Yu takeuchi Ecuaciones diferenciales OCR

NORIEGA EDITORESMÉXICO • Espafta • Venezuela • Colombia

LIMUSA

Profesor de MatemáticasUniversidad Nacional de Colombia

CARLOS J. RUIZ SALGUERO

ARTURO RAMIREZ MONTUFARProfesor de MatemáticasUniversidad Nacional de Colombia

YU TAKEUCHIProfesor de MatemáticasUniversidad Nacional de Colombia

DIFERENCIALES

ECUACIONES

Reimpresión julio de 2000Impreso por Quebecor ImpreondesImpreso en Colombia - Printed in Colomb

e 1994, EDITORIAL LlMUSA, S.A. DE C.V.GRUPO NORIEGA EDITORESBALDERAS 95, MéXICO, D.F.C.P. 06040

ISBN 968-18--0683-2

DERECHOS RESERVADOS:

SON PROPIEDADDEL EDITOR.NINGUNA PARTEDE

E.3TAOBRA F'UEDESER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIAt{TE NINGUN SISTEMA O MÉTODO,

ELECTRÓNICOO MECÁNICO(INCLUYEfI()()El FOTO

COPIADO,LA GRABACiÓNOCUALQUIERSISTEMADE

RECUPERACiÓN y ALMACENAMIENTO DE INFOR

MACiÓN), SINCONSENTIMIENTOPOR ESCRITO DEL

EDITOR.

ECUACIONES DIFERENCIALES

LA PRESE~:rACIÓNy DISPOSICIÓNEN CONJUNTODE

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. UNIVERSIDAD

NACIONAL DE COLOMBIA

Al escribir este libro hemos querido proporcionar a las escuelas técnicas un texto ajustadó a 'sus necesidades, que abarque el programausual de ecuaciones diferenciales ordinarias, para desarrollarlo en unsemestre de estudio. Este progranla está contenido en los seis primeroscapítulos, pero hemos creído conveniente adicionarlo con un séptimo capítulo que trata de l~s.ecuaciones de Legendre y, de Bessel y unoctavo en el cual se hace una introducción al estudio de las ecuacionesdiferenciales parciales. Creemos que el libro completo puede constituir todavía un programa semestral si se conviene en un estudio másintensivo.El capítulo tercero, que trata de los métodos gráficos y de aproxima

ción, tiene principalmente un fin informativo, pero de él puede prescindirse en la programación, exigiendo simplemente que el alumno presente en el curso del semestre algunos de los trabajos allí indicados.

Hemos procurado especialmente obtener un orden en la presentaciónde los temas que facilite al alumno la comprensión cabal de los mismos. Igualmente nos hemos esforzado en presentar un número suficiente de problemas y ejercicios, debidamente graduados, para que elalumno pueda fijar con claridad las ideas expuestas en la teoría. Encada sección se han incluido ejercicios y problemas resueltos y al final,de cada una se proponen los problemas, cuyas respuestas, cuidadosamente revisadas, se publican al final del libro.Se ha tenido cuidado de que los problemas y ejercicios propuestos lo

sean sobre cuestiones que interesen al ingeniero y sirvan luego al estudiante cuando avance en los estudios que haya de hacer en las asignaturas técnicas.

He1110Squerido darle al libro una presentación muy pulcra y unformato que facilite su lectura. La buena calidad de la edición perrnitir:', conservarlo mucho tiempo y emplearlo para refrescar los couocimiemos cuando el estudiante haya dejado la escuela.

Prefacio

Arturo Ramírez MontúfarYu TakeuchiCarlos Ruiz

vl Prefacio

Es el propósito de los autores que este libro sea el primero de unacolección de textos sobre las distintas ramas de la Matemática que hoyse estudian en nuestras Facultades e Institutos.Finalmente, agradecemos muy cordialmente su colaboración al inge

niero Jaime Malpica quien se encargó de corregir los originales.

CAPITULO IV. Ecuaciones diferenciales de segundo orden 91I-Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a pri-mer orden. 2-Ecuaciones diferenciales lineales de segundo or-den. 3-Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coe-,ficientes constantes. 4-Ecuaciones diferenciales reducibles alas ecuaciones con coeficientes constantes: 5-Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes l. (Método de coeficientes indeterminados.) 6-Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. (Métodode variación de parámetro.) 7-Independencia lineal y determinaruc de Wronski. S-Soluciones de ecuaciones diferencia-

vii

CAPITULO m. Solución gráfica y método de aproximación 75I-Introducción. 2-lntegración numérica. 3-S0lución gráfica.4-Existencia de la solución.

CAPITULO ll. Ecuaciones diferenciales de primer orden. . 23l-Ecuaciones diferenciales de variables separables. 2-Ecua-ciones diferenciales homogéneas. 3-Ecuaciones diferencialestransformables a homogéneas. 4-Ecuaciones diferencialesexactas. 5-Factor integrante. 6-Ecuación diferencial lineal.7-Ecuación de Clairaut. S-Aplicaciones de las ecuaciones ala geometría analítica. 9-S0lución en serie de potencias delas ecuaciones diferenciales lineales l. lO-Solución en seriede potencias de las ecuaciones diferenciales lineales 11. ll-So-lución en serie de potencias de las ecuaciones diferenciales nolineales.

CAPITlJLO l. Planteamiento de ecuaciones diferenciales .. 1l-Reseña histórica. 2-Nociones elementales. 3-Planteamien-to de ecuaciones diferenciales

Contenido

BIBLIOGR ..\FIA 263

248• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •RESPUESTAS

CAPITULO VII. Ecuaciones de Legendre y Bessel ..~. . . . .. 195I-Ecuación de Legendre. 2-Propiedades de Pn(x). 3-Fun-ción de Legendre de segunda clase Q,,(x). 4-Funciones aso-ciadas de Legendre P,,,'"(X), Q,,'''(x). S-Ecuación de Bessel l.6-Ecuación de Bessel JI.

CAPITULO VIII. Ecuaciones diferenciales paeelales 227I-Introducción. 2-Método de variables separables. 3-Vibra-ción de una cuerda de longitud l. 4-Conducción del calor enun cilindro. S-Velocidad de un líquido en la cercanía de unaesfera.

les lineales por medio del operador D. 9-S0lución de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden por medio de series.

CAPITULO V. Sistema de ecuaciones diferenciales . . . . . .. 161l-lntroducción. 2-Sistema de ecuaciones diferenciales linea-les con coeficientes constantes. 3-S0lución particular de unsistema no homogéneo.

CAPITULO VI. Transformación de Laplace . . . . . . . . . . . .. 181t.,Transformación de Laplace. 2-Transformación de unaecuación diferencial ordinaria.

viii Contenido

§ l-Reseña Histórica

Las ecuaciones diferenciales fueron inicialmente tratadas porNewton para estudiar el movimiento planetario. En esta época yase habían conocido "las tres leyes de Kepler " con respecto almovimiento planetario, es decir que:1) La órbita de un planeta es una elipse y el sol es uno de sus

focos,2) La velocidad areolar es constante,3) Si T es el período del movimiento de un planeta y a es el eje

mayor de su órbita, entonces T'~/a3 es constante para todoplaneta.Utilizando las leyes de Kepler, muchas personas habrían podido

demostrar que actúa una fuerza inversamente proporcional alcuadrado de la distancia entre un planeta y el sol, es decir, la .. leyde la atracción universal," pero no podían deducir las leyes deKepler a partir de esta ley, puesto que entonces no existía métodoalguno para estudiar este problema del movimiento sideral. Newtoncompletó el cálculo diferencial, que habla sido desarrolladoimperfectamente, demostrando' después las tres leyes de Kepler aIpartir de la ley de atracción universal.

El estudio de las ecuaciones diferenciales, que se inició en lapráctica después de Newton, fué progresando a medida Que seavanzó en la ciencia natural. especialmente en la física. De talmanera Que como se observa a continuación muchos problemasimportantes de la física se plantean en forma de ecuacionesdiferenciales, así por ejemplo, la ley del movimiento de Newton(1.687), las ecuaciones de Euler para Hidrodinámica. (1.775), de

Planteamiento de ecuacionesdiferenciales

CAPITULO I

Considerando la ecuación (1):dvdt = -g = (constante)

.Las ecuaciones diferenciales (1), (2) y (3), contienen derivadas

ordinarias, de ahí que se denominen "ecuaciones diferencialesordinarias." La ecuación (1) es de primer orden porque contieneúnicamente la primera derivada. La ecuación (2) es de segundoorden. Las ecuaciones de (3) forman un sistema de ecuaciones ~diferenciales de primer orden. Por otra parte (4) Y (5) contienenderivadas parciales, por lo cual se les ha llamado ecuacionesdiferenciales parciales.

dx ky, dy (3)dt - dt =kx

»r a2T (Ecuación de la onda) (4)ot =1(20X2

O(P oqJ (5)OX =u(x, y), -ay = v(x, y)

(2)(Ecuación de la corriente eléctrica)

dvdt = -g (Ecuación de la caída de un cuerpo) ( 1 )

d2q dq 1_L dt~ + R dt + e q - o

Las ecuaciones que contienen derivadas son llamadas H ecuacionesdiferenciales." Se dan a continuación unos ejemplos de ecuacionesdiferenciales:

§ 2-Nociones Elementales

Laplace (Laplace 1.782), de Lagrange para Mecánica Analítica.(1.788), de Poisson (1.812), la de conducción del calor (Fourier1.812). la de Maxwell para Electrodinámica (1.864), la ecuación deSchrodinger para Mecánica Cuántica (1.926).

Actualmente las ecuaciones diferenciales no solo se utilizan enel campo de la física, sino también en el de la Ingeniería, de laQuímica, Economía, Agronomía, etc., de ahí que su estudio seaindispensable para la especulación de toda ciencia natural.

2 Nociones elementales

(incremento del capital) = (interés) - (consumo)Pero el incremento del capital es el cambio de éste con el tiempo,es decir dvld! y el inter', que el capital produce es directamente

Consideremos el problema sobre la acumulación de capital. Elcapital y puede tomarse como una función del tiempo t, es decir

• y=y(t) (1)El interés aumenta el capital y el consumo (b) lo disminuye,

por tanto

(Ejemplo 1)

Para dar una idea de la utilidad de las ecuaciones diferenciales,se estudian a continuación, algunos ejemplos;

I8-Plllnte&lnlento de Ecuaciones Diferenciales

Es fácil observar que la ecuación (7) satisface la ecuaci6n (1); portal razón la ecuación (7) se conoce como una "solución" de laecuación (1) y el proceso de hallar una soluci6n se llama "resolverla ecuación diferencial." Como las ecuaciones diferenciales deprimer orden contienen únicamente la primera derivada, pararesolverlas es necesario efectuar una sola integración; por esto susolución contiene una sola constante de integración. De manerasemejante, la solución de una ecuación diferencial de segundo ordencontiene dos constantes de integración. Además si se da unaecuación (por ejemplo (7» que contiene una constante, puedeeliminarse ésta derivando una vez, obteniendose así una ecuacióndiferencial de primer orden.

(7)v=-gt+C

Pero como la integral anterior es indefinida, al efectuar laintegraci6n debe aparecer una constante C (constante deintegración) ; por esto

(6)v= J (-g) dt

se observa que La derivada de v con respecto a t es una constante(-g) ; entonces v debe ser la integral de (-g):

(Ejemplo 2)Consideremos un encuentro entre dos

ejércitos A y B con diferente número de Fig, J

soldados. Nos proponernos hallar el número de soldados con quecuentan los ejércitos A y B después de transcurrido un cierto tiempo.

•continuamente.

JIb B-~------------------k e

A

En la figura 1, aparece el gráfico de la solución (6) considerando lostres casos siguientes: (1) yu=OA>b/k(11) y~=OB=b/k (111) Yo=OC<b/k.En el caso (1), el capital aumentacontinuamente en el caso (11) permanececonstante y en el caso (111) disminuye

( 6)

en la solución (3) se obtiene:

Y=(Yo-f )ett+ ~

Reemplazando (5)

(5)

b by(O)=yo=Ceo+T=C+/ibC=Yu-¡¡Entonces

Esta condición se denomina .. condición Inícíaf," Aplicando lacondición (4) en la solución (3) se recibe:

(4 )t=o,para

en donde e es una constante arbitraria (constante de integración).Para determinar el valor de e, consideremos la siguiente condición:El capital inicial es Yo. es decir que

(3)

La ecuación (2) es una ecuación diferencial de primer orden.En el capítulo JI estudiaremos el método para resolver la ecuación(2). Por ahora es fácil comprobar que la siguiente expresión es lasolución de la ecuación considerada.

(2)dy =ky-bdI

proporcional al capital, así:

4 Platueamietuo

Ahora calculemos el número de sobrevivientes de A al terminar labat alla. es decir, cuando los soldados de B han sido exterminados;(y O). 1) (U> se obti me

(12)e:=450De (11) se recibe

(11)500=CI +e~.

La condición (10) es la condición inicial de este problema. Aplicandoen (9) la condición inicial se obtiene

(10)y=400x-500,t=O,cuando

en donde el y C2 son constantes de integración. Supongamos queal iniciarse la batalla, el ejército A tiene 500 hombres, y el ejércitoB tiene 400 hombres, es decir, que

(9)x=CI ekl+Cl e-t'y= -CI ett-i-C2 e-U

I

La constante k de proporcionalidad depende de la calidad de lasarmas, si se acepta que A y B portan armas de igual calidad en

(7) y (8) aparece la misma constante k.Las ecuaciones (7) y (8) forman lo que se llama un "sistema

de ecuaciones diferencíales," Como se verá en el capítulo V lasolución de este sistema es;

(8)- CZ =k x

En la misma forma considerando las bajas del ejército B se recibe

(7)dx-dt=ky

Suponemos que en un momento dado el ejército A tiene %

soldados y el ejército B tiene y soldados. El número de proyectileslanzados contra los soldados de A es proporcional al número desoldados de B. Por esto las bajas en el ejército A son proporcionalesal número de soldados enemigos (y). Pero las bajas de A serepresentan como el incremento negativo del número de soldados,(- dxldt) entonces se obtiene la siguiente ecuación:

Plantenmlento 5

Sustituyendo (16) en el segundo miembro de (17) l. obtiene:

(17)

Las ecuaciones (15) y (16) forman una sistema de ecuacionesdiferenciales, pero de acuerdo con el proceso que aparece acontinuación se puede obtener a partir de este sistema una ecuacióndiferencial de segundo grado así:

Derivando (15) con respecto a t se recibe

(16)dy -bxdt -

Teniendo en cuenta ahora, que en general, la producción aumentaa medida que sube el precio unitario, entonces, como el aumento dela producción es dy/dt, y si constderemo e que este aumento esproporcional al precio del artículo, se recibe

•

lI5)dxdt =ay

Hallaremos la ecuación diferencial que relacione la produccióncon el precio del artículo producido.

Consideramos que x es el precio unitario del artículo, y que yes la cantidad de artículos producidos. Por otra parte, x, y pueden.tomarse como funciones del tiempo t. Cuando la producción (y) esexcesiva el precio del artículo baja, por lo cual se puede deducirque la reducción en el precio por unidad es proporcional al númerode articulas producidos. Entonces, como la reducción en el preciounitario se representa por =dxldt, se obtiene

(Ejemplo 3)

Por esto seria errado concluir que cuando han desaparecido400 hombres del ejército B, quedan 100 en el ejército A.

(14)x=300y=O,cuando

x~ -y'.!. = {el eA:t+ e, e-l:t} 2_ {- el ekt+e2 e-kLj ~

=4e¡ C,=90000 (13)

Entonces cuando· y =O, x~=9000, o bien

6 Planteamiento

en donde b representa el número de inmigrados. La solución deesta ecuación es (ver JI § 1),

dy =ay+bdi .

Si hay inmigración, la ecuación del aumento de población será

(a=k-h)dl_-aydt -

forma:

en donde k es el coeficiente de. natalidad y h es el coeficiente demortalidad. La ecuación anterior puede escribirse en la siguiente •

CZ =ky-hy

••ecuacion :

Hallar la ecuación que expresa el número de habitantes y de unpaís en función del tiempo t.

El aumento de la población se r ige por la natalidad y lamortalidad, así que ese aumento está expresado en la siguiente

Fig. 2

PROBLEMAS GENERALES( 1) Problema sobre el aumento de

la población.

el precio unitario del artículo oscilasinusoidalmente. El fenómeno deoscilación del precio se presenta, porejemplo, en la producción agrícola.

en donde A y a son constantes de integración. Para determinarlos valores de estas constantes es nece ..aria una condición inicial,es decir, dar un valor determinado .

Xa x y a y. Como se observa en laFig. 2, gráfica de la solución (19),

(19).1'= A cos (v'ab t -j-a)

Esta ecuación diferencial es la ecuación de la "oscilación simple ..y su solución es, (ver IV § 1)

(18)

(21)p - Pu (1.o.' el "1'Entonces

para 1=0, se tiene Que p O

Con ayuda de esta condición, se obtiene el valer de:c;;. p"

La solución de esta ecuación es (ver II § 1),P=P'J-C e:" (C es constante de integración)

Si inicialmente el recipiente no contiene gas, entonces

(b=k/a)dpdt =b(Po-P)

Pero la densidad es proporcional a la presión (D=ap), entonces laecuación anterior se transforma en

k(po-P)dDdt

Fig. 4 interior es D, entonces la cantidad degas que entra es proporcional al aumento de densidad dDldt, por esto

Po

varía. El problema consiste en hallar la ecuación que relacione lapresión interior con el tiempo.Considerando que la cantidad de gasque entra es proporcional a la diferenciade presiones (Po-P) (ley de difusión delos gases), y que la densidad del gas

Fig. 3

Y la presión interior

T

( 2 ) Problema sobre la difusión deun gas.

Sea p la presión dentro de unrecipiente Que contiene un gasseparado del medio exterior por

0'-------------medio de una membrana permeabley Po la presión exterior (ver fig. 4).Si Po> P el gas exterior entra en el recipiente

La gráfica de la solución (20) aparece yen la figura 3.

by=C eCJ&_ - (C es constante de integración) (20)a

8 Planteamiento

Fig. 6

/,d2y-M- dt~=P-R

yp.

y la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo esigual a P- R, en donde P es el pesó del cuerpo y Res la resistencia del aire, se recibe

Si y es la distancia del cuerpo a la Fig. 5

tierra y t el tiempo, queremos hallar la ecuación querelacione y con t. De acuerdo con la la ley del R

movimiento de Newton, el producto de la masa M yla aceleración del cuerpo es igual a la fuerza queactüa sobre él. Pero como la aceleración es d2y/dt~

( 4 ) Caída de un cuerpo considerando laresistencia del aire. T

----- -:..,:::;;..;;--En la figura 5 aparece la gráfica de esta

Xsolución, tomando como condición inicialt=O, x=O. En ella se observa que el a/k

número de palabras memorizadas essiempre menor que alk,

x= ~ -C e-k' CC es constante de integración) (22)

La solución de esta ecuación es (ver JI § 1)

dxdt =a-kx

Supongamos que una persona pueda memorizar cierto número ade nuevas palabras en un día, pero que simultáneamente olvida unnúmero de palabras proporcional a. las palabras aprendidas hastaese día. Hallar la ecuación que relacione el número de palabrasaprendidas x con el tiempo t.

Como el número de palabras aprendidas en un día es a, y elnúmero de las palabras olvidadas es kx, entonces el aumento en elnúmero de palabras memorizadas (dxidt> viene dado por la siguienteecuación

( 3) Problema sobre aprendizaje de palabras.

Plonteamlenu» 9

en donde g es la constante de gravedad. Reemplazando el valor dev en la ecuación anterior se recibe la siguiente ecuación diferencial:

Pero por _ la ley de efusión de los líquidos, la velocidad v esproporcional a la raíz cuadrada de la altura de la superficie, es decir,

dhdt =a·v

desagüe, y ésta a su vez es proporcional a la velocidad con que baja lasuperficie del agua - dhldt . ObteneITIOS entonces la siguien te ecuación:

Fig. 7

11

(24)

es proporcional a la velocidad v de

Consideremos un tanque quecontiene agua, provisto de una salidacomo lo indica la figura 7. Queremoshallar la altura h del agua dentrodel tanque en funcíon del tiempot. La cantidad de agua que sale

•

d~ P--y-- - --- (1dt" - M -- o

donde g es la constante de gravedad.

( 5) Efusión del agua de un tanque

donde C 1, C2 son constantes de integración; Si no se considera laresistencia del aire, la ecuación diferencial toma la forma siguiente

y=C,-¡-C:! c-Ii:I/JI-(Pi/~)·t (23)

Esta expresión es una ecuación diferencial de segundo orden concoeficientes constantes (ver IV § 3), y su solución es

6 bien

d~y dy-Al dt2 .: k dt -+- P

Sabemos que la resistencia es proporcional a la velocidad del cuerpo(R= -k dyldt, -k es la constante de proporcionalidad); por lotanto, la ecuación anterior toma la Ior ma siguiente

1(' Planteamiento

en donde xo--.x representa el número de periódicos vendidos en untiempo t.

( 7 ) Oscilación amortiguada

Si se carga un cuerpo de masa M, en un resorte que 'pendeverticalmente, el resorte se extiende. Sea a el alargamiento delresorte (ver figura 8). Pero el alargamiento a es proporcional alpeso d 1 cuerpo A1¡r, (1( s la constante de 1:-:gr av dad) es decir,

(26)xo-~=a{l-, e-tt}o bien

Entonces

X=C e-tt_ (a-xo) o (C es constante de integracion)Pero como el vendedor tiene inicialmente XI) periódicos, entonces

cuando 1=0, x= Xo

Reemplazando esta condición en la ecuación anterior se recibe;

xo=C- (a-%o), es decir, C=a

en donde k es el factor de proporcionalidad. La solución de estaecuación es

d%dt =k{a- (xo-x)}

Hallar el número de periódicos x que un vendedor tiene en untiempo t si Xo es el número inicial de periódicos, y a el número depersonas en la plaza. La velocidad de la venta (-dx/dt) seráproporcional al número de personas Que no tienen periódico. Perocomo el número que ya se ha vendido es (xo-x), entonces elnúmero de personas que no tienen periódico es a- (.r,,-x'), Entoncesse obtiene la siguiente ecuación:

( 6) Problema sobre la venta df.'pr-ensa

en donde C es constante de integración

(25)"

La solución es (ver 11 § 1)

dh /0-- di =(1\1 2gh

Plan'ea,,,ifilllQ 11

Fig. 9

deson constantesin tegración.)

(31)

en donde (I)=v b2·-a2, (A. 8

(30)Esta es la ecuación de.. oscilación amortiguada"y su solución es (ver IV § 3)

x = A e-al cos ((01+0)

•• o biendrx dx-dt~ +2a dt +b·x=O

(2a=h/M, b=k/ M)

Esta es la ecuación de la oscilación simple. (ver IV § 1). Si ademásconsideramos la resistencia del aire, la cual es proporcional a lavelocidad del cuerpo Cdxldt), se debe sumar en (29) la resistenciadel aire;

(29)

por el resorte. Utilizando (27) la ecuación (28) se transforma en

Fig. 8en donde d+xldt" es la aceleración del cuerpo,Mg es el peso y k(a-f-x) es la fuerza hecha

Mg

Mg(28)k(a+x)

a

de(27)

constanteunaen donde k esMg=ka

12 Planteamiento

proporcionalidad propia del resorte. Ahoraconsideremos que el cuerpo baja más, porejemplo, una distancia x, en este caso elcuerpo no puede permanecer en reposo. Siaplicamos la ley del movimiento de Newton,se recibe,

( 9 ) Presi6n atmosférica

Esta ecuación tiene la misma forma de la ecuaci6n del primerejemplo, por esto el árbol crece solamente dada cierta condicióninicial (ver Fig. 1).

dhdt

o bien

en donde el primer miembro representa el crecimiento del árbol, elprimer sumando del segundo miembro representa la región de lasraíces del árbol (la cual también es proporcional a h3) y el segundosumando del segundo miembro es la merma por transpiraci6n. Estaecuación puede escribirse bajo la forma siguiente:

Fig. 10

1

altura h'l. El árbol absorbe agua y abonopor sus raíces; además parte del agua sepierde por transpiración, Entonces seobtiene la siguiente ecuaci6n;

Consideremos Que el crecimiento de un árbol se realiza en formasemejante al de la Fig. 10. Plantear laecuaci6n diferencial Que relacione laaltura h del árbol en el tiempo t. Elvolumen del árbol será proporcional alcubo de la altura h3 y la superficie totaldel árbol proporcional al cuadrado de la

( 8) El crecimiento de un árbol

En la Fig. 9 aparece la gráfica de la ecuación (31).Hemos hallado una ecuación diferencial que rige el movimiento

oscilatorio de un cuerpo que ha sido suspendido de un resorte, (30)y la posici6n del cuerpo en un momento dado (31). N6tese que %

se toma a partir del alargamiento a. (Fig. 8)

Planlefln,lenw 13

Reemplazando este' valor en la ecuación (32) se recibedp,Iz-= -kgp

Por otra parte, la densidad p es proporcional a la presión p, es decirp=kp

(32)dp -pgdI.

Tomando a dz como un infinitésimo, la ecuación anterior setransforma en:

Esta ecuación puede escribirse bajo la forma siguiente:P(z+dz) -pez) -pgdz

pS dz g+P(z+dz) ·S=pez)·s

gp dz+pez+dz) =P(z)o bien

Fig. 11

iii) La presión del aire que actúa en la baseinferior y dirigida hacia arriba,

pez)· SConsideramos que no hay corriente de aire, luegoestas tres fuerzas deben estar balanceadas, es decir,.

zP(z)S

Sgdz

z+dz)Sp(-

-pii) La presión del aire que actúa en la base

superior, y dirigida hacia abajo,pez+dz) ·S

i) El peso del cilindro,pSdzg

en donde p es la densidad del aire, S dz el volumendel cilindro y g la constante de la gravedad. Estafuerza está dirigida hacia abajo.

Para determinar la relaci6n entre la presión y la altura, consideremosuna porción de aire de forma cilíndrica de altura dz y base S. (Fig.11). Sobre este cilindro actúan simultáneamente tres fuerzas, asaber:

P=P(z)

La presi6n del aire (presi6n atmosférica) depende de la altura z,

14 Planteamiento

Para determinar el valor de e, consideramos que la velocidad del

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden. ()De la ecuación (34) hallaremos la volocidad de escape. Fig. 13

Del capítulo IV, ~ 1 se recibe

( dh_ 2 =J:/?!V! - c (e es constante de integración) (35)di R+h

(34)d=h k1nMni (ii;¡-= -Tk+h)'l.

radio de la tierra, y k es una constante universal.De acuerdo con la ley del movimiento de Newton, seobtiene

l'inicial necesaria para que el cohete continúe subiendo.La aceleración del cohete' será dthidt", La fuerzaque actúa sobre el cohete es la fuerza de atracciónuniversal entre el cohete y la tierra, -kn'zM/(R+h)2,en donde M y R son respectivamente la masa y el h

Fig. 12

z

Desde un punto A de la tierra,se lanza ver ticalmerite un cohetede masa m. Sea h la altura delcohete a la tierra en un tiempo t.Queremos hallar 1) la ecuaciónque rige el movimiento ascendente,2) la velocidad de escape (velocidad

(10) Lanzamiento vertical de un Pocohete

1)(33)

con esta condición se recibe que e=Po, entonces la ecuación de lapresión atmosférica en función de la altura es;

P=Poz=O,cuando

Para determinar el valor de e consideramos que la presiónatmosférica en la supreficie de la tierra es Po, es decir,

La solución de esta ecuación es (ver 11 § 1).p=e e-l:Oz

extremo libre la barra se flexiona. En estas condiciones queremoshallar la ecuación de la curva correspondiente. Tomemos como ejehorizontal X al eje de la barra cuando no ha sido flexionada y comoorigen del sistema el punto de la pared donde la barra ha sido

Fig. 14

i

w

A

x l-x

-

Consideremos una viga OA delongitud 1 empotrada horizontalmenteen la pared (Fig. 14). Si esta viga sesomete a una fuerza vertical W en el

(11) Ecuación de una viga flexionada

siempre y cuando no se considere laresistencia del aire.

velocidad de escapeque 11.3 krn/seg.,

Es decir que ladebe ser mayor

Vo>v'2kM/R=11.3 km/seg.

(Nota) Sustituyendo los valores de R, k y M,R=6370km, k=6.67x10-2°km3/kgseg2, M=6.07x102·kg

se recibe que

Vo>v'2kM/R (39)

(38)

o bien

il

V 2 2kMh O 1 . ho - R(R+k) > para cua qUler .

h -+ 00, V02- 2kM >0R

De la ecuación (37) se deduce que la velocidad disminuye a medidaque el cohete sube, pero que después de llegar a la velocidad cero,el cohete regresará a la tierra. Por esto, para que el cohete sigasubiendo, es necesario que la velocidad no sea cero, es decir

(37)

(35), se recibeReemplazando este valor de e en la ecuación

(dh )2 11 2kMhdt =Vo - R(R+h)

lanzamiento es VD, es decir, cuando h=O, dh/dt= Vo• Entonces seobtiene

]6 Planteamiento

dy/dx=O%=0,Entonces C.-O, por esto

Para determinar el valor de el' es necesario tener en cuenta lacondición del origen;

(40)

Esta ecuación diferencial de segundo grado será estudiada en IV, §1.Integrando con respecto a x se recibe:

~ =- ~ J ~l-x)dx= --~ {lx- ~2}+CI

d2(l-x) W= -k d~

entonces

Planteando la ecuación de equilibrio se recibe(l-x) W=k/R

'es decir;

Pero como hemos supuesto que la flexión es pequeña, entonces laviga es más o menos horizontal, por 10 cual podemos considerar que

y'=o

entonces se obtiene

y=y(%)

En donde k es una constante propia de la viga. Si la curva de laviga flexionada es

Si hay equilibrio este momento es balanceado por el momentoelástico en el punto P y este último es inversamente proporcionalal radio de curvatura R, es decir

Momento elástico = k/ R

incrustada. Tomemos cualquier punto P(x) sobre la viga ysupongamos que la flexión es pequeña, entonces el momento de lafuerza W con respecto a P es

(l-x) W

Plan'eam""'o 1'1

. ,ecuacion :

Si la corriente es estacionaria (es decir la velocidad no depende deltiempo), esta resistencia se equilibra con la diferencia de fuerzasen los extremos nr? (PI - P2). Entonces se obtiene la siguiento

porción de líquido de forma cilíndrica de manera que este cilíndrosea coaxial con el cilindro exterior y de radio r, Como el líquidoes viscoso, en la superficie del cilíndro del radio r actúa una fuerzaaxial en sentido contrario al novimiento del líquido (resistencia porviscosidad). Esta resistencia es proporcional al área de la superficie(27rrl), y al gradiente de la velocidad (duidr), a saber

Resistencia= -p.(21Crl)dv/dr

Fig. 15

á!"\,,, ,IhP, 1,

"\.J/

Consideremos un cilindro de radio a y longitud 1 dentro del cualcircula un líquido cuyo coeficiente de viscosidad es p.. Hallaremosla velocidad v del líquidodentro del cilíndro si ladiferencia de presiónes en losextremos es dada, (Pl-P~).(ver Fig. 15). Tomamos una

(12) Corriente de un líquido viscoso dentro de un tubo

(/ ) _ W;l3y -- 3k

De esta solución se puede obtener el desplazruniento del extremolibre A como sigue:

(14)

se recibe que C~=O, por esto

y= - ~'r{lxl- ~3}

Teniendo en cuenta que,cuando x=O, y=O

Integrando de nuevo con respecto a x se obtiene

y= - ~[; x2- ~3J+C2

~ =_ ~ {/x- ~2}

18 Planteamiento

Fig. 17

/.Considere 1110S el problema de lacorriente clér t r ica ('11 un circuito

(13) Corriente eléctrica en uncircuito.

