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UNIVERSIDAD CENTRAL DELECUADOR
FACULTAD DE INGENIERIA CIENCIAS FISICAS
Y MATEMATICA
CARRERA DE INGENIERIA MATEMATICA
MODELO MATEMATICO, NUMERICO Y
COMPUTACIONAL PARA PREDECIR EL CONTENIDO DE
AGUA EN SUELOS AGRICOLAS DEL TERRITORIO
ECUATORIANO.
TRABAJO DE GRADUACION PREVIO A LA OBTENCION
DEL TITULO DE INGENIERO MATEMATICO.
AUTOR: GUANOTOA AMAGUA ELICIO DAVID
TUTOR: MAT. ALBUJA PROANO GUILLERMO ALEXIS
QUITO-ECUADOR
2015
DEDICATORIA
A mi madre Rosa, por ser el pilar fundamental de mi vida, todo lo que soy y ahora
poder cumplir este sueno se lo debo a usted madrecita. A mi padre Manuel, porque aunque
no esta con nosotros, sus consejos me han ayudado a salir adelante.
A mis hermanos: Claudio, porque ha sido durante todo este tiempo como un padre, por
su animo constante y el apoyo e impulso en la culminacion de este trabajo; Jose que espero
mostrarle que la perseverancia, el trabajo y sobre todo el no rendirse nunca siempre tienen
su recompensa; Yolanda, Elizabeth, Angela y Andres por creer en mı y por los momentos
de alegrıa.
A Viviana, por haber estado a mi lado brindandome su amor, su carino, su apoyo
incondicional y por alentarme para que continue con mas fuerza.
ii
AGRADECIMIENTOS
A Dios, por la vida, por darme fuerzas para seguir adelante y por ayudarme en los
momentos mas difıles de mi vida.
A mi tutor de tesis, Mat. Guillermo Albuja MSc. por su orientacion precisa, por su
disposicion a ayudarme en cualquier momento y su motivacion para la elaboracion de esta
tesis.
A mis maestros Dr. Hernan Benalcazar y Mat. Juan Carlos Garcıa MSc. no solo por
compartir sus conocimientos, sino tambien por sus consejos y gran ayuda en los momentos
mas difıciles.
A la Mat. Yazmina Atarihuana MSc. y el Ing. Ivan Naula, por su tiempo en la revision
de este trabajo.
A Jose Suntaxi por su ayuda, paciencia y animo.
Un profundo agradecimiento a mi madre Rosa Amagua y hermano Claudio Guanotoa
por brindarme la oportunidad de estudiar y salir adelante.
iii
AUTORIZACION DE LA AUTORIA
INTELECTUAL
iv
CERTIFICADO DEL TUTOR
v
INFORME DE APROBACION DEL TUTOR
vi
INFORME DE APROBACION DEL TRIBUNAL
vii
RESULTADO DEL TRABAJO DE GRADUACION
viii
CONTENIDO
DEDICATORIA ii
AGRADECIMIENTOS iii
AUTORIZACION DE LA AUTORIA INTELECTUAL iv
CERTIFICADO DEL TUTOR v
INFORME DE APROBACION DEL TUTOR vi
INFORME DE APROBACION DEL TRIBUNAL vii
RESULTADO DEL TRABAJO DE GRADUACION viii
LISTA DE FIGURAS xiii
RESUMEN xiv
ABSTRACT xiv
CERTIFICADO DEL TRADUCTOR xvi
Introduccion 1
1. ASPECTOS GENERALES 3
1.1. PRESENTACION DEL PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. METODOLOGIA PROPUESTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Formulacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
ix
1.2.2. Desarrollo del modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3. Resolucion del conjunto de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4. Analisis de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. JUSTIFICACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1. Objetivos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2. Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. SUELOS Y ZONAS DE MOVIMIENTO DEL AGUA 7
2.1. MEDIO POROSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. TIPOS DE SUELO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1. Suelos arcillosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2. Suelos arenosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.3. Suelos limosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.4. Suelos representativos del Ecuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3. MOVIMIENTO DEL AGUA EN EL SUELO . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4. PREDICCION DEL CONTENIDO DE
AGUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. MODELO DE INFILTRACION EN SUELOS NO SATURADOS 15
3.1. LEY DE DARCY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1. Ley de Darcy-Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. RESULTADOS FUNDAMENTALES DEL
ANALISIS VECTORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.1. Volumen de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.2. Teorema (de la divergencia de Gauss) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.3. Teorema (fundamental del calculo de variaciones) . . . . . . . . . . 18
3.2.4. Teorema (Green - Gauss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.5. Teorema (de derivacion bajo el signo de integracion) . . . . . . . . . 19
3.2.6. Teorema (del transporte de Reynolds) . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.7. Ecuacion de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
x
3.3. ECUACION DE RICHARDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1. Modelo unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.2. Condiciones Iniciales y de Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4. ELEMENTOS DE ANALISIS FUNCIONAL 26
4.1. ESPACIOS DE BANACH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2. ESPACIOS DE HILBERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3. APLICACIONES LINEALES CONTINUAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4. FORMAS BILINEALES CONTINUAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5. ESPACIOS Lp(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5.1. Reflexividad. Separabilidad. Dual de Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . 33
4.5.2. Nociones de convergencia en Lp(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.6. ESPACIO DE LAS DISTRIBUCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.6.1. Los espacios C∞(Ω) yD(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.6.2. El espacio D′(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.6.3. Derivacion en el sentido de las distribuciones . . . . . . . . . . . . . 36
4.7. ESPACIOS DE SOBOLEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.7.1. Espacio H1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.7.2. Inmersiones de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.7.3. Espacios H10 (Ω) y H−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.8. DISTRIBUCIONES VECTORIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.8.1. Espacio Ck(0, T ;V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.8.2. Espacio Lp(0, T ;V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.9. OPERADORES MONOTONOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5. ESTUDIO DEL MODELO Y DISCRETIZACION 42
5.1. FORMULACION DEBIL DEL PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.1. Ecuacion del tipo parabolico no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA
SOLUCION DEL PROBLEMA DEBIL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.1. Lema de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
xi
5.2.2. Existencia de la solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.3. Unicidad de la solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3. DISCRETIZACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.1. Descripcion matematica del metodo de elementos finitos . . . . . . 54
5.3.2. Metodo de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3.3. Discretizacion espacial y temporal de la
ecuacion de Richards unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3.4. Caso de condiciones de frontera de
Dirichlet homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3.5. Resolucion del problema lineal unidimensional
por el metodo de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6. PROGRAMA COMPUTACIONAL Y
RESULTADOS NUMERICOS 68
6.1. RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2. INGRESO DE DATOS DEL SIMULADOR . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2.1. Datos experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2.2. Datos del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2.3. Datos de la profundidad del suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3. PRESENTACION DE RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3.1. Resultados numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3.2. Grafica de la solucion u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 74
7.1. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.2. RECOMENDACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 77
contendo
xii
LISTA DE FIGURAS
2.1. Variacion en la infiltracion segun la textura del suelo [12] . . . . . . . . . . 10
2.2. Suelos del Ecuador [10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3. Triangulo en textura [26] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4. Zonas de movimiento del agua [11]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.1. Discretizacion en la variable temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2. Discretizacion en la variable espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1. Solucion aproximada de u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2. Solucion exacta de u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3. Visualizacion de resultados en t = 0, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.4. Visualizacion de resultados t = 0, 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.5. Visualizacion de resultados t = 1, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.6. Visualizacion de resultados t = 1, 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.7. Visualizacion de resultados t = 1, 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
xiii
RESUMEN
MODELO MATEMATICO, NUMERICO Y COMPUTACIONAL PARA
PREDECIR EL CONTENIDO DE AGUA EN SUELOS AGRICOLAS.
En esta tesis se presenta un modelo matematico unidimensional para uno de los proble-
mas mas importantes de la teorıa de los flujos en medios porosos, la Ecuacion de Richards.
Es un modelo no lineal evolutivo del cual se hace un estudio de existencia y unicidad de la
solucion y se aproxima una version unidimensional de dicho modelo, donde para la parte
temporal se usa el metodo de diferencias finitas y para la parte espacial una combinacion
del metodo de elementos finitos con el metodo de Newton. Se ha elegido como Conducti-
vidad Hidraulica e−u2, el cual debe ajustarse segun el tipo de suelo estudiado.
El modelo expuesto aquı se utiliza para predecir el contenido de agua u en el suelo a
una determinada profundidad y tiempo. Las soluciones computacionales fueron escritas
en MATLAB y se comparan con la solucion exacta.
DESCRIPTORES
CONDUCTIVIDAD HIDRAULICA/ DIFERENCIAS FINITAS/ ECUACION DE RI-
CHARDS/ ELEMENTOS FINITOS/ INFILTRACION DE AGUA EN EL SUELO/ SO-
LUCIONES NUMERICAS.
xiv
ABSTRACT
MATHEMATICAL, NUMERICAL AND COMPUTATIONAL MODEL TO PREDICT
THE CONTENT OF WATER IN AGRICULTURAL SOILS OF THE ECUADORIAN
TERRITORY.
This thesis presents a mathematical one-dimensional model for one of the most important
problems of the theory of flows in porous media, Richards’ equation. It is a non-linear
evolutionary model which becomes a study of existence and uniqueness of the solution
and approximates a one-dimensional version of this model, where for the temporary part
uses the method of finite differences and for the spatial part a combination of the method
of finite elements with Newton’s method. It has been chosen as Hydraulic Conductivity
e(−u2), which should be adjusted according to the type of studied soil.
The model exposed here is used to predict the content of water u into the soil to a cer-
tain depth and time. The computational solutions were written in MATLAB and they are
compared with the exact solution.
DESCRIPTORS
HYDRAULIC CONDUCTIVITY / FINITE DIFFERENCES / RICHARDS’ EQUATION
/ FINITE ELEMENTS / INFILTRATION OF WATER INTO THE SOIL / NUMERI-
CAL SOLUTIONS.
xv
CERTIFICADO DEL TRADUCTOR
xvi
TITULO DEL TRADUCTOR
xvii
INTRODUCCION
En nuestro paıs la agricultura es la base del desarrollo, economicamente ocupando
el segundo lugar en la economıa nacional, y ambos elementos, suelo y agua, forman la
columna vertebral de la agricultura. Ası, en las ultimas decadas el estudio del comporta-
miento de estos dos elementos ha sido objeto de numerosos trabajos de investigacion con
el objetivo de que ayuden lo mas posible en el proceso agrıcola. Dicho proceso requerirıa
considerar, por ejemplo, la gran cantidad de agua (almacenada en el suelo) que consume
cualquier cultivo durante su desarrollo. Como la recarga natural (debida a la lluvia) de
este reservorio no es continua, la cantidad de agua disponible para las plantas tiende a
variar.
Este trabajo pretende, por tanto, estudiar la Ecuacion de Richards que nos permi-
tira tener el conocimiento cuantitativo del contenido de agua en suelos no saturados. Por
lo que el presente trabajo puede ser explicado de la siguiente forma:
En el Capıtulo 1, se realiza la presentacion del problema, metodologıa propuesta, los
objetivos de la investigacion y justificacion.
En el Capıtulo 2, se da la definicion de medio poroso, tipos de suelos y una descripcion
general de los mas representativos del Ecuador.
En el Capıtulo 3, se presenta la Ley de Darcy y los resultados fundamentales del analisis
vectorial que nos permiten obtener una ecuacion diferencial parcial del tipo parabolico no
lineal conocida como Ecuacion de Richards, y con el proposito de obtener la version que
nos interesa aproximar en este trabajo de investigacion se deduce el modelo unidimensional
de infiltracion en suelos no saturados.
En el Capıtulo 4, se dan a conocer definiciones y resultados conocidos del Analisis
Funcional necesarios para el desarrollo del Capıtulo 5 aunque sin demostracion.
1
En el Capıtulo 5, se centra en el el estudio del modelo parabolico no lineal del cual se
prueba la existencia y unicidad de la solucion, luego se realiza la discretizacion espacial y
temporal de la Ecuacion de Richards unidimensional. Finalmente, se elabora un algoritmo
computacional que permite simular en que niveles y de que manera esta distribuıda el
agua en el suelo luego de un determinado tiempo.
En el Capıtulo 6, se presenta el programa computacional que modela el contenido de
agua en el suelo a una profundidad dada en un instante de tiempo determinado y se
obtienen los resultados numericos de contenido de agua tomando un ejemplo particular de
la Ecuacion de Richards.
En el Capıtulo 7, se presenta las conclusiones y recomedaciones del presente trabajo.
2
CAPITULO 1
ASPECTOS GENERALES
1.1. PRESENTACION DEL PROBLEMA
Ecuador siendo un paıs agro-exportador obtiene gran parte de la produccion agrıcola en
temporada de lluvias, y otra parte se produce en tiempo de sequıa (temporadas de riego),
por lo que uno de los principales problemas en los suelos agrıcolas ha sido la forma de regar
los cultivos con el objetivo de mantener una buena produccion durante todo el ano, tanto
en cantidad como en calidad, de lo que resulta la pregunta: ¿como hacerlo en forma optima
y razonada? teniendo en cuenta la escasez de agua que hoy en dıa, conforme pasan los dıas,
es un problema incluso mundial. En este sentido, el desconocimiento del comportamiento
del agua entre la superficie y la zona (suelo) no saturada hacen del lıquido vital un uso poco
cuidadoso lo que conlleva a que la capacidad de almacenamiento de agua por el suelo pueda
ser superada y por lo tanto grandes cantidades de agua se puedan perder por escorrentıa
(corriente de agua que se pierde al rebasar su deposito o cauce naturales o artificiales)
superficial, ası es que se logra identificar el problema de desconocer la cantidad de agua
en el suelo a diferentes profundidades luego de transcurrido un tiempo determinado.
La ecuacion que permite tener un conocimiento cuantitativo del contenido de agua en
suelos no saturados es la ecuacion de Richards, que es una combinacion de la ecuacion de
flujo no saturado de Darcy-Buckinham y la ecuacion de conservacion de masa. Aunque la
ecuacion de Richards puede producir resultados precisos, carece de soluciones analıticas
explicitas, por lo que normalmente se requiere de metodos numericos para su resolucion.
3
El comportamiento del contenido de agua puede ser tratado en forma tridimensional
y tiempo en su forma mas compleja, y dependiendo del uso que se requiera hasta en su
forma unidimensional mas la componente temporal. En este trabajo se reduce la ecuacion
de Richards a su expresion unidimensional mas su componente temporal.
1.2. METODOLOGIA PROPUESTA
Los pasos, todos ellos la base de la modelacion matematica, a seguir para la elaboracion
de un modelo matematico son generalmente los siguientes:
1.2.1. Formulacion del problema
Consiste en traducir la informacion verbal del problema a lenguaje matematico. Un
modelo matematico por lo general se basa en las leyes de la fısica, tales como la conser-
vacion de la masa, por lo que se deben definir que leyes son dominantes en el estudio
propuesto para luego deducir las variables caracterısticas, dependientes, independientes y
parametros del modelo.
1.2.2. Desarrollo del modelo matematico
Consiste en construir el modelo matematico, generalmente con la ayuda de las leyes de
la fısica o por informacion experimental. En esta etapa debe considerarse que el modelo
matematico obtenido sera una construccion teorico formal que fundamentada cientıfica-
mente interpreta, disena y ajusta la realidad que responde a una necesidad concreta.
1.2.3. Resolucion del conjunto de ecuaciones
Consiste en realizar las operaciones matematicas adecuadas sobre las ecuaciones que
gobiernan el fenomeno en estudio para obtener deducciones logicas del modelo matematico.
En esta etapa se procede a realizar un estudio sobre la existencia de soluciones del problema
y de soluciones exactas. Como siguiente paso se procede a proponer un modelo numerico de
4
aproximacion de la solucion del problema para poder elaborar un programa computacional,
y de dicho metodo debe mostrarse matematicamente su convergencia.
1.2.4. Analisis de los resultados
Consiste en encontrar el significado de los resulatdos matematicos en el problema pro-
puesto. Este analisis junto con una calibracion segun las necesidades sirve para obtener
predicciones que se aproximen mas a la realidad. La solucion numerica, que generalmente
esta dada por tablas de datos y graficas de funciones, junto con una interpretacion fısica
de esta es lo que se conoce como simulacion numerica (Albuja, 2013). Una vez realizada
la simulacion numerica concierne a los especialistas en los fenemenos modelados disenar
medidas y tomar decisiones necesarias para el correspondiente fenomeno.
