s40838538e68549fd.jimcontent.com · Web viewINTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES, F. HILLER Y G. LIEBERMAN, ED, MC GRAW HILL. 3.- MODELOS CUANTITATIVOS PARA ADMINISTRACION,

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO

FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN

DIVISIÓN DE ESTUDIOS PROFESIONALES

COORDINACIÓN DE MATEMATICAS

MATEMATICAS VI(INVESTIGACION DE OPERACIONES)

PROF.: L. A. NORMA NÚÑEZ SÁNCHEZ.

SEMESTRE 2012 - 2

PROF.: L. A. NORMA NUÑEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

BIBLIOGRAFIA1.- ANALISIS CUANTITATIVO PARA LA TOMA DE DECIUSIONES, HAROLD BIERMAN JR., ED, MC GRAW HILL.

2.- INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES, F. HILLER Y G. LIEBERMAN, ED, MC GRAW HILL.

3.- MODELOS CUANTITATIVOS PARA ADMINISTRACION, K. ROSCOE DAVIS, GRUPO EDITORIAL IBEROAMERICA.

4.-INVESTIGACION DE OPERACIONES, MATUR HAMLESH, ED. PRENTICE HALL.

5.- INVESTIGACION DE OPERACIONES EN LA CIENCIA ADMINISTRATIVA, G. D. EPPEN, ED. PRENTICE HALL HISPANOAMERICA.

6.- INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, J. SHAMBLIN, ED. MC GRAW HILL.

7.- MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LA TOMA DE DECISIONES, CHARLES GALLAGHER, ED. MC GRAW HILL. 8.- MÉTODOS Y MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, J. PRAWD, VOL. I Y II. ED. LIMUSA.

9.- INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, H. MOSKOWITZ, ED. PRENTICE HALL.

10.- INTRODUCCIÓN A LAS TÉCNICAS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, H. DAELLENBACH, J. GEORGE Y D. MCNIKLE, CECSA.

11.- INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, H. TAHA, ED. ALFA - OMEGA.


I.- ASPECTOS GENERALES DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

A.- ORIGEN DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESEl origen de la Investigación de Operaciones se da antes de la Revolución Industrial, ya que durante este movimiento surgieron algunos problemas como fueron el crecimiento y complejidad de las organizaciones; es decir, cuando los pequeños talleres artesanales se convirtieron en in-dustrias grandes lo que trajo como consecuencia cambios en la división del trabajo y la separación de las responsabilidades administrativas dentro de éstas, perdiendo con esto la división de sus objetivos.

Otro problema aunado al anterior, es que conforme la especialización y complejidad crecieron, se vuelve más difícil asignar los recursos disponibles a las diversas actividades de manera efi-caz en un organismo, este tipo de problemas los resolvería más tarde la Investigación de Operaciones.

La Investigación de Operaciones es un enfoque científico de la toma de decisiones, dentro deeste contexto, la Investigación de Operaciones. Puede remontarse a Frederick W. Taylor, los Gilbreths y Henry Gantt. Sin embargo, la Investigación de operaciones se desarrolla en su to-talidad durante la Segunda Guerra Mundial cuando se utilizó el termino Investigación Opera-cional para describir el enfoque adoptado por grupos interdisciplinarios de hombres de cien-cia para resolver problemas de estrategia y táctica del manejo militar. Despues de la guerra este enfoque se extendió a las organizaciones industriales.

B.- NATURALEZA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESComo su nombre lo indica la Investigación de Operaciones significa “hacer investigación so-bre las operaciones”. La Investigación de Operaciones se aplica a problemas que se refierea la conducción y coordinación de operaciones (actividades) dentro de una organización.

La parte de investigación en el nombre significa que la Investigación de Operación usa un en-foque similar a la manera en que se lleva a cabo la investigación en los campos científicos es-tablecidos, en ocasiones se usa el término Ciencias de la Administración como sinónimo de Investigación de Operaciones.

La Investigación de Operaciones incluye la investigación científica creativa de las propieda-

des fundamentales de las operaciones. La Investigación de Operaciones se ocupa de la admi- nistración práctica de la organización, así para tener éxito deberá también proporcionarconclusiones claras que pueda usar el tomador de decisiones cuando las necesite.

Una característica adicional es que la Investigación de Operaciones intenta encontrar una mejor solución (llamada solución óptima), aún cuando debe interpretarse con todo cuidado en términos de las necesidades reales de la administración, esta “búsqueda de la optimalidad “ es un aspecto importante dentro de la Investigación de Operaciones.


C.- CONCEPTO DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESLa Investigación de Operaciones utiliza el método planeado y el equipo interdisciplinario para representar relaciones funcionales complejas como los modelos matemáticos, con objeto de proporcionar una base cuantitativa para la toma de decisiones y para descubrir nuevos pro-blemas en el análisis cuantitativo.

D.- OBJETIVO DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESConsiste en proporcionar un método racional y sistemático para resolver problemas fundamenales para el control u operación de los sistemas, los resultados obtenidos deben de ponerse en ejecución y si éstos constituyen resoluciones que conformen reglas para emitir decisiones respectivas, que se piensan aplicar durante cierto tiempo dichos resultados deben dirigirse o controlarse.

E.- METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESLos pasos de la metodología de la Investigación de Operaciones son:

1.- Defínase el problema2.- Recoléctense los datos3.- Defínanse soluciones alternativas4.- Evalúense soluciones alternativas5.- Selecciónese la mejor alternativa6.- Póngase a la práctica

F.- MODELO GENERAL DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESEl método del investigador de operaciones es la construcción de representaciones de sistemas y modelos donde ejemplifica su operación. Los modelos se representan con ecuaciones y tienenla siguiente estructura.

E = f(Xi, Yi)

Donde:

E.- representa la efectividad del sistema (utilidad, costo o beneficio)

F.- representa la función de un grupo de variables del sistema sujeto a control.

Xi.- representa las variables del sistema sujetas a control.

Yi.- representa las variables del sistema que no están sujetas a control.

El modelo anterior puede ser clasificado como un modelo de optimización de los valores que seinsertan para las variables controlables (Xi) y las variables no controlables (Yi) se deben mani-pular para optimizar la efectividad del sistema.


G.- CONCEPTO DE OPTIMIZACIONLa optimización se da cuando se conocen todos los factores que afectan al sistema, se puede formular un modelo matemático como se indicó antes. La solución a este modelo ya que se relacionaron apropiadamente las funciones (mercadeo, manufactura, finanzas y personal). Así como los componentes debe dar como resultado de utilidades para la firma como un todo.

H.- APLICACIONES DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESLa Investigación de Operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coor-dinación de operaciones dentro de una empresa, también se ha aplicado en áreas tan diversas como: la manufactura, el transporte, la construcción, las telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la salud, la milicia, y los servicios públicos por mencionar algunos.


II.- TECNICAS DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

MODELOS DE PROGRAMACION LINEALResuelven problemas tratan sobre dietas, mezcla de productos y selección de productos, para formular un problema en forma matemática se deben expresar afirmaciones lógicas en térmi-nos matemáticos.

PROGRAMACION LINEALEs un procedimiento matemático para hacer óptimo el uso de los recursos, dado un objetivo y las restricciones de los recursos, los cuales se establecen como funciones.

También se puede decir que la programación lineal se ha difundido porque una gran cantidad de problemas económicos, administrativos y contables pueden ser descritos como modelos de pro-gramación lineal.

ALGORITMOEs un conjunto de procedimientos que cuando se siguen proporcionan la mejor solución de un modelo.

FUNCION LINEALEs aquella que en el plano cartesiano por medio de coordenadas genera una línea recta, es de-cir, una función en x y y, la cual se denota por:

ax + by

Donde:

a y b son constantes y a y b son diferentes de cero.

EJEMPLOS3x + 6y = 18

2x – 4y = 12

X – 5y = 15

6x +3y = 24

DESIGUALDAD LINEALEs aquella que consta de dos variables y se describe en cualesquiera de las siguientes formas:

ax + by < 0

ax + by > 0PROF.: L. A. NORMA NUÑEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

ax + by ≤ 0

ax + by ≥ 0

TECNICAS DE OPTIMIZACIONEs el método que trata de maximizar o minimizar un objetivo.

EJEMPLOS♣ Maximizar las utilidades

♣ Minimizar los costos

SISTEMAEs un conjunto de cosas interrelacionadas entre sí, de tal manera que toman una unidad compleja o un todo compuesto de partes disponibles en forma ordenada según un plan o esquema.

EJEMPLOS♣ Sistema nervioso

♣ Sistema solar

♣ Escuela

MODELOSSon una representación o abstracción de un sistema real, deben de ser representativos de a-quellos aspectos que están investigándose, sirven para predecir y comparar los resultados de las decisiones.

CLASIFICACION DE LOS MODELOSLos modelos pueden ser clasificados por: sus dimensiones, sus propósitos, el tema y su gra-do de abstracción. Algunos tipos de modelos son:A.- MODELOS ANALOGICOS

B.- MODELOS SIMBOLICOS (MATEMATICOS)

C.- MODELOS CUANTITATIVOS Y CUALITATIVOS

D.- MODELOS ESTANDAR Y HECHOS A LA MEDIDA

E.- MODELOS DESCRPTIVOS Y DE OPTIMIZACION

F.- MODELOS PROBABILISTICO Y DETERMINISTICO


G.- MODELOS ESTATICOS Y DINAMICOS

H.- MODELOS DE SIMULACION Y DE NO SIMULACION

TAREA NO.1Investigue cada uno de los diferentes tipos de modelos antes mencionados.

