Unidad 2 Lineas de Espera

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2013

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Todos hemos experimentado en alguna ocasión la sensación de estar perdiendo el tiempo al esperar en una cola. Como clientes no queremos esperar, los gestores de los citados servicios no quieren que esperemos. ¿Por qué hay que esperar? La teoría de colas o líneas de espera intenta explicar estas preguntas y nos revela que cuando esto sucede es porque en algún momento la capacidad de servicio ha sido o es menor que la capacidad demandada.

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZULIngeniería Industrial (Sistema Abierto)

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES IIIng. Nayeli Herrera Bustamante

1UNIDAD 2 LINEAS DE ESPERA

ÍNDICE

Introducción.........................................................................................……………………………………………2

2. LINEAS DE ESPERA…………………………………………………………………………………………………………………………3

2.1 introducción y terminología, notación y casos de aplicación………………………………………………………3

2.2 Proceso de Nacimiento y Muerte (Modelos Poisson)…………………………………………………………………..5

2.3 Población infinita un servidor, cola infinita.…………………………………………........................................8

2.4 Población finita un servidor, cola finita.…………………………………………………………………………………….10

2.5 Población Infinita servidores múltiples, cola infinita…………………………………………………………………15

2.6 Uso de programas de computación……………………………………………………………………………………………21

Conclusión……………………………………………………………………………………………………………………………………..28

Bibliografia…………………………………………………………………………………………………………………………………….29


INTRODUCCIÓN

La teoría de líneas de espera se origino en los trabajos de A. K. Erlang que iniaron en 1909. Experimentó con un problema relacionado con la congestión del tráfico telefónico. Durante los periodos ocupados, los que pretendan hacer llamadas sufrían algunas demoras, porque las operadoras eran incapaces de atender las llamadas con la rapidez con que se hacían. El problema original que trató Erlang fue el cálculo las demoras para una operadora, y en 1917 los resultados se extendieron al caso de varias operadoras. En ese año Erlang publicó su obra, Solutions of Some Problems in the Theory of Probabilities of Significance in Automatic Telephone Exchanges. Los adelantos en el campo del tráfico telefónico continuaron generalmente en el sentido iniciado por Erlang, y las publicaciones principales fueron las de Molina en 1927 y de Thornton D. Fry en 1928, pero solo fue hasta el fin de la Segunda Guerra Mundial cuando esos trabajos se extendieron a otros problemas relacionados con líneas de espera.

En el presente trabajo se presentarán las derivaciones matemáticas de las formulas de un problema de líneas de espera de un solo canal. Los modelos matemáticos para problemas de líneas de espera de canales múltiples, se darán sin ninguna prueba matemática. Se presentara el método de Hontecarlo, que básicamente es una técnica de simulación en la que se crean funciones estadísticas de distribución, usando una tabla de números aleatorios y se empleara para resolver problemas de líneas de espera de un solo canal y de canales múltiples,

La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento (llegada de clientes a la cola en determinado lapso de tiempo) y muerte (salida del cliente servido). La Teoría de Colas es una formulación matemática para la optimización de sistemas en que interactúan dos procesos normalmente aleatorios: un proceso de “llegada de clientes” y un proceso de “servicio a los clientes”, en los que existen fenómenos de “acumulación de clientes en espera del servicio”, y donde existen reglas definidas (prioridades) para la “prestación del servicio”.

A menudo es deseable tomar decisiones respecto de una situación de teoría de cola, y se caracteriza por el flujo de clientes que arriban a una o más estaciones en las que se efectúa el servicio. Al arribo del cliente, éste puede ser atendido inmediatamente o puede tener que esperar hasta que el servicio esté disponible; el tiempo en la cual se atiende a cada cliente puede ser fijo o aleatorio, dependiendo del tipo de servicio. En la vida diaria hay muchos ejemplos que se adaptan a esta situación: autos arribando a una estación de servicio, o a un peaje; personas arribando al cajero automático; máquinas que fallan y que requieren ser reparadas; etc.

Para ello se ha desarrollado la Teoría de Cola o de la Línea de Espera que se basa en describir el arribo o la partida y/o servicio) por distribuciones de probabilidad apropiadas. Usando teoría de probabilidad se derivan las características operativas del problema, como ser tiempo de espera hasta que el servicio del cliente sea completado, porcentaje de tiempo desocupado por servicio.


2. LINEAS DE ESPERA

2.1. INTRODUCCIÓN, TERMINOLOGÍA, NOTACIÓN Y CASOS DE APLICACIÓN

USO DE LAS TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO

Como la mayor parte de las técnicas matemáticas, la teoría de líneas de espera tiene su propio conjunto de términos. El de disciplina de la línea de espera se refiere a la condición en que se escogen las llegadas para recibir servicio. En este capitulo el procedimiento consiste en que las llegadas ocupan su lugar en la línea de espera, a base de que el que llega primero queda en primer lugar.

Las llegadas pueden ser uniformes durante cierto periodo, o pueden ser aleatorias. La tasa de llegadas puede tomar la forma de empleados que llegan a la caseta de herramientas de la empresa, o en otras condiciones podrían representar el número de clientes que esperan para comer. General-mente, la tasa de llegada se expresa como tasa de llegada por unidad de tiempo. Si es aleatoria los clientes no llegan en un orden o patrón lógico en el transcurso del tiempo, lo que representa la mayor parte de los casos en el mundo de los negocios. En las situaciones en que las llegadas se distribuyen en forma aleatoria puede utilizarse su promedio si se registra durante un periodo suficientemente prolongado.