1.3. JUSTIFICACION
• Es importante contar con un programa computacional para predecir el contenido de agua
en el suelo porque ayuda a determinar en que niveles y de que manera esta distribuida
el agua en el suelo luego de un determinado tiempo.
• El conocimiento cualitativo y cuantitativo del contenido de agua en suelos de cultivo
ayudarıa a un empleo eficiente del agua de riego ası como poder planificar de forma
apropiada la cantidad de agua que debe aplicarse para sustituir la deficiencia.
1.4. OBJETIVOS
1.4.1. Objetivos Generales
Elaborar un programa computacional que permita simular el contenido de agua del
suelo en la zona no saturada en una dimension y en el tiempo, a partir de una solucion
numerica de la ecuacion de Richards.
5
1.4.2. Objetivos Especıficos
1. Estudiar la existencia y unicidad de la solucion de la ecuacion diferencial de Richards.
2. Discretizar la ecuacion de Richards unidimensional con el metodo de elementos finitos
para aproximar su solucion mediante sistemas de ecuaciones no lineales.
3. Contrastar la solucion numerica y la solucion exacta usando un problema especıfico.
6
CAPITULO 2
SUELOS Y ZONAS DE
MOVIMIENTO DEL AGUA
Lo que sigue fue obtenido de [1], [6], [10], [11], [12], [18] y [26].
2.1. MEDIO POROSO
Los suelos constituyen un medio particulado y poroso, el cual se puede definir como
un material constituıdo por una parte solida o matriz y unos espacios o poros, los cuales
pueden ser ocupados por una o varias fases de fluido ya sean lıquidas o gaseosas. El lıquido
que se presenta comunmente en los poros es el agua y de igual manera el gas mas comun
presente en los poros es el aire, aunque por procesos de contaminacion pueden existir otros
tipos de gases. La parte solida esta formada por una asociacion de constituyentes organicos
e inorganicos, el conjunto de estos conforman la composicion suelo, y la disposicion o arre-
glo de las partıculas solidas determina la porosidad, la estructura y la densidad aparente
del suelo.
La textura del suelo, es decir si es arenoso, limoso, arcilloso u otro, junto con una
adecuada distribucion de los componentes del suelo hacen de el apto para la agricultura,
siendo este ultimo un verdadero motor productivo de la economıa de nuestro paıs. Dado
que el Ecuador es un paıs con suelos aptos para la agricultura, un control adecuado de la
humedad del suelo en el campo es la clave del exito en la agricultura pues se sabe que el
7
aumento de humedad de los suelos incrementa el crecimiento y rendimiento de los cultivos.
Es ası que nuestro interes en los suelos radicara en lo relacionado con la cantidad de agua
en suelos agrıcolas a diferentes profundidades, lo que dependera de la textura del suelo.
La textura del suelo esta relacionada con el tamano de las partıculas minerales que son las
que permitiran en mayor o menor medida el paso del agua a traves del suelo. Ası, tenemos
la arena con un diametro de 0.2 a 2.0 mm (por ejemplo, la cabeza de un alfiler), el limo
(material transportado por los rıos y por el viento) con un diametro de 10 a 1000 veces
mas pequeno que el arenoso, y la arcilla con un diametro menor que el limoso.
2.2. TIPOS DE SUELO
Existen una gran variedad de clasificaciones del suelo, pero la que es de nuestro interes
es la que tiene que ver con su comportamiento frente al agua, ası los principales tipos de
suelo de acuerdo al tamano de sus partıculas minerales son las siguientes:
2.2.1. Suelos arcillosos
Es de color amarillo o rojizo. Los suelos en que predomina la arcilla tienen buena capa-
cidad de retencion de agua y nutrientes, se encharcan facilmente, provocando inundaciones
o tornandose lodosos, cuando estan humedos son pegajosos y cuando se secan forman grie-
tas, son suelos que para la agricultura, se conocen como suelos humedos y pesados. La
ventaja principal es que son suelos que conservan facilmente la forma que les damos al
trabajarlos. Sabemos que se trata de un suelo arcilloso porque cuando tomamos un pedazo
del mismo en las manos, podemos hacer facilmente una bola. Igualmente, si colocamos un
trozo de esta materia entre los dedos pulgar e ındice y la trabajamos con ambos dedos,
podemos realizar cintas de hasta 5 cm con este tipo de tierra. Cuando se moja tiene la
apariencia de una masa similar a la plastilina.
8
2.2.2. Suelos arenosos
Es de color gris, blanco, rojizo, amarillo o negro. Los suelos en que predomina la arena
son de baja capacidad de retencion de agua y de nutrientes que rapidamente se hunden
a capas mas profundas, faciles de drenar y presentan susceptibilidad a la erosion. Estos
suelos cuando estan secos se desbaratan al cogerlos con las manos. Sabemos que se trata
de este tipo de suelo porque al coger un poco de el entre los dedos, somos incapaces de
formar una bola.
En zonas como las de Ibarra, sirve para el cultivo de cana de azucar, pero para ello se
necesita regar y abonar constantemente.
2.2.3. Suelos limosos
Presentan un color intermedio entre arenoso y arcilloso. Son los suelos que contienen
una proporcion muy elevada de limo. Los suelos limosos retienen agua y nutrientes sin
inundarse. Es un tipo de suelo muy compacto, sin llegar a serlo tanto como los arcillosos.
Estos suelos son producidos por la sedimentacion de materiales muy finos arrastrados por
las aguas o depositados por el viento. Suelen presentarse junto a los lechos de los rıos y
son muy fertiles. Sabemos que se trata de suelos limosos porque, al igual que los arcillosos,
permiten formar bolas aunque estas se rompen con facilidad. A diferencia de los arcillosos
no nos permiten formar cintas entre los dedos.
En resumen las partıculas que componen el limo son de un tamano intermedio, entre
la arena y la arcilla, los suelos que contienen un alto porcentaje de limo tienen tasas de
infiltracion y drenaje mas altas que la arcilla, pero no tan altas como la arena, esto se
muestra en la grafica 2.1.
9
Figura 2.1: Variacion en la infiltracion segun la textura del suelo [12]
2.2.4. Suelos representativos del Ecuador
Los mas representativos del Ecuador son (Ver figura 2.2):
Figura 2.2: Suelos del Ecuador [10]
Inceptisoles
Son suelos poco desarrollados, se los considera inmaduros y todavıa en evolucion. Se
10
localizan cerca de las montanas que tienen o tuvieron actividad volcanica. En nuestro paıs
los encontramos, principalmente, al norte y sur del Litoral y en la Amazonıa.
Andisoles
Son suelos de origen volcanico, ricos en materia organica, de color oscuro y muy porosos.
Poseen gran capacidad para retener el agua. Se localizan en regiones humedas. En nuestro
paıs los encontramos en la region Interandina.
Molisoles
Son suelos oscuros, ricos en materia organica y presentes en los pastizales, tanto de la
region Litoral como Interandina.
Alfisoles
Son suelos presentes en bosques caducifolios, por lo que poseen un buen contenido de
materia organica. Tienen alta presencia de arcilla y son susceptibles a la erosion. Estan
presentes, sobre todo, en la penınsula de Santa Elena y en Manabı.
Etinsoles
Generalmente se localizan sobre grandes pendientes, donde la perdida de suelo es mas
rapida que su formacion o donde la acumulacion de materiales es continua. Encontramos
estos suelos al noreste de la provincia de Pichincha, Loja y Morona Santiago.
De manera mas general y tomando en cuenta los resultados porcentuales ( %), obtenidos
en laboratorio, de las partıculas minerales presentes en los suelos, el suelo se puede clasificar
mediante el triangulo de texturas (Ver figura 2.3).
11
Figura 2.3: Triangulo en textura [26]
2.3. MOVIMIENTO DEL AGUA EN EL SUELO
En el suelo el agua se mueve de acuerdo a caracterısticas propias y leyes particulares.
Se pueden identificar cuatro zonas con diferentes caracterısticas, segun se muestra en la
figura 2.4.
12
Figura 2.4: Zonas de movimiento del agua [11].
Movimiento en el suelo superficial
Corresponde al estrato superficial que esta en contacto con la atmosfera, en general
son suelos de alta porosidad con abundancia de materia organica que pueden presentar
altos contenidos de humedad. El movimiento de agua esta caracterizado por fenomenos
de almacenamiento, evaporacion y transpiracion. En este estrato es posible almacenar una
cantidad de agua. Cuando el suelo se satura, el excedente escurre superficialmente y/o
desciende por efecto de la gravedad en un proceso de filtracion hacia la zona saturada.
Movimiento en la zona no saturada
En esta zona el medio poroso todavıa tiene algunos de sus vacıos ocupados por aire
y el movimiento del agua esta determinada por la fuerza de gravedad, por lo tanto, su
componente vertical descendente es la mas importante que agregado una componente
temporal constituye el estudio del presente trabajo.
Movimiento en la zona capilar
En esta zona de transicion el movimiento de debe a la absorcion capilar de la parte de
13
la formacion acuıfera situada sobre la zona saturada.
Movimiento en la zona saturada
Corresponde al estrato donde el agua satura totalmente los poros, es decir cuando en
el medio poroso los vacıos estan llenos de agua. El agua en esta zona se mueve desde
puntos de mayor nivel piezometrico a puntos de menor nivel piezometrico, es decir de
zonas de mayor a menor energıa. Por lo tanto, en esta zona el agua puede moverse en
sentido horizontal y vertical ascendente o descendente.
Infiltracion
La infiltracion es el proceso de entrada del agua en el suelo desde la superficie del
mismo. Cuando se aplica el agua en toda la superficie del suelo, el flujo se produce en
sentido vertical, pero cuando se aplica solo a una parte de la superficie, el flujo se produce
en sentidos vertical y horizontal.
2.4. PREDICCION DEL CONTENIDO DE
AGUA
Ecuador siendo un paıs agro-exportador obtiene gran parte de la produccion agrıcola
en temporada de lluvias, y otra parte se produce en tiempo de sequıa (temporadas de
riego), por lo que uno de los principales problemas en los suelos agrıcolas ha sido la forma
de regar los cultivos con el objetivo de mantener una buena produccion durante todo el
ano, tanto en calidad como en cantidad, de lo que la prediccion del contenido de agua en
suelos agrıcolas resulta de gran interes en numerosos problemas agronomicos. Entre ellos
podemos citar el diseno de estrategias de riego eficiente y en que niveles y de que manera
esta distribuıda el agua en el suelo luego de un determinado tiempo. En este trabajo, el
modelo matematico para predecir el contenido de agua en suelos agrıcolas, se construye
a partir de la Ecuacion General de Flujo no Saturado y la ecuacion diferencial parcial
obtenida es conocida con el nombre de Ecuacion de Richards que es con la que se va a
trabajar en los capıtulos a continuacion.
14
CAPITULO 3
MODELO DE INFILTRACION EN
SUELOS NO SATURADOS
3.1. LEY DE DARCY
El flujo del agua en el suelo es causado por diferencias en el Cabezal Hidraulico, que es
la fuerza ejercida por una columna de lıquido, expresado por la altura del lıquido encima
del punto en el cual la presion es medida. Aunque el cabezal se refiere a distancia o altura,
este es usado para expresar la presion en un punto, ya que la fuerza de la columna del
lıquido es proporcional a la altura.
Para el flujo de agua en suelo ya sea saturado o no saturado la ley de Darcy aplica;
esta puede ser escrita ası:
q = −K∇h,
donde
q = densidad del flujo o descarga por unidad de area (m/d),
K = Conductividad Hidraulica,
H = Cabezal Hidraulico.
Esta ecuacion en principio es valida para suelos saturados, cuando los suelos estan no
saturados la conductividad hidraulica depende del contenido de humedad u y se denota
como K(u), con lo que la ley de Darcy resulta:
15
−→q = −K(u)∇H,
es decir
qi = −K(u) ∂H∂xi,
donde qi = qx, qy y qz para i = 1, 2, 3 respectivamente; estos son llamados los compo-
nentes del flujo suelo-agua en las direcciones de x−, y− y de z respectivamente.
3.1.1. Ley de Darcy-Buckingham
En los suelos no saturados existen dos fluidos en los poros: agua y aire. La ley de
Darcy en condiciones no saturadas presenta una pequena modificacion con respecto al
caso saturado. Las burbujas de aire taponan parte de los poros en que se encuentran, y
no permiten el paso del lıquido cuando este es el permeante. Por ello la permeabilidad al
agua de un suelo parcialmente saturado suele ser menor que la del mismo suelo saturado.
Por este motivo, la permeabilidad de un suelo parcialmente saturado aumenta con el paso
del tiempo durante el que esta expuesto al paso del agua, porque su grado de saturacion
va aumentando a medida que mas y mas burbujas van siendo arrastradas por el agua, y a
medida que el aire va siendo disuelto en el agua. El coeficiente de permeabilidad de suelos
parcialmente saturados aumenta al aumentar la presion del lıquido, pues esto provoca
un incremento en la cantidad de gas disuelta y, por tanto, una disminucion en el espacio
ocupado por burbujas gaseosas luego en este tipo de suelo K depende de H y la ley de
Darcy toma la siguiente forma ([1]):
−→q = −K(H)∇H.
3.2. RESULTADOS FUNDAMENTALES DEL
ANALISIS VECTORIAL
3.2.1. Volumen de control
Un volumen de control es una region fija del plano o del espacio a traves de la cual
circula un fluido. Se considera como volumen de control a un conjunto no vacıo de R3
16
limitado por una superficie cerrada llamada superficie de control. Los volumenes de control
pueden ser fijos o moviles. El fluido puede entrar o salir del volumen de control. El volumen
de control puede sufrir deformaciones con el tiempo.
Se supondra que el volumen de control se desplaza con la misma velocidad del fluido
y que la velocidad en todo punto de la superficie del volumen de control es igual a la
velocidad del fluido. Posteriormente obtendremos las ecuaciones diferenciales de flujo de un
fluido aplicando las leyes fundamentales utilizando volumenes de control que asumiremos
son conjuntos medibles en el sentido de Lebesgue.
3.2.2. Teorema (de la divergencia de Gauss)
Sea Ω un dominio acotado de R2 con Γ su frontera, Ω = Ω ∪ Γ y−→F : Ω → R2 con
−→F = (f, g) un campo vectorial definido en Ω. Supongamos que
∂f
∂x,∂g
∂yson integrables en
Ω, entonces se tiene:
∫Ωdiv(−→F )dx =
∫Γ
−→F · −→n ds,
donde −→n es el vector normal exterior a Γ
Notese que la integral del lado derecho es una integral de lınea con respecto a la longitud
de arco a lo largo de la curva Γ. La integral del lado izquierdo es una integral doble.
Sea x0 ∈ Γ y −→n (x0) el vector normal exterior a Γ en x0. Sea θ ∈ [0, π] el angulo que
forman−→F (x0) y −→n (x0), entonces
−→F (x0) · −→n (x0) ≥ 0 si θ ∈
[0,π
2
], en cuyo caso
−→F (x0)
esta dirigido hacia el exterior de Ω;−→F (x0) · −→n (x0) < 0 si θ ∈
]π2, π]
con lo que−→F (x0) esta dirigido hacia el interior de Ω.
La integral de lınea∫
Γ
−→F · −→n ds representa la circulacion de
−→F a lo largo de Γ.
consecuentemente∫
Ωdiv(−→F )dx representa la circulacion de
−→F a lo largo de Γ.
Si−→F = ∇g, entonces
∫Ωdiv(−→F )dx =
∫Ωdiv(∇g)dx =
∫Ω4gdx,
luego,
∫Ω4gdx =
∫Γ∇g · −→n ds.
17
El termino ∇g · −→n se llama derivada normal de g con respecto a la normal en Γ y se
denota con∂g
∂n, esto es,
∂g
∂n= ∇g · −→n .
