UUNNIIDDAADD 77:: FFUUNNCCIIOONNEESSproferosmirofuentes.weebly.com/uploads/6/2/7/4/6274733/...12. Exprese mediante una función de una variable independiente, el área del rectángulo

W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s

Página 122

UUNNIIDDAADD 77:: FFUUNNCCIIOONNEESS

Antes de comenzar el estudio de las funciones se debe hacer un breve repaso sobre valor absoluto junto con algunas de sus propiedades, debido a que dicho concepto será utilizado en esta unidad.

7.1 VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto x de un número real x se define como sigue:

0

0

xsix

xsixx

Además:

xx 2

axax

axaax

axaxax o

7.2 FUNCIÓN

Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D llamado Dominio, exactamente un

elemento xf de un conjunto I , llamado Imagen. Tal asignación se puede expresar claramente mediante el

siguiente diagrama sagital:

Se acostumbra a hacer explícito el valor de la función f evaluada en un valor x de la siguiente manera

xfy , donde x es la variable independiente y y es la variable dependiente.

Dada la siguiente función xx

xf

2

18 , exprésela como una ecuación y halle 2f

Solución:

Para expresar la función anterior como una ecuación se hace explícito el valor de la función evaluada en x haciendo xfy , por lo tanto:

xxy

2

18

Ejemplo No. 102


Página 123

Por otro lado,

322

182

2f

32 f

El resultado anterior se puede entender mejor mediante el siguiente diagrama sagital:

7.2.1 Dominio de una función

El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente de tal manera que la

función esté bien definida.

7.2.2 Imagen de una función

La imagen de una función es el conjunto de valores que tomará la variable dependiente.

Halle el dominio de las siguientes funciones:

a. xx

xf

2

18

b. 24 xxf

c. 22 xxxf

Solución:

a. La función xx

xf

2

18 está bien definida si 02 xx . Es decir, si:

01xx

0x y 01x

Entonces 0x

y 1x

Por lo tanto 1,010: RxxRxD

,11 ,00 , D

La representación gráfica del dominio es la siguiente:

b. La función 24 xxf está bien definida si 04 2 x . Es decir, si:

2444 222 xxxx

22 x

Por lo tanto 22: xRxD

2 ,2D


Ejemplo No. 103


Página 124

c. La función 22 xxxf está bien definida si 022 xx . Es decir, si 012 xx

12 xx es mayor o igual que cero si 01020102 xxxx

Para determinar cuáles valores de x cumplen con la anterior condición se debe hacer lo siguiente:

01 02 01 02 xxxx

1 2 1 2 xxxx

,1 ,2 1, 2,

,12,

Por lo tanto 12: xxRxD

,12, D


Un recipiente rectangular con su parte superior abierta tiene un volumen de 10 m3. La longitud de su largo es el

doble de su ancho. El material para construir la base cuesta 10 dolares el m2 y el material para los lados cuesta 6

dolares el m2. Exprese el costo del material en función del ancho de la base.

Solución:

Se sabe que:

Costo del material (C ) = Costo de la base (CB ) + Costo de los lados (CL )

Pero:

CB = 10 x Área de la base ( AB ) y CL = 6 x Área de los lados ( AL )

Dónde:

xxAB 2 22xAB

xhxhxhxhAL 22 xhxhAL 42

Por lo tanto:

2210 xCB 220xCB

xhxhCL 426 xhCL 36

Lo que da como resultado final: xhxC 3620 2

Pero se debe expresar el costo del material C en función del ancho x de la base del recipiente. Para tal efecto se

debe tener en cuenta que el volumen V del recipiente es 10 m3, es decir 10V

Ejemplo No. 104


Página 125

Pero hxhxxV 22)2 hxV 22 . Por lo tanto 102 2 hx

Despejando h de la ecuación anterior y reemplazándola en la ecuación del costo de C se tiene que 2

5

xh

Por lo tanto 2

2 53620

xxxC

xxC

18020 2 , con 0x

Exprese el área de un triángulo equilátero en función de la longitud de uno de sus lados.

