Unidad 3 Funciones Vectoriales de Una Variable Real

3

Funciones vectoriales de una variable real Clculo de varias variables

3. Funciones vectoriales de variable real

3.1 Definicin de funcin vectorial de una variable real, dominio y graficacinEn los captulos anteriores se estudiaron las diferentes formas de representar rectas, planos y superficies en el espacio, en esta seccin se estudiara la manera de representar curvas en el espacio. En la seccin 2.1 se graficaron curvas en el plano por medio de las ecuaciones paramtricasx = f (t ) y y = g (t )

de manera semejante la ecuacin de una curva en el espacio esta parametrizada por tres ecuaciones

x = f (t ), y = g (t ) y z = h ( t )(1)donde las coordenadas ( x,y,z ) muestran la posicin de la partcula en cualquier instante t. En cualquier posicin que se encuentre la partcula existe un vector y los puntos terminales de las representaciones de posicin de estos vectores determinan una curva recorrida por el punto mvil de la partcula, as que una funcin vectorial es aquella cuyo dominio es un conjunto de nmeros reales y su contradominio es un conjunto de vectores.3.1 Definicin de funcin vectorialSi f, g y h son funciones reales de la variable real t. Entonces se define la funcin vectorial por medio de

r (t ) = f (t )i + g (t )j + h ( t )kdonde t es cualquier numero real del dominio comn de f, g y h. Ejemplo 1 Determinar el dominio de la funcin vectorial r (t ) =

Solucin: Si f (t ) = y g (t ) = , entonces el dominio de r es el conjunto de valores de t para los cuales f (t ) y g (t ) estn definidas. f (t ) esta definida para cualquier numero real excepto el cero y g (t ) esta definida para todo numero real menor o igual a cuatro, el dominio de r es .La ecuacin r (t ) = f (t )i + g (t )j + h ( t )k(2)se denomina ecuacin vectorial y describe a la curva C definida por las correspondientes ecuaciones paramtricas (1); as una curva puede quedar definida por una ecuacin vectorial o por un conjunto de ecuaciones paramtricas. Figura 3.1.

Si es el vector de posicin r (t ), entonces cuando t varia, el punto extremo P describe la curva C.Ejemplo 2 Trazar la curva que tiene la ecuacin vectorial r (t ) = 2 cos t i + 2 sen t j + t k,

Solucin: Las ecuaciones paramtricas de la curva son

x = 2 cos t, y = 2 sen t, z = tPara eliminar el parmetro de las dos primeras ecuaciones se elevan al cuadrado los dos miembros de estas ecuaciones y al sumar los miembros correspondientes se tienex2 + y2 = 4 cos2 t + 4 sen2 tx2 + y2 = 4 ( cos2 t + sen2 t )txyz

02

00

02

-2

0

0-2

2

0

02

-2

0

0-2

2

0

x2 + y2 = 4por lo tanto la hlice yace completamente en el cilindro circular de radio 4 con centro en el eje z. Figura 3.2.Cuando el valor de t aumenta, la curva se extiende hacia arriba en forma de espiral, a esta curva se le llama hlice circular.Una hlice tiene la ecuacin vectorial r (t ) = a cos t i + b sen t j + ct k de tal forma quex = a cos t, y = b sen t y z = ctdonde a, b y c son constantes diferentes de cero, si a = b, la curva es una hlice circular. Si a b la curva es una hlice contenida completamente en un cilindro elptico.Ejemplo 3 Trazar la curva que tiene la ecuacin vectorial

r (t ) = 3 cos t i + 2 sen t j + t k,

Solucin: Las ecuaciones paramtricas de la curva son

x = 3 cos t, y = 2 sen t, z = t Para eliminar el parmetro de las dos primeras ecuaciones se escribe

t y t al elevar al cuadrado y sumar se tiene

La curva C yace en el cilindro elptico de ecuacin

La figura 3.3 muestra el cilindro elptico y la tabla de valores de x, y y z para valores especficos de t.txyz

