Objetivos

Al finalizar la unidad, el alumno:

• identificará cada uno de los modelos continuos analizados• obtendrá la esperanza, la varianza así como algunas probabilidades en ejemplos de los modelos analizados• resolverá problemas de aplicación de variables aleato- rias continuas e identificará el modelo de que se trate

UNIDAD

8 Modelos continuosde probabilidad

Introducción

De forma análoga a las variables aleatorias discretas, en la presente unidad se hará una clasificación de los modelos continuos más empleados en diferentes disciplinas. Este estudio comienza con el modelo continuo más sencillo, el modelo uniforme. Este modelo se caracteriza porque su distribución es igual en todos los puntos de un segmento, razón por la que es muy empleado en simulación, para el cálculo de números aleatorios que tengan comportamiento uniforme.

Posteriormente se abordará el modelo exponencial, cuya distribución es de una función exponencial negativa, por lo que es muy empleado para los casos de líneas de espera, asimismo guarda estrecha relación con los modelos discretos de Poisson.

Para finalizar la unidad, se analizará el modelo normal, considerado el más importante, sin lugar a dudas, en el estudio de la estadística y la probabilidad.

En cada modelo, se define en primer lugar, su función de densidad, pues es fundamental (al igual que su función de distribución acumulada) para diferenciar entre sí los modelos continuos. Posteriormente, se formula y demuestra un teorema que incluye la función de distribución acumulada, su valor esperado y varianza de la variable continua en estudio y, por último, se resuelven algunos ejemplos del modelo.

8.1 Modelo uniforme continuo

En las distribuciones continuas se suele comenzar con un modelo sencillo, pero de gran importancia en diferentes áreas de estudio, donde las variables aleatorias se distribuyen uniformemente en un intervalo finito. Un modelo probabilístico continuo es de tipo uniforme cuando la variable aleatoria continua que en él se define está distribuida en el intervalo finito [a, b], de tal forma que la probabilidad en un subintervalo cualesquiera depende sólo de su longitud, y, por consiguiente, su función de densidad dependerá de los valores de las constantes a y b. Al formalizar el modelo, se tiene

Dada X una variable aleatoria continua del experimento realizado, se dice que tiene una distri-bución uniforme en el intervalo [a, b], cuando su función de densidad de probabilidad (fdp) es

f x b aa x b

( ),

,

1

0 en otro lugar

Fácilmente se comprueba que la función anterior es efectivamente de densidad de probabilidad, puesto que no es negativa y la integral en todos los números reales vale 1. El cálculo de dicha integral se reduce al área del rectángulo con base igual a b – a y altura 1/ (b – a), como se muestra en la figura 8.1.

Definición 8.1

234

Si X es una variable aleatoria continua con distribución uniforme en [a, b] y, f(x) es su función de densidad de probabilidad, entonces

a) E Xa b

( )2

b) V Xb a

( )( )2

12

c) F x

x a

x a

b aa x b

x b

( )

,

,

,

0

1

Empleando las fórmulas para el valor esperado, la varianza y la función de distribución acumulada (fda) de una variable aleatoria continua X

E X xf x dxb a

xdxb a

xb a

a

b

x a

x b

( ) ( )( )

(1 1

21

2

2

bb aa b2 2

2)

El cálculo de E(X) tiene fundamento geométrico, puesto que dada la definición de una variable aleatoria continua con distribución uniforme, su valor esperado representa el punto medio del segmento [a, b], es decir

a b

2

Se demuesta la expresión para la varianza

V X x f x dx E Xb a

x dxa b x

b aa

b

x a

x b

( ) ( ) ( )( )

( )2 2 2

2 31

4 3

a ab b

b ab a

a ab b b ab a a ab b

2 2

3 3 2 2 2 2 2 2

2

4

324 3

24( )

(( )b a 2

12

El cálculo de F(x) se deduce de la definición de una función de distribución acumulada (fda).

A continuación se presentan las gráficas de las funciones de densidad y acumulada de una variable continua con distribución uniforme.

Teorema 8.1

Observación

[a, b]

f (x)

a b[ ]

1b – a

F(x)

a b

1

235

• para resolver problemas sobre probabilidades de variables aleatorias continuas se utiliza: a) su función de densidad de probabilidad (fdp) b) su función de distribución acumulada (fda)

• los modelos de distribución uniformes son los más sencillos de resolver, debido a que el cálculo de sus probabilidades se puede realizar geométricamente por una simple división de longitud de segmentos, ya que la integral con dicha función de densidad (área bajo la curva), es equivalente al cálculo del área de un rectángulo con altura 1/ (a – b) y base igual a la longitud del intervalo, en el que se calcula la probabilidad.

1. Supóngase un experimento en el que de alguna manera se hace una medición al azary ésta tiene distribución uniforme en el intervalo [0, 3]. Calcula la probabilidad de que la medición esté entre 3/ 2 y 2

a) por medio de su función de densidad b) por medio de su función acumulada

a) Dada X la variable aleatoria continua definida en el experimento. Como se mencionó en las condiciones del problema, X tiene una distribución uniforme en [0, 3] y, por tanto, su función de densidad estará dada por

f xx

x

x

x( )

, ,

, ,

, ,

, ,

13 0

0 3

0 0 3

13

0 3

0 0 3

La probabilidad se calcula por

P X dx( . ).

.

1 5 21

3

2 1 5

3

1

61 5

2

b) De forma similar al inciso a), se tiene, por el teorema 8.1, que su función acumulada de X estará dada por

F x

x

xx

x

x

xx

x

( )

,

,

,

,

,

,

0 0

03 0

0 3

1 3

0 0

30 3

1 3

por tanto, la probabilidad P(1.5 X 2) se puede calcular de la siguiente manera

P X F F( . ) ( ) ( . ). . .

