Unidad 2 Apuntes de Io1

II FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL (PL)

«2011»…….IPN-UPIICSA»María Virginia Guzmán Ibarra

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Los modelos de programación lineal son muy variados y sus modelos adoptan muchas formas. Esta

diversidad puede confundir y hace difícil reconocer cuándo puede aplicarse la programación lineal para

estudiar problemas administrativos. La capacidad para reconocer la aplicabilidad de la programación

lineal es una aptitud administrativa y desarrollar esta aptitud es el objetivo del presente apartado.

La formulación y análisis de un modelo de programación lineal proporciona información para apoyar la

toma de decisiones. Esto significa que el modelo refleja con precisión la perspectiva administrativa del

problema. La programación lineal es una técnica determinista de análisis para elegir la mejor entre

muchas alternativas. Con frecuencia, seleccionar una alternativa incluye satisfacer varios criterios al

mismo tiempo. Por ejemplo, cuando se compra una pieza de pan se tiene el criterio de frescura, tamaño,

tipo (blanco, de centeno u otro), costo y rebanado o sin rebanar. Se puede ir un paso más adelante y

dividir estos criterios en dos categorías; restricciones y el objetivo.

Las restricciones son las condiciones que debe satisfacer una solución que está bajo consideración. Si más

de una alternativa satisface todas las restricciones, el objetivo se usa para seleccionar entre todas las

alternativas factibles. Cuando se elige una pieza de pan, puede quererse un paquete de pan blanco

rebanado y hecho no antes del día anterior. Si varias marcas satisfacen estas restricciones, puede aplicarse

el objetivo de un costo mínimo y escoger el más barato.

Existen muchos problemas en la empresa que se ajustan a este molde de tratar de minimizar o maximizar

un objetivo que está sujeto a una lista de restricciones. Un corredor de inversiones, por ejemplo, trata de

maximizar el rendimiento sobre los fondos invertidos pero las posibles inversiones están restringidas por

las leyes y las políticas bancarias. Un hospital debe planear que las comidas para los pacientes satisfagan

ciertas restricciones sobre sabor, propiedades nutritivas, tipo y variedad, al mismo tiempo que se trata de

minimizar el costo. Un fabricante, al planear la producción futura, busca un costo mínimo al mismo

tiempo cómo cumplir restricciones sobre la demanda del producto, la capacidad de producción, los

inventarios, el nivel de empleados y la tecnología. La programación lineal se ha aplicado con éxito a estos

y otros problemas. El objetivo y cada una de las restricciones en la (PL) se deben expresar como una

relación lineal, de ahí el nombre de programación lineal.

Para las aplicaciones más reales es necesaria una computadora para resolver el modelo. A pesar de sus

limitaciones, la programación lineal, (PL) es una de las técnicas más poderosas y útil para la solución de

los problemas en las organizaciones.

Ya sea simple o complejo, un modelo es una representación que idealiza, simplifica y abstrae

selectivamente la realidad, y esta representación es construida por individuos, por lo que la creación de

modelos incluye una gran cantidad de arte e imaginación así como de conocimientos técnicos. A manera

de guía, podemos dividir el proceso de construcción de un modelo cuantitativo en tres etapas:

1. Se estudia el ambiente. La experiencia puede ser el ingrediente más esencial del éxito, la experiencia

tanto en construcción de modelos como en el trabajo en el ambiente que se estudia.

2. Se formula una representación selectiva de la realidad. Implica un análisis conceptual básico en el

que se deben hacer conjeturas y simplificaciones. El proceso de formulación requiere que el

constructor del problema seleccione o aísle del ambiente aquellos aspectos de la realidad que sean

relevantes dentro del ámbito del problema. Puesto que los problemas que nos interesan implican

decisiones, restricciones y objetivos, deben ser explícitamente identificados y definidos. Una vez que

se ha realizado la formulación lógica se debe elaborar una forma simbólica del modelo. En cierto

sentido, formulación y construcción son procesos integrados, siendo la formulación el aspecto lógico

conceptual y la construcción la expresión de las relaciones lógicas en el lenguaje simbólico de las

matemáticas.

3. Se formula una representación simbólica (es decir con expresiones matemáticas) del modelo. Las

interacciones entre la formulación y la construcción simbólica por lo común son críticas. Por lo que

II. FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL (PL)

2.1. CONCEPTO DE FORMULACIÓN DE MODELOS DE PL



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se requiere que los modelos sean construidos por grupos heterogéneos o interdisciplinarios de

expertos en varios campos.

El concepto de formulación y construcción del modelo podría ser más explicito con el siguiente ejemplo:

Considérese a un fabricante quien produce distintos productos y utiliza diferentes materias primas en el

proceso. El desea conocer que tanto tiene que producir de cada producto con el objeto de obtener el

mayor beneficio global, numeremos los diferentes productos que fabrica por 1,2,…,n y las materias

requeridas (tales como mano de obra, capital, acero y otras materias básicas) por 1,2,….,m supóngase que

el sistema de unidades se elige en términos de la cantidad de cada producto fabricado y en forma como

puede medirse las materias usadas, por ejemplo, la cantidad de acero usado puede medirse en toneladas,

la mano de obra en horas-hombre, y así sucesivamente. Ahora hagamos algunas suposiciones respecto a

la naturaleza del proceso de fabricación considérese primero que, para cada producto, se requiere una

cantidad fija de cada materia hacer una unidad de ese producto. Sea aij el número de unidades requeridas

de la materia i para producir una cantidad del producto j )1,1( njmi . Al referirse a aij como

"fijo" significa que el número determinado por i y j solamente y no varía con la cantidad producida del

producto j. A continuación, supóngase que consideramos un período de tiempo fijo durante el cual se

dispone de una cantidad fija de cada materia y que dicha cantidad no puede excederse durante ese tiempo.

Sea bi el número de unidades de la materia número i disponible durante el período de tiempo

fijo )1( mi . Finalmente supóngase que todos los productos fabricados durante el intervalo de tiempo

considerado se venderán y que se conoce el beneficio unitario de cada producto, el cual es independiente

del número de unidades producidas. Sea Cj el número de unidades de dinero que son el beneficio de la

venta de una unidad de cada producto j )1( nj . Entonces, si se producen Xj unidades del producto j

)1( nj en el intervalo de tiempo dado, el beneficio será C1X1 + C2X2 +………CiXj+…..+ CnXn,

puesto que deseamos maximizar el beneficio total sujeto a las condiciones mencionadas, debemos

formular el siguiente problema de programación lineal.

Maximizar Z = C1X1 + C2X2 +………CJXj+…..+ CnXn

Sujeta a: A11X1 + A12X2 +……… A1jXj +…..+ A1nXn (≤, = ó ≥) b1

A21X1 + A22X2 +……… A2jXj +…..+ A2nXn (≤, = ó ≥) b2

……………………………………………………………………..

Ai1X1 + Ai2X2 +……… AijXj +…..+ AinXn (≤, = ó ≥) bi

……………………………………………………………………..

Am1X1 + Am2X2 +……… AmjXj +…..+ AmnXn (≤, = ó ≥) bm

Xj ≥ 0 (j =1,2,….,n)

Las condiciones Xj ≥ 0 (j =1,2,…., n) están presentes debido a que no tiene significado hablar de producir

una cantidad negativa de un producto.

Los modelos típicos de programación lineal se pueden clasificar en cuatro categorías:

En cada caso, un rasgo distintivo importante es la naturaleza de las restricciones, como se vera en cada

modelo.

Son modelos de programación lineal que involucran la asignación de recursos limitados a las actividades.

La característica que identifica cualquier modelo de esos es que cada restricción funcional en el modelo

de programación lineal es una restricción de recursos, que tiene la forma:

2.2.1. Modelos de asignación de recursos

2.2.2. Modelos de trueque de costo-beneficio

2.2.3. Modelos de redes de distribución

2.2.4. Modelos mixtos

2.2. MODELOS TÍPICOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

2.2.1. Modelos de asignación de recursos



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Para facilitar la formulación del modelo de programación lineal de asignación de recursos, se requiere

reunir tres tipos de datos:

1. La cantidad disponible de cada recurso limitado para el uso colectivo de todas las actividades

objeto de estudio.

2. La cantidad de cada recurso necesario para cada actividad. En particular, para cada combinación

de recurso y actividad, debe estimarse la cantidad de recurso usado por unidad de actividad.

3. La contribución por unidad de cada actividad como la medida de desempeño global. (Esta

medida de desempeño, es la ganancia o costo total de las actividades).

Toda vez que se llena una tabla con todos los datos requeridos, se esta listo para la formulación del

modelo de programación lineal correspondiente. De hecho la siguiente tabla se llama tabla de

concentración de datos (parámetros) porque los datos son los parámetros del modelo.

Formato de la tabla de concentración de datos ( parámetros) para un problema de asignación de recursos.

Caso: Compañía Think-Big Development Co.

1. Definición del problema

La Compañía Think-Big Development Co. Es un inversionista importante en proyectos de desarrollo de

bienes raíces comerciales. Actualmente tiene la oportunidad de invertir en tres grandes proyectos de

construcción:

Proyecto 1: un edificio de oficinas de varios pisos.

Proyecto 2: un hotel.

Proyecto 3: un centro comercial.

Cada proyecto requiere que cada socio efectúe inversiones en cuatro momentos distintos: un pago inicial

ahora y capital adicional después de uno, dos y tres años. La siguiente tabla muestra, para cada proyecto,

la cantidad total de inversión de capital requerida de todos los socios en estos cuatro tiempos. Así, un

socio que toma cierto porcentaje de participación está obligado a invertir ese porcentaje de cada cantidad

mostrada en la tabla del proyecto.

Se espera que los tres proyectos sean muy rentables a largo plazo. Así es que la administración de Think-

Big desea invertir lo más posible en alguno o en todos ellos. La administración está dispuesta a

comprometer todo el capital de inversión disponible hoy, así como el capital de inversión adicional que se

espera esté disponible durante los siguientes tres años. El objetivo es determinar la mezcla de inversión

que resulte más rentable, basado en las estimaciones actuales de rentabilidad.

Puesto que pasarán varios años antes de que cada proyecto comience a generar ingresos, que continuarán

por muchos años en el futuro, se precisa tomar en cuenta el valor del dinero en el tiempo para evaluar

Cantidad de recurso empleado ≤ cantidad de recurso disponible

Para uno de los recursos limitados.



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cuán rentable podría ser. Esto se hace mediante el descuento de futuros flujos de efectivo que sale (capital

invertido) y flujos de efectivo que entra (ingreso) y después sumando los flujos de efectivo descontados

netos, para calcular el valor presente neto del proyecto.

Basado en las estimaciones actuales de flujos de efectivo futuros, el valor presente neto estimado para

cada proyecto se muestra en el último renglón de la tabla. Todos los inversionistas incluida Think-Big,

repartirán luego este valor presente neto en proporción a su parte de la inversión total.

Para cada proyecto, 100 participaciones de 1% (o fracciones de éstas) se venden a grandes inversionistas,

tales como Think-Big quienes se convierten en socios del proyecto al invertir sus partes proporcionales en

los cuatro tiempos especificados. Por ejemplo, si Think-Big toma 10 participaciones del proyecto 1,

deberá proporcionar $4 millones ahora y luego $6 millones, $9 millones y $1 millón en los años uno, dos

y tres, respectivamente.

Hoy la compañía cuenta con $25 millones disponibles para inversión de capital. En las proyecciones se

dispondrá de otros $20 millones más después de dos años y otros $15 millones en tres años. ¿Cuántas

participaciones debería tomar Think-Big en los respectivos proyectos para maximizar el valor presente

neto total de estas inversiones?

Cuadro de concentración de datos para el problema de Inversiones

2. Formulación del modelo

Las actividades consideradas son:

Actividad 1: invertir en el proyecto 1.



