Cap´ıtulo 4 Funciones vectoriales de una variable

Capıtulo 4

Funciones vectoriales de una

variable

Derivacion de funciones vectoriales de una variable. Teorema del incrementofinito y desarrollo de Taylor. Longitud de un arco de curva. Integral respecto alarco. Aplicaciones

Este capıtulo esta dedicado al calculo diferencial e integral para funciones vec-toriales de variable real. En este contexto la nocion de derivada esta motivada porel problema de trazar tangentes a curvas dadas en forma parametrica. Tambien sir-ve para formular la nocion fısica de velocidad instantanea de una partıcula que semueve en el espacio.

Para una funcion de variable real con valores vectoriales la derivada se definecomo en el caso de funciones con valores reales. Para que la definicion tenga sentidobasta que la funcion tome valores en un espacio vectorial dotado de una norma, loque permite formar el cociente incremental y considerar la existencia de su lımite.

El calculo diferencial de funciones vectoriales de variable real se desarrolla demodo paralelo al de las funciones con valores reales, con pequenas diferencias quesurgen en relacion con el teorema del incremento finito. Naturalmente que en el casode funciones vectoriales hay una serie de cuestiones que no se plantean, como sonlas relativas al signo de la derivada, crecimiento y decrecimiento, convexidad, etc.La primera novedad respecto al caso de las funciones con valores reales surge enque ahora hay interpretaciones geometricas y fısicas muy interesantes: La derivadaprimera y la derivada segunda proporcionan, respectivamente, la velocidad y laaceleracion de una partıcula que se mueve en el espacio.

Uno de los resultados centrales del capıtulo es la version del teorema del incre-mento finito para funciones vectoriales de variable real (4.7, 4.8). En este contextono es valida la formulacion habitual en terminos del valor de la derivada en un puntointermedio, y la dificultad se resuelve con una formulacion en terminos de desigual-dad en la que interviene una cota de la derivada en el intervalo donde se aplica. Laversion con desigualdad del teorema del incremento finito es suficiente para proseguircon el calculo diferencial y obtener el desarrollo de Taylor de una funcion vectorialde una variable en un punto donde la funcion es derivable m veces, con el resto (o

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Lecciones de Analisis Matematico II G. Vera

termino complementario) en forma infinitesimal. Igual que ocurre con el teorema delincremento finito, para las funciones vectoriales de variable real de clase Cm+1, noes valida la forma habitual del resto en la forma de Lagrange, donde interviene unpunto intermedio del intervalo. Sin embargo sigue valiendo la formula integral delresto y con el fin de obtenerla se hace una breve incursion en la integracion vectorialen el ambito de las funciones continuas con valores en el espacio euclıdeo R

n.En esta situacion es facil comprobar, razonando componente a componente, que

siguen valiendo los resultados basicos del calculo integral: Integrabilidad de las fun-ciones continuas, desigualdad triangular para las integrales, teorema fundamentaldel calculo, regla de Barrow, cambio de variable e integracion por partes.

Como material complementario relacionado con este tema se puede consultar enel apendice D la definicion de integral para el caso general de funciones de variablereal con valores en un espacio normado completo.

Con el teorema del incremento finito se demuestra que si el movimiento de unapartıcula lo describe un camino de clase C1 entonces la norma del vector velocidadcoincide, en cada instante, con la celeridad de la partıcula (la magnitud escalar quemide el cuenta kilometros de un automovil). Una consecuencia inmediata de estehecho es la formula integral para el calculo de la longitud de la trayectoria recorridapor un punto que se mueve siguiendo una trayectoria regular a trozos (vease 4.24).

La nocion de camino rectificable se expone como caso particular de la nocionmas general de funcion de variacion acotada. Estas funciones cuando toman valoresen R o R

n se caracterizan facilmente en terminos de funciones crecientes (vease4.30 y 4.7.14). Uno de los objetivos de este capıtulo es el de ir progresando en lanocion de camino o arco de curva ”razonable”. La clase de los caminos rectificableses razonable desde varios puntos de vista, ya que incluye a los caminos regulares atrozos y no contiene los ejemplos patologicos considerados en el apendice A, comola curva de Peano A.18 y la grafica de la funcion de Weierstrass A.17. Un resultadoprofundo de la teorıa de funciones afirma que los caminos rectificables con valoresen Rn son derivables en casi todo punto, hecho que contrasta con el camino continuoque describe la grafica de la funcion de Weierstrass, que no es derivable en ningunpunto.

Para caminos rectificables, usando la funcion abscisa curvilınea s = v(t) que da lalongitud s del camino recorrido en el instante t se formula la definicion de integral deuna funcion respecto al arco del camino. Para curvas planas, esta integral se puedeinterpretar como el area de un trozo de superficie cilındrica cuyas generatrices sonortogonales a la curva dada. Como otra aplicacion de esta nocion de integral se puedecitar el calculo de la masa total y del centro de masa de un alambre que sigue unacurva regular, cuando se conoce la funcion de densidad que describe la distribucionde la masa.

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4.1. Derivada de una funcion vectorial

En lo que sigue las funciones se suponen definidas en un abierto Ω ⊂ R, o en unintervalo I ⊂ R , con valores en un espacio normado (F, ‖ ‖), aunque el lector quelo desee puede suponer la situacion habitual donde F es Rn dotado de cualquiernorma (recuerdese que en Rn todas las normas son equivalentes).

Definicion 4.1 Sea f : Ω → F una funcion de variable real, definida en un abiertoΩ ⊂ R, con valores en un espacio normado (F, ‖ ‖). La derivada de f en a ∈ Ωes el vector

f ′(a) = lımh → 0

f(a + h) − f(a)

h= lım

t → a

f(t) − f(a)

t − a

en el supuesto de que el lımite exista. Si f es derivable en cada a ∈ Ω, se diceque f es derivable en Ω.

Si una funcion es derivable en a y se cambia la norma de F por otra equivalente,la funcion sigue siendo derivable en a, con la misma derivada, ya que el lımite esuna nocion topologica que no cambia al reemplazar una norma por otra equivalente.

Como en el caso de funciones con valores reales, se definen las derivadas laterales,por la derecha y por la izquierda:

f ′d(a) = lımt → a+

f(t) − f(a)

t − a; f ′i(a) = lım

t → a−

f(t) − f(a)

t − a

y es inmediato comprobar que f es derivable en a si y solo si existen y son igualeslas derivadas laterales f ′i(a) = f ′d(a).

Una funcion f : I → F que esta definida en un intervalo I ⊂ R de extremosα = inf I ≥ −∞, β = sup I ≤ +∞, se dice que es derivable cuando es derivableen cada x ∈ (α, β), derivable por la derecha en α cuando α ∈ I, y derivable porla izquierda en β cuando β ∈ I.

Si f es derivable en cada punto de un abierto Ω ⊂ R queda definida la funcionderivada f ′ : Ω → F . Si esta funcion es continua se dice que f es de clase C1 enΩ, y se escribe f ∈ C1(Ω, F ). Si f ′ es derivable en a ∈ Ω su derivada se llamaderivada segunda f ′′(a) = (f ′)′(a). Si existe f ′′(t) en cada t ∈ Ω queda definidala funcion derivada segunda f ′′ : Ω → F , y si esta funcion es continua se dice quef es de clase C2 y se escribe f ∈ C2(Ω, F ). De manera recurrente se define laderivada m-esima, denotada f (m)(a). Observese que la existencia de f (m)(a) llevaimplıcita la existencia de f (m−1)(t) en todos los puntos de algun entorno de a.

El espacio de las funciones f : Ω → F con derivada m-esima continua se denotaCm(Ω, F ). Analogamente, cuando el dominio de f es un intervalo I ⊂ R, haciendointervenir las derivadas laterales en los extremos del intervalo que le pertenecen sedefinen las derivadas sucesivas y el espacio Cm(I, F ).

Proposicion 4.2 Sea A ⊂ R un intervalo, o un conjunto abierto. Toda funcionf : A → F derivable en a ∈ A es continua en a.

Toda funcion f : A → F derivable por la derecha (resp. izquierda) en a ∈ Aes continua por la derecha (resp. izquierda) en a.

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Dem: Cuando t → a el cociente ∆f(t) = [f(t) − f(a)]/(t − a) tiene lımite luego,en virtud de 3.8, (t − a)∆f(t) tiende hacia cero, es decir lımt → a f(t) = f(a).El mismo razonamiento se aplica para las derivadas laterales con las que se obtienela correspondiente continuidad lateral.

nota: El recıproco de la proposicion 4.2 es falso: La funcion real de variable realf(x) = |x| es continua pero no es derivable en a = 0.

Cuando F = Rn, dotado de cualquier norma, (recuerdese que en R

n todas lasnormas son equivalentes) se tiene:

Proposicion 4.3 Sea A ⊂ R un intervalo, o un conjunto abierto y f : A → Rn,de componentes f(t) = (f1(t), f2(t), · · · fn(t)). Entonces f es derivable en a ∈ A siy solo si todas sus componentes lo son, y en este caso f ′(a) = (f ′

1(a), f ′2(a), · · · f ′

n(a)).

Dem: Las componentes del cociente incremental ∆f(t) = [f(t) − f(a)]/(t − a) sonlos cocientes incrementales de las componentes de f :

∆f(t) = (∆f1(t), ∆f2(t), · · ·∆fn(t))

Segun 3.7, una condicion necesaria y suficiente para que ∆f(t) tenga lımite, cuandot → a, es que todas sus componentes ∆fi(t), 1 ≤ i ≤ n, tengan lımite, y en estecaso, el lımite es el vector cuyas componentes son los lımites de las componentes, esdecir (f ′

1(a), f ′2(a), · · · f ′

n(a)).

Interpretaciones fısica y geometrica de la derivada. Cuando F es el espacioeuclıdeo R3 (resp. R2) para una funcion de variable real f : (α, β) → F se puedeinterpretar que t es el tiempo y que f(t) es la posicion, en el instante t, de unapartıcula que se mueve en el espacio (resp. en el plano).

