VI.Accionamientos Elctricos de Velocidad VariableProf. Fabricio Salgado D.

VI.1 IntroduccinLos primeros sistemas de control de velocidad variable que provocaron que la industria pusiera atencin en ellos fueron los que se implementaron con motores de c.d. de excitacin separada.Desde el punto de vista de diseo, la mquina de c.d. presenta muchas desventajas, al ser comparada principalmente con la mquina de c.a.Comparados con los motores de c.d. los motores de induccin jaula de ardilla de c.a. presentan varias ventajas significativas en la robustez de su diseo: Tamao ms reducidoNo necesita mantenimientoSe pueden instalar casi en cualquier medio ambienteLos costos son mucho menoresSin embargo, los motores de c.a. poseen las siguiente desventajas:La ecuacin del par electromagntico no se encuentra desacoplada.El control de estas mquinas es ms complicado.

VI.3Accionamiento Elctrico de Velocidad Variable para Motores de C.D.VI.3.1 Caractersticas mecnicas de motor de corriente continua de excitacin independienteLa caracterstica mecnica del motor se puede determinar de manera general si se mantiene el voltaje de campo fijo (V) y se considera un rgimen en estado permanente de forma que para el circuito de armadura se tiene:donde:

Entonces se tienepara la caracterstica mecnica, recordando que el par electromagntico desarrollado esdondeEs importante mencionar que el flujo tiende a desaparecer, esto es entonces tericamente la velocidad alcanzara valores muy elevados; esta condicin puede aparecer cuando se suspenda la alimentacin elctrica en el devanado de campo.

Cuando se tiene una velocidad del motor que la mayor velocidad de vaco ideal y la FEM es mayor que el voltaje aplicado , entonces la mquina elctrica trabaja como generador por lo que la corriente cambia de sentido y se puede tener una ecuacin definida porEntonces el par del motor cambia de signo y se tiene que

VI.3.3 Variables de estado y diagramas de bloques para la representacin de la mquina de corriente directaCuando se requiere tener un modelo dinmico se puede recurrir a un modelo en variables de estado o al empleo de un diagrama de bloques; estas dos representaciones son de las ms empleadas.En la figura 5.5 se muestra el modelo elctrico del motor de c.d. en el que se tienen los circuitos de armadura y del campo: el circuito de la armadura se puede identificar como el circuito que contiene la FEM, el circuito del campo se encuentra definido nicamente por una resistencia, un inductor y una fuente de alimentacin.

Se puede plantear la siguiente ecuacin diferencial para la descripcin del circuito de la armadura.mientras que para el circuito de campo se tiene queEl par electromagntico esLa ecuacin mecnica esdonde:

Las variables de estado son aquellas que describen un sistema.A continuacin se plantea la definicin general de estas variables y luego se presenta un ejemplo basado en un circuito RLC, de segundo orden, en el que se encontrar el modelo en variables de estado que sirve de representacin del circuito.En trminos bsicos las variables de estado son el conjunto mnimo de variables que determinan el estado de un sistema, y al ser representadas por un vector de n variables ste recibe el nombre de vector de estado. Este concepto se emplea principalmente en sistemas con mltiples entradas y salidas, como lo son los motores elctricos.El modelo matemtico de estos sistemas son las ecuaciones 5.6 y 5.7 para los casos continuos y discretos, respectivamente; en ambos casos la primera ecuacin, que contiene la dinmica del sistemas, se denomina ecuacin de estado y la segunda ecuacin de salida.

donde A, B, C y D son matrices reales cuyas dimensiones estn especificadas en la ecuacin 5.7, mientras que u, y, x son los vectores que contienen las variables de entrada, salida y estado respectivamente.Cualquiera que sea la interpretacin que se adopte se debe tener presente que:Las variables de estado pueden tener o no sentido fsico.Las variables de estado pueden o no ser medibles.Para un mismo sistema dinmico las variables de estado no son nicas; de hecho, se pueden definir infinitos conjuntos de variables que sirvan como variables de estado.

