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XX ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMÁTICAS

Felipe Linares

ECUACIONES DISpErSIVAS NO LINEALES.

CASO pErIÓDICO

Ediciones IVIC

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MÉrIDA, VENEZUELA, 2 AL 7 DE SEpTIEMBrE DE 2007

XX ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMATICAS

Ecuaciones dispersivas no lineales.

Caso periodico

Felipe Linares

MERIDA, VENEZUELA, 2 AL 7 DE SEPTIEMBRE DE 2007


Ecuaciones dispersivas no lineales.

Caso periodico

Felipe LinaresInstituto de Matematica Pura e Aplicada

[email protected]

MERIDA, VENEZUELA, 2 AL 7 DE SEPTIEMBRE DE 2007


La Escuela Venezolana de Matematicas es una actividad de los postgra-dos en matematicas de las instituciones siguientes: Centro de EstudiosAvanzados del Instituto Venezolano de Investigaciones Cientıficas, Fa-cultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela, Facultad deCiencias de la Universidad de Los Andes, Universidad Simon Bolıvar,Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado y Universidad de Orien-te, y se realiza bajo el auspicio de la Asociacion Matematica Venezolana.La XX ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMATICAS recibio financiamien-to de la Academia de Ciencias Fısicas, Matematicas y Naturales, laCorporacion Andina de Fomento (CAF), el Fondo Nacional de Cien-cia, Tecnologıa e Innovacion (FONACIT), la Fundacion TALVEN, elInstituto Venezolano de Investigaciones Cientıficas (Departamento deMatematicas y Ediciones IVIC), la Universidad de los Andes (CEP,CDCHT, Facultad de Ciencias y Departamento de Matematicas) y elRectorado de la Unversidad Centroccidental Lisandro Alvarado.

1991 Mathematics Subject Classification: 35Q53, (35B10, 35B65).

c©Ediciones IVICInstituto Venezolano de Investigaciones Cientıficas

Ecuaciones Dispersivas no lineales. Caso periodicoFelipe Linares

Diseno y edicion: Escuela Venezolana de MatematicasPreprensa e impresion: Editorial TextoDeposito legal lf66020076002492ISBN 978-980-261-085-3Caracas, Venezuela2007

III

En memoria de Julieta Ramirez y Dolores (Lola) Linares

IV

Prefacio

El objetivo de estas notas es describir brevemente las ecuaciones dis-persivas no lineales. Tratamos de dar una nocion global de los modelosfısicos considerados y presentar algunos los problemas de ınteres y meto-dos que se han desarrollado recientemente en esta area de las ecuacionesdiferenciales parciales.

Escogimos estudiar el caso periodico por no ser encontrado usual-mente en la literatura. Parte esencial de estas notas fueron tomadas delarticulo [3]. Usaremos como ejemplo el sistema acoplado de ecuacionesde Schrodinger estudiado allı para ilustrar varias ideas utilizadas al re-solver el problema de valor inicial de sistemas dispersivos no lineales enel contexto periodico. Un tratamiento mas detallado de las ecuacionesdispersivas no lineales puede ser encontrado en [38].

Un conocimiento de analisis real y variable compleja serıan los pre-requısitos para este curso, aunque las notas son autocontenidas en lamedida de lo posible.

En el primer capıtulo introducimos el concepto de ecuacion de tipodispersivo. En el Capıtulo 2, presentamos algunas nociones basicas dela teorıa de las Series de Fourier, distribuciones periodicas y espacios deSobolev. Una descripcion mas detallada puede verse en los textos [15],[16], [27] y [45]. Una aplicacion al problema de valor inicial es dada enel Capıtulo 3. Usamos las Series de Fourier para estudiar los problemaslineales homogeneos y no homegeneos asociado a la ecuacion lineal deKorteweg-de Vries. Un recuento de varias propiedades de las ecuacionesdispersivas no lineales es desarrollado en el Capıtulo 4. Finalmente, enel Capıtulo 5 usamos un sistema acoplado de ecuaciones no lineales deSchrodinger para aplicar las tecnicas recientemente desarrolladas en elestudio de problemas de valor inicial asociados a este tipo de sistemas.

Quiero agradecer a Luiz Gustavo Farah (IMPA), Aıda Gonzalez Nieva

V

VI PREFACIO

(IMPA) y Didier Pilod (IMPA-UFRJ) por haber leido cuidadosamenteuna version preliminar de estas notas y por las sugerencias y correccioneshechas que sin duda dieron una mejora sustancial a la presentacion finalde este texto. Tambien me gustaria agradecer a Jaime Angulo (USP)por insistir con el caso periodico y a Leonardo Mora (ULA-Venezuela)quien me invito a participar en este proyecto.

Rio de Janeiro, Julio de 2007.

Indice general

Prefacio V

1. Ecuaciones Dispersivas Lineales 1

2. Series de Fourier 72.1. Definicion y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1. Convergencia Puntual . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2. Convergencia en Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3. Metodos de Sumabilidad . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Distribuciones Periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1. Series de Fourier en P ′ . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Problemas de Valor Inicial para las Ecuaciones Disper-sivas Lineales 233.1. Problema Lineal Homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2. Problema Lineal no Homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Ecuaciones Dispersivas No Lineales 314.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1.1. Estimaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1.2. Estimaciones No Lineales . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2. Ondas Viajeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.1. Ondas Periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.2. Leyes de Conservacion . . . . . . . . . . . . . . . . 41

VII

VIII INDICE GENERAL

5. Problemas de Valor Inicial para las Ecuaciones Disper-sivas No Lineales 455.1. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2. Problema de Valores Iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3. Teorıa Local de Buena Colocacion . . . . . . . . . . . . . 515.4. Lemas Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.5. Estimaciones Bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.6. Resultado Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Bibliografıa 66

Capıtulo 1

Ecuaciones DispersivasLineales

Para introducir la nocion de dispersion consideraremos una ecuaciondiferencial parcial con coeficientes constantes en la forma

P(∂t, ∂x1 , ∂x2 , ∂x3

)u(x, t) = 0 (1.1)

donde P es un polinomio en las derivadas parciales ∂t, ∂x1 , ∂x2 , ∂x3 yx = (x1, x2, x3).

Buscamos soluciones elementales del tipo onda plana para (1.1) en laforma

u(x, t) = Aei(k·x−ωt) (1.2)

donde A es la amplitud de la onda, k = (k1, k2, k3) es el vector numerode onda, ω es la frecuencia, k · x = k1x1 + k2x2 + k3x3 con A, k y ωconstantes.

Cuando esta onda plana es substituida en (1.1) ∂∂t ,

∂∂x1

, ∂∂x2

y ∂∂x3

producen factores −iω, ik1, ik2 e ik3 respectivamente, y una soluciondel tipo (1.2) existe si y solamente si ω y k estan relacionados por laecuacion

P (−iω, ik1, ik2, ik3) = 0. (1.3)

Esta ecuacion es conocida como la relacion de dispersion.Observe que existe una correspondencia directa entre la ecuacion (1.1)

y la relacion de dispersion (1.3) atraves de

∂

∂t↔ −iω,

( ∂

∂x1,

∂

∂x2,

∂

∂x3

) ↔ i(k1, k2, k3). (1.4)

1

2 Felipe Linares

O sea la primera ecuacion puede ser derivada de la segunda y recipro-camente usando (1.4).

Ejemplo 1.0.1. Considere las siguientes ecuaciones lineales

Ecuacion de la viga

vtt − γ2vxxxx = 0, x ∈ R, t ∈ R.

Ecuacion lineal de Schrodinger

i∂tϕ + ∆ϕ = 0, x ∈ R3, t ∈ R.

Ecuacion lineal de Korteweg-de Vries

∂tw + α∂xw + β∂3xw = 0, x ∈ R, t ∈ R.

Las relaciones de dispersion para estas ecuaciones son respectiva-mente,

ω2 − γ2k4 = 0,

ω − (k21 + k2

2 + k23) = 0

yω − αk − βk3 = 0.

La relacion de dispersion caracteriza la evolucion de la onda plana. Enalgunos problemas la relacion de dispersion puede escribirse en formaexplıcita

ω = W (k) = W (k1, k2, k3), (1.5)

es decir, en terminos de las raıces reales de la ecuacion (1.3). Hay unnumero de soluciones de este tipo, en general con diferentes funcionesW (k) llamados modos.

Ejemplo 1.0.2. En el caso de la ecuacion de la viga la relacion dedispersion tiene dos modos ω+ = γk2, ω− = −γk2.

La cantidad θ = k · x − ωt es llamada fase. En soluciones tipo ondaplana, las superficies de fase θ = constante son planos paralelos. Elgradiente de θ es el vector numero de onda cuya direccion es normal a

Ecuaciones dispersivas no lineales 3

los planos y cuya magnitud κ es el numero promedio de crestas por 2πunidades de distancia. Similarmente, −∂tθ es la frecuencia ω, el numeropromedio de crestas por 2π unidades de tiempo. La longitud de onda esλ = 2π/κ y el perıodo es τ = 2π/ω.

Cualquier superficie de fase se desplaza con velocidad normal ω/κ enla direccion de k. La velocidad de fase se define como

Cf (k) =ω

κk, donde k es el vector unitario k = κ−1k. (1.6)

Observe que un vector numero de onda diferente lleva a una velocidadde fase diferente, esto caracteriza la dispersion.

Ejemplo 1.0.3. Para las ecuaciones del Ejemplo 1.0.1 tenemos que lavelocidad de fase es dada por

Cf±(k) =ω±k

= ±γk (ecuacion de la viga)

Cf (k) = (k1, k2, k3) (ecuacion lineal de Schrodinger)

Cf (k) = α + β k2. (ecuacion lineal de Korteweg-de Vries)

Existe otra velocidad de propagacion de ondas importante llamadavelocidad de grupo la cual es definida por

Cg(k) = ∇k ω. (1.7)

La velocidad de grupo difiere de la velocidad de fase como vemos enel siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.0.4. Para las ecuaciones del Ejemplo 1.0.1 tenemos que lavelocidad de grupo es dada por

Cg±(k) = ±2γk (ecuacion de la viga)

Cg(k) = 2(k1, k2, k3) (ecuacion lineal de Schrodinger)

4 Felipe Linares

Cg(k) = α + 3β k2. (ecuacion lineal de Korteweg-de Vries)

La situacion fısica de esta diferencia entre la velocidad de fase y lavelocidad de grupo es ilustrada a seguir. Un observador siguiendo unacresta de una onda particular se mueve con la velocidad local de fasepero ve que el numero de onda local y la frecuencia cambian, es decir,crestas vecinas se apartan. Un observador que se mueve con la velocidadde grupo ve el mismo numero de onda local y frecuencia pero las crestasse mantienen pasandolo.

En el caso unidimensional,

ω = W (k), Cf (k) =ω

k, Cg(k) =

dω

dk.

Las soluciones (1.2) son dispersivas si la velocidad de grupo no esconstante (Cg(k) = ω′(k) 6= constante), esto es ω′′(k) 6= 0. Fısicamente,cuando el tiempo evoluciona, las ondas diferentes se dispersan en elmedio teniendo como resultado que un perfil (single lump) se descom-pone en un tren de ondas.

En general, la ecuacion (1.1) es dispersiva si W (k) es real y el deter-minante ∣∣∣∂

2W (k)∂ki∂kj

∣∣∣ 6= 0.

Por el principio de superposicion para ecuaciones lineales, la soluciongeneral puede obtenerse de (1.2) con la relacion de dispersion (1.3). Parael caso unidimensional, la solucion general tiene la representacion vıa laintegral

u(x, t) =

∞∫

−∞F (k) ei(k·x−tω(k)) dk (1.8)

donde F (k) es escogida de manera que las condiciones iniciales o defrontera sean satisfechas, siempre que los datos sean fısicamente realistaspara poder definir la expresion (1.8) llamada, transformada de Fourier.


Ejercicios

1. Encuentre la relacion de dispersion, velocidad de fase y velocidadde grupo de las siguientes ecuaciones.

(i) Ecuacion de Boussinesq lineal

∂2t u− ∂2

xu + ∂4xu = 0, x ∈ R, t ∈ R.

(ii) Ecuacion de Klein-Gordon

vtt − α2 vxx + β2v = 0, x ∈ R, t ∈ R.

(iii) Ecuacion de ondas

∂2t w − c2∆w = 0, x ∈ R3, t ∈ R.

(iv) Ecuacion lineal Zakharov-Kusnetsov

∂tv + ∂x ∆v = 0, , (x, y) ∈ R2, t ∈ R.

6 Felipe Linares

Capıtulo 2

Series de Fourier

En este capıtulo estudiaremos la teoria de las series de Fourier quees una de las herramientas fundamentales para desarrollar el estudio deproblemas de valores iniciales para las ecuaciones de tipo dispersivo enel caso perıodico.

2.1. Definicion y Propiedades

Definicion 2.1.1. Sea f : [a, b] 7→ C una funcion integrable. Sea L lalongitud del intervalo [a, b], el k-esimo coeficiente de Fourier de f esdefinido por

f (k) =1L

b∫

a

f(x) e−2πikx/L dx, k ∈ Z. (2.1)

La serie de Fourier de f es dada (formalmente) por

∞∑

k=−∞f (k) e2πikx/L. (2.2)

Usaremos la notacion

f(x) ∼∞∑

k=−∞f (k) e2πikx/L

7

8 Felipe Linares

para referirnos a la serie de Fourier correspondiente a f y denotaremosla N -esima suma parcial por

SN (f) =∑

|k|≤N

f (k) e2πikx/L, N ∈ N.

