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VectoresEn el estudio de la Física se utilizan constantemente cantidades que requieren ser descritas entérminos tanto de su magnitud como de su dirección. Este tipo de cantidades recibe el nombrede vectores, y resulta de gran utilidad estudiar sus propiedades generales antes de manejaralgunos ejemplos especificos. Utilizar la notación y terminología establecida para este propósitopermite expresar resultados de manera más concisa, y' al mismo tiempo simplificar lacomprensión de su significado físico fundamental.
I Definición de un vector
Las propiedades del desplazamiento de un punfo proporcionan los elementos básicos para ladefinición de un vector. Para comenza¡ tómese un punto, P1, ! muévasele siguiendo unatrayectoria arbitraria hasta la posición P2i como se aprecia en la figura 1, el efecto nefo de estemovimiento es el mismo que si el punto hubiera sido trasladado en línea recta, D, desde P1á P2,
tal como indica la dirección de la flecha. Esta recta D recibe el nombre de desplazamiento y secaracteriza por una magnitud (su longitud) y una dirección de (A a Pz). Si se desplaza ahora elpunto desde la posición P2 a otra posición, P3, siguiendo la trayectoria E como se muestra en lafigura 2, el efecto neto es el mismo que si el punto hubiera sufrido un solo desplazamiento, ñdesde P1 a Ps. De esta manera, se puede decir que F es la resultante o suma de losdesplazamientos sucesivos D y E; de tal forma, la figura 2 muestra la manera fundamental decombinar o sumar desplazamientos para obtener una resultante.Un vector es una generalización de estas consideraciones ya que se define como una cantidadque posee las mismas propiedades matemáticas que el desplazamiento de un punto. Un vectorposee magnitud, dirección y la adición de dos vectores de la misma naturaleza intrínseca sigue lamisma regla básica que se ilustra en la figura 2. Debido a las primeras dos propiedades, se puederepresentar un vector por medio de una recta dirigida, tal como la que se utilizó para ilustrar losdesplazamientos. Un vector aparece en negrita, como A; su magnitud queda representada por
lAl o por A.Un esca/ar es una cantidad que únicamente posee magnitud. Por ejemplo, la masa de un cuerpoes una cantidad escalar, mientras que su peso, que es la fuerza gravitacional que actúa sobre elcuerpo, es un vector.
Figura l. D es el desplazamiento del putto de PI aPZ.
Figura 2. F es la resultante de los desplazamientos D y E.
P?
Figura 3. Estos dos vectores son iguales"
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En la figur:a 8 se muestra que A forma ángulos específicos con cada uno de los ejes; estosángulos, cr, F, y y, reciben el nombre de ángulos directores de A y se miden a partir de la
dirección positiva de cada uno de los ejes. La figura 9 muestra el plano que contiene a A y a i, yen ella se aprecia que A, está dado por A, = A cos a. Al combinar esta ecuación con la (6) seobtiene
, - ---^- -4,t' = cosa =7 =W; At,. AM
donde /, recibe el nombre de coseno director. Existen expresiones similares para
ángulos directores, F y a, y sus cosenos directores asociados, l, y l¡,, de tal maneraconcluir, a partir de (6) y (7) que, si se conocen los componentes rectangulares depueden calcular tanto su magnitud como su dirección.
(7)
los otros dosque se puedeun vector, se
(e)
III)
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)
)
)
)
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t.
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Figura 8. Definición de los ángulos directores.
Figura 9. A* es la componente x de A.
Si ahora se combinan (4), (5) y (7), se ve que un vector unitario, á, puede también escribirsecomo
á=l,i+lri+l,k (8)
de manera que las componentes de un vector unitario en determinada dirección son simplementelos cosenos directores asociados con esa dirección. Si se le aplica ahora el resultado generaldado por (6) alvector unitario específico á, se obtiene la importante relación entre los cosenosdirectores:
t: *tl +t: = I
que también puede obtenerse de (7),y sus análogas.
La adición de vectores que se ilustra en la figura 4 puede expresarse muy fácilmente en funciónde las componentes rectangulares. De la figura 10 se desprende que una componente de lasuma C = A + B está dada por la suma de las componentes correspondientes, es decir,
C* = A, * B*, Cy=Ar*Br, Cr=Ar¡8, (1 0)
Figura 10. La componente de rHra suma es igual alasuma de las componentes correspondientes.
.4
t
5 Vec'tor de posición
Considérese ahora un ejemplo sencillo de un vector. Como se aprecia en la figura 11, lalocalización de un punto especifico, P, en el espacio puede especificarse por medio de unvector, r,trazado desde el origen de un sistema coordenado elegido; a este vector r se le llamavector de posición del punto P. En relación al sistema coordenado rectangular de la figura 6, lascomponentes de r son simplemente las coordenadas (x, y, z) del punto; de esta manera, setiene que
r=r¡+yj+zk
De manera similar, otro punto, P', cuyas coordenadas sean (X', v', z') se podrá localizar pormedio de su vector de posición r' = x'i + y' j + z'k como se muestra en la figura 12. Ahora quese tienen localizados los dos puntos por separado, se puede escribir la posición de uno deellos con respecto al otro dibujando un vector de P'a P; a este vector R se le llama el vector deposición relativa de P con respecto a P'. De la figura 12 se ve que r' + R = r, de manera que
(1 1)
(12)
(13)
(14)
R=r-r'Utilizando (10) y (1 1) se puede expresar R en forma de componentes como
ft = (" "')i + (1, - y'h+U - ,'lk
ft = th x'lF +b - yY +Q -,'l'Yy, por lo tanto,
debido a (6). Estos resultados se utilizaÉn con mucha frecuencia. Nótese que la posiciónrelativa de P'con respecto a P está dada por el vector R' trazado de P a P'y que, en efecto, R'= -ft.