Ejemplo: Circuito elctrico RLC. A continuacin se presenta la descripcin analtica para modelar y obtener la ecuacin caracterstica del sistema RLC.Considrese el circuito RLC que se muestra en la figura 5.6 con la particularidad de que v(t) se supone igual a 0.El estado inicial del sistema est determinado por:El estado transitorio est descrito por las leyes de Kirchhoff como sigue:

Al derivar esta ecuacin se tiene que:A continuacin se presentan dos formas de obtener la ecuacin caracterstica del sistema: una es empleando la descripcin analtica del sistema y la otra es utilizando una representacin de variables de estado.A) Descripcin analticaSe propone la soluciny luego de sustituir sta en la ecuacin 5.11 se tiene quey agrupando trminos se obtiene la ecuacin caracterstica que slo depende se los parmetros del sistema como se esperaba:

B) Representacin de variables de estadoPara cumplir con las condiciones del modelo en variables de estado, el sistema de ecuaciones puede representarse de la siguiente forma:Empleando las dos ecuaciones diferenciales que describen al circuito se tiene queDe las ecuaciones de Kirchhoff tambin se puede plantear que:

por lo que las ecuaciones pueden agruparse en la siguiente forma matricial.que en la forma de representacin de estado resulta quePara demostrar que ambas ecuaciones caractersticas son iguales, se calcula el determinante donde es la matriz identidad.De aqu se obtiene la ecuacin caracterstica siguiente:

Para plantear el modelo del motor de c.d. en variables de estado, a partir de las ecuaciones 5.1 a 5.4 se obtiene el modelo matricialdondeSimplificando se tiene que

Entonces el conjunto de ecuaciones diferenciales que describen al motor de c.d. son:Dentro de los modelos en variables de estado existen representaciones que permiten incluir relaciones no-lineales que en ocasiones se tienen que tomar en cuenta para representar diferentes fenmenos que se presentan en la mquina de corriente directa.

El modelo lineal se puede encontrar si se mantiene una fuente de alimentacin constante, sea sta la de campo o armadura, por lo que el modelo del motor de c.d. con la corriente de campo constante, se define por:

VI.3.4 Modelado del motor de c.d. en diagrama de bloquesPara realizar una representacin en bloques es conveniente que cada bloque contenga la descripcin del comportamiento del sistema, usando funciones de transferencia. As en forma general se puede definir una funcin de transferencia como la relacin entre la salida y la entrada del sistema, con condiciones iniciales nulas y en el dominio de la frecuencia.Para determinar la funcin de transferencia del motor de c.d. se parte de las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento fsico. Las ecuaciones del motor en la armadura se pueden escribir como:

donde Aplicando la transformada de Laplace se tiene que Si se elimina se obtiene la siguiente funcin de transferencia, donde la salida es la velocidad del rotor

VI.3.5 Modelado empleando diagrama de bloques para el motor de c.d.Usando las ecuaciones diferenciales bsicas del modelo del motor y mapeando el dominio de la frecuencia con la transformada de Laplace, en cada una se puede obtener el diagrama mostrado en la figura 5.7 si se mantiene la corriente de campo constante.

Por otro lado, si se mantiene la corriente de armadura constante, para un modelo del motor de c.d. empleando el circuito del campo se tiene queEn variables de estado, para el modelo del motor de c.d. en ecuaciones de campo se tiene que

donde el diagrama de bloques puede definirse por la siguiente expresin

VI.4 Funcin de Transferencia ExperimentalEn muchos casos para determinar un modelo es necesario conocer los parmetros del sistema, como lo visto anteriormente, por lo que es necesario tener mtodos experimentales para obtener la descripcin del mismo cuando no se tiene la posibilidad de conocer los parmetros (por ejemplo: ), esto es, se necesita un mtodo experimental que sirva para obtener un modelo matemtico que represente el comportamiento del motor en estado transitorio y en estado permanente, lo cual se puede lograr determinando la funcin de transferencia que se componga de dos polos y una ganancia.Este proceso experimental se basa en la respuesta transitoria y permanente de un sistema de segundo orden cuando se excita con una seal escaln unitario, cumpliendo la condicin bsica de tener los polos alejados uno del otro, aproximadamente con una diferencia de tres veces; esto lo cumple el motor de c.d. por lo que se puede aplicar este mtodo experimental.