Para simplificar la notacion de ahora en adelante usaremos [a, b] =[−π, π] y por lo tanto L = 2π. Entonces

f (k) =12π

π∫

−π

f(x) e−ikx dx, k ∈ Z.

y la serie de Fourier de f

∞∑

k=−∞f (k) eikx.

Las preguntas naturales que aparecen son:

(A) En que sentido SN (f) converge a f cuando N →∞?

(B) CuandoSN (f) =

∑

|k|≤N

f (k) e2πkx/L, N ∈ N?

Antes de responder a estas preguntas introduciremos a seguir algunasnotaciones que seran utiles en el resto de estas notas.

Sea f : R 7→ C, f es periodica de perıodo 2π si f(x + 2π) = f(x) paratodo x ∈ R.

La coleccion de todas las funciones periodicas de perıodo 2π de claseCk sera denotada por Ck

per([−π, π]), k = 0, 1, 2, . . . .El espacio Ck

per([−π, π]) junto con la norma

‖f‖k,∞ =k∑

j=0

‖f (j)‖∞

es un espacio de Banach donde ‖ · ‖∞ es la norma del sup en la recta,esto es,

‖g‖∞ = supx∈R

|g(x)| = supx∈J

|g(x)|


donde J ⊂ R es un intervalo de longitud 2π.Podemos identificar Cper([−π, π]) con el conjunto {f ∈ C([−π, π]) :

f(−π) = f(π)}, de manera similar podemos identificar Ckper([−π, π]) con

el conjunto {f ∈ Ck([−π, π]) : f (j)(−π) = f (j)(π), j = 1, 2, . . . , k}.Definimos la seminorma

‖f‖Lp =( π∫

−π

|f(x)|p dx)1/p

, p ≥ 1.

El espacio Ckper([−`, `]) con la norma Lp no es un espacio completo.

Comenzaremos con el siguiente resultado que nos dara una respuestaparcial a las preguntas (A) y (B).

Teorema 2.1.1. Suponga que f es una funcion integrable en [−π, π]con f(k) = 0 para todo k ∈ Z. Entonces f(x0) = 0 siempre que f seacontınua en el punto x0 ∈ [−π, π].

Corolario 2.1.1. Si f es continua en [−π, π] y f(k) = 0 para todok ∈ Z entonces f ≡ 0.

Corolario 2.1.2. Suponga f continua en [−π, π] y que su serie de Fou-

rier converge absolutamente, i.e.∞∑

k=−∞|f (k)| < ∞. Entonces la serie de

Fourier de f converge uniformemente a f , es decir,

lımN→∞

SN (f)(x) = f(x), uniformemente en x.

Aquı tenemos que observar que existen funciones continuas cuyas se-ries de Fourier son divergentes. (vea [27], [16]).

Que condiciones en f garantizan la convergencia absoluta de la se-rie de Fourier? Como veremos en el proximo resultado suavidad en fimplicara convergencia absoluta.

Corolario 2.1.3. Suponga que f es dos veces continuamente diferen-ciable en [−π, π]. Entonces

f (k) = O( 1| k|2

), cuando | k| → ∞,

de manera que la serie de Fourier de f converge absoluta y uniforme-mente para f .

10 Felipe Linares

Demostracion. Suponga k 6= 0. Integrando por partes y usando la pe-riodicidad de f tenemos que

2πf (k) =

π∫

−π

f(x) e−ikx dx

=1ik

π∫

−π

f ′(x) e−ikx dx

=1

(ik)2

π∫

−π

f ′′(x) e−ikx dx

= − 1k2

π∫

−π

f ′′(x) e−ikx dx.

(2.3)

Por lo tanto,

f (k) = − 1k2

f ′′(k).

El caso k = 0 es un ejercicio para el lector.

Durante la prueba del corolario anterior establecimos una de las pro-piedades mas importantes de la transformada de Fourier, esto es,

f ′ (k) = ik f (k) para todo k ∈ Z. (2.4)

Observe que si f es diferenciable y f ∼∞∑

k=−∞ak eikx, entonces

f ′ ∼∞∑

k=−∞ik ak eikx.

Tambien, si f es dos veces diferenciable, entonces

f ′′ ∼∞∑

k=−∞(ik)2 ak eikx.


Definicion 2.1.2. Sean f, g ∈ Cper([−π, π]). La convolucion de f y gdenotada por f ∗ g es definida por

f ∗ g(x) =12π

π∫

−π

f(x− y)g(y) dy. (2.5)

Ejemplo 2.1.1.

SN (f)(x) =N∑

k=−N

f(k) eikx

=N∑

k=−N

( 12π

π∫

−π

f(y) e−ikydy)eikx

=12π

π∫

−π

f(y)( N∑

k=−N

eik(x−y))

dy

= (f ∗DN )(x).

(2.6)

DN es conocido como nucleo de Dirichlet.

Proposicion 2.1.1 (Propiedades de la convolucion). Sean f, g funcio-nes en Cper(−π, π).

i) f ∗ g e continua

ii) f ∗ g = g ∗ f

iii) f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h

iv) f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h

v) f ∗ g(k) = f(k)g(k).

2.1.1. Convergencia Puntual

Ahora discutiremos algunos resultados que garantizan la convergenciapuntual de las series de Fourier.

12 Felipe Linares

Teorema 2.1.2. Sea f una funcion integrable en [−π, π] que es dife-renciable en el punto x0. Entonces

SN (f)(x0) → f(x0) cuando N →∞.

Este resultado vale si f satisface una condicion de Lipschitz en x0,esto es,

|f(x)− f(x0)| ≤ M |x− x0|para algun M ≥ 0 y todo x.

Todavıa si f y f ′ fueran seccionalmente continuas vale que

SN (f)(x0) → f(x+0 ) + f(x−0 )

2cuando N →∞.

Teorema 2.1.3. Suponga f, g integrables, periodicas de perıodo 2π ypara algun x0 existe un intervalo abierto I conteniendo x0 tal que

f(x) = g(x) para todo x ∈ I.

Entonces

SN (f)(x0)− SN (g)(x0) → 0 cuando N →∞.

Notacion.

2.1.2. Convergencia en Lp

Comenzamos recordando la definicion de los espacios Lp. Para 1 ≤p < ∞.

Lp([−π, π]) = {f : R→ C, medibles tales que ‖f‖Lp < ∞}

y L∞[−π, π]) denota las funciones periodicas f esencialmente acotadascon norma ‖f‖L∞ el supremos esencial de |f(x)|.

En el caso particular p = 2,

〈f | g〉 =

π∫

−π

f(x)g(x) dx (2.7)


define un producto interno en Lp([−π, π]), ademas

‖f‖L2 = 〈f | f〉1/2

Con ese producto interno L2([−π, π]) es un espacio de Hilbert.Tenemos el siguiente resultado que da condiciones necesarias y sufi-

cientes para que las series de Fourier converjan en Lp.

Lema 2.1.1. SN (f) converge a f en la norma Lp, 1 ≤ p < ∞, si ysolamente si existe cp independiente de N tal que

‖SN (f)‖Lp ≤ cp ‖f‖Lp (2.8)

En el caso 1 ≤ p < ∞ la desigualdad (2.8) vale. El caso p = 1 no esverdadero.

Teorema 2.1.4. La transformada de Fourier restringida a L2([−π, π])es una biyeccion entre L2([−π, π]) y `2(Z). Ademas, vale la identidad deParseval,

‖f‖2L2 = 2π

∞∑−∞

|f(k)|2 = 2π‖f‖2`2 , (2.9)

o equivalentemente,

〈f | g〉 = 2π∞∑−∞

f(k) g(k) = 2π 〈f | g 〉, f, g ∈ L2([−π, π]). (2.10)

2.1.3. Metodos de Sumabilidad

Otro metodo para recuperar la funcion f de sus coeficientes, es elmetodo de sumabilidad. Los mas conocidos son los metodos de suma-bilidad de Cesaro y de Poisson. aqui solo describiremos el primero. Elmetodo de Poisson puede ser visto en [16],[27],[45].

El metodo de Cesaro usa la media aritmetica de las sumas parciales.

14 Felipe Linares

Mas precisamente, seja

σNf(x) =1

N + 1

N∑

k=0

Sk(f)(x)

=

π∫

−π

f(y)1

N + 1

N∑

k=0

Dk(x− y)dy

=

π∫

−π

f(y)FN (x− y) dy,

donde FN (y) es el nucleo de Fejer, que es dado por

FN (y) =1

N + 1

N∑

k=0

Dk(y).

Observe que FN (y) puede escribirse como

FN (y) =

1N+1

(sen(N+1

2y)

sen( 12y)

)x 6= 2kπ, k ∈ Z

N + 1 x = 2kπ, k ∈ Z

y que satisface las siguientes propiedades

(i) FN (y) ≥ 0,

(ii)

12π

π∫

−π

FN (y) dy = 1,

(iii)

lımN→∞

∫

δ<|y|<π

FN (y) dy = 0 δ > 0.

Teorema 2.1.5. Si f ∈ Lp, 1 ≤ p < ∞, o si f es continua y p = ∞,entonces

lımN→∞

‖σNf − f‖Lp = 0. (2.11)


Corolario 2.1.4.

(i) Los polinomios trigonometricos son densos en Lp, 1 ≤ p < ∞.

(ii) Si f es integrable y f(k) = 0 para todo k, entonces f es identica-mente cero.

2.2. Distribuciones Periodicas

El conjunto de todas las funciones periodicas φ : R→ C de clase C∞

con perıodo 2π es denotado por P = C∞per. El espacio vectorial P no

es completo en relacion a las normas Cnper introducidas anteriormente.

Podemos todavıa definir una distancia natural en P dada por

d(φ, ψ) =∞∑

j=0

2−j ‖φ(j) − ψ(j)‖∞1 + ‖φ(j) − ψ(j)‖∞

, φ, ψ ∈ P. (2.12)

Observacion 2.2.1. La distancia d introduce una metrica en P. Ade-mas, φn

P→ φ si y solo si ‖φ(j)n − φ(j)‖∞ → 0 cuando n → ∞ para todo

j = 0, 1, 2, . . . .

Tenemos el siguiente resultado.

Teorema 2.2.1. (P, d) es un espacio metrico completo. Ademas, si con-sideramos {φn} ⊂ P y φ ∈ P, entonces

φnd→ φ ⇔ ‖φ(j)

n − φ(j)‖∞ → 0 para todo j ≥ 0.

Con relacion a las series de Fourier tenemos el siguiente resultado.

Corolario 2.2.1. Para todo ϕ ∈ P, la N -esima suma parcial de ϕconverge a ϕ en P.

Definicion 2.2.1. Denotaremos por S(Z) el espacio de las sucesionesrapidamente decrecientes, esto es, el conjunto de las sucesiones comple-jas {ak}k∈Z tales que

∞∑

k=−∞|k|j |ak| < ∞ ∀j = 0, 1, 2, . . . (2.13)

16 Felipe Linares

Si S(Z) con la distancia

d(a, b) =∞∑

j=0

2−j ‖a− b‖∞,j

1 + ‖a− b‖∞,j, a, b ∈ S(Z). (2.14)

con‖a‖∞,j = sup

k∈Z(|ak||k|j)∞.

Definicion 2.2.2. Sea a = {ak}k∈Z ∈ S(Z). La transformada inversade Fourier de a es la funcion

∨a(x) = (F−1)(x) =

∞∑

k=−∞ak eikx, x ∈ R (2.15)

Teorema 2.2.2. La transformada de Fourier es una aplicacion biyectivalinear entre S(Z) y P, esto es, un isomorfismo y un homeomorfismo.

Definicion 2.2.3. Decimos que Ψ : P 7→ C es una distribucionperiodica si

(1) Ψ es lineal.

(2) Ψ es continua, es decir, si ϕjP→ 0 cuando j → ∞, entonces la

sucesion numerica Ψ(ϕj) → 0 cuando j →∞.

Ejemplo 2.2.1. Es facil ver que f ∈ Cper define una distribucion pe-riodica Ψf por la formula

〈Ψf , ϕ〉 =

π∫

−π

f(x)ϕ(x) dx, ϕ ∈ P. (2.16)

Ejemplo 2.2.2. Un ejemplo de una distribucion que no proviene de laformula (2.16) es la conocida delta de Dirac δx definida por

〈δx, ϕ〉 = ϕ(x), ϕ ∈ P. (2.17)

Definicion 2.2.4. Decimos que la sucesion {Ψj} ⊂ P ′ converge a Ψ enP ′ si

〈Ψj , ϕ〉 → 〈Ψ, ϕ〉 cuando j →∞ ∀ϕ ∈ P.


La operacion de diferenciacion en las distribuciones es definida de talmanera que ellas sean infinitamente diferenciables.

Definicion 2.2.5. Sea f ∈ P ′. Su derivada distribucional f ′ ∈ P ′ esdefinida por la relacion

〈f ′, ϕ〉 = −〈f, ϕ′〉, ϕ ∈ P.

2.2.1. Series de Fourier en P ′Definicion 2.2.6. La transformada de Fourier de f ∈ P ′ es la funcionf : Z→ C defnida por la formula

f(k) =12π〈f, e−ik x〉, k ∈ Z. (2.18)

La N -esima suma parcial de la serie de Fourier asociada a f es dadapor

SN (f)(x) =N∑

k=−N

f(k)eikx.

