Unidad IV

Fuerzas distribuidas, centroides y centros de gravedad.

Introducción

En la naturaleza existen cuatro interacciones fundamentales, una de ellas es la

gravedad, la cual corresponde a una fuerza de atracción central ejercida por la Tierra

sobre cada partícula de una distribución. El conjunto de pesos que surgen, son

paralelos entre sí y pueden ser sustituidos mediante una fuerza resultante aplicada

en un punto espacial conocido como centro de gravedad CG. Definir la ubicación de

este punto se realiza mediante los momentos de fuerza generados por cada partícula

en cada uno de los ejes x, y, z.

En un campo gravitacional uniforme se encuentra que el centro de gravedad coincide

con el centro de masas CM, necesario recordar esto ya que son conceptos

completamente diferentes.

Cuando el análisis de interacción se realiza en una placa o alambre entonces se habla

del centroide C, el cual corresponde a un punto geométrico. Establecer las

coordenadas del centroide implica considerar la gravedad y el peso específico del

material que compone al objeto en estudio. En la mayoría de problemas se

consideran cuerpos con densidades homogéneas, esto implica que el punto donde se

ubica el centroide coincide con el del centro de gravedad.

En la presente unidad se explica cómo encontrar la ubicación de estos puntos CG y C,

para cuerpos bidimensionales como placas y alambres o tridimensionales para el

caso de volúmenes. Determinar la ubicación de estos puntos implica el estudio de los

conceptos de centro de gravedad, centroide y primer momento, utilizando técnicas de

integración ya definidas o por medio de las propiedades directas del sistema tal como

la homogeneidad y la simetría o por medio de teoremas como por ejemplo el de

Pappus-Guldinus.

Localizar las coordenadas de estos puntos en distribuciones de partículas o en

cuerpos finitos es importante para analizar los efectos del peso en las condiciones de

equilibrio de un cuerpo o de una distribución de fuerzas debida a agentes externos

(presión hidrostática, etc.) sobre una viga, columna, muro, etc.

Objetivos

Objetivo general

Determinar la ubicación del centro de gravedad y del centroide en

distribuciones de partículas o en cuerpos finitos por medio de técnicas de

integración o propiedades de homogeneidad y simetría.

Objetivos específicos

Distinguir los conceptos de centro de gravedad y centroide

Localizar las coordenadas del centro de gravedad y del centroide

Aplicar el teorema de Pappus-Guldinus para calcular el área superficial o el

volumen en sólidos de revolución.

Calcular la fuerza resultante de una distribución de carga sobre un cuerpo

rígido.

Competencias

Competencias genéricas

Interpretar los principios de la estática en el estudio de la resistencia de los

elementos estructurales, con el propósito de aplicarlos en proyectos de

seguridad y producción industrial.

Reconocer la importancia del aprendizaje autónomo como una herramienta

indispensable para la excelencia en la formación académica y laboral.

Competencias específicas

Reconocer los métodos para localizar las coordenadas del centro de gravedad y del centroide en cuerpos bidimensionales, extendiendo su análisis a sistemas tridimensionales.

Analizar los efectos de la fuerza resultante en el centro de gravedad y el centroide mediante las condiciones de equilibrio.

Interpretar las condiciones de equilibrio para la fuerza resultante de una distribución de carga sobre un cuerpo rígido.

Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional

La fuerza de gravedad o peso de un cuerpo bidimensional en el plano xy o

proyectado sobre este, se ubica en un punto especial conocido como centro de

gravedad (CG) con coordenadas e Inicialmente, si se considera un cuerpo rígido

compuesto de una distribución de partículas en un campo gravitacional uniforme,

entonces sobre cada una de ellas actúa la fuerza de gravedad con la misma

intensidad, tal que existen -vectores de peso con ver fig. 1-a.

La fuerza resultante corresponde en este caso discreto a la suma de los -ésimos

vectores de peso de la distribución. Se define la suma sobre las magnitudes de los

pesos

∑

a) b)

En el caso de considerar una distribución con elementos de peso w, ver fig. 1-b, la

fuerza resultante w se ubica en el centro de gravedad CG con coordenadas e y

constituye dicho vector la suma de todos los diferenciales de peso . Se define la

suma sobre las magnitudes de los pesos, así:

∑

Pero, ¿cómo se determina el centro de gravedad? Para dar respuesta a este

interrogante se consideran los elementos de peso w. A partir de cada se define su

momento de fuerza que es igual al producto de w por su brazo de momento. Por lo

tanto, se establece que la suma de todos los momentos de fuerza generados por los

pesos con relación a los ejes e son:

∑ ∑

∑ ∑

Determinar las coordenadas e del punto CG en donde se ubica se hace a partir

de la suma de los momentos de fuerza definidos anteriormente tanto para a la

coordenada como para la de , tal que:

Ec. 1.

