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USANDO MUESTREADOR DE GIBBS PARA ESTIMAR LA ALTURA MÁXIMA
QUE PUEDE ALCANZAR LA SUBCUENCA MEDIA DEL RÍO GARAGOA
JESÚS ENRIQUE BARRERA LADINO
CRISTIHAM ISAAC CARVAJAL JARAMILLO
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE INGENIERÍA
INGENIERÍA CATASTRAL Y GEODESIA
BOGOTÁ, D.C.
2015
USANDO MUESTREADOR DE GIBBS PARA ESTIMAR LA ALTURA MÁXIMA
QUE PUEDE ALCANZAR LA SUBCUENCA MEDIA DEL RÍO GARAGOA
PROYECTO DE MONOGRAFÍA
JESÚS ENRIQUE BARRERA LADINO
Código: 20071025018
CRISTIAM ISAAC CARVAJAL JARAMILLO
Código: 20062025023
Msc. LUIS EDUARDO CASTILLO MENDEZ
MATEMÁTICO Y MAGISTER EN CIENCIAS ESTADÍSTICA
DIRECTOR DE MONOGRAFÍA
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE INGENIERÍA
INGENIERÍA CATASTRAL Y GEODESIA
BOGOTÁ, D.C
2015
Nota de aceptación:
____________________________
____________________________
____________________________
____________________________
____________________________
____________________________
____________________________________
Firma del profesor Luis Castillo Mendez
____________________________________
Firma del jurado Profesor Rubén Medina
____________________________________
Firma del jurado Profesor Fernando Santa
Bogotá DC,14 de agosto de 2015
A mis padres
La preocupación por el hombre y su destino siempre
debe ser el interés primordial de todo esfuerzo
técnico. Nunca olvides esto entre tus diagramas y
ecuaciones.
Albert Einstein
AGRADECIMIENTOS
La vida se encuentra llena de retos, y uno de ellos es la universidad. Tras vernos
dentro de ella, nos hemos dado cuenta que más allá de ser un reto, es una base no
solo para nuestro entendimiento del campo en el que nos hemos visto inmersos,
sino para lo que concierne a la vida y nuestro futuro.
Destacamos también en estas cortas líneas la especial dirección y apoyo de nuestro
director Luis Eduardo Castillo, que depósito su total confianza y compartió sus
conocimientos y experiencias profesionales para el desarrollo del presente proyecto
de grado.
De igual manera agradecemos a las personas que participaron en nuestra formación
y colaboración para la realización de este documento, el profesor Luis Fernando
Santa y el profesor Rubén Medina.
Le agradezco a mi institución y a nuestros maestros por sus esfuerzos para que
finalmente lográramos graduarnos como felices profesionales.
RESUMEN
El objetivo principal de esta monografía es la implementación de un sistema para el
ajuste del modelo hidrológico, utilizando para ello series temporales, aplicados a un
modelo hidrológico, que permitan el aprendizaje y ajuste de parámetros para la
obtención de modelos que realicen predicciones optimas de las alturas del rıo
Garagoa, en perıodos críticos de inundaciones.
Se realiza un análisis con series temporales que permite establecer las variables y
factores que determinan las alturas hidrométricas, en perıodos críticos de
inundación en la localidad de Corrientes. Posteriormente se presenta un pronóstico
a corto plazo en periodos de crecidas, que predice las alturas hidrométricas. Se
finaliza con un pronóstico a mediano plazo, para periodos de inundación, de alturas
hidrométricas.
El interés de este proyecto radica en su aplicación para el pronóstico de crecidas de
Corrientes, que actualmente no dispone de ningún sistema de pronóstico de
crecidas del Rio Garagoa en organismos oficiales, por lo cual el desarrollo del
mencionado trabajo sería de gran importancia para el municipio para una mejor
predicción de las crecidas del Rio, que ocasionan perdidas de gran importancia en
la economía de la región.
Así mismo, el problema planteado es común a otras muchas situaciones, donde se
podrían aplicar los resultados obtenidos en la realización de esta monografía, como
son los demás municipios que se encuentran en las márgenes del Rio Garagoa.
Palabras Claves: Precipitación, zona de inundación, estacionariedad, Series
Temporales, Inundaciones, Río Garagoa,
ABSTRAC
The main objective of this paper is to implement a system for adjusting the
hydrological model, using time series applied to a hydrological model, allowing
learning and adjusting parameters to obtain optimal models that make predictions of
River Heights Garagoa in critical periods of flooding.
Time series analysis that allows for the variables and factors that determine the
hydrometric heights at critical periods of flooding in the city of currents is performed.
Subsequently it presents a forecast short-term periods of flooding, which predicts
hydrometric heights. It ends with a medium-term forecast for periods of flooding, of
hydrometric heights.
The interest of this project lies in its application to flood forecasting currents, which
currently does not have a flood forecasting system of Garagoa river in government
agencies, whereby the application of that work would be of great importance for the
city for better flood forecasting river, causing losses of great importance in the
economy of the region.
Also, the underlying problem is common to many other situations where you could
apply the results of the realization of this report, as are the other municipalities
located on the banks of the Garagoa river.
Keywords: rainfall, flood zone, stationary, Time Series, Flood , Garagoa river.
CONTENIDO
pág.
INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 16
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA ................................................................................................... 18
OBJETIVOS ................................................................................................................................... 23
General ....................................................................................................................................... 23
Específicos ................................................................................................................................. 23
1. CAPÍTULO I - Marco teórico ...................................................................................................... 24
1.2. Características morfométricas.......................................................................................... 24
1.3. Estaciones Meteorológicas ............................................................................................... 26
1.4. Meteorología .................................................................................................................... 27
1.5. De la probabilidad y Estadística ........................................................................................ 29
1.5.1 Variable aleatoria ........................................................................................................... 29
1.5.2 Cadenas de Markov ...................................................................................................... 30
1.5.3 Método de Monte Carlo ................................................................................................ 31
1.5.4 Muestreador de Gibbs .................................................................................................. 32
1.5.5 Análisis de intervención en series de tiempo ............................................................. 34
1.5.6 Método de interpolación de Stineman ........................................................................ 35
1.5.7 Modelo (SRM) -Deshielo de escorrentía........................................................................... 36
1.6 ESTRUCTURA DEL MODELO........................................................................................ 39
1.6.1 SARMA – Modelos no estacionarios estacionales. ........................................................... 40
2. CAPÍTULO II - Metodología. .............................................................................................. 43
2.2. Área de estudio subcuenca media del río Garagoa. .................................................... 43
2.3. Materiales ............................................................................................................................ 46
2.3.1 Datos de precipitación. ................................................................................................. 46
2.3.2 MDT ................................................................................................................................. 46
2.3.3 Zonas de inundación ..................................................................................................... 47
2.3.4 Software .......................................................................................................................... 48
2.2.4.1 Quantum GIS ......................................................................................................... 48
2.2.4.2 R Project ................................................................................................................. 48
2.3.5 Propuesta Metodológica ............................................................................................... 49
2.3.6 Relación matemática entre variables. ......................................................................... 51
3. CAPÍTULO III - Resultados ................................................................................................. 54
3.1 Análisis de datos. .................................................................................................................. 54
3.2 Completar de datos faltantes ............................................................................................... 57
3.3 Estimación de Precipitaciones Medias Areales aplicando Polígonos de Thiessen. .............. 61
3.4 Análisis de homogeneidad de los datos. .............................................................................. 63
3.5 Análisis de la estacionariedad de las series .......................................................................... 66
3.6 Identificación de la estructura estacionaria de una serie ..................................................... 71
3.7 ANALSIS TENDENCIAL ........................................................................................................... 74
3.8 Análisis de Cointegración. .................................................................................................... 76
3.9 Análisis de los datos de precipitación respecto a los fenómenos del niño y la niña. ............ 78
3.9.1 Cálculo del índice de estandarización de la precipitación. ............................................... 79
3.10 Análisis de Intervención – Valores Atípicos de la series de tiempo ...................................... 82
3.11 Determinación del Caudal de escorrentía. ........................................................................... 84
3.12 MODELO DE REGRESION LINEAL CON ERRORES-ESTACIONALES – ARMA . 85
3.13 Estimación de los parámetros del modelo ..................................................................... 87
3.14 Validación de los residuales del modelo de regresión estimado. .............................. 88
3.15 Estimación de alturas del cauce del río Garagoa. ................................................................. 95
3.15.1 Áreas de sección transversal. ........................................................................................... 95
3.15.2 Cálculo a alturas del río respecto a sección transversal. .................................................. 97
4. Aplicación del muestreador de Gibbs para estimar la altura máxima del río Garagoa ........... 107
4. CAPÍTULO IV - Análisis de Resultados ........................................................................ 113
5. CAPÍTULO X – Conclusiones y Recomendaciones ........................................................... 114
4.1 Conclusiones ............................................................................................................................ 114
4.2 Recomendaciones .................................................................................................................... 115
ANEXOS ....................................................................................................................................... 116
HISTOGRAMAS DE CAUDAL: ......................................................................................... 122
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................ 133
LISTA DE TABLAS
Tabla 1 Estaciones ............................................................................................................................ 46
Tabla 2 Estaciones estudio. .............................................................................................................. 55
Tabla 3 Calculo Estadísticos.............................................................................................................. 56
Tabla 4 CálculoEstadísticos resultados. ............................................................................................ 56
Tabla 5 Análisis general de los datos – software R Statistic. ........................................................... 58
Tabla 6 Método empleado para completar datos de caudal perdidos ............................................. 59
Tabla 7 Clasificación de los ciclos mensuales según la relación entre los histogramas de
Precipitación y Caudal. ..................................................................................................................... 66
Tabla 8 Categorías de las anomalías de precipitación de acuerdo a los valores de IPE. ................... 82
Tabla 9 Características morfométricas de la subcuenca del Río Garagoa. ....................................... 97
Tabla 10 Grado de pendientes medias en ambos costados del cauce de las secciones 1-6. .......... 105
Tabla 11 Grado de pendientes medias en ambos costados del cauce de las secciones 7-12. ........ 105
Tabla 12 Grado de pendientes medias en ambos costados del cauce de las secciones 13-18. ...... 105
Tabla 13 Grado de pendientes medias en ambos costados del cauce de las secciones 19-21. ...... 106
Tabla 14 Variación de la base de la lámina de agua de 10-15mts. ................................................. 106
Tabla 15 Estadísticos de los cálculos de alturas de la lámina de agua para las diferentes secciones
de base 10mts. ............................................................................................................................... 106
Tabla 16 Estadísticos de los cálculos de alturas de la lámina de agua para las diferentes secciones
de base de 10 a 15mts. .................................................................................................................. 107
Tabla 17 Estadísticos de los cálculos de alturas de la lámina de agua para las diferentes secciones
de base de 10 a 15mts. .................................................................................................................. 107
Tabla 18 Estadísticos de los cálculos de alturas de la lámina de agua para las diferentes secciones
de base de 16 a 21mts. .................................................................................................................. 107
Tabla 19 Resultados de muestreador de Gibbs para las alturas máximas de la base de la lámina de
agua. .............................................................................................................................................. 111
Tabla 20 Resultados de muestreador de Gibbs para las alturas máximas de la base de la lámina de
agua. .............................................................................................................................................. 111
Tabla 21 Resultados de muestreador de Gibbs para las alturas máximas de la base de la lámina de
agua. .............................................................................................................................................. 111
Tabla 22Resultados de muestreador de Gibbs para las alturas máximas de la base de la lámina de
agua. .............................................................................................................................................. 112
Tabla 23 Secciones Transversales. ................................................................................................. 113
Tabla 24 Datos generales de la estación el caracol – medición: Caudal. ........................................ 117
Tabla 25 Datos generales – Estación Chinavita. ............................................................................ 117
Tabla 26 Datos generales – Estación Pachavita y Garagoa ............................................................ 117
Tabla 27 Datos de CAUDAL estación “El Caracol”. ......................................................................... 118
Tabla 28 Datos de Precipitación (m.m) – Estación Chinavita. ........................................................ 119
Tabla 29 Datos de Precipitación (m.m) – Estación de Garagoa. ..................................................... 120
Tabla 30 Datos de Precipitación (m.m) – Estación de Pachavita. ................................................... 121
Tabla 31 Calculo de las alturas para las secciones de la lámina de agua mes de Julio – Modelo
dinámico con variables retardadas. ............................................................................................... 128
Tabla 32 calculo de las alturas para las secciones de la lámina de agua para el mes de Julio –
Modelo de regresión lineal. ........................................................................................................... 129
Tabla 33Alturas del río Garagoa – Estación “Caracol”. ................................................................... 130
Tabla 34 Secciones transversales 1-15. .......................................................................................... 131
ÍNDICE DE GRÁFICAS
Gráfica 1 Serie Temporal de Caudal, estación Caracol. .................................................................... 55
Gráfica 2 Análisis de descomposición de valores Mensuales de Promedios Multianuales de caudal
(m3/s.) ............................................................................................................................................. 56
Gráfica 3 Valores Mensuales de Promedios Multianuales de Precipitación (m.m.) –Estaciones de la
zona de estudio. ............................................................................................................................... 60
Gráfica 4 Relación del caudal y precipitación Promedio Multianual- la precipitación representada
por el color rojo y el caudal con color azul. ...................................................................................... 63
Gráfica 5 Valor Mensual del Promedio Multianual de Caudal –Estación “El Caracol”. ..................... 64
Gráfica 6 Comportamiento de los datos Mensuales Multianuales de la Precipitación areal, de la
subcuenca del río Garagoa. .............................................................................................................. 65
Gráfica 7 Comportamiento de los datos Mensuales Multianuales de Caudales –Estación “El
Caracol”............................................................................................................................................ 65
Gráfica 8 Comportamiento de la precipitación mensual multianual................................................ 67
Gráfica 9 Correlogramas series de precipitación y caudal ................................................................ 68
Gráfica 10 Modelo lineal de las series caudal y precipitación. ......................................................... 69
Gráfica 11 correlograma. Residuos del modelo lineal. ..................................................................... 70
Gráfica 12 Diagrama o representación gráfica del proceso de análisis de series de tiempo ............ 71
Gráfica 13 Modelo lineal de las series estandarizadas caudal y precipitación (Transformación Box-
Cox) .................................................................................................................................................. 72
Gráfica 14 Análisis de los residuos del modelo lineal con transformación Box-Cox ......................... 73
Gráfica 15 Correlograma. Residuos del modelo lineal (Transformación Box-Cox) ........................... 74
Gráfica 16 Diferenciación de los residuos de la serie modelada ...................................................... 75
Gráfica 17 Análisis de correlación para la precipitación y caudal en el tercer ciclo “Humedo”. ....... 77
Gráfica 18 Análisis de correlación para la precipitación y caudal en el tercer ciclo “Húmedo”. ....... 77
Gráfica 19 Análisis de correlación para la precipitación y caudal en el tercer ciclo “Húmedo”. ....... 78
Gráfica 21 Cálculo del índice precipitación estandarizada mensual (SPI). ........................................ 80
Gráfica 22 Cálculo del índice precipitación estandarizada trimestral (SPI). ..................................... 80
Gráfica 23 Cálculo del índice precipitación estandarizada semestral (SPI). ...................................... 81
Gráfica 24 Cálculo del índice precipitación estandarizada anual (SPI). ............................................ 81
Gráfica 25 Valores atípicos de precipitación (Según índice Atípico aditivo y cambio transitorio) .... 84
Gráfica 26 Análisis de Homocedasticidad de los residuos del modelo lineal con errores SARMA ... 89
Gráfica 27 Cuantil Cuantil (Q-Q plots) - Análisis de Normalidad de los residuos del modelo lineal
con errores SARMA .......................................................................................................................... 90
Gráfica 28 Histograma de distribución de frecuencias de los residuos del modelo lineal con errores
SARMA ............................................................................................................................................. 91
Gráfica 29 Correlograma de los residuos del modelo lineal con errores SARMA. ............................ 92
Gráfica 30 Periodograma de los residuos del modelo lineal con errores SARMA. ........................... 93
Gráfica 31 Ciclo del comportamiento mensual multianual del caudal y el Caudal calculado a partir
del modelo de regresión lineal con errores estacionales autorregresivo de media móvil (SARMA).
......................................................................................................................................................... 94
Gráfica 32 Comportamiento del caudal y la velocidad. .................................................................... 96
Gráfica 33 Comportamiento de las secciones transversales mensuales- Modelo de regresión lineal
simple............................................................................................................................................... 97
Gráfica 34 Diagrama de variación del promedio (𝜇)de la lámina de agua en la sección 19. .......... 109
Gráfica 35 Función de densidad de 𝜇 para los datos del muestreo directo y el muestreador de
Gibbs (𝜇2). ..................................................................................................................................... 110
Gráfica 36 Función de densidad 𝜎2 𝑦 𝜎22de Gamma. .................................................................. 110
Gráfica 37Valor Mensual Promedio para el mes de Enero - Multianual de Caudal –Estación “El
Caracol”. ........................................................................................................................................ 122
Gráfica 38Valor Mensual Promedio para el mes de Febrero - Multianual de Caudal–Estación “El
Caracol”.......................................................................................................................................... 122
Gráfica 39Valor Mensual Promedio para el mes de Marzo - Multianual de Caudal – Estación “El
Caracol”.......................................................................................................................................... 123
Gráfica 40Valor Mensual Promedio para el mes de Abril - Multianual de Caudal – Estación “El
Caracol”.......................................................................................................................................... 123
Gráfica 41Valor Mensual Promedio para el mes de Mayo - Multianual de Caudal – Estación “El
Caracol”.......................................................................................................................................... 124
Gráfica 42Valor Mensual Promedio para el mes de Junio - Multianual de Caudal – Estación “El
Caracol”.......................................................................................................................................... 124
Gráfica 43Valor Mensual Promedio para el mes de Julio - Multianual de Caudal – Estación “El
Caracol”.......................................................................................................................................... 125
Gráfica 44Valor Mensual Promedio para el mes de Agosto - Multianual de Caudal – Estación “El
Caracol”.......................................................................................................................................... 125
Gráfica 45Valor Mensual Promedio para el mes de Septiembre - Multianual de Caudal – Estación
“El Caracol”. ................................................................................................................................... 126
Gráfica 46Valor Mensual Promedio para el mes de Octubre - Multianual de Caudal – Estación “El
Caracol”.......................................................................................................................................... 126
Gráfica 47 Valor Mensual Promedio para el mes de Noviembre - Multianual de Caudal – Estación
“El Caracol”. ................................................................................................................................... 127
Gráfica 48Valor Mensual Promedio para el mes de Diciembre - Multianual de Caudal – Estación “El
Caracol”.......................................................................................................................................... 127
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Proceso de la meteorología. ............................................................................................... 27
Figura 2 Una variable aleatoria. ....................................................................................................... 29
Figura 3 La estructura de la SRM. ..................................................................................................... 36
Figura 4 Diagrama del proceso de identificación de parámetros para modelos SARMA........... ¡Error!
Marcador no definido.
Figura 5 Localización del área de estudio. DEM - ASTER (MODELO DIGITAL DE ELEVACION 30 MTS).
......................................................................................................................................................... 44
Figura 6 Cuenca hidrográfica del río Garagoa. ................................................................................. 45
Figura 7 Esquema conceptual de la metodología propuesta para la estimación de la cota máxima
de inundación. ................................................................................................................................. 49
Figura 8 Análisis del Proceso hidrológico – Escorrentía superficial. ................................................. 50
Figura 9Hidrogramas de curvas de caudal y altura o nivel del cauce versus el tiempo. ................... 52
Figura 10 Sección transversal de la superficie por encima del cauce de un cuerpo de agua. .......... 53
Figura 11 Polígonos de Thiessen para las estaciones Chinavita, Garagoa y Pachavita de la
subcuenca del río Garagoa. .............................................................................................................. 62
Figura 12 Subcuenca Río Garagoo. ................................................................................................... 98
Figura 13 Río Garagoa. ..................................................................................................................... 98
Figura 14 Sección transversal de un canal natura en épocas secas o con caudales mínimos. .......... 99
Figura 15 Análisis de sección transversal de un canal natural. ...................................................... 101
Figura 16 Analisis geometrico del trapecio escaleno. .................................................................... 102
Figura 17 Analisis geometrico de un lado del trapecio escaleno. ................................................... 102
16
INTRODUCCIÓN
El agua es la sustancia que más abunda en nuestro planeta, hace parte del factor
fundamental para la existencia del ser humano, el progreso y desarrollo económico
y social de las naciones. Por tanto, cada día se siente la necesidad de encontrar o
generar técnicas de análisis por medio de estimaciones que permitan inferir su
comportamiento y cohabitar con los fenómenos originados en la naturaleza.
Para ello se han implementado diferentes estudios, trabajos, investigaciones y
fuentes de información, que responden a técnicas que buscan tratar con este tipo
de amenaza a nivel mundial; existen diversas clases de modelos que contribuyen
en la representación que forma parte del ciclo hidrológico como lo son los modelos
de escorrentía, “donde su mayor aporte radica en entender el proceso de
escurrimiento y pronosticarlo con el propósito de regularizar el uso del agua y
controlar las inundaciones”1.
“Incluso, han desarrollado propuestas metodológicas con el fin de determinar la cota
de inundación en zonas costeras2. El procedimiento para su cálculo fue propuesto
en España por Medina y por Castillo3 en estudios que parten de los trabajos de Pugh
y Vassie4, cuyos resultados se recogen en el Atlas de Inundación del Litoral Español
(GIOC, 2001)”5.
Así, en el presente trabajo de investigación, tras una revisión de estadísticas de
desastres por inundación en el territorio Colombiano, según el DANE, IGAC6 e
IDEAM entre el año 2010 - 2011 y la evaluación de las propuestas clásicas de la
1 J.Boonstra (1994) Estimating peak runoff rates, Chapter 4 in: H.P.Ritzema (Ed.), Drainage Principles and Applications,
Publication 16, International Institute for Land Reclamation and Improvement, Wageningen, The Netherlands, ISBN: 90
70754 3 39 2 Smith, T. (1982). The Sefton Coast Database, Universidad de Liverpool and the Borough Engineer and Surveyor of Sefton Metropolitan Borough Council, Part 1. pp. 1- 9, 38-40. 3 Medina, R., F.J. Méndez y M.C. Castillo. (1997).Determinación de la cota máximade inundación en una playa. Jornadas Españolas de Puertos y Costas, Cádiz. pp. 789-801. 4 Pugh, D.T. and J.M. Vassie. (1978). Extreme sea level from tide and surge probability. Proc. 16th Coastal Eng. Conference, Hamburg. ASCE, Vol. 1, pp. 911-930. 5 Martínez Gallo Juan Camilo (2010), Propuesta metodológica para la estimación de la cota de inundación en la zona
costera del Caribe Colombiano, Medellín, 2010, Maestría en ingeniería en Recursos Hidráulicos, Universidad Nacional de
Colombia.
6 Gómez Guzmán Iván Darío, IGAC. Proyecto: “MONITOREO DE ZONAS INUNDADAS MEDIANTE LA UTILIZACIÓN DE
TECNOLOGÍAS GEOESPACIALES” [en línea]. «http://www.icde.org.co/alfresco2.1-
5.1.1.1/d/d/workspace/SpacesStore/eb570e34-6dd8-11e1-ba50-25072dab4df2/Reporte%2010%20marzo%2014-
2012.pdf» [citado en agosto 15 de 2012].
17
ingeniería; como la metodología planteada por el Instituto de Hidrología,
Meteorología y Estudios Ambientales (IDEAM)7, basada en el “análisis de la
zonificación de susceptibilidad y amenazas por inundación siguiendo el esquema
de entorno geomorfológico y cobertura de la tierra para una escala 1:100.000 en
aquellas zonas donde se cuenta con información geomorfológica de este nivel de
detalle. Incluso se plantea la utilización de metodologías para hallar el cálculo de los
diferentes niveles de inundación, como lo son el método racional, hidrogramas
sintéticos, entre otros”8.
De aquí, la propuesta planteada en la investigación que busca contar con elementos
verídicos como los que brindan las variables que arrojan las estaciones
Limnigráficas. Lo cual permitirán estimar los valores de los distintos niveles de
crecida que puede alcanzar el río Garagoa, donde generalmente dichos fenómenos
ocasionen desbordamiento e inundación del lecho del río a los terrenos adyacentes
a su cauce, pues el relieve, la geomorfología, la actividad humana (ya sea la tala
excesiva, la agricultura, construcción de infraestructura como viviendas, vías, etc.),
la precipitación; son algunos de los factores que intervienen para que se presenten
este tipo de desastres.
La propuesta busca alcanzar la estimación deseada, partiendo de un modelo lineal
con residuos estacionales autorregresivos de media móvil, donde se busca modelar
el caudal del río a partir de la relación caudal precipitación, luego mediante el
análisis físico y el uso de un modelo digital de elevación de la zona, se establece
una ecuación que relacione las pendientes del terreno, registros de precipitación,
velocidad del cauce y la medición de ancho del cauce para periodos donde el caudal
es mínimo. Asimismo se estima la cota máxima aplicando simulación estadística a
través del método de Muestreador de Gibbs. Todo esto por medio de la adquisición
de datos capturados por estaciones IDEAM y de la Corporación Autónoma de Chivor
– CORPOCHIVOR quienes colaboraron con el aporte de los datos para la
investigación. Dichos sistemas de monitoreo son base y complemento para su
desarrollo oportuno; obteniendo así la estimación de la cota máxima o nivel de
inundación.
7 DANE. Reporte final de áreas afectadas por Inundaciones 2010 – 2011 [en línea].
«http://www.dane.gov.co/files/noticias/Reunidos_presentacion_final_areas.pdf) [citado en agosto 24 de 2012]. ».
8 IDEAM: “INFORME DEL ESTADO DEL MEDIO AMBIENTE Y LOS RECURSOS NATURALES RENOVABLES” [en línea]. «https://documentacion.ideam.gov.co/openbiblio/Bvirtual/022166/PARTE1.pdf [citado en agosto 29 de 2012]. ».
18
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
Cada año, las fuertes temporadas de lluvias, según el Sistema para la Gestión de
Información para Prevención y Atención de Desastres, contribuyen a ocasionar
daños a la propiedad y con frecuencia a la pérdida de vidas humanas. Este tipo de
amenazas constituyen restricciones al uso del territorio, ya que son fenómenos
naturales, que por su origen y magnitud pueden escapar del control del hombre y
generar desastres. Por tanto, dichas circunstancias condicionan el proceso de
planificación e inducen al análisis de alternativas que permitan mitigar los impactos
negativos que estos pueden ocasionar. Base necesaria para una apropiada gestión
integral del riesgo, donde el gobierno Colombiano expidió la Ley 1523 del 24 de abril
de 2012, que plantea como obligatoriedad a todos los municipios del país a
implementar el estudio de la gestión del riesgo9.
Para el caso del territorio colombiano el IDEAM quien es el ente encargado de emitir
los criterios para identificar y delimitar las zonas inundables contando con un
documento que a la fecha es utilizado como base para que las Corporaciones
Autónomas Regionales y demás entes ambientales realicen los estudios de
riesgo10.
El IDEAM cuenta actualmente con más de 40 estaciones diseñadas para cubrir las
grandes cuencas a nivel nacional; además, en las cinco vertientes hidrográficas del
territorio poseen 834 estaciones hidrológicas (389 limnimétrica y 445 limnigráficas)
para suministrar datos sobre el régimen hidrológico de los cauces y cuerpos de agua
principales11.
Bajo estas condiciones, la mayoría de los fenómenos naturales no se les es posible
medir, cuantificar, ni modelar con precisión su impacto de acuerdo a los desastres
potenciales. Así mismo, dentro de su contenido se emplean como principios o
pautas unas series de técnicas y procedimientos. Logrando de forma combinada
llegar a una aproximación de lo que es la identificación de las zonas en riesgo por
inundación, que parten de la obtención de un producto topográfico preciso, de un
9 COLOMBIA, LEY 1523 DE 2012 - Gestión Del Riesgo de desastres y se establece el Sistema Nacional de Gestión del Riesgo de Desastres, [en línea]. «http://www.alcaldiabogota.gov.co/sisjur/normas/Norma1.jsp?i=47141 [citado en agosto 29 de 2012]. ». 10 IDEAM, (2011): “CRITERIOS PARA IDENTIFICAR Y DELIMITAR LAS ZONAS INUNDABLES A ESCALA 1:25.000” [en línea]. «http://www.igac.gov.co/wps/wcm/connect/7e75e80046e1b1e891e5d9357ce34f5a/Resumen.pdf?MOD=AJPERES [citado en septiembre 9 de 2012]. ». 11 (IDEAM) - Informe Hidrológico Diario [en línea]. <<http://www.pronosticosyalertas.gov.co/jsp/loader.jsf?lServicio=Publicaciones&lTipo=publicaciones&lFuncion=loadContenidoPublicacion&id=751 [citado en Septiembre 7 de 2012]. ».
