ING. ELECTRNICA E INSTRUMENTACIN UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS
ARMADAS ESPE EXTENSIN LATACUNGAPROCESAMIENTO DIGITAL DE
SEALESREPRESENTACIN DE UN SISTEMA LTI MEDIANTE VARIABLES DE
ESTADOJefferson De La Cruz [email protected] Extensin Latacunga,
Quijano!rd"ez#ermanas P$ezRESUMEN: Hay diferentes formas de modelar
un sistema matemticamente se encuentra la de describir al sistema
mediante la representacin de variables de estado.ABSTRACT:There are
diferent ways ofmodeling a system is mathematicallydescribed the
system by representing statevariables.PALABRASCLAVES:%aria&les
de estado,transformaciones.1 INTRODUCCIN Sistema i!a"iate e e#
tiem$%Es a'uel 'ue tiene (ar$metros fijos oestacionarios con
res(ecto al tiem(o, es decir,sus caracter)sticas no cam&ian al
(asar eltiem(o o dic*o de otra forma, sus (ro(iedadesson
in%ariantes con traslaciones en el tiem(o.Esta&%Es el conjunto
m$s (e'ue"o de %aria&les+denominadas %aria&les de estado,
tales 'ueel conocimiento de esas %aria&les en t
=t0conjuntamente con el conocimiento de laentrada(ara, determinan
com(letamenteelcom(ortamiento del sistema en cual'uiertiem(o t
>t0.Va"ia'#es &e esta&%Las %aria&les de estado de un
sistemadin$mico son las 'ue forman el conjunto m$s(e'ue"o de
%aria&les 'ue determinan elestado de un sistema din$mico. Si
senecesitan al menos -n. %aria&lesx1, x2, , xn(aradescri&ir
(or com(letoel com(ortamiento de un sistema din$mico+(or locual
una%ez'uese(ro(orcionalaentrada(arat/0t1sees(ecificael
estadoinicial en t 0 t1, el estado futuro del sistema
sedetermina(or com(leto,, tales-n.
%aria&lessonunconjuntode%aria&lesdeestado. Lasecuaciones
matem$ticas 'ue descri&en eles(acio de estados se di%iden en
dos (artes21( 3n conjunto de ecuacionesmatem$ticas 'ue relacionan
las%aria&les deestadoconlase"al deentrada.)(
3nsegundoconjuntodeecuacionesmatem$ticas 'ue relacionan
las%aria&les de estadola entrada actualcon la se"al de
salida.)AN*LISISEl siguiente conjunto de ecuaciones(ro(orciona la
descri(cin de es(acio deestados del sistema.v ( n+1)=F v ( n) +q x
( n)y ( n)=gTv( n)+dx(n)donde los elementosF, q, g y dsonconstantes
(ara cada sistema+no cam&iancomo una funcin con )ndice
tem(oral,determinando un sistema L.4.5.v(n) es el%ector de las
%aria&les de estado.3n sistema discreto, caracterizado (or
unafuncin de transferencia, (uede ser realizadode diferentes
formas, cada una de ellas conuna descri(cin de es(acios de
estadosdiferente.2Pararesol%er lasecuacionesdees(aciodeestados, se
(lantea una solucin recursi%a'ue *ace uso del *ec*o de 'ue
lasecuaciones de es(acio de estados son unconjunto de ecuaciones en
diferencias de(rimer orden. En general, (odemosdeterminar la salida
comoy ( n)=gTFnn0v(n0)+k=n0n1gTFn1kqx( k )+dx( n)De a'u) (odemos
o&tener dos casoses(eciales. Primerolares(uestadel
sistemacuando la entrada es ceroyzi ( n)=gTFnn0v (n0),Por otro
lado, la res(uesta del sistema cuandoel estado es ceroyzs (
