Vibraciones en un medio no viscoso ¿Cómo modelar un péndulo?

Vibraciones en un medio no viscoso

¿Cómo modelar un péndulo?





La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido

viscoso)

2

2

dt

xdmxkF

F

La ecuación diferencial de Newton


viscoso)

2

2

dt

xdmxkF

Simplemente reordenando términos

F

xkdt

xdmF

2

2


viscoso)

2

2

dt

xdmxkF

NOVEDAD: Esta ecuación relaciona una variable con su derivada segunda. ¿Será la solución a esta ecuación tambien una exponencial?

F

xkdt

xdmF

2

2


viscoso)

2

2

dt

xdmxkF

Fijando la fuerza a 0 (por simplicidad)

F

xkdt

xdmF

2

2

texxkdt

xdm

2

2

0

Proponemos una solución exponencial y a ver que pasa…


viscoso)

xedt

xde

dt

dxex ttt 22

2

2

xkdt

xdm

2

2

0Matemática Física

La derivada segunda de una exponencial es proporcional a ella misma, hasta aquí todo bien. Sigamos …


viscoso)

xedt

xde

dt

dxex ttt 22

2

2

xkdt

xdm

2

2


Reemplazamos

)(0 22 kmxxkxm

Siendo x una funcion generica, no queda otra que este termino sea 0


viscoso)

xedt

xde

dt

dxex ttt 22

2

2

xkdt

xdm

2

2


Reemplazamos

)(0 22 kmxxkxm

m

ki

m

kkm

22 )(0


viscoso)

ti

ex

xkdt

xdm

2

2


Reemplazamos

m

ki

m

kkm

22 )(0

xedt

xde

dt

dxex ttt 22

2

2

NOVEDAD: La constante de la exponencial es imaginaria.

Exponenciales imaginarias, vueltas, oscilaciones y

decaimientos.

Mecánica básica de la función: t

ex

t

0 2 3 4 5

10

e

ee

11

La mecánica de la exponencial es simple, cada vez que pasa un tiempo T multiplico por 1/e. Así se entiende que a medida que pasa el tiempo

uno se va aproximando arbitrariamente al cero.

Exponenciales imaginarias, vueltas, oscilaciones y

decaimientos.

Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones.

1-1

i

-i

2*2*2*2*2…. (Exponenciacion de 2)2-4-8-16-32 … 2N … infinito

(1/2)*(1/2)*(1/2)*… (Exponenciacion de 1/2)1/2-1/4-1/8 … 1/2N… 0

¿¿(i)*(i)*(i)*… (Exponenciacion de i)??

Conocido 1:

Conocido 2:

Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las

oscilaciones son exponenciales imaginarias.


1-1

i

-i

2*2*2*2*2…. (Exponenciacion de 2)2-4-8-16-32 … 2N … infinito

(1/2)*(1/2)*(1/2)*… (Exponenciacion de 1/2)1/2-1/4-1/8 … 1/2N… 0

¿¿(i)*(i)*(i)*… (Exponenciacion de i)??

i : -1 : -i : 1 : i -1 : -i : 1 : : i -1 : -i : 1 : i

Conocido 1:

Conocido 2:




1-1

i

-i

En general, una exponencial tiene una componente real (contracción o dilatación) y una parte imaginaria (rotación).

ibtattbiaCt eeee )(

Cambio en la amplitud o modulo.Amortiguación, disipación (o

amplificación) Perdida del movimiento

Rotaciones, oscilaciones.Movimiento periódico.

a > 0

a < 0




1-1

i

-i

Hasta ahora hemos visto una u otra proyección, ya sea movimiento

exponencial u oscilatorio. En general, como veremos en el oscilador amortiguado, el movimiento se

descompone en estas dos componentes, resultando en un

movimiento “espiralado”. Según el ritmo (la velocidad) de rotación y el

ritmo de decaimiento se dan distintos tipos de regimenes donde las

oscilaciones llegan o no a hacerse evidentes..

ibtattbiaCt eeee )(



Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones. Noción de fase como el argumento de una exponencial imaginaria.

1-1

i

-i

)()cos( tseniteit

Proposición (y no demostración) de la razón de esta igualdad.

