UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO DIVISIÓN DE ... · PDF fileplana, pero una buena presentación se tiene en el libro de Charles H. Lehmann, ampliamente conocido por los estudiantes

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

SUGERENCIAS PARA LA IMPARTICIÓN DE ASIGNATURAS

DE LOS PLANES DE ESTUDIO 2006

GEOMETRÍA ANALÍTICA NOMBRE DE LA ASIGNATURA:

MATEMÁTICAS BÁSICAS GEOMETRÍA ANALÍTICA

DEPARTAMENTO COORDINACIÓN

Horas/Semana de Teoría: 4.5 Horas/Semana de Laboratorio: 00.0 No. Semanas: 16

Objetivo del curso: El alumno reforzará los conceptos fundamentales de la trigonometría y la geometría analítica plana, adquirirá los conceptos fundamentales del álgebra vectorial para aplicarlos en la resolución de problemas de geometría analítica tridimensional y analizará las curvas y superficies cuando sus ecuaciones estén dadas en forma cartesiana, vectorial o paramétrica. Introducción: Estas sugerencias realizadas por la M. I. Sara Valentina Sánchez Salinas, Ing. Érik Castañeda De Isla Puga, Ing. Rodolfo Solís Ubaldo e Ing. Francisco José Castillo Cortés, son una actualización del trabajo realizado, y que es aún vigente, por los profesores M. I. Leda Speziale San Vicente, Ing. Francisco Barrera García, Ing. Humberto Soriano Sánchez e Ing. Érik Castañeda De Isla Puga. A ellos nuestro reconocimiento por haber realizado un trabajo de calidad y siempre atendiendo al cabal cumplimiento de los temarios y lograr los objetivos del curso. Se Agradece también la captura de este trabajo en su etapa preliminar a la señorita Hanna Leslye García Guerra, así como a María Sara Valentina Sánchez Salinas en su captura general. Por otro lado, se recomienda que se consulten páginas vía Intenet (páginas web) de los diferentes temas de la asignatura y se debe recordar que dichas páginas siempre están en actualización, por lo que si un semestre aparece alguna página en particular, al siguiente podría haber cambiado su dirección o bien ya no estar en la RED. Al momento se recomienda la dirección www.cnice.mec.es/Descartes/ Agradeceremos sus comentarios sobre el presente trabajo y también les solicitamos su ayuda para corregir los errores que involuntariamente existan aún en este escrito.

AGOSTO DE 2005

SUGERENCIAS PARA IMPARTIR LA ASIGNATURA GEOMETRÍA ANALÍTICA

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Tema 1. Trigonometría (6.0 horas / 1.33semanas ) Objetivo: El alumno reforzará los conceptos de trigonometría para lograr una mejor comprensión de la geometría analítica plana y la tridimensional.

Subtema 1.1. Círculo trigonométrico. Funciones trigonométricas. Relaciones entre funciones trigonométricas. Identidades trigonométricas pitagóricas y por cociente. Definir las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante a partir del círculo trigonométrico. Se sugiere mostrar el círculo trigonométrico con las seis funciones.

Para las relaciones entre funciones trigonométricas se sugiere emplear el círculo trigonométrico y deducir alguna identidad pitagórica, llamada así por tener en su expresión la suma de los cuadrados de dos funciones trigonométricas:

1cos22 =+ xxsen xx 22 sec1tan =+ xx 22 csc1cot =+

Dejar de tarea al alumno deducir alguna otra identidad pitagórica. Es conveniente deducir los valores para las funciones trigonométricas seno y coseno para los ángulos 30°, 45°, 60° y 90° , así como sus múltiplos en los otros cuadrantes. Se sugiere emplear algún paquete de cómputo (software) para la presentación del círculo trigonométrico y las funciones trigonométricas.

Subtema 1.2. Identidades de la suma y diferencia de ángulos y de ángulo doble. Para las identidades de la suma y diferencia de ángulos se sugiere obtener sólo una de ellas utilizando la figura correspondiente y las definiciones previamente establecidas. Para las identidades de ángulo doble se sugiere que se obtenga una de ellas.

Subtema 1.3. Ley de los senos y ley de los cosenos. Se sugiere deducir la ley de senos e investigar la deducción de la ley de cosenos. Plantear ejercicios de trigonometría aplicada y no restringirse a ángulos conocidos, como por ejemplo:

Altura de un rascacielos. Cuando se ve un rascacielos desde la azotea de un edificio de 12 metros de altura, el ángulo de elevación es 59° (véase figura). Cuando se le ve desde el nivel del suelo, junto al edificio más pequeño, el ángulo de elevación es de 63°.


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59° 12 63°

Calcular: a) La distancia entre los dos edificios. b) La altura del rascacielos. Es recomendable plantear ejercicios en donde se requiera emplear el uso de la calculadora y algunos que no lo requieran.

Tema 2. Cónicas (9.0 horas / 2.0 semanas ) Objetivo: El alumno reforzará los conocimientos de geometría analítica plana para lograr una mejor comprensión de los elementos geométricos localizados en el espacio tridimensional.

Subtema 2.1. Sistema de coordenadas cartesianas. Simetría de puntos representados en coordenadas cartesianas. Se sugiere comentar la importancia de contar con sistemas de referencia para localizar puntos tanto en un plano como en el espacio en que vivimos e incluir alguna referencia histórica al surgimiento del plano cartesiano y hacer un breve recordatorio de la manera en que se ubican puntos en el plano por medio de un sistema cartesiano.

Explicar la simetría de dos puntos respecto tanto a otro punto, como a una recta cualquiera del plano. Hacer ejercicios de determinación de las coordenadas cartesianas del punto simétrico a un punto cuyas coordenadas se conocen, ya sea respecto al origen o a cualquiera de los ejes coordenados.

Subtema 2.2. Definición de lugar geométrico. Definir lugar geométrico, indicando que hay lugares geométricos que sólo se pueden definir a través de una ecuación matemática.

Subtema 2.3. La recta. Ángulo de inclinación. Definición de pendiente. Ecuaciones de la recta. Forma punto-pendiente. Recta determinada por dos puntos. Forma simétrica. Ecuación general de una recta.. Definir ángulo de inclinación y relacionarlo con el concepto de dirección, que es el


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ángulo que forma la recta con el sentido positivo del eje de las abscisas. Definir la pendiente como la tangente del ángulo de inclinación. Ecuaciones de la recta: Forma punto-pendiente y mx b= +

Dos puntos ( )112

121 xx

xx

yyyy −

−−

=−

Simétrica 1x y

a b+ =

Ecuación general de una recta 0Ax By C+ + =

en donde además, ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero y hacer ejercicios aplicando estos conceptos.

Subtema 2.4. Definición de curva cónica. Ecuación general de segundo grado con dos variables. Definición de curva cónica. Se sugiere dibujar un cono circular recto de dos mantos, y definir las curvas cónicas a partir de la intersección de un plano con dicho cono. La ecuación general de segundo grado con dos variables es:

022 =+++++ FEyDxCyBxyAx

Explicar que toda curva cónica puede quedar representada con una ecuación de segundo grado, pero una ecuación de segundo grado podría no representar una curva cónica, sino una degeneración de alguna de ellas o no representar algún lugar geométrico. Enfatizar que esto obliga a hablar, por ejemplo, de ecuaciones de tipo hipérbola, en lugar de ecuaciones de una hipérbola. Explicar que la ausencia del término xy significa que los ejes de la cónica correspondiente son coincidentes con los ejes coordenados o paralelos a ellos.