3.2.3. Teorema (fundamental del calculo de variaciones)
Sean Ω ⊂ R2, abierto, acotado, f : Ω→ R una funcion integrable en Ωsi
∫Vf(x)dx = 0,
para todo subconjunto medible V ⊂ Ω, entonces
f = 0, ctp de Ω.
donde el termino ctp de Ω quiere decir en todo Ω, excepto en un conjunto de medida
de Lebesgue nula.
3.2.4. Teorema (Green - Gauss)
Sean Ω un dominio acotado de R2 con Γ su frontera, Ω = Ω∪Γ y ϕ : Ω→ R un campo
escalar,−→F : Ω→ R2 un campo vectorial con
−→F = (f, g), supongamos que
∂ϕ
∂xf ,∂ϕ
∂yg son
integrables en Ω. entonces
∫Ωϕ div(
−→F )dx+
∫Ω∇ϕ ·
−→F dx =
∫Γϕ−→F · −→n ds
Si−→F = ∇u, por el teorema de Green - Gauss, se tiene
∫Ωϕ 4u dx+
∫Ω∇ϕ · ∇u dx =
∫Γϕ ∇u · −→n ds
o tambien
∫Ωϕ 4u dx+
∫Ω∇ϕ · ∇u dx =
∫Γϕ∂u
∂nds.
18
3.2.5. Teorema (de derivacion bajo el signo de integracion)
Sean a, b, c, d ∈ R tales que a < b, c < d, Ω = [a, b], f una funcion diferenciable en
[a, b]× [c, d] tal que∂f
∂t(x, t) integrable en [a, b]. Sea g una funcion definida en [c, d] como
g (t) =b∫a
f (x, t) dx, t ∈ [c, d] .
Entonces g′ (t) existe y
g′ (t) = ddt
b∫a
f (x, t) dx =b∫a
∂f
∂t(x, t) dx, t ∈ [c, d]
analogamente si Ω ⊂ R3 se tiene
g (t) =∫Ω
f (x, t) dx, (x, t) ∈ Ω× [c, d]
entonces
g′ (t) = ddt
∫Ω
f (x, t) dx =∫Ω
∂f
∂t(x, t) dx, (x, t) ∈ Ω× [c, d] .
3.2.6. Teorema (del transporte de Reynolds)
Sea Ω ⊂ R2 un dominio acotado de R2 con Γ su frontera de clase C1 a trozos. Sean
T1, T2 ∈ R tales que 0 ≤ T1 < T2, y
f : Ω× [T1, T2]→ R
(x, t)→ f(x, t)
una funcion tal que para todo punto t ∈ [T1, T2], f(·, t), ∂f∂t
(·, t) son integrables en Ω.
Para t ∈ [T1, T2], sea Ω(t) ⊂ Ω un volumen de control y Γ(t) su frontera. Entonces
d
dt
∫Ω(t)
f(x, t)dx =∫
Ω(t)
∂f
∂t(x, t)dx+
∫Γ(t)
f(x, t)−→v · −→n ds,
donde −→v es la velocidad local de Ω(t) y −→n es el vector normal exterior a Γ(t). Se
supone que la integral de lınea existe.
El teorema del transporte de Reynolds tiene la siguiente interpretacion fısica : la rapidez
de cambio de flujo en el volumen de control es igual a la rapidez de flujo que entra en el
19
volumen de control mas el flujo en la frontera. Si f(x, t)−→v · −→n > 0 entonces existe salida
de flujo en la frontera; si f(x, t)−→v ·−→n = 0 no existe entrada ni salida y si f(x, t)−→v ·−→n < 0
ingresa flujo a traves de la frontera. Luego, el balance de f del sistema Ω(t) es:
Tasa de variacion
de la integral de f
sobre el volumen
de control Ω(t)
=
Integral sobre Ω(t)
de la variacion de
f con respecto al
tiempo
+
Flujo de f a
traves de la
frontera Γ(t)
.
Por el teorema de la divergencia de Gauss, tenemos
∫Γ(t)
f(x, t)−→v · −→n ds =∫
Ω(t)div(f −→v )dx
con lo cual
d
dt
∫Ω(t)
f(x, t)dx =∫
Ω(t)
∂f
∂t(x, t)dx+
∫Ω(t)
div(f −→v )dx
=∫
Ω(t)
[∂f
∂t+ div(f −→v )
]dx.
3.2.7. Ecuacion de continuidad
Sea Ω(t) un volumen de control que se mueve con una velocidad v, t ∈ [T1, T2], por lo
que la densidad del fluido contenido en Ω(t) es %(x, t) = dm(t)dx
, de donde dm(t) = %(x, t)dx
e integrando sobre Ω(t), tenemos
m(t) =∫
Ω(t)dm(t) =
∫Ω(t)
%(x, t)dx.
Derivando la masa con respecto al tiempo se tiene que
dm(t)dt
= ddt
∫Ω(t)
%(x, t)dx,
y por el teorema de transporte de Reynolds, obtenemos
dm(t)dt
=∫
Ω(t)
[d%dt
+ div(%−→v )]dx.
Este es un sistema conservativo, luego la masa del sistema no se crea, ni se destruye;
es decir que la masa permanece constante durante todo el proceso, esto es dm(t)dt
= 0 para
todo t ≥ 0, es decir,
20
∫Ω(t)
[d%dt
+ div(%−→v )]dx = 0.
Como la integral precedente es valida para cualquier volumen de control, se demuestra
que
d%dt
+ div(%−→v ) = 0 ctp de Ω× ]T1, T2[.
La ecuacion precedente se denomina .ecuacion de continuidad”para sistemas conserva-
tivos.
En lo sucesivo escribiremos:
d%dt
+ div(%−→v ) = 0 sobre ΩT ,
donde ΩT = Ω× ]T1, T2[.
El flujo de fluido se define como la cantidad de masa que atraviesa una superficie de
area A en un tiempo t. Sea Ω(t) un volumen de control por el que circula un fluido de
abajo hacia arriba con una velocidad −→v (t), y norma v(t). El area de la superficie de la
base es A y la altura del volumen de control es L, entonces, la magnitud de flujo se expresa
como
q = mAt
(en Kg
m2sego g
cm2seg
),
multiplicando por L numerador y denominador, obtenemos
q = mAL
Lt,
y tomando en cuenta que el volumen de Ω(t) es V = AL, la velocidad v(t) = Lt
y la
densidad % = mV
, se tendra que q = mV· v(t) = % v(t).
El flujo se define como el campo vectorial
−→q (x, t) = %(x, t)−→v (t),
cuya magnitud en el instante t es q = % v(t).
Notese que el flujo −→q y su magnitud q son valores medios en el volumen de control
Ω(t).
Ahora la ecuacion de continuidad se expresa como
d%dt
+ div(−→q ) = 0 sobre Ω× ]T1, T2[.
21
3.3. ECUACION DE RICHARDS
La ecuacion de Richards se obtiene de remplazar la Ley de Darcy-Buckingham en la
ecuacion de continuidad, la cual resulta
∂u∂t− div (K(u)∇u) = 0 sobre ΩT .
En el presente trabajo, a fin de darle mayor generalidad a nuestro estudio se conside-
rara la siguiente ecuacion del tipo parabolico no lineal:
Hallar una funcion u : ΩT −→ R solucion de∂u
∂t− ∂
∂x
(κ(u) ∂u
∂x
)+ g (x, u) = f sobre ΩT ,
+ Condiciones iniciales
+ Condiciones de frontera
para probar la parte de existencia y unicidad de la solucion y ademas con el proposito de
obtener la version que nos interesa aproximar en este trabajo de investigacion, partiremos
de la ecuacion general del flujo en medio isotropico, es decir, que K(u) tiene el mismo
valor en todas las direcciones, que se obtiene sustituyendo la Ley de Darcy en la ecuacion
de continuidad, la cual resulta
dudt− div (K(u)∇H) = 0 sobre ΩT .
Sustituyendo a H = ψ + z en la ecuacion precedente, obtenemos
∂u∂t
= ∂∂x
(K (u) ∂ψ
∂x
)+ ∂
∂y
(K (u) ∂ψ
∂y
)+ ∂
∂z
(K (u) ∂ψ
∂z+K(u)
),
∂u∂t
= ∂∂x
(K (u) ∂ψ
∂x
)+ ∂
∂y
(K (u) ∂ψ
∂y
)+ ∂
∂z
(K (u) ∂ψ
∂z
)+ ∂
∂zK(u).
Los terminos ∂ψ∂x
, ∂ψ∂y
, ∂ψ∂z
y ∂∂zK(u) pueden escribirse respectivamente como
∂ψ∂x
= ∂ψ∂u
∂u∂x
,
∂ψ∂y
= ∂ψ∂u
∂u∂y
,
∂ψ∂z
= ∂ψ∂u
∂u∂z
,
∂∂zK(u) = ∂K(u)
∂u∂u∂z
.
22
Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuacion precedente, surge
∂u∂t
= ∂∂x
(K (u) ∂ψ
∂u∂u∂x
)+ ∂
∂y
(K (u) ∂ψ
∂u∂u∂y
)+ ∂
∂z
(K (u) ∂ψ
∂u∂u∂z
)+ ∂K(u)
∂u∂u∂z
. (1)
Introduciendo la Capacidad Especıfica de Agua C(u), dada por
C(u) = ∂u∂ψ
,
y la Difusividad del Agua en el suelo D(u), dada por
D(u) = K(u)∂ψ∂u
,
vemos que
∂ψ∂u
= 1C(u)
(2)
es el inverso de la capacidad especıfica del agua en el suelo. Por tanto, la difusividad
del contenido del agua puede representarse de esta forma
D(u) = K(u)C(u)
. (3)
Sustituyendo las ecuaciones (2) y (3) en la (1), resulta
∂u∂t
= ∂∂x
(K(u)C(u)
∂u∂x
)+ ∂
∂y
(K(u)C(u)
∂u∂y
)+ ∂
∂z
(K(u)C(u)
∂u∂z
)+ ∂K(u)
∂u∂u∂z
∂u∂t
= ∂∂x
(D(u)∂u
∂x
)+ ∂
∂y
(D(u)∂u
∂y
)+ ∂
∂z
(D(u)∂u
∂z
)+ ∂K(u)
∂u∂u∂z.
Ası, hemos obtenido
∂u∂t− div (D(u)∇u)− ∂K(u)
∂u∂u∂z
= 0 sobre ΩT . (4)
3.3.1. Modelo unidimensional
Consideremos∂u∂t− div (D(u)∇u)− ∂K(u)
∂u∂u∂z
= 0 sobre ΩT ,
+ Condiciones iniciales,
+ Condiciones de frontera,
23
Este es un modelo tridimensional difıcil de resolver numericamente tanto por su com-
plejidad computacional, como por la no linealidad de la ecuacion diferencial, si usamos el
metodo de elementos finitos serıa necesaria la elaboracion de un mallador tridimensional
tipo elementos finitos, que ya serıa un grave obstaculo para la elaboracion del programa
computacional. Ademas tomese en cuenta que la talla de las matrices de los sistemas de
ecuaciones serıa considerablemente grande lo cual se verıa reflejado en la velocidad de la
simulacion es por esto que hemos preferido usar modelos unidimensionales.
Ası, cuando el flujo es vertical, la ecuacion (4) se reduce a
∂u∂t− ∂
∂z
[D(u)∂u
∂z
]− ∂K(u)
∂u∂u∂z
= 0. (5)
Finalmente, tenemos∂u∂t− ∂
∂z
[D(u)∂u
∂z
]− ∂K(u)
∂u∂u∂z
= 0 sobre ΩT ,
+ Condiciones iniciales,
+ Condiciones de frontera.
La ecuacion no lineal (5), es la Ecuacion de Richards expresada en la variable u (con-
tenido del agua/humedad), y es esta la version que nos interesa aproximar en este trabajo
de investigacion.
3.3.2. Condiciones Iniciales y de Frontera
Sea Ω un dominio de R (acotado o no acotado en una direccion) con Γ. su frontera.
Condiciones iniciales
Como en todo problema evolutivo, es necesario definir el estado inicial de la variable, en
este caso la contenido de agua en el suelo, lo que supone la condicion inicial. Los calculos
a lo largo del tiempo tomaran como punto de partida dicha condicion inicial, que se puede
formular:
u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω.
Condiciones de frontera
24
En los problemas parabolicos hay tres tipos principales de condiciones de frontera o
tambien llamadas condiciones de contorno, que determinan la interaccion del fenomeno
con el medio que lo rodea y esto solo puede darse a traves de su frontera: condiciones de
Dirichlet, condiciones de Neumann y condiciones mixtas o Robin.
Aquı deben ser definidos los comportamientos del contenido de agua sobre la frontera,
a lo largo de toda la duracion del estudio T .
Si consideramos que la funcion u en la frontera de Ω es una funcion f1(x, t), con
x ∈ Γ y t ≥ 0, entonces la relacion
u(x, t) = f1(x, t), x ∈ Γ, t ∈ [T1, T2]
se llama condicion de frontera de Dirichlet no homogenea si f1(x, t) 6= 0, y de Dirichlet
homogenea, si f1(x, t) = 0 sobre Γ x [T1, T2].
Si el flujo en la frontera de Γ es una funcion conocida h(x, t), x ∈ Γ, es decir que:
−→q (x, t) · −→n = h(x, t), x ∈ Γ, t ∈ [T1, T2],
donde −→q (x, t) es el flujo y −→n es el vector normal exterior a Γ, se llama condicion
de Neumann. Si h = 0 sobre Γ, se dice condicion de Neumann homogenea; en el caso
contrario, se dice condicion de Neumann no homogenea.
La combinacion de las condiciones de frontera de Dirichlet y de Neumann se llaman
condiciones de frontera mixtas o de Robin.
25
CAPITULO 4
ELEMENTOS DE ANALISIS
FUNCIONAL
En el presente capıtulo se enuncian los conceptos basicos y algunos resultados necesarios
para el desarrollo del trabajo de investigacion.
4.1. ESPACIOS DE BANACH
Definicion.- Sea V un espacio vectorial sobre R. Una norma en V , que se nota ‖·‖Ves una funcion de V en R que satisface las propiedades siguientes:
1. ‖x‖V ≥ 0; ∀x ∈ V.
2. ‖x‖V = 0⇔ x = 0.
3. ‖λx‖V = |λ| ‖x‖V , ∀λ ∈ R, x ∈ V.
4. ‖x+ y‖V ≤ ‖x‖V + ‖y‖V , ∀x, y ∈ V (desigualdad triangular).
El par (V, ‖·‖V ) se llama espacio normado, en lo sucesivo diremos simplemente V es
un espacio normado, entendiendose naturalmente que ‖·‖V es la norma definida en V.
Definicion.- Sea (xn) una sucesion en un espacio normado V.
Se dice que un elemento x ∈ V es el lımite de (xn) si
26
‖xn − x‖ →n→∞
0.
Definicion.- Se dice que (xn) es una sucesion de Cauchy si
∀ε > 0, ∃η0(ε) ∈ N tal que ∀m,n ≥ η0(ε)⇒ ‖xm − xn‖V < ε
Toda sucesion convergente es una sucesion de Cauchy, el recıproco, en general, no es
cierto.
Definicion.- Un espacio normado V se dice completo si toda sucesion de Cauchy en
V es convergente. Un espacio de Banach es un espacio normado completo.
4.2. ESPACIOS DE HILBERT
Definicion.- Sea V un espacio vectorial sobre R. Un producto escalar en V , que se
denota con (·, ·)V , es una funcion de V × V en R que verifica las propiedades siguientes:
1. (x, y)V = (y, x)V ∀x, y ∈ V.
2. (x+ y, z)V = (x, z)V + (y, z)V ∀x, y, z ∈ V.
3. (λx, y)V = λ(x, y)V ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ V.
4. (x, x)V ≥ 0 y (x, x)V = 0⇔ x = 0 ∀x, y ∈ V.
Un espacio vectorial V provisto de un producto escalar (·, ·)V se llama espacio euclıdeo.
Todo espacio euclıdeo V puede ser normado si se le provee de la norma siguiente:
‖x‖V =√
(x, x)V ∀x ∈ V.
Esta norma ‖·‖V se dice inducida por el producto escalar (·, ·)V . Resulta ası que V es
un espacio normado.