)cos()( titsendt

deit

itit

ietsenitidt

de ))()(cos(




1-1

i

-i

)()cos( seniei

0ie

2

ie

ie

2

3ie

ie

Esta igualdad puede probarse de varias maneras, aquí la propongo sin demostración. Su uso permite

una gran “ventaja notacional” ya que el producto de vectores puede

descomponerese naturalmente en una suma de sus angulos y el producto de sus distancias.




1-1

i

-i

)()cos( seniei

0ie

2

ie

ie

2

3ie

1)()(cos 22 senei

NOTAR QUE LA NORMA (RADIO, DISTANCIA) DE ESTE NUMERO COMPLEJO ES SIEMPRE 1. EL

ANGULO QUEDA DETERMINADO POR LA FASE




1-1

i

-i

)()cos( seniei

0ie

2

ie

ie

2

3ie

1)()(cos 22 senei

Un numero complejo se escribe en una notación en esencia igual a las coordenadas polares, como el producto de una fase (exponencial compleja) y un

radio (valor real).

iaiai eeeZ Re




1-1

i

-i

0ie

2

ie

ie

2

3ie

221121

iaia eeZZ )(

212121 iaaeZZ

Z1Z2

Z1*Z2Z1*Z2 resulta de sumar los ángulos

(las fases) de Z1 y Z2 y de multiplicar sus radios.

Combinando los 3 ingredientes fundamentales, el

oscilador (con masa) amortiguado

Oscilar en un mundo viscoso es difícil y requiere energía. Las oscilaciones se vuelven mas difíciles a medida que la masa decrece y se pierde inercia. En el mundo de las moléculas biológicas las oscilaciones son raras y en general requiere de un mecanismo activo (una fuerza que provee energía) que las sostenga. Los cambios conformacionales de proteínas suelen no tener rebote.

La dificultad de oscilar en un mundo viscoss.

¿Cómo modelar con los ingredientes mecánicos del aparato mecanico transductor de presion a corriente?

Las células ciliares en la cochlea:

Oscilaciones en un medio viscoso: Primer punto de partida, acercamiento empírico.

F

Oscilaciones en un medio viscoso: Punto de partida teorico como siempre, las ecuaciones de Newton.

F

dt

dvmvkxF La ecuación diferencial de Newton

Oscilaciones en un medio viscoso: Punto de partida, como siempre, las ecuaciones de Newton.

F

dt

dvmvkxF La ecuación diferencial de Newton

xmxkxF Expresado en terminos de una funcion incognita (x) y sus

derivadas ( v y a)

Resolvamos primero el caso en el que F=0. Un oscilador “solo” en un medio viscoso.

De ecuaciones diferenciales a un polinomio…

F

0 xmxkx Y como siempre, proponemos y

usamos, para pasar de la ecuación diferencial a una

ecuación polinomica:

xedt

xde

dt

dxex ttt 22

2

2

De ecuaciones diferenciales a un polinomio una vez más función conocida

F

0 xmxkx

Yemplazando cada derivada se obtiene

xedt

xde

dt

dxex ttt 22

2

2

Resolviendo el oscilador amortiguado

F

0)(0)( 22 mkemk t

Problema conocido

Una solución conocida

F

0)(0)( 22 mkemk t

Problema conocido

m

mk

2

42

Que nos dice esta ecuacion (antes de resolverla)

Que puede concluirse de esta solucion

F

m

mk

2

42

tex

Distintos escenarios posibles: 1) Viscosidad domina

F

m

mk

2

42

tex

1) Raiz es > 0 mk42

Raíz positiva. Un mundo viscoso (el de las proteínas) La masa y la elasticidad no llegan a generar ni una

oscilación.

F

m

mk

2

42

tex

1) Raiz es > 0 mk42

1) La solución no tiene componente compleja y luego no hay oscilaciones.

2) Lambda es positivo (ver porque) y por lo tanto la solución es una exponencial decreciente.

3) El resultado es por lo tanto como el de un amortiguador con la constante de tiempo modificada por la presencia

de la masa y de la constante elástica.

Distintos escenarios posibles: 2) La masa y la elasticidad llegan a oscilar superando la viscosidad.