TOMA DE DECISIONESEs un proceso mediante el cual un profesional que se enfrenta a un problema que puede sele-ccionar un curso alternativo de acción entre un conjunto de estos, ya sea que dicho curso alternativo sea el adecuado para optimizar los recursos humanos, materiales, tecnológicos yfinancieros de un organismo.

A.- FORMULACION DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES.Los pasos para la formular modelos de Programación Lineal son:

1. Lea con mucho cuidado el planteamiento del problema.

2. Identifique las variables de decisión.- (también llamadas variables desconocidas) que deben determinarse y se deben de representar mediante símbolos x y y (x1 y x2).

3. Identifique las restricciones estructurales.- son las condiciones que normalmente se presentan los recursos escasos con que se cuenta para producir y que se expresan como desiguaida-des lineales.

x1 + x2 < 0

x1 + x2 > 0

x1 + x2 ≤ 0

x1 + x2 ≥ 0

4. Identifique el objetivo.- se le denomina función objetivo (criterio a desarrollar) y repre-sentarla como una función lineal de las variables de decisión la cual será maximizada o mini-mizada según se requiera en el problema y se expresa matemáticamente:

Z(Max) = x1 + x2

Z(Min) = x1 + x2

5. Identifique la restricción de no negatividad.- los recursos no pueden ser negativos, por lo tanto, las variables deben de ser positivas o cero.


x1 , x2 ≥ 0.

EJEMPLOS1.- Una editorial planea utilizar una sección de su planta para producir dos libros de texto. La utilidad unitaria es de $20 para el libro I y de $30 para el II. El texto I requiere de 4 horas para su impresión y de 6 horas para su encuadernación, el texto II requiere 5 horas para im-primirse y de 3 horas para ser encuadernado. Se dispone de 200 horas para imprimir y de 210 horas para encuadernar. Formule el Modelo de Programación lineal que optimice la producción de la editorial para maximizar la utilidad.

2.- Se cuenta con dos alimentos pan y queso. Cada uno de ellos contiene calorías y proteínas en diversas proporciones. Un kilogramo de pan contiene 2,000 calorías y 50 gramos de proteí-nas, un kilogramo de queso contiene 4,000 calorías y 200 gramos de proteínas.

Supóngase que una dieta normal requiere 6,000 calorías y 200 gramos de proteínas diariamen-te. Por lo tanto, si el kilo de pan cuesta $6 y el kilo de queso cuesta $21. ¿Qué cantidad de pan y queso se debe comprar al menos para satisfacer los requisitos de una dieta normal gas-tando la menor cantidad de dinero?

3.- Un fabricante está tratando de decidir sobre la producción para dos artículos: mesas y si-llas. Se cuenta con 96 unidades de material y 72 horas de mano de obra. Cada esa requiere 12 unidades de material y 6 horas de mano de obra. Por otra parte, las sillas usan 8 unidades de material y 12 horas de mano de obra. El margen de contribución es el mismo para las mesas que para las sillas $500 por unidad. El fabricante prometió construir por lo menos 2 mesas. Desarro-lle el MPL que optimice la producción del fabricante para maximizar la utilidad. 5.- Una dieta debe contener menos de 16 unidades de carbohidratos y 20 unidades de proteí-nas. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 unidades de proteínas, el B con-tiene 2 unidades de carbohidratos y 1 unidad de proteínas. Si el alimento A cuesta $1.20 por unidad y el B $0.80 por unidad. ¿Cuántas unidades de cada alimento deben adquirirse para minimizar los costos?

TAREA NO. 26.- Un fabricante produce dos artículos A y B, cada uno de los cuales requiere tiempo en 3 máquinas. Cada unidad de A demanda 2 horas en la primera máquina, 4 horas en la segunda maquina y 3 en la tercera. Los números correspondientes en B son de 5, 1 y 2 horas, respetivamente. La compañía obtiene utilidades de $250 y $300 por cada unidad de A

y B. Si los números de horas disponibles son: 200, 240 y 190 en caso de la primera, segunda y tercera máquina. De-termine cuántas unidades de cada artículo deben producirse a fin de maximizar la utilidad to-tal.

7.- Un nutriólogo asesora a un individuo que sufre de deficiencia de hierro y vitamina B y le indica que debe ingerir al menos 2,300 mg de hierro, 2,100 mg de tiamina, 1,500 mg de riboflavina durante cierto período de tiempo. Existen dos píldoras de vitamina disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de tiami-PROF.: L. A. NORMA NUÑEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

na y 5 mg de riboflavina y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de tiamina y 15 mg de riboflavina y cuesta 8 centavos. ¿Cuáles combinaciones depíldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y de vitamina al menor costo? 8.- La compañía ACE quiere producir dos clases de recuerdos de viaje: del tipo A y del tipo B. Cada unidad del tipo A producirá una ganancia de $1.00, mientras que uno del tipo B generará una ganancia de $1.20. Para fabricar un recuerdo del tipo A se necesitan 2 minutos en la má-quina I y 1 minuto en la máquina II. Un recuerdo del tipo B requiere 1 minuto en la máquina Iy 3 minutos en la máquina II para procesar el pedido. ¿Cuántas piezas de cada tipo debe pro-ducir la compañía ACE para maximizar la ganancia?

9.- Suponga que el alimento A y el alimento B son los dos tipos bajo consideración. El alimen-to A cuesta 12 centavos/onza y el alimento B cuesta 8 centavos/onza. Se requiere minzar el costo de los alimentos al mismo tiempo que satisfacer tres restricciones vitamínicas, se de-sean por lo menos 30 unidades de vitamina B, 50 unidades de la vitamina C y 60 unidades de la vitamina E. Cada onza de alimento A proporciona 2 unidades de la vitamina B, 4 unidades de la vitamina C y unidades de la vitamina E. El alimento B proporciona 3, 3 y 6 unidades de vitamina B, C y E, respectivamente. ¿Cuántas onzas de cada alimento debe comprarse?

10.- Un fabricante elabora dos artículos A y B. Cada uno de ellos debe de ser procesado en dosmáquinas diferentes. Una máquina tiene una capacidad disponible de 24 horas y la otra de 16 horas. Cada artículo A requiere 2 horas en ambas máquinas y cada unidad del artículo B necesi-ta 3 horas en la primera máquina y de 1 hora en la segunda máquina. La utilidad incremental es de $6 por cada unidad del artículo A y de $7 por cada unidad de B y la fábrica puede producir tantas unidades de cada producto como pueda.

El objetivo de la fábrica es maximizar las utilidades. El problema está en determinar cuántas unidades del artículo A y del artículo B podrían producirse dentro de los límites disponibles permitidos por la capacidad de las máquinas.

11.- Una industria produce dos artículos A y B, la elaboración de un artículo A se lleva $20 y $10 de mano de obra, de materia prima se lleva $20 A y $30 B. El desgaste del equipo se supo-ne proporcional a la producción es de $5 para cada unidad de A y de $5 para B. El beneficio es de de $8 para A y de $5 para B. Si solamente se cuenta con $100,000 para salarios y $180,000 para materia prima y no se requiere que el desgaste del equipo exceda de $40,000 cúal será la cantidad de cada artículo que se tenga que producir para obtener las utilidades más altas posibles.

12.- Una empresa que se dedica a hacer ropa desea minimizar los gastos de producción, si se dedican a hacer un solo tipo de blusas y un solo tipo de pantalones y por cada blusa usan 2 me-tros de tela la cual cuesta $50 cada uno y se lleva 5 horas de mano de obra mientras que por pantalón usan 3 metros de tela y les cuesta hacerlo $100 cada uno y se lleva 6 horas de mano de obra.PROF.: L. A. NORMA NUÑEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

13.- Una compañía posee dos minas: la Perla y la Rue, cada tonelada de mineral de la perla pro-duce 30 libras de cobre, 4 libras de zinc y 1 libra de molibdeno. Cada tonelada de mineral de la Rue produce 15 libras de cobre, 8 libras de zinc y 3 libras de molibdeno. La compañía debe pro-ducir al menos 87,500 libras de cobre, 16,000 libras de zinc y 5,000 libras de molibdeno a la semana . Si se tiene un costo de $50 por toneladas al obtener mineral de la Perla y $60 por la tonelada al extraerlo de la Rue. Desarrolle el MPL que optimice la extracción de mineral de la compañía y que minimice el costo.

14.- Un fertilizante para el campo necesita 10, 12 y 12 unidades de componentes químicos A, B y C, respectivamente. Un producto químico líquido contiene 5, 2 y 1 unidades de los componen-tes respectivamente por un litro. Un producto seco 1, 2 y 4 unidades de cada componente por kilogramo. El costo del producto líquido es de $3 y el costo del producto seco es de $2. ¿Cuán-to de cada producto debe mezclarse para poder cubrir las características del fertilizante pa-ra obtener un costo mínimo?

15.- Un granjero cría pavos, gallinas y patos. El costo de la crianza de una gallina, un pato y un pavo es de $1.50, $1 y $4 respectivamente, hasta el momento de su venta. Las gallinas se ven den a $3, los patos a $2 y los pavos a $5.50 cada uno. Sabiendo que la granja puede alojar solo 500 aves y que el granjero no desea tener más de 300 patos a la vez, ¿Cuántas aves de cadaespecie debe críar a fin de maximizar sus utilidades?

16.- Una compañía elabora los productos A, B y C, cada producto se procesa en tres departa--mentos, I; II y III. El total de horas de trabajo disponibles por semana para los departamentos, I; II y III son 900, 1,080 y 840, respectivamente. Los requisitos de tiempo (en horas por unidad) la ganancia por cada unidad de cada producto son como sigue:

Producto A

Producto B

Producto C

Departamento I 2 1 2Departamento II 3 1 2Departamento IIII 2 2 1Ganancia $18 $12 $15

¿Cuántas unidades de cada producto debe fabricar la compañía para maximizar su ganancia’?

