Universidad de Granada Universidad de Sevillagigda.ugr.es/digap/data/uploads/...de la Universidad de Sevilla. Desde que abrió sus puertas en el año 2013, aúna, en unas modernas

Proceedings ofXI EncuentroAndaluz deGeometr a

Universidad de GranadaUniversidad de Sevilla

ISBN: 978-84-15873-71-6

D.L

. GR

151

6-20

17

XI Encuentro Andaluz de Geometría

15 de mayo de 2015

Universidad de Sevilla:

Facultad de Matemáticas

CRAI Antonio de Ulloa

IMUS


© Autores:

Alfonso CarriazoDaniel de la FuenteMª Carmen MárquezAlfonso Romero

I.S.B.N.:978-84-17293-09-3Depósito Legal: GR-1516-2017

Edita e Imprime: Godel Impresiones Digitales SL.

Este volumen está dedicado a la �guradel Prof. Ceferino Ruiz Garrido. Con él, ungrupo de sus compañeros y amigos hemosquerido rendirle homenaje de la mejorforma que sabemos: exponiendo laboresde investigación en las que ha estadodirectamente involucrado y contribucionesde aquellos que han estado cercanos a élpersonal y profesionalmente.

A todos los que han colaborado en estelibro, nuestro sincero agradecimiento.

Granada, noviembre de 2017

Alfonso CarriazoDaniel de la Fuente

Ma Carmen MárquezAlfonso Romero

Prólogo

El día 23 de abril del año 2003 tuvo lugar en Antequera (Málaga) un encuen-tro cientí�co de los grupos de investigación FQM-324 y FQM-327 de la Junta deAndalucía. Éste fue fruto de la iniciativa y la dedicación personales del ProfesorCeferino Ruiz Garrido. De manera entusiasta nos contagió a muchos en estaempresa y tras solicitar una acción coordinada, que naturalmente se concedió,nos reunimos diez geómetras de ambos grupos para intercambiar, en formatode charlas cortas, nuestra investigación en aquella época. Todos salimos muysatisfechos y Ceferino nos propuso dos cosas para el futuro: en primer lugar vol-vernos a reunir el curso siguiente y en segundo ampliar la asistencia a jóvenesinvestigadores, con la intención de que este foro tuviera una cierta periodicidady que en él, los jóvenes tuvieran su primera experiencia en reuniones cientí�cas;eso sí, en un ambiente acogedor y relajado para que ellos fueran cogiendo lastablas necesarias antes de intervenir como ponentes en un evento internacional.Así, nos volvimos a reunir en Carmona (Sevilla) el 24 de septiembre de 2003.Desde entonces han sido once los encuentros (además de estos dos, en Málaga,Granada, Ronda, Nerja, Loja, Jaén, Córdoba, Osuna y Sevilla), internacionali-zándose sus participantes y contando con un número notable de investigadorespredoctorales. El último, del que ahora se presentan sus actas, se celebró en laFacultad de Matemáticas, en el IMUS y en el CRAI Antonio de Ulloa de laUniversidad de Sevilla el 15 de mayo de 2015, y contó con la participación de 32investigadores de 8 universidades y 3 países, de ellos 13 jóvenes en formación.

La creación del Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (IMUS)fue aprobada por el Consejo de Gobierno de la Junta de Andalucía en el año2007, adoptando el nombre del impulsor de los estudios de Matemáticas en dichaUniversidad, el Profesor Antonio de Castro Brzezicki. Por lo tanto, en el mo-mento de escribir estas líneas se cumple el décimo aniversario de este Instituto,cuya misión es la de coordinar y apoyar a los distintos grupos de investiga-ción en matemáticas de la Universidad de Sevilla, fomentando la colaboraciónentre ellos y con otros grupos nacionales e internacionales, así como con otrossectores de la sociedad. Para ello, organiza un buen número de actividades deinvestigación, además de coordinar el Programa de Doctorado en Matemáticasde la Universidad de Sevilla. Coincidiendo con este décimo aniversario, se ha�rmado la creación del Instituto Andaluz de Matemáticas, un proyecto ilusio-nante y prometedor, que se aborda en estrecha colaboración con el Instituto deMatemáticas de la Universidad de Granada (IEMATH-GR).

Por otra parte, el Centro de Recursos para el Aprendizaje y la Investigación(CRAI) Antonio de Ulloa, es un centro ubicado en el campus de Reina Mercedes

de la Universidad de Sevilla. Desde que abrió sus puertas en el año 2013, aúna,en unas modernas instalaciones, servicios y salas de biblioteca, aulas de docen-cia TIC, salas de trabajo en grupo, salas de videoconferencias y un laboratoriomultimedia, prestando un servicio integrado e innovador a la comunidad univer-sitaria. Su nombre rinde homenaje a la �gura del navegante y cientí�co sevillanodel siglo XVIII Antonio de Ulloa, célebre, entre otras cosas, por participar en lamisión geodésica francesa (junto con su amigo y compañero Jorge Juan), cuya�nalidad era la de medir el arco de un meridiano terrestre en las proximidadesde Quito (Ecuador). Además, fue el descubridor del platino y escribió diversasobras cientí�cas y sobre sus viajes, destacando las Noticias Secretas de América.

Este encuentro cuyas actas presentamos se inauguró en la Facultad de Ma-temáticas, contando con la presencia de su Decano, el Profesor Antonio BeatoMoreno, a quien queremos agradecer su cálida acogida. Tras concluir la sesiónmatinal en dicha facultad, se realizó una visita a las instalaciones del IMUS,guiada por su Director, el Profesor Tomás Chacón Rebollo, a quien tambiénagradecemos su amabilidad. La sesión vespertina se desarrolló en el CRAI An-tonio de Ulloa, comenzando asimismo con una visita al edi�cio, conducida porsu Director, el Profesor Alfonso Carriazo Rubio, uno de los organizadores de esteXI Encuentro Andaluz de Geometría. Como en todos los encuentros anteriores,las sesiones se desarrollaron en un clima de máxima cordialidad, mostrando unamplio panorama de la investigación de los grupos participantes, y con nume-rosas intervenciones de jóvenes investigadores.

De la elección del emplazamiento de cada encuentro, siempre con una impor-tancia cultural e histórica subordinada, y de su organización a todos los niveles,se encargó Ceferino. Ahora, en el momento en que acaba su vida laboral uni-versitaria, quisiéramos rendir el sencillo homenaje de dedicarle estas actas comomuestra del profundo agradecimiento de todos los que hemos ido participandoen estos encuentros a lo largo de los 13 años en los que han discurrido. Estamosseguros de que la iniciativa de Ceferino va a tener continuación (tras este periodode varios años de penuria presupuestaria) y de que él participará como invitadoen alguna de estas futuras reuniones. En nombre de todos, muchas gracias.

Los editores quieren agradecer a los Departamentos de Geometría y Topo-logía de las Universidades de Granada y Sevilla el apoyo prestado y al profesorMiguel Ortega Titos su ayuda en temas de formato e implementación en LaTex.

Alfonso CarriazoDaniel de la Fuente

Ma Carmen MárquezAlfonso Romero

Participantes

1. Luis A. Aké(Univ. Málaga)

2. Gülhan Ayar

(Univ. Sevilla yDüzce Univ., Turkey )

3. Joaquín Barrera

(Univ. Sevilla)

4. Jesús A. Bueno(Univ. Granada)

5. José L. Cabrerizo(Univ. Sevilla)

6. Antonio Cañete

(Univ. Sevilla)

7. Alfonso Carriazo

(Univ. Sevilla)

8. Nastassja Cipriani

(Univ. País Vasco yKU Leuven, Belgium)

9. Cristina Draper

(Univ. Málaga)

10. José M. Escobar

(Univ. Sevilla)

11. Luis M. Fernández

(Univ. Sevilla)

12. Manuel Fernández

(Univ. Sevilla)

13. Daniel de la Fuente

(Univ. Granada)

14. Alejandro García

(Univ. Sevilla)

15. Manuel Gutiérrez

(Univ. Málaga)

16. Ana M. Lerma

(Univ. Jaén)

17. M. Carmen Márquez

(Univ. Sevilla)

18. Verónica Martín

(Univ. Sevilla)

19. Pablo Morales

(Univ. Granada)

20. Juan Núñez

(Univ. Sevilla)

21. Benjamín Olea

(Univ. Málaga)

22. Miguel Ortega

(Univ. Granada)

23. Francisco J. Palomo

(Univ. Málaga)

24. Pedro Pérez

(Univ. Sevilla)

25. Alfonso Romero

(Univ. Granada)

26. Rafael M. Rubio

(Univ. Córdoba)

27. Ceferino Ruiz

(Univ. Granada)

28. Ignacio Sánchez

(Univ. Granada)

29. José A. Sánchez(Univ. Granada)

30. Miguel Sánchez

(Univ. Granada)

31. Víctor Sanmartín

(Univ. Santiago de Compostela)

32. José M. M. Senovilla

(Univ. País Vasco)

Índice de contribuciones

Antonio Bueno.

Diferenciales cuadráticas holomorfas en super�cies lineales de Weingar-ten elípticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Manuel Gutiérrez, Benjamín Olea.

Totally umbilic null hypersurfaces in generalized Robertson-Walker spaces 23

Daniel de la Fuente.

The uniformly accelerated motion in General Relativity from a geometricpoint of view . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Alejandro G. Bedoya, Alfonso Carriazo, M. Carmen Márquez.

Una aproximación geométrica a la aerodinámica de curvas y super�cies 35

Víctor Sanmartín López.

Hipersuper�cies isoparamétricas en el espacio hiperbólico complejo CHn 41

Luis Aké, José Luis Flores, Jónatan Herrera.

Causal properties of doubly warped spacetimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

José María Escobar, Juan Núñez, Pedro Pérez-Fernández.

Contractions of certain Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Ildefonso Castro, Ana M. Lerma.

Lagrangian translators under mean curvature �ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


IMUS (Universidad de Sevilla), 15 de mayo de 2015, págs. 15�21

Diferenciales cuadráticas holomorfas en super�cieslineales de Weingarten elípticas

Antonio Bueno

Resumen. En este trabajo de�nimos una diferencial de Hopf para super�cieslineales de Weingarten que además satisfacen una relación de tipo elíptico alser vistas como grafo sobre sus planos tangentes. Como consecuencia damos unteorema de unicidad de tipo Hopf.

1. Introducción

Una de las herramientas más útiles en el estudio de propiedades globales desuper�cies es asignarles datos holomorfos, poniendo de mani�esto la conexiónentre el Análisis Complejo y la Geometría Diferencial.

En 1955 Hopf [2] demostró que la complexi�cación de la parte sin trazade la segunda forma fundamental de una super�cie inmersa M de curvaturamedia constante en R3, es una diferencial cuadrática holomorfa globalmentede�nida sobre M . Este resultado es consecuencia de la ecuación de Codazzi, yla demostración es análoga en S3 y H3.

Como corolario inmediato, la única esfera topológica de curvatura mediaconstante en cualquier espacio modelo tridimensional es una esfera totalmenteumbilical, ya que la diferencial de Hopf se anula sobre puntos umbilicales, y esbien sabido que sobre la esfera de Riemann no existen diferenciales cuadráticasholomorfas no nulas.

En la literatura se suele llamar 'diferencial de tipo Hopf' a cualquier dife-rencial cuadrática holomorfa de�nida geométricamente sobre una super�cie, y'teorema de tipo Hopf' a cualquier resultado de unicidad para esferas topológicasinmersas dentro de una cierta clase de super�cies.

Las super�cies con las que vamos a trabajar son las super�cies lineales deWeingarten. Una super�cie se dice lineal de Weingarten si su curvatura mediaH y su curvatura de Gauss K satisfacen una relación de la forma

α+ 2βH + γK = 0, α, β, γ ∈ R. (1)

Antonio Bueno, [email protected]

16 A. Bueno

Si γ = 0 (resp. β = 0), entonces recuperamos las super�cies de curvaturamedia constante (resp. de curvatura de Gauss constante).

Nuestro objetivo en esta sección es asignar a una familia de super�cies dentrode las lineales de Weingarten, las de tipo elíptico, una diferencial cuadráticaholomorfa.

2. Super�cies lineales de Weingarten de tipo elíp-

tico

En adelante M será una super�cie lineal de Weingarten inmersa en R3. Seap ∈ M . Entonces podemos escribir localmente alrededor de p la super�cie Mcomo un grafo sobre el plano afín tangente a p en M , p+ TpM . Tal grafo vienedada por una cierta función diferenciable f de�nida en un entorno de p enp+ TpM .

Lema 2.1. SeaM super�cie lineal de Weingarten en R3, y sea p ∈M . Entoncesalrededor de p, donde M se escribe como el grafo de una cierta función f , lacondición (1) se escribe como la siguiente EDP para la función f :

αW 2+2βW12

((1 + f2x)fyy − 2fxfyfxy + (1 + f2y )fxx

)+γ(fxxfyy−f2xy) = 0 (2)

donde W = 1 + f2x + f2y .

