USO DEL “ ANÁLISIS DE VARIANZA UNA-VÍA ”, PARA: Contrastar la hipótesis sobre,

USO DEL “ANÁLISIS DE VARIANZA UNA-VÍA”,

PARA:

Contrastar la hipótesis sobre,

la diferencia de más de dos medias

poblacionales.

Guía Anova Una Vía: No.4: Formalización del

Modelo

(GAUV_04)

Caracas, Julio 2010Amarilis García . Caracas, Julio 2010

UCV/FACES/EECA/Curso: Estadística II

Guía Anova Una Vía: Formalización del Modelo (GAUV_04)

Formalización del Modelo Anova Una Vía. Planteamiento del Problema:

aleatoria cuyo tamaño puede ser igual o diferente, con lo que se tienen k muestras independientes con un determinado número de observaciones. Sea ; el número de elementos en la j-ésima muestra.

k ,,, 21 kH 210 :

:1H

, 1, 2, ,jn j k

Se tienen k poblaciones estadísticas, con medias ; y se trata

poblacionales, contra la hipótesis alternativa: por lo menos dos de las medias poblacionales son diferentes. Se toma de cada población una muestra

de contrastar la hipótesis nula: ; de igualdad de medias,

Amarilis García . Caracas, Julio 2010



ijX

53X

Sea la i-ésima observación de la variable en la j-ésima muestra,

es la quinta observación de la variable en la tercera muestra.

La nomenclatura a ser utilizada será:

nknn

k

k

XXX

XXX

XXX

kMuestraMuestraMuestra

21

22221

11211

21

donde i=1,2,…,n ; j=1,2,…,k Así, por ejemplo:

Formalización del Modelo Anova Una Vía. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:

Nota: Con respecto al tamaño de las muestras, se pueden presentar dos situaciones: Caso 1: Muestras con igual tamaño; Caso 2: Muestras con al menos un tamaño distinto. Se sigue el análisis para cada uno de los casos.




1 21 1 1

1 21 1 1

1 2

2 21 1

2 2 21 11

2 21 1 1 1

2 2 21 11

( ) ( )ˆ ˆ ˆ

1 1

( ) ( )

n n n

i i iki i i

n n n

i i iki i i

j k

n n

i ik ki i

j k

n n

i ii i

j k

SUMAS X X X

X X XX X X X

n n n

X X X XS S S

n n

X X X XS S S

n n

GRAN MEDIA GLOBAL O MEDIA GLOBAL: 1 1 1

k n k

ij jj i j

X X

Xkn k


Caso 1: Muestras con igual tamaño;

nnnn k 21




EJEMPLO:

En una industria se escogen 3 grupos de 5 obreros cada uno, y se les da entrenamiento con base a 3 diferentes métodos. Las productividades de los obreros después del entrenamiento fueron las siguientes:

METODO 1 METODO 2 METODO 3

20 25 16

25 26 18

23 20 15

18 29 20

19 30 21

Pr

1, 2,3, 4,5

1, 2,3

ijX oductividad del i ésimo obrero que

recibió el j ésimo método de entrenamiento

i

j

1 1 1 21 26 18 6521,67

3 3

Pr Pr 15

k n k

ij jj i j

X X

Xkn k

oductividad omedio de los obreros en la muestra

1. Unidades Experimentales: Obreros

2. Factor: Método de entrenamiento.

3. 3. Tratamiento: tipos de entrenamiento (1,2 y 3)-

4. Variable Respuesta: productividad del obrero.

nnnn k 21




11

1

21

2

21

3

20 25 23 18 1921 Pr Pr

5.1

26

18

n

ii

n

ii

n

ii

XX oductividad omedio de los obreros

nque recibieron el método de entrenamiento No

XX

n

XX

n

MEDIAS MUESTRALES

Formalización del Modelo Anova Una Vía

CUASIVARIANZAS MUESTRALES

2 21 1 1

2 1 11

2 22 2 2 2

2 1 12

2 23 3 3 3

2 1 13

( ) ( 21)34ˆ 8,5

1 4 4

( ) ( )62ˆ 15,5

1 1 4

( ) ( )26ˆ 6,5

1 1 4

n n

i ii i

n n

i ii i

n n

i ii i

X X XS

n

X X X XS

n n

X X X XS

n n

VARIANZAS MUESTRALES

21 1

2 11

22 2

2 112

23 3

2 13

( )34

6,85

( )62

12,45

( )26

5,25

n

ii

n

ii

n

ii

X XS

n

X XS

n

X XS

n


nnnn k 21




Formalización del modelo ANOVA una vía. Descomposición de la Suma de Cuadrados (SCT)

Consideremos la variable, SCT= SUMA DE CUADRADOS TOTALES, donde

2

1 1

k n

ijj i

SCT X X

SCT, es la suma de los cuadrados de las diferencias entre todos los elementos de la muestra y la gran media. Es una medida de dispersión de todas las observaciones con respecto a la media global.

Operando convenientemente, se puede descomponer la Variación Total medida por la Suma de Cuadrados Totales en dos componentes. Esta partición de la SCT en dos partes es la relación básica en el método de Análisis de Varianza (ANOVA).

nnnn k 21




SCD= Suma de cuadrados dentro de las muestras (variabilidad o dispersión dentro de cada una de las muestras).

Se demuestra que SCT (Suma de cuadrados totales) puede ser expresada de la siguiente manera:

2 2

2

1 1 1 1 1

( )k n k n k

ij ij j jj i j i j

SCT X X X X n X X

La variación o dispersión total de los datos se ha dividido en dos componentes, cada una de las cuales refleja la variación debida a diferentes causas o fuentes de variación.

SCT = SCD + SCE

donde:

SCE= Suma de cuadrados entre las muestras (variabilidad o dispersión entre las muestras).

Formalización del modelo ANOVA una vía. Descomposición de la Suma de Cuadrados (SCT)

nnnn k 21




Medias

Método 1 Xij 21 Métodos Medias

1 20 2,78 1,00 1 21 0,44

2 25 11,11 16,00 2 26 18,78

3 23 1,78 4,00 3 18 13,44

4 18 13,44 9,00

5 19 7,11 4,00 163,33

Método 2 26

1 25 11,11 1,00

2 26 18,78 0,00

3 20 2,78 36,00

4 29 53,78 9,00

5 30 69,44 16,00

Método 3 18

1 16 32,11 4,00

2 18 13,44 0,00

3 15 44,44 9,00

4 20 2,78 4,00

5 21 0,44 9,00

325 285,33 122,00

21,67

Gran Media Global

Medias de los Grupos

Luego,SCT= 122+163,33= 285,33

METODO 1

METODO 2

METODO 3

20 25 16

25 26 18

23 20 15

18 29 20

19 30 21

Ejemplo 3: Ilustrando los cálculos utilizando Excel.




Formalización del Modelo Anova Una Vía

luego SCT= 122+163,33= 285,33

2

1 1

34 62 26 122k n

ij jj i

SCD X X

En nuestro ejemplo, tenemos que:

dispersión dentro de cada una de las muestras

22 2 2

1

( ) 5 21 21,67 (26 21,67) (18 21,67) 163,33k

jj

SCE n X X

dispersión entre las muestras




ESTADÍSTICO DE CONTRASTE

gdlFunacomodistribuyeseSCD

SCE

k

nk

nk

SCDk

SCE

F nkkc )1();1(1

)1(

)1(

1


nnnn k 21




PROCEDIMIENTO DEL CONTRASTE

gdlFunacomodistribuyeseSCD

SCE

k

nk

nk

SCDk

SCE

F nkkc )1();1(1

)1(

)1(

1

2. Estadístico de contraste

kH 210 :