El cambio de posicion de la partıcula, desde el instante t = a hasta el instantet = a + h, viene dado por el vector cuerda f(a + h) − f(a) que se representamediante una flecha con origen en f(a) y extremo en f(a + h). La velocidadmedia de la partıcula, durante el intervalo de tiempo (a, a + h) viene dada porel cociente incremental ∆f(h) = [f(a + h) − f(a)]/h. Si este cociente tiene lımitecuando h tiende hacia 0 el lımite f ′(a) es un vector que representa la velocidadinstantanea de la partıcula en el instante t = a. En esta interpretacion fısica laderivada segunda f ′′(a) proporciona la aceleracion de la partıcula en ese instante.

Como el cociente incremental [f(a + h) − f(a)]/h tiene la direccion del vectorcuerda, f(a + h) − f(a), cuando no es nulo el lımite f ′(a), la direccion de estevector sera el lımite de las direcciones de las cuerdas determinadas por f(a) y lospuntos cada vez mas proximos f(a + h). Por esta razon se dice que f ′(a) es unvector tangente a la trayectoria f(t) en el instante t = a, que se suele representarmediante una flecha con origen en el punto f(a).

Mas adelante se demostrara que la longitud del vector velocidad ‖f ′(t)‖ es laceleridad o rapidez de la partıcula (derivada respecto al tiempo, del espacio recorridosobre la trayectoria).

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3

ǫ(h)

-

f(t)

f(a) f(a + h)

R

: f ′(a):hf ′(a)

- ∆f(h)

0

z

f(a + h) − f(a)

6

Definicion 4.4 Si f : Ω → F es derivable en a ∈ Ω, la recta tangente a latrayectoria f(t) en el instante t = a es la que pasa por f(a) en la direccion delvector f ′(a), de ecuacion parametrica

r(t) = f(a) + (t − a)f ′(a)

Si se utiliza la recta tangente r(t) como aproximacion local de la trayectoria f(t)en un entorno de t = a, el error cometido al pasar del valor t = a al valor t = a+hviene dado por

ǫ(h) = f(a + h) − r(a + h) = f(a + h) − f(a) − hf ′(a)

Cuando h es muy pequeno, el tamano de error ‖ǫ(h)‖ es despreciable frente a hya que, en virtud de la definicion de derivada, se cumple

lımh → 0

‖ǫ(h)‖h

= 0

condicion que se suele denotar escribiendo ǫ(h) = o(h).Cuando dos funciones de variable real f(t), g(t), definidas en un entorno de

t = a con f(a) = g(a) verifican la condicion f(a + h) − g(a + h) = o(h) se sueledecir que f y g presentan en a una tangencia de primer orden, y tambien que g

es una aproximacion local de primer orden de f en el punto a. Es facil comprobarque una condicion suficiente para que esto ocurra es que f y g sean derivables ena, con la misma derivada, f ′(a) = g′(a). Cuando f es derivable en el punto a,la recta r tangente a f en a es una aproximacion local de primer orden de f enese punto.

Operaciones con funciones derivables

Proposicion 4.5 Sea (F, ‖ ‖) un espacio vectorial normado, y Ω ⊂ R abierto. Sif , g : Ω → F y α : Ω → R son derivables en a ∈ Ω, entonces la suma f + g, elproducto αf y el cociente f/α := α−1f (cuando α(a) 6= 0) tambien son derivablesen a, y se verifica:

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i) (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a);

ii) (αf)′(a) = α′(a)f(a) + α(a)f ′(a);

iii) (f/α)′(a) = [α(a)f ′(a) − α′(a)f(a)]/α(a)2

Si la norma de F procede de un producto escalar 〈 | 〉, tambien se cumple

iv) La funcion producto escalar h(t) = 〈 f(t) | g(t) 〉 es derivable en a, y

h′(a) = 〈 f(a) | g′(a) 〉 + 〈 f ′(a) | g(a) 〉

Dem: Las demostraciones i), ii) y iii) son analogas a las del caso de funciones convalores reales y se dejan al cuidado del lector. En relacion con iii) se debe senalarque al ser α continua en a, con α(a) 6= 0, debe existir un entorno de a dondeα(t) no se anula y en el esta definido el cociente f(t)/α(t) = α(t)−1f(t).Para demostrar iv), en virtud de la bilinealidad del producto escalar podemos escribir

h(t) − h(a) = 〈 f(t) | g(t) − g(a) 〉 + 〈 f(t) − f(a) | g(a) 〉

y obtenemos la siguiente expresion para ∆h(t) = [h(t) − h(a)]/(t − a):

∆h(t) = 〈 f(t) | ∆g(t) 〉 + 〈 ∆f(t) | g(a) 〉

Pasando al lımite cuando t → a se obtiene el resultado, ya que el producto escalarde dos funciones vectoriales con lımite tiene lımite y su valor es el producto escalarde los lımites (vease 3.8)

Proposicion 4.6 [Regla de la cadena] Sean Ω, V ⊂ R abiertos y (F, ‖ ‖) unespacio normado. Si ϕ : Ω → V es derivable en a ∈ Ω, y f : V → F es derivableen b = ϕ(a), entonces la funcion compuesta, g : Ω → F , g(t) = f(ϕ(t)), esderivable en a y g′(a) = ϕ′(a)f ′(ϕ(a)).

Dem: En virtud de la definicion de derivada las funciones δ : Ω → R, ∆ : V → F ,definidas por

δ(t) =ϕ(t) − ϕ(a)

t − asi t ∈ Ω \ a, δ(a) = ϕ′(a)

∆(x) =f(x) − f(b)

x − bsi x ∈ V \ b, ∆(b) = f ′(b)

son continuas en a y en b respectivamente. Para todo t ∈ Ω y todo x ∈ V secumple:

f(x) − f(b) = (x − b)∆(x); ϕ(t) − ϕ(a) = (t − a)δ(t);

y sustituyendo en la primera igualdad x = ϕ(t), b = ϕ(a), resulta

g(t) − g(a) = f(ϕ(t)) − f(ϕ(a)) = [ϕ(t) − ϕ(a)]∆(ϕ(t)) = (t − a)δ(t)∆(ϕ(t))

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Como ϕ(t) es continua en a (por ser derivable), y ∆(x) es continua en b = ϕ(a),su composicion ∆(ϕ(t)) es continua en a, luego lımt → a ∆(ϕ(t)) = ∆(b) = f ′(b),y por lo tanto existe el lımite

g′(a) = lımt → a

g(t) − g(a)

t − a= lım

t → aδ(t)∆(ϕ(t)) = ϕ′(a)f ′(b)

El teorema del valor medio para funciones reales de variable real asegura que sif : [a, b] → R es continua y derivable en (a, b) entonces existe η ∈ (a, b) tal que

f(b) − f(a) = f ′(η)(b − a) (∗)

Cuando f ′ esta acotada, |f ′(x)| ≤ M para todo x ∈ (a, b), se obtiene que

|f(b) − f(a)| ≤ M(b − a) (∗∗)

Para funciones vectoriales de variable real no se cumple el teorema del valor medio:Para f : [0, 2π] → R2 definida por f(t) = (cos t, sen t) se cumple f(2π)−f(0) = (0, 0),pero f ′(t) = (− sen t, cos t) 6= (0, 0) para todo t ∈ [0, 2π], es decir, no hay un puntointermedio η ∈ [0, 2π] donde se satisfaga la igualdad (*). Un ejemplo similar losuministra la aplicacion g : R → R3, g(t) = (cos t, sen t, t), cuya imagen es lacurva llamada helice. El vector tangente a la helice g′(t) = (− sen t, cos t, 1) nuncaes vertical, mientras que el vector g(2π) − g(0) = (0, 0, 2π) sı lo es.

Aunque el teorema del valor medio no subsiste para funciones con valores enun espacio normado F de dimension ≥ 2, sin embargo la acotacion (**), cuando laderivada es acotada, sigue valiendo para el caso de funciones con valores en cualquierespacio normado. Esto se obtendra como corolario del siguiente teorema:

Teorema 4.7 [Incremento finito] Sea (F, ‖ ‖) un espacio normado. Se supone quef : [a, b] → F , y g : [a, b] → R son funciones continuas en [a, b], derivables porla derecha en (a, b) que verifican ‖f ′d(t)‖ ≤ g′

d(t) para todo t ∈ (a, b). Entonces

‖f(b) − f(a)‖ ≤ g(b) − g(a)

Dem: Para cada ǫ > 0 sea Sǫ ⊂ [a, b] el subconjunto formado por los x ∈ [a, b]que cumplen ‖f(x) − f(a)‖ ≤ g(x)−g(a)+ǫ(x−a)+ǫ. Si se demuestra que b ∈ Sǫ,pasando al lımite, cuando ǫ → 0, en la desigualdad

‖f(b) − f(a)‖ ≤ g(b) − g(a) + ǫ(b − a) + ǫ

se obtiene el resultado deseado.La funcion h(x) = ‖f(x) − f(a)‖− [g(x)− g(a)+ ǫ(x−a)] es continua en [a, b],

y h(a) = 0 luego existe δ > 0 tal que h(t) < ǫ para todo t ∈ [a, a + δ), esdecir Sǫ contiene al intervalo [a, a+ δ) y por lo tanto Sǫ 6= ∅. Entonces podemosconsiderar el supremo µ = sup Sǫ que es adherente a Sǫ. La continuidad de h

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implica que Sǫ = x ∈ [a, b] : h(x) ≤ ǫ es un subconjunto cerrado de [a, b] y porlo tanto µ ∈ Sǫ. Para terminar basta que ver µ = b, y esto lo demostraremos porreduccion al absurdo suponiendo µ < b.