Subtema 2.5. Circunferencia. Definición. Características geométricas y ecuaciones. Definir la circunferencia como el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de un punto llamado centro. Deducir su ecuación con centro en el origen y radio r, y deducir la ecuación con centro fuera del origen aplicando una traslación de ejes.

Subtema 2.6. Parábola. Definición. Características geométricas y ecuaciones. Definir parábola y deducir su ecuación con vértice en el origen.

Subtema 2.7. Elipse. Definición. Características geométricas y ecuaciones. Definir elipse. Hacer hincapié en que la circunferencia es un caso particular de elipse con semiejes iguales. Investigar la deducción de la ecuación de la elipse.

Subtema 2.8. Hipérbola. Definición. Características geométricas y ecuaciones. Definir hipérbola e investigar la deducción de su ecuación.

Subtema 2.9. Rotación de ejes. El caso de rotación de ejes, así como el de traslación, es el de un cambio del sistema de referencia. Es conveniente hacer énfasis que al realizar una de estas


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transformaciones lo que se modifica es el sistema de referencia y no los lugares geométricos. El objetivo de estos cambios es, en general, obtener ecuaciones más simples. En el caso de la traslación de ejes, la finalidad es lograr la desaparición del término independiente, lo que significará que la curva representada contenga al origen; también podría ser que si la curva en estudio tenga centro, se busque que el origen del nuevo sistema coincida con ese centro.

Por su parte, la rotación de ejes en general se realiza cuando se pretende que en la ecuación de la curva estudiada desaparezca el término XY, para ello lo que se busca es que los ejes del nuevo sistema de referencia se orienten de tal manera que el o los ejes de la cónica tengan la misma dirección que los ejes de referencia. Es conveniente deducir las expresiones de transformación por rotación de ejes pues resulta una aplicación interesante de la trigonometría estudiada en el tema uno. La deducción se puede consultar prácticamente en cualquier libro de geometría analítica plana, pero una buena presentación se tiene en el libro de Charles H. Lehmann, ampliamente conocido por los estudiantes y a su alcance en las bibliotecas de la Facultad. Una vez establecidas estas expresiones, se sugiere aplicarlas en varios ejercicios para lograr la transformación deseada. Por ejemplo, se puede tener un ejercicio como: Sea la curva de ecuación 01222 22 =−−+++ yxyxyx Efectuar una rotación de ejes de tal manera que se obtenga la ecuación de la curva

sin el término XY e identificarla.

RESOLUCIÓN.

En este caso al intentar aplicar la expresión CA

B

−=θ2tan para determinar el ángulo

de giro, se tiene que el denominador se anula, lo cual no significa que no sea posible dicha determinación. Esto puede interpretarse como que θ2 es el ángulo cuya tangente no existe, es decir o902 =θ ; es decir, el ángulo de rotación es o45=θ Al aplicar las expresiones correspondientes se tiene:

'2

2'

2

2

'2

2'

2

2

yxy

yxx

+=

−=

y al sustituir, desarrollar y simplificar se llega a:

2

12'2 =− yx

que corresponde a una parábola con vértice en el punto de coordenadas

)22

1,0(V , con su eje paralelo al eje de las ordenadas y que abre hacia la parte

positiva de dicho eje coordenado.


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Tema 3. Curvas en el plano polar (9.0 horas / 2.0 semanas ) Objetivo: El alumno obtendrá ecuaciones en forma polar de curvas en el plano y determinará las características de éstas a partir de su ecuación en forma polar.

Subtema 3.1. Sistema de coordenadas polares. Simetría de puntos en coordenadas polares. En algunas ocasiones, al representar un problema físico con un modelo de coordenadas cartesianas, la solución es imposible o muy difícil de obtener; sin embargo, utilizando otro sistema de referencia puede simplificarse el proceso. Ejemplos de esto se encuentran en algunos problemas de integrales cuya solución es más fácil de obtener utilizando coordenadas polares.

Definir el sistema polar de referencia. Explicar que la existencia del eje perpendicular al semieje de referencia, llamado recta a 90° (eje copolar), no es indispensable pero sí muy conveniente en la comparación con el sistema cartesiano y en el análisis de simetrías en el estudio de las curvas. Como ejemplo de uso de este sistema puede presentarse una pantalla de radar, comparándola con una hoja de papel polar: la localización de un objeto en dicha pantalla, resulta relativamente sencilla con el conjunto de circunferencias concéntricas y los segmentos radiales, con lo que puede conocerse su distancia horizontal al radar y el ángulo de su radio vector con respecto a un eje determinado. Definir simetría respecto al polo y respecto al eje polar. Comentar las coordenadas polares de puntos simétricos con respecto al polo o con respecto al eje polar.

Subtema 3.2. Transformación de coordenadas cartesianas a polares y de polares a cartesianas. Se sugiere determinar las ecuaciones de transformación entre las coordenadas cartesianas y las polares, y viceversa. Hacer ejercicios en los que se trabaje con radios vectores positivos y negativos, así como con ángulos mayores de 90° y con negativos, insistiendo en que la calculadora no precisa el ángulo.

Subtema 3.3. Ecuaciones polares de curvas. Cardioides, lemniscatas, rosas de n pétalos. Obtener, utilizando las ecuaciones de transformación de coordenadas vistas en el tema 3.2, unas ecuaciones polares de algunos casos particulares de rectas y cónicas. El caso general de una recta y el de las cónicas con un foco coincidente con el polo, no están en el programa de la asignatura, por lo que no es conveniente invertir tiempo en ellos ni evaluarlos. Se sugiere hacer ejercicios como los siguientes:

1. Obtener una ecuación polar de la recta cuyas ecuaciones cartesianas son:


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3 0; 0− + = =x z y

podemos sustituir x por r cosθ y z por r senθ con lo que se tiene:

cos 3 0r r senθ θ− + = que es la ecuación buscada; de ella podemos despejar r y obtener otra forma de esa ecuación, como lo es:

3r

sen cosθ θ=

−

En este ejemplo es conveniente aclarar que las coordenadas polares pueden ser usadas en cualquier plano coordenado.

2. Obtener una ecuación polar de la elipse en el plano xy cuya ecuación cartesiana es:

2 2(x 5) (y 1)1

2 5

− ++ =

al sustituir “x” por θcosr y a “y” por θsenr se obtiene:

2 2(r cos 5) (r sen 1)1

2 5

θ θ− ++ =

que es la ecuación buscada. Podemos darle otra forma, como por ejemplo: 2 2 2 25(r cos 10r cos 25) 2(r sen 2r sen 1) 10θ θ θ θ− + + + + =

o bien: 2 2r (2 3cos ) r ( 50cos 4sen ) 117θ θ θ+ + − + = −

Definir una curva en coordenadas polares como el lugar geométrico de todos los puntos del plano polar que satisfacen una ecuación que relaciona a r (radio vector) con θ (argumento).

Presentar ejemplos de algunas curvas y sus ecuaciones como la cardiode, la espiral de Arquímedes, la cicloide, etc.