Figura 11. r es el vector de posición del punto P.
Figura 12. R es el vector de posición relativa de P conrespecto a P',.
Aunque no se da mayor especificación respecto al sistema coordenado aparte de decir que éstese eligió convenientemente, una vez que se hace estia elección en un caso particular, se dice queel sistema coordenado está "frjo en el espacio" y que sus vectores unitarios i, j, k son constantestanto en dirección como en magnitud. En otras palabras, el sistema coordenado fijo que se utilizaes simplemente uno de tantos marcos de referencia inerciales tan conocidos en la mecánicaclásica.
'rn/
Considérese ahora la multiplicación de vectores: se definirán dos tipos de productos.
6 Producto escalar
El producto escalar de dos vectores se define como el escalar igual al producto de las magnitudesde los vectores y el coseno del ángulo que forman entre si, o sea,
A.B = ABcos9 (15)
Debido a su notación particular, el producto escalar también recibe el nombre de productopunto.
En la figura 13 se muestra una interpretación simple del producto escalar: (B cos e) A ="componente de B en la dirección de A por la magnitud de A'= (A cos 0) B = "componente deA en la dirección de B por la magnitud de B"
Figura 13. El ángulo relativo al producto escalar.
De la ecuación (15) resulta obvio que el orden de los factores no altera el producto escalar, esdecir,
A.B=B.A (16)
y que si dos vectores son perpendiculares entre sí, entonces A' B = 0 y recíprocamente. Más aún,el cuadrado de un vector se puede interpretar como el vector multiplicado escalarmente por símismo; el resultado es el cuadrado de su magnitud, por lo que se puede escribir
A2=A.A=A2 (17)
Si únicamente se conocieran las mmponentes rectangulares de A y de B, no sería convenientecalcular A ' B a partir de (15), ya que ello requeriría que se conociera el ángulo que forman entresí. Afortunadamente, es posible expresar A ' B directamente en función de las componentesrectangulares. Dado que el ángulo entre cada par de vectores unitarios de los definidos en lafigura 6 es de 90', se aprecia fácilmente que, de acuerdo con (15),
i . j = j .k = k .i= 0 ( 18)
y por (17)
¡.¡=j.j=k.k=1 (1e)
Si se escriben A y B en la forma (5), entonces éstos se pueden multiplicar entre sí término atérmino para obtener
A . B =V,i+ Ari+,l"xl.la,i+ Bri+ B,kl= A,B,a.i+ A,Bri.i+ A,B"a.k +...
y, tras usar (18) y (19) para simplificar los nueve términos resultantes, se obtiene
A'B= A,B,+ArBy+A,8, (20)
Supóngase ahora que é es un vector unitario que va en una dirección específica. Si A" sedefine como la componente de A en esa dirección, se obtiene, usando (15), que
)
A, = A'é (21)
7 Producto vectorial
A éste también se le llama prcducto cruz cnl,que se escribe A X B. El resultado es un vectorperpendicular tanto a A como a B y su magnitud se define como
ln * Bl = AB seny (22)
Su dirección se determina según la siguiente regla de la mano derecha: si se doblan los dedos dela mano derecha en el sentido necesario para hacer girar a A hacia B siguiendo el ángulo máspequeño entre ellos, el pulgar indicará la dirección de A X B. Esta regla se ilustra en la figura14.
Figura 14. Deñnición de la dirección del productovectorial.
Si se observa el plano que conüene a A y a B en la figura 1 -15, se tiene una interpretación sencilladel producto vedorial. De la figura y de (22) se desprende que la magnitud del producto cruz esigual al área del paralelogramo que tiene a A y a B como lados.
Figura 15. Interpretación de la magnitud de un productovectorial como un área.
A partir de la definición de la dirección del producto vectorial dada en la figura 14, resulta er¡identeque el orden de los factores sí es importante en este caso, ya que
Bx fi =- (n*e) (23)
SiAyBsonparalelos,de{22)sedesprendequeAXBesigual acero,yrecíprocamente.Enparticular,
AxA=0 (24)
Para los vectores unitarios en la dirección de los ejes, mostrados en la figura 6, si se utilizan(22),la regüa de la mano derecha, el hecho de que son mutuamente perpendiculares y que elproducto vectorial es perpendicular a ambos vectores, se obtiene
y, de acuerdo con (1 -24)
ixj=k, jxn-i, kxi=¡ (251
ixi-jxj=kxk=0 (26)
El produc{o vectorial se puede escribir también en función de las componentes rectrangulares.Siguiendo un desarrollo similar al que se utilizó para obtener (20), se escriben A y B en la forma(5) y se multiplican término a término, utilizando después (23), (25 ) y (26) para simplificar losresultados. Se encuentra así que
(27)
Esto puede escr¡birse como un determ¡nante muy fácil de recordar:
tl (28)
Se deja como ejercicio verificar que
Ay
By
cy
(2e)
y que
Ax(e*c)=B(A'c) -ch.e) (30)
En (29) se observa que el punto ylaan:z se pueden intercambiar sin efeduar eltiple producto escala4por ello, los paÉntesis no son realmente necesarios. En eltriple producto cnrz (30), sin embargo, losparérÉesis sí son importantes porque (A X B) X G = -G X ( AX B ), p o r ( 2 3 ) .
La división de vectores no está definida.
A x g = lurB,- A,B rli * lA,B,- A*B ")¡
* lu,B y- ara.ln
IJA, AY
B, BY
AxB =
l,a.
A.(e*G)=(¡*B).e=la,lc. ?l
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