B.- METODO GRAFICO

SOLUCION DE MODELOS POR EL METODO GRAFICOPara resolver Modelos de Programación Lineal por el Método Gráfico es necesario considerar:

1.- Sólo se pueden trazar restricciones con 2 variables de decisión puesto que con 3 es muy difícil.

EJEMPLO17.- Represente gráficamente la siguiente ecuación:PROF.: L. A. NORMA NUÑEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

3x1 + 6x2 + 3x3 = 6

TAREA NO. 318.- Represente gráficamente la siguiente ecuación:

4x1+ 5x2 + 8x3 = 20

19.- Represente gráficamente la siguiente ecuación:

2x1+ x2 + 3x3 = 6

2.- Debido a las restricciones de no negatividad sólo se escoge la superficie que se genera en elprimer cuadrante. Esto se hace sólo para escoger valores positivos para x1 y x2.

X2

2do CUADRANTE + + 1er CUADRANTE

X1

- +

3er CUADRANTE - - 4to CUADRANTE

REGION FACTIBLEEs el conjunto de puntos factibles de acuerdo con todas las restricciones.

EJEMPLO20.-MODELO PRIMALZ(Min) = 18x1 + 12x2

Sujeto a:1) 6x1 + 2x2 ≥ 3

2) 3x1 + 4x2 ≥ 8

x1,x2 ≥ 0PROF.: L. A. NORMA NUÑEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

DUALIDADPara todo problema de maximización de P. L., existe un problema equivalente de minimización y para todo problema de minimización existe un problema equivalente de maximización.

Los coeficientes de la función objetivo en el problema dual se convierten en las limitantes de las restricciones estructurales (desigualdades), las limitantes de las restricciones estructu-rales se convierten en los coeficientes de la función objetivo. Los vectores renglón se convierten en columna y los vectores columna en renglón, si se está minimizando se cambia a maximi-zar o viceversa y si los signos eran ≥ se cambian por ≤. 21.- MODELO DUALZ(Max) = 3x1 + 4x2

Sujeto a:1) 6x1 + 3x2 ≤ 18

2) 2x1 + 4x2 ≤ 12

x1,x2 ≥ 0

FORMA CANONICASe dice que el modelo se encuentra en su forma canónica, clásica, típica o tradicional, cuando la función objetivo se está maximizando y todas las restricciones estructurales tienen signo ≤.

EJEMPLO22.- MODELO PRIMALZ(Max) = x1 + x2

Sujeto a:1) x1 + x2 ≤ 0

2) x1 + x2 ≤ 0

x1,x2 ≥ 0


EJEMPLO23.- MODELO PRIMALZ(Max) = 12x1 + 24x2

Sujeto a:1) 2x1 + 8x2 ≤ 56

2) 2x1 + 5x2 ≤ 60

x1,x2 ≥ 0

FORMA ESTANDARSe dice que el modelo está en su forma estándar cuando todas las restricciones estructurales (desigualdades) se han convertido en igualdades.

EJEMPLO24.- MODELO PRIMALZ(Max) = x1 + x2

Sujeto a:1) x1 + x2 = 0

2) x1 + x2 = 0

x1,x2 ≥ 0

EJEMPLO25.- MODELO PRIMALZ(Max) = 4x1 + 2x2

Sujeto a:1) 2x1 + 3x2 = 12

2) 5x1 + 4x2 = 20

x1,x2 ≥ 0

PASOS DEL METODO GRAFICOLos pasos del Método Gráfico son:

1.- Se trazan cada una de las restricciones de la siguiente manera:

A.- Se da un valor de cero a la primera variable de decisión (x1) y se encuentra el valor de la segunda variable de decisión (x2) y así se genera un primer punto.PROF.: L. A. NORMA NUÑEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

B.- Se da un valor de cero a la segunda variable de decisión (x2) y se encuentra el valor de la primera variable de decisión (x1) ) y así se obtiene un segundo punto.

C.- Se localizan estos dos puntos en un eje de coordenadas cartesianas y se traza una línea re-

cta, la cual formará una superficie limitada por la misma línea recta y cuando menos uno de los dos ejes. Si el signo de la restricción estructural es del tipo ≤ la superficie formada debe con-tener al origen y cuando el signo de la restricción estructural es del tipo ≥ no debe contener al origen sino al infinito.

TIPO DE SOLUCIONES A PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEALSOLUCION MATEMATICAEs aquella que resuelve el modelo.

SOLUCION FACTIBLEEs aquella en la que un conjunto de valores satisfacen el sistema de desigualdades lineales.

SOLUCION NO FACTIBLEEs aquella en la cual un conjunto de valores no forman parte del polígono de soluciones factibles.

SOLUCION OPTIMAEs aquella que brinda el valor más favorable para la función objetivo, entendiéndose por va-lor favorable aquel valor más alto o más pequeño que se puede encontrar al resolver el Mo-delo de Programación Lineal.

EJEMPLO26.- Resuelva el siguiente Modelo de Programación Lineal tanto el modelo primal como el dual yconteste lo siguiente:

A.- Encuentre la solución por el Método Gráfico.

B.- Indique cuales son las soluciones factibles.

C.- Indique cuales son las soluciones no factibles.

D.- Indique cual es la solución óptima.


x1, x2 ≥ 0

EJEMPLO 27.- Resuelva el siguiente Modelo de Programación Lineal tanto el modelo primal como el mode-lo dual y conteste lo siguiente:




D.- Indique cual es la solución óptima

MODELO PRIMALZ(Min) = 40x1 + 30x2

Sujeto a:(¡) 2x1 + x2 ≥ 9

2) x1 + 3x2 ≥ 7

x1, x2 ≥ 0 TAREA NO. 428.- Resuelva el siguiente Modelo de Programación Lineal tanto el modelo primal como el dual yconteste lo siguiente:




D.- Indique cual es la solución óptima




Sujeto a:(1) 6x1 + 3x2 ≥ 3

(2) 4x1 + 6x2 ≥ 1

Sujeto a:(1) 4x1 + 2x2 ≥ 80

(2) 3x1 + x2 ≥ 50

x1, x2 ≥ 0

29.- Resuelva el siguiente modelo y conteste lo que se pide:





MODELOZ(Max) = 7x1 + 4x2

Sujeto a:(¡) - 2x1 + 3x2 ≤ 6

(2) 5x1 – 4x2 ≤ 10

(3) x1 + x2 ≥ 3

x1, x2 ≥ 0

SOLUCIONZ = $82.53x1 =7.71x2 = 7.14

30.- Solucione el modelo matemático correspondiente al problema de pan y queso y aplique los puntos que se piden en el modelo primal.

SOLUCIONZ = $22.50x1 = 0.5x2 = 2


31.- Solucione el modelo matemático correspondiente al problema de mesas y sillas y aplique los puntos que se piden en el modelo dual.

SOLUCIONZ = $4,500x1 = 6x2 =3






MODELOZ(Min) = 3x1 + 4x2

Sujeto a:(1) – 3x1 + 5x2 ≤ 15

(2) 8x1 + 7x2 ≥ 56

(3) x2 ≤ 7

x1, x2 ≥ 0








Sujeto a:(1) 3x1 + 2x2 ≤ 18

(2) x1 + x2 ≥ 3

(3) x1 ≥ 1

x1, x2 ≥ 0

C.- METODO SIMPLEX (ALGORITMO ITERATIVO).En 1947 George Dantzig, quien en ese tiempo estaba comisionado en la Fuerza Aérea de los EU, desarrollo el Método Simplex. Demostró que podía usarse una ecuación criterio (la función objetivo) para seleccionar de manera sistemática una solución óptima de entre muchas soluciones posibles.

El Método Simplex es un enfoque que puede ser utilizado para resolver cualquier problema de Programación Lineal. Con la ayuda de una computadora, esta técnica puede resolver problemas de programación lineal con cientos de variables y restricciones estructurales

El Método Simplex es un algoritmo iterativo (repetitivo) que comienza con cualquier solución factible básica de las ecuaciones de restricción estructural. Si esta solución no es óptima, otra variable es indicada e introducida en la solución y así sucesivamente hasta alcanzar una solución óptima.

PASOS PARA ARREGLAR UN MODELO DE PROGRAMACION LINEAL1.- Convertir las restricciones estructurales (desigualdades) en igualdades, si el signo de la restricción estructural es del tipo ≤ se agrega una variable con signo (+) llamada de holgura (H), si el signa de la restricción estructural es del tipo ≥ se coloca una variable con signo (-) denominada superflua (S).

2.- Existen otro tipo de variables que se escriben con el propósito de formar artificialmente la matriz identidad que es aquella matriz cuadrada cuya diagonal principal esta constituida por unos positivos los demás elementos son ceros.

MATRIZ IDENTIDAD

1 0

0 1


3.- A la función objetivo las variables l afectan de la siguiente forma:

A.- Si la variable es de holgura se escribe con un coeficiente cero.

B.- Si la variable es superflua se anota con un coeficiente de cero.

C.- Si la variable es artificial se coloca con un coeficiente de – M si se está maximizando y de +M si se está minimizando.

NOTAEn el tema anterior se dio la nota de forma canónica.

EJEMPLOS34.- Arregle el siguiente modelo de Programación Lineal.

MODELO PRIMALZ(Max) = 90x1 + 120x2

Sujeto a:(1) 2x1 + 5x2 ≤ 10

(2) 4x1 + 3x2 ≤ 12

x1, x2 ≥ 0

35.- Arregle los siguientes modelos de Programación Lineal.