Como µ ≥ a + δ > a, las funciones f , g son derivables por la derecha en µ,y por lo tanto existe µ < r < b tal que si µ < t < r se cumple

∥

∥

∥

∥

f(t) − f(µ)

t − µ− f ′d(µ)

∥

∥

∥

∥

< ǫ/2,

∣

∣

∣

∣

g(t) − g(µ)

t − µ− g′

d(µ)

∣

∣

∣

∣

< ǫ/2

y en virtud de la desigualdad triangular∥

∥

∥

∥

f(t) − f(µ)

t − µ

∥

∥

∥

∥

≤ ‖f ′d(µ)‖ + ǫ/2 ≤ g′

d(µ) + ǫ/2 ≤ g(t) − g(µ)

t − µ+ ǫ/2 + ǫ/2

luego‖f(t) − f(µ)‖ ≤ g(t) − g(µ) + ǫ(t − µ)

Por otra parte, como µ ∈ Sǫ se cumple

‖f(µ) − f(a)‖ ≤ g(µ) − g(a) + ǫ(µ − a) + ǫ

Usando la desigualdad triangular y sumando miembro a miembro las ultimas desi-gualdades se obtiene

‖f(t) − f(a)‖ ≤ ‖f(t) − f(µ)‖ + ‖f(µ) − f(a)‖ ≤≤ g(t) − g(a) + ǫ(t − a) + ǫ

es decir, t ∈ Sǫ, lo que es absurdo porque t > µ = sup Sǫ.

nota: Con las modificaciones obvias, que se dejan al cuidado del lector, se puedeobtener otra version del teorema anterior reemplazando las derivadas por la derechapor las derivadas por la izquierda.

Corolario 4.8 Sea (F, ‖ ‖) un espacio normado y f : [a, b] → F , una funcioncontinua en [a, b] y derivable por la derecha en (a, b), tal que ‖f ′d(t)‖ ≤ M paratodo t ∈ (a, b). Entonces ‖f(b) − f(a)‖ ≤ M(b − a).

Dem: Basta aplicar el teorema 4.7 con g(t) = Mt.

Corolario 4.9 Sea (F, ‖ ‖) un espacio normado y f : [a, b] → F , una funcioncontinua en [a, b] y derivable en (a, b). Si f ′(t) = 0 para todo t ∈ (a, b) entoncesf es constante.

Dem: En cada [a, x] ⊂ [a, b] se aplica el corolario 4.8 con M = 0 y se obtienef(a) = f(x).

Corolario 4.10 Si g : [a, b] → R es continua y derivable por la derecha en cadat ∈ (a, b), con g′

d(t) ≥ 0, entonces g es creciente.

Dem: Basta aplicar el teorema 4.7, con f = 0, en cada [x, y] ⊂ [a, b].

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4.2. Desarrollo de Taylor

Sea (F, ‖ ‖) un espacio normado y f : Ω → F una funcion definida en un abiertoΩ ⊂ R, derivable m veces an a ∈ Ω. Llamaremos ”polinomio” de Taylor de f en a,de grado m, a la funcion vectorial de variable real

Pm(x−a) = f(a)+f ′(a)(x−a)+1

2!f ′′(a)(x−a)2+

1

3!f ′′′(a)(x−a)3+· · ·+ 1

m!f (m)(a)(x−a)m

(donde se ha utilizado el convenio de escribir 1k!f (k)(a)(x−a)k en lugar de (x−a)k

k!f (k)(a)).

Observese que se trata de un polinomio en un sentido generalizado, pues los coefi-cientes 1

k!f (k)(a) son ahora vectores del espacio normado F .

Teorema 4.11 Sea (F, ‖ ‖) un espacio normado y f : Ω → F una funcion definidaen un abierto Ω ⊂ R. Si f es derivable m veces en a ∈ Ω y Pm(x − a) es supolinomio de Taylor en a de grado m, entonces f(x) = Pm(x − a) + Rm(x − a)donde Rm(x − a) = o(|x − a|m), es decir

lımx → a

Rm(x − a)

|x − a|m = 0

Dem: En lo que sigue escribimos h = x− a. La demostracion se hace por induccionsobre m. El resultado es inmediato cuando m = 1 pues P1(h) = f(a) + hf ′(a) yen virtud de la definicion de derivada, R1(h) = f(a + h) − f(a) − hf ′(a) cumple lacondicion requerida.

Se comprueba facilmente que el polinomio de Taylor de grado m−1 de la funcionf ′ en el punto a es P′

m(x−a). Suponiendo el teorema cierto para funciones derivablesm − 1 veces en a, (con m ≥ 2) y aplicandolo a f ′, definida en un cierto entorno dea, resulta f ′(a + h) = P′

m(h) + rm−1(h), donde rm−1(h) = o(|h|m−1).Derivando respecto a la variable h en la igualdad f(a + h) = Pm(h) + Rm(h) se

obtiene que R′m(h) = rm−1(h), luego

lımh → 0

R′m(h)

|h|m−1= 0

y para terminar basta ver que esta condicion implica que Rm(h) = o(|h|m).Efectivamente, como Rm(h) = f(a + h) − Pm(h) es derivable dos veces en 0

(porque m ≥ 2) podemos asegurar que existe η > 0 tal que Rm(h) es derivable en(−η, η). Ahora, por la definicion de lımite, dado ǫ > 0 podemos encontrar 0 < δ < ηtal que para todo t ∈ (0, δ) se cumple

∥

∥

∥

∥

R′m(t)

tm−1

∥

∥

∥

∥

< ǫ

Si 0 < s < δ, para todo t ∈ (a, s) es cierta la desigualdad ‖R′m(t)‖ ≤ ǫtm−1 = g′(t),

con g(t) = (ǫ/m)tm. Aplicando el teorema 4.7 a las funciones Rm, g en el intervalo[0, s] resulta

‖Rm(s) − Rm(0)‖ ≤ ǫ

msm ≤ ǫsm

70


Como Rm(0) = 0, se puede asegurar que

0 < s < δ ⇒∥

∥

∥

∥

Rm(s)

sm

∥

∥

∥

∥

< ǫ.

Analogamente, podemos obtener δ′ < η tal que

−δ′ < s < 0 ⇒∥

∥

∥

∥

Rm(s)

sm

∥

∥

∥

∥

< ǫ

Queda demostrado que lıms → 0Rm(s)

|s|m = 0, luego Rm(h) = o(|h|m).

Proposicion 4.12 Sea (F, ‖ ‖) un espacio normado, f : Ω → F una funcion de cla-se Cm y Pm(x−a) su polinomio de Taylor en a de grado m Sea [a, x] ⊂ Ω un interva-lo tal que en cada t ∈ (a, x) existe la derivada f (m+1)(t) y verifica

∥

∥f (m+1)(t)∥

∥ ≤ M .Entonces para el termino complementario o resto Rm(x − a) = f(x) − Pm(x − a)vale la acotacion

‖Rm(x − a)‖ ≤ M

(m + 1)!(x − a)m+1

Dem: Ofrecemos una demostracion por induccion sobre m. El resultado es ciertopara m = 0 en virtud de 4.8. Suponemos que el teorema es cierto hasta el orden my demostraremos que tambien lo es hasta el orden m + 1. Para ello se considera lafuncion auxiliar

v(t) = f(a + th) −[

f(a) + thf ′(a) + · · ·+ tmhm 1

m!f (m)(a)

]

donde h = x − a > 0, cuya derivada es

v′(t) = hf ′(a + th) − h

[

f ′(a) + thf ′′(a) + · · ·+ tm−1hm−1 1

(m − 1)!f (m)(a)

]

Si aplicamos la hipotesis de induccion a la funcion f ′ en el intervalo [a, a + th] seobtiene

f ′(a + th) −[

f ′(a) +m−1∑

k=1

1

k!f (k)(a)tkhk

]

= rm−1(th)

donde ‖rm−1(th)‖ ≤ Mm!

tmhm. Como v′(t) = hrm−1(th) resulta

‖v′(t)‖ ≤ h ‖rm−1(th)‖ ≤ M

m!tmhm+1

y aplicando 4.7 con g(t) = M(m+1)!

tm+1hm+1 se obtiene

‖v(1) − v(0)‖ ≤ g(1) − g(0) =M

(m + 1)!hm+1

es decir

‖Rm(x − a)‖ ≤ M

(m + 1)!(x − a)m+1

71


4.3. Integral de una funcion vectorial

La integral de Riemann de una funcion acotada f : [a, b] → Rn se puede definir en

terminos de sus componentes. Se dice que f = (f1, f2, · · ·fn) es integrable Riemanncuando todas sus componentes lo son y en ese caso se define

∫ b

a

f(t)dt =

(∫ b

a

f1(t)dt,

∫ b

a

f2(t)dt, · · · ,

∫ b

a

fn(t)dt

)

es decir, la integral de f es el vector cuyas componentes son las integrales de suscomponentes. La teorıa de la integral de Riemann para funciones de una variablereal con valores en R

n se desarrolla directamente, a partir de la definicion, tomandocomo base los resultados conocidos para el caso n = 1. Es inmediata la integrabilidadde las funciones continuas y tambien lo es la linealidad de la integral y la aditividadde la integral respecto al intervalo:

i) Si las funciones f , g : [a, b] → Rn son integrables y α, β ∈ R, entonces αf + βg

es integrable y∫ b

a(αf(t) + βg(t))dt = α

∫ b

af(t)dt + β

∫ b

ag(t)dt.

ii) Si a ≤ c ≤ b, la funcion f : [a, b] → Rn, es integrable si y solo si f |[a,c] y f |[c,b]lo son, y en ese caso

∫ b

af(t)dt =

∫ c

af(t)dt +

∫ b

cf(t)dt.

Sea P([a, b]) el conjunto de las subdivisiones de [a, b]. Para una subdivision p ∈P([a, b]), p = (a = t0 < t1 < · · · < tm = b), diremos que η = (η1 ≤ η2 ≤ · · · ,≤ ηm)es un sistema de puntos asociado a p si ηj ∈ [tj−1, tj] para cada j ∈ 1, · · · , m.Una suma de Riemann asociada a p es una suma de la forma

Σ(f , p, η) =

m∑

k=1

(ti − ti−1)f(ηj)

donde η = (η1 ≤ η2 ≤ · · · ,≤ ηm) es un sistema de puntos asociado a p. Observeseque las componentes del vector Σ(f , p, η) son las sumas de Riemann de las funcionescomponentes, Σ(f , p, η) = (Σ(f1, p, η), Σ(f2, p, η), · · ·Σ(fn, p, η)). En lo que sigue lasuma de Riemann formada con los puntos ηj = tj−1, 1 ≤ j ≤ m, la denotaremosmas brevemente Σ(f , p).