Subtema 3.4. Análisis de una curva representada por una ecuación polar. Para la discusión de la ecuación polar de una curva, describir el método simultáneamente con su aplicación a un ejemplo lo más ilustrativo posible.


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En libros sugeridos en el programa y algunos otros, no se definen ecuaciones equivalentes, las que son necesarias en la discusión de la ecuación, aunque sí se mencionan, por lo que se sugiere definir ecuaciones equivalentes en coordenadas polares como las que representan el mismo lugar geométrico, aunque lo describan con el recorrido del radio vector iniciado en diferentes puntos o recorrido en diferentes sentidos; como ejemplo tenemos: r=3 y r=-3 que son dos ecuaciones polares equivalentes ya que ambas representan al mismo lugar geométrico: una circunferencia con centro en el polo y radio igual a 3.

Analíticamente, dos ecuaciones son equivalentes si al efectuar manipulaciones algebraicas o sustituir identidades en una de ellas, es posible llegar a la otra, en ese caso también representan al mismo lugar geométrico; sin embargo, puede suceder que dos ecuaciones no equivalentes analíticamente (como las del párrafo anterior) representen al mismo lugar geométrico, es decir, sean equivalentes geométricamente.

Por otra parte, uno de los temas en la discusión de la ecuación es llamado “extensión de la curva” en cuando menos dos de los libros recomendados en la bibliografía y, en ellos ese tema se refiere a la determinación de si la curva es “abierta” o “cerrada”, definiendo curva cerrada como aquella en la que r o r2 existe para todo valor de θ . Hacer ejercicios.

Se sugiere emplear algún tipo de Software en donde se muestre una pantalla de radar y se observe claramente la facilidad de localizar un punto como la intersección de una circunferencia con un segmento de recta.

Tema 4. Álgebra vectorial (13.5 horas / 3.0 semanas ) Objetivo: El alumno aplicará el álgebra vectorial en la resolución de problemas geométricos.

Subtema 4.1. Sistema cartesiano en tres dimensiones. Simetría de puntos. A partir del sistema de dos coordenadas se puede explicar que en nuestra realidad física se requieren tres coordenadas para localizar un punto, lo que conduce a otro sistema formado por tres planos perpendiculares entre sí. Para la comprensión, por parte de los estudiantes, de la relación entre una terna ordenada de números (coordenadas cartesianas de un punto) y la ubicación del punto correspondiente, puede hacerse sobre un modelo físico un recorrido iniciando en el origen y sobre la línea que representa al eje x, continuar con una dirección perpendicular en una dirección paralela al eje y y terminar con una dirección perpendicular a x y a y, paralela al eje z. Además puede comentarse que se obtiene el mismo punto con la intersección entre tres planos paralelos respectivamente a los que forman el sistema de referencia.

Definir un sistema derecho en el plano como aquel en el que al girar 90° la parte


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positiva del eje de las abscisas en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, coincide con la parte positiva del eje de las ordenadas. Comentar que si el giro se realiza en sentido contrario, el sistema es izquierdo. Recalcar que esta definición es independiente de la posición horizontal, vertical u oblicua de cualquiera de los ejes. Para un sistema de referencia de formato por tres ejes, indicar que es derecho si al ver el plano de abscisas-ordenadas (xy) desde la parte positiva del eje de las cotas (z), el sistema visto en el plano es derecho con el criterio descrito antes. Se analizará la simetría de dos puntos respecto tanto a otro punto, como a una recta cualquiera del espacio, así como respecto a un plano. Hacer ejercicios de determinación de las coordenadas cartesianas del punto simétrico a un punto cuyas coordenadas se conocen, ya sea respecto al origen, como a cualquiera de los ejes o de los planos coordenados.

Subtema 4.2. Cantidades escalares y cantidades vectoriales. Definición de segmento dirigido. Componentes escalares de un segmento dirigido en la dirección de los ejes coordenados. El vector como terna ordenada de números reales. Definición de módulo de un vector e interpretación geométrica. Vector de posición de un punto. Vector nulo. Vector unitario. Vectores unitarios i, j, k. Vectores representados por una combinación lineal de los vectores i, j, k. Comentar las diferencias entre cantidades escalares y cantidades vectoriales con apoyo en ejemplos como longitudes y fuerzas.

Definir segmento dirigido, indicar que este ente es la representación gráfica de los vectores que tienen magnitud, dirección y sentido.

Existe una definición más general de vector, pero que en este curso se trabajará sólo con los que se representan gráficamente con un segmento dirigido y que tienen como expresión analítica una terna ordenada de números reales; cuando este valor está en un plano puede expresarse por una pareja de números.

Definir componentes escalares de un vector, para el caso particular de un vector en el plano con apoyo en un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el vector, y los catetos (paralelos a los ejes coordenados) sus componentes escalares; así como para el caso general de un vector en el espacio.

Definir módulo de un vector y comentar que este concepto puede considerarse sinónimo de tamaño o magnitud. Es conveniente hacer énfasis que los vectores aquí son libres; es decir, que un vector puede representarse por cualquier segmento dirigido con tal de que éste conserve la magnitud, dirección y sentido del vector.

Definir vector unitario e indicar que los unitarios que tienen la dirección y sentido de los ejes coordenados reciben el nombre de i, j y k, respectivamente.

Subtema 4.3. Definición de igualdad de vectores. Operaciones con vectores: adición, sustracción y multiplicación por un escalar. Propiedades de las operaciones. Definir la igualdad de vectores a partir de su expresión analítica.


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Definir la adición de vectores y mostrar la representación geométrica de esta operación en sus versiones de la regla del paralelogramo y la regla del triángulo. Enunciar las propiedades de la adición y demostrar alguna.

Enfatizar que la existencia del elemento idéntico, llamado vector nulo o vector cero corresponde a un vector que carece de dirección y sentido y cuyo módulo es cero; sin embargo, se considera como una ampliación de la definición de vector, el cual gráficamente es un punto y no un segmento dirigido.

A partir de la definición de adición, enunciar la sustracción de vectores como la adición del minuendo más el inverso aditivo del sustraendo. Mostrar la representación geométrica de la sustracción.

Definir la operación llamada multiplicación por un escalar. Enunciar las propiedades de esta operación e insistir en que si un escalar es diferente de cero, no se altera la dirección del vector; presentar ejemplos donde se cambie la magnitud, el sentido o ambos. Como ejemplo de aplicación de las dos operaciones definidas puede presentarse la forma trinómica de un vector. Hacer ejercicios donde se combinen las operaciones anteriores.

Subtema 4.4. Producto escalar de dos vectores y propiedades. Condición de perpendicularidad entre vectores. Componente escalar y componente vectorial de un vector en la dirección de otro. Ángulo entre dos vectores. Ángulos, cosenos y números directores de un vector. Definir el producto escalar o producto punto; en la matemática moderna, específicamente en Álgebra Lineal, se definen productos llamados internos de los cuales el escalar es uno de ellos. Aclarar que existen dos clases de producto de vectores y que al escalar se le da ese nombre debido a que el resultado es un número (escalar). Enunciar las propiedades del producto definido.

