Universidad de Puerto Rico en CayeyDepartamento de Matematica-Ffsica

XXXV Olimpiada de Calculo, abril 2011

RESPUESTAS

00

1. Halle el valor de ~ ~.s: 3nn=l

1Respuesta: Sabemos que ~ z" = para todo [z] < 1 Y que en esec: I-x'

n=Ointervalo podemos derivar la serie terrnino a termino. De donde obtenemos que:

00

dOO

00 d(l) 1dx L xn = L nxn-1 = dx 1- x = (1 - X)2 .

n=O n=l

Usando ese resultado con x = 1/3 obtenemos que:

00 1 CXlL; = 3L 3:1n=l n=l

1 1 33 (1- i)2 - 4

2. Considere la funcion f (x) definida por

f(x) = { X2 sin(l/x~, ~ = ~.Pruebe que 1'(0) existe y halle su valor.Respuesta: Aplicando la definicion de derivada y recordando que en la definicionde limite no permitimos que h = 0 obtenemos que:

1'(0) = Em f(O + h) - f(O) = lim h2 sin(l/h) = lim hsin(l/h),h-+O h h-+O h h-+O .

si el limite existe. Pera, si h =1= 0

-Ihl < hsin(l/h) < Ihl

y por 10 tanto,

l'(0) = lim h sin (1/ h) = O.h-+O

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3. Considere una esfera de radio R y cortela a una distancia R - h (0 < h < R) desu centro con un plano perpendicular a un radio. El corte produce un casquete dealtura h entre el plano y la superficie de la esfera. Halle el volumen de ese casqueteen terminos de R y de h.

Respuesta: Considere el disco perpendicular a un radio y a una distancia y delcentro de la esfera como se indica en la figura:

Usando el teorema de Pitagoras obtenemos que el radio de ese disco es JR2 - y2Ysu area es, por 10 tanto, A(y) = 7f(R2 - y2). El volumen del casquete es:

4. Considere la familia de parabolas y = a(t)x2 + c(t) con coeficientes que dependencontinuamente en el tiempo t y a(t) i= O. Si el coeficiente a(t) crece a razon de2cm/seg y el coeficiente c(t) decrece a razon de 1 em/seg, Lcon que rapidez sedesplaza el punto en el que las parabolas cortan al semieje positivo de las abscisascuando a = 1 Y c = - 27

Respuesta: Obviando las unidades tenemos que a'(t) == 2 y c'(t) = -1. Ahoraobservamos que cada miembro de la familia de parabolas interseca al semieje posi-

tivo de las abscisas en x(t) ~ j -:(~;si y s610 si -:g; > O.Derivando con respecto a t obtenemos:

1

x'(t) = ~ [-c(t)] -2 -a(t)c'(t) + a'(t)c(t) .2 a(t) a2(t)

Usando los datos a = 1, c = -2, a'(t) == 2 Y c'(t) == -1, concluimos que:

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3V2x' = ---

4

que es la rapidez con que se desplaza el punto de interseccion de las parabolas conel semieje positive de las abscisas en el instante en que a = 1 y c = - 2.

5. Dos pasillos de 6 y 9 pies de ancho estan unidos en angulo recto. Encuentre lalongitud de la barra recta mas larga que puede pasarse horizonta1mente de unpasillo a otro por una esquina.

Respuesta: Suponga que la barra AG puede pasar por la esquina cuando estacomo en la figura. -0:.-

c.

7f .Si e es el valor del angulo que hace la barra en G (0 < e < '2) con el pasillo

ttmas pequefio, entonces '2 - e es el angulo que hace con el pasillo mas grande.La longitud, L, de la barra en esa posicion es L = lAC! = IABI + .IBGI. Aharaobservamos que IABI = 9sece, y IABI = 6csce. Por 10 tanto:

L(e) = 9sece + 6csce, can 0 < e < ~.

Observamos ahora que la longitud maxima de la barra para que ella pueda pasares el minimo del largo de la barra en la posicion descrita. Por 10 tanto, queremoshal1ar el minimo de L(e) en el intervalo 0 < e < ~. Calculando su derivada

2obtenemos que:

sin e cos eL'(e) = 9sece tane + 6csce cote = 9-- - 6--.cos2 e sirr' e

L'(e) -3 cos e (3 tan3 e - 2)

sin2 e

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Como 0 < e < ~, L'(e) = 0 si y solo si e eo = tan"? (\13/2) y el signo deL(e) es igual al signo de 3 tan3 e - 2.

