Se llama proyección ortogonal del

punto P sobre la recta r al punto P' que se

obtiene de la intersección de la recta r con

el plano que contiene al punto P y es

perpendicular a ella.

La proyección ortogonal

de un segmento sobre una recta

es la unión de todas las

proyecciones ortogonales de

cada uno de los puntos de "l"

sobre la recta.

Unidad de aprendizaje # 9

PROYECCIÓN ORTOGONAL Y SISTEMAS DE COORDENADAS

Proyección de un segmento sobre una recta:

Proyecciones ortogonales de puntos y segmentos. Con reglas, y escuadras

1er Caso. Sobre una recta horizontal: Acoplamos un cateto de la escuadra a

la regla, y el otro cateto se alinea con el punto. Trazamos una línea segmentada

-1- P rof. Simón Lyon

x

y

x

y

A

B

n

A

B

- 2 -

--

2do Caso. Sobre una recta horizontal.

Seguimos el mismo procedimiento:

• Alineamos la regla a la recta de proyección

• Acoplamos un cateto de la escuadra a la regla, y el otro cateto se alinea con el punto

• Trazamos una línea segmentada

Proyección Ortogonal de Segmentos Sobre Una Recta

El segmento es paralelo a la recta de proyección. El segmento no es paralelo a

la recta de proyección

Actividad I

1) Traza la proyección ortogonal de cada punto sobre las rectas

A) B) C)

2) Trazar la proyección del segmento

A) B)

A n

P rof. Simón Lyon

3) Traza la proyección ortogonal del triángulo sobre la recta

Unidad de aprendizaje # 9

Plano cartesiano

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.

Ejemplo: (-3, 1) ; (2,3) ; (0,0) ; (-1/2, -3/2)

-3- P rof. Simón Lyon

Actividad II

1) Representa en el plano cartesiano los puntos: A (-2,2) ; B (0,5) ; C(-3,-3) ; D(4,-5) ;

E(-3,0), F(0,0) ; G(0,-4)

2) Escribe los puntos que se indican en el siguiente sistema de coordenadas e indica

en que cuadrante se encuentra.

3) Ubica en el plano cartesiano un triángulos de vértices A( -2, 3) ; B(3,1) ; C(0,-3)

Unidad de aprendizaje # 9

FUNCION AFIN

Es una función cuya gráfica es una línea recta, por lo que también se le denomina función lineal.

Esta función se puede escribir de la siguiente forma: f(x) = mx + b, donde m y b son números reales tales que, m se llama pendiente y b es el punto de corte con el eje de las ordenadas.

Si m es mayor que cero (m>0), se dice que la recta es creciente.

Si m es menor que cero (m<0), se dice que la recta es decreciente.

Si b = 0, la recta pasa por el origen.

La función lineal se distingue del resto de las funciones porque el exponente de su variable independiente es uno (variable x, grado 1).

La expresión f(x) se puede simplificar por la letra y, así podemos decir que y = f(x), así la ecuación de la recta se puede escribir también de esta manera: y = mx + b.

EJEMPLO

a) y = 4x+6 b) y = -2x-8) c) f(x)=-8x+2

Gráfica de la función Afín:

Tenemos que tener presente lo siguiente: hay que realizar una tabla de valores

de doble entrada, para valores de la variable x y los valores de la variable y. Los

-4- P rof. Simón Lyon

valores para la tabla se obtienen dando valores a la variable x, que al sustituirlos en la

ecuación de la función se obtienen los respectivos valores para la variable y.

Al final se ubican en el plano cartesiano los pares ordenados determinados por la

tabla que llenaste, para luego unir todos esos puntos con una línea recta.

Ejemplo: y = 2x + 3

Sea x = 3, al sustituir este valor en la ecuación dada tenemos que: y = 2x + 3

y = 2 (3) + 3, al resolver esto y = 6 + 3, así nos queda y = 9 Ahora sea x = 1 y = 2 (1) + 3, al resolver esto sería y = 2 + 3, así nos queda y = 5 Tomemos ahora x = 2 y = 2 (2) + 3, al resolver esto sería y = 4 + 3, así nos queda y = 7 Tomemos uno más, sea x = 0 y = 2 (0) + 3, al resolver esto sería y = 0 + 3, así nos queda y = 3

Actividad III

1) Dada la función Y=-ax+3. Indica: a) ¿Es una función afín? B) Si es una función afín indica el valor de su pendiente. c) ¿La recta es ascendente o descendente? D) ¿Cuáles son las coordenadas del punto

de corte con el eje de ordenadas?