Lema 4.13 Si f : [a, b] → Rn es integrable Riemann, para cada ǫ > 0 existe pǫ ∈P([a, b]) tal que si p ∈ P([a, b]) es mas fina que pǫ se cumple

∥

∥

∥

∥

Σ(f , p) −∫ b

a

f(t)dt

∥

∥

∥

∥

∞

< ǫ

Dem: El resultado, que es bien conocido para funciones con valores reales, se ex-tiende facilmente al caso de una funcion f = (f1, f2, · · · , fn) con valores en Rn:Para cada j ∈ 1, 2, · · · , n existe pj

ǫ ∈ P([a, b]) tal que si p ∈ P([a, b]) es mas finaque pj

ǫ se cumple

[∗]∣

∣

∣

∣

Σ(fj , p) −∫ b

a

fj(t)dt

∣

∣

∣

∣

< ǫ

72


Sea pǫ ∈ P([a, b]) mas fina que todas las pjǫ, 1 ≤ j ≤ n. Entonces, si p ∈ P([a, b])

es mas fina que pǫ podemos asegurar que para todo j ∈ 1, 2, · · ·n se cumple [∗], yteniendo en cuenta que Σ(fj , p) son las componentes del vector Σ(f , p), resulta

∥

∥

∥

∥

∫ b

a

f(t)dt − Σ(f , p)

∥

∥

∥

∥

∞

< ǫ

Puesto que en Rn todas las normas son equivalentes, el resultado del lema anteriorse sigue verificando para cualquier norma en Rn.

nota: Dada una subdivision p ∈ P([a, b]), p = (a = t0 < t1 < · · · < tm = b)se define ∆(p) = maxtj − tj−1 : 1 ≤ j ≤ m. Es bien conocido que si la fun-

cion f : [a, b] → R es integrable Riemann entonces lım∆(p) → 0 Σ(f, p) =∫ b

af(t)dt

(vease [12]) III, 1.4.2). Lo mismo se sigue cumpliendo en el caso de funciones convalores en Rn, pero este resultado, cuya demostracion es sencilla para el caso defunciones continuas, no sera utilizado aquı.

En el caso de funciones vectoriales, la propiedad de monotonıa de la integral notiene sentido, pero se sigue verificando:

Proposicion 4.14 Si f : [a, b] → Rn es continua y ‖ ‖ es una norma sobre Rn

entonces la funcion ‖f‖ tambien es continua y se verifica

a)∥

∥

∥

∫ b

af(t)dt

∥

∥

∥≤∫ b

a‖f(t)‖ dt;

b)∫ b

af(t)dt =

∫ c

af(t)dt +

∫ b

cf(t)dt si a ≤ c ≤ b.

c) La funcion g : [a, b] → Rn definida por g(x) =

∫ x

af(t)dt es derivable en [a, b] y

g′(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b] (en a y b se consideran las derivadas lateralescorrespondientes).

Dem: a) Vemos en primer lugar una demostracion elemental para el caso particularde la norma euclıdea ‖ ‖2. La desigualdad del enunciado basta establecerla cuando

el vector v =∫ b

af(t) 6 no es nulo. En este caso, considerando el vector unitario

u = v/ ‖v‖2 podemos escribir

‖v‖2 = 〈u | v〉 =n∑

i=1

ui

∫ b

a

fi(t)dt =

∫ b

a

(

n∑

i=1

uifi(t)

)

dt ≤

≤∫ b

a

∣

∣

∣

∣

∣

n∑

i=1

uifi(t)

∣

∣

∣

∣

∣

dt ≤∫ b

a

‖u‖2 ‖f(t)‖2 dt =

∫ b

a

‖f(t)‖2 dt

donde la ultima desigualdad es consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

73


En el caso de una norma arbitraria en Rn, con el lema 4.13 podemos conseguir

una sucesion pk ∈ P([a, b]), donde cada pk es mas fina que pk−1, tal que

∫ b

a

f(t)dt = lımk

Σ(f , pk) y

∫ b

a

‖f(t)‖ dt = lımk

Σ(‖f‖ , pk)

En virtud de la desigualdad triangular ‖Σ(f , pk)‖ ≤ Σ(‖f‖ , pk) y usando la conti-nuidad de la norma se obtiene

∥

∥

∥

∥

∫ b

a

f(t)dt

∥

∥

∥

∥

= lımk

‖Σ(f , pk)‖ ≤ lımk

Σ(‖f‖ , pk) =

∫ b

a

‖f(t)‖ dt.

La demostracion de b) y c) es inmediata razonando componente a componente.

nota: En el capıtulo 10 se vera el teorema de Lebesgue que caracteriza las funcionesintegrables Riemann. Usando este teorema es facil demostrar que si f : [a, b] → Rn

es integrable Riemann entonces la funcion escalar t → ‖f(t)‖ tambien es integrabley se cumple a) (vease D.14). Para la norma euclıdea se puede dar una demostracionelemental de este hecho basada en la siguiente propiedad: Si ϕ : [a, b] → [0, +∞) esintegrable Riemann, tambien lo es su raız cuadrada

√ϕ (que se deja como ejercicio).

Corolario 4.15

-[Regla de Barrow] Si g : [a, b] → Rn es derivable con derivada continua se verifica

g(b) − g(a) =∫ b

ag′(t)dt.

-[Integracion por partes] Si las funciones f : [a, b] → Rn, ϕ : [a, b] → R son deriva-bles con derivada continua, se verificaϕ(b)f(b) − ϕ(a)f(a) =

∫ b

aϕ′(t)f(t)dt +

∫ b

aϕ(t)f ′(t)dt

Teorema 4.16 Sea f : Ω → Rn de clase Cm+1, donde Ω ⊂ R es abierto y Pm(x−a)su polinomio de Taylor de grado m en a ∈ Ω. Si [a, x] ⊂ Ω entonces vale la siguienteformula integral para el resto Rm(x − a) = f(x) − Pm(x − a)

Rm(x − a) =(x − a)m+1

m!

∫ 1

0

(1 − t)mf (m+1)(a + t(x − a))dt

Dem: Si h = (x − a), la funcion v(t) = f(a + th), esta definida en el abiertoU = t : a + th ∈ Ω ⊃ [0, 1], donde admite derivadas sucesivas continuas, hasta lade orden m + 1, que vienen dadas por:

v′(t) = hf ′(a + th), v′′(t) = h2f ′′(a + th), · · · v(m+1)(t) = h(m+1)f (m+1)(a + th)

La funcion g(t) = v(t) + (1 − t)v′(t) + 12!

(1 − t)2v′′(t) + · · · + 1m!

(1 − t)mv(m)(t) esderivable con derivada continua en [0, 1]:

g′(t) = v′(t) + [(1− t)v′′(t)−v′(t)] + · · ·+[

(1 − t)m

m!v(m+1)(t) − (1 − t)m−1

(m − 1)!v(m)(t)

]

y cancelando terminos en esta suma telescopica resulta

g′(t) =(1 − t)m

m!v(m+1)(t) =

(1 − t)m

m!hm+1f (m+1)(a + th)

74


y aplicando D.12 se obtiene

g(1) − g(0) =

∫ 1

0

g′(t)dt =hm+1

m!

∫ 1

0

(1 − t)mf (m+1)(a + th)dt

El resultado se obtiene observando que

g(1) − g(0) = v(1) −[

v(0) + v′(0) + · · ·+ 1

m!v(m)(0)

]

=

= f(a + h) −[

f(a) + hf ′(a) + · · · + hm

m!f (m)(a)

]

= Rm(h)

- En el apendice D se exponen dos alternativas para definir la integral en elcaso de funciones con valores en un espacio normado completo. El lector interesadopodra apreciar que el teorema anterior sigue valiendo en este contexto mas general.

- Para funciones con valores en Rn (o mas generalmente en un espacio normado

completo) el resultado 4.12, con la hipotesis algo mas restrictiva de que la funcionsea de clase Cm+1, se puede obtener como consecuencia inmediata de 4.16 usandola propiedad 4.14 a).

4.4. Caminos rectificables

Comenzamos con la terminologıa asociada a una aplicacion γ : [a, b] → E, convalores en un espacio normado (E, ‖ ‖). Si γ : [a, b] → E es continua y γ([a, b]) ⊂ Ωse dice que γ es un camino o trayectoria en Ω ⊂ E. El origen (resp. extremo) delcamino es el punto γ(a) (resp. γ(b)) y si γ(a) = γ(b) se dice que el camino es cerrado.La multiplicidad de un punto x ∈ γ([a, b]) es el numero Cardt ∈ [a, b] : γ(t) = x.Los puntos de multiplicidad 1 se llaman simples. Un camino es simple cuando todoslos puntos de su imagen son simples, es decir, cuando es inyectivo. Un camino cerradoγ : [a, b] → E se dice que es simple cuando cada x ∈ γ((a, b)) es simple y γ(a) = γ(b)tiene multiplicidad 2.

Cuando E = R3 podemos interpretar que el parametro t es el tiempo y queγ(t) ∈ R3 es la posicion, en el instante t, de un punto que se mueve en el espaciorecorriendo una trayectoria que puede pasar por un mismo punto varias veces.

Dos caminos γi : [ai, bi] → E se dice que son topologicamente equivalentes cuandoexiste una biyeccion continua h : [a1, b1] → [a2, b2] tal que γ1 = γ2 h. Esta biyec-cion necesariamente es estrictamente monotona. Cuando es creciente se dice quelos caminos son topologicamente equivalentes con la misma orientacion y cuando esdecreciente se dice que los caminos son topologicamente equivalentes con orientacio-nes opuestas. En el primer caso los dos caminos tienen el mismo origen y el mismoextremo. En el segundo caso el origen de un camino coincide con el extremo del otroy los dos caminos recorren el mismo trayecto, pero en sentidos opuestos.