Los recursos limitados a asignar a estas actividades son los fondos disponibles en los cuatro puntos de

inversión. Los fondos que no se usan en un punto están disponibles en el siguiente. Entonces, la

restricción de recursos para cada punto debe reflejar los fondos acumulados a ese punto.

Recurso 1: capital de inversión total disponible ahora.

Recurso 2: capital de inversión acumulado disponible al final de un año.

Recurso 3: capital de inversión acumulado disponible al final de dos años.

Recurso 4: capital de inversión acumulado disponible al final de tres años.

Con las cantidades acumuladas de estos recursos y las participaciones del 1% para los proyectos

obtenemos la siguiente tabla. Obsérvese que los que aquí los números de la tabla anterior se multiplicaron

por 1%, porque cada unidad de una actividad (inversión en un proyecto) es 1% de la inversión total. Para

ilustrar el efecto de usar cantidades acumuladas para los recursos, considere los números de la columna

del proyecto 1 de la tabla siguiente que se obtienen a partir de la columna correspondiente en la tabla

anterior como sigue:

Cálculos para la columna del proyecto 1 de la tabla siguiente

Renglón 1: 0.01 ($40 millones) = $0.40 millones



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Renglón 2: 0.01 ($40 + 60 millones) = $1.0 millones

Renglón 3: 0.01 ($40 + 60 + 90 millones) = $1.9 millones

Renglón 4: 0.01 ($40 + 60 + 90 + 10 millones) = $2.0 millones

Fondo: 0.01 ($ 45 millones) = $0.45 millones

Contribución por unidad = valor presente neto de cada participación de 1% en este proyecto

Tabla de parámetros para el problema de mezclas de inversión de la Think-Big Development Co.

Las decisiones. Con tres actividades bajo consideración, deben tomarse tres decisiones:

Decisión 1: P1 = número de participaciones en el proyecto 1 (edificio de oficinas)

Decisión 2: P2 = número de participaciones en el proyecto 2 (hotel)

Decisión 3: P3 = número de participaciones en el proyecto 3 (centro comercial)

Las restricciones. Los cuatro recursos requieren de restricciones de recursos:

Total invertido ahora ≤ 25 (millones de dólares disponibles)

Total invertido dentro de un año ≤ 45 (millones de dólares disponibles)

Total invertido dentro de dos años ≤ 65 (millones de dólares disponibles)

Total invertido dentro de tres años ≤ 80 (millones de dólares disponibles)

La medida de desempeño. El objetivo es:

Maximizar VPN = Valor presente neto total de las inversiones

Matemáticamente la formulación del modelo es:

Función Objetivo: Maximizar VPN = 0.45P1 + 0.7P2 + 0.5P3

Sujeta a:

Total de inversión actual: 0.4P1 + 0.8P2 + 0.9P3 ≤ 25

Total invertido dentro de dos años: P1 + 1.6P2 + 1.4P3 ≤ 45

Total invertido dentro de un año: 1.9P1 + 2.4P2 + 1.6P3 ≤ 65

Total invertido dentro de un año 2.0P1 + 3.1P2 + 2.2P3 ≤ 80

Condiciones de no negatividad:

P1≥0 P2≥0 P3≥0

3. Solución del problema a partir del modelo

Aplicando un programa para obtener la solución del modelo se concluye lo siguiente:

No invertir en el proyecto 1

Invertir en 16.505 participaciones del proyecto 2

Invertir en 13.107 participaciones del proyecto 3

Con este plan de inversión se obtendrá un valor presente neto de $18.11 millones.



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Caso Compañía: El problema de mezcla publicitaria de la Súper Grain Co


Claire Syverson, subdirectora de mercadotecnia de Super Grain Corporation, se enfrenta a un reto

intimidante: cómo entrar a un mercado ya saturado de cereales para desayuno, Por fortuna, el nuevo

cereal para desayuno de la compañía -Crunchy Start- tiene mucho a su favor: gran sabor. Nutritivo.

Crujiente de principio a fin. Ella puede recitar la letanía hasta en sueños. Contiene las condiciones de una

campaña promocional exitosa.

No obstante. Claire sabe que tiene que evitar los errores que cometió en su última campaña de un cereal

para desayuno. Ésa fue su primera asignación desde que ganó esta promoción y ¡qué desastre! Pensó que

había desarrollado una campaña verdaderamente buena. Pero de algún modo no hizo conexión con los

segmentos más cruciales del mercado, los niños pequeños y sus padres. También concluyo que fue un

error no incluir cupones de descuento de centavos en la publicidad en revistas y periódicos. Bueno. Vivir

y aprender.

Pero más vale que en esta ocasión lo haga bien, en especial después del gran tropiezo de la vez pasada. El

director general de la compañía, David Sloan, ya le ha hecho saber cuán importante es para el futuro de la

compañía el éxito de Crunchy Start. Recuerda exactamente cómo concluyó David la plática "los

accionistas de la compañía no están contentos. Debemos lograr que esos ingresos se muevan en la

dirección correcta de nuevo." Claire había escuchado esta tonada antes, pero vio en los ojos de David

cuán serio era esto en este momento.

David también es muy cooperativo. Dice que está asignando un equipo de métodos cuantitativos de

primera línea para trabajar con ella y ayudarle a optimizar la campaña promocional. Ésas son buenas

noticias. No haber involucrado a la gente de métodos cuantitativos fue otro error del que se ha arrepentido

desde entonces.

Ahora es el momento de sentarse con el equipo de métodos cuantitativos y enfrentar seriamente el

problema.

Claire ya contrató a una empresa publicitaría líder, Giacomi & Jackowitz, para que le ayuden a desarrollar

una campaña promocional de cobertura nacional que logrará la mayor exposición posible para Crunchy

Start. Super Grain pagará a esta firma honorarios basados en servicios realizados (sin exceder $1 millón)

y ha asignado $4 millones adicionales para gastos de publicidad.

Giacomi & Jackowitz ha identificado los tres medios publicitarios más efectivos para este producto:

Medio 1: Comerciales de televisión en programas infantiles sabatinos.

Medio 2: Anuncios en revistas de alimentos y orientadas a la familia.

Medio 3: Anuncios en los suplementos dominicales de los principales periódicos.

El problema ahora es determinar qué niveles deben seleccionarse para estas actividades publicitarias para

obtener la mejor mezcla publicitaria.

Para determinar la mejor mezcla de niveles de actividad para este problema de publicidad en particular, es

necesario (como siempre) identificar la medida de desempeño global para el problema y luego la

contribución de cada actividad a esta medida. Una meta esencial de Super Grain Corporation es

maximizar sus ganancias, pero es difícil determinar una relación directa entre exposición publicitaria y

ganancias. Así pues, como sustituto de las ganancias, Clara y el equipo de métodos cuantitativos

concuerdan en usar exposición esperada como medida de desempeño global. Cada unidad de exposición

esperada representa cierta cantidad de impacto positivo de un anuncio, basado en el número de personas

que lo vieron, el perfil del auditorio y la probabilidad de que verlo inducirá una compra.

Giacomi & Jackowitz elaboró planes preliminares para anuncios en los tres medios. La firma también

estimó el número de unidades de exposición esperada para cada anuncio en cada medio como se ofrecen

en el último renglón de la siguiente tabla:



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Tabla de concentración de datos (parámetros) para el problema de mezcla publicitaria.

2. Formulación del modelo:

El número de anuncios que pueden contratarse en los diferentes medios está restringido tanto por el

presupuesto de publicidad (un límite de $4 millones) como por el presupuesto de planeación (un límite de

$1 millón para los honorarios de Giacomi & Jackowitz) otra restricción: debido a que hay pocos espacios

de comerciales disponibles en televisión en programas para niños el sábado (medio 1) durante el tiempo

de la campaña promocional, sólo cinco comerciales diferentes podrían pasar en el tiempo deseado. (Los

otros dos medios cuentan con número amplio de espacios disponibles.)

En consecuencia, los tres recursos limitados para este problema son:

Recurso 1: presupuesto para publicidad ($4 millones).

Recurso 2: presupuesto para planeación ($1 millón).

Recurso 3: espacio para comerciales disponibles (5).

En la última columna de la tabla se muestran las cantidades disponibles de estos recursos. Luego se

muestra en el cuerpo principal de esta tabla una cantidad estimada de cada recurso que sería usada para

cada anuncio en el medio respectivo.

El primer renglón da el costo por anuncio en cada medio.

El segundo renglón muestra las estimaciones de Giacomi & Jackowitz de su costo total (incluidos

gastos generales y ganancia) por diseñar y desarrollar cada anuncio para el medio respectivo. (Este

costo representa los honorarios facturables de Super Grain Corporation.)

El tercer renglón indica que cada anuncio (comercial) exhibido en televisión usa uno de los cinco

espacios comerciales disponibles para compra.

El último renglón da el número esperado de unidades de exposición por anuncio.

Las decisiones. El objetivo es: determinar la mezcla publicitaria más efectiva entre los tres medios

seleccionados por Giacomi & Jackowitz. Por lo tanto, existen tres decisiones:

Decisión 1: TV = Número de comerciales en televisión.

Decisión 2: M = Número de anuncios en revistas.

Decisión 3: SS = Número de anuncios en suplementos dominicales.

Las restricciones. Las restricciones correspondientes son:

Gasto total en publicidad ≤4 000 (presupuesto de publicidad en $4 000)

Costo total de la planeación ≤1 000 (presupuesto de planeación en $1 000)

Número total de espacios de TV ≤ 5 (número disponible para compra)



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Las medidas de desempeño. Claire Syverson y el equipo de métodos cuantitativos acordaron usar la

exposición esperada como la medida global de desempeño. La exposición total esperada de toda la

publicidad es:

Maximizar Exposición = 130TV + 60M + 50SS

Matemáticamente la formulación del modelo de programación lineal es:

Función Objetivo: Maximizar Exposición = 130TV + 60M + 50SS

Sujeta a:

Gastos de publicidad: 300TV + 150M + 100SS ≤ 4 000

Costos de planeación: 90TV + 30M + 40SS ≤ 1 000

Número de espacios en televisión: TV ≤ 5

Condiciones de no-negatividad:

TV ≥ 0 M ≥ 0 SS ≥ 0



No se efectúen comerciales de televisión.

Efectuar 20 anuncios en revistas.

Efectuar 10 anuncios en suplementos dominicales.

Como la “ganancia” en este caso se mide en unidades de exposición esperadas, el resultado es de 1700

unidades de exposición esperadas.

Los modelos de trueque entre costo y beneficio son modelos de programación lineal donde se elige la

mezcla de los niveles de las distintas actividades para lograr niveles mínimos aceptables de los diversos

beneficios a un costo mínimo. La característica identificadora es que cada restricción funcional es una

restricción del beneficio, que tiene la forma:

Al interpretar beneficio de manera amplia, puede pensarse en cualquier restricción funcional con signo ≥

como restricción de beneficio. En la mayoría de los casos el nivel mínimo aceptable será prescrito por la

administración como una decisión de política, pero ocasionalmente este número será dictado por otras

circunstancias.

Para cualquier modelo de trueque costo beneficio una gran parte del estudio incluye identificar todas las

actividades y beneficios que deben considerarse y luego reunir los datos relevantes para esas actividades y

beneficios. La siguiente tabla resume los tipos de datos necesarios. Para cada beneficio, se necesita

estimar en cuánto contribuye cada actividad a ese beneficio (por unidad de actividad) y luego se

determina el nivel mínimo aceptable. También debe estimarse el costo por unidad de cada actividad. La

tabla de concentración de datos (de parámetros) resultante da todos los parámetros necesarios para un

modelo de programación lineal.

Nivel logrado ≥ nivel mínimo aceptable

Para uno de los beneficios.

2.2.2. Modelos de trueque entre costo y beneficio



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Tabla de concentración de datos (parámetros) para un modelo de trueque entre costo y beneficio.

Caso Compañía: The Profit & Gambit Co.