Tomando en cuenta las condiciones anteriores para el modelado del motor de c.d., se puede tener una funcin de transferencia de la siguiente forma.Si , se puede aplicar una excitacin del tipo escaln al sistema

para poder definir la funcin de transferencia, empleando la respuesta transitoria y permanente. Por expansin de fracciones parciales esto significa escribir como una suma de funciones ms simples:Para esto se requiere obtener las races de as como los coeficientesEn el caso del polo con multiplicidad el coeficiente se puede calcular empleando:

quedando definidos los coeficientes comoLa respuesta escaln se obtiene con la siguiente expresin:

Las dos componentes de la respuesta se definen comoComo para un valor de grande entonces Tambin se puede definir una funcin Con esto se elimina la ganancia de estado permanente, y si se tiene una grande se obtiene quepor lo que se puede obtener el valor de usando el logaritmo natural:

por tanto

Para validar el proceso, empelando los datos experimentales se puede graficar

VI.5 Control en Cascada en Motores de C.D.En el caso de motores el controlador ms empleado por la industria es del tipo cascada, donde normalmente se emplean uno ms lazos internos en cascada.Para realizar el control de los motores elctricos se tiene un lazo interno de corriente y el externo de velocidad o posicin.En la figura 5.10 se ve que la corriente es la variable interna y el lazo externo es de velocidad.

En la figura 5.11 se muestra un controlador de posicin que est descrito mediante un diagrama de bloques.En la figura 5.11 lo primero que se observa es el lazo de corriente en el que se tiene a la FEM como un disturbio, de tal manera que su efecto puede ser negado porque su cambio es muy lento en comparacin con la corriente.El convertidor esttico de potencia presentado en la figura anterior y que es fundamental en la transmisin de la energa que se suministra al motor, se puede aproximar a travs de un sistema inercial de primer orden de la siguiente forma.

VI.7 Diagrama de Bloques Simplificado de Control de Posicin de un MotorEmpleando la descripcin del convertidory las partes descritas anteriormente, se puede simplificar el control de posicin de un motor empleando el diagrama de la figura 5.18 Si se controla (s) a travs de la velocidad (s) se obtiene el diagrama de bloques de la figura 5.19

En este tipo de control no se recomienda usar la accin diferencial, debido a que puede existir ruido en al seal, afectando nocivamente el desempeo del sistema. Se propone el uso de controladores con accin proporcional e integral (PI).Se puede apreciar que ste es un sistema tipo cero, sistemas de acuerdo con el nmero de polos en el origen, por lo que para anular el error de posicin en estado permanente se requiere un control PI.Para controlar el par es necesario controlar primero la variable elctrica que es la corriente, y sta se puede controlar a travs del voltaje de entrada mientras que la FEM se puede observar como una perturbacin en el circuito elctrico del motor.

Para el control de velocidad, se tiene que considerar que la variable manipulada es el par electromagntico.Si se ajusta el control de corriente con un ancho de banda superior a 3 veces se puede suponer que el lazo de par electromagntico acta de la siguiente manera:Se puede decir que el lazo de velocidad en un control de posicin tiene un efecto que estabiliza el sistema.

Se pueden proponer controladores proporcionales para los dos lazos, el lazo de posicin y el lazo de velocidad.

se tiene que tomar en cuenta que se desprecia el efecto de la friccin en la ecuacin mecnica. Como resultado se tiene la siguiente funcin de transferencia:donde los polos se pueden definir como:

Si las ganancias de los controladores son positivas, entonces los polos estn en el semiplano izquierdo del plano complejo, lo que caracteriza el comportamiento de un sistema estable.Si slo se tiene el control de posicin, la funcin de transferencia est representada por:Los polos estn en el eje imaginario y no se puede estabilizar empleando slo el control proporcional. Lo ms usado y recomendado es el empleo de controladores tipo PI (analgica o digital).El controlador tipo PI se puede definir de manera continua como se presenta a continuacin, donde la entrada para el controlador es el error:Para evaluar la salida se tiene que:La funcin de transferencia del controlador queda como:

En este tipo de controladores se debe tener cuidado cuando el valor del error permanece por mucho tiempo; esto ocurre porque la accin integral se incrementa y tiende a saturarse, por lo que la seal de salida se tiene que limitar, lo cual se puede lograr de una manera muy sencilla restando la parte proporcional de la seal de salida.De manera analgica se puede tener una topologa conformada por un amplificador operacional, un diodo zener, elementos resistivos y capacitivos; el diagrama de esto se muestra en la figura 5.26.