0

030

20

0-3

-20

03

0-3

Una cbica alabeada es una curva con parametrizacinx = a t y = b t 2 z = c t 3donde a, b y c son constantes diferentes de cero.Ejemplo 4 Sea trazar la curva para

Solucin: La curva tiene las ecuaciones paramtricas

, y

Como x, y y z son positivos, la curva se encuentra en el primer octante. Al eliminar t de las dos primeras ecuaciones se obtiene , que es la ecuacin de un cilindro que tiene como directriz una parbola en el plano xy y sus regladuras son paralelas al eje z (Figura 3.4). Al eliminar el parmetro de y , se obtiene , esta es la ecuacin de un cilindro con generatrices paralelas al eje y . Figura 3.5.

La cubica alabeada es la interseccin de los dos cilindros. La figura 3.6 muestra los dos cilindros y la cubica alabeada para .

Grficos de ecuaciones vectoriales con MathematicaEl programa Mathematica utiliza las ecuaciones paramtricas de la funcin vectorial para dibujar una curva alabeada de la ecuacin.

El comando para realizar grficos de funciones vectoriales determinadas por ecuaciones paramtricas es el siguiente

Siendo:

fx la funcin x = f ( t ),fy la funcin y = g ( t ),fz la funcin z= h( t ),{t,tmin,tmax} es el rango de valores mnimo y mximo de la variable t.Ejemplo 5 Trazar la curva que tiene por ecuacin vectorial para .


, y

Por lo tanto la sintaxis para trazar la grafica se escribe como

In[1]:= ParametricPlot3D[{t,t2,t3},{t,-2,2}]

Out[1]:=Graphics3DEsta grfica corresponde a la cubica alabeada que se trato en el ejemplo 4, se observa que la grafica muestra la curva descrita por la interseccin de los cilindros y .Ejemplo 6 Trazar con Mathematica la curva de la ecuacin vectorial

para .


t, y tIn[2]:= ParametricPlot3D[{Cos[4 t],t,Sin[4 t]},{t,0,2 }]

Out[2]:=Graphics3DEjercicios 3.1En cada uno de los ejercicios 1-10, dibujar la grfica de la curva trazada por el punto extremo del vector de posicin al variar segn se indica. Despus graficar con Mathematica.1. ,

2. , en

3. ,

4. ,

5. , en

6.,

7. , en

8. , en

9. ,

10. ,

___________________________________________________________________________3.2 Lmites y continuidadSi la funcin vectorial r(t) describe a la curva C, y esta contiene a los puntos y , las representaciones de los vectores r y a son respectivamente y . Si t se aproxima a a, el vector tiende a , es decir el punto P se aproxima al punto A a lo largo de la curva C. Figura 3.7.

3.2 Definicin de lmite de una funcin vectorialSea r (t) una funcin vectorial dada por

el lmite de cuando t tiende a a esta definido por

= + +

Si , , y existen.

Ejemplo 1 Si r (t) = + + , encontrar

Solucin: Al aplicar la definicin 3.1 se tiene

= + +

al usar el hecho de que

=

= + + 2 k

= i 32 j + 2 k3.3 Definicin de funcin vectorial contina en un nmeroUna funcin vectorial r es continua en un nmero a si1. r (a) existe2. existe3. = r (a)De la definicin anterior se concluye que una funcin vectorial es continua en el numero a si y solo si sus funciones componentes f, g y h son continuas en a.Ejemplo 2 Determinar los nmeros donde la funcin vectorial es continuar (t) = i +( t 1 ) j + k

Solucin: Puesto que t 2 esta definida para todos los nmeros reales , ln (t 1) esta definida nicamente cuando t > 1, y est definida en todo numero real diferente de 2, el dominio de r es .Si a es un numero del dominio de r, entonces

r (a ) = a 2 i + ln (a 1 ) j +

= i + j + kAs, r (t ) = r (a), y r es continua en a, as que, la funcin vectorial r es continua en cada nmero de su dominio.

Ejercicios 3.2

En los ejercicios 1-5 determinar el dominio de la funcin vectorial.

1.

2.

3.

4.

5.