Note que SN (f) se entiende como distribucion en el sentido de laformula (2.16).

Teorema 2.2.3. Sea f ∈ P ′. Entonces SN (f) ∈ P para todo N ∈ N y

SN (f) P′→ f .

Corolario 2.2.2. Sea ϕ ∈ P y f ∈ P ′. Entonces,

〈f, ϕ〉 = 2π∞∑

k=−∞f(k)ϕ(−k). (2.19)

Definicion 2.2.7. La sucesion de numeros complejos {an}n∈Z se dicede crecimiento lento si existe c > 0 y N ∈ N tal que

|ak| ≤ c|k|N ∀k ∈ Z− {0}.El conjunto de todas las sucesiones de crecimiento lento es denotado porS ′(Z).

Teorema 2.2.4. Sea a = {ak}k∈Z ∈ S ′(Z). Entonces existe una unicaf ∈ P ′ tal que f = a. Recıprocamente, si f ∈ P ′ entonces f ∈ S ′(Z).

18 Felipe Linares

2.3. Espacios de Sobolev

En esta seccion introducimos los espacios de Sobolev periodicos.

Definicion 2.3.1. Sea s ∈ R, el espacio de Sobolev denotado por Hsper =

Hsper([−π, π]) es el conjunto de todos los elementos f ∈ P ′ tal que

‖f‖2s = 2π

∞∑

k=−∞(1 + |k|2)s|f(k)|2 < ∞. (2.20)

En el siguiente teorema resumiremos algunas propiedades de los espa-cios de Sobolev.

Teorema 2.3.1. (i) Para todo s ∈ R, Hsper es un espacio de Hilbert

con relacion al producto interno

(f |g)s = 2π∞∑

k=−∞(1 + |k|2)sf(k)g(k). (2.21)

(ii) Sean r, s ∈ R, s ≥ r. Entonces Hsper esta continua y densamente

inmerso en Hrper y

‖f‖r ≤ ‖f‖s, para todo f ∈ Hsper. (2.22)

(iii) (Hsper)

′ el dual topologico de Hsper es isometricamente isomorfo a

H−sper para todo s ∈ R. La dualidad es realizada via el par

〈f, g〉 = 2π∞∑

k=−∞(1 + |k|2)sf(k) g(k), f ∈ Hs

per, g ∈ H−sper. (2.23)

Teorema 2.3.2. Si k es un entero positivo, entonces f ∈ Hkper coincide

con el espacio de funciones f ∈ L2per cuyas derivadas (en el sentido de

P ′), f (j), j = 1, . . . , k, pertenecen a L2per. En este caso las normas ‖f‖k

yk∑

j=0‖f (j)‖ son equivalentes.

El siguiente resultado conocido como el Lema de Sobolev nos permiterelacionar “derivadas debiles” con derivadas en el sentido clasico.


Teorema 2.3.3. Si s > 12 , entonces Hs

per esta continua y densamenteinmerso en Cper y

‖f‖∞ ≤ ‖f‖`1 ≤ c‖f‖s, f ∈ Hsper (2.24)

Demostracion. Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la hipotesiss > 1/2 tenemos que

∑

k∈Z|f(k)| =

∑

k∈Z

(1 + |k|2)s/2|f(k)|(1 + |k|2)s/2

≤(∑

k∈Z(1 + |k|2)s|f(k)|2

)1/2 (∑

k∈Z

1(1 + |k|2)s

)1/2

=(∑

k∈Z

1(1 + |k|2)s

)1/2‖f‖s < ∞.

(2.25)

Por lo tanto {f(k)}k∈Z ∈ `1 y ası

g(x) =∞∑−∞

f(k) eikx

converge absolutamente y uniformemente en [−π, π]. Por lo tanto g ∈Cper. Ahora probaremos que f y g coinciden como distribuciones. Usandoel Corolario 2.2.2 y la convergencia uniforme de la serie, tenemos

〈g, ϕ〉 =

π∫

−π

g(x)ϕ(x) dx =

π∫

−π

( ∞∑−∞

f(k) eikx)ϕ(x) dx

=∞∑−∞

f(k)

π∫

−π

ϕ(x)eikx dx = 2π∞∑−∞

f(k)ϕ(−k)

= 〈f, ϕ〉 ∀ϕ ∈ P,

(2.26)

ası que f = g en el sentido de las distribuciones. La desigualdad (2.24)sigue de la desigualdad (2.25) ya que

|f(x)| ≤∞∑−∞

|f(k)| ≤( ∞∑−∞

1(1 + |k|2)s

)1/2‖f‖s ∀x ∈ [−π, π]. (2.27)

20 Felipe Linares

La siguiente definicion sera utıl para probar que Hsper es un algebra

de Banach para s > 1/2.

Definicion 2.3.2. Sean a = {ak} y b = {bk} sucesiones de numeroscomplejos. La convolucion de a y b, a ∗ b se define como la sucesion

(a ∗ b)k =∞∑

j=−∞aj bk−j (2.28)

siempre que el lado derecho de la igualdad tenga sentido.

Proposicion 2.3.1. Sea a = {ak} ∈ `1(Z) y b ∈ `2(Z). Entonces a∗ b ∈`2(Z) y

‖a ∗ b‖`2 ≤ ‖a‖`1‖b‖`2 . (2.29)

Teorema 2.3.4. Si s > 12 , el espacio Hs

per es un algebra de Banachcon respecto al producto de funciones. Esto es, si f, g ∈ Hs

per, entoncesfg ∈ Hs

per y vale‖fg‖s ≤ cs ‖f‖s‖g‖s. (2.30)

Ejercicios

1. Pruebe el Teorema 2.1.1 y Corolarios 2.1.1y 2.1.2.

2. Suponga que f es integrable en [−π, π] pruebe que

12π

π∫

−π

∣∣f(x)− SN (f)(x)∣∣2 dx → 0 cuando N →∞.

y

2π∞∑

k=−∞|f(k)|2 = ‖f‖2

L2 . (2.31)

3. (Riemann-Lebesgue) Si f es integrable en [−π, π], pruebe f(k) → 0cuando |k| → ∞.

4. (Criterio de Dini) Si para algun x existe δ > 0 tal que∫

|t|<δ

∣∣∣f(x + t)− f(x)t

∣∣∣ dt < ∞.


Pruebe quelım

N→∞SN (f)(x) = f(x).

5. Pruebe que el espacio Ckper([−L,L]) con la norma Lp no es un

espacio completo.

6. Pruebe la Proposicion 2.1.1.

7. Pruebe el Lema 2.1.1.

8. Pruebe el Teorema 2.1.5.

9. Pruebe el Corolario 2.1.4.

10. Muestre que {ak}k∈Z ∈ S(Z) si y solo si

‖a‖∞,j = supk∈Z

(|ak||k|j).



13. Pruebe la Proposicion 2.3.1.


22 Felipe Linares

Capıtulo 3

Problemas de Valor Inicialpara las EcuacionesDispersivas Lineales

Consideraremos una ecuacion diferential parcial con coeficientes cons-tantes de tipo dispersivo y estudiaremos la evolucion de la solucion cuan-do un dato inicial sea dado, esto es,

{P (∂t, ∂x)u = 0, x ∈ R (x ∈ T), t ∈ R,

u(x, 0) = φ(x).(3.1)

Este problema es llamado problema de valores iniciales o problemade Cauchy. Estamos interesados en demostrar la existencia de solu-ciones para el problema (3.1). Una vez esto sea establecido la preguntanatural que aparece es si la solucion encontrada es unica, nos referimosa este punto como unicidad de la solucion. En general los modelos consi-derados en (3.1) provienen de modelos fısicos, como la teorıa de ondas deagua, optica, propagacion de ondas en fısica del plasma, etc. Entoncestenemos que estudiar lo que ocurre cuando hay cambios en los datosiniciales y el efecto que se produce en las soluciones correspondientes.Lo ideal serıa que pequenos cambios en el dato inicial la solucion corre-spondiente no sufra grandes cambios. Esos tres aspectos sobre solucionesdel problema (3.1) pueden resumirse en la siguiente definicion.

Definicion 3.0.3. Si existe T > 0 para el cual la existencia, unicidad

23

24 Felipe Linares

y continua dependencia de los datos iniciales, esto es, sea {φn} unasucesion de funciones en el espacio funcional X y φ ∈ X tal que φn

X→φ, entonces las soluciones un del problema (3.1) con dato inicial φn

satisfazen un(t) X→ u(t), donde u es la solucion con dato inicial φ, seagarantizado para el problema (3.1), diremos que el problema de valorinicial esta bien planteado. Si T es finito diremos que el problema(3.1) esta localmente bien planteado. Caso contrario diremos queesta globalmente bien planteado.

3.1. Problema Lineal Homogeneo

Comenzaremos definiendo el dominio del operador tres derivadas.

Dom(D3x) = {f ∈ L2([−π, π]) : f (3) ∈ L2([−π, π])}

= {f ∈ L2([−π, π]) : {ik3f(k)} ∈ `2(Z)}(3.2)

D3xf = i

d3

dx3f, f ∈ Dom(D3

x) (3.3)

Usando la identidad de Parseval podemos definir el siguiente operdorde multiplicacion,

Dom(MS) = {α ∈ `2(Z) : {eik3tf(k)} ∈ `2(Z)}(MSα)k = eik3t αk, k ∈ Z, α ∈ Dom(MS)

= Ft(D3x)f

(3.4)

donde Ft(k) = etk.Para f ∈ Dom(D3

x) definimos el operador

S(t)f(x) =∑

k∈Zf(k)eik3teikx. (3.5)

A continuacion estudiaremos el problema de valor inicial asociado ala ecuacion linealizada KdV, esto es,

u(·, t) ∈ C3per([−π, π]), t ≥ 0

∂tu + ∂3xu = 0, em ([−π, π]× (0,∞)

u(x, 0) = f(x), x ∈ ([−π, π].

(3.6)


Usando transformada de Fourier obtenemos que{

∂tu(k, t) + (ik)3u(k, t) = 0,

u(k, 0) = f(k),(3.7)

o

d

dtu(k, t)− ik3u(k, t) = 0,

u(k, 0) = f(k),(3.8)

cuya solucion para cada k y t > 0 es dada por

u(k, t) = f(k) eik3t.

Luego una solucion formal para el problema (2.10) es dada por

u(x, t) =∞∑

k=−∞f(k) eik3teikx. (3.9)

Ası tenemos que

∂tu(x, t) =∞∑

k=−∞ik3f(k) eik3teikx

=∞∑

k=−∞−(ik)3f(k) eik3teikx

= −∂3xu(x, t)

(3.10)

esto es,∂tu + ∂3

xu = 0.

Ademas,

u(x, 0) = f(x) =∞∑

k=−∞f(k) eikx

pues f ∈ C3per([−π, π]). Nuestro objetivo ahora es reinterpretar el proble-

ma de valores iniciales (3.6) como un problema de valores iniciales parauna ecuacion diferencial ordinaria en el espacio de Hilbert L2([−π, π]).Sean entonces v(t) = u(·, t) = S(t)f y w(t) = ∂tu(·, t). Observe que

26 Felipe Linares

v(t) ∈ L2([−π, π]). De hecho, usando la identidad de Parseval (2.9),tenemos que

‖v(t)‖2L2 = ‖S(t)f‖2

L2 = 2π∞∑

k=−∞|f(k) eik3t|2

= 2π∞∑

k=−∞|f(k)|2 = ‖f‖2

L2 ,

y por lo tanto v : [0,∞) 7→ L2([−π, π]).Por otro lado,

f ∈ C3per([−π, π]) ⊆ Dom(D3

x)

y w(t) =∞∑

k=−∞ik3f(k) eik3teikx converge en L2([−π, π]) en t = 0 y por

lo tanto w : [0,∞) 7→ L2([−π, π]). Deseamos demostrar que

lımh→∞

∥∥∥v(t + h)− v(t)h

− w(t)∥∥∥

L2= 0. (3.11)

Definicion 3.1.1. Si J es un intervalo y ψ : J 7→ L2([−π, π]) es unafuncion, decimos que ψ es diferenciable en t0 ∈ J en el sentido deL2([−π, π]) si existe el lımite

lımt→t0t∈J

ψ(t)− ψ(t0)t− t0

=dψ

dt(t0)

en la norma L2([−π, π]).

Usando la identidad de Parseval (2.31) obtenemos∥∥∥v(t + h)− v(t)

h− w(t)

∥∥∥2

L2

= 2π

∞∑

k=−∞

∣∣∣eik3tf(k){eik3h − 1

h− ik3

}∣∣∣2

= 2π∞∑

k=−∞

∣∣∣f(k)( ik3

h

h∫

0

eik3τdτ − ik3)∣∣∣

2

= 2π∞∑

k=−∞|f(k)k3|2

∣∣∣1h

h∫

0

(eik3τ − 1) dτ∣∣∣2.

