Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales 1

Diseño en Bloques Completos Aleatorizados

DBCA

Análisis de Modelos Estadísticos y su aplicación a Estudios Experimentales y Observacionales 2Ing. Felipe Llaugel

• En muchos problemas de experimentos, es necesario hacer un diseño de tal manera que la variabilidad proveniente de fuentes conocidas pueda ser sistemáticamente controlada.

• Se pretende reducir el efecto de la variabilidad proveniente de causas propias del experimento pero independiente del efecto que se desea estudiar.

Diseño De Bloques Completos Aleatorizados

• Para los fines del análisis de varianza el bloqueo introduce un efecto adicional ficticio, cuyo objetivo es separar del error experimental, alguna fuente de variabilidad conocida.

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Análisis De La Varianza: Clasificaciones según dos CriteriosEl Diseño en Bloque Completo al Azar es un plan en el cual las unidades experimentales se asignan a grupos homogéneos, llamados bloques, y los tratamientos son, luego, asignados al azar dentro de los bloques.

Objetivo del agrupamiento: lograr que las unidades dentro de un bloque sean lo más uniformes posible con respecto a la variable dependiente, de modo que las diferencias observadas se deban realmente a los tratamientos. Al controlar la variación dentro de los bloques reducimos la variabilidad del error experimental.

Completo: todos los tratamientos están incluidos en cada bloque.

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Diseños En Bloques Aleatorizados

Cada bloque constituye una replicación.

Todos los tratamientos aparecen una sola vez en cada bloque

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Diseño En Bloques Completos Aleatorizados

• Se divide el material experimental en tantos bloques como números de replicaciones a utilizar. Cada bloque es luego dividido en tantas UE como tratamientos haya en estudio.

• Como el DBCA especifica que todos los tratamientos deben aparecer una vez en cada replicación, la aleatorización se hace separadamente en cada bloque.

• La aleatorización es similar al DCA para cada bloque.

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Ejemplo: Para el ensamble de un artículo se considera comparar 4 máquinas diferentes. Como la operación de las máquinas requiere cierta destreza se anticipa que habrá una diferencia entre los operarios en cuanto a la velocidad con la cual operen la maquinaria. Se decide que se requerirán 6 operarios diferentes en un experimento de bloques aleatorizado para comparar las máquinas.

Entonces, el factor de interés es uno sólo, pero se crea otro factor para controlar la variabilidad extraña y excluirla así del error experimental.

Aleatorización: debemos asignar cada tratamiento, M1, M2, M3, y M4 a cada bloque.

22

45

27

2

Operario 1 Bloque 2 Bloque 3 Bloque 4 Bloque 5 Bloque 6

75

31

70

86

76

25

98

85

84

51

10

78

5

79

36

95

16

44

29

14

M2M4M3M1

M3M1M2M4

M2 M1 M4 M3

M4 M2 M1 M3

M1 M3 M2 M4

M2 M4 M3 M1

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Ventajas• Puede proveer resultados más precisos que un DCA del mismo tamaño

si los agrupamientos son efectivos.

• Sirve para cualquier nº de tratamientos y replicaciones.

• Los tratamientos no necesitan tener tamaños de muestras iguales.(Bloque Incompleto)

• El análisis no se complica si se debe descartar, por alguna causa, un tratamiento o algún bloque.

• Se puede introducir, deliberadamente, variabilidad en las unidades experimentales para ampliar el rango de validez de los resultados sin sacrificar la precisión de los resultados.

Desventajas• Las observaciones faltantes dentro de un bloque requiere cálculos más

complejos.

• Los grados de libertad para el error experimental no son tantos como en el DCA.

• Se requieran más presunciones para el modelo: no interacción entre tratamientos y bloques, varianza constante de bloque a bloque.

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Pero si las máquinas difieren en cuanto a la velocidad de ensamblado de la pieza, pensaríamos que las muestras provienen de poblaciones diferentes, e

µ1 µ2 µ3 µ4

Si las máquinas no difieren en cuanto a la velocidad de ensamblado de la pieza, tendrían igual velocidad promedio y las curvas se superpondrían exactamente.

µ

H0 : µ1= µ2 = µ3= µ4 ó H0 = α1=α2=α3=α4=0

H1: algún promedio es

distinto de los restantes

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EL MODELO (DE EFECTOS FIJOS)Yij = µ + αi + βj + eij

Donde Y es la variable respuesta o dependiente, tiempo medido en segundos, e Yij es la observación perteneciente al j-ésima bloque bajo el tratamiento i; las observaciones son independientes.

µ es la media general común a todas las máquinas y a todos los operarios.

αi es el efecto del tratamiento en el nivel i, propio de cada máquina.

βj es el efecto del bloque en el nivel j, propio de cada operario.

eij es la variable aleatoria del error con distribución normal, con media = 0 y varianza σ2 N (0 ; σ2 ) e independiente.

Modelo lineal aditivo: cada respuesta es la suma de los otros términos.

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Cuando el modelo es aditivo quiere decir que la diferencia en respuestas medias entre dos operarios es la misma para todas las máquinas.

Medias marginales estimadas

de Velocidad

Tratamiento

4321

Media

s m

arg

inale

s e

stim

adas

48

46

44

42

40

38

BLOQUE

1

2

3

4

5

6

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Cada componente del modelo contribuye a la variabilidad total. La partición de la Suma de Cuadrados Total involucrará tres fuentes de variación.

Si aplicamos el Método de los Mínimos Cuadrados, para estimar los parámetros

....ˆ y=µ = Donde b son los bloques y t los tratamientos

iα = .ˆiµ - ..µ = .iy - ..y

jβ = j.µ - ..µ = jy. - ..y

ije = ijy - ..µ - iα - jβ = ijy - .iy - jy. + ..y

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Tabla de Análisis de varianza para dos criterios de clasificación

2....

2.

22 )(..)(..).()..( yyyyyybyytyy ji j

iijj

ji

ii j

ij +−−+−+−=− ∑∑∑∑∑∑

Variación total Variación debida Variación debida Variación propia de

a los tratamientos a los bloques las observaciones

SCT SCA SCB SCE

Fuente de Suma de Grados de Cuadrados F calculada

variación Cuadrados libertad Medios

Tratamientos SCA t - 1 CMA = SCA / t-1 CMA / CME

Bloques SCB b -1 CMB = SCB / b-1 CMB / CME

Error Experimental SCE (t - 1)(b-1) CME = SCE / (t-1)(b-1)

Total SCT t.b -1

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  Operario    

Máquina 1 2 3 4 5 6 Total Medias

1 42,5 39,3 39,6 39,9 42,9 43,6 247,8 41,3

2 39,8 40,1 40,5 42,3 42,5 43,1 248,3 41,4

3 40,2 40,5 41,3 43,4 44,9 45,1 255,4 42,6

4 42,3 43,2 44,5 45,2 46,9 43,3 265,4 44,2

Total 164,8 163,1 165,9 170,8 177,2 175,1 1016,9  

Medias 41,2 40,775 41,475 42,7 44,3 43,775 254,225 42,4

Tiempo en segundos para el ensamble del producto

Suma de Cuadrados Tratamientos =  

Suma de Cuadrados de Bloques =

Suma de Cuadrados Total = 

Suma de Cuadrados del Error = SCTotal –  SCTratamiento -  SCBloque

Fc = 

( ) 2

.tb

Yi j

ij∑∑Factor de Corrección = 

cii FT

b−∑ 2

.1

cj

j FTt

−∑ 2.

1

ci j

ij FY −∑∑ 2