) con una posibilidad nula o casi nula de error, y un grado de eficiencia mucho ms grande que el de un trabajador. Los sistemas de control ms modernos en ingeniera automatizan procesos en base a muchos parmetros y reciben el nombre de controladores de automatizacin programables (PAC).Los sistemas de control deben conseguir los siguientes objetivos: 1. Ser estables y robustos frente a perturbaciones y errores en los modelos.2. Ser eficiente segn un criterio preestablecido evitando comportamientos bruscos e irreales.1.1.- MARCO CONCEPTUAL.El marco terico (o conceptual): Es una de las fases ms importantes de un trabajo de investigacin, consiste en desarrollar la teora que va a fundamentar el proyecto con base al planteamiento del problema que se ha realizado. Existen numerosas posibilidades para elaborarlo, la cual depende de la creatividad del investigador. Una vez que se ha seleccionado el tema objeto de estudio y se han formulado las preguntas que guen la investigacin, el siguiente paso consiste en realizar una revisin de la literatura sobre el tema. Esto consiste en buscar las fuentes documentales que permitan detectar, extraer y recopilar la informacin de inters para construir el marco terico pertinente al problema de investigacin planteado.Importancia del marco terico: Aporta el marco de referencia conceptual necesario para delimitar el problema, formular definiciones, fundamentar las hiptesis o las afirmaciones que ms tarde tendrn que verificarse, e interpretar los resultados de estudio. Para qu sirve el marco terico:La principal utilidad del marco terico consiste en evitar plagios y repeticiones de investigaciones generalmente costosa. En trabajos de tesis de grado y posgrado son raros los plagios, pero cuando los sinodales ignoran el marco terico algn plagiario podra tener xito al menos en un corto plazo.Funciones del marco terico: La teora cumple el papel fundamental de participar en la produccin del nuevo conocimiento.La teora permite orientar tanto la investigacin y el enfoque epistemolgico que se sustenta como la formulacin de preguntas, y seala los hechos significativos que deben indagarse. La teora es fundamental porque brinda un marco de referencia para interpretar los resultados de la investigacin, pues sin teora es imposible desarrollar una investigacin. La teora permite guiar al investigador para que mantenga su enfoque, es decir, que este perfectamente centrado en su problema y que impida la desviacin del planteamiento original.La teora facilita establecer afirmaciones que posteriormente se habrn de so meter a la comprobacin de la realidad en el trabajo de campo, proceso que ayuda en la inspiracin de nuevas lneas y reas de investigacin.Otras funciones del marco terico:Ayuda a prevenir errores que han cometido en otros estudios.Orientan como habr de realizarse el estudio.Gua al investigador para centrarse en el problema.Documenta la necesidad de realizar el estudio.Establece o no la hiptesis donde se sometern a prueba en la realidad.Nuevas reas de investigacin.Provee un marco de referencia para interpretar los resultados de estudio.Estructuracin o construccin del marco terico: La construccin del marco terico se refiere al anlisis de teoras, investigaciones y antecedentes en general que se consideren vlidos para el adecuado encuadre y fundamentacin del trabajo de investigacin. En la construccin del marco terico se debe elaborar un escrito que tenga coherencia interna, secuencial y lgica, utilizando citas de los prrafos de teoras, o trabajos anteriores que sirvan a los fines de darle sustento al trabajo de investigacin, donde se define cules son los conceptos que se utilizaran, las variables y lo referentes empricos, el enfoque de la investigacin, que resultados se han obtenido en otras investigaciones similares, de tal manera que quien lea el marco conceptual pueda introducirse en el problema de investigacin y comprenderlo sin dificultad.Es el punto ms crtico en la construccin del proyecto de investigacin, ya que aqu se encuentra el fundamento cientfico del estudio de investigacin, y cuando el proyecto ser evaluado por otros investigadores, si el marco terico no es suficientemente slido, es probable que sea rechazado.Un buen marco terico no es aquel que contiene muchas pginas, sino el que trata con profundidad nicamente los aspectos relacionados con el problema, y vincula lgica y coherentemente los conocimientos, conceptos, variables y proposiciones existentes que se trataran en la investigacin. Construir el marco terico no significa solo reunir informacin, sino tambin ligarla e interrelacionarla coherentemente en un escrito, de manera que