19
largo tiempo para su ejecución y además sumamente costoso para las
administraciones públicas.
Debido a esta necesidad, surge la idea de indagar acerca de los métodos y modelos
hidrológicos, pues dentro de los criterios expuestos no se implementa una
metodología específica, por el contrario, indican algunos modelos que se pueden
utilizar para aplicarlos a la estimación de la cota máxima de inundación.
La propuesta metodológica de la estimación de la cota máxima de inundación
presentada, contribuirá en la obtención de mapas de inundación y desbordamiento
de la subcuenca hidrográfica del río Garagoa; planteada a causa de la existencia
limitada de datos hidrométricos, ya que en la mayoría de las cuencas del territorio
colombiano, no todos los cauces se encuentran monitoreados y los que lo están, en
algunos casos no tienen un período de registro lo suficientemente amplio como para
llevar a cabo los análisis y estudios pertinentes.
20
JUSTIFICACIÓN
El motivo de esta investigación partió de la importancia del desarrollo territorial,
buscando estructurar de manera adecuada el crecimiento de las dimensiones
económica, social y ambiental. Enfocando que “los fenómenos solamente adquieren
significado en referencia a una sociedad en particular. De allí la importancia de la
investigación social sobre desastres y la necesidad de conjugar las ciencias
naturales y el conocimiento que proporcionan las ciencias sociales.”12.
En Colombia, debido a la problemática social, económica, político-ambiental y a los
recurrentes períodos de invierno, que a medida que transcurre el tiempo son más
fuertes, pues el calentamiento global, la falta de prevención y planeación, afecta a
las poblaciones que se ubican en las zonas adyacentes a los cursos de los ríos;
razón por la cual surge la necesidad de generar y proponer nuevas metodologías
que contribuyan al desarrollo, pues cada uno de los territorios son distintos
geográficamente hablando, e incluso ayudaría a las autoridades o administraciones
de planeación a tener varias alternativas en cuanto a metodologías y criterios para
prevenir y mitigar del riesgo.
Por ello, el gobierno del presidente Juan Manuel Santos tiempo atrás declaró la
"Emergencia Económica, Social y Ecológica" y la "situación de Desastre", para
afrontar la grave emergencia por las inundaciones y los deslizamientos que
ocasionaron las lluvias en Colombia13. Actualmente, en Colombia se estableció la
Ley 1523 del 24 de Abril del 201214 indica que se debe desarrollar y ejecutar los
procesos de gestión del riesgo, entiéndase por gestión del riesgo, el conocimiento,
reducción y manejo de desastres. Donde uno de sus objetivos establece la
identificación de los factores del riesgo, la importancia del origen, las causas y la
transformación del fenómeno con el tiempo.
Para ello existen diferentes modelos y métodos estadísticos que buscan describir y
acercarse al hecho que pretenden dar explicación; como los modelos Bayesianos
jerárquicos espaciotemporales, que han sido usados en el mapeo de enfermedades,
estudios de contaminación ambiental, contaminación industrial, entre muchos otros.
12 Gentile, Elvira. (1994),”EL NIÑO NO TIENE LA CULPA: VULNERABILIDAD EN EL NORESTE ARGENTINO”, Universidad de Buenos Aires, Desastres y Sociedad, publicación No. 3, «http://65.182.2.242/docum/crid/Febrero2004/pdf/spa/doc6575/doc6575.pdf». 13 IDEAM. Noticia, [en línea]. «Gobierno declara Emergencia Económica, Social y Ecológica [citado en
Septiembre 7 de 2012]. ». 14 Ley 1523 DE 2012 Ibíd., pág. 8.
21
Bajo esta metodología, los datos están asociados con un punto en una localidad E
y con un instante de tiempo t.
Estos métodos solo se habían usado en otro tipo de investigaciones, enfocándose
en estudios relacionados con finanzas, economía, redes de telecomunicaciones,
estadística y ecuaciones; en casos referidos a modelos ambientales se utilizan otro
tipo de metodologías comúnmente conocidas, señalando metodologías como 15“métodos hidrológicos que se basan en funciones de conversión de variables
meteorológicas (fundamentalmente precipitación, radiación, evapotranspiración, y
rocío) a escorrentía superficial (caudales). Algunos de estos métodos que se
podrían utilizar son el Método Racional, Hidrogramas Sintéticos, William y Hann,
Snyder, S.C.S, Avenida Máxima Probable (PMF), Modelación Hidrológica
Distribuida (Modelo TETIS, Modelo de Tanques).”
La investigación propuesta en el presente documento, busca estimar la cota máxima
de inundación a partir de un análisis del fenómeno con las variables que intervienen
del ciclo hidrológico y del cual se posee información, con el fin de generar un
fortalecimiento en la capacidad de acción y respuesta efectiva en materia de
aquellas áreas como es el caso de la zona de estudio en particular que
probablemente no cuente con un estudio donde se establezca la cota de inundación.
Con el propósito de implementar herramientas necesarias para comprender el
comportamiento y desarrollo del fenómeno de inundación desde el proceso del ciclo
hidrológico a través del análisis de series de tiempo de los datos necesarios y
disponibles. La idea en este trabajo consiste en suponer una vez calculada la altura
máxima de inundación, en consonancia con el paradigma bayesiano, la aleatoriedad
de la variable en toda circunstancia, con las consecuencias de una mayor
sofisticación en el tratamiento de todas las distribuciones a posteríori, se presenta
una generalización de la forma funcional de esta distribución, útil en su tratamiento
en aplicaciones. Concretamente, se utiliza un método de Monte Carlo para extraer
muestras de la distribución a posteríori, a través del muestreo de Gibbs donde
regularmente se utiliza la distribución Normal en los modelos estadísticos, tanto
bayesianos como clásicos, como modelo de distribución para el termino de error, e
igualmente ocurre con frecuencia para modelizar simplemente la distribución de una
variable aleatoria.
Destacando además la aplicabilidad de modelos de regresión lineal con errores
estacionales autorregresivos de media móvil (SARMA) para modelar el caudal de la
15 EPRI, (2010), Sistema nacional de cartografía de zonas inundables en la demarcación hidrográfica Duero, Gobierno de España, Sistema Nacional de Cartografía de Zonas Inundables.
22
microcuenca a partir de las variables explicativas como es el caso de la
precipitación; y posteriormente, por medio de muestreador de Gibbs, estimar la cota
máxima de inundación del cauce del río expresado en términos de las variables por
parte de estaciones hidrológicas utilizadas y la eficacia de estos métodos se verá
comprobada a través de todo el trabajo.
El ingeniero catastral y geodesta dentro de su formación está capacitado para
proponer una solución alternativa al problema de estimar la cota máxima del nivel
de inundación; planteando una función con la intervención de unas variables que
permitan estimar dicha altura a través del análisis físico, estadístico y cartográfico.
Implementando modelos estadísticos y métodos como Gibbs, Monte Carlo y de
cadenas de Markov.
23
OBJETIVOS
General
Generar una metodología para estimar la altura máxima de inundación que puede
alcanzar la subcuenca media del río Garagoa.
Específicos
Generar un análisis estadístico de la variable precipitación, fenómeno del
niño, fenómeno de la niña expresadas dentro de la propuesta para la
estimación de la altura máxima.
Identificar las variables necesarias dadas por estaciones limnigráficas y
climatológicas, que ayuden a considerar la función que permita calcular la
altura máxima del río.
Utilizar el muestreador de Gibbs para estimar la altura máxima que puede
alcanzar la subcuenca media del río en tres puntos específicos.
24
1. CAPÍTULO I - Marco teórico
1.2. Características morfométricas La metodología empleada para la determinación morfométrica de cada de las unidades se fundamenta en la descripción hecha por diferentes autores, en múltiples estudios y trabajos de este tipo. Los siguientes cinco factores permiten inferir o deducir ciertos comportamientos en relación con las crecientes de caudal que se presenten. Factor forma (Ff): Indica qué tan circular es una cuenca. Permite inferir lo súbitas que pueden ser las crecientes. Cuencas muy alargadas tienen menos posibilidad de presentar crecientes súbitas16. Se calcula como se señala a continuación:
𝐹𝑓 =𝐴
𝐿𝑎2 Donde, A es el área de la cuenca, La es la longitud axial. (1-1)
Coeficiente de compacidad (KC): Este coeficiente determina que tan grande es la superficie de captación de la cuenca en relación con su forma. Así por ejemplo, entre más cercano a 1 se encuentre su valor, más se asemeja a una circunferencia, su superficie de captación es relativamente menor y las crecientes tienden a ser súbitas. Para valores mayores de 3, se considera que la cuenca es alargada, su superficie de captación es relativamente mayor lo que generaría crecientes lentas17. Es una expresión muy cercana a la anteríor. Se calcula de la siguiente forma:
𝐾𝑐 =0,28𝑃
√𝐴 (1-2)
Donde, P es el perímetro de la cuenca y A la superficie de la cuenca. Índice de alargamiento (Ia): Este índice determina que tan rápida es la reacción de la corriente principal ante precipitaciones en la cuenca. Valores cercanos a 1
16 UNAL, Pomca, 2005, Componente Hidrológico, Plan de ordenación y manejo ambiental de la cuenca del rio Garagoa Corpochivor - Corpoboyaca – CAR, universidad Nacional de Colombia – Instituto de Estudios Ambientales pag 7. 17 Campos Aranda Daniel Fco, Procesos del ciclo hidrológico, Editor UASLP, 1984, ISBN 9686194444, 9789686194449, pág. 5.
25
indican una forma cuadrada y valores mayores a 2 indican una forma alargada18. Se calcula de la siguiente forma:
𝐼𝑎 =𝐿
𝐼 (1-3)
Donde, L es la longitud máxima de la cuenca, I el ancho máximo (perpendicular a L). Elevación media de la cuenca (Hm): La elevación media de la cuenca se determina como el promedio ponderado de las alturas que se encuentran dentro del área considerada19. Es uno de los indicadores que determina que tan cercana está la cuenca a una zona de condensación. La elevación media Hm se calcula por la fórmula:
𝐻𝑚 =(𝐻1+2𝐻2
3)𝐴1+(
𝐻2+𝐻32
)𝐴2+⋯+(𝐻𝑛−2+𝐻𝑛−1
2)𝐴𝑛−1+(
2𝐻𝑛−1+𝐻𝑛3
)𝐴𝑛
𝐴1+𝐴2+⋯+𝐴𝑛−1+𝐴𝑛 (1-4)
Dónde: 𝐴1…𝐴𝑛 es la superficie 1… n comprendida entre dos curvas de nivel (𝑘𝑚2),
𝐻1…𝐻𝑛 la altura (m) indicada por la curva de nivel 1… n. Tiempo de Concentración (TC): Es el tiempo requerido para que, durante un aguacero uniforme, se alcance el estado estacionarío; es decir, el tiempo necesarío para que todo el sistema (toda la cuenca) contribuya eficazmente a la generación de flujo en el desagüe. Es útil, al relacionarlo con el índice de alargamiento y el área de la cuenca, para conocer qué tan rápido llegan las precipitaciones a la corriente principal20. Para estimar los tiempos de concentración se desarrollaron con la ayuda de la fórmula empírica de California:
𝑇𝑐 = 1,95𝑥10−2 (𝐿3
𝐻)0,38577
(1-5)
Donde, Tc es el tiempo de concentración (min), L la longitud del cauce (m), H la diferencia entre cota inicial y final.
18 Francisco Carrasco Cantos (1993), Geología de la Cueva de Nerja, Número 3 de Trabajos sobre la Cueva de Nerja. 19 García Carmelo Conesa (1990), El campo de Cartagena: clima e hidrología de un medio semiárido, Volumen 13 de Cuadernos (Universidad de Murcia), Editor EDITUM, ISBN 8476842287, 9788476842287. 20 Béjar Máximo Villón (2007), Drenaje, Editorial Tecnologica de CR, 2007, ISBN 9977661847, 9789977661841, pág. 463.
26
COEFICIENTE DE ESCORRENTÍA.
Se define como coeficiente de escorrentía, C, de una superficie, S, al cociente del
caudal que discurre por dicha superficie, QE, en relación con el caudal total
precipitado, 𝑄𝑇.
𝐶 =𝑄𝐸
𝑄𝑇 (1-8)
El coeficiente de escorrentía varía a lo largo del tiempo y es función de las
características del terreno (naturaleza, vegetación, permeabilidad, inclinación,
humedad inicial del suelo) y de la zona (temperatura, intensidad y duración de la
precipitación, humedad relativa, velocidad del viento, horas de soleamiento,
dimensiones de la cuenca vertiente).21
Se puede considerar el área total de la cuenca o dividir la misma en diferentes
subcuencas con diferentes características. En cualquier caso, cuando se trata de
una zona uniforme (sea el área total o la de una subcuenca) será necesario
determinar un valor del coeficiente de escorrentía medio para la misma. Dado que
puede estar formado por terreno de diferente tipo, diferentes densidades de
edificación, etc.
Se calcula el coeficiente de escorrentía medio realizando una media ponderada de
los diferentes coeficientes de escorrentía de cada una de las subzonas en las que
se puede dividir el área considerada. De esta forma se llega a la expresión del
coeficiente de escorrentía medio C para una zona formada por diferentes sub-áreas
𝐴𝚤 con diferentes coeficientes de escorrentía 𝐶𝑖.
𝐶 =∑𝐴𝑖𝐶𝑖
𝐴𝑖 (1-9)
1.3. Estaciones Meteorológicas
Una estación meteorológica es un lugar escogido adecuadamente para colocar los diferentes instrumentos que permiten medir las distintas variables que afectan al estado de la atmósfera en un momento y lugar determinado22. Es decir, es un lugar
21 Rodríguez Estrella Tomás (1979), Geologia e hidrogeologia del sector de Alcaraz-Lietor-Yeste (prov. de Albacete): sintesis geologica de la Zona Prebetica, Instituto Geológico y Minero de España, ISBN 847474069X, 9788474740691 22 Cotos Yáñez José Manuel, José Ángel Taboada González (2005), Sistemas de información medioambiental, Editor Netbiblo, 2005, ISBN 8497450566, 9788497450560.
27
que nos permite la observación de los fenómenos atmosféricos y donde hay unos aparatos (termómetro, barómetro, higrómetro, pluviómetro, etc.) que miden las variables atmosféricas, (temperatura, presión, humedad, lluvia, etc. respectivamente).
1.4. Meteorología
Las observaciones meteorológicas, consisten en la medición y determinación de
todos los elementos que en su conjunto representan las condiciones del estado de
la atmósfera en un momento dado y en un determinado lugar utilizando instrumental
adecuado23.
Estas observaciones permiten conocer las características y variaciones de los
elementos atmosféricos, los cuales constituyen los datos básicos que utilizan los
servicios meteorológicos, tanto en tiempo real como diferido.
Figura 1 Proceso de la meteorología.
Fuente: Introducción a la meteorología la ciencia del tiempo.
La veracidad y exactitud de las observaciones es imprescindible, ya que de no darse
esas condiciones se lesionan los intereses, no solo de la meteorología, sino de
23 Puente Carlos y Úbeda (2014), Meteorología popular ó Refranero meteorológico de la Península Ibérica: ordenadamente expuesto, a título de ensayo. climatología, Volumen 1, Editorial MAXTOR, ISBN 8490014493, 9788490014493
28
todas las actividades humanas que se sirven de ella24. En este sentido, la
responsabilidad del observador es mayor de lo que generalmente él mismo supone.
Mientras que las observaciones climatológicas se efectúan para estudiar el clima,
es decir, el conjunto oscilante de las condiciones atmosféricas, caracterizados por
los estados y las evaluaciones del tiempo en una porción determinada del espacio25.
Estas observaciones difieren muy poco de las sinópticas en su contenido y se
complementan con registros continuos diarios o semanales, mediante instrumentos
registradores.
1. Factores que determinan el clima
La existencia de varios climas diferentes en la Tierra es posible debido a una serie
de factores que van a afectar a las condiciones de temperatura, humedad, presión,
viento, precipitación, etc. Más conocidos como factores geográficos, descritos
brevemente a continuación:
2. Factores geográficos.
La geografía de una zona, su posición respecto al mar o la latitud, va a definir en
parte la existencia de un determinado tipo de clima. La latitud, la altura y la ubicación
son factores preponderantes en la zonificación climática26.
Todos ellos son factores intrínsecos de cada zona, por ejemplo puede variar el tipo
de lluvias o cambiar el grado de humedad, pero no se puede variar la latitud donde
está situada una zona geográfica.
3. Factores ambientales.
Además de los factores que dependen de la geografía de cada zona, existen los
factores ambientales, más variables, que van a contribuir a determinar el tipo de
clima de la zona. Estos factores deben ser medidos cuidadosamente a lo largo de
los años, para determinar cuál es la tendencia general del clima, evitando
variaciones puntuales que pudieran hacer que los datos obtenidos fueran
engañosos27. Por ello, se recogen a lo largo de no menos de 30 años en las
24 CLIMATOLOGIA, 2008 – Practico 2 OBSERVASION METEOROLOGICA INSTRUMENTOS, Facultad de Ciencias – Instituto de Física – Unidad de Ciencias de la Atmósfera 25 Armin Schoklitsch (1968), Construcciones hidráulicas. 1, Metereología, hidráulica, abastecimiento de aguas, saneamiento de poblaciones, Editor Gustavo Gili. 26 Centro Interamericano de Desarrollo Integral de Aguas y Tierras (2010), Plan nacional de ordenamiento de los recursos hidraúlicos República del Perú: bases metrodológicas 27
29
estaciones meteorológicas, los datos de los diferentes factores climáticos:
temperatura, humedad, presión atmosférica, vientos y precipitaciones.
1.5. De la probabilidad y Estadística
1.5.1 Variable aleatoria
En cualquier experimento, hay numerosas características que se pueden observar
o medir, pero en la mayor parte de los casos un experimentador se centra en algún
aspecto específico o aspectos de una muestra.
En general, cada resultado de un experimento se puede asociar con un número si
se especifica una regla de asociación (p. ej., la cantidad entre la muestra de diez
componentes que no duran 1000 horas, o el peso total de equipaje de una muestra
de 25 pasajeros de una aerolínea).Esta regla de asociación se llama variable
aleatoria, una variable porque son posibles diferentes valores numéricos, y
aleatoria porque el valor observado depende de cuál de los resultados
experimentales posibles resulte (figura 2).
Figura 2 Una variable aleatoria.
Fuente: (Tomado de: Ja y L. Devore, Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias.).
Para un determinado espacio muestral ȿ de algún experimento, una variable
aleatoria (va) es cualquier regla que relaciona un número con cada resultado en S.
En el lenguaje matemático, una variable aleatoria es una cuyo dominio es el espacio
muestral y cuyo recorrido es el conjunto de los números reales28.
28 Jay L. Devore (2005), Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, capítulo 4 en International Thomson (Ed.), sexta edición, California Polytechnic State University San Luis Obispo, ISBN 0-534-39933-9.
30
1.5.2 Cadenas de Markov
Sea𝐸 = {1, 2, . . . , 𝑟} un espacio de estados finito. Una matriz de transición en E es
una matriz P, de dimensión r × r, con coeficientes todos ≥ 0, y donde la suma de
cada fila vale 129:
𝑃 = (𝑝𝑖𝑗) 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑟, ∀𝑖, 𝑗∈𝐸, 𝑝𝑖𝑗 ≥ 0 y ∀𝑖, ∈ E, ∑j ∈ E pij = 1
P también se llama matriz estocástica: cada fila de P es una distribución de
probabilidad sobre E.
Una cadena de Markov sobre E con matriz de transición P es una sucesión 𝑋 =
(𝑋0, 𝑋1, 𝑋2, … ) de variables aleatorias con índices en N y con valores en E tal que ∀n
≥ 0, se verifica:
𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑖𝑛+1| 𝑋𝑙 = 𝑖𝑙 , 0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛) = 𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑖𝑛+1| 𝑋𝑛 = 𝑖𝑛) (1-14)
𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑗 |𝑋𝑛 = 𝑖) = 𝑝𝑖𝑗
La primera igualdad expresa la propiedad de Markov: la ley de 𝑋𝑛+1 condicional al
pasado (𝑋𝑛, 𝑋𝑛−1, … , 𝑋1, 𝑋0) depende únicamente del estado del último instante 𝑋𝑛 =
𝑖𝑛: la i-ésima fila de P no es otra que la ley (𝑋𝑛+1|𝑋𝑛 = 𝑖). La segunda igualdad nos
dice que estas transiciones son independientes de 𝑛; se dice que la cadena es
homogénea. Igualmente se habla de cadenas de Markov30 no-homogéneas, en las
cuales la transición 𝑃𝑛 en el tiempo 𝑛 depende de 𝑛.
La fórmula de las probabilidades totales muestra que la ley de 𝑋 está
completamente caracterizada por P y por la ley inicial 𝜇0 de 𝑋0 (denotada 𝑋0 ∼ 𝜇𝑜),
las leyes finito-dimensionales están dadas por:
𝑃(𝑋0 = 𝑖0, 𝑋1 = 𝑖1, … , 𝑋𝑛 = 𝑖𝑛) = 𝜇0(𝑖𝑜)𝑝𝑖0𝑖0 𝑝𝑖1𝑖2… 𝑝𝑖𝑛−1 𝑖𝑛 (1-15)
29 J. Evans Michael, Jeffrey S. Rosenthal (2005), Probabilidad y estadística, Traducido por Xavier Tomàs Morer, Editor Reverte, 2005, ISBN 842915034X, 9788429150346. 30Sarabia Viejo Ángel (1996), La investigación operativa: una herramienta para la adopción de decisiones, Volumen 7 de Ingeniería (Universidad Pontificia Comillas), ISBN 8487840841.
31
Recíprocamente, es fácil verificar si la ley de 𝑋 es de esta forma, 𝑋 verifica la
propiedad de Markov y es una cadena homogénea de matriz de transición P. Por
convención, se denota una probabilidad sobre E por un vector fila 1 × r. Si 𝜇𝑛 es la
distribución de 𝑋𝑛, entonces la distribución de 𝑋𝑛+1 es 𝜇𝑛+1 = 𝜇𝑛𝑃, producto por la
izquierda del vector fila 𝜇𝑛 por la matriz P.
En efecto, 𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑗) = ∑ 𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑗 |𝑋𝑛 = 𝑖)𝑃(𝑋𝑛 = 𝑖)𝑖∈𝐸 En particular, 𝑃𝑛 es la
potencia n-ésima de P y se verifica: 𝜇𝑛 = 𝜇0𝑃𝑛31.
1.5.3 Método de Monte Carlo
El algoritmo de Simulación Monte Carlo Crudo o Puro está fundamentado en la
generación de números aleatorios por el método de Transformación Inversa, el cual
se basa en las distribuciones acumuladas de frecuencias:
Determinar la/s V.A. y sus distribuciones acumuladas(F)
Generar un número aleatorio
uniforme ∈ (0,1).
Determinar el valor de la V.A. para el número aleatorio generado de acuerdo a las clases que tengamos.
Calcular media, desviación estándar error y realizar el histograma.
Analizar resultados para distintos tamaños de muestra. Otra opción para trabajar con Monte Carlo, cuando la variable aleatoria no es directamente el resultado de la simulación o tenemos relaciones entre variables es la siguiente:
Diseñar el modelo lógico de decisión
Especificar distribuciones de probabilidad para las variables aleatorias relevantes.
Incluir posibles dependencias entre variables.
Muestrear valores de las variables aleatorias.
Calcular el resultado del modelo según los valores del muestreo (iteración) y registrar el resultado
Repetir el proceso hasta tener una muestra estadísticamente representativa
Obtener la distribución de frecuencias del resultado de las iteraciones
Calcular media, desvío.
Analizar los resultados
El problema al que se enfrenta es cuando se quiere calcular
31 Guyon, Xavier, (1999), Métodos numéricos por cadenas de Markov, Escuela Venezolana de Matemáticas.
32
𝑓(𝜃 |𝑥) = 𝐿(𝑥 |𝜃) 𝜋(𝜃)
∑ 𝐿(𝑥 |𝜃) 𝜋(𝜃)𝜃 (1-16)
El denominador no adopta una forma funcional conocida y se hace necesario el tratamiento numérico. Si se pudiera generar directamente muestras independientes de 𝑓(𝜃 |𝑥) por medio de métodos de simulación conduciría a la obtención de la cantidad a posteriori de interés; pero en ocasiones no es posible, sin embargo, se puede simular muestras con algún tipo de dependencias que converjan a la distribución 𝑓(𝜃 |𝑥). Para efectos de estimación por el método de Montecarlo se usa los algoritmos MCMC (método de Monte Carlo con cadenas de Markov) y los más usados son Metrópolis-Hastings y el de Gibbs32.
1.5.4 Muestreador de Gibbs
Desde un punto de vista general, hacer inferencia Bayesiana es ver a los parámetros como variables aleatorias a las que, antes de la evidencia muestral, se les ha asignado una distribución de probabilidad llamada a príori, con base en la creencia del comportamiento probabilístico del parámetro aleatorio.
Si 𝜃 = (𝜃1, . . . , 𝜃𝑘) es el vector de parámetros aleatorios, entonces se denota la
distribución de probabilidad a príori como 𝜋(𝜃). Cuando se tiene evidencia muestral, la distribución a príori es ajustada obteniendo una distribución denominada a
posteriori. En forma explícita, si se considera a 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 como la evidencia
muestral y haciendo 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), se tiene que la función de probabilidad a posteriori es
𝑓(𝜃 |𝑥) = 𝐿(𝑥 |𝜃) 𝜋(𝜃)
∫ 𝐿(𝑥 |𝜃) 𝜋(𝜃) 𝑑𝜃 ′.
𝜃
(1-17)
Si 𝜃 es de tipo discreto. Si 𝜃 es de tipo continuo; donde 𝐿(𝑥 | 𝜃) es la función de
verosimilitud, o en forma explicita
(𝑥 | 𝜃) ∶= 𝐿(𝑥 ; 𝜃) (1-18)
32Robert C.P., G. Casella, (2010) Introducing Monte Carlo Methods with R, Use R, DOI 10.1007/978-1-4419-
1576-4_6, © Springer Science+Business Media, LLC.
33
Bajo este enfoque, la distribución a posteriori33 es la que se emplea para hacer la
estimación de los parámetros por medio de 𝐸[𝑥 |𝜃].
El muestreador de Gibbs es un método MCMC (Markov Chain Monte Carlo) y se define como sigue:
Al suponer que 𝜃 = (𝜃1, . . . , 𝜃𝑘), donde cada i es un bloque de parámetros al que
se le asigna la distribución 𝑓(𝜃𝑖|𝑥, 𝜃𝑗≠𝑖), denominada distribución de probabilidad
condicional completa, con
𝜃𝑗≠𝑖 = {𝜃1, … , 𝜃𝑖−1, 𝜃𝑖+1, … , 𝜃𝑘}. (1-19)
Al suponer que 𝜃(0) = (𝜃(0), … , 𝜃𝑘(0)) es un valor inicial arbitrario34 de 𝜃, entonces
la t-ésima iteración del algoritmo, con 𝑡 ≥ 1, se actualiza generando:
𝜃1(𝑡)
de 𝑓(𝜃1| 𝑥, 𝜃2(𝑡−1)
, … , 𝜃𝑘(𝑡−1)
) (1-20)
𝜃2(𝑡)
de 𝑓(𝜃2| 𝑥, 𝜃1(𝑡), 𝜃3
(𝑡−1), … , 𝜃𝑘
(𝑡−1)) (1-21)
𝜃3(𝑡)
de 𝑓(𝜃3| 𝑥, 𝜃1(𝑡), 𝜃2
(𝑡), 𝜃4(𝑡−1), … , 𝜃𝑘
(𝑡−1)) (1-22)
.
.
.
𝜃𝑘(𝑡)
de 𝑓(𝜃𝑘| 𝑥, 𝜃1(𝑡), 𝜃2
(𝑡) , … , 𝜃𝑘−1(𝑡) ) (1-23)
Si 𝜃(𝑡) = ( 𝜃1(𝑡), … , 𝜃𝑘
(𝑡)), la sucesión {𝜃(𝑡): 𝑡 = 1,2,… , 𝑇} es una realización de una
cadena de Markov (Gamerman, 1997).