-q

+qR (;

Q=-!!_ ePI - P2) a4 (43)8 ¡Lt

Esta es la fórmula de Poiseuille.

o bien

Por esto la cantidad total que sale del tubo es: Fig. 16

Q _c: Ja ver) .27Tr dr = (PI; 12)1( Ja (a~- rl) r dr1) ¡.¡. o

Entonces Id cantidad de líquido que sale por elárea rayada es

dQ= ver) ·21l'r dr

(Nota) De la solución anterior, podernos calcular la cantidadde líquido que sale del tubo, corno sigue:

En la figura 16, el área del filete rayado es21l'r dr

Entonces

Experimentalmente se ha demostrado quecuando r=a, v=O

Por esto

Integrando esta ecuación diferencial con respecto a r, se recibe:

V=_Pl=P2_r,+C (C es constante de integración)4¡.¡.1

o bien

Plantenmiento 19

y A, B 80n con,tante8 de íntegracién,

/ 1 R ):l(1)=\1 Le - ( 2L

en donde(48)i=e-Rt /2L {A cos (1)t+B sen (1)t}

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientesconstantes, la cual trataremos en IV, §3 y su solución es

(47)

•Reemplazando (45) en (46) se obtiened2j di 1.

L dt2 -:Rdf+C'=O

(46)1 dq d2i _ di-C- dt -L dt2 -R-¡¡¡

Para eliminar q de las ecuaciones (44) y (45), se deriva la expresión(44) con respecto 'a t:

(45)dq .-df='

. Además como el decrecimiento de la carga q por un tiempo unitarioes la corriente eléctrica,

(44)q L di R'C- ([{= ,

compuesto de un condensador C, una bobina cuya inductancia es L,y una resistencia R. Queremos' obtener la ecuación que rige laintensidad de la corriente en función del tiempo. Sea i la corrienteeléctrica en el circuito y q la carga eléctrica acumulada en elcondensador. De acuerdo con la ley de Kirchhoff la fuerzaelectromotriz producida en el circuito es igual al producto de laresistencia R y la corriente i. Cuando la corriente varia se produceuna fuerza elecromotriz - L di/di en la bobina, (ley de inducciónelectromagnética de Faraday) en donde L es una constante propiade la bobina llamada "inductancia." Como la carga eléctricaacumulada en el condensador es q, la fuerza electromotriz (voltaje)es q/C en donde e es la capacidad del condensador. Entonces seobtiene;

10 Planteamiento

Si consideramos que la ecuación de la cuerda esy=y(x)

(49)tan 8=spg/7'1I

Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones anteriores serecibe:

Como la porción AP es estática. estas tres fuerzas deben estarbalanceadas, y por esto podemos plantear las siguientes ecuaciones:

T sen ü=se«. T cos B= T«

iii) La tensión T tangente a la cuerda que actúa en el puntoP. La componente horizontal de T es T cos e y la componentevertical es Tsen e, en donde e es el ángulo entre la tangente y eleje x.

ii) La tensión horizontal T¿ que actúa en A.

"......_

en donde s=AP, p es la masa por unidad de longitud y g es laconstante de la gravedad.

"......_

i) El peso de AP (dirigido hacia abajo).spg

Fig. 18

xosog

y

fuerzas siguien tes;

Determinemos la ecuacion

(14) Catenaria

de una cuerda cuyos extremosestán fijos (ver Fig. 18). SeaA el punto mínimo de la cuerday B, D los extremos. Ahoratornemos el sistema de coordenadas cartesianas x, J' demanera que el plano x y estéen el plano de la cuerda y además que el eje vertical pase por elpunto A. Sea P(x, y) un punto sobre la cuerda, y consideremos la

,-.._ ,-.._

porción AP de la cuerda. Sobre la porción AP, actúan las tres

La ecuación (47) es equivalente a la ecuación de la oscilaciónamortiguada (30).

Plnnteamiento 21

y-=.!_ cosh (ax)+C2aLa ecuación anterior Que corresponde a la curva llamad:.. Catenaria," es la ecuación de una cuerda sujctn por SU" exu t "Hit,

o bien

Reemplazando este valor en la ecuación (52) se recibe:

y= 1 (ea:z:+e-Clll)+C22a

entonces

dy -Odx -

Teniendo en cuenta que A es el punto mínimo y además, que .eneste punto (x=O)

En donde Ci, C2 son constantes de integración ya=pg/To

(52)

Esta ecuación diferencial de segundo orden será estudiada en IV §1y su solución es:

Reemplazando este valor en la ecuación (51), se obtiene:

d2y = Pg /1+ ( dy )2dx' r, V di

(ds/dx)2=1+ (dy/dx)3o bien

incremento de la longitud, por esto:(dS)2= (dx) 2+ (dy) 2

Como s es la longitud de la pordión de cuerda AP entonces ds es el

(51)

Derivando esta ecuación con respecto a x se obtiene:d2y Pg dsdX2 T¿ dx

Reemplazando la expresión (50) en la ecuación (49) se recibedydx-=spg/To

(50)tan 8=dy/dxentonces

22 Planteamiento

De la ecuación anterior, integrando miembro a miembro, se rcci be :

r ~y - J ¡(x) ·dx+·C CC es constante de integración) (3)J g(y)

Haciendo las mismas transformaciones del ejemplo se obtiene que:

(1)~~- ¡(x) -ss»:

Pero como C es una constante arbitraria, entonces 2C es una nuevaconstante arbitraria, por esto, haciendo 2C=C¡ se obtiene de 13ecuación anterior la solución general

X~-l·y2=C¡En el ejemplo anterior la ecuación diferencial tiene la Iorrna

siguiente:

entonces

JYdY=-JXdX+C

y dy=c= x dx, o ydy+xdx=OEntonces, integrando miembro a miembru la expresión anterior, seobtiene:

dy _ xdx - y

En la ecuación anterior las variables y diferenciales se puedenagrupar así:

§ l-Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables.

Como ejemplo se toma en consideración la siguien te ecuacióndiferencial de prrrner orden:

Ecuaciones diierencioles deprimer orden

CAPITULO 11

b sen f11 b .r -de+C,- cos [7J ~ = J

por consiguiente

entonces, separando variables, se recibe:

dY =b sen () --dllr l-b cos iJ

Asociando se obtiene, - • 1 •

(l-b cos 8) dr =br sen OdO

Esta ecuación también se puede expresar de la siguiente manera ;dr=b cos B-dr+br sen O·dO

•

(Ejemplo 2) Hallar la solución de la siguiente ecuación diferen-cial :dr=b (cos O dr+r sen O-dO)

~

Como el es una constante arbitraria entonces eC' es también unaconstante arbitraria, por esto, sea eCl =e ;por consiguiente 1+Y =e e21

Esta. última ecuación es también solución general de la ecuacióndada sin que sea diferente a la obtenida arriba por 10 cual se puedenusar indiferentemente.

Esta es la solución general de la ecuación diferencial dada perose puede escribir en la forma siguiente:

1+y=e2l+Cl=eCte21

(el es constante de integración)In (1+y)=x+e1de donde

J dy J dx+el1+yentonces

Separando variables se recibe:

dy dx1+y

(Ejemplo 1) Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial

~~ =1+y

La ecuación resultante (3) es la solución general de la ecuacióndiferencial (1).

24 Variables separables

du1 2 =dx-uentonces

o bien1 du _ 2 '- -udx

Con la transformación anterior la ecuación dada toma la formasiguiente:

Sea u=x-y+1 (u es una nueva variable)dy -1 dudx - dxentonces

-(Ejemplo 3) Resolver la siguiente ecuación diferencial:

;~ = (x-y+ 1)2

Por medio de transformaciones adecuadas algunas ecuacionesdiferenciales se pueden transformar en ecuaciones diferenciales devariables separables como veremos en el siguiente ejemplo.

10) Y In x lny dx+dy=O

8) (xy+x)dx= (X2y2 + X2 +y2+ l)dy

(Nota: Factorizar cada miembro)7) xy dx- (x+2)dy={J

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

1) !!.L= b2x 2) x' dy + 2=0dx a2y . dx y

3) !!.L= sen x 4) dy _ :vTx cosy dx - 2x

5) ~~ =e-' cos x 6) xy+y2 ;~ =6x

EJERCICI()S

r=C (l-b cosO)

In r=ln (l-b cos 8)+C1•de dondeasí se obtiene queo bien

ecuación (2) se obt icne la siguiente cxprer 1('1l:

2 /(, () h ie n ., dI/( 2 (~ " )( \

y reemplazando en la

du I;r - /(dx

Sea ylx w u o bien y=xu (u es una nueva variable)Derivando con respecto a x se recibe

dy dud =x-d -1 tex X

( 2)dy = 2x-y -2-Y-dx x - xo bien

( 1)

En esta sección se estudia otro tipo de ecuaciones diferencialesreducibles a ecuaciones diferenciales de variables separables. Setoma como ejemplo la siguiente ecuación:

§2-Ecuaciones Diferenciales llomogénea.s

11) ~~= tan (x+y) 12)dy _ 1 -2dx In (2x+ y+3) +1

13) ~~ =ez+v-1-1 14) :~ =sen (x+y)

15) ~~ =x2-t-y-1 Nota: Hacer el cambio de variable

u=x2+2x+y

EJERCICIOS

por consiguien te

volviendo a las variables x e y se obtiene:

x-y+2 =C e2:z-x+y I

l+ul-uasi se obtiene que

de donde

p.or esto

J 1~:2= J dx+C

26 Ho,nogénf>llS

volviendo a las variables originales x e y, se obtiene la soluci6ngeneral de la ecuación dif rcncial (4), a saber:

"

como la integral de la izquierda es una funci6n únicamente de ula expresi6n anterior puede escribirse en la forma siguiente:

F (tl) =1n x +C ( 5 )

J du J dxI(u) -tt = x +C=/n x+Centonces

Separando variables, la ecuaci6n anterior toma la forma siguiente:du dx

I(u)-u x

Reemplazando las expresiones anteriores en la ecuaci6n (4) seobtiene la siguiente ecuaci6n diferencial de variables separables:

du dux dx +u=/(u) o bien x dx =/(u)-u

La expresi6n (4) se llama ecuaci6n diferencial homogenéa y parahallar su soluci6n se hace la transformación yl x=u, entonces

y=xu dy/dx=u+x duldx,

(4);~=1(+)Isiguiente:

Esta expresi6n es la solución general de la ecuacion (1)_

En el ejemplo anterior la ecuaci6n diferencial tiene la forma

Finalmente la ecuación anterior puede escribirse como sigue:x2-xy=C¡

Reemplazando en (3) el valor tc=yl x se obtiene:

1-L=C¡ x-2x

(3)o bien

integrando miembro a miembro la ecuaci6n anterior se recibe susolución general, a saber:

-In (1-u)=2/11 x-¡-C=ln x2+C

du = 2 dx1-u xentonces

Ho,,,ol(énf'lllf "1.7

el (/Jo bien

La solución de esta ecuación diferencial es:In (u+vI+u1) =In x+C

du /'---=u+xTx=u+v l+u2

du dxvi+u2 X

o bien

con la transformación y!x=u, la ecuación anterior toma la formasiguiente:

o bien

transponiendo y asociando se obtiene:xdy = (y + .v'--:X2:-:+-y~2)dx

(Ejemplo 2) Hallar la solución general de la siguiente ecuacióndiferencial:

volviendo a las variables originales se obtiene la solución generalde la ecuación diferencial dada:

y9 =lnx+C3x8

o bien

u2 du=_d_x_xo bien+ a« 1

u x dx u2 +u,

J u' du = J ~ +C,por esto

entonces, con estas transformaciones, la ecuación dada toma lasiguiente forma:

, dy = X3+y3 = X2+..L = 1/(1...)2 +..Ldx xy2 y2 X X X

sea y/x=tt, por esto dy/dx =t~+x duldx

Esta ecuación puede reducirse a la forma de la ecuación (4) comosigue :

(Ejemplo 1) Resolver la siguiente ecuación diferencial:xy2 dY_(X3+y3) dx=O

F( ~ )=ln x+C

28 Homogéneas

(2)La Fig. 19 es la gr áfica de las ecuaciones

(J). 1 by I e O a'x, b'y I e' O

no es homogénea porque tanto en el numerador como en eldenominador aparecen dos constantes e y e'. Si por algunatransformación se logra eliminar e y e' la ecuación se transformaen ecuación diferencial homogénea.

( 1)ax+by+c )a'x+b'y+c'

,La ecuación diferencial

~=F(

Por medio de una transformación adecuada algunas ecuacionesdiferenciales pueden reducirse a ecuaciones diferenciales homogéneas;la forma mas general de este tipo de ecuaciones es la ecuacióndiferencial (1), sin embargo, en los ejemplos (3) y (4) de estasección se estudian algunas ecuaciones diferenciales para las cualesel método es diferente.

§3-Ecuaciones Diferenciales Transformables a Homogéneas.

(vx2_y2_y arcsen L) dx+x arcsen1..ody=Ox %10)

9) (y cosL+x sen 1.. ') dx=x cos 'y dyx X J X

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.-dy dv/1) x+y dx =2y ,;'2) 3X2 ¿x =2x2+y2

dy dy _ y (2.x3-y3)3) (4x+y) dx =y-2x 4) dx - X (2x3-3y3)

5) (x2+2y2) dx-xy dy=O 6) (x-2y) dX+(2x+y) dy=O

d d / Y dy y7) xy x-(x2+2y2) y=O 8) %COS-o_=ycoS--%X dx x

EJERCICIOS

y J y2-+ 1-1- ., =C1 x,X x·

Por esto la solución general de la ecuación dada es:

La solución ge ne r al de la ecuación anterior es:

dY __ y_.y _. 1-· Y/X-(IX - X·.¡..3Y- 1+3Y/X

transforma la ecuación dada en la siguiente ecuación diferencialhomogénea :

•

se cortan en (2, 1) por 10 cual el cambio de variables

x =X -j. 2 y =y +1

Las rectas

dy _ x-y-1dx - x+3y-5

x-y- 1=0 x+3y-5=0

•

.ecuación diferencial:(Ejemplo 1) Aplicando la teoría anterior resolver la siguiente

Esta es una ecuación diferencial homogénea, y el método para hallarsu solución fue estudiado en la sección anterior.

Se ha estudiado el caso en que exista el punto de corte (a, (3)

pero puede darse el caso de que las ecuaciones (2) sean paralelas,es decir, que las inclinaciones sean iguales, entonces la solucióngeneral se obtiene aplicando el método del ejemplo (2)

(5)dY_ ( aX+bY \ (a+bY/X) (Y)dX-F (j'X-+b'y-;=F a'+b'Y/X =1 X

Fig. 19

la ecuación diferencial (1) puedeescribirse así:

x

Por esto, haciendo el siguientecambio de var iables

xdX=dX} (4)dy=dY

x=X+(Y }y=Y+#

cuyo punto de corte es ((, f:l). Si se traslada el origen del sistemaal punto t«. f:l) las ecuaciones(2) pueden escribirse así:

aX+bY=O} (3)a'X+b'Y=O

1) (x-y+1) dy-(x+y-1) dx=O2) (x-2y+5) di+ (2x-y+4) dy=O3) (-4x+3y-7) dx- (x+ 1) .dy=O4) (2x-y) dx-s- (4x-2y+ 1) dy=O5) (2x-2y) dx+ (y-x+ 1)dy=O6) (2x+3y) dx+ (y+2) dy=t)7) (2x-y-l) dx- (y-1) dy=O8) (6x+4y-8) dx I (x+y-1) dy=O

EJERCICIOS

Volviendo a las variables iniciales se obtiene la solución generalde la ecuación dada:

la solución de esta ecuación diferencial esu=C e2U-O:D

2u-15u du+d»o bien

con estas transformaciones la ecuación dada toma la siguiente forma:2- du __ u+2

dx - 2u-l

dy -2- dudx - dxentonces2x-y=u,

Las rectas 2x - y +2=O y 4x - 2y -1 =O son para lelas, por esto, y deacuerdo con la nota anterior, sea

Esta ecuación diferencial puede escribirse así:dy 2x-y+2dx = - 4x-2y-1

(2x-y+2) dx+ (4x-2y-1) dy=O(Ejemplo 2)

(X-3Y) (X+Y) =cVolviendo a las variables originales se recibe la solución generalde la ecuación diferencial dada:

(x-3y+ 1) (x+)'-3) =C

T'rans ior mables a hO'''OIl~''f·(l1f 31

3.E.Y-=3y+tdi y-t

se obtiene una ecuación diferencial semejante a la del ejemplo (1),a saber:

Si en esta ecuación se hace la transformaciónx3=t

•

Factorizando y transponiendo, la ecuación anterior toma la siguienteforma:

dy _ 3x2Y+X5-dx- y-x3•

(Ejemplo 4)

y reemplazando el valor de v en función de y se obtiene la solucióngeneral de la ecuación dada:

x=C e-~l''''

La solución de esta ecuación diferencial homogénea es:x=c e=!»

Con esta transformación la ecuación diferencial llega a ser:do v-x v--=--1dx x x

2 dy _ dvy dx-Txentonces,Sea

y2-x2xyy2-x

X

dydx

2 dyy dxentonces

(Ejemplo 3)

Como se verá en los siguientes ejemplos, algunas ecuacionesdiferenciales llegan a ser homogéneas con el cambio de variableyft=v o ,;""=t.

9) (2x+4y+3) dy= (2y+x+ 1) dx10) (3x+5y+6) dy= (7y+x+2) dx

•

se dice que (1) es una "ecuación diferencial exacta." Aceptandoque se satisfaga la condición (2), la ecuación dada toma la siguienteforma:

si existe una función de dos variables [ex, y) tal quea[ o[ox =F (x, y) y -oy =G (x, y) (2)

( 1)Dada la ecuación diferencial

F (z, y) dx+G (x, y) dy=O

§4-Ecuaciones Diferenciales Exactas

3 dy = y+X/y2dx 3y3_X

(4xyl/l_6y) dx-s- (4yl/2-3x) dy=O(2x-y4) dx-4y3 (x+12y4) dy=-O

2dy __ y+4vxdx - x-2yv x

14)

15)16)

17)

se puede transformar en ecuación homogénea haciendo el cambio devariable X"'= t. ..........__13) (2xy-4x3) dx- (2y-x2) dy=O

se puede transformar en ecuación homogénea haciendo el cambiode variable ym=v.12) Demostrar que la ecuación diferencial

dy _ xm-I (A y+ B X'n)dx - A' y+B' x'"

11) Demostrar Que la ecuación diferencialdy _ Ax+ B ymdx - ym-I (A' x+ B' ym)

EJERCICIOS

Reemplazando él t por su valor se obtiene la solución general de laecuación dada :

La solución de esta ecuación es:3y2_6yt-t2=C

Diferenriale8 exarta« 33

Nota: Para una función de dos variables f (x, y), la expresión ('Olfax)«dx-i(allay) .dy representa la. variación infinitésima de la función y se denominadiferencial exacta de I (x, y), (di). Si no existe variación (di=O), I debeser constante .(1= C)

•(8)

a J" . JiB »r J" aGay F (x, y) dx= a dx= a dx:ro =e Y Zi) x

=G(x, y)-G(xo, y)

Pero

(7)

en donde Y(y) es la constante de integración y además estaconstante puede contener la variable y porque la integración seefectúa con respecto a x. Para hallar esta función Y(y) sereemplaza (6) en la" segunda ecuación de (2) y se obtiene:

af a J" dYay = ay =eF (x, y) dx-s- dy =G (x, y)

Esta expresión permite saber con facilidad si la ecuación porresolver es o no diferencial exacta. Además, como se demuestra acontinuación, si la condición (5) se cumple existe una funciónf (x, y) que satisface la ecuación (2)._Integrando miembro a miembro la primera ecuación de (2) conrespecto a x (de Xo a x), se recibe:

f (x, y) = J:F (x, y) dx-s- Y(y) ( 6 )

(5)o sea que

axaG

Es decir que f(x, y) =C es la solución general de la ecuación diferencialdada (1); por esto para resolver la ecuación (1) es necesarioy suficiente hallar una función fex, y) que satisfaga la condición (2).Se da a continuación un criterio más práctico para saber si unaecuación dada es una ecuación diferencial exacta y luego se estudiael método para resolver este tipo de ecuaciones. De acuerdo conla condición (2) se recibe que:

aF 03/ _ a2fay oyax axay

aF aGay ax

(4)f (x, y)=Centonces

(3)af afax -dx+ ()y .dy=df=O

34 Diferenciales exactas

Se puede 'observar que si xo=O, yo=O la segunda integral sehace mas fácil, por esto la expresión anterior toma la formasiguiente:

-r (ell+ ye.e) dx+ J' (e.:ro+xoetl) dy=CJ%O . tlo

solución será:Se concluye que es una ecuación diferencial exacta y por tanto su

es una ecuación diferencial exacta y hallar su soluci6n general.Aplicando el criterio (5) se recibe:

o oay (e" +ye.1:)= e"-t· e=, ox (el:+xe") = eZ:+e"

en donde Xo, Yo son constantes arbitrarias pero deben escogerse de.manera que la integral de G (xo, y) sea mas sencilla .

•

(Ejemplo 1) Demostrar que(e"+ye.1:) dx+ (ez+xe') dy=ñ

(C es constante)

De las ecuaciones (4) y (10) se recibe que la solución general dela ecuación diferencial (1) es:J:F (.r, y) d.r+ I:_c (.ro, y) dy=C

f (x, y) = JIII F (x, y) dx « J" G (xo, y) dy (10):q, '0

Se puede concluir de (9) y (6) que la función f (x, y) tiene la formasiguiente:

Integrando con respecto a y (de Yo a y) se obtiene la función Y ~y):

Y(y) . J' G (xo, y) dy (9)"o

Para pasar de la segunda a la tercera integral se debe aplicar lacondición (5). Substituyendo (8) en (7) se recibe:

dG (x, y) -G (xo, y) + dy Y (y) =G (x, y)

o bien 4Y (y) G (x y)Gly 0'

Diferenciales exactas 35

Comprobar que las siguientes ecuaciones diferenciales son exactasy hallar su solución general.

•1) (2.1'+y) dx+ (.1'-2y) dy=O2) (3.1'2-2xy) dx+ (4.f-.1'2+3) dy=O3) (y sen x-sen y) dx- (x cos y+cos x) dy=-O4) (3%2+2xy2) dx-i- (3y2+2x2y) dy=O5) (cos 2y-3.1'2y') dx+ (cos 2y-2x sen 2y-2x3y) dy=O6) (2.1'y-tany) dx+ (x2-xsec2 y) dy=O7) (y/x-Iny) dx+ (In x-xIY) dy=O8) (x3+ezseny+y3) dx+(3xy2+&=COSY+'y3) dy=O

9) (1'~X2+. arctanY)dx+( l-i~y:¿+arctanx) dy=O

10) {lnltJ(x-.Y)+Z1I(!_y)· .1'~y}dX-{-ln(~_y)' X~y}dY-O

EJERCICIOS

Nota: En este ejemplo se puede tomar .1'0=-0::>

o bien

En este caso .1'0no puede ser O, pero en cambio pueden darse losvalores .1'ij=l, >,0=0, por esto:

J' ~dz- Jr dy=C1 X o

Por esto su solución general será:

Jz +dx- J' _l_dy=C~ x "o Xo

o ( 1)_ 10.1' -x- - x2

una ecuación diferencial exactaSe comprueba fácilmente que esporque se cumple (5), es decir

~(L)=_loy .1'~ x~,

y 1-l dx---dy=Ox x

(Ejemplo 2)

(Solución general)ze'+Yez=Co bien

36 Diferenriales exactas

i) En el caso en Que flt sea una función únicamente de x laexpresien (5) toma la forma siguiente:

--'

La dificultad Que en general se presenta para hallar una•

función /L(:C,y) apropiada obliga a dividir el problema en casos.particulares:

(5)oC/LN)ax

aC/LM)ay

y además

Se supone Que existe un factor integrante fL(X,y), tal QuefLM(x. y) dx +fLN(x, y) dy=O (4)

(3)

--~-Se considera la ecuación diferencial no exacta:M(x,y)dx+N(x,y)dy=O

oM oNay ~ ox

-ecuación dada, mas sin embargo existen algunos métodos paraencontrarlo, pero deben aplicarse a la ecuación hasta encontrarentre ellos un factor apropiado.

no es diferencial exacta. Este ejemplo muestra que hay algunasecuaciones que, como la ecuación (2), provienen de una ecuacióndiferencial exacta y por lo tanto pueden ser transformadas aecuaciones diferenciales exactas si se les multiplica o divide poruna función adecuada. Esta función se denomina factor integrante.

f

'En el caso de la ecuación (2), ésta se transforma en una ecuacióndiferencial exacta si se multiplica por y-2, por esto un factorintegrante para la ecuación es y-2.

Por lo general es difícil hallar un factor integrante de una

(2)..

es una ecuación diferencial exacta, pero .si se multiplica por y2, laecuación resultante \

( 1)

La siguiente expresión

§ 5-Factor Integrante

Factor intefrGlllA! 37

•porque el valor de la constante k no trasciende al resultado final.. "

Multiplicando ambos miembros de la ecuación dada por el factorintegrante hallado anter iorrnente se obtiene la siguiente ecunrlcndiferencial exacta:

1 djL 2• dxfL x

o bienk

jL(x) = 2X

En particular1¡.t(x) = 2X

es una función de x, entonces existe jL(x) que cumple la condición(6), es decir:

Pero como

entonces

N=-xM=Z3+y,Sea

(x3+y)dx-xdy=O(Ejemplo 1)

Si el miembro derecho de la ecuación (6) es una función de x,y solamente de x, se puede encontrar una función p.(x) que sea unfactor integrante de la ecuación dada.

Como ilustraci6n a este primer caso particular se considera elsiguiente ejemplo:

(6)

o bien

oN )=N dI'ox dxp.(Z)( aMay

38 Factor integrante

y la solución general de la ecuación es entonces:(ry+sen x)eY=C

iii) Hay casos en los cuales el factor integrante está dado por1 producto de dos funcíones X(x) y Y(y), es decir:

"(~,'y)-X(~)Y(y) (8)

, (y+cos x)eYdx+ (x+~y+sen x)eYdy=Osiguiente:

Entonces existe un factor integrante I-'(y) , tal que:

1 dI-' -1 o bien 11,=e1l1-' dy - , r:

Con este factor integrante la ecuación dada toma la forma,

( aM _ aN )/(-M)=lay ax,

por esto

:;; ~~ =l-(l+y+cosx)=-y-cos~

entonces

N=x+xy+sen xM=y+cos x,Sea

•(y-t-cos x)dx+ (x+xy+sen x)dy=O(Ejemplo 2)

,

6S una función unicamente de y, y a continuaci6n aparece laecuación que permite hallar el valor de p.(y) :

_]._ _!}_I!_= (_ a~{ _ aN )/( -M)1-' dy ay ax

de y, en este caso la función existe si

( aM _ aN )/(-M) (7)ay ax ,

•ii) Se sigue un procedimiento análogo cuando 1-' es una funci6n "

y -cx2

y la solución de esta ecuación es:

(x+ ~2 )dx- ? =0

Factor integrante 39

y su solución general es la siguiente:

Por esto un factor integrante para la ecuación dada es:•J.L(x, y) =X· y =X-1y-l

Se concluye entonces que la ecuación diferencial toma la forma:•

•y=_I_

yX= 1x '

entonces

Observando esta última ecuación, se ve que se satisface si:X' 1 Y' 1X - x' y -- y

,X' Y'-2= X x(xy+l)- y y(xy-l)

por tanto:

oM aNay ax =(2xy-l)-(2xy+l)=-2

entonces

yM=xy2_ySea

(Ejemplo 3)

Como M y N son funciones conocidas, el primer mienbro de (9) esfacilmente deducible. En algunos casos es fácil hallar las funcionesX y Y.

(9)X' y'X N- Y M

XY( oM _ oN )=X'YN-XY'May oxDividiendo por XY se obtiene:

'OM oNay ox-

o bien:

Reemplazando este valor en la ecuación (5) se recibe:

X{Y'M+ y ~~ }=Y{X' N+ X ~~ }

40 Factor integrante

Si uno cuaclon di'. renclnl ti n lo forma•

Ecuacl6n Diferencial Lineal

1) (x-y+ l)dx-dy=O 2) (xy3+ l)dx-j- x2y~dy=03) xdy-ydx+ (y~-I)dy=O 4) xdy+ydx=x~ydyS) x2y2dx+ (x3y~y+3)dy=0 6) x2dx- (X3y2+3y2)dy=07) (xy2+ x2y2+ 3)dx + x1ydy =O 8) (I/x)dx- (1+xy2)dy=09) (x2+2;X+y)dx+ (l-x:!-y)dy=OlO) (cos x-sen x+sen y)dx+ (cos x+sen y+cos y)dy=O

EJERCICIOS

y de (13) se recibe otro factor integrante de la ecuación, a saber:¡.L=I/(xy)

la satisfacen.