En el conjunto de los caminos en el espacio normado E queda definida ası unarelacion de equivalencia. Cada clase de equivalencia se dice que es una curva o un

75


arco de curva. Cada representante de la clase se dice que es una representacionparametrica de la curva. La clase de equivalencia [γ] del camino γ esta formadapor los caminos que se deducen de γ efectuando un cambio de parametro continuoestrictamente monotono. Si γ : [a, b] → E es derivable y la derivada t → γ

′(t) escontinua en [a, b] se dice que γ es un camino de clase C1. Entre caminos de clase C1,procediendo en forma similar, pero considerando cambios de parametro de clase C1

con derivada no nula h : [a1, b1] → [a2, b2], se pueden definir caminos C1-equivalentes,relacion de equivalencia que da lugar a la nocion de arco de curva de clase C1.

Proposicion 4.17 Si dos caminos simples γi : [ai, bi] → E, i = 1, 2, tienen lamisma imagen son topologicamente equivalentes y definen el mismo arco de curva.

Dem: K = γ1([a1, b1]) = γ2([a2, b2]) es compacto y en virtud de 3.15 las biyeccionescontinuas γi : [ai, bi] → K (i=1,2) tienen inversa continua. La biyeccion continuah = γ

−12 γ1 : [a1, b1] → [a2, b2] cumple γ1 = γ2 h.

Una particion o subdivision del intervalo [a, b] es una familia finita de puntos delintervalo que contiene a los extremos, p = (a = t0 < t1 < t2 · · · tm = b). En lo quesigue denotaremos por P(I) al conjunto de las subdivisiones del intervalo I = [a, b].Si p′, p ∈ P(I), se dice que p′ es mas fina que p cuando p′ ⊃ p.

Dada una aplicacion f : [a, b] → (E, ‖ ‖), para cada p ∈ P(I), la variacion de f

relativa a p es la suma

V (f , p) =

m∑

j=1

‖f(tj) − f(tj−1)‖

Usando la desigualdad triangular se comprueba facilmente que si p′ ∈ P(I) es masfina que p ∈ P(I) entonces V (f , p) ≤ V (f , p′) (basta comprobarlo cuando p′ seobtiene anadiendo un punto a p). La variacion total de f sobre [a, b] es la cantidad

V (f , [a, b]) = supV (f , p) : p ∈ P(I) ≤ +∞

Cuando V (f , [a, b]) < +∞ se dice que f : [a, b] → E es de variacion acotada o devariacion total finita. El conjunto de las funciones f : [a, b] → E que son de variacionacotada se suele denotar BV ([a, b], E). Si f ∈ BV ([a, b], E), para cada par de puntosa ≤ x < y ≤ b se cumple ‖f(x) − f(y)‖ ≤ V (f , [a, b]). De esta desigualdad se deduceque f es acotada ya que

‖f(x)‖ ≤ ‖f(a)‖ + V (f , [a, b]) para todo x ∈ [a, b]

Tambien se deduce que f es constante si y solo si V (f , [a, b]) = 0.Si f : [a, b] → (E, ‖ ‖) es de variacion acotada es facil ver que tambien lo es

respecto a cualquier norma ‖ ‖′ equivalente a la norma ‖ ‖ dada en E. La nocionde aplicacion de variacion acotada tambien se puede definir de modo analogo parafunciones con valores en un espacio metrico (E, d), utilizando las sumas V (f , p) =∑m

j=1 d(f(tj), f(tj−1)), pero puede ocurrir que f : [a, b] → (E, d) sea de variacion

76


acotada para la distancia d pero no lo sea para otra distancia equivalente (vease elejercicio 4.31).nota:(Para el lector familiarizado con la teorıa de redes): P(I) es un conjuntodirigido por refinamiento y (V (f , p))p∈P(I) es una red creciente de numeros realesque converge, en la recta real ampliada, hacia

lımp∈P(I)

V (f , p) = V (f , [a, b])

Definicion 4.18 Un camino γ : [a, b] → E, en un espacio normado (E, ‖ ‖) se diceque es rectificable cuando es de variacion acotada. En ese caso a la variacion totalse le llama longitud del camino: Long(γ) = V (γ, [a, b]).

Sabemos que si un camino γ en un espacio normado (E, ‖ ‖), es rectificable tambienlo es para cualquier norma equivalente ‖ ‖′ que se considere en E. Sin embargo elvalor numerico de su longitud depende esencialmente de la norma que se este usando.Observese que un segmento σ(t) = ty + (1 − t)x, 0 ≤ t ≤ 1, de origen x y extremoy, es un camino rectificable de longitud Long(σ) = ‖y − x‖.

No obstante, cuando se hable de la longitud de un camino en el espacio E = Rn seentendera, salvo mencion expresa de otra cosa, que se trata de su longitud euclıdea,es decir, la longitud calculada usando la norma euclıdea de Rn.

Proposicion 4.19 Si γ i : [ai, bi] → E, i = 1, 2, son caminos topologicamente equi-valentes, entonces γ1 es rectificable si y solo si lo es γ2 y en este caso

V (γ1, [a1, b1]) = V (γ2, [a2, b2]) es decir Long(γ1) = Long(γ2)

Dem: Por hipotesis existe una biyeccion continua h : [a1, b1] → [a2, b2] tal que γ1 =γ2 h. Como h es estrictamente monotona, queda establecida una biyeccion naturalp → p, entre las subdivisiones de [a1, b1] y las de [a2, b2] (si h es decreciente vienedada por p = (t0 < t1 < · · · < tm) → p = (h(tm) < h(tm−1) < · · · < h(t0)).

La conclusion se obtiene observando que V (γ1, p) = V (γ2, p).

nota: El resultado de la proposicion anterior tambien se cumple cuando γ1 = γ2hdonde h : [a1, b1] → [a2, b2] es monotona continua y sobreyectiva, pero no se suponeinyectiva. Basta tener en cuenta que en este caso la aplicacion p → p aunque no esbiyectiva, es sobreyectiva y se sigue verificando V (γ1, p) = V (γ2, p).

En virtud de la proposicion 4.19 se puede decir que un arco de curva es rectificablecuando una (y por consiguiente todas) sus representaciones parametricas lo son. Enese caso, todas las representaciones parametricas tienen la misma longitud que, pordefinicion, es la longitud del arco de curva.

Proposicion 4.20

a) Toda funcion monotona f : [a, b] → R es de variacion acotada y

V (f, [a, b]) = |f(b) − f(a)|

77


b) Si f : [a, b] → E cumple la condicion de Lipschitz,

‖f(x) − f(y)‖ ≤ M |x − y| para cada x, y ∈ [a, b]

entonces f es un camino rectificable y V (f , [a, b]) ≤ M |b − a|.

c) Todo camino derivable f : [a, b] → E con derivada acotada (en particular, todocamino de clase C1) es rectificable.

Dem: La demostraciones de a) y b) son rutinarias y se dejan al cuidado del lector.c) es consecuencia de b): Si f es derivable con derivada acotada, en virtud de 4.8 secumple la condicion de Lipschitz con M = sup‖f ′(x)‖ : x ∈ [a, b].

En la siguiente proposicion, si f no es de variacion acotada, la igualdad se cumplecon el convenio: +∞ + (+∞) = +∞, +∞ + u = u + (+∞) = +∞ si u ∈ R.

Proposicion 4.21 Si a ≤ x ≤ b, entonces V (f , [a, b]) = V (f , [a, x]) + V (f , [x, b]).Por lo tanto, si f es de variacion acotada (en particular, un camino rectificable)tambien lo es su restriccion a cualquier intervalo [x, y] ⊂ [a, b].

Dem: Si x = a o x = b el resultado es evidente. Supongamos a < x < b. Para cadap ∈ P([a, b]) sea px la subdivision obtenida anadiendo a p el punto x, y p′, p′′ lassubdivisiones que px induce en [a, x] y en [x, b] respectivamente.

V (f , p) ≤ V (f , px) = V (f , p′) + V (f , p′′) ≤ V (f , [a, x]) + V (f , [x, b])

y considerando el supremo de las cantidades V (f , p) resulta

V (f , [a, b]) ≤ V (f , [a, x]) + V (f , [x, b])

Recıprocamente, para cada p′ ∈ P([a, x]) y cada p′′ ∈ P([x, b]) sea p ∈ P([a, b]) lasubdivision formada con los puntos de p′ y p′′.

V (f , p′) + V (f , p′′) = V (f , p) ≤ V (f , [a, b])

Considerando primero el supremo de las cantidades V (f , p′) y luego el supremo delas cantidades V (f , p′′) resulta

V (f , [a, x]) + V (f , [x, b]) ≤ V (f , [a, b])

Definicion 4.22 Si f : [a, b] → E es de variacion acotada se llama variacion inde-finida de f a la funcion v : [a, b] → [0, +∞) definida por

v(x) = V (f , [a, x]) si a < x ≤ b, v(a) = 0.

En virtud de la proposicion 4.21, la variacion indefinida v es una funcion crecienteque cumple ‖f(x) − f(y)‖ ≤ V (f , [x, y]) = v(y) − v(x) para todo [x, y] ⊂ [a, b].

78


Teorema 4.23 En las condiciones de la definicion 4.21, f es continua por la iz-quierda (resp. derecha) en x ∈ (a, b] (resp. x ∈ [a, b) ), si y solo si v es continuapor la izquierda (resp. derecha) en x. En particular, si f es un camino rectificable delongitud L, su variacion indefinida v : [a, b] → L es una funcion creciente continuay sobreyectiva.