Dada una EDP podemos de�nir su comportamiento en elíptico, parabólicoe hiperbólico de la siguiente forma:

De�nición 2.1. Sea u = u(x, y) una función que satisface una EDP de laforma

F (x, y, u, ux, uy, uxx, uyy, uxy) = 0,

donde F es de clase C1.Llamemos r, s, t a uxx, uxy, uyy respectivamente. Entonces

i) La EDP se dice elíptica si FrFt − 14F

2s > 0

ii) La EDP se dice parabólica si FrFt − 14F

2s = 0

iii) La EDP se dice hiperbólica si FrFt − 14F

2s < 0.

Como (2) es una EDP para la función f , podemos estudiar su carácter porla de�nición anterior. Siguiendo la misma notación,

FrFt −1

4F 2s = W 2(β2 − αγ).

Diferenciales holomorfas en super�cies lineales de Weingarten elípticas 17

De�nición 2.2. Sea M una super�cie lineal de Weingarten. Entonces,

i) M se dice de tipo elíptico si β2 − αγ > 0

ii) M se dice de tipo parabólico si β2 − αγ = 0

iii) M se dice de tipo hiperbólico si β2 − αγ < 0

2.1. Traslado paralelo en super�cies lineales de Weingar-

ten de tipo elíptico

SeaM una super�cie lineal de Weingarten de tipo elíptico en R3. Dado t ∈ R,llamamos traslado paralelo de M a la super�cie dada por

Mt = M + tη,

donde η : M → S2 es una aplicación de Gauss para M .Es inmediato comprobar que si M satisface la ecuación (1), entonces Mt

satisface

α+ 2(β + αt)Ht + (γ + 2βt+ αt2)Kt = 0,

donde Ht yKt son, respectivamente, la curvatura media y la curvatura de Gaussde Mt. A Mt la llamaremos super�cie paralela a M a distancia t.

Proposición 2.1. Sea Muna super�cie lineal de Weingarten de tipo elípticoen R3. Entonces existe t ∈ R tal que la super�cie paralela Mt tiene curvaturamedia constante.

Demostración. Para que Mt tenga curvatura media constante hay que imponerque el coe�ciente que acompaña a Kt valga cero. Esto se tiene para el siguientevalor de t:

t =−β ±

√β2 − αγα

, si α 6= 0, t =−γ2β

, si α = 0.

La curvatura media de la super�cie paralela es

Ht =−α

2(β + αt), si α 6= 0, Ht = 0, si α = 0.

2

El traslado paralelo además relaciona las formas fundamentales de M y Mt

de la siguiente forma:

18 A. Bueno

Proposición 2.2. Sea M una super�cie inmersa en R3. Llamemos I, II a suprimera y segunda forma fundamental respectivamente. Si Mt es una super�cieparalela a distancia t entonces se cumple

It = (1− t2K)I + 2t(Ht− 1)II,

IIt = tKI + (1− 2Ht)II.

Demostración. La aplicación que lleva M en Mt es φ : p 7−→ p+ tηp.Dados u, v vectores tangentes en un punto aM , la primera forma fundamen-

tal It de Mt viene dada por

〈dφ(u), dφ(v)〉 = 〈u+ tdη(u), v + tdη(v)〉 =

= 〈u, v〉+ 2t〈dη(u), v〉+ t2〈dη(u), dη(v)〉 =

= I(u, v)− 2tII(u, v) + t2III(u, v) =

= I(u, v)− 2tII(u, v) + t2(2HII(u, v)−KI(u, v)) =

= (1− t2K)I(u, v) + 2t(Ht− 1)II(u, v).

De forma similar, IIt viene dada por

IIt(u, v) = −〈dφ(u), dηt(v)〉 = −〈u, dη(v)〉 − t〈dη(u), dη(v)〉 =

= II − t(2HII −KI) = tKI + (1− 2Ht)II.

2

Lo interesante es que podemos obtener información de I, II a partir de It, IItpara cada super�cie paralalela Mt

Proposición 2.3. SeaM una super�cie en R3, y seaMt una super�cie paralelaa distancia t. Entonces I, II vienen dadas en función de It, IIt por

I =1

1− 2tH + t2K((1− 2Ht)It − 2t(Ht− 1)IIt) ,

II =1

1− 2tH + t2K

(−tKIt + (1− t2K)IIt

).

Nótese que el denominador 1− 2tH + t2K nunca puede ser cero, ya que esacondición, junto con la relación (1) daría que tanto H como K son constantes enM ; ésto solo es posible si M es un abierto de un plano, una esfera o un cilindro,los cuales son casos triviales.


3. Estructuras conformes y datos holomorfos

Dado que se satisface

I =1

1− 2tH + t2K

((1− 2Ht)It − 2t(Ht− 1)IIt

)=

1

1− 2tH + t2Kσt

y I es una métrica Riemanniana, entonces σt es una métrica Riemanniana con-forme a I. Como consecuencia, si z es una coordenada holomorfa para I, lo serátambién para σt.

Si M es una super�cie de curvatura media constante y z es una coordenadaholomorfa para I, entonces I(2,0) = 0 y por tanto se tiene

I(2,0)t =

2t(Ht− 1)

1− 2HtII

(2,0)t

Si ahora calculamos II(2,0), usando la relación anterior y simpli�cando, lle-gamos a

II(2,0) =1

1− 2HtII

(2,0)t . (3)

Nota. Si 1− 2Ht = 0 entonces II(2,0)t = 0 y lo que se tiene es que z es unacoordenada holomorfa para II(2,0)t . En tal caso, siguiendo el mismo argumentoa desarrollar, la diferencial I(2,0)t dz2 es holomorfa para la métrica inducida porla segunda forma fundamental.

Así pues hemos llegado al siguiente resultado:

Teorema 3.1. Sea M una super�cie de curvatura media constante H y sea Mt

una super�cie paralela a distancia t. Entonces se tiene que II(2,0)t dz2 es una

diferencial cuadrática holomorfa para la estructura conforme inducida por σt.

Demostración. Como M tiene H ≡ cte la ecuación de Codazzi implica queII(2,0) es una diferencial cuadrática holomorfa, y por tanto II(2,0)t es tambiéndiferencial cuadrática holomorfa. 2

En el caso en que M tenga curvatura media constante, la métrica σt en lasuper�cie paralela Mt es combinación lineal con coe�cientes constantes de suprimera y segunda forma fundamental.

Vamos a aplicar todo esto a nuestra super�cie lineal de Weingarten elíptica.

Teorema 3.2. Sea M una super�cie lineal de Weingarten elíptica. Considera-mos la métrica

σ = βI + γII

y sea z un parámetro conforme para tal métrica. Entonces, para esta estructuraconforme inducida, II(2,0)dz2 es una diferencial cuadrática holomorfa.

20 A. Bueno

Demostración. Sabemos que existe un cierto t tal que, al trasladar M a unadistancia t, obtenemos una super�cie, M0, de curvatura media constante H.Supongamos que α 6= 0, ya que el otro caso es análogo.

Arrancamos entonces de esta super�cie de curvatura media constante. Paravolver a nuestra super�cie lineal de Weingarten elíptica, tendremos que trasladarel opuesto del valor t. Para este caso, tal t vale

t =β ∓

√β2 − αγα

.

Si sustituímos en las expresiones 1− 2Ht y −2t(Ht− 1) obtenemos

1− 2Ht =β

±√β2 − αγ

, −2t(Ht− 1) =γ

±√β2 − αγ

.

Es decir, la métrica σt es exactamente la métrica (salvo la raíz cuadrada)

βIt + γIIt.

Por tanto, en vista del teorema 3.1 y llamando It = I, IIt = II a la primeray segunda forma fundamental de M respectivamente, obtenemos que II(2,0)dz2

es una diferencial cuadrática holomorfa con respecto a la estructura conformeinducida por σ sobre la super�cie lineal de Weingarten M inical.

2

Como corolario tenemos el siguiente teorema de tipo Hopf para esferas li-neales de Weingarten

Teorema 3.3. Sea M una esfera topológica inmersa en R3 que satisface unarelación lineal de Weingarten de tipo elíptico. Entonces, M es una esfera umbi-lical.

Demostración. De�nimos la métrica σ = βI + γII. Para la estructura conformeinducida por σ sabemos que la diferencial de Hopf II(2,0)dz2 es una diferencialcuadrática holomorfa que se anula en puntos umbilicales.

Pero sobre una esfera topológica no existen diferenciales cuadráticas holo-morfas salvo las idénticamente nulas, como consecuencia del teorema de Liou-ville. Por tanto, M es una esfera totalmente umbilical. 2

Agradecimientos

Parcialmente �nanciado por MTM2013-43970-P.


Referencias

[1] J.A. Gálvez, A. Martínez, F. Milán, Linear Weingarten surfaces in R3.Monatsh. Math. 138 (2003), 133�144.

[2] H. Hopf, Di�erential geometry in the large. Lecture Notes in Mathematics,1000. Springer-Verlag, Berlin, 1983.

[3] J. Weingarten, Uber eine Klasse auf einander abwickelbarer Flachen. J.Reigen Angew. Math. 59 (1861), 382�393.



Totally umbilic null hypersurfaces in generalizedRobertson-Walker spaces

Manuel Gutiérrez • Benjamín Olea

Abstract. Using a correspondence between totally umbilic null hypersurfacesin generalized Robertson-Walker spaces and twisted decompositions of the �-bre we show that nullcones are the unique totally umbilic null hypersurfacesin the closed Friedmann Cosmological model and a uniqueness result for dualpairs of totally umbilic null hypersurfaces in Reissner-Nordström and De Sitter-Schwarzschild spacetimes.

1. Introduction

A hypersurface L in a n-dimensional Lorentzian manifold is null if the indu-ced metric tensor on it is degenerate. In this case, for each point in L there is aunique null direction which is orthogonal to L itself and, under time-orientabilityassumption, we can suppose that it is generated by a null vector �eld ξ ∈ X(L).Moreover, tangent vectors to L non-proportional to ξ are spacelike.

The null second fundamental form of L is de�ned as B(v, w) = −g(∇vξ, w)

for all v, w ∈ TL and the null mean curvature as H =∑n−3i=1 B(ei, ei) being

{e1, . . . , en−2} orthonormal spacelike vectors in TL. If B = ag, where necessa-rily a = H

n−2 , then it is said that L is totally umbilic and if B = 0 it is totallygeodesic. The null second fundamental form and the null mean curvature de-pend on the choosen null vector �eld, but being totally umbilic or geodesic isindependent of any election.

If the ambient Lorentzian manifold is a generalized Robertson-Walker spa-ce(I × F,−dt2 + f(t)2gF

), denoted I ×f F , we choose ξ ∈ X(L) such that

g(ξ, f∂t) = 1. Since f∂t is closed and conformal, it is easy to check that in thiscase ξ is geodesic and ∇vξ ∈ TL ∩ ∂⊥t for all v ∈ TL. Using this fact, it can beproven the following.

Proposition 1.1. Let γ be a null geodesic in a GRW space. Suppose that γ iscontained in a totally umbilic nullcone. If there exists a conjugate point of γ(0)along γ, then it has maximum multiplicity.

Manuel Gutiérrez, [email protected]

Departamento de Álgebra, Geometría y Topología, Universidad de Málaga.Benjamín Olea, [email protected]

Departamento de Matemática Aplicada, Universidad de Málaga.

24 M. Gutiérrez, B. Olea

This result has been generelarized to any Lorentzian manifold using riggingtechniques, [2].

Locally, any null hypersurface in a GRW space can be expressed as thegraph of a function. Indeed, if we call π : I ×f F → F and T : I ×f F → Ithe canonical projections, then π : L → F is a local di�eomorphism and thus,locally, L coincides with the graph of the function given by h = T ◦π−1 : θ → I,where θ ⊂ F . In the case of a nullcone, we can give an explicit description.

Proposition 1.2. Let I ×f F be a GRW space and �x p∗ = (t∗, x∗) ∈ I ×F . IfΘ is a normal neighborhood of p∗, then the local nullcones at p∗ are given by

C+p∗ = {(t, x) ∈ Θ :

∫ t

t∗

1

f(r)dr = dF (x∗, x)},

C−p∗ = {(t, x) ∈ Θ :

∫ t∗

t

1

f(r)dr = dF (x∗, x)},

being dF the Riemannian distance in F .

2. Main result

We will use the following result to deduce the applications to the closedFriedmann model, Reissner-Nordström and De Sitter-Schwarzschild spacetimes.

Theorem 2.1 ([1]). Let I ×f F be a GRW space. If L is a totally umbilic nullhypersurface, then for each (t0, x0) ∈ L there exists a decomposition of F in aneighborhood of x0 as a twisted product with one dimensional base(

J × S, ds2 + µ(s, z)2gS),

where x0 is identi�ed with (0, z0) for some z0 ∈ S and L is given by

{(t, s, z) ∈ I × J × S : s =

∫ t

t0

1

f(r)dr}.