De (12) resulta que un factor integrante de la ecuación dada es:JL=ez+'V

(13)satisfacen la ecuación (10), pero tambien

X'/X=-I/x, Y'/Y=-I/y

(12)Y'/Y=lX'/X=l,Es fácil observar que

(11)

De (9) y (10) se recibe:X' y'x-y= X x(y+ 1) - 'y y(x+ 1)

(10)oNox =x-y

oMay

entonces

N=x(y tI)M=y(x+I),Sea

Nota: Es necesario tener en cuenta que para una ecuacióndiferencial el factor integrante no es único, como puede observarseen el ejemplo suguiente:

y(x+I)dx+x(y+l 'dy=O

xy s ln y/x=C

F;ruación lineal 41

El método que considera la constante de integración de la solución(3) como una función de x, (para hallar la solución de la ecuacióncuando Q(x)~O), se llama Método de vaeíacién de parámetro y •

, '

•

(7)y= [C+J {Q(x)eJPdZ}dx] e: JPtU

Reemplazando (6) en e4) se recibe la solución general de la ecuación .....(1), a saber:

(6)

por esto el valor de v es:

v(x) =C,+ J {Q(x)eJPdX} dx

v' (z) =Q ex) e/PdZo bien

Reemplazando en (1) las fórmulas (4) y (5) se recibe:v' ex) e- /Pdz- P(x) V (x) e- ¡Pdz+pex) v ex)e- /Pdz=Q (x)

(5)dy =v'(x)e-JPdZ-P(x) ov(x)e-/PdZdx

Para hallar el valor de v(x) se deriva (4) con respecto a x y seobtiene:

(4)y=v(x) .e-sr=

Con ayuda de (3) se puede hallar la solución general de la ecuación(1) para Q(x) ~O. Es de esperar que esta solución tenga la mismaforma de (3), pero que en el puesto de C aparezca una nuevafunción de x, por ejemplo v(x).Entonces

(3)y=Ce-JP(Z)d.xLa solución de esta ecuación diferencial de variables separables es:

en donde P y Q son funciones de x o constantes, recibe el nombrede ecuación diferencial lineal. Para hallar la solución general dela ecuación (1) se supone inicialmente que: Q(x) =0. En ·este casola ecuación (1) toma la siguiente forma:

~~ +P(x) ·y=O (2)

( 1)dy .dx +P(x)y=Q(x)

42 E'cuación lineal

Como esta ecuación es del tipodx-dy+P(y) ox=Q( y)

ea p ) - 2/1 y Q(y) =y3

y dx> (2X+y4)dy

Esta ecuación no tiene la forma de la ecuación diferencial (1), peropuede transformarse de manera que tome la forma siguiente:

dx 2--.-- -X=y3dy y

(Ejemplo 2)

o bien

Por tanto la solución general de la ecuación dada es:

y ~ [C+Jex·xdx]

y

entonces

yP(x) = 1xSea

dy +__!__y = eXdx x

(Ejemplo 1)

El primer sumando del segundo miembro de esta expresión es lasoluci6n general de la ecuación <.l iícrencia 1 (2) y el segundo sumandoes una solución particular de la ecuación diferencial (1) cuando en(8) se hace C=O, es decir esta solución particular es:

y=e-JPdXJ {Q(x)eJPdX} dx (9)

(8)

Nota: De la solución (7) se recibe CJUC :

y =Ce- JPdx +e- f'>dxJ rQ (x) ef'>dJl dx

empleado frecuentemente en la solución de ecuaciones diferencialeslineales de diverso orden.

Ecuación. IlnMI

2y -~ dy _ dudx- - dxentonces:Sea

no es una ecuación diferencial lineal porque el segundo miembrocontiene a ya; sin embargo, y con ayuda de una transforrnaciórrsencilla, se puede obtener una ecuación diferencial lineal. Para estoes conveniente escribir la ecuación en la forma siguiente:

. 1 dy t 1 1 (11). y3 dx + an x· y2 = - cosx

(10)~ + (tan x)y= _ 1 yScosx·

La expresión

Ecuación de Bernoulli

1) dy + y ,%3 2) dy 2y=ezdx x dx

3) (.r+2y)dx-x dy=O 4) dy -ycot x= 1 sen 2xdx 2

(2X ~~ +y)v'I+X x dy -2y=x2+x5) =1+2x 6) dx

7) ~~ =üy+b sen x 8) cos y dx= (x sen y+tan y)dy

9) x(1-x2) dy -y+ox3=0 10) (y2-l)dx= y(x+ y)dy.dx

EJERCICIOS

o bien

Aplicando la fórmula (8) se obtiene la solución general de laecuación dada:

JP(Y)dY= -2J (l/y)dy= -In y'!

entonces

44 Ecuación lineal

Despues de resolver esta ecuación debe regresarse a la variableinicial y.

(16)dudx +(l-n)P(x)·u=(I-n)Q(x)

De (14) Y (15) se obtiene la ecuación diferencial linealcorrespondiente:

(15)(1- ) -n dy _ dun y dx - dx

por esto

Se hace entonces el cambio de variable:yl-" =u

(14)

•la cual se denomina Ecuación de Bemoulli.

Para hallar su solución general es conveniente considerar unaecuación equivalente, a saber la ecuación (14) : '

r: ~ +P(x) .yl-n =Q(x)

(13)

La ecuación (10) es un caso particular de la siguiente ecuacióndiferencial:

o bien

y por esto:

1u = cos2x {C+2 sen x]

Como la expresión (12) es una ecuación' diferencial lineal susolución general es:

(12)du 2d... 2 tan X·U= ---"" cos x

De acuerdo con esto se recibe la transformada de (11), a saber:

Ecuación. IlnMI S

A partir de esta ecuación de Bernoulli se puede obtener la función'z, y de acuerdo con lo expuesto sea

Pero como por hipótesis cp(x) satisface la ecuación dada, entoncesel segundo sumando es igual a cero, por esto:

dz' .=tr:»> (P(x) +2Q(x) .rp(XJ} z=Q(x) ·Z2 (19)ax .

o bien

De acuerdo con esto la ecuación (17) toma la forma:•

dz<p'(x)+ dx =P(x) {(p(x)+z}+Q(x){cp(x)+z}2+R(x)

en donde z es una función desconocida que se determina con ayudade la ecuación (17).

Derivando miembro a miembro con respecto a x se recibe dela ecuación (18) la siguiente expresión:

_!jy_ =rn' ex) + dzdx"'" dx

(18)y=qJ(x) +z

recibe el nombre de Ecuación de Riccati, y en general no puederesolverse por métodos elementales; pero si se conoce una soluciónparticular y=(p(x) se puede facilmente hallar la solución de laecuación haciendo:

(17)

La ecuación diferencial

,~ =P(x) 'y+Q(x) .y2+R(x)

Ecuación de Riccati

15) 2y ~ +y2 cot x=cosec x

13)

dy 2 x2+2 y4=0 12) x :~ +v=vi t» xdx 3x y+ 3

~ +2y/x=2xy3/2 14) x-1dx= (x sen y-1)dy

11)

EJERCICIOS

46 Ecuación lineal

Esta es la llamada ecuación diferencial de Clairaut y parahallar su solución vasta derivarla miembro a miembro con respectoa % y luego reducir, oa':

( 1)t= dydxy=pox+ f(p),

§ 7-Ecuación de Clairaut

EJERCICIOS

16) dy '3y+y2_4. (una solución es . q>(x) = 1)dx

17) dy = 1 y+ 1, y2-1 (una solución' es q>(x) =x)dx x X2

18) dy y2_ 1 1 (una solución es 1y+l- - q>(x)'= -t- tan x)dx x 4x2 2x

(23)

Entonces la solución general de (20) es:

y = 1 + 3 cos2 Xcos X C-cos3 X

3 cos' XZ = -C=---c-o-s-=-s-z-

De donde se deduce que:

Substituyendo (21) en (20) se obtiene la siguiente ecuación:

dz -{-2senxo 1 }z=(-senx)oz~ (22)dx . cos x

(21)

Entonces la solución general de la ecuación dada será:1y= +Zcos r

Una solución particular de esta ecuación es:1

y (x) = cosx

(20)dy 2 sen x--+y2 sen x= --;:---dx cos2x

Ejemplo:

Entonces la solución general de la ecuación (17) es:y=cp(x) +f ex, C)

z=f(x,C)

Ecuación de Clairtuu. 47

dp0= (.t:+2P) d. x

o bien

Derivando con respecto a x la ecuación dada se recibe;

p=p+x dp + 2p dp. dx dx

h- dye>: dxs=st+te,

(Ejemplo 1)

.,.pero como no contiene constante arbitraria no es la solucióngeneral. Por otra parte esta solución no se obtiene, en general, apartir de la solución (6), dando valores a C. Esta solución sellama solución smgular y representa la envolvente de la familia decurvas de la solución (6).

y de ellas se elimina p, obteniéndose así una relación entre x y y.E'sta relación es una solución de la ecuación diferencial de Clairaut,

s=st+ri» 1O=x+f'(p) (

•,La ecuación (6) es evidentemente la solución general de la ecuación(1). En caso de que se cumpla la ecuación (5), se consideran lasecuaciones (1) y (5)

Considerando que se cumpla la ecuación (4), se recibe:p=C (C es constante de int.)

Con este valor de P la ecuación (1) toma la forma siguiente:y=Cx+feC) (6)

(5)x+f'(P) =0o,

De la ecuación (3) se deduce que:

~~ =0,

(3){x+ f' (P)} ~~ =0

o bien:

(2)dy =p=p+x dp +/'(P) dpdx dx dx

48 Ecuación de Clair.aut

Si x-l/P~ =0, se elimina p en la ecuación dada y se obtiene lasolución singular de lo c\Aaci6n:

Si dPjdx' O, entonces p=C .Por esto. la solución general de la ecuación dada es:

1y=Cx+ C--1

o,dpdx =0,Entonces

( 1) dp -Ox- p'.l dx-

o bien

Derivando miembro a miembro con respecto x se 'obtiene:

o=ti+ dp 1 dp- x dx p2 dx

Esta ecuación puede escribirse así:1y=px+p-l

Fig. 20

Ecuación de Clairaut 49

(Ejemplo 2)

p2x+l=P(1+y), p=dYldx.

La figura 20 muestraque la parábola 4y+x2=0es la envolvente de lafamilia de rectas y=CX+C1.

Si dpjdx=O, entonces p=C(constante). Entonces lasolución general es

y=CX+C2

Si x+2P=0, se elimina pen la ecuación dada, y seobtiene la solución singular;

4y+x2=0

Entoncesdp-dx =0, o, x+2P=0

y= (P-1)x+ p+ 1(Ejemplo)

De las expresiones (7) y (9) se puede e-liminar p y la ecuaciónresultante es la solución general de (7).

La ecuación (8) es una ecuación diferencial lineal, si se consideraque x es la variable dependiente.

En esta forma la solución general de la ecuación (8) es:x=F(P, C) (9)

( 8 )f'(P) _ g'(P)p- I(p) x- P-f(P)

dxdp

•entonces

p-f (P) = {xf' (P) +g' (P)} ~~

..o bien

Derivando (7) con respecto x, se recibe:

p = f (P) -t- xf' (P) 1x +g' (P) ~~

( 7)p=dYldxy=xf(P) -t-g(P),

Con un procedimiento análogo al anter iorrnente expuesto sepuede dar solución a las llamadas ecuaciones diferenciales deLagrange.

Ecuación de Lagrange

no tiene solución singular.

5) y=xp+.v 1-p2 -p arccos p6) Demostrar que la ecuación diferencial de Clairaut

y=px+ap+b, p=dy/dx

1

2) y=PX+(1+p2)214) y=xp+-:_/;==~

'V P-1

1) y+P2=PX, p=dy/dx

3) y=xp-eP

EJERCICIOS

y= +2.vx-1(y+1)2=4xo bien

50 Ecuación de Clairaut

La ecuación (3) significa que en un punto (x, y) de la curva (1),la inclinación d lo t 11llJ(tint(\ \

(3)dydx F(x,y)

Como se ha dicho en el capítulo 1 §2, la ecuación (1) es equivalentea una ecuación diferencial de primer orden. Para ver esto essuficiente derivar la ecuación (1) con respecto a x :

al + al dy -o (2)0.% ay dx-

Eliminando C de (1) y (2) se obtiene una ecuación diferencial deprimer orden, la cual puede escribirse en la forma siguiente:

( 1)l(x,y,C)=O

Se toma en consideración unacontiene un parámetro C y tiene

Trayectorias Ortogonales:familia de curvas cuya ecuaciónla siguiente forma:

§ 8-Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales a la GeometríaAnalítica

8) y=-P2x+P'J+l10) y= (P-1)x+ ap-+b

7) y=2xP-2p+ 19) yp2+ (2x-1)P=y11) y=mpx+ap1·b

EJERCICIOS

Con este valor de p, reemplazando en la ecuación dada, se obtienesu solución general:

y= (x+ l)/n(x+ 1)+C(l +x) + (l-x)

La solución general de esta ecuación es:t=lnt x«1)+C

1=(x+1) CZo bien

Derivando la ecuación dada con respecto a x se recibe:

P=P-1+x ~ + ~~

Aplicaciones 51

La solución de esta ecuación diferencial es la ecuación de la familiade curvas ortogonales:

Como dyld x es la inclinación de la tangente para la familia (7)

entonces -dx/dy es la inclinación de la tangente para la familia'<de curvas ortogonales. Se concluye entonces que la ecuacióndiferencial de la familia pedida es:

dy/dx=x/y (9 )

hallar la familia de curvas ortogonales.La ecuación diferencial correspondiente a la familia (7) es:

dy =_L (8)dx x

( 7 )xy=a

(Ejemplo 1) .Dada la familia de curvas

" familia de curvas ortogonales no

siempre ortogonal a la tangente de laEsta familia de curvas se denomina

curvas cuya tangente escurva (1). (ver Fig 21).

representa una familia deFig. 21también(6)

. ,ecuaciónLa

correspondiente a la curvaortogonal tiene la formasiguiente: 'ir

1> = 8+-dy _ 1 ')

(6)dx -- F(x,y) O X

porquetan </>= tan (O+ 7(/2) = -l/tan O.

. ,ecuacionlaEntonces

en donde e es el ángulo entre la tangente y el eje x, (ver fig. 21)Si existe una curva cuya tangente en (x, y) es ortogonal a latangente de la curva (3), su inclinación es:

1tan cf>= - F(x,y) (5)

tanO=F(x,y) (4)

52 Aplicaciones

1) Hallar la ecua i6n de una curva tal que la suma de Jos

PROBLEMAS RESUELTOS

4) x2+2y2=C (Familia de elipses con centro en el origen)5) x2+y2-2Cy=a2 (Familia de circunferencias con centros en el

eje y y que además pasan por (a,O), (-a, O))6) X2+Cy2 ,1 (Familia de cónicas que pasan por (1,0), (-1,0))

2) x+y=C3) y'=4(x-C)

En los siguientes ejercicios hallar la familia de curvasortogonales a la familia dada.1) y=Cx (Familia de rectas que pasa por el origen).

(Familia de rectas paralelas)(Familia de parábolas cuyo eje es' x)

EJERCICIOS

y su solución general representa la familia de curvas ortogonales:X2+y2+Cy=0 (13)

(12)dydx

Por lo cual la ecuación diferencial de la familia de curvasortogonales es:

dydx =

Eliminando C de (10) y (11) se obtiene:

Derivando (10) con respecto a x se recibe:dy dy(x-C)+y d =0, o bien, x+y d =C (11).x x

(10)

(Ejemplo 2)Hallar la familia de curvas ortogonales a la familia de

circunferencias que pasan por el origen y con centro en el eje x,La ecuación de la familia de circunferencias (para los diferentes

valores de C) es:

A plicociones 53

P= dydx(~-t)(y-XP)=:k,

Teniendo en cuenta (15), la ecuación anterior puede escribirse•

bajo la forma siguiente :

2) La tangente a una curva en cualquier punto, forma con losejes de coordenadas un triangulo de área constante 2k. Hallar laecuación de tal curva.

De acuerdo con la condición pedida se obtieneOA ·OB=k

(Solución Singular)•

Esta es una ecuación de' Clairaut, y su solución es (ver § 7) :y=Cx+kC/CC-1) (Solución General)

Haciendo dy/dx=P la ecuación anterior puede escribirse ast :_. y=px+kp/(P-1)

se recibe

De acuerdo con la condición del problema:OA+OB=k

(15)(X=O)OA=Y=y-x tj. x

Entonces Jos intersectos son: Fig. 22

OB=X=:x-y /( ~) (Y=O)

intersectos de )a tangente encualquier punto es una constante k y

(ver Fig. 22) A

Sea y=y(x) la ecuaci6n de lacurva pedida y por tanto la ecuaci6nde la tangente a la curva en el punto(x, y) tiene la forma siguiente:

Y-y=( 2 )(X-X) (14)O B X

54 Aplicaciones

1) ro como, por hlp6l 18, In normal pasa por el origen (X:::: O, Y=O)

(16)(y-y)=-ex-x)/( ~~ )

Fig. 23la normal en elentonces .la ecuación depunto (x, y) es:

xoy=y(x)

Esta expresión es una ecuación de Clairaut y su solución es:Ck

y=Cx+ v 1+C2 (Solución General)

X2/3+y2/3=k?/3 (Solución Singular)

4) Hallar la ecuación de la curva cuya ynormal en cualquier punto pasa por elorigen.

Si se supone que la ecuación de lacurva pedida es

Entonces

es decir que:

3) Hallar la ecución de una curva para la cual el segmento dela tangente comprendido entre los ejes coordenados es constante (k)

De acuerdo con la expresión (15) se recibe:

(x- ~ ):!+(y-PX)~=k2

y=Cx+v=-kC·· (Solución General)4xy=k (Solución Singular)

Esta es también una ecuación diferencial de Clairaut, y su soluciónes

y=px+v-kp

entonces

o bien

Aplicncione« 55

y=Cx+"t/ k+ Ck+a2)C2 (Solución General)X2 y2

k-t. a2 + k =1 (Solución Singular)

La solución de esta ecuación diferencial es la ecuación de la curvapedida:

o bien

De acuerdo con la condiciones del problema se obtiene:p¡¡.QII={(x-y/p)2-a2)p'1/Cl+ P)=k

Fig. 24

. tan O=dy/dx=ppero como

(ver (15).)

(ver (15).)

los valores de PB y QB son:PB=Oli+a=x-y/p+a

•QB=OB-a=x-y/p-a

y

EntoncesPH.QK=PB.QBsen'18

=PB·QB tan! 8/{1+tan20}

5) Si el producto de las distancias de los puntos (- a, O) y(a, O) a la tangente de una curva en cualquier punto es unaconstante (k), hallar la ecuación de dicha curva. (Fjg. 24)

Sea y=y(x) la ecuación de la curva pedida. De acuerdo con lafigura 24 se recibe:

PH=PBsenO,

(C"2 es una constante)

La solución de esta ecuación diferencial de variables separables esla siguiente:

dydx = -x/y

o bien

se recibe de la ecuación (16) la siguiente expresión:

-y=x/ ~

56 Aplicaciones

8) Si la distancia del orilen a la tangente de una curva ea

Fig. 26

BHQ

de donde

p_' dy =± k- ·dx y

oo bien

Aplicando la hipótesis delproblema se obtiene la ecuacióndiferencial siguien te :

lk =- ~ (p=dyldx)

7) Si la proyección sobre el eje x del segmento de la normal. (QH) es constante (k), hallar la ecuación de la curva.

De acuerdo con la figura se recibe :y 1

(1H _.tan cp= - tan {} y

de donde:

o bien

y= +kPI"t/ 1+p2

De acuerdo con la condición del problema se obtiene la siguienteecuación diferencial.

Fig. 25

y

Áplicaciune, 57

p=tan 8=dy/dxen donde

6) Si la longitud de la tangente auna curva es constante (k), hallar laecuación de la curva.

De acuerdo con la figura se recibe:y= PB sen 8= +PB tan f)I"t/ 1-+· tan' f)

= ±PBPI"t/ 1+p2

(p=dy/dx)

De la fórmula (15) se recibe:

(X-y/P)2 =x2 +y2

entonces <BPO= <PBO (=(), es decir que:OB2=OP2=X2+y2

<QPR= <PBO (=()

Teniendo en cuenta las condiciones de} problema, (R P/ /0 B), serecibe:

9) Hallar la ecuación de un reflector tal que los rayos de luzque proceden del origen son reflejados paralelamente al eje x.

De acuerdo con la ley de la reflección:<QPR= <{BPO (=()

Fjg. 27.'Entonces

x

Elevando al cuadrado ambos miembrosde esta ecuación y reduciendo se tiene:

dy _ y2_x2p=--?-dx 2xy

yentonces

(ver (15»OB=x- ~

Pero como

p=tan 8=dy/dxen donde

OK =OB cos (/)=OB sen 8= ±OB tan O/v l+tant O=+OB p/v 1+p2

Pero

igual al valor absoluto de la abscisa del punto de tangencia, hallar'la ecuación de la curva.

De acuerdo con la condición del problema:OK=x

58 Aplicariones

por esto la inclinación de la recta AFes:

,A

I/

o F(a,O) X

"'ig. 29(y-xP) -O r= _ y.-xpO-a a

10) Sea A el punto de corte de la tangente a una curva en P(x, y) y el eje Y. Si la circunferencia cuyo díametro es AP pasapor un punto fijo (a, O), hallar laecuación de la curva. y

El valor de OA está dado por laexpresión (15), a saber:

OA=y-xp

•(18) se obtiene la ecuación del reflector:

y2 =4Cx"¡' 4C2Eliminando p de (17) y

La solución de esta ecuación diferencial de variables separables es:'JI ~ C

p2= x+C (18)

dp P(1-P2). dx = 2x

entonces

Fig. 28 bFig, 28 a

y

YI.__----:: ..........p (x, y)

~~ }=O1+·p2 { 2x1-p2 p+ 1-p~

Para resolver esta ecuación de Lagrange, se deriva con respecto ax, y se recibe:

(17)o bien

Aplicaciones 59

(3)dyd%

en donde Co, Ch C2,······ son constantes por determinar de maneraque la serie (2) satisfaga la ecuaci6n diferencial (1).

Para esto se deriva miembro a miembro la expresión (2) y serecibe. :

(2)Se considera "la solución" en serie

y=CO+C1x+ C2X2 +CsX3+CtX4+ .,

( 1)

Como no todas las ecuaci6nes pueden resolverse por métodoselementales, en esta sección se estudiará un método de soluci6nbasado en serie de potencias.

Se toma como ejemplo la ecuación diferencial

~ +xy=I-%2

§ 9-Solución en Serie de Potencias de las Ecuaciones DiferencialesLineales 1

y en la variable original y, la soluci6n toma la forma:Cx2-y2+2ax-a2=O

z=Cx2+2ax-a'entonces:

Para resolver esta ecuaci6n de Bernoulli sea:y2=Z

Con esta tranformaci6n se recibe la siguiente ecuaci6n diferencial:dz 2 z= 2a(a-%)dx x x

dy _ t= 1 y+ a(a-%) ~y-ldx x %

o bien:

.Como por hip6tesis AF y PF son perpendiculares se recibe que:

y-xp y...::;..._-=-- • - .- J-a x-a

Por otra parte, la inclinación de la recta P F es :y-O = Yx-a x-a

60 Solución en serie

Si en cambio de la condici6n (7) se da la condición (inicial)1(1)=1 (9)

(8)Co=l•es

el valor de la constante C, que se obtiene de la ecuación (2) o (6)

(7)

En donde C¿ es una constante arbitraria y su valor no puede serdeterminado porque no hay una condici6n inicial impuesta para Co;

Por esta raz6n la serie (6) es la solución general de la ecuacióndiferencial (1). Por otra parte, si la constante Co puede determinarsecon ayuda de una condición (inicial) del problema, la soluci6n (6)

. .llega a ser una soluci6n particular de la ecuación (1). Por ejemplosi al enunciado se agrega la condici6n inicial

y(O) =1

Substituyendo estos valores en la expresión (2) se recibe:

C Co, 2 _. Co... 2..3 CO.Ay= o+x- x - ""-+ ""-+ ""-- ..,-+ .2 3 8 15 48

= {x- ~ x3,.' 3~5.ra- } +Co{1-+X2+ 2~4~- 2.!.6 .t'+ }

(6)

•II,

C1=1, C.=-Co/2, C,=(-1-C1)/3=-2/3C,= -C,/4=Co/8, CII= -C,j5=2/15Ce= -C./6= -Co/48, ..····

Entonces

............(5)

4C,+C,=OSCII-+ C.=O

segundo miembro se obtiene:C1=12C,+Co=O3C,+C1=-1

Comparando los coeficientes de igual potencia de .1del primero y"

o bienCI·+- (2C,+Co)x+ (3C,+ C1)x"+ (4C,+Cs).r'+ ...... =1-.1' (4)

Substituyendo (2) y (3) en la ecuación (1) se obtiene:(CI, 2C,x+3C3.r2'·4C.x'+ )

+x(Co +C¡X+C2X2-t Csx3+ ......)=1-.1'

.~olu,ción .,11 Ifer/f" 61

Comparando los coeficientes de potencias iguales de (%-1) sehallan las siguientes ecuaciones:

entonces(Do+D1) + (2D,1"D'J+Dl) (.1'-1) + (3D3+D,+ DI) (%-1)'

+ (4D.+D,+D,) (%-1)3+ = -2(.1'-1) - (.1'-1)' (14)

Substituyendo (12) y (13) en la ecuación (11) se recibe:(D1+2D,(z-l) +3D,(%-1)'+ }+ (%-I)(Do+Dl(.~-l)+······)

+{Do+D1(%-1) +:D'j(%-I)'+ }= -2(.1'-1) - (%-1)' -<""

Derivando la serie. (12) con respecto a % se obtiene:

dy =Dl +2D,(%-1) +3D3(%-I)'+4D.(%-I)'+ (13)dz .

y=Do+ DI(%-1) +D,(%-I)t+Da(%-I)'+······ (12)a saber:y hacer el dasarrollo considerando la serie de potencias de (%-1),

".

(11)dyd% +(%-1)y+.)'=-2(%-1)-(%-I)'

o bien

Como el valor de Co dado por la igualdad (10) es dificil de hallarno es conveniente la solución en series (2) si se da la condicióninicial (9).

Cuando se da la condición inicial (9) es conveniente escribir laecuación (1) en la forma siguiente:

~~ +(%-1+1).)'=1-{(%-1)+1)'

(10)1-(1- 2 + 2 _ )

3 3-5Co=---:=-'----::-----::----- =0.93· .....111}- 2 + 2-4 - 2·4-6 + .

entonces

el valor de C. no puede ser obtenido de (2) sino a partir de lasolución (6), dando a x el valor uno:

.)'(1)=1=(1- 2 + 2 _ )3 3-5

+C'(l- 1 + 1 _ 1 + )2 2-4 2·4-6

62 Sol,,('ión en serie

Hallar la solución en serie de' potencias de las siguientesecuaciones dif renclales :

EJERCICIOS

Debe notarse que para una misma condiciónvalor de las constances Co, Do dado por (10) yEn general c.co;

respectivamente.inicial y(l) = 1 el(17) no coincide.

Si este valor se substituye en (16) se obtiene una solución particularde la ecuación (1).

Como las series CS) y (16) son soluciones generales de laecuación diferencial (1) son equivalentes. Estas series se diceque son desarrolladas alrededor de cero y' alrededor de uno

La serie (16) es la solución general de la ecuación (11), o bien lasolución general de la ecuación (1). Además, si se da la condicióninicial (9) se puede determinar en (12) o en (16) el valor de Do:

Do= 1 (17)

Substituyendo estos valores en (12) se recibe:. D (1· 1 )y=Do-Do(x-l)-(x-1)2+ 30 (x-1)S-~ 4 - 12 Do (x-1)·

+(_ 1 _ 1 Do)CX-1)1I+ .20 20

, =Do{1-CX-1)+ 1 (X-1)3- 1 (x-.l)4- 1 (X-1)1I+......}. 3 12 20

+{-(X-1)2+ 1 (x-1)4- 1 (r-1)1I- ......} (16)" 20

, .

111D.-= (-D2-Da)= - Do4 4 121 1 1Do= 5 (-D~-D4)=- 20 - 20 DJD2:= -1

1 . 1D3= 3 (-1-D1-D2)= 3 Do

entonces

Dl=-Do

..................(15)

D2+D3+4D~=0D3-1- D. +5Ds=O

Du+DI =0DU-f-D1-t-2D2=-2D¡+D2+3D3=-1

Solución en serie 63•

Substituyendo (20) Y (21) en (19) se obtiene:{Co+2C,x+ 3Cax'+ 4C.%'+ }

+ (1-.1+ .t~- x3-+ ) (CO+C1x+ C,x2 -1 Cax3+ )

(21)~~=C1+ 2C2.1+3Cax2 + 4C•.13+ .

entonces

(20)La soluci6n en serie de potencias de la ecuación (19) es:

y=CO+CIX+C,x2+Cax3+ .

Con estos valores la ecuación (18) toma la forma:•~~ +{I-X+Xt-x3+ )y=x-t-X3-1.x6+...... (19)

x =x{ 1 }=X(I+X'-t ..t4+ )=X+x'+XIS+ .1-.1' 1-.1'

en serie de potencias como sigue:

__,1,.....;~:._..X-=1-x+~2 - .13+ ....

Si se quiere obtener la soluci6n en serie de potencias de la ecuci6n(18) alrededor de cero se desarrollan

1 %1+.1 ' 1-.1'

(18)

Se toma en consideraci6n otro ejemplo:dy 1 _ x·dx + l+x y- 1-x'

(Con la condici6n iniciala) y(O) =1 b) y(l) =0)

" )""(4) (1+%') ~ =2x(1-y)

5) ~ +x3y=l-x2

(alrededor de cero)

(alrededor de cero y -1)2)

(alrededor de cero)1) dy +x'y=1dx

:r - (x+ l)y=x'x .

3) (1-%) Z =2y+<t'

Solución en serie

Entonces

l,,(l-Z)=-{Z+ 1 X2+_1_z,+ 1 ~+ l2 3 4 )

Pero

(24)

Nota: Si la ecuación (18) se resuelve por método elemental(ver § 6), su solución general es:

C 1y= 1+% - 1+.J' (%+ln(l-~)}

y=Co (1- %+%2 - tI +.r - )+ { 1 ~2_ 1 r+ 5 x'- } (23)

2 6 12

•o bien

Con estos valores la serie (20) toma la forma:

y=Co-Coz+( i+CO)Z2+( - ¿ -Co)x1+ ( 1; +Co)Z'_" .

......•...•.•.....

1C2=(1+Co-Ct)/2= 2 +Co

1C1=(-CO+CI-C2) /3= - 6 -Co

5C,= (1+CO-C1 +C,-C,)/4=: 12 +Co•

C,=-coentonces

Comparando los coeficientes de potencias iguales de z se recibe:C1+CO=O 4C,+e,-c2+C1-Co=12e,+CI-Co,=1 .

lC.-+ C,-Cl +C.,=O

entonces(el-c» + (2e2+c1-CO)Z+ (3C, +C'-Cl +CO)%3

+ (4e.+c,- C~+Cl-CO).ra+ =%+r+%II+ .