Un ejemplo de minimización: Problema de mezcla de publicidad


La compañía Profit & Gambit Co. fabrica productos de limpieza para uso doméstico. Éste es un mercado

muy competido y la compañía lucha en forma constante para aumentar su porcentaje de mercado. La

administración decidió llevar a cabo una importante campaña de publicidad que se enfocará en los

siguientes tres productos clave:

1. Un quitamanchas para prelavado en aerosol.

2. Un nuevo detergente líquido para ropa.

3. Un polvo detergente para ropa con mercado establecido.

Esta campaña utilizará televisión y medios impresos. Se desarrolló un comercial de televisión para

aparecer en el ámbito nacional que anunciará el detergente líquido para ayudar a establecer este nuevo

producto. La publicidad en medios impresos promoverá los tres productos e incluirá cupones de

descuento que los consumidores pueden usar para comprar el producto a precios reducidos. La

administración ha establecido metas mínimas para la campaña:

1. El quitamanchas debe captar 3% adicional de su mercado;

2. El nuevo detergente líquido debe captar 18% del mercado de detergentes para ropa, y

3. Un aumento de 4% de este mismo mercado debe ser captado por el detergente en polvo.

La siguiente tabla muestra los aumentos estimados en las participaciones de estos mercados por cada

unidad de publicidad en los medios respectivos.

(Una unidad es un bloque estándar de publicidad que Profit & Gambit Co. compra, pero también se

permiten otras cantidades).

La razón para el –1% para el detergente en polvo en la columna de televisión es que el comercial de TV

que anuncia el nuevo detergente líquido le quitará algunas ventas al detergente en polvo. El último

renglón de la tabla muestra el costo por unidad de publicidad para cada medio.



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Tabla de concentración de datos (parámetros) para el problema de mezcla publicitaria.

El objetivo de la administración es determinar cuánta publicidad hacer en cada medio para cumplir las

metas de participación de mercado a un costo total mínimo.


Éste es un problema de trueque entre costo y beneficio. El objetivo es: determinar cuánta publicidad

asignar a cada medio para cubrir las metas de porcentaje de mercado a un costo total mínimo.

Las actividades consideradas son:

Actividad 1: Publicidad en televisión.

Actividad 2: Publicidad en medios impresos.

Los beneficios buscados de estas actividades son:

Beneficio 1: Proporción aumentada del mercado para un quitamanchas prelavado.

Beneficio 2: Proporción aumentada del mercado para un detergente de ropa líquido.

Beneficio 3: Proporción aumentada del mercado para un detergente de ropa en polvo bien establecido.

Las decisiones que deben tomarse en cuenta son:

Decisión 1: TV = Número de unidades de publicidad en televisión.

Decisión 2: PM =Número de unidades de publicidad en medios impresos.

Las restricciones identificadas sobre estas decisiones son:

Quitamanchas: Aumento total en porcentaje de mercado 3%

Detergente líquido: Aumento total en porcentaje de mercado 18%

Detergente en polvo: Aumento total en porcentaje de mercado 4%

La segunda y tercera columna de la tabla indican que los aumentos totales en porcentaje de mercado de

ambas formas de publicidad son:

Total para el quitamanchas = 1% de PM

Total para detergente líquido = 3% de TV + 2% de PM

Total para detergente en polvo = -1% de TV + 4% de PM

Matemáticamente la formulación del modelo es:

Función objetivo: Minimizar Costo = TV + 2PM (en millones de dólares)

Sujeta a:

Proporción de mercado aumentada de quitamanchas: PM 3

Proporción de mercado aumentada de detergente líquido: 3TV + 2PM 18

Proporción de mercado aumentada de quitamanchas: -TV + 4PM 4

Condiciones de no-negatividad:

TV 0, PM 0



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Contratar 4 unidades de publicidad en televisión.

Contratar 3 unidades de publicidad en medios impresos.

El costo total mínimo de este plan será de $10 millones.

Los modelos de redes de distribución tratan la distribución de bienes a través de redes de distribución a un

costo mínimo.

Estas restricciones son una característica identificadora de los problemas de redes de distribución. Así, las

Las restricciones de requerimientos fijos tienen el mismo papel para problemas de redes de distribución

que las restricciones de recursos en los problemas de asignación de recursos y las restricciones de

beneficios en los problemas de trueque costo-beneficio.

Por ello, en vez de identificar recursos o beneficios, en los problemas de redes de distribución deben ser

los requerimientos y sus restricciones de requerimientos fijos correspondientes.

Así como se desarrolló una tabla de parámetros para los modelos de asignación de recursos y para los

modelos de trueque costo-beneficio, se puede elaborar una tabla, como a continuación se muestra, para

facilitar la formulación de modelos de redes de distribución. La primera columna enumera los tipos de

cantidades que contienen un requerimiento fijo y la última columna da el monto requerido para esas

cantidades. Cada entrada en el cuerpo principal de la tabla muestra cuánto contribuye cada unidad

embarcada por esa ruta para satisfacer la cantidad requerida en la última columna. El renglón de

capacidad muestra el número máximo de unidades que pueden enviarse por cada ruta de envío.

Tabla de concentración de datos (parámetros) para un problema de redes de distribución

Caso Compañía: The Distribution Unlimited Co.


La compañía The Distribution Unlimited Co. Producirá el mismo producto en dos fábricas diferentes y

luego deben enviar el producto a dos almacenes. La fábrica 1 puede enviar una cantidad ilimitada por tren

sólo al almacén 1, en tanto que la fábrica 2 puede enviar una cantidad ilimitada por tren sólo al almacén 2.

Se pueden usar auto transportistas independientes para enviar hasta 50 unidades de cada fábrica a un

En este tipo de modelos se verá un nuevo tipo de restricción –las restricciones de requerimientos fijos.

2.2.3. Modelos de redes de distribución



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centro de distribución, de donde se pueden enviar hasta 50 unidades a cada almacén. El costo unitario de

envió para cada alternativa se muestra en la siguiente tabla, junto con las cantidades a producir en las

fábricas y las cantidades necesarias en los almacenes. El objetivo es determinar cómo enviar las unidades

necesarias con un costo total mínimo.

Tabla de concentración de datos para el problema de red de distribución.

La siguiente figura muestra la red de distribución para este problema. Cada flecha señala una de las rutas

de embarque factibles; el costo unitario de embarque correspondiente está dado a lo largo de la flecha.

También se muestra la capacidad límite de cuánto puede enviarse (sí se envía) a través de cada ruta.

2. Formulación del modelo de programación lineal

Se necesitan identificar las actividades y los requerimientos de este problema de redes de distribución

para formularlo como un modelo de programación lineal. En este caso se han mencionado dos tipos de

actividades –la producción de un nuevo producto en las dos fábricas y el envío del producto a través de

varias rutas-. Sin embargo, se conocen las cantidades específicas que debe producir cada fábrica, de modo

que no se requiere tomar decisiones sobre las actividades de producción. La toma de decisiones se ocupa

de los niveles de las actividades de envío –cuánto enviar a través de cada ruta-. Por lo tanto, la atención

debe centrarse en las actividades de envío para la formulación del modelo de programación lineal.

Las actividades corresponden a rutas de envío, señaladas por flechas en la figura anterior.



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El nivel de cada actividad es el número de unidades enviadas por la ruta correspondiente.

Igual que cualquier modelo de programación lineal puede describirse como la búsqueda de la mejor

combinación de niveles de actividad, éste implica encontrar la mejor mezcla de cantidades de envío para

las diversas rutas. Las decisiones que se toman son:

Las decisiones que se toman son:

SF1-DC = Número de unidades enviadas de la fábrica 1 al centro de distribución (50 máximo)

SF2-DC = Número de unidades enviadas de la fábrica 2 al centro de distribución (50 máximo)

SF1-W1 = Número de unidades enviadas de la fábrica 1 al almacén 1

SF2-W2 = Número de unidades enviadas de la fábrica 2 al almacén 2

SDC-W1 = Número de unidades enviadas del centro de distribución al almacén 1 (50 máximo)

SDC-W2 = Número de unidades enviadas del centro de distribución al almacén 2 (50 máximo)

El objetivo es: Minimizar Costo = costo total de enviar las unidades necesarias

Usando los costos de embarque unitarios dados en la tabla anterior

Costo = 300 SF1-DC + 400 SF2-DC + 700 SF1-W1 + 900 SF2-W2 + 200 SDC-W1 + 400 SDC-W2

El modelo requerirá algunas limitaciones que involucran requerimientos fijos:

Requerimiento 1: La cantidad total enviada de la fábrica 1 debe ser 80 unidades.

Requerimiento 2: La cantidad total enviada de la fábrica 2 debe ser 70 unidades.

Requerimiento 3: La cantidad total enviada a la bodega 1 debe ser 60 unidades.

Requerimiento 4: La cantidad total enviada a la bodega 2 debe ser 90 unidades.

Pero hay un requisito más ¡que no es tan evidente!. Al final todas las unidades se necesitan en los

almacenes. De modo que cualquier número de unidades enviadas de las fábricas al centro de distribución

deben ser remitidas a los almacenes. Por ello, la cantidad total enviada desde el centro de distribución a

los almacenes debe ser igual a la cantidad enviada de las fábricas al centro de distribución. En otras

palabras, la diferencia de estas dos cantidades enviadas debe ser igual a cero.

Requerimiento 5: Para el centro de distribución, la cantidad enviada menos la cantidad que llega = 0.

Con este sutil, pero significativo punto, debe poder verse que hay un requerimiento especial asociado con

cada una de las cinco localidades en la red de distribución mostrada en la figura (red) anterior. Tener un

requerimiento para cada localidad es una característica común de todos los problemas de redes de

distribución.

Estos cinco requerimientos pueden expresarse en forma de restricciones como:

Cantidad proporcionada = cantidad requerida

Por ejemplo, el requerimiento 1 puede expresarse en forma algebraica como

SF1-DC + SF1-W1 = 80

Donde el lado izquierdo es la cantidad total enviada de la fábrica 1 y 80 es la cantidad requerida que debe

enviarse de la fábrica 1. Así, esta limitación restringe a SF1-DC y a SF1-W1 a valores que suman la cantidad

requerida de 80.

Una característica identificadora de los modelos puros de redes de distribución es que las principales

restricciones funcionales en la forma final del modelo son restricciones de requerimientos físicos. Sin

embargo, otros modelos de programación lineal algunas veces incluyen también limitaciones de

requerimientos físicos.

La siguiente tabla de parámetros facilitara la formulación del modelo de redes de distribución. La primera

columna enumera los tipos de cantidades que contienen un requerimiento fijo y la última columna da el

monto requerido para esas cantidades.



36

Cada entrada en el cuerpo principal de la tabla muestra cuánto contribuye cada unidad embarcada por esa

ruta para satisfacer la cantidad requerida en la última columna.

El renglón de capacidad muestra el número máximo de unidades que pueden enviarse por cada ruta de

envío (ilimitada para las rutas en las dos columnas centrales).

Tabla de parámetros para el problema de redes de distribución.


Minimizar Costo = 300 SF1-DC+400 SF2-DC+ 700 SF1-W1+ 900 SF2-W2+ 200 SDC-W1+ 40 SDC-W2

Sujeta a las siguientes restricciones:

1. Restricciones de requerimientos fijos:

SF1-DC + SF1-W1 = 80 (fábrica 1)

SF2-DC + SF2-W2 = 70 (fábrica 2)

SF1-W1 + SDC-W1 = 60 (almacén 1)

SF2-W2 + SDC-W2 = 90 (almacén 2)

-SF1-DC - SF2-DC + SDC-W1+ SDC-W2 = 0 (centro de distribución)

2. Restricciones de límite superior:

SF1-DC ≤ 50; SF2-DC ≤ 50; SDC-W1 ≤ 50; SDC-W2 ≤ 50

3. Condiciones de no-negatividad:

SF1-DC 0, SF2-DC 0, SDC-W1 0, SDC-W2 0, SF1-W1 0, SF2-W2 0



16 = cantidad total enviada de la fabrica 1

17 = cantidad total enviada de la fabrica 2

18 = cantidad total enviada al almacén 1

19 = cantidad total enviada al almacén 2

110 = cantidad que sale menos cantidad que llega para el centro de distribución

El costo total de envío a un costo mínimo es de $110 000.