La anterior cadena de Markov tiene probabilidad de transición dada por
𝜋(𝜃(𝑡), 𝜃(𝑡+1)) = ∏ 𝑓(𝜃𝑙𝑡+1| 𝜃𝑗
𝑡, 𝑗 > 𝑙, 𝜃𝑗𝑡+1, 𝑗 < 𝑙, 𝑥)𝑘
𝑙=1 ; (1-24)
33Ríos Insua David , Sixto Ríos Insua, Antonio Jiménez Martín, Jacinto Ramón Martin Jiménez (2008), Simulación. Métodos y aplicaciones (2a edición), RA-MA S.A. Editorial y Publicaciones, 2008, ISBN 847897895X. 34 Hoel Paul G. (1979), Estadística elemental, Edición 3, reimpresa, Editor Continental, ISBN 9682601304.
34
Cuando t es suficientemente grande, la distribución de probabilidad de donde
proviene 𝜃𝑡 converge a la distribución de probabilidad de 𝜃35.
Así, existe un T de tal forma que si t > T, la distribución de probabilidad de t se pueden aproximar a través de la distribución de probabilidad empírica dada por M
valores simulados 𝜃(𝑡), con t=T+1, T+2,. . ., T+M 36. Para hacer inferencia, y a manera de ejemplo, se puede obtener una aproximación
de la media de la distribución marginal de cualquier 𝜃𝑖 a través de
Σ𝑡=𝑇+1 𝑇+𝑀 𝜃𝐼
(𝑡)
𝑀 (1-25)
Su distribución marginal se puede aproximar por la distribución de probabilidad empírica obtenida de
(𝜃𝑖(𝑇+1)
, 𝜃𝑖(𝑇+2)
, … , 𝜃𝑖(𝑇+𝑀)
) (1-26)
1.5.5 Análisis de intervención en series de tiempo
Un proceso estocástico puede ser definido como un conjunto de variables aleatorias
que están ordenadas en el tiempo y definidas en un conjunto de puntos temporales
que pueden ser continuos o discretos37. La variable aleatoria se denota en el tiempo
𝑡 como 𝑍(𝑡), si el tiempo es continuo (usualmente −∞ < 𝑡 < ∞) y como 𝑍𝑡, si el
tiempo t es discreto (usualmente 𝑡 = 0, ±1,±2,±3, … ).
𝑍 = {𝑍(𝑡): 𝑡 ⊆ ℝ} (1-27)
Donde 𝑍(𝑡) es la variable aleatoria y t el índice que representa el tiempo de captura.
El objetivo es utilizar la teoría de procesos estocásticos para determinar el
comportamiento de la serie y predecir su comportamiento a futuro.
35 Hills, SE, y SMITH AFM (1992), Parametrization issues in Bayesian inference (whit discussion). En, Bernardo, J.M Berger, JO, David, AP, y A. Smith FM (eds): Bayesian Statics 4 Oxford University Press, pp 227-246. 36 Kim, C.J. y Nelson, C.R. (1999a). Friedman´s Plucking Model of Business Fluctuations: Tests and Estimates of Permanent and Transitory Components. Journal of Money, Credit, and Banking, 31(3), 317-334. 37 Charfield, C (1975), Th analysis if time series: Theory and practice. Londres: Chapman y Hall.
35
En un modelo de series temporales univariante, se descompone la serie 𝑍(𝑡) en dos
partes, una que recoge el patrón de regularidad, o parte sistemática (𝑃𝑆), y otra
parte puramente aleatoria, denominada también innovación (𝑎):
𝑍(𝑡) = 𝑃𝑆𝑡 + 𝑎𝑡 (1-28)
La teoría de la predicción se basa en replicar las regularidades de su
comportamiento en el pasado y proyectarla hacia el futuro. Por lo tanto, es preciso
que los procesos estocásticos generadores de las series temporales tengan algún
tipo de estabilidad. Si por el contrario, en cada momento presentan un
comportamiento diferente e inestable, no se pueden utilizar para predecir. Estas
condiciones se les imponen a los procesos estocásticos para que sean estables
para predecir y se les conoce como estacionariedad38.
El procedimiento de recoger el patrón sistemático de un proceso estocástico se hace
operativo mediante los Modelos Autorregresivos Integrados a Medias Móviles
(ARIMA) que son una alternativa de aproximación a la estructura teórica general.
1.5.6 Método de interpolación de Stineman
El método se basa en la interpolación racional con funciones racionales. El método
original sugerido por Stineman causa pendientes inferiores cerca de pasos abruptos
o puntos en la secuencia de puntos, y por lo tanto una más pequeña tendencia para
exceder.
Métodos basados en un polinomio de segundo grado ("la parábola") proporciona la
mejor aproximación para alisar funciones, pero esto causa pendientes más altas
cerca de pasos abruptos o puntos, y puede conducirlos a excederse, donde el
método de Stineman no lo hace. Ambos métodos conducen a mucho menos
tendencia para oscilaciones 'falsas' que métodos tradicionales de interpolación
basados en polinomios.39.
El método determina automáticamente las pendientes usando la siguiente ecuación:
38 D. PEÑA (1992), “Estadística; Modelos y Métodos: 2.Modelos lineales y series temporales”, Alianza Universal Textos. 39Stineman, Russel W. (1980) A consistently well-behaved method of interpolation.
36
Dado los puntos 𝑥𝑗 e 𝑦𝑗, el 𝑦𝑝𝑗 (vector de la pendiente de la curva entre puntos) y
un nuevo eje de abscisas vector 𝑥𝑗 la función que utiliza Stineman para calcular un
𝑦𝑗 vector correspondiente al 𝑥𝑗.es:
𝑦′𝑚 = 2𝑠 − 𝑦𝑝
Donde, la pendiente del segmento de línea que une los dos puntos es:
𝑠𝑗 =𝑦𝑗+1 − 𝑦𝑗
𝑥𝑗+1 − 𝑥𝑗
𝑦𝑝 = (𝑦𝑖−𝑦𝑗)((𝑥𝑘−𝑥𝑖)
2+(𝑦𝑘−𝑦𝑖)2)+(𝑦𝑘−𝑦𝑖)((𝑥𝑖−𝑥𝑗)
2+(𝑦𝑖−𝑦𝑗)
2)
(𝑥𝑖−𝑥𝑗)((𝑥𝑘−𝑥𝑖)2+(𝑦𝑘−𝑦𝑖)
2)+(𝑥𝑘−𝑥𝑖)((𝑥𝑖−𝑥𝑗)2+(𝑦𝑖−𝑦𝑗)
2) (1-29)
La ecuación (1-29) se encarga de evaluar de forma más precisa, si 𝑠𝑗 > 0 y 𝑠𝑗 > 𝑦𝑝
o si 𝑠𝑗 < 0 y 𝑠𝑗 < 𝑦𝑝.
1.5.7 Modelo (SRM) -Deshielo de escorrentía
La estructura básica del SRM (Modelo Snowmelt Runoff o Deshielo de escorrentía)
se muestra esquemáticamente en la Figura 3 a continuación:
Figura 3 La estructura de la SRM.
Fuente: http://www.macaulay.ac.uk/hydalp/private/demonstrator_v2.0/models/srm.html.
37
La cuenca se subdivide en zonas de elevación, normalmente 3 o 4 zonas se utilizan,
pero más en las cuencas de alto relieve40. No hay ninguna disposición para las
subcuencas o tipos de cobertura del suelo. La escorrentía de todas las zonas de
elevación se sumarán antes de encaminamiento, así que la ubicación no se tiene
en cuenta en el modelo. Se utiliza un paso de tiempo diario. El deshielo en cada
zona se predice a partir de la temperatura del aire, se añade que las precipitaciones
en, y el agua de nuevo total se en rutan a través de un único almacén41.
El modelo SRM; es un modelo de escorrentía de la nieve disuelta. Está diseñado
para simular y predecir el caudal diario en cuencas de montaña, donde la fusión de
nieve tiene un papel importante. Recientemente también ha sido utilizado para
evaluar el efecto del cambio climático sobre la cobertura de nieve y su escorrentía.
El modelo SRM fue desarrollado por Martinec42 y aplicado a pequeñas cuencas en
Europa. Gracias a los avances en teledetección de nieve mediante satélites el
modelo SRM se ha ido aplicando a cuencas cada vez mayores, siendo la mayor
donde se ha aplicado de 120.000 km2. Los cálculos de escorrentía del modelo
suelen ser fácilmente asimilados. Hasta la fecha el modelo fué aplicado por varias
agencias, institutos y universidades en unas 80 cuencas de 25 países distintos.
Alrededor de un 25% de las aplicaciones fueron hechas por los autores del modelo
y un 75% por usuarios independientes. El modelo SRM43 también superó varios
ensayos de simulación de escorrentía realizados por World Meteorological
Organization (WMO, 1986) así como simulaciones parciales de predicciones en
tiempo real (WMO, 1992).
𝑅2 = 1 − ∑ (𝑄𝑖 − 𝑄𝑖
1)𝑛𝑖=1
2
∑ (𝑄𝑖 − 𝑄)𝑛𝑖=1
2 ; 𝐷𝑣 =𝑉𝑅−𝑉𝑅
1
𝑉𝑅∗ 100 (1-30)
40 Kumar et al., 1991. In: Proceedings of the National Symposium on Freshwater Aquaculture, CIFA Bhubaneswar, India. Bhubaneswar, CIFA, pp. 89-91 41 Baumgartner, M. F. (1987) Schneesch melz-Abfluss simulation en basier end auf Schneeflächen best immungen mit digital en Landsat-MSS and NOAA-AVHRR Daten. (Snowmelt runoff simulations based on snow cover mapping using digital Landsat-MSS and NOAA-AVHRR data), German version: Remote Sensing Serie, 11, Department of Geography, Univ. of Zurich, Zurich, Switzerland. English summary: Tech. Report HL-16, USDA, Agricultural Research Service, Hydrol. Laboratory, Beltsville, MD, USA. 42 Martinec, J. & Rango, A. (1995) Seasonal runoff forecasts for hydropower based on remote sensing. Proc. Western Snow Conf., Reno/Sparks, Nevada, USA. 43 Brüsch, W. (1996) Das Snowmelt Runoff Model ETH (SRM-ETH) als universelles Simulations- und Prognose system von Schneeschmelz-Abflussmengen. (The Snowmelt Runoff Model ETH as a universal simulation and forecast system for snowmelt runoff) (in German), Remote Sensing Series 27, Remote Sensing Laboratories RSL, University of Zurich, Zurich, Switzerland.
38
Dónde:
R2 = medida de la eficiencia del modelo
Qi = caudal diario medido
Q'i = caudal diario simulado
Q = caudal medio del período de simulación
n = número de valores de caudal diario
Dv = porcentaje de diferencia entre volumen medido y simulado (%)
VR = volumen de escorrentía medido
V'R = volumen de escorrentía simulado
Además de las variables de entrada es necesario disponer de la curva área-
altura de la cuenca. Otras características de la cuenca (área de bosque,
condiciones del suelo, datos históricos de precipitación y caudal) pueden ayudar
a determinar los parámetros del modelo.
El modelo SRM se puede usar para los siguientes propósitos:
Simulación del caudal diario durante el período de fusión, para uno o
varios años consecutivos. Los resultados pueden ser comparados con el
caudal medido para evaluar la simulación y para verificarlos parámetros
utilizados. Las simulaciones sirven también para evaluar patrones de
caudal de cuencas sin mediciones, usando teledetección con satélites
para la superficie de nieve y extrapolando temperaturas y precipitación de
estaciones cercanas44.
Predicciones a corto plazo y estacionales. El programa para PC (Micro-
SRM) incluye la generación de las curvas de agotamiento modificadas
(modified depletion curves) que relacionan el área cubierta de nieve con
el espesor acumulado de nieve fundida según los cálculos del modelo.
Esas curvas permiten al usuario extrapolar manualmente la cobertura de
nieve varios días hacia el futuro usando predicciones de temperatura, de
modo que la variable cobertura de nieve está disponible para realizar
44Buchhändlervereins Verlag des Schweizerischen (1996), Das Sc hweizer Buch, Número 20, la Universidad de Virginia, Digitalizado 11 febrero 2011.
39
predicciones de caudal. Las predicciones del modelo dependen a su vez
de las predicciones de temperatura ambiente y precipitación pero se
pueden reducir imprecisiones actualizando periódicamente estas últimas.
En los últimos años el modelo SRM fue aplicado a la nueva tarea de
evaluar el efecto de un posible cambio climático sobre la cobertura de
nieve y caudales estacionales. El programa para PC fue ampliado para
esta tarea.
1.6 ESTRUCTURA DEL MODELO
El modelo calcula la cantidad diaria de agua procedente la lluvia. Esta cantidad se añade al caudal de recesión para obtener el caudal total diario según la siguiente ecuación:
𝑄𝑛+1 = [𝐶𝑆𝑛𝐴𝑛(𝑇𝑛 + ∆𝑇𝑛)𝑆𝑛 + 𝐶𝑅𝑛𝑃𝑛]𝐴∗10000
86400(1 − 𝐾𝑛+1) + 𝑄𝑛Kn+1 (1-31)
Donde:
Q= caudal medio diario [𝑚3 𝑠 ⁄ ] c= coeficiente de escorrentía, considera las pérdidas como un cociente
(escorrentía/precipitación), con 𝑐𝑆 referido a fusión de nieve y 𝑐𝑅 referido a lluvia. a= factor de grados-día [𝑐𝑚 𝑜 𝐶 − 1 𝑑 − 1], indica el espesor de nieve fundida debido a un grado-día.
T= número de grados-día [°𝐶𝑑]. ΔT = ajuste de grados-día mediante la razón de variación de temperatura (lapse rate), cuando se extrapolan temperaturas desde una estación de referencia a una
zona de elevación [𝑜𝐶 𝑑]. S= cociente del área cubierta de nieve al área total.
P= aportación de la precipitación [𝑐𝑚]. La temperatura crítica 𝑇𝐶𝑅𝐼𝑇 determina cuando esta aportación es en forma de lluvia e inmediata. En caso de ser nieve nueva, se almacena hasta que se reúnan las condiciones de fusión.
A= área de la cuenca o zona 𝐾𝑚2. k= coeficiente de recesión, indica el decremento del caudal en ausencia de aportaciones de lluvia o fusión de nieve:
40
𝑘 =𝑄𝑛+1
𝑄𝑚 (1-32)
(𝑚,𝑚 + 1 Son días consecutivos de un período de recesión)
n = secuencia de días durante el período de cálculo de caudal. La ecuación (1-31) considera un tiempo de retraso (time lag) de 18 horas entre el ciclo diario de temperatura y el ciclo de caudal resultante, de modo que los grados-día registrados
el día n se traducen en caudal del día 𝑛 + 1. Se pueden introducir diferentes tiempos de retraso mediante una sub-rutina.
10000
86400= 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑚. 𝑘𝑚2𝑑−1 𝑎 𝑚3s−1 (1-33)
Las variables T, S y P han de ser medidas o determinadas a diario. Los parámetros
𝐶𝑅 , 𝐶𝑆 , la razón de variación (lapse rate) para hallar ∆𝑇, 𝑇𝐶𝑅𝐼𝑇, k y el tiempo de retraso (lag time) son todos ellos característicos de una cuenca particular o, más en general, de un clima particular.
1.6.1 SARMA – Modelos no estacionarios estacionales.
Los modelos estacionales autorregresivos de media móvil – SARMA, tienen el
mismo proceso que los modelos ARMA, lo que los diferencia es la incorporación del
término estacional, dando paso a modelos ARMA estacionales no-estacionarios
(SARMA). Estos modelos analizados por Box - Jenkins (1976), son usados
frecuentemente por series de tiempo estacionales45.
Los modelos SARMA se diferencian de los ARMA en que46.
a) Los ARMA se aplican a series estacionarias, mientras que los SARMA admiten
series no estacionarias, como sucede en este caso.
b) En los SARMA el desfase es coincidente con la frecuencia de los datos.
c) Los SARMA se aplican a series con estacionalidad, mientras que los ARMA no
se pueden aplicar a este tipo de series.
45 Bowerman, O'Connell, & Koehle (2004) Forecasting, time series, and regression: An applied approach (4th ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. 46 https://www.uam.es/docencia/predysim/prediccion_unidad3/3_test_preg.pdf
41
d) En los SARMA además de estacionariedad las series son estacionales.
Se dice que una serie es estacional cuando su media no es constante en el tiempo
y varia de forma periódica o cíclica, donde la estacionalidad es de “s” periodos47.
Los modelos SARMA pueden tener un gran número de parámetros y combinaciones
de ellos.
SARMA (𝑝, 𝑞⏟)𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑅𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
× (𝑃, 𝑄⏟)𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
𝑠=12 (1-34)
𝜙(𝐵)Φ(𝐵𝑠)𝑧𝑡 = 𝜃(𝐵)Θ(𝐵𝑠)𝑎𝑡 (1-35)
Donde
B es el operador de retardos ( 𝐵𝑧𝑡 = 𝑧𝑡−1 ).
𝑠 Es el periodo estacional.
𝜙(𝐵) = (1 − 𝜙1𝐵 −⋯− 𝜙𝑝𝐵𝑝), operador autorregresivo no estacional (AR). (1-36)
Φ(𝐵𝑠) = (1 − Φ1𝐵𝑠 −⋯−Φ𝑃𝐵
𝑃𝑠), operador autorregresivo estacional (AR). (1-37)
𝜃(𝐵) = (1 − 𝜃1𝐵 +⋯+ 𝜃𝑞𝐵𝑞), operador de media móvil no estacional (MA). (1-38)
Θ(𝐵𝑠) = (1 − Θ1𝐵𝑠 +⋯+ Θ𝑄𝐵
𝑄𝑠), operador estacional de media móvil (MA). (1-39)
Este tipo de procesos tiene las siguientes características:
Contienen una componente ARMA (P, Q) que modeliza la dependencia estacional,
asociada a observaciones separadas por 𝑠 periodos.
AR: Orden del autorregresivo regular p.
MA: Orden de la media móvil regular q.
SAR: Orden del autorregresivo estacional P.
SMA: Orden de la media móvil estacional Q.
47 En Línea, http://www.etsii.upm.es/ingor/estadistica/Carol/SeriesUNIV_MIO_MP.pdf
42
2 Identificación de los modelos SARMA
En primer lugar se comienza por la identificación a priori del modelo, a partir de las
observaciones de los gráficos de autocorrelación simple y parcial, se observa cuáles
pueden ser los valores más aceptables para (p, q) (P, Q).
Figura 4 Diagrama del proceso de identificación de parámetros para modelos SARMA.
Fuente: Propia.
No Si
Serie Observada
Identificación del modelo SARMA estacional (p, q) (P, Q)
*Transformaciones
*Selección (p, q) (P, Q)
Validación del modelo
Análisis de la
estructura.
¿Es
adecuado el
modelo?
43
2. CAPÍTULO II - Metodología.
2.2. Área de estudio subcuenca media del río Garagoa.
El diagnóstico a continuación, busca a partir de datos e información básica generar
conocimiento y caracterizar el territorio a estudiar en sus distintos aspectos
biofísicos; que establecen el estado, las tendencias y las posibilidades del
comportamiento del mismo.
El área de estudio está comprendida aproximadamente entre las longitudes 73° 26’
42.00” O y 73° 17’ 26.44” O latitudes 5° 3’ 5.54” N y 5° 8’ 13.76” (subcuenca meda
del río Garagoa) es mostrada en la Figura 5. El período de estudio comprende del
año 1976 a 2011, Se usaron registros de 30 o más años continuos de precipitación
y caudal distribuidos en toda el área48.
Los datos de caudal y precipitación de la subcuenca media del Río Garagoa en la
jurisdicción de la corporación autónoma regional de chivor - CORPOCHIVOR, entre
los municipios de Garagoa, Chinavita, Tenza y Pachavita.
Un segundo aspecto de interés es la torrencialidad y los riesgos asociados. Dadas
las pendientes fuertes de la cuenca y los intensos eventos de precipitación
propiciados por la altitud del área, sumado a la alteración de los taludes y rondas,
hay problemas y fenómenos asociados a crecientes; esto puede afectar ciertas
zonas alejadas de los ejes de drenaje, limitado por desbordamientos de duraciones
muy cortas.
48 UNAL, Pomca, 2005, Componente Hidrológico, Plan de ordenación y manejo ambiental de la cuenca del rio Garagoa Corpochivor - Corpoboyaca – CAR, universidad Nacional de Colombia – Instituto de Estudios Ambientales.
44
Figura 5 Localización del área de estudio. DEM - ASTER (MODELO DIGITAL DE ELEVACION 30 MTS).
Fuente: NASA - http://earthdata.nasa.gov/. Software usado para visualizar el producto – Qgis
El área presenta drenajes que aportan agua a su cauce en el tramo de estudio; con
fuertes escorrentías superficiales que arrastran gran cantidad de material
deleznable durante las épocas de lluvias, debido a la abrupta topografía;
produciendo súbitas crecientes, socavando permanentemente los taludes y lechos
o cauces de los ríos.
Toda la subcuenca baja está influenciada por las corrientes de aire que fluyen desde
los Llanos orientales inducidas por los vientos Alisios; su intensificación es
producida por efectos de la circulación valle-montaña que ocasiona fuertes
precipitaciones durante las horas del día y nieblas durante las horas de la noche.
45
Figura 6 Cuenca hidrográfica del río Garagoa.
Fuente: Corpochivor - ajuste del Plan de Ordenación y Manejo de la Cuenca adoptado en el año 2006.
46
2.3. Materiales
2.3.1 Datos de precipitación.
Los datos de precipitación fueron obtenidos a través de las estaciones
pluviométricas del instituto de hidrología y meteorología y estudios ambientales
(IDEAM), por medio de la Corporación Autónoma de Chivor Corpochivor,
disponiendo de 4 de estas, distribuidas en la cuenca hidrográfica del rio Garagoa.
Estos datos de precipitación tienen un rango de tiempo entre enero de 1976 y enero
de 2011 con una frecuencia mensual.
Tabla 1 Estaciones
Años Código Nombre de Estación Tipo de estación
(1955-2012) 3507 Chinavita Precipitación (mm)
(1959-2012) 3508 Garagoa Precipitación (mm)
(1976-2012) 3521 Pachavita Precipitación (mm)
(1979-2000) 3520 El Caracol Caudal (m3/s) Fuente propia
2.3.2 MDT
Uno de los elementos básicos de cualquier representación digital de la superficie
terrestre son los Modelos Digitales de Terreno (MDT). Constituyen la base para un
gran número de aplicaciones en ciencias de la Tierra, ambientales e ingenierías de
diverso tipo. Se denomina MDT al conjunto de capas (generalmente raster) que
representan distintas características de la superficie terrestre derivadas de una capa
de elevaciones a la que se denomina Modelo Digital de Elevaciones (MDE). Aunque
algunas definiciones incluyen dentro de los MDT prácticamente cualquier variable
cuantitativa regionalizada, aquí se prefiere limitar el MDT al conjunto de capas
derivadas del MDE.
Las variables incluidas en un MDT son factores de gran importancia en un gran
número de procesos ambientales (precipitación, flujos hídricos, erosión, etc.) por
tanto van a ser un elemento clave a la hora de estimar otras variables.
La magnitud del área subsidiaria de una celda del MDE está directamente
relacionada con el caudal máximo potencial, CMP, en el mismo. En efecto, el caudal
47
que puede circular en un momento dado en un punto del terreno depende, entre
otros factores, de la magnitud del área subsidiaria, de las precipitaciones sobre ella
y de la pendiente de la zona, que permite la circulación con menor o mayor rapidez.
En función de estos parámetros es posible simular el CMP en un modelo digital del
terreno.
Otra información de gran interés hidrológico directamente extraíble de un MDT son
las redes de drenaje. Para ello se parte de la hipótesis de que hay un valor umbral
de área subsidiaria por encima del cual el cauce en cuestión puede considerarse
como perteneciente a un cauce. Por tanto basta con reclasificar el mapa de áreas
subsidiarias para asignar un valor 1 a aquellas celdillas con área subsidiaria mayor
que dicho umbral y valor 0 o nulo a las restantes. Finalmente, si se quiere el mapa
de redes de drenaje en formato vectorial se deberá realizar el correspondiente
cambio de formato49.
2.3.3 Zonas de inundación
Por motivos de pérdidas humanas y económicas en el país debido a las temporadas
invernales generadas por factores como el fenómeno del niño y de la niña, en
CORPOCHIVOR mediante la modalidad de pasantía con estudiantes de Ingeniería
Catastral y Geodesia, se actualizaron 10 coberturas relacionadas con: Uso del
Suelo aplicando la metodología Corine Land Cover, Incendios Forestales,
Inundaciones, Remoción en Masa, Calidad del Agua, Minería, Toponimia, Curvas
de Nivel, Estaciones Climáticas y Zonas de Vida según metodología Holdreige
descrito en el informe de gestión de primer semestre de 201150.
Así mismo, se reiteró a los municipios la invitación para que suscriban convenios
interadministrativos con CORPOCHIVOR para la identificación del riesgo por
fenómenos naturales por inundación, incendios, remoción en masa y sísmica para
ser incorporados en los POT.
49 Felicísimo Angel M, Introducción y aplicaciones en las ciencias ambientales, Modelos Digitales del Terreno, cap. 7. 50 (Ver en línea), informe de gestión de primer semestre de 2011, http://corpochivor.gov.co/sites/default/files/attach/info_gestion_1semestre2011.pdf
48
2.3.4 Software
2.2.4.1 Quantum GIS
QGIS (anteriormente conocido como "Quantum GIS") es una cruz-plataforma libre
y de código abierto de escritorio del sistema de información geográfica (SIG) de
aplicaciones que proporciona la visualización de datos, edición y capacidades de
análisis.
Similar a otro software de sistemas de información geográfica QGIS permite a los
usuarios crear mapas con muchas capas con diferentes proyecciones cartográficas.
Los mapas pueden ser montados en diferentes formatos y para distintos usos. QGIS
permite que los mapas que se componen de raster o capas. Los datos vectoriales
se almacenan ya sea como punto, línea o polígono-feature. Diferentes tipos de
imágenes de mapa de bits son compatibles y el software puede realizar la
georreferenciación de imágenes.
QGIS proporciona integración con otros paquetes de SIG de código abierto,
incluyendo PostGIS, GRASS, y MapServer para dar a los usuarios una amplia
funcionalidad. Plugins, escrito en Python o C ++, se extienden las capacidades de
QGIS. Existen plugins para geocodificar utilizando la API de Google
geocodificación, para realizar geoprocesamiento (fTools) similares a las
herramientas estándar que se encuentran en ArcGIS, y para interactuar con
PostgreSQL/PostGIS, SpatiaLite y MySQL bases de datos.
2.2.4.2 R Project
El software para la manipulación, análisis y modelado estadístico será el programa
R versión 3.1.3, R es un lenguaje de programación y entorno de software para el
cálculo estadístico y gráficos. El lenguaje R es ampliamente utilizado entre
los estadísticos y de datos mineros para el desarrollo de software estadístico y el
análisis de datos. Encuestas, encuestas de la minería de datos y estudios de las
bases de datos bibliográficas científicas muestran que la popularidad de R se ha
incrementado sustancialmente en los últimos años.
R es una implementación del lenguaje de programación R combinada con ámbito
léxico semántica inspirados en el esquema. R Fue creado por John Chambers ,
mientras que en los Laboratorios Bell. Hay algunas diferencias importantes, pero
gran parte del código escrito para R corre inalterada.
49
Figura 7 Esquema conceptual de la metodología propuesta para la estimación de la cota máxima de inundación.
Fuente: Propia.
2.3.5 Propuesta Metodológica
En el campo de las Geociencias, es común encontrar variables que se distribuyen
espacialmente. Por tanto, es necesario hacer un análisis de la metodología,
principalmente para revisar su aplicabilidad al área de estudio, de acuerdo a los
supuestos, restricciones y otras consideraciones que se plantean.
Se usaron procedimientos estadísticos para la estimación, a partir de un conjunto
de muestras o datos tomados de estaciones climatológicas distribuidas en el área
de dominio, donde se manifiesta el fenómeno a estudiar. Considerando que es
estadísticamente representativo de una realidad en busca de un fin y es,
proporcionar valores estimados en las zonas establecidas de interés.
De acuerdo a los lineamientos establecidos anteriormente, el desarrollo del proyecto
parte de considerar la identificación y definición de las variables a intervenir dentro
del fenómeno para la estimación de altura máxima que puede alcanzar un cuerpo
de agua, e incluso un análisis hidrológico del área de estudio.
50
Hidrológicamente, una cuenca funciona como un colector de precipitaciones, que
posteriormente se ven reflejados como escurrimientos51, y por ello, son punto de
partida para realizar el análisis que involucra las variables a participar dentro del
modelo.