En un espacio euclıdeo V se verifica la siguiente desigualdad
|(x, y)V | ≤ ‖x‖V ‖y‖V , ∀x, y ∈ V ,
27
llamada desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Definicion.- Un espacio de Hilbert V es un espacio euclıdeo que como espacio normado
es completo.
Definicion.- Sea V un espacio euclıdeo. Decimos que x es ortogonal a y, que se escribe
x⊥y si (x, y)V = 0.
Definicion.- Sea V un espacio normado, x ∈ V y K ⊂ V . La distancia de x a K se
define como
d(x,K) = ınfv∈K‖x− v‖V .
Proyeccion sobre un convexo cerrado.
Teorema.- Sea V un espacio de Hilbert real, K ⊂ V un convexo cerrado y x ∈ V .
1. Existe un unico y ∈ K tal que
‖x− y‖V = mınv∈K‖x− v‖V .,
ademas, este elemento y puede caracterizarse por
(x− y, v − y)V ≤ 0 , ∀v ∈ K.
2. Sea PK : V → K la aplicacion definida por PK(x) = y, donde x e y estan ligadas
por segun el punto anterior, entonces
‖PK(x1)− PK(x2)‖V ≤ ‖x1 − x2‖V , ∀x1, x2 ∈ V.
3. Si K ⊂ V es un subespacio cerrado y x ∈ V . Entonces y = PK(x) es tal que
(x− y)⊥v , ∀v ∈ K
Principio de la aplicacion contractiva.
Definicion.- Sea V un espacio de Banach, M ⊂ V , M 6= ∅ y Φ : M → M una
aplicacion.
28
1. Se dice que Φ es una aplicacion contractiva si existe k, 0 < k < 1, tal que
‖Φ(x)− Φ(y)‖V ≤ k ‖x− y‖V ∀x, y ∈M.
2. Un elemento x ∈M se llama punto fijo de Φ si
Φ(x) = x.
Teorema (Banach del punto fijo).- Sea V un espacio de Banach, M ⊂ V con M 6= ∅ y
M cerrado. Sea Φ : M →M una aplicacion contractiva. Entonces, existe un unico x ∈M
tal que Φ(x) = x.
4.3. APLICACIONES LINEALES CONTINUAS
Definicion.- Sean V,W dos espacios reales normados con ‖·‖V , ‖·‖W respectivamente.
1. Una aplicacion T de V en W se dice lineal si verifica la condicion:
T (αx+ βy) = αT (x) + βT (y), ∀α, β ∈ R, ∀x, y ∈ V.
2. Sea T : V → W una aplicacion lineal. El conjunto ker(T ) = x ∈ V : T (x) = 0 se
llama nucleo de T , el conjunto R(T ) = T (x) : x ∈ V se llama recorrido de T.
3. Una aplicacion lineal T de V en W se dice continua si
∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que ‖x− y‖V < δ ⇒ ‖T (x)− T (y)‖W < ε.
El conjunto ker(T ) es un subespacio de V , R(T ) es un subespacio de W . Ademas, si
V y W son de dimension finita, las dimensiones de ker(T ) y de R(T ) estan relacionadas
del modo siguiente:
dimker(T ) + dimR(T ) = dimV.
Una aplicacion lineal T de V en W es inyectiva si ker(T ) = 0 y es sobreyectiva si
R(T ) = W . La aplicacion lineal T se dice invertible si T es biyectiva, esto es, T es inyectiva
y sobreyectiva.
Se demuestra que las siguientes proposiciones son equivalentes:
29
1. T es continua.
2. T es continua en el origen.
3. T es acotada en la bola unitaria cerrada B(0, 1).
4. Existe una constante C > 0 tal que ‖T (x)‖W ≤ C ‖x‖V ∀x ∈ V .
Por otra parte, se prueba que una aplicacion lineal T de V en W es continua, si y solo
si, para toda sucesion (xn) ⊂ V convergente a x ∈ V , la sucesion (T (xn)) es convergente
a T (x).
Se designa con L(V,W ) al espacio vectorial de todas las aplicaciones lineales continuas
de V en W . En tal espacio introducimos la norma
‖T‖L(V,W ) = sup‖x‖V ≤1
‖T (x)‖W , ∀T ∈ L(V,W ),
con lo cual L(V,W ) es un espacio normado. Si V = W , notamos L(V ) en vez de
L(V,W ). Por otro lado, si W es un espacio de Banach, se prueba que L(V,W ) es tambien
un espacio de Banach.
Particularmente, si W = R, el espacio L(V,R) se nota con V ∗ y se denomina espacio
dual de V . Los elementos de V ∗ se denominan formas lineales continuas o funcionales
lineales continuos. La norma de V ∗ esta definida por
‖T‖V ∗ = sup‖x‖V ≤1
|T (x)| , ∀T ∈ V ∗.
Teorema (representacion de Riesz).-Sea V un espacio real de Hilbert y V ∗ su dual.
Para cada L ∈ V ∗ existe un unico ξ ∈ V tal que
L(v) = (ξ, v) ∀v ∈ V ,
y
‖L‖V ∗ = ‖ξ‖V .
Ademas, existe Φ ∈ L(V ∗, V ) tal que
30
Φ(L) = ξ
y
‖Φ(L)‖V = ‖L‖V ∗ .
Definicion.- Sean V,W dos espacios reales de Hilbert, T ∈ L(V,W ). Denotamos con
T ∗ ∈ L(W,V ) el operador adjunto de T definido por
(T (u), v)W = (u, T ∗(v))V ∀u ∈ V , v ∈ W .
4.4. FORMAS BILINEALES CONTINUAS
Definicion.- Sea V,W espacios vectoriales reales. Una aplicacion a(·, ·) de V ×W en
R se dice forma bilineal en V ×W si
1. a(αx+ βy, z) = αa(x, z) + βa(y, z), ∀α, β ∈ R, x, y ∈ V , z ∈ W ,
2. a(x, αy + βz) = αa(x, y) + βa(x, z), ∀α, β ∈ R, x ∈ V , y, z ∈ W .
Si V = W , una forma bilineal en V × V se dice simplemente forma bilineal en V .
Se dice que una forma bilineal a(·, ·) es simetrica si a(·, ·) es una forma bilineal en V
y se verifica que
a(x, y) = a(y, x), ∀x, y ∈ V.
Definicion.- Sean V,W espacios normados y a(·, ·) una forma bilineal en V ×W . Se
dice que a(·, ·) es continua si existe una constante M > 0 tal que
a(x, y) ≤M ‖x‖V ‖y‖W , ∀x ∈ V, y ∈ W.
Definicion.- Sea V un espacio de Hilbert real y a(·, ·) una forma bilineal en V. Se dice
que a(·, ·) es coerciva si existe una constante α > 0 tal que
a(x, x) ≥ α ‖x‖2V , ∀x ∈ V.
31
Sea V un espacio de Hilbert real y a(·, ·) una forma bilineal en V, utilizando el teorema
de representacion de Riesz, se prueba que existe T ∈ L(V ) tal que
a(x, y) = (x, T (y))V , ∀x, y ∈ V.
Teorema (Stampacchia).-Sea V un espacio real de Hilbert y a(·, ·) un forma bilineal,
continua y coerciva en V , K ⊂ V , K 6= ∅ un convexo cerrado y f ∈ V . Entonces existe un
unico u ∈ K tal que
a(u, v − u) ≥ (f, v − u)V , ∀v ∈ K.
Teorema (Lax-Milgram).-Sea V un espacio real de Hilbert y a(·, ·) un forma bilineal,
continua y coerciva en V . Si L ∈ V ∗, entonces existe un unico u ∈ V tal que
a(u, v) = L(v) , ∀v ∈ V,
y
‖u‖V ≤1α‖L‖V ∗ .
4.5. ESPACIOS Lp(Ω)
En lo sucesivo supondremos que el lector esta familiarizado con la integral de Lebesgue.
Definicion.-Sea Ω un abierto en Rn y 1 ≤ p <∞. El espacio Lp(Ω) se define como el
conjunto de clases de funciones cuyo valor absoluto es p integrable sobre Ω, es decir:
f ∈ Lp(Ω)⇐⇒
f medible y∫Ω|f |p <∞.
La norma definida en este espacio es:
‖f‖Lp(Ω) =(∫
Ω|f |p dx
)1/p.
Cuando p =∞ se define como:
L∞(Ω) = f : Ω→ R | f medible y supx∈ΩEss |f(x)| <∞
32
con norma
‖f‖Lp(Ω) = supx∈ΩEss |f(x)|
Teorema.-Sea Ω un abierto de R2 y p, q ∈ [0,∞] tales que 1p
+ 1q
= 1.
1. Desigualdad de Holder
Sea f ∈ Lp(Ω) ; g ∈ Lq(Ω) entonces f.g ∈ L1(Ω) y
‖f.g‖L1(Ω) ≤ ‖f‖Lp(Ω) ‖g‖Lq(Ω) .
Particularmente, si p = 2, q = 2. La desigualdad de Holder no es sino la desigualdad
de Cauchy - Schwarz
‖f.g‖L1(Ω) ≤ ‖f‖L2(Ω) ‖g‖L2(Ω)
2. Desigualdad triangular (Minkowski)
Sean f, g ∈ Lp(Ω) entonces
‖f + g‖L2(Ω) ≤ ‖f‖Lp(Ω) + ‖g‖Lp(Ω) .
Lp(Ω) provisto de dicha norma es un espacio de Banach. Particularmente para p = 2,
L2(Ω) es un espacio de Hilbert, donde su producto escalar esta definido por
〈f, g〉L2(Ω) =∫Ω
f(x)g(x)dx.
y su norma asociada por
‖f‖L2(Ω) =
(∫Ω
|f(x)|2 dx)1/2
.
4.5.1. Reflexividad. Separabilidad. Dual de Lp (Ω)
Los resultados que se enuncian a continuacion son los principales en cuanto a reflexi-
bidad, separabilidad y dualidad de los espacios Lp(Ω).
Sea Ω un abierto de R2 y p, q ∈ [0,∞] tales que 1p
+ 1q
= 1,
1. Si 1 < p <∞, entonces Lp(Ω) es reflexivo, separable y el dual de Lp(Ω) se identifica
a Lq(Ω) esto es (Lp(Ω))∗ = Lq(Ω).
33
2. Si p = 1, entonces L1(Ω) es separable, por lo tanto Lp(Ω) es separable para 1 ≤ p <
∞.
El dual de L1(Ω), es L∞(Ω), es decir (L1(Ω))∗ = L∞(Ω)
El espacio L1(Ω) no es reflexivo.
3. Si p =∞, se tiene
L∞(Ω) no es reflexivo, puesto que L1(Ω) no lo es.
L∞(Ω) no es separable.
L1(Ω) ⊂ (L∞(Ω))∗.
4.5.2. Nociones de convergencia en Lp(Ω)
Convergencia fuerte (en norma)
Sea 1 ≤ p ≤ ∞; ρnn≥1 ⊂ Lp(Ω), ρ ∈ Lp(Ω), ρn −→ ρ cuando n −→∞ fuertemente
si
‖ρn − ρ‖Lp(Ω) −→ 0 cuando n −→∞.
Convergencia debil
• Sea 1 ≤ p <∞, 1 ≤ q ≤ ∞, tales que 1p
+ 1q
= 1 y sean ρn, ρ ∈ Lp(Ω). Se dice
que ρn → ρ cuando n→∞ debilmente si
∀Ψ ∈ Lq(Ω),
∫Ω
ρnΨdx −→∫Ω
ρΨdx cuando n −→∞.
• Sea p =∞ y sean ρn, ρ ∈ Lp(Ω). Se dice que ρn → ρ cuando n→∞ debilmente
si
∀Ψ ∈ L1(Ω),
∫Ω
ρnΨdx −→∫Ω
ρΨdx cuando n −→∞.
34
4.6. ESPACIO DE LAS DISTRIBUCIONES
4.6.1. Los espacios C∞(Ω) yD(Ω)
Sea Ω un conjunto abierto de Rn, u una funcion definida en Ω .El soporte de u lo
notaremos con Sop(u) y es el subconjunto de Ω definido por
Sop(u) = x ∈ Ω | u(x) 6= 0,
donde la barra denota la adherencia o clausura del conjunto x ∈ Ω / u(x) 6= 0 .
Luego notamos C0(Ω) el espacio de funciones continuas en Ω de soporte compacto
contenido en Ω. Se designa con Cm(Ω) el espacio de funciones reales u : Ω −→ R, que
poseen derivadas continuas en Ω hasta el orden m, particularmente si m = 0 se tiene C0(Ω)
que es el espacio de funciones reales continuas en Ω. C0(Ω) es un espacio de Banach con
la siguiente norma:
‖f‖C0(Ω) = maxx∈Ω|f(x)|
Se definen
C∞(Ω) =∞∩m=0
Cm(Ω),
C∞0 (Ω) = C∞(Ω) ∩ C0(Ω).
El conjunto C∞0 (Ω) se lo nota generalmente con D(Ω). Un elemento de D(Ω) se dice
”funcion test” o ”funcion de base”.
4.6.2. El espacio D′(Ω)
Definicion.-Sea Ω un abierto en Rn.Una distribucion sobre Ω es todo funcional T
lineal y continuo sobre D(Ω). El conjunto de todas las distribuciones sobre Ω se designa
con D′(Ω)
35
4.6.3. Derivacion en el sentido de las distribuciones
Definicion.-Sea T una distribucion sobre Ω ⊂ Rn. La derivada∂T
∂xien el sentido de
las distribuciones se define por :
⟨∂T∂xi, ρ⟩
= −⟨T, ∂ρ
∂xi
⟩∀ρ ∈ D(Ω).
Siendo la derivada de T lineal y continua sobre D(Ω), por lo tanto es una distribucion.
Sea f ∈ C1(Ω). Se denota con Tf a la distribucion asociada a f y esta definida por
〈Tf , ρ〉 =∫Ω
fρdx ∀ρ ∈ D(Ω).
Las derivadas de orden dos∂2T
∂xi∂xj,∂2T
∂x2i
de una distribucion T se define mediante la
relacion ⟨∂2T
∂xi∂xj, ρ
⟩=
⟨T,
∂2ρ
∂xi∂xj
⟩∀ρ ∈ D(Ω) ,⟨
∂2T
∂x2i
, ρ
⟩=
⟨T,
∂2ρ
∂x2i
⟩∀ρ ∈ D(Ω) .
4.7. ESPACIOS DE SOBOLEV
4.7.1. Espacio H1 (Ω)
Sea Ω ⊂ Rn abierto y sea 1 ≤ p < ∞. Se define el espacio de Sobolev W 1,p(Ω) como
se sigue
W 1,p(Ω) =
u ∈ Lp(Ω) | ∃ g1, g2, g3, ...., , gn ∈ Lp(Ω) tales que∫Ωu ∂ρ∂xi
= −∫
Ωgiρdx ∀ρ ∈ D(Ω) ∀i = 1..n
donde gi se nota de la manera siguiente ∂u
∂xi= gi, o lo que es lo mismo de una manera
mas simplificada
W 1,p(Ω) =u ∈ Lp(Ω) | ∂u
∂xi∈ Lp(Ω) ∀i = 1...n
36
donde∂u
∂xies la derivada de u con respecto a xi en el sentido de las distribuciones.
El espacio W 1,p(Ω) es un espacio de Banach dotado de las siguientes normas equivalentes
entre si
‖u‖W 1,p(Ω) = ‖u‖Lp(Ω) +n∑i=1
∥∥∥ ∂u∂xi
∥∥∥Lp(Ω)
,
‖u‖W 1,p(Ω) =
(‖u‖pLp(Ω) +
n∑i=1
∥∥∥ ∂u∂xi
∥∥∥pLp(Ω)
)1/p
.
Las principales propiedades del espacio W 1,p(Ω) son las siguientes:
W 1,p(Ω) es reflexivo para 1 ≤ p <∞.
W 1,p(Ω) es separable para 1 ≤ p <∞.
W 1,2(Ω) es notado como H1(Ω) y se define como se sigue
H1(Ω) =u ∈ L2(Ω) | ∂u
∂xi∈ L2(Ω) ∀i = 1...n
El espacio H1(Ω) es de suma importancia en nuestro estudio. H1(Ω) esta dotado del
producto escalar
〈u, v〉H1(Ω) = 〈u, v〉L2(Ω) + 〈∇u,∇v〉L2(Ω) ,
y su norma asociada es
‖u‖H1(Ω) =(‖u‖2
L2(Ω) + ‖∇u‖2L2(Ω)
)1/2
.