1 5 2 2 1 52

3

1 5

3

2 1 5

3

0 5

3

1

6

Además de las dos formas anteriores, las cuales se pueden aplicar a cualquier distribución continua, en este tipo de modelos se puede recurrir a su interpretación geométrica realizando una división entre segmentos, como se muestra a continuación.

Se tiene el segmento [0, 3], donde se encuentra distribuida toda la variable X. Del mismo modo, se representa el segmento [1.5, 2] en lamismarectaysehace en la misma recta y se hace un cociente con las longitudes de los dos segmentos para calcular la probabilidad correspondiente.

Notas

Ejemplo 1

236

P X( . ).

1 5 22 1 5

3 0

1

6

2. Un satélite que ha cumplido su ciclo en órbita alrededor de la Tierra está a punto de caer en ella, los especialistas calcularon su caída en algún lugar entre los puntos P y Q. Si su comportamiento es uniforme, se calcula la probabilidad de que la distancia con respecto a P sea más de cuatro veces la distancia con respecto a Q.

Se representa gráficamente el problema, uniendo los puntos P y Q en línea recta y simbolizando a la longitud entre ellos por L. Se divide al segmento en dos subsegmentos con longitudes x y L – x

De las condiciones del ejercicio nos interesa conocer la probabilidad cuando

x 4(L – x)

Agrupando las x del lado izquierdo, se tiene x + 4x 4L. Y después de despejar, resulta x 4/ 5L. Por tanto, si calculamos la probabilidad requerida por una división entre

segmentos, se tiene

P X LL L

L

L

L

4

5

45

15 1

5

Ejercicio 1

1. Supón que la variable aleatoria continua X tiene una distribución de tipo uniforme con su valor más grande igual a seis y cuatro de valor esperado, calcula la varianza de X.

2. Una compañía manufacturera tiene una máquina despachadora de refresco, la cual suministra en forma aleatoria, con distribución uniforme, entre 225 y 240 ml de refresco, calcula la probabilidad de que la máquina despache más de 235 ml.

3. Las ventas de combustible en una gasolinera tienen una media de 40 mil l diarios y un mínimo de 30 mil l. Supón que una distribución uniforme es apropiada.

a) calcula las ventas máximas diarias b) calcula el porcentaje de días que las ventas excederán los 34 mil litros

4. Si se sabe que en un experimento discreto un dato se presenta en un intervalo de 20 min exactamente y que la forma de ocurrencia tiene una distribución uniforme en dicho intervalo, calcula la probabilidad de que el dato ocurra en los primeros cuatro minutos del intervalo mencionado.

5. Supón un experimento en el que, de alguna manera, se hace una medición al azar y ésta puede estar distribuida uniformemente en el intervalo [–1, 3], calcula la probabi-lidad de que la medición sea mayor a dos si se sabe que la medición fue mayor a uno.

0 1 1.5 2 3

P Qx L – x

237

8.2 Modelo exponencial

En una gran parte de los modelos continuos relacionados con el tiempo podemos notar que su distribución es tal, que en los tiempos cercanos a cero tiene mayor acumulación y que conforme pasa el tiempo ésta decrece rápidamente de forma similar a una función exponencial negativa. Por ejemplo, en los modelos relacionados con las líneas de espera es común que en los primeros instantes el cliente tenga una mayor probabilidad de ser atendido que después de un tiempo transcurrido. Se dice que un modelo probabilístico continuo que describe apropiadamente tales fenómenos es de tipo exponencial cuando la variable aleatoria continua X está distribuida en el intervalo [0, , de tal forma que su función de densidad de probabilidad es una función de tipo exponencial negativa; tal ycomo se verá en la siguiente definición.

Dada X una variable aleatoria continua del experimento realizado, se dice que tiene distribución exponencial con parámetro positivo en el intervalo [0, cuando su función de densidad de probabilidad (fdp) es

f x e x

x

( ) ,

,

10

0 en otro lugar

Fácilmente se comprueba que la función anterior es efectivamente de densidad de probabilidad, puesto que no es negativa y la integral en todos los reales vale uno.

f x dx e dx e e

x x

x

x

( )1

0 0 1 10

0

0

Los modelos exponenciales tienen una gran aplicación en las líneas de espera o en la teoría de colas, ya que las distribuciones de tiempos son propicias para:

• espera y llegada de clientes a un centro de servicios• espera para reparar un aparato• espera para ser atendidos en un banco• espera de pacientes para ser atendidos en una clínica• casos en los que se estudian las duraciones de vida de componentes electrónicos;

resulta que generalmente tienen una distribución tipo exponencial, como las que muestran las figuras 8.2 y 8.3

• duración de equipos industriales para poder establecer tiempos de garantías

Los modelos exponenciales se emplean cuando la probabilidad de que la variable aleatoria en estudio que ocurre en una unidad de tiempo sea igual a que suceda en cualquier otra. Lo anterior significa que las variables aleatorias exponenciales son invariantes en el tiempo.

Definición 8.2

238

Si X es una variable aleatoria continua distribuida exponencialmente en [0, y, f(x) su función de densidad de probabilidad, entonces

a) = E(X) = b) 2 = V(X) = 2

c) F xx

e x

x( ),

,

0 0

1 0

Del teorema anterior se puede deducir un corolario para calcular probabilidades de variables con distribución exponencial sin necesidad de calcular la integral.

Dada X una variable aleatoria continua, con distribución exponencial y parámetro , entonces con a 0

a) P X a e

a

( )

b) P X a e

a

( ) 1

c) P a X b e e

a b

( ) , con b a 0

A continuación se muestran las gráficas de la distribución exponencial con parámetro beta mayor y menor a uno.