Donde intervienen principalmente las siguientes:
Nivel del agua (h)
Pendiente superficial (i)
Escorrentía superficial (E-sup): Se produce cuando la intensidad de la lluvia excede
la capacidad de infiltración del suelo.
Caudal (Q)
Precipitación (P): Precipitación es el agua procedente de la atmósfera que cae sobre
la superficie terrestre.
Figura 8 Análisis del Proceso hidrológico – Escorrentía superficial.
Fuente: Propia.
Al realizar el análisis del fenómeno, tomando como referencia la figura 8; los factores
que se mencionan e intervienen en el proceso el cual busca estimar la altura o nivel
máximo del caudal, donde las variables externas que influyen en el aumento del
volumen del caudal serán parte del proceso y se incluirán en el modelo. Asimismo,
se realizó la relación matemática que existe entre estas variables.
51José Guadalupe Valtierra, Dr. Miguel Ángel Domínguez - Herramienta para la Caracterización Geomorfológica de Cuencas Hidrográficas-Centro Queretano de Recursos Naturales - Universidad Autónoma de Querétaro – pagina 3.
51
2.3.6 Relación matemática entre variables.
Como se ha señalado es sorprendente la poca información en aspectos hidrológicos
para este tipo de estudios; lo cual influyó en la decisión de las variables con que se
iba a trabajar y se contaba para el desarrollo del proyecto, junto a la modelación de
algunos procesos.
Por esta razón se inicia realizando una relación matemática entre caudal y altura o
nivel del cauce.
Partiendo de la definición de caudal, como el volumen de líquido que fluye en un
determinado tiempo.
𝑄 (𝑚3/𝑠𝑒𝑔) = ∆V / ∆t (2-40)
Donde
𝑄: Caudal.
∆V: variación de líquido o volumen que pasa por un conducto en determinado
intervalo de tiempo ∆t.
El caudal se puede denominar como el volumen total de agua, por lo tanto,
𝑉 = ∫ 𝑄𝑑𝑡𝑡
0 (2-41)
Donde
𝑉: Volumen total de agua.
Observando que el flujo de agua sobre un cauce natural no es permanente, pues el
comportamiento de clima transcurrido un período de tiempo ya sea mensual o anual
se ve afectado por fenómenos climáticos que indican alteraciones que se producen
en el régimen de lluvias en Colombia52 son explicadas en buena parte, por la
variabilidad climática interanual, relacionada con los fenómenos El Niño y La Niña,
los cuales han sido causa de sequías extremas y lluvias extraordinarias,
ocasionando un efecto negativo sobre el medio físico natural. El cual presenta
52José Edgar Montealegre Bocanegra - Modelo institucional del IDEAM sobre el efecto climático de los fenómenos El Niño y La Niña en Colombia, INSTITUTO DE HIDROLOGIA, METEOROLOGIA Y ESTUDIOS AMBIENTALES, IDEAM - Subdirección de Meteorología, Bogotá, D.C., Diciembre 31 de 2007, página 7.
52
cambios en sus características a lo largo del tiempo, por lo que se analiza el
comportamiento del cauce.
𝑉 = 𝐹𝑣 (𝑋, 𝑡) 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑. (2-42)
Q = Fq (X, t) Caudal. (2-43)
H = Fh (X, t) Altura. (2-44)
Por lo que las cotas alcanzadas por el agua en cualquier punto del cauce se
traducen en caudales mediante la siguiente relación:
Figura 9 Hidrogramas de curvas de caudal y altura o nivel del cauce versus el tiempo.
Fuente: http://www.h2ogeo.upc.es/ - AGUAS SUPERFICIALES. RÍOS Y AVENIDAS.
Esta relación se radica a partir de que la estación que lee los datos de caudal es
limnimétrica, que obtiene datos a partir del limnigrafo (instrumento de registro), el
cual se deduce la función:53
𝑄 = 𝑓(𝐻) (2-45)
Finalmente, a partir de la altura se evalúa el área inundable; como se observa en la
figura 10. Correspondiente a las secciones rellenas de color negro y verde. La
sección A es la que representa el área de la superficie bajo el agua.
Como el nivel de agua (H) no siempre es constante porque está limitado por la
cantidad de volumen o caudal que pasa por la sección; entonces C corresponde a:
53http://www.h2ogeo.upc.es/ - AGUAS SUPERFICIALES. RÍOS Y AVENIDAS – pagina 8.
53
∆𝐶 = 𝐴 + ∆𝐵 (2-46)
Dependiendo de la geometría del cauce y de la superficie por encima de la lámina
de agua o del tipo de superficie del mismo y de la pendiente.
Asimismo, la geometría de la sección queda reflejada como se ve en la línea
punteada de color rojo a continuación.
Figura 10 Sección transversal de la superficie por encima del cauce de un cuerpo de agua.
Fuente: Propia.
De aquí la importancia del uso del modelo digital de elevación (DEM), que nos
permite modelar el radio de la sección transversal por encima del cuerpo de agua.
54
3. CAPÍTULO III - Resultados
Disponer de información directa, como es el caso de parámetros con el cual se
intenta describir un fenómeno, pueden provenir de distintas fuentes encargadas de
la toma de datos, ya sean de laboratorio, mecánicas, etc.
Por esta razón las medidas directas de parámetros hidrogeológicos suelen ser
escasas y espacialmente dispersas. A este tipo de datos les llama información dura,
ya que su incertidumbre puede considerarse nula o despreciable.
El compromiso en la fase preparación inicial de los datos implican la compilación, análisis estadístico, integración e interpretación de información y datos previamente existentes, para generar a partir de allí conocimientos básicos necesarios que permitan establecer la relación entre las variables que intervendrán en el desarrollo del modelo. Para iniciar, se realizó el análisis de las variables de precipitación y el caudal medio mensual, ubicadas en la zona de la subcuenca del río; que principalmente toma
muestras de caudal en unidades de (𝒎𝟑 𝒔𝒆𝒈⁄ ) y precipitación en (𝒎.𝒎) por las estaciones de Garagoa, Chinavita y Pachavita, para los períodos entre 1976 a 2011.
3.1 Análisis de datos
El análisis de los datos establece que estos son un conjunto secuencial medidos en
el tiempo, por tanto esto es denominado Series de Tiempo. Las series de tiempo se
presentan en una variedad de áreas, que van desde la ingeniería a la economía.
Dado que, los datos son registros tomados a través del tiempo, estas observaciones
o datos registrados en un instante de tiempo son expresadas de la siguiente forma:
{x(t1), x(t2), ..., x(tn)} = {x(t) : t ϵ T ϵ R} con x(ti) (3-47)
Para empezar, se crearon archivos, las siguientes 4 estaciones, cada una con los
siguientes datos, X, Y, Cod, Tipo, Año, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre
Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Anual. Las estaciones
fueron:
55
Tabla 2 Estaciones estudio.
Años Código Nombre de Estación Tipo de estación
(1955-2012) 3507 Chinavita Precipitación (mm)
(1959-2012) 3508 Garagoa Precipitación (mm)
(1976-2012) 3521 Pachavita Precipitación (mm)
(1979-2000) 3520 El Caracol Caudal (m3/s) Fuente propia
Gráfica 1 Serie Temporal de Caudal, estación Caracol.
Fuente: Propia.
Se analizó el comportamiento de la serie de datos de caudal en el tiempo y su
tendencia, gráfica 1, alcanzando unos picos muy altos durante los años 2005 –
2007; la línea roja indica que su media anual varía y tiende a aumentar, tomando el
nivel normal multianual un valor de aproximado entre 23 - 25 𝑚3/𝑠.
El estadístico presenta, para cada estación, un listado de las siguientes variables
estadísticas calculadas para la serie anual:
Número total de años con datos de cada estación
Número de años completos, es decir, con datos en todos los meses
Valor medio de toda la serie anual
Coeficiente de variación de la serie anual
Coeficiente de sesgo de la serie anual
Time
Ca
ud
al (m
3/s
)
1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
02
04
06
08
01
00
12
0
56
Las anteriores funciones fueron el resultado de las siguientes formulas:
Tabla 3 Calculo Estadísticos.
CÀLCULO DE ESTADÍSTICOS
Media 𝑚𝑥 =∑
𝑥𝑖𝑛
𝑛
𝑖=1
Coeficiente de variación 𝐶𝑉 =𝜎𝑥𝑚𝑥
Coeficiente de Sesgo CS=1
𝑛. ∑
(𝑥𝑖−𝑚𝑥)3
𝜎3𝑛𝑖=1
Fuente: Propia.
Tabla 4 Cálculo Estadísticos resultados.
Proyecto: Datos Proceso Tesis
Estadísticas
3 Estaciones
Estación Media CV CS
3507 130.52 67.85698 0.7787491
3508 111.69 67.69423 0.4964179
3521 120.59 79.06748 1.885407
3520 28.219 84.49932 1.240587 Fuente: Propia.
Gráfica 2 Análisis de descomposición de valores Mensuales de Promedios Multianuales de caudal (m3/s.)
Fuente: Propia.
01
23
4
da
ta
-1.0
0.0
1.0
sea
son
al
2.5
3.0
3.5
4.0
tre
nd
-1.5
-0.5
0.5
1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
rem
ain
de
r
time
57
Las series de tiempo como es el caso de los datos de caudal, se descomponen de
los datos de tendencia, comportamiento estacional, cíclico y un componente
irregular, tal como lo muestra la gráfica 2.
3.2 Completar de datos faltantes
Al analizar las series de precipitación y caudal contenidas para el estudio se observó
su irregularidad de algunos datos; esto dificulta enormemente su análisis y
tratamiento. Sin embargo, las observaciones contienen bastante información de
calidad como para formar a partir de ellas un conjunto de series suficiente para darle
desarrollo al objeto del trabajo, a pesar de los inconvenientes de trabajar con datos
proporcionados por estaciones, que con frecuencia presentan discontinuidades, lo
que se traduce en datos faltantes.
Cuando una o más observaciones faltan puede ser necesario estimar los valores
perdidos. E incluir los valores estimados de los valores que faltan, para una mejor
comprensión de la naturaleza de los datos, producto de una predicción más precisa.
Los datos nulos en un registro hecho por estaciones pueden completarse mediante
técnicas que combinen el conocimiento las variables meteorológicas, de sus
relaciones con las registradas en el entorno y de su relación con otras variables
registradas bajo las mismas condiciones. Para ello se puede hacer uso del
conocimiento físico de la variable y de sus relaciones; y de técnicas de interpolación
y estadísticas.
Existen distintos métodos de completar datos faltantes en series de tiempo, estos
son los que cumplen la condición, con la mejor calidad de completado54:
1. Aprovechando únicamente la información contenida en el resto de la propia
serie temporal. Métodos univariados.
2. En función de series de la misma variable registradas en otros puntos bajo
condiciones climáticas similares. Métodos multivariantes aplicados a una
única variable meteorológica.
3. Utilizando datos de otras variables meteorológicas, combinando variables y
series registradas en el mismo u otros puntos bajo condiciones climáticas
54 Técnicas de completado de series mensuales y aplicación al estudio de la influencia de la NAO en la distribución de la precipitación en España-pagina 7 - 2004.Trabajo para la obtención del Diploma de Estudios Avanzados (DEA). Programa de doctorado de Astronomía y Meteorología (Bienio 2002-2004)
58
similares. métodos multivariantes aplicados a varias variables
meteorológicas.
Se utilizó el método de interpolación, pues para completar los datos nulos en una
serie se utilizan los datos de una única serie y en este caso particular los datos de
la misma serie que se quiere completar. Proceso que se realizó utilizando el
software estadístico R, por medio del paquete [zoo, stinepack] que realiza métodos
de interpolación con funciones genéricas para reemplazar cada NA con los valores
interpolados.
Primero se identificaron los meses donde faltaban datos, a cada mes se le aplicó la
interpolación a partir de cada una de las siguientes funciones de interpolación y se
escogió la que arrojara el valor más adecuado donde se encuentra el dato faltante.
Los valores para las funciones de interpolación cúbica (splines) e interpolación
aproximada (approx) arrojaban valores negativos, lo cual no se comportan de
acuerdo a la naturaleza de los datos. Mientras que la interpolación Stineman
restringe el rango de la interpolación cercana de los puntos y suprime las
oscilaciones, conocida las características de la interpolación de splines y la
interpolación aproximada. Como resultado la función que mejores valores arrojaba
para cada uno de esos valores nulos o faltantes fue la realizada la interpolación de
Stineman - Tabla 6.
Tabla 5 Análisis general de los datos – software R Statistic.
AÑO.MES ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO
Min. :1974 Min. : 0.000 Min. : 0.000 Min. : 0.000 Min. : 0.00 Min. : 0.00 Min. : 0.00
1st Qu.:1983 1st Qu.: 3.483
1st Qu.: 2.707
1st Qu.: 3.177
1st Qu.: 7.56 1st Qu.:18.90 1st Qu.:33.92
Median :1992 Median :
5.013 Median :
4.049 Median :
5.113 Median :12.50
Median :25.32
Median :46.55
Mean :1992 Mean : 6.521
Mean : 5.476
Mean : 5.970
Mean :13.68
Mean :27.06
Mean :46.76
3rd Qu.:2001 3rd Qu.: 6.990
3rd Qu.: 6.496
3rd Qu.: 8.129
3rd Qu.:16.84
3rd Qu.:31.39
3rd Qu.:59.78
Max. :2011 Max.
:43.484 Max.
:33.250 Max.
:16.983 Max. :52.68 Max. :52.41 Max. :85.71
JULIO AGOSTO SEPTIEMBRE OCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE
Min. : 32.59 Min. : 24.36 Min. : 0.00 Min. : 0.00 Min. : 0.00 Min. : 0.000
1st Qu.: 44.77 1st Qu.: 42.16 1st Qu.: 23.89 1st Qu.: 22.51 1st Qu.: 16.44 1st Qu.: 8.255
Median : 58.14 Median : 52.03 Median : 29.68 Median : 27.03 Median : 24.71 Median :11.897
Mean : 62.00 Mean : 53.79 Mean : 32.77 Mean : 29.82 Mean : 27.39 Mean :14.166
3rd Qu.: 74.06 3rd Qu.: 65.21 3rd Qu.: 38.30 3rd Qu.: 34.28 3rd Qu.: 29.38 3rd Qu.:18.484
Max. :116.12 Max. :115.72 Max. :104.15 Max. :109.90 Max. :117.60 Max. :51.319
Fuente: Propia
59
Tabla 6 Método empleado para completar datos de caudal perdidos
Número Datos.caudal.febrero na.stinterp(datos.caudal.febrero)
1 4.56 4.56
2 2.71 2.71
3 4.00 4.00
4 3.48 3.48
5 2.27 2.27
6 1.95 1.95
7 3.66 3.66
8 4.51 4.51
9 4.73 4.73
10 3.99 3.99
11 2.49 2.49
12 1.78 1.78
13 4.98 4.98
14 4.58 4.58
15 2.47 2.47
16 3.73 3.73
17 3.92 3.92
18 2.61 2.61
19 3.77 3.77
20 7.34 7.34
21 6.87 6.87
22 6.49 6.49
23 8.04 8.04
24 8.51 8.51
25 6.51 6.51
26 8.84 8.84
27 6.24 6.24
28 4.48 4.48
29 NA 6.28
30 NA 11.06
31 16.93 16.93
32 33.25 33.25
33 2.05 2.05
34 3.22 3.22
35 7.12 7.12
36 4.05 4.05
37 6.50 6.50
Fuente: Propia software R Statistic.
60
A partir del completado de los datos, se analizó el comportamiento del promedio mensual de la precipitación observada en las tres (3) estaciones; presentando un comportamiento similar durante los meses del año. Los incrementos varían entre los meses de Abril – Octubre, donde los valores de precipitación alcanzan valores de los 124.2 mm hasta los 106.5 m.m aproximadamente para la estación de Garagoa como se observa en la Gráfica 3.
Lo anterior, infiere que dentro de cualquier estudio hidrológico es necesario conocer cuál es la precipitación en la toda la cuenca y no en puntos determinados que es la información que nos suministra las estaciones. Para conocer esta precipitación se dispone de una serie de estaciones distribuidas por la cuenca (con mayor o menor homogeneidad) que son únicamente una muestra de la precipitación que recibe la cuenca. Gráfica 3 Valores Mensuales de Promedios Multianuales de Precipitación (m.m.) –Estaciones de la zona de estudio.
CHINAVITA PACHAVITA GARAGOA
Fuente: Propia.
0,0
50,0
100,0
150,0
200,0
250,0
ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC
PR
ECIP
ITA
CIO
N (
mm
)
VALORES MENSUALES - MULTIANUALES DE PRECIPITACION (m.m.)ESTACIONES PM.
61
3.3 Estimación de Precipitaciones Medias del área de estudio
aplicando Polígonos de Thiessen. La precipitación es el componente principal de los caudales características de una cuenca, por lo tanto se presenta el cálculo de la precipitación media de la cuenca aplicando el método de Thiessen. Se estimaron las precipitaciones medias para el área de influencia definida para cada estación pluviométrica base, es decir, estaciones Garagoa, Chinavita y Pachavita. A continuación, se describe la superficie total para subcuenca en estudio y el área de influencia de cada estación. Las precipitaciones medias mensuales del área de estudio para la subcuenca del río Garagoa, se determinan de la siguiente manera:
𝑷𝒎 =𝟏𝟓,𝟕𝟗∗ 𝑷.𝑪𝒉𝒊𝒏𝒂𝒗𝒊𝒕𝒂+ 𝟐𝟒,𝟔𝟓 ∗ 𝑷𝑮𝒂𝒓𝒂𝒈𝒐𝒂+ 𝟐𝟖,𝟏𝟐 ∗ 𝑷𝑷𝒂𝒄𝒉𝒂𝒗𝒊𝒕𝒂
𝟐𝟐𝟎 (3.48)
Donde: Pm = Precipitación mensual del área (mm). PChinavita = Precipitación mensual estación de la estación Chinavita (mm). PGaragoa = Precipitación mensual estación de la estación Garagoa (mm). PPachavita = Precipitación mensual estación de la estación Pachavita (mm).
ESTACION Área (𝐊𝐦𝟐) Chinavita 15,79 Garagoa 24,65 Pachavita 28,12
Área total de la subcuenca 220 𝐊𝐦𝟐 Estaciones
Superficie representada (𝐊𝐦𝟐) Superficie Total Cuenca 220 Como resultado se observa que el área presenta un régimen de precipitación bien diferenciado, característico en el área de influencia de los efectos orográficos que presenta un régimen monomodal con un período de lluvia que se extiende desde abril hasta octubre. Los meses más lluviosos son junio y julio. Los meses más secos son enero y febrero, los cuales representan hasta 1/10 del total anual de precipitación.
62
Figura 11 Polígonos de Thiessen para las estaciones Chinavita, Garagoa y Pachavita de la subcuenca del río Garagoa.
Fuente: Propia.
63
3.4 Análisis de homogeneidad de los datos.
Realizando hidrogramas anuales, que muestran el registro del caudal y la precipitación en función del tiempo55; se observó que hay una relación en el comportamiento multianual, según los períodos en que se analizó la frecuencia de ocurrencia de las variables.
Gráfica 4 Relación del caudal y precipitación Promedio Multianual- la precipitación representada por el color rojo y el
caudal con color azul.
Fuente: Propia.
Siguiendo el comportamiento de las gráficas 6 y 7, se observa que los meses en que se presenta menor medida de caudal y la precipitación son (enero, febrero y marzo), infiriendo una semejanza en el comportamiento de la precipitación y caudal. En los meses de Abril, Mayo, Noviembre y Diciembre, son donde se presentan cambios estacionales en el ciclo hidrológico de la cuenca, pretendiendo regular el factor de la precipitación y caudal, debido a los ciclos climatológicos, indicando que en los meses de Abril, Mayo, Septiembre y Octubre son los que más se encuentran cerca a la media multianual.
55En línea, http://www.h2ogeo.upc.es/ - AGUAS SUPERFICIALES. RÍOS Y AVENIDAS
Realición multianual de las series Caudal - Precipitación neta del área
Años
1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
05
01
00
15
0
Caudal neto del área
Precipitación neta del área
64
Gráfica 5 Valor Mensual del Promedio Multianual de Caudal –Estación “El Caracol”.
Fuente: Propia.
En la gráfica 5 diagrama de tendencia temporal se muestra claramente el régimen
monomodal de los caudales (esto significa que tienen un máximo bien definido), sin
embargo se aprecia claramente que el río no disminuyen su caudal inmediatamente
después que comienzan las épocas de sequía, lo cual conlleva a pensar que los
acuíferos existentes en la región aumentan su volumen durante las épocas de
lluvias, suministrando sus excedentes de agua a los ríos inmediatamente después
que cesan las lluvias a través de escorrentías subsuperficiales y subterráneas.
La estación marca caudales máximos de aproximadamente 116 𝒎𝟑 𝒔𝒆𝒈⁄ ;
finalizando con los meses de Noviembre y Diciembre donde sigue en descenso el
nivel de caudal medido aunque en el mes de Noviembre presenta una anomalía del
comportamiento del caudal, superando el valor extremo registrado en el mes de
Julio, como se indica en el gráfico 7.
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
Cau
dal
(M
3/
Seg)
CAUDAL - ESTACION "EL CARACOL" PROM. MULTIANUAL ( 76 - 11)
65
Gráfica 6 Comportamiento de los datos Mensuales Multianuales de la Precipitación del área de la subcuenca del río Garagoa.
Fuente: Propia.
Gráfica 7 Comportamiento de los datos Mensuales Multianuales de Caudales –Estación “El Caracol”.
Fuente: Propia.
Por tanto, se parte de la influencia o relación que existe entre el comportamiento del caudal de la subcuenca y el factor precipitación expresada en las gráficas
Precipitación neta del área
MESES
Pre
cip
ita
ció
n (
mm
)
J F M A M J J A S O N D
05
01
00
15
0
Caudal del rio Garagoa
MESES
Ca
ud
al (m
3/s
)
J F M A M J J A S O N D
02
04
06
08
01
00
12
0
66
anteriores, realizando una clasificación por ciclos o períodos mensuales, con su respectiva descripción y tipo de clima plasmado en la tabla 7.
Tabla 7 Clasificación de los ciclos mensuales según la relación entre los histogramas de Precipitación y Caudal.
CICLOS MENSUALES DESCRIPCION EPOCA
ENERO, FEBRERO Y MARZO
MUY BAJOS NIVELES DE PRECIPITACION Y CAUDAL
SECO
ABRIL Y MAYO AUMENTOS EN PRECIPITACION Y CAUDAL SEMI-
HUMEDO
JUNIO, JULIO Y AGOSTO
MAXIMOS AUMENTOS EN PRECIPITACION Y CAUDAL
HUMEDO
SEPTIRMBRE Y OCTUBRE
DECRECIMIENTO EN PRECIPITACION Y CAUDAL
SEMI-HUMEDO
NOVIEMBRE Y DICIEMBRE
BAJOS NIVELES DE PRECIPITACION Y CAUDAL
SEMI-SECO
Fuente propia.
El análisis de la tabla 7, donde la dependencia entre caudal y el volumen generado,
se relaciona en la ecuación (1-37), deduciendo que los meses que se analizaran
para cumplir con el objeto del proyecto pertenecen al ciclo 3, donde se presentan
los mayores valores de precipitación y caudal.
3.5 Análisis de la estacionariedad de las series Para el análisis del comportamiento estacionario de las series, se realizara identificación de la estructura, donde se detecta si las series son estacionarias en media o presentan tendencia y estacionariedad en la varianza; con el fin conocer las razones o situaciones donde puede encontrarse con el incumplimiento de las hipótesis básicas que cumplen los supuestos de verificación de los errores en los modelos de regresión lineal. Tratandose de datos de series de tiempo climatologicas (caudal y precipitación) con un comportamiento periodico mensual multianual, encontramos datos de corte transversal que no suelen tener un comportamiento homogéneo – gráfica 8. Modelando este tipo de datos es comun encontran perturbaciones heteroscedásticas y con correlación en los errores, este ultimo supuesto se cumple cuando las observaciones son tomadas secuencialmente en el tiempo56. Al analizar las gráficas de función de autocorrelación simple y parcial, que permiten
identificar el tipo de modelo y el número de coeficientes o parametros a estimar
56Gerardo Ramírez Arellano (2005), Introducción a la econometría, Editor UACJ, ISBN9687845708, 9789687845708.
67
según metodología Box-Jenkins57. La autocorrelación parcial de orden k es una
medida de la relación lineal entre las observaciones separadas por k periodos58,
independientemente de los valores intermedios. Toma valores entre -1 y 1. El cero
indica que no hay relación.
Gráfica 8 Comportamiento de la precipitación mensual multianual
Fuente propia.
En el gráfico 9, se identifican claramente algunos cambios repentinos en la variación
de los datos en el tiempo, especialmente el crecimiento del caudal en los años
2005/2007 y en los años 1979/1980 para la serie de precipitación; estos
comportamientos anomalos suelen influenciarce al factor del cambio climatico o
errores en la medición de las estaciones y el grafico de autocorrelación simple ACF
muestra claramente la periodicidad de cada una de las series
57 Walter Vandaele (1983), Applied time series and Box-Jenkins models, Editor Academic Press, ISBN 0127126503, 9780127126500. 58 Hernández José Alonso, Javier Zúñiga Rodríguez (2013), Modelos econométricos para el análisis económico, Libros profesionales de empresa, Editor ESIC Editorial, ISBN 8473568923, 9788473568920.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
01
00
20
03
00
Precipitación mensual multianual
Meses
Pre
cip
ita
ció
n m
.m
68
Gráfica 9 Correlogramas series de precipitación y caudal
Fuente propia.
En este caso, se vemos que hay correlaciones positivas y negativas signicativas
entre un mes y los meses más próximos (1 y 2 retardos) y el mismo mes al siguiente
año. Esto quiere decir que cada año en el t=12 la correlación es alta.
Las líneas discontínuas representan el valor por encima del cual la correlación es
significativa. Esto permite inferir que los datos son claramente no estacionarios,
pues en el grafico de autocorrelación simple ACF la serie se comporta de forma
ciclica, fluctuando arriba y abajo por largos períodos, indicando que la media es
inestable por estacionalidad.
69
En la gráfica 10, se evidencia que existe un comportamiento no homogeneo en la
varianza de la relación lineal entre el caudal y la precipitación, mostrando que la
varianza aumenta a medida que el caudal y la precipitación aumentan; a este
comportamiento se le conoce como heterocedasticidad59 e implica el incumplimiento
de una de las hipótesis básicas de los modelos de regresión lineal.
𝑉𝑎𝑟(𝑢𝑖) = 𝜎2
Lo que implica que la recta de regresión del caudal que es la variable dependiente
(Caudal), respecto a la variable explicativa (precipitación) como variable
independiente, representará con igual precisión la relación entre la precipitación y
el caudal independientemente de los valores de la precipitación.
Gráfica 10 Modelo lineal de las series caudal y precipitación.
Fuente propia.
De igual forma se procede a analizar la varabilidad periodica de las variables, como
de observa en la siguiente gráfica.
59 Morales Enríquez Efraín, Introduccion a la Econometria, Editor Editorial Abya Yala, ISBN 9978221735, 9789978221730.
70
Gráfica 11 correlograma. Residuos del modelo lineal.
Fuente propia.
Encontrando que estos reaccionaban de una forma diferente ante las funciones de
autocorrelación, donde los datos de caudal y precipitación ante la función de
autocorrelación (ACF) y autocorrelación parcial (PACF) cambia notablemente su
comportamiento, indicando la un decrecimiento lento de la correlación que se van
amortiguando a lo largo del tiempo para la serie de caudal. Las gráficas analizadas
71
anteriormente evidencian problemas de falta de estacionariedad en varianza, lo cual
es importante tratar de estabilizar las series.
3.6 Identificación de la estructura estacionaria de una serie
Para detectar qué transformaciones se aplican, y asi conseguir una media y varianza constantes, es conviene aplicar el siguiente esquema:
Gráfica 12 Diagrama o representación gráfica del proceso de análisis de series de tiempo
Fuente Propia.
Como se analizó anteriormente, las series tratadas por ser datos que describen
variables climatologicas poseen problemas de estacionariedad en varianza,
encontrando no homogenidad debido a la variabilidad de los cambios climaticos
presentes en la naturaleza.
El diagrama de análisis de series de la gráfica 12, indica que el ajuste que se debe
aplicar a las series para este caso en especial, es el que sigue los recuadros con
color y que procede al ajuste de la varianza por transformación Box-Cox para
estabilizar las series que intervienen en el modelo. Se decide aplicar la
Análisis de serie
Series estacionarias en
media
Aplicar diferenciación
Serie estacionarias en
varianza
Aplicar Transformación
Box Cox
Continuamos con la serie
diferenciada.
continuamos con la serie
inicial.