Sujeto a:(1) 2x1 + x2 ≤ 8

(2) 3x1 + 4x2 ≥ 12

x1, x2 ≥ 0


36.- Arregle el siguiente modelo de Programación Lineal.


Sujeto a:(1) 2x1 + 3x2 ≤ 10

(2) 4x1 + 2x2 ≥ 12

(3) + x2 = 6

x1, x2 ≥ 0

PROCEDIMIENTO DEL METODO SIMPLEX

1.- Se transforma el modelo de Programación Lineal a su forma estándar (en base al modelo dual no al modelo primal).

EJEMPLO37.- MODELO PRIMAL

Z(Min) = 20x1 + 10x2

Sujeto a:(1) 5x1 + x2 ≥ 6

(2) 2x1 + 2x2 ≥ 8

x1, x2 ≥ 0

TAREA NO. 538.- Arregle el siguiente modelo de Programación Lineal.


Sujeto a:(1) x1 + 3x2 ≥ 9

(2) 4x1 + 2x2 ≤ 8

(3) + 2x2 = 7

x1, x2 ≥ 0PROF.: L. A. NORMA NUÑEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

39.- Arregle el siguiente modelo de Programación Lineal.


Sujeto a:(1) 2x1 + 3x2 ≥ 5

(2) 4x1 + 3x2 ≤ 8

(3) + 5x2 = 3

x1, x2 ≥ 0

2.- Se elabora una tabla (matriz) simplex que contenga los datos anteriores.

3.- Se la matriz de la siguiente manera:

A.- Se encuentra la columna pivote, analizando el renglón Z, para lo cual se escoge el valor positivo más alto. Si hubieran 2 valores iguales se escoge cualesquiera de ellos arbitrariamente.

B.- Se halla el reglón pivote, dividiendo cada elemento de la columna bi entre el elemento correspondiente de la columna pivote que corresponda a ese renglón (esto no se realiza en el renglón Z).

Esta operación se realiza sólo entre números positivos, si hubiera algún número negativo o cero entonces el modelo ya no tiene solución. De los valores obtenidos se escoge el de valor más pequeño y este indicaría el renglón pivote.

C.- A la intersección de la columna pivote con el renglón pivote se le denomina elemento pivote, a los demás elementos se les da el nombre de elementos semipivotes.

Se revisa el renglón Z y si ya no se encuentran valores positivos esto indicaría que la tabla es la solución óptima del modelo.

4.- Se desarrolla una nueva matriz simplex, la cual contendrá los mismos enunciados tanto para las columnas como para los renglones, excepto que en lugar de la variable que sale se escribe la variable que entra a la solución.

Esta nueva matriz se empieza a resolver encontrando los valores de la variable que entra a la solución, para ello se divide cada elemento del renglón pivote entre el elemento pivote de la


tabla anterior. Estos valores se anotan en la nueva tabla exactamente en el renglón que corresponda a la variable que entra a la solución y a éste renglón se le llama renglón nuevo.

La siguiente operación se realiza para encontrar los valores de todos los demás renglones, incluyendo Z. Al valor original se le resta el producto del elemento semipivote por el elemento correspondiente en el renglón nuevo.

Matemáticamente se tiene:

R: O.- [E. S. P. X E. R. N.]

5.- Se analiza el renglón Z y si no existen valores positivos, se llega a la solución óptima: En caso contrario se vuelve al paso número 3. 40.- Resuelva el siguiente MPL por el método simplex:

MODELO PRIMAL

Z(Min) = 4x1 + 8x2

Sujeto a:(1) x1 + 2x2 ≥ 2

(2) x1 + 4x2 ≥ 3

x1, x2 ≥ 0

41.- Resuelva el siguiente modelo de Programación Lineal por el método simplex.


Sujeto a:(¡) 6x1 + 3x2 ≤ 18

(2) 2x1 + 4x2 ≥ 12

x1, x2 ≥ 0




Sujeto a:(¡) 2x1 + 3x2 ≤ 12

(2) 2x1 + x2 ≥ 8

x1, x2 ≥ 0



Sujeto a:(1) 4x1 + 10x2 ≥ 40

(2) 10x1 + 5x2 ≥ 50

(3) 7x1 + 7x2 ≥ 49

x1, x2 ≥ 0


MODELOZ(Max) = 3x1 + 10x2 + x3

Sujeto a:(¡) 2x1 +2x2 + x3 ≤ 10

(2) x1 + x2 +2x3 ≤ 9

(3) 2x1 + 3x2 ≤ 12

x1, x2, x3 ≥ 0


TAREA NO.645.- Resuelva el siguiente modelo de Programación Lineal por el método simplex.


Sujeto a:(1) 2x1 + x2 ≥ 3

(2) 4x1 + 5x2 ≥ 10

x1, x2 ≥ 0



Sujeto a:(1) 2x1 + 4x2 ≥ 4

(2) 3x1 + 5x2 ≥ 5

x1, x2 ≥ 0



Sujeto a:(1) 4x1 + 3x2 ≤ 8

(2) 5x1 + 2x2 ≥ 16

x1, x2 ≥ 0



MODELOZ(Max) = 5x1 – 3x2 + x3

Sujeto a:(¡) x1 + x2 ≤ 10

(2) - 5x2 + x3 ≤ 6

(3) x1 - x3 ≤ 2

x1, x2, x3 ≥ 0


III.- MODELOS DE DISTRIBUCION

A.- MODELO DE ASIGNACIÓNEl Modelo de Asignación forma una clase especial de los Modelos de Programación Lineal para quedar clasificado como un modelo de asignación 1 a 1, como su nombre lo indica consiste en asignar o dar destino a los distintos recursos.

El problema es dedicar un grupo de recursos a diferentes fines, de manera que todos los fines se logren y a cada uno de ellos se destine un recurso solamente, el objetivo es que el costo o el tiempo de trabajo sean mínimos o por otro lado, que las utilidades sean máximas o puntuaciones sean altas.

El número de recursos debe ser igual al número de destinos, es decir, a cada recurso corresponde solo y sólo un destino.

EJEMPLO49.- Resuelva el siguiente Modelo de asignación:

W X Y ZA 15 18 16 10B 14 17 17 8C 17 19 23 17D 19 14 16 17

¿Cuál es el costo total de la solución óptima?

50.- Resuelva el siguiente Modelo de AsignaciónL D M F

A 5 6 5 5B 6 8 5 3C 10 7 2 4D 8 12 4 5

Reducir el tiempo.

PROF.: L. A. NORMA NUÑEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI 51.- Resuelva el siguiente Modelo de Asignación.

UBICACIÓN

DEPARTAMENTO

I II III IV V

CALZADO 10 6 12 8 0JUGUETES 15 1

85 11 0

DISCOS 14 16

6 2 0

REPUESTO 17 10

13 16 0

UTENSILIOS 14 12

13 10 0

Minimizar el costo.MAXIMIZACIÓNConsiste en escoger el mayor elemento de toda la tabla, éste valor se resta a los demás elementos de la nueva matriz y después se aplica el método usado para minimización.

EJEMPLOS52.- Aplíquese el método de asignación al siguiente problema:

W X Y ZA 15 18 16 10B 14 17 17 8C 17 19 23 17D 19 14 16 17

¿Cuál es la Maximización de la Utilidad?53.- Resuelva el siguiente modelo de asignación. LOTE

COMPRADOR

I II III IV V

A 16 15 25 19 20B 19 17 24 15 25C 15 15 18 0 16D 19 0 15 17 18E 0 0 0 0 0

Maximizar la utilidad.


54.- Resuelva el siguiente modelo de asignación.L D M F

A 5 6 5 5B 6 8 5 3C 10 7 2 4D 8 12 4 5

Maximice la utilidad.

TAREA NO. 755.- Resuelva el siguiente modelo de asignación.

M E C RA 6 4 4 3B 4 3 5 4C 5 8 1 9D 2 7 3 6

Reducir el tiempo.

56.- Resuelva el siguiente modelo de asignación.M E C R

A 6 4 4 3B 4 3 5 4C 5 8 1 9D 2 7 3 6

Maximice la utilidad

B.- MODELO DE TRANSPORTEEl Transporte desempeña un papel importante en la economía y en las decisiones administrativas. Con frecuencia la disponibilidad de transporte económico es crítica para la sobrevivencia de una empresa.

El Modelo de Transporte consiste en que si se tienen diferentes orígenes (fábricas u ofertas) que elaboran algún producto o artículo y se cuenta con diferentes destinos (distribuidores o demanda), existen distintos costos entre las fábricas y los distribuidores teniéndose como propósito el satisfacer la demanda dada y cubrir la oferta tratando que el costo sea mínimo.


La estructura de un Modelo de Transporte es:

MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE LA MATRIZ DE TRANSPORTE:


PARA RESOLVER MODELOS DE TRANSPORTE EXISTEN DIVERSOS MÉTODOS QUE GENERAN SOLUCIONES FACTIBLES Y SON:A. Aproximación Vogel.B. Aproximación Russel.C. Costo Mínimo.D. Esquina Noroeste.E. Cruce del Arroyo.F. Piedra que Rueda.G. Tanteos.

MÉTODO DE ESQUINA NOROESTE.Los pasos del Método de Esquina Noroeste son

1. Se da la máxima asignación posible a la celda superior izquierda.

2. Si aún existe oferta se asigna a la celda inmediata horizontal.

3. Si la oferta no ha sido satisfecha se continúa asignando en la celda inmediata inferior. Se repite el procedimiento hasta la última celda.