Cuando se requiere programar el controlador, empleando un microcontrolador, de manera digital, es necesario tener la ecuacin en forma discreta, definindose de la siguiente manera.De forma digital se puede programar un anti-windup, en la cual se tienen lmites de los valores de la accin integral.

Se debe tener en cuenta que para el control de velocidad se tienen dos integradores, por lo que se pueden ubicar los polos teniendo en cuenta el diagrama de bloques de la figura 5.27 que representa este sistema.La funcin de transferencia se define porLos polos se encuentran empleando la siguiente expresin:Se considera que el lazo de control del par es infinitamente rpido (por esta razn el valor de kp no puede ser muy grande, porque puede demeritar la condicin del lazo de par)

VI.8 Observador Lineal en Motores de C.D.En esta seccin se exponen los principios bsicos de los observadores y se disean sistemas de control por retroalimentacin de estado.El observador lineal se usa para estimar los estados de un sistema, basados en la dinmica de la entrada y la salida, por lo que un modelo bsico puede disearse como se muestra en la figura 5.28.La planta se puede describir mediante la siguiente ecuacin de estado:El observador se define como:

Los dos sistemas tienen la misma entrada y salida, por lo que podra pensarse que tienen la misma dinmica, sin embargo, se tienen que tomar en cuenta las condiciones iniciales de la planta siendo necesario definir el error entre la planta y el observador.Se puede escribir:Si el sistema es estable, entonces despus de un tiempo finito el sistema converge.Para corregir el valor estimado, se suma un trmino proporcional a la ecuacin del observador:donde la dinmica del error se puede escribir como:

Si se selecciona el valor de la ganancia k de manera correcta se pueden fijar los polos de la dinmica del error, lo que puede determinar la proporcin de convergencia de los estados estimados, reduciendo el problema al seleccionar el valor de k, adems de tomar en cuenta que la entrada del sistema no afecta el tiempo de convergencia del observador.En la figura 5.29 se muestra el diagrama de bloques de la planta y del observador, y en l se puede ver de manera clara la conformacin de cada uno de ellos.Tambin se puede determinar que una funcin de transferencia de U(s) a Y(s) no es afectada por la dinmica del observador. El observador acta como un sensor de la planta.

Ejemplo: Se tiene el caso de un servomotor que se describe mediante un modelo en variables de estado, las cuales son la posicin y la velocidad.El objetivo es determinar la matriz de ganancia k para el diseo de un observador, que cumpla con al menos tener una dinmica superior diez veces que la planta.Entonces se tiene que:El paso inicial para el diseo del observador es la definicin de la matriz de observabilidad, para analizar si es de rango completo (nmero de filas o columnas linealmente independientes):

Para el sistema planteado se tiene que:que no es de rango completo, esto es, no se pueden estimar todos los estados del sistema, en consecuencia no se puede calcular la posicin a travs de la velocidad, por esto es necesario reformular el modelo de una manera alterna tomando como salida la posicin:Siendo este sistema de rango completo, se concluye que se puede estimar la velocidad a travs de la posicin.

En el segundo paso del diseo se requiere el clculo de la ganancia K; entre los mtodos existentes se tiene el de Bass Gura y la frmula de Ackermann, para lo cual se tienen que definir la posicin de los polos deseados.En este caso particular se plantea que sean 10 veces ms rpidos que la planta, por lo que el valor de la ganancia es igual a k=[1,9 0.81]En general los dos mtodos citados se describen de la siguiente forma:Mtodo de Bass GuraMtodo de Ackermann

VI.9 Retroalimentacin de EstadosPara definir con ms detalle como se puede obtener el valor de esta ganancia k, se puede ver como una ganancia que altera la dinmica del observador y tambin que puede encontrarse una ganancia que altere la dinmica de la planta (controlador).Tomando como base el diagrama en lazo abierto de la planta que se tiene, y sumando despus la matriz de ganancia en lazo cerrado se tiene un controlador que reubica los polos del sistema cambiando la dinmica de la misma.