1 :H

1. Formulación de hipótesis:

Hipótesis alternativa al menos dos medias son diferentesHipótesis nula

3. Criterio de decisión:

Entonces Rechzar H0Si

A continuación se presenta un resumen de los elementos necesarios para realizar el contraste de hipótesis para la diferencia de mas de dos medias poblacionales:

nnnn k 21




kH 210 :

1 :H


al menos dos medias son diferentes

Ejemplo: Prueba de Hipótesis para el contraste de para la diferencia de mas de dos medias poblacionales

2. Cálculo del estadístico de contraste:

3 (15 -1) * 163,33

(3 -1) * 122= =

8,033

Para un alfa = 0.05; tenemos una

= 3,89F1-0.05; (3-1),(3(15-

1)



Como, 8,033 > 3,89 ; entonces rechazamos H0

Decisión:




Tabla de ANOVA : (ANOVA una-vía: un solo factor en múltiples niveles)

Presentando los cálculos e información en una Tabla Anova Una Vía

2

1

( ) 163,33k

jj

n X X

81,6671

SCE

k

CME

CMD

2

1 1

122k n

ij jj i

X X

10,167( 1)

SCD

k n

2

1 1

285,33k n

ijj i

X X

Fuente DeVariación

Suma DeCuadrados

GradosDe

Libertad

CuadradosMedios

RazónF

(Fc)

Entre Las Muestras

(Inter-Grupos)

K-1=2 8,033

Dentro De Las

Muestras(Intra-

Grupos)

K(N-1)=12

TotalKn-1=14

A continuación presentamos una

salida del SPSS (versión 11.0) ,

que muestra la tabla Anova.Compare ambas tablas y ubique en la Salida del SPSS los elementos del contraste de hipótesis para la diferencia de más de dos medias.

ANOVA

PRODUCTI

163,333 2 81,667 8,033 ,006

122,000 12 10,167

285,333 14

Inter-grupos

Intra-grupos

Total

Suma decuadrados gl

Mediacuadrática F Sig.




Gran Media Global o Media Global:


Caso 2: Al menos una de las muestras es de tamaño diferente. En este caso, el procedimiento es análogo al caso anterior; solo que se producen algunas modificaciones en las expresiones utilizadas.

1 1 1

( )

jnk k

ij j jj i j

X n X

XN N

Media Ponderada

1

k

jj

N n

1 1,2, ,

n

iji

jj

XX j k

n

2

2 1

( )ˆ

1

jn

ij ji

jj

X XS

n

Medias muestrales

2

2 1

( )

1

jn

ij ji

jj

X XS

n

Varianzas muestrales

Cuasivarianzas muestrales




Fuente de Variación

Suma de Cuadrados

Grados De

Libertad

Cuadrados Medios

Razon F

(fc) Entre las muestras

(inter-grupos)

2

1

( )k

j jj

SCE n X X

K-1

1

SCECME

k

Dentro de las

muestras (intra-grupos)

2

1 1

jnk

ij jj i

SCD X X

N-k

SCDCMD

N k

CME

CMD

Total

2

1 1

k n

ijj i

SCT X X

N-1

Presentando los cálculos e información en una Tabla Anova

Caso 2: Al menos una de las muestras es de tamaño diferente. En este caso, el procedimiento es análogo al caso anterior; solo que se producen algunas modificaciones en las expresiones utilizadas.




PROCEDIMIENTO DEL CONTRASTE

kH 210 :

1 :H


Hipótesis alternativa al menos dos medias son diferentesHipótesis nula

A continuación se presenta un resumen de los elementos necesarios para realizar el contraste de hipótesis para la diferencia de mas de dos medias poblacionales:

Caso 2: Al menos una de las muestras es de distinto tamaño.

2. Estadístico de contraste

libertaddegradosFunacomodistribuyeseCMD

CMEF kNkc ;1



1 ; ( 1),c k N kF F grados de libertad




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