Demostrar la condición de perpendicularidad entre dos vectores como una aplicación del producto escalar. Resaltar la importancia de la ortogonalidad en problemas de ingeniería. Es conveniente señalar que las palabras ortogonal y perpendicular no son rigurosamente sinónimos, pero que en este curso así se considerarán; mencionar que en Álgebra Lineal se verá la diferencia.

Definir el ángulo entre vectores y, considerando el producto escalar, deducir la expresión que permite su cálculo. Especificar la dirección y el sentido de un vector por medio de sus ángulos directores, o bien de sus cosenos o números directores. Insistir en que si el módulo del vector es uno de sus componentes escalares son sus cosenos directores. Hacer ejercicios de diferentes grados de dificultad.

Definir componente vectorial de un vector sobre otro e indicar que tienen enorme aplicación en Estática, en donde suele llamársele proyección de un vector sobre otro. Es conveniente mencionar que es más correcto hablar de componente vectorial de un vector sobre la dirección de otro. Por ejemplo:

La fuerza que produce el movimiento es la componente vectorial de F sobre la



dirección d.

Definir componente escalar y dar ejemplos.

Subtema 4.5. Producto vectorial: definición, interpretación geométrica y propiedades. Condición de paralelismo entre vectores. Aplicación del producto vectorial al cálculo del área de un paralelogramo. Definir el producto vectorial, o producto cruz, de dos vectores, indicando que se le llama vectorial por ser un vector el resultado de la operación; para el cálculo numérico del producto, desarrollar el “determinante” correspondiente, comentando que no es un determinante propiamente dicho sino una forma práctica de recordar y operar. Presentar la interpretación geométrica del producto cruz e ilustrarla con ejemplos como i x j, k x j, entre otros. Enunciar las propiedades del producto cruz y demostrar una de ellas. Enunciar la condición de paralelismo entre vectores con apoyo en el resultado que se obtiene al multiplicar i x i, -j x j, o alguno similar. Decir

que puede demostrarse que el módulo del vector u x v es igual al módulo de u por

el módulo de v por el seno del ángulo entre ellos y demostrar, con una figura

geométrica, que [u x v ] es igual al área del paralelogramo, dos de cuyos lados no

paralelos coinciden con u y v . Hacer ejercicios de aplicación del producto cruz al cálculo de áreas de paralelogramos y triángulos.

Subtema 4.6. Producto mixto e interpretación geométrica. Definir producto mixto y demostrar que puede calcularse por medio de, ahora sí, un determinante. En el programa actual de la asignatura se incluyen las aplicaciones del producto mixto al cálculo de volúmenes y la condición para que cuatro puntos sean coplanares; por lo que, si se considera conveniente puede incluirse en la evaluación.

Tema 5. La recta y el plano en el espacio (13.5 horas / 3.0 semanas ) Objetivo: El alumno aplicará el álgebra vectorial para obtener las diferentes ecuaciones de la recta y del plano, así como para determinar las relaciones entre ellos y con puntos en el espacio de tres dimensiones.

Subtema 5.1. Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de la recta. Ecuaciones cartesianas en forma simétrica y en forma general de la recta. Todos tenemos una idea intuitiva de punto, pero no existe una definición satisfactoria ni rigurosa de él. Definir vector de posición, insistir en que los vectores con los que se ha trabajado son libres, pero para los de posición su punto inicial es fijo ya que siempre coincide con el origen de coordenadas. Mencionar que existe una relación biunívoca entre los puntos del espacio tridimensional y sus

d



correspondientes vectores de posición; sin embargo, es importante distinguir un punto de su vector de posición, ya que mientras el primero se representa analíticamente por una terna de números que son sus coordenadas cartesianas, su vector de posición se representa analíticamente por la misma terna de números pero ellos son las componentes escalares del vector. Insistir en que aún la notación es diferente, así por ejemplo el punto A de coordenadas 2, 3 y 6 se indica: A(2, 3, 6) y

su vector de posición cuyas componentes escalares son 2, 3 y 6, se indica: a = (2, 3, 6).

Con apoyo en la definición de vector de posición y en la de sustracción de vectores, obtener la expresión que permite calcular la distancia entre dos puntos como el módulo de la diferencia de sus vectores de posición.

Se sugiere comentar que los elementos geométricos como puntos, rectas, curvas, planos y superficies son una idealización de los elementos físicos que intervienen en un problema real y que dicha idealización sirve para plantear el modelo matemático con el que se obtiene la solución del problema.

Deducir la ecuación vectorial de una recta apoyándose en una gráfica, considerando que la recta es el lugar geométrico de un punto móvil cuyo vector de posición es la suma del vector de posición de un punto fijo de la recta (que llamamos apoyo) más el producto de un escalar (llamado parámetro) por un vector paralelo a la recta (que llamamos vector director); así, cada valor particular del parámetro sustituido en la ecuación vectorial, nos da el vector de posición de un punto de la recta. Aclarar que existe una infinidad de ecuaciones vectoriales de una misma recta, ya que el apoyo puede ser cualquier punto de ella y el vector director cualquier vector paralelo a dicha recta.

A partir de la ecuación vectorial obtener las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones cartesianas de la recta, éstas últimas en forma simétrica.

Las ecuaciones paramétricas correspondientes a una ecuación vectorial de la recta son tres y las cartesianas son dos. Hacer ejercicios numéricos incluyendo casos en lo que la recta sea paralela a un plano o a un eje coordenado.

Las ecuaciones cartesianas en forma general, corresponden a las ecuaciones de dos planos cuya intersección es la recta en cuestión y que, en general cualquier curva, de la cual un caso particular es la recta, requiere de dos ecuaciones cartesianas para su representación analítica; que en bachillerato se habla de “la” ecuación de una recta o de una curva porque se trabaja sobre el plano xy y la otra ecuación cartesiana es z=0.

Subtema 5.2. Distancia de un punto a una recta. Ángulo entre dos rectas. Condición de perpendicularidad y condición de paralelismo entre rectas. Distancia entre dos rectas. Intersección entre dos rectas. Definir el concepto de distancia de un punto a una recta y deducir, apoyándose en una gráfica, alguna de las expresiones que permiten calcular dicha distancia.

Definir ángulo entre dos rectas como el ángulo entre sus vectores directores y comentar que dos rectas siempre forman un ángulo aunque no tengan un punto en



común. Deducir las condiciones de perpendicularidad y paralelismo entre dos rectas. Es conveniente mencionar en clase que en algunos libros se habla de coincidencia de rectas cuando se presentan dos expresiones analíticas diferentes de la misma recta. Realizar ejercicios.

Definir distancia entre dos rectas y deducir la expresión que permite su cálculo apoyándose en una gráfica y en el concepto de componente escalar de un vector sobre otro; es importante resaltar que para calcular la distancia entre dos rectas paralelas se debe recurrir al concepto de distancia de un punto a una recta, ya que al

tener vectores directores paralelos el producto cruz entre ellos es 0 . Ilustrar, mediante un ejemplo el caso en el cual la distancia entre dos rectas no coincidentes sea cero, es decir las condiciones para que dos rectas se corten y en consecuencia tengan un punto de intersección; obtener las coordenadas cartesianas de dicho punto mediante la igualación de las ecuaciones paramétricas de las rectas, mencionando que este método no es el único, pero sí el más conveniente para obtener la intersección de dos lugares geométricos en tres dimensiones. Es importante resaltar que si el sistema de ecuaciones que se forma al igualar las ecuaciones paramétricas de las rectas es incompatible significa que las rectas se cruzan o son paralelas, es decir, no tienen intersección; si es compatible indeterminado, las rectas son coincidentes y sólo cuando es compatible determinado existe un punto en común, esto es, las rectas se cortan. Realizar ejercicios que ilustren los casos descritos.

