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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
UNIDADES DIDÁCTICAS EN EL ÁREA DE
PRECÁLCULO. UN ESTUDIO SOBRE LA EFECTIVIDAD
DE ORGANIZADORES DE CONTENIDO
TESIS
Presentada por:
Irene Carolina Pérez Oxté
Asesora de tesis:
M. en C. Landy Elena Sosa Moguel
Examen profesional en opción al titulo de:
Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas
Mérida, Yucatán, México
Agosto 2011
AGRADECIMIENTOS
Ante todo doy gracias a Dios por permitirme estar aquí y gozar de salud para
finalizar satisfactoriamente este proyecto. Que sus bendiciones nunca falten en
cada uno de nosotros.
Agradezco infinitamente a mis padres Alberto e Irene por la paciencia, sacrificios
y confianza que depositaron en mí. Por guiarme y darme la oportunidad de tener
una buena educación, inculcarme valores como la disciplina y dedicación, que se
necesitan para cumplir cualquier objetivo planteado en la vida, pero sobre todo
por darme la vida y estar conmigo, sino en todo momento, en cada momento que
pudieron estar.
A mis hermanos Felipe y Julio, por la paciencia y cariño depositado en mí.
A mi mejor amigo Álvaro que sin lugar a dudas me acompañó y animó durante
toda la carrera, que el compromiso un día forjado sea siempre nuestro símbolo de
amor, sinceridad, respeto y felicidad durante la vida.
Agradezco a los profesores de la licenciatura Landy, Eddie, Martha, Rocío y
Lupita quienes contribuyeron activamente en mi formación profesional y
personal.
En especial, agradezco a mi asesora de tesis la maestra Landy por la paciencia y
sobre todo la confianza depositada en mí para el desarrollo del proyecto.
Agradezco los consejos proporcionados durante las sesiones de tesis, lo que me ha
hecho reflexionar y considerar opciones para mejorar profesionalmente.
Agradezco a mis amigos y compañeros de la carrera Magui, Melby, Triny, Luis y
Julio, con quienes compartí muchas experiencias académicas que favorecieron mi
formación profesional tanto en el ámbito matemático como en el didáctico.
Así mismo agradezco al Programa de Impulso y Orientación a la Investigación
por el apoyo económico brindado para el desarrollo de este trabajo de
investigación.
A esas personas que siempre creyeron en mí cuando más lo necesitaba y me
ayudaron de alguna manera u otra.
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN i
CAPÍTULO 1 CURRÍCULO MATEMÁTICO EN BACHILLERATO UNIVERSITARIO 1
1.1 Currículo matemático escolar: organización y estructura 1
1.2 Contexto de la reforma curricular matemática vigente en el bachillerato universitario 3
1.3 Hacia un currículo matemático en bachillerato basado en prácticas
5
CAPÍTULO 2 REORGANIZACIÓN DE SABERES MATEMÁTICOS EN PRECÁLCULO: DE
OBJETOS A PRÁCTICAS 7
2.1 Problema de investigación 7
2.2 Una mirada socioepistemológica del aprendizaje en Precálculo 8
2.3 La práctica de modelación como eje de reorganización y tratamiento didáctico de
contenido en Precálculo 11
2.4 Organizadores para el diseño de unidades didácticas en matemáticas
13
CAPÍTULO 3 MARCO TEÓRICO 17
3.1 Lo socioepistemológico en la reorganización y construcción del conocimiento
matemático
17
3.2 La noción de práctica como base en la reorganización y construcción de conocimiento
matemático
19
3.3 Pensamiento y lenguaje variacional en Precálculo
21
CAPÍTULO 4 MÉTODO 25
4.1 Conformación de un núcleo temático invariante 26
4.2 Obtención de organizadores de diseño de unidades didácticas 27
4.2.1 Determinación de indicadores de orden 27
4.2.2 Determinación de indicadores de naturaleza de las situaciones 28
4.3 Formulación de un modelo didáctico de aprendizaje en Precálculo 28
4.4 Diseño y experimentación de la unidad didáctica 29
4.4.1 Estructura y diseño de las actividades 29
4.4.2 Experimentación de la unidad didáctica 30
4.4.3 Análisis de los datos 31
CAPÍTULO 5 DISEÑO DE UNIDADES DIDÁCTICAS EN PRECÁLCULO 32
5.1 Organizadores de diseño 32
5.1.1 Análisis didáctico de contenido invariante 32
5.1.2 Análisis epistemológico y social 35
5.1.3 Análisis cognitivo: tareas para modelar lo variacional 42
5.2 Modelo de aprendizaje en Precálculo 47
5.2.1 Indicador de naturaleza de situaciones 49
5.2.2 Indicador de orden de tareas 50
5.3 Ejemplo de una unidad didáctica: el caso de la modelación lineal
52
CAPÍTULO 6 RESULTADOS Y CONCLUSIONES 63
6.1 Resultados de la ACTIVIDAD 1. LLENADO DE UN RECIPIENTE 63
6.2 Resultados de la ACTIVIDAD 2. MOVIMIENTO DE UN OBJETO 69
6.3 Resultados de la ACTIVIDAD 3. COSTOS DE UN SERVICIO O PRODUCTO 79
6.4 Sobre la efectividad de los organizadores de contenido y diseño 88
6.5 Conclusiones y reflexiones
90
BIBLIOGRAFÍA 92
i
INTRODUCCIÓN
La complejidad que encierra la construcción del conocimiento matemático y la generación de
aprendizajes matemáticos funcionales, en el sentido de que los estudiantes sean capaces de
integrar la matemática como un conocimiento orgánico para transformar su vida y reconstruir
significados permanentemente, deja ver la pertinencia de buscar organizadores menos
subjetivos y más fundamentados para el rediseño del currículo matemático en general y para el
diseño de unidades didácticas en particular. Es decir, se precisa de un currículo matemático
que favorezca el desarrollo de prácticas educativas en las cuales los estudiantes hagan uso de
la matemática para analizar, comunicar información, entender o explicar fenómenos de la
ciencia y situaciones de su entorno así como, para tomar decisiones.
Este trabajo de investigación está enmarcado en la problemática de reorganización de los
saberes matemáticos, en particular en el área de Precálculo, a partir de una sintaxis propia
basada en la noción de práctica. Se asume que centrar la atención en la actividad o práctica
que realiza el ser humano ante la necesidad o propósito de resolver un problema posibilitaría
la articulación de un saber (matemático) y su construcción (Covián, 2005, citada por Tuyub,
2008).
Así, en esta investigación se pretende establecer criterios o indicadores que permitan tomar
decisiones sobre cómo reorganizar los saberes matemáticos de Precálculo en unidades
didácticas basadas en la práctica de modelación de lo variacional, de tal manera que se
favorezca que los estudiantes desarrollen conocimientos y herramientas matemáticas para
entender y explicar fenómenos de naturaleza variacional.
El objetivo de la investigación es determinar indicadores de la naturaleza de situaciones y de
orden para la reorganización de contenidos, específicamente en el área de Precálculo, que
permitan diseñar unidades didácticas basadas en prácticas como un medio para la generación
de aprendizajes matemáticos en esta área.
ii
A continuación se describen los seis capítulos que conforman el desarrollo del trabajo.
Debido a que esta investigación forma parte de un proyecto global en el que se pretende
instaurar un nuevo currículo matemático escolar en el bachillerato universitario, en el capítulo
uno se presenta información sobre la organización y estructura del actual currículo en
matemáticas, el contexto de las últimas reformas curriculares y la pertinencia de su
reorganización en una lógica basada en prácticas.
En el capítulo dos se plantea el problema de investigación en el que se hace énfasis en la
pertinencia de reorganizar los saberes del área del Precálculo en prácticas de modelación de la
variación y el cambio más que en objetos matemáticos.
En el tercer capítulo se expone el sustento teórico de la investigación, que se enmarca en la
teoría socioepistemológica, así como resultados en la línea de investigación del pensamiento y
lenguaje variacional que tiene por objeto de estudio los fenómenos de enseñanza, aprendizaje
y comunicación de saberes matemáticos de la variación y el cambio en el sistema educativo y
en el medio social que le da cabida. Ambos referentes teóricos sustentaron la elección de
situaciones y tareas matemáticas en el diseño de la unidad didáctica.
El método para la determinación de los organizadores se describe en el cuarto capítulo. En éste
se indica cómo se incorporan los análisis de corte epistemológico, cognitivo, didáctico y
cultural como organizadores de diseño de la unidad didáctica.
En el capítulo cinco se presenta información sobre los resultados de los análisis realizados, y a
partir de los cuales se diseñó y experimentó una unidad didáctica ejemplificada de modelación
lineal.
En el capítulo seis se muestran los resultados de la experimentación de la unidad didáctica, es
decir, las respuestas de los estudiantes, su análisis y los resultados de la investigación.
Asimismo, se dan a conocer las conclusiones generales de esta investigación que derivan del
análisis de la efectividad de los organizadores de diseño de unidades didácticas en Precálculo.
1
CAPÍTULO 1
CURRÍCULO MATEMÁTICO EN BACHILLERATO UNIVERSITARIO
El presente trabajo de tesis se circunscribe en un proyecto de investigación en el que se busca
establecer indicadores para la conformación de un currículo matemático en el bachillerato
universitario acorde al contexto de la institución y de la región. En especial, en este trabajo se
enfoca la atención en el problema de la reorganización de saberes matemáticos en el currículo
bajo un enfoque basado en prácticas. En específico lo que concierne a su reorganización en el
diseño de unidades didácticas en Precálculo.
1.1 Currículo matemático escolar: organización y estructura
El ámbito curricular surgió con dos tendencias que a finales del siglo XX mostraron
sorprendentes desarrollos, una vinculada a los procesos educativos, a experiencias escolares y
al desarrollo educativo de cada estudiante y la otra más cercano a las instituciones, a la
necesidad de establecer con claridad una secuencia de contenidos que fundamente la elección
de los temas de enseñanza Díaz (2003), citado en Dolores y Hernández (2007).
Actualmente, el currículo sigue siendo el campo de los estudios más importantes en México en
lo que atañe a la educación, no sólo por lo prolífico de su producción, sino porque continúa
siendo el foco intelectual y organizativo de los procesos educativos en los centros de
enseñanza, el terreno donde se definen y debaten fines, contenidos y procesos, y a fin de
cuentas, el espacio donde grupos y actores se disputan el poder en las instituciones (Díaz,
2005).
Por otra parte, el currículo ha de ser el punto común en el sistema escolar, de tal manera que
establece vínculos entre la escuela y los actores involucrados en el proceso enseñanza
aprendizaje. En el ámbito de la matemática la “National Council of Teachers of Mathematics”
NCTM (1991), citado en Dolores y Hernández (2007) define al currículum, como un plan
operativo que detalla qué matemáticas necesitan conocer los alumnos, cómo se deben alcanzar
Currículo matemático en bachillerato universitario
2
los objetivos curriculares, qué deben hacer sus profesores para conseguir que desarrollen su
conocimiento matemático y el contexto en el que se desarrolla el proceso enseñanza
aprendizaje.
La intención del currículo es ofrecer propuestas concretas sobre modos de entender el
conocimiento, interpretar el aprendizaje, poner en práctica la enseñanza y valorar la utilidad y
dominio de los aprendizajes realizados (Rico, 1998).
El currículo se presenta como un plan que se organiza y estructura al especificar las
competencias profesionales de los profesores y las funciones de los alumnos, al caracterizar
cada una de las disciplinas escolares y al especificar la organización y estructura de la escuela
(Romberg, 1992-b en Rico, 1998).
El currículo matemático escolar se desarrolla bajo distintos contextos y necesidades de cada
región, país o institución educativa en cuanto a su desarrollo científico, tecnológico, social y
económico, por lo que su proceso de rediseño debe ser bien fundamentado y acorde a las
necesidades que surgen de la velocidad y complejidad de los cambios en la sociedad.
La estructura del currículo matemático en la reforma actual del bachillerato universitario se
basa en una secuencia lineal de objetos matemáticos, pese a que en su fundamentación se
señala la intención de organizarlo de manera que se fomente una educación científico-
tecnológica, humanística e integral, en un currículo flexible, basado en competencias y no en
Alumnos
Escuela
Profesor
Conocimiento
Romberg (1992-b) en Rico (1998) establece las relaciones entre todos los
involucrados en el proceso E-A de tal manera que muestra el currículo como
plan para la administración.
Currículo matemático en bachillerato universitario
3
ejes temáticos. En dicha reforma se concibe a la matemática como la aplicación en distintos
campos de la ciencia, es decir, como una matemática enfrentada con la realidad (Canché,
2007).
En las reformas curriculares se pretende el desarrollo de habilidades en los estudiantes para
que sean capaces de enfrentarse y resolver situaciones de índole matemático en su vida adulta.
Sin embargo, los medios para alcanzar estos fines no distan mucho de las antiguas reformas,
de tal manera que se sigue haciendo énfasis sólo en el aprendizaje de contenidos temáticos
(Canché, 2007), es decir, lo que se desarrolla en el estudiante no precisamente son esas
habilidades matemáticas, sino la memorización y algoritmia. Por ejemplo, en el programa de
curso de Matemáticas 4 de las preparatorias de la Universidad Autónoma de Yucatán
(UADY), en la unidad “Funciones, sus gráficas y aplicaciones” el énfasis está en el estudio
de conceptos como dominio, rango, pendiente, función par e impar, etc., cuando el propósito
es la aplicación de estos conocimientos en la resolución de problemas reales.
La discrepancia entre los objetivos propuestos, los contenidos y la metodología pero sobre
todo en la efectividad del currículo matemático motiva a cuestionar su organización y
estructura. En Canché (2007) se indica la pertinencia de reorientar el currículo matemático
escolar con base en una organización y estructura en la que se evite una secuencia rígida y se
promueva la flexibilidad de los contenidos, y en el que se considere a la matemática como el
resultado de la actividad de grupos humanos con una cultura determinada, teniendo que el
aprendizaje se ve afectado por el contexto, las relaciones interpersonales y de la matemática
con la sociedad.
1.2 Contexto de la reforma curricular matemática vigente en el bachillerato
universitario
El currículo matemático escolar vigente en las Escuelas Preparatorias de la UADY, surge del
“Proyecto para el nuevo plan de estudios de bachillerato” a partir de la consideración de los
cambios científicos, tecnológicos, sociales y culturales del país y entra en vigor el primero de
Septiembre del año dos mil.
Currículo matemático en bachillerato universitario
4
La necesidad de evaluar lo propuesto en las reformas curriculares, hace que en 1994 se cree la
Comisión para la revisión y elaboración de una nueva propuesta curricular, las causas para
constituir dicho comité fue porque la oferta del nivel superior ascendió, lo que implicaba una
mayor preparación de los estudiantes para que adquirieran en el bachillerato los antecedentes
necesarios para continuar sus estudios en el nivel superior. Estas circunstancias tanto sociales
como académicas llevaron a la Comisión a establecer una nueva propuesta curricular.
El bachillerato universitario es catalogado como una Preparatoria Universitaria propedéutica1
que contribuye al desarrollo social a través del trabajo académico, humanista, científico y
tecnológico. Para que la Universidad cumpla con este compromiso ante la sociedad,
implementa y pone en práctica el currículo escolar, en el que se plasma al estudiante como el
principal actor en el proceso enseñanza aprendizaje. En éste también se establece fomentar la
formación básica integral del educando propiciando la teoría, la práctica, el espíritu de la
investigación, la creatividad y el razonamiento que le permitan analizar y sintetizar los
conocimientos alcanzados y adquirir una adecuada disposición para su continua formación
académica.
En particular, para las asignaturas de matemáticas se pretende que el educando desarrolle el
pensamiento abstracto, lógico, crítico y ordenado, así como la habilidad de dar solución a
posibles problemas prácticos que se le puedan presentar en su vida cotidiana. En dicha
reforma se concibe a la matemática como la aplicación en distintos campos de la ciencia, es
decir, como una matemática enfrentada con la realidad (Canché, 2007).
En el documento del modelo educativo de la UADY se recalca la importancia de contar con un
bachillerato que posea las condiciones necesarias, y los conocimientos suficientes para que los
egresados afronten los cambios de la modernidad, el desarrollo científico-tecnológico y
satisfagan las demandas del nivel superior. No obstante, en particular en el área de las
Matemáticas, existe una marcada diferencia entre lo estipulado en el currículo matemático
oficial y el estado que guarda el currículo aprendido, según los índices de logro académico en
los estudiantes medidos en pruebas internacionales y de la institución.
1 La Preparatoria Universitaria es propedéutica, lo que significa que debe orientarse al desarrollo y fomento de
conocimientos, habilidades y actitudes y a la formación general e integral, necesarios en el egresado de bachillerato para su adecuada inserción en el nivel superior y en la sociedad.
Currículo matemático en bachillerato universitario
5
Respecto a lo anterior, en evaluaciones de los proyectos TIMSS (Third International
Mathematics and Science Study) y PISA (Programme for International Student Assessment),
los jóvenes mexicanos aún no logran un nivel deseable de rendimiento académico; una
evidencia de esto es el lugar cuarenta y ocho de sesenta que obtuvo México en PISA 2009
(Dolores y Zavaleta, 2007).
En dichas pruebas, los jóvenes muestran niveles muy bajos en cuanto a las competencias
matemáticas que se requieren para analizar y resolver problemas, para manejar información y
para enfrentar situaciones que se les presentarán en la vida adulta, en los que se espera
demuestre la capacidad de razonar, analizar y comunicar operaciones matemáticas, así como
de identificar, reconocer, estimar, argumentar, construir, etc. Así, los resultados muestran una
disonancia entre lo que se enseña en bachillerato y lo que finalmente se aprende, por lo que la
institución busca un replanteamiento de las prácticas educativas en matemáticas.
1.3 Hacia un currículo matemático en bachillerato basado en prácticas
El modelo educativo del bachillerato universitario se plantea como propósito ofrecer una
formación académica que proporcione a sus estudiantes las habilidades, hoy competencias,
para contribuir en los procesos de construcción de conocimientos científicos, tecnológicos y
humanísticos. Lo que respecta al currículo matemático escolar del bachillerato, por lo antes
mencionado, se hace necesario su rediseño de manera que en el replanteamiento de las
prácticas educativas en matemáticas se posibilite el desarrollo de competencias para modelar
matemáticamente fenómenos de la ciencia y situaciones del entorno, mediante tareas como,
predecir, calcular, estimar, resolver problemas, argumentar, codificar y manejar información
de forma sistemática.
Para su rediseño se considera necesario establecer condiciones que favorezcan en el estudiante
la construcción de una matemática funcional, es decir, un conocimiento matemático
incorporado orgánicamente en él que lo transforme y que permita transformar su realidad
(Cordero y Flores, 2007).
Currículo matemático en bachillerato universitario
6
Así en este proyecto se concibe a la matemática no como un saber fijo y preestablecido, sino
como un conocimiento con significados propios que se construyen y reconstruyen en el
contexto mismo de la práctica que realiza el hombre (Arrieta, Buendía, Ferrari, Martínez y
Suárez, 2004), es decir, un conocimiento que tiene una función social.