En los ejercicios 6-10 calcular el lmite indicado si existe

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

___________________________________________________________________________

3.3 Derivacin de funciones vectoriales y sus propiedadesLa derivada r (t) de una funcin vectorial r (t) se define de la misma forma que una derivada de funcin real, en concreto,r( t ) =

(1)Siempre que dicho limite exista.

Entonces de acuerdo con la ecuacin (1) la derivada de r esta dada por

r( t ) =

=

=

EMBED Equation.DSMT4 al tomar el lmite de cada componente se tiener( t ) =

EMBED Equation.DSMT4 +

EMBED Equation.DSMT4 +

EMBED Equation.DSMT4 y as se llega a la conclusin del siguiente teorema3.1 TeoremaSi , donde f, g y h son derivables, entonces

El teorema 3.1 demuestra que la derivada de una funcin vectorial se obtiene derivando cada componente de r( t ).

Si r( t ) existe, se dice que r es derivable en t. Las derivadas tambin se escriben como sigue:

r( t ) = = Dt r(t ) =

Interpretacin geomtrica de la derivada vectorialSea, la funcin vectorial

donde f, g y h son funciones continuas y por lo tanto derivables y C es la curva determinada por .Si y son los vectores de posicin de y , respectivamente, entonces corresponde a , como se muestra en la figura 3.8.Si , entonces el vector , tiene la misma direccin que . Figura 3.9.

Si , el punto tiende a a lo largo de C, como el vector se encuentra en la recta secante que pasa por los puntos y , el vector debe acercarse al vector que se encuentra sobre la recta tangente a C en . Figura 3.10.

El vector , es tangente a la curva en el punto , este vector siempre tiene su punto inicial en y apunta en la direccin en la que se mueve el punto cuando aumenta. La recta tangente a en se define como la recta que pasa por y es paralela al vector tangente como se muestra en la figura 3.11.Ejemplo 1Si , graficar la curva determinada por y trazar los vectores correspondientes a y en

txy

000

1

1

2-44

3

9

4-6416

Solucin: Para construir la grfica se elimina el parmetro en

, y se obtiene

Esta ecuacin representa una parbola horizontal que abre hacia la izquierda. En la siguiente tabla aparecen las coordenadas de los puntos de que corresponden a valores de .

Se sustituye en para obtener el vector de posicin correspondiente a

Derivando se tiene

se sustituye en y se obtiene un vector con punto inicial en y punto final en , como se muestra en la figura 3.12.

Las derivadas de orden superior de funciones vectoriales se definen de manera semejante a las derivadas de orden superior para funciones reales. De este modo si f, g y h tienen segunda derivada entonces

(2)Ejemplo 2Calcular y de la funcin vectorial =

Solucin:

= 2 t i + 2 j

= 2 iCurva suave

La parametrizacin de la curva representada por la funcin vectorial

es suave en un inrvalo abierto I si ,y son continuas en I para todos los valores de en ese intervalo.

Ejemplo 3Encontrar los intervalos donde la curva dada por , , es suave.

Solucin: Empleando la regla de la potencia , se tiene que la derivada de la funcin vectorial es

En el intervalo cerrado los nicos valores de para los que son , entonces la curva es suave en los intervalos abiertos y , como se muestra en la figura 3.13.

La curva de la figura 3.13 deja de ser suave en los puntos donde tiene un cambio brusco de direccin, estos puntos se llaman cspides o nodos.3. 2 Teorema Si r1 y r2 son funciones vectoriales derivables, k es un escalar y es una funcin de valor real. Entonces las propiedades de la derivada vectorial son1. [r1 (t ) + r2 (t )] = r1 (t ) + r2 (t )2. [ k r1 (t )] = k r1 (t )3.