Subtema 5.3. Ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y ecuación cartesiana del plano. Distancia de un punto a un plano. Ángulo entre dos planos. Condición de perpendicularidad y condición de paralelismo entre planos. Distancia entre dos planos. Intersección entre planos. Deducir, apoyándose en una gráfica, la ecuación vectorial del plano y mostrar que dicha ecuación proporciona la regla que sigue un vector de posición que “barre” la superficie plana. A partir de la ecuación vectorial, obtener las ecuaciones paramétricas del plano y hacer algún ejercicio. Es conveniente resaltar que tanto en la ecuación vectorial como en las ecuaciones paramétricas del plano hay dos parámetros, mientras que en las de la recta o en las de alguna otra curva, sólo se tiene uno.

Definir vector normal de un plano. Deducir la ecuación cartesiana del plano a partir del vector normal.

Definir distancia de un punto a un plano y deducir la expresión para calcularla, apoyándose en una gráfica y en el concepto de componente escalar de un vector sobre otro.

Definir e ilustrar gráficamente ángulo entre dos planos. Plantear las condiciones de perpendicularidad y paralelismo entre dos planos.

Comentar que la distancia entre dos planos coincidentes o entre dos planos que se cortan es cero, en el caso de dos planos paralelos no coincidentes la distancia entre



ellos se calcula como la distancia de un punto de uno de los planos al otro plano. Ilustrar con una gráfica, dicha gráfica puede hacerse apoyándose en un medio audiovisual incluyendo algún paquete computacional.

Enfatizar que existe recta de intersección entre dos planos (no paralelos ni

coincidentes) si sus vectores normales 1N y 2N cumplen con:

1 2 0N N× ≠ o 1 2N Nλ λ≠ ∀ ∈ � .

Mostrar con un ejemplo el método para obtener la mencionada recta de intersección.

Subtema 5.4. Relaciones entre rectas y planos: ángulo entre una recta y un plano, condición de paralelismo y condición de perpendicularidad. Intersección de una recta con un plano. Distancia entre una recta y un plano. Definir ángulo entre una recta y un plano y deducir, apoyándose en una gráfica, la expresión que permite calcularlo. Plantear las condiciones de perpendicularidad y paralelismo entre un plano y una recta.

Enunciar que una recta puede cortarse en un punto con un plano, ser paralela a él o estar contenida en él. Mostrar ejemplos numéricos, cuando menos dos de los casos anteriores. Cabe resaltar que para el caso de una recta y un plano paralelos su distancia se define como la distancia entre un punto cualquiera de la recta y el plano. Conviene realizar uno o dos ejercicios sobre este cálculo.

Tema 6. Curvas en el espacio (7.5 horas / 1.66 semanas ) Objetivo: El alumno obtendrá ecuaciones paramétricas y en forma vectorial de curvas en el espacio e identificará curvas a partir de sus ecuaciones.

Subtema 6.1. Ecuaciones paramétricas y ecuación vectorial de una curva contenida en planos paralelos a los planos coordenados. Intervalo paramétrico. Definir la ecuación vectorial de una curva como la regla matemática que indica el desplazamiento de un vector de posición para que su extremo barra la curva en toda su longitud. Comentar que la recta es un caso particular de curva.

Precisar que:

- Una curva puede expresarse con una de una infinidad de ecuaciones vectoriales. - Toda curva requiere de un solo parámetro para su expresión vectorial, pero señalar

que en el caso de superficies se requieren dos parámetros. - La elección adecuada del parámetro (parametrización abusando del lenguaje) puede

facilitar la resolución de algún problema donde se necesite el uso de la ecuación vectorial de una curva.

- A cada ecuación vectorial de una curva (o de una superficie) corresponde un conjunto de exactamente tres ecuaciones paramétricas, pudiendo una o más de ellas estar



igualadas a una constante. - No existe un método sistemático para determinar una ecuación vectorial o las

correspondientes ecuaciones paramétricas de una curva. Se sugiere definir intervalo paramétrico como el conjunto de valores del parámetro para los cuales las variables x, y y z son simultáneamente reales. Hacer ejercicios con diversos grados de dificultad en los que se incluya alguna curva cuya representación en coordenadas cartesianas es complicada como la cicloide, la cisoide de Diocles u otra.

Presentar algunos ejemplos como los siguientes:

1. Obtener dos ecuaciones vectoriales de la curva descrita por un punto cuya abscisa sea tres y su cota el doble del coseno de su ordenada, además localizar en una gráfica, cuando menos cuatro puntos de dicha curva. Se sugiere determinar el intervalo de variación de las variables x, y, z.

PUNTO t X Y Z

P1 0 3 0 2

P2 6

π 3

6

π 3

P3 3

π 3

3

π 1

P4 2

π 3

2

π 0

P5

π 3

π -2

Su ecuación vectorial es 3 (2cos )p i tj t k= + +

Otra ecuación puede obtenerse con:

3 33 (2cos )p i j kα α= + +

x= 3 y= t para t∈R z= 2 cos t

x= 3

y= 3α para α ∈R

z= 32cosα

P5 P4

P3

P2

P1 0

x

z

y



Los puntos son los del caso anterior si:

1 0α = 32

6

πα = 33

πα = 34

2

πα = 35α π=

2. Obtener una ecuación vectorial de la curva descrita por un punto cuya ordenada sea el cuadrado de la suma de su abscisa más dos y su cota sea menos cinco, además localizar cuando menos cuatro puntos de dicha curva.

2( 2) 5p t i t j k= − + −

PUNTO t x y z

P1 -3 -5 9 -5

P2 -2 -4 4 -5

P3 0 -2 0 -5

P4 2 0 4 -5

P4

P3

P2

P1

0

x

z

y

x= t - 2 y= t2 para ∀ t∈R z= -5



3. Obtener una ecuación vectorial de la curva descrita por un punto cuya abscisa sea tres

más o menos la raíz cuadrada de nueve menos el cuadrado de su cota y su ordenada sea 8.

t x y z PUNTO

-3 3 8 -3 P1

-2 ≈5.2 8 -2 P2

-2 ≈0.76 8 -2 P3

0 6 8 0 P4

0 0 8 0

1 ≈5.83 8 1

1 ≈0.17 8 1

3 3 8 3 P5

Sus ecuaciones vectoriales son:

( )23 9 8p i j t kt= + − + + y ( )2

3 9 8p i j t kt= − − + +

P4 P3

P2

P1

0

x

z

y P5

x= 23 9 t± − y= 8 z= t para –3 ≤ t ≤ 3



4.- Se sugiere agregar un ejercicio (elipse)

Subtema 6.2. Ecuaciones paramétricas y ecuación vectorial de las cónicas. Para comenzar conviene trabajar con la circunferencia, y como ya se mencionó no es conveniente la parametrización con la ecuación cartesiana por la ambigüedad del signo. Una parametrización que es muy utilizada resulta de emplear una analogía de su ecuación cartesiana en forma simétrica en la que se tiene una suma

de cuadrados con la identidad pitagórica 2 2 1cos senθ θ+ = Por ejemplo: la circunferencia con centro en el origen y radio igual a r y

x

y si esta circunferencia se desplaza siempre es una suma de vectores.