sirva como fundamento, como sustento, que respalde el trabajo de investigacin a realizar y que permita desarrollarlo con autoridad.El marco de referencias puede estar compuesto por los siguientes marcos:Marco de antecedentes.Marco conceptual.Marco terico.Marco demogrficoMarco geogrfico.Marco legal.Marco histrico.Marco de antecedentes: es el resumen de lo resultados que fueron encontrados por otros investigadores sobre temas semejantes al tema general o al tema especfico planteados, es decir, las investigaciones ya realizadas referentes a relaciones de las variables independientes y dependientes del estudio.Pueden comentare, en este marco, las razones institucionales o polticas que propiciaron la realizacin del proyecto y hacer el comentario pertinente sobre si el tema fue tomado de alguna recomendacin de una investigacin ya realizada o por realizar, o si se replica de una ya realizada.Marco conceptual: Es la elaboracin conceptual del problema. En l aparecen las definiciones de las variables contempladas en el problema y en los objetivos de investigacin, y de los trminos claves que van a ser usados con mayor frecuencia. Tales definiciones las hace el investigador de acuerdo a su criterioa las definiciones propuestas por otros investigadores y, en caso tal, a la teora en la que se apoya la investigacin. Marco terico: Se debe desarrollar cuando se identifica una o varias teoras que pueden dar base terica a la solucin del problema de investigacin. El marco terico ser una descripcin detallada de cada uno de los elementos esenciales de la teora, de tal manera que la formulacin del problema y su solucin sean una deduccin lgica de ella. Este marco tambin puede estar constituido por una teora especfica creada por el investigador.Regularmente, se confunde el marco terico con el marco de referencia. Es importante identificar que el marco terico est incluido en el referencial.Muchas veces s e utiliza el marco terico como el marco general de todos los marcos, lo cual origina un manejo desordenado de toda la informacin bibliogrfica obtenida. Marco demogrfico: contiene las caractersticas demogrficas pertinentes sobre la poblacin a estudiar, entre ellas sexo, edad, procedencia, etc. Este marco es bsico en el caso de un estudio con muestreo.Marco geogrfico: en algunos casos es importante demarcar la zona geogrfica donde se realizar el estudio, ya sea especificando las coordenadas geogrficas o utilizando mapas y croquis.1.1.1 Control, sistema, proceso, actuador, variable controlada, variable manipulada, sistema de control, perturbacin, entrada de referencia.1. Control:Es una estrategia que verifica lo que ocurre(realidad) con respecto a lo que debera ocurrir(objetivo)2. Sistema:Un sistema es una combinacin de componentes que actan juntos y realizan un objetivo determinado. Un sistema no est necesariamente limitado a los sistemas fsicos. El concepto de sistema se puede aplicar a fenmenos abstractos y dinmicos, como los que se encuentran en la economa.3. Proceso:El diccionario Merriam- Webster define un proceso como una operacin o un desarrollo natural progresivamente continuo, marcado por una serie de cambios graduales que se suceden unos a otros de una forma relativamente fija y que conducen a un resultado o propsito determinados; o una operacin artificial o voluntaria que se hace de forma progresiva y que consta de una serie de acciones o movimientos controlados, sistemticamente dirigidos hacia un resultado o propsito determinado. En este curso se llamarproceso a cualquier operacin que se va a controlar.4. Actuador:dispositivo que ejecuta la accin de control sobre el proceso.5. Variable controlada:la variable controlada es la cantidad o condicin que se mide y controla.6. Variable manipulada:la seal de control o variable manipulada es la cantidad o condicin que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada. Normalmente la variable controlada es la salida del sistema.7. Sistema de Control:Son sistemas que permiten que los procesos se ejecuten bajo ciertas condiciones corrigiendo desviaciones, a travs de parmetros establecidos como referencia y aplicando diversos mtodos y acciones de regulacin para garantizar las condiciones deseadas.8. Perturbacin:Es una seal que tiende a afectar negativamente el valor de la salida de un sistema. Si la perturbacin se genera dentro del sistema se denominainterna, mientras que una perturbacinexternase genera fuera de un sistema y es una entrada.9. Entrada de referencia:Es una seal externa aplicada al sistema de control con realimentacin, usualmente situada en el primer punto de suma, para ordenar una accin especfica a la planta.