Solución:

El área A del triángulo equilátero es igual al área 1A del triángulo

rectángulo de la izquierda más el área 2A del triángulo rectángulo de

la derecha. Es decir: 21 AAA

Siendo 21 AA

Pero

2

2

22

hx

hbA

42

xhA

Además

4

3

42

22

222

2

22 xh

xxh

xhx

2

3xh

Por lo tanto

2

3

42

xxA

8

3 2

2

xA

Con lo que 8

32

8

3

8

3 222 xxxA

4

3 2xA

7.2.3. Grafica de una función

La gráfica de una función f de una variable independiente es el conjunto :, 2 xfyRyxG

Grafique la función del ejemplo anterior.

Solución:

La grafica de dicha función se muestra en la figura de la derecha:

Trace la gráfica de la función valor absoluto xxf

Ejemplo No. 107

Ejemplo No. 106

Ejemplo No. 105


Página 126

Solución:

Según la definición de valor absoluto se tiene que:

0

0

xsix

xsixxxf

De lo anterior se tiene que la gráfica de f coincide con la recta xy , a la derecha del eje Y , y coincide con la

recta xy , a la izquierda del eje Y .

NOTA: La gráfica de una función de una variable independiente es una curva en el plano XY , pero no toda curva en

el plano XY es la gráfica de una función de una variable independiente.

7.2.4 Prueba de la recta vertical

Una curva en el plano XY es la gráfica de una función de una variable independiente si y solamente si ninguna

recta vertical corta a la curva más de una vez.

La curva representa la gráfica de una función. La curva no representa la gráfica de una función.

1. Halle hxf y hf 2 si 2xxxf

2. Una función está definida por 13 xxf . Determine la solución de la ecuación 412 xfxf

3. Sea f una función definida por 12 xxf . Encuentre los valores de h para los cuales h2 está en

el dominio de f

4. Si 1

1

x

xxf . Pruebe que:

a. afa

f

1

b. afa

f11

ACTIVIDAD No. 32


Página 127

5. Si xxxf 2 . Pruebe que afaf 1

6. Si x

xf1

. Pruebe que

ab

abfbfaf

7. Si xfy y 54

35

x

xxf . Pruebe que yfx

8. Si x

xf1

. Pruebe que xhx

hxfhxf

2

9. Grafique las siguientes funciones:

a. xxxf

b. xxg 2

c. x

xxh

10. Halle el dominio de las siguientes funciones empleando notación de conjuntos y notación de intervalos:

a. 42 xxf b. 65

22

xx

xxf c.

12

12

2

xx

xxxf

d. 12

4)(

2

x

xxf

e. 4 28 xxf f. 3

2

x

xxf g.

32

1

x

xxf h.

14

16)(

2

2

x

xxf

11. Supongamos que un punto yxP , se mueve, en sentido horario, sobre la parábola

051622

yx . Exprese mediante una función de una variable independiente la distancia del punto

yxP , al punto 2,2

12. Exprese mediante una función de una variable independiente, el área del rectángulo que tiene dos vértices en el eje X y los otros dos en la parábola 216 xy , por arriba del eje X .

13. Dada una esfera de radio R , exprese mediante una función de una variable independiente el volumen del cono circular recto de radio r altura h que puede inscribirse en la esfera.

14. Una hoja de papel de dimensiones 12 cm de largo y 8 cm de ancho, se corta por las esquinas en cuadros de x

cm de lado.

a. Pruebe que el volumen de la caja rectangular que se puede construir a partir de la hoja viene dado por xxxV 464 , con 40 x

b. Estime el volumen máximo que puede tener la caja.

15. Una pista de patinaje de 400 m de longitud tiene lados paralelos y extremos semicirculares, tal como se muestra en la figura 1. Exprese el área A encerrada por la pista en función del diámetro d de los

semicírculos. 16. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo, tal como se muestra en la

figura 2. Si el perímetro de la ventana es de 3 m, exprese el área A de la ventana en función del ancho x de

la misma.