Se sugiere presentar el proceso de llevarlas a la forma paramétrica, “parametrización”, iniciando con la circunferencia cuyas ecuaciones cartesianas son:

(x-a)2 + (y-b)2 = r2 ; ... (1) z=0 (donde a, b y r son conocidas).

dicha parametrización, puede hacerse primero de la manera más fácil, comentando que no es la conveniente, y que consiste en igualar una de las variables por ejemplo x, al parámetro (que podemos llamar t), con lo que la y queda:

2 2y b r (t )α= ± − −

que presenta el inconveniente de ser dos expresiones: una con el signo + que representa la semicircunferencia superior, y la otra con el signo – que representa la semicircunferencia inferior.

Después, llevar la misma ecuación cartesiana en xy a una vectorial considerando como parámetro el ángulo θ (de la figura), haciendo:

o

r



x-a a

b

y-b P(x,y)

t

0

y

x

c

θ

Si en (1) se dividen ambos miembros entre r2 y la expresión resultante se asocia con la identidad 2 2 1cos senθ θ+ = , se llega a las mismas ecuaciones paramétricas si se consideran los signos positivos al extraer la raíz cuadrada.

La ecuación vectorial es:

0p (a r cos )i (b r sen )j kθ θ= + + + +

De manera semejante manejar la “parametrización” más conveniente de una elipse como por ejemplo la de ecuaciones:

2 21 3

19 4

(x ) (y )+ −+ = ; 0z =

haciendo 2

21

9

(x )cos θ+ = que implica 1 3x cosθ= − +

y 2

23

4

(y )sen θ− = que implica 3 2y senθ= + con 0 2θ π≤ ∠

lo que conduce a la ecuación: 1 3 3 2 0p ( cos )i ( sen ) j kθ θ= − + + + +

Tanto en la elipse como en la circunferencia la x puede también relacionarse con la

cosθ− =x a

r que implica:

x a r cosθ= + y b

senr

θ− = que

implica: y b r senθ= + con 0 0 2π≤ ∠



y

función seno y la y con la coseno que equivale a considerar, para la elipse del ejemplo el parámetro α de la figura:

con lo cual x 1 3senα= − + ; y 3 2cosα= + y la ecuación vectorial correspondiente es:

p ( 1 3sen )i (3 2cos ) j 0kα α= − + + + +

Para una hipérbola lo conveniente es considerar la identidad 2 2sec tan 1θ θ− =

Así, si las ecuaciones cartesianas de una hipérbola son:

2 2(x 3) (y 2)1

4 3

− +− = ; 5=z

lo conveniente es hacer:

θ− =2

2(x 3)sec

4 que considerando el signo positivo en la raíz cuadrada nos

conduce a: x 3 2secθ= + y 2

2(y 2)tan

3θ+ = que con el signo positivo nos lleva a:

y 2 3 tanθ= − + y la ecuación vectorial correspondiente resulta:

p (3 2sec )i ( 2 3 tan ) j 5kθ θ= + + − + + Conviene que se utilice otra parametrización, por ejemplo considerando el signo negativo.

y-3

C

1

x-(-1)

t

0 x

c

α3



Para la parábola lo idóneo es igualar el parámetro a la variable que en la ecuación cartesiana está al segundo grado; como por ejemplo en:

2z 3y 2y 1= − + ; x 6= podemos hacer:

α=y , donde R∈α ; con lo que 2z 3 2 1α α= − + , 6=x

de donde la ecuación vectorial correspondiente queda:

Subtema 6.3 Ecuaciones cartesianas de una curva plana en el espacio, obtenidas a partir de sus ecuaciones paramétricas. Dado que en las ecuaciones cartesianas de una curva se tienen relaciones entre x, y, z, la obtención de dichas ecuaciones se logra con la eliminación del parámetro mediante álgebra en algunos ejercicios y con trigonometría para otros según convenga.

Nuevamente se sugiere emplear la nueva tecnología para mostrar curvas. Tema 7. Superficies (13.5 horas / 3.0 semanas ) Objetivo: El alumno identificará superficies cuádricas a partir de su ecuación cartesiana; y obtendrá la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de superficies.

Subtema 7.1. Clasificación de superficies. Superficies cuádricas. Definición de superficies cilíndricas, cónicas, regladas y de revolución. Definir superficie como el lugar geométrico que tiene representación gráfica en el espacio de tres dimensiones y cuya representación analítica es una única ecuación que relaciona a las tres variables cartesianas; aclarar que generalmente se representa como F(x, y, z) = 0 sin que esto signifique que se trata de una función de tres variables independientes.

Hacer notar la similitud de las ecuaciones (de segundo grado) de las cónicas en el plano con las superficies cuadráticas en el espacio. Conviene aclarar que algunas ecuaciones de segundo grado representan degeneraciones de superficies cuádricas y aún otras no representan lugar geométrico alguno.

Se sugiere dar la clasificación de las superficies, empleando algunos modelos o bien algún paquete de cómputo como puede ser winplot.

Se sugiere utilizar algún medio audiovisual para mostrar las superficies cuádricas. Definir superficies regladas como ejemplo las cilíndricas y cónicas, y de revolución, enfatizar que algunas superficies pueden ser de más de un tipo como el plano que cilíndrica, cónica, cuádrica y reglada.



A

Subtema 7.2. Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas de una superficie cuádrica. Se recomienda definir las curvas directrices como las curvas fijas, sin parámetros en sus ecuaciones, y curvas generatrices como las móviles y por lo tanto con parámetros en sus ecuaciones.

Deducir una ecuación vectorial y las correspondientes ecuaciones paramétricas de una o dos superficies, con apoyo en algunos ejemplos como los siguientes:

1. Determinación de una ecuación vectorial de un cono con vértice en el punto V(3, 5, 3), eje paralelo al eje Z, y tal que su intersección con el plano Z=9 sea una circunferencia de radio igual a tres.

Vector VAuur

= (3 cosθ - 3, 3 senθ - 5, 6)

p v VAα= +uur

donde α es parámetro.

Al variar los parámetros θ , con 0 2θ π≤ ≤ y α , α∀ ∈� , el vector de posición de un punto P “barre” toda la superficie, luego la ecuación buscada es:

p = (3, 5, 3) + α (3 cosθ - 3, , 3 senθ - 5, 6)

(x, y, z) = (3, 5, 3) + α (3 cosθ - 3, , 3 senθ - 5, 6) con dos parámetros y las ecuaciones paramétricas correspondientes son:

2. Determinar una ecuación vectorial de un cilindro cuya traza en el plano XY es una elipse de ecuación 9x2 + 4y2 = 36 y cuyo eje tiene por ecuaciones:

V

P

0

x

z

y

θ

v

C(3, 5, 9) centro de la circunferencia A(3cosθ , 3senθ , 9) punto cualquiera de la circunferencia.

p ( x, y, z)=

p

x = 3 + α (3 cosθ - 3) y = 5 + α (3 cosθ - 5) z = 3 + 6α

C



p OA t v= +uuur

donde Rt∈ , t es parámetro.