(22)

Solución en serie 65

entonces

%33! + .• X X2

e-Z=l- +-=-=-u 2!

Pero

(2)y= %~

alrededor de cero debe tenerse en cuenta que para %=0, 1+2/xtiende a infinito.

La solución de la ecuación (1) por métodos elementales es, (ver§ 1):

( 1)

Si se quiere hallar la solución de la ecuación:

• ~~ +(1+ ; )y=O

§ lO-Soluci6n en Serie de Potencias de las Ecuaciones DiferencialesLineaJes II

~ +ln(l+,X).y::.: 11-%10)

(3 x~ )Nota: sen x=x- ;! + 5! - .9) Z +sen %·y=l+sen x

8)

6) ~ + (1+x+x2 +·x3+ )y= 1-x+x2-,X3+ .

dy 1d% - 1-,X2y=1

dy + % 1d% 1+% y= 1-%

7)

EJERCICIOS

La serie (25) es igual al segundo miembro de (23) y el primersumando de (24) es igual al primer sumando de (23).

(25)115- %2_ ,X3+ x'_ ......- 2 6 12


Ca= -C,/3= -Co/3!C.= -C8/4=Co/4!

entonces C1= =C;c2= -C1/2=Co/2entonces

entoncesntcnccs

2C'l+C,=OJClI 1 C~ O4C,fCa O

Con este valor para s se obtiene de las ecuaciones restantes lassiguientes expresiones:

C,+Co=O

5=-2entoncess+2=0,

Teniendo en cuenta la condición dada a C« en '(4), se recibe de laprimera ecuación de (7) que:

La ecuación (6) se satisface si cada coeficiente de x es cero:2Co+sCo=0, C2+ (s+5)Ca=0Co+(s+3)C1=0 (7)

Cl + (s+4)C2=O

Asociando las potencias iguales de x se recibe:(sCo+2CO)X,-1 +{ (s-} 1)C1+2C1 +Co}x'+ {(s+2)C2 +2C2 +C1 }X,+l+{ (s+3)C3 +2C3 +C2}X·+2 + ...... =0

(6)

Reemplazando (4) Y (5) en (1) se recibe:{SCO%,-1 + (s+ 1)C1x'+ (s+ 2)C2.t'+1 + )

+(1+ ; ){COX'+C1X.+1+C2r+2+ ...... }=0

Derivando (4) con respecto a x, se obtiene:dydx

y con ayuda de la ecuaci6n (1) se determinan los valores de s, Co,Ch C2,....... Es de advertir que s puede ser positivo, negativo, onulo.

(4)

La solución de (1) en serie de potencias de ~ empieza en %-2, y poresto para resolver la ecuación (1) en serie de potencias (alrededorde cero) se hace:

(3)C { % x' %3 }Y - 1- + - + .- x:¿ 1! 2! 3!

Sol"ción. fin ttf'rle 67

r

entonces

C1+2C2=0,

C2+3Ca=3,

. Comparando los coeficientes de iguales potencias de x se recibe:CO+Cl=O, Ca+4C.=-3

Con este valor de s la ecuación (10) toina la forma siguiente:(CO+C1),X-2+(Cl +2C2)x-l+ (C2+3Ca)xo+ (Ca+4C.)x

+(C.+5C6)X2+······=3-3x+ ~X2- ~ x8+ (11)

s=-2o bien

La ecuación (10) se satisface si se cumple uno de los dos casossiguien tes:

i) Co(s+2) =0

Substituyendo (4) Y (5) en la ecuación (9) se obtiene ~na ecuaciónsemejante a la ecuación (6), a saber:Co(s+2)x'-1-t-{CO+ (s+3)C1}x'+ {C1+ (s+4)C2} X'+l

+{C2 + (s+5)Ca}X'+2 + =3-3x+ ~ x2- ~ x'+ (10)'"

o bien

La ecuación (8) es igual a la ecuación (3) y es la solución generalde la ecuación (1).

Se considera ahora una ecuación diferencial cuyo primermiembro sea igual al primer ..miembro de la ecuación (1), perocuyo segundo miembro no es cero, por ejemplo:

Z +(1+ ; )Y=3e-z

(8) .

Reemplazando en la ecuación (4) el valor de s y los valores de ehC2, Ca, .... ", se recibe:

y=CO{x-2 -x-l+ 1, _ 1, x+ \ x2- }2. 3. 4.

C { %2 X8,X6 }= o 1-x+ _ + _ .~:l 2! 3! 4!


••••••••••••••••••

Comparando los coeficientes de potencias iguales de % se recibe:3Co=3 entonces Co= 1

CO+4C1= -3 entonces C1=-1

C1+SCI= ~ entonces 'C2=( ~ -Cl)/S= ~

(13)3=3-3x+ %2_ ......2

Con este valor de s la ecuación (10) toma la forma siguiente:3Coxo+ (CO+4C1)X1+ (Cl +SC2)X2+ ......

5=1o biens-l=O,

Entonces s- 1 es la potencia mínima del primer miembro de (10), ypor tanto debe ser igual a la potencia mínima del segundo miembrode esta ecuación, así:

s+2~O

La ecuación (12) es la solución general de la ecuación (9).

ii) Si

El primer sumando del segundo miembro de (12) es igual al primermiembro de (8) y contiene la constante arbitraria Co, y el segundosumando no contiene constante arbitraria.

(12)

C -2{1 1 1 2 1 3+ 1 }Y=. oX - 11 x+ 2! x - 3! x 4! - .

+ {x- X2+ ~ x8_ •••••• }

o bien

En estas condiciones la solución de la ecuación es:

y=CO%-2_COX-1+ ~ Coxo+(1-Co/3!)~

+C-1+Co/4!)X2+( ~ -CO/5!)X3+ ......

..................

C1=-CO, C,=-C1/2=Co/2Ca= (3-C2)/3=1-Co/3!C,= (-3-Ca)/4= -1+Co/4!

C6=( ~ -C.) /5= ~ -Co/5!

Solución en ·.sr'. 69

La solución en serie de potencias de la ecuación (2) el:

entonces

1 y2+ 1 y4_ ...... }2! ' 4!

la ecuación dada toma la forma:

~~ =1+ (1+%) {1-

1 1 2+ 1 •cosy= - 2! y 4! Y - .......

Pero como

Se toma como ejemplo la siguiente ecuación diferencial:

~ =1+ (1+%) cosy }( 1)• y(O) =0 (condición inicial)

§ tI-Solución en seeíe de Potencias de Ecuaciones Diferencialesno Lineales

(Nota: cos x=1- ~; + ~ _ ......)

5)

4)

3)

2)

EJERCICIOS

dy y -O {Ca) alrededor de ~}dx x(l-x) - Cb) alrededor dedy y (alrededor de O)dx - x(1-x2)

dy y 1 {(a) alrededor de ~}(Jx- x(l-x) =%2 (h) alrededor dedy

( y 2) =%ez (alrededor de O)dx x 1-%dy + cos x sen x (alrededor de O)dx x .y= %2

1)

.La solución (14) es una solución particular de la ecuación (9)porque proviene de la ecuación (12) para Co=O.

(14)

La solución (4) toma en este caso la forma sig\1iente:1y =x - x2 + 2 x8 - ......


(7)

en donde I(x,y) es una funci6n de dos variables x y y. Por estarazón puede desarrollarse en series de Taylor :

1(x, y) = Aoo r (A,ox+ Ao,Y) -+ (A20X~ +Allxy +A02y2)

(6)

La forma general de la ecuación (1) es:

~; =/(x,y) y(O)=O

Con estos valores, la solución de la ecuación (1) es:

y=2x+ ~ x2- ; x3- !x'+ :0 x6+...... (5)

entonces

4C.=-C¡C2-C12/2, entonces C.=(-C¡C2-C¡2/2)/4=-3/4·5C6= -C22/2-C1Ca -C1C2 +C1'/24

entonces C2=1/2entonces Cs= -Cl~/6= -2/3

2C2=1,3Cs= -C12/2,

Comparando los coeficientes de iguales potencias de x se recibe:CI=2

o bienC¡+2C2x+3C3X2 +4C.x3+ .

=2+x-' ~ C¡2X2+{-C¡C,- ~ C¡2}~3

+{_ 1 C22_C1CS-CIC2+ 1 Cl.}X.+ ......2 24

(4)-

Derivando (3) Y reemplazando en (2) se recibe:Cl +2C2x+3Cax2+4C.x3+ .

=2+x- ~ X2(CI+C2X+C3X2+ )2- ~ X3(CI+C2X+ )3

pero de acuerdo con la condición inicial se obtiene que Co=O, por10 cual la solución es:

y =c ¡X+ C2X2 +C3~3-1- .•.... =x(C¡ +C2X+CaX2+ ......) (3)

Solución en serie 7.1

%=0,.o mejor.,(a) =b.es

Si en la ecuación (6) la condición inicial varia y en vez de sery (O)=0

y(O) =0

l-(x+y) • )'(0)=01-xy4)

)'(0)=03)

y(O)=O2)

y(O)=ody =1+%'"d% J'.

~ 1+%,+.12,,,

dydx =cos x)'.

dydx

1)

EJERCICIOS•

La soluci6n de (6) es, en general, la serie (3) y para hallar loscoeficientes Ch C2, ...... se deriva (3) y se reemplaza en la serie(7) como en el ejemplo anterior .

1Amn= I Im. n.

en donde

(Ejemplo 3)cos(x2+y)=1- ~ y2_%2y+(_ ~ x'+ 2~y')+ !X1y3+......

En general:

(Ejemplo 2)

1_1(~;)')=1+ (x+ y) + (%2+%y+ ,2) + (%3+2x2,+2xy~+ ya) + .

1 1cos x)'=1- __ %2),'+ ~)'._ .2 24

Aparecen a continuaci6n unos ejemplos de funciones desarrolladasen serie de Taylor alrededor de %=0 y )'=0:(Ejemplo 1)


_t" __

CI+ 2CzX + 3C3X2 +4C.X3+ .= (1-2C.)X+( -2C,+2CI-CI')X'

+ (-2C3+2C,-2C1C2+CI2)X3+ .

Comparando los coeficientes de igual potencia de X se recibe:CI=O2C,=1-2CI3C.- -2C.+2C,-C¡'

entonces

Derivando (14) con respecto a X y reemplazando se obtiene:CI+ 2C2X+ 3C3X2 + 4C.X&+ .

=X-2(C¡X +C2X~-+-C3X3+ ...... ) +2X2(CI +C2X +......)-X2(C1 +C2X+ .. ·· ..)'+X3(C1 +C2X + ...... )2

(14)La solución de la ecuación (13) es:

y=CIX+C,X2 +CaXS+C,X'+······

(13)Y(O) =0~i=X-2Y+2XY-Yl+XY2,o bien

Entonces la ecuación (12) toma la forma siguiente:~r-1+(X-l)(Y+l)2Y=y-1X=x+1,

Sea

(12)y(-1)=1dydx =l+xy~,(Ejemplo 4)

llegándose así al caso anterior.En este caso el desarrollo de f (x, y) en serie de X y Y es:

Ji», y) = Boo+ (BloX +BOl Y) + (B20X2 +B1IXY +BU2y2) +. ..... (11)

En esta forma la condición inicial (8) se transforma en:Y(O) =0 (10)

es conveniente hacer el desarrollo de la solución alrededor de x= n(ver § 9), o también hacer el cambio de variable

X=x-a, Y=y-b (9)

•

EJERCICIOS

6) dy =),+X2+xy2 (x=1 y=-I)dx . ,

7) Z =(x-1)y+(y-1)2 (x=l, y=1)

8)dy _ 1+xy (%=1, y=-1)dx - 1-%-y

9) ~~ =C05 (%2+y) (%=1, y=-l)

10) * =1-% cosy (%=1, y- ;)

Con estos valores la solución (14) toma la forma:1 1 5y= X2- XS+-X4+...... (15)2 3 12

Volviendo a las variables iniciales x y y se recibe:

y-1= 1 (x+1)2- 1 (X+1)3+2_(x+1)4+...... (16)2 3 12

.............5C4=12'

1C3= - 3 '

1Cs= 2 '

entonces

rig. 30

xIrx" x +"11

Y y(x,,+h)"

y

se obtieney(xo+h)·. yo-+-hf(xo, Yo) (6)

Análogamente se pueden obtenery(xu , 2Jz), y(xu ¡ 3h)·,······

como sigue :

y=y'J (5)

aproximada, dividimos el eje x enintervalos iguales de longitud h apartir de un punto x., (ver Fig. 30).Si en (4),

soluci6nunahallarPara

Este tipo de ecuación es llamado ecuación de diferencia. De (4)

puede hallarse el valor de y(x+ h) si y(x) es conocido y h es dada.

(4)

(3)dy _. y(x+h)-y(x)dx -. h

De (1) (2) y (3) se recibe:y(x+h)·. y(x) +h·f(x, y)

satisface identicamente la ecuaci6n (1), se dice que es una soluci6nde la ecuaci6n (1). En geometría analitica la ecuaci6n (1) representala inclinación de la tangente en un punto (x, y) del gráfico de laecuación (2). Si h es una cantidad muy pequeña, aproximadamentese obtiene

( 2)y=y(x)Si una funci6n

§ l-Introducción

Consideramos la ecuación diferencial de primer orden:

~~=f(x, y) ( 1)

. . ,apr()Xlma(~lO'"Solucion gráfiL'u y método de

CAPITULO 111

Substituyendo los valores de "=0.1, xo=O, yo=l, se obtl nDe (6) se recibe:

(11)y(O) =1con la condici6n inicialtomando' h=O.l.

(10)Z =-2%y

(Ejemplo 1)En el intervalo (o, 1), hallar la solucion aproximada de la

ecuación

Cuando una solución contiene constantes arbitrarias, como la solución(8), recibe el nombre de soluci6n general de la ecuación dada, y lasolución en la"cual las constantes han sido determinadas se llamasolucíén particular. Gráficamente la solución general representauna familia de curvas, y una solución particular es una curva deesta familia.

( 9)Yo=y(xo, C)

El valor de C puede determinarse de acuerdo con la condicióninicial (5):

Si se sitúan los valores (%:h Yo) (%o+h, y(~+b)), (~+2b,y(xo+2h)), en el plano de la figura 30 se obtiene una líneaQuebrada. Esta línea es una solución aproximada de la ecuacióndiferencial (1). Si h tiende a cero, esta línea quebrada tiende auna curva, llamada curva de integraci6n, la cual, como veremosmás adelante, es el gráfico de una solución de la ecuacíon (1). Lacondición (5) se llama condición inicial. Si se da una condicióninicial diferente, se obtiene una curva diferente. Es decir, se obtieneuna solución diferente. Como se puede dar a Yo un valor cualquiera,la solución contiene una constante arbitraria, por esto la ecuaciónde la curva resultante puede escribirse bajo la forma siguiente:

y=y(%, C) (8)

... '" ..

y(xo+2h)' .Y(%o+h)+hf(xo+h, Y(%o+A))Y(%0+3h) '. y(xo-f-2h) +hf(%0-t-2h, Y(%0+2h)) (7)

76 Solucion. gráfica

Aplicando sucesivamente (7) se obtiene1(211) -=0. 1(3/1) O, te. para cualquier valor de h. (17)

y(h) =0 (16)De (6) y (14) se recibe

(15)y(O) =Yo=Ocon la condición inicial

(14)

Hallar la solución aproximada de la ecuación diferencial

(Ejemplo 2)

En la figura aparece tambien la gráfica de la ecuación (13).

(13)

10.5Fig. 31

O

Pero de acuerdo con la condicióninicial (11) se obtiene C=l,entonces

-~ ~

~ r-,~ ~_¿>~

«>,~-.> ,'"-,

0.5(12)

Situando estos valores en la 1.0gráfica obtenemos la linea dela figura 31. La ecuación (10)puede resolverse fácilmente ysu solución es

y=C e-~

De (7) se recibe:

y(0.2) = ,(0.1.) -2(0.1) (1) (0.1) =0.98y(0.3) = y(0.2) -2(0.2) (0.98) (0.1) =0.94Y(0.4) =y(0.3) -2(0.3) (0.94) (0.1) =0.88y(0.5) = y(0.4) -2(0.4) (0.88) (0.1) =0.81y(0.6) = y(0.5) -2(0.5) (0.81) (0.1) =0.73y(0.7) =y(0.6) -2(0.6) (0.73) (0.1) =0.64,,(0.8) =y(O. 7) -2(0.7) (0.64) (0.1) =0.55y(0.9) = y(0.8) -2(0.8) (0.55) (0.1) =0.46y(1.0) =y(0.9) -2(0.9) (0.46) (0.1) =0.38

y(O.I)c:l

Solucion grá/i('n 77

h=O.ltomando

en el intervalo (O, 1)y(O),=O,2) dy -e-YTx- ,

h=O.2tomando

en el intervalo (1, 2)y(l)=l,sz.:».dx - y'1)

Hallar la solución aproximada de las siguientes ecuaciones.

EJERCICIOS

•

Nota. En este ejemplo la solución no es única, porque laecuación (14) no cumple la condición de unicidad de la solución.Esta condición la estudiaremos mas adelante .

•

con la misma condición inicial.

En la figu r a 32 la gr áfi ca 11 Oa..-"::;'-"::;"''''''-t ....c;..-;""_---x-representa la solución (21). Pero el F- 319- 2valor de t es arbitrario, es decir, puede tomarse cualquier númeroreal, por esto en la figura 32 aparecen las gráficas 111, IV, V, deposibles soluciones y se han obtenido muchas soluciones de (14)

La gráfica de (20) aparece en la figura y32, l. Esta solución es diferente a lasolución (18). De (18) y (20) se puedeformar la siguiente solución:

y=o (x~t) }2.v'Y =x-t (x:?t) (21)

(20)2vy=x

De acuerdo con la condición inicial (15) se obtiene el valor de C:C=O, entonces la solución es

(19)2vy =x-+C

Pero como la ecuación (14) es una ecuación de variables separablessu solución es:

(18)Por esto la solución que satisface la condición (15) es

y(x) =0

78 ."olll.ción gráfica

en donde I%(a, b) es el valor de olfOx en %=."a, y=b. Desarrollando elprimer miembro d In cuncíon (7) en serie de potencias de h y k

(8)111(a, b) =12 }fYI/(a, b') =/22

l:c(a, br=I«.I%,,(a, b)=f12'

I(a, b) =L,I~:s;(a, bi=I«,

Para mayor sencillez, sean

Pero de acuerdo con la ecuación (1), (6) se transforma en:

I(a-f- h, b+k) = al+a2h1- a3h2/2+ .... ·· ( 7 )

(6)y' (a+ h) =al+a2h+aJz2/2+······,

Para determinar los coeficientes ah a2, a3' ...... derivamos (5) conrespecto ah:

Comparando (2) y (3) se ve que la fórmula (2) tiene un error deorden h2• En general este error no es pequeño, por esto el métodoempleado en la sección anterior no es lo suficientemente exacto.En esta sección se estudiará el método de Runge en el cual el errores de orden h',

Considerando la condición inicialy(a) =:b (4)

hallaremos el valor de y en x=cá+h; El desarrollo de y(a+h) enserie de potencia de h puede escribirse como sigue:

Desarrollando y(x+ h) en serie de Taylor se obtiene:

y(x+h)=y(x)+hy'(%)-1-h2.y"(x)/2-f-······ (3)

(2)y(.r+h)·. y(x) +hf(x, y)

(1)dy _-dx --/(x, y)

por medio de la fórmula aproximada

En la sección anterior se halló la solución aproximada de unaecuación diferencial

§2-Integracfón Numérica (Método de Runge)

h=O.l

en el intervalo (O, 1)y(O) =0,3) % =x-y,

tomando

lnteuracion ""'"Pr;('(I 79

"

+~(/llh2+ 2/12h'(/0+···· .. ) -1·/t"h'(/0+······ )'} +......h2=/oh+T(/1-t'/o/,)

k1=/o·h+ ~ l/l-l-/of2}h'+ ~ {/11+212/o+/22/o2}h~+...... (14)

k,=- ~fo+ ~[/o+ (/1h-t·I"k") + ~u.»+2/12hk" -t·/2,(k")'}-+ ...... ]

=/oh-t· {l h'J+ lih2{/o+ Ilh+ 11./oh}

Desarrollando k.. k, en serie de potencias de h, se recibe:

k' =/o·h.k"=/(a+h, b+k').hk'''=/(a+h, b+k")·h

en donde(13)

b+ loh/2)·hkl=/(a+h/2,k2 = (k' +k"') /2•

al =/0, a2=/1 +/0/2' a3=/1t +2/0/12+/02/22+/1/2+/0/22 (12)

Ya se ha hallado el valor de y(a+h) hasta ha, pero como los valoresque aparecen en (12) son complicados, la formula será reducida auna forma mas sencilla. Para hacer esto sea

De (11) se reciben los siguientes valores de ah a, Y al:

Comparando (7) Y (10) se recibe que:

I(a+h, b+k) =/0+ {/l·h+!2(a1h+a2h2/2+ )

+t{/ll h2+2fl'Jh( alh+······) +!'t2(al'h2 + )}=/0+ (/1+a1/,)h+ ~2(11\+!ta, +2/ual +a12/22) -t- (10)

Tomando de (5) el valor de k y reemplazándolo en la igualdad (9)se obtiene:

I(a+h, b+k)=/o+(/l·h+/2·k)

+.l(/ll h2+2/12 hk+ lu·k') +...... (9)2

se obtiene:

80 Integracion numérica

Considerando ahora que a=0.5 y b=0.792 se pueden hallar de nuevo108 valores de lo, k', k"', etc., como sigue:

10-/(0.5, 0.792) 0.792. 111=/(0.75, 0.594)·0.5= -0.446

Entonces de (17) se recibe:2 1y(0.5) =1 ;'3( - 0.250)+3(-0.125) =0.792

/0=/(0, O) =0k,=/(0+0.25, 1-i-0)·0.5=/(0.25, 1)·0.5=-0.250k'=Ok" -/(0.5, 1) ·0, 5= - 0.500k'" =/(0.5, 0.5) ·O.S=.: - 0.250k,= -0.125

Como no es conveniente tomar h=1 porque el error es considerable,se debe tomar h="0.5 y con ayuda de y(O, 5) se puede hallar y(l).

(18)

Es necesario tener en cuenta que la fórmula anterior se cumpleúnicamente hasta 11.\ es decir que el error es de orden b', Lafórmula (17) se llama fórmula de Runge. El ejemplo siguiente yafue resuelto en la sección anterior y ahora se aplica el método deRunge para hallar el valor de la solución.Ejemplo: Aplicando el método <le Runge hallar el valor y(l)

de la solución de la siguiente ecuación::~-=-2.%y, y(O) =1

(17)

Comparando (16) y (5) y teniendo en cuenta además los valores deall a'l, a;¡ dados por (12) se recibe:

De (14) Y (15) se recibe:

; ki-t ; k2=/0·h·+ (/1-i'/ú/2)h~/2

-t.{/ll +: 2/0/12 './02/22+/,Ji ~·JO(/2)'l }h3/6 + (16)

1nlegración numérica 81

en donde ko-f(xo, Yo) Y kit k" ka,· .. ··· toman valores el 'u elu. poco

(3)f(x, y) = k,,···..·ftx, y) =kltf(x, y) =ko,

r"'"es decir, que se hallará la curva de integración de la ecuación (1)que pasa por el punto Po(xo, Yo) en el plano XY. Para esto esnecesario dibujar primero la familia de curvas

(2)Y(Xo) =»con la condición inicial

( 1)~ =f(x, y)

§3-Solución Gráfica

En esta sección se estudiará el método de solución gráfica de•la ecuación diferencial

y(l) = 1 hallar y(O) e y(0.5)dy x

3) (Jx =y'(Nota) Hallar y(E), E>O y luego tender al límite (E-O).

y(O) =0 hallar y(l) e y(0.5)2') dy .. 4Tx=X·-f-Y·,

y(O) =0 Hallar y(0.5)1) dy =x-ydx '

Hallar el valor de las soluciones de las siguientes ecuaciones porel método de Runge.

EJERCICIOS

y(0.5)=exp. (-0.25)=0.779y(1.0) =exp. (-1)=0.368

La solución exacta de este problema es: y(x) =exp. (-x2),

entonces:

Con estos valores de (17) se recibe:2 1y(1) =y(O. 5+ 0.:.5)=O.792+3"( - 0.446)+T(- O.396) =0.363

k" =f(1, 0.396) ·0.5= -0.396k '1.= -0.396

k' = -0.792 x 0.5= -0.396,k'" =f(1, 0.396) ·0.5= -0.396,

82 Solución gráfica

se obt iencn las siguientes curvas de isoinclinación, (ver Fig. 35a)

kt=O.4,······kl=O.2,ku=O+O=O,

Tomando

(Ejemplo 1) Hallar la curva de integración de la ecuacióndydx =2x+y, y(O) =0

. .integración aproximada porque en estos puntos su 'inclinación es klok2, ...... , es decir que satisface la ecuación (1) y la condición (2).

Sean Qo, Q¡, Q~,""", los puntos de corte de las rectas con la líneax=a en donde a es una constante positiva cualquiera. Se traza dePu una línea POPI paralela a OQu, en donde PI se tornamás o menosen la mitad de las dos curvas !=ku, y !=k¡, de PI se traza P.P,paralela a OQI en donde P2 se toma en la mitad de las curvas/cl. y!=k2• Repitiendo el proceso se obtiene la linea quebrada POP1P! .. ··...Sean PI', P2', P3', ...... los puntos de corte de esta línea quebradacon las curvas! =kll f = k2,·· .... respectivamente. La curva tangente

"a esta línea quebrada en los puntos PI', P/,...... es la curva de

(4)y=kox,

Fig. 34Fig. 33

axo

y

Por otra parte, en la Fig. 34, aparece el gráfico de la rectas

diferentes entre si, (ver Fig. 33). Estas curvas se llaman" curvasde isoinclinación."

Solución gráfic(t 83

F 1 • :11"Fig. 36axo

yr--__

•(Ejemplo 2) Hallar la curva de integración de la ecuación

~ =%2+y2, y(O) =0

Fig. 35bFig. 35aax

y

con la línea 'x=a (a>O), (ver Frg. 35b). De acuerdo con elprocedimiento anteriormente expuesto se obtiene la curva deintegración en la Fig. 35a

y=0.4,X,······y=0.2'x.y=O,

Sean Qo, Q., Q2······ los puntos de cor·te de

2,X+y=0.4,.· ....2,X+y=0.2,2,X+y=0,

84 Solución gráfica

tII Elta lección no tiene relación alguna con las secciones posteriores

.El problema de averiguar si una ecuación diferencial dada tiene

alguna solución fue estudiado inicialmente por Cauehy, quien"desarrolló dos métodos diferentes. Uno de ellos consiste en hacermás r~uroso el método de aproximaci6n (método de la líneaquebrada) el cual ya se ha estudiado en § 1. Este método es llamado.. metodo de Cauchy-Lipschitz" porque Lipschitz 1.0 modificóposteriormente y debido a su complejidad no será estudiado en estelibro. El otro método, o "método del mayorante," consiste encomparar la ecuación dada con otra ecuación para la cual su soluciónes conocida y convergente.

En este libro se estudiará el método de aproximación sucesiva•

iniciado por Picardo y aplicado a la ecuaci6n diferencial

§4-Existencia de la Solución*

y(0.2) =0

y(O)=O

y(l) =11) dy x(1%= r :

2) dy "+=y- xTx '

3) dy =%-1_ y2Tx x'

Hallar la curva de integración de las siguientes ecuaciones:

EJERCICIOS

Se trazan las gráficas de las líneas, (Fig. 36b).y de acuerdo con el método expuesto se obtiene la curva deintegración en la Fig. 36a.

.x2+y2=1.······

x2;- y2 =0.49•

Entonces las curvas de isoinclinación son:

SeankO=O,+02=O. k¡=O.25. k2=0.49. k3=0.Bl. k.=l,. ....

•

, .Entonces >'1 (x) es la solución en primera aproximación de la

ecuación (1) porque si se substituye y por cero en el segundomiembro de (1) se obtiene:

(7)

...................................

>'1(x)= J: ¡(x, O)dx

y,(x) = S: ft;x, y, (x) )dx

y,(X) = r ¡(x, Y2(x))dx

en donde mino (a, blM) es el número menor de a y blM.Sea y, (z), >'2(X), Y3(X) una sucesión de funciones definidas

•por la siguientes relaciones:

(6)O~x~ao=min. (a, blM)•

Se considera el intervalo

para cualquier ex, y) y (x, z) en D y para alguna constante k queno depende de x, y, z,

(5)If(x, y)-f(x, z)l<kly-zl

b) La función f(x, y) satisface la condición de Lipschitz, esdecir, que

If(x, y) I~M ( 4 )

De esto se deduce que en D la función tiene siempre valor finitoes decir que para culquier punto (x, y) en D existe un número Mtal que

(3)-a<x~a;

a) La función f(x, y) es continua en el dominio D.

Se demostrará la existencia y unicidad de la solución de estaecuación bajo las condiciones siguientes:

(2)y(O)=Opara la condición inicial

tI)~-ftx, y)

86 Existencia de la lfolufOión

n general se obtiene:

IYn(x) - YR-I (x) I<k":' Mx"ln! (n= 1, 2, 3," .... ) (10)

De (10) se recib QU :

Aplicando a (9) la condición de Lipschitz se recibe:

IYII < J: I/(x, O) Idx~M·x

I Y2-YII < J: I/(x, YI)-/(X,' O) Idx<k J: 1 Ylldx'<kM J: x dx

=kMx2/2 !

J:I! J:I ~ J:I! X2

IYa-Y11< o I/(x, Y2')-/(X, YI)ldx<k o IY2-Ylldt<k~M o ydx=kZMx3/3 !

(9)(n=l 2 ), "

Se demuestra a continuación que esta sucesión de funcionesconverge uniformemente a una función Y(x) en el intervalo (6).

De (7) se recibe que:

IYn+l (x) - Yn(x) I<J: I/(x, Ytl) - /( x, Y,,-I) Idx

(8)IYn(x)l<b (n=l, 2, 3,···..·)

En general se recibe que Yn(x) (n=l, 2, 3,······) satisface la siguientedesigualdad:

y en la misma forma:

Las funciones Y. (x), Y,(x),······ son continuas en el intervalo (6)porque la integral de una función continua es siempre continua.Se obtiene por otra parte que:

o bien, si se integra con respecto a % se obtiene J,(x) con ayudade (2). De la misma manera Y2(x) es la solución de (1) en segundaaproximación.

t =/(x, O)

Existencia de la ,0Iu('16" 87

Z(x) = J:f(x, Z(x) )dx (16)

Si se supone que existe otra solución Z(x) de la ecuación (1)que satisface la condición (2) se recibe que:

Se demuestra ahora la unicidad de la solución.