Teorema 8.2

Corolario

239

El tiempo de espera de los clientes en un restaurante para ser atendidos es una variable aleatoria continua X con distribución exponencial y media = 5 minutos.

a) se calcula la probabilidad de que la siguiente persona que entre al restaurante sea atendida después de seis minutos

b) si se sabe que una persona fue atendida después de cuatro minutos, se calcula la probabilidad de que haya sido atendida después de seis minutos

c) se calcula la probabilidad de que la persona sea atendida después de dos minutos y se compara el resultado con el obtenido en el inciso b).

Como X está distribuida exponencialmente con parámetro = 5 se tiene

a) por el corolario del teorema 8.2

P X e( )665

b) por el corolario del teorema 8.2 y la probabilidad condicional, se tiene

P X XP X X

P XP XP X

e

e

e( | )( ) ( )

( )( )( )

6 46 4

464

65

45

25

c) por el corolario del teorema 8.2

P X e( )225

Esta probabilidad coincide con la del inciso b).

El resultado del inciso b) se puede generalizar y muestra (al igual que se hizo con el modelo geométrico) que la distribución exponencial no tiene memoria. Es decir, para cualesquier a y b, se cumple P X a b X a P X b( | ) ( ). Esto último quiere decir que si comparamos las probabilidades de duración de un componente usado, el cual tiene una distribución exponencial, la probabilidad de que opere por lo menos t unidades de tiempo adicionales debe de ser igual a la probabilidad cuando un componente nuevo de tal tipo opere al menos las mismas t unidades de tiempo que el viejo.

8.2.1 Relación entre la distribución exponencial y la de Poisson

Como se analizó en la unidad 6 y en la sección anterior de esta unidad, es posible establecer cierta relación entre la distribución exponencial y la de Poisson:

Si los resultados de un experimento ocurren en el tiempo y siguen una distribución de Poisson con media = t, entonces el tiempo T entre dos resultados cualesquiera sigue una distribución exponencial con parámetro = 1/ .

Ejemplo

Observación

Teorema 8.3

240

En un crucero, el número de accidentes se representa por una distribución de Poisson con promedio de tres por mes, se calcula la probabilidad de que el tiempo entre un accidente y el siguiente sea mayor de medio mes.Se emplea el teorema 8.3 con

3 accidentes

mes

nos interesa la probabilidad en un intervalo t = medio mes. De la relación que existe entre los parámetros y : 1/ = , y el modelo exponencial, se tiene

P T e e( . ) .. .0 5 0 22313 0 5 1 5

Ejercicio 2

1. Se ha hecho un estudio sobre el tiempo de espera de los usuarios en cierto banco del D. F.; se obtuvo que el tiempo promedio de atención a un usuario entre las 9 y las 12 horas de un día normal es de 10 min, y que el tiempo de espera en ser atendido se distribuye exponencialmente, calcula la probabilidad de que si vas a dicho banco en un día normal a las 10:20 seas atendido

a) en menos de 5 min b) en más de 10 min

2. El periodo de vida en años de un interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial con promedio de falla de = 2 años, calcula la probabilidad de que un interruptor falle después del segundo año.

3. Un motor eléctrico tiene una vida media de seis años. Si la vida útil de ese tipo de motor se considera como una variable aleatoria distribuida en forma exponencial, ¿cuál es el tiempo de garantía que debe tener el motor si se desea que a lo más 15% de los motores falle antes de que expire su garantía.

4. Supón que la llegada de los automóviles a una caseta de cobro de una autopista tiene una distribución de Poisson con razón de dos autos por minuto, calcula la probabilidad de que el revisor permanezca por lo menos 20 segundos desocupado.

5. En un almacén particular los clientes llegan al mostrador de caja conforme una distribución de Poisson con promedio de siete por hora, calcula la probabilidad de que entre un cliente y el siguiente pase al menos una hora.

8.3 Modelo normal

Finalmente, hemos llegado al estudio de uno de los modelos continuos con mayor aplicación en la estadística y la probabilidad, el modelo normal . Esta distribución fue descubierta por Carl Friedrich Gauss1 y en algunos trabajos se le conoce como Ley

Ejemplo 3

1 Carl Friedrich Gauss, nació en Brunswick en 1777 y murió en Gotinga en 1855. Fue matemático, astrónomo y físico; fue autor de una gran cantidad de trabajos de mecánica celeste, de geodesia y sobre magnetismo, elec-tromagnetismo y óptica. Su concepción moderna de la naturaleza abstracta de las matemáticas le permitió ampliar el campo de los números. Descubrió la geometría hiperbólica no euclidiana.

241

de probabilidad de Gauss. Según ésta, una magnitud sufre la influencia de numerosas causas de variación, todas ellas muy pequeñas e independientes entre sí, los resultadosse acumulan alrededor de la media, distribuyéndola simétricamente a su alrededor con una frecuencia que disminuye rápidamente al alejarse del centro. Por tanto, la curva que asemeja dicho comportamiento tiene forma de campana y es la representación gráfica de una distribución de esta clase (ver figuras 8.4, 8.5 y 8.6).

Dada X una variable aleatoria continua, se dice que X tiene una distribución normal o de Gausscuando su función de densidad de probabilidad es

f x e

x

( )

( )1

2

2

22 en x (– , ) con parámetros y en todos los números reales.

Los modelos con distribución normal se caracterizan por la forma de la gráfica de su función de densidad.

La gráfica de la distribución normal tiene forma de campana, como muestra la figura 8.4.

En la gráfica anterior, se puede apreciar que la recta x = es el eje de simetría de la función; mientras que en los valores x = – y x = + se tienen los puntos de inflexión de la gráfica de la función. Esto se puede comprobar por medio del cálculo.

La demostración de que la función anterior es efectivamente una función de densidad de probabilidad no es tan sencilla como las anteriores, se requiere del cálculo de variables complejas por lo que se omitirá.