En ese sentido se piensa en el rediseño de un currículo matemático basado en prácticas, pues
se asume que:
“los mecanismos de desarrollo del uso de conocimiento en una situación específica
son funcionales como contra parte de una justificación razonada, es decir, lo que
norma la justificación no es una proposición lógica sino aquello que le es de
utilidad a lo humano” (Cordero y Flores, 2007, p.10).
Con un currículo basado en prácticas se espera que el aprendizaje matemático sea producto de
la realización de una actividad humana y matemática para resolver un problema en una
situación específica, haciendo de este conocimiento matemático algo funcional en la vida
diaria del individuo.
7
CAPÍTULO 2
REORGANIZACIÓN DE SABERES MATEMÁTICOS EN PRECÁLCULO: DE
OBJETOS A PRÁCTICAS
2.1 Problema de investigación
Las prácticas como predecir, modelar y optimizar en el quehacer científico, han concitado el
uso y desarrollo de conocimientos, herramientas y habilidades matemáticas para entender y
explicar fenómenos de naturaleza variacional. Asimismo, dan evidencia de la discrepancia
entre la matemática que se enseña y la que se usa en la cotidianidad, entre la actividad
matemática escolar y la actividad matemática en los campos científicos.
Lo anterior conduce al planteamiento de la emergencia de generar escenarios escolares donde
las prácticas favorezcan la necesidad de conceptos (u objetos) matemáticos. En ese sentido, en
Precálculo en diversas investigaciones se da cuenta de la conveniencia y pertinencia de la
reorganización y tratamiento didáctico de su contenido matemático a partir de una sintaxis
propia cuya génesis esté en actividades humanas como la modelación matemática en
situaciones de variación y cambio.
Asumiendo que existe algo que le da pertinencia y vigencia al contenido matemático escolar,
en particular al Precálculo, en esta investigación se buscó establecer criterios o indicadores
que permitieran tomar decisiones sobre cómo reorganizar los saberes matemáticos propios de
la variación y el cambio en unidades didácticas basadas en prácticas que favorezcan en los
estudiantes el desarrollo de formas de pensamiento matemático y la integración de la
matemática a su vida como un conocimiento orgánico funcional.
De allí surgen las preguntas de esta investigación ¿Cómo diseñar unidades didácticas en
Precálculo basadas en prácticas? y ¿En qué medida este diseño contribuye a la construcción de
conocimientos matemáticos propios del Precálculo?
Reorganización de saberes matemáticos en Precálculo: de objetos a prácticas
8
El objetivo consistió en determinar indicadores sobre la naturaleza de las situaciones y del
orden para la reorganización de contenidos, específicamente en el área de Precálculo, que
permitan diseñar unidades didácticas basadas en prácticas.
Para verificar la efectividad de los organizadores (indicadores) considerados en su diseño, se
elaboró y experimentó una propuesta de reorganización de contenidos en una unidad didáctica
de Precálculo.
2.2 Una mirada socioepistemológica del aprendizaje en Precálculo
Desde una perspectiva socioepistemológica, se asume que el aprendizaje “es un proceso
relacional epistémico contextual”, en la que los estudiantes hacen uso de su experiencia ante
actividades de índole matemático y movilizan su cognición en función de los contextos en los
que se ubican (Aparicio, Sosa y Jarero, 2011).
La complejidad en los procesos de construcción de conocimiento matemático y del análisis de
las relaciones entre profesor, alumno y saber en el sistema didáctico, hace importante analizar
los factores del contexto escolar en que se inscribe el aprendizaje en Precálculo, desde una
perspectiva teórica múltiple y sistémica: la socioepistemología. Así, a partir del análisis de
aspectos didácticos, cognitivos, epistemológicos y socioculturales asociados a dicho
aprendizaje, se vislumbra la necesidad de replantear la organización y el tratamiento didáctico
de su contenido con un enfoque basado en la noción de práctica.
En lo didáctico, el énfasis en la enseñanza de objetos matemáticos limita en los estudiantes el
desarrollo de habilidades matemáticas e inhiben una actividad matemática más auténtica de su
parte. Por ejemplo, en el programa del curso Matemáticas 4 de las preparatorias de la UADY,
en la unidad “Funciones, sus gráficas y aplicaciones” el énfasis está en la definición de
concepto, asimismo, en el libro de texto de Matemáticas 4 “Precálculo” (Trejo, Quijano y
Ávila, 2004) en el índice se observa que la organización del contenido temático corresponde a
una secuencia lineal donde primeramente el estudiante debe aprender conceptos como
“Conjuntos” y después “Desigualdades” para posteriormente abordar el tema “Funciones”.
Reorganización de saberes matemáticos en Precálculo: de objetos a prácticas
9
Respecto al tratamiento didáctico se observó que, por ejemplo, en la sección de función lineal
la atención se centra en el cálculo de la pendiente y la relación entre los parámetros (pendiente
y ordenada al origen) de la expresión con su representación gráfica. En el
tema “Funciones racionales” se demanda que el estudiante determine las asíntotas a partir de
procedimientos algebraicos, que si bien son legítimos, no se deja ver el sentido, generalidad o
funcionalidad en los mismos.
Así, los temas en varios libros de Precálculo siguen una secuencia lineal que no se cierra, de
modo que no se establecen relaciones entre temas y basan su organización en una lógica
axiomática de objetos matemáticos preexistentes. Su tratamiento privilegia la memorización y
algoritmia por parte de los estudiantes sobre el objeto matemático función, por encima del
estudio de relaciones entre variables y de la formulación de modelos matemáticos como
herramientas para que puedan explicar situaciones variacionales y construir su conocimiento
sobre el concepto función. Esta secuencia de contenidos matemáticos propicia en el estudiante
una brecha entre la matemática y él, debido a que se enseña Precálculo como una matemática
acabada, que genera en los estudiantes concepciones de las matemáticas ajenas a lo que
realmente son y por las que fueron creadas.
Si muchas veces los propios profesores no entienden en su totalidad los conceptos y procesos
matemáticos y a los propios matemáticos también les fue difícil comprender los trabajos que
sus colegas realizaban, entonces por qué pensar que tal situación no ocurre con los estudiantes,
pues el aprendizaje matemático es producto de procesos de construcción de conocimiento, no
de transmisión.
Las investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de conceptos del Precálculo y Cálculo
ponen en evidencia las dificultades que los estudiantes tienen para comprender los conceptos,
bajo tratamientos escolares como el antes referido en los libros. Por ejemplo, López y Aparicio
(2009) reportan que el tratamiento otorgado, en particular, a la función constante, propicia en
los estudiantes limitaciones de conceptualización y resignificación en escenarios no
típicamente escolares a pesar de que tienen conocimiento de dicho concepto y son capaces de
caracterizarlo, definirlo ejemplificarlo en los términos que la escuela ha dispuesto.
Reorganización de saberes matemáticos en Precálculo: de objetos a prácticas
10
El núcleo de enseñanza del Precálculo y el Cálculo enfocado a los objetos matemáticos hace
que los estudiantes deriven, integren y calculen límites elementales, pero no sean capaces de
dar un sentido más amplio a esas nociones, por ejemplo, reconocer cuándo se requiere calcular
una derivada en un problema (Cantoral y Mirón, 2000 citado en Alanís y Salinas, 2009). Tal
núcleo se basa en un sistema conceptual lógicamente estructurado y rígido, en un lenguaje
simbólico con sintaxis propia la que rige el currículo centrado en objetos matemáticos.
Sustentada en una epistemología del concepto función, Sierpinska (1992) citado en Del
Castillo y Montiel (2007) proporciona una explicación de las dificultades del aprendizaje
asociado a dicho concepto:
“La concepción más fundamental de una función es una relación entre
magnitudes variables. Si esto no es desarrollado, representaciones tales como
ecuaciones y gráficas pierden su significado y se hacen aisladas una de la otra.
Introducir funciones a jóvenes estudiantes mediante su elaborada definición
moderna es un error didáctico- una inversión antididáctica” (p.570).
Así, en la epistemología del concepto función es posible reconocer que un motor principal en
su desarrollo fue el establecimiento de relaciones entre magnitudes o variables por medio de
modelos matemáticos, por ejemplo, en Física y Astronomía. Aunado a lo anterior, una
circunstancia sociocultural que enmarca su desarrollo lo constituye la predicción y modelación
de fenómenos de flujo continuo, en una época en la que interesaba entender y explicar
situaciones de naturaleza variacional. Esto se tratará con mayor detalle en el capítulo cuatro.
Tal como se señala en López y Aparicio (2009) y en diversas investigaciones en Matemática
Educativa, iniciar el discurso matemático escolar del concepto función con la definición “Una
función es una regla (de correspondencia) que asigna a cada elemento de un conjunto ,
exactamente un elemento llamado , de un conjunto ”, se constituye como una
herramienta que legitima las acciones y nociones de los estudiantes, empero, no constituye una
base sobre la cual pueda desarrollarse un proceso de construcción del saber institucional o en
vías de constituirse.
Reorganización de saberes matemáticos en Precálculo: de objetos a prácticas
11
Desde esta mirada socioepistemológica al aprendizaje en Precálculo, se concluye que su
organización y tratamiento escolar basado en objetos inhibe la posibilidad en el estudiante de
confrontar situaciones en las que tenga que desarrollar conocimientos y habilidades
matemáticas para entender y explicar fenómenos variacionales, que le permitan modificar sus
estructuras cognitivas y adquirir experiencias para construir conocimiento matemático y
resignificarlo en su vida. Tal situación hace pensar en la pertinencia de una reorganización de
contenido basada en prácticas como la modelación matemática.
2.3 La práctica de modelación como eje de reorganización y tratamiento didáctico de
contenido en Precálculo
El tipo de experiencias que tienen los estudiantes en las aulas es lo que determina el tipo de
marco de las matemáticas que desarrollarán, el cual a su vez guiará las decisiones que toman y
sus procesos de construcción de aquello que les permita reflexionar sobre lo que da sustento a
su pensamiento (O’Connor, 1999).
Al respecto, Arrieta y Méndez (2009) dan evidencia de cómo la experiencia que se crea
mediante el ejercicio de una práctica de modelación lineal, otorga herramientas matemáticas y
argumentativas a los estudiantes, y cómo esta experiencia puede ser usada de forma más
sistemática en las comunidades.
En la modelación lineal, el trabajo de Arrieta y Méndez (2009) muestra evidencias de cómo
esta práctica provee a los estudiantes de herramientas matemáticas y la adecuación de éstas a
otras situaciones. Por ejemplo, para predecir en una situación de compras y en una sobre la
elasticidad de un resorte, los estudiantes usaron métodos como la bisección, la regla de tres y
la razón de los incrementos.
En Torres y Aparicio (2010) se evidencia que en actividades humana de predicción
matemática, estudiantes de distintos niveles educativos son capaces de realizar exitosamente
actividades matemáticas como medir, identificar variables, cuantificar cambios y establecer
relaciones. Asimismo, dichas actividades posibilitaron que entrelacen la comunicación de
sensaciones, nociones e imágenes internas con significados asociados a conceptos
Reorganización de saberes matemáticos en Precálculo: de objetos a prácticas
12
matemáticos de la variación y el cambio, a partir de procesos de orden sociocultural tales
como el gesto, que emergieron de su actividad.
En Matemática Educativa se ha mostrado que en la realización de prácticas como la predicción
y optimización de situaciones o fenómenos es posible crear escenarios escolares donde los
estudiantes desarrollen recursos y habilidades matemáticas al tiempo que construyen su
conocimiento. En tales escenarios, la modelación matemática se convierte en una herramienta
necesaria para efectuar predicciones o determinar las condiciones óptimas en cierta situación.
Por ejemplo, en Arrieta y Canul (2004) se muestra cómo en la puesta en escena de un diseño
de aprendizaje basado en prácticas de modelación de fenómenos: “Lo exponencial: la ley de
enfriamiento de Newton”, los participantes construyen lo exponencial como herramienta para
efectuar predicciones sobre el fenómeno y formarse esquemas para relacionar entre sí los
parámetros de los diferentes modelos con las características físicas del fenómeno.
En el trabajo de López (2010), estudiantes de distintos niveles educativos fueron capaces de
realizar tareas tales como la cuantificación de cambio, el análisis de variaciones, el
establecimiento de supuestos, la generación de conjeturas, el establecimiento de códigos y el
empleo de argumentos discursivos y gestuales, comportamientos globales y puntuales, para
dar solución con éxito a actividades en las que se requería que el estudiante modele
situaciones de naturaleza variacional para estimar un valor o predecir un estado ulterior. En la
resolución de estas actividades los estudiantes establecieron relaciones entre sus acciones y
significados de nociones como cambio, variación, función, límite y derivadas.
Por otra parte, la modelación matemática está siendo fuertemente difundida en muchos países
como un método de enseñanza, pues además de ayudar a los alumnos a aprender matemáticas
mediante la aplicación de las mismas en otras áreas del conocimiento, también ayuda a
mejorar la capacidad para leer, interpretar, formular y solucionar situaciones (Salett y Hein,
2004, citado en Coyoc, 2007).
En este preámbulo se reconoce la idea de basar la reorganización y el tratamiento didáctico de
saberes matemáticos en Precálculo en prácticas como la modelación matemática. Tal idea es
respaldada por el trabajo de Salinas y Alanís (2009) en el que se señala la pertinencia de
enfocar la enseñanza del Cálculo, y por ende del Precálculo, a actividades humanas de
Reorganización de saberes matemáticos en Precálculo: de objetos a prácticas
13
resolución de problemas y modelación matemática que, como lo muestra la historia,
propiciaron la construcción de conocimiento matemático relativo a los saberes de la variación
y el cambio, por ejemplo, el concepto función.
Por tanto, en Precálculo se esperaría que la generación de aprendizajes funcionales se
constituya a partir de prácticas que posibiliten en los estudiantes el desarrollo de experiencias
para conformar una estructura mental que les permita acercarse cualitativa y cuantitativamente
a los procesos de cambio (Mejía y Nieves, 2001). Por ejemplo, la resolución de problemas y la
modelación de lo cambiante.
Bajo el panorama de un replanteamiento de las prácticas educativas en Precálculo en un
enfoque basado en la noción de práctica, en esta investigación se pretende obtener información
sobre indicadores para la reorganización de su contenido y el diseño de unidades didácticas
que privilegien el desarrollo de experiencias y tareas específicas ligadas a la construcción de
los saberes de la variación y el cambio en jóvenes de bachillerato.
2.4 Organizadores para el diseño de unidades didácticas en matemáticas
Una unidad didáctica es toda unidad de trabajo que organiza un conjunto de actividades de
enseñanza y aprendizaje para la consecución de objetivos didácticos, que responde en su
máximo nivel de concreción a los componentes del currículo: qué enseñar (objetivos y
contenidos), cuándo enseñar (secuencia ordenada de actividades y contenidos), cómo enseñar
(actividades, organización del espacio y del tiempo, materiales y recursos didácticos) y a la
evaluación (criterios e instrumentos para la evaluación). Por consiguiente, es una unidad de
programación y actuación docente compuesta por un conjunto de actividades que se
desarrollan en un tiempo determinado, de duración variable (MEC, 1992, 1987; Ibañez, 1992,
citados en Díez, sf.).
El problema en el diseño de unidades didácticas reside en la definición de criterios para la
toma de decisiones sobre su planeación, desarrollo y evaluación, pues como se señala:
Reorganización de saberes matemáticos en Precálculo: de objetos a prácticas
14
“el currículo de matemáticas no proporciona información suficiente para utilizar
de manera efectiva las cuatro componentes (…) porque no ofrecen criterios para
la selección, secuenciación y organización de los contenidos, criterios para la
selección, desarrollo y control del trabajo en el aula, prioridades en el proceso de
construcción del conocimiento matemático,…” (Rico, 1998, p. 31).
Los profesores enfrentan problemas en la definición de criterios al momento de diseñar
unidades didácticas y en vez de hacer un análisis de las cuatro componentes: objetivos,
contenido, metodología y evaluación, solamente se limitan al estudio de los contenidos,
debido a que las consideraciones metodológicas de cada bloque de contenidos del currículo
matemático carecen de diferencias, es decir, desde la perspectiva del profesor no hay
tratamiento metodológico distinto. Para la planificación de cada una de las unidades didácticas
a partir del currículo matemático se tiene que los objetivos, la metodología y la evaluación se
encuentran en términos generales, que son válidos para cada bloque de contenidos, por lo que
en lo único en que se diferencian es en los contenidos. Entonces, habría que marcarse una
diferencia entre la unidad didáctica y el bloque de contenidos, y éstos se distinguen por sus
contenidos específicos (Rico, 1998).
Una incoherencia en el diseño de unidades didácticas proviene cuando se pretende basarlo en
las cuatro componentes, pero al final lo que se analiza y detallan son los contenidos
(temáticos), dejando de manera general las otras tres componentes. Sin embargo, el objetivo
para cierto saber matemático con la intención de ser enseñando no es el mismo que para todos
los demás, lo mismo ocurre con la metodología que se llevará a cabo para su enseñanza y por
supuesto con la evaluación. Esta consideración ha de tenerse en cuenta para el diseño de la
unidad.
Es así, que el diseño de unidades didácticas es algo complejo, pero para que sea útil también
ha de cuestionarse el impacto que tiene cuando se lleva a la práctica. Por tanto, para su diseño
es necesario tomar en cuenta criterios que permitan desarrollar aprendizajes en los estudiantes
a través de organizadores menos subjetivos y más funcionales. Se denominan organizadores a
aquellos conocimientos que se adoptan como componentes fundamentales para articular el
Reorganización de saberes matemáticos en Precálculo: de objetos a prácticas
15
diseño, desarrollo y evaluación de unidades didácticas, y deben cumplir dos condiciones: tener
un carácter objetivo y generar una diversidad de opciones (Rico, 1998).
Un organizador debe ofrecer un marco conceptual para la enseñanza de las matemáticas, un
espacio de reflexión que muestre la complejidad de los procesos de construcción y difusión del
conocimiento matemático y criterios para abordar y controlar esa complejidad.
Siendo la unidad didáctica en el área del Precálculo un producto de esta investigación, se
reconoce que su finalidad no se encuentra en los contenidos matemáticos específicos, sino en
intentar atender a la matemática como un todo, con un uso o función social y en la cuál se
pueden encontrar conceptos que se relacionan unos con otros, ya que su estudio no podría
reducirse a la enseñanza de un solo concepto.
Por ejemplo, en una práctica de graficación en Cálculo, Cordero y Flores (2007) dan evidencia
de que no sólo el concepto función ha sido el que en la práctica favorece construcción de
conocimiento, sino todos aquellos conceptos que hacen de la matemática un todo y no algo
fragmentado, por ejemplo, involucra términos como el uso del plano cartesiano, las
coordenadas, desplazamientos de puntos, asociación de la curva y la representación algebraica,
el decrecimiento y crecimiento, así como el valor mínimo y máximo de la gráfica, no
centrándose solamente en el concepto función.