(15)Y(O)=odYdx f(x, ro».o bien

(14)Y(x) =; J:¡(x, Y(%) )dx

y cuando n-oo, y,,-Y, y,.-I-Y, Yla expresión anterior toma la formasiguiente: •

•

Es fácil demostrar que esta función Y(x) satisface la ecuación(1) y la condición (2) :de la expresión (7) se recibe:

entonces la sucesión Yn(n=l, 2, 3,.. ····) también converge uniformey absolutamente a una función continua Y(x).

converge uniforme y absolutamente en el intervalo (6). De lo cualse deduce que el límite de la serie (12) es una función continuaY(X), porque cada término de la serie es una función continua y suconvergencia es uniforme y absoluta.

Por otra parte la suma de los n primeros términos de la serie(12) es:

Por esto se puede concluir que la serieYl+(Y'-Yl)+(Y3-Y'+ .... ·· (12)

M { (kx) '2 (kx)~ (kx)" }<T kx+ 2! + 3! + + n! + .M=T{eJ::II-l} (11)

1 Yll + I Y'-Yll + I Y3-Y:lI-t- + I Y"-Y'I-II-I- ..•.•.

88 Exulencia de la tlolución

En este caso /(x, y) =/(y) =vy y para esta funci6n no se satisfacela condici6n de Lipschitz porque

- ./- y-zV Y -v z = ./ -- v-vy-l- z

y además si y-O y z-+O entonces 1/(vy -+·vz)-+oo, por lo cual noexiste una constante k tal que

Ivy-.y'%I~k·ly-zl

(Ejemplo 1) Se considera el problema 2 § 1.d·d~=vy

(22)Y(x) =Z(X)Por esto

.d(x) :.=. O

Pero como (kx)n¡n! es un término del desarrollo de et.r cuando12-+00, (kx)ft¡n !-+O. Entonces se concluye que:

Reiterando el procedimiento n veces se recibe finalmente que:I.d(x) I <N(kx)n¡n ! (21)

Reemplazando (19) en el segundo miembro de (lR~ se obt iene :

IL1(x) I < k J: k N x dx = k2 N x2/2 ! (20)

(19)I

(18) I se recibe:subtituyendo en el segundo miembro de

I.d(x) I <k J:N dx=kNx

entonces,

l.d(x) I<NSe supone que

(18)

Aplicando a (17) la condici6n de Lipschitz se obtiene:

I.dex) I< J: I/(x, Y) - /(x, Z) Idx<k J: IY-Z Idx

=kJ:I.d(X)ldX

Sea .d(x)=Y(x)-Z(x), entonces de (14) y (16) se recibe:

.d(x)= J: {/(x, Y)-/(x, Z)}dx (17)

Existencia de la so/ur.;ón 89

Fig. 37

Y2(x)=1-t· J& -2~(1-.r2)dx=1-x~+ ~4o 2

Y3(X):=-: 1-1- r: - 2.r(1-%2 + ~. )d%. x' ~=_1-%2+ 2--6

En la Fíg. 37 aparecen las gráficas de>'" Y2, Y3 Y también la gráfica de lasolución exacta y= e-xl.

Yl(x)=l+ J: -2.r(1)dx=1-z!

en' cualquier vecindad del origen, Como se ha visto en § 1, ejemplo- .2 este problema tiene muchas soluciones continuas.(Ejemplo 2) Resolver la siguiente y.ecuación por el método de aproximaciónsucesiva, hallar la tercera aproximación ycompararla con la solución exacta.

~~= -2.ry, y(O) = 1

90 Existencia dp In solución

Entonces

(5)? d2y (dy)2x- dX2 + dx =0

La ecuación (5) no contiene y., entonces,_ dy d2y dp

P-dx' dx:!. dx

Reemplazando estos valores en la ecuación (5) se obtiene

X2 dp +p2=0dx

La solución de esta ecuación es:

p- - CI! (CI es constante de integración)- xtCI

Substituyendo (2) y (3) en (1), se obtiene la siguiente ecuación:

~~ =/(x, P) ( 4 )

la ecuación (4) es una ecuación diferencial de primer orden.(Ejemplo 1)

( 3 )se recibe:

Considerando que dyldx es la variable dependiente, y haciendodvP='dx' ( 2 )

( 1)

§1-Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primerorden.i) Si la ecuación diferencial de segundo orden no contiene y,

puede escribirse como sigue:

d2y ( dy)dX2 =1 X, Tx

Ecuaciones diierenciales desegltndo orden

CAPITULO IV

Reemplazando estos valores en la ecuación (10) se obtiene:

yp dp _p'l+p3=0dy

EntoncesSea

(10)

La ecuación (9) es una ecuación diferencial de primer orden endonde y es la variable independiente.(Ejemplo 2)

(9)•

(7) y (8) en (6) se recibe la ecuación siguiente:dpp dy I(y, p)

Substituyendo

(8)•

Entonces

(7)P_dy-d%

En este caso también se hace

(6 )

.escribirse en la forma siguiente:

d2y ( dy)dx2 =1 y, (Ix

ii) En caso de que la ecuación diferencial no contenga x puede

2) xy" +y' =04) (1+x2)y'+xy'+ax=0

1) y" = a(J-x)

3) x2y" + (y')2 - 2xy'::: O5) 2yll' = (y')' +1

EJERCICIOS

donde Ch C2 son constantes arbitrarias.

o bien

Integrando con respecto a x se obtiene

J CIX dv=> x+C1 X

92 Ecuaciones de segundo orden

o bien

Derivando ambos miembros de (14) con respecto a x se recibe:2 dy d1y = du _ du dydx dX2 Tt- dy dx

(14)( dy)2_-5 -u

puede resolverse por el método anterior ji), pero con el fin de hacerel desarrollo más fácil se hace

(13)

Iii) Una ecuación diferencial de la formay"=/(.)', (.)")2)

J) y~.1'"+(.1')'=09) y6+2yy'=011) y'+(y')'-2e.y'=O

6) 1y'+(1')1=08) ys" + (1+y) (1')'=0

~O) y'=y'e'

EJERCICIOS

en donde Ch e, son constantes arbitrarias.Si en la ecuación (12) se da a el el valor cero resulta la solucíon

particular (11) (y=e,). por esto puede decirse que la ecuación (12)es la solución general de (10).

Si t= dy --o entonces y=c (11)-(h- ,

y SI ,~~ -P+P'::-O, o bien, Y~:=p_p2entonces

p =c yl-P 1

o biendy __ C1y_dx =t= l+Cly

por estor=C« ~,(I-'> (12)

o bien

•

Entonces

también de la siguiente manera:

Multiplicando ambos miembros de (17) por Zdyld« se obtiene\

d2y d d2 dx~ d~ 2/(y) Ix

ecuación (17) es un caso particular de.Pero esta ecuación puede resolverse

;

faltan x, y y. Entonces lalas ecuaciónes (6) y (13).

(17)iv) En la ecuaci6n

13) y"=(y_y-l)(y')215) yll+(y')2=e-Y

12) y"+2(y')2=014) y y" + (1-t-y) (y:)2 =016) (cosy)y"-(seny)(y')2=O

EJERCICIOS

de donde.,

entonces,_( dy)2u- dx 'pero

La solución de esta ecuación es;u=C¡2(y+1)2

La ecuaci6n (16) se transforma en la siguiente ecuaci6n:y+l du2 dy =u

entonces,( dy)2u= dx 'Sea

(16)(y+ 1)' d2y =(dy )2. dx2 dx

(Ejemplo 3)

(15)

Entonces la ecuaci6n (13) toma la forma:1 du2' dy =/(y, u)

d2y 1 dudX2 =2. dy

9,fi' ";c-uaciones (le seguralo orden.

y-~fsen (kx+kC,)

s= - .vf sen (kx-kC2)

o bien

(20)

arcsen :~l=k( +%+C2)

y. ~ sen k( +x+C2)

entonces

J dy -+ +Cv'C1-k2y2- _X 2

Aplicando directamente la ecuación (18) se obtiene

(19)

(Ejemplo 4)

(18)

Integrando miembro a miembro se obtiene

o bien

entonces

Integrando miembro a miembro se recibe:

d (dy)2d% d% dX=2f(y)dy.

o bien

d (dy)2 dydx dx =2f( y) dx

•

entonces C fex). es tambien una solución de la ecuación (2).

ii) Además si [(x) y g(x)

multiplicando por C se recibe:C{f" +p.!' +Q·f} = (C/)" +p. (C/)' +Q(C/) =0 (6)

una solución de (2), entoncesfl/+p.f'+Q.f=O (5)

y=f(x)i) Sea(2) .

•

Primero se considera la ecuación diferencial lineal homogénea

(4)

es una ecuación diferencial no homogénea y

d2y 2x dy + 2 - OdX2 l-x2 dx l-x2 y-

es una ecuación diferencial homogénea.

(3)

Si en general R(x) ~O, la ecuación (1) se llama ecuación diferenciallineal no-homogénea. Por ejemplo

d2y 2x dy 2 _ 1dX2 1-x2 dx + 1-x2 y- l-x2

(2)

En el caso particular en que R(x) =0 la ecuación (1) recibe elnombre de Ecuación Diferencial Lineal Homogénea, o bien laHomogénea de la ecuación (1). En este caso la ecuación tiene laforma siguiente:

(1)

§2-Ecuación diferencial lineal de segundo orden.

En términos generales una ecuación diferencial lineal de segundoorden, puede ser escrita en la forma siguientes:

~2~ +P(X)!!1_+Q(x)oy=R(x)x dX

La ecuación diferencial (19) es la ecuación de la oscilación simpley es frecuentemente aplicada en Física.

(21)En general se puede escribir la solución así :

y=A sen (kx-t-S)

96 Ecuación lineal

('V"/+2v'f' ~ Pv'f)+v(f"+p·f'+Q·J·)=Opero fex) s soructon d' la ecuación (2), entonces:

o bien

Reemplazando (11) y (12) en la ecuaci6n (2) se recibe:(v"f +2v'f' +VfN) +Pt.u'f +vf') +Q(v·f) =0

(12)y" =v"f +2v'f' +v ·f"y'=v·f+vof',

es una solución de la ecuación (2), (la cual quedará completamentedeterminada si se halla v(x».

Derivando la ecuación (11), se obtiene

(11))I=V(x) ·f(x)

es conocida, se puede hallar otra soluci6n diferente de la ecuación•

(2) por el método de variación de parámetro (ver 11 § 6).Sea y=f(x) una solución, entonces y=C·f(x) es también una

solución de la ecuación (2). Se supone entonces que

(10)y=f(x)

es también una solución de la ecuación (2). La solución (9) tienedos constantes arbitrarias C lJ C2, entonces (9) es la solución generalde la ecuación diferencial (2).

iii) Si una solución de la ecuación diferencial (2):

la ecuación (8) permite afirmar que (f+g) es también una soluciónde la ecuación (2).

En forma mas general: Si f(x) y g(x) son dos soluciones.diferentes de la ecuación diferencial (2) entonces, Cl/CX) y C2 g(x)son tambien dos soluciones diferentes, y

C1f(x)+C2g(x) (9)

( 8 )(l+g)1I +P» (/+g)'+Q(/+g) =0o bien

sumando miembro a miembro las dos ecuaciones de (7) se recibe:(/" +g") +R(/' +g') +Q(f+g) =0

(7)

son dos soluciones diferentes de la ecuación (2), entonces,fll+p·f'+Q·f=O }g" +p.g' +Q·g=O

entonces la solución (17) es:

, 1v = x~(l-xt)

1 1 l+xu=--+--ln ---x 2 l-xy

entonces,

o bien

.. +2' 2x (' ) 2V" •x u v x +v + x O1-x2' 1-x2 u- =

Reemplazando (17) (18) en (4) se obtiene:

(18)y" =v" ·x+2v'y'=v'·x+v,entonces,

(17)•

es una solución de la ecuación (4). Hallaremos otra solución de laecuación diferencial, diferente de la solución dada. Sea

y=v(x).x

(16)Se puede comprobar fácilmente que

y=x

(4)" 2x '+ 2 Oy - l-x2 y l-x2 'Y=

(Ejemplo) En el ejemplo anterior, la ecuación es:

(15)J e- S Pd.r

y=f(x). {f(X)}2 dx

Sustituyendo (14) en (1\) se obtiene la nueva solución de la ecuación(2).

(14)entonces,

.La solución de la ecuación (13), estudiada en la sección anterior,

(13)v"f+ (2f' +p·f)v'=opor esto

I" +p·f' +Q·f=o

98 Ecuación lineal

I Método de variación de Parámetro I!si«: es otra solución de la ecuación diferencial lineal homogénea1

CI/(X) +C, p(X) es la solución general de la ecuación diferencialhornogéncn

Si f(x) es una solución particular de la ecuación diferencialhomogénea

RESUMEN

es una solución de (1). Además como la solución (23) de la ecuación(1) tiene dos constantes arbitrarias, (23) es la solución general de(1).

(23)

entonces (1+h) es también una solucion de la ecuación diferencialno homogénea (1).

Generalizando este resultado se puede decir que si Clf(x) +C2 g(x)es la solución de la ecuación diferencial homogénea (2) y h(x) esuna solución de la ecuación diferencial no homogénea (1), entonces,

(22) .(f +h)" +P(f+h)' +Q(f+h) =Ro bien

(f" +h") +P(f' +h') +Q(f+h) =R

Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones se obtiene

(21)h"+P·h' +Q·h=RI" +p·f' +Q·I=O,

Se estudiará a continuación la ecuación diferencial no homogénea.iv) Sea ¡(x) una solución de la ecuación diferencial homogénea

(2) y h(x) una solución de la ecuación diferencial no homogénea (1),

(20)

y siguiente ecuación es la solución general de (4):

(19)y=.!_ln1+X_l2 1-x

Ecuacién. IIIIt,,,1 99

ylf-y'-6y=O

son dos soluciones diferentes de la ecuación diferencial (1) y deacuerdo con lo expuesto en la sección anterior se puede hallar lasolución general de la ecuación diferencial (1):

y =Cl eA1X +C2 eA'J,r

Si las rafees Al y A2 son iguales entonces se obtiene .una solasolución de la ecuación, pero de acuerdo con la teoría general sepuede hallar la otra solución aplicando el método de variación deparámetro.(Ejemplo 1)

y

Si las dos raíces Al y x, de la ecuación (4) son diferentes,entonces .

,entonces (2) es la solución de la ecuación (1).. La ecuación (4) sellama" ecuación de índices."

(4)Si A satisface la ecuación de segundo grado

A2+aA+b=O

y se trata de hallar para qué valores de A la ecuación (2) es soluciónde la ecuación diferencial (1).

Derivando (2) y reemplazando en (1) se recibe:e).,r (A2+aA +b) =O ( 3 )

en donde a y b constantes.Se toma en consideración la ecuación siguiente:

y=~ (2)

La forma general de este tipo de ecuaciones diferenciales esy~+ay' +by=O (1)

§3-Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientesconstan tes.

1CI¡(x) +C, g(x) +h(x) es la solución general de la ecuación diferenciallineal no homogénea, en donde h(x) es una solución particular dela ecuación diferencial lineal no homogénea.

100 Ecuación lineal

(7)

entonces la solución general es:

e2.r sen xe~.r cos x,

Dividiendo por 2 y Zi se obtienen dos soluciones reales de laecuación (5):

Y1+Y2 =2e2:& cos x

2 · 2zY1-Y2= te sen x

Como Y1 Y Y2 son soluciones de la ecuación (5), la suma y la restade éstas 10 son también de la ecuación dada, por esto se obtienen'estas dos nuevas soluciones: .

(6)Y1= e(2+i):&= e2X• ei:&= e2Z {cos x + i sen x} }Y2= eC2-i):& = e~:&· e= = e2X {cos x - i sen x}

, Pero como estas dos soluciones contienen complejos es convenienteobtener soluciones reales:

Las soluciones diferentes de esta ecuación son:

entonces:\.2-4:\.+5=0

La ecuación de índices es:

(5)y"-4y' +5y=0(Ejemplo 2)

es la solución general.

son dos soluciones diferentes de la ecuación dada y se puede concluirQue:

ye3zpor esto

yde donde


Ec.,ación lineal 101

2) a2-4b<0

o bien si las dos rarees son cornplejas, es decir:

;\.. == _ .E..+v'a2 - 4b _ a_+ .v4b - al i2 2 2 2

(8)

Esta es la solucion general de la ecuaci6n dada.En general en la ecuación de índices pueden presentarse tres

casos, a saber:1) a2-4b>0

es decir si las raíces Al y A1 son reales y diferentes: caso en elcual la solución general de la ecuación diferencial (1) es:

•

Entonces

Como una solución de esta ecuación es v=x la otra soluci6n de laecuaci6n dada es:

o bien v"=Ov"eZ=O,entonces

Reemplazando estos valores en la ecuaci6n dada se obtiene:

y" =v" e%+2v' e%+ue'

y'=v'~+v~entonces

y=v(x) ·eZ •

es una soluci6n. Para hallar la otra, sea

por lo cualAl =X~=l

entonces

La ecuación de índices es:y" -2y' +y=O

(~jemplo 3)

102 Ecuación lineal

v'=e¡ (constante), v=e, x+C2•

por tanto

entonces u" =OV'I. eA,.c;:=O,

{v" + (2Al +a)v/}e'\l.c-1- (A¡2+aA¡ +b)e'\lX=O (12)

Pero como Al es una raíz de la ecuación de índices, el últimosumando de la ecuación (12) es igual a cero; por otra parte,teniendo en cuenta la ecuación (10), se recibe:

o bien

Reemplazando estos valores en la ecuación (5) se recibe:

y' = (v' +A1v)eA1X

y" = (v" +2A¡V'+A¡~v)e'\lZ

entonces

Para hallar la otra solución se aplica el método de variación deparámetro, para lo cual sea

y=v(x)eA1Z

(11)En este caso una solución de la ecuación (1) es:

Yl =eAIX

La solución general de la ecuación (1) es entonces:y=ert..r {el cos Bx+C« sen j3x} (9)

3) a2-4b=0, es decir si las dos raíces son iguales:A¡=:\.2=-a¡2, o bien 2A¡+a=O (10)

Pero a partir de estas dos soluciones se pueden obtener, como enel ejemplo 2, otras dos que no contengan complejos, a saber:

eCfX cos Bx, if"X sen /3x

en donde a y j3 son reales. En este caso las dos solucionesdiferentes de la ecuación son:

YI = eC«-+'ifJ)x= eGZ {cos j3x+ i sen {3x}Y2 = eCrt.-ifJ)x= e«-Z {cos j3x- i sen {3x}

A2 - _!!_ _ ~ a2 - 4b= _.E_ _ ~ 4b - a2 i- 2 2 2 2

En general estas ratces complejas se denotarán por:AI=a+ij3, A2=a-i/3

Eciurción linea' lOa

de donde:).:1-7;\.+6=0 (ecuaefén de índices)

o bien

Derivando esta ecuación y reemplazando en (14) se recibe:

Como en los casos anteriores, se considera ahora, para qué valoresde ). la siguiente expresión es solución de la ecuacíoa.dada :,=~

(14)y'"-7y' +6y=0(Ejemplo 4)

•El estudio hecho anteriormente para las ecuaciones diferenciales

homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes se puedegeneralizar para las ecuaciones diferenciales de cualquier orden.

1) s' - 3,' +2y ::::Q 2) y"+y'+y=O3) y" - 4y'+ 4y::::Q 4) y" -2y'-3y=05) y" +y=O 6) 2y" -y' -3y=07) 2y" -5y' +2y=0 8) y" +2y' +2y=09) 4y" +4y' +y=O 10) y" -2y' +5y=0.

EJERCICIOS

2) a2-4b<0 , =,...{C,COS fJx. +e, sen fJx.}(en donde XI. X2=a±ifJ)

, =eA1Z{C1x.+ es}3) a2-4b=0

j(=C1 eA1Z+e2 eA z1) a2-4b>0

RESUMEN

,

La ecuación (13) es la solución general de la ecuación (1) porquecontiene dos constantes arbitrarias y además si el=0 se obtiene lasolución (11).

(13)Entonces

104 ECllación lineal

Entonces

por tanto las tres raíces son iguales:

o bien (:\-1)3=0:\ 3 - 3:\2+3:\ -1 =O,


(16)y'" -3y" +3y'-y=O(Ejemplo 6)

Se concluye que la solución de la ecuación (15) es:

e= sen xe:» cos x,

entonces, a partir de estas dos soluciones, se pueden obtener dossoluciones reales, a saber:

Y2 =e(-l+Oz=e-z {cos x+ i sen x}Y3 =e(-1-0.r=e-z {cos x- i sen x}

son tres soluciones diferentes de la ecuación (15). Pero como

e(-l-t)Ze(-l+t)Z,entonces

de donde(:\-2) (:\2+2:\+2) =0

o bien,X3-2'x-4=0


(15)y"'-2y'-4y=0(Ejemplo 5)

son tres soluciones diferentes de la ecuación (14). Por tanto lasolución general es:

y =Cl eZ+C2 e2:r +C3 e-~.r

entonces,x,,= -3

(17)s' +y" _y'_y=OLa ecuación de índices es :

(Ejemplo 7),

eA1%

y las otras n -1 soluciones diferentes son:

Nota. Cuando en una ecuación de orden cualquiera la ecuaciónde índices tiene n raíces repetidas, es decir

(A-Al)"=Ouna solución de la ecuación es

arbitrarias entoncesNótese que para

Como esta solución contiene tres constanteses la solución general de la ecuación dada.C1=C2=O se obtiene la solución YI.

•

La solución de la ecuación (16) es por tanto:

o bien

v"=Cv' =C x+C2

V = ~ xZ+C2 x+Cs

De esta última ecuación se reciben sucesivamente las siguientesecuaciones

entonces V"'=Ov'''·ez=O,o bien

Reemplazando estos valores en la ecuación (16) se recibe:

(v'" +3v" +3v' +v)ez- 3(v" +2v' +v)e.:r

v'" =V"'ez +3v"et:+3v' eZ+vezy

aplica el método de variación de parámetro.y=v(x)e.:r

soluciones diferentes seSea

Entonces

es una solución de la ecuación dada y para hallar las otras dos

106 Ecuncién lineal

Como en este caso no e posible hallar solución real, la solución dela e un ion dado \

Por tanto las dos soluciones diferentes de la ecuación son:

~ ro- v"2 ..f21\.2= - '\' ,= 2 '2

entonces~ ro-.f2 ..f2I\.I='\" = 2 +, 2 _ Y

X2-i=0La ecuación de índices es:

y"-iy=O

11) y'''-2y''-y' +2y=0 12) y'" +3y" +3y' +y=O13) y'''-y''+y'-y=O 14) y'''-y=O15) y"'-6y" +11y'-6y=0 16) y(4)_y=0.@)' I

y"'-8y=0 18) 2y'" +y"-8y'-4y=019) y(4)- 4y(3)+6y"- 4y' +_v= O 20) 3y"' +2y"-7y' +2y=021) y(4)-8y" +16y=0 22) y(4)+2y" +y=O23) 6y"'_y" +6y'-y=0 24) y"'-y" -3y' -y=O25) y(6)_y=0

(Ejemplo 8)

EJERCICIOS

Por tanto la solución general es:y= (C1-J-C2 x)e-.r+C3 eX

e-X. x,

Teniendo en cuenta la generalización hecha en la nota anterior,se recibe que las soluciones diferentes de la ecuación (17) son:

entonceso bien (A+l)~(A-l):-O

Ecuación lineal 107

o bien

En la variable original x la solución general de (1) es:y=C1 eAJ 'tI6+C,el' 'n %

.,roC, .)A.I IC~xAt

en donde XI y ;\2 son las raíces de la ecuación de tndíces :X2+ (a-l) :\.+b=O

(3)La solución de la ecuación (2) es:

y=C1 e~lZ+C2 e~2Z

(2)

Multiplicando por %2 se recibe:d'y dydX' +(a-l) dX +b=O

Con estos valores la ecuaci6n (1) toma la forma siguiente:1 (d2y _ dy) a dy b_%2 dxi dX + %2 dX + x' y-O

1 dy"%"dX

dy _ dy dXd-X-dX dx

tPy 1 d1.. 1 d ( dy ) _ 1!!L 1!!.:!d'%'1_- r dX +7 dl: dX - - %' aX-+ x3 dXt

y

por tanto

pueden ser transformadas de tal manera que la ecuación resultantetenga coeficientes constantes. Para hacer esto, séa :

%=eZ o bien X=lnx

C 1)a bY ..,,._y'..l.. -y=ox ',%2

§4-Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Ecuaciones ConCoeficientes Constantes

Las ecuaciones diferenciales del tipo

30) y(4) +Y =0(existe solución real)

27) y" -2y' =2i(y' -y)26) y"+iy'-2y=028) y'" + (2-i)y'''+ Cl-2i)y'-iy=029) y"'-iy"+y'-iy=O

EJERCICIOS

( ./2 ./2) ( ./2 ./"2'-+(- • - - -+í-I!IIY =eI e 2 2 +C2 e 2 2 I

," -1, i,entone sA'~ 2A+ 2=0

Esta es una ecuación con coeficientes constantes y su ecuación defndices es:

Con esta transformación la ecuación dada toma la forma:d2y dydX2 -t-2 dX +2y=0 (8)

(7)y" +_l_y' -t·-'!_y=O. x xx=eZ o bien X=ln xSea

(Ejemplo 2)

La solución general de (6) es:y=C1 X2+C2 .13

yLas dos solucions diferentes de la ecuación son:

.\.=2, 3•Por tanto

Entonces de la ecuación (5) se recibe:)..2-5A+6=0 (ecuación de índices)

(6)y"- !y' + ;2 y=OSea y=x)"

(Ejemplo 1)

Sean Al Y A2 las dos raíces de la ecuación anterior. Entonces lasdos soluciones diferentes de la ecuación (1) son:

X"1 XA2,

(5)A2+ (a-1) .\.+b=O (ecuación de índices)entonces

y=x"quedando por determinar los valores adecuados de A. Para estose deriva la "solución" anterior y se reemplaza en la ecuación (1):

{A(.\.-1)+ a A+b}x"-2=0

Nota. De acuerdo con la solución (4), dada la ecuación (1) sepuede aceptar desde un prmcrpro que su solución tiene la formasiguiente:

•

Para hallar la otra solución se debe aplicar el método de variaci6nde parámetro;

Si se resuelve esta ecuación por el otro método, una solución esYl =x-2

La solución general de la ecuación (11) es por consiguente:y=e-2Z{ C1X+C2}

Pero Xt=ln x, entonces la solución general de la ecuaci6n(10) es

y=-\-{C11nx+C2}x

A= -2 (raíz doble)entonces

La ecuación de índices que corresponde a esta ecuación es:• A2+4A+4=0

(11)

Entonces la ecuación dada toma la forma:• d2y dy

dX2 + 4ax +4y=0

x-t««o bienSea

(10)(Ejemplo 3)

La suma de estas dos soluciones con sus constantes arbitrarias esla solución (9).

Las dos soluciones diferentes de la ecuaci6n (7) son por tanto:x-l+'=x-1%i=x-1[eflnZ] =%-1{ cos(lnx)+isen (In x)].T-1-f=.x-1 _x-i=X-1 [e-tlnz] =,X-1 [cos (In x) =i sen (In ,X)]

-l-iA= -l+i,entonces

La soluci6n general de la ecuación (8) es por tanto:y=e-Z{C1 cos X+C2 sen X}

Pero como X = In x la solución general de la ecuaci6n (7) ,es:

y=_!_{C1 cos (In %) +C2 sen (In x) (9)%

Tambien puede hallarse la soluci6n de la ecuaci6n (7) por elmétodo explicado en la nota anterior:Sea y=x).., entonces de la ecuación (5) se recibe:

:\,2+2A+2=0

110 Ecuaciones reducibles

'\',1='\'= -2"

entonces

La ecuación de índices de esta ecuación diferencial con coeficientesconstantes es:

o bien'j'I

Reemplazando estos valores en la ecuación dada se recibe:

dy _ dy dX _ 1 dydx -dX dx --x dXd2y =__!_ dy +_1_ d2ydx' .x2 dX X2 dX2

d3y _ 2 dy 3 d2y 1 d3y([i3- %' ex : x3 dX2+ x'- dX3;

d4y 6 dy 11 d2y 6 dly 1 d·ydx· = x· dX + x· dX2~ ..t4 dX3+ x· dX"

entonceso bienX=/nx

Para reducir esta ecuación a una ecuación con coeficientes costantesse hace la transformación:

Ejelnplo 4.

1) y" + !y' + ;2 Y=O 2) y" 1 y' ,t ~ =0% %

3) yl1+~>,=O 4) >'" + ; y' + ; y = Ox"

y" + ; y'- ;2 y=O " 6 O' ,5) 6) y -%2Y="

7) y" _ 2~yl _ ;2 y=O , 8) 'y" +_'!_y' 32%21=0'-, 2%

9) 9y"+ !y'+ ;2 y=o 10) y" + !y' + ,; y=O

EJERCICIOS

Ecuaciones reduclbl., 1111

Reemplazando en la ecuaci6n dada se obtiene la siguiente ecuaci6ncon coeficientes constantes:

,1 {d2y dy }_(x-a)2 (IJ(2-2 dX,+2y -O

entonces d2y dydXT-2dX +2,=0

dy _ 1 dydx- x-a dX

d2y _ 1 d2, _ 1 dydX2 - (x-a)2 dX2 (x-a)! dX

entonces

Y"__ y' + 2y -O( )

2-x-a x-ao bien X=/n (x-a)

•x-a=ez,Sea

Ejemplo 5.