Página 128

17. Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos partes, la primera parte de longitud x cm y la segunda

parte de longitud y cm, tal como se muestra en la figura 3. El primer segmento se dobla para formar un

triángulo equilátero y el segundo segmento se dobla para formar un cuadrado. Exprese el área CA del

cuadrado y el área TA del triángulo en función de la longitud x del primer segmento.

18. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un triángulo equilátero, tal como se muestra en la

figura 4. Si el perímetro de la ventana es de 30 m. Exprese el área A de la ventana en función de su ancho x .

19. Se desea construir un recipiente con forma de cilindro circular recto para que contenga 1000 cm3 de aceite,

tal como se muestra en la figura 5. Exprese el área superficial del cilindro en función de su altura.

7.3 MODELOS MATEMÁTICOS

Un modelo matemático es una descripción matemática de un fenómeno o evento del mundo real.

7.3.1 Modelos lineales

Un modelo matemático es lineal si la gráfica de la función asociada al modelo es una línea recta. La función

asociada a un modelo lineal se denomina función lineal y es de la forma:

bmxxf

La compañía Silicon Valley puede producir 1000 chips por mes a un costo total de 25000 dólares, y 1025 chips a

25500 dólares. Si la compañía vende cada chip a 30 dólares, halle las funciones lineales de costo, ingreso y

utilidad.

Solución:

Una función lineal de costo es de la forma:

bmxC

Si 10001 x entonces 250001 C

Ejemplo No. 108


Página 129

Si 10252 x entonces 255002 C

Por lo tanto, la pendiente m sería: 202025

500

10001025

2500025500

12

12

m

xx

CCm

La función lineal de costo quedaría de la siguiente forma bxC 20

Como 1000x y 25000C , entonces el valor de b sería:

b 10002025000 2000025000b 5000b

Por lo tanto, la función lineal de costo es: 500020 xC

Si la compañía vende cada chip a 30 dólares, entonces el ingreso I de vender x chips es x30 . Por lo tanto, la

función lineal de ingreso es:

xI 30

Si tenemos en cuenta que la utilidad U es igual al ingreso I menos el costo C , es decir CIU . Entonces la

función lineal de utilidad es:

5000203050002030 xxUxxUCIU 500010 xU

En la siguiente figura la recta C representa la gráfica de la función lineal de costo y la recta I representa la

gráfica de la función lineal de ingreso:

La línea recta que representa la gráfica de la función lineal de costo se intercepta con la línea recta que

representa la gráfica de la función lineal de ingreso en el punto (500, 15000) denominado punto de equilibrio.

Si se producen menos de 500 chips se obtendrán pérdidas debido a que el costo de producción será mayor que los

ingresos obtenidos por las ventas (la recta C está por encima de la recta I), si se producen 500 chips el costo

será igual al ingreso (la recta C se intercepta con la recta I) y si se producen más de 500 chips el costo de

producción será menor que el ingreso obtenido por las ventas (la recta C está por debajo de la recta I)

7.3.2 Modelos cuadráticos

Un modelo matemático es cuadrático si la gráfica de la función asociada al modelo es una parábola. La función

asociada a un modelo cuadrático se denomina función cuadrática y es de la forma:


Página 130

cbxaxxf 2

Dicha parábola tiene su vértice en a

bx

2

Además, si 0a la parábola es abierta hacia arriba y si 0a la parábola es abierta hacia abajo.

La cantidad W de dióxido de carbono (en libras) que produce un auto deportivo depende de su rendimiento de

combustible de acuerdo con la ecuación cuadrática 1375702 xxW , con 4015 x . Donde x

representa el rendimiento de combustible (en millas por galón). Según el modelo anterior ¿cuál es el rendimiento

de combustible del automóvil que produce la menor cantidad de dióxido de carbono?

