UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Soluciones de juegos:conceptos de dominación

Rafael Salas febrero de 2013

Soluciones de los juegos

• Se trata de predecir lo que los jugadores racionales van a hacer, descentralizadamente:• Proceso de optimización• Compatibilidad entre estrategias

• SOLUCIÓN DE UN JUEGO: perfiles de estrategias óptimos y compatibles

Tipos de soluciones

• Los basados en principios de dominación• Los basados en conceptos de equilibrio

• Existen conexiones entre ambos tipos de solución

Principios de dominación I

• (I) Principio de dominancia estricta• Un jugador nunca juega estrategias estrictamente

dominadas

• NOTACIÓN PREVIA

• Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.

• Dado un perfil de estrategias s=(s1,...,sn) S=S1xS2x...xSn • donde s1S1,..., snSn

• Simplificadamente denominamos s=(si,s-i) S• Nótese que s-i=(s1,...,si-1, si+1 ,...,sn) S-i

Estrategias estrictamente dominadas

• DEFINICIÓN

• Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.

• si es una estrategia estrictamente dominada para el jugador i

si existe otra s’i tal que

Ui(s’i,s-i) > Ui(si,s-i), s-i S-i

Es razonable que no use si, pues puede aumentar su utilidad independientemente de lo que haga el resto

4. Dilema de los presos

.

JUG 2

JUG 12

CA CO

CA

CO 1

0

4

2 4

0 1

En rojo, estrategias estrictamente dominadas

Estrategias estrictamente dominante

• DEFINICIÓN

• Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.

• s’i es una estrategia estrictamente dominante para el

jugador i si Ui(s’i,s-i) > Ui(si,s-i), si s’i Si s-i S-i

Nos da paso a una primera solución...

4. Dilema de los presos

.

JUG 2

JUG 12

CA CO

CA

CO 1

0

4

2 4

0 1

En azul, estrategias estrictamente dominantes

Equilibrio en estrategias estrictamente dominantes EEED

• SOLUCIÓN: Equilibrio en estrategias estrictamente dominantes EEED

• (si*,s-i

*) es un EEED si y sólo si

Ui(si*,s-i) > Ui(si,s-i), si si

* Si, s-i S-i, i

Es decir si y sólo si (si*,s-i

*) son estrategias estrictamente dominantes

4. Dilema de los presos

.

JUG 2

JUG 12

CA CO

CA

CO 1

0

4

2 4

0 1

4bis. Oligopolio

.

JUG 2

JUG 1

1000 , 1000

A B

A

B 600 , 600

-200 , 1200

1200 , -200

4bis. Oligopolio

.

JUG 2

JUG 11000

A B

A

B 600

-200

1200

1000 1200

-200 600

Ejemplo 5: Halcón-paloma

.

JUG 2

JUG 12-k

H P

H

P

2

4

0

2-k 0

4 2

Para k<2

Ejemplo 9: Empresas rivales

.

JUG 2

JUG 140

L NL

L

NL

-50

100

-50

40 -50

100 -50

Propiedades del EEED

• Si existe, es único• Puede que no exista

• Ejemplo 5 con k 2

• Ejemplo10: Jugador 1 tiene dos estrategias puras {s1, s2 } y el jugador 2 tiene tres {t1, t2, t3}. Si U1(si, tj)= ij y U2(si, tj)= (i-2)(j-2) Binmore, p. 131

• Si existe es muy potente, requiere muy poca información. Por contrapartida es muy restrictivo

Ejemplo 10: no EEED

.

JUG 2

JUG 11

j=1 j=2

i=1

i=24

2

2

1 0

0 0

j=3

3-1

60

Principios de dominación II

• (II) Principio de dominancia débil• Un jugador nunca juega estrategias débil dominadas

Estrategias débilmente dominadas

• DEFINICIÓN

• Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.

• si es una estrategia débilmente dominada para el jugador i

si existe otra s’i tal que

Ui(s’i,s-i) Ui(si,s-i), s-i S-i

En ese caso decimos que s’i domina débilmente a si

El jugador no usará si

Estrategias débilmente dominante

• DEFINICIÓN

• Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.