Moreover, if H is the null mean curvature of L, then

µ(s, z) =f(t0)

f(t)exp

(∫ s

0

H(t, r, z)f(t)2

n− 2dr

)for all (t, s, z) ∈ L.

Conversely, if F admits a twisted decomposition in a neighborhood of x0 asabove, then L = {(t, s, z) ∈ I × J × S : s =

∫ tt0

1f(r)dr} is a totally umbilic null

hypersurface with null mean curvature

H =n− 2

f(t)2

(f ′(t) +

µs(s, z)

µ(s, z)

).

Totally umbilic null hypersurfaces in GRW spaces 25

For each point (t0, x0) ∈ L we can construct another totally umbilic nullhypersurface, which we denote L(t0,x0) and we call it the dual of L through(t0, x0), simply by changing the sign of the parameter in the base of the twisteddecomposition of the �bre induced by L.

Speci�cally, if L induces a twisted decomposition J ×µ S of F in a neigh-borhood of x0 where L is {(t, s, z) ∈ I × J × S : s =

∫ tt0

1f(r)dr}, then L(t0,x0) is

given by

{(t, s, z) ∈ I × J × S : s =

∫ t0

t

1

f(r)dr}

and its null mean curvature is

H =n− 2

f(t)2

(f ′(t)− µs(s, z)

µ(s, z)

).

Example 2.1. Consider Rn1 = R × Rn−1 and C+(0,0) the future nullcone with

vertex (0, 0). The dual hypersurface through (t0, x0) ∈ C+(0,0) is a past null cone

with vertex at (2t0, 0).Consider now Sn1 = R ×cosh(t) Sn−1 and a future nullcone C+

(0,x∗), where

x∗ ∈ Sn−1. Take tc > 0 such that∫ tc

0

1

cosh(r)dr =

∫ ∞tc

1

cosh(r)dr =

π

4.

The dual hypersurface through (t0, x0) ∈ C+(0,x∗)

is a past null cone if t0 < tc, a

future nullcone if tc < t0 and a totally geodesic hypersurface if t0 = tc.

As an immediate corollary of Theorem 2.1, we can give the following obs-truction to the existence of totally umbilic (geodesic) null hypersurfaces.

Corollary 2.1. If the �bre of a GRW space does not admit any local decompo-sition as a twisted (warped) product with one-dimensional base, then it does notexist any totally umbilic (geodesic) null hypersurface.

Example 2.2. In a Riemannian twisted product manifold J ×µ S, the sectionalcurvature of any plane containing ∂s is −1µ Hessµ(∂s, ∂s). Therefore, S2 × S2does not admit any local twisted product decomposition as above, since for anyvector we can �nd two planes containing it with di�erent sectional curvatures.Applying Corollary 2.1, in a GRW space I ×f

(S2 × S2

)there are not totally

umbilic null hypersurfaces.

Example 2.3. Consider the twisted product F = R ×µ Rn, where µ(s, z) =es + |z|2. A curvature analysis as before shows that it does not admit another


local decomposition as a twisted nor warped product with a one dimensionalbase. Therefore, from Theorem 2.1, in a GRW space I ×f F there are exactlytwo totally umbilic null hypersurface through each point and using Corollary 2.1,it does not have any totally geodesic null hypersurface.

3. Applications

Nullcones in a Robertson-Walker space are totally umbilic. We can provethat in fact they are the unique totally umbilic null hypersurfaces under suitablehypothesis.

Theorem 3.1 ([1]). Any totally umbilic null hypersurface in a Robertson-Walker space I ×f Sn−1 (n > 3) with∫

I

1

f(r)dr > π (1)

is an open set of a nullcone. In particular, it cannot exist totally geodesic nullhypersurfaces.

The condition (1) can not be sharpened. For example, in Sn1 = R×cosh(t)Sn−1there are totally geodesic null hypersurfaces which evidently are not containedin a nullcone.

We can also get the following immediate corollaries.

Corollary 3.1. Nullcones are the unique totally umbilic null hypersurfaces inthe closed Friedmann Cosmological model.

Corollary 3.2. Any totally umbilic null hypersurface in R × Sn−1 (n > 3) iscontained in a nullcone.

A standard static Lorentzian manifold (F × I, gF − φ2dt2) is conformal to adirect product, which, in particular, is a GRW space. Since totally umbilic nullhypersurfaces are preserved under conformal changes, we can adapt Theorem2.1 to the case of static spaces.

Theorem 3.2 ([1]). Let F ×φ I be a n-dimensional standard static space. If Lis a totally umbilic null hypersurface, then for each (x0, t0) ∈ L there exists a

local decomposition of(F, 1

φ2 gF

)in a neighborhood of x0 as a twisted product

with one-dimensional base (J × S, ds2 + µ(s, z)2gS

),

Totally umbilic null hypersurfaces in GRW spaces 27

where x0 is identi�ed with (0, z0) for some z0 ∈ S and L is given by

{(s, z, s+ t0) ∈ J × S × I}.

Moreover, if H is the null mean curvature of L, then

µ(s, z) =φ(0, z)

φ(s, z)exp

(∫ s

0

H(r, z, r + t0)

n− 2dr

).

Conversely, if(F, 1

φ2 gF

)admits a twisted decomposition in a neighborhood

of x0 as above, then

L = {(s, z, s+ t0) ∈ J × S × I}

is a totally umbilic null hypersurface with null mean curvature

H = (n− 2)d

dsln (µφ) . (2)

As in the case of GRW spaces, we can construct the dual null hypersurfaceL(x0,t0) through (x0, t0) ∈ L. In fact, if L induces a twisted decomposition of(F, 1

φ2 gF

)in a neighborhood of x0 where L is given by {(s, z, s + t0)}, then

L(x0,t0) is given by {(s, z,−s+ t0)}. Moreover, its null mean curvature is

H = (n− 2)d

dsln

(φ

µ

).

Since simply connected Lorentzian manifold of constant sectional curvaturecan be decomposed as GRW spaces (at least locally in the case of negativecurvature), we can use Theorem 2.1 and Proposition 1.2 to prove the following.

Theorem 3.3. Any totally umbilic null hypersurface in a complete space ofconstant curvature and dimension greater than three is totally geodesic or iscontained in a nullcone.

Now, we consider the family of standard static spacetimes given by(I × S2 × R,

1

h(r)dr2 + r2g0 − h(r)dt2

),

where I ⊂ R, h ∈ C∞(I) is a positive function and g0 is the canonical metric onS2. This family includes important examples of spacetimes. If h(r) = 1−m2

r + c2

r2

for certain constantm and c, then we get the Reissner-Nordström spacetime (theSchwarzschild exterior in the case c = 0) and if h(r) = 1 − m2

r + kr2, then weobtain the De Sitter-Schwarzschild spacetime (Minkowski, De Sitter or anti-DeSitter if m = 0 and k = 0, k > 0 or k < 0 respectively).


Theorem 3.4 ([1]). If h ∈ C∞(I) is a positive function such that h′′′ 6≡ 0 inany open subset of I, then the spacetime given by (3) has exactly two totallyumbilic null hypersurface through each point.

Corollary 3.3. In a De Sitter-Schwarzschild with m 6= 0 and in a Reissner-Nordström spacetime (in particular in the Schwarzschild exterior) there areexactly two totally umbilic non-totally geodesic null hypersurface through eachpoint.

If we consider the Schwarzschild exterior embedded in the Kruskal spacetimeQ ×r S2, the totally umbilic null hypersurfaces claimed in the above corollaryare given by

{(u, v, x) ∈ Q× S2 : u = u0}

and{(u, v, x) ∈ Q× S2 : v = v0}.

Acknowledgment

This work was supported in part by Grupo Junta de Andalucía FQM-324.The �rst author was supported in part by MEYC-FEDER Grant MTM2013-41768-P.

References

[1] M. Gutiérrez and B. Olea, Totally umbilic null hypersurfaces in generalizedRobertson-Walker spaces Di�er. Geom. Appl. 42 (2015), no. 1, 15�30.

[2] M. Gutiérrez and B. Olea, Induced Riemannian structures on a null hy-persurface Math. Nachr. 289 (2016), 1219-1236.



The uniformly accelerated motion in General Re-lativity from a geometric point of view

Daniel de la Fuente

Abstract. The notion of a uniformly accelerated rectilinear motion of an ob-server in a general spacetime is analysed in detail. From a geometric viewpoint,a uniformly accelerated observer may be seen as a Lorentzian circle. Finally, we�nd geometric assumptions to ensure that an inextensible uniformly acceleratedrectilinear observer does not disappear in a �nite proper time.

1. Introduction

The de�nition of uniformly accelerated motion in General Relativity hasbeen discussed many times over the last 50 years. In the pioneering work byRindler [4], it was partially motivated by some aspects of intergalactic rockettravel by use of the special relativistic formulas for hyperbolic motion.

The relation between uniformly accelerated motion and Lorentzian circlesin Lorentz-Minkowski spacetime was used by Rindler in [4] to de�ne what henamed hyperbolic motion in General Relativity, extending uniformly acceleratedmotion in Lorentz-Minkowski spacetime.

First, we present an approach to the study of uniformly accelerated motionin General Relativity in the realm of modern Lorentzian geometry. In orderto do that, let γ : I −→ M be an observer in the spacetime M . Its (proper)acceleration is given by the covariant derivative of its velocity γ ′, i.e., Dγ ′

dt .Intuitively, the particle obeys a uniformly accelerated motion if its accelerationremains to be unchanged. Mathematically, we need a connection along γ whichpermits to compare spatial directions at di�erent instants of the life of γ. InGeneral Relativity this connection is known as the Fermi-Walker connection

of γ. Thus, using the Fermi-Walker covariant derivative Ddt , we will say that a

particle obeys a uniformly accelerated (UA) motion if,

Ddt

(Dγ ′

dt

)= 0. (1)

The family of UA observers in the Lorentz-Minkowski spacetime Ln was

Daniel de la Fuente, [email protected]

Departamento de Matemática Aplicada, Universidad de Granada

30 D. de la Fuente

completely determined long time ago [4]. It consists of timelike geodesics andLorentzian circles. For instance, in L2, using the usual coordinates (x, t), theUA observer γ(τ) =

(x(τ), t(τ)

)throughout (0, 0) with zero velocity relative to

certain family of inertial observers (the integral curves of vector �eld ∂t) andproper acceleration a is given by,

x(τ) = c2

a

[cosh

(aτc

)− 1], t(τ) =

c

asinh

(aτc

),

where τ ∈ R is the proper time of γ, and c is the light speed in vacuum.

In this paper we expose how UA observers can be seen as Lorentzian cir-cles in any general spacetime. After that, we characterize UA observers as theprojection on the spacetime of the integral curves of a vector �eld de�ned on acertain �ber bundle over the spacetime. Using this vector �eld, the completenessof inextensible UA motions is analysed in the search of geometric assumptionswhich assure that inextensible UA observers do not disappear in a �nite pro-per time (in particular, the absence of timelike singularities). In particular, anyinextensible UA observer is complete under the assumption of compactness ofthe spacetime and that it admits a conformal and closed timelike vector �eld.

2. Uniformly accelerated observer as a Lorentzian

circle

A spacetime is a time orientable n(≥ 2)− dimensional Lorentzian manifold(M, 〈 , 〉), endowed with a �xed time orientation. As usual, we will consider anobserver in M as a (smooth) curve γ : I −→ M , I an open interval of R, suchthat 〈γ ′(t), γ ′(t)〉 = −1 and γ ′(t) is future pointing for any proper time t of γ.At each event γ(t) the tangent space Tγ(t)M splits as

Tγ(t)M = Tt ⊕Rt,

where Tt = Span{γ ′(t)} and Rt = T⊥t . Rt is interpreted as the instantaneousphysical space observed by γ at t. Clearly, the observer γ is able to comparespatial directions at t, but in order to compare v1 ∈ Rt1 with v2 ∈ Rt2 , theobserver γ must use a suitable connection. We proceed to describe it.

For each Y ∈ X(γ) put Y Tt , YRt the orthogonal projections of Yt on Tt and

Rt, respectively, i.e., Y Tt = −〈Yt, γ ′(t)〉 γ ′(t) and Y Rt = Yt − Y Tt . In this way, if∇ denotes the Levi-Civita connection, we have, [5, Prop. 2.2.1],

Along this paper the signature of a Lorentzian metric is (−,+, ...,+).

Uniformly accelerated motion in GR 31

Proposition 2.1. There exists a unique connection ∇ along γ such that

∇XY =(∇XY T

)T+(∇XY R

)R,

for any X ∈ X(I) and Y ∈ X(γ).