Solución:

La gráfica de la ecuación 1375702 xxW es una parábola que se muestra en la siguiente figura:

Tenemos que 1a y 70b , por lo tanto,

su vértice está en:

35

12

70

2

a

bx

Si 35x entonces: 150W

La parábola tiene el vértice en 150,35 y es

abierta hacia arriba ya que 0a . Por lo

tanto, el rendimiento de combustible del

automóvil que produce la menor cantidad de

dióxido de carbono es 35 millas por galón.

7.3.3 Modelos exponenciales

Son modelos cuya función asociada se denomina función exponencial y son de la forma:

xAbxf , con RbA , y 0b

En las primeras etapas de la epidemia del SIDA la cantidad de personas infectadas se duplica cada 6 meses, y en

enero de 1985 se estimaba que había 1.3 millones de personas contagiadas.

a) Suponga un modelo de crecimiento exponencial y determine un modelo que pronostique la cantidad de personas infectadas a los t años después de 1985.

b) Use el modelo para estimar la cantidad de personas infectadas en octubre de 1985. c) Grafique el modelo exponencial.

Ejemplo No. 110

Ejemplo No. 109

(35,150)

W: cantidad de dióxido (libras)

X: rendimiento de combustible (millas por galón)


Página 131

Solución:

a) En el momento 0t (enero de 1985) la cantidad de infectados era 1.3 millones. Como ese número se duplica

cada 6 meses, se cuadruplica cada año. A los t años se requiere, en consecuencia, multiplicar los 1.3 millones

originales por t4 . De esta manera el modelo es:

tP 43.1 , con 0t

b) Octubre de 1985 corresponde a 75.012

9t , ya que octubre es 9 meses después de enero.

Por lo tanto para estimar la cantidad de personas infectadas en octubre de 1985 se debe evaluar la función

exponencial ttP 43.1 en 75.012

9t . Veamos 6770.343.175.0 75.0 P

Es decir habrán 3.6770 millones de personas infectadas en octubre de 1985.

c) La gráfica de la función exponencial ttP 43.1 se muestra en la siguiente figura:

Se terminará esta sección recordando algunos aspectos importantes de las funciones trigonométricas seno,

coseno y tangente. Las gráficas de las funciones Senxxf , Cosxxg y Tanxxh se muestran a

continuación:

Grafica de la función Seno

Senxy


Página 132

Grafica de la función Coseno

Grafica de la función Tangente

En la siguiente tabla se describe el dominio, la imagen y el período de las funciones seno, coseno y tangente:

Función Dominio (D) Imagen (I) Período

Senx ,RxD 1 ,111: xRxI 2 Cosx

Tanx ZnxRxD n ,:2

12 ,RyI

7.4 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Consideremos las funciones f y g

definidas de la siguiente manera:

3 xxf

722 xxxg

Hallemos 8752552

g

85 g

Es decir, al número 5 le corresponde el número 8 según la función g

Ahora, hallemos 288 3f

28 f

Cosxy

Tanxy


Página 133

Es decir, al número 8 le corresponde el número 2 según la función f

Veamos gráficamente lo que hace cada función:

El objetivo es buscar una función que al número 5 le asigne el número 2 . Veamos:

Se sabe que 28 f , pero 58 g

Por lo tanto 25 gf

Lo anterior indica que la función xgf hace que al número 5 le sea asignado el número 2 . Tal función está

definida así:

3 22 7272 xxxxfxgf

3 2 72 xxxgf

Veamos si es cierto que la función anterior le asigna al número 5 el número 2 :

2875255 33 2gf 25 gf

Gráficamente se tiene:

La función 3 2 72 xxxgf se denomina función compuesta de f con g . Ahora definamos lo que es

una función compuesta en general:

Sean f y g dos funciones. La función compuesta gf es la función definida de la siguiente manera:

xgfxgf

Gráficamente se tiene:

Si xxf y xxg 2 halle cada función y su dominio:

a. gf

b. fg

c. ff

d. gg

Solución:

Ejemplo No. 111

g5 85 g

f8 28 f

g5 5g

f 25 gf

gx xg

f xgfxgf


Página 134

a. 4 222 xxxfxgfxgf 4 2 xxgf

La función 4 2 xxgf está bien definida si 02 x . Es decir:

22 xx

Por lo tanto: 2 ,2: xRxD

b. xxgxfgxfg 2 xxfg 2

La función xxfg 2 está bien definida si 0x y 02 x . Es decir:

422 xxx


c. 4 xxxfxffxff 4 xxff

La función 4 xxff está bien definida si 0x

Por lo tanto: ,00: xRxD

d. xxgxggxgg 222 xxgg 22

La función xxgg 22 está bien definida si 02 x y 022 x . Es decir:

22 xx

22422222 xxxxx


1. Cuando el aire seco se eleva, se expande y enfría. Si la temperatura en el suelo es de C20 y la temperatura a

un kilometro de altura es de C10 . Exprese la temperatura T en función de la altura h suponiendo que un

modelo lineal es el más apropiado.

2. El gerente de una fábrica de refrigeradores observa que el lunes la empresa fabrico 30 refrigeradores a un

costo de 25000 dólares y el martes fabrico 40 refrigeradores a un costo de 30000 dólares.

Halle la función lineal de costo.

Si se venden los refrigeradores a 1500 dólares cada uno. ¿Cuál es la función lineal de ingreso?

¿Cuál es la función lineal de utilidad?

¿Cuántos refrigeradores debe vender la empresa por día para alcanzar el punto de equilibrio?

3. Una editorial pronostica que la ecuación de demanda para la venta de su última novela de ciencia ficción será 82 pq . Donde q es la cantidad de libros que puede vender por año la editorial a un precio p cada uno

ACTIVIDAD No. 33


Página 135

¿Qué precio debe cobrar la editorial para obtener el máximo ingreso I anual?

Nota: El ingreso I depende del precio p a través de la siguiente ecuación: pqI

4. En cada caso halle gf , fg , ff , gg y el dominio de cada una:

a. 1 xxf , 2xxg

b. 1

1

xxf ,

1

1

x

xxg

c. 12 xxf , xxg 1

5. Si 14 xxf , 2 xxg y xxh , halle hgf y su respectivo dominio.

7.5 FUNCIÓN EXPONENCIAL

Una función exponencial es una función de la forma:

xaxf

El número Ra se denomina base de la función exponencial. Además 0a

En la siguiente tabla se muestran los tres casos que se presentan para la función exponencial:

Valor de la base a Tipo de curva Dominio Imagen

Caso 1 xaxf

10 a

,D

,0I

Caso 2 xxf 1

1a

1I

Caso 3 xaxf

1a

,0I

7.6 FUNCIONES UNO A UNO

Comparemos las funciones f y g cuyos diagramas sagitales se muestran a continuación:


Página 136

Las funciones que se comportan como la función f se conocen con el nombre de funciones biunívocas o uno a

uno. Una función f es uno a uno si nunca toma el mismo valor dos o más veces. Es decir:

21 xfxf siempre que 21 xx

Gráficamente se puede saber si una función es uno a uno aplicando la siguiente prueba conocida con el nombre de prueba de la recta horizontal:

7.6.1 Prueba de la recta horizontal

Una función es uno a uno si y solamente si ninguna recta horizontal corta su grafica más de una vez.

Determine si las funciones 2xxf y 3xxg son o no son uno a uno. Justifique su respuesta.

Solución:

La función 2xxf no es uno a uno ya que dos números distintos pueden tener el mismo cuadrado. Es decir

la función puede tomar el mismo valor dos veces.

La función 3xxg es uno a uno ya que dos números distintos no pueden tener el mismo cubo. Es decir la

función no puede tomar el mismo valor dos veces.

Lo anterior se puede apreciar mejor a través de las gráficas de 2xxf y 3xxg :

Ejemplo No. 112

255

204

153

102

5 1

f

f

f

f

f

El diagrama sagital muestra que la función f

nunca toma el mismo valor dos veces.