Figura. 1: a) Vectores de peso para una distribución de partículas en el plano x-y. b)

Distribución con elementos de peso w. En ambas distribuciones se ubica el vector peso w

en el punto CG con coordenadas e

∑

∑

Ahora bien, considerando una distribución de masa continua y no discreta en el cuerpo

rígido, se calcula el límite para la sumatoria de tal forma que:

∑ ∫

De manera similar se calcula el límite en la sumatorias de los momentos de fuerza

y para determinar las coordenadas e del punto CG, por lo cual:

∑ ∫

∑ ∫

Ejemplo

¿Cuál es el centro de gravedad para el sistema de seis partículas?, si ,

, , , , .

Primero se calcula el peso para cada una de las partículas que conforman el sistema:

El peso total es igual a:

∑

Ahora se calcula las distancias al origen son:

Después de establecer el valor de las distancias de cada partícula al punto de origen

del plano cartesiano, se calcula la suma de todos los momentos de fuerza del sistema,

tal que:

∑

Entonces

∑

Coordenadas del centro de gravedad son ( ).

En el caso de una línea en el plano x-y, las expresiones anteriores permiten encontrar

las coordenadas e para su centro de gravedad ver fig. 2. Se observa que el

centro de gravedad no se encuentra sobre la línea, sino fuera de esta.

Figura. 2: a) El centro de gravedad para una línea no se localiza exactamente sobre ella. b)

Elemento de peso w sobre la línea con coordenada x e y.

El centro de gravedad CG y el centro de masas CM son puntos en el espacio

diferentes. Sin embargo, determinar las coordenadas de estos puntos en un campo

gravitacional uniforme se encuentra que ambos coinciden.

Centroides de líneas y áreas

El centroide es una idea puramente geométrica dependiente del estilo o forma del

cuerpo. Determinar este punto es equivalente a definir su centro geométrico, el cual

coincide con el centro de gravedad si y solo si la densidad del cuerpo es homogénea.

A continuación se presentan las expresiones para determinar las coordenadas e

del centroide para líneas y áreas, utilizando para ello un proceso similar al empleado

en las coordenadas del centro de gravedad de un cuerpo bidimensional.

En un cuerpo filiforme (hilo o alambre) se define el peso w de un elemento como:

en donde es el peso específico del material el cual corresponde al producto entre la

densidad del material y la gravedad , es el área de sección transversal del

alambre y la longitud del elemento.

Reemplazando los pesos y en los momentos de fuerza de la ec. 1 y divididos

entre se definen los momentos de fuerza generados por los pesos con

relación a los ejes e son:

∑ ∑

∑ ∑

Calculando los límites para estas sumatorias se determinan las expresiones para las

coordenadas e del centroide de la línea tal que:

∫ ∫

Figura. 3: En la parte izquierda se encuentra el centroide C con coordenadas e para una

línea en el plano xy. Al lado derecho se muestra un elemento con coordenada e .

Ejemplo

En la figura se muestra un alambre doblado en varias secciones. ¿Cuál es la

coordenada ( ) de centroide C?.

Los seis segmentos se definen las longitudes las coordenadas e , a partir de

los puntos de color amarillo, los cuales indican el centroide para cada segmento de

alambre, por lo tanto los datos para cada uno de estos son:

A. B. C.

D. E. F.

La longitud total del alambre es:

∑

Las coordenadas del centroide son:

∑

∑

Ejemplo

En la figura se muestra una barra de hierro en forma de arco de radio 0.5 m, con un

área transversal de . La cuerda la sostiene la barra en el punto A y en esta

sujeta en el punto B a un pasador. ¿Cuál es la coordenada del centroide para el arco

de circunferencia?, ¿cuál es el valor de la tensión y de las reacciones e B para que

esta se encuentre en equilibrio?. (Densidad para el hierro

⁄ )