This connection ∇ is called the Fermi-Walker connection of γ. It shows thesuggestive property that if Y ∈ X(γ) satis�es Y = Y R (i.e., Yt may be observed

by γ at any t) then(∇XY

)t∈ Rt for any t.

Denote by D/dt the covariant derivative corresponding to ∇. Then, we have[5, Prop. 2.2.2],

DY

dt=DY

dt+ 〈γ ′, Y 〉 Dγ

′

dt− 〈Dγ

′

dt, Y 〉 γ ′, (2)

for any Y ∈ X(γ). Note that Ddt = D

dt if and only if γ is free falling.

The acceleration Dγ ′

dt satis�es Dγ ′

dt (t) ∈ Rt, for any t. Therefore, it may beobserved by γ whereas the velocity γ ′ is not observable by γ.

Now, we are in a position to give rigorously the notion of UA observer. Anobserver γ : I −→M is said to obey a uniformly accelerated motion if

P γt1,t2

(Dγ ′

dt(t1)

)=Dγ ′

dt(t2), (3)

for any t1, t2 ∈ I with t1 < t2, equivalently, if the equation (1) holds everywhereon I, i.e., Dγ

′

dt is Fermi-Walker parallel along γ. Clearly, if γ is free falling, thenit is a UA observer.

Since we deal with a third-order ordinary di�erential equation, the followinginitial value problem has a unique local solution,

Ddt

(Dγ ′

dt

)= 0, (4)

γ(0) = p, γ ′(0) = v, Dγ ′

dt (0) = w,

where p ∈ M and v, w ∈ TpM such that |v|2 = −1, 〈v, w〉 = 0, |w|2 = a2, and

a is a positive constant. In addition, from de�nition it is clear that∣∣Dσ ′dt

∣∣2(t) isconstant on I.

Taking into account formula (2), an observer γ satis�es equation (1) if andonly if

D2γ ′

dt2=

⟨Dγ ′

dt,Dγ ′

dt

⟩γ ′, (5)

32 D. de la Fuente

which is a third order equation.

Consider a UA observer γ : I −→ M with a =∣∣Dγ ′dt

∣∣ > 0 and put e1(t) =

γ ′(t), e2(t) = 1aDγ ′

dt (t). Then, from (5) we have

De1dt

= ae2(t) andDe2dt

= ae1(t).

Conversely, assume this system holds true for an observer γ with a > 0 constant.Then, a (non free falling) UA observer may be seen as a Lorentzian circle ofconstant curvature a and identically zero torsion.

The previous results can be summarized as follows,

Proposition 2.2. γ : I −→M is a UA observer i� one of the following asser-tions holds:

(a) γ is a solution of third-order di�erential equation (5).

(b) γ is a Lorentzian circle or it is free falling.

(c) γ has constant curvature and the remaining curvatures equal to zero.

(d) γ, viewed as an isometric immersion from (I,−dt2) to M , is totally um-bilical with parallel mean curvature vector.

3. Completeness of the inextensible UA trajecto-

ries

First of all, we are going to relate the solutions of equation (5) with theintegral curves of a certain vector �eld on a Stiefel bundle type on M .

Given a Lorentzian linear space E and a ∈ R, a > 0, denote by V an,2(E) the(n,2)-Stiefel manifold over E, de�ned by

V an,2(E) ={

(v, w) ∈ E2 : |v|2 = −1, |w|2 = a2, 〈v, w〉 = 0}.

We will call (n,2)-Stiefel bundle, V an,2(M), to the bundle over M with �berV an,2(TpM).

A key tool in the study of completeness is contained in the following lemma,which is proved in detail in [2].

Lemma 3.1. There exists a unique vector �eld G on V an,2(M) such that the

curves t 7−→(γ(t), γ ′(t), Dγ

′

dt (t))are the integral curves of G, for any solution

γ of equation (4).

Uniformly accelerated motion in GR 33

Once de�ned G, we will look for assumptions which assert its completeness.The following result directly follows from Lemma 3.1.

Lemma 3.2. Let γ : [0, b) −→M be a solution of equation (4) with 0 < b <∞.The curve γ can be extended to b as a solution of (4) if and only if there exists

a sequence{γ(tn), γ ′(tn), Dγ

′

dt (tn)}nwhich is convergent in V an,2(M).

Although we know that |γ ′(t)|2 = −1, this is not enough to apply Lemma3.2 even in the geometrically relevant case of M compact.

Recall that a vector �eld K on M is said closed and conformal if satis�es

∇XK = hX for all X ∈ X(M). (6)

Note that for any curve γ : I −→M , if K is closed and conformal, we have

d

dt〈K, γ ′〉 =

⟨K,

Dγ ′

dt

⟩+ h(γ)| γ ′|2. (7)

The following result, inspired from [1, Lemma 9], will be decisive to assurethat the image of the curve in V an,2(M), associated to a UA observer γ, iscontained in a compact subset.

Lemma 3.3. Let M be a spacetime and let Q be a unitary timelike vector �eld.If γ : I −→ M is a solution of (4) such that γ(I) lies in a compact subset of

M and 〈Q, γ ′〉 is bounded on I, then the image of t 7−→(γ(t), γ ′(t), Dγ

′

dt

)is

contained in a compact subset of V an,2(M) where a is the constant |Dγ′

dt |.

Proof. Consider the 1-form Qb metrically equivalent to Q and the associatedRiemannian metric gR := 〈 , 〉+ 2Qb ⊗Qb. We have,

gR(γ ′, γ ′) = 〈γ ′, γ ′〉+ 2 〈Q, γ ′〉2,

which, by hypothesis, is bounded on I. Hence, there exists a constant c > 0 suchthat (

γ(I), γ ′(I), Dγ′

dt (I))⊂ C,

C :={

(p, v, w) ∈ V an,2(M) : p ∈ C1, gR(v, v) ≤ c},

where C1 is a compact set on M such that γ(I) ⊂ C1. Hence, C is a compactin V an,2(M). 2

Now, we are in a position to state the following completeness result.

34 D. de la Fuente

Theorem 3.1. Let M be a spacetime which admits a timelike conformal andclosed vector �eld K. If ınfM

√−〈K,K〉 > 0 then, each solution γ : I −→M of

(4) such that γ(I) lies in a compact subset of M can be extended.

Proof. Let I = [0, b), 0 < b < +∞, be the domain of a solution γ of equation(4). Derivating (7), it follows

d2

dt2〈K, γ ′〉 =

⟨DKdt

,Dγ ′

dt

⟩+ 〈K, D

2γ ′

dt2〉 − d

dt(h ◦ γ).

The �rst right term vanishes becauseK is conformal and closed. On the otherhand, the second right term equals to a2〈K, γ ′〉. Thus, the function t 7→ 〈K, γ ′〉satis�es the following di�erential equation,

d2

dt2〈K, γ ′〉 − a2〈K, γ ′〉 = (h ◦ γ)′(t). (8)

Using now that γ(I) is contained in a compact of M , the function h ◦ γ isbounded on I. Moreover, since I is assumed bounded, using (8) there exists aconstant c1 > 0 such that

|〈K, γ ′〉| < c1. (9)

Now, if we put Q := K|K| , where |K|

2 = −〈K,K〉 > 0, then Q is a unitarytimelike vector �eld such that, by (9),

|〈Q, γ ′〉| ≤ mc1 on I,

where m = supM |K|−1 < ∞. The proof ends making use of Lemmas 3.2 and3.3. 2

References

[1] A.M. Candela, A. Romero and M. Sánchez, Completeness of the trajec-tories of particles coupled to a general force �eld, Arch.Rational Mech.Anal., 208 (2013), 255�274.

[2] De la Fuente, A. Romero, Uniformly accelerated motion in General Rela-tivity: completeness of inextensible trajectories, Gen.Rel.Grav.,47 (2015).

[3] K. Nomizu, K. Yano, On circles and spheres in Riemannian geometry,Math. Ann., 210 (1974), 163�170.

[4] W. Rindler, Hyperbolic motion in curved space time, Phys. Rev., 119(1960), 2082�2089 .

[5] R.K. Sachs, H. Wu, General Relativity for Mathematicians, Grad. Textsin Math., 48, Springer-Verlag, 1977.



Una aproximación geométrica a la aerodinámicade curvas y super�cies

Alejandro G. Bedoya • Alfonso Carriazo • M. Carmen Márquez

Resumen. En este trabajo presentamos una primera aproximación al estudiogeométrico de la aerodinámica de curvas y super�cies. En primer lugar, mo-tivaremos el estudio a partir de situaciones concretas y ejemplos físicos, paradespués adaptar el método de aproximación normal de curvas y super�cies re-gulares, mediante curvas y super�cies de Bézier, introducido por A. Carriazo,M. C. Márquez y H. Ugail. Concluiremos presentando ejemplos grá�cos.

1. Introducción

¾Qué entendemos por aerodinámica? La aerodinámica es la rama de la me-cánica de �uidos que estudia las acciones que aparecen sobre los cuerpos sólidoscuando existe un movimiento relativo entre éstos y el �uido que los baña, ennuestro caso el aire.

En general, la fuerza R actuando sobre el cuerpo se descompone en unacomponente D (drag) en la misma dirección del aire y una componente L (lift)en la dirección normal a la super�cie, tal y como puede verse en la siguiente�gura:

R L

D

Sea p la presión del aire sobre una porción mínima de área dA y τ la fuerzade fricción por unidad de área. La fuerza pdA actúa en la normal a la super�cie,mientras que la fuerza de fricción se ejerce tangencialmente.

Alejandro G. Bedoya, [email protected]

Departamento de Geometría y Topología, Universidad de SevillaAlfonso Carriazo, [email protected]

Departamento de Geometría y Topología, Universidad de SevillaM. Carmen Márquez, [email protected]

Departamento de Geometría y Topología, Universidad de Sevilla

36 A. G. Bedoya, A. Carriazo, M. C. Márquez

Nuestro objetivo es minimizar la fuerza de presión que viene determinada porla ecuación

Fp =

∫A

cos θpdA,

siendo θ el ángulo formado por la dirección del aire (que consideraremos hori-zontal durante todo el trabajo) y el vector normal de la curva:

pdA

q dA

A

tdA

Físicamente no hay una forma explícita de calcular la resistencia al aire; seprueba mediante experimentos.

En la siguiente �gura, vemos cómo a medida que variamos la inclinación delsegmento, la fuerza de presión disminuye hasta el último caso donde Fp = 0 ypodemos a�rmar que la fuerza de presión se anula.

q

Fp =∫ApdA Fp =

∫Acosθ pdA Fp = 0

Entonces, queda veri�cado que el ángulo θ es signi�cativo al evaluar la fuerzade presión del aire sobre una curva o super�cie. A medida que el cosθ disminuye,la fuerza de rozamiento es menor.

2. Método de aproximación normal de curvas y

super�cies

Para poder presentar el método introducido en [1] necesitamos algunos con-ceptos básicos de curvas y super�cies de Bézier.

Dados n+ 1 puntos P0, . . . , Pn, determinan la curva de Bézier

B(t) =

n∑i=0

Bni (t)Pi, t ∈ [0, 1],

Aproximación geométrica de curvas y super�cies 37

donde

Bni (t) =

(n

i

)ti(1− t)n−i, 0 ≤ i ≤ n

es el polinomio de Bernstein de grado n.

Por otra parte, dada la malla de m · n puntos Pij , 0 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ n, sedetermina la super�cie de Bézier

B(u, v) =

m∑i=0

n∑j=0

Bmi (u)Bnj (v)Pij , u, v ∈ [0, 1],

donde Bmi (u) y Bnj (v) son los polinomios de Bernstein de grados m y n, respec-tivamente.

Sea ahora α : [0, 1] −→ R2 una curva regular, donde t0 = 0 < t1 < · · · < tn−1 <tn = 1 , P0 = α(0) y Pn = α(1).Para cada i = 1, . . . , n− 1, consideramos el punto

Pi(λi) = α(ti) + λin(ti),

donde n(ti) es el vector normal de α en α(ti):


Entonces, de�nimos la curva de Bézier

B(λ1, . . . , λn−1, t) = Bn0 (t)P0 +

n−1∑i=1

Bni (t)Pi(λi) +Bnn(t)Pn,

donde Bni (t) son los polinomios de Bernstein. Ahora, de�nimos la función

H(λ1, . . . , λn−1) =

∫ 1

0

|α(t)−B(λ1, . . . , λn−1, t)|2dt.

Para minimizar esta función, buscamos los valores λ01, . . . , λ0n−1 que mejor apro-

ximan B(λ01, . . . , λ0n−1, t) a la curva α(t).

En este paso, necesitamos resolver un sistema de ecuaciones lineales dadopor ∂H/∂λj = 0, para cada j = 1, . . . , n− 1. De hecho:

∂H

∂λj=

∫ 1

0

∂G

∂λjdt,

donde

G(λ1, . . . , λn−1, t) =

2∑k=1

(αk(t)−Bk(λ1, . . . , λn−1, t))2.

Por lo tanto:

∂H

∂λj=− 2

2∑k=1

nk(tj)

(∫ 1

0

αk(t)Bnj (t)dt− P k0∫ 1

0

Bn0 (t)Bnj (t)dt

−n−1∑i=1

αk(ti)

∫ 1

0

Bni (t)Bnj (t)dt− P kn∫ 1

0

Bnn(t)Bnj (t)dt

)

+ 2

n−1∑i=1

(2∑k=1

nk(ti)nk(tj)

∫ 1

0

Bni (t)Bnj (t)dt

)λi.

Al igualar esta expresión a cero, obtenemos un sistema de ecuaciones linealesen λ1, . . . , λn−1.

3. Método de aproximación aerodinámica de cur-

vas y super�cies

La idea principal de este método es modi�car la curva del mismo modo queen la sección anterior, pero ahora movemos los puntos de control, a través de

Aproximación geométrica de curvas y super�cies 39

sus normales, para mejorar el rendimiento aerodinámico minimizando el cos2θ.Nótese que evaluamos el cos2θ para que no in�uya el signo.

Observemos que es necesario �jar una cota superior ya que, en caso contrario,nuestra deformación de la curva tendería a in�nito.

3.1. Ejemplos

Sea α(t) el segmento que une el punto (0, 1) con el (0, 0), con t ∈ [0, 1].

Estudio con un punto de control intermedio:

La expresión depende de un solo parámetro λ y de t:

B(λ, t) = (2λ(1− t)t, (1− t)2 + (1− t)t),

cos2 θ(λ, t) =1

16λ2t2 − 16λ2t+ 4λ2 + 1.

Como necesitamos minimizar este coseno, λ debería ser su�cientemente gran-de (tanto como sea posible en el medio en que nos encontremos). En este casoparticular, cuando evaluamos el coseno en el punto que hemos variado, resulta:

cos2θ(λ, 1/2) = 1.

No es signi�cativo, pues justo en ese punto se alcanza la máxima resistencia conel aire (la tangente de la curva en ese punto es perpendicular a la dirección delaire).


Estudio con tres puntos de control intermedios:

La nueva expresión de la curva es

B(λi, t) = (4t(1−t)3λ1+6t2(1−t)2λ2+4t3(1−t)λ3, (1−t)4+3t(1−t)3+3t2(1−t)2+t3(1−t)),

con

cos2 θ(λ1, λ2, λ3, 1/4) =1

1 + 8164λ

22 + 9

8λ2λ3 + 14λ

23

,

cos2 θ(λ1, λ2, λ3, 1/2) =1

1 + λ21 − 2λ1λ3 + λ23,

cos2 θ(λ1, λ2, λ3, 3/4) =1

1 + 14λ

21 + 9

8λ1λ2 + 8164λ

22

.

De nuevo, en t = 1/2 se alcanza el punto de máxima resistencia al aire. Enlos otros puntos t = 1/4 y t = 3/4 tenemos una expresión del coseno que sípodemos minimizar para que la curva sea más aerodinámica.

En este caso, λi crece a la misma velocidad para todo i = 1, 2, 3.

Conclusiones

Sería interesante plantear este mismo método sin buscar la simetría y trans-ladarlo del mismo modo a super�cies.

Agradecimientos

Parcialmente �nanciado por el grupo FQM-327 (PAIDI, Junta de Andalucía)

Referencias

[1] A. Carriazo, M. C. Márquez, H. Ugail, Normal approximations of regularcurves and surfaces, Filomat 29 (2015), no. 3, 457�464.



Hipersuper�cies isoparamétricas en el espacio hi-perbólico complejo CHn

Víctor Sanmartín López

Resumen. Se presenta la clasi�cación de las hipersuper�cies isoparamétricasdel espacio hiperbólico complejo CHn, siguiendo el trabajo realizado en [2].

1. Introducción

Desde sus comienzos, el desarrollo de la geometría de Riemann ha estadoligado al estudio de la geometría de subvariedades. En nuestro caso, hemos cen-trado nuestra atención en un tipo concreto de las mismas, las hipersuper�ciesisoparamétricas. Estos objetos matemáticos han sido estudiados por prestigiososmatemáticos tales como Segre, Cartan o Levi-Civita. Para consultar los avancesprotagonizados por cada uno de ellos puede consultarse [3]. Ya con sus trabajospudo adivinarse que estas hipersuper�cies conectaban diferentes campos dentrode las matemáticas, pues aparece no solo involucrada la geometría de Riemann,sino que de manera natural surgen también conexiones con la topología algebrai-ca, la geometría algebraica, la teoría de grupos de Lie o la teoría de ecuacionesdiferenciales.

Con todo, el origen de las hipersuper�cies isoparamétricas surge en el senode la óptica geométrica, cuando el matemático italiano Carlo Somigliana seencontraba estudiando un problema de ondas, que pasamos a exponer muybrevemente a continuación. Si bien allí se aborda tal problema utilizando tresvariables espaciales, esto es, R3, aquí lo presentaremos generalizándolo a unavariedad riemanniana M . Se comienza considerando una onda, que se de�necomo una aplicación diferenciable ϕ : M × R → R, (x, t) → ϕ(x, t), solución dela ecuación de onda

∆ϕ =∂2ϕ

∂t2,

donde ∆ denota el operador de Laplace-Beltrami respecto de x, t ∈ R representala variable temporal y x ∈ M representa la variable espacial que, como hemos

Víctor Sanmartín López, [email protected]

Departamento de Geometría y Topología, Universidade de Santiago de Compostela.El autor ha sido �nanciado por los proyectos EM2014/009, GRC2013-045, el programade Formación del Profesorado Universitario (FPU) y la Fundación Barrié de la Maza.

42 Víctor Sanmartín-López

dicho, en el problema inicial vivía en R3.Se de�nen como frente de onda cada uno de los conjuntos formados por pun-

tos en el mismo estado de fase en el instante de tiempo t0 ∈ R. Expresado enotros términos, si para cada t0 ∈ R de�nimos la aplicación ft0 : M → R median-te ft0(x) = ϕ(x, t0), los frentes de onda en el instante t0 son precisamente losconjuntos de nivel de la función ft0 . En este punto, se imponen dos condicionessobre ϕ. En primer lugar, supondremos la onda estacionaria, es decir, asumire-mos que los frentes de onda no dependen del tiempo. Esto se traduce en que ellaplaciano de f , ∆f , es constante a lo largo de los conjuntos de nivel de f . Laotra condición consiste en imponer que la norma del gradiente, ||∇f ||, sea cons-tante a lo largo de los conjuntos de nivel de f . Ello puede interpretarse, de unmodo informal, como exigir que los conjuntos de nivel sean equidistantes entresi, donde aquí al hablar de distancia nos referimos a longitudes de geodésicasortogonales a la hipersuper�cie.

Como conclusión podemos extraer que las ondas estacionarias con frentesde onda equidistantes permiten determinar una función diferenciable f veri�-cando que tanto ||∇f || como ∆f son constantes a lo largo de sus conjuntos denivel. Pues bien, una función diferenciable no constante f : M → R se dice iso-paramétrica precisamente cuando su laplaciano y la norma de su gradiente sonconstantes a lo largo de los conjuntos de nivel de f . Asimismo, una colecciónde conjuntos de nivel de una función isoparamétrica f , {f−1(c)}c∈R, se dice unafamilia isoparamétrica de hipersuper�cies. Por otra parte, una hipersuper�cie sedice isoparamétrica si ella y sus hipersuper�cies equidistantes tienen curvaturamedia constante. El siguiente teorema expresa de forma precisa la relación entrefunción isoparamétrica e hipersuper�cie isoparamétrica.

Teorema 1.1. Sea M una variedad riemanniana. Sea f : M → R una funciónisoparamétrica y c ∈ R un valor regular de f . En estas condiciones, M = f−1(c)es una hipersuper�cie isoparamétrica de M . Recíprocamente, si M es una hi-persuper�cie isoparamétrica de M , entonces, para cada p ∈M , podemos escogerun entorno abierto U de p en M tal que U es un conjunto de nivel regular deuna función isoparamétrica f : V → R, para algún abierto V en M .

Uno de los problemas centrales de la geometría de Riemann es precisamenteel de la clasi�cación de las hipersuper�cies isoparamétricas de una variedadriemanniana. Sin ir más lejos, por ejemplo, en el caso euclídeo fue Segre elque, tras las clasi�caciones de Somigliana y Levi-Civita en R3, completó laclasi�cación en Rn, demostrando que cada hipersuper�cie isoparamétrica tendríauna o dos curvaturas principales y sería una parte abierta de un hiperplanoRn−1 de Rn, o de una esfera Sn−1, o, por último, de un cilindro generalizadoSk × Rn−k−1, donde k ∈ {1, . . . , n− 1}.

Otro ejemplo notable es el del caso hiperbólico real, RHn, resuelto por Car-tan, que probó que aquí las hipersuper�cies isoparamétricas eran partes abiertas

Hipersuper�cies isoparamétricas 43

o de una horosfera, o de una esfera geodésica, o de un hiperespacio hiperbólicototalmente geodésico RHn−1 de RHn, o de una de sus hipersuper�cies equi-distantes, o de un tubo alrededor de un subespacio hiperbólico real RHk, conk ∈ {1, . . . , n− 2}.

Para �nalizar esta primera sección, y dado que hemos estado hablando detubos alrededor de subvariedades, explicamos brevemente este concepto, queserá de gran importancia en posteriores secciones. Dada una subvariedad decodimensión mayor que uno M ⊂ M , denominamos el tubo Mr de radio ralrededor deM a los puntos de M que se encuentran todos a la misma distanciar de M . Matemáticamente, Mr = {exp(rξ) | ξ ∈ ν1M}, donde ν1M denota el�brado normal unitario de M . La subvariedad de partida recibe el nombre desubvariedad focal.

2. Hipersuper�cies isoparamétricas en el espacio

hiperbólico complejo CHn

En las siguientes líneas construiremos, omitiendo algunos detalles, el espaciohiperbólico complejo CHn, deteniéndonos posteriormente en los aspectos de suestructura necesarios para la comprensión de los ejemplos de hipersuper�ciesisoparamétricas involucrados en el Teorema Principal.

Comenzamos de�niendo sobre el espacio vectorial complejo Cn+1 la métrica〈z, w〉 = Re(−z0w0 +

∑nk=1 zkwk), donde z, w ∈ Cn+1. Se de�ne el espacio anti-

De Sitter de radio r como H2n+11 (r) = {z ∈ Cn+1 | 〈z, z〉 = −r2}. Se trata de

una variedad lorentziana de curvatura negativa constante. Por ello, puede enten-derse como el análogo Lorentziano del espacio hiperbólico real. Sobre el espaciode anti-De Sitter puede de�nirse una relación de equivalencia que identi�queaquellos puntos que di�eren en un elemento de la circunferencia unitaria, S1.Pasando al cociente, obtenemos la aplicación de Hopf π : H2n+1

1 → CHn, aso-ciada al espacio hiperbólico complejo n-dimensional. La terna (H2n+1

1 , π,CHn)constituye un S1-�brado principal, lo cual permite identi�car el subespacio deltangente al espacio de anti-De Sitter ortogonal a la �bra con el tangente al espa-cio hiperbólico complejo, pudiendo de esta manera de�nir una métrica en CHn,la que convierte a π en una sumersión semi-riemanniana, así como introduciruna estructura compleja J para el espacio hiperbólico complejo. Además, estepuede ser descrito como el espacio simétrico CHn = SU(1,n)

S(U(1)×U(n)) .En este punto, y de cara a una mejor comprensión de los ejemplos que

aparecen en la clasi�cación, identi�caremos CHn con un grupo de Lie. Paraello, consideramos el álgebra de Lie g = su(1, n) de la componente conexa dela identidad del grupo de isometrías del espacio hiperbólico complejo, G =SU(1, n).


En este sentido, si �jamos o ∈ CHn, podemos considerar el subgrupo deisotropía de o, K ⊂ G. Ahora bien, en este caso g se descompone de maneranatural como suma directa de espacios vectoriales g = k⊕p, donde k es el álgebrade Lie de K (pensada como espacio vectorial) y p su complemento ortogonal eng con respecto a la forma de Killing B de g, que resulta ser de�nida positiva enp y de�nida negativa en k; luego con un cambio de signo obtenemos un productointerior para g, producto interior respecto al cual la anterior descomposición esortogonal. En este punto, escogemos a ⊂ p un subespacio abeliano maximal, queresulta ser 1-dimensional. Por ello, los operadores del conjunto {ad(H) | H ∈ a}conmutan. Además, son autoadjuntos respecto al producto interior inducidopor la forma de Killing. Luego todos ellos diagonalizan simultáneamente. Comoconsecuencia, g puede descomponerse como suma directa de estos autoespacioscomunes gλ = {X ∈ g = su(1, n) | ad(H)X = λ(H)X, ∀H ∈ a}, con λ ∈ a∗.En este caso particular obtenemos la descomposición g = g−2α ⊕ g−α ⊕ g0 ⊕gα ⊕ g2α, cuyos elementos están sujetos a la relación [gγ , gβ ] ⊂ gγ+β . Además,puede comprobarse que gα es un espacio vectorial complejo (n−1)- dimensional,isomorfo por tanto a Cn−1. En este punto, podemos de�nir un álgebra de Lienilpotente n = gα ⊕ g2α, que es de hecho isomorfa al álgebra de Heisenbergde dimensión 2n − 1. Pues bien, el teorema de descomposición de Iwasawa [1,Proposición 6.43], a�rma que podemos escribir g como la suma directa g =k⊕a⊕n. Ahora bien, si uno se restringe a a⊕n, resulta que el subgrupo conexode G asociado a este álgebra de Lie, AN , actúa libre y transitivamente en elespacio hiperbólico complejo, lo cual permite de�nir un difeomor�smo entreAN y CHn, pudiendo entonces entender este último como un grupo de Lie. Dehecho, un grupo de Lie resoluble con métrica invariante a la izquierda. Esto nospermite reescribir toda la geometría de CHn en términos de álgebras de Lie.

3. Teorema Principal

Comenzamos esta sección enunciando el Teorema de Clasi�cación y, a con-tinuación, pasamos a explicar la construcción de los ejemplos involucrados en elmismo.

Teorema Principal. SeaM una hipersuper�cie conexa real en el espacio hiper-bólico complejo CHn, n ≥ 2. Entonces, M es una hipersuper�cie isoparamétricasi y solo si M es congruente a una parte abierta de:

(i) un tubo alrededor de un espacio hipérbolico complejo totalmente geodésicoCHk, k ∈ {0, . . . , n− 1},

(ii) un tubo alrededor de un espacio hiperbólico real totalmente geodésico RHn,

Hipersuper�cies isoparamétricas 45

(iii) una horosfera,

(iv) una hipersuper�cie de Lohnherr reglada minimal homogénea W 2n−1, oalguna de sus hipersuper�cies equidistantes,

(v) un tubo alrededor de una subvariedad reglada minimal homogénea W 2n−kϕ ,

construida por Berndt-Brück, para k ∈ {2, . . . , n− 1}, ϕ ∈ (0, π/2],

(vi) un tubo alrededor de una subvariedad reglada minimal homogénea Ww,para algún subespacio propio w de gα ∼= Cn−1 tal que w⊥, el complementoortogonal de w en gα, tiene ángulo de Kähler no constante.

Los ejemplos (i), (ii), (iii) del Teorema Principal se corresponden con losejemplos de la lista de Montiel, que son ejemplos de hipersuper�cies Hopf y portanto homogéneas. Nótese que, con la notación del Teorema, de manera natu-ral, podemos pensar en Ck+1 incluido en Cn+1 (respectivamente Rn+1 ⊂ Cn+1);luego también es natural pensar en CHk como subvariedad de CHn (respecti-vamente RHn ⊂ CHn). De esta manera, construyendo tubos alrededor de estasdos subvariedades obtenemos ejemplos de hipersuper�cies isoparamétricas. Asíquedan descritos los ejemplos (i) y (ii) del Teorema Principal. Las horosferas,(iii), se construyen haciendo actuar N , el subgrupo de Lie asociado al álgebrade Lie n de la descomposición de Iwasawa.

Ahora, teniendo en cuenta las consideraciones de la sección anterior, pasamosa introducir un método para construir otros ejemplos de hipersuper�cies isopa-ramétricas en CHn. Escogemos para ello w ⊂ gα un subespacio real, pensandogα como espacio vectorial real de dimensión 2n−2. A continuación, construimosel álgebra de Lie sw = a⊕w⊕ g2α y pasamos a considerar el subgrupo conexoSw ⊂ G asociado al álgebra de Lie sw. En este punto, de�nimos Ww como laórbita de Sw a través del punto o ∈ CHn escogido para inducir la anterior des-composición de Iwasawa. Esta subvariedad Ww es una subvariedad homogéneaminimal. Pues bien, los tubos alrededor de esta subvariedad son ejemplos dehipersuper�cies isoparamétricas. Esta técnica sirve para construir los ejemplos(iv), (v) y (vi). La primera de estas tres familias, que está formada por hiper-super�cies homogéneas, (iv), se obtiene cuando tomamos w un hiperplano realen gα. Sin embargo, para distinguir las dos familias restantes de ejemplos, sehace necesario introducir la noción de ángulo de Kähler.

Para ello, es crucial que la estructura compleja J de CHn, expresada en tér-minos de álgebras de Lie, constituye una estructura compleja hermitiana paragα. Por tanto, si ahora, tal y como se hace en el Teorema Principal, considera-mos w⊥ el complemento ortogonal de w en gα, es posible, para cada elementoξ ∈ w⊥\{0}, medir el ángulo entre Jξ y el subespacio w⊥. Pues bien, este ánguloentre 0 y π/2 es lo que se conoce como ángulo de Kähler de ξ con respecto a w⊥.Por otra parte, diremos que w⊥ tiene ángulo de Kähler constante cuando todos


sus elementos no nulos tengan el mismo ángulo de Kähler. Ahora, atendiendo ala constancia o no del ángulo de Kähler en w⊥, podemos distinguir las familias(v) y (vi) de hipersuper�cies isoparamétricas. Cuando w⊥ tiene ángulo de Käh-ler constante, entonces obtenemos ejemplos de hipersuper�cies isoparamétricashomogéneas y por tanto, con curvaturas principales constantes. Por otro lado,cuando w⊥ tiene ángulo de Kähler no constante, obtenemos las únicas familiasde hipersuper�cies isoparamétricas no homogéneas y además, con curvaturasprincipales no constantes. De hecho, pese a que todas las subvariedades focalesde los ejemplos (iv), (v) y (vi) son homogéneas, solo en los casos (iv) y (v) sonhomogéneos los tubos alrededor de las mismas.

4. Consecuencias del Teorema Principal

Dedicamos la presente sección a exponer algunas consecuencias del TeoremaPrincipal. En primer lugar, y atendiendo a que en el ámbito de las hipersuper�-cies la propiedad de ser homogénea implica la propiedad de ser isoparamétrica,se obtiene como corolario de este resultado la clasi�cación de hipersuper�cieshomogéneas en espacios hiperbólicos complejos. Por contra, examinando la otraimplicación, es evidente que no es cierta, pues se han hallado ejemplos de hiper-super�cies isoparamétricas no homogéneas (vi). Sin embargo, se tiene:

Corolario 4.1. Una hipersuper�cie isoparamétrica de CHn tiene curvaturasprincipales constantes si y solo si es una parte abierta de una hipersuper�ciehomogénea de CHn.

Para �nalizar presentamos un caso curioso. Nótese que para CH2, se tieneque gα es isomorfo a la recta compleja C. Por tanto, en este caso 0 6= w ⊂ gαes siempre un hiperplano. Como consecuencia:

Corolario 4.2. Una hipersuper�cie isoparamétrica CH2 es parte abierta de unahipersuper�cie homogénea.

Referencias

[1] A. W. Knapp, Lie groups beyond an introduction, Second edition, Progressin Mathematics, 140, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2002.

[2] J. C. Díaz-Ramos, M. Domínguez-Vázquez, V. Sanmartín-López, Isopara-metric hypersurfaces in complex hyperbolic spaces, Adv. Math. 314 (2017),756�805.

[3] G. Thorbergsson, A survey on isoparametric hypersurfaces and their ge-neralizations, Handbook of di�erential geometry, Vol. I, 963�995, North-Holland, Amsterdam, 2000.



Causal properties of doubly warped spacetimes

Luis Aké • José Luis Flores • Jónatan Herrera

Abstract. In this talk we will describe the characterization of the chronologicalrelation on doubly warped product spacetimes of the form (a, b) ×M1 ×M2

with Lorentzian metric g = −dt2 +α1g1 +α2g2, and we will discuss when thesespacetimes are causally continuos and causally simple. This talk is based on the�rst section of [1], available at arXiv:1709.00234.

1. Introduction

In the classical book on Lorentzian geometry [2] the causality of warpedspacetimes products of the form ((a, b)×M,−dt2 +αgM ), where ((a, b),−dt2) isa Lorentzian manifold, (M, gM ) is a Riemannian manifold and α : V → (0,∞)is a smooth function, is studied and results concerning to the stably causal,strongly causal and global hyperbolicity of these spacetimes are obtained, see[2, Lemma 3.55, Prop. 3.62 and Thm. 3.66]. However, the study of the causallycontinuous and causally simple stages of the causal hierarchy are not included.Our aim in this talk is to give a characterization of the chronological and causalrelations in doubly warped spacetimes and then we will give conditions to obtainthe causally continuity and causal simplicity of these spacetimes. The study ofthe characterization of the chronological relation on these spacetimes will beuseful in order to study the causal completion of these spacetimes, see [1].

2. Preliminaries

A doubly warped spacetime can be written as:

V := (a, b)×M1 ×M2 and g = −dt2 + α1g1 + α2g2. (1)

Luis Aké, [email protected]

Departamento de Álgebra, Geometría y Topología, Universidad de MálagaJosé Luis Flores, �[email protected]

Departamento de Álgebra, Geometría y Topología, Universidad de MálagaJónatan Herrera, [email protected]

Departamento de Matemáticas, Universidad de Córdoba

48 L. Aké, J.L. Flores, J. Herrera

Where αi : (a, b)→ (0,∞) are smooth functions for all i = 1, 2 and (Mi, gi) areRiemannian manifolds for all i = 1, 2.

The chronological relation in these spacetimes is characterized in the follo-wing proposition (see [1]):

Proposition 2.1. Let (V, g) be a doubly warped spacetime as in (1), and(to, xo), (te, xe) ∈ V with xo 6= xe. The following conditions are equivalent:

(i) (to, xo)� (te, xe);

(ii) there exist strictly positive constants µ′1, µ′2 > 0, with µ′1 + µ′2 = 1,

such that∫ te

to

√µ′i

αi(s)

(2∑k=1

µ′kαk(s)

)−1/2ds > di(x

oi , x

ei ) for i = 1, 2. (2)

In order to give a proper characterization of the causal relation in doublywarped spacetimes we need the following de�nition:

De�nition 2.1. A Riemannian manifold (N,h) is L-convex if any pair of pointsp, q ∈ N with dh(p, q) < L can be joined by a minimizing geodesic.

Now, we can establish the announced characterization about the causal re-lation (see [3, Thm. 2(2)])

Proposition 2.2. Let (V, g) be a doubly warped spacetime as in (1) whose �bers(Mi, gi) are Li-convex for i = 1, 2. Consider two points (to, xo1, x

o2), (te, xe1, x

e2) ∈

V , with to ≤ te, satisfying d(xoi , xei ) < Li, i = 1, 2. Then, the following condi-

tions are equivalent:

(i) the points are causally related, (to, xo1, xo2) ≤ (te, xe1, x

e2);

(ii) there exists a causal geodesic joining (to, xo1, xo2) with (te, xe1, x

e2);

(iii) there exist constants µ′1, µ′2 ≥ 0, µ′1 + µ′2 = 1,

such that∫ te

to

√µ′i

αi(s)

(2∑k=1

µ′kαk(s)

)−1/2ds ≥ di(xoi , xei ) for i = 1, 2. (3)

Moreover, if the equalities hold in (3), then there is a lightlike and no timelikegeodesic joining the points.

With the characterization of the chronological relation and causality relation,the last under L−weakly convex condition, we are ready to study the causallycontinuity and causally simplicity of doubly warped spacetimes.

Causality on doubly warped spacetimes 49

Causal hierarchy on doubly warped spacetimes

Next we are going to prove that double warped spacetimes are causallycontinuous, and, causally simple if and only if each (Mi, gi) satisfy a notion ofL−convexity. First we recall the following de�nitions on the causal hierarchy ofspacetimes, see [5] for a complete list:

De�nition 2.2. A spacetime (V, g) is

Causal if it does not contain closed causal curves.

Distinguishing if whenever I+(p) = I+(q) and I−(p) = I−(q), necessarilyp = q.

Causally continuous if it is distinguishing and the set valued functionsI+(·) and I−(·) are outer continuous (say, I+(·) is outer continuous atsome p ∈ V if, for any compact subset K ⊂ I+(p) there exists an openneighborhood U 3 p such that K ⊂ I+(q) for all q ∈ U). This is equivalentto being distinguishing and re�ecting, i.e. for any pair of events p, q ∈ V ,I+(q) ⊂ I+(p) if and only if I−(p) ⊂ I−(q).

Causally simple if it is causal and J±(p) are closed sets for any p ∈ V .

Prop. 2.1 allow us to prove that all doubly warped spacetimes are causallycontinuous:

Theorem 2.1. Any doubly warped spacetime (V, g) as in (1) is causally conti-nuous.

Idea of the proof: Since (V, g) is stably causal, it is also distinguishing. So, itsu�ces to show that (V, g) is re�ecting. Let (to, xo1, x

o2), (te, xe1, x

e2) ∈ V be such

that I+((te, xe1, xe2)) ⊂ I+((to, xo1, x

o2)), and let us prove that

I−((to, xo1, xo2)) ⊂ I−((te, xe1, x

e2)) (the converse is analogous). Consider the se-

quence {(te + 1/n, xe1, xe2)}n ⊂ I+((te, xe1, x

e2)) and note that, by the hypothesis,

this sequence also belongs to I+((to, xo1, xo2)). Therefore, from Prop. 2.1, there

exist constants µn1 , µn2 > 0, with µn1 + µn2 = 1, satisfying the following inequali-

ties:

∫ te+1/n

to

√µni

αi(s)

(2∑k=1

µnkαk(s)

)−1/2ds > di(x

oi , x

ei ) for i = 1, 2. (4)

Up to a subsequence, we can assume that {µni }n converges to µi, for all i, with0 ≤ µ1, µ2 ≤ 1 and µ1 + µ2 = 1. Using arguments related to convergence of

50 L. Aké, J.L. Flores, J. Herrera

functions we deduce that:∫ te

to

√µi

αi(s)

(2∑k=1

µkαk(s)

)−1/2ds ≥ di(xoi , xei ), for i = 1, 2.

If we consider (to − 1/n, xo1, xo2), and modify slightly (µ1, µ2), by continuity we

obtain new coe�cients (µ′1, µ′2), with µ′1, µ

′2 > 0 and µ′1 + µ′2 = 1 and pre-

vious inequalities are strict. Again from Prop. 2.1, we have (to − 1/n, xo1, xo2)�

(te, xe1, xe2) for all n. So, taking into account that I−((to, xo1, x

o2)) = ∪n∈NI−((to−

1/n, xo1, xo2)), we deduce the inclusion I−((to, xo1, x

o2)) ⊂ I−((te, xe1, x

e2)), as re-

quired.

�

Also, the characterization of the causal relation given in Prop. 2.2 allow usto give a characterization of the causally simple doubly warped products:

Theorem 2.2. A doubly warped spacetime (V, g) as in (1) is causally simple if

and only if (Mi, gi) is Li-convex for Li =∫ ba

1√αi(s)

ds, for all i = 1, 2.

Main idea: For the implication to the right. Let xo1 and xe1 with

0 < d1(xo1, xe1) < L1 =

∫ b

a

ds√α1(s)

,

then, there exists some c1 and c2 with a < c1 < c2 < b and d1(xo1, xe1) <∫ c2

c1ds√α1(s)

take some point x2 = x02 = xe2 in M2 and consider the following

points (c1, xo1, x2) and (c2, x

e1, x2), then, by Prop. 2.1 we have that (c2, x

e1, x2) ∈

I+((c1, xo1, x2)). Since (c1, x

e1, x2) 6∈ I+((c1, x

o1, x2)), there exists a point

(te, xe1, x2)) ∈ ∂I+((c1, xo1, x2)) = J+((c1, x

o1, x2)) \ I+((c1, x

o1, x2)),

(because (V, g) is causally simple), so, there exists a null geodesic between thesepoints. The projection of this geodesic on M1 will be a minimizing geodesicbetween xo1 and xe1, therefore (M1, g1) is L1-convex, the same reasoning givesthe result for (M2, g2).

For the implication to the left, we have to show that

J±((to, xo1, xo2)) = J±((to, xo1, x

o2)),

for all (to, xo1, xo2) ∈ V . Reasoning for the future case, let

(te, xe1, xe2) ∈ J+((to, xo1, x

o2)),

Causality on doubly warped spacetimes 51

and consider a sequence {(te + 1/n, xe1, xe2)}n ⊂ I+((to, xo1, x

o2)), using Prop. 2.1

and convergence of functions we show that

di(xoi , x

ei ) <

∫ b

a

√µi

αi(s)

(2∑k=1

µkαk(s)

)−1/2ds ≤

∫ b

a

1√αi(s)

ds = Li,

and, since (Mi, gi) is Li-convex we have that Prop. 2.2 implies that (te, xe1, xe2) ∈

J+((to, xo1, xo2)). The past case is analogous.

�

Acknowledgments

The authors are partially supported by the Spanish Grant MTM2016-78807-C2-2-P (MINECO and FEDER funds). L. Aké also acknowledges a grant fundedby the Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT), México.

References

[1] L. Aké, J.L. Flores and J. Herrera, Causality and c-completion of doublywarped spacetimes, arXiv:1709.00234.

[2] J.K. Beem, P.E. Ehrlich and K.L. Easley, Global Lorentzian Geometry.Monographs Textbooks Pure Appl. Math. 202, Dekker Inc., New York(1996).

[3] J.L. Flores and M. Sánchez, Geodesic connectedness of multiwarped spa-cetimes. J. Di�erential Equations, 186(1):1-30, 2002.

[4] J.L. Flores and M. Sánchez, The causal boundary of wave-type spacetimes.J. High. Energy Phys., (3):036, 43, 2008.

[5] E. Minguzzi and M. Sánchez, The causal hierarchy of spacetimes. Zurich:Eur. Math. Soc. Publ. House, vol. H. Baum, D. Alekseevsky (eds.), Recentdevelopments in Pseudo-Riemannian geometry of ESI Lect. Math. Phys.,299�358 (2008).

[6] Volker Perlick. Gravitational lensing from a spacetime perspective. LivingReviews in Relativity, 7(1):9 2004.



Contractions of certain Lie algebras

José María Escobar • Juan Núñez • Pedro Pérez-Fernández

Abstract. This communication is focused on the study of contractions of certaintypes of Lie algebras of low dimension, in order to address the implementation ofthe results to certain physical concepts, such as the boundary process by whichquantum mechanics contracts to classical mechanics. To do this, we consider inthe �rst place the contractions of �liform Lie algebras, which were introduced byM. Vergné in 1966, by using the psi and phi invariant functions, introduced in2008 by Hrivnák and Novotny. These functions are also dealt with other typesof algebra, as Heisenberg algebras among others, and we study the existingcontractions between these algebras.

1. Introduction

At present, the study of certain physical concepts has signi�cantly increaseddue to its signi�cance in limit processes which allow us to relate Lie algebrasbetween themselves. These processes were �rst investigated by Segal [5] in 1951and two are the better known examples of them. The �rst of them involvesthe connection between classical mechanic and relativistic mechanic, with theirrespective Poincaré symmetry group and Galilean symmetry group. The secondone is the limit process by which quantum mechanic is contracted to classicalmechanic, when } → 0, which actually corresponds to a contraction of theHeisenberg algebra to the abelian algebra of the same dimension.

For these reasons physical or mathematical contractions are of great interestnowadays, not only for their applications but for the proper study of their alge-braic properties. So, continuing with this research, the main goal of this paper isto study the proper contractions of certain types of Lie algebras, mainly �liform,although other types of Lie algebras of lower dimensions are also considered. Todo this, we use the invariant functions ψ and ϕ, introduced in 2007 by Hrivnákand Novotný [4] as a tool.

José María Escobar, [email protected]

Departamento de Geometría y Topología, Universidad de SevillaJuan Núñez, [email protected]

Departamento de Geometría y Topología, Universidad de SevillaPedro Pérez-Fernández, [email protected]

Dpto. de Física Aplicada III, Esc. Téc. Sup. de Ingeniería, Universidad de Sevilla

54 J.M. Escobar, J. Núñez, P. Pérez-Fernández

2. Preliminaries

We show in this section some preliminaries on �liform Lie algebras, invariantfunctions in Lie algebras and proper contractions of Lie algebras. A completereview on Lie algebras can be consulted in [3].

The lower central series of a Lie algebra g is de�ned as

g1 = g, g2 = [g1, g], . . . , gk = [gk−1, g], . . . (1)

If there exists m ∈ N such that gm ≡ 0, then g is called nilpotent.The nilpotency index of g if the smallest integer c such that gc ≡ 0.An n-dimensional nilpotent Lie algebra g is said to be �liform if it is veri�ed

thatdim gk = n− k, for all k ∈ {2, . . . , n}. (2)

The only n-dimensional �liform Lie algebra for n < 3 is the abelian.For n ≥ 3, it is always possible to �nd a so-called adapted basis {e1, . . . , en}

of g such that [e1, e2] = 0, [e1, ej ] = ej−1, for all j ∈ {3, . . . , n}, [e2, ej ] =[e3, ej ] = 0, for all j ∈ {3, . . . , n}. All these brackets are called brackets due to�liformity.

If all the structure constants of a �liform Lie algebra, with the exceptionof those corresponding to the brackets due to the �liformity of the algebra, arezeros, then that �liform Lie algebra g is called model.

Now, we recall the de�nitions and main properties of invariant functions ψand ϕ, obtained by Hrivnák and Novotný [4] in 2007.

De�nition 2.1. Let g be a Lie algebra. An isomorphism d of g is called a(α, β, γ)-derivation of g if there exist α, β, γ ∈ C such that

αd[X,Y ] = β [dX, Y ] + γ [X, dY ], ∀X,Y ∈ g

The set of (α, β, γ)-derivations of g is denoted by Der(α,β,γ)g.

De�nition 2.2. The function ψg : C 7→ {0, 1, 2, ..., (dim g)2} de�ned as

(ψg)(α) = dimDer(α,1,1)g

is called the ψg invariant function corresponding to the (α, β, γ)-derivations ofg.

A κ-twisted cocycle (simply κ-cocycle ) is any c ∈ Cq(g, V ), with q ∈ N,verifying 0 =

∑q+1i=1 (−1)i+1κiif(xi)c(x1, . . . , xi, . . . , xq+1) +

∑q+1i,j=1,i<j(−1)i+j

κijc([xi, xj ], x1, . . . , xi, . . . , xj , . . . , xq+1).

Contractions of certain Lie algebras 55

De�nition 2.3. The ϕ invariant function corresponding to an n-dimensionalLie algebra g is the mapping

ϕ : C 7→ {0, 1, . . . , n2(n− 1)

2} de�ned by (ϕg)(α) = dim coc(1,1,1,α,α,α)g.

De�nition 2.4. Let g = (V, [, ]) be an n-dimensional Lie algebra and U :(0, 1] 7→ gl (V ) be an one-parameter mapping. If the limit

[X,Y ]0 = lımε→0+

U−1 (ε) [U(ε)X,U(ε)Y ]

exists for all X,Y ∈ g, we say that g0 = (V, [, ]0) is an one-parameter contractionof the algebra g and we write g 7→ g0.

Finally, with respect to contractions of Lie algebras, let us recall

De�nition 2.5. Let g = (V, [, ]) be an n-dimensional Lie algebra and U :(0, 1] 7→ gl (V ) be an one-parameter mapping. If the limit

[X,Y ]0 = lımε→0+

U−1 (ε) [U(ε)X,U(ε)Y ]

exists for all X,Y ∈ g, we say that g0 = (V, [, ]0) is an one-parameter contractionof the algebra g and we write g 7→ g0.

The contraction g 7→ g0 is said to be proper if g is not isomorphic to g0.The following results were shown in [3].

If g0 is a proper contraction of the complex Lie algebra g, then

1. dim Der (g) < dim Der (g0) .

2. ψg ≤ ψg0 and ψg(1) < ψg0(1).

3. ϕg ≤ ϕg0 and ϕ0g ≤ ϕ0g0.

Moreover, it is satis�ed that, in dimension 3, Condition 2 is a characterizationof proper contractions of g.

3. Extending the de�nitions of the previously de-

�ned invariant functions to the case of �liform

Lie algebras. New results obtained.

With the objective of extending the de�nitions of the invariant functionsψ and ϕ introduced by Hrivnák and Novotný [4] to the case of �liform Lie


algebras of lower dimensions, authors have obtained in a previous paper thefollowing values of these invariant functions for the case of �liform Lie algebrasof dimension 3, 4 and 5 (see [2])

The ψ invariant function for 3-dimensional �liform Lie algebras. Accordingto the notation used in [4], we have obtained that ψf3(α) = 6, for all α ∈ C.

The ϕ invariant function for 3-dimensional �liform Lie algebras. We haveobtained that ϕf3(λ) = 9, if λ = 0, and ϕf3(λ) = 8, if λ ∈ C \ {0}.

The invariant functions ψ for the 4-dimensional �liform Lie algebra f4.Wehave obtained ψf4(α) = 7, for all α ∈ C.

The ϕ invariant functions for 4-dimensional �liform Lie algebra. We havethat ϕf4(α) = 16, if α = 0, and ϕf4(α) = 18, if λ ∈ C \ {0}.

Finally, in the case of the ψ invariant function for �liform Lie algebras ofdimension 5, we have found that ψf5(α) = 9, for all α ∈ C.

4. Some examples of proper contractions between

di�erent types of algebras

In this section we study proper contractions from �liform Lie algebras oflower dimensions to di�erent types of algebras.

4.1. Proper contractions of 3-dimensional �liform Lie al-

gebras

Now, by using some results got by Novotný and Hrivnák in [3], we ha-ve obtained the invariant function ψ for some particular Lie algebras. Indeed,

Contractions of certain Lie algebras 57

g1: Abelian Lie algebraα ∀α ∈ C

ψ3g1(α) 9

g3,1: [e2, e3] = e1α ∀α ∈ C

ψg3,1(α) 6

g2,1 ⊕ g1 : [e1, e2] = e2α ∀α ∈ C \ {0} 0

ψg2,1⊕g1(α) 4 6

g3,2 : [e1, e3] = e1, [e1, e3] = e1 + e2α 1 ∀α ∈ C \ {1}

ψg3,2(α) 4 3

g3,3 : [e1, e3] = e1, [e2, e3] = e2α 1 ∀α ∈ C \ {1}

ψg3,3(α) 6 3

4.2. The invariant function ψH5

The computation of the invariant functions of �liform Lie algebras of dimen-sion odd allows us to compare these algebras with Heisenberg algebras (whichare only de�ned for these dimensions).

With respect to the invariant function ψH5 we have obtained that ψH5(α) =15, for all α ∈ C.

5. Conclusions

As ψf3 ≤ ψg1and ψf3(1) < ψg1

(1), a previous result assures the existen-ce of a proper contraction from f3 to g1. Analogously, the same occursbetween g3,2 and f3 since ψg3,2 ≤ ψf3 and ψg3,2(1) < ψf3(1).

Note that ψf3(1) = 6 and ψg3,1(1) = 6. Therefore, the same result assuresthat there is not any proper contraction between g3,1 and f3. Similarly, thesame occurs between g3,3 and f3 due to that ψf3(1) = 6 and ψg3,3

(1) = 6.

We have also computed the invariant function ψ for the 5-dimensionalHeisenberg algebra and have proved that there is not a contraction fromthe 5-dimensional �liform Lie algebra to the Heisenberg algebra of thisdimension.

Therefore, we can conclude that the 5-dimensional classical-mechanicalmodel built upon a 5-dimensional �liform Lie algebra cannot be obtai-


ned as a limit process of a quantum-mechanical model based on a 5-dimensional Heisenberg algebra.

Acknowledgement

The authors gratefully acknowledge �nancial support by the Spanish Minis-terio de Ciencia e Innovación and Junta de Andalucía via grants No. MTM2013-40455-P and No. FQM-326 (J.N.), respectively, and No. FIS2011-28738-C02-01,FIS2014-53448-C2-1-P and No. FQM160, respectively, (P.P.-F.).

References

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[4] P. Novotný, J. Hrivnák, On (α, β, γ)-derivations of Lie algebras and co-rresponding invariant functions Journal of Geometry and Physics 58

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[5] I. E. Segal, A class of operator algebras which are determined by groupsDuke Math. J. 18 (1951), 221�265.



Lagrangian translators under mean curvature �ow

Ildefonso Castro • Ana M. Lerma

Abstract.We provide a new construction of Lagrangian surfaces in C2 in termsof two planar curves. When we take such curves as appropriate solutions of thecurve shortening problem, including self-shrinking and self-expanding curves orspirals, we will obtain translating solitons which generalize the Joyce, Lee andTsui ones in dimension two [6]. Finally, we characterize locally all examples interms of an analytical condition on the Hermitian product of the position vectorof the immersion and the translating vector that allows us separation of varia-bles. As a consequence we get the classi�cation of the Hamiltonian stationaryLagrangian translating solitons for Lagrangian mean curvature �ow in complexEuclidean plane. This work is based in [1].

1. Introduction

The mean curvature �ow (in short MCF) is one of the most important geometricevolution equations of submanifolds in Geometric Analysis. A family of smoothsubmanifolds F = F (·, t) evolves under the MCF if the speed dF

dt at each pointof the submanifold is given by the mean curvature vector at that point. Hence,the MCF is an evolution process under which a submanifold deforms in thedirection of its mean curvature vector.

There are very interesting results on regularity, global existence and con-vergence of the MCF in several ambient spaces. When the ambient space isEuclidean, the MCF turns out to be the solution to a system of parabolic equa-tions which can be considered as the heat equation for submanifolds. We �rst�x an immersion, which plays the role of the initial condition, and once theexistence and uniqueness of solutions of the MCF are guaranteed in a maximaltime interval [0, T ), the behavior of the MCF is studied by the evolution of theimmersed submanifolds when t → T . Unless the �ow has an eternal solution(i.e., it is de�ned for all t), the MCF fails to exist after a �nite time, giving riseto a singularity. This behavior appears, for instance, when the submanifold iscompact in the Euclidean ambient space.

Ildefonso Castro, [email protected]

Departamento de Matemáticas, Universidad de JaénAna M. Lerma, [email protected]

Departamento de Didáctica de las Ciencias, Universidad de Jaén

60 I. Castro, A. M. Lerma

A natural question is to understand the geometric and analytic nature ofthese singularities. As a �rst approximation, the singularities of the MCF areclassi�ed depending on the blow-up rate of the second fundamental form σ (see[5]). The so-called Type I singularities are those such that the second funda-mental form blow-up is best controlled; the remaining singularities are knownas Type II singularities. It is interesting to mention that there are many simila-rities between the Ricci �ow singularities and the MCF singularities. In fact, inboth �ows the singularities are often modelled by soliton solutions.

Until the mid-nineties most authors studying MCF only considered hyper-surfaces, whereas MCF in higher codimension did not play a fundamental role.Nevertheless, in the last few years, the MCF in higher codimension has attractedspecial attention, mainly when the initial submanifold is Lagrangian in complexEuclidean space Cn. This is due to the fact that the Lagrangian condition ispreserved by MCF (see [8]).

Wang [9] and Chen and Li [3] proved independently that there is no Type Isingularity along the almost calibrated Lagrangian MCF. Therefore it is of greatinterest to understand dilations of the �ow where the point at which we centerthe dilation changes with the scale, called Type II dilations, which convergeto an eternal solution with second fundamental form uniformly bounded. Oneof the most important examples of Type II singularities is a class of eternalsolutions known as translating solitons, which are surfaces which evolving bytranslations with constant velocity.

2. Lagrangian translating solitons

An immersion φ : M → R4 is called a translating soliton for MCF if

H = e⊥,

where e is a �xed nonzero vector which indicates the direction of the translation,e⊥ denotes the normal projection of the vector e, and H is the mean curvaturevector of φ. By scaling and choosing a suitable coordinate system in R4 ≡ C2,we can assume that e = (1, 0) ∈ C2 without loss of generality.

The simplest examples of Lagrangian surfaces in C2 are usually found asproduct of planar curves. If we look for translating solitons for MCF in thisfamily, we obtain the product of a grim-reaper curve and a straight line andthe product of two grim-reaper curves. Recall that the grim-reaper curve is thegraph of − log cos y.

The �rst results in this direction are due to Neves and Tian [7], who ga-ve conditions that exclude the existence of nontrivial translating solitons toLagrangian MCF. More precisely, they proved that translating solitons with a

Lagrangian translators under mean curvature �ow 61

L2-bound on the mean curvature vector are planes, and almost calibrated trans-lating solitons which are static are also planes. Nevertheless, Joyce, Lee and Tsuifound out in [6] new surprising translating solitons for Lagrangian MCF withoscillation of the Lagrangian angle arbitrarily small. They play the same role asthe cigar solitons in Ricci �ow and are important in the study of the regularityof Lagrangian MCF.

2.1. New examples of Lagrangian translating solitons

Let α = α(t) ⊂ C \ {0}, t ∈ I1, and ω = ω(s) ⊂ C \ {0}, s ∈ I2, be regularplanar curves, where I1 and I2 are intervals of R. For any t0 ∈ I1 and s0 ∈ I2,let us de�ne

Φ = α ∗ ω : I1 × I2 ⊂ R2 → C2 = C× C,

Φ(t, s) =

(∫ s

s0

ω(y)ω(y)dy −∫ t

t0

α′(x)α(x)dx , α(t)ω(s)

), (1)

where ′ and ˙ denote the derivatives respect to t and s, respectively. Then, Φis a Lagrangian immersion (more information about this construction can befound in [2]).

Lemma 2.1. Let α be a unit speed planar curve. Assume there exist a, b ∈ R,not vanishing simultaneously, such that the curvature function κα of α satis�es

κα = a〈α, Jα′〉+ b〈α, α′〉

where ′ denotes derivative with respect to the arc parameter of α. Then thefamily of curves αt =

√2at+ 1 ei

b2a log(2at+1) α, with 2at + 1 > 0, is a solution

to the curve shortening �ow (CSF)(∂

∂tαt

)⊥= −→καt

such that α0 = α.

In the limit cases, b = 0 and a → 0 we recover the well-known solutions to theCSF. If b = 0, we obtain that−→κα = aα⊥, that is, α is a self-similar solution to theCSF, self-shrinking or self-expanding according to a < 0 or a > 0, respectively.In particular, the �ow αt =

√2at+ 1α is given by dilations of α. When a→ 0,

we get that −→κα = b (Jα)⊥ so α is a spiral solution to the CSF with velocity |b|,

under the �ow αt = ei btα is given by rotations of α in this case. The propertiesof these curves have been studied in [4].

Taking the curves as in Lemma 2.1 with a = ∓ cosϕ and b = ± sinϕ for agiven ϕ ∈ [0, π) in (1), we obtain that α∗ω is a Lagrangian translating soliton for


mean curvature �ow with translating vector (1, 0) ∈ C2, whose induced metricis (|α|2 + |ω|2)(dt2 +ds2) and its Lagrangian angle map is argα′+arg ω+π+ϕ.

If we focus on the case ϕ = 0, we obtain the following result:

Corollary 2.1. Let α and ω be self-similar solutions for the CSF satisfying−→κα = −α⊥ and −→κω = ω⊥. Then α ∗ ω : I1 × I2 ⊂ R2 → C2 given by

(α ∗ ω)(t, s) =

(|ω(s)|2 − |α(t)|2

2− i(argα′(t) + arg ω(s)), α(t)ω(s)

)(2)

is a Lagrangian translating soliton for the MCF with translating vector (1, 0) ∈C2. By considering the straight lines α0(t) = t and ω0(s) = s, the circle α1(t) =eit, self-shrinking curves αS and self-expanding curves ωE , we obtain up thefollowing particular examples:

(i)

(α0 ∗ ωE)(t, s) =

(|ωE(s)|2

2− i arg ωE(s)−

t2

2, t ωE(s)

),

which correspond to the Joyce, Lee and Tsui examples (see [6]);

(ii)

(α1 ∗ ωE)(t, s) =

(|ωE(s)|2

2− i arg ωE(s)− it, eitωE(s)

),

for which ∂t is a Killing vector �eld;

(iii)

(αS ∗ ω0)(t, s) =

(s2

2− |αS(t)|2

2− i argα′S(t), αS(t)s

),

which satis�es that its Lagrangian angle map is the angle that the tangentvector α′S(t) makes with a �xed direction.

2.2. Classi�cation of Separable Lagrangian Translating So-

litons

In this section, we characterize locally all examples in terms of an analytical con-dition on the Hermitian product of the position vector of the immersion and thetranslating vector that allows us separation of variables (see [1, Theorem 4.1]).

Theorem 2.1. Let φ : M2 → C2 be a Lagrangian translating soliton to the MCFwith translating vector e. Assume that there exists a local isothermal coordinate

z = x+i y such that the smooth complex function (φ, e) satis�es ∂2

∂x∂y (φ, e) = 0.Then φ is �up to dilations� locally congruent to some of the following:

Lagrangian translators under mean curvature �ow 63

(i) the product of a grim-reaper curve and a straight line;

(ii) the product of two grim-reaper curves;

(iii) the example α1 ∗ α2 for some ϕ ∈ [0, π).

As a consequence, we get that if φ : M → C2 is a Hamiltonian stationary(non totally geodesic) Lagrangian translating soliton for mean curvature �ow(note that Hamiltonian stationary Lagrangian means that φ is a critical pointof the area functional among all Hamiltonian deformations), then φ(M) is �upto dilations� an open subset of the Lagrangian

M :={

(z, w) ∈ C2 : w2 = 2 re z e−2 i im z, re z ≥ 0}.

It corresponds to the simplest nontrivial choice election of α1 (the circle α1(t) =eit) and α2 (the line α2(s) = s) in the particular case ϕ = 0.

Acknowledgment

Research partially supported by the MEC-Feder grant MTM2014-52368-P andthe Junta Andalucia grant P09�FQM 5088.

References

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