1.2 Control en lazo abiertoLos sistemas en los cuales la salida no tiene efecto sobre la accin de control se denominansistemas de control en lazo abierto. En otras palabras, en un sistema de control en lazo abierto no se mide la salida ni se realimenta con la entrada.En ellos la seal de salida no influye sobre la seal de entrada. La exactitud de estos sistemas depende de su programacin previa. Es preciso se prever las relaciones que deben darse entre los diferentes componentes del sistema, a fin de tratar de conseguir que la salida alcance el valor deseado con la exactitud prevista. El diagrama de bloque de un sistema en lazo abierto es:

Estos sistemas se controlan directamente, o por medio de un transductor y un actuador . En este segundo caso el diagrama de bloques tpico ser:

El control en lazo abierto suele aparecer en dispositivos con control secuencial, en el que no hay una regulacin de variables sino que se realiza una serie de operaciones de manera determinada. Esa secuencia de operaciones puede venir impuesta por eventos (event-driven) o por tiempos (time-driven). Se programa utilizando PLCs (controladores de lgica progr amable).

Ejemplo:1. Una lavadora:

1.2.1 REPRESENTACIN MEDIANTE DIAGRAMAS DE BLOQUES

Undiagrama de bloques de procesosodiagrama de bloques funcionales la representacin grfica de los diferentesprocesosde un sistema y el flujo de seales donde cada proceso tiene un bloque asignado y stos se unen por flechas que representan el flujo de seales que interaccionan entre los diferentes procesos.

Las entradas y salidas de los bloques se conectan entre s con lneas de conexin o enlaces. Las lneas sencillas se pueden utilizar para conectar dos puntos lgicos del diagrama, es decir:

Una variable de entrada y una entrada de un bloque Una salida de un bloque y una entrada de otro bloque Una salida de un bloque y una variable de salida

Se muestran las relaciones existentes entre los procesos y el flujo de seales de forma ms realista que una representacin matemtica.

Del mismo modo, tiene informacin relacionada con el comportamiento dinmico y no incluye informacin de la construccin fsica del sistema.

Muchos sistemas diferentes se representan por el mismo diagrama de bloques, as como diferentes diagramas de bloques pueden representar el mismo sistema, desde diferentes puntos de vista.

1.2.2. ANALISIS DE EJEMPLOS REALESEl anlisis real o teora de las funciones de variable real es la rama del anlisis matemtico que tiene que ver con el conjunto de losnmeros real es. En particular, estudia las propiedades analticas de las funciones y sucesiones de nmeros reales; su lmite , continuidad y el clculo de los nmeros reales.Anlisis de Fourier: Aproximacin de una funcin discontinua mediante una serie puntualmente convergente de funciones senoidales.

