CARTILLA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

JHON JAIRO MOLINA SAENZ

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA REMINGTON

ECUACIONES DIFERENCIALES

ARAUCA

SARAVENA

2013

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CARTILLA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

JHON JAIRO MOLINA SAENZ

Ecuaciones diferenciales

Ingeniero agrónomo, docente de la Corporación Universitaria Remington:

Luis Gabriel Villamizar

CORPORACIÓN UNIVERSITARIAREMINGTON

INGENIERIA DE SISTEMAS

ARAUCA

SARAVENA

2013

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CONTENIDO

Pág

CARTILLA DE ECUACIONES DIFERENCIALES…………………………………….4

1. Función Logarítmica…………………………………………………………….4

1.1. Representación gráfica de la función logarítmica…………………51.2. Propiedades de los logaritmos………………………………….. …...7

2. Trazado de curvas……………………………………………………………….9

2.1. Derivada de una función………………………………………………102.2. La pendiente……………………………………………………………..112.3. Puntos máximos y mínimos………………………………………….12

3. Antiderivada……………………………………………………………………..13

4. Integración……………………………………………………………………….13

5. Ecuaciones diferenciales……………………………………………………..145.1. Tipos de ecuaciones diferenciales……………………………….…145.2. Verificación de una función como ecuación diferencial………...155.3. Separación de variables……………………………………………….165.4. Ecuaciones diferenciales exactas…………………………………...175.5. Factor integrante……………………………………………………..…18

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CARTILLA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

1. Función Logarítmica

Función inversa de la exponenciación.

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n

(o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho

argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe

como: n = logb x, lo que permite obtener n.1

(Esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; si y sólo si b elevado a la

n da por resultado a x)

Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La

base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un

número positivo x > 0 y n puede ser cualquier número real (n ∈ R).2

Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe

como log10 100 = 2.

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Ejercicio: a. Log3 81 = 3x =81 = 3x =34 = x=4

b. Log2 128 = 2x =128 = 2x =27 = x=7

1.1. Representación gráfica de la función logarítmica

 

La función logarítmica de base a es aquella función que asigna a cada

número su logaritmo en base a.

 

Puesto que los números negativos no tienen logaritmo, la función

logarítmica se define en el conjunto de los números reales positivos excluido

el cero, y toma valores en el conjunto de los números reales.

 

 

                                     

                                                       

 

Representa al conjunto de los números reales positivos, excluido el cero.

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Ejercicio:

x

1/8 3

1/4 2

1/2 1

1 0

2 −1

4 −2

8 −3

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1.2. Propiedades logaritmos

De la definición de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un número con base negativa.

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al

exponente.

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El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de

los factores.

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos

el logaritmo del divisor.

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el

logaritmo de la base.

El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del

radicando y el índice de la raíz.

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Cambio de base:

2. Trazado de Curvas

Para trazar una curva se necesitan muchas cosas como: dominio, intervalo,

simetría. Límites, continuidad, asíntotas, derivadas, tangentes, valores extremos,

intervalos de incremento y decremento, concavidad y puntos de inflexión; todo

esto nos revela las características importantes de las funciones.

Mediante la aplicabilidad de la Derivada se puede llegar a determinar los puntos

máximos, mínimos y de inflexión de una curva.

La aplicación del cálculo permite descubrir los aspectos más interesantes de las

gráficas y, en muchos casos, calcular exactamente los puntos máximos y mínimos

y los puntos de inflexión, y no solo en forma aproximada.

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2.1. Derivada de una función

La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta

tangente a la gráfica de la función en un punto. La derivada de una función es un

valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función

cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable,

la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente a

la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada

de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la

función en valores cercanos de ese punto.

La recta tangente al gráfico de la función f en el punto P = (x , f(x) ) es la recta que

pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x.

Ejercicio: f(x) = 4x^3+6x^3+x+23 f´(x)= 12x^2+18x^2+1

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2.2. La Pendiente

Dada una curva que es la gráfica de una función y = f(x) y sea P un punto sobre la

curva. La pendiente de la recta tangente a la curva en P es el límite de las

pendientes de las rectas que pasan por P y otro punto Q sobre la curva, cuando Q

se acerca a P.