La tasa de servicio se ocupa de la forma en que las instalaciones de servicio pueden manejar las demandas de llegada, y se expresa como una tasa por unidad de tiempo. Por ejemplo, la tasa de servicio podría indicar el número de pedidos que el departamento de piezas de repuesto procesa por hora. También el tiempo de servicio puede ser uniforme o distribuido en forma aleatoria. En las problemas de-negocios ‘se encontraran más casos de tasa uniforme de servicio que de tasa uniforme de llegada.

APLICACIONES DE LA TEORIA DE LINEAS DE ESPERA

La teoría de las líneas de espera se ha aplicado a una gran variedad de situaciones de negocios. Una breve descripción de algunas aplicaciones será de gran ayuda para sugerir problemas a los que pueda aplicarse la teoría. Una gran cadena de supermercados ha utilizado las líneas de espera para determinar el número de estaciones de control que se requieren para lograr un funcionamiento continuo y económico de sus almacenes, a diversas horas del día. Otro uso de esta teoría consiste en analizar las demoras en las casetas de peaje de puentes y túneles. Un estudio de esta índole se refiere al numero y programación de las casetas de peaje requeridas sobre una base de veinticuatro horas, a fin de reducir al mínimo los costos en determinado nivel de servicio. Otras áreas relacionadas con un cliente, serian las líneas de espera de restaurantes y cafeterías, expendios de gasolina, oficinas de líneas aéreas, almacenes de departamentos y la programación de los pacientes en las clínicas. En todos los casos, los clientes esperan cierto nivel aceptable de servicio, mientras que la empresa espera poder mantener sus costos al mínimo.

La teoría de las líneas de espera no solo es aplicable a los establecimientos de ventas a] menudeo o mayoreo, sino que las empresas manu-facturaras también la usan extensamente. Una aplicación muy popular de la teoría de las líneas de espera es el area de las casetas de herramientas. Los sobrestantes se quejan constantemente de que sus hombres tienen que esperar mucho tiempo en las filas para recibir herramientas y piezas. Aunque se presiona a los gerentes de fabrica para que reduzcan los


gastos generales de administración, e! aumento de empleados puede reducir realmente los gastos generales de manufactura, porque el personal de la fabrica puede trabajar en vez de esperar en una fila.

Otro problema que ha resuelto con éxito la teoría de las líneas de espera. es la determinación adecuada del numero de muelles que se requieren cuando se construyen instalaciones terminales para barcos y camiones. como tanto los costos de los muelles como los de las demoras pueden ser considerables, ya que los primeros disminuyen mientras aumentan los segundos, o viceversa, es muy conveniente construir el numero de muelles que reduzcan al mínimo la suma de esos dos costos, Varias empresas manufactureras han atacado el problema de descomposturas y reparaciones de sus maquinas, utilizando la misma teoría, El problema se refiere a una batería de maquinas que se descomponen individual-' mente en diferentes épocas. En realidad, las maquinas que se descomponen forman una línea de espera para su reparación por el personal de mantenimiento. Es conveniente emplear el personal de reparaciones necesario para disminuir al mínimo la suma del costo de la perdida de producción causada por el tiempo de espera y del costo de los mecánicos.

La teoría de las líneas de espera se ha extendido para estudiar un plan I de incentivos de salarios. Por ejemplo, se había asignado cierto personal de línea de producción para manejar dos maquinas, mientras que a otros se les había asignado para manejar. Cuatro maquinas. Como. Todas las maquinas son Iguales, los trabajadores reciben el mismo salario básico, pero la gratificación •: de incentivo por la producción sobre la cuota, es de la mitad por unidad i para los operadores con cuatro maquinas que para los que tienen dos : maquinas. Superficialmente ese arreglo parece equitativo. No obstante, un; estudio de las condiciones reales revela que aunque cada una de las dos I maquinas que maneja un solo hombre estarían ociosas alrededor del 12 por ciento de su tiempo programado, cada una de las cuatro maquinas manejadas j por un solo individuo estarían ociosas alrededor del 16 por ciento de su • tiempo programado. El problema es que dos (o mas) maquinas pueden descomponerse a la vez en el grupo de cuatro maquinas, lo que-general-; mente no ocurre con el grupo de dos maquinas. El individuo que maneja el , grupo de cuatro maquinas tiene que trabajar a mayor eficiencia que el que j maneja un grupo de dos maquinas, a fin de ganar el mismo incentivo. El f problema se resolvería pagando a los operadores de las baterías de cuatro | maquinas un salario básico mayor, determinado básicamente empleando las J probabilidades calculadas con la teoría de las líneas de espera.

Las áreas anteriores no agotan en modo alguno las posibles aplicaciones de la teoría de las líneas de espera, que pueden extenderse para incluir la i dotación de personal de las operaciones de oficina, y el equilibrio del flujo I _ de materiales en un taller de tareas. Esa teoría puede tener una influencia bien definida en el desafío de un sistema de inventario y de control de producción.