Alcance:El anlisis real es un rea del anlisis matemtico que estudia los conceptos de sucesin, lmite, continuidad, diferenciacin e integracin. Dada su naturaleza, el anlisis real est limitado a los nmeros reales como herramientas de trabajo. Resultados importantes incluyen entre otros el teorema de Bolzano-Weierstrass, el teorema de Heine-Borel, el teorema del valor medio y el teorema fundamental del clculo. Conceptos bsicos: Los textos del clculo avanzado normalmente comienzan con una introduccin a las demostraciones matemticas y a la teora de conjuntos. Tras esto se definen los nmeros reales axiomticamente, o se los construye con sucesiones de Cauchy o como cortes de Dedekind de nmeros racionales.Despus, hacen una investigacin de las propiedades de los nmeros reales, siendo de las ms importantes la desigualdad triangular. Sucesiones y series:Tras definir los nmeros reales, se investigan las sucesiones de nmeros reales y su convergencia, un concepto central en anlisis, a travs de los lmites de sucesiones o puntos de acumulacin de conjuntos. Posteriormente se estudian las series, como las series alternadas y las series de potencias. Se estudia, para empezar a desarrollar conceptos topolgicos elementales, varios tipos de subconjuntos de los nmeros reales: conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, espacios compactos, conjuntos conexos, etc. Donde se estudian el teorema de Bolzano-Weierstrass y el de Heine-Borel.Funciones continua: Ahora se estudian las funciones de variable real, y se define el concepto de funcin continua a partir de la definicin psilon-delta del lmite de una funcin. Entre las propiedades de una funcin continua definida en un intervalo destacan los teoremas conocidos como el teorema de Bolzano, el teorema del valor intermedio y el teorema de Weierstrass. Derivacin o diferenciacin: En este momento se puede definir la derivada de una funcin como un lmite, y se pueden demostrar rigurosamente los teoremas importantes sobre la derivacin como el teorema de Rolle o el teorema del valor medio. Se construyen las series de Taylor y se calculan las series de Maclaurin de las funciones exponencial y de las funciones trigonomtricas.Es importante destacar que tambin se estudian las funciones de varias variables tanto como sus derivadas que son las derivadas parciales. Es muy importante estudiar el teorema de la funcin inversa y el teorema de la funcin implcita, tanto como las funciones de Morse.Integracin: La integracin definida, que se puede definir imprecisamente como el rea debajo de la grficade una funcin va naturalmente despus de la derivacin, de la que la integracin indefinida es la operacin inversa. Se comienza con la integral de Riemann, que consiste en dividir el intervalo en subintervalos (con una particin), extender los subintervalos hacia arriba hasta que llegue, o al mnimo de la funcin en el subintervalo (en cual caso se le llama la suma inferior), o al mximoen el subintervalo (en cual caso se le llama la suma superior). Tambin existe otro tipo de integral, que puede integrar ms funciones, llamada la integral de Lebesgue, que usa la medida y el concepto de en casi todas partes. ste se muestra despus.Con la teora de integracin se pueden demostrar varios teoremas, en el caso de la integracin de Riemann o de Lebesgue, como el teorema de Fubini, pero de un modo ms importante el teorema fundamental del clculo. 1.3.-CONTROL EN LAZO CERRADO. Sistemas de control en lazo cerrado.El control retroalimentado o a lazo cerrado tiene la caracterstica de que medimos cierta cantidad de la salida y luego la comparamos con un valor deseado, y el error resultante lo utilizamos para corregir la salida del sistema.

Ejemplo: Control iluminacin de calles. El sistema de control, a travs de un transductor de realimentacin, conoce en cada instante el valor de la seal de salida. De esta manera, puede intervenir si existe una desviacin en la misma.

1.4.- sistemas lineales.1.4.- SISTEMAS LINEALES.Un sistema es lineal si la salida sigue fielmente los cambios producidos en la entrada. En la mayora de los sistemas de control lineales, la salida debe seguir la misma forma de la entrada, pero en los casos que la salida no verifique la misma forma de la entrada, para ser considerado un sistema lineal la salida deber reflejar los mismos cambios generados en la entrada.Por ejemplo, un integrador puro, es un operador lineal, ante una entrada escaln produce a la salida una seal rampa, la salida no es de la misma forma de la entrada, pero si la entrada escaln vara en una constante, la rampa de salida se ver modificada en la misma proporcin. De la linealidad del sistema se desprenden dos propiedades importantes: 1.-Si las entradas son multiplicadas por una constante, las salidas tambin son multiplicadas por la misma constante. 2.- Los sistemas lineales se caracterizan por el hecho de que se puede aplicarel principio de superposicin. Principio de superposicin:Si un sistema como el mostrado en la Fig, posee ms de una variable de entrada se puede obtener la salida total del sistema como la suma de las salidas parciales, que resultan de aplicar cada entrada por separado, haciendo las dems entradas cero.