4. [r1 (t ) r2 (t )] = r1 (t ) r2 (t ) + r1 (t ) r2 (t)5. [r1 (t ) r2 (t )] = r1 (t ) r2 (t ) + r1 (t ) r2 (t )6. Regla de la cadenaEn la propiedad 4 del teorema 3.2 se trata a la derivada del producto cruz de manera similar a la derivada del producto de dos funciones reales; sin embargo, es importante mantener el orden el que aparecen r1 y r2 debido a que el producto o cruz no es conmutativo.Ejemplo 4Dadas las funciones vectoriales y , calcular a) [r1 (t ) r2 (t )] y b) [r1 (t ) r2 (t )]

Solucin: y

a) Segn la propiedad 4 del teorema 3.2 de esta seccin

b) De acuerdo con la propiedad 5 del teorema 2

Al utilizar la definicin 1.6 para producto vectorial de la seccin 1.3 se tiene

eliminando parntesis y simplificando se tiene

Ejemplo 5Encontrar las ecuaciones paramtricas para la recta tangente a la hlice circular cuyas ecuaciones paramtricas son

, y en

Solucin: La funcin vectorial de la hlice es por lo tanto

al sustituir el valor del parmetro en se tiene

que es tangente a la hlice en el punto cuyo vector de posicin es

esto es , de modo que por las ecuaciones (4) de la seccin 1.6, las ecuaciones paramtricas de la recta son

la grfica de esta ecuacin se muestra en la figura 3.14.Ejercicios 3.3En los ejercicios 1-5 calcular y , para la funcin vectorial indicada.1.

2.

3.

4.

5.

En los ejercicios 6-8 dibujar con Mathematica la curva descrita por , y trazar para el valor indicado de .6. ,

7. ,

8. ,

En los ejercicios 9 y 10 obtener ecuaciones paramtricas de la recta tangente a la curva dada en el valor indicado de .

9. , y ,

10. , y ,

___________________________________________________________________________3.4 Integracin de funciones vectorialesLa integral o antiderivada de una funcin vectorial se define de la misma forma que las funciones de variable real.Si es la funcin vectorial determinada por

entonces la integral indefinida de es

(1)Si se calcula la derivada en los dos miembros de la ecuacin (1) con respecto a t, se tiene

por cada integral indefinida del lado derecho de la ecuacin (1) se obtiene una constante escalar, as que la integral indefinida de es otro vector tal que .Ejemplo 1Obtener el vector para el cual

Solucin: Si , entonces r (t) = es decir

r (t) =

al utilizar la regla de la cadena de la potencia en cada integral se tiene

en donde

c = c1 i+c2 j+c3 kEjemplo 2

Obtener la integral del vector

Solucin:

=

la primer integral es resuelta por la regla de la potencia para llegar a

la segunda integral se resuelve por el mtodo de sustitucin al hacer

y

se tiene

finalmente se utiliza la integracin por partes en la tercer integral

y

se aplica nuevamente la integracin por partes en la integral anterior

y

=

as que

=++ + cIntegrales definidas de funciones vectoriales3.4 Definicin Si . La integral definida de hasta b de r es

siempre que f, g y h sean integrables en el intervalo cerrado .El teorema fundamental del clculo, para funciones vectoriales toma la forma siguiente3.3 Teorema Si es una antiderivada de en , entonces

EMBED Equation.DSMT4 Ejemplo 3Evaluar la integral

Solucin: Al separar la integral se obtiene

=Las dos primeras integrales se calculan de forma directa usando las formulas bsicas de integracin, la tercer integral se resuelve por sustitucin y se obtiene

evaluando

=

Ejemplo 4Obtener r (t) si r(t) = y r (0) = 2i 3j + k

Solucin:

se sustituye t = 0 en la ultima expresin y se tiene

r (0) =

r (0) =

como r (0) = 2i 3j + k entonces

2i 3j + k =

Al igualar coeficientes se llega a

= 2

= -3

= 1

en consecuencia

r (t) =

Ejercicios 3.4En los ejercicios 1-6 evaluar la integral indicada.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Determinar si y

8. Encontrar si , y

___________________________________________________________________________

3.5 Longitud de arco

En la seccin 2.4 se defini la longitud de una curva plana cuyas ecuaciones paramtricas

son y donde y g son continuas en el intervalo y se llego a la frmula

=

(1)

La longitud de arco de una curva en el espacio se define de la misma manera que la longitud de arco de una curva plana.