(3.12)


Como f ∈ Dom(D3x) para cada t ≥ 0 y ε > 0 podemos escoger Nε ∈ Z+

tal que

2π∑

|k|>Nε

|f(k)k3|2 <ε2

2(3.13)

y δ > 0 tal que si δ < t/2 para t > 0 y |h| < δ

2π( ∑

|k|≤N

|f(k)k3|2) max|k|<N

∣∣∣1h

h∫

0

(eik3τ − 1) dτ∣∣∣2≤ ε2

2. (3.14)

Combinando (3.12), (3.13) y (3.14) tenemos que∥∥∥v(t + h)− v(t)

h− w(t)

∥∥∥L2

< ε. (3.15)

es decir v es diferenciable con derivadadv

dten el sentido de L2([−π, π])

para todo t ∈ [0,∞). Por otro lado, de la expansion em series para w(t)vemos que

w(t) =∞∑

k=−∞ik3 (S(t)f)(k) eikx

= −∞∑

k=−∞(ik)3v(t)(k) eikx

= iD3xv(t).

(3.16)

Resumiendo hemos resuelto el problema de valores iniciales

v(t) ∈ Dom(D3x), para todo t ≥ 0

dv

dt= iD3

xv

v(0) = f ∈ Dom(D3x)

(3.17)

Como f ∈ C3per([−π, π]) implica que f ∈ Dom(D3

x) sigue que dadaf ∈ Dom(D3

x) una funcion

v(t) = S(t)f(:= eit∂3xf), t ≥ 0 (3.18)

es solucion de (3.17). Ademas el problema (3.17) esta bien planteado enL2([−π, π]). De hecho, tenemos el resultado siguinte.

28 Felipe Linares

Teorema 3.1.1. El problema (3.17) esta bien planteado en L2([−π, π]),esto es, para cada f ∈ Dom(D3

x), existe una unica solucion v de (3.17),ademas, la solucion depende continuamente del dato inicial en el sentido

L2, i.e. si {fn} ⊆ Dom(D3x) y fn

L2→ f , entonces vn(t) L2→ v(t) para todot ≥ 0, donde vn(t) es la solucion de (3.17) con condicion inicial fn.

Demostracion. Como observamos antes la funcion (3.18) es solucion de(3.17). Veamos primero que la dependencia continua de los datos inicialesse satisface. Usando la identidad de Parseval obtenemos

‖vn(t)− v(t)‖2L2 = 2π

∞∑

k=−∞|eik3t(fn(k)− f(k))|2

= 2π∞∑

k=−∞|fn(k)− f(k)|2

= ‖fn − f‖2L2 .

(3.19)

Por lo tanto si fnL2→ f entonces vn(t) L2→ v(t). Para finalizar probaremos

la unicidad. Suponga que u : [0,∞) 7→ L2([−π, π]) es solucion de (3.17)entonces aplicando la transformada de Fourier tenemos que

u ∈ Dom(MS), para todo t ≥ 0,d

dtu(k, t) = ik3u(k, t), para todo t ≥ 0,

u(k, 0) = f(k)

(3.20)

para todo k ∈ Z. Pero para cada k ∈ Z el problema (3.20) tiene unaunica solucion, a saber,

u(k, t) = f(k)eik3t = v(k, t), para todo t ≥ 0. (3.21)

Por la unicidad de la transformada de Fourier, u ≡ v.

3.2. Problema Lineal no Homogeneo

En esta seccion usaremos la teorıa desarrollada para estudiar el pro-blema (3.6) en el siguiente caso llamado problema lineal no homogeneo


u(·, t) ∈ C3per([−π, π]), t ≥ 0

∂tu + ∂3xu = F (x, t), en [−π, π]× (0,∞)

u(x, 0) = f(x), x ∈ [−π, π]

(3.22)

donde F es una funcion en C([−π, π], [0,∞)).Como en el caso lineal el problema sera reduzido a estudiar la ecuacion

diferencial ordinaria en espacios Hilbert

v(t) ∈ Dom(D3x), para todo t ≥ 0,

dv

dt= iD3

xv + F (x, t),

v(0) = f ∈ Dom(D3x).

(3.23)

Teorema 3.2.1. El problema (3.23) esta bien planteado en L2([−π, π]),esto es, para cada f ∈ Dom(D3

x), y F ∈ C([−π, π], [0,∞)) existe unaunica solucion v de (3.23), ademas, la solucion depende continuamente

del dato inicial en el sentido L2, es decir, si {fn} ⊆ Dom(D3x) y fn

L2→ f ,

entonces vn(t) L2→ v(t) para todo t ≥ 0, donde vn(t) es la solucion de(3.23) con condicion inicial fn.

La prueba de este resultado se dejara como ejercicio. El nuevo elemen-to en la prueba es la formula de variacion de parametros o formula deDuhamel, esto es, soluciones del problema (3.23) se pueden representarformalmente por la formula

v(x, t) = S(t)f +

t∫

0

S(t− t′)F (x, t′) dt′. (3.24)

Ejercicios

1. Pruebe que la solucion u(x, t) del problema

{∂tu + ∂3

xu = F (x, t), x ∈ T, t ∈ R,

u(x, 0) = u0(x),(3.25)

30 Felipe Linares

con F ∈ C(R : P), es dada por la formula

u(x, t) = S(t)f +

t∫

0

S(t− t′)F (x, t′) dt′ (3.26)

donde S(t) fue definido en (3.5).


3. Una familia de operadores {Tt}∞t=−∞ definido en un espacio deHilbert H es llamado un grupo unitario de operadores si

(i) Para todo t ∈ R, Tt : H 7→ H es una isometria; lo que implicaque

‖Ttf‖H = ‖f‖H .

(ii) Tt Tt′ = Tt+t′ con T−1t = T−t.

(iii) T0 = 1.

(iv) Fijando f ∈ H, la funcion Φf : R 7→ H definida por Φf (t) =Ttf es una funcion continua, es decir, describe una curva enH.

Pruebe que {S(t)}∞t=−∞ es un grupo unitario de operadores enHs

per.

4. Use los ejercicios 3.1 y 3.3 para probar que el problema (3.25)esta bien colocado para datos en Hs

per.

Capıtulo 4

Ecuaciones Dispersivas NoLineales

En este capıtulo haremos una breve introduccion a los modelos dis-persivos no lineales usando como ejemplos ecuaciones provenientes dela teorıa de ondas de agua. Luego describiremos algunas propiedadesintrınsecas en los modelos dispersivos y finalmente discutiremos sobresoluciones de tipo ondas viajeras y cantidades conservadas.

El primer ejemplo es la ecuacion de Korteweg-de Vries,

vt + vxxx + vvx = 0, x ∈ R, t ∈ R (4.1)

donde v es una funcion real. Esta ecuacion modela la propagacion deondas en un canal de aguas rasas. La situacion fısica es la siguiente:se considera un cuerpo de agua de profundidad finita bajo la influenciade la gravedad, acotada inferiormente por una superficie impermeable.Ignorando los efectos de viscosidad y suponiendo que el fluido es incom-presible e irrotacional, el movimiento es gobernado por las ecuacionesde Euler con condiciones convenientes de frontera en la superficie rıgiday sobre la interface agua-aire. La funcion v representa la superficie libre.Esta ecuacion fue deducida por Korteweg y de Vries [36].

La ecuacion de Schrodinger cubica es la ecuacion diferencial parcial

iut + uxx + |u|2u = 0, x ∈ R, t ∈ R, (4.2)

donde u es una funcion compleja. Este modelo aparece en varias situa-ciones fısicas, como optica, plasma fısica y ondas de agua. En este ultimo

31

32 Felipe Linares

contexto, u representa la amplitud del paquete de ondas que se propagaen una direccion sobre un canal o sobre el oceano.

El tercer ejemplo es la ecuacion de Benjamin-Ono, esto es,

wt + Hwxx + wwx = 0, x ∈ R, t ∈ R, (4.3)

donde H denota la transformada de Hilbert y w es una funcion real. Estaecuacion aparece en el modelaje de fluidos estratificados y fue deducidapor Benjamin [5] y Ono [42]. La funcion w representa la interface de dosfluidos con densidades ρ1 y ρ2, respectivamente. El primero esta limitadosuperiormente por una superficie fija con profundidad finita, el segundofluido tiene profundidad infinita.

4.1. Propiedades

Consideramos el problema de valores iniciales{

i∂tω − φ(−i∇)ω = F (w), x ∈ Rn, t ∈ Rω(x, 0) = ω0(x) ∈ X.

(4.4)

donde φ es una funcion real medible y F una funcion no lineal de ω yposiblemente sus derivadas.

En general, la no linealidad produce algunas obstrucciones como laperdida de derivadas para aplicar la teorıa clasica desarrollada para es-tudiar el problema de valor inicial, como estimaciones de energıa, regu-larizacion parabolica, teorıa cuasi-lineal de Kato, etc.

Aunque estos metodos clasicos en algunas situaciones producen resul-tados de buena colocacion local los espacios donde son obtenidos estosresultados se realizan exigen mucha regularidad que no nos permite usarlas llamadas leyes o cantidades conservadas (seccion 4.2.2 abajo). Estascantidades son importantes para establecer estimaciones “a priori” peroen general se satisfacen en espacios con poca regularidad (L2, H1, . . . ).

Para resolver el problema (4.4), en lugar de considerar el sistema deecuaciones diferenciales parciales el procedimiento padron es estudiarla ecuacion integral equivalente. Siguiendo el argumento usado en elcapıtulo anterior para estudiar la ecuacion lineal de Korteweg-de Vries nohomogenea, es decir, usando la formula de Duhamel nosotros podemos


escribir la solucion de (4.4) como,

ω(x, t) = W (t)ω0 +

t∫

0

W (t− t′) F (ω(t′)) dt′ (4.5)

donde {W (t)} es el grupo unitario asociado al problema lineal.En lo que sigue describiremos dos metodos que han sido desarrollados

recientemente y que han sido aplicados para obtener resultados optimosrelacionados a la teorıa local y global de buena colocacion para sistemasdel tipo (4.4). Los distinguiremos como metodo de las estimaciones li-neales y el metodo de las estimaciones no lineales.

4.1.1. Estimaciones Lineales

El metodo consiste en estudiar y explotar el caracter dispersivo desoluciones del problema lineal asociado. Tecnicas propias del AnalisisArmonico son usadas para esto.

Consideramos el problema lineal{

i∂tω − φ(−i∇)ω = 0, x ∈ Rn, t ∈ Rω(x, 0) = ω0(x) ∈ X

(4.6)

cuya solucion es dada por

ω(t) = W (t)ω0 =(eitφ(ξ)ω0(ξ)

)∨.

El primer tipo de regularidad que obtenemos para las soluciones de(4.6) proviene de las llamadas estimaciones de Strichartz o estima-ciones Lp − Lq. En el caso particular de la ecuacion de Schrodinger fueestablecida la siguiente desigualdad por Strichartz [46],

( ∞∫

−∞

∫

Rn

|eit∆f(x, t)|2(n+2)/n dxdt)n/2(n+2)

≤ c‖f‖L2 .

Lo cual implica que localmente en el tiempo la solucion esta en un espaciomas regular que el espacio del dato inicial. Generalizaciones de este tipode estimaciones han sido desarrolladas por varios autores como Ginibre

34 Felipe Linares

y Velo ([20], [21]) y Kenig, Ponce y Vega [34], entre otros. Establecerversiones optimas de este tipo de estimaciones sigue siendo parte activade investigacion en el area.

El segundo grupo de estimaciones son los llamados efectos regulari-zantes de tipo Kato. Como ejemplo tenemos la observacion realizadapor T. Kato [30] ( vea tambien Kruzhkov y Faminskii [37]). En su es-tudio de la buena colocacion del problema de valor inicial asociada a laecuacion de Korteweg-de Vries, Kato demostro que las soluciones satis-facen

( T∫

−T

R∫

−R

|∂xv(x, t)|2 dxdt)1/2

≤ C(T, R) ‖v0‖L2 .

Esta desigualdad dice que localmente la solucion de la ecuacion KdV esmas suave (una derivada) que su dato inicial. Esta propiedad es intrınsicaen las ecuaciones dispersivas y es fundamental para resolver el problemade perdida de derivadas en una ecuacion no lineal. Extensiones de esteresultado fueron obtenidas por Constantin y Saut [11], Vega [49] y Sjolin[44].

En particular, si φ(ξ) ∼ |ξ|α se tiene que

( T∫

−T

∫

|x|≤R

|(−∆)(α−1)/4ω(x, t)|2 dxdt)1/2

≤ C(T,R) ‖ω0‖L2 .

Resultados optimos de este tipo de efectos fueron obtenidos por Kenig,Ponce y Vega [34] para soluciones de problemas lineales homogeneos yno homogeneos.

Para completar el grupo de estimaciones para establecer la existenciade soluciones para la ecuacion integral (4.5) necesitamos estimacionespara las funciones maximales asociadas a la solucion del problemalineal. Mas precisamente, estimaciones del tipo

(∫

Rn

sup[−T,T ]

|ω(x, t)|p dx)p/2

≤ C(T ) ‖ω0‖Hs .

Este tipo de estimaciones son tema de investigacion en Analisis Armo-nico independiente del estudio de las ecuaciones diferenciales parciales.


Para ecuaciones de tipo dispersivo resultados importantes han sido es-tablecidos por Kenig y Ruiz [35] y Kenig, Ponce y Vega [33] entre otros.

Una vez que este tipo de estimaciones han sido conseguidas se consi-dera la forma integral equivalente del problema de valores iniciales (4.5)y se le asocia un operador, digamos,

Φ(ω(t)) = W (t)ω0 +

t∫

0

W (t− t′)F (ω)(t′) dt′. (4.7)

y se procede a mostrar la existencia de solucion para esta ecuacion in-tegral vıa el principio de contraccion en un espacio determinado por lasestimaciones anteriores junto con el espacio natural para estudiar lasecuaciones dispersivas, los espacios de Sobolev.