1

2

3

4

5

5

10

15

20

25

A B f

255

204

103

102

5 1

g

g

g

g

gEl diagrama sagital muestra que la función g

toma el mismo valor dos veces. Es decir:

32 gg

1

2

3

4

5

5

10

15

20

25

A B g


Página 137

Las funciones uno a uno son importantes ya que se caracterizan por ser funciones que poseen inversa.

7.7 FUNCIÓN INVERSA

Consideremos la función 3xxg con dominio el conjunto A e imagen el conjunto B, cuyo diagrama sagital se

muestra a continuación:

Ahora, se define formalmente lo que es la inversa de una función.

Sea f una función uno a uno con dominio el conjunto A e imagen el conjunto B.

Entonces su función inversa 1f es la función la cual tiene como dominio el

conjunto B y como imagen al conjunto A, la cual se define de la siguiente manera:

Anteriormente se mostró que esta función es uno a uno, y por lo tanto tiene inversa. El objetivo es hallar una función que sea la inversa de g

con dominio el conjunto B e imagen el conjunto A, cuyo diagrama sagital

sea el siguiente:

- 2

- 1

0

1

2

- 8

- 1

0

1

8

A B g

Es claro que dicha función es 3 xxgdeinversa . Veamos:

Se escoje un número del dominio de g . Por ejemplo él 2 y se halla:

8223g

Es decir, la función g le asigna al número A2 el número B8

Ahora, se halla: 288 3 gdeinversa

Es decir, la función gdeinversa le asigna al número B8 el

número A2 .

Note que la recta horizontal corta la gráfica de la

función en más de un punto.

2xy 3xy

Note que la recta horizontal corta la gráfica de la

función en un solo punto.

- 2

- 1

0

1

2

- 8

- 1

0

1

8

A B gdeinversa


Página 138

yxfxyf 1

Para cualquier x en A y y en B.

Lo anterior se comprende mejor a través del siguiente diagrama sagital:

Note que:

Dominio de f es igual a la imagen de 1f

Imagen de f es igual al dominio de 1f

Halle la inversa de 23 xxf

Solución:

Paso 1: Exprese la función como una ecuación: 23 xy

Paso 2: Despeje x

33 33 22 yxyx

3 2 yx

Paso 3: Intercambie x y y

3 2 xy

Paso 4: Exprese la ecuación anterior como una función empleando la notación 1f : 31 2 xxf

7.7.1 Ecuaciones de cancelación

Sea f una función uno a uno con dominio A e imagen B. Entonces se cumple:

xxff 1 para todo x en A

xxff 1 para todo x en B

Si x

xxf

25

31)(

halle xf 1

y compruebe que se cumplen las ecuaciones de cancelación:

Solución:

Expresando la función como una ecuación: x

xy

25

31

Despejando x

yyx

yxxy

xxyy

xxy

5132

5132

3125

3125

Ejemplo No. 114

Ejemplo No. 113


Página 139

32

15

y

yx

Intercambiando x y y : 32

15

x

xy

Expresando la ecuación anterior como una función: 32

151

x

xxf

Verifiquemos ahora que se cumplen las ecuaciones de cancelación:

xx

x

xxx

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

xfxff

17

17

25

6156225

25155

325

62

125

155

325

312

125

315

25

3111

xx

x

xxx

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

xfxff

17

17

32

210151032

31532

32

2105

32

3151

32

1525

32

1531

32

151

La función exponencial xaxf , vista anteriormente es una función uno a uno y, por lo tanto, tiene inversa. La

función inversa a la función exponencial xaxf es la función logarítmica de base a y se denota aLog

7.8 FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Una función logarítmica es una función de la forma: xLogxf a

El número Ra se denomina base de la función logarítmica. Además 0a

Como la función logarítmica es la inversa de la función exponencial y viceversa se tiene que si xaxf ,

entonces xLogxf a1

y si xLogxf a , entonces xaxf 1

Recordando la definición de función inversa y considerando que xLogxf a y xaxf 1

se tiene que:

yxfxyf 1

Por lo tanto: yxLxa a

y og

Lo anterior se denomina equivalencia entre la ecuación exponencial y la ecuación logarítmica. Tal equivalencia

sirve para calcular logaritmos exactos.