Dada la complejidad en el diseño de unidades didácticas, para decidir sobre la pertinencia de
reorganización y construcción de conocimiento matemático en Precálculo se debe atender a las
formas, contextos, necesidades, actividades y usos de dicho conocimiento, es decir, atender la
pregunta ¿Qué condiciones y situaciones favorecen la generación de aprendizajes matemáticos
en los estudiantes?
En ese sentido, en este trabajo se consideran como organizadores para el diseño de unidades
didácticas en Precálculo a aquel conocimiento que se genera de los resultados de las
disciplinas: didáctica, cognitiva, epistemológica y sociocultural que, bajo un análisis
sistémico, proporcionan información sobre los procesos de construcción y difusión del
conocimiento matemático en esta área de la matemática. En particular, considerando la
socioepistemología como un marco para estructurar el diseño de unidades didácticas en
Reorganización de saberes matemáticos en Precálculo: de objetos a prácticas
16
Precálculo, se definen dos criterios o indicadores para la reorganización de contenido y
tratamiento didáctico: la naturaleza de las situaciones y el orden de tareas.
17
CAPÍTULO 3
MARCO TEÓRICO
3.1 Lo socioepistemológico en la reorganización y construcción del conocimiento
matemático
La investigación se desarrolló bajo la teoría socioepistemológica en la que se señala que los
procesos de construcción y organización del conocimiento matemático se corresponden con
contextos y prácticas específicas de las comunidades sociales. En esta teoría se reconoce que
los seres humanos utilizan sistemas de razón contextualizada, es decir, su pensamiento y
aprendizaje obedecen al contexto en que se desarrollan (Cantoral, 2009 citado en Aparicio,
Sosa, Jarero y Tuyub, 2010).
Por ende, se asume que un rediseño del discurso matemático escolar debe necesariamente
considerar las variables de contexto, pues en efecto, el origen de la matemática se relaciona
con el entorno social y momento histórico al que pertenece. El surgimiento del conocimiento
matemático es producto de una evolución de pensamiento social en el que se desarrolla.
Se considera que el conocimiento que se produce en la sociedad se construye bajo un conjunto
de condiciones y circunstancias en las que física o simbólicamente se sitúa un hecho o
persona, asimismo, supone la especificidad de los fenómenos o situaciones, pues éstos han de
combinarse de manera única e irrepetible para tener influencia en lo que él acontece, lo que
Aparicio, Sosa, Jarero y Tuyub (2010) denominan contexto, el cual tiene presencia en las
formas de pensar, aprender y actuar de los individuos de una comunidad.
Por ejemplo, según Ramos (2008), en la búsqueda de medios y formas para resolver
problemas que enfrenta una sociedad, el ser humano ha desarrollado conocimiento con
intencionalidades específicas que dependen estrechamente del problema y el contexto social
en que se presentan. En la construcción de ese conocimiento convergen las características
sociales e individuales de los participantes, el entorno físico y las prácticas que realizan.
Marco teórico
18
El contexto adquiere especial importancia en la construcción social del conocimiento, porque
deviene de la interpretación de que las prácticas que ejercen y las construcciones que hacen
determinados grupos sociales no están determinadas fuera de su existencia y no son unívocas,
por el contrario, es en contextos sociales específicos donde se brinda un abanico de
posibilidades de construcciones, si bien variado, restringido, donde los actores toman “lo que
está a la mano”, es decir, el contexto social es una totalidad que da significado a las partes
(Arrieta, 2003).
Dicho así, para la reorganización de saberes matemáticos en el currículo matemático escolar
de bachillerato se hace necesario analizar los contextos de aprendizaje y construcción del
conocimiento matemático.
En el área del Cálculo, centrar la atención en el contexto y la intención didáctica de las
actividades de aprendizaje proporcionan elementos para reformulaciones epistemológicas del
saber matemático que se presenta en el salón de clases y para la reconstrucción de
significados, esto es posible hacerlo a partir del estudio de fenómenos de la construcción de
conocimiento en contextos sociales donde las construcciones histórico-culturalmente
constituidas, reconstruidas, adquieren particular significado (Arrieta, 2003).
Así, la presente investigación se enmarca en la teoría socioepistemológica o de epistemología
de las prácticas sociales relativas al saber, que es una aproximación teórica de naturaleza
sistémica que permite tratar con los fenómenos de producción y difusión del saber desde una
perspectiva múltiple, centrando la atención en los contextos y en las prácticas más que en los
objetos matemáticos (Cantoral, 2004).
En esta teoría, para entender las formas de producción, organización y difusión del
conocimiento matemático se articulan en una misma unidad de análisis las interacciones entre
la epistemología del conocimiento, su dimensión sociocultural, los procesos cognitivos que le
son asociados y los mecanismos de su institucionalización vía la enseñanza (Cantoral, 2004).
Además, aporta elementos para explicar el origen del conocimiento a partir de un referente
sociocultural, analizando los mecanismos sociales de difusión e institucionalización del saber
y de sus prácticas asociadas (Castañeda, 2004).
Marco teórico
19
Por tanto, en este trabajo, para obtener criterios de reorganización y construcción escolar de
conocimientos matemáticos en Precálculo se toma en cuenta cómo aprenden las personas el
concepto función; cómo se comunica en lo escolar, el discurso presente en las aulas y los
libros de texto respecto a dicho concepto; pero sobre todo se consideran aspectos asociados a
la génesis y evolución de dicho conocimiento, así como las prácticas y los factores
socioculturales que atañen a su construcción.
3.2 La noción de práctica como base en la reorganización y construcción de conocimiento
matemático
En un encuadre socioepistemológico la organización de saberes matemáticos en textos y la
construcción de conocimiento matemático comporta el uso de verbos tales como predecir,
argumentar, gesticular, estabilizar y acumular, es decir, una organización y rediseño del
discurso matemático escolar centrado en el uso social y la funcionalidad de la matemática
(Cantoral, 2004). Tales verbos denotan prácticas en las que subyace la construcción de dicho
conocimiento.
Según Arrieta (2003) citado en Alatorre, López y Carrillo (2006) la práctica connota hacer
algo, pero no simplemente hacer algo en sí mismo y por sí mismo; sino algo que en un
contexto histórico y social otorga una estructura y un significado a lo que hacemos. En ese
sentido, la práctica siempre es una práctica social, pues surge de una necesidad sociocultural y
posibilita o permite la construcción de conocimiento, pero no cualquier conocimiento, sino un
conocimiento específico.
En consonancia con esta noción de práctica, en esta investigación se reconoce como práctica a
las actividades humanas que posibilitan la construcción de conocimiento matemático en los
usos de conocimiento y quehacer de una comunidad para resolver una situación o problema en
un contexto específico (Aparicio, Sosa, Jarero y Tuyub, 2010).
Así, la forma de construcción del conocimiento matemático en una comunidad emerge de
actividades humanas donde el conocimiento tiene significados propios, contextos, historia e
intención (Cordero, 2001). Se ha evidenciado que la actividad que realiza el ser humano sobre
Marco teórico
20
el medio, la cual rige, norma y permite la articulación de un saber (matemático), favorece la
construcción de conocimiento matemático bajo una lógica social, en el sentido de que nace de
la necesidad del individuo con el único propósito de resolver un problema, determinando
“hacer lo que se hace” (Covián, 2005, citada por Tuyub, 2008).
Por ejemplo, en Tuyub (2008) se da evidencia de cómo en la práctica de un toxicólogo cuyo
propósito es obtener DNA en tejidos animales, éste se basa en un protocolo de referencia y
optimiza (economiza tiempo, esfuerzo, recursos sin perder la calidad y certeza de sus datos)
con base en sus experiencias, conocimientos, creencias, concepciones y representaciones
sociales, para el logro de sus objetivos. Esta práctica deja ver que la actividad del ser humano,
en este caso del toxicólogo, está regida por una lógica social en la que se hace uso de las
experiencias y de conocimientos previos para la construcción de nuevos conocimientos que
surgen de la necesidad del individuo para dar solución a un problema, con la característica de
que este problema tiene sentido para el toxicólogo.
El contexto viene a ser una componente inseparable de las prácticas porque incide en la forma
en que los participantes ejercen las actividades que han de llevar a cabo y, por consiguiente,
también en la construcción de conocimiento. Las prácticas son inseparables de las
herramientas que se desarrollan o usan en las actividades, por tanto no podría hablarse de
contexto sin prácticas y sin herramientas, debido a que existe una inseparabilidad entre ellos
(Arrieta , 2003).
Tanto en el ámbito científico (como el caso de la práctica de optimización del toxicólogo)
como en el escolar (por ejemplo, la predicción como práctica para la enseñanza del Cálculo)
puede observarse cómo la realización de prácticas favorece el uso y construcción de
conocimientos matemáticos, y se evidencia que la funcionalidad de tal conocimiento no sólo
se da en el dominio matemático, sino también en otros contextos o prácticas como las de
carácter científico.
Dichas prácticas se convierten en marcos de referencia que permiten resignificar el
conocimiento matemático y la ausencia de éstos en la matemática escolar detona
investigaciones como ésta, en la que se buscan condiciones o indicadores que posibiliten su
Marco teórico
21
incorporación para el aprendizaje matemático escolar (Buendía y Cordero, 2005; citado en
Cordero, 2005).
En este orden de ideas, esta investigación se desarrolla bajo la premisa que la realización de
prácticas favorece la generación de conocimiento matemático. Por tal razón, el diseño de
unidades didácticas en Precálculo se sustenta en una reorganización de su contenido basada en
prácticas, en particular, en la modelación de situaciones de variación y cambio.
3.3 Pensamiento y lenguaje variacional en Precálculo
Un primer acercamiento sobre lo que se pretende para la enseñanza del Cálculo es:
“Consideramos el Cálculo como el estudio de los fenómenos de variación, donde
la operación fundamental es la resta que modela la comparación de dos estados.
Algunas veces en una situación local y otras veces en una situación global. Esta
visión […] corresponde más a una base de modelación y de uso”. (Cordero, 1998,
p. 59; citado en Arrieta, Buendía, Ferrari, Martínez, y Suárez, 2004).
Dicho a grosso modo, el Cálculo tiene como objeto de estudio la modelación de lo variacional.
Esta línea de investigación que trata sobre las relaciones entre la matemática de la variación y
el cambio y los procesos complejos asociados, tiene tres orientaciones: 1) acerca de las
estructuras variacionales específicas dentro la matemática y la epistemología; 2) estudia las
funciones cognitivas que los individuos construyen a partir de conceptos propios de la
variación y cambio; 3) toma en cuenta los problemas y situaciones asociados a lo variacional
en el terreno de lo social a través de aquellas estructuras variacionales consideradas en el
ámbito científico, escolar y el cotidiano (Cantoral, Farfán, Cordero, Alanís, Rodríguez y
Garza, 2000).
Las nociones de cambio y variación pueden entenderse como sigue:
“la noción de cambio denota la modificación de estado, de apariencia, de
comportamiento o de condición de un cuerpo, de un sistema o de un objeto;
Marco teórico
22
mientras que la variación la estamos entendiendo como una cuantificación del
cambio, es decir, estudiar la variación de un sistema o cuerpo significa ejercer
nuestro entendimiento para conocer cómo y cuánto cambia el sistema o cuerpo
dado”. (Cantoral, Molina, Sánchez, 2005, p. 464, en Coyoc, 2007)
La epistemología de los conceptos del Calculus muestran que su construcción obedece a la
realización de prácticas como medir, predecir, modelar y convenir que, en momentos
históricos y socioculturales específicos de la humanidad, desentrañaron la búsqueda de
mecanismos para entender y explicar situaciones de variación y cambio (Alanís y Salinas,
2009). Empero, predecir y modelar lo cambiante precisa centrar la atención en la manera de
variar por encima incluso de la variable misma, el desarrollo de estructuras y estrategias
variacionales, así como de un lenguaje que permita describir qué cambia, cómo y cuánto
cambia aquello que cambia en una situación de esa naturaleza (Cantoral, et al, 2000; Dolores,
2005). Es decir, se precisa del desarrollo formas de pensamiento y lenguaje variacional.
Si bien, se ha señalado la pertinencia de generar diseños de aprendizaje basados en prácticas
de modelación en situaciones de variación y cambio para construir conocimiento matemático
en Precálculo, la epistemología del Calculus deja ver que para obtener mayores posibilidades
de tener éxito por parte de los estudiantes en su resolución se hace necesario tener como
referente aquellas tareas que promuevan el desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional
en los estudiantes.
El pensamiento y lenguaje variacional es una línea de investigación en la que se estudian
fenómenos de enseñanza, aprendizaje y comunicación de saberes matemáticos de la variación
y el cambio en el sistema educativo y en el medio social que le da cabida, con particular
atención en el estudio de los diferentes procesos cognitivos y culturales con que las personas
asignan y comparten sentidos y significados, utilizando para ello diferentes estructuras y
lenguajes variacionales (Cantoral, 2004).
Las estructuras variacionales, no son consideradas como un conjunto de arreglos, sino como el
resultado de actividades y acciones que permiten desarrollar en el estudiante herramientas
cuando se siguió un cierto camino, ejemplo de éstas, son las acciones de identificar, reconocer,
buscar y relacionar (Cantoral et al, 2000).
Marco teórico
23
Un estudiante puede ser capaz de entender y explicar lo variacional en situaciones en las que
se favorezca este pensamiento, por ejemplo, Arrieta y Méndez (2009) menciona que la
experiencia cambia el actuar de los individuos, los argumentos, las herramientas usadas y
construidas, así también la forma de ejercer la práctica y para que un individuo construya
modelos es necesario que interprete las características del fenómeno y la relación con algún
fenómeno más cercano a él o antes estudiado, esto será determinante para poder comunicar y
explicar cómo es posible la construcción de herramientas y la adecuación de éstas a otras
situaciones en el área de Precálculo.
El diseño de situaciones debe estar orientado al desarrollo del pensamiento y lenguaje
variacional en el estudiante y para ello es importante discutir sobre tareas matemáticas en las
prácticas asociadas a la variación y el cambio que favorecerán dicho pensamiento.
Asimismo, la situación diseñada debe ser fácilmente comprendida por el estudiante, pero debe
mostrar una problemática a la que él se enfrentará y ante la cual la respuesta debe ser
construida y no producto del empleo de un recurso mnemotécnico (Cantoral et al, 2000).
Debido a que esta investigación está centrada en el nivel medio superior, siendo el área de
interés Precálculo, nos hemos cuestionado acerca de qué es lo que se pretende que el
estudiante construya como conocimiento en esta área.
Investigadores que orientan sus trabajos a las prácticas, han dejado ver las ventajas y el
impacto que éstas tienen en el aprendizaje de la Matemática, la construcción de conocimientos
matemáticos, pero sobre todo en las herramientas matemáticas y argumentativas que los
estudiantes adquieren. Arrieta y Méndez (2009) reporta que la modelación es una práctica a
partir de la cual se genera conocimiento y este se genera a partir de herramientas que
desarrollan y emplean las personas para resolver una situación, considerando que la evolución
de la práctica se da en la transición de los contextos.
Por tanto, la característica que la actividad matemática debe poseer bajo el enfoque de las
prácticas, así como se había discutido anteriormente, es la necesidad que adquiere el individuo
para resolver un problema. Por ejemplo, en López (2010) se menciona que la predicción es
una práctica, que en situaciones de variación y cambio, favorece el desarrollo y construcción
Marco teórico
24
de recursos y estrategias predictivas, por medio de tareas, tales como la cuantificación del
cambio, el análisis de variaciones, el establecimiento de supuestos, la generación de
conjeturas, el establecimiento de códigos que permiten al estudiante transitar entre diferentes
registros de representación, la argumentación y la socialización de los resultados.
Como señala Buendía y Cordero (2005), citado en Alanís y Salinas (2009) estas actividades
adquieren un significado que es funcional en el contexto mismo. Respecto al aprendizaje de la
periodicidad de las funciones, estos autores observan en su trabajo que los estudiantes tienen
ausencia de significados asociado a la definición formal de la propiedad de periodicidad
asociando de manera indiscriminada cualquier clase de repetición con la gráfica periódica;
ellos proponen la práctica de predicción en los diseños de aprendizaje de manera que ésta se
transforme en un argumento para redefinir lo que es periódico, consiguiendo que los
estudiantes adquieran un significado que es funcional en el contexto donde lo periódico
adquiere importancia.
Cordero (1998) también reporta que el aprendizaje en su propuesta de estudio del
comportamiento tendencial de las funciones en los niveles educativos medio superior y
superior, el estudiante aprende a “identificar” coeficientes en la función, a “reconocer”
patrones de comportamientos gráficos, a “buscar” tendencias en los comportamientos y a
“relacionar” funciones, siendo estos elementos las herramientas seleccionadas por los
estudiantes ante la situación para construir la noción comportamiento tendencial de las
funciones. Dando evidencia que estas herramientas construidas por los estudiantes están
asociadas los objetos matemáticos de temas curriculares como: transformaciones de las
funciones, propiedad de linealidad de los polinomios, operaciones de las funciones,
comportamientos asintóticos de las funciones, relaciones entre la derivada y la primitiva y
establilidad de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.
Por tanto, se presupone que en el estudio del Precálculo se precisa reorganizar el contendido y
su tratamiento didáctico en prácticas de predicción y modelación de situaciones variacionales
a partir de tareas que promuevan en los estudiantes acciones como identificar y analizar
relaciones entre variables, interpretar y traducir información, describir comportamientos
globales en un sistema de cambios, establecer supuestos y generar modelos matemáticos
(Alanís y Salinas, 2009; Sosa y Aparicio, 2009; López, Sosa y Aparicio, 2010).
25
CAPÍTULO 4
MÉTODO
El desarrollo de la presente investigación cualitativa y experimental, radica en la
determinación y verificación de criterios de organización de saberes matemáticos en
Precálculo en una unidad didáctica basada en prácticas.
La socioepistemología es considerada en esta investigación como un referente metodológico
para fundamentar el diseño de la unidad. En particular, para determinar los indicadores sobre
la naturaleza de las situaciones en el diseño y de orden para la organización de los saberes
matemáticos, se efectuaron análisis de las interacciones entre la epistemología del
conocimiento asociado a la variación y el cambio, su dimensión sociocultural, los mecanismos
de su institucionalización vía la enseñanza y los procesos cognitivos que le son asociados
(Cantoral, 2004).
Para establecer indicadores que permitieran determinar la naturaleza y el orden de aquellas
situaciones o contextos a considerar en el diseño de actividades matemáticas para una unidad
didáctica en Precálculo, se buscó una asociación entre los objetos matemáticos en lo escolar y
las prácticas que han favorecido la construcción del conocimiento matemático en Precálculo y
Cálculo.
