UNIVERSIDAD NACIONAL DEL LITORAL

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS

TRABAJOS PRÁCTICOS

Prof. María Cecilia Municoy

2012

0

DERIVADAS PARCIALES

1- Encuentra las primeras derivadas parciales de la función:a) b)

c)

d)

2- Encuentra las derivadas parciales indicadas.a) b)

c)

3- Halla todas las segundas derivadas parciales.

a)

b) c)

4- Halla la derivada parcial indicada.a) b) c)

5- Verifica que la función de producción de Cobb-Douglas satisface la

ecuación

1

RESPUESTAS

1- a) b)

c)

d)

2- a) 0 b) 0 c) -2

3- a)

b)

c)

4- a) b) c)

2

OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

Teniendo en cuenta que f es una función de clase definida en un intervalo abierto I que contiene al punto , completa las siguientes expresiones:

1. La condición necesaria para la existencia de extremo relativo en la función f es:….………

y se denomina ...……………………………………………………………………………..

2. Si , entonces:

se denomina………………………………………………………………………..

se denomina ……………………………………………………………………

se denomina ………………………………………………………………

3. Si , entonces es ……………………………………………………

Si , entonces es .…….……………………………………………..

4. Si , entonces es ……………………………………………………

Si , entonces es ……………………………………………………

5. Si , entonces es …………………………………………...

Si , entonces es …………………………………………...

Estas condiciones se denominan ...…………………………………………………………..

6. Si , entonces:

Si n es impar, ……………………………………………………………………….

Si n es par y , …………………………………………………………

Si n es par y , …………………………………………………………

3

EJERCICIOS

1) Dada la función de la demanda de una empresa y su función de costo

promedio , determina el nivel de producción que:

a) maximiza los ingresos totales.b) minimiza los costos marginales.c) maximiza los beneficios y determina el beneficio máximo.

2) Demuestra que los ingresos totales se maximizan para una función de demanda lineal

en el punto en que .

3) La función de costo total de una determinada empresa es a) ¿Qué ecuación representa la función costo marginal?b) ¿Cuál es la ecuación de la función de costo promedio? ¿En qué punto este costo promedio

alcanza su valor mínimo?c) ¿Es el anterior un conjunto de ecuaciones que podría esperarse encontrar realmente en la

práctica? ¿Por qué?

4) Dada la función de Ingreso Medio

Determina los niveles de producción para los cuales la curva de Ingreso Marginal tiene pendiente positiva.

RESPUESTAS

1) a) b) c)

3) a)

b) ;

c) No, pues MC y AC deben ser positivas para todo valor de Q.

4) 5 < Q < 20

4

EJERCICIOS DE CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTOS

1. Determina el valor acumulado durante dos años de $1.000 , al 10% anual de interés capitalizado:

a) anualmenteb) semestralmentec) continuamente

2. Determina el valor actual de $5.000 en tres años al 8% anual cuando la acumulación de los intereses es:

a) anualb) continua

3. Determina el valor futuro de un capital de $2.000 con capitalización semestral al 12% anual durante tres años, utilizando:

a) una función exponencialb) la función exponencial natural equivalente

4. Encuentra el valor actual de $1.000 que vencen después de tres años, si la tasa de interés es del 9% anual con capitalización mensual.

5. Se está formando un fideicomiso para la educación de un niño, mediante un solo pago, de manera que al final de 15 años haya $24.000. Si el fondo gana intereses a razón del 7% anual compuesto semestralmente, ¿cuál debe ser el depósito inicial en el fondo?

6. Suponga que se tiene la oportunidad de invertir $4.000 en un negocio que haría que el valor de la inversión fuera de $5.300 a los 5 años. Por otro lado, se podrían colocar los $4.000 en una cuenta de ahorros que paga el 6% anual compuesto semestralmente. ¿Qué inversión es mejor?

