UNIVERSIDAD CATOLICA DE SANTA MARIA

CALCULO INTEGRAL

Tema: Ecuaciones diferencialesNombre: Bryan MartinApellidos: Magao CruzSemestre: ParSeccion: BPrograma: Ingeniera Industrial

Arequipa-2014

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales homogneasExisten algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo anterior.Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogneas es necesario definir lo que es una funcin homognea.Definicin Funciones Homogneas

Una funcinse dice homognea de gradosi

para todoy todo.Ejemplo1. La funcines homognea de grado.2. Las funciones,,son homogneas de grado 0.3. Las funciones,,son homogneas de grado 2.Ahora definimos lo que es una ecuacin diferencial homognea.Definicin Ecuaciones diferenciales homogneaUna ecuacin diferencial ordinaria del primer orden

Es homognea si la funcin es homognea de orden 0Observacin:si la ecuacin diferencial est escrita en la forma

sera homognea s y slo s los coeficientesyson funciones homogneos del mismo grado.TeoremaSi la ecuacion diferencial ordinaria de primer orden

Es homognea , entonces el cambio de la variable la reduce una ecuacin diferencial en variables separadasDemostracin:Al hacer la sustitucin obtenemos

Pero comoes una funcin homognea de grado cero tenemos que

de donde

la cual es separable, como se quera.EjemploResuelva la ecuacin diferencial

La ecuacin diferencial es homognea puesyson homogneas de grado dos

Haciendo la sustitucin

de donde

Integrando y volviendo a las variablesyobtenemos

Note quees una solucin singular de la ecuacin diferencial dada.Observacin:Cuando la ecuacin diferencial homognea est escrita en la forma

conviene ms rescribirla en la forma

y aplicar qu el cambio de variable.Ejemplo

Resuelva la ecuacin diferencial

Factorizando

Haciendo la sustitucin

Integrando

Y despejando

Observacin:al dividir por el factorse pudo haber perdido algunas soluciones, perono es solucin yque son soluciones singulares.

Orden de la ecuacinEl orden de la derivada ms alta en una ecuacin diferencial se denominaorden de la ecuacin.Grado de la ecuacinEs la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuacin, siempre y cuando la ecuacin est en formapolinmica, de no ser as se considera que no tiene grado.Ecuacin diferencial linealSe dice que una ecuacin es lineal si tiene la forma, es decir: Ni la funcin ni sus derivadas estn elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero. En cada coeficiente que aparece multiplicndolas slo interviene la variable independiente. Unacombinacin linealde sus soluciones es tambin solucin de la ecuacin.Ejemplos: es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones, conkun nmero real cualquiera. es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones, conaybreales. es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones, conaybreales.UsosLas ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de laingenierapara el modelado de fenmenos fsicos. Su uso es comn tanto enciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (fsica,qumica,biologa) omatemticas, como eneconoma. Endinmica estructural, la ecuacin diferencial que define el movimiento de una estructura es:

DondeMes lamatrizque describe lamasade la estructura,Ces la matriz que describe elamortiguamientode la estructura,Kes lamatriz de rigidezque describe larigidezde la estructura,xes vector de desplazamientos [nodales] de la estructura,Pes el vector de fuerzas (nodales equivalentes), ytindica tiempo. Esta es una ecuacin de segundo orden debido a que se tiene el desplazamientoxy su primera y segunda derivada con respecto al tiempo. La vibracin de una cuerda est descrita por la siguiente ecuacin diferencial en derivadas parciales de segundo orden: dondees el tiempo yes la coordenada del punto sobre la cuerda yuna constante que corresponde a la velocidad de propagacin de dicha onda. A esta ecuacin se le llamaecuacin de onda.

Ecuaciones semilineales y cuasilineales

No existe un procedimiento general para resolver ecuaciones diferencialesno lineales. Sin embargo, algunos casos particulares de no linealidad s pueden ser resueltos. Son de inters el caso semilineal y el caso cuasilineal.Una ecuacin diferencial ordinaria de ordennse llama cuasilineal si es "lineal" en la derivada de ordenn. Ms especficamente, si la ecuacin diferencial ordinaria para la funcinpuede escribirse en la forma:

Se dice que dicha ecuacin es cuasilineal sies unafuncin afn, es decir,.Una ecuacin diferencial ordinaria de ordennse llama semilineal si puede escribirse como suma de una funcin "lineal" de la derivada de ordennms una funcin cualquiera del resto de derivadas. Formalmente, si la ecuacin diferencial ordinaria para la funcinpuede escribirse en la forma:

Se dice que dicha ecuacin es semilineal sies unafuncin lineal.Solucion de una ecuacuon diferencial

Tipos de solucionesUna solucin de una ecuacin diferencial es una funcin que al reemplazar a la funcin incgnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuacin, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:1. Solucin general: una solucin de tipo genrico, expresada con una o ms constantes.Solucin generalEs un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuacin sea lineal, la solucin general se logra como combinacin lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuacin) de la ecuacin homognea (que resulta de hacer el trmino no dependiente deni de sus derivadas igual a 0) ms una solucin particular de la ecuacin completa.1. Solucin particular: Si fijando cualquier puntopor donde debe pasar necesariamente la solucin de la ecuacin diferencial, existe un nico valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuacin, ste recibir el nombre de solucin particular de la ecuacin en el punto, que recibe el nombre de condicin inicial.Solucin particularEs un caso particular de la solucin general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor especfico.1. Solucin singular: una funcin que verifica la ecuacin, pero que no se obtiene particularizando la solucin general.Solucin singularSolucin de la ecuacin no consistente en una particular de la general.