4.1.2. Estimaciones No Lineales

En 1993 Bourgain [7] introdujo el siguiente espacio para estudiar lasecuaciones NLS y KdV,

‖f‖Xs,b=

(∫∫〈ξ〉2s〈τ + φ(ξ)〉2b

∣∣f(ξ, τ)∣∣2dτdξ

) 12

donde 〈·〉 = 1 + | · |. Estos espacios son conocidos en la literatura comoespacios de Restriccion de la Transformada de Fourier o espaciosde Bourgain.

Note que‖f‖Xs,b

= ‖W (−t)f‖Hbt (R,Hs

x). (4.8)

Debido a la definicion de los espacios Xs,b tenemos que considerar laecuacion integral (4.5) cortada por una funcion suave ψ(t) con soportecompacto. Digamos, ψ(t) ∈ C∞

o (R) tal que ψ ≡ 1 para |t| ≤ 1 y ψ(t) ≡ 0para |t| > 2. Definiendo ψT (t) = ψ(t/T ), para T > 0, queda entonces laecuacion integral,

ω(t) = ψT W (t)ω0 + ψT

t∫

0

W (t− t′)F (ω)(t′) dt′.

El argumento de prueba es similar al caso lineal y debido a (4.8)solo necesitamos estimar la parte no lineal. En este paso aparece ladesigualdad

36 Felipe Linares

‖ψT

t∫

0

W (t− t′)F (ω)(t′) dt′‖Xs,b≤ cT θ(b) ‖F (ω)‖Xs,b−1

.

El problema se reduce a obtener estimaciones del tipo

‖F (ω)‖Xs,b−1≤ cTα(b,b′)‖ω‖p

Xs,b. (4.9)

Para establecer esta ultima desigualdad es importante que el sımboloposea una cierta simetrıa, como veremos en el proximo capıtulo.

Una herramienta muy util para tratar de demostrar una desigualdaddel tipo (4.9) es la llamada Estimacion Bilineal.

Kenig, Ponce y Vega [31] para la ecuacion KdV obtuvieron una esti-macion del tipo anterior, es decir,

‖∂x(v2)‖Xs,b−1≤ cTα(b,b′)‖v‖2

Xs,b

vıa la forma bilineal

B(f, f, s, b) = 〈ξ〉s〈τ − φ(ξ)〉1−b|ξ|×∫∫

R2

f(ξ1, τ1)f(ξ − ξ1, τ − τ1) dτ1dξ1

〈ξ1〉s(〈τ1 − φ(ξ1)〉b〈ξ − ξ1〉s〈(τ − τ1)− φ(ξ − ξ1)〉b dτ1dξ1.

No siempre es posible apenas usar los espacios de Bourgain y las esti-maciones bilineales para establecer buena colocacion local. El uso de lasestimaciones de Strichartz y los efectos regularizantes tambien entranen juego cuando no es suficiente usar las herramientas anteriores.

La gran diferencia entre este caso que estamos describiendo y el casoperiodico es que en el segundo los efectos regularizantes no estan a dis-posicion y tambien es difıcil establecer en varias situaciones estimacionesde Strichartz. Sin embargo, los espacios introducidos por Bourgain en suversion periodica son utiles para el estudio del problema de valor inicialen el caso periodico.

4.2. Ondas Viajeras

Una propiedad muy interesante de las ecuaciones dispersivas no linea-les es la de poseer soluciones especiales del tipo u(x, t) = φ(x − ct) (en


el caso unidimensional), donde c es la velocidad de propagacion de la“onda”. Estas soluciones son llamadas ondas viajeras o ondas solitarias.La existencia de este tipo de soluciones mide de alguna manera el ba-lance entre la no linealidad y la dispersion de la ecuacion considerada.A continuacion demostraremos la existencia de ondas estacionarias parala ecuacion KdV.

Antes de hacer esto observamos que en la teorıa de sistemas integrables(“inverse scattering”) este tipo de soluciones son llamados de “solitons”cuando la ecuacion correspondiente es “completamente integrable”, elcual es el caso de la ecuacion KdV. Para el lector interesado en estetopico referimos a [1]. Aunque este topico esta fuera del objetivo delas notas en la ultima seccion de este capıtulo comentaremos sobre unapropiedad que caracteriza a los sistemas completamente integrables.

Consideramos la ecuacion KdV en su forma originalmente deduzida(un cambio de variables transforma esta en la forma dada en (4.1)), esdecir,

vt + c0vx + σvxxx +3c0

2h0vvx = 0, (4.10)

y buscamos por soluciones de la forma

v(x, t) = h0 φ(X), X = x− ct, (4.11)

para alguna funcion φ y una velocidad de onda c constante. Deter-minaremos φ y c substituyendo (4.11) en la ecuacion (4.10) y usandoque σ = 1

6c0h20 obtendremos

16h2

0φ′′ +

34c0

φ2 +(1− c

c0

)φ + B = 0 (4.12)

donde B es una constante de integracion. Multiplicando esta ultimaecuacion por φ′ y integrando una vez mas tenemos que

13h2

0(φ′)2 +

1c0

φ3 + 2(1− c

c0

)φ2 + 4Bφ + D = 0 (4.13)

donde D es una constante.Buscamos una solucion tipo onda viajera (solitaria) con condiciones

de frontera φ, φ′, φ′′ → 0 cuando |X| → ∞. Por lo tanto B, D = 0 y(4.13) se vuelve

13h2

0(φ′)2 + φ2(φ− ρ) = 0

38 Felipe Linares

donde ρ = 2( cc0− 1).

Finalmente, tenemos que

X =

φ∫

0

dφ

φ′=

(h20

3

)1/2φ∫

0

dφ

φ√

(ρ− φ),

haciendo la substitucion φ = ρ sech2θ tenemos que

X −X0 =(4h2

0

3ρ

)1/2θ

para alguna constante de integracion X0. Por lo tanto la solucion paraφ(X) es

φ(X) = ρ sech2[( 3ρ

4h20

)1/2(X−X0)

]. (4.14)

Observe que la solucion φ(X) cresce desde φ = 0 cuando X → +∞ demanera que alcanza su valor maximo φ = φmax = α en X = 0 e decrescesimetricamente a φ = 0 cuando X → −∞, esto implica que X0 ≡ 0.

Por lo tanto la solucion final es

v(x, t) = η0 sech2[( 3α

4h20

)1/2(x− ct)

](4.15)

donde η0 = αh0 y la velocidad de onda es

c = c0

(1 +

α

2

)= c0

(1 +

12

η0

h0

).

Para finalizar esta seccion debemos mencionar que el estudio de exis-tencia, unicidad, estabilidad (orbital) e inestabilidad de las ondas via-jeras ha sido de gran interes en anos recientes. En el proximo capıtulocomentaremos algunos resultados en esta direccion para el modelo con-siderado allı. El lector puede consultar [2], [3], [5], [6], [22], [24], [25],[47], [50].

4.2.1. Ondas Periodicas

En el caso periodico tambien es posible obtener soluciones de tipoonda viajera. Asıcomo veremos abajo, soluciones explıcitas en general


aparecen en terminos de las funciones elipticas de Jacobi. El estudio deexistencia y estabilidad de las ondas periodicas presenta una dificultadmayor que el caso continuo (vea [2], [3]).

Consideramos la ecuacion de Korteweg-de Vries en la forma (4.10).Como en la seccion anterior hacemos v(x, t) = h0 f(X), con X = x− ct,y substituimos en (4.10), lo cual produce

h20

3(f ′)2 = − 1

c0f3 + αf2 − 4Bf −D = F (f). (4.16)

Buscamos soluciones reales acotadas para f(X). Como (f ′)2 ≥ 0 yvaria monotonamente hasta f ′ ser cero, los ceros de la cubica F (f) soncruciales. Para obtener soluciones acotadas todos los tres ceros f1, f2, f3

deben ser reales. Sin perdida de generalidad, escogemos f1 = 0 y f2 = α.El tercer cero debe ser negativo asıque ponemos f3 = α−β con 0 < α <β. Luego la ecuacion para f(X) es:

h20

3( df

dX

)2 = f(f − α)(f − α− β)

o √3h2

0

dX = − df

[f(f − α)(f − α− β)]1/2(4.17)

donde c = c0

(1 + 2α−β

2

). Colocando α− f = p2 en (4.16) obtenemos

√3h2

0

dX =dp

[(α− p2)(β − p2)]1/2. (4.18)

Luego substituyendo p =√

αq obtenemos

( 3β

4h20

)1/2X =

q∫

0

dq

[(1− q2)(1−m2q2)]1/2donde m =

(α

β

)1/2.

(4.19)La integral en (4.19) es una integral elıptica de primer tipo, y por lotanto q puede ser expresada en terminos de la funcion Jacobiana sn(·),esto es,

q = sn[( 3β

4h20

)1/2X,m

]

40 Felipe Linares

donde m es el modulo de la funcion Jacobiana sn(z,m). En consecuencia,

f(X) = α[1− sn2

( 3β

4h20

)1/2X

]

= α cn2[( 3β

4h20

)1/2X

]

donde cn(z, m) es tambien una funcion Jacobiana elıptica de modulo my cn2(z) = 1− sn2(z).

De la identidad (4.19) deducimos que el perıodo P es dado por

P = 2(4h2

0

3β

)1/21∫

0

dq

[(1− q2)(1−m2q2)]1/2

=4h0√3β

K(m) := λ

donde K(m) es la integral elıptica completa de primer tipo definida por

K(m) =

π/2∫

0

dθ

(1−m sen2θ)1/2

y λ denota la longitud de la onda cnoidal.

Observacion 4.2.1. Dos casos lımites son de especial interes

(i) m → 1, es decir, α → β, en este caso cn(z) → sech(z). Entoncesla solucion onda cnoidal se aproxima a la solucion onda solitariaobtenida anteriormente.

(ii) m → 0 (α → 0), en este caso sn(z) → sen z y cn(z) → cos z. Porlo tanto

f(X) = α cos2[( 3β

4h20

)1/2X

]

y

U = c0(1− β

2)

Usando cos(2θ) = 2 cos2 θ − 1 tenemos

f(X) =α

2[1 + cos

(√3β

h0

)X

]


y haciendo k =√

3β√h0

se sigue que

f(X) =α

2[1 + cos(kx− ωt)

]

donde ω = Uk = cos k(1 − 16k2h2

0) recuperando la teorıa linealclasica.

4.2.2. Leyes de Conservacion

En esta seccion describiremos otra propiedad compartida por solu-ciones de sistemas dipersivos no lineales. El hecho de una ecuacion teneresta propiedad es importante para el estudio de la existencia global desoluciones, como tambien el estudio de la estabilidad orbital de ondasviajeras en caso que la ecuacion las posea. Usaremos la ecuacion KdVcomo ejemplo.

Considere la ecuacionTt + Xx = 0 (4.20)

donde T denota la densidad y X el flujo.Si T y X son integrables en −∞ < x < ∞ y X → 0 cuando |x| → ∞

podemos integrar (4.20) y obtener

d

dt

∞∫

−∞T dx = −X

∣∣∞−∞ = 0.

Entonces ∞∫

−∞T dx = constante

y la densidad es conservada.Considere ahora la ecuacion KdV en la forma canonica

ut − 6uux + uxxx = 0. (4.21)

Observe que la ecuacion (4.21) puede ser escrita como

(u)t + (−3u2 + uxx)x = 0

42 Felipe Linares

entonces T = u y X = −3u2 + uxx. Por lo tanto si u es periodica o uy sus derivadas decaen muy rapido para 0 cuando |x| → ∞, obtenemosque

d

dt

∞∫

−∞u dx = 0.

Conservacion de la masa∞∫

−∞u dx = constante.

La segunda ley para la ecuacion (4.21) puede ser obtenida multipli-cando por u de manera que,

(12u2

)t+ (−2u3 − uux − 1

2u2

x)x = 0,

deducimos que

12

∞∫

−∞u2 dx = constante

esto es, la conservacion de energıa.La ecuacion KdV posee un numero infinito de leyes de conservacion.

(vea [41] )

Ejercicios

1. Encuentre soluciones del tipo u(x, t) = eiγtϕ(x) con ϕ una funcionreal, para la ecuacion no lineal de Schrodinger,

i∂tu + ∂2xu + uu = 0, x, t ∈ R. (4.22)

2. Muestre que el flujo generado por la ecuacion no lineal de Schro-dinger,

{i∂tu + ∆u + λ |u|α−1u = 0, x ∈ Rn, t > 0,

u(x, 0) = u0(x)(4.23)

deja invariante las siguientes cantidades:


i) ∫

Rn

|u(x, t)|2 dx,

ii) ∫

Rn

|∇u(x, t)|2 − 2λ

α + 1|u(x, t)|α+1 dx.

44 Felipe Linares

Capıtulo 5

Problemas de Valor Inicialpara las EcuacionesDispersivas No Lineales

En este capitulo aplicaremos las tecnicas descritas brevemente en encapıtulo anterior para el estudio de la buena colocacion local y globaldel problema a valores iniciales asociado al sistema acoplado

{iwt + rwxx − θw + wv = 0,

iσvt + svxx − αv + 12 w2 = 0.

(5.1)

5.1. Modelo

Para motivar el estudio de este sistema vamos en seguida a describirel modelo dado por el sistema de ecuaciones diferenciales parciales en(5.1).