TIEMPOS UNIFORMES DE LLEGADA Y DE SERVICIO

El manejo apropiado de los tiempos uniformes de llegada y de servicio, en términos de costo mínimo, puede demostrarse con un ejemplo. Una empresa manufacturera maneja muchas casetas de herramientas dentro de una de sus grandes fábricas. Actualmente, el grupo de análisis de sistemas tiene en observación una de esas casetas atendida por un trabajador: los maquinistas llegan a solicitar servicio a una tasa uniforme de 10 por hora mientras que se observa que el encargado de la caseta de herramienta ' atiende sus peticiones a una tasa uniforme de 7 1/2 por


hora. ¿Seria lucrativo para la empresa aumentar el número de encargados si se les paga a razón de $3.00 por hora, y se paga a los maquinistas a razón de $4.QO hora? Esas cuotas incluyen los beneficios marginales.

Inicialmente, el problema se calcula sobre una base de 4 horas, porque el personal del taller trabaja de las 8 a. m. a las 12, y luego sale a almorzar Los resultados finales se calculan sobre una base de 8 horas. En vista de esos datos —tasa uniforme de llegada de 10 por hora (uno cada 6 minutes) y una tasa uniforme de servicio de 7 1/2 por hora (uno cada 8 minutos)-' el problema puede resolverse empleando la formula de la suma de una serie aritmética. Si el primer hombre llega a las 8 a. m. no tiene tiempo de espera. Antes de dar servicio al que llego primero, el que liego en segundo lugar se convierte en el primero que espera en la fila, y su tiempo de espera es de 2 minutos (8 minutos — 6 minutos), antes de que se le de servicio.

Una vez que conocemos el tiempo de espera del primer maquinista, es necesario calcular el tiempo de espera del ultimo hombre en nuestras 4 horas iníciales. Como llegan 40 maquinistas (10 hombres por hora X 4 horas), y el primero no espera, debemos calcular el tiempo de espera de los treinta y nueve restantes, o sea que 39 maquinistas multiplicados por 2 minutos son igual a 78 minutos. Como el aumento del tiempo de espera para cada maquinista adicional es lineal, podemos promediar el tiempo de espera del segundo y del cuadragésimo. El promedio del tiempo de espera de cada maquinista es igual a 2 minutos más 78 minutos, dividido entre 2, 6 40 minutos, lo que se resume en la tabla 14-1. (La probabilidad de que los que lleguen al último no espere en la fila, porque se acerca la hora del almuerzo, no se ha considerado aquí, aunque normalmente lo será.) El examen de los datos indica que el costo se reduce al mínimo empleando dos encargados. En contraste con las tasas uniformes, la mayor parte de los problemas de los negocios se ocupa de tasas aleatorias de llegada y de servicio, cuya solución requiere un proceso diferente, que constituirá el tema del resto de este capitulo.

TEORIA DE LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL

En la última sección, estudiamos las tasas uniformes de llegada y de servicio, y ahora estudiaremos las tasas aleatorias de llegada y de servicio en un problema de líneas de espera de un solo canal (una sola estación). No trataremos aquellos casos en los que la capacidad de las instalaciones de servicio es mayor que el promedio de las demandas de las entradas, porque esta condición da por resultado que no haya líneas de espera. En vez de ello nos ocuparemos de un problema de líneas de espera de un solo canal, en el que hay una línea de espera que resulta de tiempos aleatorios de llegada y de servicio. Vale la pena notar que los modelos de líneas de espera pueden usarse para eliminar un exceso de trabajadores, cuando la instalación de servicio es mayor que las demandas de servicio. La forma en que llegan las unidades es aleatoria, si no puede predecirse exactamente cuando llegara cierta unidad.

2.2 PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE (MODELOS DE POISSON)

PROCESO DE NACIMIENTO PURO Y MUERTE PURA

En esta sección consideraremos dos procesos especiales. En el primer proceso, los clientes llegan y nunca parten y en el segundo proceso los clientes se retiran de un abasto inicial. En ambos casos los


procesos de llegada y retiro ocurren de manera aleatoria. Las dos situaciones se denominan proceso de nacimiento puro y proceso de muerte pura.

MODELO DE NACIMIENTO PURO

Considere la situación de emitir actas de nacimiento para bebes recién nacidos. Estas actas se guardan normalmente en una oficina central de Registro Civil. Hay razones para creer que el nacimiento de bebes y, por ello, la emisión de las actas correspondientes es un proceso completamente aleatorio que se puede describir por medio de una distribución de Poisson. Usando la información de la sección 15.2 y suponiendo que λ es la tasa con que se emiten las actas de nacimiento, el proceso de nacimiento puro de tener n arribos o llegadas (acta de nacimiento) durante el periodo de tiempo t se puede describir con la siguiente distribución de Poisson:

, n=0,1,2,…. (Nacimiento puro)

Donde λ es la tasa de llegadas por unidad de tiempo, con el número esperado de llegadas durante t igual a λ t.

Ejemplo 1

Suponga que los nacimientos en un país están separados en el tiempo, de acuerdo con una distribución exponencial, presentándose un nacimiento cada 7 minutos en promedio.

Como el tiempo promedio entre arribos (entre nacimientos) es de 7 minutos, la tasa de nacimiento en el país se calcula como:

El número de nacimientos en el país por año está dado por

λ t = 205.7x365 = 75080 nacimientos/año

La probabilidad de ningún nacimiento en cualquier día es

Suponga que nos interesa la probabilidad de emitir 45 actas de nacimiento al final de un periodo de 3 horas, si se pudieron emitir 35 actas en las primeras 2 horas.