Si C es una curva con ecuaciones paramtricas

, y

entonces tiene la ecuacin vectorial

y si f, g y h son continuas en el intervalo cerrado , entonces se puede demostrar que la longitud de arco de la curva C es

=

(2)3. 4 TeoremaSi C es una curva cuya ecuacin vectorial es y si f, g y h son continuas en el intervalo cerrado . Si L unidades es la longitud de arco de la curva C desde el punto hasta el punto , entonces

Ejemplo 1Calcular la longitud de arco de la hlice circular del ejemplo 2 de la seccin 3.1, desde t = 0 hasta 2

Solucin: En la seccin 3.1 se dibujo la hlice de este ejemplo, en la seccin 3.3 se derivo la ecuacin por lo que

r(t) =

as del teorema 4 se tiene

=

=

=

=

Ejemplo 2Encontrar la longitud de la curva que tiene como ecuaciones paramtricas, x = t, y = , z = , entre los puntos (0,0,0) y .

Solucin: La figura 3.15 muestra la curva, como x = t, se toma t en el intervalo . La longitud de arco correspondiente a dicho intervalo ser

=

al evaluar la integral anterior se tiene =

=

Si es una curva suave por partes, dada por la funcin vectorial , donde y al menos una de las funciones f, g, h es biunvoca en , la funcin de longitud de arco esta dada por

(3)Entonces, es la longitud entre y . Si se derivan ambos miembros de la ecuacin (3) usando la primera parte del teorema fundamental de clculo se tiene

(4)

Ejercicios 3.5

En los ejercicios 1-4 calcular la longitud exacta del arco en el intervalo indicado de la ecuacin vectorial dada.1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

___________________________________________________________________________

3.6 Vector tangente, normal y binormalVector tangente unitarioSi es una curva suave en el espacio descrita por , entonces es un vector tangente a . Si en un punto de la curva .3.5 Definicin de vector unitario tangente

El vector unitario tangente de en se define como

, en la direccin de .Puesto que es un vector unitario, es decir para toda , si es derivable entonces es ortogonal a por consiguiente si , entonces por la propiedad 1 del producto vectorial de la seccin 1.3

al diferenciar los dos miembros de la ultima ecuacin con respecto a y al aplicar la propiedad 2 del teorema 3.2 de la seccin 3.3

Ya que el producto punto

= 0 se concluye que y son ortogonales.3.6 Definicin de vector normal unitario Si es el vector tangente unitario de la curva en , el vector normal unitario, denotado por , el vector unitario en la direccin de , esto es

Si un punto se mueve a lo largo de la curva el vector apunta en la direccin en la que el punto se mueve cuando aumenta, mientras que el vector es ortogonal a y seala la direccin hacia la que gira la curva, es decir el lado cncavo de . Figura 3.16.

Ejemplo 1La curva plana C esta determinada por , encontrar los vectores unitarios tangente y normal , trazar la curva C y representar grficamente y

Solucin: Ya que , entonces

,

de modo que

=

=

se calcula al hacer uso de la ecuacin (1)

al derivar las componentes de se tiene

se calcula la magnitud de

al hacer uso de la definicin 3.5 se calcula el vector normal unitario

=

se evalan los vectores y

, y

Si , entonces , as que los vectores tangente unitario y normal unitario se trazan a partir del punto como se muestra en la figura 3.17.

Ejemplo 2Sea la curva plana determinada por , encontrar los vectores unitarios tangente y normal y , trazar la curva y representar grficamente y .

Solucin: Por la definicin 4 con y

se derivan las componentes de , se usa la frmula de la derivada para cocientes y se calcula la derivada de la componente i.

=

=

=

=

ahora se deriva la componente j

=

as se tiene

y

Por la definicin 3.5 y simplificando se tiene


, entonces los vectores tangente unitario y normal unitario se trazan a partir del punto como se muestra en la figura 3.18.

Ejemplo 3

Encontrar los vectores normal y tangente unitario para la hlice , trazar la curva y representar grficamente y .