El interes por propiedades no lineales de materiales opticos ha cresci-do en anos recientes entre fısicos e matematicos. Ha sido sugerido queexplotando la respuesta no lineal del material, la capacidad bit-rate delas fibras opticas se puede incrementar substancialmente lo que permi-tirıa una gran mejorıa en la velocidad y en la economia de manipulaciony transmision de datos.

En materiales no centro simetricos, es decir, materiales que no poseeninversion de simetria a nivel molecular, el orden menor de los efectos

45

46 Felipe Linares

no lineales se originan de la susceptibilidad de segundo orden χ(2); es-to significa que la respuesta no lineal de la materia al campo electricoes cuadratica (vea [13], [29]). No linealidades cuadraticas son conocidas(por tiempo largo) por ser responsables por fenomenos tales como gen-eracion de las llamadas segundas armonicas (duplicacion de frecuencia),como por ejemplo la luz laser con frecuencia ω puede ser parcialmenteconvertida a luz de frecuencia 2ω al pasar atraves de un cristal conrespuesta χ(2) (vea [40]). Por lo tanto, tales materiales son de importan-cia en interaciones de ondas parametricas, en procesamiento de senales(ultra-fast all-optical), como tambien en comunicaciones de larga distan-cia (vea [17], [40] para mas informacion sobre χ(2) en fisıca e ingenierıa).

El fenomeno de interes en dos dimensiones, espacio + tiempo, (propa-gacion de pulsos en fibras) es descrito por el siguiente sistema acopladode dos ecuaciones de Schrodinger no lineales

{iwt + rwxx − θw + wv = 0,

iσvt + svxx − αv + 12 w2 = 0.

(5.2)

Este sistema es obtenido de las ecuaciones basicas χ(2) de la gen-eracion de segundas harmonicas (SHG) del tipo I (ver [40]). Las fun-ciones complejas w = w(x, t) y v = v(x, t) representan los paquetesde las amplitudes de la primera y segunda armonica de una onda opti-ca, respectivamente. De esta manera, (5.2) describe la interaccion entreestas armonicas. Tenemos r, s = ±1. Los signos de r y s son determina-dos por los signos de la dispersion /difraccion (casos temporal/espacial,respectivamente). La constante σ mide las razones (relaciones) de ladispersion/difraccion. Los parametros θ e α son constantes reales (sindimension), con α incorporando el “wave-vector mismatch” entre las dosarmonicas ([4], [8]).

Un tema (issue) importante en comunicacion optica en un regimen nolineal es entender las llamadas “ondas solitarias”: ondas paradas (stand-ing) o ondas viajantes, que son soluciones localizadas para (5.2) de laforma

w(x, t) = eiγtφ(x), v(x, t) = e2iγtψ(x) (5.3)

donde φ, ψ : R 7→ R. Cuando especificamos las condiciones de fronteraφ, ψ → 0 cuando |x| → +∞, estas soluciones son llamadas “pulsos”. Es-tamos interesados en “pulsos periodicos”, es decir, φ, ψ que satisfacen las


condiciones de frontera periodicas φ(n)(0) = φ(n)(L), ψ(n)(0) = ψ(n)(L),para todo n ∈ N y un perıodo fijo L.

En el caso r = s = 1 y θ, α > 0, el cual es el regimen mas interesantedesde el punto de vista de la fısica y la ingenieria, los pulsos satisfacenlas equaciones diferenciales ordinarias

{−φ′′ + θ0φ− φψ = 0,

−ψ′′ + α0ψ − 12 φ2 = 0.

(5.4)

conθ0 = θ + γ, y α0 = α + 2σγ.

Un hecho conocido es que para los valores θ0 = α0 = ±1 y φ = ±√2ψ,el sistema (5.4) posee soluciones exatas reales de tipo pulso, esto es,

φ(x) = ± 3√2

sech2(x

2

), ψ(x) = ±3

2sech2

(x

2

), (5.5)

(vea [8], [29]). En [10], usando metodos del calculo de variaciones (el teo-rema del paso de la montana y argumentos del tipo concentracion y com-pacidad), fue probada la existencia de pulsos para todo valor de α0 > 0y θ0 = 1. Con relacion a la forma de las soluciones para (5.4), algunosresultados numericos ([14], [12], [10], [8]) y analıticos ([10], [47]) han sidoobtenidos. Una descripcion del perfil de las soluciones para (5.4) fue da-da en [47] usando la teorıa de bifurcacion homoclınica (framework). Eneste estudio fue mostrada la existencia y unicidad excepto por refleccion((φ, ψ) 7→ (−φ, ψ)), de soluciones que poseen un numero multiple de“humps” (peaks or troughs), llamados “multipulsos” o “N -pulsos”, paravalores α0 < θ0 e α0 suficientemente proximos de θ0. Estas solucionesson generadas de una bifurcacion homoclınica que aparece proximo a un(escenario) de autovalor semi simple. Para α0 = θ0 y α0 proximo a θ0,tambien fue demostrado que soluciones del tipo multipulsos no existen(vea [14], [47] para simulaciones numericas sobre la existencia de mul-tipulsos). Tambien observamos que en [47] fue establecida la existenciade una rama C1 de 1-pulsos para (5.4) parametrizada por α0, para α0

proximo a 1, el cual contiene la solucion explıcita (5.5) para α0 = 1. En[48], fue estudiada la estabilidad y la inestabilidad de la orbita genera-da por los 1-pulsos o multipulsos (φ, ψ) de (5.4) (encontrados en [47]),digamos,

O(φ,ψ) = {(eisφ(x + x0), e2isψ(x + x0))| x0, s ∈ R}. (5.6)

48 Felipe Linares

Haciendo uso de la teorıa de Grillakis, Shatah y Strauss [24],[25] fueronderivadas condiciones para mostrar la estabilidad no lineal o inestabili-dad de los 1-pulsos. Ademas, aplicando un crıterio de inestabilidad in-troducido por Grillakis [23] (vea tambien Grillakis [22] y Jones [28]), fuedemostrado el hecho notable que soluciones N -pulsos son inestables parael flujo del sistema acoplado de ecuaciones no lineales de Schrodinger(5.2).

En el caso periodico el estudio fue desarrollado en [3] por Angulo yLinares. Ademas del resultado de buena colocacion local que describire-mos luego, los siguientes resultados relativos a las ondas solitarias fueronobtenidos:

Existencia de una familia no trivial de soluciones periodicas para(5.4) en el regimen θ0 = α0. De manera mas precisa, para θ > 0fijo, bajo las siguientes condiciones:

i) γ >4π2

L2− θ,

ii) α, σ > 0 tal que α + 2σγ = θ + γ,

iii) φ =√

2 ψ,

(5.7)

se obtiene ψ = ψγ satisfaciendo la ecuacion diferencial

ψ′′(ξ)− (θ + γ)ψ(ξ) + ψ2(ξ) = 0, ξ ∈ R, (5.8)

tal que

γ ∈(4π2

L2− θ, +∞

)7→ ψγ ∈ H1

per([0, L])

es una rama suave de soluciones. Mas, el perfil de cada ψγ es unaonda cnoidal, esto es,

ψ(ξ) = ψ(ξ; β1, β2, β3) = β2 +(β3−β2)cn2[√β3 − β1

6ξ; k

], (5.9)

donde cn(·; k) representa una funcion eliptica de Jacobi de modulok, los βi’s son funciones suaves de γ con β1 < 0 < β2 < β3,Σβi = 3(θ + γ)/2 y

k2 =β3 − β2

β3 − β1.


Esta familia de soluciones para (5.9) son pulsos periodicos posi-tivos, que son pares y monotonamente decrecientes entre los maxi-mos ψ(0) = β3 (humps) y los mınimos positivos ψ(L

2 ) = β2 (trou-ghs).

Con relacion a la estabilidad no lineal de la orbita (5.6), se pruebaque esta es estable en H1

per([0, L])×H1per([0, L]) por el flujo periodi-

co de el sistema (5.2). Estos resultados son derivados de la teorıade Grillakis, Shatah y Strauss ([24]) y la teorıa de Floquet aplicadaal problema de autovalores periodicos para la forma Jacobiana dela ecuacion de Lame

d2Λdx2

+ [ρ− 12k2 sn2(x; k)]Λ = 0

Λ(0) = Λ(2K), Λ′(0) = Λ′(2K),(5.10)

donde sn(·; k) es una ecuacion elıptica de Jacobi y K = K(k) laintegral elıptica completa de primer tipo.

Tambien es provado que la orbita

S(φ,ψ) = {(√

2eiγsψγ(x), e2iγsψγ(x))| s ∈ R}, (5.11)

es inestable en H1per([0, 2L])×H1

per([0, 2L]).

5.2. Problema de Valores Iniciales

Con relacion a la buena colocacion del PVI asociado al sistema (5.2)vamos a establecer la teorıa local y global en los espacos Hs([0, L]) ×Hs([0, L]) para s ≥ 0. Para demostrar la teorıa local usaremos los espa-cios Xs,b introduzidos por Bourgain en [7] y las estimaciones bilinealesintroducidas por Kenig, Ponce y Vega [31] para estudiar el PVI asocia-do a la ecuacion de Korteweg-de Vries. Mas precisamente, usaremos elmetodo empleado por Kenig, Ponce y Vega [32] para estudiar las sigui-entes ecuaciones de Schrodinger no lineales,

∂tu = i∂2xu + Nj(u, u), x ∈ R (T), t ∈ R, (5.12)

donde la no linealidad Nj(u, u), j = 1, 2, 3, es un polinomio cuadratico,es decir, N1(u, u) = u2, N2(u, u) = uu, e N3(u, u) = u2.

50 Felipe Linares

En estas notas estamos interesados en las nolinealidades N1 y N2.Para explicar os resultados em [32] relacionados a estas nolinealidadesnecesitamos de la siguiente definicion.

Definicion 5.2.1. Sea A el espacio de funciones f tal que

(i) f : T× R→ C.

(ii) f(x, ·) ∈ S para cada x ∈ T.

(iii) f(·, t) ∈ C∞(T) para cada t ∈ R.

Para s, b ∈ R definimos el espacio Ys,b como o completamiento de A conrelacion a la norma

‖F‖Ys,b= ‖〈n〉s〈τ − n2〉b F (n, τ)‖`2nL2

τ. (5.13)

Para F ∈ Ys,b considere los operadores bilineares

B1(F, F ) = F 2 (5.14)

yB2(F, F ) = FF. (5.15)

Kenig, Ponce y Vega en [31] demostraron que dado s ∈ (−1/2, 0] existeb ∈ (1/2, 1) tal que

‖B1(F, F )‖Ys,b−1≤ c‖F‖2

Ys,b(5.16)

y que para s < −1/2 y cualquier b ∈ R la estimacion(5.16) falla.Por otro lado, dado cualquier s < 0 e b ∈ R ellos probaron que la

estimacion‖B2(F, F )‖Ys,b−1

≤ c‖F‖2Ys,b

(5.17)

falla y es valida para s ≥ 0.Estas estimaciones producen resultados de buena colocacion optimos

para os problemas periodicos asociados a (5.12) para datos iniciales enHs(T), s > −1/2 cuando la naolinealidad es N1 y en Hs(T), s = 0, parala nolinealidad N2.

Cuando σ = 1, podemos reproduzir las estimaciones (5.16) y (5.17)para cualquier s ≥ 0 y algun b ∈ (1/2, 1) para el sistema (5.2). Estas


son las estimaciones principales para obtener los resultados locales. Ob-servemos que para σ 6= 1 puede probarse las estimaciones (5.16) y (5.17)para s > −1/2 y algun b ∈ (1/2, 1). Este hecho no sera demostrado enestas notas.

Para probar los resultados globales Hs(T) × Hs(T), s ≥ 0 sera sufi-ciente usar la teorıa local y la ley de conservacion.

F(t) :=∫ [|w(x, t)|2 + 2σ|v(x, t)|2] dx = F(0) (5.18)

5.3. Teorıa Local de Buena Colocacion

En esta seccion demostraremos el resultado local para el problemaperiodico

iwt + wxx − θ w + wv = 0, x ∈ [0, L], t ∈ R,

iσvt + vxx − α v + 12w2 = 0,

w(x, 0) = w0(x), v(x, 0) = v0(x)

(5.19)

donde θ, α ∈ R y σ > 0, en los espacios de Sobolev periodicos Hs([0, L])×Hs([0, L]). Para simplificar el analisis usaremos L = 2π.

Primero escribimos el sistema (5.19) como

iwt + wxx − θ w + wv = 0, x ∈ [0, L], t ∈ R,

ivt + a vxx − α v + a2w2 = 0,

w(x, 0) = w0(x), v(x, 0) = v0(x)

(5.20)

donde a = 1/σ y α = α/σ.Luego consideramos el sistema equivalente de ecuaciones integrales

asociado a (5.20). Sea ψ una funcion C∞0 (R) con suporte suppψ ⊂

(−2, 2) tal que ψ(t) = 1, para t ∈ [−1, 1]. Sea ψT (·) = ψ(·/T ).

w(t) = ψ1W (t)w0 − i ψT

t∫0

W (t− t′)w v(t′) dt′

v(t) = ψ1V (t)v0 − ia

2ψT

t∫0

V (t− t′)w2(t′) dt′,(5.21)

52 Felipe Linares

donde W (t) = eit(∂2x−θ) y V (t) = eit(a∂2

x−α) son los generadores deSchrodinger (grupos unitarios) correspondientes al problema lineal defi-nidos como

W (t)φ =∑k∈Z

e−it(k2+θ)φ(k)eikx (5.22)

yV (t)φ =

∑k∈Z

e−it(ak2+α)φ(k)eikx. (5.23)

En este caso particular necesitamos de la siguiente definicion similara la Definicion 5.2.1

Definicion 5.3.1. Sea A el espacio de las funciones f tales que

(i) f : [0, L]× R 7→ C.