Serie estacionarias en
varianza
Aplicar Transformación
Box Cox
continuamos con la serie
inicial.
72
trasformación Box-Cox por que esta permite mejorar la aproximación a la
normalidad o mejorar la linealidad en los valores predichos60.
La función de transformación es difinida como continua y varía con respecto a la
potencia de lambda (λ) donde para todos los 𝑦𝑖 = 𝑦𝑖λ, de la siguiente forma61:
𝑦𝑖λ = {
log(𝑦𝑡) si 𝜆 = 0𝑦𝑡𝜆−1
𝜆 si 𝜆 ≠ 0
(3-49)
El lambda (λ) calculado para la serie caudal es de 0.02 siendo el que logra la
transformación, acercandoce al maximo en un 95% de los datos del modelo. Para
la serie de precipitación el lambda (λ) es de 0.16, como se observa a continuación.
Al estabilizar los valores de la serie caudal y precipitación y ademas
relacionandolos, estos se comportan de la siguiente manera:
Gráfica 13 Modelo lineal de las series estandarizadas caudal y precipitación (Transformación Box-Cox)
Fuente propia.
60 Victor M. Guerrero and Richard A. Johnson (1979), Use of Box-Cox Transformation with Binary Response Models, WISCONSIN UNIV-MADISON DEPT OF STATISTICS., Editor Defense Technical Information Center. 61 Hrishikesh D. Vinod (2008), Título Hands-on Intermediate Econometrics Using R: Templates for Extending Dozens of Practical Examples, Editor World Scientific, ISBN 9812818855, 9789812818850.
2 3 4 5 6
01
23
45
67
Precipitación transformado - BoxCox
Ca
ud
al tr
an
sfo
rma
do
- B
oxC
ox
Regresión lineal
73
Según el diagrama de dispersión se obtenie un mejor comportamiento o ajuste lineal
que modela la relación directa entre la variable dependiente (caudal) y la variable
independiente (precipitación) sobre la linea regresora.
Al realizar el modelo de regresión lineal de las variables transformadas o
estandarizadas, se realiza el diagnóstico de incorrelación y normalidad de los
errores mediante los siguientes procedimientos gráficos:
Gráfica 14 Análisis de los residuos del modelo lineal con transformación Box-Cox
Fuente propia.
El diagrama de dispersión de los valores pronosticados por el modelo y los residuos
del mismo, muestra la presencia de varianzas homogéneas; el grafico de
probabilidad normal los puntos no se encuentran en su totalidad alineados sobre la
linea regresora lo cual nos indica el posible incumplimiento del supuesto de
normalidad.
1 2 3 4 5 6
-20
24
Fitted values
Resid
uals
Residuals vs Fitted
360
424100
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2
-10
12
34
Theoretical Quantiles
Sta
ndard
ized r
esid
uals
Normal Q-Q
360
424100
1 2 3 4 5 6
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Fitted values
Sta
ndard
ized r
esid
uals
Scale-Location360
424100
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020
-20
24
Leverage
Sta
ndard
ized r
esid
uals
Cook's distance
Residuals vs Leverage
360
301168
74
3.7 ANALSIS TENDENCIAL
De acuerdo a la metodología Box-Jenkins, es importante analizar si la serie posee
tendencia o muestra cambios de nivel en la media, para estabilizar la media de la
serie puede ser necesario aplicar diferencias regulares y estacionales62. Por lo
tanto, se procede a la aplicación de la estandarización de las series por medio de la
diferenciación regular y/o estacional de los valores obtenidos del modelo anterior y
se comprueba por medio de correlogramas si la serie presenta estacionariedad.
En el análisis del correlograma, se observa que los residuos del modelo están
correlacionados e incumplen la hipótesis de no correlación de los residuos para
modelos lineales. Además, estos no proporcionan un modelo claro y sencillo,
sugiriendo la necesidad algunos rezagos 1, 2 3 y tal vez 12 o menos. Como se
observa a continuación:
Gráfica 15 Correlograma. Residuos del modelo lineal (Transformación Box-Cox)
Fuente propia.
62 Hernández José Alonso (2007), Análisis de series temporales económicas: modelos ARIMA, Cuadernos de trabajo, Libros Profesionales de Empresa, Editor ESIC Editorial, ISBN 8473564960, 9788473564960.
Residuales del modelo de regresión lineal con transformación Box-Cox
0 100 200 300 400
-3-1
01
23
4
0 5 10 15 20 25
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
Lag
AC
F
0 5 10 15 20 25
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
Lag
PA
CF
75
Gráfica 16 Diferenciación de los residuos de la serie modelada
Fuente propia.
Después de haber diferenciado las series, se percibe que las series presentan
oscilaciones de nivel o periodicidad inferior a la anual como lo indica la gráfica 8,
donde su periodicidad es mensual (s = 12), no muestran crecimiento y no presentan
una media constante. Lo cual no se necesita aplicar diferenciación para estabilizar
la tendencia; por el contrario, en la gráfica 16 muestra que dichos residuos de la
serie modelada obedecen a la combinación de procesos autorregresivos y de media
móvil ARMA (p,q). Todo esto encaminado a que los residuos de la serie puede ser
relacionados a traves de un modelo estacional.
0 5 10 15 20 25
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Primera diferenciación - residuales del modelo
Lag
AC
F
0 5 10 15 20 25
-0.4
-0.2
0.0
0.2
Segunda diferenciación - residuales del modelo
Lag
AC
F
0 5 10 15 20 25
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
Lag
Pa
rtia
l A
CF
Auto correlación Parcial-Primera diferenciación
0 5 10 15 20 25
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
Lag
Pa
rtia
l A
CF
Auto correlación Parcial-Segunda diferenciación
76
3.8 Análisis de Cointegración.
La cointegración estadística determina o detecta relaciones estacionarias o de largo plazo, de series con tendencias estocásticas. En esencia, se trata de encontrar combinaciones lineales estacionarias de las dos series. El modelo lineal construido, se fuerza a una intercepción A igual a cero y luego se extrae el primer coeficiente de regresión del modelo.
𝒚𝒊 = 𝑨(𝟎) + 𝜷𝒙𝒊 + 𝜺𝒊 (3-50)
A continuación, se realizó el cálculo que pone a prueba la propagación de una raíz unitaria.63
𝑺 = 𝒚 − (𝜷 × 𝒙) (3-51)
Donde 𝜷 es el ratio de cobertura y lo que se pretende es encontrar el valor de 𝜷 que mejor se ajuste a esta ecuación.
El valor de 𝜷 encontrado es:
𝜷 = 0.7282 Al aplicar la prueba de Dickey-Fuller, que es una prueba estadística básica de una raíz unitaria, que pondrá a prueba las dos series en cuanto a su integración, devolviendo el p-valor que indica la probabilidad de correlación entre estas series. El p-valor hallado es 0.01, Por tanto existe cointegración del promedio mensual de la precipitación y el caudal observado. A continuación se observa el comportamiento de las dos variables en función del tiempo; gráficos del 17 al 19 muestran en color rojo la precipitación y en color azul el caudal. Las gráficas muestran que existen momentos en que tienden a tomar el mismo comportamiento, donde en las tres gráficas a continuación, que representan los meses de junio julio y agosto, se observa que en 1980 se presentan los niveles más altos de precipitación, mientras que los niveles más altos de caudal se dan en los años 1997 y 2006 en el mes de Julio.
63GUISÁN M. Carmen (2002), CAUSALIDAD Y COINTEGRACION EN MODELOS ECONOMETRICOS: Aplicaciones a los países de la OCDE y limitaciones de los tests de cointegración, Universidad de Santiago de Compostela (Spain)
77
Gráfica 17 Análisis de correlación para la precipitación y caudal en el tercer ciclo “Húmedo”.
Fuente: Propia.
Gráfica 18 Análisis de correlación para la precipitación y caudal en el tercer ciclo “Húmedo”.
Fuente: Propia.
Realición multianual Caudal - Precipitación neta del área mes de Junio
Time
1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
20
40
60
80
10
0
Realición multianual Caudal - Precipitación neta del área mes de Julio
Time
1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
40
60
80
10
0
78
Gráfica 19 Análisis de correlación para la precipitación y caudal en el tercer ciclo “Húmedo”.
Fuente: Propia.
3.9 Análisis de los datos de precipitación respecto a los
fenómenos del niño y la niña.
Para llevar a cabo el trabajo se analizan las series de precipitaciones mensuales,
correspondientes a la serie trimestral del Oceanic Niño Index (ONI) (NOAA, 2005),
al período 1976-2012.
Se utiliza el Índice de Precipitación Estandarizado (SPI) como indicador de la
intensidad del déficit o exceso de precipitación; su cálculo se basa en la
normalización y estandarización de una serie de precipitaciones histórica para
distintas escalas de tiempo.
Modelando este tipo de datos es comun encontran perturbaciones heteroscedásticas y con correlación en los errores, este ultimo supuesto se cumple cuando las observaciones son tomadas secuencialmente en el tiempo64.
64Gerardo Ramírez Arellano (2005), Introducción a la econometría, Editor UACJ, ISBN9687845708, 9789687845708.
Realición multianual Caudal - Precipitación neta del área mes de Agosto
Time
1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
20
40
60
80
10
01
20
14
0
79
Al analizar las gráficas de función de autocorrelación simple y parcial, que permiten
identificar el tipo de modelo y el número de coeficientes o parametros a estimar
según metodología Box-Jenkins65. La autocorrelación parcial de orden k es una
medida de la relación lineal entre las observaciones separadas por k periodos66,
independientemente de los valores intermedios. Toma valores entre -1 y 1. El cero
indica que no hay relación.
3.9.1 Cálculo del índice de estandarización de la precipitación.
El estudio de la variabilidad de la precipitación se realizó basándose en el análisis
de las series de un índice de precipitación estacional, el cual se calculó de la
siguiente forma:
SPI =P− P̅𝑚
𝑠 (3-52)
Donde:
SPI – Índice de precipitación; P̅𝑚 – promedio multianual de precipitación para el
período 1976-2012; 𝑠 - desviación estándar de la serie de precipitación, esto
conforme a la trasformación de la distribución de la precipitación a una
normalización o estandarización de la misma 𝑃~𝑁(𝜇, 𝜎) en una 𝑁(0, 1).
La comparación de la variabilidad interanual del SPI con las oscilaciones del ONI permite establecer una relación inversa: a fases positivas del ONI corresponden fases negativas de la variabilidad interanual del SPI y viceversa. Esto significa que bajo condiciones de fenómeno El Niño (valores positivos altos del ONI) se disminuye la precipitación en la región y la influencia de La Niña (valores negativos de ONI) incrementa la precipitación regional. El índice de precipitación estandarizada fue calculado de forma mensual, trimestral,
semestral y anual en escalas de tiempo, como se observa a continuación de las
gráficas 20-23.
65 Walter Vandaele (1983), Applied time series and Box-Jenkins models, Editor Academic Press, ISBN 0127126503, 9780127126500. 66 Hernández José Alonso, Javier Zúñiga Rodríguez (2013), Modelos econométricos para el análisis económico, Libros profesionales de empresa, Editor ESIC Editorial, ISBN 8473568923, 9788473568920.
80
Gráfica 20 Cálculo del índice precipitación estandarizada mensual (SPI).
Fuente: Propia.
Gráfica 21 Cálculo del índice precipitación estandarizada trimestral (SPI).
Fuente: Propia.
Series 1
SP
I
1980 1990 2000 2010
-2-1
01
23
Series 1
SP
I
1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
-2-1
01
23
81
Gráfica 22 Cálculo del índice precipitación estandarizada semestral (SPI).
Fuente: Propia.
Gráfica 23 Cálculo del índice precipitación estandarizada anual (SPI).
Fuente: Propia.
Series 1
SP
I
1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
-2-1
01
23
4
Series 1
SP
I
1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
-2-1
01
23
4
82
Las gráficas de las serie de los índices de precipitación estandarizado (SPI) a nivel
trimestral y anual nos permite inferir el comportamiento de la precipitación y su
variabilidad interanual, donde es posible identificar a simple vista períodos escasos
de lluvia (predominio de valores negativos) o con lluvias abundantes (predominio de
valores positivos extremos) Esto demuestra que recurrentemente la región se ve
afectada por este tipo de anomalías climáticas.
Las épocas donde el índice denota mayor déficit de sequía es desde finales de 1980
y otro a principios 1990; las épocas donde se presentan un elevado aumento en la
humedad son en principios de 1980 y otro entre 1995 y 1998.
De acuerdo al valor alcanzado por el IPE67, determina las intensidades del déficit y
excesos de precipitación. En la tabla 8 se pueden observar las categorías
propuestas por el mencionado autor, utilizadas en este trabajo.
Tabla 8 Categorías de las anomalías de precipitación de acuerdo a los valores de IPE.
VALOR SPI CATEGORÍA
2,0 y más Extremadamente húmedo
1,5 a 1,99 Muy húmedo
1,0 a 1,49 Moderadamente húmedo
-0,99 a 0,99 Normal o aproximadamente normal
-1,0 a -1,49 Moderadamente seco
-1,5 a -1,99 Severamente seco
-2 y menos Extremadamente seco
Fuente: (McKee, 1993).
3.10 Análisis de Intervención – Valores Atípicos de la series de
tiempo
En los datos de las series de tiempo, a menudo experimentan cambios repentinos
que alteran la dinámica de los datos. La detección de valores atípicos es importante
debido a que si incluimos estos efectos en la serie podemos mejorar la precisión de
la estimación de los parámetros y de las predicciones.68
67 McKee, T. B., N. J. Doesken, and J. Kleist. 1993. The relationship of drought frequency and duration to times scales. In: 8th. Conference on Applied Climatology, Anaheim, California, U.S.A. pp: 179-184. 68
83
Un procedimiento automático descrito en la literatura para detectar valores atípicos
en series de tiempo y que se implementará para identificar los valores atípicos es
en el paquete tsoutliers del programa “R Statistic”.
Definamos y𝑡∗ como la serie objeto observado con m valores atípicos con pesos w.
En el procedimiento en primer lugar, se elige un modelo ARIMA, esto mediante el
proceso auto.arima; para la serie observada se escribe como:
y𝑡∗ =∑ 𝑤𝑗𝐿𝑗(𝐵)𝐼𝑗(𝑡𝑗) +
𝜃(𝐵)
𝜙(𝐵)𝛼(𝐵)𝑎𝑡
𝑚
𝑗=1 (3-53)
Los residuos estimados, los cuales están contaminados con los valores extremos,
vienen dadas por:
π(B)y𝑡∗ ≡ �̂�𝑡 =∑ 𝑤𝑗π(B)𝐿𝑗(𝐵)𝐼𝑡(𝑡𝑗) + 𝑎𝑡
𝑚
𝑗=1 (3-54)
Donde los coeficientes de la expansión en series de potencias
π(B) = ∑ π𝐵𝑡∞
𝑗=1 pueden ser determinados desde la relación:
π(B) =𝜙(𝐵)𝛼(𝐵)
𝜃(𝐵) (3-55)
De los cinco tipos de valores atípicos que fueron considerados como: "AO" valores
atípicos aditivos, "LS" cambios de nivel atípico, y "TC" atípico cambios transitorio;
"IO" valores atípicos innovativos y "SLS" cambios de nivel de temporada; se
identificó que la serie de datos de precipitación tiene los valores atípicos (Atípicos
Aditivos (AO), Atípico Cambio Transitorio (TC)).
84
Gráfica 24 Valores atípicos de precipitación (Según índice Atípico aditivo y cambio transitorio)
Fuente: Propia.
3.11 Determinación del Caudal de escorrentía.
Llevando a consideración el modelo conceptual desarrollado por la JICA69, que adopta como base la relación entre la precipitación media y la escorrentía o caudal total; esta relación, desarrollada en 1995 para cuencas en Chile donde se asume como hipótesis que el flujo subterráneo es nulo o poco significativo respecto al caudal superficial.
Qsalida = C + Ce ∗ Pcuenca (3.-56) Donde,
69 The Development of Water Resources in Northern Chile, JICA-DGA, PCI, 1995.
Original and adjusted series
05
01
00
15
0
Outlier effects
02
04
06
08
0
1980 1990 2000 2010
85
𝐐𝐬𝐚𝐥𝐢𝐝𝐚 Caudal medio superficial de salida de la cuenca o escorrentía total de largo
plazo.
𝑪𝒆 Coeficiente de escorrentía en la cuenca.
𝐏𝐜𝐮𝐞𝐧𝐜𝐚 Precipitación media anual de largo plazo en la cuenca.
𝑪𝒆 𝒚 𝑪 Coeficientes de ajuste lineal
De las variables que describen el caudal de salida y asumiendo que en la ecuación se ajustará a la ecuación del modelo de Fusión de Nieve - Escorrentía (SRM) (ecuación 46), de tal forma que se eliminan de la ecuación los parámetros que intervienen para el cálculo de la cantidad de agua que se deriva de la fusión de la nieve y se procede a dejarlo a la misma escala temporal en que se encuentran los datos, quedando la ecuación de la siguiente manera:
𝑄𝑚 = [𝐶𝑒 ∗ 𝑃] ∗𝐴∗10000
86.400 (3-57)
Integrando esto con el análisis estacional de las series, realizado anteriormente, se opta por implementar los modelos lineales con errores estacionales autorregresivos de media móvil (SARMA)
3.12 MODELO DE REGRESION LINEAL CON ERRORES-
ESTACIONALES – ARMA
Existe una extensión útil de los modelos ARMA, resultados de la utilización de una
función de media variable en el tiempo modelada a través de efectos de regresión
lineal. Claramente, se tiene que una ecuación de regresión lineal para una serie
temporal 𝑦𝑡 como70:
𝑦𝑡 = ∑ 𝛽𝑖𝑥𝑖𝑡 + 𝑧𝑡𝑖 (3-58)
Donde
𝑦𝑡 - Es la serie de tiempo dependiente, los
𝑥𝑖𝑡 - Son las variables de regresión o independientes;
𝛽𝑖 - Los parámetros de regresión del modelo.
70 Hernández José Alonso (2007), Análisis de series temporales económicas: modelos ARIMA, Cuadernos de trabajo, Libros Profesionales de Empresa, Editor ESIC Editorial, ISBN 8473564960, 9788473564960.
86
𝑧𝑡 - Es una variable estocástica que obedece un proceso estacional ARMA.
Por lo tanto, los 𝑧𝑡 son los errores de la regresión, expresándolo también en
términos de las variables que intervienen en la regresión como:
𝑧𝑡 = 𝑦𝑡 − ∑ 𝛽𝑖𝑥𝑖𝑡𝑖 (3.59)
En el análisis previo, se encontró que los datos presentan estacionalidad con
periodo mensual 𝑠 = 12; consecuentemente los errores 𝑧𝑡 se representarán como
un proceso estacional autorregresivo integrado de media móvil – SARMA (1-35).
Abordando el problema de la metodología estándar de regresión con los datos de
series de tiempo, que implica que los errores de la regresión no están
correlacionados en el tiempo.71
La combinación de las ecuaciones (1-35) y (3-58), se conocen como modelo de
regresión con errores ARMA, el modelo puede ser escrito en una sola ecuación
como:
𝜙(𝐵)Φ(𝐵𝑠)(𝑦𝑡− ∑ 𝛽
𝑖𝑥𝑖𝑡𝑖 ) = 𝜃(𝐵)Θ(𝐵𝑠)𝑎𝑡 (3-60)
En ese caso, lo primero que se debe tener en cuenta es eliminar los efectos de la
regresión o eliminados de 𝑦𝑡 para así obtener la media cero de la serie 𝑧𝑡.
(𝑦𝑡− ∑ 𝛽
𝑖𝑥𝑖𝑡𝑖 ) =
𝜃(𝐵)Θ(𝐵𝑠)
𝜙(𝐵)Φ(𝐵𝑠)𝑎𝑡 (3-61)
Luego los errores (𝑧𝑡) son diferenciados para transformarlos en una serie
estacionaria que sigue un proceso estacionario ARMA
𝑦𝑡 = ∑ 𝛽𝑖𝑖 𝑥𝑖𝑡 +𝜃(𝐵)Θ(𝐵𝑠)
𝜙(𝐵)Φ(𝐵𝑠)𝐷𝑎𝑡 (3-62)
𝑤𝑡 =𝜃(𝐵)Θ(𝐵𝑠)
𝜙(𝐵)Φ(𝐵𝑠)𝑎𝑡 (3-63)
71 Hernández José Alonso (2009), Análisis de series temporales económicas I, Título Análisis de series temporales económicas I Cuadernos de trabajo, Libros Profesionales de Empresa, Editor ESIC Editorial, ISBN 8473565819, 9788473565813.
87
Siendo 𝑤𝑡 son los errores diferenciados, que se comportan como ruido blanco,
caracterizado por el hecho de que sus valores no guardan correlación estadística72,
logrando así cumplir con los supuestos de los modelos de regresión lineal.
𝑦𝑡 = ∑ 𝛽𝑖𝑖 𝑥𝑖𝑡 +𝑤𝑡 (3-64)
3.13 Estimación de los parámetros del modelo
Partiendo del análisis realizado, se realizan diferentes tipos de modelos con
diferentes combinaciones de cada uno de los parámetros (p, q) (P, Q), hasta
encontrar aquellos que gráficamente no arrojen ningún tipo de significancia que
evidencien la existencia de correlación.
La función de autocorrelación simple generada anteriormente en la gráfica 9,
confirma la estacionalidad de las series en s = 12, donde la serie inicial mensual
muestra periodicidad estacional, haciendo referencia a la inclusión del
comportamiento estacional que hay que tomar para estacionarizar las series que
intervienen en el modelo73.
Se consideraron dentro de un amplio rango de modelos posibles. Por motivos
expresados anteriormente en los gráficos de las figuras de las autocorrelaciones y
de las autocorrelaciones parciales se propusieron diferentes modelos, de los cuales
algunos de los modelos generados fueron:
Tabla 9 Modelos con su respectivo criterio de selección.
Código Modelos AIC AICc BIC
a SARMA(3,0,0)(1,0,1)12 811.33 811.67 843.88
a1 SARMA (2,0,2)(2,0,2) 12*** 793.79 794.42 838.55
a2 SARMA (1,1,1), (1,1,2)12 935.69 936.03 968.24
a3 SARMA (2,0,1)(1,0,1)12 933.86 934.13 962.34
a4 SARMA(2,0,0)(1,0,1)12 935.41 935.84 972.03 Fuente propia. *** Indica el mejor modelo.
Por tanto, fue apropiado considerar un amplio rango de modelos posibles y elegir
entre ellos según el criterio información de Akaike corregido-AICc, apropiado según
72 Jaume Arnau Gras (2001), Diseños de series temporales: técnicas de análisis, Volumen 46 de UB Manuals Series, Editor Edicions Universitat Barcelona, 2001, ISBN 8483382504, 9788483382509, Pagina 89. 73 Montserrat Pepió Viñals (2009), Series Temporales, Editor Univ. Politèc. de Catalunya, Volumen 64 de Aula politécnica, ISBN 8483016362, 9788483016367.
88
metodología Box-Jenkins74 para prevenir sobre-estimación de los parámetros del
modelo. Para ello se debe encontrar el valor mínimo del AICc; una vez conseguido
el modelo es necesario revisar la bondad de ajuste del modelo, principalmente que
los residuos o errores del modelo se comporten como ruido blanco.
3.14 Validación de los residuales del modelo de regresión
estimado.
Una vez realizadas las estimaciones de los modelos, se procede a efectuar las fases
de verificación de los residuos del mejor modelo elegido, con el fin de evaluar si este
cumple con las hipótesis de un modelo de regresión lineal.
Empezando con el supuesto de Homocedasticidad de los residuos, en la gráfica 25,
se evidencia que existe un comportamiento homogeneo en la varianza de los
residuos del modelo frente a los valores encontrados, lo cual indica que La
dispersión de cada 𝜀𝑡 en torno a su valor esperado es aproximadamente el mismo.
74 Petrus M.T. Broersen (2006), Automatic Autocorrelation and Spectral Analysis, Editor Springer Science & Business Media, ISBN 1846283299, 9781846283291 , 298 páginas.
89
Gráfica 25 Análisis de Homocedasticidad de los residuos del modelo lineal con errores SARMA
Fuente propia.
Verificando el comportamiento normal de los residuos, se prosigue con el análisis
del histograma de frecuencias y el gráfico Q-Q de los residuos para el diagnóstico
de diferencias entre la distribución de probabilidad, que indican que su distribución
se aproxima mucho al comportamiento de una distribución normal con colas gruesas
como se observa en las gráficas.
Dicha aproximación al comportamiento normal de los residuos, se comprueba con
las pruebas estadísticas de Shapiro-Wilk, kolmogorov smirnov y las pruebas de
Curtosis y skewness para verificar la asimetría de los residuos de los valores de
caudal modelado.
1 2 3 4 5 6 7
-2-1
01
Variación de los valores encontrados vs Residuos del modelo
valores encontrados de caudal
resi
du
os
de
l mo
de
lo
90
Gráfica 26 Cuantil Cuantil (Q-Q plots) - Análisis de Normalidad de los residuos del modelo lineal con errores SARMA
Fuente propia.
Cada una de las pruebas arrojó los siguientes valores:
Shapiro-Wilk: 0,565
kolmogorov smirnov: 0,5248
Curtosis: 3,141466
Skewness: 0,08285329
El resultado de la prueba de Shapiro-Wilk demuestra que el p-valor es mayor a 0,05
y no hay evidencia para decir que la hipótesis nula es falsa, por lo tanto los residuos
del modelo siguen una distribución normal.
En el caso de la prueba de kolmogorov-smirnov donde la discrepancia es mínima
(D= 0,039), el valor del p-valor esta sobre 0,5 donde no existe la evidencia suficiente
para rechazar la hipótesis nula, por ende los residuos de los datos de caudal
modelados siguen una distribución normal.
El valor arrojado por la prueba de Curtosis es cercano a tres (3) y el valor del
Skewness es próximo a cero (0), infiriendo que el centro de la distribución de los
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2-1
01
Probabilidad normal de los residuos
Theoretical Quantiles
Sa
mp
le Q
ua
ntile
s
91
residuos no es tan apuntado y por lo tanto estos residuos siguen el comportamiento
de una distribución normal.
Gráfica 27 Histograma de distribución de frecuencias de los residuos del modelo lineal con errores SARMA
Fuente propia.
En este momento el diagnóstico de incorrelación y normalidad de los errores se
hace mediante el procedimiento gráfico de la función de correlación simple y parcial
(ACF y PACF).mencionados anteriormente; el resultado del modelo escogido
SARMA(2,0,2)(2,0,2)12 se observa en la gráfica 28, mostrando claramente que no
existen barras continuas que sobresalen de las bandas de 95% de confianza,
indicando que no existe dependencia de los residuos frente a sus valores pasados,
en otras palabras los residuos no están correlacionados.
Histograma con curva Normal
Caudal (m3/seg)
Fre
qu
en
cy
-2 -1 0 1 2
05
01
00
15
0
92
Gráfica 28 Correlograma de los residuos del modelo lineal con errores SARMA.
Fuente propia.
En cuanto a la gráfica (PACF) no presenta ningún valor significativo que presente
correlación entre los residuos del modelo.
La prueba de Ljung-Box muestra si los residuales no están correlacionados75; la
hipótesis nula implica que alguna de las correlaciones es distinta de cero y, por
tanto, no se puede asumir que los residuos sean ruido blanco. Aplicando este
estadístico a los residuos del modelo, este arroja un p valor de 0.9178,
comprobando que el p valor es mayor a 0,05, lo que demuestra que no hay evidencia
para decir que la hipótesis nula es falsa, por lo tanto los residuos no presentan
correlación o no están autocorrelacionados.
Periodograma acumulativo
El periodograma está diseñado para detectar patrones periódicos no aleatorios en
un ruido blanco76. El gráfico de periodograma acumulativo muestra puntos alrededor
75 Caridad José María y Ocerín (1998), Modelos econométricos y series temporales, Volumen 1, ISBN 8429126139, 9788429126136, Editor Reverte, 1998, ISBN 8429126112, 9788429126112 76 Aguirre Jaime Armando (1994), Introducción al tratamiento de series temporales, Armando, ISBN 847978153X, 9788479781538, N.º de páginas 585 páginas.