Solucin: Al derivar y calcular , se tiene

por la definicin 3.4 el vector tangente unitario esta dado por

al derivar y calcular , se tiene

por la definicin 3.5 el vector normal unitario es


Como , entonces los vectores tangente unitario y normal unitario se trazan a partir del punto como se indica en la figura 3.19

El vector normal unitario de la hlice es siempre paralelo al plano xz y apunta hacia el eje y, ya que este eje esta en el centro del cilindro.Vector binormal unitarioExiste un tercer vector unitario que es perpendicular a los vectores tangentes unitario y normal unitario , este tercer vector se denomina vector binormal y esta dado por . Figura 3.20.

Los tres vectores , y forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales, el plano determinado por los vectores T y N en un punto P de la curva C se llama plano osculador, el plano formado por los vectores N y B se denomina plano normal de en . Este plano esta formado por todas las rectas ortogonales al vector tangente T, mientras que el plano determinado por T y B es el plano rectificador, estos planos se muestran en la figura 3.21.

Ejemplo 4Encontrar los vectores tangente, normal y binormal para la hlice , en .

Solucin: Puesto que

El vector tangente unitario es

Se calcula y su magnitud

El vector normal unitario es

Ahora se calcula el vector binormal unitario

=

=

La grafica es la hlice circular del ejemplo 2 de la seccin 3.1. A continuacin se evalan los vectores unitarios , y en t = 2

Al realizar el producto punto entre los vectores unitarios se puede comprobar que los vectores T, N y B son ortogonales entre si.

Ejemplo 5

Encontrar las ecuaciones del plano normal y del plano osculador de la hlice del ejemplo 4 en el punto

Solucin: El plano normal en tiene vector normal , por el teorema 3 de la seccin 1.6, la ecuacin del plano normal es

El plano osculador en contiene a los vectores y , del ejemplo 4 se tiene

y la ecuacin del plano osculador es

Ejercicios 3.6En los ejercicios 1-4 determinar el vector tangente unitario de la funcin de posicin indicada.

1. ,

2. ,

3. ,

4. , En los ejercicios 5 y 6 graficar la curva de la funcin vectorial con Mathematica, calcular y las ecuaciones paramtricas de la recta tangente en el punto indicado y graficar la tangente.

5. ,

6. ,

En los ejercicios 7-10 encontrar el y para la partcula que se mueve a lo largo de la trayectoria determinada por la funcin .

7.

8.

9.

10.

En los ejercicios 11 y 12 trazar la grafica de la funcin vectorial con Mathematica y encontrar , y .11. ,

12. ,

___________________________________________________________________________3.7 Curvatura

La curvatura es la magnitud de la razn de cambio del vector tangente unitario con respecto a la longitud de arco .

Sea una curva plana, donde es un punto fijo de la curva y un punto cualquiera, as es la longitud de arco que va desde hasta . Figura 3.22.

Las ecuaciones paramtricas de son

, para

Entonces a cada valor del parmetro le corresponde un punto en la curva .En la figura 3.23 se observa que el vector de posicin es .

Al derivar se obtiene un vector tangente a en . Figura 3.24.

(1)

Se designa como el ngulo de inclinacin de como se muestra en la figura 3.25.

el ngulo es una funcin de la longitud de arco porque y son funciones de . As el vector tangente se puede escribir como

(2)

la magnitud del vector tangente es

(3)

Por lo que es un vector unitario , este vector esta expresado como una funcin del parmetro de longitud de arco , entonces la razn con la que cambia se calcula mediante la derivada

y ,

en la ultima ecuacin se sustituye por la unidad de acuerdo con la ecuacin (3) y se obtiene .

3.6 Definicin de curvatura

La curvatura se representa mediante la letra griega minscula kappa y se define como

esta expresin aplica para curvas suaves en V2 y V3.Es mas sencillo calcular la curvatura si esta se expresa en trminos del parmetro , de la regla de la cadena para derivadas de funciones vectoriales (teorema 3.2, propiedad 5 de la seccin 3.3) se tiene

y ,

de la ecuacin (4) de la seccin 3.5

de modo que la curvatura esta determinada por

(4)Ejemplo 1Calcular la curvatura de la curva que tiene la ecuacin vectorial

Solucin:

de modo que

al usar la ecuacin (3)

al trabajar con funciones vectoriales algebraicas es complicado en algunas ocasiones calcular la curvatura. As que resulta ms sencillo utilizar el siguiente teorema.