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2.3. Puntos máximos y mínimos

F´(x)=0

Deducimos si es máximo o mínimo estudiando el crecimiento y decrecimiento,

Máximo local= creciente= decreciente. En ese valor de x donde f´(x)=0 hay un

máximo.

Mínimo local= decreciente = creciente. En este valor x donde f´(x)=0 hay un

mínimo.

Los máximos y mínimos son puntos. Se necesitan las dos coordenadas (x, y).

Para calcular la coordenada “y” de los máximos y mínimos sustituimos el valor de

x en la función.

Si sale creciente-creciente o decreciente-decreciente no hay máximos ni mínimos

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3. Antiderivada

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es

decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función

dada.

Ejemplo: Si h(x) = 12x^2, entonces, H´(x) = 4x^3, es una antiderivada de f(x).

La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se

expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable

de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

4. Integración

Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es

decir, la operación opuesta de la derivada así como la suma es a la resta.

Por conveniencia se introduce  una notación para la antiderivada de una función.

:calcula ,32 función la Dada 2 xxxf

13 2

33

232 23

2 xxxxxG

5. Ecuaciones diferenciales

 

Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con

respecto a una o más variables independientes se denomina ecuación diferencial.

 Las ecuaciones diferenciales (E.D.) son expresiones matemáticas que establecen

relaciones entre variables independientes, dependientes y las derivadas de ésta

última. Las E.D. tienen diversas clasificaciones, una de ellas indica que este tipo

de ecuaciones pueden ser: Ordinarias y Parciales

 

 

Resolver una E.D.O., consiste en aplicar un conjunto de técnicas que permitan

obtener, a partir de una ecuación diferencial, una expresión matemática que no

presente derivadas; sino que exhiba una relación entre las variables mencionadas.

Existen muchos métodos para resolver E.D.O, sin embargo, en la presente obra

se desarrollarán solo los siguientes.

5.1. Tipos de ecuaciones diferenciales

Para desarrollar sistemáticamente la teoría de las ecuaciones diferenciales, es útil

clasificar los diferentes tipos de ecuaciones. Una de las clasificaciones más obvias

se basa en si la función desconocida depende de una o de varias variables

independientes. En el primer caso solo aparecen derivadas ordinarias en la

ecuación diferencial y se dice que es ecuación diferencial ordinaria. En el segundo

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caso, las derivadas son parciales y la ecuación se llama ecuación diferencial

parcial.

Ecuaciones diferenciales ordinarias: si la función tiene solamente una variable

independiente y.

Ecuaciones diferenciales parciales: Si la función tiene más de una variable

independiente y u.

Ecuaciones diferenciales de orden: El orden de una ecuación diferencial es la

derivada más alta en la ecuación.

5.2. Verificación de una función como ecuación diferencial…

Una función y = f(x) se llama solución de una ecuación diferencial si la ecuación se

satisface cuando se sustituye y y sus derivadas por f(x).

Ejemplo: Verifique que la función dada es una solución de la ecuación diferencial:

a. y’+20y=24 y= 65 – 65 e(-20x)

y’=24 e(-20x)

Función: 24 e(-20x) +20{ 65 – 65 e(-20x) } = 24 = 24 e(-20x) +24 - 24 e(-20x) =24

= 24 = 24

Si es solución de la ecuación diferencial.

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5.3. Separación de variables

Son ecuaciones de la forma:

Las cuales se puede resolver así:

Separar las variables. Esto significa que los términos relativos a la variable

dependiente queden a un lado de la igualdad y en el otro los que representan a la

otra variable. Por tanto:

 Integrar ambos miembros de la igualdad aplicando los métodos de integración.