n)=k=n0n1gTFn1kqx( k) +dx( n) .La salidagen6ricaser$la
sumadeam&asy ( n)=yzi( n) +yzs( n)En (articular,yzi ( n)es un
m6todoexcelente (ara el c$lculo anal)tico de lares(uesta
im(ulsional del sistema.Para cuales'uiera dos descri(ciones
dees(acio de estados corres(ondientes almismo sistema discreto,
existir$ unatransformacin de las matrices^F=PFP1, ^ q=Pq,
^gT=gTP1DondePes la matriz de transformacin.Como el n7mero de
elecciones dePesinfinito, (odemos Decir'ue*atam&i6nunn7mero
infinito dedescri(cionesdees(aciodeestados, (ortanto,
deestructuras(ararealizar el mismosistema.3na realizacin de es(acio
de estados m)nimaes la 'ue (osee como dimensin del %ector deestados
%, o n7mero de %aria&les de estado, lamenor de todas las
realizaciones (osi&les. Considerandoel sistemaL54 descrito(or
la ecuacin en diferenciascon funcin de transferenciase %an a %er
dos formas de re(resentacin enes(acio de estado. +
E,ERCICIODetermine las realizaciones de es(acio deestados de ti(o 4
(ara el sistema de 8i&onacci.3Como sa&emos, la secuencia de
8i&onacci es9:, ;, , :=,...?,
'ue(uedegenerarsecomores(uestaim(ulsional del sistema'uesatisface
la ecuacin en diferencias siguientey ( n)=x ( n) +y ( n1)
+y(n2)Dado 'ue se trata de un sistema de segundoorden, la
realizacin de ti(o 4 %endr$ dada (or [v 1( n+1)v 2( n+1)]=[ 0
1a2a1][v 1( n)v 2( n)]+[01]x ( n)y ( n)=[(b2b0a2)(b1b0a1)][v1(n)v
2(n)]+b0x(n)Dado 'ueb0=1,b1=0, b2=0, a1=1 y a2=1,tenemos 'ue la
realizacin de es(acio deestados de ti(o 4 esv ( n+1)=[1 01 1]v(
n)+[01]x ( n)y ( n)=[ 1 1] v ( n) +x(n) !&tener las ecuaciones
del es(acio deestados 'ue descri&en un sistema como
elmostradoenla8igura, formatras(uestadirecta 44.3tilizamos como
%aria&les de entrada la salidade los &lo'ues de retardo, es
decir, lainformacin contenida en su registro dememoria. @ (artir de
esta (odemos o&tener laecuacin de saliday ( n)=b0x ( n) +v 3(n)
las ecuaciones de estado 'uedanv 1( n+1)=a3 y( n)+b3 x( n)v 2(
n+1)=a2 y( n)+b2 x( n) +v1( n)v 3( n+1)=a1 y ( n) +b1 x( n)+v2(
n)4donde en todas ellas se *a sustituido laecuacin de salida. La
realizacin de es(aciode estado 'ueda finalmente como[v 1( n+1)v 2(
n+1)v 3( n+1)]=[0 0 a31 0 a20 1 a1][v 1( n)v 2(
n)v3(n)]+[b3b0a3b2b0a2b1b0a1]x( n)y ( n)=[ 0 0 1][v 1( n)v 2(
n)v3(n)]+b0 x( n)Estaseconocecomorealizacindees(aciode estados de
ti(o 44. En general, las matricesde realizacin de es(acio de
estados de ti(o 44(ara un sistema de orden A %endr$ dada (or-
CONCLUSIONES. Las %aria&les de estado de un sistemadin$mico son
las %aria&les 'ueconstituenel conjuntom$s(e'ue"ode
%aria&les 'ue determinan el estadodel mencionado sistema
din$mico. Las Baria&les de Estado (ueden o noser medi&les
Las%aria&lesdeestadonos(ermitenidentificar registros en funcin
deretardos.. REFERENCIAS C., P. J. +s.f.,. 5ratamiento Digital
deSe"ales. D6xico2 Pearson, Prentice#all. Emilio Soria, D. D.
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