X=/n (x-o)o bien

tambien puede reducirse a una ecuación diferencial con coeficientesconstantes haciendo el cambio de variable

"+ A I B Oy x-aY + (x-a)2 y=La ecuaci6n

6 (3) 4" 2' 216) >,")+ Y + Y - y +2 =0x X2 x3 x'

3" Iy(3)+ Y +L+L=O 14) y, (J)+y'JX2-tlJX3=Ox X2 x3 .,

y(t) +6y(3)/x+6y" /x2-2y/x' =0

13)

15)

EJERCICIOS

Reemplazando X por su valor se obtiene la soluci6n general de 1aecuaci6n dada:

La solución general es por consiguiente:>'=e2.1'{C1+C2X} +e-2X{ C3+C.X}

1] 2 Ecuaciones reducibles

(4)Sea YI (x) una solución particular de la ecuación

1" +(.11'+b1=1l.(x)

secciones anteriores. Para hallar una solución particular de laecuación (1) existe un método general Que será estudiado masadelanle. Por ahora solo se estudiarán algunos casos especiales,pero antes de entrar a estudiarlos se verá una regla general parahallar una solución particular de la siguiente ecuación:

y"+ay'+by=R1(x)+R2(x) (3)

La solución general de la ecuación (2) ya fue estudiada en las

y una solución particular de la ecuación (1). Es decir:[Solución general de (2))+ [Solución particular de (1)]

,

es la suma de la solución general de la ecuación homogénea de (1)y"+ay' +by=O (2)

( 1)y" + ay' +by=R(x)

Como se dijo en § 2 de este capítulo, la solución general de laecuación no homogénea

§ 5-Ecuaclones no Jlomogéneas con Coeficientes Constantes (Métodode los Coeficientes Indeterminados)

18) " 5 '+ 4 O 19) 4y"+ Y =0Y + x-1Y (x-l)2Y= (x-a)2

20) " y' 8y -=0 21) s' + 7y' + 12y O. y - x+a (x+a)' %-2 (x-2)'-3 " ,

22) "'+ Y + Y ---~--=Oy x+a (x+a)2 (x+a)3

EJERCICIOS

La solución general de la ecuación dada es por tanto. en términosde x, la siguiente:

y= (x-a) [Cl cos {/" (x-a) }+C2 sen {In (x-a)}]

La solución de esta ecuación es:y=eZ{C1 cos X+C2 sen Xl

Ecuaciones no homogénea. 113•

Por lo cual y=e2z/3 es una soluci6n particular de (8). Este métodoes llamado "método de coeficientes indeterminados" porque primerose supone una forma de solución con coeficientes desconocidos yluego se determinan los coeficientes con ayuda de la ecuaci6n dada.

En general si en la ecuaci6n (7) se supone que una 801,._ci6n

4C e2z +6C e2Z - 4C e2Z= 2e2;C

6C e2Z= ze=C=1/3

o bienentonces

Reemplazando estos valores en la ecuación (8) se obtiene el valorde C

y"=4C e2zy'=2C e=,•Derivando (9) con respecto a x se recibe:

(9)y=c e2;C

Observando el miembro derecho de la ecuación se puede pensar queuna solucíon particular tenga la forma

(8)y" +3y' -4y=2e2Z(Ejemplo 1)

(7)

CASOS ESPECIALESI-La ecuaci6n diferencial no homogénea tiene la forrna :

s' +ay' +by=AeGZen donde A y a son constantes.

Lo que indica que YI+Y2es una soluci6n particular de (3), porque la satisface. En otraspalabras, si se quiere hallar una solución particular de (3) se hallauna (soluci6n particular) de (4) Y otra de (5) y se suman.

o bien

Sumando miembro a miembro las igualdades de (6) se recibe:(YI"'+Y2")+a c,I'+Y2')+b C,1+Y2)=R¡+R2

(6)Es decir que

(5)y Y2(x) una solución particular de la ecuación

y" +ay' +by=R2(~)

114 Ecuaciones no homogéneas

Derivando se obtiene

son :Xl = - 4, x,=1, la forma de la solución particular de (15) es:y=Cx e:"

(15)y" +3y'-4y=e-'z

Como las dos raíces de la ecuación de índicesX2·+3X-4=O

(Ejemplo 2)

Si 2a+a=O no se puede determinar el valor de C. Esto ocurrecuando la ecuación de índices tiene a como raiz doble. (verecuación (10) §3)

de donde')

(14)

pero como a satisface la ecuación (12) entonces se recibe:(2a+a) e eGz=A e-Il

C=A/C2a+a)

Reemplazando estos valores en la ecuaci6n (7) se puede hallar elvalor de e, como sigue:

Ce-· (x(a2+aa+b) + (2a+a)) =A e··

I

(13)y=Cxe·JlDerivando la solución (13) se recibe:

y'=C (f'1l+e ax e-zy" = 2ea e·Z +Cce« eGZ

no se puede determinar el valor de e; esto sucede cuando a es unade las raíces de la ecuación de índices porque en este caso asatisface la ecuaci6n (12) y la forma de la soluci6n particular esentonces

(11)

(12)a'+aa+b=OPero si

C=A/Ca'+aa+b)Entonces

entonces el valor de e queda determinado SI se deriva y sereemplaza esta expresi6n en la ecuaci6n (7):

(a'+aa+b) e e-z=A e-~ (10)

y=ce-zparticular tiene la forma

Eerurciones no homogéneas 115•

).,2-4A+-4=0

Al=A2=2

De acuerdo con la ecuación (16), una solución partlculnr de, la

La ecuación de índice es:entonces

y"-4y' +4y=6e2~{Ejemplo 3)

entonces 2C eQ;z=A eo;zo bien C=A/2Entonces una solución particular de (7) es:

y - A x:l eo;z .~ (17)'- 2

•a2+aa+h=0 y a+2a=0,.Pero

- Reemplazando en. (7) estas ecuaciones se recibe la siguienteecuación de "la cual se puede despejar el valor de C:

C eQ;Z[(a2+aa+b) x2+2(a+2a)x+2] =A eUX

Derivando la ecuación (16) se obtiene:y' =2Cx eQ;Z+Cax» eo;xy" =2C ~Z +4Cax eo;z+Ca2 X2 eaz

(16)

Se ha visto que sii) a~Ah a~A~ la solución de (7) es y =C eQ;Xii) a=A1~A2 la solución de (7) es y=Cx eQ;Xiii) a=A1 =A2 entonces es posible que la solución sea

y=Cx2 eo;z

(ver (10), §3)2A1+a=2a+a=0o bien

es una solución particular de la ecuación (15).Ahora se tratará el caso en el cual

a=A1=A2

C= -1/5

y- -_'!_x e-tZ- 5Entonces

o bien

y" = (- 8C+16xC) e-4ZReemplazando en la ecuación (15) se recibe:


De acuerdo con la teorfa general, una solución de la ecuación (18)

tiene la forma:

.necesarro tener en cuenta queev= e~2.r

ii) Para hallar una solución particular de la ecuación (18) es

La solución general de la "ecuación homogénea" es entonces:y=C¡ e2Z+C2e-2X+C3 cos x+Cc sen %

A¡=2, A~=-'2, A3=;, A,=-;'entonces ".(A2+ 1)(A-2) (A+2) =0o bien

i) La ecuación de índices es:

(18)(Ejemplo 4) Hallar la solución general de la ecuación

y(C)-3y" -4y =4e-~z

1) y" - 2y' - 8y= 3e3,z / 2) y"-6y' +9y=4e-2Z3) y" - 5y' +6y= 3e3,z " 4) y" +8y' -1-16y=10e-c.e5) y" +2y' +2y=3e,z ~ ~ 6) 2y"+y'_y=ez!27) 4y" +4y' +y=4e-X!~ / .8) y" +5y' -14y=e2z9) 2y" +5y' +2y=5ez/2 ./ 10) 4y" -12y' +9y =63z/2

Hallar una solución particular de las ecuaciones diferencialessiguientes:

EJERCICIOS

De donde se recibe Que una solución particular de la ecuación dadaes :

C=3entonces

Reemplazando estos valores en la ecuación dada se recibe:2C e211=6 e'~

y=Cz'J e2~

y' = (2Cz +2Cx'l) e'l&y" = (2C+8C%+4C%') e'lI

entoncesecuación dada tiene la forma:

Ecuaciones no homogéneas 117

1 ~.ry= - ..--.e24

Una solución particular de (22) tiene la forma

De donde se deduce que una solución particular de (21) es:

(22)y una solución particular de

y" -3,'-10y=e-~zI2

Una solución de (21) tiene la forma,=C e'lz

Derivando y reemplazando en (21) se obtiene el valor de CC= -1/24

•(21)

ii) Para hallar una solución particular de (20) se halla una soluciónparticular de la ecuacion

y" -3y'-10y=e2J:12

•

La solución general de la "ecuaci6n homogénea" es:y=C1 e~+C2 e:"

.\2=-2A1=5,entonces

(20)Esta ecuación puede escribirse así:

y" -3y' -lO,= (e2.r +e-%-') /2

i) La ecuación de fndices es:,\2-3'\-10=0

(Ejemplo 5) Hallar la solución general de la siguiente ecuación:y"-3y'-10y=cosh 2x (191

iii) La siguiente ecuación es entonces la solución general de laecuación (18):

Por esto una solución particular de la ecuación (18) es:

y= - ; x e-2Z

C=-1/5entonces

y=Cx e-'JZ

Derivando y reemplazando en la ecuación (18) se recibe:- 20C e-I.I:=~-tz


En forma análoga a los casos anteriores se supone que una soluciónparticular de (23) sea un polinomio de primer grado:

. ,=C1.r+C, (24)

(23)y" +ay' +by=Al x-t- Ao

Primero se considera el caso en el cual el polinomio es deprimer grado.

y" + ay' +by =An xn+ An-l xn-1 + +Ao11

20) y(4)-8y",-16y=(senhx)219) s'" -3y" +3y'-y=6ex+e-;¡;

( 1 fi)--+-, lD

y" +y' +y =e 2 218)4

y"+2iy' -y = 4e-ix

12) y" +y' +y = eZ +2e2X +.3e3Z14) y"-y'=ez+1'f6)..I y"'-2y" -4y' +8y=4 cosh 2x'.... ,,.,.,,

11) y" +3y' +2y=eZ+e2Z13) y." - 4y' +4y =4 senh 2%15) y" -5y'-24y=8eIlZ-3e-~z

Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:,

EJERCICIOS

Nota. Si en la ecuación (7) a=O entonces la ecuación toma la formay" +ay' +by=A

y ·la solución particular es tambien una constante.

La solución general de la ecuación dada es entonces;

Y --=C e:'x+C e-2:&-_!_ e2z_..l_ .. e-2..:1 :1 24 14 ....

De acuerdo con la teoría general, una solución particular de laecuación (20) es:

~1 -2..,y=-' ····--:ce14

Por esto una solución particular de (22) es:

B=-1/14

Derivando esta ecuación y reemplazando en (22) se obtiene el valorde B, a saber:

y=Bxe-2Z

Ecuaciones no homogénea. 119

(30)y'" +2.)''' -3y' =6%+8(Ejemplo 6)

(29)y una solución particular de esta ecuación es:

y=%'(C1 %+Co)

(28)

Si a=O entonces la ecuación (26) se transforma en la ecuación

(a~o)c _ Aa _ Al0- a a~CI=AI/2a,

por esto

entonces

Derivando y reemplazando se obtiene que:• 2aCl%+(2Cl+Coa)=Al%+Ao

(27)

Se puede pensar que en este caso una solución particular de laecuación (26) sea

•

(26)Si b=O entonces la ecuación (23) tiene la forma

y" +ay'=A1 %+Ao

(25)

Si b~O entonces una solución particular de (24) es:

_ Al +( Ao aAl )y- b x b b2

(b~O)C Ao2= b

entonces

y por comparación de los coeficientes de potencias iguales de % seobtiene:

o bien

Reemplazando estos valores en la ecuación (23) se recibe:aCl +b(C1 %+ C2) =A1%+ Ao

y"=OY '-C- h

en donde C, y C,¿son las constantes por determinar.Derivando (24) se obtiene:


C.-l. C.=4, Co=7La solución tlen la forma II,uiente:'

por lo cual

entonces

Reemplazando en la ecuación dada se obtiene:C2%2+(C.-4 C2)x+ (2C,-2C1 +Co) =x~+ 1

y" -2y' +y=%I+ 1y=C2 x2+C • .l'+CoSea

una solución particular.Entonces

(Ejemplo '1)

Si a=b=O una solución particular de (31) es:y=x2(C, X2+C1 %+Co)

Generalizando lo anteriormente expuesto se recibe que:Si b=\=O,una solución particular de (31) es y=C2 x2+C. x+Co

Si b=O Y '0=\=0,una solución particular de (31) esy=%(C2 x'+C1 %+Co)

(31)

.. Ahora se estudiará el caso en el cual el polinomio es de segundogrado

por lo cual una solución particular de la ecuación dada es:y= -.1'(.1'+4)

Co=-4yo bien

-6C1==6,entonces

Derivando y reemplazando se obtiene:-6C, z+ (4C,-3C,) ==6.1'+8

Debe observarse Que la ecuación (~O)no contiene y entonces sesupone que una solución particular de esta ecuación es :

y=x(C1 x+Co)

Ecuacion.e. no homogéneu 121

Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones2) y"-2y'-15y=-(15x2+4x+13)22) y"-4y'+4y=4(x-l)23) y"+·2y'-1-2y=2(x+l)224) 2y"+3y'=6x+1025) y" - 4y'- 5y=5x3( 4-4x -x!!)26) y'''+y''+y'+y=x!!+2x-. 227) y(4)+4y" =8(6x2 +5)

y"'-3y" + 3y'-y = (2+ x) (2-%)2y"-9y' +4y=18~-4x2yl4)-2y"+y . x2-5

31) y(4)-3y"-4)'=-4%6+390x32) y(4)-3y" I 2y'=6x(x-·3)

EJERCICIOS•

y= -x(3x2-12x +43)es una solución particular de la ecuación dada .

Por lo cual

Co= -43C'/.=-3,entonces

Comparando los coeficientes de potencias iguales de x se obtiene:-3C2--=9, 6C:!+2C¡=6, 6C2-2C¡-Co=1

Derivando y reemplazando en la ecuación dada se recibe:-3C2 X2 -x(6C~+2C¡) -1- (6C~-2Ct - Cu) =9X2-6x+ 1

Como la ecuación dada no contiene y, una solución particular tienela forma

y(.) +yCa) -y 1/ - y' = (3x -1)2(Ejemplo 8)

y=x2+4x+7Este métode se puede generalizar para una ecuación diferencial decualquier orden y para un polinomio de cualquier grado .

•

122 EC'uaciones no homogénem

ii) Para hallar una solución particular de (33) debe considerarseque la ecuación no contiene y y que

(.-1)'-'·. (J'-l)c~l"

La solución general <je la ecuación homogénea es:y=C1 +C,e-2Z+e3e-z

A3=-1A,= -2,A1=0,entonces

i) La ecuación de índices' es:;\.3+3A'+2A=0

(33)y'" +3y" +2y'= (x -1)e-2Z..

(Ejemplo 10)

Hallar la solución general de la ecuación

y=(%2-1)e2Z

es una solución particular de la ecuación dada.

Dividiendo por e2Z y comparando los coeficientes de potenciasiguales de x se obtienen los valores de las constantes:

C,=1 C1=O 2C2+eo=1, o bien. Co=-lEntonces

Reemplazando estos valores en la ecuación (32) se recibe:{C2.1'2."_ C¡.1'+ (2C2 +Co)} e2z= (.1'2+ l)e'Z

y'= {2C2.r!+ (2e2+2CI).1'+ (el +2Co) }e2Z

y"={4e2.1'2+ (8e2+4CI)x+ (2C2+4C1 +4Co) Je!Z

Entonces

Generalizando los métodos expuestos anteriomente se puede suponerque una solución particular de la ecuación dada tiene la formasiguiente:

(32)(Ejemplo 9)

33) y" -8y' + 15y=(15%'+ 14%+1) + e'"

34) y'" +4y" +4y' =e-'z +8(%+ 1)35) y(t)_y(3) + y" =12%'- 24%+ e-Z

f.'ruaf";ones no h.(Jmogén~n, 123

ii) Considerando que la ecuación no contiene y y que e2Z=eAs:t,Se supone que una solución particular es:

y =x2 (~IX +Ao)e~,r

La solución general de la ecuación homogénea es:y=C1 + (C2+CSx)e2:t

(34)

(Ejemplo 11)Hallar la solución general de la ecuación

y"'-4y" +4y' = 12(x-2)e2:t

i) Rafces de la ecuación de índices:

•

iii) La solución general de la ecuación es entonces:

y=Cl+C2e-2X+C3e-x+ !x(x+1)e-2X

Por 10 cual una solución particular de la ecuación dada es:

y= 1 x(x+ 1)e-2X4

Ao=1/4o bien

-6A1 +2Ao=-1entonces

Reemplazando estos valores en la ecuación dada se recibe:{4AIX+ (-6A1 +2Ao) }e-2X= (x-1)e-2Z

y' = {-2AlX2+ (2A,-2Ao)x·t Ao}e-2,xy"={4A1X2+ (-8AI +4Ao)x+ (2Al-4Aa) e-2Zy'''={ -8A1X2+ (24Al-8Al).t"+ (-12A1 +12Ao)} e-2Z

Entonces

En este problema una solución particular de la ecuación es:y=x(A1x+ Ao)e-2Z

Por otra parte, si el segundo miembro de la ecuación fueraúnicamente e-2Z, una solución particular sería

Axe-2X (porque .\2=- 2)

(porque falta y)

•Si el segundo miembro de la ecuación (33) fuera solamente (x-1),una solución particular sería

x(A1x+A2)


o bi In

Derivando y reemplazando en la ecuación dada se obtiene(-D cos x-Esen x) -3(-D sen x+Ecos x)

-lO(D cos x+E sen x)= -13 cos x

Una solución particular de esta ecuación tiene la forma:y=D cos x+Esen x

(Ejemplo 12)Hallar una solución particular de la ecuación

y" -3y'-lOy = -13 cos x

es una solución particular de la ecuación (35).

Se consideran a continuación algunos ejemplos de este tipo deecuaciones:

(36)En forma análoga a (1) y (11) se puede suponer que

y=T) cospx+Esenpx

(35)y" +ay' + bY=A cospx+Bsenpx(111)

44)y'" +2y" = (4x2+6x-l)e2Zy(4) -8.)''' +16y=x senh 2x

42)40) y"-2y'+y=(x+l)eZ

Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones:... ""G~Y y/I-2y'-3y=(x-2)eZ 37) y"-5y'+6y=(x+l)'e-2%38) y"+2y'+2y={(x-l)ez}:l 39) y"+2y'-3y=xez

l_ ~

41) 4y"-4y'+y=(x-l)ez/243) y"'-y' = (x+eZ)245) y'" +y" +y' +y=x cosh (-x)

EJERCICIOS

y la solución general de la ecuación dada es:

y =C¡+ (C2 +Cax)e2% +X2( X- ~ )e2%

Por tanto una solución particular de la ecuación es:

y=X2(x- 1~)e2X

Se obtiene entonces que los valores de Ah Ao son:A¡=l, Ao=-15/2

Ecuaciones no homogénea, 126

es una solución particular de la 'ecuación (37). Por tanto la solucióngeneral de la ecuación dada es

y=:C1 cos 2x+C2 sen 2x-x cos 2x

y= -x cos 2xEntonces

~

Comparando los coeficientes de sen zx y CQS2X se obtieneD=-1, E=O

Derivando, reemplazando en la ecuación (37) y reduciendo se obtienela expresión siguiente:

-4D sen 2x+4E cos 2x=4 sen 2x

(38)y=x{D cos 2x+Esen 2x}•

La soluci6n general de la ecuación homogénea esy=C1 cos 2x+C2 sen 2%

ii) El segundo miembro de la ecuación (37) es una soluciónparticular de la ecuación homogenea y por tanto una soluciónparticular no puede darse bajo la forma (36) sino bajo la formasiguiente:

A2= -2iAl =2;,

(37)

(Ejemplo 13)Hallar la soluci6n general de la ecuaci6n

y" +4y=4 sen 2x

i) Ratees de la ecuación de índices:

Nota. El segundo miembro de la ecuaci6n del ejemplo anteriorno contiene sen x, pero en general la solución particular contienesen ~ y cos x.

Por 10 cual una soluci6n particular de la ecuación dada es11 3

Y = 10 cos x + 10 sen %

E=3/10D=11/10,Entonces

(-3E-11D) cos x+ (-llE +3D) sen %= -13 cos xComparando los coeficientes de cos x y sen x se recibe:

-11D-3E= -13, 3D-I1E=0

] 26 Ecuaciones no homogéneas

ir) Observando el segundo miembro de la ecuación (40) se veque es una forma particular de la ecuaci6n (41) (C1=1, Cs= -2) ypor lo tanto es una loluci6n particular de la ecuación homogénea.

La solución general de la ecuación homogénea es por tanto:,

y=e-Z(C1 cos 2%+C2 sen 2x) (41)

~,=-1-2i~1=-1+2i,entonces

i) La ecuaci6n de índice s e s :

:\'+2~+5=0

(40)y" +2y' +5y=4e-z (cos 2x-2 sen 2.%)

(Ejemplo 16)Hallar la soluci6n general de la ecuaci6n

4

'Por tanto una solución particular de la ecuaci6n (39) es.y=ez( -cos 2%+2sen 2%)

D=-l, E=2o bien

E+2D=O2E-D=5,Entonces

Derivando, reemplazando en 1... ecuaci6n (39) y reduciendo se recibe:ez(2E-D) cos2%-(E+2D) sen 2%] =5ezc"s2%

En forma análoga al método anterior es posible que una soluci6nparticular tenga la forma siguiente:

y = ez{D cos 2%+ E sen 2%}

(39)y" +2y'-3y=20ez cos 2x(Ejemplo 14)

~1)/53)"...___.,

y'" + 2y" + y' = sen x + 2 cos 2x 55)y" +5y'-14y=cos x+cos 2%

y" +2y' +y=sen 2xy"-4y+5y=cos x+sen xy"+y'-2y=cos' zy(l)-y=sen %-2 cos %y(·)+y"-2y=cos~

47)49)

y" +y=cos x-sen xy" +y' -6y=sen x cos xy" +9y=cos 3x

46)'--,....48)-~

(§U54)

EJERCICIOS

Ecuaciones no Iwn.ogén,ea. 121

Una eolueiond I oluctcn

en donde CI y C2 son dos constantes arbitrarias.particular de -la ecuación (1) tiene la misma form

(2)y =CI [(x) +C2 g(x)

Se sabe que si [(x) y g(x) son dos soluciones diferentes de laecuación homogénea de (1) entonces la solución general de laecuación homogénea es

( 1)s" +ay' +by=R(x)se estudiará en esta sección.

§6-Ecuaciones no-Homogéneas con Coeficientes Constantes (Métodode Variación de Parámetro)El método general para hallar una solución particular de la

ecuación

y" +4y=2 cos y senh xy'" + y"-2y=e-z (2 cos x+sen x)

4y"-5y' +y=ez (sen 2x-cos 2x)y"·t 12y' +32y=2 cos x senh 2x

~

56) y" +4y' +4y=e-2Z sen x 57)58) y" +4y' +5y=e-2Z cos x 59)60) y" -4y' +5y=2 JOS X senh x/ex

I

61) y"-2y' +2y=ez cos x 62)1'-

63) y'" - y" +2y=2ez cos' x 64)~-65) y'" +4y"-i2y' =8e2Z cos x sen x,

EJERCICIOS

iii) La solución general de la ecuación dada aparece acontinuación:

y=e-Z(CI cos 2x+C2 sen 2x) +x e-Z(2 cos 2x+sen 2x)

. Por 10 cual una solución particular de la ecuación (40) esy=x e-Z(2 cos 2x+sen 2x)

E=l. D=2Entonces

Derivando, reemplazando en la ecuación (40) y reduciendo se recibe:e-z(Ecos 2x-D sen 2x) =e-:tJ(cos 2x-2 sen 2x)

y=x e-Z(D cos 2x+ E sen 2x)

En este caso una solucibn particular de la ecuación (40) tiene laforma siguiente:


I f oA,+b=O, A,'+aAt+b=OPor tanto la CCU(\(.'IOIl t t 1) puede scribirse así:

Pero como Al y A2 son las dos raíces de la ecuación de índicesse obtiene:

y substituyendo (6), (9) y (10) en la ecuación (1) se recibe:(Al u' eAIZ + A2v' eASZ) + (A12 + aAl + b) u e"lz

+(A,2+aA2+b)veA2z=R(x) (11)

Derivando de nuevo la ecuación (9)t

s" = (Al U' eA1Z+A2 u' e.\SZ) +A12 u e"lZ+A22 v e'\lr) (10)

Entonces la ecuación (7) se transforma en la siguiente;y'=Al u eA1Z+A%V eAlZ (9)

(8)

y como la solución que se busca es una solución particular cualquieraentonces para hacer mas fácil el desarrollo se puede imponer unacondición o mejor una relación entre las funciones u y v, por estarazón en la ecuación (7) se hace;

Para determinar los valores de u y u se sigue el procedimiento queaparece a continuación: se deriva (6) con respecto a x

y' = (u' eA1Z+o' e"2%)+ (Al u e"lZ+ A2 v e"IZ) ( 7)

(6)Por esto una solución particular de la ecuación (1) es entonces:

(5)

,y que sus rarees Al y A2 son, para mayor sencillez,diferentes yreales, la solución general de la ecuación homogénea es

en donde u y v deben ser determinadas con ayuda de la ecuación(1). Este método es llamado" método de variación de parámetro."

Teniendo en cuenta que la ecuación de índices de (1) es:A2+aA+b=0 (4)

(2), pero en· el puesto de las constantes Cl y C2 aparecen nuevasfunciones de x: u(x), v(x).

Por esto la forma de una solución particular es:y=u(x) ·/(x) +v(x) ·g(x) (3)

Por tanto la solución general de la ecuación homogénea es:y=C1 el!.%+C2 e-Sol:

ii) Supongamos que una solución particular de (16) eco

A:-22.

\=5,entonces

i) La ecuación de índices es:

X2-3X-10=O

(16)y"-3y'-lOy=7x e-2Z

•Hallar la solución general de la siguiente ecuación por el métodode variación de parámetro. .

(Ejemplo 1)

Nota. Si se ponen las constantes de integración DI y D2 en lasexpresiones (14) y se reemplazan en la ecuación (6) se obtiene enla solución (15) el siguiente sumando adicional:

~ 1~ [D1 e.\lZ - D2 eAsz]1- 2

el cual tiene la misma forma de la ecuación (5). POr esto si seescriben constantes de integración en la expresión (14) y sereemplaza en la ecuación (6) se obtiene la solución general de (1).

Reemplazando estos valores en la ecuación (6) se recibe una soluciónparticular de la ecuación (1):

y= 1 [eA1:t J R(x) e-A1Z dx-eA2% J R(x) e-AJz dx] (15)~1-~2

(14)

con respecto a % se obtiene los valores de u y v.

u= 1 J R(x) ew dx~1-~2

v= - 1 J R(x) e-A2:t dxAl-~2'

Integrando (13)

(13)R(x) e-Al~u'= i ~ ,

1- 2

De las ecuaciones (8) y (12) puede hallarse el valor de u' y o'(teniendo en cuenta que ~l es diferente a ~2):

(12)


A,=A2=2Por tanto In sotuctén J!,l Ilílro! d la ecuacién homogénea es:

entonces

(20)y"-4y' +4y=senh 2x

i) La ecuación 'de índices de (20) es:"X2-4A+4=0

(Ejemplo 2) Hallar la solución general de la siguiente ecuación 'porel método de variación de parámetro.

Por lo cual la solución general de la ecuación (16) es:

y=C1 eGz+C2 e-2Z_e-2Z{ %2 +~+_!_}2 7 49

o bien

,Por esto la ecuación (17), con estos valores de u y v, es una soluci6nparticular de la ecuaci6n dada:

u(%) = J x e-7Z dx=_e-1Z{ ; + 4~}

J x'v(%)= -xd%=-T

Entonces

u' =% e-2Z.e-t.z=% e-7Zu'= -% e-lz·e2z=-z

De (18) Y (19) se obtienen u' y v' :

(19)Reemplazando estos valores en la ecuación (16) se recibe:

Su' ellz-2v' e-2Z=7% e-2Z

Derivando (17) Y teniendo en cuenta la condición (18) se obtiene:y' =Su e5.z-2v e-2z

y" = (Su' e3Z-2v' e-2Z) + (2Su eGZ+4ve-b)

(18)en donde u(%) y v(%) satisfacen la siguiente relación:

u' e6z+v' e-2z=O

(17)


2) y"-4y' ~4y c'.r f c l'

4) y"+y'- c·¡I1) y"-5y' +6y=ez.r3) y"-2y'+y·=x2+1

EJERCICIOS

Entonces

X2 1Y=_e2,r - e-2Z (Solución Partículas;4 32 ?-

o bien{ .%2 e-4Z } { .% 1 }y= - -+ (4.%+ 1) e2Z+ _+_e-4,r .%e2,r4 32 2 8

Por esto

Entonces

De (23) y (24) se obtienen Uf y v':

u'=-; (l-e-fZ), v'=~(l-e-'Z)

(24)2u' + (1+2x)v' =_!_(1-C-4Z)2

o bien

Derivando (22), teniendo en cuenta la condición (23) y reemplazandoen la ecuación (20) se recibe:

u' +v' ·x=O (23)o bien

en donde u y v satisfacen la condición siguiente:

(22)

ii) Para hallar una solución particular por el método devariacíon de parámetro sea

(21)


R emplaaando (27), (30), ,(S3) y (34) en la ecuación dada y reduciendo

Derivando de nuevo se recibe:s'"> (u' cJ I 4v' e2.:r+9w' e3X) +: (u e,r+8v e~.L+27w e:l.r) (34j

(33)

Teniendo en cuenta la condición (32) se puede escribir la ecuación(31) como sigue:

En este problema se impone una nueva condición porque son treslas funciones por determinar:

u' eX+2v' e2z+3w' e:l.r=O (32)

Derivando (30) con respecto a x se obtiene:y" = (ft' eX+2v' e= +3w' e3X) + (u e'+4v e~.c+9w e3.1) (31)

(30)y' = u ex+2v e2.:c -t-3w e3.c

La ecuación (2B) se transforma con esta condición en la ecuaciónsiguiente:

(29)

IY se hace que u, v y w cumplan la condición siguiente:Uf ex+v' e2x+w' e3x=0

x,

una solución particular de (25). Los valores de u, v y w sedeterminan de la manera siguiente: Se deriva (27) con respecto a

(27)ii) Sea

y por tanto la solución general de la ecuación homogénea es:y =Cl e"+C2 e2Z +C3 e3,r (26)

Al =1,

'(25)y"'-6y"+lly'-6y=4 eX

i) Las raíces de la ecuación de Índices son:

(Ejemplo 3) Por el método de variación de parámetro, hallar lasolución general de la ecuación:

6) y" +4y'-5y= 12 cosh %

B) y" +5y' +6y = (x+ 1)210) y"-y'-12y=28 (cosh r)"

5) y"+3y'+2)'=Bxex7) y"-y'-2y=9x eX9) y" - By'+12y=4x senh 2x


Como se ha hecho referencia a dos ce soluciones diferentes" de la~

ecuación (2) es necesario definir este concepto en forma más precisa.Como se ha visto en § 2, si Y1 es una solución de la ecuacióndiferencial lineal (2), eYl es también una solución de la mismaecuación, pero al hacer referencia a estas dos soluciones no se lasha llamado ce soluciones diferentes." Estas soluciones

YII eYIse llaman .. soluciones linealmente dependientes." Po,' otro parte

Primero se considera la ecuación homogénea de (1):y"+P(x) y'+Q(x)·y=O (2)

•

§7-Independ~ncia Lineal-Determinante de Wronski

En esta sección se estudiarán algunos apartes de la ecuacióndiferencial lineal de segundo orden

y"+P(x) y'+Q(x)·y=R(x) (1)

12) y'" +2y" -y'-2y=cosh %

14) y'" +3y" - y' -3Y=e"+e-lz11) y'" -2y" -3y' =9(x+ 1)13) s" +y"- y' - y= senh x15) y"'-2y"-y' +2y= (x+ 1)2

EJERCICIOS

y=(2%+3) el.La solución general es entonces:

y=C1 ~+C, e2Z+C3 e3z+(2x+3) e.z

o bien

Entonces una solución particular de la ecuación (25) esy=2x.ez+4 e-Z·e2Z_e-2Z·e3z

w= -e-'z"=2x,Entonces

w' =2 e-tI.v'= -4 e=,"'=2,w' :De las ecuaciones (29), (32) y (35) se obtienen los valores de u', o',

(35)se obtiene la siguiente ecuación

u' ~+4v' e2z+9w' elz=4 e"

134 Determinante de Wronski

(7)y./' +P Y2' +Q Y2=0YI"-t·P Yl'+Q Yl=O•

Este es el llamado determinante de Wronski o Wronskiano y comose demostrará más adelante W~O si y sólo si las soluciones YI y y,son linealmente independientes.