RESPUESTAS

1. a) $1.210 b) $1.215,51 c) $1.221,40

2. a) $3.969,16 b) $3.933,14

3. a) $2.837,04 b) $2.837,04

4. $764,15

5. $8.550,68

6. La mejor alternativa es colocar el dinero en la cuenta de ahorros.

5

APLICACIONES DE FUNCIONES EXPONENCIALES

1. El costo de los alimentos aumenta a razón de 3,6% anual. ¿Cuánto puede esperarse que pague una familia que gasta actualmente en alimentos 200 dólares al mes, por cierta cantidad de mercadería, dentro de 5 años por la misma cantidad de mercadería?

2. Si el costo de vida ha ido aumentando a razón de 12,5% anual desde la base de 100 en 1973, ¿cuál será el índice del costo de la vida en 1980?

3. La población en muchos países del tercer mundo crece a razón de 3,2% por año. Calcula la población dentro de 20 años para un país con 1.000.000 de habitantes.

4. ¿Qué tasa de interés se necesita para que una cierta cantidad de dinero se triplique en diez años, con acumulación trimestral?

RESPUESTAS

1. 238,5 dólares

2. 228,3

3. 1.896.500 habitantes

4. 11,14%

6

MATRICES POSITIVAS Y NEGATIVAS DEFINIDAS

Determina el signo de las siguientes matrices:

RESPUESTAS

A es definida positiva

B es definida negativa

C es indefinida

D es semidefinida negativa

E es semidefinida positiva

M es indefinida

F es definida negativa

G es semidefinida positiva

H es indefinida

7

OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

1. Determina, si existen, los extremos de las siguientes funciones e indica qué tipo de extremo es:a) b) c)

d)

e)

f) g)

h) con

2. Clasifica las funciones del ejercicio 1 en cóncava, convexa, estrictamente cóncava, estrictamente convexa o ninguna de estas denominaciones.

3. Elige la o las opciones que transforman en verdadera la siguiente proposición. La función es convexa en:

a)b) el conjunto c) el conjunto d) Ninguna de las anteriores

4. Dadas y , es cierto que:a) f es cóncava en b) g es cóncava en c) es convexa en d) es convexa en e) es convexa en

5. De muestra que la forma cuadrática es indefinida

8

RESPUESTAS

1. a) mín. absoluto único b) máx. absoluto único

c) (1,1,-5) mín. relativo d) (-1,-1,3) mín. relativo

no es extremo

e) , f) y g) no tienen extremos h) (1,4,2) máx. local

2. a) f es estrictamente convexa b) f es estrictamente cóncavac) Ni cóncava ni convexa en d) Ni cóncava ni convexa en e) Ni cóncava ni convexa en f) f es convexag) Ni cóncava ni convexa en h) f es estrictamente cóncava

3. c)

4. d) y e)

9

OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD

1. Halla, si es posible, los valores extremos de las siguientes funciones sujetas a las condiciones dadas y determina en cada caso si se trata de un máximo o un mínimo.a) sa b) sa c) sa d) sa e) sa f) sa g) sa h) sa

2. De un cartón se utilizarán 12 m2 para construir una caja rectangular sin tapa. Encuentra el máximo volumen de esa caja.

3. a) ¿Qué combinación de los artículos x e y debería producir una empresa para minimizar los costos cuando la función de costos conjuntos es y la empresa tiene una cuota de producción de b) Verifica que las cantidades obtenidas en a) es donde se obtiene el mínimo costo.

4. Una empresa monopolista tiene las siguientes funciones de demanda para cada uno de sus productos, x e y, . La función de costos combinados es

, la cual esta sujeta a la producción conjunta máxima .a) Determina el nivel de producción que maximiza el beneficio de la empresa.b) Halla el precio al que se debe vender cada producto.c) Comprueba que las cantidades obtenidas en a) producen el máximo beneficio.

5. La producción total Q de cierto producto depende de la cantidad L de mano de obra empleada y de la cantidad K de capital invertido. Considerando la función Cobb-Douglas

y si el costo de una unidad de mano de obra es m y el costo de una unidad de capital es n, y además la compañía puede gastar solo p dólares en su presupuesto total, entonces el maximizar la producción Q está sujeto a la restricción .