Correlograma - Modelo SARMA(2,0,2)(2,0,2)12
1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
-2-1
01
0 5 10 15 20 25 30 35
-0.1
5-0
.05
0.0
50.1
5
Lag
AC
F
0 5 10 15 20 25 30 35
-0.1
5-0
.05
0.0
50.1
5
Lag
PA
CF
93
de la recta, en caso contrario, el periodograma acumulativo mostraría desviaciones
sistemáticas de esa línea. En particular, los residuos del modelo no muestran
periodicidades grandes que forman una especie de perturbaciones alrededor o por
fuera de la recta; por el contrario, el grafico a continuación muestra los puntos entre
las rectas, descartando cualquier tipo de desviación sistemática de los residuos del
modelo generado.
Gráfica 29 Periodograma de los residuos del modelo lineal con errores SARMA.
Fuente propia.
Los parámetros encontrados por el mejor modelo seleccionado son:
Tabla 10 Parámetros del Modelo.
Parámetros Valores Parámetros Valores
1,2832
0,7
0,5979
0,44
0,709
0,55
-0,2907
-0,17
-0,2481
-0,66
Fuente propia.
Graficando los valores encontrados por el modelo de regresión lineal simple y
comparándolo con el grafico del comportamiento del ciclo anual, se halló que los
0 1 2 3 4 5 6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
frequency
Periodograma acumulativo de los residuos del modelo
94
valores del modelo siguen el mismo comportamiento periódico de los valores
mensuales del caudal; como lo muestra la siguiente gráfica 30.
Gráfica 30 Ciclo del comportamiento mensual multianual del caudal y el Caudal calculado a partir del modelo de regresión lineal con errores estacionales autorregresivo de media móvil (SARMA).
Fuente: Propia.
La ecuación que describe el caudal calculado a partir del modelo analizado
anteriormente, expresándolo en términos del proceso de estandarización de la
series por medio de la transformación Box-Cox y del modelo de regresión lineal con
errores estacionales autorregresivos de media móvil generado para relacionar las
variables (Caudal - Precipitación); aplicando la transformación inversa (Box-Cox)
para expresar todo en términos de las variables implícitas en el fenómeno, se
obtiene la siguiente expresión:
𝑄𝑡 = [𝜆𝑐 (𝛽0 + 𝛽1 ((𝑃𝑡×𝐴′)
𝜆𝑝−1
𝜆𝑝) + 𝑤𝑡) + 1]
1𝜆𝑐⁄
(3-65)
Donde:
𝑄𝑡 = Serie de Caudal modelada.
𝑃𝑡 = Serie de Precipitación.
𝜆𝑐 = 0.165 (Factor de conversión o estandarización de la serie caudal - Transformación Box-Cox).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
02
04
06
08
01
00
12
0
Caudal del área de estudio
MESES
Ca
ud
al (m
3/s
)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
020
4060
8010
0
Caudal-modelo de regresión lineal con errores SARMA.
MESES
Cau
dal c
alcu
lado
(m3/
seg)
95
𝜆𝑝 = 0.0286 (Factor de conversión o estandarización de la serie precipitación por el área de la
microcuenca con polígonos de Thiessen - Transformación Box-Cox).
𝛽0 = 1.2832 (Parámetro de intersección de la serie estandarizada - Transformación Box-Cox).
𝛽1 = 0.5979
𝐴′ =𝐴∗10000
86.400 (Factor del área de la microcuenca).
𝑤𝑡 =𝜃2(Β)Θ2(Β
𝑠=12)
𝜙2(Β)Φ2(Β𝑠=12)
𝑎𝑡 = (Ruido blanco del modelo lineal con errores estacionales
autorregresivos de media móvil – SARMA.)
Quedando de la siguiente manera:
𝑄𝑡 = [0.165 (1.2832 + 0.5979 ((𝑃𝑡×𝐴′)
0.0286 −1
0.0286 ) + 𝑤𝑡) + 1]
6,060
(3-66)
3.15 Estimación de alturas del cauce del río Garagoa.
3.15.1 Áreas de sección transversal.
Partiendo de la relación entre el caudal, flujo o descarga es la cantidad de agua que
pasa a través de una sección por unidad de tiempo y la velocidad de la corriente.
Este se calcula multiplicando la velocidad del agua (𝑚 𝑠𝑒𝑔⁄ ) por el área de la sección
(𝑚2), que es la forma de como la mayoría de los métodos de aforo se basan en la
siguiente ecuación de continuidad77.
Q = V x S (3-67)
Donde:
𝑄 = Caudal 𝑚3/𝑠𝑒𝑔
𝑉 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚/𝑠𝑒𝑔
𝑆 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑚2.
77AFORO DE CORRIENTES NATURALES- http://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/flujoencanales/aforamientocorrientes/aforodecorrientes.html
96
S = Q
V (3-68)
Dentro de los datos adquiridos para el proyecto se encuentran los promedios de las
velocidades tomadas para los meses del año; como se observa en la siguiente
figura, donde su comportamiento es similar al comportamiento del caudal.
Gráfica 31 Comportamiento del caudal y la velocidad.
Fuente: Propia (Excel).
Al calcular las áreas de las secciones transversales para el modelo con caudales y
las velocidades promedios mensuales se observa el comportamiento de las áreas
promedio de las secciones que almacenan los caudales promedios mensuales,
hallando áreas mínimas, medias y máximas, como lo indica la siguiente (gráfica 32),
que muestran que en el mes de septiembre hay un comportamiento anómalo del
caudal, alcanzando uno de los máximos en el área de las secciones mayores a 200
𝑚2 aproximadamente.
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Caudal - Velocidad de la corriente (2010)
97
Gráfica 32 Comportamiento de las secciones transversales mensuales- Modelo de regresión lineal.
Fuente: Propia (Excel).
3.15.2 Cálculo de las alturas del río respecto a sección
transversal.
Después de calcular el caudal promedio mensual multianual y una aproximación del área de la sección transversal que contiene a los respectivos caudales; se busca el cálculo de la altura de la lámina de agua, que dependerá fundamentalmente de la geometría del cauce, donde el análisis morfométrico, así como del modelo digital de elevación obtenido en la página de la NASA78, con una resolución de 30m (Aster); que permite tener una idea más clara de las características de la subcuenca, como en la siguiente tabla resumen.
Tabla 11 Características morfométricas de la subcuenca del Río Garagoa.
CUENCA
Áre
a (
Km
2)
Pe
rím
etr
o
(Km
.)
Ele
vació
n
(mn
sm
)
Lo
ng
itu
d
(Km
.)
Fa
cto
r de
form
a (
Ff)
Co
eficie
nte
de
co
mp
acid
ad
(Kc)
Índ
ice
de
ala
rga
mie
nt
o (
la)
Tie
mpo
de
co
ncen
tra
ció
n (
ho
ras)
Fo
rma
*
Tip
o d
e
cre
cie
nte
(t)
R. Garagoa
220 83 2.047 27 0,36 0,48 1,89 3,78 R L
Fuente: Corpochivor.
* Forma: R = redondeada, A = alargada † Tipo de creciente: S = súbita, l = lenta
78http://earthdata.nasa.gov/
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Secciones Transversales m2
98
Los índices que se presentan en la tabla anterior, permiten conocer las dinámicas de la subcuenca y relacionarlos con parámetros climáticos como la precipitación; logrando ser gran utilidad a la hora de zonificar las amenazas generadas por las crecientes.
Figura 12 Subcuenca Río Garagoo.
Fuente: Propia.
Como lo muestra la figura 12. Existen áreas donde el río presenta inercia debido a la fuerte pendiente de algunas zonas que impiden que existan áreas inundables de extensión significativa y otras donde el relieve de la superficie contribuye a que existan zonas afectadas por crecientes rápidas y desbordamientos de muy corta duración, que afectan pequeñas áreas; esto quiere decir que el agua que se deposita sobre la subcuenca por exceso de lluvias, se escurre generando torrenciales y crecientes súbitas en el río.
Figura 13 Río Garagoa.
Fuente: Propia.
A partir de las pendientes asociadas al drenaje y al modelo de la superficie (TIN) generado por el modelo digital de elevación, en la tabla 11 se deduce que la
99
subcuenca del río Garagoa presenta un relieve moderado con algunas zonas abruptas con de grandes accidentes. De acuerdo, con la hidráulica y las diferentes clases de canales naturales que
indican los tipos de secciones transversales con formas muy irregulares, que varían
de un lugar a otro tomando formas geométricas desde una parábola hasta un
trapecio; por ende, se establece que la hipótesis que cuando el cauce está en
épocas secas y sus caudales son mínimos, la forma del fondo de la superficie que
contiene el cauce adopta la geometría de una parábola79, esto por motivos de
socavación y tránsito de material durante su existencia.
H1: Forma parabólica de la superficie del fondo del cauce para caudales mínimos,
con distintos anchos de la lámina de agua, como se observa a continuación.
Figura 14 Sección transversal de un canal natura en épocas secas o con caudales mínimos.
Fuente: http://es.slideshare.net/mefrint/los-canales-son-conductos-en-los-que-el-agua-circula-debido-a-la-accion-de-gravedad-y-sin-ninguna-presin.
La ecuación que permite el cálculo de la forma geométrica de secciones de tipo
parabólica para los ciclos o períodos secos es:
𝐴 =2
3b × H (3-69)
Donde:
𝐴 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑚2.
79Aforadores de caudal para canales abiertos - http://content.alterra.wur.nl/Internet/webdocs/ilri-publicaties/publicaties/Pub38/pub38.pdf
100
𝑏 = 𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑟𝑒𝑛𝑎𝑗𝑒 𝑚.
𝐻 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑚.
Si se despeja la altura,
𝐻 =3
2
𝐴
𝑏 (3-70)
De la ecuación (3.68) al poner el área de la sección transversal en términos del
caudal y la velocidad del mismo, relacionado en la ecuación (3.70), se obtiene la
siguiente expresión:
𝐻 =3
2
𝑄
𝑏 × 𝑉 (3-71)
Expresando el caudal en función de la precipitación para los dos primeros meses
del año que son períodos secos, se obtiene la altura aproximada del cauce en
función de la serie de precipitación mensual multianual, el área total de la
subcuenca.
Donde:
𝐴′ =𝐴∗1000
86400 (3-72)
𝐴 = Área de la cuenca en 𝑘𝑚2
10000
86400= 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑚. 𝑘𝑚2𝑑−1 𝑎 𝑚3𝑠−1
P = Precipitación mensual de la cuenca para períodos secos (Febrero) en m. m.
V = Velocidad media mensual de la corriente 𝑚/seg
b = promedio del ancho de la base superior de la lamina de agua del drenaje m.
H = Altura de la sección transversal para el mes seco (febrero) en mts.
La ecuación deducida del modelo de regresión expresado con el caudal de recesión
o caudal mínimo del cauce, como se expresa en la siguiente ecuación:
𝐻 ≈3
2
([0.165 (1.2832 +0.5979((𝑃𝑡=2×𝐴′)
0.0286 −1
0.0286 )+𝑤𝑡)+1]
6,060
)
𝑏 × 𝑉 (3-73)
101
La segunda hipótesis que se plantea es que la superficie a partir de la base superior
de la lámina de agua con ancho conocido se comporta como un trapecio escaleno,
esto se debe a que los lados no son semejantes, por lo que los ángulos 𝜃1 y 𝜃2 que
se generan de las pendientes son diferentes; pues la forma de la superficie en
realidad es irregular, por esta razón se emplean secciones con este tipo de
geometría, siendo está la que más se aproxima a los cambios que tiene la superficie,
como lo indica la figura 15.
H2: se interpreta de forma trapezoidal la superficie del terreno para calcular la altura
de los meses en que el caudal aumenta hasta llegar a su máxima altura.
Figura 15 Análisis de sección transversal de un canal natural.
Fuente: Hidráulica de canales.
Al analizar el área que representa un trapecio, esta se expresa en función de la
altura y como
𝐴 =1
2 ℎ × (𝑏 + 𝐵) (3-74)
𝐴 = Área del trapecio ℎ = Altura del trapecio
𝑏 = base inferíor del trapecio 𝐵 = Base superíor del trapecio
Representando el área en términos de las variables conocidas, en nuestro caso el
ancho de la base inferior b y los dos ángulos que forman los lados del trapecio 𝛼1 y
𝛼2.
Se tiene que la base superior B es igual a:
102
𝐵 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑏 (3-75)
Figura 16 Análisis geométrico del trapecio escaleno.
Fuente: Propia.l
Expresando 𝑥1 𝑦 𝑥2 en términos de la altura y los ángulos 𝛼1 y 𝛼2.
Figura 17 Analisis geometrico de un lado del trapecio escaleno.
Fuente: Propia.
𝑥1 =ℎ
tan𝛼1 (3-76)
Por tanto el área del trapecio escaleno es:
𝐴 =1
2 ℎ (𝑏 + 𝑏 +
ℎ
𝑡𝑎𝑛 𝛼1+
ℎ
tan𝛼2) (3-77)
𝐴 =1
2 ℎ (2𝑏 +
ℎ
𝑡𝑎𝑛 𝛼1+
ℎ
tan𝛼2) (3-78)
Al decir que
103
tan 𝛼1 = 𝑎
tan 𝛼1 = 𝑐
ℎ
tan𝛼1+
ℎ
tan𝛼2=
ℎ
𝑎+
h
c (3-79)
ℎ
𝑎+
ℎ
𝑐= ℎ [
𝑎+𝑐
𝑎 × 𝑐] (3-80)
Luego el área queda como:
𝐴 =1
2 ℎ (2𝑏 + ℎ [
𝑎+𝑐
𝑎 × 𝑐]) (3-81)
𝐴 = ℎ2 [𝑎+𝑐
2(𝑎 × 𝑐)] + hb (3-82)
Igualando a cero, se observa que resulta una ecuación de segundo grado
ℎ2 [𝑎+𝑐
2(𝑎 × 𝑐)] + ℎ𝑏 − 𝐴 = 0 (3-83)
Donde
[𝑎+𝑐
2(𝑎 × 𝑐)] = 𝑎′ 𝑦 𝑎′ ≠ 0 (3-84)
Si colocamos el área de las secciones (A) en términos del modelo de regresión lineal
restando el área del período seco (𝑃 ≠ 𝑃𝑡=2 (𝐹𝐸𝐵𝑅𝐸𝑅𝑂)) del mismo modelo, tenemos
que:
𝐴 =[0.165 (1.2832 +0.5979(
(𝑃𝑡≠2×𝐴′)0.0286 −1
0.0286 )+𝑤𝑡)+1]
6,060
𝑉−
[0.165 (1.2832 +0.5979((𝑃𝑡=2×𝐴′)
0.0286 −1
0.0286 )+𝑤𝑡)+1]
6,060
𝑉𝑡=2 (𝐹𝐸𝐵𝑅𝐸𝑅𝑂) (3-85)
La ecuación de la altura (h) para períodos diferentes a febrero es:
ℎ2𝑎′ + ℎ𝑏 − [[0.165 (1.2832 +0.5979(
(𝑃×𝐴′)0.0286 −1
0.0286 )+𝑤𝑡)+1]
6,060
𝑉−
[0.165 (1.2832 +0.5979((𝑃𝑡=2×𝐴′)
0.0286 −1
0.0286 )+𝑤𝑡)+1]
6,060
𝑉𝑡=2 (𝐹𝐸𝐵𝑅𝐸𝑅𝑂)] = 0 (3-86)
104
Donde:
𝐴′ =𝐴𝑐∗1000
86400 (3-87)
𝐴𝑐 = Área de la cuenca en 𝑘𝑚2
10000
86400= 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑚. 𝑘𝑚2𝑑−1 𝑎 𝑚3𝑠−1
𝑃 = Precipitación mensual de la cuenca en m. m.
𝑏 =Base inferior del trapecio o promedio del ancho de la base superior de la lámina de agua
del drenaje para el mes de Enero.
𝑉 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚/𝑠𝑒𝑔
La ecuación se resuelve mediante la siguiente fórmula; Por tanto la altura (h)
equivale a:
ℎ2 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎′(−𝐴)
2𝑎′ (3-88)
Debido a que las alturas no pueden tomar valores negativos la ecuación queda:
ℎ2 =−𝑏+√𝑏2+4𝑎′𝐴
2𝑎′ (3-89)
Remplazando las variables 𝑎′𝑦 𝐴 por las originales, la ecuación queda de la
siguiente forma:
ℎ2 ≈
−𝑏+
√
𝑏2+4
[
((tan𝛼1+tan𝛼2)
2(tan𝛼1 × tan𝛼2))×
(
[0.165 (1.2832 +0.5979(
(𝑃𝑡≠2×𝐴′)0.0286 −1
0.0286 )+𝑤𝑡)+1]
6,060
𝑉 −
[0.165 (1.2832 +0.5979((𝑃𝑡=2×𝐴′)
0.0286 −1
0.0286 )+𝑤𝑡)+1]
6,060
𝑉𝑡=2 (𝐹𝐸𝐵𝑅𝐸𝑅𝑂)
)
]
2((tan𝛼1+tan𝛼2)
2(tan𝛼1 × tan𝛼2))
(3-90)
Entonces, para hallar la altura del cauce en diferentes meses del año se suma la
altura para el mes de febrero ℎ1 más la altura para el mes en el que se quiere
calcular la altura ℎ2 del respectivo modelo, lo cual la ecuación general queda de la
siguiente manera:
ℎ ≈ ℎ1 + ℎ2 (3-91)
105
ℎ1 ≈ Altura aproximada para el mes de Febrero
ℎ2 ≈Altura aproximada para meses diferente de al mes de Febrero.
Para continuar, se obtuvieron fotografías aéreas de la zona de estudio para épocas
secas. Luego se digitalizó el polígono del cauce o río Garagoa, con el fin de asociar
insumos como- modelo digital de la superficie (TIN) y pendientes del terreno en
grados.
Con estos insumos se identificaron las zonas donde se presentaron cambios
bruscos de la línea de pendiente del cauce, como se identificaron en las figuras 12
y 13. A partir de este análisis se obtuvieron 21 zonas o secciones con diferentes
grados de pendientes; a estas secciones se les calculó la pendiente media a ambos
lados del cauce.
Donde,
𝜶𝟏 = E= Lado este del cauce
𝜶𝟐 = OE =Lado oeste del cauce
En las tablas a continuación se observa el cálculo del grado de pendientes medias
en ambos costados del cauce para las 21 secciones.
Tabla 12 Grado de pendientes medias en ambos costados del cauce de las secciones 1-6.
SECCIÓN 1 SECCIÓN 2 SECCIÓN 3 SECCIÓN 4 SECCIÓN 5 SECCIÓN 6
𝜶𝟏=E 14.01 21.28 14.30 3.30 7.23 4.13
𝜶𝟐=OE 13.10 7.27 7.21 4.44 13.62 7.71
Fuente: Propia.
Tabla 13 Grado de pendientes medias en ambos costados del cauce de las secciones 7-12.
SECCIÓN 7 SECCIÓN 8 SECCIÓN 9 SECCIÓN 10 SECCIÓN 11 SECCIÓN 12
𝜶𝟏=E 12.14 6.10 16.69 10.77 15.13 8.58
𝜶𝟐=OE 9.56 7.30 9.06 7.52 7.33 15.52
Fuente: Propia.
Tabla 14 Grado de pendientes medias en ambos costados del cauce de las secciones 13-18.
SECCIÓN 13 SECCIÓN 14 SECCIÓN 15 SECCIÓN 16 SECCIÓN 17 SECCIÓN 18
𝜶𝟏=E 12.98 22.10 12.90 17.34 9.32 6.82
𝜶𝟐=OE 12.28 18.93 15.24 19.38 11.34 17.98
Fuente: Propia.
106
Tabla 15 Grado de pendientes medias en ambos costados del cauce de las secciones 19-21.
SECCIÓN 19 SECCIÓN 20 SECCIÓN 21
𝜶𝟏=E 10.82 20.49 10.14
𝜶𝟐=OE 11.64 23.14 14.69
Fuente: Propia.
De las variables que intervienen en el cálculo de la altura aproximada, cambian en
el tiempo la precipitación (P), la velocidad del cauce (V); por ende el cálculo de la
altura se considera un proceso estocástico, pues estas variables evolucionan en
función del tiempo.
Considerando el comportamiento del fenómeno hídrico y del desconocimiento de la
superficie por bajo de la lámina de agua, se observa que la altura del cauce al
depender de la base de la sección transversal (b) o base de la lámina de agua para
el mes de febrero, que se comporta de forma irregular según la sección. Analizando
el comportamiento o varianza de la variable b para cada sección, se obtuvo un
promedio del comportamiento de la misma para cada una de las secciones está
aproximadamente entre 10 y 15 metros.
Tabla 16 Variación de la base de la lámina de agua de 10-15mts.
Mes de Febrero
Ancho promedio 10 (m) Ancho promedio 15 (m)
Secciones 1, 2, 3,4 , 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21
10, 11, 14, 16, 19
Promedio 10,9090
Fuente: Propia.
Los cálculos de las alturas se referencian en los anexos en las tablas 36 - 39 y los
estadísticos básicos se pueden diferenciar a continuación:
Resultados del cálculo de alturas con el modelo de regresión lineal
Tabla 17 Estadísticos de los cálculos de alturas de la lámina de agua para las diferentes secciones de base 10mts.
sección
1 sección
2 sección
3 sección
4 sección
5
MEDIA 5,413 5,083 4,904 3,789 5,236
MAX 10,469 10,152 9,981 8,906 10,313
MIN 3,772 3,524 3,388 2,523 3,714 Fuente: Propia.
107
Tabla 18 Estadísticos de los cálculos de alturas de la lámina de agua para las diferentes secciones de base de 10 a 15mts.
sección
6 sección
7 sección
8 sección
9 sección
10
MEDIA 4,167 5,058 4,419 5,198 4,299
MAX 9,271 10,129 9,515 10,262 7,651
MIN 2,820 3,505 3,016 3,610 3,086 Fuente: Propia.
Tabla 19 Estadísticos de los cálculos de alturas de la lámina de agua para las diferentes secciones de base de 10 a 15mts.
sección
11 sección
12 sección
13 sección
14 sección
15
MEDIA 4,210 5,107 5,304 5,606 5,463
MAX 6,687 10,176 10,365 8,902 10,517
MIN 3,095 3,542 3,690 4,062 3,809 Fuente: Propia.
Tabla 20 Estadísticos de los cálculos de alturas de la lámina de agua para las diferentes secciones de base de 16 a 21mts.
sección
16 sección
17 sección
18 sección
19 sección
20 sección
21
MEDIA 5,415 4,994 4,950 4,255 5,583 5,229
MAX 8,720 10,067 10,025 7,596 10,607 10,292
MIN 3,923 3,456 3,423 2,988 3,786 3,634 Fuente: Propia.
Analizando los resultados arrojados en las tablas anteriores y relacionándolo con el
promedio de la altura medida (3,85 mts) para el mes de Julio, del histórico de los
datos medidos por la estación (El Caracol) anexado en la tabla 35, ubicada en la
sección 19; encontrando que el modelo arroja un valor de 4,255 mts para la misma
sección, lo cual se encuentra un desfase de 0,37mts siendo este un valor apropiado
para este tipo de fenómeno.
4. Aplicación del muestreador de Gibbs para estimar la altura
máxima del río Garagoa
Considerando que los datos de las alturas calculados a partir del modelo establecido
en la ecuación (3-91). Lo que se pretende con el muestreador de Gibbs es generar
valores de la variable aleatoria, en este caso la altura calculada(𝑥), con distribución
de probabilidad 𝜋(𝑥), típicamente multidimensional, y de la que no es posible
muestrear directamente. Para ello se simula una cadena de Markov ergódica que
108
tiene como distribución estacionaria la distribución objetivo 𝜋(𝑥), tras un número
suficientemente grande de iteraciones se estarán generando muestras aproximadas
de 𝜋(𝑥).
𝑋 = (𝑋1, … . . , 𝑋𝑛), Para cada 𝑋𝑖 esta distribuido como:
𝑋𝑖 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎2) (3-92)
Para 𝑖 = 1,… , 𝑛 donde 𝜇 𝑦 𝜎2son parámetros desconocidos. El objeto de este
análisis es estimar 𝜇 𝑦 𝜎2. Se asume que las distribuciones previas para 𝜇 𝑦 𝜎2son:
𝜇 ~ 𝑁(𝑚, 𝑠2) (3-93)
𝜎−2 = θ ~ 𝐺𝑎𝑚(𝑎, 𝑏) (3-94)
Donde 𝑚, 𝑠2, 𝑎 𝑦 𝑏, son parámetros conocidos; por lo tanto, con el fin de llevar a
cabo la inferencia en 𝜇 𝑦 𝜎2, se obtienen muestras(𝜇 , 𝜎2) desde 𝑝(𝜇 , 𝜎2|𝑥). Para
ello se utiliza el muestreador de Gibbs.
El algoritmo para el muestreador de Gibbs es:
Muestreo de 𝜇 desde 𝑝(𝜇|𝜎2, 𝑥).
Muestreo de 𝜎2 desde 𝑝(𝜎2|𝜇, 𝑥).
Donde 𝑝(𝜇|𝜎2, 𝑥)es la distribución "condicional completa" de 𝜇 y para 𝑝(𝜎2|𝜇, 𝑥) es
la distribución condicional de 𝜎2.
En virtud de las distribuciones previas mencionadas anteriormente y empleando el
teorema de Bayes, se puede demostrar que la distribución condicional completa
para 𝜇 es normal y para 𝜎2 es gamma inversa.
𝜇|𝜎2, 𝑥 ~ 𝑁(𝑚∗, 𝑠∗2) (3-95)
𝜎−2|𝜇, 𝑥 = θ|𝜇, 𝑥 ~ 𝐺𝑎𝑚(𝑎∗, 𝑏∗) (3-96)
Donde,
𝑚∗ =(1
𝑠2𝑚+
𝑛
𝜎2�̅�)
(1
𝑠2+|
𝑛
𝜎2)𝑠∗2 =
1
(1
𝑠2+ 𝑛
𝜎2)𝑎∗ = 𝑎+ 𝑛
2 𝑏
∗=
∑ (𝑦𝑖−𝜇)2𝑛
𝑖=1
2+𝑏 (3-97)
A partir de esto se calcularon los μ y σ2 para las distintas secciones del río;
realizando 15.000 iteraciones, como se aprecia en la gráfica 33, donde se realiza
109
los cálculos para la sección 19 y el cual permite ajustar mejor el valor de los μ y σ2;
según los resultados a continuación:
Muestreador de Gibbs – Sección 19 para el mes de Julio
El cálculo de 𝜇 𝑦 𝜎2 anterior o apriori arroja los siguientes valores 𝜇= 4.254871
𝜎2 = 0.9577734
Gráfica 33 Diagrama de variación del promedio (𝜇)de la lámina de agua en la sección 19.
Fuente: Propia (R statistic).
El cálculo después de realizado el muestreador de Gibbs nos arroja que la media y
la desviación estándar de los 𝜇2 𝑦 𝜎22 calculados es:
Media (𝜇2) = 4.281483
Sd (𝜇2) = 0.1705205
σ22 = 0.9198404
sd (σ22) = 0.2326008
0 5000 10000 15000
3.5
4.0
4.5
5.0
Variación de la Altura Sección 19
1:nsim
Mu
.se
ccio
n1
9[1
:nsim
]
110
Gráfica 34 Función de densidad de 𝜇 para los datos del muestreo directo y el muestreador de Gibbs (𝜇2).
Fuente: Propia (R statistic).
Gráfica 35 Función de densidad 𝜎2 𝑦 𝜎22de Gamma.
Fuente: Propia (R statistic).
3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Marginal Posterior de Mu
Mu
De
nsity
Desde el muestreo directo
Marginal PosteriorMuestreador de Gibbs
0.5 1.0 1.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Marginal Posterior de Sigma^2
Sigma^2
De
nsity
Desde el muestreo directo
Marginal PosteriorMuestreador de Gibbs
111
El resultado del muestreador se visualiza en las gráficas 34 y 35, donde se observa
el comportamiento de μ y 𝜇2. La distribución de 𝜇2 es normal, en la otra gráfica de
σ2 y σ22 se muestra que la distribución condicional σ2
2 es Gamma. Por lo tanto, para las diferentes secciones analizadas se encuentra que la altura
media varia de 3.78ma 5.11m; el valor de σ22 que es la variación de 𝜇2 en el tiempo
y esta oscila entre 0.34m y 0.79 m, indicando que el rango de variabilidad de la altura va de 3m a 5.88m. Asimismo, la altura máxima que puede alcanzar el río es de aproximadamente 5.88m; como se observa a continuación en las tablas resúmenes de la aplicación del muestreador.
Tabla 21 Resultados de muestreador de Gibbs para las alturas máximas de la base de la lámina de agua.