Imagen 4.1. Esquema global del proceso para el diseño de una
unidad didáctica en Precálculo basada en prácticas
Método
26
Las acciones que se llevaron a cabo en la investigación fueron:
ACCIÓN ESTRATEGIA PRODUCTO
1
Conformación de un núcleo
temático invariante de
contenidos en Precálculo
Análisis de programas de curso y libros de
texto
Núcleo de contenido
temático de organización
basada en prácticas
2
Obtención de indicadores de
organización :
* De naturaleza
* De orden
Análisis de corte epistemológico,
fenomenológico y cognitivo de conceptos de
la variación y el cambio. Revisión
documental
Organizadores de diseño
3
Establecimiento de un modelo
de aprendizaje en Precálculo
Organización del contenido temático y
definición del tipo de tareas de aprendizaje
Modelo de Aprendizaje
4
Diseño y experimentación de
una unidad didáctica basada en
prácticas
Elaboración de actividades didácticas con
base en los indicadores y el modelo de
aprendizaje. Experimentación
Verificación de los
organizadores
A continuación se presentará con mayor detalle las acciones y estrategias para la obtención de
los productos mencionados anteriormente.
4.1 Conformación de un núcleo temático invariante
Bajo la premisa que existe algo que le da pertinencia y vigencia al currículo matemático, en
particular al Precálculo, se realizó un análisis de los programas o cartas descriptivas de
contenidos de Precálculo y Cálculo de las Preparatorias de la UADY implementados en las
últimas reformas curriculares (1994, 2000), con la intención de determinar aquello que cambia
y permanece invariante en los programas entre una reforma y otra, y así establecer un núcleo
de contenido temático invariante para su reorganización basada en prácticas.
El proceso que se llevó a cabo para determinar el contenido invariante se describe de la
siguiente manera:
Se revisaron ambos programas de curso, unidad por unidad, de tal manera que se seleccionaba
el contenido temático que no cambiaba en el programa anterior y en el actual, de esta manera
se cubrió con ambos programas.
Método
27
Para conocer el contexto y los criterios de organización del contenido matemático en el
bachillerato universitario, se revisaron los antecedentes o fundamentos que dieron inicio a la
reforma curricular vigente.
4.2 Obtención de organizadores de diseño de unidades didácticas
Para la obtención de organizadores de reorganización de contenido y diseño de unidades
didácticas en Precálculo se consideró, desde una perspectiva socioepistemológica, realizar un
análisis sistémico de procesos asociados a la enseñanza, cognición y epistemología de
conceptos de la variación y el cambio, en particular, del concepto función, así como indagar
aquellas prácticas o situaciones en las que se usa o ha desarrollado dicho concepto.
A continuación, se proporciona mayor información sobre los tipos de análisis realizados para
la determinación de indicadores de orden de contenido y de naturaleza de las situaciones que
conformaron las unidades y que se consideraron como organizadores en su diseño.
4.2.1 Determinación de indicadores de orden
Después de que se determinó el núcleo temático invariante en los programas de curso, éste se
verificó en dos libros de texto de Precálculo que se indican en la bibliografía del programa de
curso de las preparatorias de la UADY, los libros que se analizaron fueron Precálculo:
funciones y gráficas (Barnett, 1999) y Precálculo (Trejo, Quijano y Ávila, 2004).
El objetivo de este análisis didáctico fue verificar el contenido temático invariante y
determinar indicadores de organización y tratamiento del contenido temático del libro, de tal
manera que se estableciera una caracterización acerca del criterio de organización del libro en
el libro de texto.
La obtención de los indicadores de orden permitió establecer qué tareas matemáticas deben
plantearse primero y cuáles posteriormente para que el estudiante logre modelar situaciones
sujetas a la variación y cambio.
Método
28
4.2.2 Determinación de indicadores de naturaleza de las situaciones
Para determinar los indicadores de naturaleza de las situaciones se efectuó un breve análisis de
corte epistemológico sobre la génesis y desarrollo de saberes matemáticos de la variación y el
cambio, con la finalidad de caracterizar aquellas situaciones que resultaron ser modeladas y las
que fueron utilizadas por los propios matemáticos en su determinada época, es decir, la
necesidad a la que se enfrentaron y por la que modelaron cierta situación como una variación
constante. Así se identificaron momentos o épocas de modelación de situaciones continuas y
discretas, en escenarios dinámicos y estáticos. Esta información se obtuvo de un documento de
investigación difundido en el libro “La noción de función: análisis epistemológico y didáctico”
(Ruiz, 1998).
De igual manera, se realizó un análisis de carácter fenomenológico de situaciones en las que
intervienen relaciones entre variables para identificar las necesidades y prácticas asociadas a
situaciones de variación continua y discreta, dicha información se analizó y sustrajo de libros
que son productos de investigaciones en matemática educativa.
Posteriormente, se realizó un breve análisis cognitivo con la intención de establecer el tipo de
tareas que se precisan o subyacen a la modelación en situaciones de variación constante y que
fueron consideradas en el diseño de una unidad didáctica de Precálculo. En particular se
profundizó en el análisis de aquellas situaciones de variación lineal (modelos lineales), lo que
nos permitió una reorganización de saberes de la variación y el cambio en unidades didácticas
centradas en prácticas, a la par que se realizó un análisis de aspectos socioculturales en
investigaciones en matemática educativa, en las que se aplicaron propuestas de prácticas
asociadas a la variación y cambio en estudiantes.
4.3 Formulación de un modelo didáctico de aprendizaje en Precálculo
Para establecer el modelo se tomaron en cuenta aquellas situaciones de naturaleza variacional
que de acuerdo a los análisis realizados favorecen el desarrollo del pensamiento y lenguaje
variacional, así también se tomaron en cuenta tareas que propician el desarrollo de estructuras
variacionales para modelar lo cambiante.
Método
29
Al término de los análisis se entrelazó la información de dichos análisis: lo escolar, cognitivo,
epistemológico y sociocultural, de manera que se estructuró un modelo de organización de
saberes del Precálculo para diseñar unidades didácticas basadas en prácticas.
4.4 Diseño y experimentación de la unidad didáctica
Con base en el modelo se diseñó una unidad didáctica de modelación lineal con la finalidad de
verificar la efectividad de los organizadores establecidos por medio de su experimentación.
4.4.1 Estructura y diseño de las actividades
Para la unidad didáctica basada en prácticas ejemplificada en la modelación de la variación
lineal, se diseñaron actividades que se estructuraron con base en aquellas tareas que
posibilitaran el desarrollo de estructuras variacionales y conocimientos matemáticos para
modelar situaciones de variación y cambio. Se trata de tareas de conceptualización, operación
y formalización de lo variacional que se seleccionaron para diseñar tres actividades: “Llenado
de un recipiente”, “Movimiento de un objeto” y “Costos de un servicio o producto” y fueron
presentadas a los estudiantes en ese mismo orden la información sobre el tipo de tareas se
detalla en el capítulo siguiente. En la Tabla 4.1 se muestra un ejemplo de la forma en que se
estructuraron las actividades de la unidad.
Estructura u orden
de las tareas Tareas de la actividad
Tipo de tareas de
modelación de lo
variacional
Tarea 1 Interpretación de la
situación:
Reconocimiento de la
variable dependiente
1. Expresa qué cambia en la situación Comparar estados
Tarea 2 Identificación de la
situación:
Identificación de la
variable
independiente
2. Indica respecto a qué cambia aquello que
cambia
Interpretar la
variación,
identificar
relaciones entre
variables
Tarea 3 Modelación de la
situación: Uso de
3. Genera un modelo matemático que describa
cómo cambia la altura del agua en el tanque
conforme se va llenando
Representar el
cambio y la
variación,
Método
30
expresiones
funcionales
cuantificar el
cambio, construir
representaciones
Tarea 4 Validación del
modelo: Cálculo,
predicción o
aproximación de
valores
4. Estima en cuánto tiempo se tendría que
apagar la bomba para que la altura del agua
esté a la mitad de la capacidad del tanque.
5. A continuación se ilustra el llenado de dos
recipientes, ¿en cuál de esos recipientes el
llenado se puede calcular empleando un
modelo matemático como el de la situación
anterior? Explica el porqué de tu elección.
Identificar
transformaciones
entre estados,
cuantificar cambios,
interpretar la
variación,
argumentar,
construir
representaciones,
establecimiento de
propiedades o
características de
los modelos
(lineales), y de
nociones de
variación y cambio
A)
B)
Tabla 4.1. Estructura de las actividades de la unidad didáctica. Actividad: Llenado de un recipiente
4.4.2 Experimentación de la unidad didáctica
Se seleccionaron dieciocho estudiantes de segundo semestre en una escuela preparatoria, es
importante recalcar que los estudiantes aún no habían cursado Matemáticas 4 (Precálculo).
El género y las edades de los estudiantes son:
Se organizaron a los estudiantes en equipo de tres personas conformando grupos mixtos de dos
hombres y una mujer ó, a un hombre y dos mujeres, haciendo un total de 6 equipos y de esta
manera trabajaron las tres actividades.
En la Tabla 4.2 se muestra la secuencia en la que se presentaron las actividades de modelación
en situaciones de variación lineal.
Población participante Edades
9 Hombres 15 y 16 años
9 Mujeres
Método
31
Momento Día Actividad Duración
Momento uno 1 Introducción 10 minutos
Momento dos 1 “Llenado de un
recipiente” 40 minutos
Momento tres 2 “Movimiento de un
objeto” 30 minutos
Momento cuatro 2 “Costos de un servicio o
producto” 20 minutos
Tabla 4.2. Momentos de experimentación de las actividades de la unidad
Las actividades se presentan en el apartado 5.3 página 54.
Al final de los momentos dos, tres y cuatro se les proporcionaron a los estudiantes las
siguientes preguntas:
1. ¿Tuviste alguna dificultad para resolver alguna parte de la actividad? Si la respuesta
es afirmativa, indica qué parte se te dificultó y explica a qué se lo atribuyes.
2. Si hay alguna pregunta que no pudiste responder en la actividad, explica por qué.
4.4.3 Análisis de los datos
Se organizó una tabla donde se plasmaron las respuestas que los estudiantes proporcionaron en
cada actividad y por cada uno de los incisos, y se compararon las respuestas que
proporcionaron y las similitudes o diferencias, que en su caso obtuvieron.
Se verificó la efectividad de los organizadores por medio del análisis de las respuestas de los
estudiantes con base en la relación que podría establecerse entre las acciones o tareas que se
demandaban en las actividades y los conocimientos y habilidades que emplearon o no para la
modelación de situaciones de variación lineal.
32
CAPÍTULO 5
DISEÑO DE UNIDADES DIDÁCTICAS EN PRECÁLCULO
5.1 Organizadores de diseño
5.1.1 Análisis didáctico de contenido invariante
Programas de curso
El programa de curso de la reforma anterior de la UADY corresponde a los años de 1999-2000
cuya materia que se impartía en el cuarto semestre era Cálculo, posteriormente entra en vigor
una reforma en el año 2000 en la cual se anexa el curso de Precálculo. Así, el contenido
invariante que se identificó es:
CONTENIDO INVARIANTE
Números Reales
Conjuntos
Inecuaciones
Funciones
Cabe recalcar que el orden propuesto en los programas para el estudio de estos objetos
matemáticos no es lo mismo en que aparecen en la tabla anterior. Para concretar el núcleo
temático de contenido se tomó como referencia el objetivo general del curso, debido a que en
éste se identifica lo que en realidad se pretende que aprenda el estudiante:
“Utilizar el concepto función, mediante la aplicación de sus propiedades
fundamentales para la solución de problemas en diferentes campos de la ciencia y
la vida diaria”
Éste ha sido un factor para determinar como núcleo de contenido temático invariante:
FUNCIONES, para lo cual se precisa como conocimientos previos Conjuntos, Número Reales
e Inecuaciones.
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
33
Temas Énfasis en el estudio
Lineal Razón de cambio promedio
Polinomial Comportamiento de las gráficas. Razón de cambio de
una función cuadrática
Racional Dominio y rango. Determinación de asíntotas
Raíz cuadrada Razón de cambio promedio
Valor absoluto
Dominio, rango y gráfica de la función Exponencial y logarítmica
Trigonométricas
Definidas por intervalos Gráfica de la función
Tabla 5.1. Secuencia del contenido asociado al concepto función
Así, el énfasis del contenido invariante se encuentra en el estudio de las Funciones, cuya
secuencia es tal y como se muestra en la tabla anterior, es decir, la forma de organización de
los contenidos se caracteriza como una secuencia lineal de inicio a fin con énfasis en los
objetos matemáticos.
Libros de texto
Un referente del profesor para la organización y el tratamiento didáctico de los saberes
matemáticos en las aulas de clase son los libros de texto. De esta manera se pretendía verificar
que el contenido invariante que se identificó en los programas de curso estuviera vigente en
los libros de texto, que son un referente también para el estudiante.
Se analizaron los libros Precálculo (Trejo, Quijano y Ávila, 2004) y Precálculo: Funciones y
gráficas (Barnett, 1999), y se identificó como contenido invariante en ambos libros:
Funciones. En estos también se obtuvo que para el estudio de Funciones primeramente se
deben abordar conceptos referentes al “Conjunto de los números reales” para posteriormente
mostrar conceptos básicos como:
Concepto de función
Concepto de dominio
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
34
Concepto de rango
Definición de gráfica de una función
Concepto de función par e impar
Este primer acercamiento al libro de texto confirma el estudio del concepto función como
núcleo de contenido invariante en Precálculo y la organización del mismo con base en una
secuencia rígida y una lógica axiomática.
Así, el contenido que no cambia entre una reforma y otra está enfocado al estudio de las
funciones, en particular con tratamientos en el dominio algebraico, por ejemplo, se le presenta
al estudiante la definición de función lineal de tal manera que se relaciona la “ecuación” de la
función con la ecuación pendiente-ordenada en el área de Geometría analítica:
Imagen 5.1. Definición de “Función lineal” en Precálculo (Trejo, Quijano y Ávila, 2004)
Posteriormente, se revisó la sección de los libros donde se muestra explícitamente la
introducción y desarrollo del contenido y los ejercicios que se proponen para que el estudiante
verifique su aprendizaje, de esta situación se obtuvieron conclusiones para establecer el
criterio de organización de los libros de texto. En la Imagen 5.2 se muestran ejemplos de
ejercicios del tema y en los cuales se puede inferir lo que se espera que el estudiante aprenda:
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
35
Imagen 5.2. Ejercicios sobre el tema “Función lineal” en Precálculo (Trejo, Quijano y Ávila, 2004)
En este ejercicio del libro de texto de Trejo, Quijano y Ávila (2004), se observa que el énfasis
se encuentra en la inclinación y cálculo de la pendiente de rectas más que en las características
de la función lineal.
Revisar el contenido invariante en los libros de texto también permitió caracterizar la
enseñanza del tema “Función” de tal manera que se pudiera identificar el criterio de
organización y tratamiento didáctico de los temas. Se ha visto que el tratamiento se centra en
la definición de objetos matemáticos como función lineal, en la reproducción de algoritmos y
el cálculo de razones de cambio, y se reafirma que su organización se basa en una lógica
axiomática. Respecto al concepto función se introduce por medio de su definición como una
regla de correspondencia entre conjuntos, en contraposición a su desarrollo conceptual en el
que se construye a partir del establecimiento de relaciones entre variables en situaciones de
variación y cambio. Como se ha mencionado anteriormente, de tal tratamiento derivan
dificultades de aprendizaje en los estudiantes y no se favorece un uso funcional del concepto
función en ámbitos cotidianos o científicos.
5.1.2 Análisis epistemológico y social
En este apartado se presentan resultados de corte epistemológico respecto al contenido
invariante identificado: el concepto función, para reconocer la conexión del concepto con
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
36
algunos momentos de su desarrollo conceptual, así como las condiciones o circunstancias
socioculturales en que emerge y se desarrolla.
La información ha sido extraída del libro “La noción de función: análisis epistemológico y
didáctico” (Ruiz, 1998), en el que se describen siete tipos distintos de concepciones colectivas
o epistemológicas de la noción función a través del estudio de las situaciones problemáticas
tratadas en distintos periodos históricos.
Los siete tipos de concepciones que la autora ha caracterizado respecto al concepto función
son:
I. Identificación de ciertas regularidades en fenómenos sujetos al cambio: relación entre
cantidades de magnitudes variables
Desde la matemática prehelénica, las situaciones en las cuales se necesitaba de la noción
función para la modelación de fenómenos sujetos al cambio eran en situaciones donde
intervenía el calor, la luz, la distancia y la velocidad en un principio las relaciones sistemáticas
entre las variaciones de las causas y efectos fueron de manera cualitativa para pasar más tarde
a ser cuantitativas. En este periodo los sistemas de representación que utilizaban eran las
tablas numéricas modelando fenómenos naturales donde intervienen magnitudes físicas
variables.
II. Razón o proporción
Desde la matemática helénica, la razón o proporción ha sido la herramienta ideal para realizar
el análisis cuantitativo. Filósofos y matemáticos trataban de buscar la proporción como
relación privilegiada o prototipo entre magnitudes variables. Las situaciones ligadas a las
magnitudes físicas y en especial en dominios tales como la Geometría o la Astronomía eran
utilizadas en estos tiempos.
III. Gráfica (visión sintética)
Comenzó en las escuelas de Oxford y París en el s. XIV y tuvo su representación más
significativo en Oresme debido a que utilizaba el grafismo para representar los cambios y así
describirlos y compararlos. Utiliza la continuidad de los segmentos pues no disponía de un
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
37
continuo numérico para representar el movimiento. Estas gráficas las obtenía por
consideraciones cualitativas más que por cuantitativas y en situaciones ligadas a magnitudes
físicas como el movimiento, luz, calor, etc. donde se intentaba representar la variación como
las dependencias entre dichas magnitudes. Se usaban términos específicos como formas,
latitud, longitud haciendo uso de gráficos que adquirían su significado de forma global
(sintética).
IV. Curva (analítico-geométrica)
Esta concepción surgió a través de los trabajos de Descartes y Fermat (s. XVI-XVII) y
permanece en la matemática. “Tomando sucesivamente infinitas diversas cantidades para la
línea , encontraremos también infinitas para la línea y así, tendremos una infinidad de
diversos puntos por medio de los cuales describiremos la línea curva pedida” con esta
expresión se sostiene por primera vez la idea de que una ecuación en e es un medio para
introducir la dependencia entre dos cantidades variables, relacionándolo asimismo con la
noción de curva. Las situaciones en las que se hacía uso es cuando intentaban buscas un
método de expresión de las relaciones numéricas establecidas entre determinadas propiedades
de objetos geométricos, utilizando esencialmente el método de coordenadas.
V. Expresión analítica
Comienza con los estudios de Descartes y Fermat, prosigue con los trabajos mecanicistas y
geométricos de Newton y Leibniz (s. XVII) en los inicios del Cálculo infinitesimal y continúa
con los de Bernoulli, Lagrange y Euler (s. XVII-XVIII) creando el análisis matemático. El
nacimiento del Álgebra permite expresar la dependía entre variables por medio de expresiones
analíticas y más tarde Euler la identificará con una expresión analítica y Lagrange la ampliará
a toda expresión de cálculo. Las situaciones intramatemáticas como las extramatemáticas, la
Astronomía y la Física (Mecánica), los trabajos de Newton y aspectos geométricos-
representativos ligados a dichas expresiones algebraicas son en las que se hacía uso de esta
tipo de concepción.
VI. Correspondencia arbitraria: Aplicación
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
38
Se empieza a considerar desde los últimos trabajos de Euler sobre funciones “arbitrarias” (s.