Como Yl y J. son dos soluciones de (2) entonces

(6). W(.ro) =

4

Los valores de el y e~pueden ser determinados de este sistema deecuaciones si se cumple que

Yl (x()). Y2 (xo) I'() '() I =YI(XO) Y2'(XO) -Yl'(XO) Y2(.rO)~OYI XO, y, Xo

S1 existen valores especiales de el y C, de manera que la solución(3) cumpla la condición (4) entonces se obtiene:

C1 Yl (xo) +e,Y2 (xo) =Yo }(5)

CI y¡' (xo) + e2 Y-/ (.ro) =y' o

(4)

es la solución general de (2) y cualquier solución de (2), como severá mas adelante, es de la forma (3).

Dada la condición inicial para la ecuación (2)y (xo) =Yo, y' (xo) =Yo'

(3)

entonces eZ y x eZ son dos soluciones linealmente independientes.[1] Dada la ecuación diferencial (2), si Yl y y, son soluciones

linealmente independientes, entoncesy(x) =e, Yl(X) +e,Y2(X)

Ji =e", y.=x e.e son dos soluciones de esta ecuación y ademásY2 _ X e~- -x~e (constante),Yl - e"

se dice entonces que )'1 y Y2 son .. soluciones diferentes" o mejorH soluciones linealmente Independientes" de la ecuación dada.

Por ejemplo si se da la ecuación diferencialy" -~y' +y=O

si dos soluciones Yl y J2 de una ecuación diferencial no sonlinealmente dependientes, es decir si

Jl/J2:!1tf (constante)

Determinante de JF' ron," 1:1

porque en general e-Spú no es cero. De acuerdo con (14) sepueden hallar, de las ecuaciones de (5), los valores de CI y C~.Reemplazando estos valores en (3) se obtiene una soluci6n de laecuación (2) que satisface la condición inicial (4).

Ahora sólo queda por demostrar que una 801ucl''n l. de la

(14)W(x) =%=0De (11) se concluye que

Es decir que Yl/Y/ A (constante), por tanto Yl y Y2 son linealmentedependientes. Pero como se había aceptado la independencia linealde JI y Y2 se ha llegado a una contradicción, por lo cual

C=%=O

Yl(X) =AY2(X) (A es una constante) (13)o bien

Integrando ambos miembros de (12) se recibe:In Yl (x) = In Y2 (x) + consto

(12)y,' (x)Y2(X)

De donde se concluye que

Si e es igual a cero se recibe:W(x) =0, o bien Yl(X) y!'(x) -Yl'(X) Ya(") =0

Corno esta expresión es una ecuación de variables separables sepuede determinar W como UI1a función de x :

dW rW = - P dx, entonces W(x) =C,- :r~ (11)

(10)

Entonces la ecuación (8) toma la forma :dWdx +p·W=O

(9)

Pero(8)

Multiplicando la primera ecuación por Yl y la segunda por Y: Yrestando se obtiene:

136 Determinonte de Wronsld

(20)

Derivando de nuevo la ecuaci6n (19) se recibe :y' -':(U'Yl' +v'Y~') + ("YI" +VYlI")

(19)

Entonces la expresioa (17) toma la forma:

y'=UY1'+VY2'

Como en casos anteriores se impone la condición siguiente:U'Yl +V'Y2 =0 (18)

(17)

una sotucion particutar de la ecuación (1).

Derivando se obtiene:y' = (U'Yl +V'Y2) + (UY1' +VY2')

(16)

Por esto cualquier solución de la ecuación (2) tiene la forma (3) .•

rll] Si Yl Y Y2 son dos soluciones linealmente independientes dela ecuación homogénea .(2), se puede hallar una solución particularde la ecuación' no-homogénea (1) por el método de variación deparámetro y para esto sea

y=u(x) Yl (x) +v(x) Y2(X)

,

Entonces•

De (13) se puede concluir queY3(X) ==A·y.(x) (A es constante)

Teniendo en cuenta la expresión (15) se recibe:W(xo) ==y:¡(xo)y/ero) -Y. (xo) Y3'(XO) ==0

Por tanto el determinante de Wronski de Y3 y Y. es:

W(x) == Y3(X), y.(x) ==Ya(x) y,'(x) -Y. (x) Yl'(X)Y3'(X), y'.(x)

(15)

y.=CIY1+C2Y2)' 4 (xo) =Y3 (xo) }y.'(xo) =Y3'(XO)

ecuación (2) se puede obtener de (3) para determinados valores deCI y C2• Se ha demostrado que dada una condición inicial existeuna solución de la ecuación diferencial (2) que puede escribirse bajola forma (3) para determinados valores de CI y (,'¡, entonces existeY. tal que:

§8-So1ueiones de Ecuaciones Dífereneiales Lineales por l\fedio delOperador D.

En esta sección se considera otro método para resolverecuaciones diferenciales lineales, a saber: el método del operadordiferencial.· Se define el operador D en la forma sisul n

)'0= JZR(t) (Yl(t) )'~¿))',(t) )'1(x» dt (24)

o bien

Subtituyendo estos valores en (16) se recibe una solución particular)'0:

u (x) - - J R(x) )',(x) dx- - JZ R(t) )',(t) dt- W(x) - W(t)

v (x) - J R(x) Yl (x) dx- JZ R(t»)'1 (t) dt- W(x) - W(t)

Estos valores pueden ser determinados porque )'1 y )'2 son solucioneslinealmente independientes y por tanto W(x) ~O. De (23) se obtienenlos valores siguientes para u y v:

entonces la ecuación (21) toma la forma siguiente:"')'1' +v')','=R (22)

De (18) y (22) se obtienen los valores de u' y v':

u'= I~ Y2 / Yl )', R(x) )',(x)=- W(x))'2' )'1' Y2' (23)O /)'1 Y. y, R(x) )'1(x)v'=

)'.' R )'1' )',' = W(x)

)'2"+ Py,' +Q)'2=0

Pero como Yl y y, son soluciones de la ecuación homogénea (2), esdecir

(21)(u'y/ +V'Y2') +"(Yl" +p.y.' +QYI)

+V(Y2" +Py,' +QY2) =R

De (16), (19), (20) y de la ecuación (1) se recibe:

138 Operador D

4) Si a y b son constantes se recibe:(D-a)· (D-b) .y= (D-a)· (D.y-by),-n~.y /)4/;)' O D·y+pb.y

(9)

(8)

2) Si a es una constante, entoncesd dy

D· (ay) = dx (ay) =a dx =a- D· y

(7)

Con las definiciones dadas anteriormente se pueden deducir lassiguientes propiedades del operador D:

1) Ir- ( +Z)4 dn(y+z) = dny + dnz Dr-v+Dr-ey dx» dx» dx"

(6)

Se definen a continuación las operaciones que rigen para D:(D+a) ·y=D·y+ay(D~+aD+b) ·y=Y·y+aD·y+b.y

(5)

entoncesn veces

(4)D·D······D=Dn

En general sea

Si se define D·D=D'l, la expresión (3) toma la forma siguiente:d2yD2.y= d2x (=y")

(3)

Si se aplica de nuevo el operador D se recibe:

D D _ d (d )_ dly _ "• ·Y--dx dx y - dx2-Y

ddx --D ( 1)

Es decir que para una funci6n cualquiera de X, por ejemplo y(x) I

el resultado de aplicarle el operador es:d

Dry= dx -v=s' (2)

Operad6r 1) 139

r solverPara resolver. las ecuaciones (14) o (15), o en gen ral(15)

Pero, por la propiedad conmutativa del operador D, también sesatisface si

(14)

La ecuación (13) se satisface si(D-~2) ·y=O

{D- (1+3i)}{D- (1-3i)}·y=0o bien

Entoncesy"-2y' +10y=0•

(Ejemplo 2)

(D+6) (D-2) 'y=Oo bien

Con ayuda del operador D, esta ecuación puede escribirse asi :(D2+4 D-12) 'y=O

(Ejemplo 1)

(13)

o bien, factorizando la expresión D2+aD+ b, la ecuación (12) tomala forma:

toma la forma siguiente:D'1·y+a·D y+b y= (D'!+a D+ b) 'y=O (12)

De lo dicho anteriormente se puede concluir que al operador Dse pueden aplicar las propiedades algebráicas. (por ejemplopotenciación, factor izacién, etc.)

Utilizando el operador D, la ecuación lineald2y dydx' +0{1x-+b y=O (11)

Entonces el operador D goza de la propiedad conmutativa:(D-a)·(D-b)·y=CD-b)·(D-a).y (10)

=D2.y-b D·y-a D'y+ab y= D2.y - (a+ b) -Dry+ ab y = (D-b)· (D-a)· y

J 40 Operador D

En la misma forma se reclbe de la ecuaci6n (15) otra soluci6n de lacUlci6n (11) a saber :

(22)y=Co eAszEntonces

Esta ecuación se satisface si e-~IZy es una constante, (polinomio deo-grado), por esto :

(D-A,) .y=~lz D (e-~IZy) =0D. (e-~2Z.y) =0

4En particular, haciendo el mismo desarrollo para la ecuación (14),se recibe:

(21)o bien

La ecuación (20) se satisface si e-Uy es un polinomio de (m-l)-grado,porque la m-sima derivada de un polinomio de (m-l)-grado es iguala cero. Entonces la solución general de la ecuación (20) es:

e-u.y=CO+C1 %+C2 %2+ ...... + CIft-1 %".-1

(20)o bien

Entonces la ecuaci6n (16) se transforma en la expresión siguiente:eU.lJ"t e-Az·y=O

(19)(D- X) '"Y= eUD'" e-U. yEn general

Con ayuda de (17) se recibe entonces:(D-A)2.y= (D-A). (D-X) .y=eU D·e-u (D-A).y

=eU·D·e-Az·eU D·e-u y=eU·D' e-Az., (18)

(17)Multiplicando por ~z se obtiene:

(D-X) .y=eU.D. (e-~Zy)

es necesario estudiar las siguientes propiedades del operador:

D· (e-~%.y)=~(e-U y) = -x e-uy+e-u 11a% . %

= (e-U D-X e-U) .y=e-u (D-X).y

(16)la ecuación

O~rador 1) 141

De acuerdo con (32) y (35) esta ecuaci6n puede escribirse asi

y= ~ e= tr: eX.e2Z- ~ e2rtr: e-2%.e2z+ ~_e2ZD-2 0-2"'.e10l

=t~-zJ e3z dx- ~e2Z J dx+i-C2Z J" { JT. dX,} rlT,

o bien

Utirizando fracciones parciales se obtiene:_ {1 1 1 1 1 1 } 2%y- 9 D+l -9 D-2 +3 (D-2)2 e

1y= (D+ 1) (D-2)' ·e2r•

entonces

Factorizando se recibe:(D+ 1) (D-2)2.y=e2r

(Ejemplo 4)

(42)

Esta .expresíon, de acuerdo con la definici6n (28), toma la forma

(41)Aplicando (35) para m=2 se obtiene:

y=eAIZ])-2 e->"lz·R(x)

o bien

ii) Si Al=Al, la ecuaci6n (37) toma la forma

(comparar (40) con (15) §6).

Pero de acuerdo con la definlci6n (28) se recibe:

y= 1 {eAI% JZ e-AIZ J?(x) dx-eA2Z JZ e-AIZ R(x) dz} (40)Al-At

y= Al~~2 [(D-A1)-1_(D-:\,)-l]R(x) (38)

Aplicando (32) en (38) se obtiene:

y= 1 {eAI" tr: e-).lz.R-eA2% [):l e-A2%.R} (39)Al-A,

o bien

l.....l operador J)

es una solución. Para determinar los valores de las constantesel), el, e2, ......, se deriva la expresión (2)

se supone que la expresióny =C¿+ el x + C, %2+ + e" %"+...... ( 2 )

( 1)y"-x·y'-y=O

§9-Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales por medio deSeries de Potencias.

Ya en las ecuaciones diferenciales de primer orden se estudióel método para hallar la solución de una ecuación diferencial pormedio de series de potencias. En esta sección se hará un estudiosemejante pero" aplicado a las ecuaciones diferenciales lineales desegundo orden.

Dada la ecuación diferencial

1) (DZ-4D+3) y=O 2) (D2+4D+4) ·y=O3) (D2-8D+12) y=O 4) (D2+ 12D+36) ·y=O

5) (D2+2D-24) y=O 6) (D2-1) y=e-z

7) (D2_2D+ 1) y=ez+3 8) (D2+4D) -y=cos x9) (D2+3D+2) y=x(x+l) 10) (D2+2D-8) y =cosh x

EJERCICIOS

Como esta solución contiene tres constantes arbitrarias es lasolución general de la ecuación dada.

Pero como el/9, e./3-e2/9+ 1/27, e3/3-1/9 son constantes, la solucióntoma finalmente la forma;

=e2Z• %2+% e2Z{ e3 _.!.} +e2Z{~.!__ e2 +_1_} + el e-Z6 3 9 3 9 27 9

Solución por series de potencias 145

Sustituyendo .en (2) los valores de las constantes se recibe;

(7)si n es par }

si n es impar

1Cn= (2 2 Con n- )..····4·

.. 1Cn= ( 2) 5 3 CI, n n- .......

Se deduce que

Entonces1 1 1

C"=nCn-2= n(n-2) Cn-. = n(n-2) (n-4) ClI-e= .~.

. .'.

también

Si en esta última expresión se cambia n por n-2 se recibe:•

Para obtener el coeficiente general es necesario tener en cuen ta iaúltima expresión de (6), y de acuerdo con esto se recibe el valorde Cn:

1C.=C~/4= 2.4 Co,· .... •C3=CI/3,entonces

, } (6)6C3-2C1=O, l2C.-3C2=O,······

n(n-l) C,,- (n-l) C"-2=O, ............

Esta ecuación se satisface si todos los coeficientes son iguales acero, por esto:

2C:a-Co=O,

Asociando en esta expresión las potencias iguales de x se recibe:(2C2-CO) + (6Ca-CI-CI) x+ (12C.-2C2'-C2) x~ ......

......+ {n(n-l) C,,- (n-l)Cn-2) X"-2+...... =0 (5)

y se reemplaza en la ecuación diferencial (1):(2C:a+6Ca z+ +n(n-l) C" z"-' + ) -x{Cl +2C, z+······

...... +nC" X,,-l+ )- (Ca+Cl z+······. ......+Cn xn+ )=O ( 4 )

146 Solución por series de potencias

(13)_ fl"" k(k-l) CA:%A:Wt_2

Elte 61timo paso le "hacI en la siguiente forma:

(1-.1:2) Loo k(fl-I) C" %'=-2= L'OO k(k-I) CA:%A:-21:-2 t-2

- LOO k(l-l) e,Xk= LOO (k+2)(k+1) Ct+2 %A:k-, k-O

Pero

(12)

o bien

Subtituyendo (10) Y (11) en la ecuación (9) se obtiene:(1-x2) {2C,+6Cs x+······ }-2x{C1 +2C2%+ ...... )

+2{CO+CI %+ .. ·.. ·}=o

(11)

Derivando (10) se recibe:y'=C1+2C2x+ = ~oo kCl:xt-1Wl:_1

y"=2C2+6C3 %+ ...... = ~oo k(k-1) C" %t-2Wl:=2

(10)

Se considera que la siguiente serie de potencias es la soluci6n de(9) :

(9)(1-%2) -s" -2%y' +2y=0(Ejemplo 1)

(8){%a %11 X2m-1 }

+C1 x+T+ 3.5 + ...... + 3.5· ..···(2m-1) +......"3

en donde C¿ y C, son constantes arbitrarias porque no hay condiciónque permita determinarlas, La ecuación (8) es la solución generalde la ecuación (1).

o bien

{%2 %' %2'11 }y=Co 1+-+ + + + .2 2·4 2·4·· .. ··(2m)

C C e, 2 e, 3 e; Cl 5Y - + %+-% +-% + %'+ % + .- o I 2 3 2.4 3.5

Solución por serie. de po'~ne'" 141

euaeiÓllDando a k los valores 2, 3, 4,······ se obtienen a partir d

(21)

o De (18) y (19) se obtienen respectivamente (20) y (21):C2= -Co, C3=0 (20)

kZ+k-2o k-O 1~k+2= (k+2)(k+1) Ck= k+1 C"

(k+2) (k+ 1)Ck+2- (k2+-k-2) Ck=O (k=2, 3,····:~ (19)

(18)

La ecuación (17) se satisface si los coeficientes, para cada potenciade x, son iguales a cero. Por esto

•

Asociando esta expresión de tal manera que se transforme en unaserie de potencias ascendentes de x, se recibe:

(2Co+2C2) +6Cs x

+ L~=2[(k+2)(k+1) Ck+2-{k(k-1)+2k-2}Ct1x"=0 (17)

(16)

o bien

{2C2+6CaX+ L~-2 (k+2)(k+1) C"+2Xk}- L~_2k(k-1) c,»-{2C1X+ L~_22kCkXk}

+ {2Co+2C1 X+ L~_2 2C" xk} =0

(15)

Con ayuda de (13) y (14) la ecuación (12) toma la forma siguiente:

r- (k+2)(k+1) C"+2Xk- ~oo k(k-1) c,»LJ,,_o Wk_2

(14)

Pero como ¡.t es una variable aparente se puede poner en el puestode ¡.t cualquier otra letra, en particular k. Se obtiene entonces elprimer sumando del último término de la expresión (13). De lamisma manera


La serie (24) es la solución general de la ecuación dada. lC¡ y CIIson constnnt 8 orbitrarias)

Entonces

{ ., x4 x6 x2'm }=C1 x+Co 1-x·-3-5- ......- 2m-l - ......

..Reemplazando en la serie (10) los valores de las constantes serecibe:

y=Co+C¡ X-Cox2_l.Cox4_lCoX6_ - Co ,%2111+ ..3 5 2m-l

(23)1C2m= _ 2m-1 Co (m=l, 2, 3,······)

Multiplicando miembro a miembro estas ecuaciones se obtiene elvalor de C2m en función de C,

1C'=3C2C2=-CO

............................

también

2m-3C2m= 2m-1C2m-2

Para determinar los coeficientes C., C6, •••• ", C2m, •••••• , se pone2m- 2 en el puesto de k en la ecuación (21) y se recibe:

En general si k es impar Ck=O, es decirCa=C5=······=C2m+l=O (22)

....................................

(21) las siguientes expresiones:1 1C4=3C2 = -3Co ,k=2)

2C:,=-Ca=O (k=3)43 3·1 1Cij:--=-SC4=5.3 C2=-SCo (k=4)

I149Solución por series de potencias

•entonces

+ fl~ (k+2) (k+ 1) C"+2 XA:w,,_o

+ floo k(k-l) C" X"-2= \,00 k(k-l) CA;XItW"_2 .. W"-2

Pero como(X:l+ 1) flOD k(k-l) C" X"-?= ~oo k(k-l) C" XA:

W"-2 W"-2

(31)

•y se reemplazan las expresiones (29) y (30) en la ecuación (28) :

(X:l+l) floo k(k-l) C" XIr.-2+X floo k C" x-:W"=2 W"_l

(30)

Para hallar los .valores de las constantes se deriva (29) con respecto•

aX

(29)

y la solución (26) es entonces:

y= floo C"XIr.WIr.=o

Con esta transformación la ecuación (25) toma la forma siguiente(X'+l) y"+Xy'+y=O (28)

(27)X=x-lPara mayor facilidad sea

(26)

La solución en serie de potencias alrededor de uno puede escribirseasí:

(25)(x2-2x+2) y"- (l-x) y'+y=O(Ejemplo 2)

Nota. Yl=% YY2=1-x'- ~ _ son dos soluciones linealmenteindependientes.

En los ejemplos anteriores la solución en serie de potencias sehizo alrededor de cero. En el ejemplo que aparece a continuaciónse hace el desarrollo alrededor de uno.

150 Solución por series de potencia,

de. e,," y Cs", 1-1 en la ecuación (29) se

(39)

,

(l-t-l~)(1+32) ••• .. ·{1+(2m-l)2) CC2m+1=(-I)m (2m+1)! I

Por otra parte, de las ecuaciones que contienen a Ca, C~, , C2m+hse recibe:

(38)_ lR (1+22)(1+42)······{1+(2m-2)~} CC,,.- (-1) (2m) ! o

o bien

Multiplicando mjembro a miembro las expresiones para Ch C••...... ,C2,., se obtiene el valor de C,,,. en función de Co:

C2". = (-1) JI! 1·(1+ 22) (1+42) ..... ·{1+ (2n,-2) 2} Co1·2·3·4····· ·2m

(37)....................................

Si k se reemplaza sucesivamente por k-2, k-4, k-6,·····, se recibe:{(k-2»)2+1) _ {(k-4)2+1)

CIe=- k(k-l) Ct-h Ct-,- - (k-2) (k-3) Ct-t{(k-6)'+1)CA:-t= - (k-4) (k-5) CA:-e, .

De (34) y (35) se reciben respectivamente las expresiones siguientes:C,=-Co/2, C3=-C';3

k'+lC"+2=- (k+l) (k+2) CA: (36)

(35)

(34)

Los coeficientes de las diferentes potencias de X deben ser ceropara que la ecuación (33) se satisfaga, por esto ;

Co+2C,=O, 2C1+6C3=O

(C,,+2C2) + (2C1+6C3)X

+ r::,.,,[(k+1) (k+2) C"+2+{k(k-l)+k+l} C~]X"=O (33)

E:.,k(k-1) CI¡;X"+ E~."(k+2) (k+l) C&+1X·

+ y-'OO CA:k XA:+ Loo CA:XA:=O (32)~A:-l A:-O

Solución por series de potencia. 151•

tienden a co cuando x tiende a cero. En II § 10 ya se ha tratadoeste caso. Análogamente se considera que la solución de estaecuación en serie de potencias de x tiene la forma siguiente:

Para hallar la solución de esta ecuación por el método de serie depotencias alrededor de cero debe tenerse ,en cuenta que

1 1 'x y 1- 9%2

(42)

(Ejemplo 3)

1) y"-xy'=O (alrededor de O)2) (1-x2)y" -2%y' +6y=0 ( " )3) y"-2xy'-+.2y=0 ( " )4) y"-x2y=0 ( " )5) (x2-1) y"-2y=0 ( " )

EJERCICIOS

La serie (41) es la solución general de la ecuación (25).

y=Co+ e,1:::-1 (_1)m1• (1+22) (1+.~1~;··!{1+ (2m-2)2) (x-l)271l

+C1(x-l)

+C1 floo (-1)'" (1+12)(1+32) ...... {1,+C2m-1)2) (x-l)2m+1 (41)~m-1 2m+1) .

Como en la serie (40) aparecen dos constantes arbitrarias y queno pueden ser determinadas porque no se ha dado una condicióninicial, entonces esta serie es la solución general de la ecuación(28). Pero como X=x-1. entonces

obtiene:y=Co+Co ~oo (_1)1Il1.(1+22)(1+42) ..... ~{1+(2m--2)2) X211l

~m-l (2m) .+C1{X + ~oo . (-1) 7Il(1+ 12)(1+32) •• .... {1+ (2m-1)2) X2m+1} (40)

~"'-l (2m+ 1) !


{S(S-l) +s- ~} e,%'-2+ {S(s+ 1) + (s+ 1) - !}C) %'-1

+ L~.'1[{Ck+s)(k+S-l)+(k+S)- ~} C,,+C,,_a] .t."k-~=O (46)

;o bien

Entonces

L~=o(k+s) (k+s-l) CI: %1:+,-,+ L~=o(k+s) CI: %"+'-2

+ ~oo C"-2 %"+'-2_ \,00 (C,,/9)xk+'-2=O (45)Wt:, wksO

Pero

(44)+(1

o bien

Reemplazando en (42) se obtiene:(s(s-l) C,%'-2+ (s+ l)s CI %'-1+ )

+_!_{s Ca %'-1+ (s+ 1) C1%'+ )x

+(1- 1 ){CO%'+C1,%'+I+ •••••• }=O9X2

y"=s(s-l) C;%'-2+ (5+1)s CI %'-1+ .

= ~oo (k+s) (k+s-l) CI: %"+'-2u.;

Derivando (43) con respecto a x se recibe:

y'=sCox'-l+(s+l) CI~+ = ~oo (k+s) CI:,%I:+'-lw,,_o

en donde s. Ch C2, .. •• .. , son constantes cuyos valores deben serdeterminados con ayuda de la ecuación dada.

Solución por serie» dp pOIeMin. )58

.'

Como la ecuación (51) es una relación entre los coeficientes, seobtienen sucesivamente las siguientes expresiones:

e -_ C3~- ( 2) O,5 5+"3

Como Cl =0, entonces

C,=- ( 1 2) C,=O.3 3+3"

(51)1C,t=- ( 2)Ck-2

k k+-3

o bien

Además con este valor para s la ecuación (48) se convierte en laecuación (51)

(50)entonces

Con este valor para s la segunda ecuación de (47) toma laforma:

1Caso en el cual s=3"i)

La ecuación (49) es llamada ecuación de índices.

1--3

entonces

(s+ ~)( s- ~) =0 (49)

Pero como Co~O, (ver 43» entonces1s(s-l) +s-9=0, o bien

{(k+s) (k+s-l) + (k+s) - ~ } Ct+C,t-2=0 (:?;2) (48)

(47)

Como en los casos anteriores los coeficientes de cualquier potenciade x deben ser cero, por tanto

{S(S-I)+S-~}Co=o 1{S(S+I)+(S+I)-~}Cl=o J

154 Solucion por series de potencias

También la ecuación (48) toma la forma

k(k-j) C~=-C~-2

(54)

Con este valor se recibe de la segunda ecuación de (47) elcoeficiente el :

ii) Caso en el cual s=-1/3

en donde C, es una constante arbitraria.

Con este resultado la ecuación (43) toma la forma siguiente:

(52)

Multiplicando miembro a miembro estas igualdades se obtiene elvalor de C2m en función de Co:

C.m=(_l)m { 2}{ 1 2}{ 2} { 2} .C,2·4·6······(2m). 2+3 4+3 6+"3' ...... 2m+"3

= (-1) m { 1}{1 1}{ 1} { 1rC,22m¡·2·3 .. ····m 1+3 2+3 3+3 ......m+3

(para k=2)

(para k=4)1C,= - ( 2) C2

4 4+-3

................................................

(para k=2m-2)C2m-2 =- (4) C2m-~(2m-2) 2m--f

1C~nt=- 2m(2m+ ~) C~",.

1


•

Entonces

o bien

L~=o(k+s) (k+s-l) Ck Xk+$-2+ L~=o(k+s) e,Xk+8-2

- [00 (k+s-l) CI;-l xt+s-2_ Loo Ct-1 xk+··,=O (61)t=l tal

Derivando y reemplazando en la ecuaci6n dada se obtiene:

{LA: (k+s) (k+s-1) Ck Xk+8-2} +( } -1){ L~=o(k+s) Ck Xk+'-I}

1 E"" ~-- CA: xt+,=oX A:=O

una soluci6n de la' ecuación (59).

(60)

Sea

(59)" (1 1) , 1 Oy + x - y =s>:(Ejemplo 4)

En donde C; es una constante arbitraria. Nótese que los valoresde las constantes arbitrarias en (53) y (58) no son necesariamenteiguales y que estas dos soluciones son linealmente independientes.

Con estos valores obtenidos en (56) y (57) se recibe la otrasoluci6n :

(57)

(56)De esta última expresión se recibe que

Ca=C[¡= =C2111-1 =0

(55)Entonces


Integrando con respecto a % se recibe:% %' Xl

V In$- 1 + 2.2' - 3.31 + ......

Entoncesv"·x+ (l+x)v'=O

Nota. Aplicando el método de variación de parámetro seay=v(x) -e"

otra soluci6n. Para hallar el valor de v se deriva la expresi6nanterior con respecto a x, se reemplaza en la ecuaci6n (59) y seobtiene:

Como SI =5, con este método de desarrollo en serie no se puedehallar más que una solución. Para hallar otra soluci6n es necesarioaplicar el método de variaci6n de parámetro. (ver § 2, § 6)

(66)o bieny=Co ~oo xtjk!,Wt::o

Por tanto una soluci6n de la ecuaci6n es:

Multiplicando miembro a miembro estas igualdades se obtiene elvalor de C« en funci6n de Co:

1 1Ct= CO=L'T Co1·2·3······k le!