Primero se encuentra el centro de gravedad para el arco de circunferencia:

Diferencial de longitud:

Longitud del arco de la circunferencia: ∫

Coordenadas del diferencial de longitud:

Para

∫

∫ ( )

⁄

∫

⁄

( )

⁄

Para

∫

∫ ( )

⁄

∫

⁄

( )

⁄[ ]

El siguiente paso es realizar el diagrama de cuerpo libre para identificar las fuerzas

externas presentes sobre el objeto:

Una fuerza que se debe definir es el peso del arco de hierro, el cual corresponde a:

(

⁄ )( ⁄) ( ) (

( ))

Ahora, se plantea la suma de los momentos de fuerza sobre el punto B

∑

Las fuerzas en e son:

∑

∑

Un proceso similar se lleva a cabo para definir las coordenadas e del centroide

para el área. Inicialmente se considera una placa homogénea, se define el peso w

de un elemento en términos de las características propias del material como su

densidad entre otras:

en donde es el peso específico del material, t es el espesor de la placa y es el

área del elemento. De nuevo en la expresión de momentos de fuerza, ec. 1 se

reemplaza w, w y se divide la expresión entre por lo cual se obtiene:

∑ ∑

∑ ∑

Después se evalúan los límites para estas sumatorias permitiendo encontrar las

expresiones para las coordenadas e del centroide para el área, tal que:

∫ ∫

Figura. 4: En la parte izquierda se encuentra el centroide C con coordenadas e para un

área en el plano xy. Al lado derecho se muestra un elemento con coordenada e .

Ejemplo

¿Cuál es la coordenada del centroide para el área de la figura?

En la solución de este problema se calcula primero el área de las dos piezas

cuarto de círculo

Triángulo rectángulo

( )( )

El siguiente paso para la solución es calcular el área total la cual corresponde a:

Ahora se calculan las coordenadas e para los centroides de cada figura, utilizando

la tabla 1.

En la sección circular se adiciona el signo negativo debido a que la posición en del

centroide está en el segundo cuadrante:

En el triángulo rectángulo tanto e son positivas porque se encuentran en el primer

cuadrante del plano cartesiano, así:

Finalmente, las coordenadas e , así:

∑

( )( ) ( )( )

∑

( )( ) ( )( )

Ejemplo

En la figura se muestra una placa de aluminio con un espesor de 0,2m y se encuentra

conectada mediante un pasador y apoyada sobre un balancín a una superficie. ¿Cuál

es la coordenada de su centroide?, ¿qué expresiones se definen para las reacciones

en el pasador y en el balancín?. (Densidad del aluminio: ⁄ )

Primero se calcula el área total de la placa de la siguiente manera:

(√ ( ))

Integrado este diferencial de área:

∫ √

∫

Ahora las coordenadas e :

∫

∫ (√ )

∫ √ ∫

√

∫

∫ (√

) (√ )

∫ ∫

El peso de la placa se define como:

( ⁄ )(

⁄) ( )

Para encontrar las reacciones de la conexión y de los apoyos se recurre a las

condiciones de equilibrio utilizando un diagrama de cuerpo libre.

Primero se calculan los momentos de fuerza con relación al punto A:

∑

y luego las fuerzas tanto en x como en y:

∑

∑

Primeros momentos de líneas y áreas

Los momentos de primer orden y de una superficie plana con respecto a una

línea o punto, corresponden a la sumatoria de los productos entre los diferenciales de

área y sus respectivas coordenadas, tal que:

∫ ⏟

∫ ⏟

También, los momentos de primer orden se pueden definir como el producto del área

con las respectivas coordenadas del centroide:

Los primeros momentos de una línea, se definen de la siguiente manera:

∫ ⏟

∫ ⏟

O se pueden establecer los momentos de primer orden como el producto entre los

diferenciales de longitud L con las respectivas coordenadas e del centroide:

Una forma de analizar los primeros momentos en un área o línea es mediante tres

propiedades de simetría como son:

En un área o línea con un eje de simetría el centroide se ubica sobre este,

porque su primer momento estático con relación a dicho eje es igual a cero. En

la fig. 5 el centroide se encuentra sobre el eje de simetría que coincide con el

eje, en esta luego .

En un área o línea con dos ejes de simetría el centroide se ubica en la

intercepción de dichos ejes ver fig. 6.