EJEMPLOS57.- Resuelva el siguiente Modelo de Transporte:

ORIGEN OFERTAA 100B 60C 90

TOTAL 250

DESTINO DEMANDAV 30W 50X 65Y 55Z 50

TOTAL 250


O / D V W X Y ZA $30 $50 $20 $60 0B $50 $40 $40 $50 0C $20 $30 $35 $55 0

A.- Con la información proporcionada arme la matriz de transporte.B.- Formule el modelo de programación lineal.C.- Determine la solución óptima.

MÉTODO DE MODIFICACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN (MODI).Para aplicar el método MODI es necesario que se cumplan los siguientes requisitos:

1.- Haber resuelto el modelo por algún método que genere solución factible.

2.- Que las asignaciones encontradas por el método usado no formen ciclos.

3.- Que la suma de renglones más columnas menos uno se igual al número de celdas asignadas, o sea:

m + n – 1 = Celdas Asignadas.

4.- Formar una matriz que contenga los costos asociados con las celdas en las cuales se han hecho asignaciones utilizando esta matriz establecer un conjunto de números Ui (renglones) y Vj (columnas), tales que la suma iguale los costos obtenidos en el paso anterior. El objetivo es encontrar los valores de los renglones Ui y de las columnas Vj aplicando la igualdad Cij = Ui + Vj. Para iniciar este proceso se da un valor de a la primera columna Vi.

5.- Las celdas que no contienen costos se dividen horizontalmente en dos partes.

6.- En la parte superior de las celdas divididas se escribe el resultado de sumar el valor del renglón y de la columna respectiva, es decir:

Sij = Ui + Vj

7.- En la parte inferior se coloca el resultado de restarle al costo original de la matriz de transporte inicial el valor encontrado en el paso anterior y se tiene:

Zij = C. O. - Sij


8.- De los valores encontrados en el paso anterior se escoge el valor negativo cuyo valor absoluto sea el más alto. Este indicará la celda en la matriz original desde la cual se realiza el siguiente paso.

9.- Partiendo de la celda localizada en el paso anterior como la más negativa, en la matriz de --distribución original se forma una trayectoria cerrada + /- la cual se inicia y termina en la celda de la cual se partió. la trayectoria se dibuja con líneas horizontales y verticales, y en cada vértice debe existir asignación.

10.- Partiendo de la celda sin asignación se colocan alternadamente los signos + y – anotando estos del lado derecho de los vértices.

11.- De los valores a los que les toco el signo negativo se escoge el más pequeño. Este valor se suma o se resta a cada uno de los valores de los vértices y se encuentra el resultado. Los valo-res obtenidos substituyen a los valores origina-les de los cuales se partió. El fin del método MODI es descubrir si la distribución de donde se partió es óptima, si lo es el método lo indi-ca, en caso contrario se irán realizando modificaciones a la distribución hasta hallar la solu-ción óptima, ésta se encuentra la solución óptima cuando en la matriz UV no se encuentran valores negativos en la parte inferior de las celdas divididas en dos partes.

58.- Resuelva el siguiente modelo de transporte, para lo cual arme la matriz con la siguiente información:


TOTAL 270

DESTINO DEMANDAV 90W 70X 50Y 60

TOTAL 270

O / D V W X YA $27 $23 $31 $69B $10 $45 $40 $32C $30 $54 $35 $57


A.- Con la información proporcionada arme la matriz de transporte.B.- Determine la solución óptima

TAREA NO. 859.-.Resuelva el siguiente modelo de transporte, para lo cual arme la matriz con la siguiente información:


TOTAL 23

DESTINO DEMANDAV 5W 4X 6Y 4Z 4

TOTAL 23

O / D V W X Y ZA $70 $60 $60 $60 0B $50 $80 $60 $70 0C $80 $50 $80 $60 0

A.- Con la información proporcionada arme la matriz de transporte.B.- Determine la solución óptima


IV.- ANALISIS DE MARKOVEl Análisis de Markov, tuvo su origen en los estudios del matemático ruso a. A. Markov en año de 1907, que permite determinar la probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado en particular en un momento dado. También permite hallar el promedio a la larga o las probabilidades de estado estable de cada estado. Con esta información se puede predecir el comportamiento del sistema a través del tiempo.

En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los consumidores, pronosticar las concesiones por deudores morosos, planear las necesidades del personal y analizar el reemplazo del equipo. CADENA DE MARKOV.Es un metido para analizar la conducta actual de alguna variable en un esfuerzo de predecir la conducta futura de esa misma variable.

APLICACIONES DEL ANALISIS DE MARKOV1.- Se uso para describir y pronosticar el comportamiento de partículas de gas en un recipiente cerrado.

2.- Se uso para examinar y pronosticar la conducta de consumidores en términos de lealtad a la marca y de su cambio de una marca a otra.

3.- Se uso para estudiar el comportamiento de las cuentas por cobrar.

MATRIZ DE TRANSICIÓN.Es una herramienta eficaz que representa el comportamiento de una Cadena de Markov. Supóngase que el proceso tiene m resultados mutuamente excluyentes e1, e2, ..., em, posibles para cada experimento. a continuación se muestra la forma general de una matriz de transición

Para este conjunto de experimentos.

SIGUIENTE ESTADO (R E S U L T A D O)

1 2 ... m

1 E11 E12 … E1m 2 E21 E22 … E2m ESTADO ACTUAL . . (R E S U L T A D O) . Em1 Em2 … Emm

Nótese que el sistema que va a ser modelado puede estar en uno de m posibles estados actuales.


Un estado corresponde al resultado de un experimento. al finalizar un experimento, el sistema se hallará en uno de m estados posibles. la matriz de transición se compone de elementos Eij, los cuales representan la probabilidad condicional de que el sistema pase de un estado actual i al siguiente j, o sea:

EL RESULTADO Ej OCURRE EL RESULTADO E i O- Eij = DURANTE EL SIGUIENTE CURRIO EN EL EXPE- EXPERIMENTO TO ANTERIOR

Obsérvese que los elementos Eij (donde i = j) indican las probabilidades de permanecer en el mismo estado mientras los elementos Eij (i j) señalan las probabilidades de pasar de un estado a otro, es decir, del estado de i al j. por tanto, la matriz de transición es una matriz de dimensión:

m x m

Los elementos de la matriz de transición deberán satisfacer las siguientes propiedades:

1.- los elementos deben ser tales que 0 e ij 1 puesto que cada uno representa a una proba-bilidad.

2.- La suma de los elementos Eij en cada renglón debe ser igual a 1. Esta propiedad garantiza que, en un estado actual del sistema i, éste se encontrará en uno de los m estados posibles j al finalizar el siguiente experimento.

Puesto que el sistema debe hacer una transición y las probabilidades por renglón suman 1 entonces el proceso de Markov puede resolverse por sistema de ecuaciones.

Cuando se trata de un proceso de tres estados, para encontrar las probabilidades de estados estacionarios se tienen las siguientes ecuaciones:

(1) E1 = PE1 + PE2 + PE3

(2) E2 = PE1 + PE2 + PE3

(3) E3 = 1 - PE1 - PE2


EJEMPLOS60.- La compañía e1 tiene tres competidores básicos en un segmento de mercado de su negocio (producción de discos compactos). Actualmente las participaciones de mercado son:

A E1 E2 E3 TOTAL DE

E1 0.80 0.10 0.10 1E2 0.05 0.75 0.20 1E3 0.40 0.30 0.30 1

61.- La compañía a tiene tres competidores básicos en un segmento de mercado (producción de licor). Actualmente las participaciones de mercado son:

A E1 E2 E3 TOTAL DE

E1 0.4 0.2 0.4 1E2 0.2 0.6 0.2 1E3 0.3 0.5 0.2 1

62.- la compañía “el alce blanco” tiene dos competidores básicos en un segmento del mercado de su negocio (producción de juguetes). Actualmente las participaciones de mercado son:

A ALCE OSO UNICOR- TOTAL DE BLANCO GRIS NIO

ALCEBLANCO

0.2 0.2 0.6 1

OSOGRIS

0.6 0.3 0.1 1

UNICOR-NIO

0.5 0.4 0.1 1

ROF.: L. A. NORMA NUÑEZ SANCHEZ. ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

V.- MODELOS DE CONTROL DE INVENTARIOS.El modelo de control de inventarios es una parte importante en cualesquier empresa ya que se tiene un producto terminado o no, y esto es dinero, ocupa espacio, iluminación, aire acondicionado, se necesita un seguro y ello implica dinero, por eso se requiere un buen manejo de inventario.

Así el profesional en ocasiones se enfrenta a la necesidad de tener que tomar decisiones con respecto a los inventarios, es decir; debe manejar dos preguntas que son: ¿Cuándo? y ¿Cuánto? y esto es el secreto del control de inventarios.

¿QUÉ ES UN INVENTARIO?: Son las cantidades o los recursos utilizables que se encuentran almacenados en espera de ser utilizados en algún punto determinado del tiempo a mayor parte de las organizaciones, los gastos correspondientes al financiamiento y a la conservación de los inventarios son parte importante del negocio.

Se pueden tener inventarios en:A.- Artículos terminados.B.- Productos en proceso.C.- Materia prima

Se tienen dos decisiones que tomar en los modelos de control de inventarios. la primera que consiste en pedir grandes cantidades a fin de disminuir los costos de los pedidos, y la segunda que consiste en pedir pequeñas cantidades para reducir los costos cargados a los inventarios. Llevadas al extremo cualesquiera de esas dos rutas tendrán un efecto desfavorable a las ganancias, y la mejor solución en términos de utilidades e ingresos sobre los activos totales es un equilibrio entre ambos extremos.