• s’i es una estrategia débil dominante para el jugador i si

Ui(s’i,s-i) Ui(si,s-i), si Si s-i S-i

Nos da paso a una nueva solución...

Equilibrio en estrategias débilmente dominantes EEDD

• SOLUCIÓN: Equilibrio en estrategias débilmente dominantes EEDD

• (si*,s-i

*) es un EEDD si y sólo si

Ui(si*,s-i) ≥ Ui(si,s-i), si si

* Si, s-i S-i, i

Es decir si y sólo si (si*,s-i

*) son estrategias débilmente dominantes

Ejemplo 10: EEDD

.

JUG 2

JUG 11

j=1 j=2

i=1

i=24

2

2

1 0

0 0

j=3

3-1

60

Ejemplo 11: EEDD múltiple

.

JUG 2

JUG 11

L R

L

R

0

0

1

1 1

0 0

Propiedades del EEDD

• De existir, puede ser múltiple (Ejemplo 11)• Puede que no exista

• Ejemplo 5 con k > 2• Ejemplo 10 ampliado a más estrategias• Ejemplo 1 Batalla de los sexos• Ejemplo 2 Juego de las monedas• Ejemplo 3

• Sigue siendo muy restrictivo y por tanto impreciso (aunque menos que EEED).

• EEED (si existe) implica EEDD (Ejemplo 4, 5 k<2, 9)• EEDD (si existe) no implica EEED (Ejemplo 10)

• No obstante, requiere muy poca información.

Principios de dominación III

• (III) Principio de eliminación iterativa estricta• Un jugador nunca juega estrategias estrictamente

dominadas• Todos los jugadores lo saben• Se pueden eliminar

• Da lugar a un nuevo concepto de equilibrio más general que el EEED, pero con una racionalidad aceptable...

Solución:

• Equilibrio por eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas EEIEED

• El orden de eliminación no influye en el resultado• Si existe, es único• Es más general que EEED, pero no que EEDD

Ejemplo 12: no EEED ni EEDD, pero si EEIEED

.

JUG 2

JUG 11

I C

A

B0

1

0

0 2

3 1

D

01

20

Ejemplo 13: no EEED ni EEDD, pero si EEIEED

.

JUG 2

JUG 10

I D

A

B 8

4

20

2 100

40 0

4. Dilema de los presos EEED y EEIEED

.

JUG 2

JUG 12

CA CO

CA

CO 1

0

4

2 4

0 1

Ejemplo 10: EEDD y no EEIEED

.

JUG 2

JUG 11

t1 t2

s1

s24

2

2

1 0

0 0

t3

3-1

60

Principios de dominación IV

• (IV) Principio de eliminación iterativa débil• Un jugador nunca juega estrategias débilmente

dominadas• Todos los jugadores lo saben• Se pueden eliminar (todas las existentes en cada fase)

• Da lugar a un nuevo concepto de equilibrio más general todos los anteriores, pero con una racionalidad dudosa...

Solución:

• Equilibrio por eliminación iterativa de estrategias débilmente dominadas EEIEDD

• El orden de eliminación si influye en el resultado (para evitarlo quitamos todas las estrategias débilmente dominadas en cada fase)

• Puede ser múltiple• Es más general que EEED, EEDD y que EEIEED

Ejemplo 14: no EEED ni EEDD, ni EEIEED, pero si EEIEDD

.

JUG 2

JUG 12

A B

A

B 0

3

3

5 4

3 3

Práctica: soluciona el siguiente ejemplo 15 con los conceptos de equilibrio vistos.

.

JUG 1

JUG 2-1

H T

H

T-1

1

1

1 -1

-1 1

O

13

12

Práctica: soluciona el siguiente ejemplo 16 con los conceptos de equilibrio vistos.

.

JUG 2

JUG 110

I M

U

D5

5

10

0 1

1 0

D

4-2

1-1

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Soluciones de juegos:conceptos de dominación

Rafael Salas febrero de 2013