En el caso en donde no existen ejes de simetría para áreas o líneas se localiza

entonces su centro de simetría. Por tanto, se dice que el centroide C se ubica

en ese punto, en donde los primeros momentos estáticos son por

lo que las coordenadas del centroide corresponden a

Figura. 5: Área en el plano xy con un eje de simetría. El centroide C con coordenadas e se

ubica sobre que es el eje de simetría para la objeto.

Figura. 6: Área en el plano xy con dos ejes de simetría. El centroide C con coordenadas e

se localiza en la intercepción de e .

En áreas asimétricas o fronteras irregulares el centroide se localiza al evaluar

las integrales de forma numérica.

Figura. 7: Área en el plano xy sin ejes de simetría. El centroide C con coordenadas e se

localiza en el centro de simetría del cuerpo.

Figura. 8: Área asimétrica o con fronteras irregulares en el plano xy. El centroide C se puede

localizar mediante análisis numérico con herramientas de cómputo adecuadas.

Tabla 1.: Áreas y centroides para diferentes áreas y segmentos de línea.

Centroides de placas y alambres compuestos

En general, la mayor parte de piezas u objetos están compuestos a su vez de otros.

Localizar el centroide en un cuerpo bidimensional compuesto de otros como un todo,

implica calcular las áreas de cada uno de sus componentes al igual que sus

respectivos centroides. En la fig.9 se observa una placa compuesta de varias figuras

determinar las coordenadas e de su centroide, es encontrar las áreas de cada

figura y localizar sus respectivas coordenadas e de los centroides.

Las expresiones para las coordenadas del centroide de la placa compuesta están

dadas por:

∑ ∑

∑ ∑

La coordenada se define mediante la razón entre el primer momento del área

compuesta y el área total. De forma similar, la coordenada se determina por el

cociente entre el primer momento del área compuesta y el área total.

Es importante establecer el signo apropiado del primer momento de cada área. Se

puede encontrar si se utiliza como referente los signos de los semiejes x e y del plano

cartesiano ver fig. 10.

Figura. 9: Cuerpo bidimensional compuesto de varias figuras planas.

Las áreas y se encuentran sobre el semieje negativo de x, esto indica que la

coordenada de cada centroide es negativa. En las áreas y la coordenada de

cada centroide con relación a x es positiva. Los signos para las áreas , y son

positivas, mientras para el área del orificio es negativa.

Es importante considera dos aspectos generales:

1. El centroide de un área compuesta de dos partes, se localiza justo en la línea

que une a los dos centroides C1 y C2 de las respectivas áreas que la

constituyen.

2. Si en el área compuesta se encuentra la forma de una figura pero no su área,

entonces la ausencia de esta se trabaja como una resta.

Figura. 10: Cuerpo bidimensional compuesto de varias cuatro figuras planas.

Ejemplo

¿Cuál es la coordenada para el centroide del alambre compuesto?

En la figura con diferentes colores se hace la división de las partes que constituyen la

forma general.

El segmento se encuentra en el plano x-y, el radio es de 4cm, sobre el eje y,

es un cuarto de circunferencia ubicada en el plano yz con un radio de 6cm y se

encuentra en el plano –yz.

Después de establecer los planos en donde se localiza cada uno de los segmentos, se

calculan las coordenadas de sus respectivos centroides con ayuda de las figuras

dadas en la tabla 1.

En la siguiente tabla se organizan los valores de las coordenadas de los centroides

para cada parte, al igual que sus longitudes.

Longitud L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

4

0 50,4 -31,5 0

2 6 0 3 0 0 18 0

3

0

0 35,7 35,7

4 4 0 -2 6 0 -8 24

∑

∑

∑

∑

Por lo tanto, las coordenadas ( ) para el centroide de la figura es:

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

Ejemplo

En la figura se muestra una placa de acero compuesta por siete áreas conocidas.

¿Cuáles son las coordenadas del centroide para el área completa?

El primero paso es identificar y calcular las diferentes partes que componen la placa.

Después se localizan sus respetivos centroides, utilizando los que se encuentran en la

tabla 1.

Para organizar mejor los resultados se realiza una tabla en donde se escriben las

coordenadas de cada área y el valor de la misma.

área ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 10,7 -1,2 6 -12,8 64,2

2 8 -2 -1 -16 -8

3 12 3 -1 36 -12

4 48 3 4 144 192

5 -7,1 4,5 1,5 -32 -10,7

6 -3,1 0,84 8,9 -2,6 -27,6

7 12 2,6 8,9 31,2 106,8

∑ ∑

∑

Finalmente, las coordenadas ( ) para el centroide del área total es:

∑ ∑

∑ ∑

Teoremas de Pappus-Guldinus

Los dos teoremas de Pappus-Guldinus se emplean para calcular el área superficial y

el volumen de los cuerpos de revolución, por medio de las coordenadas de sus

respectivos centroides y las longitudes o áreas que dan origen a dichos cuerpos.

Para encontrar el área superficial de un cuerpo de revolución se usa el primer teorema

que dice:

Los radiotelescopios, las antenas, la cocinas solares, etc., son paraboloides de

revolución que se origina girando una parábola entorno a un eje fijo ver fig. 11. El

funcionamiento de los instrumentos mencionados anteriormente se debe a que las

señales al incidir paralelas al eje de simetría se reflejan hacia el foco, esto hace que

exista una concentración en este punto, en donde se reciben mediante un receptor en

las antenas y radiotelescopios. En el caso de las cocinas solares la concentración de

rayos en el foco permite cocinar alimentos si se ubica el recipiente justo en este punto.

Teorema I: Una curva de longitud L se localiza totalmente al lado de un eje fijo. Al

rotarla entorno este, se genera una superficie de revolución, cuya área equivale al

producto de la longitud L de la curva generatriz por la distancia d recorrida por su

centroide en una rotación completa alrededor de dicho eje.

Pappus de Alejandría, Paul Guldin

Ejemplo

En general, se puede calcular el área superficial de cualquiera de los instrumentos

mencionados anteriormente. Inicialmente, se asocian con un paraboloide de

revolución de diámetro , distancia focal y una parábola con su vértice en el

origen, el foco con coordenadas ( ) con y una directriz igual a .

Por tanto, se define la función que describe la parábola como:

Aplicando el primer teorema de Pappus-Guldinus se define el área superficial como:

Figura. 11: Paraboloide de revolución generado por medio del programa mathematica.

El diferencial de longitud de arco de la parábola se expresa como:

√ (

)

Entonces realizando la derivada de la función de la parábola se tiene que:

Así

√ (

)

El primer momento se ha definido como:

∫

entonces

∫ ∫ √

Solucionar la integral implica considerar la siguiente sustitución:

[(

)

]

El área superficial para el paraboloide de revolución es:

[(

)

]

Ejemplo

En la figura se muestra un anillo de acero, ¿Cuál es su área superficial?

La longitud de la circunferencia es

( )

El centroide de la circunferencia es el punto de intercepción de los dos ejes, porque

existe simetría con relación a ellos. La distancia recorrida por el centroide para

generar el cuerpo de revolución es

( )

Figura. 12: El anillo presenta una forma de toroide de revolución generado por medio

del programa mathematica.

Por lo tanto, utilizando el teorema de Pappus-Guldinus el área superficial del anillo es:

( )( )

Para determinar el volumen de un cuerpo de revolución se utiliza el segundo teorema

que dice:

Ejemplo

En la figura se muestra un tanque de almacenamiento, ¿cuál es su volumen?

5 m

2 m

15 m

Aplicando el teorema de Pappus-Guldinus para calcular el volumen . En la

figura se observan dos áreas una triangular para la parte superior y una rectangular

para la parte inferior.

Teorema II: Sea el área A que se localiza totalmente al lado de un eje fijo. Al

rotarla entorno a este se genera un cuerpo de revolución, cuyo volumen equivale

al producto del área A por la distancia d recorrida por su centroide en una rotación

completa alrededor de dicho eje.

Pappus de Alejandría, Paul Guldin

C

A1

5 m

2 m

15 mC

A2

5 m

( )( )

( )( )

La distancia recorrida es igual a una vuelta del cada uno de los centroides

considerando la coordenada x. Entonces por lo anterior la expresión para el volumen

es:

en donde la suma de los productos es el primer momento , por lo tanto:

=∑

El volumen será igual a:

(

)

Ejemplo

En un recipiente cuadrado de vidrio se encuentra en una de sus esquinas una cantidad

de silicio cristalino útil en la industria de dispositivos semiconductores. En la fig. se

muestra una cantidad de este material apilado con la forma de un cuarto de sección de

un cono. Suponiendo un porcentaje de vacios del 0,005%, ¿cuál es la cantidad total

de silicio cristalino?