Los costos en los modelos de control de inventarios se pueden agrupar en tres categorías que son:

1.- COSTOS DE PEDIDOS:Son aquéllos relacionados con la adquisición de los artículos comprados, son básicamente los derivados de la llegada de un artículo a los almacenes de la empresa

Otros costos incluyen la expedición de la orden de compra, el recibo del artículo, la coloca-ción en el almacén, etc. la determinación en cada empresa de éstos es diferente y tienen que hacerse mediante estudios especiales.

2.- COSTOS CARGADOS AL INVENTARIO: Son aquéllos en los que incurre la empresa porque ha decidido mantener guardado un objeto y como se mencionó al principio del tema requiere de varios factores, además de un manteni-miento y ello depende de la rama que se trate.


3.- COSTOS DE FALTANTES:Son aquéllos que detienen el proceso y si algún cliente solicita ese objeto y no se tiene, esto trae como consecuencia que se pierda al cliente.

Cuando se decide almacenar un artículo se supone que la persona responsable de hacerlo conoce dos parámetros que son:

A. Que la tasa de demanda es constante.

B. Que el proveedor no surta a tiempo.

En 1915, Ford Harris Wilson desarrolló lo que se conoce como modelo del lote Económico de Pedido o la cantidad económica de pedido sirve para determinar la cantidad optima de materiales o artículos que deben adquirirse o fabricarse. Con este tipo de modelo es necesario determinar la cantidad que se debe ordenar cada vez y cada cuando debe hacerse el pedido. Para simplificar el análisis se establecieron dos parámetros. Hace un instante, muy pocas veces estos resultan ciertos a la larga, con frecuencia son aproximadamente razonables a corto plazo.

En la siguiente figura se puede observar que la cantidad económica de pedido es de 1,000 uni-dades, pero con el transcurrir del tiempo esta cantidad se va reduciendo hasta llegar a cero y cada ocasión que se adquiere material tiende a suceder lo mismo.

1000 Q

500 Q/2

0 1er 2da TIEMPO SEMANA SEMANA

PROF: L. A. NORMA NUÑEZ SANCHEZ ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

CANTIDAD CANTIDAD CANTIDAD CANTIDAD RECIBIDA RECIBIDA RECIBIDA RECIBIDA

QCANTIDAD DELPEDIDO 400 U-NIDADES.

(Q/2)

0 4 8 12

TiempoEN ESTA GRÁFICA EL INVENTARIO PROMEDIO ES DE 200 UNIDADES.

En la figura anterior se puede observar que el número de unidades que hay en inventarios es igual a q cuando se recibe físicamente en el almacén (inventario) cada nuevo pedido, y este se agota gradualmente hasta llegar a cero en el momento en que se hace el siguiente pedido. También se puede ver que el inventario promedio q/2 es igual a la mitad del número de unidades del tamaño del lote.

Además, cada nuevo pedido se recibe en el inventario exactamente en el momento en que se a-gota el pedido anterior, lo que da por resultado que no falten las existencias

NOMENCLATURAQ.- representa el lote económico de pedido o la cantidad económica de pedido (CEP) expresado en unidades.

Q/2.- representa el inventario promedio expresado en unidades.

R.- representa los requerimientos a través del tiempo expresados en unidades.

A.- representa los requerimientos a través del tiempo expresado en dinero o el costo de adquisición.

T.- representa el tiempo entre pedidos.

S.- representa el costo de los pedidos de cada pedido.

N.- representa el número óptima de pedidos.

I.- representa el costo cargado al inventario sobre el inventario promedio expresado en porcentaje.


C.- representa el costo unitario expresado en dinero.

D.- representa la cantidad óptima de suministro diario pedido en un año.

F.- representa el número de fletes.

365.- representa los días calendario al año.

CF.- representa el costo de los fletes.

CA.- representa el costo de almacenamiento.

CP.- representa el costo de pedidos.

OBTENCIÓN DE FÓRMULAS Q = Q COSTO DE ALMACENAMIENTO 2 X C X I 2CI

R = R COSTO DE PEDIDOSQ X S QS

COSTO DE ALMACENAMIENTO. COSTO DE PEDIDOS. Q = R 2 que está dividiendo pasa multiplicando2CI QS

Q = 2R Q que está dividiendo pasa multiplicandoCI QS

Q2 = 2R Q que está dividiendo pasa multiplicandoCI S

Q2 = 2R S que está dividiendo pasa multiplicandoCI S

Q2 = 2R S que está dividiendo pasa multiplicandoCIS

Q2 = 2RS Al despejar Q2, 2RS pasa Igual. CI

2R S = Q2 Al despejar Q2, 2RS pasa Igual. CI


2R S = Q2 .2 que esta como potencia pasa como raíz. CI

2RS = Q Anotando la fórmula en la forma correcta se tiene: CI

Q =√ 2 RSCI CANTIDAD ECONOMICA DE PEDIDO

A = AI COSTO DE ALMACENAMIENTON X ½ X I 2N

NX S = NS COSTO DE PEDIDOS

COSTO DE ALMACENAMIENTO. COSTO DE PEDIDOS. AI = NS- N que está dividiendo pasa multiplicando 2N

AI = N2S- S que está multiplicando pasa dividiendo 2

AI = N2- 2 que está como potencia pasa como raíz. 2S

AI = N Escribiendo el modelo matemático en forma correcta se tiene: 2S

N = √ AI2 S NÚMERO ÓPTIMO DE PEDIDOS.

RC RCI 365 = 730 = RCID COSTOS TOTALES CARGADOS AL INVENTARIO D X ½ X I D 730

365 X S = 365S COSTOS TOTALES DE PEDIDOS D D

COSTOS TOTALES CARGADOS AL INVENTARIO. COSTOS TOTALES DE PEDIDOS RCID = 365S 730 que está dividiendo pasa multiplicando 730 D

RCID = 730 X 365S D que está dividiendo pasa multiplicando D


RCID2 = 266,450S RCI que está multiplicando pasa dividiendo.

D2 = 266,450S 2 que está como potencia pasa como raíz y se tiene: RCI

D = √266 ,450SRCI CANTIDAD OPTIMA DE SUMINISTRO DIARIO PEDIDO EN UN

AÑO T = 12 meses TIEMPO ENTRE PEDIDOS N

CT = CA + CP COSTO TOTAL

R= A REQUERUIRIMIENTOS A TRAVES DEL TIEMPO EXPRESADOS EN C EN UNIDADES

A = RC REQUERIMIENTOS A TRAVÉS DEL TIEMPO EXPRESADOS EN DINE RO

F = R NUMERO DE FLETES Q

EJEMPLOS63.- Una empresa tiene requerimientos anuales de 8,000 unidades, el costo de los pedidos por cada pedido es de $12.50, el costo cargado al inventario sobre el inventario promedio es del 20% y el costo unitario es de $1.00. Determine: a.- La cantidad económica de pedido. b.- El número óptimo de pedidos. c.- El tiempo entre pedidos. d.- La cantidad óptima de suministro diario pedido en un año. e.- Iguale el costo de almacenamiento y el costo de pedidos. f.- El costo total.

64- Supóngase que al proveedor del problema anterior no le conviene entregar 1,000 unidades y ofrece entregar 2,000 unidades con un descuento del 10% sobre el precio de venta. ¿Conviene aceptar el ofrecimiento?

65.- la Brown Company, ha realizado un estudio de mercado para comprobar que compra enormes cantidades de materia prima para la producción de libros. En la actualidad compra $90,000 al año de materia prima. Su proveedor le ha hecho una proposición, que consiste en un descuento del 1.25% si la Brown Company le hace un pedido trimestral. La Brown Company ha estimado que el costo de compra es de $90 por pedido y que los costos cargados al inventario sobre el inventario promedio son de 20%. ¿Debe la Brown Company aceptar la oferta de descuento de su proveedor? Si la respuesta es no. ¿Qué contraproposión debe hacerse en términos de algún descuento?


66.-La compañía XYZ, ha comprobado que compra una gran cantidad de materia prima para producción de cuadernos. En la actualidad compra $50,000 al año de varias clases de materia prima a la compañía Star. Su proveedor le ha hecho una proposición, que consiste en un descuento del 1%. Si la compañía XYZ le hace un pedido trimestral. La compañía XYZ ha estimado que el costo de compra es de $20 por pedido y que los costos cargados al inventario sobre el inventario promedio. ¿Debe la compañía XYZ aceptar la oferta de descuento de la compañía Star? Si la respuesta es no. ¿Qué contraproposición debe hacer la compañía XYZ en términos de algún descuento?

67.- La Winston Company, tiene un consumo mensual de la pieza #LX232 de 600 unidades. Los costos cargados al inventario sobre el inventario promedio son del 25% y los costos de pedidos son de $20 por pedido. Cada pieza cuesta $10 y su cantidad económica de pedido es de 300 unidades. El flete de 300 unidades cuesta $200. Si se embarcan 400 unidades, el flete cuesta $250. ¿Debe ordenarse la cantidad de 400 unidades a fin de aprovechar los ahorros de flete?

68.- Una compañía está considerando la posible conveniencia de cambiar de proveedor de conexiones de acoplamiento en la actualidad, la empresa tiene una política de compra con ace hardware al 1% de descuento. las compras anuales normales son de $81,000 y el costo por unidad es de $8.10. el cargo administrativo es de $125 por compra y los cargos por mantenimiento de inventario son de 25% del nivel promedio del inventario. se han recibido cotizaciones de otros proveedores, que son: Nutz, Incorporation que ofrece un 5% de descuento si le ordenan los conectores 2 veces al año, y Grabbers, Incorporation que ofrece un descuento si se le ordenan 4 veces al año. ¿Cuáles de las proposiciones debería aceptarse, o bien, debería conservarse el proveedor actual?