Secciones Transversales
Sección 1 Sección 2 Sección 3 Sección 4 Sección 5
𝝁𝟐 - Gibbs (m) 5.08 4.83 4.66 3.78 4.97
σ22- Gibbs (m) 0.79 0.75 0.73 0.77 0.77
Rangos (m) 4.29 - 5.86 4.08 - 5.58 3.93 - 5.39 3.00 - 4.55 4.201 - 5.73
h max (m) 5.87 5.58 5.40 4.55 5.74 Fuente propia.
Tabla 22 Resultados de muestreador de Gibbs para las alturas máximas de la base de la lámina de agua.
Secciones Transversales
Sección 6 Sección 7 Sección 8 Sección 9 Sección 10
𝝁𝟐 - Gibbs (m) 4.10 4.82 4.31 4.89 3.96
σ22- Gibbs (m) 0.72 0.77 0.67 0.68 0.36
Rangos (m) 3.37 - 4.82 4.05 - 5.58 3.64 - 4.98 4.20 - 5.57 3.59 - 4.31
h max (m) 4.82 5.59 4.99 5.57 4.32 Fuente propia.
Tabla 23 Resultados de muestreador de Gibbs para las alturas máximas de la base de la lámina de agua.
Secciones Transversales
Sección 11 Sección 12 Sección 13 Sección 14 Sección 15
𝝁𝟐 - Gibbs (m) 4.07 4.80 4.98 5.00 5.11
σ22- Gibbs (m) 0.34 0.75 0.75 0.41 0.77
Rangos (m) 3.72 - 4.41 4.05 - 5.55 4.22 - 5.73 4.58 - 5.41 4.34 - 5.88
h max (m) 4.42 5.55 5.73 5.42 5.88 Fuente propia.
112
Tabla 24 Resultados de muestreador de Gibbs para las alturas máximas de la base de la lámina de agua.
Secciones Transversales
Sección 16 Sección 17 Sección 18 Sección 19 Sección 20 Sección 21
𝝁𝟐 - Gibbs (m) 4.83 4.78 4.69 3.87 5.09 4.92
σ22- Gibbs (m) 0.45 0.72 0.74 0.34 0.75 0.74
Rangos (m) 4.38 - 5.28 4.06 - 5.49 3.94 - 5.42 3.53 - 4.21 4.33 - 5.83 4.18 - 5.66
h max (m) 5.28 5.50 5.43 4.21 5.83 5.66 Fuente propia.
Los resultados relacionados con las tablas anteriores para las distintas secciones indican la variabilidad de las alturas en las distintas secciones del cauce del río; los gráficos que describen los resultados del muestreador de Gibbs para los demás secciones se encuentran en los anexos del cd entregado (gráficas 48 – 111).
113
4. CAPÍTULO IV - Análisis de Resultados
A partir de la ecuación del cálculo aproximado de la altura del cauce del río (3-91); encontrada a partir del análisis estadístico de las variables asociadas a procesos estocásticos y que describe el comportamiento de la altura del cauce para los diferentes caudales asociados a las variables como la precipitación media mensual. Se hallaron los diferentes valores aproximados de las alturas máximas durante el mes de julio, que históricamente es el mes en el que se presentan mayores niveles de precipitación y caudal.
En los estadísticos básicos de los mu2 (𝜇2) y sigma2 cuadrado (σ22) calculados para
las distintas secciones se encuentra que el error estándar y el coeficiente de
variación indican la poca dispersión de los mu2 (𝜇2) con una medida de la variabilidad <10% y una aceptable dispersión para sigma2 cuadrado (σ2
2) con una variabilidad entre 20 y 30%.
Tabla 25 Secciones Transversales.
Secciones Transversales
Sección 16 Sección 17 Sección 18 Sección 19 Sección 20 Sección 21
μ2 - Gibbs (m) 5,409271 5,003328 4,949684 4,281483 5,608365 5,20492
Des(μ2) 0,141991 0,2172623 0,1843708 0,1705205 0,2322183 0,24658
stdError(μ2) 0,02366517 0,03621039 0,03072847 0,02842008 0,03870305 0,03895058
coefVar(μ2) 0,02624957 0,04342357 0,03724901 0,03982743 0,0414057 0,0446763
σ22- Gibbs (m) 1,24058 1,651668 1,663881 0,9198404 1,989015 1,812361
Des(σ22) 0,2882668 0,3836309 0,3812238 0,2326008 0,4473631 0,4320335
stdError(σ22) 0,04804447 0,06393848 0,0635373 0,0387668 0,07456052 0,07200558
coefVar(σ22) 0,2323645 0,2322688 0,2291173 0,2528708 0,224917 1.812.361
Fuente: Propia.
Según sus cálculos elaborados, el río alcanzará una cota máxima entre 3.59 y 5.22 metros dependiendo de la sección; pues las altas pendientes de la cuenca del río Garagoa, detalladas en el cálculo de las características morfométricas de la subcuenca, impiden que existan áreas inundables de extensión significativa; como es de esperar, los reportes de inundación son muy pocos y muchos de ellos están asociados a eventos de avenida torrencial; donde se presenta el nivel más bajo de caudal, se combina las áreas no inundables con las que pueden sufrir inundaciones ocasionales y de muy corta duración. En conjunto, las áreas con niveles de amenaza medio y alto ocupan extensiones supremamente reducidas cercanas a al cauce.
114
5. CAPÍTULO X – Conclusiones y Recomendaciones
5.1 Conclusiones
De acuerdo con los resultados, se obtuvo información necesaria para el
análisis y la selección del mejor método que representa el comportamiento
de la estructura del fenómeno que varía continuamente en espacio y tiempo.
En el análisis de la serie mensual de datos de precipitación obtenido a partir
de la metodología de polígonos de thiessen y el efecto del fenómeno del niño
y la niña, se obtuvo que en durante los periodos de 1980-1990 y 1995-1998
se evidenciaron comportamientos atípicos que indican una afectación por
mayores déficit de sequía y aumento en la humedad del clima en el área.
El presente trabajo incorpora algunas innovaciones al utilizar procesos
estadísticos para modelar fenómenos hidrológicos y aplicarlos en la
predicción de las alturas hidrométricas. En el desarrollo del trabajo se realizó
el análisis de series temporales; en él se obtienen procesos econométricos
para estandarizar las series y tratar con errores estacionales no estacionarios
obteniendo pronósticos significativos y el análisis del fenómeno a partir de
formas geométricas, que permitió conocer la dependencia de la Altura del rıo
a predecir respecto a los distintos datos, tomando variables meteorológicas
como es el caso de la precipitación y caudales que tienen incidencia directa
en la altura del río.
El uso del muestreo de Gibbs, para la estimación de la altura máxima de la
lámina de agua, se evaluó para las veintiuna secciones que se generaron en
todo el tramo del río; logrando una diferencia de aproximadamente 30 cm por
exceso, obteniendo un resultado aceptablemente significativo de la
estimación de la altura máxima promedio comparada con la altura máxima
promedio registrada por la estación el caracol ubicada en la sección 19 del
área de estudio.
115
5.2 Recomendaciones
En este proyecto se estimó analíticamente la altura máxima del cauce del río Garagoa mediante el análisis y el uso de ecuaciones prediseñadas de secciones transversales para fenómenos hídricos; relacionando la variable climática como fue el caso de la precipitación, donde bajo regresión lineal con errores estacionales no estacionarios para el caudal se usó como covariables la precipitación. De acuerdo con los resultados obtenido por el modelo utilizado para la relación caudal–precipitación, se identificó que la metodología propuesta contribuye al entendimiento de la dinámica hidrológica a través de los procesos estadísticos y físicos, pues la no estacionariedad causada por el cambio climático y otros factores hacen que la tarea de pronóstico sea difícil mediante los métodos tradicionales. Todo esto con el propósito de trazar políticas en caso de emergencias; si bien no hay áreas extensas sujetas a inundación durante períodos prolongados, donde las viviendas y los cultivos aledaños a los ejes de drenaje pueden sufrir daños importantes en eventos de corta duración. Asimismo, los resultados de los cálculos de las alturas aproximadas podrían mostrar un mejor ajuste si se mejora el modelo digital de elevación, tomando puntos de referencia en las laderas del cauce del rio para adecuar el modelo. Además de utilizar imágenes de satélite de alta resolución (<5m) con el propósito de mejorar la interpretación y digitalización del cauce para el mes de enero; cabe resaltar la importancia en otros países de utilizar imágenes de satélite pues es un aspecto muy común el monitoreo hidrológico de baja densidad de las redes de pluviométricas y cualquier alternativa satelital, asociada con datos de una red pluviométrica para construir un producto mixto sería muy bueno para todo tipo de proyectos relacionados con situaciones críticas como las sequías y los períodos de inundaciones, entre otro fenómenos climáticos. Para un trabajo posterior se podría considerar incluir otras variables del ciclo hidrológico tales como evaporación y densidad de material de arrastre. También se pueden tener en cuenta modelos lineales dinámicos generalizados u otras funciones de intensidad que tengan en cuenta la estacionalidad.
116
ANEXOS
117
Estación de Caudal
Tabla 26 Datos generales de la estación el caracol – medición: Caudal.
Fuente: Corporación Autónoma Regional de Chivor – CORPOCHIVOR
Estaciones de Precipitación.
Tabla 27 Datos generales – Estación Chinavita.
CENTRAL HIDROELECTRICA DE CHIVOR
VALORES MENSUALES - MULTIANUALES DE PRECIPITACION (mm)
ESTACION : CHINAVITA CODIGO : 3507007
LATITUD : 05 09 TIPO EST : P.M
LONGITUD : 73 22 DEPTO : BOYACA
ELEVACION : 1900 msnm MPIO : CHINAVITA
FECHA INST : 55-09 SUBCUENCA : R. GARAGOA Fuente: Corporación Autónoma Regional de Chivor – CORPOCHIVOR.
Tabla 28 Datos generales – Estación Pachavita y Garagoa
CENTRAL HIDROELECTRICA DE CHIVOR CENTRAL HIDROELECTRICA DE CHIVOR
VALORES MENSUALES - MULTIANUALES DE PRECIPITACION (mm)
VALORES MENSUALES - MULTIANUALES DE PRECIPITACION (mm)
ESTACION : PACHAVITA CODIGO : 3507021 ESTACION : GARAGOA CODIGO : 3507008
LATITUD : 05 09 TIPO EST : P.M LATITUD : 05 05 TIPO EST : P.M
LONGITUD : 73 24 DEPTO : BOYACA LONGITUD : 73 21 DEPTO : BOYACA
ELEVACION : 2160 msnm MPIO : PACHAVITA ELEVACION :
1700 msnm
MPIO : GARAGOA
FECHA INST : 76-03 SUBCUENCA : R. GARAGOA FECHA INST :
59-10 SUBCUENCA :
R. GARAGOA
Fuente: Corporación Autónoma Regional de Chivor – CORPOCHIVOR.
No. REG AREA OPER. CODIGO CAT. NOMBRE TIPO CLASE CATE. ESTADO FGDA DEPTO MPIO CORRIENTE ALTITUD FECHA INST. FECHA SUSP.OBSERVACIO
N
2318 AREA OPER. 06 35077120
CARACOL EL
[35077120] CON HID LG ACT IDEAM BOYACA GARAGOA GARAGOA 5 3 24.7 N 73 23 39.1 W 1769 15/06/1981
LATITUD LONGITUD
118
Tabla 29 Datos de CAUDAL estación “El Caracol”.
TABLA DE PROMEDIOS DE CAUDAL – ESTACION EL CARACOL
AÑO/MES ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SEPTIEMBRE OCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE
1974 4.55 4.56 4.62 12.5 20.07 22.6 48.17 43.89 26.84 24.78 29.38 9.13
1975 3.21 2.71 4.32 6.15 13.26 40.07 32.59 52.84 26.2 26.8 28.31 23.15
1976 6.75 4 8.7 20.99 51.62 80.77 77.06 49.97 32.37 30.15 31.57 13.14
1977 3.71 3.48 2.87 9.33 21.75 41.56 42.65 38.29 48.18 27.2 27.93 6.04
1978 2.63 2.27 3.27 24.3 28.59 52.36 47.12 65.21 37.74 29.72 14.75 9.49
1979 2.63 1.95 2.71 15.09 25.32 66.59 58.14 45.6 23.89 40.63 49.31 27.88
1980 8.03 3.66 3.18 12.5 24.15 75.7 62.05 41.6 42.01 42.61 21.26 6.23
1981 3.55 4.51 5 16.84 50.34 56.77 52.52 37.86 30.29 34.28 24.71 11.98
1982 6.6 4.73 6.16 27.21 36.95 46.55 66.56 62.77 40.37 32.9 15 7.66
1983 3.48 0 8.21 24.15 23.87 26.85 41.11 56.89 22.06 22.64 0 8.27
1984 0 0 2.53 4.07 13.78 38.23 44.77 52.03 39.13 16.69 16.44 7.68
1985 3.42 1.78 2.33 8.54 18.9 65.27 44.9 45.89 36.78 27.03 25.88 18.48
1986 3.63 4.98 11.61 16.79 24.73 78.48 93.88 55.43 28.88 51.75 28.18 12.54
1987 4.46 4.58 5.11 9.92 29.76 46.11 66.49 69.57 29.08 35.3 21.67 11.82
1988 2.97 2.47 1.44 6.31 12.85 40.47 60.62 26.09 19.68 32.49 41.27 19.33
1989 5.6 3.73 14.1 8.74 29.21 35.14 63.85 29.88 20.81 22.51 21.6 8.25
1990 2.95 3.92 6.81 10.75 52.41 52.39 59.39 51.21 24.17 18.99 20.38 16.28
1991 3.78 2.61 7.01 9.65 17.63 31.49 86.02 79.04 41.98 23.74 25.22 7.87
1992 5.01 3.77 3.67 5.97 10.16 20.41 67.34 67.03 19.84 10.63 13.47 8.25
1993 7.25 7.34 8.31 14.79 28.43 57.02 56.29 54.67 29.68 18.7 24.84 15.19
1994 7.23 6.87 8.61 15.45 40.39 48.51 97.51 67.03 38.17 46.76 24.2 11.8
1995 7.25 6.49 7.29 20.03 22.01 48.41 43.86 24.36 16.69 21.75 15.95 9.75
1996 6.99 8.04 11.08 9.3 28.12 48.05 74.06 45.19 24.57 35.14 15.34 19.81
1997 10.85 8.51 6.97 7.56 18.24 16.85 99.5 61.56 19.26 13.92 14.05 7.76
1998 6.58 6.51 6.56 13.41 36.3 83.56 105.9 42.16 18.04 23.95 18.94 12.25
1999 7.12 8.84 7.93 21.2 19.12 31.18 34.08 28.37 33.35 27.85 20.02 11.25
2000 5.59 6.24 8.13 8.96 23.67 33.92 42.49 52.64 39.01 26.92 29.74 11.9
2001 6.75 4.48 4.96 5.47 15.71 17.34 44.57 65.32 42.52 18.97 22.11 16.19
2003 0.4 0.35 0.94 5.52 27.12 25.02 79.24 44.64 30.7 34.63 28.71 18.59
2004 1.06 0.62 0.8 5.13 48.82 85.71 48.77 106.71 0 0 0 0
2005 0 0 0 0 0 0 41.25 61.9 104.15 109.9 117.6 51.32
2006 43.48 33.25 12.29 23.55 31.39 69.82 116.12 115.72 83.48 41.4 38.32 12.93
2007 4.28 2.05 2.65 14.19 29.53 64.25 50.26 72.15 33.88 30.87 26.52 10.58
2008 6.4 3.22 3.79 6.2 25.95 59.78 84.07 49.82 38.3 25.77 67.24 22.09
2009 6.99 7.12 6.96 17.6 16.53 35.03 53.1 65.59 29.32 26.8 14.01 4.71
2010 4.25 4.05 4.74 15.16 33.52 34.55 69.1 26.46 13.09 18.03 31.49 23.96
2011 6.62 6.5 16.98 52.68 51.06 53.15 38.57 34.85 28.13 31.18 48.07 30.58
Fuente: Corporación Autónoma Regional de Chivor – CORPOCHIVOR.
119
Tabla 30 Datos de Precipitación (m.m) – Estación Chinavita.
AÑO ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC
1976 22.0 59.0 85.0 161.0 291.0 345.0 318.0 206.0 212.0 233.0 170.0 89.0
1977 0.0 24.0 57.0 115.0 240.0 271.0 243.0 190.0 164.0 103.0 96.0 4.0
1978 9.0 14.0 57.0 209.0 212.0 203.0 223.0 225.0 175.0 106.0 49.0 36.0
1979 15.0 15.0 29.0 138.0 182.8 212.5 209.0 239.0 92.0 136.0 267.0 164.0
1980 14.0 21.0 120.0 222.0 218.0 370.0 184.0 305.0 277.0 163.0 99.0 47.0
1981 29.0 86.0 33.0 195.0 72.0 156.0 187.0 137.0 173.0 190.0 128.0 71.0
1982 39.0 60.0 95.0 183.0 299.0 322.0 241.0 327.0 186.0 136.0 70.0 48.0
1983 26.0 164.0 126.0 191.0 282.0 317.0 236.0 187.0 83.0 135.0 188.0 53.6
1984 15.6 63.6 35.6 138.6 169.6 396.6 326.6 298.6 274.6 126.6 94.0 69.0
1985 15.0 5.0 14.0 62.0 206.0 189.6 179.1 154.6 222.6 169.6 72.6 44.6
1986 6.6 82.9 53.4 79.5 148.6 180.8 300.6 170.6 202.6 121.0 33.6 22.1
1987 3.1 43.4 61.4 108.4 139.3 151.4 226.6 198.9 101.6 168.1 61.7 12.2
1988 9.0 16.0 109.6 133.4 195.0 468.0 573.0 206.0 177.0 247.0 215.0 100.0
1989 17.0 26.7 61.0 56.3 94.5 174.0 106.2 58.2 36.7 33.4 36.0 5.5
1990 198.3 163.4 221.5 154.4 109.6 129.3 118.2 46.5
1991 6.0 37.1 95.8 84.5 152.9 172.1 275.9 252.1 122.8 136.7 66.5 28.2
1992 10.7 40.0 30.3 108.9 131.0 121.9 284.2 206.2 115.4 58.8 103.0 18.4
1993 34.7 23.6 80.4 126.8 229.0 195.3 227.7 154.2 157.7 130.6 137.5 39.9
1994 21.1 74.7 92.9 184.8 223.5 191.0 272.1 354.1 112.1 136.0 103.9 21.5
1995 18.8 0.0 88.6 277.7 203.0 285.3 179.4 170.2 97.7 113.6 112.5 52.3
1996 19.1 105.5 38.0 78.5 228.7 251.6 203.4 198.4 110.7 140.7 75.8 86.7
1997 38.1 46.9 22.4 56.1 132.0 158.7 275.1 169.2 83.4 93.5 108.3 6.7
1998 0.8 20.9 66.1 176.6 267.9 258.2 306.4 152.8 115.5 163.6 113.4 67.5
1999 30.4 81.3 81.7 172.5 135.1 188.0 199.5 88.5 212.1 149.3 73.1 52.8
2000 32.9 72.8 130.0 76.4 224.8 191.9 226.1 278.5 239.6 151.3 79.0 68.7
2001 3.4 11.9 27.0 52.0 178.9 181.5 154.3 188.1 201.4 126.7 157.7 75.2
2002 3.7 28.4 61.7 144.2 187.8 216.3 175.0 243.1 143.8 92.9 64.1 19.6
2003 2.9 6.8 65.3 110.0 161.7 162.9 260.6 130.2 153.9 134.0 97.8 107.9
2004 15.4 49.1 41.0 129.5 277.0 233.7 213.1 208.1 82.0 143.8 103.7 27.7
2005 20.8 64.7 38.6 107.8 209.8 175.0 109.0 123.8 175.1 152.4 121.1 35.2
2006 64.1 4.9 118.5 134.3 131.3 313.6 175.9 170.1 97.0 220.8 149.9 28.2
2007 7.3 20.1 61.3 149.6 148.3 206.2 93.6 235.2 129.7 147.7 117.1 60.3
2008 17.9 28.7 45.1 31.9 352.2 261.9 236.6 134.6 129.4 93.3 193.7 27.4
2009 31.1 15.0 87.2 92.9 87.3 163.8 152.5 190.1 88.4 86.2 54.5 7.0
2010 1.2 47.2 68.9 186.6 246.3 166.0 310.7 112.9 72.6 114.2 163.2 119.1
2011 10.5 75.8 149.9 225.1 231.2 201.9 137.7 151.5 149.4 226.6 232.8 90.3
2012 26.1 36.8 136.6 266.9 147.8 146.7 295.2 242.2 87.2 85.1 68.5 23.3
Fuente: Corporación Autónoma Regional de Chivor – CORPOCHIVOR.
120
Tabla 31 Datos de Precipitación (m.m) – Estación de Garagoa.
AÑO ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC
1976 5.0 31.0 50.0 198.0 204.0 266.0 243.0 165.0 135.0 70.0 96.0 58.0
1977 0.0 12.0 38.0 86.0 178.0 160.0 168.0 151.0 222.0 49.0 156.0 0.0
1978 0.0 0.0 67.0 188.0 173.0 163.0 144.0 223.0 113.0 146.0 15.0 28.0
1979 7.0 0.0 14.0 131.0 113.0 148.0 170.0 202.0 75.0 99.0 211.0 82.0
1980 6.0 5.0 62.0 70.0 175.0 293.0 194.0 142.0 86.0 99.0 12.0 3.0
1981 5.0 68.0 30.0 148.0 238.0 192.0 157.0 107.0 171.0 95.0 52.0 34.0
1982 28.6 17.6 77.6 162.3 156.6 129.6 167.6 278.6 112.6 80.6 62.6 24.6
1983 9.6 127.8 84.6 187.6 120.6 125.9 250.6 209.6 79.6 109.6 36.0 32.0
1984 12.6 34.6 2.9 133.5 138.6 289.6 241.6 227.6 181.6 33.1 63.6 36.6
1985 15.6 9.6 39.6 61.6 124.5 188.1 132.5 161.6 138.6 137.3 81.3 29.5
1986 3.1 80.4 84.9 123.2 175.9 245.9 233.0 128.8 88.9 138.1 67.4 27.3
1987 0.6 60.9 64.6 117.8 162.5 148.0 182.4 217.3 130.4 121.2 46.5 39.3
1988 0.8 16.2 23.5 121.8 178.6 173.0 165.5 106.9 136.4 168.4 95.5 39.1
1989 22.7 18.0 41.5 56.2 188.5 140.1 203.6 66.5 117.3 99.6 79.5 10.3
1990 182.2 144.9 130.3 82.1 62.0 75.5
1991 2.9 14.9 174.3 71.5 162.7 166.2 283.0 404.4 97.9 89.5 99.6 2.0
1992 12.8 26.0 19.2 98.1 117.1 137.3 246.7 219.0 117.2 58.4 87.7 16.2
1993 31.9 14.6 80.2 117.7 204.9 195.8 226.4 101.9 120.1 59.2 146.8 37.9
1994 12.3 19.0 50.6 100.3 211.7 167.8 226.2 246.7 101.8 136.8 79.0 33.7
1995 35.2 0.5 46.7 190.1 185.3 221.8 154.8 150.1 110.8 131.9 63.5 30.9
1996 26.9 48.8 42.8 74.7 181.6 200.1 213.4 199.1 161.7 155.4 71.7 58.7
1997 20.1 45.6 18.5 79.4 151.8 165.5 215.5 171.9 53.7 43.9 77.0 33
1998 0.8 28.4 65.4 144.0 236.5 229.1 317.0 132.6 130.9 83.6 88.4 97.5
1999 22.1 69.4 71.5 173.1 141.7 181.4 183.2 76.1 172.3 116.2 101.3 34.2
2000 31.0 9.6 60.3 61.9 216.7 167.5 231.4 249.0 188.0 116.9 56.9 35.5
2001 8.1 8.0 25.9 72.8 141.5 138.8 172.9 146.1 188.8 105.0 68.5 105.4
2002 3.8 23.5 57.3 118.4 218.3 173.4 180.5 224.8 148.3 91.7 69.0 12.8
2003 1.7 12.5 79.1 128.4 197.7 192.5 239.2 175.3 121.4 92.2 156.9 65.9
2004 11.5 57.8 64.3 145.8 307.7 266.1 241.2 214.2 83.0 91.5 69.9 21.6
2005 25.0 55.3 23.1 122.9 246.3 153.1 89.9 156.4 157.6 134.7 133.1 5.1
2006 45.3 0.9 162.3 145.1 140.8 334.0 177.5 154.3 89.7 178.5 101.8 17.8
2007 1.1 25.7 61.6 113.4 290.3 188.9 82.9 189.5 161.1 102.9 73.3 45.9
2008 15.3 13.7 46.0 50.9 182.8 281.4 218.1 113.2 127.1 98.9 166.8 15
2009 21.8 17.1 82.4 116.0 91.9 181.3 140.0 191.8 76.8 111.2 47.1 5.3
2010 1.7 28.9 95.3 138.4 232.3 137.8 234.5 106.7 56.6 114.3 186.1 55
2011 16.0 79.3 102.4 177.9 242.6 225.6 152.5 131.1 196.9 183.9 263.7 58.8
2012 16.4 52.7 142.6 244.0 153.6 155.5 321.6 268.8 104.5 116.7 76.9 19.4
Fuente: Corporación Autónoma Regional de Chivor – CORPOCHIVOR.
121
Tabla 32 Datos de Precipitación (m.m) – Estación de Pachavita.
AÑO ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC
1976 14.7 47.2 37.0 180.0 258.0 274.0 243.0 174.0 114.0 126.0 122.0 67.0
1977 1.0 16.0 15.0 147.0 195.0 218.0 132.0 161.0 153.0 79.0 85.0 5.0
1978 8.0 9.0 85.0 167.0 157.0 218.0 118.0 167.0 142.5 149.0 35.5 39.0
1979 12.0 5.0 109.0 272.0 182.0 535.0 456.0 849.0 498.0 329.0 384.0 101.0
1980 10.0 11.0 54.0 173.0 267.0 411.0 264.0 190.0 106.0 117.0 32.0 11.0
1981 35.0 78.0 16.0 220.0 167.0 218.0 177.0 103.0 146.0 137.0 114.0 43.0
1982 37.6 57.6 95.6 242.6 194.6 158.6 189.6 244.6 124.6 176.6 75.6 17.6
1983 10.0 97.0 85.0 287.0 188.0 246.0 214.0 215.9 102.3 138.0 92.1 69.0
1984 16.0 52.0 31.0 121.0 133.0 246.0 188.0 205.0 150.0 56.0 46.2 10.4
1985 5.7 7.6 29.8 98.3 162.3 183.2 110.0 187.2 131.5 111.7 143.6 41.3
1986 0.7 108.7 69.4 104.1 148.4 253.3 194.0 115.7 66.9 145.7 48.4 38.6
1987 6.8 39.6 57.6 102.8 164.5 146.0 203.8 213.3 82.7 167.6 57.0 31.7
1988 6.5 12.0 10.9 90.3 187.5 309.4 326.2 101.4 47.6 62.6 176.0 27.4
1989 15.3 29.0 83.6 61.5 162.2 177.0 52.5 82.6 108.5 102.4 72.3 3.1
1990 36.8 43.3 25.9 21.3 17.0 7.0
1991 1.7 2.0 24.2 18.2 149.0 182.0 367.0 426.0 254.0 169.0 25.1 5.1
1992 0.4 5.1 0.6 53.1 23.9 88.0 222.0 203.4 94.5 88.0 76.0 15.0
1993 103.0 44.4 103.5 223.0 281.8 193.0 192.0 105.0 74.0 54.0 80.6 15.5
1994 45.0 0.0 60.0 85.0 137.0 150.0 243.0 186.0 136.0 200.0 92.0 42.0
1995 28.0 0.0 222.0 107.0 114.0 182.0 134.0 154.0 92.0
1996 38.0 109.0 173.0 101.0 386.0 358.0 295.0 339.0 252.0 146.4 46.0 46.0
1997 43.0 72.0 66.0 94.0 154.0 116.0 311.2 163.0 72.0 76.0 76.0 7.0
1998 2.0 26.0 59.0 163.3 227.3 167.9 274.6 120.6 114.3 87.4 48.8 65.9
1999 37.6 66.2 57.8 132.3 83.5 165.9 218.3 67.4 173.2 127.0 36.4 15.8
2000 13.1 17.3 72.4 43.0 257.2 158.4 181.8 225.7 234.1 105.6 62.4 58.8
2001 3.4 14.4 100.8 99.3 168.4 141.1 133.5 128.2 147.9 111.6 116.3 82.5
2002 7.0 52.6 58.9 197.0 186.4 126.8 151.7 210.5 158.4 178.0 47.4 11.8
2003 10.0 9.3 74.9 138.3 179.6 175.8 230.3 142.3 131.9 146.0 104.5 27.0
2004 2.3 58.5 59.6 150.0 316.7 214.9 194.4 176.8 112.9 104.8 73.7 40.4
2005 19.4 31.7 33.4 116.1 227.3 97.3 105.6 140.0 142.6 141.0 156.2 12.5
2006 33.7 0.7 115.1 164.1 124.2 276.8 149.6 198.5 81.2 188.3 93.0 37.7
2007 2.2 32.3 67.0 98.3 204.3 187.2 79.9 196.9 139.0 144.0 79.6 41.2
2008 10.3 19.7 60.4 49.1 168.1 228.1 211.6 103.3 134.4 87.8 125.4 24.2
2009 25.1 10.0 49.2 105.1 86.0 304.2 135.6 182.8 75.3 85.0 73.0 12.7
2010 1.3 44.0 86.9 168.3 224.1 101.7 242.0 97.9 63.9 125.4 147.8 102.3
2011 7.2 71.2 129.4 196.8 240.1 184.7 126.7 128.9 127.2 146.0 214.5 74.2
2012 4.9 34.6 136.0 204.2 117.6 154.9 224.5 220.3 75.0 146.9 77.7 29.5
Fuente: Corporación Autónoma Regional de Chivor – CORPOCHIVOR.