El modelo normal tiene gran aplicación en diferentes áreas y es una de las distri-buciones con mayor auge en el estudio de la estadística y la probabilidad, la dimensión de su importancia radica en un teorema que se analizará en la siguiente unidad y que se llama teorema del límite central.

Cuando la distribución de la variable tiene una gráfica muy semejante a la de la figura 8.4 se emplea la distribución normal, la cual comúnmente se simboliza por

N( , )

Definición 8.3

1.1

0.9

0.7

0.5

0.3

0.1

–0.1

Segmento de longitud

V(X) = 2

E (X) =

f (x)

x

242

Dada X una variable aleatoria continua distribuida normalmente en (– , ) y f(x) su función de densidad de probabilidad, entonces

a) E(X) = b) V(X) = 2

8.3.1 Cálculo de probabilidades

Como se mencionó anteriormente, la distribución de Gauss tiene una gran importancia en el estudio de la estadística y la probabilidad, por consiguiente también es importante tener un análisis detallado sobre su comportamiento para el cálculo de probabilidades. De los cursos de cálculo, se sabe que la integral de la función

f x e

x

( )

( )1

2

2

22

no se puede resolver con base en funciones elementales. Por tanto, cuando la integral es definida sólo podemos aproximar sus valores por medio de alguno de los métodos numéricos: del trapecio, de Simpson 1/ 3, de cuadratura de Gauss, etcétera.

De lo anterior, es posible notar que el cálculo de probabilidades resultaría bastante complicado para este tipo de distribución, pero debido a su importancia se tienen tablas y programas para calcular las probabilidades. Desde luego, como es de suponerse, se requiere de algún método, con el que no se tengan que resolver integrales para diferentes valores de y .

El problema anterior se resuelve con el cambio de variable aleatoria

ZX

al cual se le llama estandarización de la variable X a unidades en Z.

La fórmula en Z es una regla de transformación, ya que en la estandarización, X – representa un desplazamiento del eje de las ordenadas (ver figura 8.5); mientras que la división entre la desviación estándar influye en la amplitud de la función (ver figura 8.6).

Se puede apreciar que las dos gráficas son iguales, sólo cambia la posición del eje de las ordenadas. En las gráficas siguientes cambiará su amplitud: a mayor varianza mayor amplitud.

Teorema 8.4

243

Cuando se realiza la estandarización resulta

E(Z) = 0 y V(Z) = 1, o también N(0, 1)

y su gráfica se muestra en la figura 8.7.

La fórmula anterior se emplea cuando se conocen los parámetros y de la población. Si se trabaja con una muestra en lugar de una población y se desconoce , entonces la variable Z puede aproximarse mediante la distribución

tX

sn

donde es la media de la población, s es la desviación estándar de la muestra y n es su tamaño.

En el caso de que se conozcan y , y el tamaño de la población es grande, se emplea la fórmula

ZX

n

Ambas fórmulas se analizarán detalladamente en la unidad 10.La integral para la función acumulada de la variable aleatoria Z, es decir, la distribución

normal en su forma estándar, se calcula por

F z e dzzz

( )021

2

20

Para el cálculo de probabilidades se emplean las propiedades siguientes de la distribución y la tabla de la normal estándar.

244

8.3.2 Propiedades de la distribución normal estándar

Debido a que la distribución normal estándar juega un papel muy importante en la estadística y la probabilidad, y como el cálculo de sus probabilidades no es tan simple, se requiere el uso de tablas (se verán más adelante) y algunas propiedades de la distribución para poder efectuar los cálculos.

1. Propiedad de simetría . La función f(z) es simétrica con respecto al eje de las ordenadas; es decir, P(Z –Z0) = P(Z Z0).

2. Propiedad del complemento . En los casos de P(Z Z0) se puede emplear la simetría, inciso a), o el complemento; es decir, P(Z Z0) = 1 – P(Z Z0).

8.3.3 Uso de tablas de la función acumulada

Como se mencionó, el uso de tablas o de algún programa para calcular probabilidades es fundamental en la solución de ejercicios. Por tanto, para homogeneizar el uso de tablas que se emplearán en esta unidad se muestra su uso con base en las tablas que se encuentran al final del texto y tienen el siguiente aspecto

Como se puede observar, en estas tablas la función acumulada se representa por medio de la función (z). Para facilitar el cálculo de probabilidades en intervalos simétricos, en las tablas existe otra función

D z e dz z zz

z

z

( ) ( ) ( )02

0 01

2

2

0

0

En las tablas los bloques están divididos en cuatro columnas. La primera corresponde a valores de Z que varían de centésima en centésima desde 0 hasta 3.59. La segunda corresponde a los valores de la función acumulada hasta valores negativos de Z, mientras que en la tercera se tiene la función acumulada de valores positivos de Z. Finalmente, la cuarta columna se refiere a la probabilidad en intervalos simétricos con extremos –Z y Z.

Por tanto, el cálculo de probabilidades, con base en estas funciones y las propie-dades anteriores, se puede efectuar de la siguiente forma

1. P(Z Z0) = (Z0)2. P(Z Z0) = P(Z –Z0) = (–Z0)

D Z e dxZ

Zx

( )–

1

2

2

2Z e dx

Zx

( )–

1

2

2

2

Z Z–Z

245

3. P(–Z0 Z Z0) = D(Z0)4. P(a Z b) = (b) – (a)

En los siguientes ejemplos se emplearán ambas funciones (z) y D(z).

1. Dada Z una variable aleatoria continua con distribución normal estándar, se calculan las probabilidades indicadas

a) P Z( . ) ( . ) .1 25 1 25 0 8944

b) P Z( . ) ( . ) .0 86 0 86 0 1949

c) P Z P Z

P Z

( . ) ( . ) ( . ) . .