Observamos que debido a que los nacimientos ocurren según un proceso de Poisson, la probabilidad requeridas reduce a tener 45-35=10 nacimientos en una hora ( =3-2). Dado λ=60/7=8.57

nacimientos/hora, obtenemos:

MODELO DE MUERTE PURA


Considere la situación de almacenar N unidades de artículo al inicio de la semana, para satisfacer la demanda de los clientes durante la semana. Si suponemos que la demanda se presenta a una tasa de µ unidades por día y que el proceso de demanda es completamente aleatorio, la probabilidad asociada de tener n artículos en el almacén después de un tiempo t, la da la siguiente distribución truncada de Poisson:

n = 1,2,…N

(Muerte pura)

Ejemplo 2

Al inicio de la semana, se almacenan 15 unidades de un artículo de inventario para utilizarse durante la semana. Solo se hacen retiros del almacenamiento durante los primeros 6 días (la empresa está cerrada los domingos) y sigue una distribución de Poisson con la media de 3 unidades/día. Cuando el nivel de existencia llega a 5 unidades, se coloca un nuevo pedido de 15 unidades para ser entregado al principio de la semana entrante. Debido a la naturaleza del artículo, se desechan todas las unidades que sobran al final de la semana

Podemos analizar esta situación en varias formas. Primero, reconocemos que la tasa de calculo es µ = 3 unidades por día. Supóngase que nos interesa determinar la probabilidad de tener 5 unidades (el nivel de nuevo pedido) al día t; es decir,

t= 1,2,…,6

Como ejemplo ilustrativo de los cálculos, tenemos los siguientes resultados utilizando el programa TORA µt=3, 6, 9…., y 18

t (días) 1 2 3 4 5 6

µtp5(t)

3 6 9 12 15 18 0.0008 0.0413 0.1186 0.1048 0.0486 0.015

Obsérvese que p5(t) representa la probabilidad de hacer un nuevo pedido el día t. Esta probabilidad llega a su nivel máximo en t=3 y después disminuye conforme transcurre la semana. Si nos interesa la probabilidad de hacer un nuevo pedido para el día t, debemos determinar la probabilidad de tener cinco unidades o menos el día t; esto es,

Pn<=5 (t) = p0(t)+p1(t)+…..+p5(t)

Usando TORA nuevamente obtenemos


t (días) 1 2 3 4 5 6

µtpn<=5(t)

3 6 9 12 15 18 0.0011 0.0839 0.4126 0.7576 0.9301 0.9847

Podemos advertir en la tabla que la probabilidad de hacer el pedido para el día t aumente monótonamente con t.

Otra información, que es importante al analizar la situación, es determinar el número promedio de unidades de inventario que se desecharan el fin de semana.

=

Esto se hace calculando el número esperado de unidades para el día 6; es decir,

La tabla que sigue presenta un resumen de las operaciones dado µt=18

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

pn(6) 0.792 0.0655 0.0509 0.0368 0.0245 0.015 0.0083 0.0042 0.0018 0.0007 0.0002 0.0001

Y pn(6) ~= 0 para n = 12,13,14 y 15. Por lo tanto, al calcular el promedio, obtenemos

= 0.5537 unidad

Esto indica que, en promedio, se desechará menos de una unidad al término de cada semana.

2.3 POBLACIÓN INFINITA UN SERVIDOR, COLA INFINITA

Este modelo puede aplicarse a personas esperando en una cola para comprar boletos para el cine, a mecánicos que esperan obtener herramientas de un expendio o a trabajos de computadora que esperan tiempo de procesador.

LLEGADAS

Consiste en la entrada al sistema que se supone es aleatoria. No tienen horario, es impredecible en que momento llegarán. El modelo también supone que las llegadas vienen de una población infinita y llegan

una a la vez .

COLA


En este modelo se considera que el tamaño de la cola es infinito. La disciplina de la cola es primero en llegar, primero en ser servido sin prioridades especiales. También se supone que las llegadas no pueden cambiar lugares en la línea (cola) o dejar la cola antes de ser servidas.

INSTALACIÓN DE SERVICIO.

Se supone que un solo servidor proporciona el servicio que varía aleatoriamente.

SALIDAS.

No se permite que las unidades que salgan entren inmediatamente al servicio.

CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN

Un servidor y una cola.

Llegada Poisson.

Cola infinita, primero en llegar primero en ser servido.

Tiempos de servicio exponenciales.

COLA:

Longitud promedio de la línea:

Tiempo de espera promedio:

SISTEMA:

Longitud promedio de la línea:

Tiempo de espera promedio:

Utilización de la instalación:

Probabilidad de que la línea exceda a n :

A = tasa promedio de llegada.

S = tasa promedio de servicio.


Ejemplo 3 (Un supermercado )

Supóngase un supermercado grande con muchas cajas de salida, en donde los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operación. Si hay poco intercambio entre las lìneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola lìnea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora :

Dados A = 9 clientes por hora

S = 12 clientes por hora

Entonces :

= 2.25 Clientes

= 0.25 horas o 15 minutos.

= 3 clientes.

= 0.33 horas o 20 minutos.

= 0.75 o 75%

0.32

Entonces, para este ejemplo, el cliente promedio espera 15 minutos antes de ser servido. En promedio, hay un poco más de dos clientes en la línea o tres en el sistema. El proceso completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja está ocupada el 75 % del tiempo. Y finalmente, el 32 % del tiempo habrá cuatro personas o más en el sistema ( o tres o más esperando en la cola).