XVIII) continuando en el s. XIX con trabajos de Fourier sobre series geométricas y se
consolida sobre los números reales de Cauchy, Dedekind, Lobachevsky, Riemman o Dirichlet,
entre otros. El problema de la cuerda vibrante resultó muy significativo debido a que a partir
de esto se tuvo la necesidad de crear y definir una noción más general de función.
VII. Función como terna
Surge a partir de la estructuración sistemática y lógica de la teoría de conjuntos,
principalmente, cuando ésta se tomó como base y fundamento de toda matemática (finales S.
XIX y primeras décadas del s. XX). Cualquier situación de variación que deba ser modelizada
funcionalmente, dentro de cualquier dominio científico.
De esta breve información sobre la epistemología del concepto función, se puede concluir que
el concepto surge en ambientes donde el hombre realiza estudios para modelar fenómenos
sujetos a la variación y cambio. Es decir, fenómenos o situaciones en lo que algo fluye, de
manera continua o discreta.
Del análisis epistemológico y de la revisión de las aplicaciones del concepto función en libros
se identificaron los siguientes tipos de modelos y situaciones variacionales.
Modelo de
variación Descripción Ejemplo de situación Expresión algebraica
Lineal La variación entre los
valores de la variable
dependiente con
respecto a la
independiente es
siempre constante.
Movimiento rectilíneo
uniforme
Fuerza
Ley de Hooke para
resortes
Directamente
proporcional
Si una variable
aumenta (disminuye),
la otra también
aumenta (disminuye) a
una razón constante.
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
39
Polinomial
Modelo de variación
continua con
intervalos crecientes y
decrecientes
La altitud de un
proyectil como
función del tiempo y
el modelo
Periódica Cuando la variación
de una cantidad física
se repite con las
mismas características
después de cierto
intervalo de tiempo se
dice que se tiene un
movimiento periódico
Estudio de las
vibraciones
mecánicas. Funciones
trigonométricas, por
ejemplo,
Inversa Si una variable
aumenta, la otra
disminuye. Si una
variable disminuye, la
otra aumenta. El
producto de las
cantidades que varían
es una constante.
Ley de Ohm, la
intensidad de la
corriente varía
inversamente a la
resistencia del
circuito.
constante.
constante
Acelerada Cuando una variable
se incrementa
uniformemente, una
segunda variable se
incrementa en una
razón creciente.
El número de células
de un feto mientras se
desarrolla en el útero
materno.
Crecimiento de la
población de un país.
Escalonada
Cuando una variable
se incrementa, otra
cambia a saltos.
Tabla 5.2. Modelos y situaciones variacionales
Naturaleza de las situaciones asociadas a la modelación lineal
Dados los distintos tipos de modelación de lo variacional para ejemplificar el diseño de una
unidad didáctica se analizaron aquellas situaciones o actividades que son susceptibles de
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
40
modelarse linealmente, de esta manera se realizó un breve análisis fenomenológico cuya
información fue extraída de ejercicios y actividades de los libros “Elementos del Cálculo.
Reconstrucción conceptual para el aprendizaje y la enseñanza” (Alanís, Salinas, Pulido,
Santos, Escobedo, y Garza, 2003), “Funciones y gráficas” (Azcárate y Deulofeu, 1996) y “La
enseñanza agradable de las matemáticas” (Steen, 1998). A continuación se muestran las
situaciones que se identificaron y se indica el uso de la matemática (la modelación con
funciones lineales) y las tareas matemáticas que se requieren para resolver la actividad:
1. Movimiento rectilíneo uniforme
Uso: Predecir la posición del automóvil que lleva una velocidad constante.
Tareas: Cuantificar de manera numérica cada instante de tiempo, identificar o describir la
variación constante de la distancia con respecto al tiempo.
2. Masa uniformemente distribuida en toda una varilla
Uso: Predecir la masa que tiene la varilla a una determinada longitud.
Tareas: Cuantificar de manera numérica la masa en gramos de acuerdo a la longitud de un
tramo arbitrario de una varilla e identificar la variación entre las variables longitud y masa
para establecer una expresión algebraica.
3. Velocidad constante
Uso: Predecir el tiempo en el que un objeto llega a un determinado lugar conociendo la
velocidad y la distancia.
Tareas: Determinar la velocidad en la que se desplaza cierto individuo a partir de una tabla de
valores y expresar la distancia en términos del tiempo, establecer una relación entre la
distancia que falta recorrer y el tiempo a través de cuantificar de manera numérica cada
instante del tiempo con respecto a la distancia faltante, identificar la rapidez con la que cambia
la distancia con respecto al tiempo y expresarlo algebraicamente y relacionar las variables
expresadas verbalmente a un sistema gráfico.
4. Movimiento rectilíneo uniforme
Uso1: Estimar el tiempo que tarda un automóvil en alcanzar a otro.
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
41
Tareas: Calcular el incremento de los valores de una variable en relación con otra para
establecer una expresión algebraica, determinar el tiempo que tarda un automóvil en alcanzar a
otro conociendo las velocidades de dichos autos y determinar la distancia que ha recorrido el
automóvil cuando éste alcanzó al otro.
Uso2: Predecir el tiempo en el que dos automóviles se encuentran en la misma posición.
Tarea: Representar algebraica la relación entre variables.
5. Volumen
Uso: Predecir el tiempo en el que un depósito se llenará o se vaciará.
Tareas: Cuantificar cambios a partir de datos numéricos, proporcionar la representación
algebraica y gráfica, con respecto a situaciones en las que se involucra el volumen y la
velocidad.
6. Áreas
Uso: Calcular medidas del área de figuras geométricas conforme cambia la longitud de uno de
sus lados.
Tareas: Cuantificar cambios a partir de datos numéricos, calcular cuánto se incrementan los
valores de una variable con respecto a otra y representar de manera gráfica la variación a partir
de los datos numéricos, modelar algebraicamente relaciones entre longitudes y áreas de figuras
geométricas regulares.
NOTA: Cuando se trata de situaciones en las que interviene el área no todas pueden ser
modeladas linealmente, sólo aquellas que tienen una forma regular o cuya base es igual en
cualquier altura de la figura (Ver Imagen 5.3).
7. Temperatura
Uso: Predecir la temperatura en un lugar a una determinada altura.
Tareas: Calcular el incremento de los valores de una variable con respecto a la otra,
proporcionar algebraicamente la relación entre las variables y la representación gráfica.
8. Matemático
Uso: Reconocer la variación lineal entre datos numéricos.
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
42
Tareas: Identificar la relación entre variables numéricamente, calcular cuánto se incrementan
los valores de una variable con respecto a otra así como la representación algebraica de la
relación.
9. Gastos –costos
Uso: Predecir gastos y costos a partir de datos numéricos.
Tareas: Cuantificar cambios, calcular proporciones y razón de incrementos.
10. Elasticidad de resortes (Ley de Hooke)
Uso: Predecir la longitud del resorte cuando soporta una cantidad constante de peso.
Tareas: Identificar el patrón de comportamiento de los datos y establecer el modelo algebraico.
Del análisis didáctico, epistemológico y fenomenológico se observó el uso de registros de
representación en situaciones de modelación, tales como: gráfico, verbal, algebraico y
numérico, los cuales eran empleados para representar o interpretar relaciones entre variables.
5.1.3 Análisis cognitivo: tareas para modelar lo variacional
Para determinar qué tareas favorecen el desarrollo de estrategias y recursos para modelar
situaciones de variación y cambio, se analizaron artículos (Arrieta, y Méndez, 2009; Arrieta y
García, 2009; Arrieta, Valle y Rivera, 2009) en los que se proporcionan evidencias de que en
la resolución de situaciones de modelación donde intervienen relaciones entre variables se
genera y favorece la construcción de conocimiento matemático asociado al Precálculo.
Por ejemplo, en Arrieta y Méndez (2009) se concluye cómo la modelación lineal otorga
herramientas matemáticas y argumentativas a los estudiantes para enfrentarse a situaciones
análogas. Por otro lado, en Arrieta, Valle y Rivera (2009) se reporta que a través de la
interacción de los estudiantes en el aula y por medio de diferentes argumentos llegan a
consensos para construir herramientas matemáticas que contribuyan en la solución del
problema. De modo que, la argumentación y generación de consensos son acciones que
también deben promoverse en los diseños didácticos.
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
43
A continuación se muestran ejemplos de tres actividades de modelación lineal. En la primera
(Alanís et al, 2003) interviene la variable “velocidad” y se demanda al estudiante predecir la
distancia que ha recorrido un objeto en un determinado tiempo.
“Una persona se desplaza a velocidad constante desde su casa hasta la casa de un amigo.
Ambas casas se encuentran en la misma cuadra a 60 metros de distancia una de la otra. “
“La persona sale de su casa en el instante t=0 y la distancia recorrida (en metros) desde su
casa, a medida que el tiempo avanza, se muestra en la siguiente tabla. En ella, el tiempo está
medido en segundos y la distancia recorrida está medida en metros.”
En esta actividad, una acción o tarea consiste en cuantificar los cambios, por ejemplo, la
razón de cambio de la distancia recorrida es de 2.5 cuando el tiempo varía por segundo. Para
ello, el estudiante debe reconocer qué cambia y que al efectuar los cálculos, dicha variación
(cómo o cuánto cambia) es constante. En este ejercicio, se hace uso de un modelo numérico en
una tabla.
Tiempo Distancia recorrida
0 0
1 2.5
2 5
3 7.5
4 10
5 12.5
2.5
2.5
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
44
En la segunda actividad (Imagen 5.3) se trata de estimar el área de cierta región en el plano
cartesiano. En este ejercicio se busca que el estudiante interprete la variación constante a
través de la representación gráfica, para calcular cuánto se incrementan los valores de una
variable conforme la otra variable aumenta y establecer cuál es la razón de cambio del área de
la región sombreada respecto a la recta para representar gráficamente la relación entre el
área y la longitud . En esta actividad se manejan dos tipos de modelos: gráfico y
numérico.
Imagen 5.3. Actividad de modelación lineal en Cuaderno de apoyo: Elementos del Cálculo.
Reconstrucción conceptual para el aprendizaje y la enseñanza (Alanís, Salinas, Pulido, Santos,
Escobedo, y Garza, 2003)
Las situaciones donde intervienen las magnitudes: longitud, área y volumen, se pueden
clasificar por lo menos en dos clases: 1) situaciones en que intervienen magnitudes físicas
variables, como podría ser la presión del agua (o donde interviene la rapidez con la que es
expulsada el agua de un depósito o tanque); 2) situaciones en un dominio geométrico.
En una tercera actividad (Imagen 5.4) se plantea la necesidad de predecir en cuánto tiempo el
depósito se llenará o será vaciado de acuerdo a la rapidez de llenado cuya medida está en litros
Se duplicó el área sombrada.
Se generaliza el proceso para
identificar la razón con la que
cambia el área con respecto a
x.
Se generaliza el proceso para identificar la razón con la que cambia el área con respecto a x.
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
45
por minuto. Se muestra un tanque cilíndrico, cuya base tiene la misma forma,
independientemente de la altura en la cual sea vista.
Imagen 5.4. Actividad de modelación lineal en Cuaderno de apoyo: Elementos del Cálculo.
Reconstrucción conceptual para el aprendizaje y la enseñanza (Alanís, Salinas, Pulido, Santos,
Escobedo, y Garza, 2003)
En esta actividad la primera tarea o acción para el estudiante es calcular cuánto aumenta la
cantidad de agua por minuto, tomando en cuenta la rapidez que alimenta al tanque de agua y
la que expulsa el agua. Posteriormente representar numéricamente la variación de la altura
respecto al tiempo (la velocidad de llenado) y generar un modelo algebraico de la velocidad
de llenado en función del tiempo.
Como se mencionó en el capítulo tres, entender y explicar situaciones de variación y cambio
por medio de la modelación exige el desarrollo de formas de pensamiento y lenguaje
variacional en los individuos. Por tanto, se analizaron también artículos de investigación en
esta línea para identificar la estructura y orden de las tareas que posibilitarían el desarrollo de
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
46
estructuras y nociones variacionales. Como resultado del análisis de tareas en artículos y libros
se identifican las siguientes:
Estructura Tareas
1. Interpretación de la situación: identificar
qué cambia (variable dependiente) Comparar estados
2. Identificación de la situación: reconocer
con respecto a qué cambia (variable
independiente) aquello que cambia
Interpretar la variación, identificar relaciones
entre variables
3. Modelación de la situación: describir
cómo y cuánto cambia lo que cambia
Representar el cambio y la variación, cuantificar
el cambio, construir representaciones
4. Validación del modelo: Cálculo,
predicción o aproximación de valores
Identificar transformaciones entre estados,
cuantificar cambios, interpretar la variación,
argumentar, construir representaciones,
establecimiento de propiedades o características
de los modelos (lineales), y de nociones de
variación y cambio Tabla 5.3. Tareas matemáticas para modelar lo variacional
Para el caso de la modelación lineal, algunas tareas matemáticas que el estudiante debe
realizar para modelar lo variacional son:
1. Reconocer que la relación lineal entre dos variables es constante
2. Cuantificar los cambios de la variación constante a partir de datos numéricos. Calcular
cuánto se incrementan los valores de una variable con respecto a otra
3. Identificar la relación lineal entre variables de manera numérica y gráfica
4. Estimar y explicar que tan rápido cambia lo que cambia
5. Representar algebraicamente la relación lineal entre variables a partir de su
representación gráfica
6. Modelar gráficamente la relación lineal entre las variables a partir de su representación
numérica
7. Representar algebraicamente la relación lineal entre las variables a partir de datos
numéricos
8. Relacionar la variación constante expresada verbalmente con su representación gráfica
Por ejemplo, para una unidad didáctica de modelación lineal las actividades podrían
estructurarse de la siguiente manera:
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
47
Acciones Ejemplificación
Situaciones que se modelan linealmente
1. Movimiento rectilíneo uniforme
2. Gastos –costos
3. Elasticidad de resortes (Ley de
Hooke)
4. Temperatura
5. Longitud, área y volumen
Identificar qué cambia y con respecto a qué
cambia
Describir cómo y cuánto cambia lo que
cambia
a. Reconocer que la relación lineal
entre dos variables es constante
b. Cuantificar los cambios de la
variación constante a partir de datos
numéricos. Calcular cuánto se
incrementan los valores de una
variable con respecto a otra
c. Identificar la relación lineal entre
variables de manera numérica y
gráfica
d. Estimar y explicar que tan rápido
cambia lo que cambia. Estimar y
explicar que tan rápido cambia la
relación lineal entre las variables
dadas las gráficas que modelan
ciertas situaciones
Formulación del modelo
A. Representar algebraicamente la
relación lineal entre variables a
partir de su representación gráfica
B. Modelar gráficamente la relación
lineal entre las variables a partir de
su representación numérica
C. Establecer algebraicamente la
relación lineal entre las variables a
partir de datos numéricos
D. Relacionar la variación constante
expresada verbalmente con su
representación gráfica
Validación del modelo Predecir, aproximar o estimar valores
Tabla 5.4. Ejemplo de un modelo para estructurar tareas de modelación variacional: el caso de lo lineal.
5.2 Modelo de aprendizaje en Precálculo
La pertinencia de caracterizar una reorganización de saberes matemáticos en Precálculo
basados en prácticas, condujo a establecer indicadores sobre la naturaleza de las situaciones y
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
48
el orden de las tareas a incorporar en el diseño de unidades didácticas. Con base en los
organizadores se obtuvo lo siguiente:
Indicadores Descripción Criterios de organización
De naturaleza de las
situaciones
Este indicador lo
determinaron aquellas
situaciones para modelar lo
cambiante en actividades de
naturaleza variacional
Aplicaciones y fenómenos de
variación y cambio
Evolución del concepto
Función
Uso del conocimiento
Selección y manejo de
sistemas de representación
De orden
Este indicador lo
determinaron las tareas para
conceptualizar, operar y
formalizar lo variacional.
Esto permitió establecer qué
actividades, tareas e incluso
qué situaciones se pueden
presentar al estudiante antes
que otras
Tareas de modelación de
situaciones de variación y
cambio
Momentos relevantes en la
evolución histórica del
concepto Función
Familiaridad con los contextos
y situaciones en las que la
variación y cambio tiene un
uso y aplicación
Tabla 5.5. Indicadores para el diseño de unidades didácticas en Precálculo.
Con base en los organizadores se propone un modelo de aprendizaje en Precálculo con núcleo
de contenido en situaciones de variación y cambio, basado en la práctica de modelar lo
cambiante en actividades de naturaleza variacional en torno a la cual se reorganizan los
saberes en esta área.
En este modelo el aprendizaje se concibe como el producto de la actividad humana de los
estudiantes para modelar lo cambiante por medio de la interacción en procesos de
conceptualización, operación y formalización de lo variacional tanto en el plano matemático
como en el sociocultural. Por tanto, dicho aprendizaje será construido en la medida que ellos
logren desarrollar recursos y estrategias variacionales para modelar actividades de tal
naturaleza.
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
49
Imagen 5.3. Propuesta de modelo de aprendizaje en Precálculo (Aparicio, Sosa y Pérez, 2011)
5.2.1 Indicador de naturaleza de situaciones
El análisis de corte epistemológico y fenomenológico reportado en un apartado anterior
proporcionó información relevante acerca de las características de las situaciones en las que
fenómenos sujetos a la variación y cambio son susceptibles de ser modeladas.
Se observó que durante el primer periodo caracterizado como la matemática prehelénica, el
énfasis estaba en la modelación de fenómenos como el calor, la velocidad o la luz, situaciones
de tipo continuo en escenarios dinámicos. Conforme fue evolucionando la construcción del
concepto, se fue presentando en otras situaciones de tipo discreto e incluso en escenarios
estáticos.
Por otra parte, las situaciones en las que se empezó a modelar fenómenos sujetos a la variación
tenían la característica particular en la que los matemáticos tenían la necesidad de predecir,
por ejemplo, aspectos relacionados con la Astronomía como el movimiento de los astros,
predecir eclipses o fenómenos relacionados con esta rama e incluso interpretar cierto
fenómeno para proporcionar información o simplemente para entender y explicarlo. En estos
casos hacían uso del conocimiento para modelar los fenómenos, teniendo siempre una
necesidad e intención.
AP
RE
ND
IZA
JE P
RE
CÁ
LC
UL
O
Situaciones
de
variación y
cambio
FFoorrmmaalliizzaacciióónn
CCoonncceeppttuuaalliizzaacciióónn OOppeerraacciióónn
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
50
De manera que, las situaciones a considerar en el diseño de unidades didácticas son aquellas
de naturaleza variacional en las que algo fluye, sean de carácter continuo o discreto, en
escenarios dinámicos y estáticos. Las prácticas ligadas al uso de conocimiento en situaciones
de variación y cambio son: predecir, modelar estimar, comparar e interpretación, por
mencionar algunas.