(

1 03 1 1 03 1 1 03 1 0 1515 0 8485 o

11 03 1 03 1 03 0 8485. ) ( . ) ( . ) . .P Z

d) P Z D( . . ) ( . ) .2 97 2 97 2 97 0 9970

e) P Z D( . . ) ( . ) .0 57 0 57 0 57 0 4314

f) P Z( . . ) ( . ) ( . ) . . .0 67 1 24 1 24 0 67 0 8925 0 2514 0 6411

1.25

0.8944

Ejemplo 4

246

g) P Z( . . ) ( . ) ( . ) . . .0 06 3 04 3 04 0 06 0 9988 0 5239 0 4749h) P Z( . ) ( . )4 5 4 5 0i) P Z( ) ( )5 5 1j) P Z( . . ) ( . ) ( . ) . .0 06 5 1 5 1 0 06 1 0 5239 0 4761

2. Dada X una variable aleatoria continua con distribución normal, se calculan las probabilidades indicadas

a) E(X) = 4 y V(X) = 9; se calcula la probabilidad P(X 7). Para esto, primero se realiza la estandarización de la variable X y después

empleamos las tablas de la distribución normal estándar.

P X PX

P Z P Z

( )

( )

.

74

9

7 43

1 1

1

0 1587

b) E(X) = 3 y = 2.5; se calcula la probabilidad P(–1 X 5). Para esto, primero se realiza la estandarización y después se emplean las tablas

de la distribución normal estándar.

P X PX

P Z( ). . .

. . ( .1 51 3

2 5

3

2 5

5 3

2 51 6 0 8 0 8)) ( . )

. . .

1 6

0 7881 0 0548 0 7333

8.3.4 Uso de tablas porcentuales

Con frecuencia, al resolver problemas, se deben hacer conclusiones con respecto a lavariable aleatoria en estudio. Para tal efecto, es común tener que encontrar los valores de la variable con los cuales se obtienen las probabilidades establecidas (pueden estar dadas en porcentajes). En lo que concierne a las variables aleatorias con distribución normal, se emplean otras tablas, llamadas tablas porcentuales de la distribución normal y tienen el siguiente aspecto.

D Z e dxZ

Zx

( )–

1

2

2

2Z e dx

Zx

( )–

1

2

2

2

Z Z–Z

247

En las tablas, los bloques están divididos en tres columnas. La primer columna corresponde a las probabilidades dadas en porcentajes que varían en décimas de porcentaje, desde 0.0 hasta 99.9. La segunda corresponde a los valores de Z, cuya función acumulada proporciona el porcentaje de la primera. Mientras que la tercera corresponde a los valores de Z con intervalos simétricos (extremos –Z y Z), tales que la probabilidad en este intervalo es igual al porcentaje de la primer columna (ver los siguientes ejemplos).

1. Se calcula el valor de z0, tal que P(Z z0) = 0.108.

La probabilidad que se indica es igual a 10.8%; por tanto, al buscar 10.8% en las tablas porcentuales se tiene

z0 = Z( ) = –1.237; esto es P(Z –1.237) = 0.108

2. Se calcula el valor de z0, tal que P(Z z0) = 5%. Como las tablas porcentuales muestran los valores para la función acumulada

de menos infinito hasta el valor indicado, se tiene que emplear la propiedad del com-plemento; es decir, P(Z z0) = 1 – P(Z z0) = 5%; donde necesitamos P(Z z0) = 95%.

z0 = Z( ) = 1.645; esto es P(Z 1.645) = 0.05

Este ejercicio también se puede resolver empleando la propiedad de simetría P(Z z0) = P(Z –z0) = 5%, de donde –z0 = – 1.645. Es decir, z0 = 1.645.

3. Se calcula el valor de x0 P(X x0) = 75% si E(X) = 4 y V(X) = 9 Para esto, primero se realiza la estandarización y después se emplean las tablas

porcentuales de la distribución normal estándar.

0.6 2.512 0.008 5.6 1.589 0.070 10.6 1.248 0.133 15.6 1.011 0.197 20.6 0.820 0.261

0.7 2.457 0.009 5.7 1.580 0.071 10.7 1.243 0.135 15.7 1.007 0.198 20.7 0.817 0.262

0.8 2.409 0.010 5.8 1.572 0.073 10.8 1.232 0.136 15.8 1.003 0.199 20.8 0.813 0.264

0.9 2.366 0.011 5.9 1.563 0.074 10.9 1.232 0.137 15.9 0.999 0.201 20.9 0.810 0.265

25.6 0.656 0.327

25.7 0.653 0.328

25.8 0.650 0.329

25.9 0.646 0.331

% (Z) D(Z) % (Z) D(Z) % (Z) D(Z) % (Z) D(Z) % (Z) D(Z) % (Z) D(Z)

0.108

ZZ0

Ejemplo 5

0.05

Z0 = 1.645

0.95

ZZ0 = 0.674

75%

248

P X x PX x

P Z z( ) ( ) %00

04

34

375

se tiene z0 = 0.674; por otro lado

zx

00 43

Al despejar x0, se tiene: x0 = 4 + 3z0 = 4 + 3(0.674) = 6.022. Es decir, P(X 6.022) = P(Z 0.674) = 75%.

4. La variable aleatoria X representa la vida promedio de cierto aparato electrónico; tiene una distribución aproximadamente normal, con media = 3.5 años y desviación estándar = 1.5 años. Si el fabricante de dichos aparatos desea reparar solamente 10% de estos, en el periodo de garantía, calcula cuál tendría que ser el periodo de garantía.

Como X representa a la vida promedio de los aparatos y 10% a la probabilidad de que el aparato dure menos que el periodo establecido, x0; se tiene:

P X x PX x

P Z z( ).

..

.( ) .0

00

3 51 5

3 51 5

0 10

donde

zx

00 3 5

1 5

.

.