Dem: Supongamos que f es continua por la izquierda en x ∈ (a, b]. Segun la defini-cion de V (f , [a, x]), dado ǫ > 0 existe p ∈ P([a, x]) tal que

V (f , p) ≥ V (f , [a, x]) − ǫ/2

Al refinar p se conserva la desigualdad anterior y anadiendo un punto si es necesariopodemos suponer que p = (t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = x), donde tn−1 ha sidoelegido suficientemente proximo a x para que, en virtud de la continuidad por laizquierda de f en x, se pueda asegurar que

tn−1 ≤ t ≤ x ⇒ ‖f(t) − f(x)‖ < ǫ/2

En estas condiciones, si tn−1 < t < x se cumple

v(t) = V (f , [a, t]) ≥ V (f , [a, tn−1]) ≥n−1∑

i=1

‖f(ti) − f(ti−1)‖

= V (f , p) − ‖f(x) − f(tn−1)‖ ≥ V (f , [a, x]) − ǫ/2 − ǫ/2 = v(x) − ǫ

y queda demostrado que v es continua por la izquierda en x. Analogamente demues-tra la continuidad por la derecha, cuando x ∈ [a, b).

Recıprocamente, teniendo en cuenta que para cada par de puntos a ≤ x < y ≤ bse verifica ‖f(x) − f(y)‖ ≤ V (f , [x, y]) = v(y)− v(x), es inmediato que f es continuapor la izquierda (resp. derecha) en cada punto donde v sea continua por la izquierda(resp. derecha).

Teorema 4.24 Si f : [a, b] → E es un camino de clase C1 su variacion indefinidav(t) = V (f , [a, t]) tambien lo es y v′(x) = ‖f ′(x)‖ para cada x ∈ [a, b]. Por lo tanto

V (f , [a, b]) =

∫ b

a

‖f ′(x)‖ dx

Dem: Si f es derivable con derivada continua ya hemos indicado en 4.20 que f

es de variacion acotada y por lo tanto podemos considerar su variacion indefinida.Probaremos en primer lugar que si x < b entonces v es derivable por la derecha enx con v′

d(x) = ‖f ′(x)‖.Si x < s ≤ b sea M(x, s) = max‖f ′(t)‖ : x ≤ t ≤ s. En virtud del teorema del

incremento finito, para todo t, t′ ∈ [x, s] se verifica ‖f(t) − f(t′)‖ ≤ M(x, s)|t − t′|luego, en virtud de 4.20 b)

V (f , [x, s]) ≤ M(x, s)|s − x|

79


Como f ′ es continua en x, dado ǫ existe δ > 0 tal que

t ∈ [a, b], |t − x| < δ ⇒ ‖f ′(t) − f ′(x)‖ < ǫ

Sea s ∈ (a, b] tal que |s − x| < δ. Entonces para todo t ∈ [x, s] se cumple ‖f ′(t)‖ ≤‖f ′(x)‖ + ǫ luego M(x, s) ≤ ‖f ′(x)‖ + ǫ y se obtiene

v(s) − v(x) = V (f , [x, s]) ≤ (‖f ′(x)‖ + ǫ)|s − x| (4.1)

Por otra parte, utilizando la definicion de derivada y la continuidad de la norma

‖f ′(x)‖ = lıms → x

∥

∥

∥

∥

f(s) − f(x)

s − x

∥

∥

∥

∥

y podemos suponer que el numero δ > 0 ha sido elegido de modo que para todos ∈ (x, b] con |s − x| < δ se cumple la desigualdad

‖f ′(x)‖ − ǫ ≤∥

∥

∥

∥

f(s) − f(x)

s − x

∥

∥

∥

∥

(4.2)

Combinando 4.1 y 4.2 con la desigualdad ‖f(s) − f(x)‖ ≤ v(s) − v(x) se concluyeque para todo s ∈ (x, b] con |s − x| < δ se verifica

‖f ′(x)‖ − ǫ ≤ v(s) − v(x)

s − x≤ ‖f ′(x)‖ + ǫ

Esto prueba que v es derivable por la derecha en x y que v′d(x) = ‖f ′(x)‖. Analo-

gamente se prueba, cuando a < x, que v es derivable por la izquierda en x conv′

i(x) = ‖f ′(x)‖. Finalmente, en virtud del teorema fundamental del calculo

V (f , [a, b]) = v(b) − v(a) =

∫ b

a

v′(x)dx =

∫ b

a

‖f ′(x)‖dx

Dados dos caminos γ1 : [a1, b1] → E, y γ2 : [a2, b2] → E tales que b1 = a2, si elextremo del primero coincide con el origen del segundo, la yuxtaposicion γ = γ1∨γ2,es el camino γ : [a1, b2] → E definido por

γ(t) = γ1(t) si t ∈ [a1, b1]; γ(t) = γ2(t) si t ∈ [a2, b2]

Analogamente se define la yuxtaposicion γ = γ1 ∨γ2 ∨ · · ·∨γn de un numero finitode caminos. que, en virtud de 4.21, sera rectificable, si y solo si cada γk lo es, y enese caso Long(γ) =

∑mk=1 Long(γk). Se dice que un camino γ : [a, b] → E es de

clase C1 a trozos o regular a trozos cuando se puede expresar como yuxtaposicionde un numero finito de caminos de clase C1, es decir, cuando existe una subdivisiona = x0 < x1 < x2 · · · < xn = b tal que cada γk = γ|[xk−1,xk] es de clase C1.

En los puntos xk, 1 < k < n, existen las derivadas laterales γ′i(xk), γ

′d(xk)

pero no esta asegurada la derivabilidad. Es decir, los caminos regulares a trozosson derivables excepto en un conjunto finito de puntos, donde existen las derivadaslaterales y son distintas. Por ello, a los correspondientes puntos de la imagen γ([a, b])se les llama vertices del camino.

El teorema 4.24 se extiende facilmente al caso de los caminos regulares a trozos.

80


Teorema 4.25 Todo camino γ : [a, b] → E regular a trozos es rectificable y sulongitud viene dada por la integral

Long(γ) =

∫ b

a

‖γ ′(t)‖ dt

(La funcion ‖γ ′(t)‖ se supone definida de modo arbitrario en los puntos donde laderivada no existe).

Dem: Por hipotesis, hay una subdivision a = x0 < x1 < x2 < · · · < xm = b tal quecada γk = γ|[xk−1,xk] es de clase C1. Segun 4.24 cada γk es rectificables con

Long(γk) =

∫ xk

xk−1

‖γ ′

k(t)‖ dt

(en los extremos de [xk−1, xk] el valor de γ′k es el de la correspondiente derivada

lateral). Entonces γ = γ1 ∨ γ2 ∨ · · · ∨ γn tambien es rectificable y

Long(γ) =n∑

k=1

Long(γk) =n∑

k=1

∫ xk

xk−1

‖γ ′

k(t)‖ dt

La funcion ‖γ ′(t)‖ no esta definida en los puntos xk, 1 < k < n. Si en estos puntosse supone definida de modo arbitrario se obtiene una funcion integrable en cadaintervalo [xk−1, xk] con

∫ xk

xk−1

‖γ ′(t)‖ dt =

∫ xk

xk−1

‖γ ′

k(t)‖ dt

(observese que ‖γ ′k‖ es continua en [xk−1, xk] y coincide con ‖γ ′‖ en (xk−1, xk)).

En virtud del teorema de adicion de la integral respecto al intervalo se concluyeque ‖γ ′‖ es integrable en [a, b] y que

Long(γ) =

n∑

k=1

∫ xk

xk−1

‖γ ′

k(t)‖ dt =

n∑

k=1

∫ xk

xk−1

‖γ ′(t)‖ dt =

∫ b

a

‖γ ′(t)‖ dt

Caminos referidos al arco. Cuando γ : [a, b] → E es un camino rectificablede longitud L, su variacion indefinida v(t) = V (γ, [a, t]) se suele llamar abscisacurvilınea del camino. En virtud de 4.21 y 4.23 la abscisa curvilınea es una funcioncreciente continua y sobreyectiva v : [a, b] → [0, L] cuya interpretacion fısica es obvia:Si se piensa que t es el tiempo, entonces s0 = v(t0) es la longitud del camino queha recorrido el punto γ(t) desde el instante inicial t = a hasta el instante t = t0.Cuando el camino es de clase C1, segun esta interpretacion fısica, ∆s ≈ v′(t)∆t es unvalor aproximado de la longitud que recorre la partıcula en un intervalo de tiempopequeno (t, t + ∆t), luego v′(t) es la razon de cambio instantanea de la longitud

81


recorrida, dentro de la curva, frente al tiempo. A esta razon de cambio se le suelellamar celeridad o rapidez. Segun el teorema 4.24 la rapidez v′(t) es precisamente lalongitud ‖γ ′(t)‖ del vector velocidad.

Si γ no es inyectiva puede ocurrir que γ(t) pase por un mismo punto x =γ(t1) = γ(t2) en dos instantes distintos t1 < t2, de modo x puede tener dos abscisascurvilıneas distintas y en ese caso convendra precisar diciendo que si = v(ti) es laabscisa curvilınea de x que corresponde al valor ti del parametro.

Si v es estrictamente creciente con el cambio de variable t = v−1(s) se obtiene larepresentacion parametrica γ(s) = γ(v−1(s)), definida en [0, L]. El camino γ se diceque esta referido al arco como parametro ya que el punto γ(s) es el punto de la curvaal que se llega despues de recorrer sobre la misma un trayecto de longitud s. Tambiense dice que el parametro de γ es el arco. Se puede formalizar esta definicion diciendoque un camino rectificable γ, de longitud L, esta referido al arco como parametrocuando su dominio es [0, L] y para cada s ∈ [0, L] la longitud de γ|[0,s] es s.

En particular, cuando γ es de clase C1 y γ′(t) 6= 0 para todo t ∈ [a, b] se cumple

que la abscisa curvilınea v(t) es estrictamente creciente, ya que v′(t) = ‖γ ′(t)‖ > 0para todo t ∈ [a, b]. Si s = v(t), en virtud de la regla de la cadena, v′(t) = ‖γ ′(t)‖ =‖γ ′(s)v′(t)‖ = ‖γ ′(s)‖v′(t), luego ‖γ ′(s)‖ = 1 para todo s ∈ [0, L]. Se puede obtenerlo mismo usando el teorema 4.24 ya que la variacion indefinida de γ es v(s) = s.