La mayora de los sistemas utilizados en la industria de procesos presentan caractersticas complejas (parmetros variables, variables acopladas, efectos no lineales) por lo que generalmente los modelos son no lineales sin solucin analtica, lo que restringe un anlisis general. Cuando se requiere realizar el anlisis dinmico de sistemas no-lineales, puede tomarse las siguientes alternativas:1.-Transformar el sistema no-lineal en uno lineal haciendo una transformacin apropiada de sus variables. 2.-Simular el sistema no- lineal usando un computador y calcular su solucin numricamente. 3. Desarrollar un sistema lineal que aproxime el comportamiento dinmico del sistema no-lineal alrededor del punto especfico de operacin. Esto se conoce como la Linealizacin del sistema". Linealizacin es el proceso matemtico que permite aproximar un sistema no lineal a un sistema lineal. Esta tcnica es ampliamente usada en el estudio de procesos dinmicos y l en el diseo de sistemas de control por las siguientes razones:1. Se cuenta con mtodos analticos generales para la solucin de sistemas lineales. Por lo tanto se tendr una solucin general del comportamiento del proceso, independientemente de los valores de los parmetros y de las variables de entrada. Esto no es posible en sistemas no-lineales pues la solucin por computador da una solucin del comportamiento del sistema valida solo para valores especficos de los parmetros y de las variables de entrada.2. Todos los desarrollos significativos que conllevan al diseo de un sistema de control ha sido limitado a procesos lineales.

Dnde:X (t): variable de desviacin.X(t): variable absoluta correspondiente.X: valor de x en el punto de operacin (valor base).El valor base, es el valor de la variable en estado estable y generalmente describe el valor inicial del sistema dinmico y por lo tanto es constante.1.4.1.-SISTEMAS LINEALES INVARIABLES EN EL TIEMPO.Sistema LTI: En procesamiento de seales, un sistema LTI (Linear Time-Invariant) o sistema lineal e invariante en el tiempo, es aquel que, como su propio nombre indica, cumple las propiedades de linealidad e invarianza en el tiempo.PROPIEDADES:LinealidadUn sistema es lineal (L) si satisface el principio de superposicin , que engloba las propiedades de proporcionalidad o escalado y aditividad. Que sea proporcional significa que cuando la entrada de un sistema es multiplicada por un factor, la salida del sistema tambin ser multiplicada por el mismo factor.Por otro lado, que un sistema sea aditivo significa que si la entrada es el resultado de la suma de dos entradas, la salida ser la resultante de la suma de las salidas que produciran cada una de esas entradas individualmente.Propiedad de proporcionalidad

En un sistema lineal, si la entrada es nula, la salida tambin ha de serlo. Un sistema incrementalmente lineal es aquel que, sin verificar la ltima condicin, responde linealmente a los cambios en la entrada.

Invariabilidad.Un sistema es invariante con el tiempo si su comportamiento y sus caractersticas son fijas. Esto significa que los parmetros del sistema no van cambiando a travs del tiempo y que por lo tanto, una misma entrada nos dar el mismo resultado en cualquier momento (ya sea ahora o despus).

Principio de Superposicin con LTI

Una caracterstica muy importante y til de este tipo de sistemas reside en que se puede calcular la salida del mismo ante cualquier seal mediante la consolacin es decir, descomponiendo la entrada en un tren de impulsos que sern multiplicados por la respuesta al impulso del sistema y sumados.Sistemas LTI en Serie/Paralelo:SERIE: Si dos o ms sistemas estn en serie uno con otro, el orden puede ser intercambiado sin que se vea afectada la salida del sistema.Los sistemas en serie tambin son llamados como sistemas en cascada. Un sistema equivalente es aquel que est definido como la convolucin de los sistemas individuales.

Esquema sencillo Sistema LTI SeriePARALELO: Si dos o ms sistemas LTI estn en paralelo con otro, un sistema equivalente es aquel que est definido como la suma de estos sistemas individuales.