Al variar los parámetros θ , con 0 2θ π≤ ≤ y t , t∀ ∈� , el vector de posición del punto P “barre” toda la superficie, luego la ecuación buscada es:

p =(2 cosθ , 3t + 3 sen θ , 4 t) esto es: (x, y, z) = (2 cosθ , 3t + 3 sen θ , 4 t);

las ecuaciones paramétricas correspondientes son:

3. Determinar la ecuación cartesiana y una ecuación vectorial del paraboloide de

revolución que se forma con la parábola:

( )2z 6 (y 3)4P :x 2

− = − =

al girar alrededor de la recta:

==6

2:z

xR

x = 0

z = 4

3 y

x

0

z

y P

θA

p

v

A(2 cos θ , 3 sen θ , 0) punto cualquiera de la elipse cuya ecuación es:

2 2x y

14 9

+ =

v= (0, 3, 4) vector que pasa por A y es paralelo al eje del cilindro. P(x, y, z) punto cualquiera de la superficie.

x = 2 cosθ y = 3t + 3 sen θ z = 4 t



2

R

Solución:

Directriz:

==

)2(6

)1(2:

L

L

z

xP

Generatriz: 2 334

42

... ( )(y )XR :... ( )x

= − =

(1), (2) y (4) en (3): β − = α24( 3) ... (EC) (3) y (EC) en (3):

− + − = −2 2(x 2) (z 6) 4(y 3) ... (S) Para la ecuación vectorial se tiene que el vector de posición de cualquier punto de la superficie puede obtenerse como la suma del vector de posición de un punto de la

recta R más un vector c que une dicho punto con algún punto de la circunferencia C: c p

r = +p r c

= + α +r 2i j 6k

El radio de la circunferencia puede obtenerse de:

x

0

z

y

x

P

0

z

y

6

3



A

B

− = −2(z 6) 4(y 3)

− = −z 6 2 4 3 , = + − − = −z 6 2 y 3 6 2 y 3

por lo que:

= α − θ + α − θc (2 3 cos )i (2 3 sen )k finalmente:

= + α − θ + α + + α − θp (2 2 3 cos )i j (6 2 3 sen )k

Comprobación:

Ecuaciones paramétricas

−θ =α −x 2

cos2 3

; −θ =α −z 6

sen2 3

pero θ + θ =2 2cos sen 1, además α = y

− −+ =− −

2 2(x 2) (z 6)1

4(y 3) 4(y 3)

∴ − + − = −2 2(x 2) (z 6) 4(y 3)

4. Obtención de una ecuación vectorial de la superficie generada por una recta paralela al plano XZ y que se apoya simultáneamente en la circunferencia de ecuaciones x = 1 y y2 + z2 = 1 y en la recta cuyas ecuaciones son z=0 y x=-1.

A(1, cosθ , sen θ ) punto cualquiera de la circunferencia; B(-1, cosθ , 0) punto cualquiera de la

recta ABuuur

es paralelo al plano XZ; P(x, y, z) punto cualquiera de la superficie.

p OA AB= + αuuur uuur

donde α es parámetro con α∈� .

x = + α − θ2 2 3 cos para ≤ θ ≤ π0 2 y = α para α ≥ 3

z = + α − θ6 2 3 sen para ≤ θ ≤ π0 2

x

P

0

z

y p



La ecuación solicitada es:

(x, y, z) = (1, cosθ , sen θ ) + α (-2, 0, - sen θ );

(x, y, z) = (1 - 2α , cosθ , (1 - α ) sen θ ); con dos parámetros θ y α donde 0 2≤ θ∠ π y R∈∀α .

Las ecuaciones paramétricas correspondientes son:

Comentar que si es necesario obtener la ecuación cartesiana, se eliminan los dos parámetros de las tres ecuaciones paramétricas (para el ejemplo 3):

1 x

2

−α = que sustituido en z se obtiene z

sen1 x

12

θ =−−

y utilizando la identidad

2 2sen cos 1θ+ θ= se llega a:

2

22zy 1

1 x + = +

ecuación cartesiana que también puede expresarse como:

2 2 2(1 x) y 4z 0+ + = .

Se sugiere hacer algún ejercicio en el que a partir de la ecuación cartesiana de una superficie, se determinen unas ecuaciones paramétricas y la correspondiente ecuación vectorial.

Subtema 7.3. Ecuación cartesiana de una superficie a partir de una de sus ecuaciones vectoriales. Se sugiere retomar los ejercicios trabajados en el subtema 7.2 para obtener su ecuación cartesiana a partir de las ecuaciones vectoriales ya obtenidas.

Subtema 7.4. Determinación de las características de una superficie cuádrica (identificación) a partir de su ecuación cartesiana. 7.4 El objetivo de este subtema es la identificación de una superficie cuádrica conociendo su ecuación cartesiana. Esto se puede lograr utilizando preferentemente el análisis de las trazas de la superficie con planos paralelos a los coordenados y con los propios planos coordenados, es decir, uno de los pasos de la discusión de la ecuación de una superficie descrita en algunos libros. Es importante señalar que con el conocimiento de las curvas intersección entre la superficie y dichos planos, en

x = 1 - 2α y = cosθ z = (1 - α ) senθ



muchas ocasiones basta para identificar plenamente la superficie, con lo que ya no sería necesario efectuar los otros pasos de la discusión. Además, con esta misma información puede incluso conocerse la extensión de la superficie en la dirección de los ejes coordenados.

Para la identificación de la superficie también ocasionalmente resulta conveniente conocer las relaciones entre los coeficientes de la ecuación cartesiana de la superficie, para ello se pueden auxiliar con las tablas incluidas en los libros. Es muy importante enfatizar que la identificación de una superficie no está completa con el nombre de ella sino que es necesario el conocimiento de algunas de sus características más importante.

Explicar en qué consiste la discusión de una ecuación cartesiana y mostrar los pasos que se siguen en dicha discusión, con apoyo en un ejemplo de ecuación cuadrática con un solo término cruzado (que puede ser en XY, en YZ o en XZ), como el que se presenta a continuación:

Discutir la ecuación 4x2 – 6xy + 4y2 + 9z2 = 9; con objeto de identificar la superficie que representa:

A) Intersecciones con los ejes coordenados.

- A1 con el eje X, y = z = 0 con lo que 4 x = 9, x = 3

2± y los puntos de intersección

son: 3,0,0

2

y 3,0,0

2 −

.

- A2 con el eje Y, x = z = 0 y los puntos son: 3

0, ,02

y 3

0, ,02

−

.

- A2 con el eje Y, x = y = 0 y los puntos son: ( )0,0,1 y ( )0,0, 1− .

B) Trazas en planos coordenados. - B1 con el eje XY, z = 0 con lo que 4x2 – 6xy + 4y2 + 9z2 = 9, por tener un término

en XY, se requiere de una rotación de los ejes X y Y en un ángulo θ tal que: B

tan2A C

θ=−

ya que A = C, se tiene θ =45° así que, al sustituir x= u cos 45° - v

cos 45° y y= u cos 45° + v cos 45°, se llega a la ecuación u2 + 7v2 = 9 que corresponde a una elipse con centro en el origen, semieje 3 en la dirección u, y

semieje 3

7 en la dirección v.