Se tiene que H1(Ω) con este producto escalar y esta norma asociada es un espacio de
Hilbert separable. Ademas se tiene que
D(Ω) ⊂ H1(Ω) ⊂ L2(Ω) ≈ (L2(Ω))∗ ⊂ D′(Ω).
37
4.7.2. Inmersiones de Sobolev
Algunos resultados importantes que relacionan los espacios Lp(Ω) y W 1,p(Ω) son los
que siguen.
Sea Ω ⊂ Rn abierto acotado de frontera lipschitziana
1. Si 1 ≤ p < n , entonces W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω) ∀q ∈ [1, p∗] donde1
p∗=
1
p− 1
n.
2. Si p = n entonces W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω) ∀q ∈ [1,∞ [ .
3. Si p > n entonces W 1,p(Ω) ⊂ C(Ω) con inyecciones compactas.
En particular W 1,p(Ω) ⊂ Lp(Ω) con inyecciones compactas para todo p, de acuerdo
con esto se tiene
4. Si n > 2 entonces v ∈ H1(Ω)⇒ v ∈ Lp∗(Ω) con1
p∗=
1
p− 1
n.
5. Si n = 2, v ∈ H1(Ω)⇒ v ∈ Lp(Ω) para todo p finito.
6. Si n = 1 entonces H1(Ω) ⊂ C(Ω).
4.7.3. Espacios H10 (Ω) y H−1
Sea 1 ≤ p < ∞. Se define W 1,p0 (Ω) como la adherencia de C∞0 (Ω) en W 1,p(Ω), esto
es W 1,p0 (Ω) = C∞0 (Ω) en W 1,p(Ω). El espacio W 1,p
0 (Ω) dotado de la norma inducida por
W 1,p(Ω) es un espacio de Banach separable y si 1 < p <∞ entonces W 1,p0 (Ω) es reflexivo.
Notamos W 1,20 (Ω) como H1
0 (Ω). Las funciones de W 1,p0 (Ω) son en cierto modo funciones
de W 1,p(Ω) que se anulan sobre la frontera de Ω. asi mismo se nota con H−1(Ω) el espacio
dual de H10 (Ω),esto es H−1(Ω) es el espacio vectorial de todas las formas lineales continuas
sobre H10 (Ω). En H−1(Ω) se define la norma
||T ||H−1(Ω) = sup||v||
H10(Ω)≤ 1
|〈T, v〉| ,
donde 〈T, v〉 denota el par en dualidad .
38
4.8. DISTRIBUCIONES VECTORIALES
4.8.1. Espacio Ck(0, T ;V )
Sea V un espacio de Banach de norma ‖.‖V , k ≥ 0 y 0 < T < +∞. Se define el espacio
Ck(0, T ;V ) como el espacio de funciones k veces continuamente diferenciables sobre [0, T ]
a valores en V . Es facil ver que es un espacio de Banach con norma:
‖v‖Ck(0,T,V ) = max0≤l≤k
(sup
0≤t≤T
∥∥∥dlvdtl (t)∥∥∥V
)
4.8.2. Espacio Lp(0, T ;V )
Sea p ∈ R con 1 ≤ p ≤ +∞, definimos Lp(0, T ;V ) el espacio de funciones de ]0, T[ en
V fuertemente medibles sobre [0, T ] para la medida dt con norma:
‖v‖Lp(0,T ;V ) =(∫ T
0‖v(t)‖pV dt
)1/p
< +∞.
Con la norma anterior Lp(0, T ;V ) es un espacio de Banach.
Si V es un espacio de Hilbert con producto escalar (·, ·)V entonces, Lp(0, T ;V ) es un
espacio de Hilbert con producto escalar:
(u, v)Lp(0,T ;V ) =∫ T
0(u(t), v(t))V dt.
Se debe tomar en cuenta que si u ∈ L2(0, T ;V ) y v ∈ V , entonces la funcion t →
(u(t), v)V ∈ L2(0, T ;V ).
4.9. OPERADORES MONOTONOS
Sea V un espacio de Banach real, separable. Se denota con || · ||V la norma en V y con
V ∗ el espacio dual de V provisto de la norma
‖f‖V ∗ = sup||v||V ≤1
|〈f, v〉| ,
donde 〈f, v〉 denota el valor del funcional f ∈ V ∗ en v ∈ V.
Sea T : V → V ∗ un funcional definido en V .
Definicion.-El operador T se dice monotono si para todo x, y ∈ V,
39
〈T (x)− T (y), x− y〉 ≥ 0.
Definicion.-El operador T se dice estrictamente monotono si T es monotono, y
〈T (x)− T (y), x− y〉 > 0 ∀x, y ∈ V, x 6= y.
Definicion.-Se dice que T es fuertemente monotono si para todo x, y ∈ V,
〈T (x)− T (y), x− y〉 ≥ ||x− y||V ϕ (||x− y||V ) ,
donde ϕ : R+ → R+ es una funcion continua en R+ tal que ϕ(0) = 0, ϕ(t) > 0 para
t > 0 y lımt→∞
ϕ(t) =∞.
Definicion.-Se dice que T es coercivo si
〈T (x), x〉 ≥ ||x||V γ (||x||V ) ∀x ∈ V,
donde γ : R+ → R es una funcion continua en R+ tal que lımt→∞
γ(t) =∞.
Se demuestra que todo operador fuertemente monotono es coercivo.
Teorema (Brower).-Sea T : Rn → Rn una funcion continua tal que
T(B(0, R)
)= B(0, R), R > 0.
Existe x ∈ B(0, R) tal que T (x) = x.
Nota: B(0, R) = x ∈ Rn : ||x|| ≤ R .
Teorema.-Sea T : Rn → Rn un operador continuo y coercivo. Entonces T es sobre-
yectivo.
Corolario.-Sea T : Rn → Rn un operador continuo. Si para todo x, y ∈ Rn, existe
C > 0 tal que
〈T (x)− T (y), x− y〉 ≥ C||x− y||2,
entonces la ecuacion T (x) = 0 tiene una unica raız x ∈ Rn.
Corolario.-Sea T : Rn → Rn un operador continuo y monotono. Supongamos que
existe R > 0 tal que para todo x ∈ Rn con ||x|| > R se tiene
〈T (x), x〉 ≥ 0.
40
entonces, la ecuacion T (x) = 0 tiene una unica solucion x ∈ Rn tal que ||x|| ≤ R.
Teorema (Brower-Minty).-Sean V un espacio de Banach real, reflexivo, separable con
V ∗ su espacio dual y T : V → V ∗ un operador monotono, coercivo, continuo. Entonces T
es sobreyectivo. Para f ∈ V ∗ fijo, T−1(f) es un subconjunto acotado, cerrado y convexo
de V.
41
CAPITULO 5
ESTUDIO DEL MODELO Y
DISCRETIZACION
5.1. FORMULACION DEBIL DEL PROBLEMA
5.1.1. Ecuacion del tipo parabolico no lineal
Sean x0 > 0, T > 0. Ponemos Ω = ]−x0, 0[ y frontera Γ = −x0, 0, ΩT = Ω× ]0, T [,
ΩT = Ω × [0, T ], ΓT = Γ× ]0, T [ .
Consideraremos el problema (PP ) siguiente:
Hallar una funcion u : ΩT −→ R solucion de∂u
∂t− ∂
∂x
(κ(u) ∂u
∂x
)+ g (x, u) = f sobre ΩT ,
u (x, 0) = u0(x) x ∈ Ω
u = 0 sobre ΓT
(PP)
donde κ, f, g son funciones que satisfacen las condiciones siguientes:
1. La funcion real κ definida en todo R es de clase C1, esto es, κ ∈ C1(R). Ademas,
existen α1, α2 ∈ R+ tales que α1 < α2 y α1 ≤ κ(u) ≤ α2 ∀u ∈ R.
2. La funcion real g esta definida en Ω×R y es de clase C1, o sea g ∈ C1(Ω×R), tal que
∂g
∂u(x, u) ≥ 0 ∀x ∈ Ω, ∀u ∈ R,
∂g
∂u(x, u) ≤ g1(x) + g2(x) |u|p−1 ∀x ∈ Ω, ∀u ∈ R,
42
donde g1, g2 ∈ C(Ω)
y p > 2.
3. f es una funcion definida en ΩT , y suponemos que para cada t ∈ [0, T ] , f (·, t) ∈
Lq (Ω) .
Formulacion debil
Para la obtencion de una formulacion debil, primeramente multipliquemos a la ecuacion
diferencial del problema (PP ) por una funcion v ∈ C1(Ω) tal que v/Γ = 0, e integramos
sobre Ω. Tenemos
∫Ω
∂u
∂t(x, t) v(x)dx−
∫Ω
∂∂x
(k (u) ∂u
∂x
)v(x)dx+
∫Ωg (x, u(x, t)) v(x)dx
=∫
Ωf(x, t)v(x)dx.
(6)
Por el teorema de derivacion bajo el signo de integracion, se tiene
d
dt
∫Ωu(x, t)vdx =
∫Ω
∂u
∂t(x, t)v(x)dx,
ahora, por el metodo de integracion por partes y considerando que v/Γ = 0, obtenemos
que
∫Ω
∂∂x
(k (u) ∂u
∂x
)v(x)dx = −
∫Ωκ (u(x, t)) ∂u
∂x(x, t)v′ (x) dx.
Remplazando estos resultados se obtiene la siguiente ecuacion, para todo v ∈ C1(Ω)
tal que v/Γ = 0,
d
dt
∫Ωu(x, t)v(x)dx+
∫Ωκ (u(x, t)) ∂u
∂x(x, t)v′ (x) dx+
∫Ωg(x, u(x, t))v(x)dx
=∫
Ωf(x, t)v(x)dx.
Para cada t ∈ [0, T ] , realizamos las siguientes identificaciones:
u(t) : Ω−→ R
x 7−→ (u(t))(x) = u(x, t),
f(t) : Ω−→ R
x 7−→ (f(t))(x) = f(x, t).
Se define
43
〈u(t), v〉 =∫
Ωu(x, t)v(x)dx ∀v ∈ W 1,p
0 (Ω), t ∈ [0, T ] ,
a (u(t), v) =∫
Ωκ (u(x, t))u′(x, t)v′ (x) dx ∀v ∈ W 1,p
0 (Ω), t ∈ [0, T ] ,
b (u(t), v) =∫
Ωg (x, u(x, t)) v(x)dx ∀v ∈ W 1,p
0 (Ω), t ∈ [0, T ] ,
〈f(t), v〉 =∫
Ωf (x, t) v(x)dx ∀v ∈ W 1,p
0 (Ω), t ∈ [0, T ] ,
〈u(0), v〉 =∫
Ωu0(x)v(x)dx = 〈u0, v〉 ∀v ∈ W 1,p
0 (Ω).
Por lo tanto, con estas notaciones la ecuacion (6) se escribe: para cada t ∈ ]0, T [d
dt〈u(t), v〉+ a (u(t), v) + b (u(t), v) = 〈f(t), v〉 ∀v ∈ W 1,p
0 (Ω),
〈u(0), v〉 = 〈u0, v〉 ∀v ∈ W 1,p0 (Ω).
Ası, la formulacion debil del problema parabolico (PPD) se escribe
Hallar u ∈ Lp(0, T ; W 1,p
0 (Ω))∩ C0 (0, T ;L2(Ω))
donde u′(t) =∂u
∂t∈ Lq (0, T ; W−1,q(Ω), ) tal que es solucion de:
d
dt〈u(t), v〉+ a (u(t), v) + b (u(t), v) = 〈f(t), v〉 ∀v ∈ W 1,p
0 (Ω),
〈u(0), v〉 = 〈u0, v〉 ∀v ∈ W 1,p0 (Ω)
5.2. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA
SOLUCION DEL PROBLEMA DEBIL
5.2.1. Lema de Gronwall
Sean g (t) y v (t) dos funciones continuas en C ([0, T ]). Sea h ∈ L1 (0, T ) tal que h (t) ≥
0, c.t.p. t ∈ [0, T ] se tiene
v (t) ≤ g (t) +t∫
0
h (τ) v (τ) dτ.
Entonces
v (t) ≤ g (t) +t∫
0
h (τ) v (τ) eH(t)−H(τ)dτ = eH(t)
[g (0) +
t∫0
g′ (τ) e−H(τ)dτ
], t ∈ [0, T ]
con H (t) =t∫
0
h (τ) dτ , donde la segunda de esta desigualdad se cumple para funciones
g (t) diferenciables. (Vease Wloka, pags. 436 - 437).
Una consecuencia muy importante del lema anterior es que si v (t) ∈ C ([0, T ]) con
v (t) ≥ 0 y se cumple que
44
v (t) ≤ ct∫
0
v (τ) dτ para t ∈ [0, T ] ,
entonces, v (t) = 0. (Esto es inmediato haciendo g (t) = 0 y h (t) = c) ([14]).
Se realizara la demostracion por el metodo de Galerkin.
Ecuacion del tipo parabolico no lineal
Sean x0 > 0, T > 0. Ponemos Ω = ]−x0, 0[ y frontera Γ = −x0, 0, ΩT = Ω× ]0, T [,
ΩT = Ω × [0, T ], ΓT = Γ× ]0, T [ .
Como se menciono anteriormente en esta seccion vamos a trabajar con una ecuacion
del tipo parabolico no lineal siguiente:∂u
∂t− ∂
∂x
(κ(u) ∂u
∂x
)+ g (x, u) = f sobre ΩT ,
u (x, 0) = u0(x) x ∈ Ω
u = 0 sobre ΓT
(PP)
donde κ, f, g son funciones que satisfacen las condiciones siguientes:
1. κ : R −→ R es una funcion de clase C1, acotada, esto es, existen α1, α2 ∈ R+ tales
que α1 ≤ κ(u) ≤ α2 ∀u ∈ R.
2. La funcion g : Ω×R −→ R es de clase C1, o sea g ∈ C1(Ω×R), y es tal que
∂g
∂u(x, u) ≥ 0 ∀x ∈ Ω, ∀u ∈ R,
∂g
∂u(x, u) ≤ g1(x) + g2(x) |u|p−1 ∀x ∈ Ω, ∀u ∈ R,
donde g1, g2 ∈ C(Ω)
y p > 2.
3. f es una funcion definida en ΩT , y suponemos que para cada t ∈ [0, T ] , f (·, t) ∈
Lq (Ω) .
Se considera el problema debil siguiente: hallar u ∈ Lp(0, T ; W 1,p
0 (Ω))∩C0 (0, T ;L2(Ω))
tal que u′(t) =∂u
∂t∈ Lq (0, T ; W−1,q(Ω), ) es solucion de:
d
dt〈u(t), v〉+ a (u(t), v) + b (u(t), v) = 〈f(t), v〉 ∀v ∈ W 1,p
0 (Ω),
〈u(0), v〉 = 〈u0, v〉 ∀v ∈ W 1,p0 (Ω)
(PD)
45
donde
〈u(t), v〉 =∫
Ωu(x, t)v(x)dx ∀v ∈ W 1,p
0 (Ω), t ∈ [0, T ] ,
a (u(t), v) =∫
Ωκ (u(x, t))u′(x, t)v′ (x) dx ∀v ∈ W 1,p
0 (Ω), t ∈ [0, T ] ,
b (u(t), v) =∫
Ωg (x, u(x, t)) v(x)dx ∀v ∈ W 1,p
0 (Ω), t ∈ [0, T ] ,
〈f(t), v〉 =∫
Ωf (x, t) v(x)dx ∀v ∈ W 1,p
0 (Ω), t ∈ [0, T ] ,
〈u(0), v〉 =∫
Ωu0(x)v(x)dx = 〈u0, v〉 ∀v ∈ W 1,p
0 (Ω).