2.4 POBLACIÓN FINITA UN SERVIDOR, COLA FINITA

El sistema que se analizó en la sección anterior supone que el número de clientes que requieren servicio en un periodo de tiempo determinado es infinito. Este caso no corresponde a la realidad ya que una población es, por regla, de tamaño finito. Este caso no corresponde a la realidad ya que una


población es, por regla, de tamaño finito. Esta consideración, en vez de simplificar el desarrollo de fórmulas que describen cuantitativamente al sistema, lo complica. Por ello, se refiere trabajar con el supuesto de población infinita y no con el real.

Suponiendo que una población finita de m elementos (o<m<∞) requiriera servicios de un sistema similar al de la sección anterior, las series infinitas analizadas para la sección 3.4 se convierten en series finitas y generan de manera análoga los siguientes resultados.

Si m es la población que pudiera requerir un servicio determinado y n (n < m) elementos de esa población piden ese servicio, entonces P0 (t) se calcula mediante el uso simultáneo de las expresiones 3.20 y 3.21, determinadas a continuación9-1:

(3.20)

(3.21)

Una vez conocida (t) se calcula L, W, Ts, Tw de:

(3.22)

(3.23)

(3.24)

(3.25)

Obviamente, conocida P0 (t) se calcula Pn (t) de 3.20 de la siguiente manera:

(3.26)

Ejemplo 4

Suponga que en la flota de Aeroméxico existen cuatro aviones del tipo jumbo 747. Se ha venido observando el comportamiento de estos aviones desde 1971 y, en especial, las fallas de las turbinas. Los datos indican que las fallas de cualquier turbina de cualquier avión es una variable aleatoria y que


el tiempo promedio entre dos fallas consecutivas de cualquier avión es de un año. El tiempo promedio de revisión y compostura de la falla de la turbina es de 45 días (un octavo de año). Solamente se tienes un equipo humano de expertos para dar servicios y se proporciona servicio bajo la política de “primero que entra al taller, primero que se le sirve”. Durante el periodo de mantenimiento el avión no vuela. Describa cuantitativamente al sistema de espera.

Si se toma como unidad de tiempo un año, entonces

.

Como , se aplica los conceptos anteriores. Se calcula la expresión 3.20 para n = 0, 1, 2,

3, 4 y m = 4, donde n es el número de aviones que esperan compostura y m es la flota de jumbos 747 de Aeroméxico.

n m

0 4 1.00000

1 4 0.50000

2 4 0.18750

3 4 0.04688

4 4 0.00576


Tabla 3.2

Por lo tanto, y de acuerdo con 3.21, se tiene:

Que significa que existe un 5704% de probabilidad de que no se encuentre ningún avión jumbo 747 en el sistema de compostura de turbinas en el tiempo t.

La probabilidad de que se encuentre un avión en mantenimiento y otro en espera es:

El número promedio de aviones de aviones que esperan servicio en 1 año es de:

Mientras que el número promedio de aviones en el sistema (esperando en la cola y en el taller) es:

El tiempo promedio de espera en la cola para recibir servicio es:

O sea aproximadamente 18 días, mientras que el tiempo promedio en el sistema (espera más servicio) es de:

O sea casi 64 días:

¿Qué representa esto en costo?

Suponga que el costo de 1 hora de vuelo de un 747 es de 10 mil pesos, de 2 mil cuando está en tierra y de 5 mil cuando está en mantenimiento. Se supone que estos aviones vuelan, en promedio, 14 horas por día y por cada mil horas de vuelo se les proporcionaría mantenimiento preventivo (independiente de las composturas de falla de turbina) que dura en promedio 100 horas. Se supone que el sueldo


mensual del personal especializado de reparación es de 200 mil pesos y el costo mensual del equipo de reparación (luz, depreciación, seguros, etc.,) es de 125 mil pesos.

El costo de la espera para componer las fallas de la turbina de un avión es, por lo tanto, la suma de los siguientes costos:

a) Tiempo muerto del avión mientras espera y le reparan la turbina, (Tw).b) Tiempo muerto de la tripulación cuando el avión se encuentra en el taller por compostura de

turbinas.c) Tiempo de reparación de la turbina (sin incluir refacciones), es decir Tw – Ts.

Como la unidad de tiempo es un año, se deben convertir todos los costos unitarios a costo por año.

En un año (365 días) el avión vuela:

Por lo que recibe 5 mantenimientos preventivos de 100 horas cada uno, para un total de 500 de

servicio de mantenimiento. Si en un año existen 8760 horas, lo anterior quiere decir que:

8760 – (5110 + 500) = 3150

Estará parado el avión en tierra. Entonces el costo total anual para cada avión será de:

(5110 ) + (500 * 5000

) + (3150 2000 ) = 59.9

Si un avión de este tipo pasa Tw = 0.175 de año (64 días), en el sistema de compostura de turbinas, el costo asociado a este tiempo muerto es:

(59.9 ) (0.175 años) = 10.48

El sueldo mensual de una tripulación es de 400 mil pesos (4.8 millones de pesos por año); por lo tanto, el costo del tiempo muerto de la tripulación asociado a la compostura de una turbina será:


La nómina mensual del equipo de reparación más sus costos mensuales suman 325 mil pesos (3.9 millones de pesos por año). Por lo tanto, el costo del tiempo de reparación por avión, sin tomar en cuenta refacciones es:

El costo total de tener a un avión en el sistema de compostura es:

(10.48 + 0.21 + 0.49) = 11.58

Este resultado motiva las siguientes preguntas: ¿Conviene aumentar el equipo especializado de reparación de turbinas a 2 o 3? Si es así, ¿En cuánto disminuiría el costo de la espera por avión en el sistema? ¿A cuánto aumenta el costo del equipo de reparación? ¿Cuál es un buen punto de equilibrio?