VI.- ANALISIS DE DECISIONES

TOMA DE DECISIONESEs la conclusión de un conjunto de diversos cursos de acción mediante un proceso de recopilación de datos significativos, análisis, planeación y control administrativo en condiciones de certeza, riesgo, incertidumbre y conflicto.

TOMADOR DE DECISIONESEs el individuo que tiene la responsabilidad de tomar la decisión que se analiza.

CURSO DE ACCIÓNSon planes que se desarrollan para alcanzar un objetivo. Un objetivo de los cursos de acción, es anticiparse a los hechos.

ALTERNATIVASSon las opciones que debe considerar en la decisión quien debe tomarla.

DECISIÓNEs el proceso de elegir la solución para un problema, siempre y cuando existan al menos dos alternativas.

ESTADÍSTICAEs la ciencia y arte de reunir, analizar presentar o interpretar datos.

VARIABLE ALEATORIAEs el resultado general de un experimento aleatorio.

RIESGOEs la posibilidad de que los resultados reales sean diferentes a los esperados.

ESTADOS DE LA NATURALEZASon los resultados posibles de los factores aleatorios que afectan el pago que se obtendría de una alternativa de decisión.

PAGOEs la medida cuantitativa del resultado de una alternativa de decisión y de un estado de la naturaleza.

PROBABILIDADEs la medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento.

EVENTOEs un conjunto de puntos muestrales.


EJEMPLO:69.- Sea C el evento en que un proyecto se termina en 10 meses o menos, se tiene:

C = {(2,6); (2,7); (2,8); (3,6); (3,7); (4,6)}

Se dice que el evento C ocurre si cualesquiera de los 6 puntos muestrales de arriba llega a ser el resultado experimentado.

Enunciados básicos de probabilidad1.- Las probabilidades de los diferentes resultados posibles de un ensayo deben sumar 1.

2.- Las probabilidades son siempre mayores que o iguales a cero (es decir, las probabilidades nunca son negativas) y son menores o iguales a 1. Cuanto más pequeña sea la probabilidad, tanto menos posibilidad tendrá el evento.

RANGO DE RENDIMIENTOEs aquel que se obtiene restando al resultado optimista al resultado pesimista. Cuanto mayor es el rango, mayor es el riesgo que se dice tiene el activo y la ecuación del rango rendimiento es:

EJEMPLO:70.- La empresa ABC fabricante de equipo de golf, desea elegir la mejor de dos inversiones: X y Y. cada una requiere un desembolso de $ 10,000 y cada una tiene una tasa de rendimiento anual más probable de 15%. La administración ha hecho estimaciones pesimistas y optimistas de los rendimientos asociados a cada una. A continuación se presentan las estimaciones para cada activo, junto con sus rangos:

Activo A Activo BInversión inicial $ 10,000 $ 10,000Tasa de rendimientoPesimista 13% 7%Más probable 15% 15%Optimista 17% 23%

Determine el rango de rendimiento para cada activo.

ADMINISTRADOR ADVERSO AL RIESGOEs aquél individuo cuya función de utilidad del dinero tiene una pendiente decreciente cuando aumenta la cantidad de dinero.


DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADESEs un modelo que relaciona la probabilidad con los resultados asociados. El tipo más simple de distribución de probabilidades es la gráfica de barras, que muestra sólo un número limitado de coordenadas de probabilidad de resultados.

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADEs aquella que muestra todos los resultados posibles y las probabilidades asociadas para un evento dado.

EJEMPLO:71.- Con la información de Micro Pub. Inc elabore las gráficas de distribuciones de probabilidades.

MEDICIÓN DEL RIESGOLa medición del riesgo se puede efectuar empleando herramientas estadísticas elementales como:

MEDIAEs el promedio ponderado por probabilidad de todos los posibles resultados de una variable aleatoria y se denota por:

Donde:

.- representa el tamaño de la población.

.- representa los valores que puede asumir la variable aleatoria discreta.

.- representa la probabilidad de ocurrencia.

VARIANZAEs una medida de dispersión de todos los posibles resultados alrededor de la media y su modelo matemático es:

DESVIACIÓN ESTÁNDAREs la raíz cuadrada de la varianza y su ecuación es:


NOTAConsidérese que cuanto más alta sea la desviación estándar el riesgo es mayor.

COEFICIENTE DE VARIACIÓNEs una medida de dispersión relativa que es útil al comparar los riesgos de activos con diferentes rendimientos esperados y su ecuación es:

CV = x 100 X

CV = x 100 YCOVARIANZAEs una medida de cómo varían juntas dos variables aleatorias. La covarianza puede ser positiva, negativa o cero. Una covarianza positiva indica que cuando una variable aleatoria tienen un resultado mayor que su media, la otra también tiende a estar por arriba de su media. Una covarianza negativa indica lo contrario: un resultado más alto para una tiende a estar asociado a un resultado más bajo para la otra. Una covarianza de cero indica que un apareo sencillo de los resultados no revela ningún patrón regular.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓNEs la medida numérica de la asociación lineal entre dos variables que toma valores entre -1 y +1. Los valores cercanos a +1 indican una fuerte relación lineal positiva y los cercanos a -1 señalan negativa. Los cercanos a 0 manifiestan falta de relación lineal y su expresión es:

Cor ( x , y )= σ ( x , y )(σx ) (σy )


EJEMPLOS72.- Con la información proporcionada por la empresa ABC:

a) Determine el valor esperado (media) de los rendimientos.

b) Calcule la desviación estándar.

c) Obtenga el coeficiente de variación.

d) Determine la covarianza y la correlación lineal.

73.- Se ha solicitado asesoría para seleccionar una cartera d activos y se le han dado los siguientes datos:

RENDIMIENTO ESPERADOAño Activo A Activo B Activo C

2004 12% 16% 12%2005 14 14 142006 16 12 16

No se le han proporcionado las probabilidades. Se le ha dicho que puede crear dos carteras, una conformada por los activos A y B y la otra conformada por los activos A y C invirtiendo partes iguales, 50% en cada uno de los activos componentes.

a) Establezca las ecuaciones del coeficiente de correlación de las carteras AB y AC.

b) ¿Cuál es el rendimiento esperado de cada activo durante un periodo de 3 años?

c) ¿Cuál es la desviación estándar del rendimiento de cada activo?


d) ¿Cuál es el rendimiento esperado de cada una de las dos carteras?

e) ¿Cómo representaría las correlaciones de los rendimientos de dos activos conforman cada una de las dos carteras que se identifican en la parte D?

f) ¿Cuál es la desviación estándar para ambas carteras?

g) ¿Qué cartera recomienda? ¿Por qué?

TAREA NO.9

74.- Micro Pub. Inc., está pensando en comprar una de dos cámaras de Microfilm R y SD. Las dos deben proporcionar beneficios durante un período de 10 años y cada una requiere una inversión de $ 4,000. La administración ha contribuido la siguiente tabla de estimaciones de tasas de rendimiento y probabilidades para resultados pesimista, más probable y optimistas.

Activo A Probabilidad Activo B ProbabilidadInversión inicial $ 4,000 1.00 1.00Tasa de rendi-miento anualPesimista 20% 0.25 15% 0.20Más probable 25% 0.50 25% 0.55Optimista 30% 0.25 35% 0.25

Determine el rango de rendimiento de ambas cámaras.

75.- Invirtiendo $ 10 000 en acciones de Martin Products Inc. o U. S.: Water Company. Martin Products fabrica y distribuye terminales y equipo de computadora en la industria de transmisión de datos que tiene un crecimiento acelerado. Como la competencia es muy fuerte, sus nuevos productos pueden ser competitivos o no en el mercado, por lo cual las utilidades futuras no pueden predecirse con mucha exactitud; alguna compañía de ingreso reciente podría desarrollar mejores productos y orillarla a la quiebra. Por su parte U. S. Water ofrece servicios indispensables; sus ventas son relativamente estables y predecibles pues ofrece servicios esenciales y tiene franquicias en la ciudad que la protegen en contra de la competencia.

La tabla siguiente contiene las distribuciones de probabilidad de la tasa de rendimiento de ambas compañías:


Demanda de productos de la

compañía

Probabilidad de ocurrencia

Martin Products(%)

U. S. Water(%)

Fuerte 0.30 100 20Normal 0.40 15 15Débil 0.30 (70) 10Total 1.00

a) Determine el valor esperado (media) de los rendimientos.

b) Calcule la desviación estándar.

c) Obtenga el coeficiente de variación.

d) Determine la covarianza y la correlación lineal.

76.-Se ha solicitado asesoría para seleccionar una cartera de activos y se le han dado los si-guientes datos:

Rendimiento esperadoAño Activo X

(%)Activo Y

(%)Activo Z

(%)2004 8 16 82005 10 14 102006 12 12 122007 14 10 142008 16 8 16

No se le han proporcionado las probabilidades. Se le ha dicho que puede crear dos carteras– una conformada por los X y Y; y la otra conformada por los activos X y Z – invirtiendo partes iguales, 50% en cada uno de los activos componentes.

a) Establezca las ecuaciones del coeficiente de correlación de las carteras XY y XZ.

b) ¿Cuál es el rendimiento esperado de cada activo durante un periodo de 3 años?

c) ¿Cuál es la desviación estándar del rendimiento de cada activo?

d) ¿Cuál es el rendimiento esperado de cada una de las dos carteras?

e) ¿Cómo representaría las correlaciones de los rendimientos de dos activos conforman cada una de las dos carteras que se identifican en la parte D?

f) ¿Cuál es la desviación estándar para ambas carteras?PROF: L. A. NORMA NUÑEZ SANCHEZ ASIGNATURA: MATEMATICAS VI

VII.- ADMINISTRACION DE PROYECTOS (PERT/CPM).