(ii) f(x, ·) ∈ S para cada x ∈ [0, L].

(iii) f(·, t) ∈ C∞([0, L]) para cada t ∈ R.

Para s ∈ R se define el espacio Xs,b como siendo la completacion de Aen relacion a la norma

‖f‖Xs,b= ‖〈n〉s〈τ + n2 + θ〉b f(n, τ)‖`2nL2

τ. (5.24)

Similarmente, para s ∈ R e a > 0 definimos el espacio Xas,b como la

completacion de A en relacion a la norma

‖f‖Xas,b

= ‖〈n〉s〈τ + an2 + α〉bf(n, τ)‖`2nL2τ. (5.25)

Observacion 5.3.1. Observe que la definicion de los espacios Xs,b yXa

s,b es tal que‖w‖Xs,b

= ‖W (−t)w‖Hbt Hs

per(5.26)

y‖v‖Xa

s,b= ‖V (−t)v‖Hb

t Hsper

. (5.27)

La teorıa local esta contenida en el siguiente teorema.

Teorema 5.3.1. Sea s ≥ 0, a > 0 y b > 1/2. Para cualquier par(w0, v0) ∈ Hs([0, L]) × Hs([0, L]), existe T = T (‖(w0, v0)‖Hs×Hs) > 0,


y una unica solucion de problema (5.20) de la forma (ϕT w, ϕT v) con(w, v) ∈ Xs,b ×Xa

s,b en el intervalo de tiempo [−T, T ] tal que

(w, v) ∈ C([−T, T ] : Hs([0, L])×Hs([0, L])). (5.28)

Mas, para cualquier T ′ ∈ (0, T ), la aplicacion (w0, v0) 7→ (w(t), v(t))es Lipschitz de una vecindad W de Hs([0, L])×Hs([0, L]) en C([−T, T ] :Hs([0, L])×Hs([0, L])) ∩Xs,b ×Xa

s,b.

Observacion 5.3.2. Si a 6= 1 el resultado en Teorema 5.3.1 vale paras > −1/2.

5.4. Lemas Preliminares

Para establecer el Teorema 5.3.1 precisaremos de varios lemas prelim-inares. Comenzamos con el resultado siguiente.

Lema 5.4.1. Sea s ∈ R, b > 1/2, entonces

‖ψ1W (t)w0‖Xs,b≤ c ‖w0‖Hs , (5.29)

y‖ψ1V (t)v0‖Xa

s,b≤ c ‖v0‖Hs , (5.30)

donde W (t) y V (t) fueron definidos en (5.22) y (5.23), respectivamente,y γ > 0.

Demostracion. De la definicion de los espacios Xs,b podemos deducirque

‖ψ1 W (t)u0‖Xs,b= ‖ψ1 u0‖Hs

xHbt

= ‖ψ1‖Hbt‖u0‖Hs

x, (5.31)

esto prueba (5.29).La prueba de la estimacion (5.30) sigue el mismo argumento.

En lo que sigue usaremos la siguiente notacion: Sea {W (t)} el grupounitario definido en (5.22)

−iW ∗R f := −iϕT

t∫

0

W (t− t′)f(t′) dt′ (5.32)

54 Felipe Linares

y

(Lf)(t) := ϕT

t∫

0

f(t′) dt′ (5.33)

Observacion 5.4.1. Sean X y H espacios de funciones y X ′ and H ′

sus espacios duales respectivamente. Note que si ‖f‖X = ‖W (−t)f‖H ,entonces

‖ − iW ∗R f‖X ≤ c ‖f‖X′ (5.34)

es equivalente a‖(Lf)(t)‖H ≤ c ‖f‖H′ . (5.35)

Lema 5.4.2.

(i) Sea b′ ≤ 0 ≤ b ≤ b′ + 1, T ≤ 1. Entonces

‖Lf‖Hbt≤ c {T 1−b+b′‖f‖

Hb′t

+T 1/2−b‖〈τ〉−11{|τ |T≥1}f‖L1τ} (5.36)

‖ϕT

(W∗Rf)‖Xs,b

≤ c√

2 {T 1−b+b′‖f‖Xs,b′

+ T 1/2−b‖〈n〉2s〈τ + n2 + θ〉−1f‖`2nL1τ}

(5.37)

con c igual en (5.36) y (5.37).

(ii) Suponiendo que b′ > −1/2. Entonces

‖Lf‖Hbt≤ c T 1−b+b′‖f‖

Hb′t

(5.38)

‖ϕT

(W∗Rf

)‖Xs,b≤ c T 1−b+b′‖f‖Xs,b′ (5.39)

con la misma constante c en (5.38) y (5.39).

Observacion 5.4.2. Estimaciones similares son validas cuando substi-tuimos W (t) por el grupo unitario V (t) y Xs,b por Xa

s,b.

Demostracion. Defina J(t) = (Lf)(t), la transformada de Fourier de Jen relacion a t es dada por (ver ejercicio 5.3)

J(τ) = c

∫

R

f(t′)ϕT (τ − τ ′)− ϕT (τ)

τ ′dτ ′. (5.40)


Escribimos f = f+ + f− con

f+(τ) = f(τ) 1{|τ |T>1} y f−(τ) = f(τ) 1{|τ |T<1}

y respectivamente J = J+ + J−.Reescribimos J− como

J−(τ) = c

∫

R

1∫

0

f−(τ ′) (ϕT )′(τ − λt′) dλ dt′. (5.41)

Multiplicando (5.41) por 〈τ〉b, usando que

〈τ〉b ≤ c(〈t′〉b + |τ − λt′|b),

y tomando la norma L2 obtenemos

‖J−‖Hbt≤ c

(‖∫

R

1∫

0

〈t′〉bf− ϕ′T (τ − λt′) dλ dt′‖L2τ

+ ‖∫

R

1∫

0

|τ − λt′|bf− ϕ′T (τ − λt′) dλ dt′‖L2τ)

≤ c

1∫

0

λ−1‖(〈λ−1·〉bf−(λ−1·)) ∗ ϕ′T ‖L2 dλ

+ c

1∫

0

λ−1‖f−(λ−1·) ∗ (| · |bϕ′T )‖L2 dλ

≤ c

1∫

0

λ−1‖〈λ−1·〉bf−(λ−1·)‖L1‖ϕ′T ‖L2 dλ

+ c

1∫

0

λ−1‖f−(λ−1·)‖L1‖| · |bϕ′T ‖L2 dλ

≤ c(‖〈t′〉bf−‖L1

τ‖ ϕ′T ‖L2

τ+ ‖f−‖L1

τ|‖|τ |b ϕ′T (τ − λt′)‖L2

τ),

(5.42)

donde hemos usado las desigualdades de Minkowskii y Young.

56 Felipe Linares

Las propiedades del soporte de f− y la homegeneidad implican

‖J−‖Hbt≤ c T 3/2−b

(‖ϕ′1‖L2τ

+ ‖|τ |bϕ′1‖L2τ

) ‖f−‖L1τ. (5.43)

Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz y usando las propiedadesdel suporte de f−, sigue que

‖f−‖L1τ≤ cT b′−1/2 ‖f−‖Hb′

t. (5.44)

Combinando (5.43) y (5.44) tenemos

‖J−‖Hbt≤ c T 1−b+b′ ‖f−‖Hb′

t. (5.45)

para cualquier b′ < 1/2 y en particular para cualquier b′ ≤ 0.Ahora estimaremos J+. Escribimos J+ = J1 + J2 donde

J+(τ) = J1(τ) + J2(τ)

= c (τ−1f+

) ∗ ϕT + c ϕT

∫τ−1f+(τ) dτ

(5.46)

Para estimar J1 usamos la desigualdad de Young, homogeneidad y laspropiedades del suporte de f+. Ası tenemos que,

‖J1‖Hbt≤ c

(‖ϕT ‖L1τ‖〈τ〉bτ−1f+‖L2

τ+ ‖τ |bϕT ‖L1

τ‖τ−1f+‖L2

τ

)

≤ c(‖ϕ1‖L1

τsup

|τ |≥T−1

|τ |−(1−b+b′)

+ ‖|τ |bϕ1‖L1τT−b sup

|τ |≥T−1

|τ |−(1−b′))‖f‖Hb′

t

≤ c T 1−b+b′ ‖f‖Hb′

t.

(5.47)

para todo b′ ≥ b− 1.Finalmente tenemos que

‖J2‖Hbt

= c ‖ϕT ‖Hbt

∣∣∣∫

τ−1f+(τ) dτ∣∣∣

≤ c T 1/2−b‖ϕ1‖Hbt‖τ−1f+‖L1

τ.

(5.48)

Reuniendo la informacion en (5.45), (5.47) y (5.48) tenemos (5.36).


Para probar (5.38) observamos que para b′ > 1/2, la desigualdad deCauchy-Schwarz y propiedades del soporte de f+ implican que

‖τ−1f+‖L1τ≤ c T 1/2+b′ ‖f‖

Hb′t

. (5.49)

Esta ultima desigualdad junto con (5.48), (5.45) y (5.47) producen ladesigualdad (5.38).

Las desigualdades (5.37) y (5.39) se obtienen aplicando (5.36) , (5.38)y la observacion 5.4.1 para n fijo, multiplicando por 〈n〉2s y tomando lanorma `2

n.

Como comentamos anteriormente cuando b > 1/2 es claro que Xs,b ⊂C(R : Hs) (por la identidad (5.26) y el lema de Sobolev. Si b ≤ 1/2 estono es cierto y tenemos que encontrar un substituto para este resultado.Aqui aparece el espacio Xs definido en via

‖f‖Xs = ‖ = ‖〈n〉s〈τ + n2 + θ〉−1f(τ)‖2`2n(L1

τ ). (5.50)

Lema 5.4.3. Sea f ∈ Xs, entonces W ∗R f ∈ C(R : Hs).

Demostracion. Sin perdida de generalidad podemos suponer s = 0. Co-mo W (·) es un grupo unitario fuertemente continuo en `2, es suficienteprobar la continudad en `2 de W−1W ∗R f para f ∈ X0. Que es equiv-

alente a la continuidad en L2 de F (t) =t∫0

f(t′) dt′ para 〈τ〉−1f(τ) ∈`2n(L1

τ ).Usando a transformada de Fourier podemos escribir

F (t) =∫

(eitτ − 1) τ−1 f(τ) dτ. (5.51)

Por lo tanto,

‖F (t)− F (t′)‖2`2n

= 2π∑

n∈Z

∫(eitτ − eit′τ )τ−1 f(τ)(e−itτ ′ − e−it′τ ′)τ ′−1 f(τ ′) dτdτ ′

≤ c∑

n∈Z

∫mın(|t− t′|, 〈τ〉−1) mın(|t− t′|, 〈τ ′〉−1)|f(τ ′)f(τ)| dτ dτ ′

≤ c ‖〈τ〉−1f(τ)‖2`2n(L1

τ ).

(5.52)

58 Felipe Linares

El integrando en la penultima desigualdad en (5.52) tiende a ceropuntualmente en ξ, τ , τ ′ cuando |t− t′| → 0 y es acotado uniformementeen t − t′ por la expresion obtenida despues de retirar |t − t′| en losminimos, la cual es integrable como muestra la ultima desigualdad en(5.52). Por tanto, del teorema de la convergencia dominada se sigue que‖F (t)− F (t′)‖2

`2ntiende a cero cuando |t− t′| → 0.

El siguiente lema nos permite extraer regularidad adicional.

Lema 5.4.4. Sea ψ ∈ C∞0 (R) como en (5.20) y ψT (t) := ψ( t

T ) para0 < T ≤ 1. Entonces, si 1/2 > b > b′ ≥ 0 o 0 ≥ b > b′ > −1/2, lasiguiente desigualdad se satisface:

‖ψT f‖Xs,b′ ≤ cT b−b′ ‖f‖Xs,b. (5.53)

Demostracion. Primero suponemos 1/2 > b > b′ ≥ 0. Entonces parag ∈ Hb

t usamos la regla de Leibniz generalizada y el lema de Sobolevcon b− b′ = 1/p y b = 1/q y 1/p + 1/p′ = 1/q + 1/q′ = 1/2 para obtener

‖ψT g‖Hb′

t≤ c (‖ψT ‖Lp

t‖g‖

Hb′,p′t

+ ‖ψT ‖Hb′,qt

‖g‖Lqt)

≤ c (‖ψT ‖Lpt+ ‖ψT ‖Hb′,q

t

)‖g‖Hbt

≤ c T b−b′‖g‖Hbt.

(5.54)

Para f ∈ Xs,b y W (t) = exp(it(∂2x − θ)) se sigue de (5.54),

‖ψT f‖Xs,b′ = ‖W (·)ψT f‖Hb′

t (R,Hsx)

= ‖ψT W (·)f‖Hb′

t (R,Hsx)

≤ c T b−b′‖W (·)f‖Hbt (R,Hs

x)

= c T b−b′‖W (·)f‖Xs,b

(5.55)

Intercambiando b y b′ el caso 0 ≥ b > b′ > −1/2 sigue usando duali-dad.