37

Como se resume en la siguiente tabla. Cada tipo de modelo de asignación de recursos, de trueque costo-

beneficio, y de redes de distribución- presenta uno de los tres tipos de restricciones funcionales.

De hecho, la característica identificadora de un modelo puro de asignación de recurso es que todas sus

restricciones funcionales son restricciones de recursos.

La característica identificadora de un modelo puro de trueque costo-beneficio es que todas sus

restricciones funcionales son restricciones de beneficio. Las restricciones funcionales principales en un

modelo de redes de distribución son restricciones de requerimientos fijos de cierto tipo (aunque el

problema pueda tener algunas restricciones de recursos simples donde cada lado izquierdo es una sola

variable de decisión).

Tabla que muestra cada tipo de modelo de asignación de recursos, de trueque costo-beneficio, y de redes de

distribución- presenta uno de los tres tipos de restricciones funcionales.

Caso Compañía: The Save-It Company: Reciclado de desechos sólidos


La compañía Save-It Company opera un centro de reciclado que recoge cuatro tipos de materiales de

desperdicio sólidos y luego los trata para que se puedan amalgamar (tratamiento y amalgamado

constituyen procesos diferentes) como productos vendibles. Pueden elaborarse tres grados de este

producto, dependiendo de la mezcla de los materiales usados. Aunque hay alguna flexibilidad en la

mezcla para cada grado, las normas de calidad especifican la cantidad mínima o máxima de los materiales

permitidos en ese grado de producto. (Esta cantidad mínima o máxima es el peso del material expresado

como porcentaje del peso total para ese grado de producto.) Para cada uno de los dos grados más altos, se

especifica un porcentaje fijo de uno de los materiales.

Estas especificaciones se dan en la siguiente tabla junto con el costo de amalgamado y el precio de venta

de cada grado.

La cuarta (y última) categoría de modelos de programación lineal es la de modelos mixtos. Incluye

cualquier problema que no está en alguna de las tres primeras categorías.

2.2.4 Modelos mixtos



38

Tabla de concentración de datos de productos de la compañía Save-It Company.

El centro de beneficio recoge estos materiales de desechos sólidos de algunas fuentes regulares, por lo

que está en posibilidad de sostener una tasa estable para tratarlos.

La siguiente tabla da las cantidades disponibles para recolectar y tratar cada semana, así como el costo del

tratamiento, para cada tipo de material.

Tabla de datos de materiales de desperdicio sólido de la compañía Save-It Company.

La compañía Save-It Company es propiedad única de Green Earth, una organización dedicada a manejar

problemas ecológicos. Las ganancias de Save-It Company se usan íntegras para ayudar a sostener las

actividades de Green Earth. Green Earth ha reunido contribuciones y donaciones que suman $30 000

semanales, que usa sólo para cubrir el costo total del tratamiento de los materiales de desechos sólidos. El

consejo de administración de Green Earth dio instrucciones a la administración de Save-It Company para

que distribuya este dinero entre los materiales de forma tal que al menos la mitad de la cantidad

disponible de cada material se recolecte y se trate. Estas restricciones adicionales están listadas en la tabla

anterior.

Dentro de las restricciones especificadas, la administración desea asignar los materiales a los grados de

productos para maximizar la ganancia semanal (ingreso de las ventas totales menos costo total de

amalgamado).

2. Formulación del modelo de programación lineal

Este es un problema de programación lineal mixto. Para formularlo se necesita identificar todas las

actividades, recursos, beneficios y requerimientos fijos que lo rodean. La clave para identificar las

actividades se encuentra en la meta de la administración de encontrar la mejor asignación de materiales a

los grados de productos. Cada combinación de un material y un grado de producto requiere de una

decisión: ¿cuánto de ese material debe contener ese grado de producto? Esta cantidad se convierte en el

nivel de una actividad.



39

Cada actividad corresponde al tratamiento de un material de desecho sólido que lo prepara para

amalgamarlo en un grado de producto. El nivel de esa actividad es la cantidad del material tratado en

preparación para amalgamarlo en el grado del producto.

Así, las decisiones a tomar son el número de libras de cada tipo de material asignadas a cada grado de

producto por semana.

Hay muchas restricciones sobre estas decisiones debido a los recursos limitados, los beneficios prescritos

y los requerimientos fijos, como se resumen enseguida.

Recursos limitados. Los cuatro materiales de desecho sólido, cuyas cantidades disponibles están dadas en

la segunda columna de la tabla. Además los usos limitados de los materiales 1 y 3 especificados en la

segunda columna de la otra tabla se interpretan como recursos limitados que conducen a restricciones de

recursos.

Beneficios prescritos. La recolección y tratamiento de cada material de desecho sólido es un beneficio,

donde el nivel aceptable mínimo (la mitad de lo disponible) se da en el lado derecho de la tabla anterior.

Además la segunda columna de la otra tabla especifica el uso mínimo aceptable del material 2, de modo

que este se interpreta como beneficio prescrito.

Requerimientos fijos. Los requerimientos fijos son: el uso fijo del material 4 especificado en la segunda

columna de la otra tabla y la cantidad fija de dinero para tratar los materiales de desechos sólidos, como

se especifica en el lado derecho de la tabla anterior.

El objetivo. El objetivo de la administración es maximizar la ganancia semanaria total de los tres grados

de productos, de modo que ésta es la medida de desempeño global de este problema. Se calcula restando

el costo total de amalgamado del ingreso total por ventas. Las contribuciones y donativos de $30 000

semanales específicamente para el tratamiento de los desechos sólidos cubren por completo los costos de

tratamiento, de manera que estos costos no se incluyen al calcular la ganancia. Por lo tanto, el único costo

considerado, es el costo de amalgamado. Entonces para cada grado de producto, la ganancia por libra se

obtiene restando el costo de amalgamado dado en la tercera columna de la otra tabla del precio de venta

en la cuarta columna.

Las decisiones. Las doce decisiones que se tomarán son:

XA1 = número de libras de material 1 asignado al producto grado A por semana.




XB1 = número de libras de material 1 asignado al producto grado B por semana.




XC1 = número de libras de material 1 asignado al producto grado C por semana.





Maximizar Ganancia = 5.5 (XA1 + XA2 + XA3 + XA4) + 4.5 (XB1 + XB2 + XB3 + XB4) + 3.5 (XC1 + XC2 +

XC3 + XC4)

Sujeta a las siguientes restricciones:

1. Especificaciones de mezcla:

XA1 ≤ 0.3 (XA1 + XA2 + XA3 + XA4) (grado A, material 1)

XA2 0.4(XA1 + XA2 + XA3 + XA4) (grado A, material 2)

XA3 ≤ 0.5(XA1 + XA2 + XA3 + XA4) (grado A, material 3)



40

XA4 = 0.2(XA1 + XA2 + XA3 + XA4) (grado A, material 4)

XB1 ≤ 0.5 (XB1 + XB2 + XB3 + XB4) (grado B, material 1)

XB2 0.1 (XB1 + XB2 + XB3 + XB4) (grado B, material 2)

XB4 = 0.1 (XB1 + XB2 + XB3 + XB4) (grado B, material 4)

XC1 ≤ 0.7 (XC1 + XC2 + XC3 + XC4) (grado C, material 1)

2. Disponibilidad de materiales:

XA1 + XB1 + XC1 ≤ 3 000 (material 1)

XA2 + XB2 + XC2 ≤ 2 000 (material 2)

XA3 + XB3 + XC3 ≤ 4 000 (material 3)

XA4 + XB4 + XC4 ≤ 1 000 (material 4)

3. Restricciones sobre cantidades tratadas:

XA1 + XB1 + XC1 1 500 (material 1)



XA4 + XB4 + XC4 500 (material 4)

4. Restricción sobre el costo de tratamiento:

3(XA1+XB1+XC1) + 6(XA2+XB2+XC2) + 4(XA3+XB3+XC3) + 5(XA4+XB4+XC4) = 30 000

5. Condiciones de no-negatividad:

XA1 0, XA20, XA3 0, XA4 0, XB1 0, XB2 0, XB3 0, XB4 0, XC1 0, XC2 0, XC3 0, XC4 0



La solución óptima se muestra en la siguiente tabla, para el número de libras de cada tipo de material

asignado a cada grado de producto por semana. La ganancia total semanal resultante es: $35 109.65.

Solución del problema de la compañía Save-It Company

Caso: Agro-Tech


Tom Anderson, gerente de producción de la Agro-tech necesita planear la combinación de fertilizantes

para el siguiente mes y no tiene claro cómo va a proceder para elaborar el plan. La Agro-Tech es una

compañía pequeña de productos químicos que fabrica entre otros artículos dos tipos de fertilizante que se

elaboran combinando ingredientes que se compran con proveedores externos. Cada mes, Tom tiene que

planear la cantidad de cada fertilizante que debe producirse. Su plan debe tomar en consideración el costo

de los ingredientes, el precio de venta de los fertilizantes, cualesquier pedido que deba surtirse y las

restricciones impuestas al uso de los recursos de la compañía, mano de obra, materias primas o tiempo de



41

máquina. El proceso de planeación para este mes es más difícil que lo normal. Por lo general la Agro-

Tech fabrica fertilizantes de acuerdo con los pedidos de los clientes pero este mes los fertilizantes van a

venderse a través de un mayorista. Esto complica las cosas porque Tom tiene que elaborar un programa

de producción que conduzca a las mayores utilidades posibles para la Agro-Tech, al mismo tiempo que se

utiliza sólo la cantidad de ingredientes que están disponibles para el mes.

Los dos fertilizantes que la Agro-Tech fabrica son las mezclas denominadas 5-5-10 y 5-10-5. En cada

caso, el primer valor se refiere al porcentaje que el producto final tiene de nitrato químico, el segundo

valor se refiere al porcentaje de fosfato que aparece en el producto final y el tercer valor da el porcentaje

de potasio. El fertilizante se estabiliza con un material de relleno como podría ser barro. Por ejemplo, el

5-5-10 está elaborado con 5% de nitrato, 5% de fosfato y 10% de potasio y el 80% restante es barro. El

mayorista comprará cualquier cantidad de ambos fertilizantes que la Agro-Tech pueda fabricar. Esta

dispuesto a pagar $71.50 por tonelada del 5-5-10 y $69 por tonelada del 5-10-5. Este mes, la

disponibilidad y costos de materias primas son 1100 toneladas de nitrato a $200 por tonelada, 1800

toneladas de fosfato a $80 cada una y 2000 toneladas de potasio a $160 cada una. El relleno esta

disponible en cantidades ilimitadas al precio de $10 por tonelada, pero para los otros tres ingredientes

sólo se dispone de las cantidades mencionadas antes. No hay restricciones para el uso de la mano de obra

ni tampoco para el empleo de la maquinaría durante el mes, pero se tiene un costo de $15 por tonelada por

concepto de mezclado de los fertilizantes. La pregunta que Tom debe resolver es ¿cómo utilizar los

recursos escasos (nitrato, fosfato y potasio) de que dispone Agro-Tech, de manera que se obtengan las

mayores utilidades para la compañía?.


Características del caso. Es importante observar varias características de este caso. En primer lugar, Tom

tiene un solo objetivo, la maximización de las utilidades provenientes de la fabricación de los dos

fertilizantes. En segundo lugar el objetivo que debe lograrse está sujeto a la disponibilidad y uso de

recursos escasos; los ingredientes. En tercer lugar, tanto las utilidades como el uso de los recursos escasos

son directamente proporcionales a la cantidad que se fabrique de los dos fertilizantes. Es decir, pueden

sumarse las utilidades de los dos productos para calcular las utilidades totales. De manera similar, pueden

sumarse las cantidades individuales de recursos que se utilicen para determinar la cantidad total. Por

último no es posible fabricar una cantidad negativa de ninguno de los dos productos.