Por tanto, al despejar x0, se tiene x0 = 3.5 + 1.5z0. De las tablas porcentuales de la distribución normal estándar, resulta z0 = –1.282. Finalmente, el periodo de garantía es x0 = 3.5 + 1.5(–1.282) = 1.577 años.5. Se supone que X representa la resistencia a la ruptura de una cuerda, con un promedio

de 100 y una desviación estándar de 4. Cada alambre para cuerda produce una utilidad de $25, si X 95. En caso contrario, la cuerda se tiene que utilizar con otro propósito y se obtiene una utilidad de $10 por alambre. Se calcula la utilidad esperada por alambre.

Primero se calculan las probabilidades

P X PX

P Z( ) ( . ) .95100

4

95 100

41 25 0 8944

P X P X( ) ( ) . .95 1 95 1 0 8944 0 1056

El valor esperado estará dado por

Ganancia esperada = P(X 95) 25 + P(X 95) 10 = 0.8944 25 + 0.1056 10 = $23.416

Ejercicio 3

1. Si la calificación promedio de un grupo es 6.43, con desviación estándar de 1.91, y se supone que la distribución de las calificaciones es aproximadamente normal, calcula la probabilidad de que en este examen un alumno apruebe (nota: la calificación mínima aprobatoria es 6).

2. El diámetro de los pernos de una fábrica tiene una distribución normal con media de 950 mm y una desviación estándar de 10 mm.

249

a) calcula la probabilidad de que un perno escogido al azar tenga diámetro entre 947 y 958 mm

b) calcula el valor apropiado de c, tal que un perno escogido al azar tenga un diá-metro menor que c con una probabilidad de 0.90

3. Se supone que los resultados de un examen tienen una distribución normal con una media de 78 y una varianza de 36.

a) calcula la probabilidad de que una persona que presenta un examen obtenga una calificación mayor a 72

b) calcula la mínima calificación aprobatoria si el examinador pretende que solamente 28% de los estudiantes apruebe

4. En un aserradero se cortan árboles en trozos de 4 m en promedio, con 0.23 m de desviación estándar, las longitudes se distribuyen en forma aproximadamente normal.

a) si se elige un lote de 500 trozos, calcula el número probable de éstos que superen 4.12 m de longitud

b) si se eligen nueve trozos, calcula la probabilidad de que cuatro tengan una lon-gitud mayor de 4.05 m

5. Los pesos de varios perros pequeños están distribuidos aproximadamente en forma normal con una media de 8 kg y 0.9 kg de desviación estándar, calcula la fracción de estos perros con peso

a) arriba de 9.5 kg b) cuando mucho 8.6 kg c) entre 7.3 y 9.1 kg, inclusive

6. Una fábrica produce pistones, cuyos diámetros se encuentran distribuidos en forma normal con diámetro promedio de 5 cm y desviación estándar de 0.001 cm. Para que un pistón sea útil, su diámetro debe encontrarse entre 4.998 y 5.002 cm. Si el diámetro del pistón es menor de 4.998 se desecha, y si es mayor de 5.002 se puede reprocesar. Si en la fábrica se producen mensualmente 20 mil pistones, calcula

a) cuántos pistones serán útiles b) cuántos pistones serán desechados c) cuántos pistones necesitan ser reprocesados

7. El tiempo necesario para armar cierta unidad es una variable aleatoria distribuida normalmente con = 30 minutos, = 2 min, calcula el tiempo de armado de manera tal que la probabilidad de exceder éste sea 0.02

8.4 Aproximación de la normal a la binomial

La distribución normal proporciona una buena aproximación a la distribución binomial cuando n es grande y p es próxima a 0.5, de tal forma que np 10. Aunque, en general, cuando n es grande (n 30). En la siguiente unidad se verá el llamado teorema central del límite, con el cual se demuestra que, bajo ciertas condiciones, toda distribución de probabilidad se puede aproximar a la distribución normal estándar.

250

Al aproximarse a la distribución binomial de la variable aleatoriaa la distribución binomial de la variable aleatoria X por medio de la normal, se debe considerar que la primera es una distribución discreta, mientras que la normal es continua. Por tanto, se debe hacer algunos “ajustes” al emplear la distribución normal; como se muestra en las dos figuras siguientes, la probabilidad en un punto k de la distribución binomial es igual al área del rectángulo, con base uno y altura P(X = k); la cual se aproxima al área bajo la curva de la distribución normal, desde k – 0.5 hasta k + 0.5, con k = 0, 1, 2,..., n y cuya media es E(X) = np y la varianza es V(X) = npq.

Al valor 0.5 se le llama parámetro de corrección .

En las siguientes figuras se muestra la aproximación a la binomial para n = 30 y p = 0.1 y n = 30 con p = 0.5, con sus correspondientes tablas de aproximaciones.

En los ejemplos anteriores se puede observar que la mejor aproximación se obtiene en las proximidades de la media, y con p = 0.5 es aún mejor la aproximación.

Definición 8.4

0.15

0.125

0.1

0.075

0.05

0.025

01 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

p = 0.5n = 30

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.002 0.006 0.013 0.028 0.050 0.080 0.111 0.136 0.145

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.002 0.006 0.013 0.028 0.051 0.081 0.112 0.135 0.144

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Normal

Binomial

n

0.136 0.111 0.080 0.050 0.028 0.013 0.006 0.002 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.135 0.112 0.081 0.051 0.028 0.013 0.005 0.002 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Normal

Binomial

n

251

Una fábrica de tapones para botellas de licor tiene 20% de producción defectuosa (rebabas, manchas, etc.). Los productores de licor deciden seguir comprando tapones a la fábrica, si al inspeccionar aleatoriamente un lote de 200 tapones no se encuentran más de 25 defectuosos. Se calcula la probabilidad de que los productores no tengan que cambiar de proveedor.