F

m

mk

2

42

tex 2) Raiz es < 0 mk42

< 0tmk

mt

m eex

4

2

1

22

Raíz negativa, como resolverla...

F

m

mk

2

42


> 0

Entonces la raiz es positiva por -1.

tmkm

tm eex

4

2

1

22

tmkm

tm eex

)4(1

2

1

22

Raíz (negativa) imaginaria luego oscilaciones

F

m

mk

2

42


tmkm

tm eex

4

2

1

22

tmkm

tm eex

)4(1

2

1

22

)4(22

2

mk

m

itt

m eexi factoriza como

la raiz de -1

El reino de las oscilaciones.

F

m

mk

2

42


)2(2

2

mm

kitt

m eex

Decaimiento exponencial con

constante: m2 Oscilaciones con

periodo

2

2

2

mm

k

El reino de las oscilaciones.

F

m

mk

2

42

tex

2) Raiz es < 0 mk42

1) La solución tiene componente compleja y luego resulta de una mezcla de oscilaciones y un decrecimiento exponencial.

2) Las constantes de tiempo se factorizan: oscilador con masa por un lado y amortiguador con masa por el otro.

3) La constante de tiempo del decaimiento aumenta con la masa y decrece con la velocidad.

4) La constante de tiempo de la oscilación aumenta con la masa y decrece con k

El compromiso entre dos términos.

F

m

mk

2

42

tex

2) ¿Por qué? mk42

La física de este problema queda establecida por un compromiso entre la disipación (dada por la viscosidad) y la tendencia a oscilar que aumenta con la elasticidad y la masa. Todo el problema se reduce esencialmente a

comparar los dos tiempos críticos (el decaimiento exponencial y el periodo de la oscilación) y a entender

que contribuye a cada tiempo critico.

Tiempo de experimentos (simulaciones) Segunda parte, validación de un modelo teorico.

F

Energía en un oscilador viscoso

F

)(2

1 22 mvkxE

Conocido x(t) podemos calcular también v(t) y por lo tanto la energía, según la fórmula:

Reemplazando la educación del movimiento se obtiene la siguiente formula para la energía:

t

eEE

0 m


F

t

eEE

0 m

Dos conclusiones importantes dos:1) La energía no se conserva, o, dicho de otra manera, oscilar

(y en general moverse) en un mundo viscoso cuesta.2) La perdida de energía no depende de la constante elástica.


F

t

eEE

0 m

2) La perdida de energía no depende de la constante elástica.

Vimos que el movimiento puede factorizarse en el producto de un decaimiento exponencial y de una oscilación. El decaimiento exponencial es el único de estos

factores que altera la energía. La oscilación establece un proceso conservativo de flujo de energía cinética a potencial (y la velocidad de este flujo SI depende de k)

conservando el total de energía. De hecho en el caso extremo en el que la viscosidad es cero, el problema es conservativo, cada ciclo de la oscilación tiene la misma energía y,

por lo tanto, la misma amplitud.

Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario.

F

t

eEE

0 m

Si un agente externo es capaz de entregar en cada ciclo la misma cantidad de energia que disipa el sistema, entonces se alcanza un estado oscilatorio estacionario de

amplitud constante.


Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?

F



F

Respuesta: NO. Ya vimos anteriormente que el trabajo de una fuerza constante a lo largo de un ciclo es necesariamente cero (esencialmente porque en la mitad del ciclo empuja (fuerza en mismo sentido que el desplazamiento, trabajo positivo) inyectando

energía y en la otra mitad del ciclo frena (fuerza en el sentido inverso al desplazamiento, trabajo negativo) quitando por lo tanto energía.



F

Respuesta: NO. Versión grafica del mismo argumento.

F

Velocidad

EE E E

El oscilador amortiguado disipa energía porque la fuerza viscosa es SIEMPRE opuesta a la velocidad.

La fuerza viscosa esta “contra fase” con la velocidad, resultando en una perdida de energia (disipacion) en cada ciclo. Debido a esta perdida de energia la velocidad

disminuye con lo que la perdida de energia en el proximo ciclo es menor y asi siguiendo resultando, como ya vimos, en una exponencial.

F

F

Velocidad

1EE 2E 3E

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Vibraciones en un medio no viscoso ¿Cómo modelar un péndulo?