5.2.2 Indicador de orden de tareas
En el modelo se propone incorporar tareas para conceptualizar, operar y formalizar lo
variacional en el diseño de las unidades, que se sugieren seleccionar con base en las
características de la situación variacional que se modelará y siguiendo la estructura indicada
en el apartado 5.1.3, más no se sigue un orden lineal en su selección, sino que se espera que en
conjunto contribuyan al propósito de la situación. Entre dichas tareas se proponen las
siguientes:
Conceptualización. Un concepto o la acción de concebir (en el sentido de Vergnaud) se
desarrolla a partir de un proceso en el que se conjugan tres conjuntos:
1. Conjunto de situaciones que dan sentido al “concepto”. En este caso, las prácticas de
referencia asociadas a los usos y contextos de lo variacional.
2. Conjunto de invariantes (nociones y relaciones matemáticas) o significados que el
individuo desarrolla a partir de su interacción social al realizar una actividad humana para
resolver una situación en un contexto específico. Así, los significados de lo variacional
estarán referidos a las situaciones donde emergen y a la actividad personal de los
estudiantes en un contexto de resolución de situaciones de variación y cambio.
3. Conjunto de las formas lingüísticas y no lingüísticas que permiten representar
simbólicamente la variación y el cambio (el significante).
Se dirá entonces que un estudiante ha conceptualizado lo variacional si es capaz de construir
modelos de situaciones de variación y cambio, es decir, si de manera efectiva explica y
describe lo cambiante en la resolución de situaciones donde se exige la ejecución de las
siguientes tareas:
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
51
i. Comparar estados. Establecer relaciones de cambio entre distintos estados de una
situación.
ii. Identificar relaciones o transformaciones de estados. Desarrollar técnicas y estrategias
para identificar la transformación de un estado a otro en la situación, o establecer la
relación entre las variables de tal situación, por ejemplo, mediante estrategias que
permitan reconocer el comportamiento global de los cambios.
iii. Representar el cambio y la variación. Establecer relaciones entre variables por medio de
formas lingüísticas, se incluye lo numérico, gráfico y algebraico. Dicho de otro modo,
consiste en la generación de modelos del cambio y la variación en situaciones de esta
naturaleza.
Operación (saber hacer). Proceso que consiste en la ejecución de tareas matemáticas para
resolver situaciones de variación y cambio. Dichas tareas se entienden como acciones en la
que se exige movilizar conocimientos, recursos y formas del pensamiento variacional al
realizar una actividad humana en la que se usa o construye conocimiento para explicar y
describir la variación y el cambio. Tales como:
i. Interpretar la variación. Interpretación de representaciones visuales para explicar la
transformación de estados en una situación variacional.
ii. Cuantificar el cambio. Desarrollo de técnicas y estrategias para estimar o calcular cuánto
cambia lo que cambia en una situación, por ejemplo, calcular diferencias, desarrollar
estrategias de interpolación de valores, u otra.
iii. Argumentar. Empleo de recursos discursivos y matemáticos para validar una conjetura,
hipótesis o solución sobre la forma en que cambia lo cambiante en una situación.
iv. Codificar información. Establecimiento de un conjunto de signos y símbolos, así como de
sus relaciones entre estos para codificar y decodificar información sobre el cambio y la
variación en una situación.
v. Construir representaciones. Construcción de representaciones (gráficas, numéricas,
algebraicas, etc.) para describir relaciones entre variables o cuantificar el cambio.
Formalización. Establecimiento de nociones (expresadas por definición o construcción),
propiedades y relaciones matemáticas en comunidad a partir de procesos de convención social
o consenso para significar un saber, en la resolución de situaciones de variación y cambio.
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
52
5.3 Ejemplo de una unidad didáctica: el caso de la modelación lineal
UNIDAD DIDÁCTICA DE MODELACIÓN LINEAL
Nombre del curso: Precálculo
Temática: Modelación lineal
1. Descripción de la unidad
Esta unidad de modelación lineal tiene como propósito que los estudiantes desarrollen
conocimiento, herramientas y habilidades matemáticas para entender y explicar situaciones en
las que se establece una relación lineal entre variables en escenarios numéricos y gráficos. Se
espera que el estudiante construya nociones tales como cambio, variación, relación funcional,
función constante.
La unidad está dirigida a estudiantes de bachillerato con conocimientos para calcular
proporciones, graficar, ubicar puntos en el plano cartesiano; nociones como variable y
herramientas básicas de la aritmética y el álgebra.
Esta unidad didáctica está diseñada para implementarse en dos sesiones de ochenta minutos
cada uno.
2. Objetivos
Objetivo general
Generar estrategias y modelos matemáticos para estimar, predecir una situación y tomar
decisiones en situaciones de variación constante entre variables continuas y discretas.
Objetivos específicos
1. Desarrollar técnicas y modelos matemáticos para calcular la variación de fluidos
líquidos en el llenado de recipientes uniformes.
2. Generar modelos matemáticos para calcular y representar la variación de movimiento
de cuerpos u objetos con rapidez constante.
3. Generar estrategias y modelos matemáticos para calcular costos a partir de datos
numéricos.
Conceptuales:
1. Reconocer cuándo la relación lineal entre dos variables es constante
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
53
2. Comparar estados de cambios en situaciones de variación constante
3. Identificar la relación lineal entre variables de manera numérica y gráfica
4. Representar la variación constante gráfica, numérica y algebraicamente
5. Identificar transformaciones entre estados en una situación de modelación lineal
6. Establecer propiedades o características de los modelos lineales de nociones de
variación y función lineal
Procedimentales:
1. Cuantificar cambios en situaciones de variación constante a partir de datos numéricos,
es decir, calcular cuánto se incrementan los valores de una variable con respecto a otra
2. Construir representaciones en las que interviene una relación lineal entre las variables a
partir del sistema de representación numérico
3. Argumentar la elección o construcción de un modelo lineal y el establecimiento de una
relación de variación constante
4. Interpretar la variación constante
5. Relacionar la variación constante expresada verbalmente con su representación gráfica
Actitudinales:
1. Comprender la función de la matemática
2. Respetar las opiniones de los demás compañeros
3. Trabajar colaborativamente en la resolución de actividades
4. Argumentar para validar soluciones
5. Socializar ideas y generar consensos
6. Valorar y respetar las aportaciones de los compañeros
3. Contenido
Los contenidos de aprendizaje sobre los que se va a trabajar durante el desarrollo de la
unidad es la modelación lineal. Se abordarán nociones como cambio, variación, variación
constante y características de la variación lineal.
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
54
4. Secuencia de actividades y estrategias
SESIÓN 1
Momento 1
Tiempo estimado: 20 minutos
Profesor:
Comunicará las instrucciones. Presentará la unidad y sobre la forma de trabajo en el aula.
Solicitará a los estudiantes leer individualmente la introducción de la unidad “Modelación
lineal” y proporcionar ejemplos de cambio y variación. Indicará que los cambios pueden
ser descripciones cualitativas o cuantitativas.
Estudiante:
Proporcionará situaciones en las que puedan identificar la variación y el cambio de tal
manera que demuestren que se ha comprendido la información que en la introducción se
proporciona.
INTRODUCCIÓN
En nuestra vida diaria decimos que hay cambios cuando se nos presentan situaciones donde se
modifica o transforma el estado de dichas situaciones. Por ejemplo, podemos observar cambios
en la temperatura de las ciudades o el movimiento de un automóvil, y usamos términos para
denotar esos cambios tales como: aumenta, disminuye, rápido, lento, etc. La forma y la cantidad
del cambio es lo que llamamos variación. A continuación se indican algunas formas de expresar
el cambio en ciertas situaciones variacionales.
Situación Estado 1 Estado 2 Cambio en la situación
Temperatura promedio en
una ciudad Ayer: Hoy:
Disminución de
temperatura
Movimiento de un objeto Aumento
de velocidad
Cantidad de copias 4 50 Muchas copias
Rapidez del agua Más rápido
Ventas de un producto 59 28 Pocas ventas
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
55
Momento 2
Tiempo estimado: 40 minutos
Profesor:
Realizará la lectura de las instrucción de la primera actividad, pedirá a los estudiantes que
se conformen grupos de tres personas con variedad de géneros (dos hombres una mujer o
dos mujeres un hombre). Seguidamente motivará a los estudiantes a realizar la Actividad:
Llenado de un recipiente, y dará tiempo para que los estudiantes lo resuelvan. Coordinará
el cierre de la sesión para concluir lo siguiente:
La actividad del llenado de un recipiente se modela linealmente bajo ciertas
condiciones:
A. Que la rapidez de llenado sea constante
B. El recipiente tenga forma regular, es decir, que el área de la base
sea igual en cualquier altura del recipiente, por ejemplo, los prismas
regulares.
La función que modela este fenómeno es de la forma donde
representa la variación de la altura del líquido en el recipiente, es decir, cuánto
cambia la altura entre dos instantes de tiempo y , de tal manera que la
variación es constante.
Estudiante:
Cooperará para la conformación de los equipos y responderá la actividad que el profesor le
entregue. Al finalizar todos los equipos discutirán y proporcionarán argumentaciones para
validar su solución.
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
56
ACTIVIDAD. LLENADO DE UN RECIPIENTE
Práctica: Desarrollar técnicas y modelos matemáticos para calcular la variación de fluidos
líquidos en el llenado de un tanque cilíndrico.
Instrucción. A continuación se ilustra el llenado de un tanque cilíndrico al que una bomba
suministra agua con una rapidez de . Resuelve la actividad para estimar la altura
del agua en el cilindro en un tiempo determinado.
1. Expresa qué cambia en la situación.
2. Indica respecto a qué cambia aquello que cambia.
3. Genera un modelo matemático que describa cómo cambia la altura del agua en el
tanque conforme se va llenando.
4. Estima en cuánto tiempo se tendría que apagar la bomba para que la altura del agua
esté a la mitad de la capacidad del tanque.
5. A continuación se ilustra el llenado de dos recipientes, ¿en cuál de esos recipientes el
llenado se puede calcular empleando un modelo matemático como el de la situación
anterior? Explica el porqué de tu elección.
180 cm
t = 0 min t = ? t = 15 min
A)
B)
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
57
SESIÓN 2
Momento 3
Tiempo estimado: 20 minutos
Profesor:
Leerá la introducción y proporcionará la actividad: “Movimiento de un objeto” que trata de
la modelación de variación del movimiento.
Solicitará a los estudiantes que se organicen en equipos mixtos de tres integrantes y que
resuelvan la actividad.
Al finalizar la actividad motivará a los estudiantes para presentar ante la clase los
resultados que en consenso obtuvieron, las diversas respuestas que se proporcionen darán
pie a múltiples argumentos por parte de los estudiantes, de tal manera que al final el
profesor realice un cierre de las conclusiones obtenidas sobre lo siguiente:
El tipo de movimiento analizado se denomina movimiento rectilíneo uniforme, los
autos recorren distancias iguales en tiempos iguales. Este tipo de fenómenos se
puede modelar mediante la función lineal donde m representa la
variación constante de las distancias que recorren los tres autos de control remoto
y b la distancia en la que se ubica un auto con respecto a un punto de referencia.
En el modelo gráfico representa la pendiente de una recta y el valor de la
ordenada al origen de las coordenadas.
Estudiante:
Trabajará en equipo para resolver la actividad, socializar y argumentar su solución para
validar.
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
58
ACTIVIDAD. MOVIMIENTO DE UN OBJETO
Práctica: Generar modelos matemáticos para calcular y representar la variación de
movimiento de cuerpos u objetos con rapidez constante.
Introducción: En esta actividad se pretende trabajar el fenómeno de movimiento de un objeto,
en particular se generarán modelos para calcular la posición de autos de control remoto en un
tiempo determinado cuando se conoce la velocidad con que estos se mueven.
Parte 1
Instrucción. Se está realizando un experimento con autos de control remoto en una carrera.
En la siguiente imagen se muestra información de las posiciones de los autos en los últimos 25
metros de la carrera, antes de llegar a la meta. Resuelve la actividad para predecir la posición
de un auto en un tiempo determinado de la carrera.
1. Describe qué cambia en este lapso de la carrera que se ilustra.
2. Expresa respecto a qué cambia lo que cambia.
3. Indica en qué lugar o posición llegarán los autos a la meta. Explica tu respuesta.
4. Proporciona un modelo matemático que permita calcular la posición de cada auto
conforme el tiempo transcurre.
5. Ahora fíjate en la distancia que les falta recorrer a los autos para llegar a la meta, ¿Qué
tan lejos de la meta estará el auto dos cuando hayan transcurrido tres minutos en el
lapso que se ilustra de la carrera?
A 1
A 2
A 3
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
59
Parte 2
Instrucción. A continuación se muestra información de una experimentación con dos autos de
control remoto, en la que se registra datos de la distancia faltante para llegar a la meta.
Resuelve la actividad para explicar la variación en el movimiento de los autos de control
remoto.
1. Analiza la siguiente gráfica, escribe un título de la situación que se representa en
ésta e indica las variables de los respectivos ejes del plano. Explica tu respuesta.
2. Describe verbalmente el movimiento de los autos de control remoto durante el
lapso de la carrera que se representa en la gráfica anterior.
Momento 4
Tiempo estimado: 20 minutos
Profesor: Introducirá y hará entrega de la primera parte de la actividad: Gastos de un
servicio y producto. Cuando concluyan esta parte, el profesor entregará la parte 2. Al
finalizar coordinará el cierre, no sin antes haber escuchado la diversidad de respuestas de
los estudiantes y generar concensos.
Estudiante:
Cooperará y trabajará en equipo para resolver la actividad, socializar y argumentar su
solución para validarla.
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6 7
_______________________
__________________
_______________
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
60
ACTIVIDAD. COSTOS DE UN SERVICIO O PRODUCTO
Práctica: Generar estrategias y modelos matemáticos para calcular costos a partir de datos
numéricos.
Introducción: En esta actividad se pretende decidir entre dos compañías telefónicas cuál
ofrece mejor costo del servicio para cierta cantidad de llamadas.
Parte 1
Instrucción. Se muestran dos tablas con información sobre costos del servicio de dos
compañías telefónicas, que son exclusivos para hogares o viviendas. Responde la actividad
para decidir qué compañía conviene contratar.
Compañía A
Compañía B
1. Enuncia qué cambia en esta situación.
2. Expresa respecto a qué cambia aquello que cambia en la situación.
3. Si en promedio se realizan 100 llamadas al mes, ¿qué compañía ofrece mejor costo de
servicio al consumidor? Explica tu respuesta.
Cantidad de llamadas 3 6 12 18 21
Cantidad a pagar por
el consumidor ($) 54.8 59.6 69.2 78.8 83.6
Cantidad de llamadas 3 6 12 18 21
Cantidad a pagar por el
consumidor ($) 101.5 103 106 109 110.5
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
61
Parte 2
4. ¿Cuál de las siguientes gráficas modela el costo del servicio telefónico en los hogares?
Explica el porqué de tu elección.
5. Los costos por llamada para un comercio o empresa son los mismos que para los
hogares, sin embargo, la renta para empresas es el doble que la renta para los hogares.
a) Genera un modelo matemático de los costos del servicio telefónico para una
empresa.
b) ¿Qué compañía telefónica conviene contratar en una empresa? Explica tu
respuesta.
Gráfica A Gráfica B
Diseño de unidades didácticas en Precálculo
62
5. Recursos
Espacios: el aula habitual y el apropiado diseño espacial para que los estudiantes
puedan mover sus sillas y formarse en equipos.
Los materiales didácticos a utilizar: hojas de trabajo con las actividades para los
estudiantes, hojas en blanco para la resolución de las actividades, pizarra y
plumones (tiza), de uso del profesor como de los alumnos.
6. Evaluación
El docente podrá emplear diversos mecanismos de evaluación, sin embargo, en todo caso
siempre debe estar presente la observación directa.
Algunos criterios o indicadores de aprendizaje sobre lo que debe saber y saber hacer el
estudiante para el diseño de reactivos o tareas de evaluación son:
1. Reconocer e identificar la variable dependiente e independiente en situaciones de
variación constante
2. Describir la forma y la cantidad de lo que cambia en las situaciones
3. Generar modelos matemáticos asociados a las situaciones por medio de acciones como
cuantificar cambios, representar la variación constante, calcular proporciones y estimar
un dato
4. Validar el modelo matemático para predecir, aproximar o estimar algún valor
Otro tipo de instrumentos para la evaluación:
Cuaderno de trabajos
Trabajos en equipos
Pruebas escritas (abiertas, cerradas o múltiples)
7. Bibliografía
En este apartado se indican las referencias de las fuentes bibliográficas o electrónicas para el
diseño de la unidad. En este caso corresponden a: (Alanís, Salinas, Pulido, Santos, Escobedo,
y Garza, 2003), (Arrieta, Valle, y Rivera, 2009), (Arrieta y García, 2009), (Arrieta, y Méndez,
2009), (Azcárate, y Deulofeu, 1996), (Cantoral, Farfán, Cordero, Alanís, Rodríguez, y Garza,
2000), (Ruiz, 1998).y (Steen, 1998) que se referencian al final de este trabajo.
63
CAPÍTULO 6
RESULTADOS Y CONCLUSIONES
En este capítulo se presentan los resultados por actividad y tareas de la experimentación de la
unidad didáctica basada en la práctica de modelación de situaciones de variación y cambio
para el caso de la variación lineal. El análisis de los resultados se efectuó con base en las
respuestas de los estudiantes y en los organizadores del diseño de las actividades de la unidad,
es decir, en función del éxito en cada actividad según su propósito, a saber, el desarrollo de
técnicas y estrategias de modelación lineal con relación a los indicadores de orden y naturaleza
de las situaciones.
Para efectos prácticos se ha empleado una nomenclatura para hacer referencia a los
estudiantes, ésta se compone de la letra “A” seguida de un número, por ejemplo: A7, hace
referencia al estudiante número siete; y para hacer referencia al equipo que pertenece se
denota este con la letra E seguida de un número. Los equipos se conformaron de la siguiente
manera E1: A1, A2, A3; E2: A4, A5, A6; E3: A7, A8, A9,…
Después de las respuestas de cada tarea se incluyen análisis de los datos y observaciones del
investigador sobre las producciones de los estudiantes.
Se ha centrado la atención en aquellas estrategias y habilidades que los estudiantes
desarrollaron durante la puesta en práctica de las actividades, así como en las tareas y
argumentos que proporcionaron para modelar la variación lineal.
6.1 Resultados de la ACTIVIDAD 1. LLENADO DE UN RECIPIENTE
En esta actividad se pretendía que los estudiantes desarrollaran técnicas y modelos
matemáticos para calcular la variación de fluidos líquidos en el llenado de un tanque
cilíndrico.
Esta primera actividad que les fue presentada a los estudiantes tiene la característica de ser una
situación que es susceptible de ser modelada linealmente en un escenario dinámico de
variación continua. En la actividad se le presentaba la situación visual del llenado del tanque.
Resultados y conclusiones
64
Las primeras dos tareas se referían a qué cambia en la situación y respecto a qué cambia
aquello que cambia, es decir, se les preguntaba por la variable dependiente e independiente.
La intención es que fijaran la atención en el cambio no en la variación. En la Tabla 6.1, se
muestran las respuestas de los estudiantes; la primera columna hace referencia al estudiante o
al equipo y la columna dos a las respuestas que éstos proporcionaron.