Para calcular el volumen de esa cantidad de material apilado en la esquina del

recipiente se utiliza el segundo teorema de Pappus-Guldinus tal que:

La distancia recorrida

(

) (

)

50 mm

80 mm

50 mm

80 mm C

El área se define a partir del triángulo rectángulo:

( )( )

Finalmente, el volumen total para la cantidad de material apilado es:

( ) (

)

Y el volumen de cantidad de silicio cristalino sin vacios es:

( )( )

Ejercicios de aplicación

Muchas estructuras están compuestas de cuerpos cuya función es soportar

distribuciones de cargas simétricas o asimétricas, por ejemplo los muros de una

represa deben soportar la presión hidrostática del agua, las columnas de algunas

edificaciones deben sostener los techos o en el caso de los puentes deben soportar

las pesadas vigas que lo componente. El estudio de estas distribuciones de carga se

realiza con el fin de analizar las condiciones de equilibrio y las reacciones de apoyos y

conexiones.

En la fig. 12 se muestra una viga empotrada a un muro y sobre ella se encuentra una

distribución de carga. La distribución total de la carga soportada por la viga se

obtiene considerando la suma de los productos entre los diferenciales de longitud y

las fuerzas w a lo largo de la viga, entonces:

∫

Pero se puede definir el diferencial de área A como el producto entre y , por lo

tanto la distribución de carga se representa ahora mediante una carga concentrada de

peso que se expresa en función del área:

Figura. 12:.

∫

Esta fuerza se ubica en el centroide de la distribución de carga. Revisemos el

siguiente ejemplo para aclarar lo mencionado anteriormente:

Ejemplo

En la figura se muestra una viga empotrada a un muro y sobre ella se encuentra una

distribución de carga. ¿Cuál es la ubicación y la magnitud de la concentración de

carga? y ¿Qué valores tienen las reacciones?

La forma de la distribución de carga permite establecer dos áreas: en la parte inferior

un rectángulo con un peso por unidad de longitud de ⁄ y en la parte superior se

observa una media parabólica complementaria (ver tabla 1.) con un peso por unidad

de longitud de ⁄

Se define en principio las coordenadas x de los centroides para estas dos figuras:

Rectángulo:

Media parabólica complementaria:

( )

La concentración de carga por unidad de longitud será igual a:

∑

[( ⁄ )( )] [

( ⁄ )( )]

Ahora mediante los momentos de fuerza con relación al punto A se encuentra la

coordenada x para el centroide de la distribución completa:

∑

[( )( )] [( )( )]

Para encontrar el valor de las reacciones se tiene que:

∑

∑

Ejemplo

En la figura se observa la sección transversal de uno de los muros de una represa con

un espesor de 2m, en hormigón RCC (Roller Compacted Canceled). Determinar: a)

los pesos de cada área que compone esta sección, b) la resultante de las fuerzas de

presión del agua sobre el muro y c) las fuerzas de reacción debidas al suelo.

En la solución de este problema se realiza un diagrama de cuerpo libre, identificando

las partes que constituyen esta sección transversal, localizando sus respectivos pesos

y centroides .

Coordenadas en x para los centroides de cada figura:

1. Media parábola:

( )

( )( )

2. Rectángulo:

( )

( )( )

3. Curva de grado:

( )

( )( )

4. Curva de grado:

( )( )

a) Pesos de cada área que compone esta sección:

Para calcular los pesos de cada región que compone la sección

transversal es necesario conocer el valor del peso específico de cada material, en

este caso para el hormigón es de

⁄ y para el agua es de

⁄ , por lo tanto:

(

⁄ )( ⁄) ( )( )

(

⁄ )( ⁄) ( )( )

(

⁄ )( ⁄) ( )( )

(

⁄ )( ⁄) ( )( )

b) La resultante de la distribución de las fuerzas de presión del agua es:

( )(

⁄ )(

⁄) ( )

c) Las fuerzas de reacción debidas al suelo

De las condiciones de equilibrio se determinan las reacciones sobre el punto A:

∑

∑

Las reacciones del suelo se pueden representar por un sistema equivalente fuerza-par

en el punto A. Por medio de los momentos de torsión se puede determinar el

momento para la fuerza resultante del sistema fuerza-par en A.

