UNIDAD 8 - 2º ESO

COLEGIO “LA PURÍSIMA” – RELACIÓN DE EJERCICIOS DE REPASO 2ºESO

UNIDAD 8: GEOMETRÍA DEL PLANO.

Tipo 1: Teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras

1.- Comprueba si las siguientes ternas son pitagóricasa) 8, 14 y 12; b) 12, 35 y 37; c) 18, 13, 12; d) 7,5, 6 y 4,5

Solución: No, Sí, No, Sí.

2.- Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 2,3cm y 4,5cm.

Solución: 5,0537cm

3.- Determina el área de un terreno en forma triangular, con un ángulo recto, si el lado mayor mide 26 metros y uno de los lados que forman el ángulo recto mide 10 metros.

Solución: 2120m

El Teorema de Pitágoras en polígonos regulares.

4.- Averigua la longitud de la diagonal de un rectángulo de 4cm de ancho y 12cm de largo.

Solución: 12,6491cm

5.- Calcula la apotema de un hexágono regular de 15cm de lado.

Solución: 12,9904cm

6.- Halla el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia que tiene 12cm de diámetro.

Solución: 272cm

7.- Calcula el área de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 13cm y el lado desigual mide 10cm.

Solución: 260cm

Tipo 2: Teorema de Tales.

Teorema de Tales.

9.- La sombra de un edificio en un determinado momento del día mide 120 metros. Si en ese momento la sombra de un semáforo de 2,5 metros de altura mide 1,5 metros, ¿cuál es la altura del edificio?

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Solución: 200 metros

10.- Qué altura tiene un árbol que, en un instante determinado, tiene una sombra de 2 metros, sabiendo que en ese momento la sombra que proyecta un niño de 1,55 m de altura es de 80 centímetros.

Solución: 3,8750m.

División de un segmento en partes iguales.

11.- Divide un segmento MN en 5 partes iguales a partir del Teorema de Tales.

12.- Divide un segmento MN en 2 partes iguales, de forma que una sea el triple de la otra.

13.- Representa en la recta la fracción 5/7 14.- Dibuja un segmento MN de 10 cm y construye sobre él otro segmento que sea lo 5/6 de MN .

15.- Traza y halla la cuarta proporcional de tres segmentos de 5cm, 7cm y 9cm.

16.- Determina la cuarta proporcional de los siguientes segmentos:

) 2 ,3 4)8 ,12 16

a cm cm y cmb cm cm y cm¿Cómo son entre sí? Razona tu respuesta.

Teorema de la altura.

17.- A causa del vendaval de anoche, una señal de tráfico de mi calle se ha caído y le han puesto unos alambres para sujetarla. Calcula la altura de la señal, sabiendo que las distancias de la base a cada uno de los anclajes del suelo son de 2m y 7m.

18.- La altura de un triángulo rectángulo mide 5cm y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa mide 3cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa de este triángulo?

19.- Calcula la distancia entre los lados paralelos de un rombo cuyas diagonales miden 6 y 8 cm.

Teorema del cateto.

20.- En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 15cm y la proyección de un cateto sobre ella es de 5cm. ¿Cuánto mide ese cateto?

21.- Halla los catetos de un triángulo rectángulo. La hipotenusa mide 22cm y la proyección de uno de los catetos es de 3cm.

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Tipo 3: Áreas laterales y Volúmenes de poliedros y cuerpos de revolución.

22.- El genial matemático suizo Leonhard Euler (s. XVIII) descubrió una fórmula que ligaba el número de caras, el número de vértices y el número de aristas de un poliedro mediante C + V – A = 2. Comprueba esta fórmula para el tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Para ello básate en la tabla que hicimos en clase.

23.- a) Un poliedro tiene 4 caras y 6 aristas. ¿Cuántos vértices debe tener?b) Calcula cuántas caras tiene un poliedro de 8 vértices y 12 aristas.c) Deduce cuántas aristas tiene un poliedro de 5 caras y 6 vértices.

Soluciones: a) 4 vértices; b) 6 caras; c) 9 aristas

23.- Calcula el número de decímetros cúbicos de arena que caben en el cajón de un camión de dimensiones 2,45 x 1,72 x 0,96 metros. (las dimensiones son “largo” x “ancho” x “alto”)

Solución: 4045,44 decímetros cúbicos de arena.

24.- Una pecera tiene de dimensiones 95 x 45 x 45 centímetros. Calcula qué altura alcanza el agua si se le vierten 171 litros de agua.

Solución: 40 centímetros.

25.- Calcula el área total y el volumen de una pirámide triangular de 10 metros de apotema y perímetro de la base de 24 metros.

Solución: Área Total = 147,7128 metros cuadrados. Volumen = 84,6640 metros cúbicos.

26.- Calcula el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 40 metros de perímetro básico si su altura es de 30 metros.

Solución: Área Total = 708,2763 metros cuadrados. Volumen = 1000 metros cúbicos.

27.- Calcula el volumen de un cilindro de 5 metros de radio y 10 metros de altura. Calcula el volumen de un cono de 5 metros de radio y 10 metros de altura. Comprueba que el volumen del cilindro es tres veces el volumen del cono.