Tarea 1
Tarea 2
A1, A7-12: (Cambia) La altura del
agua
A1: La altura del agua cambia
respecto al tiempo
A2, E2: La cantidad de agua A2: Que hay mas litros de agua cada
vez que pase un minuto
A3: La cantidad en litros y
la altura del agua
A3, E2, E3,
E4:
Respecto al tiempo de llenado
E5: El nivel del agua va
aumentando
Tabla 6.1. Respuestas de las Tareas 1 y 2 - Actividad 1
En las respuestas de estas tareas puede notarse la habilidad que tienen los estudiantes para
identificar las variables involucradas en la situación y reconocer una relación de dependencia
entre éstas.
Algunos estudiantes que en primera instancia decidieron omitir dar respuesta a estas primeras
dos tareas, se desorientaron y tuvieron dificultad al intentar resolver la tarea tres debido a que
no hallaban la manera de generar una estrategia que les permitiera proporcionar un modelo
matemático de la situación o la estimación de un dato. Retomar las tareas uno y dos en las que
se precisaba reconocer lo cambiante con base en la interpretación e identificación de la
situación, permitió a los estudiantes la modelación de la situación a través de tareas
matemáticas tales como representar el cambio y la variación, cuantificar el cambio y construir
representaciones como se muestra en la Tabla 6.2. Por tanto, una característica esencial para la
modelación es que los estudiantes fijen su atención en lo cambiante para establecer su marco
de referencia.
La naturaleza de la situación favoreció que los estudiantes distingan el tipo de variación
presente en la situación, en este caso, la variación constante y a partir de esto generen modelos
Resultados y conclusiones
65
matemáticos de la actividad del llenado de un recipiente, como puede verse en la siguiente
tabla:
Tarea 3
A1, A3:
A2:
A4, A5, E4: 160 x min= litros en el tanque
(x representa el signo de la multiplicación)
A6: Cantidad que suministra la bomba por el tiempo
E3:
160(tiempo)=cambio de la altura
9cm /min
E5:
E6:
Tabla 6.2. Respuestas de la Tarea 3 -Actividad 1
Podemos observar que los estudiantes A1, A3 y A2 hacen uso de modelos numéricos para
representar el llenado del recipiente; en las que puede observarse el reconocimiento de la
variación constante. La diferencia entre la primera y la segunda tabla es la variable que cada
estudiante consideró como la dependiente en la situación; A1 y A3 consideraron la “altura del
agua” como la variable dependiente y A2 la “cantidad de agua”. En ambos casos el modelo
matemático es correcto.
Resultados y conclusiones
66
Otra de las herramientas que los estudiantes emplearon en la modelación es la regla de tres,
por ejemplo, en la relación que establecen los integrantes de E6. Se observa también que
algunos estudiantes (A4, A5, A10, A11, A12) intentan establecer una expresión algebraica que
modele la situación a partir de reconocer una relación entre la variable dependiente “litros de
agua” y la independiente “tiempo”.
Como se puede observar varios estudiantes interpretaron la variación entre la altura del agua y
el tiempo, o entre la cantidad de litros y el tiempo, para poder plantear el modelo matemático,
cabe recalcar que en esta primera actividad varios estudiantes ignoraban qué es un modelo
matemático, por lo que se les indicaron ejemplos de lo que podían emplear como tal: tablas,
gráficas, expresiones algebraicas o fórmulas, enunciados.
Otro aspecto importante que se puede mencionar es el empleo de los sistemas de
representación por parte de los estudiantes en esta primera actividad, por ejemplo, A1 y A3
emplearon una representación numérica mientras que A4, A5, E4 proporcionaron una
algebraica.
En la Tarea 4 también se pudo observar el uso de estrategias para estimar en cuánto tiempo se
tendría que apagar la bomba para que la altura del agua esté a la mitad de la capacidad del
tanque, es decir, estrategias para predecir un estado de la situación variacional.
Tarea 4
E1, E4, E5:
Se llena en 10 min
Resultados y conclusiones
67
E2:
E6:
Tabla 6.3. Respuestas de la Tarea 4 - Actividad 1
En equipos los estudiantes generaron estrategias y establecen supuestos (altura de llenado,
variación constante) para estimar el tiempo para apagar la bomba que suministraba agua al
tanque, por ejemplo, E1 toma como supuesto que a los 15 minutos el tanque estaba a tres
cuartos de su capacidad, por lo que el tiempo en que se llenó el tanque de en medio sería de 5
minutos, obteniendo como respuesta que se llenará a los 20 minutos y habría que apagarla a
los 10 minutos para que el agua esté a la mitad del tanque. Este equipo hace uso de
operaciones básicas como la división para saber cuántos centímetros alcanza el agua en un
minuto.
Se observa que E2 a través de multiplicaciones y divisiones obtiene el tiempo estimado. Para
este equipo tiene sentido hacer uso de estas operaciones básicas, pues los resultados de las
operaciones adquirieron significado en la situación, es decir, representan el tiempo estimado o
la cantidad de litros de llenado.
Posteriormente, el diseño de la actividad incluyó un apartado de validación del modelo
matemático generado por los estudiantes, donde la intención era que los estudiantes se
enfrentaran a dos situaciones en las que identificaran cuál era susceptible de ser modelada
linealmente. En este caso, se confronta la variación lineal y la exponencial. A continuación se
presentan las argumentaciones que dieron los estudiantes:
Resultados y conclusiones
68
Tarea 5
E1: (A) Porque es más fácil de buscar la mitad del recipiente y se puede notar
más rápido la cantidad de agua que se adquiere en un minuto. Además en
los recipientes A su ancho es constante y es más fácil reconocer la altura
por minuto.
A4: (A) Por la forma del prisma se podría detectar (la variación) visualmente.
No por su forma cónica.
A5, A6: (A) Por su llenado va siendo constante y así se podría calcular su altura de
llenado. (La B no corresponde) Porque esta figura se comienza a llenar por
un pico y su capacidad aumenta conforme se va abriendo.
E3: (A) La B no varía proporcionalmente.
E4: (A) Se puede apreciar de mejor manera como aumenta proporcionalmente
el agua.
E5: (A) Porque se da la misma variación y va aumentando al tiempo que se
determina.
E6: (A) Porque hay una variación constante. Tabla. 6.4. Respuestas de la Tarea 5 - Actividad 1
Los estudiantes interpretaron la variación cualitativamente de tal manera que eligieron la
opción correcta (A), que representa una situación de variación constante.
La naturaleza de la situación ante la confrontación de la situación y lo lineal y lo exponencial
posibilitó que los estudiantes abstraigan las características de la situación y del modelo: la
variación constante. Las características en esta situación fueron precisamente la forma regular
(prisma regular) del tanque y la rapidez constante de llenado. Asimismo, que infirieran en qué
situación es válido usar el modelo o aplicarlo, y en cuáles no, según si pueden ser modeladas
linealmente o no. Es decir, logran abstraer la generalización del modelo.
Observaciones sobre la actividad
La mayoría de los estudiantes en esta situación se enfocaron a estimar la cantidad de agua con
respecto al tiempo, solamente tres estudiantes estimaron la altura del agua, en ambos casos las
respuestas fueron acertadas.
Se observó la carencia que tenían los estudiantes cuando intentaban establecer un modelo
matemático, cabe recalcar que ellos mismos admitieron que no entendían de que se trataba,
cuando se le mencionó que podrían hacer uso de tablas numéricas, expresiones algebraicas
incluso gráficas, cuatro equipos prefirieron el uso de modelos numéricos.
Resultados y conclusiones
69
Con respecto a las preguntas de reflexión que se les planteó al final de cada actividad, los
equipos E1, E2 y E4 respondieron que la actividad se les dificultó porque no contaban con las
dimensiones del tanque; E3 y E6 respondieron que carecían de los conocimientos relacionados
al tema para responder la actividad, la mayoría de los equipos tuvo dificultad para plantear un
modelo matemático, pero tuvieron éxito en la resolución de la actividad.
6.2 Resultados de la ACTIVIDAD 2. MOVIMIENTO DE UN OBJETO
En esta parte se estuvo trabajando con el fenómeno de movimiento rectilíneo uniforme y se
pretendía que el estudiante generara modelos de la variación del movimiento para calcular la
posición de dichos objetos en cierto instante de tiempo, la condición que se les daba es que la
velocidad era constante.
Esta segunda actividad tiene la característica de ser una situación que es susceptible de ser
modelada linealmente en escenarios dinámicos de variación continua. Los modelos asociados
son de la forma , donde representa la variación constante de las distancias
que recorren tres autos de control remoto y la distancia en la que se ubica un auto con
respecto a un punto de referencia. En la primera parte de la actividad, la variación era
constante, pero con incrementos positivos, mientras que en la segunda parte la variación era
constante con incrementos negativos o decrementos, es decir, el movimiento podría ser
modelado con una función lineal creciente y una decreciente, respectivamente.
Se le presenta también a los estudiantes un sistema visual, pero se incorpora un escenario
gráfico sobre la situación variacional.
Durante esta segunda actividad los estudiantes se mostraron más seguros ante la actividad,
pues proporcionaban respuestas concretas acompañadas de argumentaciones válidas.
Las respuestas de los estudiantes ante las Tareas 1 y 2 fueron las siguientes:
Tarea 1 Tarea 2
E1, A5: Los metros recorridos E1,A4, A18: El tiempo
A4, A6, E3, A14,
A15:
Distancia A5:
Respecto a cuanto avanza
cada uno
Resultados y conclusiones
70
Tabla 6.5. Respuestas de la Tareas 1 y 2 - Actividad 2
Nuevamente se observa que los estudiantes reconocen lo cambiante y establecen una
referencia para trabajar en la modelación del movimiento, a partir de identificar las variables
dependiente e independiente, distancia y tiempo respectivamente.
Para la siguiente tarea se les cuestionaba a los estudiantes el lugar o posición en la que
llegarán los autos a la meta, las estrategias y argumentos que emplearon en sus respuestas
fueron:
A6, E4,
A16,A17:
Respecto a la posición de
cada automóvil A6, E4:
A la distancia que
aumenta cada auto
A18: La velocidad de los autos E3, A14, A15,
A16,A17:
A la velocidad
Tarea 3
A1:
A2: Por la distancia que recorre por minuto sin importar la distancia
recorrida
Resultados y conclusiones
71
A3:
A4:
A5: El A3, A1, A2 por los metros que avanza cada minuto
Resultados y conclusiones
72
Tabla 6.6. Respuestas de la Tarea 3 - Actividad 2
A6:
A7: A3, A1, A2
A8: Llegará primero A3, A1, A2 por la velocidad
A9: A3,A2,A1 Llegará primero el A3 porque su velocidad es mayor,
después el A2 que tiene menos velocidad que el anterior pero más
que el A1 y éste será el último
E4:
A14-A15: A3,A1,A2 Por la velocidad que se proporciona y la distancia que
ya recorrieron se puede calcular
A16: A2 primero y a los 2 segundos A1 luego de 2 minutos llegará A3
A18: A2 primero, A1 segundo y A3 tercero. Porque su velocidad con
respecto a su tiempo es diferente
Resultados y conclusiones
73
La naturaleza de la situación permitió a los estudiantes relacionar la velocidad con las
variables distancia y el tiempo, es decir, la experiencia y familiaridad de los estudiantes con la
naturaleza de la situación, favoreció la resolución con éxito de esta actividad por parte de la
mayoría de los estudiantes. Lo cual se observó en las estrategias que emplearon los
estudiantes, por ejemplo, A3, A4, A6, E4, A14 y A15, partieron de la interpretación la
variación para reconocer la ley del comportamiento global de los cambios y decidir en qué
orden llegarían los autos a la meta.
Identificada la relación entre la velocidad y las variables tiempo y distancia los estudiantes
lograron reconocer la ley del sistema de cambios y cuantificar los cambios, tal es el caso de
A4 y E4.
Así también, la relación de proporción directa estuvo presente en la respuesta de A3 que le
sirvió para estimar el tiempo que les tomará a los autos llegar a la meta.
Puede observarse que la Tarea 3 provocó que los estudiantes cuantificaran cambios y
estimaran datos, por ejemplo, los estudiantes A1, A4, A6, A10, presentaron una tabla de
valores numéricos mientras que A2 justifica su respuesta de acuerdo a las velocidades que
llevaban los autos, sin tomar en cuenta el dato de que éstos no se encontraban a la misma
distancia del punto de referencia de la carrera.
En la Tarea 4 se solicitaba el modelo matemático asociado a dicha situación y las respuestas
de esta tarea fueron:
Tarea 4
A1, A3:
A2:
Resultados y conclusiones
74
Tabla 6.7. Respuestas de la Tarea 4 - Actividad 2
A4:
A5:
A6:
E3: Distancia restante / velocidad
E4:
A14, A15:
E6:
Resultados y conclusiones
75
Fijar la atención en lo cambiante, el análisis y la interpretación en la variación de la distancia
con respecto al tiempo, y el establecimiento de su relación con la velocidad, permitió a los
estudiantes establecer modelos algebraicos y numéricos del movimiento de los autos. Por
ejemplo, los integrantes de E6 generaron un modelo algebraico correcto, en contraparte de A2
que no tomó en cuenta la distancia a la que se encontraba el auto con respecto al punto de
referencia. E3 enunciaron verbalmente la estrategia que les llevaría a calcular el tiempo en el
que cada automóvil llegaría a la meta. A5, A14, A1 proporcionaron como modelo matemático
una tabla con datos de las posiciones de los autos, así también el uso de la regla de tres estuvo
presente en las respuestas de los estudiantes, por ejemplo, A1, A3 y A6. Cabe recalcar, que se
observó que la resolución de las Tareas 3 y 4 no se dio en ese orden, pues los estudiantes
primero plantearon el modelo matemático para finalmente proporcionar el lugar o posición en
la que cada auto llegaría a la meta.
En la tarea número cinco de la actividad se les modificó la situación cambiando la condición,
es decir, el énfasis estaba ahora en la distancia que le faltaba a cada auto recorrer para llegar a
la meta, esto implicaba que los estudiantes cambiaran el punto de referencia desde el cual se
estará registrando la distancia.
Las respuestas fueron:
Tarea 5
A1, A2: 19 metros
A3:
A4, A5, A6,
A7, A9, A10,
A11, A12:
A 13 metros de la meta
Resultados y conclusiones
76
Tabla 6.8. Respuestas de la Tarea 5 - Actividad 2
El cambio de la condición implicaba que los estudiantes realizaran una modificación al
modelo algebraico que habían proporcionado en la Tarea 4, esto lo lograron los estudiantes
debido a que asignaron un significado a las componentes del modelo que habían
proporcionado, es decir, una vez establecida una relación entre el modelo y la situación, ya
reconocían lo que el cambio de condición afectaba en el modelo. Por ejemplo, A8, A14 y A15
parten de la velocidad constante que lleva el auto dos y al considerar la distancia
a la que se encuentra del primer punto de referencia; así, la distancia recorrida por el auto dos
a los tres minutos es de doce metros con respecto al primer punto de referencia, el cambio de
condición de la actividad provocó la diferencia entre la distancia total y la distancia recorrida.
En contraparte, podemos observar que A16 y A17, no lograron ubicar cómo el cambio de la
situación afectó el modelo matemático. Y finalmente la respuesta proporcionada por A18 está
correcta si la velocidad del auto fuera de .
En las respuestas de los estudiantes, se observa el uso de operaciones básicas para determinar
las distancias faltantes de cada auto de control remoto, por ejemplo, A14; mientras que A3
A8: Habrá recorrido 6 m y estará 13 m de la meta
A14, A15:
A16, A17:
A18:
Resultados y conclusiones
77
nuevamente que en la tarea anterior no tomó en cuenta la distancia que el auto ya había
recorrido, por ello se piensa que respondiera que la distancia faltante era de 19 metros.
Finalmente, en la segunda parte de la actividad se le presentaba al estudiante un sistema de
representación gráfico, cuyos modelos lineales asociados tienen la característica de presentar
la distancia que le falta recorrer al auto para llegar a la meta, es decir, la variación de la
distancia faltante hacia la meta cuando el auto lleva una velocidad constante y parte a cierta
distancia de un punto de referencia. El propósito de esta parte de la actividad es que los
estudiantes interpretaran y describieran verbalmente la variación de la distancia faltante con
respecto al tiempo.
Por tanto se le pedía a los estudiantes etiquetar los ejes coordenados del plano cartesiano,
presentar el título de la representación gráfica y describir la situación. Las respuestas que
proporcionaron fueron:
Tarea 6
A1: TITULO: --, EJE X= tiempo, EJE Y= Distancia (m),
Descripción: a mayor tiempo menor distancia de la meta el auto
que comenzó en 25 m gana
A2:
TITULO: más distancia menos minutos, EJE X= minutos, EJE Y=
Distancia recorrida, Descripción: que en mas minutos es menos la
distancia que recorre cada auto por minuto y si la distancia que
recorre el auto es mayor al otro entonces el que tiene mayor
distancia llegará primero
A3:
TITULO: a mayor tiempo mayor distancia, EJE X= tiempo en
minutos, EJE Y= metros, Descripción: a mayor distancia mayor
tiempo. El auto #1 va mas rápido porque en menos minutos
avanzó más metros
A4:
TITULO: gráfica de estadísticas de los coches, EJE X= distancia
entre el coche y la meta, EJE Y= tiempo transcurrido,
Descripción: mientras más tiempo pase, menor es la distancia que
separa el coche de la meta
A5, A6: TITULO: distancia que avanza cada auto, EJE X= minutos, EJE
Y= metros, Descripción: la velocidad de cada uno es constante y
se encuentran en el minuto 5 con 5 metros avanzados
Resultados y conclusiones
78
Tabla 6.9. Respuestas de la Tarea 6 - Actividad 2
Es importante recalcar que varios estudiantes como A7, calcularon diferencias entre estados a
partir de la representación gráfica, esto para conocer la velocidad en la que se movían los
autos. Asimismo mostraron su habilidad para interpretar y describir su variación del
movimiento de los autos a partir de un modelo gráfico.
A7, A8, A9:
A10, A11, A12:
TITULO: distancia faltante, EJE X= tiempo, EJE Y= distancia,
Descripción: ambos autos vana a una velocidad constante, sin
embrago, el que recorre más distancia (25 m) va a una velocidad
mayor con respecto al otro automóvil (20m) por lo que llega en
menos tiempo a la meta
A14, A15: TITULO: distancia/tiempo, EJE X= tiempo, EJE Y= distancia,
Descripción: A1 avanzó 6.2 metros en 25 minutos, A2 avanzó 6.6
metros en 20 minutos
A16, A17: TITULO: velocidad, EJE X= metros, EJE Y= tiempo,
Descripción: la velocidad de cada uno es constante y se
encuentran en el minuto 5 con 5 metros avanzados
A18:
TITULO:la velocidad por tiempo de un auto de carreras porque es
ver quien gana la carrera y en cuanto tiempo, EJE X= velocidad
(metros), EJE Y= tiempo (minutos), Descripción: 1- el auto tiene
un avance de 6.10 metros por 20 minutos, 2- el auto tiene un
avance de 6.30 metros por 25 minutos
Resultados y conclusiones
79
Observaciones sobre la actividad
En esta actividad se observó una evolución respecto a la modelación de la situación anterior. A
diferencia de la primera actividad, la mayoría de los estudiantes, lograron establecer modelos
matemáticos, numéricos o algebraicos, por ejemplo: las expresiones algebraicas que
proporcionó E6 y A2 son más formales que las expresiones que proporcionaron los A4 y E4
equipos en la Actividad “Llenado de un recipiente”.
