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7/26/2019 Unidad 3 Transformada de Laplace Para Ecuaciones de
Orden Superior
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[ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR] UNIDAD 3
3.6 Transformada de Laplace para ecuaciones de orden
superior.
No conviene aplicar la definicin 1.5.1 cada vez que se desea
hallar la transformada
de Laplace de una funcin ft!" por e#emplo$ la inte%racin por
partes que se usa para
evaluar$ di%amos L{ e1
t
&
sen 3t' es imponente ( el calificativo es modesto. )n
ladescripcin si%uiente presentaremos varios pro*lemas que ahorran
tra*a#o$ sin necesidad de
recurrir a la definicin de la transformada de Laplace. )n
realidad es relativamente f+cil
evaluar transformadas como L{ e,tcos -t'$L{t3sen &t' ( L{t1
e/1'$ siempre ( cuando
conozcamos L0cos -t'$ L0sen &t' ( L0t1'$ respectivamente. i
*ien pueden formar ta*las
e2tensas ( en el apndice III aparece una ta*la ! se aconse#a
conocer las transformadas de
Laplace de las funciones *+sicas como tn$ eat$ sen 4t$ senh 4t (
cosh 4t.
i conocemos L0ft!' 6s!$ podemos hallar la transformada de
Laplace L0eat ft!'
sin m+s que trasladar$ o desplazar $ 6s! a 6s/a!. )ste resultado
se llama primer teorema
de traslacin.
D)789:A;I8N La demostracin es inmediata$ porque se%$ la %rafica
es trasladada
a
unidades hacia la izquierda. A veces es
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Orden Superior
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)n dondeass
indica que remplazamos s en 6s! con s/a.
3.6.1 Solucion de una ecuacin diferencial mediante Transformada
de Laplace.
Nuestra meta es usar la transformada de Laplace para resolver
ecuaciones
diferenciales. ?ara ello necesitamos calcular e2presiones como
L
dx
dy
( L
&
&
dx
yd
if(t), f(t),,f(n-1)(t),son continuas para t ( de orden
e2ponencial$ ( sif n(t)es continua
parte por parte para t $ entonces
L { f n(t)} =!...!! 11 nnn ffssFs, en donde F(s) = L {f(t)}
(1)
Ejemplo 1
upon%amos que deseamos encontrar la transformada de la tercera
derivada dey$ o sea
L
!@!A!!&3
3
3
ysyyssYsdx
yd=
)l procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales mediante
9ransformada de
Laplace se puede resumir de la si%uiente manera
Unidad 1 Pgina 40
L eatf t L f t,ass
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Unidad 1 Pgina 41
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Una venta#a importante de este mtodo es que siempre se o*tiene
una solucin particular de
la ecuacin diferencial$ (a que utilizamos las condiciones
inBciales al principio del
desarrollo de la transformacin de la ecuacin.
Unidad 1 Pgina 42
Ejemplo 2
:esolver
teyy ,,A =+
$ su#eta a
&!. =y
olucin" ?rimero aplicamos la transformada a cada miem*ro de la
ecuacin
diferencial dada$L 0(C ' ,L 0(' L 0e/,t'
Lue%o usamos la formula 1! para transformar las derivadas que
aparecen en la
ecuacin$ adem+s sustituimos las condiciones ( ! &$ con lo
cual tendremos
,
1!,&!
+=+s
sYssY
E
&,
1F,!G +
+=+s
ssY
,
H&!,!
++=+
s
sssY
E
!,!,
H&!
+++=ss
ssY
&!,
1
,
&!
++
+=
sssY
{ }
++
+=
&!,
1
,
&!
sssy
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A
continuacin presentamos$ de forma simplificada$ al%unos e#emplos
resueltos utilizando
transformada de Laplace"
Unidad 1 Pgina 43
Ejemplo 4 :esolver
tyyy =+ H-@$ su#eta a
.!. =y
1!.A =y
&
& 1!H.!-1!s
sYssYsYs =+
&
&
&
& 111
FH-!Gs
s
ssssY
+=+=+
&
&1
F3FG3!Gs
ssssY +
=
&&
&
!31!
+= ss ssY
E
&& H1
&I&
!3H1
!3&I&!
sssssY +++=
E
Aplicando la transformada inversa a la i%ualdad anterior se
tiene
Ejemplo 3
:esolver
.,A5@ =++ yyysu#eta a
1!. =y .!.A =y
olucin" Aplicamos transformada a am*os lados de la ecuacin
L 0 (J ' 5L 0 (C ' ,L 0(' L 0 '
Lo cual nos conduce a
!,5!5!& =+++ sYssYssYs
5F,5!G & =++ ssssY
5!F1!,!G =++ ssssY
E
!1!,
5!
++
=
ss
ssY
L-101
&
,
3!
+
+=
sssy
'
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a!
tetyyy &3,A,@ =+su#eta a
.!. =y .!.A =y
,!&
-!,!,!&
=+
ssyssysys
,!&
-F,,!G &
=+
ssssy
E -!&
-!
=
ssy
L
{ }
=
-!&
-!1
ssy
*!
sentyy =+@su#eta a
1!. =y 1!.A =y
1
1!1!
&
&
+=++s
syssys
11
1F1!G
&
& ++
=+ ss
ssy &&
&
!1
!1!
+
+=
s
ssssy
&&&& !1
1
1
1
1!
++
+
+=
sss
ssy
c!
teyy t cosA@ = su#eta a
.!. =y .!.A =y
1!1
!1!!
&
&
+
=
s
sssysys
E
1!1
1F!G
&
&
+
=
s
ssssy
Unidad 1 Pgina 44
tetty &5
K5-! =
tsentsenttty += cos!
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( ) ( ) &51
1!1
1
1!1&!
&& +
++
+
=
ss
ssy
( ) ( ) ( ) ( )1!1&1
1!1&1
1!1&&
1!1&&!
&&&& +
+=
+=
++=
sss
ss
sssy
&
1
&
1cos
&
1! += senttesy t
Ejercicios seccin 5.5.4
Resuelve las siguientes ecuaciones por el mtodo de Transformada
de Laplace
1.
1-AA =+ yy
;
&! =y
,
&!A =y
2.
AA =yy
;
1! =y
,
1!.A =y
3.
5A-AA =++ yyy
;
! =y
,
3!A =y
4.
1IALAA =+ yyy
;
,! =y
,
1!A =y
5.A&AA&
=+ yyy
;1!
=y
,!A
=y
6.A&AA
=+ yyy
;5!
=y
,1!A
=y
7.
&AAA =++ yyy
;
! =y
,
!A =y
8.
3A,AA, = yyy
;
1! =y
,
5!A =y
9.
&A5AA = xyy
;
1! =y
,
&!A =y
10.
xeyyy &1-A5AA =+
;
1! =y
,
1!.A =y
11.
11,1,&A3AA& & =+ xxyyy
! =y
,
!A =y
10.
xyy -AAA5 =+
! =y
,
1!A =y
13
1--,AA = yy
;
1!. =y
,
!A =y
12.
xyy =+ AAA
;
1! =y
,
!A =y
Unidad 1 Pgina 45
sentetety tt
&
1cos
&
1
&
1! =