Solución: Volumen del cilindro = 785,3982 metros cúbicos. Volumen del cono = 261,7994 metros cúbicos. Observo que 261,7994 x 3 = 785,3982 metros cúbicos.

Nota: Con este ejercicio estás comprobando que Vcilindro =3.Vcono, es decir que el 2

3 3cilindro

conoV r hV π= =

28.- Calcula el volumen de una esfera de 5 metros de radio. Comprueba que el volumen de la esfera es dos veces la del cono que calculaste en el ejercicio anterior.

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Solución: Volumen de esfera = 523,5988 metros cúbicos = 2 x 261,17994 metros cúbicos.

Nota: Con este ejercicio estás comprobando que 222.3esfera conoV V r hπ= = . Como ocurre

que 2h r= entonces 2 2 32 2 423 3 3esferaV r h r r rπ π π= = =

29.- En un bidón cilíndrico de 5 metros de radio y 10 metros de altura lleno de agua se introduce una esfera de 5 metros de radio desalojando el agua que ocupa su volumen. Calcula la cantidad de agua desalojada. Calcula también qué volumen ocupa un cono de 5 metros de radio y 10 metros de altura. ¿Qué observas?

Solución: El agua desalojada por la esfera coincide con el volumen del cono.

Nota: Con este ejercicio estás comprobando que cilindro esfera conoV V V= + o lo que es lo mismo:

30.- Suponiendo que la Tierra tiene un radio de 6370 kilómetros y que ¾ partes de la misma es mar y suponiendo también que la profundidad media del mar es de 4 kilómetros, calcula cuántos litros de agua hay en el mar.

Solución: 1528752722000000000000 litros (unos mil quinientos veintinueve trillones de litros)

31.- La superficie de España es de 504782 kilómetros cuadrados. ¿Qué porcentaje de la superficie total del planeta ocupa nuestro país?

Solución: El 0,099% del planeta.

31.- En el relato de Noé, durante cuarenta días y cuarenta noches llovió hasta que toda la Tierra quedó cubierta de agua. Ya que el monte de mayor altitud del mundo es el Everest de 8848 metros, calcula la cantidad de litros por minuto que tuvo que llover para que el castigo se cumpliese tal y como narra el relato bíblico. ¿Es posible?

Solución: 153824531,8 litros por metro cuadrado y por minuto. ¿Os imagináis cayendo por cada metro cuadrado y por minuto un peso de más de 150 millones de kilos? ¡Pobre arca!

32.- El relato bíblico de Noé tiene sus paralelos en otras culturas. ¿Cómo fue su paralelo para la cultura griega? ¿Hay parecidos en otras? Si algo se repite en otras culturas es que quizá ocurrió algo. Busca en Internet qué creen los científicos que pudo ser el Diluvio Universal.

34.- Busca en Internet. Haciendo unos pocos cálculos con la calculadora y con las fórmulas elementales de la esfera deducimos que la Biblia no puede tomarse al pie de la letra como si fuera un libro de Ciencias Naturales. No obstante el relato de Noé encierra

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el número simbólico 40. ¿Qué representa el número 40 en este relato? ¿Qué significa para un cristiano el relato de Noé? ¿Qué más simbolismo hay en este relato bíblico?

Curiosidades finales (las leeremos en clase y hablaremos de ellas)

• ¿Sabías que la envoltura del virus de la hepatitis o de la poliomelitis es un icosaedro?

• ¿Sabías que los griegos jugaban con balones de doce pieles en forma de dodecaedro que al hincharse se aproximaban a la forma esférica, lo que constituía un antecedente de nuestro balón de fútbol?

• ¿Sabías que la figura geométrica que más se aproxima a un balón esférico es el icosaedro, de hecho un balón de fútbol es un icosaedro truncado, no una “bola” ni un “esférico”? Para más información un balón de fútbol es un Romblicosidodecaedro menor, formado por 20 triángulos, 30 cuadrados y 12 pentágonos, que sin inflar puede llenar hasta el 93,32% de una esfera.

• ¿Sabías que lo/as “canis” al confundir la palabra “polígono” con “polígamo”, están confundiendo una figura geométrica con un hombre que está casado a la vez con varias mujeres? Cuando dicen “vamos al “Polígamo” (refiriéndose al Polígono Industrial), ¿sabrán dónde se están metiendo?

• ¿Sabías que la expresión “cerrar el círculo” es una frase absurda o redundante en sí misma, ya que el círculo ya es de por sí una curva cerrada?

• ¿Habías observado que el lenguaje matemático está dentro de nuestro lenguaje cotidiano a veces mal usado?. Esta frase incluye varios conceptos geométricos: “Los prejuicios nos hacen ver las cosas bajo un mismo prisma subjetivo que nos condena a una sesgada percepción de la realidad desde un único ángulo. Deberíamos desarrollar una múltiple visión poliédrica para entender nuestro entorno”.

• ¿Sabías que la expresión “altas esferas” tiene su origen en el “séptimo cielo de esferas cristalinas” que fue el modelo astronómico geocéntrico que planteó Aristóteles?

• ¿Sabías que en la 2ª parte del Quijote, capítulo XVIII, Don Quijote recomienda: “El caballero andante entre otras muchas cosas ha de saber matemáticas, porque a cada paso se le ofrecerá tener necesidad de ellas”?

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