Variables de decisión. Para el caso de la Agro-Tech, las cantidades físicas que interesan son las

cantidades de los dos fertilizantes que pueden fabricarse.

X1 = Toneladas del fertilizante 5-5-10 a fabricar

X2 = Toneladas de fertilizante 5-10-5 a fabricar

Objetivo. Maximización de las utilidades. Para las utilidades se considerará el ingreso por ventas menos

los costos. En el caso de la Agro-Tech y de los dos fertilizantes que se consideran, los únicos costos que

se tomarán en cuenta son los costos de los ingredientes: nitrato, fosfato, potasio e ingredientes inertes; así

como también los costos de mezclado. Esos costos de mezclado son de $15 por tonelada de fertilizante

sin importar cuál sea la mezcla de ingredientes. Para el fertilizante 5-5-10, se tienen ingresos de $71.50

por cada tonelada que se fabrique. Del producto final, el 5% será nitrato, el 5% fosfato, el 10% potasio y

el 80% ingredientes inertes. Es posible calcular los costos de estos ingredientes para cada tonelada de

producto final de la siguiente manera:

Costo del nitrato por tonelada del 5-5-10 = (0.05) ($200) = $ 10

Costo del fosfato por tonelada del 5-5-10 = (0.05) ($80) = $ 4

Costo del potasio por tonelada del 5-5-10 = (0.10) ($160) = $ 16

Costo de los ingredientes inertes por tonelada del 5-5-10 = (0.80) ($10) = $ 8

Costo total de los ingredientes del 5-5-10 = $38

Costo del mezclado = $15

Costo total = $53

Ahora, dado que la contribución a las utilidades = ingresos-costos variables, se tiene una contribución de

las utilidades para el 5-5-10 = $71.50 - $53.00 = $18.50 por tonelada que se fabrique.

De manera similar los costos directos del 5-10-5 son:

Costo del nitrato por tonelada del 5-10-5 = (0.05) ($200) = $10



42

Costo del fosfato por tonelada del 5-10-5 = (0.10) ($80) = $ 8

Costo del potasio por tonelada del 5-10-5 = (0.05) ($160) = $ 8

Costo de los ingredientes inertes por tonelada del 5-10-5 = (0.80) ($10) = $ 8

Costo total de los ingredientes del 5-10-5 = $34

Costo del mezclado = $15

Costo total = $49

Ahora y al igual que antes la contribución a las utilidades = ingresos – costos variables, por lo que la

contribución a las utilidades para el 5-10-5 = $69 - $49 = $20.00 por tonelada que se fabrique.

Usando estos valores de las contribuciones a las utilidades se puede plantear una función objetivo para la

Agro-Tech. Por cada tonelada de 5-5-10 que se fabrique, la utilidad es de $18.50: si se fabrican X1

toneladas, la contribución total a las utilidades es $18.5X1. De manera similar si se fabrican X2 toneladas

de 5-10-5, la contribución total a las utilidades es $20X2. La contribución total de ambos productos será la

suma de esas cantidades, es decir, 18.5X1 + 20X2 . Por ello la función objetivo es:

Maximizar Z = 18.5X1 + 20X2

Restricciones. Ahora es necesario considerar las restricciones del problema, es decir, ¿cuáles son las

relaciones físicas que existen entre la fabricación de un determinado fertilizante y el uso de los recursos

escasos disponibles? Para el nitrato existen disponibles 1100 toneladas. Por cada tonelada de 5-5-10 que

se fabrique se utilizan 0.05 de toneladas de nitrato. Por ello, si se fabrican X1 toneladas de 5-5-10, se

utilizarán 0.05X1 toneladas de nitrato. De manera similar, si se fabrican X2 toneladas de 5-10-5 se

consumirán 0.05X2 toneladas de nitrato. Puesto que sólo existen disponibles 1100 toneladas de nitrato

esto actúa como restricción sobre el nivel de producción de 5-5-10 o del 5-10-5. Se utiliza la palabra

pudiera porque algún otro recurso escaso podría ser más restrictivo que el nitrato. Si este fuera el caso, la

mezcla de producción que arroja máximas utilidades no consumiría todo el nitrato sino que dejaría cierta

cantidad sin utilizar. Dado que no estamos obligados a usar toda la cantidad disponible de cualquier

recurso, la restricción sobre el uso del nitrato es:

0.05X1 + 0.05X2 ≤ 1100

Esta restricción simplemente indica que la cantidad de nitrato que se utilice para fabricar X1 toneladas de

5-5-10, más el nitrato que se usa para fabricar X2 toneladas de 5-10-5, debe ser menor que o igual a la

cantidad disponible de nitrato. Para el fosfato, si se fabrican X toneladas de 5-5-10 entonces se utilizarán

0.05X1 toneladas de fosfato. Y si se fabrican X2 toneladas de 5-10-5, se usarían 0.10X2 toneladas de

fosfato. Puesto que existen disponibles 1800 toneladas de fosfato, la restricción sobre el uso de fosfato

puede escribirse de la siguiente manera:

0.05X1 + 0.10X2 ≤ 1800

Por último, para el potasio, si se fabrican X1 toneladas de 5-5-10, se utilizarían 0.10X1 toneladas de

potasio. Y si se fabrican X2 toneladas de 5-10-5, se consumirían 0.05X2 toneladas de potasio. Puesto que

existen 2000 toneladas disponibles de potasio para fabricar los dos tipos de fertilizantes, la restricción

sobre el uso del potasio puede describirse de la siguiente manera:

0.10X1 + 0.05X2 ≤ 2000


Maximizar Z = 18.5X1 + 20X2

Sujeta a:

0.05X1 + 0.05X2 ≤ 1100

0.05X1 + 0.10X2 ≤ 1800

0.10X1 + 0.05X2 ≤ 2000

X1, X2 0



43

Instrucciones didácticas.- Las respuestas están después de los problemas. Trate de formular las

restricciones antes de ver la respuesta. Se recomienda resolver el problema y verificar su respuesta antes

de continuar con el siguiente ejercicio.

1. Una empresa fabrica dos productos, C y D, y la dificultad es la operación de ensamble. Durante el

ensamble pueden procesarse 100 unidades de C o 300 unidades de D o cualquier combinación lineal

de ellas. Formule la ecuación de restricción adecuada.

2. El producto R está conformado por 1,000 unidades de materia prima. Pueden emplearse dos

materiales, M y N, en cualquier combinación deseada. Cada unidad del material M pesa 1. 800 kg,

mientras que cada unidad de material N pesa 1. 200 kg. Las especificaciones requieren que el

producto R no pese más de 1.500 kg. ¿Cuál es la restricción adecuada?

3. El producto T debe producirse la próxima semana. Cualquiera de dos materiales, P y Q, puede

emplearse en cualquier combinación para producir el producto T. Si se hace únicamente de P, el

producto T pesaría 1.800 kg. Si se hace únicamente de Q el producto T pesaría 1.200 kg. Las

especificaciones requieren que el producto T no pese más de 1.500 kg. ¿Cuál es la restricción

adecuada?

4. Una fábrica produce dos artículos, Q y R. Ambos productos requieren dos minutos para ser

procesados en la maquinaría. Se dispone de 2,000 minutos de tiempo de máquina. El producto Q

puede hacerse tanto con el material A como con el material B, y requiere 3 kg de cualquiera de ellos.

El producto R puede hacerse ya sea con el material A como con el material B o con el material C, y

requiere 4 kg. Se dispone de 800 kg de material A, 1,000 kg de material B y 2,000 kg de material C.

¿Cuáles son las restricciones correspondientes?

5. El producto W se fabrica en un taller, ya sea en el turno regular o en tiempo extra. También se

procesa en el departamento de ensamble, siempre en el turno regular. El producto W proporciona una

contribución de $5.00 a la utilidad y al costo fijo si se produce completamente en el turno regular,

pero si se produce en tiempo extra la contribución es sólo de $1. El producto W requiere 10 minutos

en el taller y 2 minutos en el departamento de ensamble. Se dispone de 40 horas en el taller en un

turno regular y de 20 horas de tiempo extra. Se dispone de 10 horas en el departamento de ensamble.

¿Cuáles son las restricciones correspondientes?

6. El producto A requiere ser procesado tanto en un torno como en una fresadora. Puede procesarse en

cualquiera de dos tornos y en cualquiera de dos fresadoras. La operación de torno sobre cada unidad

del producto A requiere dos horas en el torno 1 y 3 horas en el torno 2. La operación de fresado para

cada unidad del producto A requiere 4 horas en la fresadora 1 y 6 horas en la fresadora 2. Se dispone

de 80 horas en el torno 1, 90 horas en el torno 2, 100 horas la fresadora 1 y 110 horas en la fresadora

2. ¿Cuáles son las restricciones correspondientes?

7. Se fabrican dos productos, R y T. Cada producto se procesa en los departamentos de colado,

maquinado y ensamble. El colado del producto T puede comprarse a $6 pieza y después procesarse

en las máquinas y ensamblarse. Si el colado no se compra, el producto T se hace a partir de 2 Kg de

material K y se cuela en la planta. El producto R puede hacerse ya sea de 4 kg de material L o de 5

kg de material K. Se dispone de 2,000 kg de material L y de 10,000 kg de material K para el

siguiente período de producción. El material L cuesta 10 centavos el kg y el material K cuesta 20

centavos el kg.

El departamento de colado puede colar 3,000 unidades del producto R o del producto T en el

siguiente período de producción. Se dispone de 200 horas de tiempo de máquina durante el siguiente

período de producción. El maquinado del producto R hecho con el material L requiere 8 minutos. El

maquinado del producto R hecho con el material K requiere 10 minutos. El maquinado del producto

T requiere 6 minutos. El departamento de ensamble puede armar 2,000 unidades del producto R o

4,000 unidades del producto T, o cualquier combinación.

2. 3. EJEMPLOS DE FORMULACIÓN DE MODELOS DE PL



44

Los costos variables de colado suman $1.00 por unidad. Los costos variables de maquinado son de

$0.20 por minuto. Los costos variables de ensamble son nulos. El producto R se vende a $10 y el

producto T a $12. Formule el problema como un modelo de programación lineal.

8. El producto T debe fabricarse la próxima semana. Cualquiera de dos materiales, P y Q, puede

emplearse en cualquier combinación para producir T. Si se hace únicamente con P el producto T

pesaría 1.800 kg. Si se hace únicamente con Q el producto T pesaría 1.200 kg. Las especificaciones

requieren que el producto T pese no más de 1.500 kg. ¿Cuáles son las restricciones correspondientes?

9. Una compañía tiene un contrato importante que debe cumplir la próxima semana. Este contrato

requiere la fabricación de 1,000 unidades de ensable K. Cada unidad de K consiste en el ensamble de

una parte X y dos partes Y.

Esta compañía tiene un departamento de ensamble y 3 departamentos de manufactura, con dos

máquinas principales en cada departamento de manufactura. Por conveniencia, los departamentos de

manufactura se designarán como D, E y F y las máquinas como D1, D2, E1, E2, F1, F2.

Cada parte se procesa a través de los 3 departamentos de manufactura, algunas veces únicamente en

una máquina, algunas veces en las dos y algunas veces en ninguna. La parte X se procesa en las

máquinas D1 y D2, ya sea en la E1 o en la E2, y en la F2. La parte Y se procesa en la máquina D2, ya

sea en la E1 o en la E2, o ya sea en la F1 o en la F2.