4.5. Integral respecto al arco

Cuando la abscisa curvilınea del camino rectificable γ no es estrictamente cre-ciente, aunque no se puede definir el camino equivalente γ, sin embargo es posibledefinir un camino, que seguimos denotando γ, que esta referido al arco como parame-tro, tiene su misma longitud y verifica γ v = γ. Este camino se obtiene de modoinformal olvidando los intervalos de tiempo durante los que γ(t) esta parado. Ası seconsigue un camino sin paradas cuya abscisa curvilınea es estrictamente creciente ypor lo tanto admite una parametrizacion equivalente γ cuyo parametro es el arco.Formalmente γ queda definido mediante la siguiente proposicion:

Proposicion 4.26 Sea γ : [a, b] → E un camino rectificable de longitud L y v(t) =V (γ, [a, t]) su abscisa curvilınea. Entonces existe una unico camino γ : [0, L] → Etal que γ(v(t)) = γ(t) para todo t ∈ [a, b]. El camino γ es rectificable, de longitud Ly esta referido al arco como parametro.

Dem: Como v : [a, b] → [0, L] es continua y sobreyectiva, para cada s ∈ [0, L] existet ∈ [a, b] tal que s = v(t). Si s = v(t) = v(t′) con t < t′ entonces V (γ, [t, t′]) =v(t′) − v(t) = 0 luego γ es constante en [t, t′]. Esto prueba que γ es constanteen el intervalo t ∈ [a, b] : v(t) = s, con lo cual se puede definir γ(s) como esevalor constante. Evidentemente γ(s) = γ(t) siempre que s = v(t). En virtud dela nota que sigue a la proposicion 4.19 el camino γ es rectificable de longitud L yesta referido al arco como parametro ya que si s ∈ [0, L] y v(t) = s se cumple

V (γ, [0, s]) = V (γ v, [a, t]) = V (γ, [a, t]) = v(t) = s

82


Definicion 4.27 Si γ([a, b]) → E es rectificable y g : γ([a, b]) → R es acotada, laintegral de g respecto al arco del camino γ se define mediante la integral de Riemann∫ L

0g(γ(s))ds siempre que esta integral exista. Para ella se usa la notacion

∫

g ‖dγ‖ =

∫ L

0

g(γ(s))ds

Toda funcion continua sobre un arco de curva rectificable es integrable respecto alarco. Cuando g es la funcion 1 el valor de la integral es la longitud del camino γ.

Si γ es de clase C1, en virtud del teorema 4.24 la abscisa curvilınea v(t) tambienlo es, y efectuando el cambio de variable s = v(t) resulta

∫

g ‖dγ‖ =

∫ L

0

g(γ(s))ds =

∫ b

a

g(γ(t))v′(t)dt =

∫ b

a

g(γ(t)) ‖γ ′(t)‖ dt

y esta ultima formula es la que ha motivado la notacion utilizada para la integralrespecto al arco. Mas generalmente, si γ es regular a trozos se obtiene una expresionanaloga pero teniendo en cuenta que ahora ‖γ ′(t)‖, no esta definida en un conjuntofinito de puntos y se pueden hacer as mismas observaciones que se hicieron en lademostracion de 4.25. Para relacionar el concepto que se acaba de definir con algoconcreto consideremos varios ejemplos:

a) A lo largo de un arco de curva plana simple C, situada en el suelo y de ecuacionesparametricas x = x(t), y = y(t), t ∈ [0, 1] se levanta una valla V de altura variable.Si h(x, y) ≥ 0 es la altura de la valla en el punto (x, y) ∈ C, podemos tomar comoarea de la valla el valor de la integral de h sobre C. Este es un caso particular dela formula general, que veremos mas adelante, para hallar el area de un trozo desuperficie:

Area(V ) =

∫ 1

0

h(x(t), y(t))√

x′(t)2 + y′(t)2dt

b) Un alambre en el espacio tridimensional tiene la forma del arco de curva Ccuya representacion parametrica es γ(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [0, 1]. Si p(x) es ladensidad de masa en el punto x ∈ C entonces la integral de p sobre C proporcionala masa total del alambre:

M =

∫

p‖dγ‖ =

∫ 1

0

p(γ(t))√

x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt

c) Analogamente, si T = g(x) es la temperatura del punto x del alambre y L =Long(γ) es su longitud, podemos usar la integral de g sobre C para obtener latemperatura media del alambre

Tm =1

L

∫

g‖dγ‖

Antes de demostrar la siguiente proposicion conviene hacer una observacion pre-liminar recogida en el siguiente lema

83


Lema 4.28 Sean γi : [ai, bi] → E, i = 1, 2, caminos rectificables topologicamenteequivalentes y sea h : [a1, b1] → [a2, b2] una biyeccion continua tal que γ1 = γ2 h.Si h es creciente se verifica γ1 = γ2, y si h es decreciente entonces γ1(s) = γ2(L−s),donde L = Long(γ1) = Long(γ2).

Dem: Si vi es la abscisa curvilınea de γ i, (i = 1, 2), para cada 0 ≤ s ≤ L existet ∈ [a1, b1] tal que s = v1(t). Si h es creciente y t′ = h(t), en virtud de la nota quesigue a 4.19,

v1(t) = V (γ1, [a1, t]) = V (γ2, [a2, t′]) = v2(t

′)

luego γ1(s) = γ1(t) = γ2(t′) = γ2(s).

Cuando h es decreciente, la imagen de [a1, t] es [t′, b2], luego

v1(t) = V (γ1, [a1, t]) = V (γ2, [t′, b2]) = v2(b2) − v2(t

′) = L − v2(t′)

es decir, v2(t′) = L − s. Por consiguiente γ1(s) = γ1(t) = γ2(t

′) = γ2(L − s).

Proposicion 4.29 Sea γ : [a, b] → E un camino rectificable y g : γ([a, b]) → R

una funcion integrable respecto al arco.

a) Si h : [c, d] → [a, b] es un homeomorfismo y γ1 = γ h entonces las integrales∫

g ‖dγ‖,∫

g ‖dγ1‖, existen simultaneamente y tienen el mismo valor.

b) Si γ = γ1 ∨ γ2 entonces g es integrable sobre γ1 y sobre γ2 y∫

g ‖dγ‖ =

∫

g ‖dγ1‖ +

∫

f ‖dγ2‖

c) Si M = sup|g(x)| : x ∈ γ([a, b]) entonces

∣

∣

∣

∣

∫

g ‖dγ‖∣

∣

∣

∣

≤ MLong(γ)

Dem: a) Segun el lema 4.28 γ1(s) = γ(s) si h es creciente y γ1(s) = γ(L − s) si hes decreciente. En el primer caso a) es consecuencia directa de la definicion. En elsegundo caso tambien lo es despues de hacer el cambio de variable x = L − s en laintegral

∫ L

0g(γ1(x))ds.

b) Si Li = Long(γ i) y L = Long(γ) se tiene L = L1 + L2 luego∫ L

0

g(γ(s))ds =

∫ L1

0

g(γ(s))ds +

∫ L

L1

g(γ(s))ds

Es facil ver que γ1(s) = γ(s) si s ∈ [0, L1] y γ2(x) = γ(x + L1) si x ∈ [0, L2].Haciendo el cambio de variable s = x + L1 en la segunda integral se obtiene elresultado.c) Es inmediato.

La propiedad a) en la proposicion anterior permite definir la integral de unafuncion sobre un arco de curva rectificable a traves de cualquier representacionparametrica ya que todas sus representaciones parametricas proporcionan la mismaintegral. Es decir, la integral de una funcion sobre un camino rectificable realmentees una nocion asociada al arco de curva definido por el camino.

84


4.6. Ejercicios resueltos

Ejercicio 4.30 Demuestre que una funcion real f : [a, b] → R es de variacion aco-tada si y solo si existe una pareja de funciones crecientes g, h : [a, b] → R tal quef = g − h. Las funciones g, h se pueden elegir continuas si f es continua.

solucion

Basta tomar g = v y h = v − g con v(x) = V (f, [a, x]). Observese que h = v − f escreciente pues si a ≤ x < y ≤ b se verifica

v(y) − v(x) = V (f, [x, y]) ≥ |f(y) − f(x)| ≥ f(y) − f(x)

es decir h(x) ≤ h(y). Despues del teorema 4.23 es claro que g y h son continuas enlos puntos donde f es continua.

Ejercicio 4.31 Es bien sabido que d′(x, y) = |x3 − y3| es una distancia equivalentea la distancia usual de R, d(x, y) = |x−y|. Compruebe que la funcion f : [0, 1] → R,f(t) = t cos(π/t), si t ∈ (0, 1], f(0) = 0, no es de variacion acotada para la distanciad pero es de variacion acotada para la distancia d′.

solucion

Si pn = (0 < 1/n < 1/(n−1) < · · · < 1/2 < 1), como cos πk = − cos π(k−1) = ±1,resulta |f(1/k)− f(1/(k− 1)| = 1/k + 1/(k− 1) ≥ 2/k luego la sucesion V (f, pn) ≥∑n

k=1(2/k) no esta acotada, y por lo tanto f no es de variacion acotada para ladistancia d.

Es claro que f es de variacion acotada para la distancia d′ si y solo si f 3 es devariacion acotada para la distancia d. Es facil ver que f 3 es derivable con derivadaacotada, y utilizando 4.20 b) se obtiene que f 3 es de variacion acotada para ladistancia d, lo que significa que f es de variacion acotada para la distancia d′.