2.5 POBLACIÓN INFINITA SERVIDORES MULTIPLES, COLA INFINITA

Se supone un sistema con una sola cola, a la cual puede llegar un número infinito de clientes en espera de recibir un mismo servicio por parte de S(S>1) servidores en paralelo. La política del sistema es que sirve a los clientes en el orden de su llegada; el servicio lo proporciona el primer servidor que se haya desocupado al principio y se irán ocupando en forma progresiva (primero el servidor 1, después el 2 y así sucesivamente) en la medida que vayan llegando los clientes.

El número promedio de llegadas por unidad de tiempo es λ y se supone que este tiene una distribución de Poisson.

El número promedio de servicios de cada servidor por unidad de tiempo es el mismo y se denota por µ. Se supone que este número tiene una distribución exponencial negativa.

Se observa que cuando el número de elementos en la cola y en las estaciones de servicio, m, es mayor que el número de servidores, S, (m > S), la probabilidad de que algún cliente abandone el sistema (después de recibir su servicio) en el intervalo de tiempo Δ t es S µ Δ t. En caso contrario (S > m), dicha probabilidad es m µ Δ t.


Esta observación incorporada en la expresión 3.3 origina:

(3.27)

En la expresión anterior no tiene sentido cuando m = O, por lo que una vez agrupados los

términos se obtiene:

Restando en ambos lados PQ (t) y dividiendo entre A t, se tiene

Tomando el límite cuando tiende a cero genera

Por lo que

(3.28)

El límite, cuando tiende a cero, de la expresión general 3.27, para m = 1, genera

(3.29)

Substituyendo 3.28 en 3.29

(3.30)

Generalizando 3.30 para un valor m — 1 cualquiera se obtiene


que se puede reescribir:

(3.31)

Para el caso en que m < S, se sigue el mismo razonamiento cambiando el término de 3.27 por

m µ Δ t, para obtener

(3.32)

Una fórmula explícita de se genera despejando este término de , arrojando la

expresión:

(3.33)

Combinando 3.33 con 3.31 y 3.32 y tomando el límite cuando m tiende a infinito, se construye después

de un buen ejercicio algebraico (que aquí se omite) la expresión final para dada por

(3.34)

El largo de la cola L, lo dará la expresión

Que una vez desarrollada, utilizando 3.31 y agrupando términos, genera la fórmula

(3.35)

El número de elementos en el sistema W, es igual a

W = L + (3.36)


El tiempo de espera en la cola Ts es:

(3.37)

Mientras que el tiempo de espera en el sistema, Tw

(3.38)

Así como en el caso de un servidor se supone que (para que no se formen colas de tamaño

infinito), en el caso de servidores múltiples se requiere que se cumpla la condición , la cual se

puede reescribir como

Se puede demostrar que

Donde

Y

Ejemplo 5

Suponga que en el cruce fronterizo de México y Estados Unidos, localizado entre las poblaciones de Piedras Negras, Coahuila, y Eagle Pass, Texas, existe un puente sobre el Río Bravo con dos líneas de tráfico, una en dirección de México a Estados Unidos y la otra en sentido contrario. La línea de tráfico de Estados Unidos a México, se bifurca a 5 garitas de inspección migratoria y aduanera.


Suponga que las llegadas de automóviles tienen una distribución de Poisson con ƛ igual a 15 llegadas por hora, mientras que el número de servicios tiene una distribución exponencial negativa con µ igual a 8 servicios por hora.

Por decreto gubernamental, no existe prioridad de trato, así que las garitas migratorias y aduaneras proporcionan servicio en la medida que se desocupan, y se atiende en primer término al primer automóvil de la cola y así sucesivamente.

Se describe en forma cuantitativa al sistema de garitas migratorias y aduaneras.

Primero se corrobora que el parámetro , queriendo decir que en el puente internacional de

Piedras Negras no se formará una cola infinita de automóviles o, en términos más reales, que esta cola no tiende a crecer sin freno:

Se tiene

Lo anterior implica que existe un 15% de probabilidades de que, al llegar un automóvil cualquiera a la garita internacional de Piedras Negras, en el tiempo t las 5 estaciones de servicio se encuentren vacías, y no exista ningún automóvil esperando este servicio.

Por lo tanto, no se forma una cola hasta que m > 6, como se verifica en la tabla 3.3.

El largo de la cola, L es:


El número de elementos en el sistema, W, es:

El tiempo promedio de espera en la cola, Ts es:

M Tamaño dela cola

Garitasdesocupadas

Número de automóviles a los cuales se les está dando servicio

Pm (t)+,*

0 0 5 0 0.1521 0 4 1 0.286**2 0 3 2 0.2673 0 2 3 0.1674 0 1 4 0.0785 0 0 5 0.029***6 1 0 5 0.011****7 2 0 5 0.0048 3 0 5 0.001

o sea casi 7 segundos, mientras que el tiempo dentro del sistema, Tw es:


Aproximadamente 7 minutos con 36 segundos.