Dada la variable aleatoria X: “cantidad de tapones defectuosos”.De la unidad 6 se sabe que X tiene una distribución de tipo binomial, con n = 200 y

p = 0.20. Como la cantidad de ensayos es grande y np = 200 0.20 = 40, se empleará una aproximación a la normal con media E(X) = np = 40 y varianza V(X) = npq = 32.

P X PX np

npqP Z( )

. .( ( . )25

0 5 25 0 5 40

322 562.56) 0.0052

La probabilidad de que se encuentren 25 o menos tapones defectuosos es muypequeña, significa que la probabilidad de tener más de 25 defectuosos es demasiado grande (1 – 0.0052 = 0.9948), por tanto, es muy probable que el productor de licor tenga que cambiar de proveedor.

En el ejemplo anterior se empleó una aproximación por medio de la normal; donde se utilizaron valores de X negativos. Puesto que X 0 para la distribución binomial, de manera formal, solamente se debería calcular

P X PX np

npqP Z( )

. .( .0 25

0 0 5 40

32

25 0 5 40

327 16 2.56)

0.0052( . ) ( . ) . .2 56 7 16 0 0000 0 0052

Generalmente en este tipo de problemas, los valores en las probabilidades de las “colas” son “tan despreciables” que no se consideran.

Ejercicio 4

1. Una fábrica de tapones para botellas de licor tiene 15% de producción de artículos defectuosos (rebabas, manchas, etc.). Los productores de licor deciden seguir comprando tapones a la fábrica, si al inspeccionar aleatoriamente diez lotes de 150 tapones, cada uno, no se encuentran más de 25 defectuosos en cada lote; calcula la probabilidad de que los productores del licor no tengan que cambiar de proveedor de tapones.

2. Una compañía farmacéutica sabe que aproximadamente 5% de sus tabletas para el control natal tiene un ingrediente que está por debajo de la dosis mínima, lo que las hace ineficaces, calcula la probabilidad de que más de 30 tabletas en una muestra de mil sean ineficaces.

3. Un cierto tipo de tornillo se fabrica con probabilidad de 0.05 de ser defectuoso, calcula la probabilidad de que en los siguientes 400 tornillos existan menos de 25 defectuosos.

4. Supón que un sistema está constituido por 100 componentes, cada uno de los cuales tiene 95% de confiabilidad. Si esos componentes funcionan independientemente unos de otros y el sistema completo funciona correctamente cuando por lo menos 80 componentes funcionan, calcula la probabilidad de que el sistema completo funcione correctamente.

Ejemplo 6

Observación

252

Ejercicios propuestos

1. Una compañía manufacturera tiene una máquina despachadora de refresco, la cual suministra de forma aleatoria, con distribución uniforme, entre 225 y 240 ml de refresco. Supón que cada vez que la máquina despacha refresco lo hace de manera independiente, calcula la probabilidad de que la máquina despache, por lo menos en dos de las siguientes diez veces, refrescos con más de 235 ml.

2. Supón que X es una variable aleatoria con distribución uniforme y E(X) = V(X) = 1, calcula las funciones de densidad y la acumulada de X.

3. Supón que el peso de una persona seleccionada al azar de cierta población tiene una distribución normal. Si se sabe que

P(X 160) = 1/ 2 y P(X 140) = 0.75

a) calcula la media y la varianza del peso b) calcula P(X 200)

4. Los tornillos producidos por una máquina tienen un diámetro con distribución normal, cuya media es de 10 mm y desviación 0.02 mm.

a) calcula el porcentaje de tornillos defectuosos que produce la máquina, consi-derando a los que su diámetro se desvíe de su media en más de 0.03 mm

b) calcula cuáles deben ser los límites de tolerancia para que la probabilidad de tornillos defectuosos sea 0.8

5. Mediante una repetición de experimentos se obtuvo que la variable aleatoria continua X se escribe en forma muy propicia por un modelo de tipo exponencial y para determinar su parámetro correspondiente se ha empleado su función de distribución acumulada, con probabilidad P(X 35) = 0.26; calcula la probabilidad P(X + 25 X ) (sugerencia: encuentra primero la media).

6. La vida útil de las pilas de una marca está distribuida normalmente. Si 6% de las pilas duran más de 56 horas y 30% duran menos de 52 horas, calcula el valor de la media y de la desviación estándar .

7. Si la llegada de coches a un estacionamiento sigue una distribución de Poisson con promedio de ocho por hora, calcula la probabilidad de que al abrir el estaciona-miento tengan que pasar más de 20 minutos para que llegue el primer auto.

8. Un ingeniero de seguridad industrial considera que 30% de todos los accidentes que ocurren en su fábrica se debe a que los trabajadores no siguen las normas de seguridad. Si esta observación es correcta y en la fábrica se reportaron 84 accidentes, calcula la probabilidad de que entre 20 y 30, inclusive, de estos accidentes seancausados por este motivo.

9. Para seleccionar a sus empleados, un ejecutivo industrial usa una prueba que tiene una puntuación promedio y una desviación estándar = 10. Supón que la distribución de las puntuaciones es normal y que una puntuación mínima de 65 le permita al solicitante seguir siendo considerado, calcula el valor de , si se quiere que aproximadamente 2.5 % de los solicitantes sigan siendo considerados en esta prueba.

10. Si la cantidad de llamadas a un conmutador sigue una distribución de Poisson, con promedio de seis llamadas cada diez minutos, calcula la probabilidad de que pase un minuto sin recibir llamadas.

