Vigas

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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL BOLIVARIANA

VIGAS

RESISTENCIA DE LOS MATERIALES

Ing. Vicente Díaz P.Abril 2015


CONTENIDO

Fuerza cortante y momento flexionante en vigas

Esfuerzos en vigasDeformación en vigasVigas hiperestáticas


Viga:

Elemento estructural con longitud de proporciones mucho mayor a la sección transversal y trabaja principalmente a flexión.

Las vigas pueden estar sometidas a tres tipos de solicitaciones:

Carga Puntual

Carga Distribuida

Momento


La fuerza equivalente de la carga distribuida es igual al área de la carga distribuida, y el punto de aplicación está ubicado en el centroide de dicha distribución de carga

Carga Distribuida Uniformemente


Carga Distribuida Variable Proporcional

Centroide

La Fuerza equivalente de una carga distribuida se considera aplicada en el centroide.


Son aquellas en las que se pueden determinar todas las reacciones considerando el equilibrio estático.

Primeramente se debe realizar un diagrama de cuerpo libre y mediante la aplicación de las condiciones de equilibrio estático: “sumatoria de fuerzas igual a cero” y “sumatoria de momento igual a cero”, se determinan las reacciones, ya teniendo todas las solicitaciones se pueden realizar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores, tal como se estudio en Mecánica. Una vez obtenidas las fuerzas y momentos se pueden determinar los esfuerzos aplicando la teoría de resistencia de los materiales.

Vigas estáticamente determinadas


Viga simplemente apoyada

Viga empotrada (voladizo o ménsula)

Vigas estáticamente determinadas

Viga simplemente apoyada con voladizo en la parte derecha


Son aquellas en las que son insuficientes las ecuaciones de equilibrio estático para la determinación de sus reacciones. Este tipo de vigas no se podían resolver en “Mecánica”, ahora aplicando la deformación estudiada en Resistencia de los Materiales, es posible obtener las ecuaciones necesarias para resolver las variables requeridas

Vigas estáticamente indeterminadas


Viga continua

Viga doblemente empotrada

Viga empotrada-apoyada

Vigas estáticamente indeterminadas


P1

P2

x

y

P1

P2

y

Ry

Rx

M

a

b

α

Para una viga en voladizo empotrada en un extremo tenemos:


x

P2

y

Ry

Rx

M

α

Ʃ Fx = P2 Cosα + Rx = 0

Ʃ Fy = Ry - P1 - P2 Senα = 0

Ʃ M0 = M + P1 (a) + P2 Senα (b) = 0

Rx = - P2 Cosα

Ry = P1 + P2 Senα

M = - P1 (a) - P2 (b) Senα

P1a

b

Aplicando condiciones de equilibrio estático

r

s

m

n


Si toda la viga esta en equlibrio estatico, entonces cualquier seccion o parte de ella tambien debe estarlo.Si consideramos un corte en la viga ubicado antes de la carga aplicada P1 “corte mn”, podemos determinar las fuerzas de equilibrio internas del material en el tramo horizontal desde cero hasta “a”, esto es valido debido a que las socitaciones externas no varian en este tramo


x

y

Ry

Rx

M

m

n

P1

P2

m

nx a - x

b - x

Mx

Vx

Nx Nx

Vx

Mx

α

Ʃ Fx0 = Rx + Nx = 0

Ʃ Fy0 = Ry - Vx = 0

Ʃ M0 = M - Mx + Vx X = 0

Ʃ Fxx = P2 Cosα - Nx = 0

Ʃ Fyx = Vx - P1 - P2 Senα = 0

Ʃ Mx = Mx + P1 (a – X) + P2 Senα (b – X) = 0

Vx = P1 + P2 Senα Mx = P1 (X - a) + P2 Senα (X - a)

Valido en el intervalo 0 ≤ X ≤ a


Luego se realiza un corte “rs” en la seccion horizontal hubicado entre “a” y el extremo derecho de la viga, procediandose con el mismo analisis anterior.Se de debe tener en cuenta que este procedimiento debe realizarse en cada tramo donde se tengan las mismas condiciones de solicitaciones externas.


x

P2

r

s

α

P1y

Ry

Rx

M

r

Mx

Vx

Nx

xb - x

Ʃ Fx0 = Rx + Nx = 0

Ʃ Fy0 = Ry + P1 - Vx = 0

Ʃ M0 = M - Mx + a P1 + Vx X = 0

Ʃ Fxx = P2 Cosα - Nx = 0

Ʃ Fyx = Vx - P2 Senα = 0

Ʃ Mx = Mx + P2 Senα (b – X) = 0

Vx = P2 Senα Mx = P2 Senα (X - a)

Valido en el intervalo a ≤ X ≤ b

a

Nx

Vx

Mx

s


Teniendo todas las ecuaciones que rigen las variaciones de las fuerzas cortantes y los momentos flectores, se procede a la elaboracion del los diagramas.


x

P1

P2

y

Ry

Rx

M

x

xM

Vx

Mx = P1 (X - a) + P2 Senα (X - a) Mx = P2 Senα (X - a)

Vx = P2 Senα Vx = P1 + P2 Senα


d2y

dx2

Mz

E.Iz

= +/-

Ecuación diferencial de la elástica, el signo depende de el sistema de referencia tomado

Método de la Doble Integración

y1

E.Iz

= +/- ∫ ∫ Mz dx2


PL

PL

P

V

M

dy/dx

y

La ecuación de la fuerza cortante en función de “x” es:

V = P

M = - PL + Px =d2y

dx2Mz E.Iz = -

dy

dx∫Mz dxE.Iz =- = - PLx + Px2/2 + C1

∫∫Mz dx2E.Iz y =- = - PLx2/2 + Px3/6 + C1 x + C2

En este caso C1 y C2 son iguales a cero, ya que para x= 0 dy/dx=o y y=o

PLx2 Px3

2E.Iz

y = 6E.Iz

-

La ecuación del momento en función de “x” es:

La ecuación de la pendiente en función de “x” es:

La ecuación de la elástica en función de “x” es:

yMax

PL3

3E.Iz yMax =


TENSIONES NORMALES:

Los ejes Y y Z son los ejes principales de Inercia. Si existe momento en ambos ejes, tendemos que la tensión longitudinal será:

En el caso en que My = 0:

ESFUERZOS NORMALES


ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS

Para una viga cualquiera, sometida a fuerzas cortantes en una cierta sección, se producen esfuerzos cortantes verticales y horizontales.

El esfuerzo cortante en todas las fibras a la distancia y0 del eje neutro esta dada por la formula:

τ= V

Iz b ∫ y dAy0

c

y0

c

E N

bMomento estático, ∫ y dA

y0

c

Q =


Φ

P P

ΦN

P V

SΦ

S

N V

N = S Cos Φ = P Cos Φ V = S Sen Φ = P Sen Φ

Variación de los esfuerzos en función de la oblicuidad de la sección


σN

P

σN = N / A’= V / A’

A’ = A / Cos Φ

σN = = P Cos Φ / (A / Cos Φ)

= P Sen Φ / (A / Cos Φ)

N = P Cos Φ V = P Sen Φ

= P Cos2 Φ / A

= P Sen Φ Cos Φ / A = P Sen 2Φ / 2 A

A A’Φ


Resumiendo:

En las vigas el momento flector genera esfuerzos normales y las fuerzas verticales generan esfuerzos cortantes.


Ejemplo:

La viga mostrada esta sometida a las cargas indicadas, se trata de un perfil IPN, seleccione el tamaño adecuado

500 Kg/m 1.000 Kg


500 Kg/m 1.000 Kg

R1 R2

x

yƩFy = 1000 Kg + 1000 Kg – R1 – R2 = 0

ƩM0 = 1000 Kg x 1 m + 1000 Kg x 4 m – R2 x 6 m = 0

R1 = 1166,67 Kg

R2 = 833,33 Kg

Feq1.000 Kg

2 m 2 m 2 m

1 m

+


500 Kg/m 1.000 Kg

x1166,67 Kg 833,33 Kg

y

x

x

V

M

V = 1166,67 – 500 x V = - 833,33V = 166,67

M = 1166,67 x – 250 x 2 M = 166,67 x + 1000 M = 5000 - 833,34 x

M = 1333,34 Kg m M = 1666,67 Kg m

1166,67 Kg

M = ∫ (1166,67 – 500 x) dx

M = 1166,67 x – 250 x2 + C1

M = 0 en x=0 C1 = 0

M = 1166,67 x – 250 x2

M = ∫ (166,67) dx

M = 166,67 x + C2

M = 1333,34 en x=2 C2 = 1000

M = 166,67 x + 1000

0< x < 2

2< x < 4Mmax = 1666,67 Kg m Vmax = 1166,67 Kg



De la tabla anterior se toma St37 esfuerzos permisibles:Por tensión: 100 N/mm2 y por corte 72 N/mm2

Los esfuerzos de trabajo permisibles son σwPerm = 1020 Kg/cm2

y τwPerm = 735 Kg/cm2

Mmax = 1666,67 Kg m Vmax = 1166,67 Kg

S = 163,4 cm3

Se selecciona en la tabla el perfil con el momento resistente mas cercano al calculado , considerando que la viga esta colocada con las alas horizontales y el alma vertical

Sτ= V Q

Iz b

S σwPerm = 1020 Kg/cm2 =

166.667,0 kg cm

Momento de Resistencia S = I / c



Los esfuerzos de trabajo permisibles son σwPerm = 1020 Kg/cm2 y

τwPerm = 735 Kg/cm2

τ= V Q

Iz b

Mmax = 1666,67 Kg m Vmax = 1166,67 Kg

σx = 859,11 kg/cm2 < 1020 kg/cm2

∫ y dAy0

c

Donde Q =

c

De la tabla IPE 200: h= 20 cm, s=0,56 cm, t= 0,85 cm, A = 28,5 cm2, I = 1940 cm4, S = 194,0 cm3, R = 8,26 cm, b = 10 cm

σx =166.667,0 kg cm x 10 cm

1940 cm4


∫ y1 dA10

h1/2

Q = ∫ y2 dA2h1/2

h/2

+

Q = 104,83 cm3

τ= 112,57 kg/cm2< 735 Kg/cm2 El perfil cumple con los requerimientos

h/2 h1/2dA1

dA2

y1

y2

s

b

dA1

s

dy1 dA2

b

dy2

∫ y1 0,56 dy10

9,15

Q = ∫ y2 10 dy29,15

10

+0,56 y1

2

20

9,15

10 y22

29,155

10

= +

τ= V Q

Iz s

1166,67 kg x 104,83 cm3

1940 cm4 x 0,56 cm= = 112,57 kg/cm2

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