Ejemplo 6

El Director General de Egresos, el Lie. A. Uslero, experto en sistemas, sospecha que se puede lograr un considerable ahorro económico, si en vez de 5 garitas funcionan 2, y que esto no causa graves problemas al turismo. ¿Estará en lo cierto?

Se calcula

Es decir, existe un 3% de probabilidades de que al llegar un automóvil cualquiera a la garita internacional de Piedras Negras, en el tiempo t las 2 garitas se encuentren vacías y no hay automóviles esperando por un servicio.

No se forma una cola hasta que m > 3, tal como se aprecia en la siguiente tabla.

M Tamaño dela cola

Garitasdesocupadas

Número de automóviles a los cualesse les está dando servicio

Pm (t) + ,*

0 0 2 0 0.032261 0 1 1 0.060482 0 0 2 0.056703 1 0 2 0.053164 2 0 2 0.049845 3 0 2 0.046725


El largo de la cola, L, es:

Mientras que el número de elementos en el sistema, W, es:

W = L +

= 13.61 + 1.875 = 15.49 automóviles

El tiempo promedio de espera en la cola, TS, es:

O sea casi 55 minutos, mientras que el tiempo dentro del sistema, Tw, es:

O sea, casi 62 minutos.

Así, por un lado, la medida de reducir de 5 a 2 garitas podría ahorrarle al país el salario y el mantenimiento de 3 garitas, por el otro provocaría pérdidas en turismo, ya que, en promedio cada automóvil que cruce por ese puerto fronterizo, esperará más de una hora por trámites.

2.6 USO DE PROGRAMAS DE COMPUTACIÓN

El problema de Líneas de Espero, es determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el

balance correcto, con el costo de mantener el sistema de colas.


Cuatro tipos de sistemas.

FORMULACIÓN DE UNA PRÁCTICA


Armar el formulario de los diferentes Modelos de Inventarios, para posteriormente seleccionar el idóneo a emplear.

Realizar la visita e identificar alguna situación factible de mejora, mediante algún Modelo de Líneas de Espera.

Realizar anotaciones relevantes y recabar evidencias.

Realizar la propuesta de Mejora de alguna situación problemática:

Planteamiento del problema

Desarrollo (aplicación de fórmulas)

Propuesta de solución.

Realizar la validación de Mejora de la situación problemática, mediante el Software elegido.

Algunos de los programas de computadora utilizados para resolver modelos planteados en Programación Lineal y modelos de Sistemas de Espera son:

a) Lingo

b) What´s Best

c) Lindo

d) QSB

Los programas Lingo, What´sBest y Lindo han sido elaborados por Lindo Systems para trabajar con sistema operativo Windows. El programa QSB, presentado por Prentice Hall, ha sido elaborado para trabajar con sistema operativo MS-DOS.

USO DEL PROGRAMA QSB

Quantitative Systems Business, QSB, es un programa creado para trabajar con el sistema operativo MS-DOS.

El menú de programas contiene entre otros:

1—Linear programming” (Programación lineal)2—Integer linear programming” (Programación lineal entera)3—Transshipment problem” ( Problema de transbordo)3—Assignment problem” (Problema de asignación)4— Network modeling “ (Modelado de redes)5—Project scheduling – CPM” (Programación de proyectos-CPM)6-- Project scheduling – PERT” (Programación de proyectos-PERT)


A—Queuing theory” (Teoría de colas)B—Queuing system simulation” (Simulación de sistemas de espera)

Los cálculos a efectuar en el modelo estudiado M/ M/1 están limitados a calcular las características operacionales y algunas probabilidades. Se ilustra su uso en un sistema de espera con λ = 20 llegadas por hora y µ = 30 servicios por hora. El programa es PROG8.EXE

En la tabla inicial de opciones se selecciona “entrar el nuevo problema”. Al igual que en otras técnicas, solicita el nombre que se le da al nuevo problema y además pide que se especifique la unidad de tiempo en la cual serán presentadas tanto la tasa de llegadas como la tasa de servicio. Se le asignó el nombre “colas” al archivo de computadora usado para el modelo.

Este punto lo presenta de la manera siguiente:

Luego presenta la información siguiente que trata de convencionalismos para poder introducir la información del modelo en el programa.

A continuación solicita los datos del modelo, es decir la tasa de llegadas y la tasa de servicio. Además pregunta el tipo de distribución probabilística y la longitud de la cola.

Cuando se pide la opción de solucionar el modelo aparece en pantalla lo siguiente:


Esto es, solicita el valor del numero de unidades para las cuales se calculará la probabilidad. Si no tiene ningún número en particular, el programa la calculará hasta 10 unidades. El resultado que presenta es el siguiente.

Las siguientes opciones son similares a las de las otras técnicas donde se usa el programa. Es decir,

imprimir, mostrar en pantalla, volver al menú principal, salir de QSB, Etc.

Ejemplo de Introducción de datos

Solución del Modelo


Aunque el cálculo de la probabilidad de terminación del proyecto en 12 semanas se realizó manualmente, se presenta a continuación el mismo resultado obtenido con el programa QSB.

USO DEL PROGRAMA LINGO

Al empezar a usar el programa, previamente instalado en la computadora, aparece una pantalla en blanco que utilizará para copiar el modelo.

Detalles Generales:

• Todo signo de exclamación (!) señala un comentario y debe ser terminado con Punto y coma (;).