Otra de las observaciones importantes que hay que recalcar, es que E6 a partir del modelo
algebraico que proporciona es capaz de estimar el tiempo en que cada auto de control remoto
llegará a la meta; sin que esto se solicite explícitamente.
Los modelos matemáticos del cambio de condición no se solicitaron explícitamente en la
Tarea 3 (el modelo matemático se pedía en la Tarea 4) pero los estudiantes fueron capaces de
generarlos y usarlos como una herramienta para decidir en qué lugar llegaron los autos a la
meta, con esto se hizo evidente el cambio de orden entre las Tareas 3 y 4 lo que se sugiere
tomar en cuenta en próximos diseños.
Con respecto a las respuestas de las preguntas de reflexión E1 y E2 externaron que lo que les
causó dificultad fue la lectura de las gráficas.
6.3 Resultados de la ACTIVIDAD 3. COSTOS DE UN SERVICIO O PRODUCTO
En esta tercera actividad se pretendía que el estudiante generará estrategias y modelos
matemáticos para calcular costos a partir de datos numéricos que se les proporcionaba.
Esta actividad tiene la característica de ser una situación que es susceptible de ser modelada
linealmente en un escenario estático de variación discreta. La variación constante representa el
costo por cada llamada, teniéndose un costo de renta por el servicio telefónico. En la segunda
parte de esta actividad se varió una condición en la situación, pues se abordó el caso del costo
del servicio en una empresa, en la cual se duplica el costo de la renta respecto al de los
hogares.
Resultados y conclusiones
80
Primero se presenta la información con tablas numéricas, las cuales tienen la característica de
que la variable independiente se incrementa en múltiplos de tres unidades y posteriormente se
proponen modelos gráficos de la situación.
Las respuestas de los estudiantes fueron acertadas y más directas en el sentido de que se
mostraron más seguros de la información que proporcionaban, es decir, ya mostraron la
habilidad de identificar las variables que intervienen en una situación.
Tarea 1 Tarea 2
A1,A2, A3
A4,A5,A6
A8,A9:
La cantidad a pagar
A1,A2,A3
A4,A5,A6
A10,A11,A12:
Cantidad de llamadas
A16, A17: El costo A16, A17: Con respecto al número de
llamadas
Tabla 6.10. Respuestas de las Tareas 1 y 2 - Actividad 3
La Tarea 3 demandaba interpretar y generar modelos para tomar una decisión, es decir, ellos
tenían que decidir entre una compañía telefónica y otra. A continuación se presentan las
respuestas de los estudiantes:
Tarea 3
A1: La compañía B puesto que al ir
aumentando el número de llamadas
tienen mejores promociones
A2: Compañía B porque pagas menos dinero en que aumentan las llamadas y en la
compañía A no porque el precio que aumenta está entre los 8 y 10 pesos y en la
compañía B está entre 1.50 y 3 pesos
Resultados y conclusiones
81
A3: Porque sacando las promociones a la larga la B hace que pagues menos
A4: La compañía B porque cada llamada cuesta $. 50 mas la renta que son 100 y al
llegar a las 100 llamadas de los dos se comparan los precios y es más barato la
compañía B
Resultados y conclusiones
82
A5, A16: La compañía B porque es un menor costo con las 100 llamadas
A6:
La B porque la renta es de 100 y sus llamadas a $.50 y sería total = 150 a
comparación de la A que cubra 1.6 por llamada y 50 de renta =210
A B
Resultados y conclusiones
83
A8, A9: La compañía B porque aunque la renta sea mayor el costo por llamada es más bajo.
A= $210 B=$150
$=1.6 (x)+50 $=.5(x)+100
A10:
A11,
A12: La B porque por cada 3 llamadas el costo aumenta menos que el A
A14,
A15:
La compañía B, porque a pesar de que a partir de 3 llamadas se cobra $101.5
después cobra por llamada 1.5 que resulta menos costoso que la compañía A
A17:
A18: La compañía B porque al llegar a la llamada 100 la compañía A es más cara
Tabla 6.11. Respuestas de la Tarea 3 - Actividad 3
La fijación en el reconocimiento de las variables y el relacionar la situación con sus
experiencias favoreció que los estudiantes identificaran qué cambiaba en la situación y qué
permaneció constante, por ejemplo, que cambiaba el costo por llamadas, pero permanecía fija
una cantidad que reconocieron como la renta del servicio. Esto puede observarse en las
respuestas de la Tarea 3, véanse las de A4, A6, A5 y A9.
Más aún el establecer una relación entre la situación (el modelo numérico) y sus experiencias,
así como centrar su atención en la variación, permitieron a los estudiantes generar modelos
Resultados y conclusiones
84
matemáticos numéricos y algebraicos de la situación y atribuirle un significado a cada
componente del modelo, como puede notarse en las respuestas de A4, A6, A8, A9 y A17.
Analizar e interpretar la variación hicieron posible que los estudiantes reconocieran la ley del
comportamiento global del sistema de cambios en la situación:
A1: La compañía B puesto que al ir aumentando el número de llamadas tienen mejores promociones
A2: Compañía B porque pagas menos dinero en que aumentan las llamadas
A6: La B porque la renta es de 100 y sus llamadas a $.50 y sería total = 150 a comparación de la A que
cubra 1.6 por llamada y 50 de renta =210
A8-A9: La compañía B porque aunque la renta sea mayor el costo por llamada es más bajo
A11: La B porque por cada 3 llamadas el costo aumenta menos que el A
A14-A15: La compañía B, porque a pesar de que a partir de 3 llamadas se cobra $101.5 después cobra
por llamada 1.5 que resulta menos costoso que la compañía A
Permitió que los estudiantes desarrollaran estrategias y usaran herramientas matemáticas para
tomar una decisión en la elección de un servicio telefónico y poder argumentarla.
Por ejemplo, A4 primero presentó un modelo algebraico y posteriormente calculó la cantidad a
pagar por el consumidor tanto en la compañía A como en la B, comparando las cantidades le
permitió decidir sobre la compañía B. Así, sin que se solicitara explícitamente en la actividad
algunos estudiantes generaron y usaron un modelo matemático para describir la variación en la
situación del servicio telefónico y tomar decisiones con base en este.
Las herramientas matemáticas que utilizaron para cuantificar el cambio y estimar el costo por
llamada fueron la diferencia entre estados, por ejemplo, A1, A3 y A6, representaciones
algebraicas como es el caso de A4 que primero estableció el modelo algebraico asociado a
dicha situación y después evaluó la cantidad de llamadas que le pedían, lo mismo hicieron los
estudiantes A8 A9 y A17.
La segunda parte de la actividad consistió en que los estudiantes asocien el modelo
matemático que proporcionaron con su representación gráfica y reconozcan una condición o
Resultados y conclusiones
85
restricción del modelo: el dominio de las variables. Para ello, se propusieron dos modelos
gráficos: uno continuo y otro discreto.
Las respuestas espontáneas de los estudiantes fueron:
Tarea 4
A1: La gráfica A porque al contratar el servicio se pagan $50 y se acumula en el
primer pago de la primera llamada
A2: B. Porque se entiende más porque dice el precio exacto por cada número de
llamadas
A4: Porque el aumento también se representa decimalmente pero e los cobros no
cobran por .5 llamadas. La gráfica B es estable son puntos
A5: La B porque es más estable
A6: La B porque no se puede hacer una llamada y media. La B es estable
A8, A9: La gráfica B porque la A nos muestra el costo por un número decimal de
llamadas y esto no se podría dar
A10, A12: Porque solo se especifica la cantidad a pagar por un determinado número de
llamadas
A14, A15: Cualquiera de las dos porque ambas representa lo mismo
A16, A17,
A18: La gráfica A porque es más fácil entender por las líneas
Tabla 6.12. Respuestas de la Tarea 4 - Actividad 3
Se le pedía al estudiante que eligiera la representación gráfica que modela el costo del servicio
lo que causó mucha confusión en este reactivo, pues los estudiantes en primer instancia
argumentaban que ambas representaciones modelaban el costo del servicio telefónico en los
hogares, sin embargo cuando se estaba realizando la retroalimentación (institucionalización) y
se les cuestionó no podían dar argumentaciones válidas para decidir entre una y otra. La
lectura de estas representaciones gráficas hizo que los estudiantes se retractaran y dieran la
respuesta correcta.
Resultados y conclusiones
86
En la última parte de la actividad (Tarea 5. Tablas 6.13 y 6.14) se varía la condición de la
situación de costos y se les pedía nuevamente un modelo matemático asociado al costo del
servicio telefónico en las empresas. Se les mencionó que la renta de la telefonía para empresas
era del doble que en la de hogares y se le pedía tomar una decisión sobre la conveniencia del
servicio telefónico a contratar. Las respuestas fueron:
Tarea 5 (A)
A1, A2,
A3:
y=x*2, y es el precio a pagar para las empresas, x es el $ de llamadas en el caso
de hogares
A4:
A5:
A6: Renta más precio de cada llamada es igual al total del pago
A8, A9: A=1.6(x)+2(50) B=.5(x)+2(100)
A10, A11,
A12: 2(mx+b)
A14, A15: x= y(2) , y es la renta en los hogares , x es la renta en la empresas
A17, A18: A=1.6x+50=y B=.5 x+100=y
Tabla 6.13. Respuestas de la Tarea 5(A) - Actividad 3
Las justificaciones de qué compañía contratar fueron:
Tarea 5 (B)
A1, A3, La B porque a pesar de que se duplique siempre terminará siendo mejor y más
Resultados y conclusiones
87
A4, A14,
A15:
barato al final
A2: La B porque es menor el costo en los hogares así que para las empresas también
será menor
A5: La B porque al cabo de 100 llamadas sería $250 y el otro $260
A6: La que su renta es de 100 pesos y sus llamadas a $1.6
A –Renta(100)+160=260 B- Renta(200) +50=250
A8, A9: Si la compañía realiza muchas llamadas le conviene la B porque aunque la renta
sea cara las llamadas son más baratas. Si son pocas las llamadas le conviene la A
porque la renta es menor
A10, A11: B porque resultaría la misma diferencia del costo
A12: B.
A16, A17,
A18:
B, porque aunque tiene un mayor costo de contratación, el costo de la llamada es
menor
Tabla 6.14. Respuestas de las Tarea 5 (B) - Actividad 3
En este caso, los estudiantes ya habían obtenido un modelo matemático del costo del servicio
telefónico en los hogares, considerando este modelo, los estudiantes identificaron cómo afecta
la variación en una condición de la situación al modelo algebraico previamente obtenido.
Esto se le atribuye a que en los modelos numéricos y algebraicos que previamente habían
manejado en la situación los estudiantes asociaron significados a cada componente de los
modelos presentados, de tal manera que identificaron la renta telefónica, el costo por llamada
y la variable “cantidad de llamadas”, por tanto al variar la condición “renta” el estudiante
reconoció qué componente modificar porque ya tenía una referencia en la que estableció una
relación entre el modelo matemático y la situación.
Por otra parte, esto también favoreció que contestaran acertadamente cuando se les cuestionó
cómo sería o donde se ubicaría la gráfica asociada al costo del servicio telefónico de empresas.
Resultados y conclusiones
88
Los estudiantes partieron de la representación gráfica del costo de servicio para el hogar, es
decir, interpretaron y transformaron el modelo gráfico.
Observaciones sobre la actividad
En esta tercera actividad los estudiantes mostraron evolución en sus modelos matemáticos,
hasta el grado de generar y transformar (manipular) modelos algebraicos de la situación, y el
tiempo en que respondieron la actividad fue menor que en las anteriores. Cabe recalcar que la
naturaleza de la situación, la familiaridad y sus experiencias favorecieran nuevamente que el
estudiante asigne significados e interprete el modelo matemático de acuerdo a la situación.
Las dificultades que los estudiantes externaron radicó en la segunda parte de esta actividad y
las explicaciones que proporcionaron fueron que no leyeron bien las instrucciones, así como
también se les dificultó realizar la lectura de las gráficas, en este caso se trató de la minoría de
los estudiantes.
6.4 Sobre la efectividad de los organizadores de contenido y diseño
Las respuestas de los estudiantes durante el proceso de modelación de las actividades de
variación y cambio permitió verificar la efectividad de los organizadores, en específico de los
indicadores de la naturaleza de las situaciones y de orden considerados en el diseño de una
unidad didáctica de modelación lineal.
La naturaleza de la situación, su carácter continuo y discreto, favoreció que los estudiantes
reconocieran e interpretaran lo variacional en cada actividad, en este caso, la variación
constante. El reconocimiento de las variables que intervienen en la situación, determinó un
marco de referencia que sentó las bases para que desarrollaran técnicas de cuantificación de
cambios tales como el establecimiento de secuencias, el cálculo de diferencias entre las
variables, el uso de la regla de tres y cálculo de proporciones con las operaciones básicas de
multiplicación y división. Estas acciones dieron por consecuencia la generación de modelos
matemáticos, de tipo numérico y algebraico, de la variación constante.
Resultados y conclusiones
89
Así también, la naturaleza de la situación y la incorporación de las experiencias de los
estudiantes en la actividad posibilitó que identificaran situaciones que pueden ser modeladas
linealmente de entre otras que no lo son, es decir, hacen factible el reconocimiento de formas
de variación constante y no constante. Este hecho se pudo observar en la primera actividad
cuando se le presentaba a los estudiantes el llenado de dos tanques de formas diferentes y en la
cual surgieron ideas de la variación exponencial a partir de discutir sobre la variación
constante con base en el marco de referencia construido, mismo que les permitió reflexionar y
anclar su pensamiento sobre la modelación lineal. También se constató en las actividades dos
y tres cuando al modificar una condición de la situación inicial, ellos reconocen cómo cambia
la variación y la correspondiente transformación en el modelo matemático.
Respecto al orden de las tareas, la implementación de la unidad didáctica basada en prácticas y
ejemplificada en la modelación de la variación lineal mostró que, reconocer y fijar la atención
en lo cambiante permite crear un marco de referencia para modelar lo variacional, es decir,
primeramente el estudiante debe identificar la variable dependiente e independiente y la
relación entre estas en cada situación para llevar a cabo acciones para describir y cuantificar lo
variacional. El establecimiento de este marco de referencia precede a acciones como calcular,
modelar o determinar. Es decir, dicho marco permite en el estudiante el desarrollo de
habilidades para identificar variables, su dependencia y relación ante tareas como comparación
de estados e interpretación de lo variacional.
La interpretación visual, gráfica o numérica de lo variacional son acciones que favorecieron
que los estudiantes describieran cualitativa y cuantitativamente lo cambiante en cada situación.
A su vez, esto permitió que generaran modelos matemáticos y tomaran decisiones en
situaciones de esta naturaleza. Por ejemplo, en la segunda actividad los estudiantes
describieron verbalmente el movimiento de los autos de control remoto a partir de su
representación gráfica, en la actividad de costos y servicios describieron cómo y cuánto
variaba el costo de las llamadas para decidir qué compañía elegir.
Las características del diseño de la unidad didáctica y las condiciones en las que fue
construida favorecieron la evolución de la práctica de modelación de la variación lineal en el
estudiante, por ejemplo, la naturaleza de las actividades, la experiencia que adquiere el
estudiante luego de modelar una situación, la familiaridad con las situaciones hasta aquellas
Resultados y conclusiones
90
herramientas matemáticas que utilizan debido a que ya es parte de su práctica de modelación,
es decir, los recursos, habilidades y conocimientos matemáticos asociados al pensamiento y
lenguaje variacional se desarrollaron conforme contestaban cada una de las actividades.
Por ejemplo, durante la Actividad 1 los estudiantes hicieron uso de sistemas de representación
meramente numéricos, en la Actividad 2 además de utilizar tablas numéricas manejaron
expresiones algebraicas y finalmente en la Actividad 3 los estudiantes manejaron expresiones
algebraicas con mayor facilidad para plantearlas y sobre todo para decir cómo ajustar el
modelo cuando cambia una condición en la situación, por ejemplo en el caso de la Tarea 5 de
la Actividad 3 cuando la renta es el doble del precio.
Las experiencias que adquieren los estudiantes en la resolución de actividades de modelación
que inciten la ejecución de tareas de conceptualización, operación y formalización de lo
variacional, tanto en el ámbito matemático como en el sociocultural, y que se constató en las
estrategias, herramientas e incluso argumentos, favoreció el desarrollo de conocimientos y
habilidades matemáticas para modelar lo variacional y significar nociones como cambio y
variación en una situación específica o en contextos diferentes.
6.5 Conclusiones y reflexiones
La sociedad demanda a las instituciones educativas personas capacitadas para atender y
responder a las necesidades que día a día surgen, para ello se requiere del uso de
conocimientos y formas de pensar matemáticas. Con este trabajo se vislumbra que es posible
atender esta demanda a través de diseños de aprendizaje basados en prácticas en los que
subyace un uso funcional de la matemática, es decir, una matemática orgánica que se integre
en la vida cotidiana de cada individuo y que le sea útil para resolver problemas que se le
presenten en ella.
La reorganización y tratamiento del contenido matemático de Precálculo en unidades
didácticas, cuyo núcleo esté basado en la práctica de modelación de lo variacional, provee de
condiciones en la que se vislumbra la enseñanza con una intención específica de aprendizaje,
lo funcional de la matemática y un contexto que permite relacionar al estudiante (y sus
Resultados y conclusiones
91
experiencias) con la situación, otorgándole significado a la matemática que construye. Esta
relación dialéctica entre la función social de la matemática y el individuo es lo que permite
que el estudiante otorgue un significado a lo que hace y por ende que construya conocimiento
matemático.
El establecimiento de una relación entre la naturaleza de las situaciones y las experiencias de
los estudiantes, a partir de la fijación y discusión de la variación, favorece que “evolucionen”
sus recursos y habilidades matemáticas para modelar lo variacional, pero en especial para
darle significado a la matemática de la variación y el cambio.
En síntesis, determinar organizadores de diseño de unidades didácticas producto de las
interacciones entre lo epistemológico, social, cognitivo y didáctico dejan ver a la matemática
en actividades de naturaleza social que conjugadas con tareas de cierto tipo en situaciones
específicas permiten ampliar las posibilidades de éxito en la resolución de actividades y en la
construcción de significados matemáticos. Tales diseños podrían aumentar las posibilidades de
éxito en la resolución de las actividades y en la generación de aprendizajes matemáticos en
campos de la matemática escolar como el álgebra, la geometría plana o analítica.
Así, para rediseñar el discurso matemático escolar en el aula, entender el contenido
matemático y su función social y las condiciones del contexto que influyen en los
aprendizajes, es necesario partir de la interacción de las dimensiones de la socioepistemología.
92
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