Aunque PERT (Técnica de Evaluación y Revisión de Proyectos) y CPM (Método de la Ruta Crítica), tienen el mismo propósito general y utilizan en buena medida la misma terminología, las técnicas se desarrollaron en forma independiente. Se presentó el Método PERT a finales de la década de los 50´s para especificar tareas de planear, programar y controlar el Proyecto de los Misiles Polaris efectuado por la Navy Special Projetcs Office en colaboración con la Empresa de Consultoría Booz, Allen y Hamilton.

Muchas de las tareas o actividades relacionadas con el proyecto nunca se habían considerado antes, resultaba difícil pronosticar el tiempo necesario para terminar las diversas tareas o actividades. En consecuencia, se desarrolló la técnica PERT con el objeto de permitir manejar las incertidumbres en los tiempos de terminación de las tareas.

Por otro lado, el CPM se ideó en 1957 por J. E. Kelly, de Remington Rand y M. R. Walker, de Du Pont, para desarrollar y controlar proyectos industriales en donde se consideraba que se conocían los tiempos de las tareas o actividades. El CPM ofrecía la posibilidad de reducir los tiempos de las actividades añadiendo trabajadores o recursos, por lo general con mayores costos. Por ello, una característica distintiva de CPM era que permitía realizar intercambios entre tiempos y costos para las diversas actividades de los proyectos.

En los usos que se les dan actualmente; ya ha desaparecido en gran medida la diferencia entre PERT Y CPM como dos técnicas distintas. Con frecuencia, las versiones computacionales del Método PERT/CPM contienen opciones para considerar en los tiempos de las actividades, así como también entre tiempos y costos de las actividades.

Problemas que se han resuelto por medio de PERT/CPM. se han resuelto con éxito con éxito diversos problemas tanto industriales como administrativos por medio de la técnica PERT/CPM como son:

1.- La construcción de una presa.

2.- La determinación de la ruta de transporte más económica.

3.- La construcción de un avión. 4.- La planeación de programación y control de la construcción de grandes sistemas de armas militares.

5.- La determinación de políticas de expansión óptima para un sistema de gasoducto.

6.- El implante de un nuevo sistema de computación.

7.- El diseño, introducción y comercialización de un nuevo producto.


TERMINOLOGÍA DE PERT/CPM. ACTIVIDADEs un paso de trabajo en el proyecto total y se representa con una flecha, donde el extremo de la flecha indica el principio de la actividad y la punta su terminación.

ACTIVIDADES PRECEDENTESSon las actividades que inmediatamente preceden a una actividad específica.

ACTIVIDAD FICTICIAEs la actividad que tiene tiempo cero y que se utiliza en las redes del tipo PERT/CPM.

EVENTOEs el suceso que ocurre cuando terminan todas las actividades que conducen a un nodo.

DIAGRAMA DE REDEs la representación gráfica de todo el proyecto. cada actividad del mismo se representa con un círculo y las flechas se usan para indicar los requerimientos de la secuencia. HOLGURAEs el tiempo que puede demorarse una actividad sin afectar la fecha de terminación de un proyecto.

HOLGURA TOTALEs el tiempo del cual dispone una actividad, que no afecta la terminación del proyecto, o sea, es el tiempo de protección que tiene cada actividad para que el proyecto termine a tiempo, matemáticamente se tiene:

HT = LMTPF – LMPPI – D. A. HOLGURA LIBREEs el tiempo disponible que tiene una actividad para no afectar el inicio de las actividades subsecuentes y su modelo matemático es:

HL = LMPPF – LMPPI – D. A. NODOEs el círculo de una red PERT/CPM que indica la conclusión de ciertas actividades y el inicio de otras.

TIEMPO LO MÁS PRONTO POSIBLE DE INICIACIÓN Es el tiempo más pronto posible en el que puede comenzarse una actividad sin demorar la terminación de un proyecto.


TIEMPO LO MÁS TARDE POSIBLE DE TERMINACIÓNEs el tiempo más lejano en el que puede terminarse una actividad sin demorar la terminación de un proyecto.

ACTIVIDAD CRÍTICAEs la actividad que conforma la ruta crítica.

RUTA CRÍTICAEs la ruta más larga de una red de administración de proyectos PERT/CPM y la duración del proyecto es la suma de las actividades críticas.

TIEMPO NORMALEs el tiempo máximo posible para la conclusión de una actividad, correspondiente al uso mínimo de recursos.

TIEMPO CRASHEs el tiempo mínimo posible para la conclusión de una actividad, correspondiente a la concentración máxima de recursos.

HOLGURA TOTALEs el tiempo del cual dispone cada actividad, que no afecta la terminación del proyecto.

HOLGURA LIBREEs el tiempo disponible que tiene una actividad para no afectar el inicio de las actividades subsecuentes.

REGLAS PARA EL TRAZO DE UNA RED1.- Cada actividad debe tener un evento predecesor y un evento sucesor. los eventos se encierran en círculos que marcan el principio o fin de una tarea y entre los eventos se trazan flechas de interrelación.

2.- Ninguna actividad puede comenzar antes de que termine su evento predecesor; a su vez ningún evento puede considerarse consumado antes de que hayan quedado terminadas todas las tareas que conducen a él.

3.- Los eventos deben tener relación o interrelación con otros eventos; es incorrecto que un e-vento quede suelto ya que una red es cerrada.

4.- Algunos eventos sólo tienen referencia con otros eventos sin que indique dependencia; en estos casos se usan flechas de liga o actividades ficticias que no tienen tiempo de ocurrencia; pero que indican entrega de resultados, o bien; espera a que se complete el evento con él que hay liga.


5.- No puede haber flechas en ambos sentidos entre dos eventos. Tampoco es posible derivar una flecha de la mitad de una ya existente.

6.- La última regla para la construcción de la red se refiere a la formación de un ciclo, ningún evento dado puede ser seguido por una ruta de actividad que conduce de regreso al mismo evento.

CALCULO DE UNA REDTIEMPO LO MÁS PRONTO POSIBLE1.- Se inicia por la fecha más temprana en la que puede ocurrir el evento inicial (normalmente se da un valor de cero).

2.- Se suma a esta fecha el número de días necesario para dar cumplimiento a cada una de las actividades que salen de este evento.

3.- Cuando se tenga un evento del cual llegan dos o más actividades se escoge el valor más alto. se aplica este proceso hasta el evento final y este dato da la duración del proyecto.

NUMERO DSE EVENTO

LMPP


(LO MÁS PRONTO POSIBLE).

+ + D. A.

EJEMPLO78.- Determine el tiempo lo más pronto posible

A 2

B

4

I


TIEMPO LO MÁS TARDE POSIBLE1.- Para realizar este cálculo se debe de haber determinado el tiempo lo más pronto posible.

2.- Se anota en el evento final el número de días (semanas) que se ha obtenido en el lado correspondiente a lo más tarde posible, y de derecha a izquierda se resta a este el valor de la duración de las actividades que llegaron a él, así hasta el final del proyecto.

3.- Cuando se tenga un evento del cual salen varias actividades se escoge el valor más pequeño.

NUMERO DE EVENTO

LMTP

- D. A

EJEMPLO78.- Determine el tiempo lo más tarde posible.

2 G

L 3 M 4

F


EJEMPLOS

79.- Resuelva el siguiente problema:

ACTIVIDADANTECEDEN-TE INMEDIA-

TO

TIEMPO (SEMANAS)

A 6B 2C A 3D A 5E A 3F C 2G D 3H B, E 4I H 2J F, G, I 2

A.- Trazar la red.B.- Encontrar la duración del proyecto y la ruta crítica.C.- Encontrar la ruta crítica en forma tabular.

80.- FORMULACIÓN DE REDES PARA EMPLEAR CPM Proyecto de Ampliación de un Centro Comercial.Perisur desea ampliar sus instalaciones y para ello a decidido contratar a la constructora ICA la cual rinde el informe de actividades en el sigiente cuadro para determinar el tiempo que tardará en realizar el proyecto.

ACTIVIDAD DESCRIPCIÓN ANTECEDENTE TIEMPO(SEM.)

A PREPARAR DIBUJOS 5B IDENTIFICAR NUEVOS INQUI-

LINOS6

C DESARROLLAR PROYECTOS A 4D ELEGIR CONTRATISTAS A 3E PREPARAR PERMISOS A 1F OBTENER PERMISOS E 4G CONSTRUCCIÓN D,F 14H FINIQUITAR CONTRATOS B,C 12I MUDANZA G,H 2

A.- Trazar la Red.PROF: L. A. NORMA NUÑEZ SANCHEZ ASIGNATURA:

MATEMATICAS VI

B.- Encontrar la Duración del Proyecto y la Ruta Critica. C.- Encontrar la Ruta Crítica en Forma Tabular.

81.- Formulación de redes para emplear PERT (costo)

ACTIVIDAD ACTIVIDAD TIEMPO TIEMPO COSTO

PRECEDENTE NORMAL CRASH CRASH(DIAS) (DIAS) ($)

A 10 7 4B 5 4 2C A,B 3 2 2D A,B 4 3 3E B 5 3 3F D,E 6 3 3G C,F 5 2 5H D,E 6 4 1I G,H 6 4 4

Costo por día normal $5.00.

Se pide:A.- Trace la red.B.- Encuentre la Duración, el Costo del Proyecto con Tiempo Normal y la Ruta Crítica.C.- Encuentre la Ruta Crítica en Forma Tabular.D.- Encuentre la Duración del Proyecto con Tiempo Crash.

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s40838538e68549fd.jimcontent.com · Web viewINTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES, F. HILLER Y G. LIEBERMAN, ED, MC GRAW HILL. 3.- MODELOS CUANTITATIVOS PARA ADMINISTRACION,