Calcule 82Log y 813Log

Solución:

82Log es igual a un número, tal que el 2 (la base del logaritmo) elevado a dicho número debe ser

Ejemplo No. 115


Página 140

exactamente igual a 8. Tal numero debe ser el 3, ya que 823 . Es decir: 8238 3

2 Log

813Log es igual a un número, tal que el 3 (la base del logaritmo) elevado a dicho número debe ser

exactamente igual a 81. Tal numero debe ser el 4, ya que 8134 . Es decir: 813381 4

3 Log

¿Cuál es el dominio y la imagen de la función logarítmica?:

Solución:

Suponga que xaxf y considere el siguiente diagrama sagital:

7.8.1 Ecuaciones de cancelación para las funciones exponencial y logarítmica

xaLog x

a para todo Rx

xaxLoga para todo 0x

7.8.2 Propiedades logarítmicas

yLogxLogxyLog aaa

yLogxLogy

xLog aaa

xnLogxLog a

n

a

Si xaxf

210

1)(

pruebe que xLogaxLogxf 1010

1 1)(

Solución:

Exprese la función como una ecuación xa

y210

1

Despeje x

Ejemplo No. 117

Ejemplo No. 116

x

xf

D I xaxf

xLogxf a1

Recuerde que el dominio de la función exponencial xaxf es el conjunto ,D

, que su imagen es

el conjunto ,0I y que su inversa es la función

logarítmica xLogxf a1

cuyo dominio es la imagen de

xaxf y cuya imagen es el dominio de xaxf . Por lo

tanto el dominio y la imagen de la función logarítmica son

respectivamente ,0D y ,I


Página 141

y

ayLogLog

y

ay

ayy

yay

ay

x

x

x

x

x

110

110

110

110

110

10

2

10

2

2

2

2

yLogayLogxyLogayLogxyLogayLogx 1010101010102

11

2

11

2

112

2

1

102

1

10 1 yLogayLogx

yLogayLogx 1010 1

Intercambie x y y : xLogaxLogy 1010 1

Exprese la ecuación anterior como una función: xLogaxLogxf 1010

1 1

7.8.3 Función exponencial natural y función logarítmica natural

De todas las bases posibles para una función exponencial existe una que es la más conveniente para los fines del

cálculo. Se trata del número 71828.2e (notación elegida por el matemático suizo Leonhard Euler en 1727).

Cuando en una función exponencial la base es e , es decir, si xexf la función se denomina función

exponencial natural. La inversa de la función exponencial natural xexf es la función logarítmica

xLogxf e1 la cual se denomina función logarítmica natural. Usualmente esta función se denota Lnx en

vez de xLoge

Es de suma importancia con relación a la función exponencial natural y logarítmica natural recordar lo siguiente:

Equivalencia entre la ecuación exponencial natural y la ecuación logarítmica natural.

yLnxxe y

Ecuaciones de cancelación para las funciones

exponencial natural y logarítmica natural.

xeLn x para todo Rx

xeLnx para todo 0x

Propiedades logarítmicas naturales.

LnyLnxxyLn

LnyLnxy

xLn

nLnxLnxn Logaritmo natural de Euler. 1Lne Logaritmo natural de 1. 01Ln


Página 142

Si y

y

be

aex

3

31

pruebe que 3 bxaLny

Solución:

bxaLnLne

bxae

bxae

bxeae

aebxe

y

y

y

yy

yy

1

1

1

1

1

3

3

3

33

33

3

1

3

1313 bxaLnybxaLnybxaLnybxaLnLny

3 bxaLny

Halle el valor de x si 1652

xxe

Solución:

065

1

2

652

xx

LnLne xx

023 xx 03x 3x

02x 2x

1. Halle en cada caso )(1 xf :

a) 3)( xLnxf b) x

x

e

exf

1

1)( c)

xceb

axf

)(

2. Si xbea

xf2

1)(

pruebe que bxLnaxLnxf 1)(1

3. Si y

y

be

aex

2

21

pruebe que bxaLny

ACTIVIDAD No. 34

Ejemplo No. 119

Ejemplo No. 118


Página 143

4. Si 1

1)(

x

x

ae

aexf pruebe que Lna

x

xLnxf

1

1)(1

5. 1

)(2

2

x

x

ae

exf pruebe que 1)(1 axLnxLnxf y xff 1

6. Si

a

t

eQtQ 10 halle tQ 1

7. Halle el valor de x en cada ecuación:

a) 312 xLn b) 243 xe c) 11 xLnLnx

d) 1LnxLn e) 1242 LnxLnxLn f) 234 xLnxLnxLn

g) 0232 xLnLnx h) 1423 LnxLnxLn

8. Si y

y

be

aex

2

21

pruebe que bxaLny

9. Si se invierte una cantidad P, durante T años a una tasa anual de interés R, y si se reinvierte el interés M veces

al año, el valor futuro A es MT

M

RPA

1 . Despeje la variable T de la ecuación anterior.

Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.

1. Si x es un número real. Es verdadero que:

A. Si 3x , entonces 33 xx

B. Si 0x , entonces 22 xx

C. Si Rx , entonces xx

D. Si Rx , entonces xx 55

2. Sea x

xxf

2

2 . Considere las siguientes afirmaciones:

I. 0xf solo si 2x

II. 2

11 xfxf

III. xfxf 33

IV. Si 1xf , entonces 2x

De las afirmaciones anteriores son verdaderas.

A. I y III

AUTOEVALUACIÓN No. 6


Página 144

B. II y IV

C. II y III

D. I y IV

3. Si 220 xxxf

y 8af

, entonces a es igual a:

A. 4 o 3

B. 3 o 4

C.

2 o 5

D. 2 o 5

4. Un agricultor desea cercar un campo rectangular y luego dividirlo en tres lotes rectangulares

mediante dos cercas paralelas a uno de los lados. El agricultor necesita 1000 metros de alambre. Si x es el largo del campo, el área A del campo se expresa correctamente como:

A.

2250

xx

B. xx 500

C. xx 2100

D. xx 250

5. La siguiente figura muestra la gráfica de xfy :

La grafica de la función xfy es:

A.

B.


Página 145

C.

D.

6. De la igualdad 111 22

2

2 xLogxLogxLog se puede afirmar que:

A. Siempre es falsa. B. Es verdadera solo si 1x

C. Es verdadera para todos los números reales.

D. Es verdadera para los números reales diferentes de 1 .

7. La proposición incorrecta es:

A. Todas las funciones exponenciales, al ser graficadas cortan al eje Y en el punto 1,0 .

B. Si 1a , la función xay es decreciente.

C. La función exponencial no tiene ceros.

D. La curva de una función exponencial jamás corta al eje X.

8. Si xxf )( y 4)( 2 xxg , el dominio de la función )(xgf es:

A. ,22,

B. ,22,

C. 2,

D. ,22,

9. Si xxf 2)( , entonces 1

3

xf

xf es igual a:

A. 4f

B. xf

C. 2f

D. xf 2

10. Si 1

1)(

x

xxf , entonces

xf

1 es igual a:

A. 1xf

B. xf 1


Página 146

C. xf

D. xf

11. Un recinto rectangular requiere 2000 pies de valla para cerrarlo. Si una de sus dimensiones es x pies. El área y en pies cuadrados expresada en función de x junto con su respectivo dominio es:

A. 1000 xxy para 10000 x

B. xxy 100 para 10000 x

C. xxy 100 para 10000 x

D. 1000 xxy para 10000 x

12. Si xxxf 2)( 2 , entonces

h

afhaf es igual a:

A. ha 2

B. ha 22

C. ha 22

D. ha 2

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