Ejercicio 4.32 Sea (E, ‖ ‖ un espacio normado y f : [a, b] → E es de variacionacotada demuestre que el conjunto de sus puntos de discontinuidad es numerable.Si E es completo demuestre tambien que todas las discontinuidades de f son deprimera especie (e.d. en los puntos de discontinuidad existen los lımites laterales)

solucion

La primera afirmacion es consecuencia directa del teorema 4.23 pues el conjunto delos puntos de discontinuidad de la funcion creciente v es numerable. La funcion cre-ciente v tiene lımites laterales en todos los puntos, y por lo tanto cumple en todosellos la condicion de Cauchy para la existencia de los lımites laterales. Entonces,utilizando la desigualdad ‖f(x) − f(y)‖ ≤ v(y)−v(x) se obtiene que f tambien cum-ple, en todos los puntos, la condicion de Cauchy para la existencia de los lımiteslaterales. Por lo tanto, cuando E sea completo, se puede asegurar que f tiene lımites

85


laterales en todo punto.

nota: Las funciones con lımites laterales en todo punto son regladas (lımites uni-formes de funciones escalonadas) y las discontinuidades de estas funciones tambienforman un conjunto numerable (vease el ejercicio propuesto 3.8.21).

Por otra parte, cuando E = Rn, si f : [a, b] → R

n es de variacion acotada, envirtud de 4.30 y del ejercicio propuesto 4.7.14, cada componente de f es diferencia dedos funciones crecientes de modo que, en este caso, se puede obtener directamentela existencia de los lımites laterales sin acudir a la condicion de Cauchy.

86


4.7. Ejercicios propuestos

♦ 4.7.1 Sea (E, ‖ ‖) un espacio normado real cuya norma procede de un productoescalar y f : (a, b) → E una funcion derivable: Demuestre las siguientes afirmaciones

a) La funcion t → ‖f(t)‖ es constante si y solo si los vectores f(t) y f ′(t) sonortogonales para todo t ∈ (a, b).

b) Si para cada t ∈ (a, b) es f(t) 6= 0 y los vectores f(t), f ′(t) son linealmentedependientes entonces f es de la forma f(t) = α(t)v donde α : (a, b) → R esderivable y v ∈ E.

♦ 4.7.2 Sea f : (a, b) → Rn derivable tal que f ′(t) 6= 0 para todo t ∈ (a, b) y p ∈R

n\f((a, b)). Se supone que existe t0 ∈ (a, b) tal que q = f(t0) es el punto de f((a, b))mas cercano a p, es decir,

‖p − q‖2 ≤ ‖p − f(t)‖2 para todo t ∈ (a, b)

Demuestre que el vector p− q es ortogonal a la curva f(t) en el punto q = f(t0).

♦ 4.7.3 Demuestre las siguientes propiedades de reflexion de las conicas:

i) En un reflector parabolico, los rayos paralelos al eje se reflejan pasando por elfoco.

ii) Los rayos luminosos que parten de uno de los focos de un reflector elıptico sereflejan pasando por el otro foco.

iii) Los rayos luminosos que dirigidos a uno de los focos de un reflector hiperbolicose reflejan pasando por el otro foco.

♦ 4.7.4 Demuestre que en el movimiento de una partıcula el producto escalar delvector velocidad por el vector aceleracion es igual a la mitad de la derivada delcuadrado de la celeridad.

♦ 4.7.5 Una partıcula se mueve recorriendo con velocidad escalar uniforme v lacircunferencia de centro (0, 0) y radio r. Si r(t) es la posicion de la partıcula enel instante t demuestre que los vectores r(t) y r′′(t) son ortogonales a r(t), luegor′′(t) = k(t)r(t) donde k(t) ∈ R. Deduzca que k(t) es constante y que el vectoraceleracion r′′(t) apunta hacia el origen y que su longitud es v2/r.(Indicacion: Derivar 〈 r(t) | r′(t) 〉 = 0).

♦ 4.7.6 En un movimiento plano, una partıcula r(t) se mueve de modo que el vectoraceleracion siempre es radial (e.d. r′′(t) = α(t)f(t) con α(t) > 0). Demuestre queesto ocurre si y solo si el area barrida por el vector de posicion r(t) es proporcionalal tiempo empleado.

♦ 4.7.7 Sea (E, ‖ ‖) un espacio normado completo. Se supone que f : (a, b) → Ees derivable por la derecha en cada t ∈ (a, b) con ‖f ′d(t)‖ ≤ M para todo t ∈ (a, b).Demuestre las siguientes afirmaciones:

87


a) f se puede extender a una funcion continua f : [a, b] → E.

b) Si existe el lımite lımt → b f′d(t) = w entonces f es derivable por la izquierda

en b con f′

i(b) = w.

Deduzca de lo anterior que toda funcion continua f : (a, b) → E con derivada por laderecha continua es derivable.

♦ 4.7.8 Obtenga la longitud de los siguientes arcos de curva:

a) Grafica de la funcion f(x) = |x|3/2, sobre el intervalo −a ≤ x ≤ a.

b) Arco de cicloide f(t) = (t − sen t, 1 − cos t), t ∈ [0, 2π].

♦ 4.7.9 Obtenga una parametrizacion equivalente del arco de helice

γ(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ 2π

en la que el parametro sea el arco.

♦ 4.7.10 Un alambre tiene la forma de la curva C ⊂ R3 y su densidad de masa en

(x, y, z) ∈ C viene dada por la funcion continua p(x, y, z). La masa total del alambrees M =

∫

p(x, y, z)ds, su centro de gravedad es el punto (x0, y0, z0) de coordenadas

x0 =1

M

∫

C

xp(x, y, z)ds; y0 =1

M

∫

C

yp(x, y, z)ds; z0 =1

M

∫

C

zp(x, y, z)ds

y su momento de inercia respecto a un eje E es

IE =

∫

C

δ2(x, y, z)p(x, y, z)ds

donde δ(x, y, z) es la distancia del punto (x, y, z) al eje E.

1) Calcule el centro de gravedad de un alambre, con distribucion uniforme demasa, que tiene forma de semicircunferencia.

2) Calcule la masa de un alambre que sigue la interseccion del plano x+y+z = 1con la esfera x2 + y2 + z2 = 1, cuando su densidad de masa viene dada porp(x, y, z) = x2 + y2 + z2 gramos por unidad de longitud.

3) Un alambre tiene la forma de la helice f(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ 2π y sufuncion de densidad es p(x, y, z) = x2 + y2 + z2. Obtenga:

i) La masa total del muelle en forma de helice. ii) La coordenada z0 de sucentro de gravedad. iii) Su momento de inercia respecto al eje OZ.

♦ 4.7.11 Calcule el centro de gravedad de un arco de cicloide

f(t) = (t − sen t, 1 − cos t), 0 ≤ t ≤ π.

(se supone una distribucion uniforme de la masa)

88


♦ 4.7.12 Calcule el area de la valla construida sobre la curva plana f(t) = (cos3 t, sen3 t)t ∈ [0, π/2], con altura variable h(x, y) = 1 + y/3.

♦ 4.7.13 Sea f : [a, b] → Rn un camino de clase C2 y longitud L tal que f ′(t) 6= 0para cada t ∈ (a, b). Si F : [0, L] → Rn es la representacion parametrica canonica queutiliza el arco como parametro y s(t) es la funcion la abscisa curvilınea demuestre:

a) s(t) es de clase C2 y s′′(t) =1

s′(t)〈f ′(t) | f ′′(t)〉

b) ‖F′′(s(t))‖ = ‖f ′(t)‖−3√

‖f ′(t)‖2 ‖f ′′(t)‖2 − 〈f ′(t) | f ′′(t)〉2

♦ 4.7.14 f : [a, b] → Rn es de variacion acotada si y solo si lo son todas sus com-ponentes fj : [a, b] → R, 1 ≤ j ≤ n. (En Rn se puede considerar la norma usual, ocualquier otra, dado que todas las normas son equivalentes).

♦ 4.7.15 Si (E, ‖ ‖) es un espacio normado y f , g : [a, b] → E, obtenga la desigual-dad

V (f + g, [a, b]) ≤ V (f , [a, b]) + V (g, [a, b])

Como consecuencia la suma de funciones de variacion acotada es de variacion aco-tada y BV (I, E) es un espacio vectorial (sobre el mismo cuerpo que E).

♦ 4.7.16 Demuestre que el producto de dos funciones de variacion acotada f, g :[a, b] → R es de variacion acotada. Enuncie y demuestre los resultados analogosreferentes al producto de funciones con valores complejos, al producto de una funcionescalar con una funcion vectorial, y al producto escalar de dos funciones vectoriales(cuando la norma procede del producto escalar).

♦ 4.7.17 Si f : [a, b] → R ( o C) es de variacion acotada y |f(t)| ≥ m > 0 paratodo t ∈ [a, b] demuestre que 1/f tambien es de variacion acotada.

♦ 4.7.18 Si f : R → R es un polinomio y x1 < x2 · · ·xm son los ceros de f ′ quepertenecen al intervalo [a, b], demuestre que

V (f, [a, b]) = |f(a) − f(x1)| + |f(x2) − f(x3)| + | · · ·+ |f(b) − f(xm)|

♦ 4.7.19 Si f : [a, b] → R es de variacion acotada y g : R → Rn es de clase C1

demuestre que g f : [a, b] → Rn es de variacion acotada.

♦ 4.7.20 Sea f : [a, b] → R integrable Riemann. Demuestre que g(x) =∫ x

af(t)dt

es de variacion acotada en [a, b] y V (g, [a, b]) =∫ b

a|f(t)|dt.

♦ 4.7.21 Demuestre que para todo a > 0 la funcion f(x) =∑

∞

n=1 2−n sen(10nx) noes de variacion acotada sobre [0, a].

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♦ 4.7.22 Dado un espacio normado (E, ‖ ‖) completo demuestre que

‖f‖ = ‖f(a)‖ + V (f , [a, b])

define una norma en el espacio vectorial BV ([a, b], E) de las funciones de variacionacotada y que con esta norma el espacio es completo.

Si NBV ([a, b], E) es el subespacio vectorial de BV ([a, b], E) formado por lasfunciones que se anulan en a y son continuas por la izquierda en cada punto de(a, b) compruebe que NBV ([a, b], E) es un subespacio cerrado de BV ([a, b], E).

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Cap´ıtulo 4 Funciones vectoriales de una variable