Demuestra que la máxima producción se obtiene cuando y

RESPUESTAS

1. a) (6 , 9 , 612) es mínimo restringido

10

b) (20 , 2 , 360) es máximo restringido

c) (3/2 , -1 , -15/2) es mínimo restringido

d) (3 , 3/2 , -3/2 , 27/2) es mínimo restringido

e) máximos restringidos: (1 , 0 , 1) y (-1 , 0 , 1)

mínimos restringidos: (0 , 1 , -1) y (0 , -1 , -1)

f) máximos restringidos: (2 , 1 , 4) y (-2 , 1 , 4) con

mínimos restringidos: (±2 , -1 , -4) con

mínimos restringidos:

g) (1 , 1 , 1) es máximo restringido

h) (m , -m) con es mínimo restringido

2. El volumen máximo es de 4 m3 (x = 2 , y = 2 , z = 1)

3. Debería producir x = 21 e y = 13 artículos para obtener el mínimo costo.

4. a) La empresa debe producir 18 unidades del producto x y 22 unidades del producto y.

b) y

11

OPTIMIZACIÓN CONDICIONADA

1. Formula un problema de optimización que permita resolver las siguientes situaciones:a) Supone que un consumidor tiene a su disposición tres tipos de bienes sobre los cuales

manifiesta distintas preferencias. Evidentemente, la satisfacción que obtiene el consumidor por el consumo de cierto bien será tanto mayor cuanto más preferido sea dicho bien. Supone que las preferencias se expresan a través de una función, llamada función de utilidad

, que depende de las cantidades consumidas de los tres bienes, y que existe una restricción presupuestaria, dada para la renta disponible para el consumo, M u. m., y los precios de los bienes, . Encuentra la combinación de bienes que maximizan la satisfacción (utilidad) del consumidor.

b) Supone que una empresa puede producir cantidades arbitrarias de un solo producto, partiendo de los inputs capital (K) y trabajo (L). Sabiendo que la función de producción de la empresa viene dada por y conociendo la función de costos de la empresa, , encuentra la combinación de inputs que le permite satisfacer un nivel de producción preestablecido en P unidades, con el mínimo costo posible.

c) En una fábrica se lleva a cabo la producción de cierto bien, de acuerdo a la función de producción dada por , donde x e y representan las cantidades empleadas de los dos factores productivos que intervienen en el proceso. Sabiendo que la función de costos de la empresa es , determina la combinación de factores productivos para maximizar la producción del bien cuando los costos totales se fijan en M u. m.

2. Halla los puntos críticos, si existen, de las siguientes funciones sujetas a las condiciones que se indican y clasifícalos justificando la respuesta.

a) b) c) d) e) f)

3. Si , se verifica que:a) f es estrictamente cuasiconvexa en A.b) f es estrictamente cuasicóncava en A.c) f es estrictamente cuasicóncava en todo su dominio.

12

RESPUESTAS

1.a) b) c)

2. a)

b)

c)

d)

e)

f) No existen puntos críticos.

3. b)

13

OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES DE IGUALDADAPLICACIONES

Resuelve los siguientes problemas:

1. Sea la función de utilidad de un consumidor donde x e y son las cantidades que se adquieren de los bienes A y B. Los precios por unidad de dichos bienes vienen determinados por el mercado, siendo éstos 4 y 2 unidades monetarias (u.m.), respectivamente. La cantidad de dinero de que dispone el consumidor para comprar dichos bienes es de 8 u.m. Se pide:

a) ¿Cuál será la elección óptima del consumidor si su objetivo es alcanzar el máximo nivel de utilidad, suponiendo que se gasta toda su renta monetaria? En dicha elección óptima, ¿Cuál sería el valor de la utilidad para el consumidor?

b) ¿Aumentaría el consumidor su utilidad si dispusiera de una menor renta monetaria? Razona la respuesta.

2. Una empresa produce un bien A a partir de 2 factores, y , según la función de producción , donde x e y son, respectivamente las cantidades utilizadas de y en el proceso. La función de los costos productivos generados es . Determina las cantidades x e y que maximizan la producción, supuesto que la empresa desea mantener un nivel de costos de 120 u.m.