• Puede introducir los comentarios que considere convenientes para facilitar la lectura del modelo.

• Cualquier comentario escrito entre un signo de exclamación y un punto y coma es ignorado por Lingo. Esos comentarios pueden ocupar más de una línea y pueden compartir líneas con otras expresiones de Lingo.

• Lingo no distingue entre mayúsculas y minúsculas para nombrar las variables. Por eso puede usar cualquiera de las dos formas para nombrarlas.


• Los nombres de variables deben empezar con una letra. Después puede contener números y letras, hasta 32 caracteres.

• Las instrucciones claves en Lingo son mostradas en azul, los comentarios en verde y todo lo remanente en negro.

• Paréntesis iguales aparecen titilando en rojo cuando se coloca el cursor inmediatamente después de un paréntesis. Esto es útil para localizar errores de sintaxis en sus modelos.

• Misceláneos:

@FOR se usa para generar restricciones sobre los miembros de un set

@SUM calcula la suma de una expresión sobre todos los miembros de un set

@MIN calcula el mínimo de una expresión sobre todos los miembros de un set

@MAX calcula el máximo de una expresión sobre todos los miembros de un set

• En general cada vez que inicia una información debe colocar dos puntos y al finalizar un determinado dato o información debe colocar punto y coma.

• Permite usar hasta 300 variables y 150 restricciones.

• Lingo permite seleccionar el algoritmo de solución o Usted puede permitir que él mismo lo seleccione. Contiene el algoritmo de puntos interiores que es de mejor uso en modelos de gran tamaño.

• Antes de ejecutar la orden de solucionar el modelo, Lingo revisa la información y le muestra si hay errores y donde los hay.

• Además del formato de resultados le presenta una hoja llamada “solver status Windows” conteniendo información sobre la composición del modelo y lo mantiene al tanto del progreso del proceso de solución.

• Cada expresión condicional colocada sobre un set operador, aritmético, lógico o de relación, debe ser terminada con dos puntos (:).

• Se trabaja con sets o grupo de objetos relacionados y sus atributos.

• HELP TOPICS, le ayudará en consultas sobre la introducción del modelo y puntos particulares del programa. El texto está escrito en inglés.

Ejemplo de solución usando programa LINGO

Solución factible a encontrar: 0

Variable Valor

ARV_RATE 2.000000


SRV_TIME 0.3330000 NO_SRVRS 1.000000

LOAD 0.6660000 PWAIT 0.6660000 WAITCND 0.9970060 WAITUNC 0.6640060

Fila Déficit o Superávit 1 0.0000000 2 0.00000003 0.0000000 4 0.0000000

CONCLUSION

Los sistemas de colas son muy comunes en la sociedad. La adecuación de estos sistemas puede tener un efecto importante sobre la calidad de vida y la productividad.

Para estudiar estos sistemas, la teoría de colas formula modelos matemáticos que representan su operación y después usa estos modelos para obtener medidas de desempeño que realmente ayudan mucha para el desarrollo de una empresa o compañía reduciendo el tiempo en que esperan los clientes, y optimizando la eficiencia del equipo trabajador. Este análisis proporciona información vital para diseñar de manera práctica sistemas de colas que logren un balance apropiado entre el costo de proporcionar el servicio y el costo asociado con la espera por ese servicio.

La teoría de colas es el estudio matemático de las líneas de espera (o colas) permitiendo el análisis de varios procesos relacionados como: la llegada al final de la cola, la espera en la cola, o también matemática etc.

La teoría de colas generalmente es considerada una rama de investigación operativa porque sus resultados a menudo son aplicables en una amplia variedad de situaciones como: negocios, comercio, industria, ingenierías, transporte y telecomunicaciones.

En el contexto de la informática y de las nuevas tecnologías estas situaciones de espera son más frecuentes. Así, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos, la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a la congestión en la red, también se puede recibir la señal de línea de la que depende nuestro teléfono móvil ocupada si la central está colapsada en ese momento, etc.

En conclusión tenemos que la Teoría de Cola no es una técnica de optimización, sino una herramienta que utiliza fórmulas analíticas, limitadas por suposiciones matemáticas. No se asemejan a una situación real, pero da una primer aproximación a un problema y a bajo costo, que brindan información sobre el comportamiento de líneas de espera; estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio a un "servidor" el cual tiene una cierta capacidad de atención y no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar.

Ya que a menudo es deseable tomar decisiones respecto de una situación de teoría de cola, basándose en algún tipo de análisis de costos. Por ejemplo, un incremento en el número de servidores en el sistema reduciría el tiempo de espera, pero incrementaría el costo del servicio e inversamente. Si se pudiera expresar el tiempo promedio de espera en valores monetarios, es posible seleccionar el


óptimo número de servidores (o la velocidad de servicio) que minimiza la suma de los costos se servicio y el tiempo de espera. El problema de este enfoque radica que en la práctica es muy difícil de estimar el costo por unidad de espera.

BIBLIOGRAFÍA

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Toma de decisiones Investigación de OperacionesRobert J. ThieraufEditorial Limusa.

Investigación de Operaciones, 5ta ediciónHamdy A. TahaEditorial Alfaomega.

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Investigación de Operaciones IIAngélica Gutiérrez LimónInstituto Tecnológico Superior

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L. E. GarduñoUniversidad de las Américas de Puebla

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Unidad 2 Lineas de Espera