2) Tomando en cuenta las siguientes funciones: a) y = -¾x – 1 , b) Y=2x-4 c) y = -2x – 1.

Indicar: si son una función afín, el valor de la pendiente, el punto de corte al eje de

ordenadas y realizar su gráfica.

Unidad de aprendizaje # 10

Vectores en el plano

Un vector es un segmento dirigido, es decir es un segmento que tiene longitud,

dirección y sentido.

Elementos de un vector

Módulo: También llamado magnitud o intensidad, es la longitud medida en cierta escala de un segmento. El módulo de un vector siempre debe ser positivo y diferente a cero.

-5- P rof. Simón Lyon

Dirección:

La dirección u orientación del vector se evidenciara por la recta contenida en el vector

o cualquiera paralela a esta.

Determinada por el ángulo que puede formar el mismo vector con una línea referencial

que podría ser el eje X del sistema de coordenadas.

Sentido:

Este se representa gráficamente con la punta de la flecha que se encuentra en un

extremo del vector.

Representación gráfica de vectores

Gráficamente, un vector se representa como una flecha ubicada en un eje de coordenadas. En esta flecha podemos identificar cada uno de los elementos que lo conforman, está determinado por dos puntos origen y extremo.

Ejemplo

Componentes de un vector

Para calcular las componentes de un vector, necesitamos conocer previamente las coordenadas de su origen y de las coordenadas de su extremo, ya que se calcularan a partir de éstas. Si las coordenadas del punto de origen de un vector son: A( X1 , Y1 ) Y las coordenadas de punto de extremo de un vector son:B ( X2 , Y2 ) Calculamos las coordenadas del vector, restando las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen:

Ejemplo: Dado el vector de origen A (-2 , 3) y extremo B (4 , 5) determinar los

componentes del vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ .

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = [4 - (-2) , 5 – 3 ] => 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (6 , 2 )

-6- P rof. Simón Lyon

Adición de vectores

Ejemplo: = Cual es el valor de �⃗� + 𝑣 , si �⃗� = ( 1 , 2 ) y 𝑣 ( -1 , 3 )

𝑢⃗⃗⃗ + 𝑣 = (1 + (-1) , 2 + 3) = ( 0 , 5 )

-7- P rof. Simón Lyon

Operaciones combinadas

Para efectuar este tipo de operaciones primero se realizan las multiplicaciones indicadas y luego las sumas y restas en el orden dado.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Actividad IV

1) Determinar las coordenadas de origen y extremo de los vectores

2) En el plano cartesiano traza los vectores 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ , 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐻𝐾, siendo C ( 0 , 7 ), D ( -5

, 1 ), M ( 4 , -1 ), N ( 8 , 7 ), H ( 5 , 3 ) y K ( -4 , -4 ). 3) Determina los componentes de los vectores que unen cada par de puntos.

a)A(-2 , 3) ; B(0 , 4) b) M(2 , 3) ; N(0 , 0) C) P(-7 , 1) Q (-3 , -2)

4) Representa en el plano cartesiano los siguientes vectores, considerando que el origen es el origen de coordenadas y el extremo el par ordenado determinado por sus componentes

a) 𝑎 = (1 , 2) b) �⃗� = (3 , -2) c) 𝑐 = (-3 , -4) d) 𝑑 = (-4 , 0) 5) Determina los componentes de la suma de los vectores dados

a) �⃗� = (2 , 2) ; 𝑣 = (1 , 0) b) 𝑎 = (2 , 3) ; �⃗� = (-1 , 4) 6) En cada caso, calcular el valor de �⃗� - 𝑣

-8- P rof. Simón Lyon

Traslación de una recta: Calculamos los

transformados de dos de los puntos de la recta y

luego los unimos para obtener la transformada

de la recta.

Traslación de un polígono: la imagen de un

polígono bajo cualquier traslación se

determina hallando la imagen de cada uno de

los lados que forman el polígono.

a) �⃗� = (2 , -3) ; 𝑣 = (4 , 5) b) �⃗� = (-2 , -5) ; 𝑣 = (-2 , -1) c) �⃗� = (6 , 1) ; 𝑣 = (2 , 7)

7) Sean los puntos A (-1 , 3) , B (-2 , 4), C (0 , -2) y D (8 , 1), determinar el valor de cada producto indicado.