5.5. Estimaciones Bilineales

Las estimaciones claves para tratar los terminos no lineales son lasllamadas estimaciones bilineales. A continuacion estableceremos las par-ticulares en nuestro ejemplo.


Lema 5.5.1. Para s ≥ 0 y a > 0 tenemos

‖w v‖Xs,−1/2≤ c ‖w‖Xs,1/2

‖v‖Xas,1/2

. (5.56)

y‖w2‖Xa

s,−1/2≤ c ‖w‖2

Xs,1/2. (5.57)

Observacion 5.5.1. Si a 6= 1 la estimacion (5.56) es satisfecha paras > −1/2. Para cualquier a > 0, la estimacion (5.57) se satisface paras > −1/2.

Como en [32] el proximo corolario sigue de la prueba del Lema 5.5.1.

Corolario 5.5.1. Sea b > 1/2 con 1− b, b′ > 3/8, entonces

‖w v‖Xs,1−b≤ c ‖w‖Xs,b′‖v‖Xa

s,b′, (5.58)

y‖w2‖Xa

s,1−b≤ c ‖w‖2

Xs,b′ . (5.59)

El siguiente lema es util en la prueba del Lema 5.5.1 ([32]).

Lema 5.5.2. Si γ > 1/2. Entonces

supn∈Z, τ∈R

∑

n1∈Z

1(1 + |τ ± n1(n− n1)|)γ

< ∞. (5.60)

Demostracion. Escribimos la expresion (5.60) como∑

n1∈Z

1(1 + |τ ± n1(n− n1)|)γ

=∑

n1∈Z

1(1 + |(n1 − α±)(n1 − β±)|)γ

(5.61)donde α = α±(n, τ) e β = β± son las raices del polinomio

τ ± (n1(n− n1)) = 0. (5.62)

Existen a lo maximo 10 n1’s tales que |n1 − α| ≤ 2 o |n1 − β| ≤ 2. Elresto de los n1’s satisfacen

(1 + |(n1 − α)(n1 − β)|) ≥ 12(1 + |n1 − α|)(1 + |n1 − β|). (5.63)

Por lo tanto aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz en (5.60)obtenemos el resultado.

60 Felipe Linares

Prueba del Lema 5.5.1. A seguir demostraremos la estimacion bilineal(5.56). La desigualdad (5.57) quedara como ejercicio para el lector.

Como

wv(n, τ) =∑

n1∈Z

∞∫

−∞w(n− n1, τ − τ1)v(n1, τ1) dτ1. (5.64)

Sea

f(n, τ) = 〈n〉s〈τ + an2 + α〉1/2|v(n, τ)|,g(n, τ) = 〈n〉s〈τ − n2 − θ〉1/2|w(n, τ)|

(5.65)

tal que

|wv(n, τ)|2 ≤ ∣∣ ∑

n1∈Z

∞∫

−∞

g(n− n1, τ − τ1)〈n− n1〉s〈τ − τ1 − (n− n1)2 − θ〉1/2

× f(n1, τ1)〈n1〉s〈τ1 + an2

1 + α〉1/2dτ1

∣∣2.(5.66)

Entonces

‖w v‖Xs,−1/2≤

(∑

n∈Z〈n〉2s

∞∫

−∞

dτ

〈τ + n2 + θ〉×

∣∣∣∑

n1∈Z

∞∫

−∞

g(n− n1, τ − τ1)〈n− n1〉s〈τ − τ1 − (n− n1)2 − θ〉1/2

×

f(n1, τ1)〈n1〉s〈τ1 + an2

1 + α〉1/2dτ1

∣∣∣2)1/2

≤(∑

n∈Z〈n〉2s

∞∫

−∞

dτ

〈τ + n2 + θ〉×

∣∣∣∑

n1∈Z

( ∞∫

−∞|f(n1, τ1)g(n− n1, τ − τ1)|2 dτ1

)1/2×

× ( ∞∫

−∞

dτ1

〈n〉2s〈n− n1〉2s〈τ1 + an21 + α〉〈τ − τ1 − (n− n1)2 − θ〉

)1/2∣∣∣2)1/2

(5.67)


≤(∑

n∈Z〈n1〉2s

∞∫

−∞

dτ

〈τ + n2 + θ〉×

( ∑

n1∈Z

( ∞∫

−∞|f(n1, τ1)g(n− n1, τ − τ1)|2 dτ1

)×

( ∑

n1∈Z

∞∫

−∞

dτ1

〈n1〉2s〈n− n1〉2s〈τ1 + an21 + α〉〈τ − τ1 − (n− n1)2 − θ〉

))1/2

≤ supn∈Z, τ∈R

A(n, τ, a)‖f‖`2nL2τ‖g‖`2nL2

τ

≤ supn∈Z, τ∈R

A(n, τ, a) ‖w‖Xs,1/2‖v‖Xa

s,1/2,

donde

A(n, τ, a) :=〈n〉s

〈τ + n2 + θ〉1/2×

( ∑

n1∈Z

∞∫

−∞

dτ1

〈n1〉2s〈n− n1〉2s〈τ1 + an21 + α〉〈τ − τ1 − (n− n1)2 − θ〉

)1/2.

(5.68)

Por lo tanto es suficiente probar que

supn∈Z, τ∈R

A(n, τ, a) ≤ c (5.69)

para obtener la estimacion (5.56).

Lema 5.5.3. Sea s ≥ 0, entonces

supn∈Z, τ∈R

A(n, τ, a) ≤ c. (5.70)

Primero consideramos a 6= 1.Usando el hecho que s ≥ 0 tenemos

A(n, τ, a) ≤ c

〈τ + n2 + θ〉1/2×

( ∑

n1∈Z

∞∫

−∞

dτ1

〈τ1 + an21 + α〉〈τ − τ1 − (n− n1)2 − θ〉

)1/2.

62 Felipe Linares

Haciendo el cambio de variables x = τ1 + an21 + α, obtenemos

∞∫

−∞

dτ1

〈τ1 + an21 + α〉〈τ − τ1 − (n− n1)2 − θ〉

=

∞∫

−∞

dx

〈x〉〈x− (τ − n2 + 2nn1 − (1− a)n21 + α− θ)〉

≤ ln(2 + |τ − n2 + n1(2n− (1− a)n1) + α− θ|)1 + |τ − n2 + n1(2n− (1− a)n1) + α− θ| .

(5.71)

Tomando γ > 1/2, la desigualdad anterior implica que

supn∈Z,τ∈R

A(n, τ, a)

≤ supn∈Z,τ∈R

( ∑

n1∈Z

ln(2 + |τ − n2 + n1(2n− (1− a)n1) + α− θ|)1 + |τ − n2 − n1(2n− (1− a)n1) + α− θ|

)1/2

= supn∈Z,τ∈R

( ∑

n1∈Z

ln(2 + |τ − n2 + n1(2n− (1− a)n1) + α− θ|)(1 + |τ − n2 + n1(2n− (1− a)n1) + α− θ|)1−γ

× 1(1 + |τ − n2 + n1(2n− (1− a)n1) + α− θ|)γ

)1/2

≤ c supn∈Z,τ∈R

( ∑

n1∈Z

1(1 + |τ − n2 + n1(2n− (1− a)n1) + α− θ|)γ

)1/2.

Aplicando el Lema 5.5.2 se sigue (5.70) y en consecuencia la estimacion(5.56).

Ahora consideramos el caso a = 1. En este caso usamos un argumentode dualidad para obtener (5.56). Haciendo uso de (5.65), la estimacion(5.56) es equivalente a

∑

n∈Z〈n〉s

∞∫

−∞

h(n, τ) dτ

〈τ + n2 + θ〉×

( ∑

n1∈Z

∞∫

−∞

g(n− n1, τ − τ1)f(n1, τ1)〈n− n1〉s〈τ − τ1 − (n− n1)2 − θ〉1/2〈n1〉s〈τ1 + n2

1 + α〉1/2dτ1

≤ supn1∈Z, τ1∈R

A1(n1, τ1)‖f‖`2nL2τ‖g‖`2nL2

τ‖h‖`2nL2

τ.

(5.72)


En consecuencia solo necesitamos probar que

supn1∈Z, τ1∈R

A1(n1, τ1) ≤ c, (5.73)

donde

A1(n1, τ1) :=1

〈n1〉s〈τ1 + n21 + α〉1/2

×

(∑

n∈Z

∞∫

−∞

〈n〉2s dτ

〈n− n1〉2s〈τ + n2 + θ〉〈τ − τ1 − (n− n1)2 − θ〉)1/2

.

(5.74)

Como s ≥ 0 sigue que

A1(n1, τ1) =1

〈n1〉s〈τ1 + n21 + α〉1/2

×

(∑

n∈Z

∞∫

−∞

〈n〉2s dτ

〈n− n1〉2s〈τ + n2 + θ〉〈τ − τ1 − (n− n1)2 − θ〉)1/2

≤ c

〈τ1 + n21 + α〉1/2

×

(∑

n∈Z

∞∫

−∞

dτ

〈τ + n2 + θ〉〈τ − τ1 − (n− n1)2 − θ〉)1/2

.

(5.75)

Cambiando variables z = τ + n2 + θ, tenemos que

∞∫

−∞

dτ

〈τ + n2 + θ〉〈τ − τ1 − (n− n1)2 − θ〉

=

∞∫

−∞

dz

〈z〉〈z − (τ1 + 2n2 − 2nn1 + n21 + 2θ)〉

≤ ln(2 + |τ1 + n21 + 2n(n− n1) + 2θ|)

1 + |τ1 + n21 + 2n(n− n1) + 2θ| .

(5.76)

64 Felipe Linares

Por lo tanto para γ > 1/2, la desigualdad anterior implica

supn1∈Z,τ1∈R

A1(n1, τ1)

≤ supn1∈Z,τ1∈R

( ∑

n1∈Z

ln(2 + |τ1 + n21 + 2n(n− n1) + 2θ|)

1 + |τ1 + n21 + 2n(n− n1) + 2θ|

)1/2

≤ c supn1∈Z,τ1∈R

(∑

n∈Z

1(1 + |τ1 + n2

1 + 2n(n− n1) + 2θ|)γ

)1/2.

(5.77)

El Lema 5.5.2 entonces produce el resultado. Esto termina la demostra-cion del Lema 5.5.1.

A continuacion realizaremos la prueba de la teoria local

Demostracion del Teorema 5.3.1. Definimos el espacio metrico de fun-ciones

XM := {(w, v) ∈ Xs,b ×Xas,b : |||(w, v)||| = ‖w‖Xs,b

+ ‖v‖Xas,b≤ M}.

(5.78)Para (w, v) ∈ XM definimos los operadores

Φ1(w, v)(t) = ψ1W (t)w0 + i ψT

t∫0

W (t− t′)w v(t′) dt′

Φ2(w, v)(t) = ψ1V (t)v0 + iσ2 ψT

t∫0

V (t− t′)u2(t′) dt′.(5.79)

Aplicando los Lemas 5.4.1, 5.4.2 y el Corolario 5.5.1 tenemos

‖Φ1(w, v)‖Xs,b≤ c‖w0‖Hs + c T γ‖w‖Xs,b

‖v‖Xas,b

≤ c‖w0‖Hs + cT γM2(5.80)

y

‖Φ2(w, v)‖Xas,b≤ c‖v0‖Hs + c T γ‖w‖2

Xs,b

≤ c‖v0‖Hs + cT γM2.(5.81)

Escogiendo M ≥ 2c(‖w0‖Hs +‖v0‖Hs) y T tal que cT γM < 1/2 tenemosque la aplicacion (Φ1(w, v),Φ2(w, v)) : XM 7→ XM esta bien definida.Analogamente, se puede probar que (Φ1(w, v),Φ2(w, v)) es una contrac-cion en el espacio XM . Del principio de contraccion podemos deducir


la existencia de un unico punto fijo para (Φ1(w, v), Φ2(w, v)) lo cual re-suelve el problema. Para finalizar la prueba usamos argumentos clasicosque dejaremos como ejercicio.

5.6. Resultado Global

Debido a las leyes de conservacion junto con el resultado del Teorema5.3.1 podemos probar el siguiente resultado global.

Teorema 5.6.1. Sea (w0, v0) ∈ Hs([0, L])×Hs([0, L]), s ≥ 0. Entonceslas soluciones (w(t), v(t)) dadas en el Teorema 5.3.1 se pueden extendera cualquier intervalo de tiempo.

Demostracion. El resultado es deducido usando la cantidad conservada∫ (|w(x, t)|2 + 2σ|v(x, t)|2) dx =∫ (|w0(x)|2 + 2σ|v0(x)|2) dx. (5.82)

y el Teorema 5.3.1.

5.7. Ejercicios

1. Pruebe la observacion (5.3.1).

2. Pruebe la observacion (5.4.1)

3. Pruebe la formula (5.40)

4. Pruebe la desigualdad∞∫

−∞

dy

〈y〉〈y − τ + a〉 ≤ln(2 + |τ + a|)

1 + |τ + a| . (5.83)

5. Pruebe la estimacion bilineal (5.57).

6. Pruebe que la aplicacion (5.79) en la prueba del Teorema 5.3.1 esuna contraccion en el espacio metrico correspondiente.

7. Pruebe la unicidad en el Teorema 5.3.1.

8. Pruebe que la aplicacion dato–solucion en Teorema 5.3.1 es Lip-schitz.

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