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Unidad 2ANÁLISIS SINUSOIDAL EN ESTADOPERMANENTE
Las fuentes de voltaje o de corriente pueden ser:
(a) De corriente continua (cc o dc),
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(b) Funci n de! tie"#o
(b$) onda diente de %ierra
(b2) Onda cuadrada
(b&) Ondatrian'u!ar
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(b ) tren de #u!%o%
(b ) Onda %inu%oida!, conocidata"bi*n co"ocorriente a!terna,
ac+
Todas las fuentes denotadas con b, de b1 a b5 son periódicas
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Una señal periódica se define cuando
En donden = 1, 2, 3, !T es periodo o duración de una onda
co"pleta enunidades de tie"poEn la industria el#ctrica: $eneración,
transporte ! distribución de ener$%a, &ue esa"plia"ente usada
para el "ovi"iento de "'&uinas ! utensilios, es la
ondasinusoidal (corriente alterna)
v(t ) i(t )
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*ropiedades de las sinusoides
f (t ) = A cos(+t φ )
En la ecuación anterior, A es la a"plitud, en voltios si
representa a un voltaje o ena"perios si se trata de una
corriente
+ es la frecuencia an$ular en radianes-se$undo (rad-s),φ es el
'n$ulo de fase enradianes o en $rados
.i aplica"os la propiedad de periodicidad:
f (t ) = A cos(+t φ ) conn = 1
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*ara &ue lo anterior se cu"pla:ωT = 2π de donde
T en unidades de tie"po ! es el per%odo de la onda o ciclo
El rec%proco del per%odo es el n/"ero de ciclos producidos en la
unidad detie"po, as%
f es la frecuencia en 0ert ios,
π ω 2
1 ==T
f
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La relación entre la frecuencia an$ular ! la frecuencia en 0ert
ios es
La frecuencia de la corriente alterna en El .alvador, ! en
"uc0os pa%ses de"#rica, inclu!endo U. es de 4
6ebido a &ue las ondas pueden eventual"ente escribirse
co"o
7unción seno7unción coseno
Una co"binación de una función seno ! una función coseno
.e 0ace necesario tener en cuenta las si$uientes i$ualdades
f π ω 2=
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La ecuación
.e puede escribir ta"bi#n co"o
7or"a seno
7or"a coseno
7or"a seno8coseno)sin()( φ ω += t At f
)cos()( θ ω −= t At f
)sin()cos()( 21 t At At f ω ω +=
)cos()( θ ω −= t At f θ φ −°= 9
)sin()( φ ω += t At f
)cos()( θ ω −= t At f θ cos1 A A =θ sin2 A A =
)sin()cos()( 21 t At At f ω ω +=
)sin()( φ ω +=
t At f φ θ −°= 9)cos()( θ ω
−= t At f
)sin()cos()( 21 t At At f ω ω +=2
22
1 A A A +=
= −1
21tan
A
Aθ
)cos()( θ ω −= t At f
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En el an'lisis de circuitos de corriente alterna aparecen
t#r"inos co"o, resistores,inductores ! capacitores
Un circuito RL serie ali"entado por una fuentev s da ori$en da
una ecuación de la for"a
sv Ridt di
L =+
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Un circuito RC serie ali"entado por una fuentev s da una
ecuación de la for"a
Un circuito RLC serie da ori$en ali"entado por una fuentev s da
una ecuación de lafor"a
La ecuación anterior es una ecuación inte$ro8diferencial &ue
se puede convertir en ecuación dese$undo orden al derivar todos los
t#r"inos
sea de la for"a
En donde f (t ) se conoce co"o función de e;citación ! es
proporcionada por la fuente Lavariable x puede ser cual&uier
variable de circuito corriente o voltaje en al$/n ele"ento
svC q
Ri =+ st
vduuiC
Ri =+ ∫ ∞−
)(1
s
t
vduuiC dt
di L Ri =++ ∫ ∞− )(1
dt dv
iC dt
id L
dt di
R s=++ 122
)(2 222
t f xdt dx
dt xd =++ ω α
svC q
dt di L Ri =++
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La solución co"pleta de la E6 es de la for"a
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spuesta de los elementos de circuito
.i v(t ) = V mcos(ωt φv)
En un resistor la corriente ! elvoltaje est'n en fase
Las a"plitudes se relacionan "ediante
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.i v(t ) = V mcos(ωt φv)
En un inductorv(t ) adelanta ai(t ) en9 °, o bieni(t ) atrasa
av(t ) en 9 °
Las a"plitudes se relacionan "ediante
El t#r"ino ω L tiene unidades deresistencia ! es usual escribir:
X L = ω L:reactancia inductiva
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.i v(t ) = V mcos(ωt φv),
En un capacitorv(t ) atrasa ai(t ) en9 °, o bieni(t ) adelanta
av(t ) en 9 °
Las a"plitudes se relacionan "ediante
El t#r"inotiene unidades de
resistencia ! es usual escribir:
: reactancia capacitiva
)9cos()sin()( °++=+−== vmvm t CV t V C dt dv
C t i φ ω ω φ ω ω
C ω 1
C X C ω 1
=
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Combinaciones de elementos
ircuito RL serie6ado v(t ) = V mcosωt
*or L>?:
.upon$a
@$ualando coeficientes respectivos de cosω t ! sinω t ,
respectiva"ente,
vvv L R =+t V
dt di
L Ri m ω cos=+
)cos()( θ ω −= t I t i m
)sin( θ ω ω −−= t LI dt di
L m
)cos()sin()cos( t V t LI t RI dt di
L Ri mmm ω θ ω ω θ ω =−−−=+
t V t t LI t t RI mmm ω θ ω θ ω ω θ ω θ ω
cos)sincoscos(sin)sinsincos(cos =−−+
t t V t LI RI t LI RI mmmmm ω ω ω θ ω θ ω θ ω θ
sincossin)cossin(cos)sincos( ×+=−−+
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(b)
(a)
: Aa$nitud de la i"pedancia en o0"ios
En (b):
mmm V LI RI =+ θ ω θ sincos
cossin =− θ ω θ mm LI RI θ ω θ cossin mm LI RI =
R
X
R
L L== ω θ tan
22 L X R Z +=
Z X
Z R L== θ θ sincos
m L
m Lm V Z X
I X Z R
RI =+
mmmm L V I Z I
Z
Z I
Z X R ===+
222
22 )( L R
V Z V
I mmmω +
==
t t V t LI RI t LI RI mmmmm ω ω ω θ ω θ ω θ ω θ
sincossin)cossin(cos)sincos( ×+=−−+
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En un RL seriev adelanta ai en θ , o bieni atrasa av en
Bote &ue Cθ C 9 °
= − R Lω
θ 1tan
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Ejemplo 1 *or un circuito serie con R = 1 Ω ! L = 2 " circula
una corrientebtener el voltaje total ! el 'n$ulo con el &ue la
corriente se
retrasa respecto al voltaje
. LU @DB
La reactancia inductiva es:
El voltaje se adelanta a la corriente en el 'n$uloθ = 5F, de
"odo &ue
3 5sin2 t i =
G 1)2()rad-s5( =×== L X L ω
( )22 L RV
I mm ω +
= ( ) ( )
( ) >2H2H32G11 2222 =×+=+= mm
I L RV ω
°=
=
= −− E5
11
tantan 11 R Lω
θ
voltios)E55sin(2H2H °+= t v