En efecto, primeramente note que H10 (Ω) y L2(Ω) son espacios de Hilbert separables,
ademas H10 (Ω) es denso en L2(Ω) por tanto, existe una base hilbertiana wk / k = 0, 1, 2...
de L2(Ω) que la consideraremos ortogonal en H10 (Ω) y ortonormal en L2(Ω) , tal que
cualesquier elemento de H10 (Ω) o de L2(Ω) pueden ser escritos como serie de Fourier
respecto a dicha base, fijado n ∈ N vamos a llamar Vn = 〈w1, w2, ..., wn〉 al subespacio
vectorial de dimension finita engendrado por los vectores w1, w2, ..., wn . Luego dado v ∈
H10 (Ω) ( respectivamente v ∈ L2(Ω) ) existe una sucesion vn / vn ∈ Vn tal que
‖vn − v‖H10 (Ω) →n→∞ 0.
Respectivamente
‖vn − v‖L2(Ω) →n→∞ 0.
Ahora dado u0 ∈ L2(Ω), existe u0,n / u0,n ∈ Vn tal que ‖u0,n − u0‖L2(Ω) → 0 ; n→∞
basta tomar u0,n = PVn(u0) (la proyeccion de u0 sobre el espacio Vn). De esta manera,
planteamos el problema aproximado Pn siguiente:Hallar un ∈ Lp (0, T ; Vn) solucion ded
dt〈un(t), vn〉+ a (un(t), vn) + b (un(t), vn) = 〈f(t), vn〉 ∀vn ∈ Vn
un(0) = u0,n,
(Pn)
como un(t) ∈ Vn entonces existe αni (t)/ i = 0, 1, ..., n tal que
un(t) =n∑i=1
αni (t)wi
46
por lo que un(0) =n∑i=1
αni (0)wi donde αni (0) = 〈u0,n / wi〉 luego nuestro problema
aproximado es el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden siguiente:Hallar αni (t) ; i = 0, 1, 2...n solucion de
d
dtαnj (t) = 〈f(t), wj〉 − a
(n∑i=1
αni (t)wi, wj
)− b(
n∑i=1
αni (t)wi, wj
)αnj (0) = 〈u0,n / wj〉 ∀j = 0, 1...n ; t ∈ (0, T )
Por el teorema de Cauchy-Peano y dado que el lado derecho es una funcion continua
de t, αn1 (t), αn2 (t), ..., αnn (t) el problema aproximado (Pn) anterior tiene por lo menos
una solucion.
1. Estimaciones de Energıa
Tomando en Pn la funcion vn como un(t) se tiene
1
2
d
dt‖un(t)‖2
L2(Ω) + a (un(t), un(t)) + b (un(t), un(t))
= 〈f(t), un(t)〉 ∀un ∈ Vn , t ∈ ]0, T [ .
Dado que
α1 ‖u′n(t)‖2L2(Ω) ≤ a (un(t), un(t)) =
∫Ωκ (un(t))u′n(t)u′n (x) dx,
β ‖un(t)‖2L2(Ω) ≤ b (un(t), un(t)) =
∫Ωg (x, un(t))un(t)dx,
〈f(t), un(t)〉 ≤ 12‖f(t)‖2
L2(Ω) + 12‖un(t)‖2
L2(Ω) .
Con lo cual resulta
1
2
d
dt‖un(t)‖2
L2(Ω) +m
2‖un(t)‖2
H10 (Ω)
≤ 1
2
d
dt‖un(t)‖L2(Ω) + a (un(t), un(t)) + b (un(t), un(t))
= 〈f(t), un(t)〉 ≤ 1
2‖f(t)‖2
L2(Ω) +1
2‖un(t)‖2
L2(Ω) ,
donde m2
= mın α1, β de lo cual se deduce que
d
dt‖un(t)‖2
L2(Ω) ≤d
dt‖un(t)‖2
L2(Ω) +m ‖un(t)‖2H1
0 (Ω) (5.1)
≤ ‖f(t)‖2L2(Ω) + ‖un(t)‖2
L2(Ω) t ∈ ]0, T [
47
usando la desigualdad de Gronwall se tiene la siguiente estimacion:
‖un(t)‖2L2(Ω) ≤ et
‖un(0)‖2L2(Ω) +
t∫0
‖f(r)‖2L2(Ω) dr
por la desigualdad de Bessel es claro que ‖un(0)‖2
L2(Ω) ≤ ‖u0‖2L2(Ω) , integrando en
]0, T [ se tiene que
‖un(t)‖2L2(Ω) ≤ eT
‖u0‖2L2(Ω) +
T∫0
‖f(r)‖2L2(Ω) dr
= C
[‖u0‖2
L2(Ω) + ‖f‖2L2(0,T ;L2(Ω))
]Luego para todo t ∈ ]0, T [ se tiene que un(t) esta acotado en L2(Ω) es decir que
un(t)n≥1 esta acotado en L∞(0, T ;L2(Ω))
2. Por otro lado de (5,1) se tiene que
m ‖un(t)‖2H1
0 (Ω) ≤d
dt‖un(t)‖2
L2(Ω) +m ‖un(t)‖2H1
0 (Ω)
≤ ‖f(t)‖2L2(Ω) + ‖un(t)‖2
L2(Ω)
≤ ‖f(t)‖2L2(Ω) + C
[‖u0‖2
L2(Ω) + ‖f‖2L2(0,T ;L2(Ω))
]luego
‖un(t)‖2H1
0 (Ω) ≤M[‖u0‖2
L2(Ω) + ‖f‖2L2(0,T ;L2(Ω))
]t ∈ ]0, T [
integrando entre ]0, T [ se tiene que
‖un‖2L2(0,T ;H1
0 (Ω)) =
T∫0
‖un(t)‖2H1
0 (Ω) dt
≤ M
T∫0
[‖u0‖2
L2(Ω) + ‖f‖2L2(0,T ;L2(Ω))
]dt
= C2
[‖u0‖2
L2(Ω) + ‖f‖2L2(0,T ;L2(Ω))
]lo cual nos indica que la susecion unn≥1 esta acotada en L2(0, T ;H1
0 (Ω))
3. Sea v ∈ H10 (Ω) con ‖v‖H1
0 (Ω) ≤ 1 y escribimos v = a+ b donde a ∈ Vn y b ∈ V ⊥n (el
ortogonal de Vn ) luego ‖a‖H10 (Ω) ≤ ‖v‖H1
0 (Ω) ≤ 1 y utilizando (Pn) se tiene
d
dt〈un(t), a〉+ a (un(t), a) + b (un(t), a)
= 〈f(t), a〉 ∀vn ∈ Vn , t ∈ (0, T )
48
d
dt〈un(t), a〉 = 〈f(t), a〉 − a (un(t), a)− b (un(t), a)
d
dt〈un(t), v〉 = 〈f(t), a〉 − a (un(t), a)− b (un(t), a)
puesto que
d
dt〈un(t), v〉 =
d
dt〈un(t), a+ b〉
=d
dt[〈un(t), a〉+ 〈un(t), b〉]
=d
dt〈un(t), a〉
por otro lado tome en cuenta que
|a (un(t), v)| =∣∣∫
Ωκ (un(t))u′n(t)v′ndx
∣∣ ≤ α2
∫Ω|u′n(t)v′n| dx
|b (un(t), v)| =∣∣∫
Ωg (x, un(t)) vdx
∣∣ ≤ β2
∫Ω|un(t)v| dx
|a (un(t), v)|+ |b (un(t), v)| ≤ α2
∫Ω|u′n(t)v′n| dx+ β2
∫Ω|un(t)v| dx
≤ C3 ‖un(t)‖H10 (Ω) ‖v‖H1
0 (Ω) ≤ C3 ‖un(t)‖H10 (Ω)
≤M[‖u0‖2
L2(Ω) + ‖f‖2L2(0,T ;L2(Ω))
]de aquı se tiene que∣∣∣∣⟨ d
dtun(t), v
⟩∣∣∣∣ ≤ |〈f(t), a〉|+ |a (un(t), a)|+ |b (un(t), a)|
≤ 1
2‖f(t)‖2
L2(Ω) +1
2‖un(t)‖2
L2(Ω) + C3 ‖un(t)‖H10 (Ω)
≤ C3
[‖u0‖2
L2(Ω) + ‖f‖2L2(0,T ;L2(Ω))
]recordemos que ‖v‖H1
0 (Ω) ≤ 1 por lo tanto⟨d
dtun(t), v
⟩‖v‖H1
0 (Ω)
≤ C3
[‖u0‖2
L2(Ω) + ‖f‖2L2(0,T ;L2(Ω))
]para todo v ∈ H1
0 (Ω) , v 6= 0 , t ∈ ]0, T [
∥∥∥∥ ddtun(t)
∥∥∥∥H−1(Ω)
≤ C3
[‖u0‖2
L2(Ω) + ‖f‖2L2(0,T ;L2(Ω))
]para todo t ∈ ]0, T [
49
elevando al cuadrado los dos lados de la desigualdad he integrando sobre ]0, T [ se
tiene que
T∫0
∥∥∥∥ ddtun(t)
∥∥∥∥2
H−1(Ω)
dt ≤ C3
T∫0
[‖u0‖2
L2(Ω) + ‖f‖2L2(0,T ;L2(Ω))
]2
dt
∥∥∥u′n∥∥∥L2(0,T ;H−1(Ω))
≤ C4
[‖u0‖2
L2(Ω) + ‖f‖2L2(0,T ;L2(Ω))
]luego u
′n es acotada en L2(0, T ;H−1(Ω))
5.2.2. Existencia de la solucion
Por 1,2 y 3 se tiene que la sucesion unn≥1 tiene una subsucesion unin≥1 covergente
luego existe u ∈ L2(0, T ;H10 (Ω)) con u
′ ∈ L2(0, T ;H−1(Ω)) tal que uni → u debilmente en L2(0, T ;H10 (Ω))
u′ni → u
′debilmente en L2(0, T ;H−1(Ω))
(5.2)
Considere N un entero positivo fijo y elegimos v ∈ C1([0, T ];H10 (Ω)) el cual tiene la forma
siguiente
v(t) =N∑i=1
αi (t)wi
donde αi (t) son funciones suaves dadas, nosotros elejimos n ≥ N reemplazamos e (Pn)
e integramos con respecto a t encontrando la siguiente expresion
T∫0
[⟨d
dtun(t), v(t)
⟩+ a (un(t), v(t)) + b (un(t), v(t))
]dt
=T∫0
〈f(t), v(t)〉 dt(5.3)
consideramos n = ni (es decir la subsucesion debilmente convergente ), y teniendo en
cuenta (5,2), pasando al lımite debil encontramos
T∫0
[⟨d
dtu(t), v(t)
⟩+ a (u(t), v(t)) + b (u(t), v(t))
]dt =
=T∫0
〈f(t), v(t)〉 dt)(5.4)
Esta igualdad es mucho mas general es valida para todas las funciones de L2(0, T ;H10 (Ω))
ya que las funciones de la forma v(t) =N∑i=1
αi (t)wi son densas en este espacio y en
50
particular se tiene que ⟨d
dtu(t), v(t)
⟩+ a (u(t), v(t)) + b (u(t), v(t)) dt
= 〈f(t), v(t)〉 dt, ∀v ∈ H10 (Ω) y t ∈ ]0, T [
ademas como u ∈ L2(0, T ;H10 (Ω)) y u
′ ∈ L2(0, T ;H−1(Ω)) se tiene que
u ∈ C([0, T ];L2(Ω))
Seguidamente probaremos que u(0) = u0 para lo cual integramos por partes las expresiones
(5,3) y (5,4)
T∫0
[−⟨d
dtun(t), v(t)
⟩+ a (un(t), v(t)) + b (un(t), v(t))
]dt
=
T∫0
〈f(t), v(t)〉 dt+ (un(0)v(0)) ∀v ∈ C1([0, T ];H10 (Ω)) con v(T ) = 0
T∫0
[−⟨d
dtu(t), v(t)
⟩+ a (u(t), v(t)) + b (u(t), v(t))
]dt
=
T∫0
〈f(t), v(t)〉 dt+ (u(0)v(0)) ∀v ∈ C1([0, T ];H10 (Ω)) con v(T ) = 0
haciendo otra vez tender al lımite en la primera expresion se tiene
T∫0
[−⟨d
dtu(t), v(t)
⟩+ a (u(t), v(t)) + b (u(t), v(t))
]dt
=
T∫0
〈f(t), v(t)〉 dt+ (u0v(0)) ∀v ∈ C1([0, T ];H10 (Ω)) con v(T ) = 0
T∫0
[−⟨d
dtu(t), v(t)
⟩+ a (u(t), v(t)) + b (u(t), v(t))
]dt
=
T∫0
〈f(t), v(t)〉 dt+ (u(0)v(0)), ∀v ∈ C1([0, T ];H10 (Ω)) con v(T ) = 0
finalmente igualando las dos expresiones se tiene que un(0) → u0 en L2(Ω) como v(0) es
arbitrario se concluye que u(0) = u0
51
5.2.3. Unicidad de la solucion
Supongamos que el problema debil tiene dos soluciones u1 y u2, u1 6= u2 tales qued
dt〈u1(t), v〉+ a (u1(t), v) + b (u1(t), v) = 〈f(t), v〉 ∀v ∈ W 1,p
0 (Ω) y t ∈ ]0, T [
〈u1(0), v〉 = 〈u0, v〉 , ∀v ∈ W 1,p0 (Ω).
d
dt〈u2(t), v〉+ a (u2(t), v) + b (u2(t), v) = 〈f(t), v〉 ∀v ∈ W 1,p
0 (Ω) y t ∈ ]0, T [
〈u2(0), v〉 = 〈u0, v〉 , ∀v ∈ W 1,p0 (Ω).
Restando el segundo problema del primero se obtiene que
⟨d
dt(u1(t)− u2(t)) , v
⟩+ [a (u1(t), v)− a (u2(t), v)]
+ [b (u1(t), v)− b (u2(t), v)] = 0
〈u1(0)− u2(0), v〉 = 0
∀v ∈ W 1,p0 (Ω) y t ∈ ]0, T [
(5.5)
Por otro lado efectuamos nuevamente el cambio de variables siguiente.
Sea h : R→ R la funcion definida por
h(u) =
∫ u
0
k(t)dt, u ∈ R
h es creciente, ademas h ∈ C1(R).
Para u ∈ W 1,p0 (Ω) se tiene que w = h(u) implica u = h−1(w) y w′ = k(u)u′.
Puesto que
a(u, v) =
∫Ω
k(u)u′v′dx =
∫Ω
w′v′dx,
b(u, v) =
∫Ω
g(x, u)vdx =
∫Ω
g(x, h−1(w))vdx,
de aquı se tiene que
[a (u1(t), v)− a (u2(t), v)] =
∫Ω
k(u1(t))u′1(t)v′dx−∫
Ω
k(u2(t))u′2(t)v′dx
=
∫Ω
w′1v′dx−
∫Ω
w′2v′dx
=
∫Ω
(w1 − w2)′v′dx
52
donde w1 = h(u1), w2 = h(u2)
[g(x, u1(t))− g(x, u2(t))] =[g(x, h−1(w1))− g(x, h−1(w2))
]= M [w1 − w2]
esto por el teorema del valor medio, por la tanto
M =∂g
∂u
(x, h−1(c)
) ∂h−1(c)
∂u> 0 para algun c ∈ [u1, u2]
por la parte anterior se tiene que
[b (u1(t), v)− b (u2(t), v)] =
∫Ω
g(x, u1(t))vdx−∫
Ω
g(x, u2(t))vdx
=
∫Ω
[g(x, u1(t))− g(x, u2(t))] vdx
= M
∫Ω
[w1 − w2] vdx
ademas
w1 − w2 = h(u1)− h(u2)
R(u1 − u2)
donde el resultado se obtiene aplicando nuevamente el teorema del valor medio, luego
R =∂h(c)
∂u> 0 para algun c ∈ [u1, u2]
Haciendo v = w1 − w2 en (5,5) y teniendo en cuenta todo lo anterior se tiene que⟨d
dt(u1(t)− u2(t)) , w1 − w2
⟩+ [a (u1(t), w1 − w2)− a (u2(t), w1 − w2)]
+ [b (u1(t), w1 − w2)− b (u2(t), w1 − w2)]
=
⟨d
dt(u1(t)− u2(t)) , R(u1(t)− u2(t))
⟩+
∫Ω
|(w1 − w2)′|2 dx+M
∫Ω
|w1 − w2|2 dx
=R
2
d
dt‖u1(t)− u2(t)‖2
L2(Ω) + ‖(w1 − w2)′‖2L2(Ω) +M ‖w1 − w2‖2
L2(Ω) = 0
tomando C = mın 1,M se deduce que
C ‖w1 − w2‖2H1
0 (Ω)
≤ R
2
d
dt‖u1(t)− u2(t)‖2
L2(Ω) + ‖(w1 − w2)′‖2L2(Ω) +M ‖w1 − w2‖2
L2(Ω) = 0
53
por lo tanto ‖w1 − w2‖2H1
0 (Ω) = R ‖u1 − u2)‖2H1
0 (Ω) = 0 de lo cual se deduce immedia-
tamente que u1 = u2.