- B2 con el eje XZ, y = 0, esto es 4x2 + 9z2 = 9, 9 que es la ecuación de una elipse



con semiejes 3

2 y 1, y centro en el origen.

- B3 con el eje YZ, x = 0, que implica 4y2 + 9z2 = 9, ecuación de una elipse con

semiejes 3

2 y 1, y centro en el origen.

C) Simetrías.

- C1 respecto al eje X, se sustituye y por – y y z por – z con lo que se tiene:

4x2 – 6xy + 4y2 + 9z2 = 9 y no hay simetría respecto a X. - C2 respecto al eje Y, se sustituye x por – x y z por – z y se obtiene: 4x2 – 6xy + 4y2 + 9z2 = 9 por lo que no hay simetría respecto a Y. - C3 respecto al eje Z, al cambiar x por – x y y por – y se llega a:

4x2 – 6xy + 4y2 + 9z2 = 9 lo que significa que la superficie es simétrica respecto a Z.

C4 respecto al eje XY, se sustituye z por – z , se llega a: 4x2 – 6xy + 4y2 + 9z2 = 9 por lo que sí hay simetría respecto a XY.

C5 y C6 respecto a los planos XZ y YZ, no hay simetría. C7 respecto al origen, se cambian x por – x, y por – y x y z por – z se llega a:

4x2 – 6xy + 4y2 + 9z2 = 9 y se concluye que sí hay simetría.

D) Secciones planas paralelas a los ejes coordenados. D1 paralelas a XY; z = k ⇒ 4x2 – 6xy + 4y2 + 9z2 = 9 – 9 k2; con un giro de 45° en los ejes X y Y se llega a: u2 + 7v2 = 9 – 9 k2 que representa elipses con el eje Z para valores de k entre –1 y 1; o k = -1 o k = 1, la elipse degenera en un punto k<-1 o k>1 no existe lugar geométrico. D2 paralelas a XZ; y = k que implica 4x2 – 6xy + 4y2 + 9z2 = 9 – 4 k2; ecuación que puede describirse como:

2

23 254 9 9

4 4x k z k − + = −

que representa elipses con centro en 3

04k,k,

para

valores k tales que: 5 5

3 32 2k k

+ −

>0; para k entre 6

5− y

6

5; si k =

6

5− o k =

6

5 la sección plana

es un punto, y si k <6

5− o k >

6

5 la sección no existe.

- D3 paralelas a YZ; x=k, las secciones son elipses con centro en 30

4k, k,

para

valores de k entre 6

5− y

6

5, degeneran en un punto si k =

6

5− o k =

6

5 y no

existen si k <6

5− o k >

6

5.



E) Extensión (valores de las variables para los cuales existe la superficie).

- E1 haciendo z = k se tiene 4x

2 – 6xy + 4y2 = 9 – 9 k2 y si giramos 45° obtenemos u2 + 7v2 = 9 – 9 k2 = 9(1 - k2); así que se requiere que 1 - k2 ≥ 0, esto es: (1+ k)(1- k) ≥ 0 que se satisface si 1+ k ≥ 0 y 1- k ≥ 0 o 1+ k ≤ 0 y 1- k ≤ 0; o sea –1 ≤ k ≤ 1, así que existe la superficie si la z toma valores de –1 a 1 inclusive.

- E2 si y = k queda 4x2 – 6x k + 9z2 = 9 – 4 k2 y la superficie existe si 6

5− ≤ y ≤ 6

5.

- E3 haciendo x = k se llega a que sólo existe la superficie si 6

5− ≤ x ≤ 6

5.

El ejemplo termina con la conclusión de que la ecuación propuesta representa a un elipsoide con centro en el origen y semieje mayor en la dirección u (eje de las abscisas con un giro de 45°).

Insistir en que el objetivo es identificar la superficie representada por la ecuación, así que, en ocasiones o no es necesario realizar totalmente la discusión o no se requiere de ella, sino simplemente con algunas secciones paralelas a los planos coordenados o con el análisis de los coeficientes de la ecuación, es posible determinar de qué superficie se trata. Presentar un ejemplo como alguno de los siguientes:

1. Identificar la superficie cuya ecuación es 9x2 + 42

1

2y z +

= 36.

Si x=0 se tiene 2

1

2y z +

= 9 ⇒ 1

2y z+ = ± 3; z = -2y± 6 que representan a un par

de rectas paralelas; si x=α , donde α es un parámetro y 2 2α− ≤ ≤ se tiene

42

1

2y z +

= 36 - 9α ; 21 99

2 4y z α+ = ± − par de rectas paralelas si α >2 o α <-2

no existe intersección de la superficie con el plano x=α .

Si y=0 se tiene 9x2 +2

1

2z

= 36, esto es 2 2

14 36

x z+ = elipse con centro en el origen

y semiejes 2 y 6; si y =β , queda 9x2 + 2

1

2zβ +

= 36; esto es

( )22 21

4 36

zx β++ =

elipse con centro en (0, β , -2β ) y semiejes 2 y 6; las secciones planas existen para cualquier β real y son elipses de dimensiones iguales, con centro en la rectas de ecuaciones x = 0 y z = -2y; así podemos concluir que la ecuación representa al



cilindro de la figura, que es elíptico con eje oblicuo.

2. Identificar la superficie cuya ecuación es 2x2 - 4y2 - 3z2 + 12x + 6z +10 = 0 que puede expresarse como 2(x+3)2 – 4y2 – 3(z-1)2 = 5.

De la tabla de la página 427 de Geometría Analítica de C. H. Lehmann o de la página 208 y 209 de Geometría Analítica en el espacio de E. Castañeda; se trata de un hiperboloide elíptico de dos mantos, con centro en (-3, 0, 1) y eje paralelo a la dirección del eje X por tener el coeficiente del cuadrado en x positivo y los otros dos coeficientes negativos.

3. Identificar la superficie cuya ecuación es: 3x2 - y2 - 5z2 + 6x – 4y + 20z +19 = 0, que puede expresarse como: 3(x-1)2 – (y+2)2 + 5(z+2)2 = 0. De la tabla del ejemplo anterior, vemos que se trata de un cono recto por tener dos coeficientes positivos y uno negativo, el eje del cono es paralelo al eje Y. Si no se tiene a la mano la tabla el análisis es el siguiente: para y = parámetro la ecuación representa una elipse, si y = -2 la elipse degenera en un punto, el de coordenadas (1, -2, -2); si x = parámetro, la ecuación representa a una hipérbola pero si X = 1 se trata de dos rectas que se cortan, y situación semejante se tiene para z = parámetro y z = -2; el punto donde se cortan las dos rectas en ambas situaciones tiene por coordenadas (1, -2, -2). Del análisis se concluye que la superficie es un cono recto, elíptico con vértice en (1, -2, -2).

x

0

z

y

z=0

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO DIVISIÓN DE ... · PDF fileplana, pero una buena presentación se tiene en el libro de Charles H. Lehmann, ampliamente conocido por los estudiantes