Se tiene que G = g es un vectorla seal de salida del sistema es un escalarSe supone que la entrada y la salida son escalares (y, r y rm son escalares), entonces u= -rm= -gx. Sin tomar en cuenta la entrada del sistema se puede decir quePor lo tanto los eigenvectores en lazo cerrado sony los polos buscados estn definidos por

Ejemplo: Se tiene un motor de c.d. descrito por el modelo en variables de estado que se presenta a continuacin, y se desea ubicar los polos del sistema en s=-1 j por lo que se requiere obtener la matriz de ganancia k que es equivalente al vector g en el sistema en lazo cerrado.El modelo del motor c.d. esDesarrollando para obtener el vector se tiene que

Luego de calcular el determinante se obtiene quey de aqu resulta queUsando los polos deseados se tiene que Igualando los coeficientes correspondientes de (5.28) y (5.29) se obtiene quey resolviendo este sistema resulta que y por tanto

Otra forma de obtener el vector g es a travs de la frmula de Ackermann.dondeen donde las a son los coeficientes deseados y A es la matriz del sistema.Retomando el ejemplo anterior, en este caso se tiene lo siguiente.Para el coeficiente de s se tiene que a1=2 y para el coeficiente independiente a2=2, por tantoy tambin

La matriz de controlabilidad que cumple es de rango completo

Ejemplo: otro ejemplo de diseo para un motor de c.d. como se muestra en la figura 5.32, con el voltaje como entrada y un par electromagntico (simplificado) de salida, manteniendo el par de carga igual a cero, TL=0.EntoncesEn lazo abierto y con las ecuaciones bsicas del motor de c.d. se tienecon los siguientes datos

La matriz de controlabilidad, de rango completo, esLa ecuacin caracterstica del sistema en lazo cerrado es

La ecuacin deseada esy la solucin del sistema esReduciendo el diagrama de bloques resulta queComo se ve esto es igual que la anterior.Por otro lado, se puede emplear el comando de Matlab (acker) para obtener g:

VI.10 Pasos Bsicos para la Retroalimentacin de EstadosTcnica para el posicionamiento o colocacin de dos valores propios. Dada la ecuacin de estado de lazo abierto se aplica la ley de control u(t)=Nr(t) kx(t) y se obtiene la ecuacin de estado de lazo cerradoSi un sistema es controlable, proyectndose una matriz de ganancia K apropiada, se pueden posicionar los autovalores de (A-BK) en cualquier posicin deseada en el plano s.

Ejemplo: Considrese un motor de c.d. descrito por las ecuaciones de estado.Su polinomio caracterstico de lazo abierto (sin retroalimentacin de estados) est dado porLas races de la ecuacin caracterstica (s)=0 son s=-9.9975 y s=-2.0025.Obsrvese que el sistema lleva aproximadamente 3 segundos para alcanzar el valor nominal. La velocidad final est cerca de 1/10 de la amplitud de la tensin de entrada.Se desea disear un controlador por retroalimentacin de estados, de forma que la respuesta del motor sea ms rpida, y lograr que (t) siga valores constantes r(t).

Para calcular la ganancia de retroalimentacin adecuada, se debe seguir la matriz de controlabilidad Mc:El sistema es controlableComo el sistema no se encuentra en forma cannica controlable, se determina la transformacin T necesaria para llevar el sistema a esta forma cannica. Si se conoce esta transformacin de la matriz de controlabilidad Mc, se puede determinar la matriz K por los tres mtodos ya vistos:Por sustitucin directa.Por la ecuacin de Bass-Gura.Por la ecuacin de Ackermann.A continuacin se van a aplicar los mtodos (ii) y (iii), y se van a comparar los resultados.

Mtodo (ii): Ecuacin de Bass-Gura. Para usar esta ecuacin se necesita determinar la matriz de transformacin T o el polinomio despejado d(s).T=McW. Mc se determin anteriormente. Ahora se va a determinar la matriz W.

Para determinarprimero se necesita obtener un polinomio caracterstico deseado (coeficiente ) y para esto es indispensable especificar los polos deseados. Supngase que se desea posicionar los polos de lazo cerrado en s=-5j, los cuales resultan en una respuesta de escaln con un sobrepeso de 0.1% en un tiempo de establecimiento de aproximadamente 1 segundo. A partir de estas especificaciones, el polinomio caracterstico deseado es:Con (s) y k(s), se determina la ganancia K en las coordenadas (forma cannica controlable):Finalmente, se obtiene la matriz K en las coordenadas originales del problema mediante

Mtodo (iii): Ecuacin de Ackermann.Autovalores de , como se deseaba.