3. Una empresa produce un bien A a partir de 2 factores, y , según la función de producción , donde x e y son, respectivamente las cantidades utilizadas de y en el proceso. La función proporciona un índice del nivel de contaminación generado por el proceso en función de las cantidades x e y. Determina los valores de x e y que minimizan la contaminación producida, si la empresa desea mantener un nivel de producción de 50 unidades.

4. Sea la función de costos de una empresa donde x e y son las cantidades de los factores A y B que se utilizan para obtener el producto Q. Fijado el nivel de producción Q en 9 unidades, la tecnología utilizada para alcanzar dicho nivel viene dada por la función de producción . Se pide:

a) ¿Cuál será la elección óptima del empresario si su objetivo es determinar la combinación de factores (entendiéndose que sólo se estudiará aquella combinación donde los 2 factores salgan positivos) que minimizan el costo de la empresa, para un nivel de producción de 9 unidades? En este caso, ¿qué valor alcanzaría el costo de la empresa?

b) Después de conseguir una importante mejora en la producción de su empresa, si el empresario se plantease aumentar en una pequeña cantidad su nivel de producción, ¿disminuiría con ello sus costos? Razona la respuesta.

Fuente: “Matemáticas aplicadas a la economía y a la empresa” 434 ejercicios resueltos y comentados, de Caballero, Calderón y otrosRESPUESTAS

14

1. a) La combinación óptima elegida por el consumidor será la de adquirir 5/6 del bien A y 7/3 del bien B. Con esta elección, la utilidad obtenida por el consumidor es de 37/3. b) Si el consumidor dispone de una menor renta, disminuirá su utilidad.

2. La empresa maximizará su nivel de producción si utiliza 20 unidades de y 30 de .

3. Los valores de x e y que minimizan la contaminación son respectivamente 5 y 10.

4. a) Si la empresa produce 9 unidades de Q, el empresario minimizará los costos utilizando 3 unidades del factor x y una del factor y. En este caso, el costo total de producción será 7 u.m.

b) Si el empresario aumenta en una pequeña cantidad su nivel de producción, los costos disminuirán pues, al ser negativo, la relación entre ambos parámetros es inversa.

15

CUASICONCAVIDAD - CUASICONVEXIDAD

Determina la cuasiconvexidad o cuasiconcavidad de las siguientes funciones:

a) en si

b) con

c) en con

d)

e)

RESPUESTAS

a) es cuasiconvexa

b) es cuasicóncava

c) Si , es estrictamente cuasiconvexa

Si , es estrictamente cuasicóncava

d) Como dependiendo del punto el menor de orden 2 puede ser o ,

la función no es cuasicóncava ni cuasiconvexa.

e) Es cuasicóncava y cuasiconvexa por ser una función lineal.

16

FUNCIONES HOMOGÉNEAS

1. Determina si las siguientes funciones son homogéneas. En caso de serlo, indica el grado de homogeneidad.

a) d)

b) e)

c) f)

2. Halla el grado de homogeneidad de la función , luego verifica el teorema de Euler.

3. Dada la función de producción: donde , muestra que:

a) Es homogénea de grado .b) Es linealmente homogénea si .c) Sus isocuantas tienen siempre pendiente negativa y son estrictamente convexas para

.d) Es estrictamente cuasicóncava para .

4. ¿Es cierto que en la función de producción Cobb-Douglas con , el exponente de cada variable de insumo indica la participación

relativa de ese insumo en el producto total, es decir: ?

5. Verifica que en la función de producción Cobb-Douglas con , el exponente de cada variable de insumo se puede interpretar como la elasticidad parcial del producto respecto a ese insumo, o sea:

6. Demuestra que la suma de dos funciones homogéneas de grado r es otra función homogénea del mismo grado.

7. Demuestra que el producto de dos funciones homogéneas de grados r y t respectivamente, es otra función homogénea de grado .