Los requerimientos de tiempo para la parte X son:

Máquina D1---4 minutos/pieza

Máquina D2---1 minuto/pieza

Máquina E1---6 minutos/pieza


Máquina F2---4 minutos/pieza

Los requerimientos de tiempo para la parte Y son:

Máquina D2---3 minutos/pieza





En el departamento de ensamble, las dos partes Y se unen primero y a continuación la parte X, para

obtener la unidad K. Las partes Y se arman a una velocidad de una unión por minuto, mientras que

las partes X se arman a una velocidad de 10 uniones por minuto. Estas operaciones comparten las

mismas instalaciones de ensamble.

Se dispone de 8,800 minutos en cada máquina y de 40 horas de ensamble.

Los costos variables son los siguientes:

Material de la parte X-----$ 1.00

Material de la parte Y-----$ 2.00

Máquina D1---$ 0.10 por minuto

Máquina D2---$ 0.30 por minuto

Máquina E1---$ 0.20 por minuto

Máquina E2---$ 0.15 por minuto

Máquina F1---$ 0.05 por minuto

Máquina F2---$ 0.25 por minuto

No hay costos variables de ensamble. Formule el problema como un modelo de programación lineal.

10. La empresa lechera Milko no puede recibir más de 100,000 litros de leche por día debido a las

limitaciones impuestas por congestionamiento del departamento de recepción. Las políticas de la



45

administración requieren el uso de cuando menos 10,000 litros de leche diarios para la fabricación de

queso, y el resto para ser empleado en leche embotellada o mantequilla, según lo permita el equipo.

La contribución de cada litro de leche a la utilidad y al costo fijo, según se emplee, es como sigue:

Mantequilla 2 centavos

Leche 10 centavos

Queso 3 centavos

El equipo para fabricar mantequilla puede manejar hasta 60,000 litros de leche diarios. El equipo

para embotellar leche puede manejar hasta 40,000 litros diarios de leche. El equipo para fabricar

queso puede manejar hasta 30,000 litros de leche por día. Formule el problema como un modelo de

programación lineal.

11. Una empresa trituradora de piedra vende piedra que obtiene de cualquiera de tres canteras

adyacentes. La piedra vendida por esa empresa debe regirse por las siguientes especificaciones:

Material X igual a 30%

Material Y igual o menor al 40%

Material Z entre 30% y 40%

La piedra de la cantera A cuesta $1.00 la tonelada y tiene las siguientes propiedades:

Material X ------ 20%

Material Y ------ 60%

Material Z ------ 20%

La piedra de la cantera B cuesta $1.20 la tonelada y tiene las siguientes propiedades:




La piedra de la cantera C cuesta $1.50 la tonelada y tiene las siguientes propiedades:




¿De qué canteras debe obtener la empresa la roca y en qué proporciones? Formule el problema como

un modelo de programación lineal. Suponga que todos los materiales de todas las canteras pueden

combinarse en relaciones lineales.

12. Una compañía espacial tiene cinco clientes a quienes envía naves de tres diferentes bodegas. Los

cinco clientes se identifican como J, K, L, M y N, mientras que las tres bodegas se identifican como

P, Q y R. los costos en las bodegas son idénticos, de modo que los costos correspondientes son los

costos variables de envio a cada uno de los clientes. Estos costos se tabulan a continuación:

Al

cliente

Costos variables de envío

(cent/unidad)

De la

bodega J K L M N

P 20 10 15 10 8

Q 15 30 5 12 14

R 18 15 20 7 19

Las necesidades de los diferentes clientes son:

J------100 unidades

K----- 70 unidades

L------140 unidades

M-----180 unidades



46

N----- 90 unidades

Las unidades disponibles en las bodegas son:

P------200 unidades

Q------300 unidades

R------150 unidades

Formule el modelo de programación lineal correspondiente.

13. Una compañía de transportes dispone de camiones en cuatro diferentes lugares en las siguientes

cantidades:

Lugar A ------5 camiones

Lugar B ------10 camiones

Lugar C ------7 camiones

Lugar D ------3 camiones

Los clientes W, X y Y necesitan camiones según sigue:

Cliente W ------5 camiones

Cliente X ------ 8 camiones

Cliente Y ------ 10 camiones

Los costos variables de enviar los camiones a los clientes son:

De A a W -----$ 7, a X ------ $ 3, a Y ------$ 6

De B a W -----$ 4, a X ------ $ 6, a Y ------$ 8

De C a W -----$ 5, a X ------ $ 2, a Y ------$ 4

De D a W -----$ 8, a X ------ $ 4, a Y ------$ 3

Formule el problema como un modelo de programación lineal.

14. Una compañía de computadoras tiene 85 operarios entrenados, localizados en los siguientes lugares:

Essex ----- 20

Forest ---- 13

Gates ----- 36

Holmes ---16

Los 16 operarios de Holmes no pueden dar servicio a la computadora más reciente X540 a causa de

que no cuentan con el entrenamiento adecuado.

Los pedidos de servicio provienen de cuatro clientes:

Wirtz necesita 12 operarios

Xores necesita 23 operarios

Yates necesita 21 operarios

Zimp necesita 29 operarios

Los clientes Wirtz y Xores tienen máquinas X540 y por lo tanto no pueden recibir servicio de

Holmes.

Los costos variables relativos a proporcionar operarios de las diversas estaciones a los clientes son:

Wirtz Xores Yates Zimp

Essex 8 7 4 7

Forest 10 3 6 8

Gates 7 9 4 5

Holmes - - 8 6




47

15. Una compañía fabrica dos clases de cinturones de piel. El cinturón A es de alta calidad, y el B es de

baja calidad. La ganancia respectiva por cinturón es de $ 0.40 y $ 0.30. Cada cinturón de tipo A

requiere el doble del tiempo que el que usa el de tipo B, y si todos los cinturones fueran de tipo B, la

compañía podría fabricar 1,000 al día. El abastecimiento de piel es suficiente únicamente para 800

cinturones diarios (A y B combinados). El cinturón A requiere una hebilla elegante, de las que

solamente se dispone de 400 diarias. Se tienen únicamente 700 hebillas al día para el cinturón B.


16. Una compañía tiene 3 plantas con una capacidad de producción en exceso. Las 3 tienen la facilidad

de fabricar un producto y la gerencia decidió usar una parte de la capacidad de producción en este

sentido:

Este producto se puede hacer en 3 tipos de tamaño grande, mediano y chico, que nos dan una

ganancia neta por unidad de 12, 10 y 9 respectivamente las plantas 1, 2 y 3 tienen personal en exceso

al igual que equipo para producir sin importar el tamaño o combinaciones de tamaño que se

fabriquen, sin embargo la cantidad de espacio que existe de almacén impone una restricción en los

rangos de producción.

Las plantas 1, 2 y 3 poseen 9,000; 8,000 y 3,800 m2 de área de almacén que pueden ser utilizadas,

respectivamente.

Cada unidad de los tamaños grande, mediano y chico requiere 20, 15 y 12 m2 respectivamente.

Las predicciones de venta indican que 600, 800 y 500 unidades de los tamaños grande, mediano y

chico cuando menos deben ser vendidos para mantener una carga uniforme de trabajo.

17. Una compañía de automóviles tiene tres centros de distribución, localizados en el D.F., Monterrey y

Guadalajara. Estos centros tienen disponibles 40, 20 y 40 autos respectivamente. Sus distribuciones

foráneas requieren las siguientes cantidades: Yucatán, 25; Toluca, 10; Querétaro, 20; Guanajuato, 30;

Morelos, 15.

El costo de flete por automóvil en pesos, entre los centros de distribución y foráneos se muestra en la

tabla siguiente:

Centro

foráneo

Yucatán Toluca Querétaro Guanajuato Morelos

Centro

Distribuidor

D.F. 550 300 400 500 400

Monterrey 300 300 1000 450 600

Guadalajara 400 600 950 350 300


18. Un carpintero elabora mesas, sillas, escritorios y libreros y desea saber que cantidad de cada uno de

ellos deberá producir con objeto de maximizar sus ganancias, dado que cuenta con un suministro

limitado de madera de dos tipos y una mano de obra también limitada. Cuenta con 1500 pies2 de

madera no. 1, 1000 pies2 de madera no. 2 y 800 hrs-hombre. Existen también ciertos compromisos

que él ha contraído para la fabricación de algunos muebles.

Los datos de fabricación son los siguientes:

1).- Las mesas consumen 5 pies2 de madera no. 1 y 2 pies

2 de madera no. 2, así como 3 horas-

hombre. El carpintero se comprometió a fabricar 40 de estas mesas. La ganancia obtenida por

mesa es de $ 120.

2).- Las sillas consumen 1 pie2 de madera no. 1 y 3 pies

2 de madera no. 2, y requieren 2 horas-

hombre. Existe el compromiso de entregar 130 de ellas. La ganancia por silla es de $ 50.00.

3).- Los escritorios llevan 9 pies2 de madera no. 1 y 4 pies

2 de madera no. 2, necesitándose 5 horas-

hombre. Existe el compromiso por 30 de ellos. Ganancia por escritorio de $ 150.00.



48

4).- El carpintero sabe que puede vender todo lo que produzca de mesas, sillas y escritorios.

5).- Los libreros utilizan 12 pies2 de madera no. 1, 1 pie

2 de madera no. 2 y llevan 10 horas-hombre.

El sabe que puede vender como máximo 10 libreros y obtiene una ganancia de 100.00 por cada uno.


19. El Ing. Juan F. González dirige un rancho experimental para la cría de cabras y desea alimentar a sus

animales correctamente aprovechando al máximo sus recursos. Cuenta con 10 sementales y 300

animales de vientre y posee información de sus necesidades alimenticias en productos básicos así

como de la partición de esos productos.

Por cada cabra

al día

Calorías de 2,600 a 2, 800 U. diarias

Proteínas de 1,600 a 2, 000 U. diarias

Minerales de 770 a 890 U. diarias

Vitamina A de 8,000 a 9, 000 U. diarias

Kilos de alimento 3.5 a 6 Kg.

Por cada

Kilogramo

de alimento

Cal. Prot. Min Vit. $/kg3

Maíz desq. 900 200 300 150 1.60

Alfalfa 400 700 200 200 1.20

Sorgo 1100 300 100 175 2.30

Pastura 700 200 150 75 0.30

Unidad compuesta 50 50 2000 5000 3.90

Formule el problema como un modelo de programación lineal para determinar qué cantidad de cada

alimento debe estar contenida en la mezcla, para minimizar los costos de alimentación.

1. La restricción debe ser tal que si D=0, C=100; y si C=0, D=300. Si se elige un día como la

restricción, entonces:

1300

1

100

1 DC

Sería la ecuación de restricción correspondiente.

También podría emplearse como restricción el número de unidades de C o D que podrían producirse,

obteniéndose entonces:

3003

1003

1

DC

bieno

DC

Como la ecuación de restricción correspondiente.

Posiblemente es más fácil seleccionar el máximo valor 300 como restricción, obteniendo:

3003 DC

Como la ecuación recomendada.

Nótese que la restricción es una medida de capacidad, mientras que las variables son los productos C

y D, sobre los que resulta necesario tener control. Esto es, se puede decidir cuántas unidades fabricar

de C o D. Adviértase que una posible solución que utiliza totalmente la capacidad y 150D y que:

300)150(1)50(3

2. Una restricción adecuada es:

Respuestas



49

500,12.18.1 NM

En este caso, las variables y no los artículos producidos deben ser los materiales usados, mientras que

el peso máximo de 1.500 kg del producto R corresponde a las 1,000 horas de tiempo de máquina para

formar la restricción. En general, la restricción es la limitación, mientras que los “artículos

producidos” o los “materiales empleados” son aquellas variables que pueden controlarse

introduciendo diferentes cantidades en la combinación total.