A) 3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ B) -2 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ C) 2

3𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ D) −

1

2𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗

8) Dados los vectores �⃗� = (-1 , 2 ) , 𝑣 = (0 , -3 ) y �⃗⃗� = (2 , 0 ) calcular los siguientes vectores:

a) �⃗� -2𝑣 + �⃗⃗� b) �⃗� + 2�⃗⃗� c) �⃗⃗� - �⃗� + 𝑣 d) 2

3𝑣 +

1

3�⃗� - 3𝑣

Unidad de aprendizaje # 11 Transformaciones en el plano

Traslación

La traslación del vector �⃗� es una transformación geométrica del plano que asigna a

cada punto P del plano el único P” tal que los vectores 𝑃𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ y �⃗� son iguales. Traslaciones en el plano cartesiano

Dados un punto P (x , y) y un vector �⃗� = (h , k), TU(P) = (h + x , k + y) Ejemplo

Dado el vector �⃗� = (-1,2) y el punto P (2,-3) halla T�⃗� (P)= P´

T�⃗� (P)= [-1+2, 2+(-3)] =(1,-1)

Rotaciones

Sean O un punto fijo y α un Angulo dirigido dado, la rotación de centro O y ángulo α es una transformación del plano que asigna a cada punto P un único punto P´.

Esta rotación se puede denotar por Rα(P) =P´

Una rotación se determina por estos tres elementos:

Un ángulo que determina la, amplitud de la rotación.

Un punto llamado centro de rotación.

-9- P rof. Simón Lyon

Un sentido de la rotación que puede ser del mismo sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario.

Simetría axial

Es una transformación en la cual cada punto P se asocia a otro punto P´ llamado imagen de P, de manera que P y P´ están a igual distancia de una línea recta llamada eje de simetría, y el segmento PP´ es perpendicular a dicho eje.

Actividad V

A) Aplica al triángulo A(0,0), B(3,0), C(3,3) la traslación T�⃗� SI �⃗� =(4.5), dibuja los triángulos ABC Y A´ B´C´ sobre el plano.

B) Con centro en O, realiza las rotaciones indicadas en cada caso

C) En el plano cartesiano, ubica el punto A (4,2) y, tomando como centro el origen

de las coordenadas, aplica las siguientes rotaciones: R90°(A) = B ; R100°(A) = C

; R-90°(A) = D

D) Ubica en el plano cartesiano un triángulo de vértices A( 3 , 1); B(3,4) , C (7,4) y

tomando como centro el punto O (-1,1), aplica la rotación según el ángulo α = -

100° e indica las coordenadas del nuevo triangulo.

-10- P rof. Simón Lyon

Los ángulos alternos son un conjunto de

ángulos no adyacentes a ambos lados de una

recta trasversal. Ésta intercepta a dos rectas

(generalmente paralelas) formando ocho

ángulos que se pueden clasificar como alternos

externos o alternos internos

E) Traza la imagen simétrica de cada figura respecto a la recta m.

Unidad de aprendizaje # 12 Rectas y ángulos

Dos rectas distintas son secantes, si tienen un solo punto en común; y son paralelas si no tienen puntos en común. Dos rectas secantes forman cuatro ángulos en su punto de intersección cuya suma es 360°.

Ángulos opuestos por el vértice: Se denominan Ángulos opuestos por el

vértice cuando los lados de uno son semi rectas contrarias a los lados del otro. Los

ángulos opuestos al vértice tienen como propiedad que “todos los ángulos opuestos

por el vértice son iguales”

Ánulos alternos internos y ángulos alternos externos

.

α + β + δ + γ = 360°

la suma de Dos pares de ángulos seguidos

miden 180°

α + β = δ + γ = β + γ = α + δ = 180°

𝛼 = 𝛽

𝜃 = 𝛾

∡1, ∡2, ∡7 y ∡8 son

denominados ángulos alternos

externos.