∑

Pero ¿a qué distancia se aplica este torque?:

Resumen

Los conceptos de centro de masa, centro de gravedad y centroides son conceptos

físicos diferentes. El centro de gravedad coincide con el centro de masa si el objeto en

estudio se encuentra en un campo gravitacional uniforme. El centroide de un cuerpo

se localiza exactamente en el centro de gravedad para un cuerpo cuando se

consideran densidades homogéneas. La importancia de estos conceptos está en que

se puede concentrar las fuerzas de una distribución de cargas en una resultante que

actúa directamente sobre un punto específico (CM, CG, C) conservando las

propiedades del cuerpo.

En esta unidad se presentan las pautas para calcular las coordenadas tanto del centro

de gravedad como del centroide. En el primero se encuentra directamente relacionado

con diferenciales de peso sobre el cuerpo, definiéndose el peso total como:

∫

Por lo que las coordenadas e para el centro de gravedad se definen como:

∫

∫

En el segundo el peso es directamente proporcional al producto entre el espesor (a, t),

la longitud L o área A y el peso específico del material que lo compone.

Para alambres:

Para placas:

Así, las coordenadas e para el centroide se definen como:

En alambres:

∫ ∫

En placas:

∫ ∫

Por otro lado, se establecen los momentos de primer orden y para líneas como

el producto entre la longitud y las coordenadas de su centroide y en las superficies

como el producto entre el área y las coordenadas de su centroide.

En líneas:

En áreas:

El signo de los primeros momentos es positivo o negativo y dependen de la ubicación

dada del cuerpo en el plano cartesiano de referencia.

Los primeros momentos estáticos corresponden a magnitudes geométricas que

pueden ser localizadas por medio de tres propiedades de simetría como son:

Si el área o línea presenta un eje de simetría, entonces el centroide se ubica

sobre este.

Si el área o línea presenta dos ejes de simetría, el centroide se localiza

inmediatamente en la intersección de estos.

Si no hay presencia de ejes de simetría sobre el cuerpo en estudio, entonces el

centroide se ubica en el centro de simetría de la figura.

Si se consideran asimetrías o fronteras irregulares el centroides se localiza

mediante integrales evaluadas de forma numérica mediante herramientas de

cómputo adecuadas.

En el caso de analizar la ubicación del centroide para un área compuesta por

diferentes partes con áreas de forma geométricas conocidas, entonces la solución es

simplemente calcular los primeros momentos de cada una de ellas. Esto es encontrar

el valor de cada área y sus correspondientes centroides, considerando dos aspectos

como son:

Si el área se compone por otras dos, entonces el centroide del área total se

encuentra sobre la línea que une a los dos centroides de las áreas

constituyentes.

En el caso que se analice una lámina con perforaciones por ejemplo, entonces

esta ausencia de estas áreas se calcula de igual manera salvo que se

antepone un signo negativo para el cálculo del área total.

Finalmente, se presentan algunas aplicaciones en las que se localizan los centroides

para calcular por ejemplo el momento de fuerza para la resultante del peso en una

distribución de cargas o en el caso de trabajar presiones hidrostáticas es establecer la

resultante de la presión debida a la distribuciones de estas fuerzas sobre un cuerpo

como: vigas, columnas, muros, etc conectados o apoyados por los elementos o

mecanismos ya estudiados en la unidad anterior.

Bibliografía

Beer, P. F., Johnston, E. R., Mazurek, F. D., Cornwell, J. P. & Eisenberg, R. E. (2010). Vector Mechanics for engineers: statics & dynamics (9ª Ed.). NY: McGraw-Hill. Hibbeler, R. C. (1997). Mecánica de materiales (3ª Ed.). México: Person.

Meriam J. L. & Kraige L. G. (2006). Engineering Mechanics Statics: (7ª Ed): United

States of America: WILEY.

Aguiar R. & Moreno F. Análisis sísmico de presas de gravedad con hormigón rodillado considerando la interaccion suelo estructrura, disponible en: http://repositorio.espe.edu.ec/bitstream/21000/5146/3/T-ESPE-033093-A.pdf

Tabla de pesos específicos de materiales disponibles en:

http://metalicas-uv.weebly.com/uploads/8/7/8/7/8787102/formulas_vigas.pdf

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm