UNIVERSIDAD DE PANAMA VICERRECTORIA DE · suponerlo se constituyeron en la fuente de energia ate impuls6 mis esfuerzos Quiero dedicarlo a mi amantisima esposa XIOMARA aue estoicamente

UNIVERSIDAD DE PANAMA

VICERRECTORIA DE INVESTIGACIONES Y POSTGRADO

PROGRAMA DE MAESTRIA EN MATEMATICA

SOBRE LOS ESPACIOS LINEALES TOPOLOGICOS

C-SECUENCIALES Y S-BORNOLOGICOS

POR:

JULIO ALBERTO VALLARINO RANGEL

Tesis presentada como uno de los reauisitos 'ara optar

por el grado de Maestro en Ciencias con Especialización

en Matemática

UNIVERSIDAD DE PANANIA

Vicerrectoria de Investigación y Postgrado

Aprobado por:

Director de Tesis: Jorge Re4 M. Ph.D.

Miembro del Jurado: Oscar ivia G., Ph.D.

n,

Miembro del Jurado: 0 ...........„~-,...-...= Augus . Arr"agada, M.Sc.

Fecha:

c

194

Ciudad Universitaria Ottavio Méndez Pereira ESTAFETA UNIVERSITARIA

_ _ _

DEDICATORIA

Quiero dedicar este humilde trabno a auienes se constituyeron en el soporte de este logro y aue sin ellos no hubiese sido posible Es por esto aue

Quiero dedicarlo a mis amados padres YOLANDA y ALBERTO (qepd)ymi auerida tía NIDIA por darme el ser y las enseñanzas aue me han permita do caminar por este mundo

Quiero dedicarlo a mis adorados hijos ISIS IRIS ALBERTO EOEMY y YARISEL aulenes sin sumiera suponerlo se constituyeron en la fuente de energia ate impuls6 mis esfuerzos

Quiero dedicarlo a mi amantisima esposa XIOMARA aue estoicamente supo soportar y comprender mi casi total ausencia de nuestro hogar

Quiero dedicarlo a mis fieles compañeros de estu-dios ENRIQUE JUAN MANUEL WENCESLAO ROBERTO MARIA DIXIANA JOSE RAFAEL y MANUELA ponme nunca de3aron de confiar en mi

Quiero dedicarlo a mi apreciado padre FERNANDO por su apoyo y sus voces de aliento en los momentos más difíciles

Quiero dedicarlo a todos aquellos que no he mencio nado y ate en algun momento de mi existencia con-tribuyeron desinteresadamente para que este momen-to fuese una realidad y

Quiero dedicarlo a todo lo bello de este mundo y al SEÑOR TODOPODEROSO por permitir que todo lo que ha acontecido, aconteciera

et.

cy.uo.utu.0

AGRADECIMIENTO

Quiero expresar en estas peaueñas lineas mi más profundo y sincero agradecimiento a todas las personas que hicieron posible la culmina-ción de este paso de la realización académica de la Universidad de Panamá Por esto

Quiero expresar a mi Profesor JORGE ROJO mi agradecimiento por sus sabias enseñanzas ati-nados consejos e infinita paciencia

Quiero expresar al Profesor OSCAR VALDIvIA mi agradecimiento por sus enseñanzas y desvelos

Quiero expresar al Coordinador del Programa de Maestría EDUARDO STEELE mi agradecimiento por soportar tantas cosas por nuestro bienestar

Quiero expresar al Vice-Rector de Investigación y Post-Grado ABD/EL ADANES mi agradecimiento por sus esfuerzos para hacer de este sueño una realidad

Quiero expresar al Vice-Rector Académico ALFREDO SOLER B mi agradecimiento por su apoyo al Depar-tamento de Matemática en este periodo

Quiero expresar al ex-Rector DIOGENES CEDEÑO CENCI mi agradecimiento por permitir aue el programa fuese puesto en marcha y

Quiero expresar al Rector CEFERINO SANCHEZ mi agradecimiento por su confianza en los estudiantes del programa

INDICE

Introducci6n 2.

Espacios Lineales Topoldgicos C-Secuenciales 1

Espacios Lineales Topológicos S-bornoldgicos 26

Propiedades de Permanencia y otras propiedades 42

Ejemplos y Contraejemplos 66

Conclusiones 81

Bibliografía 86

INTRODUCCION

El trabajo que estamos presentando como uno de los re-

ouisitos para optar por el grado de Maestro en Ciencias con

Esoecializacion en Matemática posee las siguientes caracte-

rísticas crue de inmediato señalaremos

En primer lugar se insoira en el problema de la gene-

ralizacion del resultado válido en general para espacios nor-

mados oue afirma

Si (E o l D E ) (F 1 11F) son espacios normados y f E-10-F

lineal y localmente acotada entonces f E---el-F con-

tinua

El resultado anterior deja de ser válido en general

cuando en lugar de considerar espacios normados se consideran

espacios lineales topologicos arbitrarios

Con el objeto de caracterizar los espacios lineales to-

polágicos aue mantienen la mencionada propiedad Mackey ([5])

y Bourbaki ([2]) introducen los espacios lineales t000lágicos

localmente convexos bornológicos

En el caso de los espacios lineales topologicos en ge-

neral el resultado que persiste es el siguiente

1

Si (E t.) (F Cr) son espacios normados y f E--4.-F

ji

lineal y secuencialmente continua entonces f E-~F

localmente acotada

De esta manera para los espacios lineales topológicos

localmente convexos bornológicos en general y los espacios

normados en particular se tienen los siguientes resultados

Sean (E s t) un espacio lineal topológico local-

mente convexo horno/Mico (F,IT) un espacio li-

neal topológico localmente convexoyfE--~Fli-

neal

(a) Si f E--b-F secuencialmente continua entonces

f E----11-F continua

(b) Si f E --opF localmente acotada entonces

f E —s- F secuencialmente continua

Podemos observar que para las propiedades dadas en (a)

y (b), la hipótesis (E Ti) espacio lineal topológico localmente

convexo bornológico es excesiva en el sentido de cue las con

dimanes continuidad secuencial y acotación local implican

ambas la continuidad de la aplicación lineal

En esta dirección Wilansky 1.24 y Sdpes ([1] ) Introdu-

cen la clase de los espacios lineales topo/Micos cue ,ose-

yendo la propiedad dada en (a) no poseen la propiedad dada

en (b) y viceversa

A estos espacios /os denominan Espacios Lineales to-

pológicos C-secuenciales y espacios lineales topológicos

S-horno/Micos segun que posean la propiedad (a) o la propie-

111

dad (b) respectivamente y son estos espacios el objeto de

nuestro estudio

En otra dirección la presentación de nuestro trabajo

no lleva el esquema usual en el sentido de desarrollarse oor

capítulos y secciones además de una rigurosa numeración de las

definiciones pro~ciones y teoremas

Hemos mecido ensayar un tipo de presentación en donde

el cuerpo del trabajo está dividido por áreas específicas

con sus nombres precisos y en donde no se tiene ningun tipo

de numeración para las definiciones proposiciones y teoremas

Para ello hemos tenido eme superar una serie de difi-

cultades escogiendo cuidadosamente el momento preciso de pre-

sentar las definiciones de enunciar las prolosiciones (aue

involucran prooledades) y los teoremas, para evitar que el lec

tor tenga que mantener por mucho tiempo las mismas antes de

utilizarlas Además, hemos insertado a lo largo del contexto,

una serie de indicaciones al lector con el objeto de señalar-

le el por aué del próximo paso el objetivo Inmediato aue per-

seguimos y la vía que utilizaremos Por ultimo en la redac-

ción del mismo hemos evitado al máximo el uso excesivo de la

eimbología con el fin de oue su lectura sea más ágil y que

responda a nuestra concepción de la presentación

Finalmente el trabajo consta de cuatro áreas en la

IV

primera aue hemos titulado Espacios lineales topológicos

C-secuenciales hacemos el estudio de los mencionados espa-

cios además de examinar algunas de sus propiedades lograr

algunas caracterizaciones y construir la topología C-secuen-

cial en la segunda aue titulamos Espacios lineales topoló-

gicos S-bornológicos hacemos un trabajo similar al primero

para los espacios lineales t000logicos S-bornologicos en la

tercera aue denominamos Propiedades de Permanencia estudia-

mos los límites inductivos los límites inductivos estrictos

productos y subespacios densos de ambos tipos de espacios y

en la cuarta aue simplemente hemos llamado Ejemplos y Con-

traejemplos presentamos modelos específicos de estos esuacios

me nos permiten afirmar aue ninguna de las dos clases de espa-

cios estudiados Incluye estrictamente a la otra

Para finalizar meremos advertir aue la lectura del tra

bajo exige el conocimiento general de los Principios del Aná-

lisis Funcional que se podría obtener del estudio de Ropo ([ 8])

o de Horvath (H)por ejemplo además de la consideracion de

aue todos los espacios lineales tolo16gicos estudiados en el

mismo son espacios topol6gicos de Hausdorff (rt)

ESPACIOS LINEALES TOPOLOGICOS

C-SECUENCIALES

2

Antes de formalizar mediante una sola definición los

espacios lineales tonológicos C-secuenciales daremos algunas

otras definiciones urevias aue utilintremos en la formaliza-

alón de los mencionados espacios

En este sentido es necesario definir los subconjuntos

secuencialmente cerrados y secuencialmente abiertos de un es-

oacio t000logico en general

Definicion (Subconjuntos secuencialmente cerrados)

Sea (E t) un espa=

cio topológico y AGE Se dice aue A es un subconjunto secuen-

cialmente cerrado de E si y solo si para todo punto xCE si

existe una sucesión (xn )c:A tal que la sucesión (xn ) converge

a x segun tl entonces xcA

De otra manera

A C. E secuencialmente cerrado <1~1> [( V x E) ( 3 (xn

xn t x)c=1>x A]

Definición (Subconjuntos secuencialmente abiertos)

Sea (E t;) un espacio

topológico y A CE Se dice cue A es un subconjunto secuencial-

mente abierto de E si y solo si el complemento de A en E es-

to es A es secuencialmente cerrado

De otra manera

A CE secuencialmente abierto 44> [( Vx E) (3(xn) AC

3

x n x ) c==[> x e A c

Estamos en este momento, en condiciones de dar una de-

finición de espacio lineal topológico C-secuencial.

Definición (Espacio lineal topológico C-secuencial)

Sea (E,r) un espacio

lineal topológico sobre F. (E,r) se denomina Convexo-Secuen-

cial o simplemente C-secuencial si y solamente si, todo sub-

conjunto convexo secuencialmente abierto AgE, es abierto se-

gún 25 d 2,-abierto.

Nuestro siguiente paso será el de caracterizar las ve-

cindades secuenciales de un punto en un espacio topológico en

general.

Definición (Vecindad secuencíal)

Sean (E,r) un espacio

topológico, V g_ E,x e E. Se dice que VE es una vecindad

secuencial de xe E, si y solamente si, toda sucesión (x n)liE

que converge según 23 a x, está eventualmente en V. De otra

manera:

't

VE vecindad secuencial de x e E <1.C>psy(x n )_q E, xn --.-x

(x n ) e . e . en y]

<----4> [Vi (x n )ç E , ,---1>9 N 1, tal que 1571 n N,

xn e y]

Las proposiciones a continuación están dirigidas a re-

4

conocer algunas propiedades de los subcon3untos secuenciales

abiertos y de las vecindades secuenciales disqueadas del ori-

gen en el contexto de los espacios topológicos en general pa-

ra el primer ob3eto y en el de los espacios lineales topoló-

gicos para el segundo

Proposición

Sean (E la un espacio topológico VSZE

Entonces para que Vc.E sea secuencialmente abierto es condi-

ción necesaria y suficiente que para toda sucesión (xn)c:E

y todo punto xEV tal que xn-14-x se tenga que la sucesión

(xn) esté eventualmente en V

Demostración

Condición Necesaria

Supongamos que nuestra

tesis es falsa entonces existe una sucesión (x n)cE y existe

xeV tal que y (xn) no e e en V

Luego para todo mi).1 existe xn (IV pero xn ei.x

entonces xni--4-x donde (xnial )CV

Como V es secuencialmente cerrado, puesto que por hi-

pótesis V es secuencialmente abierto entonces xCV lo cual

es una contradicción

De esta manera hemos probado que necesariamente (x n )

está eventualmente en V

5

Condición Suficiente

Supongamos nuevamente

que nuestra tesis es falaz esto es que V no es secuencialmen-

te abierto luego Ve no es secuencialmente cerrado Entonces

existe una sucesión (x n ) Q VC y existe x 6 V tal aue

Luego existe (xn) 5 E y existe x c V tal aue x nies' ..x

pero (xn) no está eventualmente en V puesto que (x n )Q VC lo

cual es contradictorio Así probamos aue V es secuencialmen-

te abierto g

Proposición

Sea (E 15) un espacio lineal topológico

17WE una vecindad secuencial disqueada del origen en E En-

tonces V es absorbente

Demostración

Sea V W E una vecindad secuencial discrueada

del origen en E y supongamos aue V no es absorbente Entonces

existe x e E tal que /11 n e N x f nV luego ‘ii n c N Itn 1 V lo

que implica que (§) C VC

Como { x } es te-acotado y 1 --o- 0 entonces* 'Sr 0

Tenemos entonces que (t) 4 E fl Si- O y (75) no e e en V lue

go V no es una vecindad secuencial del origen lo cual es una

contradicción

Así entonces V es absorbente g

6

Proposición

Sean (E tl) un espacio lineal topológico

p E---.11% una Semi-norma sobre E Entonces para que p

sea secuencialmente continua es necesario y suficiente que

VP = {iceE p(x)C1 }sea una vecindad disqueada y secuencial-

mente abierta del origen en E

Demostración


Supongamos que p E--eR

es una semi-norma secuencialmente continua y consideremos

el con3unto Vp = tx e E p (x)C 1}

Puesto que p es una semi-norma entonces Vp es un dis-

co absorbente

Demostremos ahora que Vp es secuencsalmente abierto

C Para ello consideremos Vp nxEE p(x)41 y (xn)C: Vp tal

que xn —rx

Como \ii nCII xn EVp entonces V neasi p(xn)11 y

puesto que p es secuencialmente continua y xn .ILo-x tendremos

p(xn)---irp(x) de donde n l~im co p(xn)=p(x))11 por lo que XeVp,

con lo que Vp es secuencialmente cerrado y por tanto Vp es se-

cuencialmente abierto


Supongamos ahora que

7

Vp = {xEE p(x)<1 } es una vecindad chequeada secuencialmente

abierta del origen en E

Tendremos entonces que V p es absorbente de donde el

funcional de Minkowski gvp de Vp es una semi-norma

Veamos que gvp es secuenclalmente continua

Supongamos que no lo fuera entonces existe (x n)GE

con y egv (xn) --1-4-0 esto es

3 6> O, tal que V m€ IR 3 nm E el tal que gvp (xnin)?„. 6 pero

esto nos lleva a que Svp ( xnm/s )11 lo que nos dice que

xn111/6

Vp o que x Vp y puesto que nm ---11-0 y Vp es se-

cuencialmente cerrado, tendríamos 0E4, lo cual es una con-

tradicción

De esta manera hemos probado que g vp es secuencialmen-

te continua 11

Proposición

Sean (E tl) y (F,V) espacios topológscos

vsE un abierto secuencial y h E un homeomorfismo de E

en F Entonces h(V) es un abierto secuencial

Demostración

Sea v GE un abierto secuencial Conside-

remos [h(V)i C y (xn )1;5(V)3 C con xn24.x

C Puesto que [h(V)) C = h(VC), entonces

-1 se -1 con h (xn)--4-h (x) dado que h es un homeomorfismo

8

Como V es cerrado secuencial puesto que por hipótesis

✓ es abierto secuencial entonces h-1 (x) VC luego

-1 h(h (x)) = x6h(Vc) = [h(V)j

C por tanto h(V) es cerrado

secuencial con lo que h(V) es abierto secuencial de (F 7)

Proposición

Sean (E TI) y (F rj) espacios topológicos

h E-3-F un homeomorfismo VE una vecindad secuencial de

x6E Entonces h(V) es una vecindad secuencial de h(x) en

( F

Demostración

En efecto sea (yn)QF con yn Zah(x) como

h es un homeomorfismo he l (yn)-11•- x y dado que V es vecindad

secuencial de x 6 E 3 1411, tal que V niN se tiene hal (yn) V

Luego31411.1, tal que VnCN se tiene yn h(V) con lo que h(V)

es una vecindad secuencial de h(x) en (FIZI)

Una vez obtenidas las propiedades mostradas en las pro

posiciones anteriores nuestro ob3etivo inmediato será el de

enunciar el Teorema que nos brindaré la primera caracteriza-

ción de los espacios C-secuenciales en función de los abier-

tos de la topología, los subcomuntos secuencialmente abier-

tos las semi-normas secuencialmente continuas las vecinda-

des del origen para la topología y las vecindades secuencia-

les del origen

9

Teorema

Sea (EX) un espacio lineal topológico sobre IK

Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes

(1) (E ira es C-secuencial

(ii) Todo disco secuencialmente abierto de E es t-abierto

(un)Toda semi-norma secuencialmente continua sobre E, es

continua

(iv)Toda vecindad secuencial disqueada del origen en E es

una te-vecindad del origen en E

(v) Toda vecindad secuencial convexa del origen en E es

una /S-vecindad del origen en E

Demostración

(i)==>(11.)

En efecto si (E II) es C-secuen

cial entonces todo convexo secuencialmente abierto de E es

/5-abierto luego en particular todo convexo equilibrado

(disco) secuencialmente abierto de E, seré r-abierto

(11)==e>(iii)

Supongamos que todo disco se-

cuencialmente abierto de E es 11-abierto, y consideremos

p E—.-IR una semi-norma secuencialmente continua sobre E

Probemos que p es continua mostrando que V p= (xSE p(x)<: 1}

es una 11-vecindad del origen en E

10

En efecto puesto que p es una semi-norma secuencialmen-

te continua entonces Vp es una vecindad disqueada secuencia'

mente abierta del origen en E y poros") Vp será una vecindad

disqueada t-abierta del origen en E, esto es V p eWO 11)

(iii)==t>(iv)

Asumamos ahora que toda semi-

norma secuencialmente continua sobre E es continua y consi-

deremos VE una vecindad secuencial disqueada del origen en

E Probaremos que VÉVIO U) mostrando que g v el funcional

de Minkowki de V es continuo

Puesto que V es una vecindad secuencial disqueada del

origen en E, entonces V es absorbente y de esta manera

gv es una semi-norma secuencialmente continua de don-

de por (iii) gv es continua

(1v) =1>(V)

Presentaremos la demostraci6n en

dos fases atendiendo el hecho de que K=RolIC =

Para el primero de los casos (CK = R) sea V una vecin-

dad secuencia' convexa del origen en E

Probaremos que V es una t-vecindad del origen en E

mostrando que contiene una de tales U-vecindades

Para tal efecto consideremos el subconjunto de E wsvn(-17)

Tenemos que W es convexo por ser intersección de convexos

y vecindad secuencial del origen en E por ser intersección de

vecindades secuenciales del origen

Por otro lado, W es simétrico puesto que si x6W1(-11),

entonces también -x6W1(-V) y siendo E< = IR tendremos que W

es equilibrado

Asi pues W es una vecindad secuencial disqueada del

origen en E y por (iv), W es una U-vecindad

Finalmente basta recordar que W = V n (-V) V

Para el segundo caso esto es K = C sea VGE una ve-

cindad secuencial convexa del origen en E, utilizando el ar-

gumento al que recurrimos en el caso anterior para mostrar

que V es una t-vecindad Consideremos en esta ocasión, U

el nucleo equilibrado de V

Puesto que 06V, entonces U # 0, de donde U =iniV,

y como por hipótesis V convexo U también lo es

Probaremos ahora que U es una vecindad secuencial del

origen en E mostrando que contiene una vecindad de ese tipo

1 Con este fin sea W = 2 [lin (-V) n (3.v) n (-2v)]

Es inmediato que W es vecindad secuencial del origen

en E puesto que es intersección de vecindades secuenciales

del origen en E

Demostraremos ahora que WILZU , con lo cual U seré

veciendad secuencia' del origen en E

32

Sean x EW o( e e con I 0(1) 1 Entonces I ars la s

Sean además o(i o( 2 e CR tales que °t al= 13(1+ 10(2

y 5 m i °111+16(21

Así tendremos que

al e lx = 0(1 x + i a( 2 x = al( sign di) x + IV ( i agn 42)x I

Haciendo x 1 = ( sign di)x y x2 = (i sgn o( 2 )x tendremos

ar ix zr- S [ 'ti + Igsd x2]

Dado que W es invarlante bajo la multiplicación de

1 -1 i - 1 tendremos que x 1 x2 e W y puesto que 1s es convexo

por ser intersección de convexos entonces 41 x1 +41 x2 e W

Como I « al l < 1 entonces S= 1°( 11 + H( 21C1.1-1 1 + 1 0( - 1 1 41 2 Por otro lado, teniendo que W

1Q--V entonces 2

2( 41x1+ 41 x2 ) = -heti I xi+ 1121 x2 3€ V

Utilizando el hecho de que V es convexo y el hecho de que

f<1. tendremos

S 2 S ( 2 )( §)(141 1 xi+19(2 1x2 )+(1- 2 ) (o) = ck x1 F 2 x2

=1°,11(ggn «1 ) 3'3+1 12 I (1 agna(2 )x2

=11 1 xl +

= 0( lx e y

-1 Ahora, dado que 11( xe V tendremos xe4V,V14(111, en-

tonces x e U de donde W Q U Así pués U es una vecindad secuencial disqueada del

origen en E, y por (iv) U es una /S-vecindad del origen en E

13

Finalmente bastará reconocer que U C V para concluir

que VE.V10 )

(v)=>(i)

Supongamos finalmente que toda

vecindad secuencial convexa del origen en E es una /1-vecin-

dad del origen en E

Por el hecho de que las traslaciones son homeomorfismos,

la afirmacion anterior es equivalente a la siguiente proposi-

ción

Toda vecindad secuencial convexa de un punto es una 11-vecin-

dad de dicho punto

Así pues si A es un abierto secuencia' convexo enton-

ces A es vecindad secuencial convexa de cada uno de sus puntos

y (v) nos lleva a que A es una /:-vecindad de cada uno de sus

puntos de donde A es te -abierto 11

La proposici6n que estudiaremos de inmediato nos permi-

tirá caracterizar las aplicaciones lineales secuencialmente

continuas entre espacios lineales topológicos a partir de las

vecindades secuenciales del origen del espacio dominio

Proposici6n

Sean (E 21) (F.Zr) espacios lineales topoló-

gicos y f E—~F una aplicación lineal de E en F

Una condición necesaria y suficiente para que f sea se-

14

cuencialmente continua es que la imagen inversa por f de to-

da II-vecindad del origen en F sea una vecindad secuencial

del origen en E

Demostración

Condicion Necesaria

En efecto supongamos

VS; F una 3'-vecindad del origen en F con V 7-abierta

Entonces Vc resultará 7-cerrada y por tanto contendrá todos

los puntos limites de sus sucesiones convergentes

-1r c:r- Consideremos ahora (xn )--L (V)j c con xn---.- x

Como [f-i (Vj e = f-1 (Vc) entonces f(xn)51' Vc y ade-

más f(xn)-24-f(x), puesto que por hipótesis f secuencial-

mente continua

Dado que Ve CV-cerrado, entonces f(x)C V c lo que nos

lleva a que x C f-1 (i/c) = Ef-1 (V)i c

-1 .1 De esta manera hemos probado que [f (Vu c es secuen-

cialmente cerrado en E y por tanto f -1 (V) es secuencialmente

abierta de donde f -1 (V) es una vecindad secuenclal del origen

en E


Puesto que por hipótesis

f E-40-F es lineal, bastará aue demostremos la continuidad se

cuencas' de f en las sucesiones convergentes al origen en E

15

Para tal efecto, sea (xn )51 E con xn ---11- O y sea IrEVIO

Como 174/10 C1) entonces por hipótesis f -3 (V) es una

vecindad secuencial del origen en E y como xn —o- O tendremos

que 3N)' tal que con Vn;>111 tendremos xn erl (V), con lo

cual Bol, tal que con V n.7014 se tiene f(x n)C V Puesto que la vecindad V del origen en F considerada es

arbitraria entonces f(xn )-2-0- O = f(0)

Así pues f es secuencialmente continua 11

Con la carecterización anterior de las aplicaciones li-

neales secuencialmente continuas entre espacios lineales topo-

lógicos podemos lanzarnos a enunciar y demostrar el siguiente

teorema que nos dará una segunda caracterización de los espa-

cios lineales topológicos C-secuenciales en esta ocasión en

función de las aplicaciones lineales secuencialmente continuas

sobre espacios lineales topológicos localmente convexos

Teorema

Sea (E 11) un espacio lineal topológico sobre K

Entonces

(1) Si (E,15) es C-secuencial entonces dado (F ti) un es

L'amo lineal topológico localmente convexo sobre IK

y f E una aplicación secuencialmente continua

de E en F, se tiene que f es necesariamente continua

36

(2) Si (E ge,) posee la propiedad a continuación

Dado (F U i). espacio lineal normado sobre K y

f E-0-F aplicación lineal secuencialmente continua

de E en F entonces f continua entonces (E,t) es

un espacio lineal topológico C-secuencial

Demostración

(1)

Supongamos que (E,U) es un espacio lineal

topológico C-secuencial y sean (F :0 un espacio lineal topo-

lógico localmente convexo sobre K y f E-0-F, una aplicación

lineal secuencialmente continua de E en F

Probemos que f es continua

Para ello, sea V una vecindad del origen en F con V

disqueada

Puesto que f es lineal entonces f-1 (V) es disqueada y

como f es secuencialmente continua, f-1 (V) es una vecindad se-

cuencial del origen en E y finalmente como (E 11) es C-se-

cuencial f-1 (V) es una 15-vecindad del origen en E

Así pues f es continua

(2)

Asumamos ahora, que (E,1:) tiene la propie

dad enunciada en (2) y pxobemos que (E s te) es C-secuencial

Para ello consideremos a VII E una vecindad secuencial

disqueada del origen en E y probemos que V es 15-vecindad del

17

del origen en E.

Sea gv 12 el funcional de Minkowski de V.

Puesto Que y es disco, entonces g v es una semi-norma

y como V es una vecindad secuencial del origen en E, entonces

gv es secuencialmente continua y además, V, SIV.

Consideremos ahora N = E : gv (x) =

Es inmediato que N es un subespacio lineal de E, con

lo cual podemos considerar el espacio lineal normado ( E/N•Hiv )

donde:

E/N designa el espacio lineal cociente de E módulo N y.

11. lv : E/N —4»..1k dada por V Fc e E/N, ii v = gv (x)

Sea ahora 40: E E/N la suryección canónica de E

en E/N.

Sabemos que y es lineal y veamos ahora que 4? es

secuencialmente continua. Para ello, sea (x n )51 E con x- ' -O

y probemos que ( tp(xn )) es tili v-convergente a N en E/N.

En efecto, puesto que g v es secuencialmente continua y

xn O, entonces (g v (xn ) )9; 11 con gv (xn )---e- O.

De esta manera, como N (fi (Xn ) U si = II In II v =

entonces 114)(x n ) H v ---4-0 de donde (9p(xn )S. E/N es 1.k-con-

vergente a !f(0) = = N.

Así pues 9:E E/N es secuencialmente continua, de

donde, por hipótesis, y será continua.

18

Finalmente sea E1lv

la bola unitaria de E/N

Como go es continua entonces 4, -1 (81 lv

)410 1:)

Pero mp -1 03I 117 ) = { x E/ gp(x) B iv

= x e E/ Iwoc) v e: 1 I

x E/ gv (x)(:

ygv

luego vgv ellIto ts) y como Vgv gV se tendría que V es 1:-vecin

dad del origen en E

De esta manera (E 11) es un espacio lineal topológico

C-secuencial

Corolario

Sea (E,I1) un espacio lineal topologico sobre

K Para que (E,11) sea C-secuenclal es necesario y suficiente

que posea la siguiente propiedad

Dado un espacio lineal topológico localmente convexo

(F,Ur) sobre K y una aplicación lineal secuencialmente conti-

nua f E----~F de E en F entonces f es continua

Demostración

En efecto la necesidad del corolario nos

la brinda la condición (1) del teorema anterior y la suficien-

cia la condición (2) del mismo dado que en particular los

espacios lineales normados constituyen espacios lineales to-

poldgicos localmente convexos 11

19

Una vez caracterizados los espacios lineales topológi-

cos C-secuenciales en las dos vías en que lo hemos logrado

nuestro interés se centrará en la construcción de topologlas

que constituyan espacios lineales topológicos localmente con

vexos dados en espacios lineales topológicos C-secuenciales

así como también examinaremos algunas de sus propiedades y su

relación con la topología original dada

En este sentido enunciamos el siguiente

Teorema

Sea (E,11) un espacio lineal topológico localmen

te convexo sobre K

Sealics la colección de todas las vecindades 11-se-

cuenciales disqueadas del origen en E

Entonces 'p eses una base local de una unica topología

lineal que denotaremos por 2: cs tal que (E tes) es un espa

cio lineal topológico localmente convexo sobre K

Además los espacios lineales topológicos localmente

convexos (E,11) y (E f tes ) tienen las siguientes propiedades

( 3 ) t4 eCcs

(33) (E /1) es C-secuencial si y solo si T› tcs

(333) tly tcs poseen las mismas sucesiones convergen-

tes

(3v) ti. cs es la más fina de todas las topologias lineales

20

localmente convexas sobre E para las cuales las

sucesiones convergentes son las mismas que para le ( v) (E. leca) es 0-secuencial

Demostración

Sea

'en = {VC E V vecindad t-secuencial disqueada

del origen en E }

Mostremos que ,cs posee las propiedades exigidas en el

Teorema 1 de [4]

En efecto Yen es una colección no vacía puesto que

toda t -vecindad taqueada del origen en E es también una

vecindad fe-secuencial disqueada del origen en E

Por otro lado, dado VC7,03 , tenemos que V 0 O. puesto

que O C V

De otra parte, dadas V, V elles tendremos que VnV

dado que si (xn )C E con xn S- O entonces existen N 11 N 1 1

tales que V n IN y Vin IN' se tiene xn e V y xin e V I Por

tanto, tomando M= ma3c ( N, N' I obtenemos que V n II M xn c V n V

Además siendo cada V Clonn chequeada y vecindad t-se

cuencal del origen en E, se tiene que en particular cada

V eyinn es equilibrada convexa y absorbente

Por último, dada veyes , tendremos que U= ¡V cV es

equilibrada (pues V lo es) y siendo las homotecias de razón

21

no nulas homeomorfismos entonces U es convexa y vecindad

Z-secuencial del origen en E por tanto Utrics Finalmente,

siendo V convexa se tendrá U + U = ¡V + 115 V

En consecuencia existe una untos topología que denota

remos 1: sobre E tal que (E 1Scs ) es un espacio lineal to cs

pológico localmente convexo para la cual p es es una base

del filtro de vecindades del origen en E

Además

(7)

En efecto dada V tt-vecindad disqueada del origen

en E existe 1) 11-abierto tal que 0E0 y 15)c:V

Como e es e-abierto, entonces E) c es T.,-ce

rrado, de donde Do es secuencialmente cerrado

por tanto E) es secuencialmente abierto y final-

mente v O 'eco )

Así t4tcs

(3))


Consideremos V una 'e-vecindad

secuencial disoueada del origen en E Entonces

VeV(0 tes) Como por hipotesis 'emir -cs en-

tonces V es una vecindad disqueada del origen para

Luego (E /) es un espacio lineal topológico C-se-

22

cuencial


Como por (3) tenemos que t4 tc.

bastará mostrar que tInno411

Para tal efecto consideremos W una Unn-vecindad

del origen en E entonces existe V, una vecindad

disqueada 1:-secuencial del origen en E tal que

VSW

Como (E,I1) es C-secuencial por hipótesis tendre-

mos que V es una 1:-vecindad del origen en E y co-

mo V W, tendremos que W es una 1:-vecindad del

origen en E, con lo que fecg 441:

( 333 )

Como por (3) se tiene que 'tata entonces es in-

mediato que toda sucesión tnn-convergente será

también 1:-convergente

Sea ahora (xn ) E, tal que xn :94w0 y considere-

mos W una 1:cs -vecindad del origen en E

Como WSOV(O Unn ) entonces existe V una vecindad

15-secuencial disqueada del origen en E tal que

W

Veamos que (xn) está eventualmente en W

Supongamos que no es así

23

Entonces, Vm11. 3 nm > m o tal oue xnm . w luego

Vrn)1 3 nm > m tal que xnnp Ve

Como xnm S.rO y V d es t-secuencialmente cerrada

se tendrá 06Vc lo cual es una contradicción

Por tanto 3 0 1 tal crue V nN x n evs w luego

(xn) es tes-convergente

(3v)

Sea mol otra topología localmente convexa sobre

E tal que posee las mismas sucesiones convergentes

aue para r

Consideremos V= E, una t'-vecindad disaueada

del origen en E y (xn) S E tal oue x n a—bw.0

Entonces, (xn ) está eventualmente en V y como

xn :Sel- O, por hipótesis se tiene que Velbcs con

lo cual V es una tes-vecindad discrueada del

origen en E

De esta manera hemos probado que r ocs

(y)

Para mostrar que (E tes) es C-secuencial mos-

traremos que (ros) cs = tes y por (3)) (E, ras)

será C-secuencial

Verifiquemos ue (ecs)cs y t poseen las mismas

sucesiones convergentes y por (3v) ( tos) cs 4 tes

24

Por (333) (1:cs)cs y tes ooseen las mismas sucesio

nes convergentes y por (333) 1:cs y 1: también po

seen las mismas sucesiones convergentes luego

(15cs)cs y 1: poseen las mismas sucesiones conver

gentes

Por otro lado por (3) tenemos que 1:cs41(1:cs)cs

Así pues, hemos logrado probar que 1:cs = (1:cs)cs • Proposición

Sea (E 12 un espacio lineal topológico en

tonces entre todas las t000logias localmente convexas que

poseen las mismas sucesiones convergentes que para TI, tes

es la única para la cual (E tcs) es un espacio lineal topo-

lógico C-secuencial

Demostración

Por teorema anterior tenemos que ras es

una topología localmente convexa sobre E tal que posee las

mismas sucesiones convergentes cue 1: y, además (Eptcs) es

un espacio lineal topológico C-secuencial

Veamos me 1:cs es la unica topología sobre E con las

propiedades mencionadas

nes Para esto sea 4.• otra topología localmente convexa

sobre E tal que posee las mismas sucesiones convergentes que

1: y me además (E, fe) es un espacio lineal topológico

25

C-secuencial

Puesto que 1: y t' poseen las mismas sucesiones conver-

gentes, tenemos t417.cs Probemos ahora oue rcs01 1 con lo

que habremos mostrado que e= tos

En esta dirección consideremos VE una vecindad con-

vexa del origen para tos y (xn)SE E con xn .-14-12

Como, por hipótesis Ire l te y tos poseen las mismas

to. sucesiones convergentes entonces x n---4.-C), por lo cual (xn )

e e en V de donde yg E es una vecindad secuencia' convexa

del origen para t y siendo (E /I) un espacio lineal topo-

lógico C-secuencial se tendrá que V SiE es una vecindad con-

A m vexa del origen para ti' con lo que °Coa wa

ESPACIOS LINEALES TOPOLOGICOS

S-BORNOLOGICOS

27

Basados en las definiciones dadas en las secciones pre-

cedentes podemos enunciar nuestra definición de Espacio Lineal

Topológico S-bornologico

Definición (Espacio Lineal Topológico S-Bornologico)

Sea (E /5) un espa-

cio lineal topológico sobre K (E t.) se dice Secuencialmente

Bornológico o simplemente S-bornológico si y solamente si to-

do subcomunto bornívoro convexo AS: E es una vecindad secuen-

cial del origen en E

Una vez dada la definición de un espacio lineal S-borno-

lógico nuestro siguiente paso será el de enunciar un Teorema

que nos dará una primera caracterización de tales espacios

a partir de los discos bornívoros del espacio las vecindades

secuenciales del origen en él y las semi-normas localmente a-

cotadas definidas sobre él

Teorema

Sea (E 1S) un espacio lineal topológico sobre K

Entonces las siguientes proposiciones son eauivalentes

(1) (E,15) es S-bornológico

(ti) Todo disco bornívoro en E es una vecindad se-

cuencial del origen en E

(iii) Toda semi-norma localmente acotada sobre E, es

secuencialmente continua

28

Demostración

(1)=(> (si)

En efecto si (E 11) es S-borno-

lógico entonces todo subconjunto bornivoro convexo de E es

vecindad secuencia' del origen en E luego en particular to-

do subconjunto bornivoro convexo equilibrado (disco bornivoro)

de E será vecindad secuencial del origen en E

(a) c=C> (ili)

Supongamos que todo disco bor-

nivoro de E es vecindad secuencial del origen en E, y consi-

deremos que p E --b-R es una semi-norma localmente acotada

sobre E

Probemos que p es secuencialmente continua, mostrando

que Vp = irceE p(x) < 11 es una vecindad secuencia' del ori

gen en E

Puesto que p es una semi-norma, entonces Vp es un das-

CO

Probemos ahora que Vp es bornívoro

Para ello, sea Ei E con 8 acotado y supongamos cue

Vp no absorbe a 13 Entonces V n1 se tiene crue 85PnV p de

donde V n 1, 3 xne 8 tal que xn 4 nVp luego V ni

3 xn 8, tal que 4114 vp cor tanto V a 1 3 xn B, tal

que p 3(-11) 1, entonces Vn II, 3 xn e B, tal aue o (xn) n y

79

así tiri p(xn ) =Cb

su Como asa P(x) en

p 11 P (xn) = c» , tendremos que p no es

acotada sobre B lo cual es una contradicción a nuestra hipó-

tesis

De esta manera V absorbe a B con lo cual V es un dis

co bornívoro de E y por (ii) V p es una vecindad secuencial del

origen en E así hemos demostrado que p es secuencialmente

continua

(iii) =41> (1)

Asumamos ahora que toda semi-

norma localmente acotada sobre E es secuencialmente continua,

y sea V SE con V un bornívoro convexo

Probemos aue V es una vecindad secuencial del origen

en E, mostrando que contiene una de tales vecindades

Para ello, consideremos b(V) el nucleo equilibrado de

Puesto que V es bornívoro tendremos que OEV de donde

b(V) 0 y finalmente b(v) = rIAV mml

Como V es convexo entonces b(V) es también convexo y

siendo b(V) equilibrado tendremos que b(V) disco

Probemos ahora que b(V) es un bornívoro

Con tal fin, consideremos B SE con B acotado y e(B)

la cápsula equilibrada de 3

30

Como B es acotado entonces e(B) es un subconpunto aco-

tado y eauilibrado de E por tanto

VIXI>1 %71e(B) c: e(B) de dondeVIX111, e(B) SI ae(B) luego

e (B)9Y-) M(B) mol

Por otro lado como V es bornivoro y e(B) es acotado

entonces:300 tal que e(B)51 oCV luego Viarll e(B)51. X(0(17)

de donde e(B)SinloCV por lo rue e(B)54 n .v por tanto con mol

e(B) Si o(b(V) y como Bil e(a), tendremos aue b(V) es un borni-

VOr0

Siendo b(V) un disco bornivoro entonces gb(v) el fun-

cional de Minkowski de b(v), es una semi-norma sobre E

Probemos ahora que es una semi-norma localmente gb(v)

acotada sobre E

Sea Ac= E con A acotada y supongamos aue gb(y1 no es

acotada sobre A

Entonces Val 3ane A tal que gb(v) (an)> n2 o de la

otra manera gb (v)(1111)> n tendremos entonces /9/ n Sane A

an tal que r•m. y n b(V)

Como \/ n ;11 an e A tendremos que (an ) S Ay puesto

que A es acotado se tendrá Can) acotado

1 Por otro lado como y Can) es un acotado entonces

a a de donde (-D) también es un acotado

an Como b(V) es bornfvoro, .9m111, tal aue -- e m b(V) Xrn>1

31

a., luego ir-e m b(D), lo cual es una contradicción

Así tenemos que gb(v1 es una semi-norma localmente aco-

tada sobre E y por (sil) gb(v) es una semi-norma secuencialmente

continua sobre E, de donde b(V) es una vecindad secuencia' del

origen en E

Finalmente puesto que b(V)SV tenemos aue V es una ve-

cindad secuencia' del origen en E, con lo que probamos aue (E 1:)

es S-bornológico 11

La proposición que enunciaremos a continuación caracte

rizará las semi-normas localmente acotadas sobre un espacio

lineal topológico (E fe) a partir de los discos bornívoros del

espacio

Proposición

Sea (E,1n) un espacio lineal topológico sobre

K Y P Es—e-R una semi-norma sobre E

Es condición necesaria y suficiente para aue p sea lo-

calmente acotada en E que Vp = {x6E p(x)< 1) sea un dis-

co bornívoro de E

Demostración


Seap E---e-Runa semi-

norma localmente acotada en E Entonces Vp = lic€ E p(x)< 1 1

es un disco absorbente de E

32

Veamos que Vp es11-bornfvoro

Para ello consideremos All E con A 11-acotado Puesto

que p es localmente acotada, se tiene aue3a(>0 tal aue

tic1 suo x e A {P (x) } <o( luego:11>4 0 tal que xsuePA

Pa.. t' s de donde

13 1g>0 tal que Va A levp por tante:C:914,0 tal que Vx A,

x€44Vp, entonces 13/4(1, 0 tal aue ACc<Vp por lo aue Vp es

11-bornlvoro



Vp = {xEE p(x)C:1) es un disco bornivoro de E

Verifiquemos que p es localmente acotada

Para ello sea A 9.1 E con A un 41-acotado

Puesto que Vp es 11-bornivoro tendremos que3c>0

tal que Acco(Vp luego Jopo, tal que VxGA p(x)<c(,

suP por tanto Sh( :1> 0, tal que x e A lv Cei con lo aue p(A) es aco-

tado en R con lo cual p es localmente acotada 11

Una vez caracterizadas las semi-normas localmente aco-

tadas a partir de los discos bornivoros del espacio enuncia-

remos el siguiente Teorema que pondrá a nuestra disposición

una segunda caracterización de los espacios lineales topoló-

gicos S-bornológicos, esta vez a partir de las aplicaciones

lineales localmente acotadas sobre espacios lineales topo16-

gicos localmente convexos

33

Teorema

Sea (E 1: ) un espacio lineal topológico sobre K

Entonces

(3) Si (E r ) es S-Bornológico entonces dado (F ZI )

un espacio lineal topológico localmente convexo

sobre 1K y f E-9-F una aplicación lineal local-

mente acotada de E en F se tiene que f es nece-

sariamente secuencialmente continua

(33) Si (E 1: ) posee la propiedad a continuación

Dado (F 1 II) un espacio lineal normado sobre K y

f E---4-F una aplicación lineal localmente acota-

da de E en F entonces f es secuencialmente con-

tinua entonces (E lr. ) es un espacio lineal to

pológico S-bono/Mico

Demostración

(3)

Supongamos eme (E 15) es un espacio li-

neal topológico S-bornológico y sean (F 7 ) un espacio lineal

topológico localmente convexo sobre K y f E--~F una apli-

cación lineal localmente acotada de E en F

Probemos cue f es secuencialmente continua

Para ello sea V una vecindad del origen en F, con V

disqueada

34

Puesto que f es lineal entonces f -1 (V) es disqueada

Veamos que f-1 (V) es un disco bornivoro

Consideremos, para tal fin A 51 E con A 41-acotado

Puesto que f es localmente acotada entonces f(A) es Zi-aco-

tado en F Así 3 O O tal que f (A) S CV, de donde 3 o o

tal que A g. v(f-1 (y) con lo aue f-1

(V) es un disco bornivoro

de E y como (E t) S-bornologico f(V) es una vecindad secuen

cial del origen de donde f es secuencialmente continua

(n)

Asumamos ahora que (E ir,) posee la pro-

piedad enunciada en (33) y probemos que (E g et') es S-borno16-

gico

Para ello, consideremos V 5 E con V un disco bornivoro

y mostremos aue V es una vecindad secuencial del origen en E

Sea gv E--o-Ft el funcional de Minkowski de V

Puesto aue V es un disco bornivoro de E entonces

gv E --*-11 es una semi-norma localmente acotada y además

CV vgv

Consideremos ahora N = (xEE g(x) = O) y puesto aue

N es un subespacio lineal de E, podemos considerar el espacio

lineal normado (E /W,Hi v ) donde

E/M designa el espacio lineal cociente E módulo N y

iv E/N IR dada por VIC E/E. IR II = ) v gv x

35

Sea ahora cp E --I- E /N el epimorfismo can6nico de E

en E/N

Tenemos que 19 es lineal verificaremos que 19 es

localmente acotada en E

Para este efecto, sea A un U-acotado de E y mostre-

mos aue 19(A) es II v- a cotado en E 1147

Puesto aue gv es localmente acotada y A es se-acota-

do de E entonces 9 o< >O tal clue Vx CA, gv (x)al( luego

Vx CA, II 19(x) II v = IR il v = g(x)« s de donde xsa /9(x) Ilv

con lo cual "(A) es II I v-acotado en E/14 por lo aue 190 es

localmente acotada en E

Siendo E E/17 lineal y localmente acotada en-

- tonces 19 es secuencialmente continua, de donde te 1

(B )iv

es una vecindad secuencia' del origen en E

Pero 4, -1 (131 1)= {x E tp(x) S i iiv }

{x E E Ap(x)Il v <1}

= ix C E gv (x) <11

=v gy Luego V es una vecindad secuencia' del origen en E

gv

y como VOv cV entonces V es una vecindad secuencia' del ori-

gen en E con lo cual (E 12 es S-bornológico 11

Corolario

Sea (E,11) un espacio lineal topologia° sobre

I UNIVE SIDAJ DE PANAMA

BIBLIOTECA

36

K Para aue (E 1:) sea S-bornologico es necesario y suficien

te que posea la siguiente propiedad

Dado un espacio lineal topológico localmente convexo (F C•)

sobre K y una aplicación lineal localmente acotada f E ---0.17

de E en F entonces f es secuencialmente continua

Demostración

Es claro que la condición necesaria del co-

rolario nos la ofrece (3) del teorema anterior y para la con-

dición suficiente basta considerar (33) del mismo teorema,

ya que los espacios lineales normados son espacios lineales

topológicos localmente convexos particulares • Lograda la caracterización de los espacios lineales

topológicos S-bornológicos en los sentidos en que lo hemos he

cho, pasaremos a estudiar la construcción de topolOgias sobre

espacios lineales topológicos localmente convexos dados de

manera tal que se constituyan en espacios topológlcos S-bor-

nológicos además de estudiar algunas de sus propiedades y su

relación con la topología original dada

Con este fin enunciamos el siguiente

Teorema

Sea (E r) un espacio lineal topológico localmen

te convexo sobre K

Seayb la colección de todos los discos 11-bornivo-

37

ros de E

Entonces jb b es una base local de una única topología

lineal Que denotaremos por 4elb tal aue (E rb) es un espacio

lineal topológico localmente convexo sobre K

Además los espacios lineales topológicos localmente

convexos (E,t),(E er- ) (E tb) tienen las siguientes pro-

piedades

(3) t'Oca 4 tb

(n) (E IS) S-bornológico si y solo si r es = tb

(m) Ily tlb poseen los mismos acotados, esto es A(/5)=.

b )

(3v) t b es la más fina de todas las topologfas lineales

localmente convexas sobre E para las cuales los

acotados son los mismos que para t:

(v) (E tb) es S-bornológico

Demostración

Sea 'Pb = (11Q E V disco t-bornivorol.

Mostremos que 11116 posee las propiedades exigidas en el

Teorema de [1]

En efecto, podemos afirmar que jh b es una familia no

vacia de partes de E puesto aue toda vecindad disqueada del

origen V en E es un 11-bornivoro, luego V"

Por otro lado, dada VCyob tenemos que V O 0 puesto aue

38

siendo disco et-bornivoro 06V

De otra parte, dados V V161% tendremos vny's21/4

to que siendo V y V' discos V n y' lo será y siendo A un

pues

le-acotado existen 00 «> 0, tales que AS otV y AS cieli t

Tomando X= max tat can obtenemos A S n y') con lo cual

V n y' es un rrbornivoro

Además siendo cada V613 b disqueada y 11-bornivora se

tiene que en particular cada yejhb es equilibrada convexa y

absorbente

Por ultimo dado V615 13 tendremos que U = iV5V es con-

vexas y equilibrada puesto aue V lo es y siendo las homotecias

de razón no nulas homeomorfismos entonces si A es 1:-acotado,

tendremos aue también 2A es 1:-acotado y como V es bornivoro

30c>o tal aue 2A (V, de donde 3c(>0. tal que ACIa(A, por lo

que2100 tal que ASIc(U con lo que U es me-bornivoro con

1 1 lo aue es finalmente UE1/512 y además U + U = -V + -V S V 2 2

Entonces, existe una unica topología sobre E que deno-

taremos 1:be tal que (E 1112 ) es un espacio lineal topológico

localmente convexo para lo cual ibb es una base del filtro de

vecindades del origen en E

Además

En efecto, sea V una 1Ics-vecindad disaueada

29

del origen en E Verifiquemos que V es r-bor

nivora

Supongamos que V no es 1I-bornivora entonces 13A un

11-acotado tal que /Qi n) 1 AlInV luego Nin;11 3xn e A xn

tal que xn inV por tanto, Vnaii 3xn e A tal aue

xn Pero r O puesto que (xn)51 A aue es /I-acotado

1 y O luego ( 11)e e en V pues V es una vecindad secuen

cial del origen en E lo cual es una contradicclon

Así tenemos aue V es II-bornlvora con lo cual V es

una Zip-vecindad disaueada del origen en E de donde t en4tb

Como se tiene que 2541% cs tenemos finalmente que

(73)


Supongamos aue (E T5) ea

un espacio lineal topológico S-bornológico

Tenemos por we64/1„, Consideremos ahora a v una

tb-vecindad disqueada del origen en E Como (E 15) es

S-bornológico entonces V es una vecindad secuencial del ori

gen en E, de donde t b 4415cs

A" decís " tb

Condicion Suficiente


40

rcs = rb y sea V un disco 25-bornívoro de E Entonces V

es una tb-vecindad del origen en E Como 15 = 11b cs

3 u e y cs tal que U V con lo cual V es una vecindad se-

cuencia' del origen en E y por tanto (E /5) es un espacio

S-bornológico

(773)

Como por (3) se tiene que ge4rb entonces

es inmediato que todo 'Ct.-acotado es también un t-acotado,

de donde A (r.b) 5 A( t.)

Sea ahora A un t-acotado de E y W una reb-vecindad

del origen en E

Entonces, 3v un disco t-bornívoro, tal que V g. W

luego3c0 O, tal que A S el< V G. a( W con lo oue A es un ra b-a-

cotado de E de donde A(t) G A( et,b )

Así A(t) A(tI) )

(3v)

Sea otra topología localmente convexa

sobre E tal que posee los mismos acotados que para 15

Consideremos a V una 15 1 -vecindad disqueada del ori-

gen en E y a A, un t'-acotado de E Entonces :30 O, tal

que A c: «V Como A es también un 15-acotado entonces V

es un disco t -bornívoro de E y en consecuencia Vel b con

lo que V es una 15b-vecindad disqueada del origen en E,

41

de donde t 41113

(v)

Probaremos que (I5b ) b = (11b)cs y por (3)) obtendremos

que (E 2: 11 ) S-bornoláqico

Por (3) sabemos 1: b 4 (1: 15 ) 1,

Por otro lado por (333) tenemos que (T: b ) b y leb poseen

los mismos acotados y nuevamente por (333) tenemos aue 1:11

Y 1:0 poseen los mismos acotados entonces (t: b ) b y t: poseen

los mismos acotados, de donde por (3v) tendremos que re b ) b4rb

Así ?l b = (t: 11 ) 11 y como por (3) se tiene

°lb 4 ( tb ) cs 4 (1: 19 ) 32 entonces finalmente se tendrá (eb)cs=rebL

PROPIEDADES DE PERMANENCIA

Y

OTRAS PROPIEDADES

43

Esta sección estará dedicada a examinar algunas de las

propiedades de permanencia de que gozan los espacios lineales

topológicos C-secuenciales y S-bornológicos y algunas propie-

dades de estabilidad para productos y sub-espacios densos de

los mencionados espacios

TEOREMA

Sea E un espacio vectorial sobre K Sea ((E 1 ,11 1 »le i

una familia no vacía de esoacios lineales topológicos todos

sobre el mismo cuerpo K Sea una familia no vana

de aplicaciones lineales tal que Viere fi E--.-E Sea

t: la topología lineal localmente convexa final sobre E

respecto a la familia

Entonces, si para cada set, (E l Il l ) es un espacio li-

neal topológico C-secuencial, tendremos que (E 11) es un es-

pacio lineal topológico C-secuencial

Demostración

Sabemos que II la topología lineal local-

mente convexa final sobre E respecto a la familia (fi.)1 e le

es la más fina de todas las topologlas lineales localmente

convexas sobre E para la cual cada una de las aplicaciones

de la familia (f 1)j 61 es continua

Por otro lado una base del filtro de vecindades del

origen para (EX) está dado por

44

)5= (VE E V es un disco absorbente de E y tal que

-1 VI e 1 fi. (v) t1-vecindad del origen en E} i

i€ I Sunongamos ahora oue Vtenemos (E 1 ti) C-secuen-

cial

Probemos que (E, t) también es C-secuencial

Para ello sea V una vecindad secuencia' disaueada

del origen en E, entonces V es un disco absorbente de E

- Veamos que Vi ie fi

1 (V) es una 1: -vecindad del ori-

gen en E l

Como \y1EI' f es lineal y t: -t continua entonces

fi es lineal - 1: secuencialmente continua y como V //lel 1

es una vecindad secuencial disqueada y absorbente del origen

- en E se tendrá que 11 fl 1 (V) es una vecindad secuencia'

disqueada del origen en El

-1 Siendo cada (81,1:1 ) C-secuencial entonces V€1 ft (v)

es una 111-vecindad del origen en E l de donde Ve, con lo

cual V es una t-vecindad del origen en E y por tanto (E s t)

es C-secuencial

TEOREMA

Sea E un espacio vectorial sobre K Sea ((E I

una familia no vacía de espacios lineales topológicos todos so

bre el mismo cuerpo K Sea (fi)]. e una familia no vacía de

aplicaciones lineales tal que Vie f1 El --s- E y además

as

U f (E1 )=E

I Entonces existe sobre E una topología lineal local-

mente convexa t • la más fina tal que Vivi CI fi es secuen-

cialmente continua

Además (E T.) es un espacio lineal topologico C-secuen

cal

Demostración

Consideremos en E la familia

-1 /1 = {VE V disco absorbente y tal que 11 fi (V) es una

vecindad secuencia' del origen en (E l ti))

Probemos que, posee las propiedades exigidas en el

Teorema de [1]

En efecto jp es una colección no vacía, dado oue EClb

puesto que siendo E un disco absorbente se tiene que

-1 e is

(E 1 ,11 1 )

En otra vía dada Ve, tendremos oue V O' pues

siendo un disco se tiene OCV

Por otro lado dadas V V eyb entonces V y V' son discos

absorbentes de donde V n V es también disco absorbente y -1 -1

sandoVi e fi (V), fi (V ) vecindades secuenciales del ori-

gen en (El , ti. ), se tendrá que iW f-1

(V' n V )=f-1

(V)r) f-1

(V ) v C i

es una vecindad secuencial del origen en (E l . 1:1)

f(E)=E1 es una vecindad secuencial del origen en

46

Además siendo cada V :p un disco absorbente se ten-

drá me cada Ve, será en particular equilibrada convexa y

absorbente

Por ultimo dado V tendremos aue U = iV SI V es un

- - 1 1 -1 disco absorbente y además Viei fi1 (U) = fi

] (IV) = 2fi (V) es

una vecindad secuencial del origen en (E l 1: 1) Además

U + U = ¡V + 1vV_ V, pues V es convexo

Consecuentemente, existe una unica topología 15 sobre

E, tal que (E,11) es un espacio lineal topológico localmente

convexo para la cual :p es una base del filtro de vecindades

del origen

Verifiquemos ahora que tflei fi Es --o- E es secuencial

mente continua

Para ello consideremos a W una le-vecindad del origen

en E entonces existe y e 15 tal que V SI W -1

Como Vi vi 6 -1 -1

gen en (E 1 111 ) y además como fi (V) SI f (W) se tendrá aue

-1 Ve I fi (W) es una vecindad secuencial del origen en (E l 1:1 )

con lo cual Wlel f es secuencialmente continua V . Mostraremos ahora aue 1: así construida es la más fina

de todas las topologias sobre E, para la cual cada aplicación

f I de la familia (i)e es secuencialmente continua

En efecto, sea 1: / otra topología sobre E, para la

fi (V) es una vecindad secuencial del ori-

47

cual cada aplicación de la familia (f t ) i ex es secuencialmente

continua y sea V una /5 -vecindad disqueada del origen en E

- Entonces V1 e I f;

1(v) es una vecindad secuencial del origen

en (E 1 ti), luego VE, de donde V es una ti-vecindad del

origen en E, de donde le4

Finalmente probemos que (E 1;) es un espacio lineal to

pologico C-secuencial

Para el efecto, sea V una vecindad secuencial disquea-

da del origen en E Entonces V es un disco absorbente de E

Veamos que V es una 15-vecindad del origen en E ve-

rificando que Vid l f(V) es una vecindad secuencial del ora

gen en (E lo te' )

-1 Consideremos para ello fi (V) y (xn)S El con

Como Vi e i• f1 Eco- E es secuencialmente continua,

re entonces fi (xn)---.0-0

Siendo V una vecindad secuencial del origen en E ten-

dremos cue 3 1m),1 tal cueNly n f(xn v o luego 3 rol le — -1

tal queVn)m xn e fi1 (V) de donde fi (V) es una vecindad se-

cuencial del origen en (E s , 11 1 )

Por tanto V es una tl-vecindad del origen en E y por

ende (E 1;) es un espacio lineal topológico C-secuencial

Basados en los dos teoremas precedentes enunciamos el

siguiente,

48

Corolario

Sea E un espacio vectorial sobre K Sea

((E 1 1: 1)) sei una familia no vacía de espacios lineales topo-

lógicos, todos sobre el mismo cuerpo K Sea( ) una fan- -fi - lCI

lia no vacía de aplicaciones lineales tal queVier fl El-sE

y además yI fl (E ) = E Entonces la topología 1: sobre E aue hace a (E 11)

un espacio lineal topológico localmente convexo con f t -

continualyse y la topología 11 1 sobre E que hace a (E °C))

un espacio lineal topológico localmente convexo con f i -st

secuencialmente continua Y4 son las mismas siN se viei viez tiene Que (E 1 ti), es un espacio lineal topológico C-secuen-

Demostración

En efecto, si V es una 1:-vecindad disqueada

del origen en E, como V1 f 1: -11 es continua entonces v 1C i -1

ViE/ fi (V) es una 15I-vecindad del origen en E l , de donde

Vie/ -1 (v) es una vecindad secuencial del origen en (E l ts )

y por tanto V es una t'-vecindad del origen en E con lo cual

4r.

Recíprocamente si V es una tf-vecindad del origen

en E, como ki f t -15 es secuencialmente continua, entone

V/

vie I 1 i -1

ces vi I fi (V) es una vecindad secuencia' del origen en

(E 1 1Z ) Puesto que Vie (E I /:1 ) es C-secuencial entonces

49

VI fs (V) es una t 1-vecindad del origen en E s de donde -1

tt Así = se

Las proposiciones que estudiaremos a continuación servi-

rán de apoyo en el estudio de los productos numerables de aspa

esos lineales topológicos C-secuenciales y de espacios lineales

topológicos S-bornologicos

Proposición

Sean, (E 't ) un espacio lineal topológico

(F, U II ) un espacio normado y f E --a- F una aplicación lineal

secuencialmente continua

Entonces f F es localmente acotada

Demostración

Supongamos cnie nuestra tesis es falsa esto

es aue f E --D. F no es localmente acotada Entonces existe

A E, A r-acotado, tal aue f (A) no es II U-acotado

Luego. Vn le 3 an e A tal que IIfa)IIn entonces

Vn )1 an

Pero PO puesto que (an).5 A es -acotada y

1

3

O f es secuencialmente y como continua se tendrá

<1, lo cual es una contradicción a N )1, tal aue Vn ). N if f (7-n 1 )»

Por tanto f E --o- F es localmente acotada

Proposición

Sean, ( (E s o ))1ei una familia no vacía de es

Bail e A, tal que I f (-1) ). 1

50

pacios lineales topológicos (E 1:) su producto topológico

(F 1 N) un espacio normado y f E i F una aplicación lineal

Entonces si f E F es localmente acotada se tendrá

que f es idénticamente nula salvo en un numero finito de los

El considerados como subespacios del producto

Demostración

Supongamos nuevamente que nuestra tesis es

falaz entonces existirá una sucesión infinita de indices die

tintos 11 12 nf, de I tales que tE ln = fin O O

Entonces existirá una sucesión (xin) con 'cin e E in y

n = 1 2 tal que f1n (x1n)1 O

Consideremos la sucesión Can) 9; E dada por vn;z1

nxi an = (19, 0 0

(Xmn HI Sea para cada i I, TTI E la i-ésima proyec-

ción de E sobre El

Entonces

T7 (an ) =

Como cada proyección es acotada entonces la sucesión

Can) también es acotada

Pero

51

nxin

1 fin (xin)N ) I I =n

de donde f no es acotada sobre (an ) lo cual es una contradic

ci6n

TEOREMA

Sea ((En, tI n )) nli una familia numerable de es

pacios lineales topológicos y sea (E, TI) su producto topoló-

gico

Es condición necesaria y suficiente para que (E t: )

sea un espacio lineal topológico C-secuencial Que para cada

n 1, (En , gen) sea un espacio lineal topológico C-secuencial

Demostración


Supongamos que (E,Z) el

espacio producto topológico de la familia ((En tn)) n al es

C-secuencial

Consideremos (F H H) un espacio normado y para un K

fijo, sea f Ek---e-F una aplicación lineal secuencialmente

continua de Ek en F

Consideremos ahora la aplicación 7 E---e-F dada por

vx = (xn)e E , 7(x) = f(xk)

Tenemos que 7, así definida, no es más cue f n k es-

52

to es f = f TTk donde jTk denota la k-ésima proyección de E

sobre Ek

Tenemos que 7 es lineal por ser compuesta de aplicaciones lineales y además 7 es secuencialmente continua por ser com-puesta de una aplicación continua (la proyección TT k) y una

aplicacion secuencialmente continua (la aplicación dada f)

Puesto que por hipótesis (E, 'e) es C-secuencial, en-

tonces 7 = f TTk es continua de donde f es continua y por tan to (Ek. Uk) es C-secuencial


Asumamos ahora que, pa-

ra cada n 1 se tiene aue (En, ge n) es C-secuencial

Consideremos (F o il) un espacio normadoyf F,

una aplicación lineal secuencialmente continua de E en F

17 a--

Como f F es una aplicación lineal secuencial-

mente continua de E en F (espacio normado) entonces f E 1B

es localmente acotada y, en consecuencia f es idénticamente

nula salvo en un numero finito de los E n considerados como

subespacios de E

Así existe un numero finito de indices I=In i n2 Ph

tales aue

"Enk °

para k = 1 2

"En = para n I

53

De esta manera, basta que demostremos aue el producto

finito de espacios C-secuenciales es C-secuencial

Para ello sean (EI 111) y (E2 112 ) espacios C-secuen

aleles y f E l x E2 --F una aplicación secuencialmente con-

tinua con F espacio normado

Consideremos ahora

f i E1 .-Fdada por VZI e E l = f(xl O)

f2 E2_. E'dada Por e E2 f2 (x2 ) = f(0 x2 )

Dado aue f 1 = x (0) f2 = f/e2 x (D) y f es secuenciaj

mente continua también lo serán fi y f2 y puesto que (E I ti )

y (E2 11 2 ) son C-secuenclales entonces f i y f2 serán conti-

nuas

Puesto que f = fl TT1 f2 TT2, entonces f es conti-

nua de donde E l x E2 es C-secuencial

Dedicaremos ahora nuestros esfuerzos al estudio de los

subespacios densos en espacios lineales topol6q1cos C-secuen-

aisles y de sus propiedades respecto a lo C-secuenclal

Definición (Subespacio secuencialmente denso)

Sea (E 15)

un espacio lineal topológicio localmente convexo sobre g

y sea F un subespacio vectorial de E

Se dice que F es un sub-espacio secuencialmente denso

en E si y solo si, para cada x e E, existe una sucesión (x n ) F

54

tal aue x1111E~ x

TEOREMA

Sea (E 11 ) un espacio lineal topológico localmen

te convexo sobre y F un sub-espacio secuencialmente denso

en E

Se tiene que, si (F 11F ) es un espacio lineal topoló-

gico C-secuencial, entonces (E TI) es también un espacio li-

neal topologia° C-secuencial

Demostración

Sea (G II n) un espacio normado y f E--4-G una aplicación lineal secuencialmente continua respecto a 11

Es inmediato que f/g = fF es secuencialmente continua 11F

respecto a 11F puesto Que si (xn)9; F con xn ---4-0 entonces

IN xn---4-0 de donde f(xn)---41-0 y finalmente fF (xn)---4-0

puesto me %In F fF (xn) = f (xn )

Dado que por hipótesis (F 11 F ) es C-secuencial en-

tonces tendremos que fF F---4-G es continua

Tenemos, entonces una aplicación lineal continua y

por el Teorema de Mahn-Banach, existe una aplicación lineal

continua, g E---4-G de E en G tal que su restricción a F

esto es g/F = gro coincide con fp esto es ggi = fF

Probaremos aue g = f, de donde f será continua y po-

dremos afirmar entonces aue (E 1:,) es un espacio lineal to-

55

pológico C-secuencial

Con este fin consideremos la aplicación h de-

finida por h=f-g y probemos que h=0 con lo cual g = f

Anotemos primeramente que h es lineal pues es la di-

ferencia de dos aplicaciones lineales y es secuencialmente

continua puesto que es la diferencia de una aplicación con-

tinua (g) y una aplicación secuencialmente continua (f)

Sea ahora x E E como F es un sub-espacio secuencial-

lim xn = x mente denso en E existe (xn) C F o tal que n-eco

Además, h(x) = h lan xn)

= hm Ch(xn )) n -1~

= hm (f(xn) - g(xn ))

= lim (fr(xn) gF(xn» ne..ce

=0 (puesto que fp = gp )

Definición (Subespacio localmente denso)

Sea (E tS)

un espacio lineal topológico localmente convexo sobre K y sea

F un subespaclo vectorial de E

Se dice que F es un sub-espacio localmente denso en E

si y solo si, para cada x E, existe un disco acotado 8 de E o

s tal que existe (xn ).9 EB n F o de manera aue xn l—in-x en

(EB , II n is ) donde EB designa el sub-espacio vectorial de E

56

generado por B esto es EB = (B> y 1111 3 EB---r-R está defi-

nida por Vx e EL. II x H = g3 (x) (funcional de Minkowski

de B )

TEOREMA

Sea (E 11) un espacio lineal topológico local-

mente convexo y, F un sub-espacio localmente denso en E

Se tiene que si (F %E.) es un espacio lineal topoló-

gico C-secuencial, entonces (E, U) es también un espacio li-

neal topológico C-secuencial

Demostración

Por el Teorema precedente bastará mostrar

que la densidad local de F en E implica la densidad secuen-

cia' de F en E

Para ello, sea x E Como F es localmente denso en-

tonces existe B, disco acotado de E y (xn)e; E» n F, tal que

xn

Ahora siendo B un el-acotado en E la topología

inducida por sobre EB es menos fina que la topología

de la norma sobre EB

Consecuentemente xn t ti x, de donde xn t x en EB

Por tanto para cada x E, existe (xn)9.2 F, tal que

xn---p-x de donde F es un sub-espacio secuencialmente denso

en E ig

57

TEOREMA (Garsoux)

Sea (E t ) el espacio lineal topoló-

gico límite inductivo estricto de la familia ((En, rn))n)1

de espacio lineales topol6gicos localmente convexos (x n )5 E

yxCE

Entonces para aue (x n ) sea t-convergente a x es

necesario y suficiente que 3 m 11 , tal que (xn ) g Em

x E Em y (xn) rem-congergente a x

Demostración

Dado que (E t) es el espacio límite in-

ductivo estricto entonces, para cada n ), 1 se tiene que

sen+ i induce sobre En la topología 'e n y en consecuencia

(Dieudonne-Schwartz ver [4] ) r induce sobre En la topolo-

gía r n Por otro lado como para cualquier natural n1.1 E n

es rn+i -cerrado en Enn tendremos (Dieudonne-Schwartz ver

) que A es t-acotado en E si y solo si existe n 1

tal que A G. E n y A es un tn-acotado

Necesidad

Supongamos que (x n) W E, x S E y

'5 xn --e- x Entonces, para cualquier V g E, V 'a-vecindad

de x en E, se tiene (x n) e e en V y además, siendo (x n).

{ x) t- acotados se tiene (x n) U { x} t-acotado y, por

(xm ).5 E xCE

Em y xn---)- x

Entonces

Un, n se

e en V, lo

que

x

que

) e

58

tanto 3 m )1' tal que (xn) Em x e Em

Sea ahora UEm U sem-vecindad de x entonces —

3 V Ç E, V r-vecindad de x tal que U=V n Em de donde

3 m )1 tal que (xm) Em x Em y (xm ) e e en U=V n Em

por lo crue (x m ) m-convergente a x en E m

Suficiencia

y además, que 3 m )1

Sea ahora V C E

V n Em es una rm •vei

tiene que (x m ) e e en

cual nos dice que (xn )

Asumamos ahora

tal que (xn ) Em

V r-vecindad de

:andad de x y puesto

V n E a de donde (x1

r-convergente a x

TEOREMA

Sea ((Ene 'en ) ) n una sucesión de espacios li-

neales topológicos localmente convexos tales que para cual

quier natural n E n es fen+i-cerrado en En••1 Sea

(E er,) el espacio lineal topológico localmente convexo

limite inductivo estricto

Luego si para cada n) 1 (En 'C m ) es S-bornológico,

entonces (E t) es S-bornológico

Utilizaremos el resultado anterior (Garsoux) oara de-

demostrar que V S E es vecindad secuencial del erigen en

(E, 'e ), si y solo si, para cualquier natural n 1, V n En

59

es una vecindad secuencial del origen en (E n *e n)

Supongamos en primera instancia que V G E es una vecin-

dad secuencial del origen en (E II.) y sea (x k ) En tal que

(xk) converge al origen en (E n te n )

Como (xn)S1 En. O e En y xk :151=4-0, entonces xkS4-0

Siendo V C; E una vecindad secuencial del origen en

(E t:) tendremos que (xk) e e en V

Así (xk) e e en V n En con lo cual V n En es una ve-

cindad secuencial del origen en (E n. 'en )

Asumamos ahora que para cualquier natural n I> 1 V n En

es una vecindad secuencial del origen en (E n Un) y sea

(xn)G E, tal aue (xn) converge al origen en (E T.)

Como xn-51-.-0 existe un natural klAl tal que (x n)G;Ek

y xn25.4-0

Siendo V n Ek una vecindad secuencia' del origen en

(Ek, 2:k), tendremos que (xn)e e en V n Ek con lo que (xn )

e e en V y por tanto V es una vecindad secuencial del origen

en (E, 2:)

Una vez obtenido este resultado previo lancémonos a

mostrar que si para todo natural n 1, (E n, rn) es S-bor-

nológico, entonces (E v its) también lo será

Para ello, sea y G E un disco t%-bornivoro y veri-

fiquemos que V es una vecindad secuencial del origen en (E, 11°, )

60

En este sentido bastará mostrar que para cualquier

natural n > 1 V n En es una vecindad secuencial del origen

en (En 'e n )

Tenemos que para cualquiern>1 VnE n es un disco en

En puesto que V y En son discos

Verifiauemos, ahora que V n En es fen-bornívoro

con lo cual siendo para cualquier n 1 (E n 1S n) S-bornoló-

gico tendremos que V n En es una vecindad secuencial del ori

gen en (E n /In) para cualquier n 1 de donde V será una

vecindad secuencial del origen en (E 1S) y finalmente (E,11 )

será un espacio lineal topológico S-bornológico

Sea entonces A un /In-acotado entonces A es un

1:-acotado y siendo V un 1S-bornívoro existirá ce>0 tal

que A C v(V, con lo cual

A n En = A SI (c(V)n E n = o( (V n En )

y por tanto V n En es un disco bornívoro en (E n 1:n) •

TEOREMA

Sea ((Enn))n1 una sucesión no vacía de es

pacios lineales topológicos y sea (E TI) su producto topo-

lógico

Es condición necesaria y suficiente para que (Lee )

sea un espacio lineal topológico S-bornológico, aue para cual

quier natural n ) 1, (E n, 'e n) sea un espacio lineal topoló-

63

gico S- bornológico

Demostración


Supongamos Que (E 'e)

es un espacio S-bornológico y sea (F 7) un espacio lineal

topológico localmente convexo y para kz>1 f130 sea f E k--eF

una aplicación lineal localmente acotada

Mostremos que f es secuencialmente continua con lo

que (Ek /1k) será un espacio lineal topológico S-bornológico

Para ello consideremos la aplicación 7E--b-F defi-

nida por para cualquier x=(xn)C E, f(x)=f(xk )

Tenemos entonces oue 7. f TT k donde TT k denota la

k-ésima proyección de E sobre Ek además, podemos anotar Que

f es lineal y localmente acotada, puesto que resulta ser la

compuesta de aplicaciones lineales y localmente acotadas

Puesto que por hipótesis (E, TS) es S-bornológico y

f lineal y localmente acotada entonces f es secuencialmente

continua

Finalmente puesto que f=f TTk es secuencialmente

continua y rr k es continua, entonces f es secuencialmente continua


Asumamos ahora Que se

62

tiene a f E ---i■ P localmente acotada

Entonces, f es idénticamente nula, salvo para un nume-

ro finito de indices

De esta manera bastará mostrar que el producto topo-

lógico finito de espacios S-bornológico es un espacio S-bor-

nologico

Sean entonces (E I 15 1) y (E2 , 112 ) dos espacios

S-bornológicos (F, ur) un espacio lineal topológico local-mente convexo y f E l x E2 ---40-F, una aplicación lineal local-

mente acotada

Consideremos ahora las aplicaciones

f i. E 1 1-F dada por IVX1 E E l , f l (x l)= f(x l O)

f2 E2---4■ F dada por Vx2 e E2 f2 (x2 )= f(0 x2 )

Puesto que f es lineal y localmente acotada también

lo serán f/ y f2 además siendo E l y E2 S-bornológicos,

entonces f l y f2 serán secuencialmente continuas

Ahora siendo f=f1o 17 1 -1- f2cm 2 entonces f es se-

cuencialmente continua de donde (E, 15) es un espacio lineal

topológico S-bornológico 11

Definición (Sucesión bornológicamente convergente)

Sea (E, /;) un espacio

lineal topologico, (xn) 51 Eyx6E Se dice que la suce-

sión (xn) 9.7 E converge bornológicamente a x 6 E (6 (xn)6 E

63

es bornológicamente convergente a x 6 E) y se denota por

x —o-x si y solo si, existe un disco B E 1:-acotado

tal que xn---4-x en el espacio normado (Ergs )

Definición (Aplicación con gráfico 1:1-2, -cerrado)

Sean (E 'e ) (F 7 )

espacios lineales topológicosyfE—tFuna aplicación de

E en F Se dice que f tiene el gráfico b- -cerrado, si y

solo si, para cualquier sucesión (xn) 9; E tal que de xn----frx

se tiene f(xn).-3-e-f(x)

TEOREMA

Sea (E cr ) un espacio lineal topológico sobre

K con la siguiente propiedad

Dado un espacio normado (F, u N ) sobre IK y f E---4■ F

una aplicación lineal con el gráfico b--i i---cerrado entonces

la aplicación lineal f es secuencialmente continua

Entonces (E, 11 ) es un espacio lineal topológico

S-bornológico

Demostración

Supongamos (E /S) un espacio lineal topo-

lógico sobre K con la propiedad enunciada y sea VS: E un dis

co Z-bornivoro

Puesto que V es un disco 11-bornlvoro, su funcional

de Minkowski asociado, gv Es-~, es una semi-norma

$4

Consideremos el sUbespacio vectorial N=tx S E g(x)=O)

de E y el espacio normado ( E/1, I o v) donde E/1 es el espacio

cociente deEm6duloNy og E/N --0-112, definida por v

112 cE/N , ii,in v = gv (x)

Sea y E --0- E/N la suryeccián lineal canónica de E

sobre El1, definida por Vx e E 19(x) = x

Verifiquemos que mp posee el gráfico b- IN u-cerrado

Para ello sea (xn) S; E tal que x b

n---4.-0 Entonces

existe un disco 13 SI E, e-acotado tal que xn---4P-0 en

(EB , gEl l ,

Así V C> o, 3 N )1 tal que gin ) N, se tiene Que

xn S EV gA Puesto que S es un disco °e-acotado y V un disco

'e-bornívoro, se tiene que existe « > O, tal que ES E a( V y,

además V 6 g> O evgB Q So W. E( « y)

Así entonces V e> O, 3 N )1 tal aue Villa se tse

ne que xn e 6 (« Y)

De esta manera V S > 0 3 N ) 1, tal que Vn 1 N se ne

ne me Itp(x ) H :cut n v

Por la arbitrariedad de e . tendremos que

1 lp(xni v-0-0 de donde tp(xn) --o-3 = mp(o) en

( E/1, 1 kr) y, finalmente 19 tiene el gráfico b- n H e-ce-

nado

65

Entonces, por hipótesis, y es secuencialmente conti-

nua y puesto que Bu u v es una vecindad del origen en

srs-1 a d v) entonces ir (P ilo )=Vgv, es una vecindad se-

cuencial del origen en (E TS )

Por otro lado. comogv

G. V entonces V es también una

vecindad secuencial del origen en (E II:. ) de donde podemos

afirmar me (E, 11 ) es un espacio lineal S-bornológico 11

EJEMPLOS Y CONTRAEJEMPLOS

67

Esta sección la dedicaremos a la presentación de ejem-

plos de espacios lineales C-secuenciales pero no S-bornoló-

gicos, así como espacios lineales topológicos S-bornológicos

pero no C-secuenciales además de presentar la relacion

entre los espacios lineales topológicos estudiados y otros

espacios como lo son los lineales topológicos que cumplen

con la condición de convergencia de Mackey y los lineales to-

pológicos Semi-bornológicos

Aseguramos mediante la presentación de los menciona-

dos ejemplos el hecho de aue estas clases de espacios no

incluye estrictamente la una a la otra y, además del hecho de

que no son iguales

Definición (Sucesión localmente acotada)

Sea (E t ) un

espacio lineal topológico y (xn) una sucesión en E Se dice

que (xn) S; E es una sucesión localmente acotada, si y solo

si, existe una sucesión de numeros reales positivos (I n )

con an--a- +Co tal que { nxn n I} es un "C-aco-

tado en E

Proposición

Sea (E, de) un espacio lineal topológico

Si toda sucesión (xn) CE con xn25-+-0 es una

sucesión localmente acotada entonces todo e-bornívoro de

68

E es una vecindad secuencial del origen en E

Demostración

Sea (xn) G1 E una sucesión tal Que xn---e- O

entonces, por hipótesis (xn) es una sucesión localmente aco-

tada y en consecuencia, existe una sucesión de reales positi-

vos ( A n) con 2n-4- + oo tal que tA nxn n 1 } es

15-acotado en E

Así para cualquier V G; E con V 15-bornivoro V

absorbe nxn n 1} , luego :3 > O, tal que VAS K

con IM se tiene { nxn n>1} S; AV

Por otro lado, como +00 Y I an I In'

entonces existe n 1, tal que Vi m n se tiene

v

De esta manera Il ion m n} SE AnV luego,

Nim nom xm NII■ir, por tanto Nimln se tiene xm e v e con lo

que la sucesión (xn)e e en V y finalmente V es una vecindad

secuencial del origen en (E, 11) 11

Definición (Sucesión localmente nula)

Sea (E 15 ) un es

pacio lineal topológico y (x n) una sucesión en E con x n O

Se dice que la sucesión (x n) SI E es localmente nula, si y

solo si, existe una sucesion de números reales ( n ) con

A na-~ + tal que Anxn -~ 0

69

Definición (Espacios lineales topológicos braked)

Sea (E 25) un espacio li-

neal topológico Se dice me (E 21) es un espacio lineal

topológico braked o que cumple con la condición de convergen-

cia de Mackev si y solo si toda sucesion (x n)gl E con

xn es localmente nula

Proposición

Sea (E T5 ) un espacio lineal topologico

Si (E TI ) es un espacio lineal topológico braked entonces

(E 15) es un espacio lineal topológico S-bornológico

Demostración

En efecto, sea (xn)VI E con xn A'-o- O Co-

mo (E, 11 ) cumple con la condición de convergencia de Mackey,

entonces (xn) es una sucesión localmente nula y por tanto,

localmente acotada

Por la arbitrariedad de la sucesión nula escogida,

tenemos entonces que todo st-bornivoro de E es una vecindad

secuencial del origen y, en especial lo será todo disco

TI-bornlvoro de E de donde podemos afirmar que (E /5) es

un espacio lineal topológico S-bornológico II

Presentaremos ahora un primer e]emplo que nos eXhibi

rá un espacio lineal topológico S-bornológico, pero no C-se-

cuencial

70

En esta dirección consideremos el espacio de sucesio-

nes infinitas

1 1 = {x = (xn ) Vn xt.t ecy n E x 4. c., } provisto de la topología inducida por la norma

ID 1 11

R dada por Vx = (xn) C 1 1 lix p l= E Ixn 1

que denotaremos por

Consideremos en 11 el sistema S= {e1 v e2 , ,en

donde

el = (1,0 ) e2= (0,1 0 ) en = (0, ,0 1,0 ),

Se tendrá entonces que para cualquier x=(x n)c 11

x = xnen nal

Sea ahora (1 1 ,1.1; 1 )' el dual topológico de (1 1 2: 1 )

y f e (11 , /V

Puesto que f es lineal tendremos que para cada

x = (xn)C 1 1

f(x) = f( E xnei = E xnf(en ) nal "" n1 1

de donde toda f C a.

1) queda unívocamente determinada

al fijarse, por f las imágenes de los vectores del sistema

S

Por otro lado, si Vn C N, f(en) = yn entonces para que

f(x) = f( E xnen) = E x f(e ) = E n n xnYn

tenga sentido ( o converja en C) es condición necesaria y

suficiente que (yn ) ,.(f(en))C 1°° , donde le° . ly.(yn)

73

yn e e y max i yn I < + ro }

Se establece entonces una isometría

T (11

1' ,,,, 11 te ,00 --o- A. que permite identificar toda

1 f e (1 st 1 ) 1 con (yn) E 1 °3 , tomando f(e n )ge yn para todo

en e 13 (Ver [4] )

Consideremos ahora la dualidad candnica entre 11

y

1 t1)1

1 1 (1 9 < ) 1 x 1 1/3-~ of dada por Vx=(xn)6 1 ,

V Y = ( Yn ) e l'o (ic y> = n1 xnYn

Tenemos que ( e) 11 x l ar--a- C así definida es bilineal

1 co Verifiquemos que ( ) 1 x 1 --o- e así definida es

1 co separante en 1 y en 1

Para este efecto, consideremos y = (y)C1°° , tal que

Vx = (xn) e 1 1 se tenga C/c y> = O Entonces, para los vec-

tores del sistema B= (en )n ) 1 también se tendra que Vn e IN

<en y»0 pero siendo Vn e u <en y> = yn , tendremos finalmen-

te que y = O con lo que la dualidad < é > 11 x lc°—e- Ces

separante en 11

De manera similar se demuestra que la dualidad es se-

parante en 1 1

Por lo anterior ( 11

1 I» , <,>) conforman un sistema

dual, con lo que podemos construir, sobre 11, la topología

72

1oa debil Cr (1 .1)

Consideremos en este momento, el espacio lineal topoló

gico localmente convexo (1 1 O'(1 1 °1 )) y mostremos que no

es C-secuencial, pero sí es S-bornológico

1 Para probar que (1 0r(1

1.1

co )) no es C-secuencial

mostraremos crue no toda vecindad secuencsal chequeada del ors

as gen en 1 1 es vecindad del origen en (1 1 , cr (1 1 i))

Para ello, sea B1

={x --,.(xn)C 11

fixfi i <1}

Es inmediato que B i es un disco y puesto que

cr(1 1,1 cD)4 1:1, obtenemos aue Bi es una vecindad secuencial

1 del origen para (1 0-°(1

1 l cp ))

Veamos ahora que B 1 no es una vecindad del origen pa

1 ra (1

1 r(1(1 1

co )

Supongamos que B 1 es vecindad del origen para

(11 Or(1 1,1 9295)) entonces (B 1 ) 9 = (21 1 )° es una parte

cr(11 i c° ) - equicontinua de (1 1

Cr(11p1 cb ))

I y por el

Teorema de Alaoglu-Bourbaki (B 1 ) = (B1 ) 43 sería una par-

co 1 co 1 te O'( 1 1 )- compacta de ( 1 • 1 ), con lo que

por el Teorema de Banadh-Bourbaki se tendría que ( 1 U Eco )

sería reflexivo, lo cual es una contradicción

Así Bi no es vecindad del origen para (11

or(11t1 c )

co y, por ende, (1

1, cr(1 ,1 )) no es un espacio lineal topoló

gico C-secuencial

73

Para probar que (1 1 Cr (1 1 1 1°)) es un espacio S-bor-

nológico, es suficiente con mostrar que cumple con la condi-

ción de convergencia de Mackey

1 Como apoyo a la demostración de que (1 1 o- Cl, 1

o ))

cumple con la condición de convergencia de Mackey demostra-

remos la siguiente propiedad

Proposición

Para 11

la 1:1-convergencia y la

er-(1 1 1 c11 )-convergencia, son las mismas

Demostración

1 co En el primer sentido, puesto quer i ltr(1 .1 )

entonces para cada sucesión (x (m) )5 1 1 (m) t; con x ---■-0, se

(m) tendré que x 0, con lo que la t 1-convergencia

implica la Or(l1pl cill )-convergencia

En el otro sentido, supongamos que nuestra tesis es

falsa esto es, que existe una sucesión (x (m) )5; 1 1 con

x(m) or (m) D'et O y x O

Entonces, existe 6> 0 y una subsucesión de (x(m)

)

que para facilidad de la notación, la denotaremos también por

(x(m)

), tal que, para todo mal, se tiene gx h 1

Construiremos, en este momento dos sucesiones de

enteros positivos (mk) y (nk) de la siguiente manera

74

Así sea m1 = 1 Puesto que E lx(mi)I <co, entonces 111 1

existe n i /.1, tal que t I x (m1) I /IL i=n 1+1 1 5

= ( p Por otro lado, como pei (x (m))1 x m) I donde ei 11-~ a a

es dada por pei (x) = i<x el>I y x (m) --2---1.- O, se tendrá

Tal que para cualquier 1. 1, pea

I( (x (m) )= ixi I --0- O cuando

ni r- + 420 de donde E ix(m)1~. O, cuando m •+ o> 1=1

por lo que podemos asegurar que existe m 2 > mi tal que

E jx ( m2) 14 5

1=1

. De manera general conocidos mk_i y n

k-1 tales que

ti ( mk-lh ixi 1, puesto que x (m)

+1 1=nk-1

nk-1 (l tal que E ', "aelí s. y dado que

Za?1-1 nk>nk_i tal que 2.; jx ( mk ) 1 I 1 5

lmnk+1

E ',crol Ooo existe 11

Consideremos ahora la sucesión (I 3) donde

si 3 <ni i ] =

{ el

-1 arg xrk) nk_ i < < nk

Tenemos que ( 3)C °I; puesto que % 1, 1 = 1

de donde sup !MG + CO

Definamos ahora una forma lineal sobre 11

por

f 1 1 be dada por Vx = (xn)e 1 1 f(x) E i nxn n 1

--2-1 -r -° —n- O, existe mk>mit_i•

7 5

Puesto que ( 3)e la) entonces f€(1 1

de donde f es Cr(11,1

03)-continua

Por otro lado, puesto que por hipótesis, x (m) o

1co (m) te y f es o' ( 1. l) -continua deberíamos tener que f (x o,

pero 1f(x(mk))1=1Ei xonidi 3 '

311

nk-1 nk a

.1El3x)(l1'id + E t x (ink) + E f x (mk )1 3=1 3=n2-1+1 3=nRE1 3 3

nk nk-1 a i E ‘ 3 3cr1c)1 -1Elxric) + Ef3x3( mk)I

3=nk_ 1+ 1 3=1 3=nk+1 nk rsk-1 a

11 El3x3(m9 -0Er3 x3(mk) i + 1 EI3 x3(ak) 1) +3 +1 3=nk_i 3=1 3=nk

nk , nk-1 ) 1 E s x (mkiviEls k (mk)I + t ie x cnik),)

73 3 3 3 1 3 3 / +1 3=nk_i 3=1 3=nk+1

Como Z=IZI e lm con e = arg(Z) entonces IZI = Ze-te n

k nk-1 de donde = E x(mk) ( E x(inoi 4. E134101)

3=nk-1+1 3=1 3=nk+1

= lx3(ink) 1 3=1

nk-3

- 2 (Elx (a3c) 1 3=1 3

+ E ix (ak) 1) 3=nk

lo 6- 2 (. +ti.) = 5 5 5

lo cual es una contradiccion

cm De esta manera hemos mostrado que si x o,

76

entonces se tendrá que x(m)

1 no Mostremos finalmente rue (1

1 en )) cumple con

la condición de convergencia de Mackey con lo cual

1 1 01, (1 Cr(1 la)) será un espacio lineal topológico S-borno-

lógico

Sea entonces (x (n))

una sucesión

e, ( 1 1 co

) -con-

vergente al origen en 1 1

En estas condiciones (x(n)

) es también 1:1-convergente

y, puesto que (11 1 1: 1) es un espacio normado, tendremos que

cumple con la condición de convergencia de Mackey por tanto,

existe una sucesión de numeros reales (W n) con W + 00 (n)

tal que (X nx ) es 1:1-convergente al origen y por ende

(n) (9‘

nx ) es Cm(1

1 1)-convergente

Muestro siguiente e3emplo nos proveerá de un espacio

lineal topológico C-secuencial pero no S-bornológico

Consideremos en esta ocasión el espacio de sucesiones

infinitas 2 , ,2 1 = tx =(xn ) Vn e xn e y :E: I xn I <:+ a) }

n II 1 provisto de la topología inducida por la norma

12 12

--b- R dada por Vx = (xn)C 12, A x 1 2 = 111:—.1c1

nl

que denotaremos por 1:2

2 a. . 0 aw 2 Tenemos que (1 ke 2 ; u= 1 (Ver[4]) y tomando en

77

ew e cuenta la dualidad canónica entre 1

2 y (1 2 1/4. 2 ) podemos

considerar entonces, el espacio lineal topológico localmen

te convexo (12

(12

12))

Consideremos finalmente el espacio lineal topológico

localmente convexo (12 ara2

12)cs ) generado por

(1 2 r(12

12))

Tenemos que (12 r(1

2 , 1

2 ) ) es un es>acio lineal es

topológico C-secuencial y mostraremos a continuación que

no es un espacio lineal topológico S-bornológico

Para el efecto, bastará que mostremos un disco

2 2 2 0' (1 • 1 ) co -bornlvoro de 1 que no sea una vecindad se-

cuencial del origen para (12

Cr (12

12) ) cs

Consideremos entonces 8 2 = (x=(xs)6 12 1 x 1 2 < 1

Es inmediato que B2 es un disco de 12 y dado que

los cm(12

12)-acotados y los I: 2-acotados son los mismos

. entonces B2 es un 0112 12 J-bornivoro puesto que lo es

para int2

2 2 2 2 2 2 Por otro lado, como (1 • cr(1 • 1 )) y (1 • 0'(1 • 1 19 )

poseen las mismas sucesiones convergentes, entonces poseen

los mismos acotados, por lo que B2 es un disco Cr(12

12

) cs

-bornivoro de 1 2

Veamos que 82 no es una vecindad secuencial del

2 2 2 origen para (1 • Osa 1 )cs)

78

Para ello consideremos la sucesión (e n) de 12

Tenemos que (e n) es om (12

12)-convergente al ori-

gen y, por ende (en) seré em(12 l2

) n5-convergente al ori-2

gen en 1

Sin embargo, Vn e IN en B2 , puesto que Vn SN, U en d 2=1

lo que prueba que B 2 no es una vecindad secuencial del origen

para (12

°m'U2

12) ) cs

Definición (Espacios lineales topológicos Semi-borno-logicos)

Sea (E v ite) un espacio lineal to-

pológico sobre K Se dice que (E,11) es un espacio lineal

topológico Semi-bornológico, si y solo si toda forma lineal

localmente acotada sobre E es continua

Daremos a continuación un ejemplo de un espacio lineal

topológico Semi-bornológico, pero no S-bornológico

Para ello, consideremos nuevamente el espacio de su-

2 cesiones infinitas 1 provisto de la topología 1: 2 induci-

da por la norma p i 2 y, además, provisto de la topología dé-

bil cr(12

12) inducida por la dualidad canónica entre

1 2 y (1 2 Z211 91 12

Probaremos, en primera instancia, que siendo (i 2 ,t2) 2)

un espacio lineal topológico normable, se tiene que

(12 010(12 12) es un espacio lineal topológico Semi-bornoló-

gico

79

Sea entonces f 12 --•-e Ora

2 12)-localmente acotada

2 2 y mostremos que f es 0- (1 1 )-continua

Puesto que, por hipótesis f es 0(12, 1

2)-localmente

, , acotada y los acotados para T: 2 y 0112 1

2 ) son los mismos

entonces f es 152-localmente acotada y como (12

1: 2 ) nor-

mable entonces f es 1% 2-continua y finalmente puesto que

Cr(12 , 12 ) 0:f02 . entonces f es 03- (1, 12 )-continua

De esta manera (12

Cr(1L2

12)) es un espacio lineal

topológico Semi-bornológico

2 2 2 Veamos ahora que (1 13- (1 1 )) no es un espacio Li-

neal topológico S-bornológico 2 2

Para esto, basta que encontremos un disco Cr(' , 1

2

)-

-bornivoro en 1 que no sea una vecindad secuencia' del

origen para (12 r(1

2 12))

Consideremos nuevamente el disco B2 +=(xn)S 12

Ilx 2 <1}

Tenemos que B2 es un disco .t2-bornivoro de 12

2 2 y, puesto que los acotados para Or(1 1 ) son los mismos

que para T: 2 , resulta que B2 es un disco Cr (, 12)-bor

nivoro de 12

Probemos ahora que B2 no es una vecindad secuencia'

del origen para (12 Or(12 1

2 ))

2 Consideremos una vez más la sucesión (e n) de 1

2 2 Tenemos que (en) es ø1(l 1 )-convergente al origen

80

y sin embargo %CE en/ B2 cuesto que linC IN II en il2= ] •

de donde B2 no es una vecindad secuencial del origen para

(12

o 0r(12 12))

2 2 2 Así, (1 • or(l • 1 )) es un espacio Semi-bornológico

pero no Sabornoldogico

CONCLUS IONES

82

El desarrollo de este modesto trabajo en general no

ha sido fácil

Hemos tenido que superar muchas dificultades entre las

cuales la principal de ellas la ha constituido el escaso mate-

rial bibliográfico que al respecto existe y cuya razón básica

es el hecho de lo reciente de los espacios lineales topológi-

cos C-secuenciales y S-bornológicos además de lo poco que so-

bre ellos se ha trabajado

Por esta razón hemos tenido que desarrollar todos los

teoremas que en general solamente se enuncian incluyendo ade

más las demostraciones y proposiciones de apoyo que no apare-

cen en la bibliografía con que contamos, como el teorema de

Garsoux y el hecho de que para 11 la convergencia débil y la

convergencia en norma son las mismas por ejemplo

Por otro lado a los grandes teoremas de construcción

y caracterización de las topológias C-secuenciales y S-borno-

lógicas hemos agregado propiedades que a nuestro juicio poseían

y que nuestro esfuerzo ha demostrado

Entre otros presentamos particularmente como humildes

aportes a la teoría de los espacios estudiados una relación,

a nuestro juicio interesante entre espacios lineales topold-

83

gicos, aplicaciones lineales en espacios normados con gráficos

b-11 II -cerrados y espacios lineales topológicos S-bornológicos

así como la necesidad de toda una familia de ser C-secuencial

para que las topologias finales localmente convexas respecto

de una familia de aplicaciones lineales que hagan cada apli-

cación lineal continua y secuencialmente continua respecti-

vamente sean los mismos y la determinación de que la topo-

logia C-secuencial es final respecto a las que poseen sus pro

piedades

Nos hemos encontrado a través de la elaboración del tra

bayo con resultados que a nuestro criterio resultan interesan

tes por su proyección y la posibilidad de la investigación en

esa vía

Entre estos citamos los teoremas de construcción de las

topológlas C-secuenciales y S-bornológicos puesto que nos plan

tean el problema de caracterizar el espacio (X /2 para que

el espacio C(X,R) provisto de la topología compacta-abierta

sea C-secuencial ó S-bornológico

En igual dirección nos planteamos la necesidad de ca-

racterización de las vecindades del origen para la topología

S-bornológica con propiedades Internas de manera que podamos

determinar si esta topología es final respecto a las que poseen

sus características

84

En relación a las propiedades de permanencia nos plan-

teamos el problema de encontrar si existen las condiciones

para que el producto de una familia no numerable de espacios

lineales topológicos C-secuenciales o S-bornológicos también

sea un espacio del mismo tipo problema que ha sido resuelto

para los espacios bornologicos con la exigencia de no exis-

tencia de una medida de Ulam sobre el conjunto de indices

(Verlói)

En este mismo sentido no se conocen aun las condicio-

nes de los sub-espacios de espacios C-secuenciales o S-borno

lógicos de manera que con la topología inducida mantengan

las propiedades respectivas

Respecto a los sub-espacios secuencialmente densos

sería interesante resolver la interrogante de que si los mis

mos podrían caracterizar los espacios lineales topo/ele/leas

C-secuenciales

Igual conjetura nos planteamos para determinar si los

sub-espacios localmente densos que, provistos de la topología

inducida son C-secuenciales podrían caracterizar los espacios

S-bornológicos

Estas y otras interrogantes están planteadas y sola-

mente rogamos al todopoderoso para que, de la misma manera

como la Universidad de Panamá a través de la acción mancomu-

85

nada de la Vice-Rectoría de Investigación y Post-Grado que

Implementó el Programa de Maestría en Matemática, la Vice-

Rectoría Académica que nos dió las mejores condiciones de es-

tudio que los medios a su alcance le permitieron en cada mo-

mento y la Rectoría que con su visión futurista apoyo decidi-

damente las acciones de los anteriores puedan seguir aooyán-

donos en el estadio y la investigación de manera aue cada dia

que pase seamos cada vez más utiles a esta pequeña patria

nuestra aue tanto necesita de sus hijos para resolver los

multiples problemas que la aquejan

86

BIBLIOGRAFIA

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UNIVERSIDAD DE PANAMA VICERRECTORIA DE · suponerlo se constituyeron en la fuente de energia ate impuls6 mis esfuerzos Quiero dedicarlo a mi amantisima esposa XIOMARA aue estoicamente