253

11. Una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $5.25 por hora con desviación estándar de 50 centavos. Si los salarios tienen aproximadamente una distribución normal

a) calcula el porcentaje de los trabajadores que recibe salario entre 4.75 y 5.69 pesos por hora, inclusive

b) calcula la cantidad de los salarios que son mayores en 5% con respecto al más alto

12. Si un conjunto de observaciones están normalmente distribuidas, calcula el porcentaje de éstas que difiere de la media en

a) más de 1.3 b) menos de 0.52 donde es la desviación estándar de la población

13. Una moneda legal se lanza 400 veces. Emplea la aproximación por medio de la distribución normal para calcular la probabilidad de obtener

a) entre 185 y 210 caras sol b) menos de 176 o más de 227 caras sol

14. Si 40% de los residentes en una ciudad prefieren el programa X de televisión sobre los demás programas, calcula la probabilidad de que entre los siguientes 500 residentes que se entrevisten

a) entre 200 y 300 prefieran el programa X b) por lo menos 350 prefieran el programa X

Autoevaluación

1. En un día normal, el tiempo de viaje de un autobús de México a Acapulco por la Autopista del Sol está distribuido uniformemente de 4.5 a 5 h. Calcula la probabilidad de que en un día normal por lo menos dos de los siguientes seis autobuses no tarden más de 4 h, 40 min en hacer el recorrido. Supón que los recorridos de los seis autobuses son independientes.

a) 0.35120.3512 b) 0.6488 c) 0.4678 d) 0.5322

2. La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación de corazón es 0.9. De los siguientes 60 pacientes que se sometieron a esta intervención, calcula la probabilidad de que sobrevivan más de 50 pacientes.

a) 0.35120.3512 b) 0.9345 c) 0.6488 d) 0.0655

254

3. Ciertos tipos de baterías para automóvil tienen un tiempo de vida normalmente distribuido con promedio de 1 200 días y desviación estándar igual a 100 días, calcula el tiempo (en días) que se deben garantizar las baterías si el fabricante quiere reemplazar sólo 10% de las baterías vendidas.

a) 1 100 b) 1 300 c) 1 320 d) 1 071.84

4. Una empresa metalúrgica produce rodamientos con un diámetro que tiene desvia-ción normal, con media de 3.0005 pulg y desviación estándar de 0.0010 pulg. Las especificaciones requieren quelos diámetros estén en el intervalo 3.000 ± 0.0020 pulg. Si los cojinetes cuyos diámetros quedan fuera de ese intervalo se rechazan, calcula el porcentaje de la producción total que será rechazada.

a) 5.25.2 b) 8.5 c) 7.3 d) 6.3

5. En un examen la calificación promedio fue 82 y la desviación estándar de 5. Todos los estudiantes con calificaciones de 88 a 94 recibieron una B. Si las calificaciones están distribuidas aproximadamente en forma normal y 20 estudiantes recibieron una B, calcula la cantidad de estudiantes que presentaron el examen.

a) 187 b) 62 c) 94 d) 178

6. El periodo de vida en años de un interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial con promedio de falla = 2 años, calcula la probabilidad de que un interruptor falle después del tercer año.

a) 0.7769 b) 0.7500 c) 0.0223 d) 0.2231

7. Se observó durante un largo periodo que la cantidad semanal gastada en elmantenimiento y en las reparaciones de cierta fábrica tiene aproximadamente distribución normal con = $400 y = $20, calcula el presupuesto para reparaciones semanales y mantenimiento, para que la cantidad presupuestada solamente sea rebasada con una probabilidad de 0.10.

a) $425.63 b) $420.00 c) $485.60 d) 438.20

255

8. Un cierto tipo de tornillo se fabrica con 0.05 de probabilidad de ser defectuoso, calcula la probabilidad de que en los siguientes 400 tornillos existan menos de 25 defectuosos.

a) 0.1515 b) 0.0001 c) 0.8485 d) aproximadamente1 1

9. Cierto proceso de manufactura produce pernos que deben tener un diámetro de 1.2y 1.25 pulg. Sesabe que el diámetro se distribuye normalmente con media de 1.21 y desviación estándar de 0.02, calcula el porcentaje de los pernos que está fuera de éstas especificaciones.

a) 46.24 b) 66.87 c) 33.13 d) 53.76

10. El diámetro de un cable eléctrico está distribuido normalmente con 0.8 de promedio y 0.0004 de varianza. Un cable se considera defectuoso si el diámetro es diferente desu promedio en más de 0.025, calcula la probabilidad de obtener un cable bueno.

a) 0.5411 b) 0.7887 c) 0.2113 d) 0.4589

Respuestas de los ejercicios

Ejercicio 1

1. 4

3 2. 1

3 3. a) 50 000 b) 80%

4. 0.2

5. 0.5

Ejercicio 2

1. a) 0.3935 b) 0.3679

256

2. 0.3679

3. 0.975 años

4. 0.5134

5. 0.0009

Ejercicio 3

1. 0.5910

2. a) 0.4060 b) 962.82

3. a) 0.8413 b) 81.498

4. a) 151 b) 0.255

5. a) 4.75% b) 74.86% c) 67.11%

6. a) 19 090 b) 456 c) 456

7. 34.108

Ejercicio 4

1. 0.0601

2. 0.9977

3. 0.8485

4. aproximadamente 1

257

Respuestas de los ejercicios propuestos

1. 0.89595

2. f xx

( ),

,

1

2 31 3 1 3

0

en otro lugar F x

x

xx

x

( )

,

,

,

0 1 3

1 3

2 31 3 1 3

1 1 3 3. a) 160 y 880.52 b) 0.0885

4. a) 13.36% b) menor a 0.0051

5. media 116.24, probabilidad 0.8065 6. media 53.004, desviación estándar 1.9146

7. 0.0695

8. 0.8093

9. 45.4

10. 0.5488

11. a) 65.13% b) $6.0725

12. a) 19.36% b) 39.69%

13. a) 0.7925 b) 0.0101

14. a) 0.518 b) aproximadamente 0

258

Respuestas de la autoevaluación

1. b)

2. b)

3. d)

4. c)

5. a)

6. d)

7. a)

8. c)

9. c)

10. b)