Esquema sencillo Sistema LTI Paralelo1.4.2.- SISTEMAS LINEALES VARIABLES EN EL TIEMPO.Hay que diferenciar entre variables y parmetros de un sistema.Las variables, como su nombre lo indica son magnitudes cambiantes en el tiempo, las cuales determinan el estado de un componente, bloque o sistema. (Por Ejemplo: tensin, intensidad de corriente, velocidad, temperatura, nivel etc).Los parmetros son magnitudes que pueden permanecer constantes o variar segn sea el sistema. Los mismos reflejan las propiedades o caractersticas inherentes de los componentes (Ejemplo: masa, inductancia, capacitancia, resistencia, conductividad, constante de elasticidad, coeficiente volumtrico de flujo, etc.).Cuando los parmetros del sistema de control son estacionarios con respecto al tiempo durante la operacin del sistema, es decir son magnitudes que permanecen constantes en el tiempo, el sistema se denomina Sistema Invariante con el tiempo. Cuando los parmetros varan con el tiempo, el Sistema se denomina Variante en el tiempo. En la prctica, la mayora de los sistemas fsicos contienen elementos que derivan o varan con el tiempo. Por ejemplo, la resistencia de la bobina de un motor elctrico variar cuando el motor es excitado por primera vez y su temperatura est aumentando. Otro ejemplo de un sistema variante es el sistema de control de un misil guiado en el cual la masa del misil decrece a medida que el combustible a bordo se consume durante el vuelo. Un sistema variante en el tiempo sin no linealidades, es an un Sistema Lineal. El anlisis y diseo de esta clase de sistemas son mucho ms complejos que los de un sistema lineal invariante con el tiempo. Dentro de los sistemas 23 invariantes con el tiempo tenemos los sistemas de control de tiempo continuo y los de tiempo discreto, a continuacin se describirn este tipo de sistemas. 1.5.- SISTEMAS NO LINEALES.Los sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Ms formalmente, un sistema fsico, matemtico o de otro tipo es no lineal cuando las ecuaciones de movimiento, evolucin o comportamiento que regulan su comportamiento son no lineales. En particular, el comportamiento de sistemas no lineales no est sujeto al principio de superposicin, como lo es un sistema lineal.La linealidad de un sistema permite a los investigadores hacer ciertas suposiciones matemticas y aproximaciones, permitiendo un clculo ms sencillo de los resultados. Ya que los sistemas no lineales no son iguales a la suma de sus partes, usualmente son difciles (o imposibles) de modelar, y sus comportamientos con respecto a una variable dada (por ejemplo, el tiempo) es extremadamente difcil de predecir. Algunos sistemas no lineales tienen soluciones exactas o integrables, mientras que otros tienen comportamiento catico, por lo tanto no se pueden reducir a una forma simple ni se pueden resolver. Un ejemplo de comportamiento catico son las olas gigantes. Aunque algunos sistemas no lineales y ecuaciones de inters general han sido extensamente estudiados, la vasta mayora son pobremente comprendidos.Sistemas no lineales: Las ecuaciones no lineales son de inters en fsica y matemticas debido a que la mayora de los problemas fsicos son implcitamente no lineales en su naturaleza. Ejemplos fsicos de sistemas lineales son relativamente raros. Las ecuaciones no lineales son difciles de resolver y dan origen a interesantes fenmenos como la teora del caos. Una ecuacin lineal puede ser descrita usando un operador lineal, L. Una ecuacin lineal en algn valor desconocido de u tiene la forma.

Una ecuacin no lineal es una ecuacin de la forma:

Para algn valor desconocido de U.Para poder resolver cualquier ecuacin se necesita decidir en qu espacio matemtico se encuentra la solucin U. Podra ser que U es un nmero real, un vector o, tal vez, una funcin con algunas propiedades.Las soluciones de ecuaciones lineales pueden ser generalmente descritas como una superposicin de otras soluciones de la misma ecuacin. Esto hace que las ecuaciones lineales sean fciles de resolver.Las ecuaciones no lineales son mucho ms complejas, y mucho ms difciles de entender por la falta de soluciones simples superpuestas. Para las ecuaciones no lineales las soluciones generalmente no forman un espacio vectorial y, en general, no pueden ser superpuestas para producir nuevas soluciones. Esto hace el resolver las ecuaciones mucho ms difcil que en sistemas lineales.

Al da de hoy, existen muchas herramientas para analizar ecuaciones no lineales, por mencionar algunas tenemos: dinmica de sistemas, teorema de la funcin implcita y la teora de la bifurcacin.1.5.1 Linealizacion.La linealizacin se refiere al proceso de encontrar la aproximacin lineal a una funcin en un punto dado. En el estudio de los sistemas dinmicos, la linealizacin es un mtodo para estudiar la estabilidad local de un punto de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales. Este mtodo se utiliza en campos tales como la ingeniera, la fsica, laeconoma, y la ecologa.