17

ECUACIONES DIFERENCIALES DE 1er. ORDEN

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:

1)

2)

3) si

4)

5)

6)7)

8)

9)

10)11)12)13)14)

RESPUESTAS

1) 2) 3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12) 13) 14)

ECUACIONES DIFERENCIALES AUTÓNOMAS

18

En un modelo de crecimiento de población llamado logístico, se considera que:

si la población es pequeña, la tasa de crecimiento es proporcional a su tamaño;

si la población es muy grande existe una capacidad de soporte que la hace disminuir, porque los recursos son limitados.

De lo anterior resulta la ecuación diferencial:

Se desea saber:

a) ¿para qué valores de P la población estará creciendo?

b) ¿para qué valores de P la población estará decreciendo?

c) Si llamamos situación de equilibrio cuando la población se mantiene constante, ¿para qué valores de P la población estará en equilibrio?

Luego de responder, halla la solución de la ecuación diferencial ,

represéntala gráficamente y verifica las respuestas dadas.

RESPUESTAS

a) 0 < P < 300

b) P > 300

c)

Solución de la ecuación diferencial:

La gráfica para algunos valores de c es la siguiente:

19

20

RELACIONES DE EULER

1. Recordando que: dada una función arbitraria , con derivadas continuas y finitas hasta el orden deseado, si conocemos el valor de la función en y los valores de sus derivadas en , entonces esta función puede desarrollarse alrededor del punto del siguiente modo:

siendo

Desarrolla las funciones en . Escribe los 5 primeros términos no nulos y analiza qué ocurre con el resto cuando . (Si tienes dificultad consulta el libro en pág. 517- Relaciones de Euler-)

2. Con los resultados obtenidos en el punto (1.), haciendo y , escribe expresiones equivalentes a

3. Escribe una expresión general para números complejos conjugados dados en forma: a) Cartesiana b) Polar c) Exponencial

4. Determina una expresión general que permita calcular la potencia enésima de un número complejo, es decir:

5. Haciendo y aplicando las relaciones de Euler, halla una expresión equivalente para

6. Si la solución complementaria de la ecuación diferencial tiene raíces complejas, entonces la solución general de dicha ecuación diferencial es:……………………………………………………………………………………..

7. Halla la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales: a) b) c)

8. Halla la solución definida de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a)

b) c) RESPUESTAS

21

1.

2.

3. a) Forma cartesiana: y b) Forma polar: y c) Forma exponencial: y

4.

5.

6.

7. a)

b)

c)

8. a)

b)

c)

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

1) Halla la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) b)

22

c) d) e) f) g) h)

2) Halla la solución definida de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) b) c) d) e)

RESPUESTAS

1)a) b)

c) d)

e) f) g) h)

2)

a)

b) c)

d)

e)

LA INTERACCIÓN DE LA INFLACIÓN Y EL DESEMPLEO

1. Lee detenidamente la relación de Phillips y la relación de Phillips con expectativas

aumentadas. Luego de la lectura indica el significado de las siguientes variables: w, U, T,

p, .

2. Escribe la ecuación de expectativas aumentadas de la relación de Phillips e indica cuáles

son las variables endógenas.

23

3. Plantea la hipótesis de expectativas adaptativas.

4. Lee detenidamente la realimentación desde la inflación hasta el desempleo, luego explica

porqué es necesario introducir al modelo una tercera ecuación y escríbela.

5. Plantea el modelo completo.

6. Determina la trayectoria temporal de y analiza la estabilidad dinámica.

24

ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES

GUÍA DE TRABAJO

Una ecuación en diferencias de segundo orden es aquella que incluye dos períodos de retraso en la variable independiente.Ejemplos:

1. Escribe una ecuación en diferencias de segundo orden, normalizada, con coeficientes constantes , y término constante c.

………………………………………………………………………………………….. (I)

2. Escribe la ecuación homogénea correspondiente a (I). ………………………………………………………………………………...……….. (II)

3. La solución general de (I) es donde la solución particular representa el nivel …………………………………………………………….. de y, y la función complementaria muestra, para cada período de tiempo, …………………….. …………………………………………………………………

4. La solución particular, definida como cualquier solución de la ecuación no homogénea puede hallarse probando una solución de la forma .

Además, Sustituye estos valores de y en (I) y determina k.