5.3. DISCRETIZACION
5.3.1. Descripcion matematica del metodo de elementos finitos
El desarrollo de un algoritmo de elementos finitos para resolver un problema definido
mediante ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno requiere en general cuatro
etapas:
1. El problema debe reformularse en forma variacional.
2. El dominio de variables independientes (usualmente un dominio espacial para proble-
mas dependientes del tiempo) debe dividirse mediante una particion en subdominios,
llamados elementos finitos. Asociada a la particion anterior se construye un espacio
vectorial de dimension finita, llamado espacio de elementos finitos. Siendo la solu-
cion numerica aproximada obtenida por medio de una combinacion lineal en dicho
espacio vectorial.
3. Se obtiene la proyeccion del problema variacional original sobre el espacio de elemen-
tos finitos obtenido de la particion. Esto da lugar a un sistema con un numero finito
de ecuaciones, aunque en general con un numero elevado de ecuaciones incognitas.
El numero de incognitas sera igual a la dimension del espacio vectorial de elementos
finitos obtenido y, en general, cuanto mayor sea dicha dimension tanto mejor sera la
aproximacion numerica obtenida.
4. El ultimo paso es el calculo numerico de la solucion del sistema de ecuaciones.
Los pasos anteriores permiten construir un problema de calculo diferencial en un pro-
blema de algebra lineal. Dicho problema en general se plantea sobre un espacio vectorial
de dimension no-finita, pero que puede resolverse aproximadamente encontrando una pro-
yeccion sobre un subespacio de dimension finita, y por tanto con un numero finito de
54
ecuaciones (aunque en general el numero de ecuaciones sera elevado tıpicamente de miles
o incluso centenares de miles). La discretizacion en elementos finitos ayuda a construir un
algoritmo de proyeccion sencillo, logrando ademas que la solucion por el metodo de ele-
mentos finitos sea generalmente muy exacta en un conjunto finito de puntos. Estos puntos
coinciden usualmente con los vertices de los elementos finitos. Para la resolucion concreta
del enorme sistema de ecuaciones algebraicas en general pueden usarse los metodos con-
vencionales del algebra lineal en espacios de dimension finita aunque se obtiene mejores
resultados con metodos iterativos.
5.3.2. Metodo de diferencias finitas
Sea Ω ⊂ R2 abierto, (a, b) ∈ Ω, h, k ∈ R no nulos tales que (a+ h, b) , (a, b+ k) ,
(a+ h, b+ k) ∈ Ω. Sea f una funcion real continua en Ω. En un punto arbitrario
(x, y) ∈ Ω notamos z = f (x, y) .
Se define la derivada parcial de f respecto de x en el punto (a, b) que se nota ∂f∂x
(a, b)
y se define como
∂f∂x
(a, b) = lımh→0
f(a+h,b)−f(a,b)h
siempre que el lımite exista. De manera similar, la derivada parcial de f respecto de y
en el punto (a, b) se nota ∂f∂y
(a, b) y se define como
∂f∂y
(a, b) = lımk→0
f(a,b+k)−f(a,b)k
siempre que el lımite exista.
i) Para h 6= 0 suficientemente pequeno, ponemos z0 = f (a, b), z1 = f (a+ h, b). El
cociente
fx (a, b) = z1−z0h
es una aproximacion de ∂f∂x
(a, b) mediante una diferencia finita progresiva.
ii) Si z0 = f (a, b), z1 = f (a− h, b) con h 6= 0 suficientemente pequeno, el cociente
fx (a, b) = − z1−z0h
55
es una aproximacion de ∂f∂x
(a, b) mediante una diferencia finita regresiva.
iii) Si h 6= 0 suficientemente pequeno, z1 = f (a+ h, b), z2 = f (a− h, b), el cociente
fx (a, b) = z1−z22h
es una aproximacion de ∂f∂x
(a, b) mediante una diferencia finita central.
Se procede de manera similar a i), ii) y iii) para aproximar ∂f∂y
(a, b).
En la presente tesis utilizaremos mas adelante la aproximacion de ∂f∂y
(a, b) mediante
una diferencia finita progresiva.
Discretizacion del dominio
Sea d la dimension de R. Dado un dominio Ω ⊂ Rd con una frontera continua en el
sentido de Lipschitz una particion de Ω en ”n elementos finitos”, es una coleccion de n
subdominios Tk | k = 1, 2..n que satisface:
1. Ω =n⋃k=1
Tk
2. Tk es un conjunto compacto con una frontera de Lipschitz continua
3. int(Tk) ∩ int(Tj) = φ para k 6= j.
Usualmente por conveniencia practica y sencillez de analisis, todos los ”elementos fini-
tos” tienen la misma forma, es decir, existe un dominio de referencia T y una coleccion
de funciones biyectivasFk : T → Tk | k = 1, 2..n
. Este dominio de referencia se suele
llamar frecuentemente tambien dominio isoparametrico. En los analisis bidimencional el
dominio de referencia se suele tomar como un triangulo equilatero o un cuadrado, mientras
que en los analisis tridimencionales, el dominio de referencia tıpicamente es un tetraedro o
un hexaedro. Ademas, sobre cada elemento se consideraran algunos puntos especiales, lla-
mados nodos y que generalmente incluiran los vertices del elemento finito y se requerira la
condicion adicional de que dos elementos adyacentes compartan los nodos o aristas.
Una vez definida la particion en elementos finitos, se define sobre cada elemento un
espacio funcional de dimension finita, usualmente formado por polinomios. Este espacio
56
funcional servira para aproximar localmente la solucion del problema variacional. El pro-
blema variacional en su forma debil se plantea sobre un espacio de dimension no finita, y
por tanto la funcion buscada sera una funcion de dicho espacio. El problema en esa forma
exacta es computacionalmente inabordable, ası que en la practica se considerara un subes-
pacio de dimension finita del espacio vectorial original y en lugar de la solucion exacta se
calcula la proyeccion de la solucion original sobre dicho subespacio vectorial de dimension
finita, es decir, se resolvera numericamente el siguiente problema:
Sea Vh ⊂ V un subespacio de dimension finita de V hallar uh ∈ Vha(uh, vh) = L(vh) ∀vh ∈ V
Luego uh = PVh(u) ∈ Vh es la solucion aproximada y PVh : V → Vh es el proyector
ortogonal del espacio original sobre el subespacio vectorial asociado a la discretizacion. Si
la discretizacion es suficientemente fina y el espacio funcional finito sobre cada elemento
esta bien escogido, la solucion numerica obtenida aproximara razonablemente bien a la
solucion original. Eso implicara en general considerar un numero muy elevado de elementos
finitos y por tanto un subespacio de proyeccion de dimension elevada. El error entre la
solucion exacta y la solucion aproximada puede acotarse gracias al lema de Cea, que en
esencia afirma que la solucion exacta y la solucion aproximada satisfacen: ∃c ∈ R+ tal que
‖u− uh‖V ≤ c ınfvh∈Vh ‖u− vh‖V(5.6)
Es decir, el error dependera ante todo de lo bien que el subespacio vectorial asociado
a la discretizacion en elementos fintios aproxime el espacio vectorial original.
5.3.3. Discretizacion espacial y temporal de la
ecuacion de Richards unidimensional
Cuando el flujo es vertical el modelo es el siguiente∂u∂t− ∂
∂z
[D(u)∂u
∂z
]− ∂K(u)
∂u∂u∂z
= 0 sobre [−z0, 0]× [0, T ]
u (0, x) = g(x) (CI)
+CF
57
Discretizacion en el tiempo para el modelo no lineal
Para resolver el problema primero discretizamos la variable temporal para lo cual fija-
mos Nt el numero de divisiones temporales y definimos ht = TNt
con lo cual se tiene que tk =
k · ht, k = 0, 1, 2, · · · , Nt, luego la discretizacion temporal es t0 = 0, t1, t2, · · · , tNt = T.
El siguiente grafico muestra la discretizacion en el tiempo
Figura 5.1: Discretizacion en la variable temporal
Usando esta malla temporal hacemos una aproximacion mediante diferencias finitas de
la derivada temporal ∂u∂t
∂uk∂t
= uk−uk−1
ht,
donde uk = u (tk, x).
Luego nuestro problema discreto en la variable temporal nos queda
uk−uk−1
ht= ∂
∂z
[D (uk)
∂uk∂z
]+ ∂K(uk)
∂u∂uk∂z
multiplicando por ht y reordenando los terminos se tiene que
−ht ∂∂z[D (uk)
∂uk∂z
]− ht ∂K(uk)
∂u∂uk∂z
+ uk = uk−1.
Es decir
u0 = g(x)
Para hallar uk se resuelve el siguiente problema −ht ∂∂z[D (uk)
∂uk∂z
]− ht ∂K(uk)
∂u∂uk∂z
+ uk = uk−1
+ CF.
58
Con esto nuestro problema se reduce a la resolucion de una sucesion de problemas
estacionarios no lineales.
Para el problema estacionario no lineal obtenemos la formulacion variacional del pro-
blema y aplicamos el metodo de Newton para linealizar el problema. Como siempre el
resultado de la aplicacion del metodo de Newton es la resolucion de una sucesion de pro-
blemas lineales.
5.3.4. Caso de condiciones de frontera de
Dirichlet homogeneos
−ht ∂∂z[D (uk)
∂uk∂z
]− htR (uk)
∂θk∂z
+ uk = uk−1 sobre (−z0, 0)
uk (−z0) = 0
uk (0) = 0
donde R (uk) = ∂K(uk)∂u
.
Sea v ∈ W 1,p0 (−z0, 0) multiplicamos la ecuacion diferencial por v e integramos sobre
(−z0, 0), luego
−0∫−z0
ht∂∂z
[D (uk)
∂uk∂z
]vdz − ht
0∫−z0
R (uk)∂uk∂zvdz +
0∫−z0
ukvdz =0∫−z0
uk−1vdz.
Integrando por partes la primera integral y tomando en cuenta que v ∈
W 1,p0 (−z0, 0) se tiene que
0∫−z0
htD (uk)∂uk∂z· ∂v∂z− htR (uk)
∂uk∂z· v + ukv dz =
0∫−z0
uk−1vdz.
Con el fin de aplicar el metodo de Newton definimos el funcional siguiente
Jv (uk) =0∫−z0
htD (uk)∂uk∂z· ∂v∂z− htR (uk)
∂uk∂z· v + ukv dz −
0∫−z0
uk−1vdz = Juk (v) .
El diferencial de Frechet del funcional anterior es
J ′v,uk [h] = auk (hk, v)
=0∫−z0
[htD (uk)]h′kv′ − [htR (uk)]h
′kv
+ [htD′ (uk)u
′k]hkv
′ + [1− htR′ (uk)u′k]hkv dz.
59
Luego usamos el metodo de Newton para generar una sucesion uiki=0,1,··· que converge
a la solucion uk de la siguiente forma
u0k cualesquier valor
Resolver el problema:
hallar hk ∈ W 1,p0 (−z0, 0) tal que
auik (hk, v) = −Juik (v) ∀v ∈ W 1,p0 (−z0, 0)
ui+1k = uik + hk
Es decir el problema se ha transformado en la resolucion iterada de problemas estacio-
narios lineales
Algoritmo Computacional
Entrada Nt, T , g (x), ε, MaxI
ht ←− TNt
u0 ←− g (x)
tk ←− 0
Para k = 1, 2, · · · , Nt
i←− 0
u0k ←− 0
Mientras ‖hk‖ > ε y i < MaxI
Resolver el problema lineal siguiente Hallar hk ∈ W 1,p
0 (−z0, 0) tal que
auik (hk, v) = −Juik (v)
ui+1k = uik + hk
i←− i+ 1
Fin del Mientras
uk ←− uik
Fin del Para
60
5.3.5. Resolucion del problema lineal unidimensional
por el metodo de elementos finitos
Considere el problema general siguiente Hallar h ∈ V tal que
a (h, v) = L (v) ∀v ∈ V
donde a (h, v) es una forma bilineal continua y v-elıptica sobre V y L ∈ V ∗ (dual de
V ) es decir es una forma lineal continua sobre V .
Discretizamos en la variable espacial para lo cual fijamos Nz y definimos hz ←− z0Nz
luego Zj = Z0 + j · hz de donde la malla tipo elementos finitos queda descrita por el
conjunto de nodos N = Zj | j = 0, 1, 2, · · · , Nz = Z0 = −z0, Z1, Z2, · · · , ZNz = 0 y el
conjunto de elementos T = Tj = [Zj, Zj+1] | j = 0, 1, · · · , Nz − 1 es decir
Figura 5.2: Discretizacion en la variable espacial
El proposito de este mallado es definir un conjunto de funciones ρk que estan destinados
a constituir una base de un subespacio de dimension finita del espacio V, luego definimos
ρr (Zj) =
1 si r = j,
0 si r 6= j.
Ademas ρr|Tj es una funcion lineal. Mas precisamente
ρj (z) |Tj = aTjj z + b
Tjj ,
ρj+1 (z) |Tj = aTjj+1z + b
Tjj+1,
Z0 = −z0 y Zj = −z0 + jhz,
hz = Zj+1 − Zj,
con lo que se tiene que
61
ρj (z) |Tj = −1hzz +
Zj+1
hz,
ρj+1 (z) |Tj = 1hzz +
−Zj
hz,[
ρj (z) |Tj]′
= −1hz
= aTjj ,[
ρj+1 (z) |Tj]′
= 1hz
= aTjj+1.
Formulacion aproximada
Sea VN = 〈ρ1, ρ2,··· ,ρNz−1〉 subespacio de dimension finita de V , dim (Vn) = Nz − 1
luego nuestra formulacion aproximada queda como Hallar h ∈ VN tal que
a(h, v)
= L(v) ∀v ∈ VN .
Como h ∈ VN entonces existen α1, α2, · · · , αNz−1 tal que
h =Nz−1∑i=1
αiρi ,
luego se tiene que el problema se transformo en el sistema de ecuaciones lineales Nz −
1×Nz − 1 siguiente:Hallar α1, α2, · · · , αNz−1 ∈ R tal queNz−1∑i=1
αia (ρi, ρj) = L (ρj) ∀j = 1, 2, · · · , Nz − 1,
es decir el problema Hallar −→α ∈ Rn tal que
A−→α =−→B
donde
A = (aij)Nz−1×Nz−1 con aij = a (ρi, ρj) ,−→B = (bj)Nz−1 con bj = L (ρj) ,
−→α = (αj)Nz−1 .
Y para nuestro problema de investigacion auk (ρi, ρj) y Luk (ρj) estan dadas por:
auk (ρi, ρj) =0∫−z0
[htD (uk)] [ρi]
′ [ρj]′ − [htR (uk)] [ρi]
′ [ρj]
+[htD
′ (uk) (uk)′] [ρi] [ρj]
′
62
+[1− htR′ (uk) (uk)
′] [ρi] [ρj]dz,
Luk (ρj) =0∫−z0
([htR (uk) (uk)
′ − (uk)]
[ρj]−[htD (uk) (uk)
′] [ρj]′
+ [uk−1 + htfk] [ρj]) dz.