Considere la funcion f(e) = 3 tan3 e - 2. Primero note que f'(e) = 9tan2 e > 010 que implica que f (e) es creciente en 0 < e < 7r /2. Por 10 tanto solo cambia designo en e = eo ~ 0.72.Es facil ver que f(e) < 0, si 0 < e < eo y f(e) > 0, si eo < e. De 10 que concluimosque L'(e) < 0, si 0 < e < eo y L'(e) > 0, si eo < e. ASI que L(e) tiene un valorrninimo en e = eo = tan "! (\13/2).Por 10 tanto el largo maximo de la varilla que puede pasar por la esquina es:

Finalmente, usando las identidades see eo = vI + tan eo y csc eo = vI + cot eo ,obtenemos que:

6. Suponga que f : lR ---t lR es una funcion con segunda derivada continua y calcule:

1. f(x + h) - 2f(x) + f(x - h)1m h2 .h-O

Respuesta: Como es una forma inderminada "0/0" aplicamos la regla de l'Hopitaldos veces para obtener:

lim f(x + h) - 2f(x) + f(x - h) = lim f'(x + h) - f'(x - h) = Iirn 1"(x + h) + 1"(x - h)h-O h2 h-O 2h h-O 2

= f"(x) ,

usando la continuidad de 1" (x).

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7. Encuentre una familia de polinomios P(x) de segundo grade tal que P(O) = 1 Y

J X3(:~)I)2 dx sea una funcion racional.

Respuesta: Como P(x) es de segundo grade y P(O) = 1 tenemos queP(x) = ax2 + bx + 1, donde a y b son constantes, con a =1= O. Queremos que

J P (x) d J ax2 + bx + 1 dx - Xx3(x + 1)2 - x3(x + 1)2

sea una funcion racional.

Para calcular esa antiderivada hacemos la descomposicion en fracciones parciales:

ax2 + bx + 1x3(x + 1)2

ABC D E= -+-+-+--+----:-::-x X2 x3 X + 1 (x + 1)2

Para que la antiderivada sea una funcion racional necesitamos que A = D = 0porque esos terrninos resultarian en logartimos que no son funciones racionales.

Ahora para hallar las otras constantes observamos que:

a2 +bx +1 = Bx(x +1)2+C(x +1)2 +Ex3

= (B +E)x3 + (2B +C)x2 + (B + 2C)x +C.Lo que se cumple si y s610 si:

B + E = 0 ; 2B + C = a ; B + 2C = b ; C = 1 .a+3

De donde ded ucimos que b = -2-

Por 10tanto' la familia de polinomios buscada es:

a+3P(x) = ax2 + -2- x + 1, donde a es constante.

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8. Calcule el limite lim t~cos(k/n)n ....•oo n

k=l

n 1Respuesta: Notamos que L -cos(k/n) es una suma de Riemann de la funci6n

nk=lf(x) = cos x en el intervalo [0,1] correspondiente ala partici6n:

1230<-<-<-<

n n nn-1--<l.n

Por 10 tanto,

n 1lim "'" -:-cas (k / n)n ....•oo ~ n

k=l11cas x dx = sin 1 .

9. Calcule 1!f e2x sin x cas x dx.

Respuesta: Usando la identidad sin(2x) = 2 sin x cos x podemos escribir;

!f 1 !f1 e2x sin x cas xdx = -1 e2x sin 2x dx ,o 2 0

luego hacienda la sustituci6n u = 2x obtenemos:

:i 11:i1 e2x sin x cos x dx = - e2x sin 2x dxo 2 0

11~- e" sin u du.4 0

Ahora, hacienda dos integraciones por partes obtenemos que:

J +e" cas u + e" sin ue" sin u du = + c.

2

Por 10 tanto:

11~ [-eUcosu8+ eUSinu]U=~ . e~ +1- eUsinudu = -

4 0 u=o 8

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10. Dado que f(x, y) = (y - l)eY - xy, la ecuacion f(x, y) = 0 tiene x = 0, y = 1 comouna solucion. Suponga que y es una funcion diferenciable de x en un intervaloalrededor de x = o.(a) Calcule y'(O).(b) Usando la informacion de la parte anterior, calcule una aproximacion del valor

de y* tal que j(0.1, y*) = O.

Respuesta:

(a) Diferenciando implicitamente con respecto a x en la ecuacion (y -1 )eY - xy = 0tenemos:

(eY + (y - l)eY)y' - xy' - y = 0,y'(x) = - y .

yeY - x

Sustituyendo x = 0, y = 1 tenemos que:

y'(O) = ~.e

(b) La mejor aproximacion lineal de y(x) en el punto (0,1) esta dada por

xy(x) ~ y(O) + (x - O)y'(O) = 1+ -.e

Usando esto podemos aproximar:

* 0.1y ~ 1+ - = 1.036787944 ...e