……………………………………………………………………………………………..…….La solución buscada es si lo cual significa que

5. Si , ¿es solución de (I)?. Justifica la respuesta.…………………………………………………………………………………………...………

6. Si , prueba una solución de la forma .Considera que: Sustituye estos valores de y en (I) y determina k.

…………………………………………………………………………………….…………….

…………………………………………………………………………………….…………….

La solución es si , o su expresión equivalente

25

7. Si , ¿es solución de (I)?. Justifica la respuesta.…………………………………………………………………………..……………………….

8. Decir , ¿es lo mismo que decir ?

9. Según tu experiencia con trabajos anteriores, para la ecuación ¿que solución de prueba podrías proponer?. Escríbela: …………………………………………..….

Con y luego reemplaza estos valores de y en (I) y determina k.

………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………

….……………

La solución particular es

10. Sabes que la solución general de (I) es y además ya sabes determinar , en lo que sigue trabajarás para obtener la función complementaria .Escribe la ecuación de donde se puede obtener .

………………………………………………………………………………….………. (II)

Para obtener la solución de (II), prueba con una solución de la forma , lo cual implica

Sustituye la solución de prueba en (II) y factoriza

………………………………………………………………………………...…………………

………………………………………………………………………….………………… (III)

¿Interesa el caso que ?. Justifica.…………………………………………………………………….…………………………….

Luego, en (III) debe ser ……………………………………. = 0 . Esta ecuación cuadrática se denomina “ecuación característica” de (II) y tiene como solución dos raíces características:

…….

Tanto como aparecerán en la solución general de la ecuación (II), porque la solución general debe consistir de dos partes linealmente independientes, cada una de ellas con su propia constante multiplicativa arbitraria, las cuales se podrán definir cuando se den dos condiciones iniciales.

26

Tales raíces y pueden ser:

Caso 1 .……………………………………………………………………………………..

Caso 2 ……………………………………………………………………………………...

Caso 3 ……………………………………………………………………………...............

Caso 1 , por lo tanto son linealmente independientes y la función complementaria puede escribirse como una combinación lineal de estas expresiones, es decir:

……………………….. (IV)

Caso 2 Si reemplazas en (IV) obtienes: Esto no sirve pues falta una constante. Para hallar la componente faltante, la cual debe ser linealmente independiente del término , trabaja de la misma forma que en las ecuaciones diferenciales, es decir multiplica por la variable t. Luego el término faltante tendrá la forma ……………………………………………………………………………………………

De lo anterior se concluye que la función complementaria, para el caso de raíces repetidas, es:

………………………………..

Caso 3 , de donde la función complementaria resulta:

Como no puedes interpretar con números complejos, aplica el teorema de De Moivre para resolver la potencia , esto es: , donde R (siempre positivo) es el valor absoluto o módulo del número complejo y se calcula haciendo y es la medida en radianes del ángulo, en el intervalo [0 , 2π), para el cual

. Con esta información, la función complementaria puede escribirse

como:

……. y resolviendo

27

…………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………

.………

se obtiene:

……….

11. Completa el siguiente cuadro para la ecuación en diferencias

Raíces características Solución general

Raíces reales y distintas

Raíces reales e iguales

Raíces complejas conjugadas

12. Halla la solución general y la solución definida de las siguientes ecuaciones en diferencias:a) b)

c)

d) e) f)

RESPUESTAS a) b)

c) d)

28

e) f)

ECUACIONES EN DIFERENCIAS

1. Dadas las siguientes ecuaciones en diferencias, hallar su solución general y analizarsu comportamiento:

a)

b) c) d) e)

2. Resolver las siguientes ecuaciones en diferencias, determinar el comportamiento dela sucesión de soluciones y calcular sus primeros cinco valores:

a) si

b) si

c) si d) sie) sif) sig) si

3. Sea el siguiente modelo de la telaraña:

Se pide:a) hallar el precio de equilibrio intertemporal.b) determinar la trayectoria temporal del precio.c) analizar el comportamiento de la solución. (Estudiar todos los casos posibles).