3.5 Teorema

Si determina a una curva , entonces la curvatura de es

Demostracin:

Como y , se tiene

de modo que la regla del producto (teorema 3.2 seccin 3.3), se tiene

al usar el hecho de que (propiedad 6 del producto vectorial seccin 1.3), se llega a

ahora 1 para toda , de modo que y , as que el teorema 1.2 de la seccin 1.3

Entonces

y

Ejemplo 2Encontrar la curvatura de la curva determinada por la funcin vectorial , en un punto general y en el punto .

Solucin:

entonces

y =

al emplear el teorema 3.5 se tiene

Ejercicios 3.7En los ejercicios 1-4 encontrar la curvatura de la curva plana en el valor indicado del parmetro.1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

En los ejercicios 5-10 encontrar la curvatura de la curva.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

0

r ( t )

P ( f (t ),g (t ),h ( t ) )

z

y

x

Figura 3.1

Curva C en el espacio tridimensional

(2,0,0)

(2,0,2 EMBED Equation.DSMT4 )

EMBED Equation.DSMT4



Figura 3.2

Hlice circular y tabla de valores

Figura 3.3

Figura 3.4

Curva EMBED Equation.DSMT4

Figura 3.5

Curva EMBED Equation.DSMT4

Figura 3.6

Interseccin de las curvas EMBED Equation.DSMT4 y EMBED Equation.DSMT4

C

a

0

r ( t )


z

y

x

Figura 3.7


r ( EMBED Equation.DSMT4 )

r ( t )

Figura 3.8

Q

P

0

z

x

x

y

r ( EMBED Equation.DSMT4 ) - r ( t )



r ( t )

Q

P

0

z

x

x

y

r ( EMBED Equation.DSMT4 ) - r ( t )

Figura 3.9



r ( t )

Q

P

0

z

x

x

y

Figura 10

Recta tangente


r ( t )

P

0

z

x

x

y

Figura 3.11

Recta tangente

r (2)

P

r (2)

Figura 3.12





Figura 3.13

La curva deja de ser suave

en los puntos de interseccin con los ejes.

(2,0,0)





Figura 3.14

Hlice circular y recta tangente en el punto P (2,0, 2 EMBED Equation.DSMT4 )

Figura 3.15

Longitud EMBED Equation.DSMT4


t=0

t=1

t=3/2

t=2

C

T ( t )

N ( t )

r ( t )

r ( t )

P

0

z

x

x

y

Figura 3.16

T(t)

N(t)

Figura 3.17

Grfica de la curva EMBED Equation.DSMT4

El vector T(t) apunta en la direccin que se mueve el punto mientras que N(t)

seala la direccin hacia donde gira la curva.

Figura 3.18

Grfica de la curva EMBED Equation.DSMT4

y sus vectores tangente unitario y normal unitario.

r(-1)

N(-1)

T(-1)




Figura 3.19

P




Figura 3.20

Los vectores unitarios T, N y B

son mutuamente ortogonales.

x

y

z

0

T

N

Plano rectificador

Plano normal

Plano osculador

B

Figura 3.21

Nombre de los tres planos

determinados por T, N y B

O

x

y




Figura 3.22

EMBED Equation.DSMT4 es la longitud de arco EMBED Equation.DSMT4

O

x

y



Figura 3.23


r(s)

r(s)

O

x

y



Figura 3.24


T


r(s)

Figura 3.25

EMBED Equation.DSMT4 es el ngulo de inclinacin del vector tangente EMBED Equation.DSMT4

T

O

x

y



132133

_1291912738.unknown

_1292059389.unknown

_1306752776.unknown

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Unidad 3 Funciones Vectoriales de Una Variable Real