Para construir las matrices A,−→B se usara el metodo de ensamblaje que consiste en
recorrer todos y cada uno de los elementos de la malla de 0 hasta Nz − 1 calculando
en ellos una matriz de orden 3 × 3 llamada submatriz de rigidez y que va a contener
las contribuciones de cada elemento para formar nuestra matriz final y el correspondiente
vector, uk permanece fijo. Por otra parte tome en cuenta que uk (z) =Nz−1∑i=1
αki ρi (z) entonces
uk (Zj) = αkj con αk =(αk1, α
k2, . . . , α
kNz−1
)y ademas la funcion uk (z) |Tj = αkjρj (z) |Tj +
αkj+1ρj+1 (z) |Tj . Consecuentemente(uk (z) |Tj
)′= αkj
(ρj (z) |Tj
)′+ αkj+1
(ρj+1 (z) |Tj
)′= αkj
[−1hz
]+ αkj+1
[1hz
]=
αkj+1−αk
j
hz,
Formula de integracion
Sean Zi, Zi+1 ∈ N = Zi | i = 0, 1, 2, · · · , Nz los nodos del elemento Ti ∈ T =
Ti = [Zi, Zi+1] | i = 0, 1, · · · , Nz − 1. La integral de una funcion continua f (x) en un
elemento Ti se expresa como:
∫Ti
f (x) dx =Zi+1∫Zi
f (x) dx = Zi+1−Zi
2[f (Zi+1) + f (Zi)] = hz
2[f (Zi+1) + f (Zi)] .
Sea uk la solucion de u correspondiente a la etapa k (o solucion de u al tiempo tk con
k = 1, 2, . . . , nt). Procederemos a calcular cada una de las integrales que aparecen en la
definicion de la matriz A y el vector−→B .
Calculo de la matriz A.
Analizaremos los cuatro casos posibles de la integral auk (ρi, ρj):
1. auk (ρi, ρi) |Ti =Zi+1∫Zi
[htD (uk (z) |T i)]
[(ρi (z) |T i)
′]2− [htR (uk (z) |T i)] [ρi (z) |T i]
′ [ρi (z) |T i]
+[htD
′ (uk (z) |T i) (uk (z) |T i)′] [ρi (z) |T i] [ρi (z) |T i]
′
+[1− htR′ (uk (z) |T i) (uk (z) |T i)
′] [ρi (z) |T i] [ρi (z) |T i]dz
' ht2hz
([D(αki+1
)+D
(αki)]−D′
(αki) (αki+1 − αki
))+ht
2
[R(αki)−R′
(αki) (αki+1 − αki
)]+ hz
2.
63
2. auk (ρi+1, ρi+1) |Ti =Zi+1∫Zi
[htD (uk (z) |T i)]
[(ρi+1 (z) |T i)
′]2− [htR (uk (z) |T i)] [ρi+1 (z) |T i]
′ [ρi+1 (z) |T i]
+[htD
′ (uk (z) |T i) (uk (z) |T i)′] [ρi+1 (z) |T i] [ρi+1 (z) |T i]
′
+[1− htR′ (uk (z) |T i) (uk (z) |T i)
′] [ρi+1 (z) |T i]2 dz
' ht2hz
([D(αki+1
)+D
(αki)]
+D′(αki+1
) (αki+1 − αki
))−ht
2
[R(αki+1
)+R′
(αki+1
) (αki+1 − αki
)]+ hz
2.
3. auk (ρi, ρi+1) |Ti =Zi+1∫Zi
[htD (uk (z) |T i)] [ρi (z) |T i]
′ [ρi+1 (z) |T i]′
− [htR (uk (z) |T i)] [ρi (z) |T i]′ [ρi+1 (z) |T i]
+[htD
′ (uk (z) |T i) (uk (z) |T i)′] [ρi (z) |T i] [ρi+1 (z) |T i]
′
+[1− htR′ (uk (z) |T i) (uk (z) |T i)
′] [ρi (z) |T i] [ρi+1 (z) |T i]dz
' ht2hz
(−[D(αki+1
)+D
(αki)]
+D′(αki) (αki+1 − αki
))+ht
2R(αki+1
).
4. auk (ρi+1, ρi) |Ti =Zi+1∫Zi
[htD (uk (z) |T i)] [ρi+1 (z) |T i]
′ [ρi (z) |T i]′
− [htR (uk (z) |T i)] [ρi+1 (z) |T i]′ [ρi (z) |T i]
+[htD
′ (uk (z) |T i) (uk (z) |T i)′] [ρi+1 (z) |T i] [ρi (z) |T i]
′
+[1− htR′ (uk (z) |Ti) (uk (z) |T i)
′] [ρi+1 (z) |T i] [ρi (z) |T i]dz
' − ht2hz
([D(αki+1
)+D
(αki)]
+D′(αki+1
) (αki+1 − αki
))−ht
2R(αki).
Calculo del vector−→B .
Analizaremos los dos casos posibles de la integral Luk (ρi):
1. Luk (ρi) |Ti =Zi+1∫Zi
([htR (uk (z) |T i) (uk (z) |T i)
′ − (uk (z) |T i)]
[ρi (z) |T i]
−[htD (uk (z) |T i) (uk (z) |T i)
′] [ρi (z) |T i]′
+ [uk−1 (z) |T i + htfk (z) |T i] [ρi (z) |T i]) dz
' ht2hz
[D(αki+1
)+D
(αki)] (
αki+1 − αki)
+ ht2R(αki) (αki+1 − αki
)−hz
2
[αki − uk−1 (Zi)− htfk (Zi)
].
2. Luk (ρi+1) |Ti =Zi+1∫Zi
([htR (uk (z) |T i) (uk (z) |T i)
′ − (uk (z) |T i)]
[ρi+1 (z) |T i]
−[htD (uk (z) |T i) (uk (z) |T i)
′] [ρi+1 (z) |T i]′
+ [uk−1 (z) |T i + htfk (z) |T i] [ρi+1 (z) |T i]) dz
64
' − ht2hz
[D(αki+1
)+D
(αki)] (
αki+1 − αki)
+ ht2R(αki+1
) (αki+1 − αki
)−
hz2
[αki+1 − uk−1 (Zi+1)− htfk (Zi+1)
].
De ahı que el algoritmo quedo como sigue:
ENTRADAS:
z0 > 0 (profundidad de simulacion)
nz (numero de divisiones para la discretizacion espacial)
T > 0 (tiempo de simulacion)
nt (numero de divisiones para la discretizacion temporal)
u (0, x) = u0 = g (x) (solucion inicial)
max I (numero maximo de iteraciones)
tol (precision con la que deseamos la solucion)
Funciones f(z, t), D (u) , R (u)
Derivadas D′ (u) , R′ (u)
Solucion exacta u(z, t)
PASOS
hz ← z0nz
ht ← Tnt
CH ← [ ] (matriz vacıa que contendra la solucion a nuestro problema)
PARA i = 0, 1, 2, ..., nz − 1
z ← −z0 + hz ∗ i
u0 (i, 1)← g (z)
FIN DEL PARA
CH ← [CH, u′0] (aquı pongo las soluciones)
PARA j = 1, 2, ..., nt (resuelvo los problemas estacionarios)
k ← 0
t← ht ∗ j
alfa← zeros (nz − 1, 1) (solucion inicial arbitraria)
h← unos (nz − 1, 1)
MIENTRAS ‖h‖ > tol & k < max I (metodo de Newton)
65
A← zeros (nz − 1, nz − 1)
B ← zeros (nz − 1, 1)
x0 ← −z0
x1 ← −z0 + hz
A (1, 1)← auk (ρ1, ρ1) |T0
B (1)← Luk (ρ1) |T0
PARA p = 1, 2, . . . , nz − 2
x0 ← x0 + hz
x1 ← x1 + hz
A (p, p)← A (p, p) + auk (ρp, ρp) |TpA (p+ 1, p+ 1)← A (p+ 1, p+ 1) + auk (ρp+1, ρp+1) |TpA (p, p+ 1)← A (p, p+ 1) + auk (ρp, ρp+1) |TpA (p+ 1, p)← A (p+ 1, p) + auk (ρp+1, ρp) |Tp
B (p)← B (p) + Luk (ρp) |TpB (p+ 1)← B (p+ 1) + Luk (ρp+1) |TpFIN DEL PARA
x0 ← −hzA (nz − 1, nz − 1)← A (nz − 1, nz − 1) + auk (ρnz−1, ρnz−1) |Tnz−1
B (nz − 1)← B (nz − 1) + Luk (ρnz−1) |Tnz−1
Calcular h = A−1B
alfa← alfa+ h
k = k + 1
FIN DEL MIENTRAS
u0 ← alfa
u0 (nz, 1)← 0
uk ← alfa
uk (nz, 1)← 0
CH ← [CH;u′k]
FIN DEL PARA
SALIDA:
66
CH (es el contenido de agua)
67
CAPITULO 6
PROGRAMA COMPUTACIONAL
Y
RESULTADOS NUMERICOS
6.1. RESUMEN
En este capıtulo implementamos el programa computacional que nos permite encontrar
la solucion de la ecuacion de Richards para suelos no saturados. Vamos a tomar un ejemplo
particular de la ecuacion de Richards, es decir fijamos todas las funciones involucradas
en el problema. Tomamos, una funcion u que cumpla con las condiciones de frontera y
condiciones iniciales y reemplazamos en la ecuacion para obtener una funcion f, con lo
cual hemos construido un ejemplo particular de ecuacion de Richards cuya solucion u se
conoce.
El programa fue hecho en Matlab para una dimension y en el tiempo e incluye dos
modulos: 1) Solucion numerica y 2) Solucion grafica.
6.2. INGRESO DE DATOS DEL SIMULADOR
El ingreso de datos se divide en tres partes:
1. Datos experimentales.
68
2. Datos del intervalo de tiempo.
3. Datos de la profundidad del suelo.
6.2.1. Datos experimentales
Nuestro simulador requiere que ingresemos las funciones D, k y u0 que suponemos
conocidas por lo que se supone que con los datos obtenidos tanto en el campo como en
el laboratorio se han construıdo tales funciones y su procesamiento se lo hace mediante el
uso de un evaluador de funciones ya existente.
6.2.2. Datos del tiempo
Ya que nuestro problema es evolutivo, tenemos que ingresar el intervalo de tiempo para
el cual queremos nuestra simulacion y nT > 0 el numero de divisiones para este intervalo.
Este intervalo debe ser de la forma [0, T ], con T > 0. El metodo es convergente cuando
∆t −→ 0, lo cual garantiza que
uaprox (t) −→t→0
u (t) .
La solucion numerica que aquı se presenta es la solucion al tiempo t = T .
6.2.3. Datos de la profundidad del suelo
Puesto que usaremos una malla homogenea, se requiere ingresar la longitud de la pro-
fundidad z0 > 0 y el numero de divisiones nz > 0 que queremos darle a esta profundidad.
Con esta informacion queda completamente definida la topologıa de la malla tipo elemen-
tos finitos.
6.3. PRESENTACION DE RESULTADOS
Los resultados se presentan en dos formas: numerica y grafica.
69
6.3.1. Resultados numericos
En las figuras 6.1 y 6.2 presentamos el contenido del archivo Solucion aproximada.xlsx
resultado de ejecutar el programa computacional RichardsNL.m que resuelve el problema
evolutivo de la prediccion del contenido de agua para suelos agrıcolasla. Se presenta las
soluciones aproximadas y exactas en los nodos de la malla para lo cual se ha usado un
problema cuya solucion se conoce. Para obtener la solucion aproximada hemos elegido
la conductividad hidraulica como k (u) = e−u2
y la capacidad especıfica del agua como
C (u) = 1, por lo que reducimos el coeficiente de difusividad a D (u) = k (u). Ademas
z0 = 2, nz = 60, T = 1,8, nt = 70, g (z) = −2z(z + 2), tol = 0,0001, max I = 2000 y
f (z, t) = x (x+ 2) + 2 (t− 2) e−z2(x+2)2(t−2)2
∗[(t− 2)2 (2x+ 2) (2x3 + 6x2 + 4x)
+x (x+ 2) (2x+ 2) (t− 2)− 1] .
La solucion exacta es u (z, t) = z (z + 2) (t− 2).
Figura 6.1: Solucion aproximada de u
70
Figura 6.2: Solucion exacta de u
Para mostrar la solucion grafica hemos ejecutado el programa computacional Ri-
chardsNL.m con los parametros de entrada indicados anteriormente con lo cual se des-
plegara una ventana con el grafico de la solucion numerica de u (contenido de agua) y
como es la distribucion de esta para la profundidad ingresada al tiempo t = T .
Juntas, la solucion numerica de u junto con la solucion grafica permitiran a los espe-
cialistas en el fenemeno modelado poder interpretar correctamente los resultados, disenar
medidas y tomar las decisiones necesarias.
6.3.2. Grafica de la solucion u
Al obtener la solucion numerica aproximada u que como hemos visto se reduce a
obtener la solucion de un sistema lineal de ecuaciones, estos valores corresponderan al
valor de la funcion u en cada uno de los nodos que forman la malla. Por tanto se grafica
en el espacio R2, cuyas coordenadas seran (Z0, uZ0) , . . . ,(Znz , uZnz
)donde uZ0 , . . . , uZnz
son las soluciones de la funcion u en los nodos Z0, . . . , Znz respectivamente, y como es
un problema evolutivo dicha funcion va cambiando en el tiempo. En las siguientes figuras
presentamos algunas pantallas del programa donde se puede apreciar esta evolucion.
71
Figura 6.3: Visualizacion de resultados en t = 0, 1
Figura 6.4: Visualizacion de resultados t = 0, 6
Figura 6.5: Visualizacion de resultados t = 1, 1
72
Figura 6.6: Visualizacion de resultados t = 1, 5
Figura 6.7: Visualizacion de resultados t = 1, 8
73
CAPITULO 7
CONCLUSIONES Y
RECOMENDACIONES
7.1. CONCLUSIONES
Es posible demostrar la existencia y unicidad de soluciones de la ecuacion de Richards
para el problema tipo parabolico cuando las funciones involucradas cumplen con
ciertas caracterısticas descritas en el capıtulo 5 seccion 2 de esta tesis.
El contenido de agua en el suelo utilizando este modelo de flujo de agua disminuye
conforme pasa el tiempo.
Cabe indicar que el artıculo que se presento no debe interpretarse como si fuese el
diseno completo. Mas bien, el objetivo es demostrar la forma en que los modelos
matematicos pueden ser puestos en practica.
La importancia de establecer modelos matematicos para este problema y especial-
mente el uso de la simulacion numerica radica en la necesidad cierta de evitar des-
perdiciar el agua a usarse y la frecuencia de restitucion al suelo, pues nos permite
tener una mejor idea de lo que esta pasando dentro de la zona de interes.
Para resolver numericamente la ecuacion de Richards reducida a su expresion unidi-
mensional (profundidad) mas su componete temporal usando el metodo de elemen-
74
tos finitos, se debe usar primeramente el metodo de diferencias finitas en la variable
temporal para lo cual se realiza una discretizacion en el tiempo luego se linealiza la
ecuacion resultante usando el metodo Newton para finalmente discretizar la variable
espacial y de esta manera se consigue el esquema numerico que posteriormente se
transforma en un programa computacional.
Para realizar pruebas con el simulador se uso un problema cuya solucion se conocıa
de antemano, con lo que se pudo determinar que la discretizacion temporal tambien
influye en la calidad de la solucion obtenida, pero ası mismo si es demasiado fina el
tiempo de calculo se puede hacer demasiado grande.
Una de las principales causas del tiempo que el computador demora en resolver la
ecuacion de Richards y ası mismo fuente de errores numericos es la solucion del
sistema de ecuaciones.
Dado lo informal del procedimiento de prueba, el programa computacional presen-
tado solo puede considerarse como un programa en su etapa inicial.
7.2. RECOMENDACIONES
Debido a la importancia del problema de predecir el contenido de agua en suelos
agrıcolas se recomienda realizar un estudio mas profundo en espacios funcionales
mas generales.
Se recomienda realizar un estudio mas profundo para predecir el contenido de agua
sujeta a condiciones de frontera de Dirichlet no homogeneas, dado la generalizacion
del problema.
Se recomienda extender los alcances del modelo matematico y ajustarlo de ser ne-
cesario para que tenga en cuenta los efectos asociados al flujo de agua en medios
porosos, por ejemplo, la anisotropıa de los suelos.
A fin de acortar el tiempo de ejecucion de la simulacion se recomienda investigar
sobre nuevos metodos numericos de resolucion de grandes sistemas de ecuaciones
75
lineales ası como mejorar los existentes .
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