3. Una restricción adecuada sería:

1,5001,200Q1,800P

Nótese que ésta es exactamente la correspondiente al ejemplo 2. Sin embargo, se han cambiado las

unidades. P es ahora la fracción de ese material necesaria para producir la totalidad de los productos

T, y Q es la fracción de ese material requerida para producir todos los productos T. No obstante, las

variables son aún P y Q, sobre lo que se tiene control.

4. Las restricciones correspondientes son:

000,24

000,143

80043

000,222222

C

BB

AA

cBABA

R

RQ

RQ

RRRQQ

Nótese que la restricción sobre el material A requiere que tanto QA como RA (productos Q y R

hechos con el material A) se incluyan en la restricción de 800 kg de material A, y lo mismo con el

material B.


200,110

400,210

60022

O

R

OR

W

W

WW

Es necesario tener dos productos, WR (W producido en el turno regular) y WO (W producido en

tiempo extra), porque la contribución a la utilidad es diferente y cuando se incorporan esas

restricciones a un problema mayor podría resultar que se está produciendo WR pero no WO. Nótese

que aún en la operación de ensamble, en la cual las piezas parecen idénticas, el producto W aún se

clasifica como dos productos, WR y WO. Esto es necesario para lograr consistencia en la solución

simplex. Se han cambiado las unidades en las restricciones para hacerlas consistentes a lo largo de

cada renglón. Todos los coeficientes pueden, por supuesto, dividirse entre 60 o cualquier otra

constante sin cambiar la restricción. Las contribuciones a la utilidad no aparecen en las restricciones,

pero se introducen al emplearlas en los cálculos de la función objetivo.


11022

10022

9033

8022

42

31

43

21

AA

AA

AA

AA

Se requieren cuatro restricciones, puesto que existen cuatro limitaciones a la producción. Estas

limitaciones son las horas disponibles en cada una de las cuatro máquinas. Además existen cuatro

posibles productos, denominados por conveniencia A1, A2, A3, A4.

A1= Es el producto A producido en el torno 1 y en la fresadora 1






50

7. Primero se identifican los productos RL (R hecho con el material L), RK (R hecho con el material K),

TC (T colado en la planta) y TP (T hecho de colados comprados).

A continuación se hacen los siguientes cálculos de costos:

80.4$40.9$00.6$00.7$

00.1200.1200.1000.10Pr

20.760.200.400.3var

20.120.100.260.1

000.100.100.1

00.6$40..$00.1$40.$

netaónContribuci

ventadeecio

iablesCostos

Maquinado

Colado

Materiales

TTRR PCKL

La función objetivo puede escribirse como sigue:

PCKL TTRRZ 80.440.900.600.7

A continuación se establecen las restricciones, que están determinadas por:

(1) Las 3,000 unidades de capacidad del departamento de colado.

(2) Las 200 horas disponibles de maquinado que se convierten en minutos.

(3) La capacidad de ensamble expresada como la habilidad para producir 4,000 unidades del

producto T.

(4) Los 2,000 kg disponibles de material L.

(5) Los 10,000 kg disponibles de material K.

Las restricciones son entonces

000,325

000,24

000,41122

000,1266108

000,3111

CK

L

PCKL

PCKL

CKL

TR

R

TTRR

TTRR

TRR


1,800P + 1,200Q ≤ 1,500

P + Q =1 (se requiere que se produzca el artículo T)

9. La parte X puede producirse de dos maneras, mientras que la parte Y puede producirse de cuatro

maneras. Las variables son, entonces, X1, X2, Y1, Y2, Y3, Y4.

Los costos correspondientes son

X1----1.00 + 4(.10) + 1(.30) + 6(.20) + 4(.25) = 3.90

X2----1.00 + 4(.10) + 1(.30) + 2(.15) + 4(.25) = 3.00

Y1----2.00 + 3(.30) + 2(.20) + 6(.05) = 3.60

Y2----2.00 + 3(.30) + 2(.20) + 4(.25) = 4.30

Y3----2.00 + 3(.30) + 3(.15) + 6(.05) = 3.65

Y4----2.00 + 3(.30) + 3(.15) + 4(.25) = 4.35

Las restricciones son los 8,880 minutos de cada una de las 6 máquinas, las 40 horas de ensamble, los

requerimientos de 1,000 unidades de X y los requerimientos de 2,000 unidades de Y. Estas

restricciones pueden escribirse como sigue:



51

000,21111

000,111

880,85.5.5.5.1.1.

880,842444

880,866

880,8332

880,8226

880,8333311

880,844

4321

21

432121

421

31

432

211

432121

21

YYYY

XX

YYYYXX

YYXX

YY

YYX

YYX

YYYYXX

XX

10. Las variables son XB, XM, XC, es decir, los litros de leche convertidos ya sea en mantequilla, leche o

queso. Las restricciones son:

000,100

000,30

000,40

000,60

000,10

CMB

C

C

C

C

XXX

X

X

X

X

La función objetivo es:

CMB XXXZMAXIMIZAR 3102


(a) Material X = 30%

(b) Material Y ≤ 40%

(c) Material Z ≤ 40%

(d) Material Z ≥ 30%

(e) Deben producirse todos los productos.

Las variables son A, B y C, proporción del total obtenido de las canteras A, B y C. La función

objetivo (únicamente en términos de las variables reales) es:

CBAZMinimizar 50.120.100.1

Y el resultado es el costo por tonelada de la mezcla.

Las restricciones escritas en términos de las variables son:

1

30503020

40503020

40403060

30104020

CBA

CBA

CBA

CBA

CBA

La primera restricción satisface el requerimiento de X, la segunda el requerimiento de Y y la tercera

y la cuarta el requerimiento de Z; la quinta asegura que el producto que se va a obtener de las

canteras A, B y C.



52

12. Las restricciones son:

150

300

200

90

180

140

70

100

RRRRR

QQQQQ

PPPPP

RQP

RQP

RQP

RQP

RQP

NMLKJ

NMLKJ

NMLKJ

NNN

MMM

LLL

KKK

JJJ


3

7

10

5

10

8

5

DDD

CCC

BBB

AAA

DCBA

DCBA

DCBA

YXW

YXW

YXW

YXW

YYYY

XXXX

WWWW


16

36

13

20

29

21

23

12

HH

GGGG

FFFF

EEEE

HGFE

HGFE

GFE

GFE

ZY

ZYXW

ZYXW

ZYXW

ZZZZ

YYYY

XXX

WWW

15. Supongamos que la compañía fabrica X1 cinturones de tipo A y X2 del tipo B, diariamente, Según las

restricciones sobre el número de hebillas disponibles tenemos:

700

400

2

1

X

X

A partir de la disponibilidad de piel tenemos:

80021 XX

Y de la limitación de tiempo:

10002 21 XX

La ganancia será:

21 30.040.0 XXZMaximizar Z



53

16. Sean Xji, cantidad de artículo j producido en almacen i donde j= g, m, ch (grande, mediano y chico) y

para i=1, 2, 3

El problema es:

500

800

600

3800121520

8000121520

9000121520:

91012

321

321

321

333

222

111

3

1

3

1

3

1

chchch

mmm

ggg

chmg

chmg

chmg

i

chi

i

mi

i

gi

XXX

XXX

XXX

XXX

XXX

XXXaSujeta

XXXZMaximizar

17. Sea Xij , cantidad enviada de i a j ó de centro distribuidor a centro foráneo

0

15

30

20

10

25

40

20

40:

300350950600400

6004501000300350

400500400300550

352515

342414

332313

322212

312111

3534333231

2524232221

1514131211

3534333231

2524232221

1514131211

ijX

XXX

XXX

XXX

XXX

XXX

XXXXX

XXXXX

XXXXXaSujeta

XXXXX

XXXXX

XXXXXZMinimizar

18. Sean:

Xm ------Número de mesas

Xs ------Número de sillas

Xe ------Número escritorios

Xl ------Número de libreros

Podemos formar una tabla como la que sigue:

Xm Xs Xe Xl Recursos disponibles

Ganancia 120 50 150 100

Madera 1 5 1 9 12 1500

Madera 2 2 3 4 1 1000

Hrs-

hombre

3 2 5 10 800

Demanda 40 130 30 10(máx)

El problema es:



54

0

10

30

130

40

80010523

10001432

150012915:

10015050120

l

l

e

s

m

lesm

lesm

lesm

lesm

X

X

X

X

X

XXXX

XXXX

XXXXaSujeta

XXXXZMaximizar

Sean:

Xma-----Ración diaria de maíz desquebrajada para cada cabra

Xal-----Ración diaria de alfalfa para cada cabra

Xso-----Ración diaria de sorgo para cada cabra

Xpa-----Ración diaria de pastura para cada cabra

Xuc-----Ración diaria de unidad compuesta para cada cabra

El problema es:

0,,,,

9000500075175200150

min8000500075175200150

8902000150100200300

min7702000150100200300

200050200300700200

160050200300700200

2800507001100400900

2600507001100400900

0.6

lim5.3:

90.330.030.220.160.1

ucpasoalma

ucpasoalma

ucpasoalma

ucpasoalma

ucpasoalma

ucpasoalma

ucpasoalma

ucpasoalma

ucpasoalma

ucpasoalma

ucpasoalma

ucpasoalma

XXXXX

XXXXX

cabracadaporAavitadeDemandaXXXXX

XXXXX

cabracadaporeralesdeDemandaXXXXX

XXXXX

cabracadaporproteínasdeDemandaXXXXX

XXXXX

cabracadaporcaloríasdeDemandaXXXXX

XXXXX

cabracadaporentoadekilosdeDemandaXXXXXaSujeta

XXXXXZMinimizar

Una pequeña fábrica de muebles

1. Una pequeña fábrica de muebles produce mesas y sillas. Tarda dos horas en ensamblar una mesa y 30

minutos en armar una silla. El ensamblaje lo realizan cuatro trabajadores sobre la base de un solo

turno diario de 8 horas. Los clientes suelen comprar cuando menos cuatro sillas con cada mesa, lo

que significa que fábrica debe producir por lo menos cuatro veces más sillas que mesas, El precio

venta es de $135 por

Mesa y $50 por silla. Determine la combinación de sillas y mesas en la producción diaria que

maximizaría el ingreso total diario de la fábrica y comente el significado de la solución obtenida.

Un agricultor

2. Un agricultor posee 200 cerdos que consumen 90 lb. de comida especial todos los días. El alimento

se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con siguientes composiciones:

2. 4. EJERCICIOS PROPUESTOS DE FORMULACIÓN DE MODELOS DE PL



55

Los requisitos diarios de alimento de los cerdos son

1. Cuando mucho 1% de calcio.

2. Por lo menos 30% de proteína.

3. Máximo 5% de fibra.

Determine la mezcla de alimentos con el mínimo costo por día.

Un pequeño banco

3. Un pequeño banco asigna un máximo de $20 000 para préstamos personales y para automóvil

durante el mes siguiente. El banco cobra una tasa de interés anual 14% a préstamos personales y del

12% a préstamos para automóvil. Ambos tipos de préstamos se saldan en periodos de tres años. El

monto de los préstamos para automóvil debe ser cuando menos dos veces mayor que el de los

préstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen

1% de todos los

Préstamos personales. ¿Cómo deben asignarse los fondos?

Popeye Canning Company

4. Popeye Canning Company tiene un contrato para recibir 60 000 libras de tomates maduros a 7c/lb. de

las cuales producirá jugo de tomate y puré de tomate enlatados. Los productos enlatados se empacan

en cajas de 24 latas cada una. Una lata de jugo requiere 1 lb. de tomates frescos en tanto que una de

puré requiere sólo un tercio de lb. La participación de la compañía en el mercado está limitada a 2

000 cajas de jugo y 6 000 cajas de puré. Los precios al mayoreo por caja de jugo y de puré son $18 y

$9, respectivamente. Genere un programa de producción para esta compañía.