4. Dados los siguientes modelos de inventarios:

a)

b)

29

c)

Se pide:a) hallar el precio de equilibrio.b) determinar la trayectoria temporal del precio.c) estudiar la estabilidad del equilibrio.d) encontrar la solución particular.

5. Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones en diferencias:a) b) c) d) e)

6. Dadas las siguientes ecuaciones en diferencias, se pide:obtener la solución general.hallar la solución particular para las condiciones iniciales especificadas.analizar la estabilidad de la solución.

a) b) c) d) e) f)

7. En el siguiente modelo, determinar la trayectoria temporal del precio y estudiar elcomportamiento de la solución.

30

8. Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones en diferencias:a) EMBED Equation.3 b) EMBED Equation.3 324269 123 tttt yyyy

c) EMBED Equation.3 ttttt yyyy 2.333 123

d) EMBED Equation.3 2147 24 ttt yyy

e) EMBED Equation.3 ttttttt yyyyyy 1279972 12345

9. Dadas las siguientes ecuaciones en diferencias, se pide: obtener la solución general. hallar la solución particular para las condiciones iniciales especificadas. analizar la estabilidad de la solución.

a)

EMBED Equation.3 1;2;1

3254

210

123

yyyyyyy tttt

b)

EMBED Equation.3 2;1;1

244

210

123

yyyyyyy tttt

c)

EMBED Equation.3 5;4;3;2

232

3210

24

yyyytyyy ttt

RESPUESTAS

1. a) EMBED Equation.3 t

t Ay

21 ; la trayectoria es convergente, si EMBED

Equation.3 0A la trayectoria es monótona decreciente y si EMBED Equation.3 0A es monótona creciente.

b) EMBED Equation.3 11.3 0 yy tt EMBED Equation.3

t

t Ay

21 ; la trayectoria

es divergente si EMBED Equation.3 10 y .Si EMBED Equation.3 10 y la trayectoria es monótona creciente.Si EMBED Equation.3 10 y es monótona decreciente.Si EMBED Equation.3 10 y es constante.

31

c) EMBED Equation.3 ttAyt .21.

21 2 es divergente.

d) EMBED Equation.3 12. tAy tt es divergente.

e) EMBED Equation.3 1811.

315. tAy t

t diverge oscilando.

2. a) EMBED Equation.3 32

21.

317

t

ty b) EMBED Equation.3

58

83.

23

t

ty

c) EMBED Equation.3 tyt 32 d) EMBED Equation.3

53

32.

52

t

ty

e) EMBED Equation.3 5

124.542

tty f) EMBED Equation.3

ttty 3.

411.

43

g) EMBED Equation.3 345.

31

tty

4. a) b) c)

EMBED Equation.3 8

31.3

8

t

tP

P

EMBED Equation.3 6

21.2

6

t

tP

P

EMBED Equation.3

2375

2521.

225

2375

t

tP

P

5. a) EMBED Equation.3 ttt tBAy 2..2. b) EMBED

Equation.3 53.2. ttt BAy

c) EMBED Equation.3 4.21.

233.2. 2 ttBAy tt

t d) EMBED

Equation.3 tttt tBAy 2..

454.2.

e) EMBED Equation.3 ttBAy tt .

91.

1215. 2

32

6. a) b)

EMBED Equation.3

Inestabley

BAyt

t

tt

3

3.

EMBED Equation.3

Inestable

tseny

tsenBtAy

t

t

t

t

6.33

32

6.

6cos.3

32

33

c) d)

EMBED Equation.3

InestableexisteNo

Ay tt 34.

EMBED Equation.3

Inestable

tty

ttBAy

tt

tt

.32.

61

4151.

47

.32.

611.

3

3

e) f)

EMBED Equation.3

Inestable

ttty

tttBAy

t

t

23

23

.21.

21.22

.21.

21.

EMBED Equation.3

Inestable

ty

tBAy

tttt

tttt

2..1013.

7582.

10019

2..1013.2.

7. dinámicamente estable

8. a)

b)

c)

d)

e)

9. a)

b)

34

c)

Inesta

ble

35