1Challenge the future

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

College 9

10 oktober 2016

2Challenge the future

Samenvatting

• Een deelruimte van ℝ𝑛 is een verzameling 𝑆 in ℝ𝑛 met drie

eigenschappen: 1) 𝟎 zit in 𝑆, 2) als 𝒖 en 𝒗 in 𝑆, dan som

𝒖 + 𝒗 in 𝑆, 3) als 𝒖 in 𝑆 dan 𝑐𝒖 in 𝑆 met 𝑐 een constante.

• De kolomruimte/rijruimte van een matrix 𝐴 is de verzameling

col(𝐴)/row(𝐴) van alle lineaire combinaties van de

kolommen/rijen van 𝐴.

• De nulruimte van een matrix 𝐴 is de verzameling null(𝐴) van

alle oplossingen van de homogene vergelijking 𝐴𝒙 = 𝟎.

• Een basis voor een deelruimte 𝑆 van ℝ𝑛 is een lineair

onafhankelijke verzameling in 𝑆 die 𝑆 opspant.

3Challenge the future

Rijruimte, kolomruimte & nulruimte

Samenvatting

1. Vind de gereduceerde rij-echelon vorm 𝑅 van 𝐴.

2. Gebruik de niet-nulrijen van 𝑅 om een basis voor row(𝐴) te

vormen.

3. Gebruik de kolomvectoren van 𝐴 die corresponderen met de

kolommen met een leidende 1 van 𝑅 om een basis voor

col 𝐴 te vormen.

4. Los 𝑅𝒙 = 𝟎 op om een basis voor null(𝐴) te vinden.

4Challenge the future

Samenvatting

• De dimensie van een niet-nul deelruimte 𝑆, genoteerd als

dim 𝑆, is het aantal vectoren in een willekeurige basis van 𝑆.

• De rang van een matrix 𝐴, genoteerd als rang 𝐴 , is de

dimensie van de kolom/rij-ruimte van 𝐴.

• Voor 𝑚 × 𝑛 matrix 𝐴 geldt rang(𝐴) + nulliteit(𝐴) = 𝑛.

5Challenge the future

Rang van een matrix

Stelling

Voor elke matrix 𝐴 geldt rang 𝐴𝑇 = rang 𝐴.

Bewijs

rang 𝐴𝑇 = dim col 𝐴𝑇

= dim row 𝐴

= rang 𝐴

6Challenge the future

Inverteerbare matrices

Stelling (vervolg)

Laat 𝐴 een 𝑛 × 𝑛 matrix zijn. Dan zijn de volgende beweringen

equivalent aan de bewering dat 𝐴 een inverteerbare matrix is.

e. rang 𝐴 = 𝑛

f. nulliteit 𝐴 = 0

g. De kolommen van 𝐴 zijn lineair onafhankelijk.

h. De kolommen van 𝐴 vormen een opspansel voor ℝ𝑛.

i. De kolommen van 𝐴 vormen een basis voor ℝ𝑛.

j. De rijen van 𝐴 zijn lineair onafhankelijk.

k. De rijen van 𝐴 vormen een opspansel voor ℝ𝑛.

l. De rijen van 𝐴 vormen een basis voor ℝ𝑛.

7Challenge the future

Inverteerbare matrices

Stelling

Als 𝐴 een 𝑚 × 𝑛 matrix is, dan geldt

a. rang 𝐴𝑇𝐴 = rang(𝐴)

b. De 𝑛 × 𝑛 matrix 𝐴𝑇𝐴 is inverteerbaar dan en slechts dan als

rang 𝐴 = 𝑛.

8Challenge the future

Coördinaten systeem

Stelling

Stel dat de verzameling ℬ = 𝒃1, … , 𝒃𝑝 een basis is voor een

deelruimte 𝑆.

Dan geldt voor elke 𝒙 in 𝑆 dat er precies één manier is om 𝒙 als

een lineaire combinatie van de vectoren in ℬ te schrijven.

9Challenge the future

Coördinaten systeem

Definitie

Stel dat de verzameling ℬ = 𝒃1, … , 𝒃𝑝 een basis is voor een

deelruimte 𝑆. Voor elke 𝒙 in 𝑆 zijn de coördinaten van 𝒙 ten

opzichte van de basis ℬ gelijk aan de gewichten 𝑐1, … , 𝑐𝑝 zodat

𝒙 = 𝑐1𝒃1 +⋯+ 𝑐𝑝𝒃𝑝. De vector

𝒙 ℬ =

𝑐1⋮𝑐𝑝

in ℝ𝑝 heet de coördinaatvector van 𝒙 ten opzichte van ℬ.

10Challenge the future

Hoofdstuk 4.1

• Eigenwaarden

• Eigenvectoren

• Eigenruimte

11Challenge the future

Eigenwaarden en eigenvectoren

Definitie

Een constante 𝜆 is een eigenwaarde van een 𝑛 × 𝑛 matrix 𝐴 als

er een niet-nul vector 𝒙 bestaat, zodat

𝐴𝒙 = 𝜆𝒙.

Vector 𝒙 is de eigenvector van 𝐴 corresponderend met 𝜆.

12Challenge the future

Eigenwaarden en eigenvectoren

Definitie

Voor een 𝑛 × 𝑛 matrix 𝐴 met eigenwaarde 𝜆 wordt de

eigenruimte 𝐸𝜆 van 𝜆 gegeven door alle eigenvectoren

corresponderend met 𝜆 en de nulvector 𝟎.

13Challenge the future

Eigenwaarden en eigenvectoren

Voorbeeld

𝐴 =1 00 −1

𝐴𝒙 =1 00 −1

𝑥1𝑥2

=𝑥1−𝑥2

𝜆𝒙 = 𝜆𝑥1𝑥2

=𝜆𝑥1𝜆𝑥2

𝐸−1 = span01

, 𝐸1 = span10

14Challenge the future

Eigenwaarden en eigenvectoren

Voorbeeld kop-staart weergave

15Challenge the future

Eigenwaarden en eigenvectoren

Voorbeeld kop-staart weergave

16Challenge the future

Eigenwaarden en eigenvectoren

Voorbeeld kop-staart weergave