Una planta armadora

5. Una planta armadora de radios produce dos modelos, HiFi-l y HiFi-2, en la misma línea de ensamble.

La línea de ensamble consta de tres estaciones. Los tiempos de ensamble en las estaciones de trabajo

son:

Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad máxima de 480 minutos por día. Sin embargo, las

estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuye al 10%, 14% y 12% de los 480

minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones 1, 2 y 3, respectivamente. La

compañía desea determinar las unidades diarias que se ensamblarán de HiFi-1 y HiFi-2 a fin de

minimizar la suma de tiempos no ocupados (inactivos) en las tres estaciones.

Una compañía de productos electrónicos

6. Una compañía de productos electrónicos produce dos modelos de radio, cada uno en una línea de

producción de volumen diferente. La capacidad diaria de la primera línea es de 60 unidades y la de la

segunda es de 75 radios. Cada unidad del primer modelo utiliza 10 piezas de cierta componente

electrónica, en tanto que cada unidad del segundo modelo requiere ocho piezas de la misma

componente. La disponibilidad diaria máxima de la componente especial es de 800 piezas. La

ganancia por unidad de los modelos 1 y 2 es $30 y $20, respectivamente. Determine la producción

diaria óptima de cada modelo de radio.



56

Dos productos

7. Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquinas. El tiempo por máquina

asignado a los dos productos está limitado a 10 horas por día. El tiempo de producción y la ganancia

por unidad de cada producto son:

Determine la combinación óptima de los dos productos.

Una compañía puede anunciar su producto

8. Una compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciono de radio y televisión locales.

Su presupuesto limita los gastos en publicidad a $1,000 por mes. Cada minuto de anuncio en la radio

cuesta $5 y cada minuto de publicidad en televisión cuesta $100. La compañía desearía utilizar la

radio cuando menos dos veces más que la televisión. La experiencia pasada muestra que cada minuto

de publicidad por televisión generará en términos generales 25 veces más ventas que cada minuto de

publicidad por la radio. Determine la asignación óptima del presupuesto mensual para anuncios por

radio y televisión.

Una compañía elabora dos productos

9. Una compañía elabora dos productos, A y B. El volumen de ventas del producto A es cuando menos

el 60% de las ventas totales de los dos productos. Ambos productos utilizan la misma materia prima,

cuya disponibilidad diaria está limitada a 100 lb. Los productos A y B utilizan esta materia prima a

los índices o tasas de 2 lb./unidad y 4 lb./unidad, respectivamente. El precio de venta de los dos

productos es $20 y $40 por unidad. Determine la asignación óptima de la materia prima a los dos

productos.

Una compañía elabora dos tipos de sombreros

10. Una compañía elabora dos tipos de sombreros. Cada sombrero del primer tipo requiere dos veces más

tiempo de mano de obra que un producto del segundo tipo. Si todos los sombreros son

exclusivamente del segundo tipo, la compañía puede producir un total de 500 unidades al día. El

mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 150 y 200 unidades. Supóngase que

la ganancia que se obtiene por producto es $8 para el tipo 1 y $5 para el tipo 2. Determine el número

de sombreros de cada tipo que deben elaborarse para maximizar la ganancia.

Se elaboran cuatro productos

11. Se elaboran cuatro productos en forma sucesiva en dos máquinas. Los tiempos manufactura en horas

por unidad de cada producto se tabulan para las dos máquinas:

El costo total de producción de una unidad de cada producto está basado directamente en el tiempo

de la máquina. Supóngase que el costo por horas de las máquinas 1 y 2 es $10 y $5, respectivamente.

El total de horas presupuestadas para todos los productos en las máquinas 1 y 2 son 500 y 380. Si el

precio de venta unitario de los productos 1, 2, 3 y 4 son $65, $70, $55 y $45, formule el problema

como modelo de programación lineal para maximizar la ganancia neta total. Analice solución óptima.

Un fabricante produce tres modelos

12. Un fabricante produce tres modelos (I, II y III) de cierto producto. Utiliza dos tipos de materia prima

(A y B), de los cuales se dispone de 4 000 y 6 000 unidades, respectivamente. Los requisitos de

materias primas por unidad de los tres modelos son:



57

El tiempo de mano de obra para cada unidad del modelo I es dos veces mayor q el del modelo II y

tres veces mayor que el del modelo III. Toda la fuerza de trabajo de la fábrica puede producir el

equivalente de 1 500 unidades del modelo I. Un estudio del mercado indica que la demanda mínima

de los tres modelos es 200, 200 y 150 unidades, respectivamente. Sin embargo, las razones del

número de unidad producidas deben ser igual a 3:2:5. Supóngase que la ganancia por unidad de los

modelos I, II y III es $30, $20 y $50, respectivamente. Formule el problema como un modelo de

programación lineal para determinar el número de unidades de cada producto que maximizarán la

ganancia. Analice la solución óptima.

Educación universitaria

13. Previendo el alto costo de la educación universitaria de su hijo, un matrimonio ha iniciado un

programa anual de inversiones que comenzará en el octavo cumpleaños del niño y terminará en el

decimoctavo. Con base en su posición financiera esperada durante los próximos diez años, el

matrimonio estima que será capaz de invertir las siguientes cantidades al principio de cada año.

Para evitar sorpresas desagradables, la pareja opta por invertir el dinero en forma muy segura. Se les

presentan las siguientes opciones:

1. Ahorros asegurados con réditos de 7.5% anual.

2. Bonos a 6 años del gobierno federal con réditos de 7.9% y valor corriente comercial. Igual a 0.98

de su valor nominal.

3. Bonos municipales a 9 años con réditos de 8.5% y valor corriente comercial igual a 1.02 de su

valor nominal.

¿Cómo debería invertir la pareja su dinero en los próximos 10 años?

Un ejecutivo

14. Un ejecutivo de una empresa tiene la opción alternativa de invertir dinero dos planes. El plan A

garantiza que cada unidad monetaria invertida ganará 70 centavos de aquí a un año, y el plan B

garantiza que cada unidad invertida ganará $2.00 de aquí a dos años. En el plan B, sólo se permiten

inversiones en periodos que sean múltiplos de 2 años. ¿Cómo debe invertir el ejecutivo $100 000

para maximizar los ingresos al cabo de tres años? Formule el problema como un modelo de

programación lineal, y analice la solución óptima.

Autobuses necesarios

15. Supóngase que el número mínimo de autobuses necesarios en la i-ésima hora del día es bi, i = 1,

2...24. Cada autobús opera seis horas consecutivas. Si el número de autobuses en el periodo i excede

el mínimo necesario bi, se incurre en un costo adicional de ci por autobús. Formule el problema

como un modelo de programación lineal de manera que se pueda minimizar el costo total adicional

en que se incurre.

Tres tipos de avión

16. Considere el problema de asignar tres tipos de avión a cuatro rutas. La tabla ofrece los datos

pertinentes:



58

Los costos asociados son:

Formule el problema como un modelo de programación lineal, y analice la solución óptima.

Dos aleaciones

17. Dos aleaciones, A y B, están hechas de cuatro metales diferentes, I, II, III y IV, según las

especificaciones siguientes.

Los cuatro metales se extraen de tres minerales metálicos diferentes:

Suponiendo que los precios de venta de las aleaciones A y B son $200 y $3 por tonelada, formule el

problema como un modelo de programación lineal, y analice los resultados.

[Sugerencia: supóngase que Xijk representa el número de toneladas del i-ésimo mineral asignado a la

aleación k y wk el número de toneladas de la aleación k producida.]

Un jugador

18. Un jugador participa en un juego que requiere dividir el dinero apostado entre cuatro opciones

diferentes. El juego tiene tres resultados. La tabla que sigue indica la ganancia (o pérdida)

correspondiente por unidad monetaria depositada en cada de las cuatro opciones de los tres

resultados.



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Supóngase que el jugador tiene un total de $500, que puede jugar sólo una vez. El resultado exacto

del juego no se conoce con anticipación, y afrontando esta incertidumbre el jugador decidió hacer la

asignación que maximizaría el ingreso mínimo. Formule el problema como un modelo de

programación lineal, y analice los resultados.

[Sugerencia: el ingreso del jugador puede ser negativo, cero o positivo.]

Una compañía manufacturera

19. Una compañía manufacturera produce un producto final que se ensambla con tres partes diferentes.

Las partes se manufacturan dentro de la compañía en dos departamentos. En virtud de la instalación

específica de las máquinas, cada departamento produce las tres partes a diferentes tasas. La tabla que

sigue señala las tasas de producción junto con el número máximo de horas, que los dos

departamentos pueden asignar semanalmente a la manufactura de las tres partes.

Sería ideal si los dos departamentos pudieran ajustar sus instalaciones de producción para producir

iguales cantidades de las tres partes, ya que esto daría origen a ajustes perfectos en términos del

montaje final. Este objetivo puede ser difícil de cumplir debido a las variaciones en las tasas de

producción. Una meta más realista sería la de maximizar el número de unidades ensambladas finales,

que en esencia equivale a minimizar los desajustes resultantes de la escasez de una o más partes.

El Señor Jaime produce dos tipos de pastel

20. El señor Jaime produce dos tipos de pastel (de chocolate y vainilla). Se puede vender cada pastel de

chocolate a $55.00 y cada pastel de vainilla a $40.00, cada pastel de chocolate tarda 20 minutos en

cocerse y requiere 15 huevos, cada pastel de vainilla tarda 40 minutos y requiere 5 huevos. Se

dispone de 8 horas de tiempo de horneado y de 100 huevos. Se sabe que los pasteles de chocolate se

venden tanto o más que los de vainilla, pero no le conviene vender más de 25, sin embargo, los

pasteles de vainilla deben de venderse cuando mucho 15. Formule un modelo de P.L.

Escribasa

21. ESCRIBASA, elabora cuadernos, libretas y agendas. Las utilidades que obtiene son de $3.00 por

cada libreta y $1.00 por cada cuaderno. En las agendas pierde $4.00 por cada una. Procesa sus

artículos en tres departamentos. Corte con 9 horas disponibles máximo, costura con más de 6 horas

disponibles y terminadas con un máximo de 12 horas. En corte las libretas requieren de una hora para

su proceso, y las agendas tres horas. En costura las libretas requieren de una hora por pieza, los

cuadernos de dos horas y en terminados cada agenda se lleva dos horas y cada cuaderno tres horas,

con está información elaborar el modelo de programación lineal.

La compañía llantera OXO

22. La compañía llantera "OXO" está tratando de encontrar la mejor manera de utilizar el exceso de

capacidad, en particular, 50,000 horas-hombre. La compañía esta considerando tres tipos de llantas:

normal, radial y especial. Cada llanta normal ocupa 2 hrs.-hombre, con una contribución marginal de

$50.00, una llanta radial, necesita 3 hrs.-hombre y da una contribución de $80.00. Una llanta

especial, requiere 4 hrs.-hombre y deja una contribución de $100.00. El departamento de

comercialización estima que puede venderse, al menos 15,000 llantas normales pero no más de



60

20,000, sin embargo, las llantas radiales pueden venderse cuando menos 50,000. Las llantas

especiales se estima que no más de 10,000. Formule el problema como un modelo de P.L.

La señora Márquez

23. La señora Márquez tiene un pequeño negocio de aguas frescas preparadas al momento. Su capacidad

máxima de producción es de 50 litros por día. Sus productos principales son limonadas y naranjadas.

El precio por litro de limonada es de $6.00 y de $5.00 para el litro de naranjada. Ella utiliza 15

unidades de limón y 0.25 Kg. de azúcar para preparar un litro de agua fresca y 4 unidades de naranja

y 0.2 Kg. de azúcar para preparar un litro de naranjada. La disponibilidad de limones es de 102

unidades y 74 naranjas, cuenta únicamente con 15 Kg. de azúcar. Si el ciento de limones cuesta

$10.00, el de naranjas $8.00 y el kilogramo de azúcar cuesta $8.00, formule el problema como un

Modelo de programación lineal para maximizar la utilidad total.

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Unidad 2 Apuntes de Io1