122
HISTOGRAMAS DE CAUDAL:
Gráfica 36 Valor Mensual Promedio para el mes de Enero - Multianual de Caudal –Estación “El Caracol”.
Fuente: Propia.
Gráfica 37 Valor Mensual Promedio para el mes de Febrero - Multianual de Caudal–Estación “El Caracol”.
Fuente: Propia.
ENERO; 6,62
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
40,00
45,00
50,00
Cau
dal
(M
3 /
Seg)
ENERO
FEBRERO; 6,50
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
Cau
dal
(m
3 /
seg)
FEBRERO
123
Gráfica 38 Valor Mensual Promedio para el mes de Marzo - Multianual de Caudal – Estación “El Caracol”.
Fuente: Propia.
Gráfica 39 Valor Mensual Promedio para el mes de Abril - Multianual de Caudal – Estación “El Caracol”.
Fuente: Propia.
MARZO; 6,56
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
16,00
18,00C
aud
al (
M3
/ se
g)MARZO
ABRIL; 52,68
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
Cau
dal
(m
3 /s
eg)
ABRIL
124
Gráfica 40 Valor Mensual Promedio para el mes de Mayo - Multianual de Caudal – Estación “El Caracol”.
Fuente: Propia.
Gráfica 41 Valor Mensual Promedio para el mes de Junio - Multianual de Caudal – Estación “El Caracol”.
Fuente: Propia.
MAYO; 51,06
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
Cau
dal
(m
3 /s
eg)
MAYO
JUNIO; 83,56
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
Cau
dal
(m
3 /s
eg)
JUNIO
125
Gráfica 42 Valor Mensual Promedio para el mes de Julio - Multianual de Caudal – Estación “El Caracol”.
Fuente: Propia.
Gráfica 43 Valor Mensual Promedio para el mes de Agosto - Multianual de Caudal – Estación “El Caracol”.
Fuente: Propia.
JULIO; 38,57
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
140,00
Cau
dal
(m
3 /s
eg)
JULIO
AGOSTO; 34,85
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
140,00
Cau
dal
(m
3 /s
eg)
AGOSTO
126
Gráfica 44 Valor Mensual Promedio para el mes de Septiembre - Multianual de Caudal – Estación “El Caracol”.
Fuente: Propia.
Gráfica 45 Valor Mensual Promedio para el mes de Octubre - Multianual de Caudal – Estación “El Caracol”.
Fuente: Propia.
SEPTIEMBRE; 28,13
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
Cau
dal
(m
3 /s
eg)
SEPTIEMBRE
OCTUBRE; 31,18
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
Cau
dal
(m
3 /s
eg)
OCTUBRE
127
Gráfica 46 Valor Mensual Promedio para el mes de Noviembre - Multianual de Caudal – Estación “El Caracol”.
Fuente: Propia.
Gráfica 47 Valor Mensual Promedio para el mes de Diciembre - Multianual de Caudal – Estación “El Caracol”.
Fuente: Propia.
NOVIEMBRE; 48,07
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
140,00C
aud
al (
m3
/se
g)NOVIEMBRE
DICIEMBRE; 30,58
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
1974
1976
1978
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
2000
2003
2005
2007
2009
2011
Cau
dal
(m
3 /s
eg)
DICIEMBRE
128
Tabla 33 calculo de las alturas para las secciones de la lámina de agua mes de Julio – Modelo dinámico con variables retardadas.
Año sección 1 sección 2 sección 3 sección 4 sección 5 sección 6 sección 7 sección 8 sección 9 sección
10 sección
11 sección
12 sección
13 sección
14 sección
15 sección
16 sección
17 sección
18 sección
19 sección
20 sección
21
1977 5.44 5.09 4.91 3.74 5.24 4.13 5.07 4.40 5.21 4.34 4.51 5.12 5.33 5.72 5.49 5.52 5.00 4.95 4.33 5.64 5.25
1978 4.62 4.31 4.14 3.08 4.47 3.44 4.28 3.68 4.41 3.74 3.88 4.33 4.51 4.96 4.66 4.79 4.22 4.18 3.68 4.74 4.44
1979 4.25 3.98 3.83 2.90 4.16 3.22 3.96 3.43 4.07 3.44 3.56 4.00 4.16 4.50 4.29 4.35 3.90 3.87 3.35 4.30 4.10
1980 3.98 3.72 3.58 2.70 3.91 3.00 3.70 3.20 3.81 3.23 3.35 3.74 3.89 4.23 4.01 4.09 3.65 3.62 3.14 4.00 3.83
1981 5.37 5.04 4.86 3.76 5.20 4.13 5.02 4.38 5.15 4.26 4.42 5.07 5.26 5.56 5.42 5.37 4.95 4.91 4.22 5.53 5.19
1982 6.59 6.33 6.19 5.30 6.52 5.60 6.31 5.81 6.42 4.98 5.10 6.35 6.51 6.00 6.63 5.85 6.26 6.23 4.89 6.62 6.45
1983 5.07 4.80 4.66 3.72 4.98 4.04 4.78 4.25 4.90 3.99 4.12 4.82 4.99 5.06 5.12 4.90 4.73 4.69 3.90 5.13 4.92
1984 6.47 6.23 6.10 5.26 6.42 5.55 6.21 5.74 6.31 4.87 4.98 6.25 6.39 5.81 6.50 5.68 6.16 6.13 4.77 6.47 6.34
1985 4.69 4.45 4.33 3.51 4.65 3.79 4.44 3.98 4.54 3.67 3.78 4.47 4.61 4.59 4.72 4.46 4.39 4.36 3.57 4.68 4.56
1986 4.12 3.83 3.67 2.68 4.00 3.02 3.81 3.25 3.93 3.38 3.52 3.85 4.03 4.52 4.17 4.36 3.75 3.72 3.31 4.21 3.96
1987 5.20 4.98 4.86 4.10 5.18 4.36 4.96 4.54 5.06 3.99 4.09 5.00 5.13 4.83 5.23 4.71 4.92 4.89 3.87 5.16 5.08
1988 4.91 4.65 4.51 3.62 4.84 3.93 4.63 4.13 4.74 3.85 3.97 4.67 4.82 4.86 4.94 4.72 4.58 4.55 3.76 4.93 4.76
1989 4.45 4.21 4.07 3.20 4.40 3.50 4.19 3.70 4.29 3.54 3.66 4.22 4.37 4.52 4.49 4.38 4.14 4.10 3.44 4.47 4.32
1990 4.54 4.27 4.12 3.19 4.45 3.50 4.25 3.72 4.36 3.63 3.76 4.29 4.45 4.70 4.58 4.54 4.19 4.16 3.55 4.59 4.39
1991 4.32 4.09 3.96 3.12 4.28 3.41 4.07 3.60 4.17 3.44 3.55 4.10 4.25 4.37 4.36 4.24 4.02 3.99 3.34 4.32 4.19
1992 5.06 4.85 4.74 3.99 5.06 4.25 4.83 4.42 4.92 3.88 3.98 4.87 4.99 4.70 5.09 4.58 4.79 4.76 3.76 5.01 4.94
1993 5.52 5.38 5.30 4.76 5.60 4.95 5.37 5.07 5.43 4.09 4.16 5.39 5.48 4.66 5.55 4.58 5.34 5.32 3.95 5.39 5.44
1994 5.31 5.05 4.90 4.00 5.23 4.31 5.03 4.52 5.14 4.13 4.25 5.06 5.22 5.15 5.34 5.00 4.98 4.94 4.03 5.34 5.16
1995 5.71 5.46 5.33 4.48 5.65 4.77 5.44 4.96 5.55 4.37 4.49 5.48 5.63 5.33 5.74 5.19 5.40 5.36 4.27 5.71 5.57
1996 5.86 5.64 5.53 4.77 5.85 5.03 5.63 5.20 5.72 4.42 4.52 5.66 5.79 5.26 5.89 5.14 5.59 5.56 4.30 5.81 5.74
1997 6.94 6.66 6.51 5.56 6.84 5.89 6.64 6.10 6.76 5.24 5.37 6.68 6.85 6.33 6.98 6.17 6.59 6.55 5.16 7.00 6.78
1998 5.29 5.03 4.89 4.01 5.22 4.32 5.01 4.52 5.12 4.10 4.22 5.05 5.20 5.10 5.32 4.96 4.96 4.93 4.01 5.31 5.15
1999 5.50 5.22 5.07 4.13 5.40 4.45 5.20 4.67 5.32 4.27 4.40 5.24 5.41 5.35 5.54 5.20 5.15 5.11 4.19 5.55 5.34
2000 5.28 5.09 4.99 4.31 5.30 4.54 5.08 4.70 5.16 4.00 4.09 5.10 5.22 4.73 5.31 4.63 5.04 5.01 3.87 5.20 5.17
2001 4.58 4.29 4.13 3.12 4.46 3.46 4.26 3.69 4.39 3.70 3.83 4.31 4.48 4.86 4.63 4.69 4.21 4.17 3.63 4.68 4.42
2002 3.73 3.49 3.35 2.50 3.68 2.80 3.47 2.99 3.57 3.05 3.16 3.50 3.65 4.00 3.76 3.87 3.42 3.39 2.95 3.73 3.59
2003 4.40 4.14 4.00 3.11 4.33 3.42 4.12 3.62 4.23 3.51 3.64 4.16 4.31 4.52 4.44 4.38 4.07 4.04 3.42 4.42 4.25
2004 4.03 3.77 3.63 2.73 3.95 3.03 3.75 3.24 3.86 3.28 3.40 3.79 3.94 4.30 4.07 4.15 3.70 3.66 3.19 4.06 3.89
2005 6.05 5.75 5.58 4.54 5.91 4.89 5.72 5.13 5.85 4.69 4.83 5.77 5.95 5.90 6.10 5.73 5.66 5.62 4.63 6.17 5.88
2006 6.70 6.42 6.27 5.30 6.60 5.63 6.40 5.85 6.52 5.09 5.22 6.44 6.61 6.20 6.75 6.04 6.35 6.31 5.01 6.78 6.55
2007 4.00 3.80 3.69 2.99 4.01 3.23 3.78 3.39 3.87 3.15 3.25 3.81 3.93 3.92 4.02 3.81 3.75 3.72 3.03 3.93 3.89
2008 5.25 4.93 4.75 3.66 5.09 4.03 4.91 4.28 5.04 4.18 4.33 4.95 5.15 5.46 5.30 5.27 4.84 4.80 4.13 5.40 5.07
2009 5.20 4.92 4.76 3.80 5.09 4.13 4.89 4.35 5.01 4.08 4.21 4.94 5.10 5.18 5.24 5.03 4.84 4.80 4.00 5.26 5.04
2010 3.77 3.56 3.45 2.73 3.77 2.98 3.55 3.14 3.63 3.01 3.11 3.58 3.70 3.81 3.80 3.69 3.51 3.48 2.89 3.71 3.65
2011 5.21 4.90 4.74 3.70 5.07 4.05 4.88 4.29 5.01 4.13 4.27 4.93 5.11 5.34 5.26 5.16 4.82 4.78 4.07 5.33 5.04
Fuente: Propia.
129
Tabla 34 calculo de las alturas para las secciones de la lámina de agua para el mes de Julio – Modelo de regresión lineal.
Año sección 1 sección 2 sección 3 sección 4 sección 5 sección 6 sección 7 sección 8 sección 9
sección 10
sección 11
sección 12
sección 13
sección 14
sección 15
sección 16
sección 17
sección 18
sección 19
sección 20
sección 21
1976 7.17 6.88 6.73 5.74 7.06 6.08 6.86 6.30 6.98 5.41 5.54 6.90 7.08 6.55 7.21 6.38 6.80 6.77 5.35 7.25 7.01
1977 4.82 4.60 4.48 3.71 4.81 3.97 4.59 4.15 4.68 3.74 3.85 4.62 4.75 4.61 4.86 4.48 4.54 4.51 3.63 4.79 4.70
1978 4.30 4.09 3.98 3.25 4.30 3.50 4.08 3.67 4.16 3.37 3.47 4.11 4.23 4.17 4.33 4.06 4.04 4.01 3.25 4.24 4.18
1979 5.69 5.33 5.14 3.94 5.47 4.35 5.31 4.62 5.46 4.52 4.69 5.36 5.57 5.94 5.74 5.73 5.24 5.19 4.50 5.91 5.49
1980 5.12 4.84 4.69 3.72 5.02 4.05 4.82 4.27 4.94 4.03 4.16 4.86 5.03 5.14 5.16 4.98 4.76 4.73 3.95 5.19 4.96
1981 7.65 7.50 7.42 6.88 7.73 7.07 7.49 7.19 7.56 5.51 5.58 7.52 7.60 6.07 7.67 6.00 7.46 7.44 5.36 7.52 7.57
1982 6.41 6.20 6.08 5.32 6.40 5.58 6.18 5.76 6.27 4.80 4.90 6.22 6.34 5.64 6.45 5.52 6.14 6.11 4.68 6.37 6.29
1983 10.67 10.51 10.42 9.82 10.73 10.03 10.50 10.17 10.57 7.55 7.63 10.52 10.62 8.19 10.70 8.10 10.47 10.44 7.41 10.56 10.58
1984 7.16 6.90 6.76 5.85 7.09 6.16 6.88 6.37 6.99 5.37 5.49 6.92 7.08 6.39 7.20 6.25 6.83 6.80 5.28 7.20 7.02
1985 3.95 3.77 3.67 2.99 3.98 3.23 3.75 3.38 3.83 3.11 3.20 3.78 3.89 3.84 3.98 3.74 3.72 3.69 2.98 3.87 3.85
1986 9.23 9.02 8.91 8.19 9.23 8.44 9.01 8.60 9.09 6.65 6.75 9.04 9.16 7.45 9.26 7.34 8.97 8.94 6.53 9.17 9.11
1987 6.72 6.50 6.38 5.60 6.70 5.87 6.48 6.05 6.58 5.01 5.11 6.51 6.65 5.86 6.75 5.74 6.44 6.41 4.89 6.68 6.60
1988 6.27 5.89 5.69 4.43 6.03 4.86 5.87 5.14 6.03 4.94 5.11 5.92 6.15 6.44 6.33 6.22 5.79 5.74 4.93 6.53 6.06
1989 4.53 4.38 4.30 3.76 4.61 3.95 4.37 4.07 4.43 3.42 3.49 4.39 4.48 3.98 4.55 3.91 4.34 4.32 3.28 4.39 4.45
1990 4.49 4.32 4.23 3.62 4.54 3.83 4.31 3.97 4.38 3.44 3.52 4.33 4.43 4.09 4.51 4.00 4.28 4.25 3.30 4.38 4.40
1991 6.20 5.84 5.64 4.40 5.97 4.82 5.81 5.10 5.96 4.88 5.05 5.86 6.08 6.35 6.26 6.13 5.74 5.69 4.86 6.45 6.00
1992 5.85 5.55 5.39 4.38 5.72 4.72 5.53 4.95 5.65 4.54 4.68 5.57 5.75 5.71 5.89 5.54 5.47 5.43 4.47 5.95 5.68
1993 5.91 5.66 5.52 4.64 5.85 4.94 5.64 5.14 5.75 4.52 4.64 5.68 5.83 5.52 5.95 5.38 5.59 5.56 4.43 5.94 5.77
1994 7.49 7.23 7.09 6.19 7.42 6.50 7.21 6.70 7.32 5.58 5.70 7.25 7.41 6.61 7.53 6.46 7.16 7.13 5.49 7.52 7.35
1995 7.24 7.12 7.05 6.59 7.35 6.76 7.11 6.86 7.16 5.19 5.25 7.13 7.20 5.65 7.26 5.59 7.09 7.07 5.04 7.08 7.17
1996 9.08 8.86 8.74 7.95 9.06 8.22 8.84 8.40 8.94 6.59 6.70 8.88 9.01 7.47 9.12 7.35 8.80 8.77 6.48 9.06 8.96
1997 7.88 7.60 7.45 6.47 7.78 6.81 7.58 7.03 7.70 5.88 6.01 7.62 7.79 7.00 7.93 6.84 7.52 7.49 5.80 7.96 7.73
1998 6.60 6.26 6.07 4.92 6.41 5.31 6.23 5.57 6.38 5.11 5.27 6.28 6.49 6.46 6.65 6.26 6.17 6.12 5.07 6.79 6.41
1999 7.80 7.61 7.50 6.82 7.82 7.06 7.59 7.21 7.68 5.68 5.78 7.62 7.74 6.43 7.83 6.33 7.56 7.53 5.56 7.73 7.69
2000 5.81 5.55 5.42 4.54 5.74 4.84 5.53 5.04 5.64 4.45 4.57 5.57 5.72 5.44 5.84 5.30 5.48 5.45 4.35 5.83 5.66
2001 4.37 4.17 4.05 3.33 4.37 3.58 4.15 3.74 4.24 3.42 3.51 4.18 4.30 4.22 4.40 4.10 4.11 4.08 3.30 4.31 4.26
2002 5.75 5.56 5.45 4.76 5.77 5.00 5.54 5.16 5.62 4.32 4.41 5.57 5.68 5.06 5.78 4.96 5.50 5.48 4.19 5.67 5.64
2003 5.26 4.96 4.79 3.76 5.12 4.11 4.93 4.35 5.06 4.16 4.30 4.98 5.16 5.35 5.31 5.18 4.88 4.84 4.09 5.37 5.09
2004 7.27 7.04 6.92 6.12 7.24 6.40 7.03 6.58 7.12 5.39 5.49 7.06 7.20 6.27 7.30 6.15 6.98 6.95 5.27 7.25 7.14
2005 5.23 5.15 5.10 4.77 5.38 4.89 5.14 4.97 5.18 3.78 3.82 5.16 5.20 4.09 5.24 4.05 5.13 5.11 3.63 5.05 5.19
2006 5.36 5.16 5.05 4.34 5.37 4.58 5.14 4.75 5.23 4.07 4.16 5.17 5.29 4.85 5.39 4.74 5.10 5.08 3.94 5.29 5.25
2007 4.06 3.98 3.93 3.58 4.21 3.70 3.97 3.78 4.01 3.02 3.06 3.98 4.04 3.35 4.08 3.31 3.95 3.94 2.86 3.89 4.02
2008 5.53 5.26 5.11 4.18 5.44 4.50 5.24 4.71 5.36 4.29 4.42 5.28 5.44 5.36 5.57 5.21 5.19 5.15 4.21 5.59 5.38
2009 4.33 4.14 4.04 3.36 4.35 3.60 4.13 3.75 4.21 3.36 3.45 4.16 4.27 4.09 4.36 3.99 4.09 4.06 3.23 4.25 4.22
2010 6.88 6.59 6.44 5.45 6.76 5.79 6.57 6.01 6.69 5.22 5.35 6.61 6.78 6.35 6.92 6.19 6.51 6.48 5.14 6.96 6.72
2011 7.06 6.97 6.91 6.53 7.20 6.66 6.96 6.75 7.00 5.04 5.08 6.97 7.03 5.41 7.08 5.36 6.94 6.93 4.88 6.89 7.01
Fuente: Propia.
130
Tabla 35 Alturas del río Garagoa – Estación “Caracol”.
Año/mes ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic varAnual
1982 4 3.2 2.39 1.56 4
1983 1.14 2.27 2.5 3.16 2.5 2.6 3.7 4 2.54 2.5 1.82 4
1984 1.04 1.6 2.26 3.5 4.2 4 3 3.13 3.02 1.82 4.2
1985 1.4 0.94 1.2 2.16 2.8 3.9 3.2 3.36 5 3.3 3.1 2.94 5
1986 1.24 2.03 3.2 2.48 3.16 5 4.6 3.34 3.38 3.58 2.9 2.12 5
1987 1.35 1.65 1.83 2.12 3.46 4.2 4.72 3.88 2.68 3.8 2.98 2.64 4.72
1988 1.16 1.22 1 1.96 2.45 3.8 3.56 2.74 2.8 3.24 3.24 2.91 3.8
1989 1.78 1.32 2.3 2.25 2.98 3.24 4.84 3.6 2.69 3.08 4.08 1.98 4.84
1990 1.44 1.87 2.16 2.72 4.2 3.28 4.08 4.32 3.17 2.9 2.76 3.3 4.32
1991 1.3 1.55 2.05 2 2.78 3.68 4.76 4.57 3.8 3.54 2.92 1.57 4.76
1992 1.17 1.11 1.49 1.87 2.4 2.76 4.25 4.18 2.94 2.14 2.82 2.16 4.25
1993 1.48 1.68 2.13 2.55 2.63 4.06 3.54 3.36 4 2.54 3.24 3 4.06
1994 1.2 1.17 2.18 3 3.14 4.5 4.1 3.4 3.64 3.36 3.1 1.74 4.5
1995 1.51 0.98 1.6 3.18 2.78 4.46 3.3 2.88 2.36 3.48 2.86 1.92 4.46
1996 1.3 1.84 2.2 1.83 3.16 3.88 4.12 3.35 2.56 3 2.2 2.65 4.12
1997 1.9 1.84 2 1.48 2.75 2.39 3.75 3.3 3 2.4 2.95 1.48 3.75
1998 0.99 1.15 1.2 3.08 3.36 4.5 4.6 3.2 2.65 4.24 3.04 2.96 4.6
1999 1.48 2.29 2.4 3.12 2.58 2.8 3.26 3.16 3.77 3.04 2.8 2.52 3.77
2000 1.83 2.06 2.24 1.93 3.2 4.3 3.44 3.95 3.65 2.55 3.7 2.49 4.3
2001 1.95 1.08 1.49 1.56 3.06 2.73 3.26 3.74 3.5 3.01 3.42 2.44 3.74
2002 1.4 1.44 1.6 2.32 4.04 3.8 3.76 4.65 3.54 2.25 2.76 1.59 4.65
2003 0.99 0.94 1.43 2.25 3.85 3 3.7 3.2 2.97 3.5 2.8 3.26 3.85
2004 1.22 1.4 1.72 2.24 4.99 3.75 3.15
2005 3.5
2006 2.76 2.96 2.78 2.54 2.97 3.51 4.5 4.2 3.84 2.9 4.3 2.18 4.5
2007 1.46 1.36 1.54 2.64 2.77 3.9 3.31 3.82 2.93 2.77 2.78 2.02 3.9
2008 1.74 1.5 1.86 2.09 2.84 3.65 3.9 2.89 2.74 2.8 3.58 2.69 3.9
2009 1.76 2.2 1.85 2.66 2.86 2.92 3.24 3.23 2.69 2.81 2.09 1.84 3.24
2010 1.29 1.27 1.85 2.47 3.9 3.34 3.81 2.72 2.42 2.7 2.9 3.45 3.9
2011 1.73 1.85 2.49 3.95 4.92 4.21 3.61 3.46 4.73 3.73 4.09 3.88 4.92
2012 1.8 2.55 2.67 5.45 3.28 3.89 4.2 5.05 3.37 3.46 3.2 2.07 5.45
2013 1.71 2.7 2.34 2.56 3.33 3.3 3.85 3.7 2.85 3.1 4.1 2.7 4.1
PROMEDIO MENSUAL 1.50 1.64 1.96 2.53 3.22 3.66 3.85 3.59 3.22 3.04 3.00 2.46 4.29
Fuente: IDEAM.
131
Tabla 36 Secciones transversales 1-5.
Secciones Transversales
Seccion 1 Seccion 2 Seccion 3 Seccion 4 Seccion 5
μ2 - Gibbs (m) 5,406216 5,068105 4,934464 3,774254 5,243153
Des(μ2) 0,2329235 0,1896847 0,2765789 0,1706807 0,2381677
stdError(μ2) 0,03882059 0,03161412 0,04609648 0,02844679 0,03969462
coefVar(μ2) 0,0430844 0,03742715 0,05605045 0,04522237 0,04542452
σ2^2 - Gibbs (m) 1,894662 1,806441 1,644008 1,574917 1,695511
Des(σ2^2) 0,4761204 0,4249063 0,3767647 0,3630221 0,3729257
stdError(σ2^2) 0,0793534 0,07081772 0,06279411 0,06050368 0,06215429
coefVar(σ2^2) 0,2512956 0,2352174 0,2291744 0,2305023 0,2199489
Tabla 37 Secciones transversales 5-10.
Secciones Transversales
Seccion 6 Seccion 7 Seccion 8 Seccion 9 Seccion 10
μ2 - Gibbs (m) 4,17075 4,949645 4,417285 5,178084 4,323192
Des(μ2) 0,2588387 0,2365431 0,1592329 0,2931952 0,143707
stdError(μ2) 0,04313979 0,03942385 0,02653882 0,04886587 0,02395116
coefVar(μ2) 0,06206047 0,04778991 0,0360477 0,05662233 0,03324094
σ2^2 - Gibbs (m) 1,683052 1,719124 1,713191 1,899584 0,8632496
Des(σ2^2) 0,4187725 0,4070606 0,3901885 0,4709213 0,1845817
stdError(σ2^2) 0,06979541 0,06784344 0,06503142 0,07848689 0,03076362
coefVar(σ2^2) 0,2488173 0,2367838 0,2277554 0,2479076 0,213822
132
Tabla 38 Secciones transversales 11-15.
Secciones Transversales
Sección 11 Sección 12 Sección 13 Sección 14 Sección 15
μ2 - Gibbs (m) 4,187623 5,101819 5,322178 5,615084 5,424743
Des(μ2) 0,1594913 0,222145 0,21334 0,2001416 0,2495523
stdError(μ2) 0,02658188 0,03702416 0,03555667 0,03335694 0,04159205
coefVar(μ2) 0,03808635 0,04354231 0,0400851 0,03564356 0,0460026
σ2^2 - Gibbs (m) 0,6612539 1,871625 1,743279 1,205458 1,80423
Des(σ2^2) 0,1411991 0,4983362 0,4540688 0,3202812 0,4268688
stdError(σ2^2) 0,02353318 0,08305604 0,07567813 0,0533802 0,0711448
coefVar(σ2^2) 0,2135323 0,2662586 0,2604682 0,2656927 0,2365934
Tabla 39 Secciones transversales 16-21.
Secciones Transversales
Sección 16 Sección 17 Sección 18 Sección 19 Sección 20 Sección 21 μ2 - Gibbs (m) 5,409271 5,003328 4,949684 4,281483 5,608365 5,20492
Des(μ2) 0,141991 0,2172623 0,1843708 0,1705205 0,2322183 0,24658
stdError(μ2) 0,02366517 0,03621039 0,03072847 0,02842008 0,03870305 0,03895058
coefVar(μ2) 0,02624957 0,04342357 0,03724901 0,03982743 0,0414057 0,0446763
σ2^2 - Gibbs (m) 1,24058 1,651668 1,663881 0,9198404 1,989015 1,812361
Des(σ2^2) 0,2882668 0,3836309 0,3812238 0,2326008 0,4473631 0,4320335
stdError(σ2^2) 0,04804447 0,06393848 0,0635373 0,0387668 0,07456052 0,07200558
coefVar(σ2^2) 0,2323645 0,2322688 0,2291173 0,2528708 0,224917 1.812.361
Fuente: Propia.
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