Ejercicio:

dy/dx = e2x+3y

y=(0)= 0

dy/dx= e2x . e3y

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dy/e3y e2x . dx

e-3y . dy e2x dx

e-3y . dy = e2x . dx formula = eku . du = (1/k) eku + c

1/-3 e-3y =1/2 e2x + c = -2 e-3y =3e2x+c = -2e0 =3e0+c

-2= 3+c = -2-3 =c -5=c = -2 e-3y =3e2x+5

-2e-3y = 3 e2x-5 = e-3y = (3 e 2x -5) /-2 multiplicar por -1

e-3y = (5-3 e 2x ) /2 Ln e-3y = Ln ((5-3 e2x )/-2) formula = Ln e4 = A

= -3y = Ln ((5-3 e2x )/2)

5.4. Ecuaciones diferenciales exactas

Son ecuaciones de la forma:

Donde M(x,y) y N(x,y), son funciones continuas que verifican la siguiente

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y = -1/3 . Ln ((5-3 e2x )/2)

Igualdad:    =        (III)

Estas ecuaciones pueden resolverse mediante el siguiente conjunto de

pasos, que será llamado de aquí en adelante ALGORITMO EXACTO.

Denotar el coeficiente de dx con M(x,y) y el coeficiente de dycon N(x,y). 

Verificar que se cumple (III)

Hallar una función auxiliar F. Para ello basta con integrar aM(x,y),con

respecto a x. Así:

Derivar parcialmente a F e igualar este resultado con N(x,y), es

decir:      N(x,y)

Despejar el factor    y calcular f(y), integrando la expresión obtenida en

el despeje.

Sustituir f(y) en la expresión obtenida, anteriormente, para F y realizar las

operaciones algebraicas que aparezcan para construir una respuesta lo

más simplificada posible.

Ejercicio: (2x-3y) dx + (2y-3x) dy =0

Paso 1: Comprobar si la ecuación es exacta o no.

am/ay = a(2x-3y)/ay = a(2x)/ay - a(3y)/ay =-3

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an/ax = a(2y-3x)/ax = a(2y)/ax - a(3x)/ax =-3 -3 = -3 La ecuación diferencial si es exacta.

Paso 2: Integrar M con respecto a (x).

f(x,y) = (2x-3y) dx = 2x dx - 3y dx =     (2x2)/2 – 3yx =  x2 – 3yx + g(y) 

Paso 3: Derivar con respecto a (y) el resultado obtenido.

a((x2-3yx+g(y))/ay = a(-3xy)/ay + a(g(y))/ay + a(x2)/ay = -3x+ g’(y)

Paso 4: Comparar el resultado llamado N obtenido con la función N dada para        conocer la función derivada g’(y).

-3x+g’(y)+0 = N obtenida

-3x+2’y = N dada

 

     Paso 5: Integrar g’(y).

2y dy =(2y2)/2 = y2 + c

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Rta: f(x,y)= x2-3yx+y2+c

5.5. Factor integrante

Si la ecuación diferencial

No es exacta, pero al multiplicarla por el factor u(x,y) se convierte en exacta,

decimos que u(x,y) es un factor integrante de la ecuación diferencial.

Ejercicio:

(y2-x)dx+2ydy=0

1 Paso: resolver criterio de exactitud

(y2-x)dx+2ydy=0

a(y2-x)/ay = 2y

a(2y)/ax = 0       La ecuación diferencial no es exacta

    

2 Paso: utilizar el teorema para hallar el factor integrante

1 (My(x,y) - N(x,y))/N(x,y) = h(x) = e h(x)dx

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(2y-0)/2y = 1 e (1)dx = e dx = ex Factor integrante

3 Paso: Multiplicar toda la ecuación por el factor integrante

ex . (y2-x)dx+2y dy=0 = (y2 ex – x ex) dx+2y ex dy = 0

4 Paso: Probar exactitud 

 a(y2ex – x ex)/ay = 2y ex     

a(2y ex)/ax = 2y ex          La ecuación diferencial si es exacta

5 Paso:    Integrar M con respecto a (x).   

f(x,y) = (2y ex) dy = 2y2/2 ex+g(y)

6 Paso: Derivar con respecto a (y) el resultado obtenido.

a(y2 ex+g(x))/ay = a(y2 ex)/ax + a(g(y))/ax = y2 ex+g’(y)

y2 ex+g’(y)

y2 ex+x ex

7 Paso: Integrar la derivada obtenida.

f(x,y) = -x ex dx = - x ex dx = u=x du=dx dv=ex dx v=ex

-(x ex - ex dx) = (x ex - ex) + c = -x ex + ex +c

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f(x, y) = ex y2-x ex + ex +c

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