∡3, ∡4, ∡5 y ∡6 son

denominados ángulos alternos

internos

-11- P rof. Simón Lyon

a) Los ángulos internos

b) Los ángulos externos

c) Los pares de ángulos alternos externos

d) Los pares de ángulos alternos internos

e) El valor de los ángulos 2 , 4 , 3 , 5, 6, 7, 8

a) 𝛼 = 2𝑥 + 5° ; 𝛾 = 3𝑥 − 18°

b) 𝛽 = 𝑥 + 2° ; 𝛿 = 3𝑥 + 18°

Ejemplo

Actividad VI

1) De la siguiente figura, determina:

2) Dadas las rectas secantes secantes a y b, halla las medidas de los cuatro ángulos en cada caso:

Unidad de aprendizaje # 13

Función polinómica

En general una función polinomica P: Q -> Q es una función que se escribe de la

forma p(x) = anXn + an-1X

n-1 + …+a1X+a0

Donde: an, an-1,a0 son números racionales llamados coeficientes.

anXn, an-1X

n-1, a0, a1X se llaman términos

n, n-1, n-2 son naturales que determinan el exponente de cada termino,

Para que una función sea polinomica el exponente de las variables debe

estar positivo.

Ejemplo de funciones polinómicas:

P(x)= 10x2 – 150x + 500 Q(x) = 10x5 – 1/5x2 -3x + 7

De la figura sabemos que ∡3 = 55⁰, éste es un ángulo interno a la transversal

por lo que su ángulo alterno es 6. Por lo tanto: ∡3 = ∡6 = 55⁰

Ahora, ∡3 y ∡4 son suplementarios, sus medidas suman 180⁰, es decir: ∡3 +

∡4 = 180⁰

De aquí tenemos: ∡4 = 180⁰ – 55⁰ = 125⁰.

∡4 y ∡2 también son suplementarios, por lo que: ∡2 = 180⁰ – 125⁰ = 55⁰.

Observemos que ∡4 y ∡5 son ángulos internos y son congruentes, por lo

tanto: ∡5 = 125⁰

Por lo otra parte ∡3 y ∡1 son suplementarios, por lo que: ∡1 = 180⁰ – 55⁰ =

125⁰.

Observemos que ∡1 es exterior a la transversal y su ángulo alterno es ∡8,

por lo tanto:

∡8 = 125⁰ Ya que ∡8 y ∡6 son suplementarios, ∡8 y ∡6: ∡7 = 180⁰ – 125⁰ =

55⁰ = ∡6

En general: ∡1 = 125⁰ : ∡2 = 55⁰; ∡3 = 55⁰; ∡4 = 125⁰; ∡5 = 125⁰; ∡6 = 55⁰;

∡7 = 55⁰; ∡8 = 125⁰

-12- P rof. Simón Lyon

Valor numérico de una función polinomica

Para hallar el valor numérico de una función polinómica, dado un cierto valor de x

, se sustituye la x por dicho valor, y se efectúan las operaciones que se representen.

Ejemplo

p(x) = x2 – 15x + 5 ¿Cuánto vale p(3)? Para hallar : p(3)= (3)2 – 15 . 3 + 5 = 9 –

45 + 5 = - 31

Elementos de un polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica de sumas, restas y multiplicaciones

ordenadas hecha de variables, constantes y exponentes.

Clasificación de los polinomios

Actividad VII 1) Calcula los valores numéricos de las funciones polinómicas dadas para los

valores que se indican. a) P(x) = 4x + 5 ; x = 2 d) P(y)= 10y2 – 4y + 20 y= 1/2

b) P(x) = x10 – x2 ; x = -1 e) P(x)= 2

3 x -

1

2x2 x= −

3

4

c) Q(x) = 10y3 – 4y + 7 y= -1 f) P(X) = 6X2 + 36X X= −1

6

2) En cada uno de los polinomios dados, indica el número de términos y cada uno de sus elementos

a) P(x) = 10X5 – X4 -5/2X3 + 7/2X2 – 10 c) P(x) = X100 – 3X2 - 2

b) P(x) = -13 + 1

4 X7 – X3 + X2

3) clasifica los siguientes polinomios según el número de términos, reduce los términos semejantes.

a) P(x) = -x4 + 15x2 +3x4 +1 b) P(x) = 11

2 x7 -x7 - x5 + 6x4 +

3

2x7 + 8 c) P(x) = x – 9

-13- P rof. Simón Lyon