,......Entonces

el=Co,

(65)Entonces de la ecuaci6n (64) se recibe:

k2 Ct-k Ct-t =0, o bien

Como Co~O, de (63) se recibe:s(s-l) +s=O, o bien S2=0 (ecuaci6n de índices)

SI =S2=0

(k+S)2 Ct- (k+s) Ct-l =0 (k:.? 1) (64)

{s(s-l)+s}Co=O (63)

(s(s-l) +s} CO X,-2+ L~=l{(k+S)2 c.: (k+s) Ck-¡) Xk+.,-2=0 (62)

Por 10 cual


(72)y que

(71)5(s-2) co=oSe deduce que

LOO (k+s) (k+s-2) C" X"+'-I- ~C» (k+S)2 c.;XJ:~l=Ok=O W"Rl

s(s-2) Ca X8-1+ L~=l[(k+s) (k+s-2) c,,- (k+S)2 C"_l].%k+.-l=O

entonces

LOO (k+s) (k+s-2) e, x.t+.-~- ~oo (k+s+l)2 CI: .%1:+'=0k-O W,,_o

o bien

L~=o(~+s) (k+s-l) CI.:xl:+'-I- L~_o(k+,s) (k+s-l) CI:~·

- Loo (k+s) CI:Xk+'-I_~" 3(k+s) CI: .%1:+,k-O WJ;ao

Derivando y reemplazando se obtiene:

x(l-x) f'oo (k+s) (k+s-l) CA: ~t+.-2Wj;_O

(70)y=x' L~=oCI: xl: (Co~O)

una soluci6n de la ecuación (6~).

Sea(69)x(l-x) y"- (1+3x) y' -y=O

o bien

(68)1 -Ox(l-x) y-1+3x ,x(l-x) y

yl!

(Ejemplo 5)

Esta otra solución de la ecuación contiene In % y por tanto no puedeser desarrollada en serie de potencias de x alrededor de cero.

(67){X X2 x3 }

Y -ez lnx---+ - + ......- 1! 2·2! 3·3!

Entonces

158 Solueio» por series de potencias

Pero en este caso se niega la hip6tesis de que Co~O, por tanto noexiste solución en serie de potencias de x para s=O y para hallarla otra solución es necesario aplicar el método de varración deparámetro. Esta segunda solución resultante no puede desarrollarseen serie de potencias de x alrededor de cero.

De estas expresiones se concluye queC1=O y Co=O

(78)(k=l) }(k=2)

entonces

(77)

o bien

ii) Si s=O, de la ecuación (72) se recibe:k(k-2) C,,-k'J.Ck-1=O k=l, 2, 3,····..

(76)

Entonces una solución de la ecuación dada es:

-c 2. Loo (k+ 1) (k+2) ley- 0% 2 x1:eO

Multiplicando miembro a rmernbro estas igualdades se recibe:

Cl:= (k+ 1)2(k+2) Ca (75)

,............Entonces

(74)

o bien

i) Si 5=2 la ecuación (72) toma la forma siguiente:(k+2)k C,.- (k+2)2 Ck-1=O

(73)

s(s-2) =0s=2 y s=Opor consiguiente

Pero como Co=\:O entonces

Solución por series de polPtlt·In. 1;;9

7) xy" +y' +xy=O

9) y" + ;y' +(1- ;2 \y=O

6) xy" + ( ~ - x)y' -y =O

8) 4y" +(-1+ ;2 )y=O

10) X(l-X)y"+( ~-X )y'+Y=O

EJERCICIOS


Sustituyendo en (6) dYldt=g(x, y, t) se obtiene

(6)

Para eliminar t de} sistema (5), se deriva la primera ecuación delsistema con respecto a t:

dt x dx dy-J[:¡:-=f,xo dt +fllOdt,+ft

(S)dxldt - f(x, y, t) 1dYldt=g(x, y, t) J

El cual es un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primerorden en donde x es la variable independiente.

En general si x y y son funciones de una variable independientet las dos ecuaciones siguientes forman lo que se llama un sistemade ecuaciones diferenciales:

(4 )zdy

dx

De (2) y (3) se obtiene

(3)

la ecuación toma la forma siguiente:

dz + 1 + 1 xdx -xz X2 y=e

(2)zdydxo bien,y'=z,

se hace

§l-Introducción

Como se verá en esta sección, las ecuaciones diferenciales desegundo orden, que fueron estudiadas en el capitulo IV, puedenexpresarse en forma de un sistema de ecuaciones diferenciales.Por ejemplo, si en la ecuación diferencial

1 1y" +x-Y' + X2 y=ex (1)

Sistema de ecuacionesdiferenciales

"

CAPITULO V

Reducir los siguientes sistemas de ecuaciones díferencial 8 una

EJERCICIOS

En el ejemplo anterior, la solución del sistema (8) tienedos constantes arbitrarias (CI C2 en (13)) porque el sistema(8) puede reducirse a una ecuaci6n diferencial de segundo orden.En este caso la solución se llama solución general del sistema.

El sistema formado por las ecuaciones (11) y (12), a saber,x=C2 e01', y=C1 t (13)

es llamado solución del sistema de ecuaciones dadas.

• y=Ct t (12)

Reemplazando (11) en la primera ecuación de (8) se obtiene y comouna f unción de t:

(11)

cuya soluciónEsta es una ecuación diferencial de segundo orden,es (ver capítulo IV § 1)-

(10)

y:De la ecuación (9) y de la primera ecuación de (8) se puede eliminar

Sustituyendo en esta ecuación la segunda ecuación de (8) se obtiened-» y dx x y xy _ y dxdt2 Tdt+77--¡a-Tdt (9)

Derivando con respecto a t la primera ecuación de (8) se recibed2x _~ dx +~~dy _ xydt' - t df t df t2

(8)dy _ydt -T

dx xy(i[=-t-'

(Ejemplo)

Se puede eliminar y utilizando la primera ecuación de (5) y laecuaci6n (7) y se obtiene una relaci6n entre d2x/dt2, dxidt x y t, esdecir, se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden para xen la cual t es la variable independiente.

(7)d?x dx .dV=f:r: dt +fll·g(x, y, t)+I,

162 Ecuaciones diferenciales lineales

•

Reducir los siguientes sistemas de ecuaciones diferencial '8 a una

EJERCICIOS

es llamado sol ución del sistema de ecuaciones dadas."-

En el ejemplo anterior, la solución del sistema (8) tienedos constantes arbitrarias (CI C2 en (13)) porque el sistema(8) puede reducirse a una ecuación diferencial de segundo orden.En este caso la solución se llama solución general del sistema.

(13)El sistema formado por las ecuaciones (11) y (12), a saber,

(12)

Reemplazando (11) en la primera ecuación de (8) se obtiene y comouna función de t:

(11)

cuya soluciónEsta es una ecuación diferencial de segundo orden,es (ver capítulo IV § 1)

(10)

De la ecuación (9) y de la primera ecuación de (8) se puede eliminary:

Sustituyendo en esta ecuación la segunda ecuación de (8) se obtiened2 x y dx x y xy _ y dxdt2 T dt-+7 7-7-T dt (9)

Derivando con respecto a t la primera ecuación de (8) se recibed2x -1_ dx +~~dy _ xydt? - t dt t dt t2

(8 )dy _ydt -T

dx xy(1/--t-'

(Ejemplo)

Se puede eliminar y utilizando la primera ecuación de (5) y laecuación (7) y se obtiene una relación entre d "xldt", dxldt x y t, esdecir, se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden para xen la cual t es la variable independiente.

(7)


entonces

este valor de A en (6) se recibe:A+(-l- fi)B=O (8)·

i) A= fi. SubstituyendoA(l- fi)+B=O,

'entonces

(7)=A2-2=0

determinante del sistema (6) es igual a cero, es decir1-A, 11 , -1-X

y por tanto del sistema (5) se recibe que x=O, y=O. Esta solucióntrivial del sistema dado no será considerada y por tanto es necesarioencontrar otra solución diferente. Este otro caso se presenta si el

es diferente de cero entonces la única solución de (6) esA=B=O

Este es un sistema de ecuaciones lineales en el cual A y B sonconsideradas como incógnitas. Si el determinante del sistema (6)

1-A, 11 , -1-A

(6)A(l-A) +B=O }A+(-l-A)B=O

entoncesBA=A-BAA=A+B,

o bien

Reemplazando en el sistema (1) se obtiene:A A e>..t=A e>..'+B e>..t}BA e1.t=A e>..'-B e>..t

en donde B, A, A, son las constantes por determinar. Derivando(5) con respecto a t se recibe:

dx/dt=AA e>..t, dy/dt=BX e1.'

(5)

En general, como un sistema de ecuaciones lineales concoeficientes constantes se reduce a una ecuacíon diferencial desegundo orden también con coeficientes constantes, se puede suponerdesde un principio que la solución del sistema tiene la formasiguiente:


ecuaciones diferenciales de segundo ordenS tambien una solución, por lo cu 1 I

Como en el caso de lasla suma de dos oluclcn

en donde e' es un factor de proporcionalidad.Reemplazando estos valores de A, B y el valor A= - J2 en la

ecuación (5) se recibe:x= (1- J2) e' e- .r:', Y=e' e- '¡2"t (13)

(12)A=(l- J2) e',o bien

se puede determinar la razón Al B:<JI

1 -AIB= - J2=I- v' 21+ 2

De (11)

Este sistema de ecuaciones es tambien solución del sistema dado.ii) A= - v'2. Substituyendo este valor de A en (6) se obtiene:

A(l+ v'2)+B=O, A+(-l+ J2)B=O (11)

y= (v'2-1)A e~t

en donde e es una constante arbitraria.Nota. Si se sustituye el valor B=A/(I+ 'V'Z)=( J'i -l)A en

la ecuación (5). se obtiene

toma la forma siguiente:y=C e.¡n (10)

ecuaciones de (8) pues estas dos ecuaciones son equivalentes porqueel valor de A satisface la ecuación (7).

De acuerdo con (9) la ecuación (5)

x= (1+ J2)e efit,

en donde e es un factor de proporcionalidad.Para hallar la razón Al B se necesita únicamente una de las dos

(9)A=(I+ ~)e,o bien

AIB=l+ J2

Es decir las dos soluciones son completamente iguales y por tantono se pueden determinar los valores de A y B sino únicamente unarelación entre ellos:

A= - Iv' B= (1+ v''i)B1- 2

A= - (-1- ~2·)B= (1+ 'V2)B

·Ecuaciones diferenciales lineales 165

es también una solución del sistema (16). Además, come contiene

es otra solución del sistema, entonces la suma de (17) y (19) estambien una solución del sistema, En general

x' C1x\(t)+C2X2(t), y=C1YI(t)+C2Y2(t) (20)

(19)y=y,(t)

es también una solución de (16).Además si

(18)es una solución de (16), entonces

%=C1X1(t), y=C1Yl(t)

(17)

Como un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se puedereducir a una .ecuación diferencial de segundo orden, es fácildemostrar las siguientes propiedades de un sistema de ecuacionesdiferenciales lineales:

a) Si X=Xl (t),

(16)

es llamadoSi en (15) I(t) =0 y g(t) =0 el sistema resultantes"sistema homogéneo de (15)" y su forma general es:

dxdt ax+by

dJ_-a'%+blydt -

Esta es la forma general de un sistema de ecuaciones diferencialeslineales con coeficientes constantes.

a'x+b'y+g(t)(15)

ax+by+/(t)dxdtdydt

El sistema (1) del ejemplo anterior puede escribirse en la formasiguiente:

Como (14) contiene dos constantes arbitrarias es entonces la solucióngeneral del sistema dado.

suma de (10) y (13) es una solución del sistema dado:x=(l+.v'2) C e~t+(I- J2) C' e-Js, } (14)y=C efi,+C' e-J21


(27)b'~'A. )

.: \ IA=

O, b / a-A,O, b'-A a' ,a-~ O / a-A.,

B,

a' , O a' •

Este es un sistema de ecuaciones lineales en el cual A y B son lasincógnitas, entonces

(26)(a-A)A+bB=O }a'A+ (b'-)'_)B=O

entonces(25)AB=a'A+b'BAA=aA+bB,

o bienxBe" =a' A eA' + b' B eAtAA e" = aA e).,t+bB e",

Reemplazando (23) y (24) en (16) se recibe:

(24)Derivando (23) con respecto a t se obtiene:

dxldt=c»: A e", dy/dt=A B e).,t

Se estudiará a continuación el método para hallar la solucióngeneral del sistema homogéneo (16).

•

d) Para hallar una solución particular del sistema no homogéneo(15) se puede emplear el método de variación de parámetro o elmétodo de coeficientes indeterminados .

satisface el sistema y se determinan los valores apropiados de A,B y A, como en el ejemplo anterior.

(23)y=B eA'x=A e",que

c) Para hallar la solución del sistema homogéneo (16) se supone

es una solución particular del sistema no homogéneo (15) la solucióngeneral del sistema (15) es:

x=xo(t)+C¡ x¡(t)+C2 x2(t) }(22)

y=yo(t)+C (t)+C2Y2(t)

(21)~=xo(t),b) Si

dos constantes arbitrarias Ch C~,es la solución general del sistema(16).

Ecuaciones dijerenciales lineal« 161

en donde el es un factor de proporcionalidad. Reemplazando (32)

y A=Al en (23) se obtiene una solución del sistema (16) :x=b C¡ e¡'¡t, y= (Al-a) el eX¡t (33)

En la misma forma, si se toma A=A2 se obtiene otra solucióndel sistema (16):

(32)o bien

iguales, yPor esto las dos relaciones de (30) son completamenteúnicamente se puede hallar la razón Al B :

A: B=b: (Al-a)

(31)b _ Al-b'Al-a a'

entonces

Pero Al es una raiz de (28), es decir(a-Al) (b'-Al) =a'b

(30)fJA=A B,1-a

Entonces

(29)(a-Al)A+bB=O }a'A+ (b'-Al)B=O

i) Supongamos que Al~A.2. Sustituyendo primero A.=Al en (26)se obtiene

entonces en (26) A y B no pueden se determinadas. Unicamentese puede hallar la razón AIB, esto se demuestra como sigue:La ecuación (28) es una ecuación de segundo grado en A, entoncestiene dos raíces Ah ~.

(28)= (a-A) (b'-A) -a'b=Oba-A ,a' b'-A,

la cual obviamente es una solución del sistema (16).Si, por otra parte,

x=y=O(23)

~O, entonces A=O y B=O y de acuerdo cona-A, ba' , b'-A

Si

168 Ecuaciones diferenciale& lineale.

o bien

en donde es es una constante arbitraria. Reemplazando estosvalores de D y F en (39) se obtiene:

E (a-::\.l)+G·b=b e2} (41)Ea'+G (b'-Á1)=(X1-a) e,

(40)

Como el sistema (38) es el mismo sistema (29), su solución será(ver (32)):

(39)E (a-AI)+Gb=D }E a'+G (b' - Xl)=F

(38)D (a-Á1)+Fb=O }D a'+F (b' - ÁI) =O

Comparando los coeficientes de t en ambos miembros de (37) serecibe:

Derivando con respecto a t el sistema (36) y reemplazando en (16)se obtiene:

{D· (a-X1).+F b}t+{E(a-Á1) +G.b}=D} (37){D.a' +F (b'-Ál)} t+{E a'+G (b'-XI)} =F

(36)%=(Dt+E) eAlt }

y= (Ft+G) eAlt

es la solución general del sistema homogéneo (16).ii) Si Al=A, entonces las soluciones (33) y (34) son

completamente iguales por lo cual es necesario hallar otra soluciónque, por analogía con las ecuaciones diferenciales de segundo orden,tiene la forma:

Como (33) y (34) son soluciones del sistema (16) entonces

x=b el e"'lt+b c. e>'2l }(35)

y= (Xl-a) el e>'lt+ (X2-a) e2 e>'2t

En (33) y (34), el y c. son constantes arbitrarias que provienendel factor de proporcionalidad.

(34)

Ecuaciones diJerpncialp8 Ilnf#n/~. 169

Sea

(47) .Yt =-x+ydxdt -4x+2~

(Ejemplo 1)

Nota. Se asignó a E el valor cero, pero puede asignarsecualquier otro valor, por ejemplo E=b el (el es constante arbitraria).En este caso, al reemplazar en (36), se obtiene directamente lasoluci6n general (46).

La soluci6n general del sistema (16) para Xl=X, es por tanto:x=b {el - c, tl eAl' } (46)y= [(Xl-a) {e1+c, t}+ e,] eAl'

Reemplazando en (36) los valores de E, F,. J) y G halladosanteriormente se' recibe otra solución del sistema dado:

x=b e,t eAl' } (45)y= {(Al-a) e, t+e,} eA!t

(44)

Como se concluye que las dos ecuaciones de (42) son iguales setiene unicamente una relación entre E y G. Dando a E (o a G)cualquier valor, por ejemplo E=O, se recibe de la ecuaci6n (42) elvalor de G:

a' (43)bX.-a b'-X1

- a' - a-Xl

Entonces considerando (31) se recibe:

o bien2X1=a+b'

Comparando los coeficientes de A en ambos miembros de la ecuaci6nse obtiene:

Pero Xl es la raiz doble de la ecuación (28), es decir(a-A)(b'-X) -a'b= (X-X1)2=0

E+ b'-At G= At-a ea' a' 2

(42)

b bE+ A G= X-e!a- 1 a- 1

170 Ecuaciones di[erencioles lineales

De (51) y (52) se recibe la solución general del sistema (47):.=C. e'H+2C2e" }1 -Cl c2t - C2ea.

Con estos valores de A, B y X la otra solución del sistema es:x=2C2 e3', y= -C2 eS' (52)

B= -C2 (C2 consto arbitraria)o bien

A: B=AIB=-2

Para hallar la otra solución se toma el otro valor de X, A,2==3.

Con este valor se04 obtiene, a partir de la ecuación (49), la razónAIB:

(51)

Reemplazando en (48) los valores de A, B y el valor de X se recibeuna solución del sistema:

(50)B=-C¡ (el es constante arbitraria)o bien

A: B=AIB=-l

Como las dos ecuaciones son iguales solamente se puede hallar elvalor de Al B :

-A-B=O2A+2B=0,

Tomando primero el valor Xl =2 y reemplazando en (49) seobtiene:

x,=2, A,2= 3

entonces-l. l-X

desea la solución trivial (A=B=O), entonces el(49) debe ser igual a ('ero:

4-X, 2

Como no sedeterminante de

la solución del sistema (4'1). Derivando y reemplazando en (47) seobtiene el siguiente sistema lineal:

(4-X) A+2B=0, -A+ (l-X) B=O (49)

(48)y=BeAt

·Ecuaciones diferenciales lineales 17)

(59)dxdt x-y,

(Ejemplo 3)

donde F y (J' pueden considerarse como constantes arbitrarias.Reemplazando estos valores en (57) se obtiene la solución generaldel sistema dado: ~

x=-(Ft+F+G) eU }

y= (Ft+G) e2C

en donde F y G son constantes arbitrarias.

E=-F-GD=-F,•Entonces

Si. en cada una de las ecuaciones de (58) comparamos los coeficientesde t y los términos del primer y segundo miembro se obtiene:

D+F=O } E+G=D }D+F=O E+G=-F

Derivando (57) y reemplazando en el sistema (53) se obtiene:(D+F)t+(E+G)=D } (58)(D+F)t+ (E+G) =-F

(57)%= (Dt+E) e2t,

Entonces Xl =X2=2, o sea que la ecuación (56) tiene raiz doble. Deacuerdo con la nota anterior la solución general tiene la formasiguíente :

El determinante de (55) debe ser igual a cero para que no resultela solución trivial (A=B=O):

3-A.. 1 =X2-4X+4= (X-2)2=0 (56)-1, l-X

(55)-A+(l-X)B=O(3-X)A+B=O,

la solución del sistema (53). Derivando y reemplazando, el sistema(53) se transforma en:

(54)y=B e'A.tSea

(53)dy --x+ydt -d%liT=3%+y,

(Ejemplo 2)


EJERCICIOS

1) dx dy2) dx %+3y, dy _yTt=%+4y, %+ydt dt dt -

3) dx ' dy4) dx 7t =2x+yTt=2x+y, dt --2x+3y di =2x+y,

5) dx dy6)

dx {1=-3%+yar=-5x+3y, dT=-3x+y (iT= -2%,

Como el y C2 son constantes arbitrarias, entonces el' y CI' sontambien constantes arbitrarias.

(64)s= (C2' cos 2t+C1' sen 2t) e' }y=2(-C1' COS 2t+C%' sen 2t) e'

Haciendo i(C1-C2) =C1', CI+C2=C2', la solución general toma laforma siguiente:

De (62) y (63) se obtiene la solución general del sistema:x= [(CI+C2) cos 2t+i(C1-C2) sen 2tJ e'y= [-2i(C1-C2) cos 2t+2(CI +C2) sen 2t] e'

(63)x=C2 e(1-2i)L=C2el {cos2t-i sen 2t} }y=2i C2 e(1-2i)t=2i C2 e' {cos 2/-i sen 2t}

La otra solución para A= 1-2i es:

(62)x=C1 e(1+2i)'=C1e' {cos 2t+i sen 2t} }y= -2i CI e(1+2i)t=-2i CI e' (cos 2t+i sen 2t}

Tomando el valor X=I+21, una solución del sistema es:

X=I+2;, 1-2ide donde

4, i-o,-1l-X,

Entonces, si no se desea la solución A=B=O, el determinante debeser igual a cero:

(61)4A+ (1-~)B=O(I-X)A-B=O,

la solución del sistema (59). Derivando (60) y reemplazando en(59) se obtiene:

(60)y=B eAtx= A e).,',Sea

Ecuaciones diferenciales lineales 173

•Como en el ejemplo anterior se supone que una solución particular

(3 )4.1"-2ydydt

dxTt=3x-y+e2t,

(Ejemplo 2)

Por tanto una soluci6n particular de (1) es:'t'=xo(t) =-2e', y=yo(t) = -3 e'

y4A-3B-l=O

B=-32A-B+1=O,

A=-2Entonces

Dividiendo por e' y asociando se recibe el siguiente sistema deecuaciones lineales:

Derivando (2) Y reemplazando en (1) se obtiene:A et=(3A-B+ 1) e', B et= (4A-2B-1) e'

(2)x=A e', y=B e'En donde A y B son constantes por determinar.

Se puede esperar que una solución particular tenga la formasiguiente:

( 1)1t =4x-2y-e'dxdI =3x-y+e'.

(Ejemplo 1)

[1] Método de coeficientes indeterminadosEn algunos casos la forma de una soluci6n particular se puede

determinar fácilmente por analogía con las ecuaciones diferencialesde segundo orden.

Como en la secci6n anterior ya se estudió el método deresoluci6n de un sistema homogéneo de ecuaciones diferencialeslineales con coeficientes constantes, en esta sección se trataráel método para hallar una soluci6n particular del sistemano-homogéneo.

§3-Solución Particular de un Sistema No·Homogéneo

7) dx t =x+2y 8) dx dydy=4x-y, dr= -3x+2y, di" = -x-y

9) dx dy 5.1"-Y 10) dx dydt =3x-y, dI dr=2x-y, df=9x·+2y

174 Sistema no homogéneo

Entonces8-E=1/3

Entonces D=4/3. Sustituyendo este valor de D en (10) se obtieneuna relación entre B y E:

(10)B-E=D/4B-E=D-l,

Entonces A=D. Con este valor, del segundo sistema de (9), serecibe:

(9)

Comparando los ~oeficientes de t se obtiene:

{A-D=O { B-E-A+l=O4A-4D=0 4B-4E-D=O

(8)

Derivando (7) Y reemplazando en (3) se recibe:t(A-D)+(B-E-A+l)=O }t(4A-4D) + (4B-4E-D) =0

se puede observar que (4) es una solución para el sistema homogéneocuando se hace C2 =0 en la solución (6). De esto se deduce que (4)no puede ser una solución particular del sistema no homogéneo.Como este caso se presentó en las ecuaciones diferenciales desegundo orden se supone, por analogía, que una solución particularde (3) tiene la forma siguiente:

x=(At+B)e21, y=(Dt+E)e'lt (7)

(6)%=Cle21+C2e-t }y=C1 e2'+4C2 e-e

El sistema (5) no tiene solución y por tanto (4) no es una soluciónparticular del sistema (3). Considerando la solución general delsistema homogéneo

(5)4A-4B=0A-B+l=O,o bien

Derivando y reemplazando en el sistema dado se obtiene:2A e" = (3A - B+ l)e2C

2B e~lt=(4A-2B) e"

(4)y t=B e'!ttiene la forma

•

Empleando el método de u coeficientes indeterminados" se obtienenlos valores de A, B, D, .y E:

A=·-I, B=O, D= -2, E=lPor esto una solución particular del sistema (15) es:

Una solución particular del sistema (15) tiene la forma siguiente:x=At+B, y=Dt+E

(16)1t =4x-2y+e3t3x-y,dxdt

Se consideran por separado los dos sistemas siguientes:dx dydt 3x-y+t, dt .=4x-2y (15)

(14)3x-y+t,dxdt

(Ejemplo 3)

Si no se hubiera dado a E un valor determinado, al substituir (11)en (7) no se habría obtenido una solución particular del sistemano-homogéneo (3), sino los sumandos que contienen e" en la solucióngeneral (13).

(13)x= {el+ (~ t+ ; )} e2t+e2 e:'

y= (el+ ~t) e2t+4e, e-e

Nota. Sumando (6) y (12) se obtiene la solución general delsistema (3) :

Reemplazando los valores de A, D, B, y E en (7) se obtiene unasolución particular del sistema no-homogéneo:

x=xo(t)=(4~ t+ ~) e2t 1 (12)y=yo(t) ='3t e2t

Como se necesita una solución particular del sistema no-homogéneose puede dar a E un valor cualquiera, por ejemplo E=O, .entonces :

B=I/3

(11)B=E+1/3A=D=4/3,

176 Sistema no ñomogéneo

La solución general de este sistema tiene la forma siguiente:xouC, XI(I)+C.x,(/), y=C1Yl(t)+C2Y2(/) (24)

(23)

Para hallar una solución particular de (22) es necesario tener encuenta su sistema homogéneo correspondiente:

dx _ b dy -, b'dt -ax+ y, di--a x+ Y.

Se considera el sistema no-homogéneodx dydt =ax+by+f(t), l1T=a'x+b'y+g(t) (22)

y la suma de éstas es una solución particular de (19). (ver IV § 5)[11] Método de variación de Parámetro

El método de variación de parámetro es más general que el decoeficien tes indeterminados.

y una solución particular del sistema

~: =ax+by+f'l(t), ~ =a'x+b'y+g2(t) (21)

se halla una solución particular del sistema

~: =ax+by+fl(t), ~ =a'x+b'y+gl(t) (20)

(19)dxdt =ax+by+fl(t)+f2(t)

7t =a'x+b'y+gl(t)+g2(t)

En general, si se quiere hallar una solución particular del sistemasiguiente

Es fácil demostrar que la suma de las soluciones (17) y (18) es unasolución particular del sistema (14). Entonces

x = - t - !eS', y = - 2t +1es la solución particular pedida.

(18)y=o

Además, una solución particular de (16) es: (ver ej. 1)(17)y=-2t+lx=-t,

Sistema no homogéneo 177

Si en (29) se consideran las constantes de integración el y C2 alreemplazar (29) en (25) se obtiene la solución general del sistema(22). Si se omiten estas constantes se obtiene una solución particular.

De la expresión (28) se reciben los valores de u y v:

Nótese que %'Y2-X2Yl ~o. Porque las dos soluciones {Xh Yl} Y {X2' Y2}

son diferentes.

(28)u' = j·Y2-g X2XIY2-X2Y1

entonces

(27)

Por tantoU'Yl +V'Y2=g(t)

ambas ecuaciones es igual a cero.u'x,+V'Z2-!(t) ,

Pero como {Xl> Yl}y {X2' Y2} son soluciones del sistema homogéneo(23) entonces el segundo y tercer sumandos del primer miembro de

(u'X1 +V'X2) +u(X1'-ax1-bYl) +v(x2'-a%2-bY2) =/(u'y, + V'Y2) +u(Yt' - a' x1-b'Yl) +V(Y2' =a'x; -b'Y2) =g

o bien

Reemplazando (26) y (25) en (22) se obtiene:(u'x, +V'X2) + (uxI' +VX2') =a(uxI +VX2) +b(UY1 +VY2) +j(U'Y1 +V'Y2) + (UY1' +VY2') =a'Lux, +VX2) +b'(UYl +VY2) +g

(26)

es una solución particular del sistema (22).Derivando (25) se recibe:

~: = (U'Xl +v'x,) + (UXl' +VX2')

t = (U'Yl +V'Y2) + (UYl' +VY2')

Como ya se ha visto en capítulos anteriores, el método de variaciónde parámetro consiste en poner en el puesto de las costantes el ye, nuevas variables u(t) y v(t), cuyos valores deben ser determinadoscon ayuda del sistema dado. Por esto se supone que

x=u(t) %1(t)+V(t) .1',(1) } (25)y=u(t) Yl (t) +v(t) Y2(t)


Por tanto

2 e'<e" 2 111/= =---e'3 el 3 3

Entonces

u' et+v' e"=e' }-u' et+2 o' e4t=eU

Para hallar los valores de u y v se deriva (33) y se reemplaza enel sistema (30):

De las expresiones anteriores se concluye que una soluciónparticular del sistema dado tiene la forma siguiente:

x=u(t) et+v(/) eH, y=-u(/) et+2v(l) eH (33)

y para ~ =4 se obtiene otra solución:%=%2(t)=C2 eH, Y= Y'1. (/) =2 C2 eH

Para Ál = 1 se obtiene una solución, a saber :X=Xl (/) =C1 e', Y=Yl (t) = -Cl e'

X,=4yPor consiguien te

1

2-Á, 1 =Á2-5Á+4=02 , 3-Á

Entonces

una solución de (31). Derivando las ecuaciones de (32) yreemplazando en (31) se obtiene:

. (2-Á) A+B=O }2A+ (3-Á) B=O

(32)y=BeA'x=A eAt,Sea

(31)dy(1[=2x+3Y

Para hallar la solución general se debe considerar primero el sistemahomogéneo:

(Ejemplo 4) Hallar la solución general del siguiente sistema:dx dydt =2x+y+e', dt =2x+3y+e2t (30)

Sistema no homogéneo 179

EJERCICIOS

1) dx 3 ' t =2y+e-tdt =x- y+e,

2) dx 1e =2x+y+t-1-dr=4x-y+t+ 1,

3) dx 3x+2y+et, -'fli- = x+2y +eH.dt

4) dx ~ =5x-3y+cosh tdt = -2x+2 senh t,

5) ~ =x+4y+3t e', dy -x+y+etdt -

6) dx 3 t dy =y+e-tdt =x+ y-:e, dt

7) dx 5 3 -2t !!_y_--3x+y+et-ar= - x+ y+e , dt -

8) dx ~-=2X+2Ydf=4x-y+tt1,

9)dx ~ = -x-y+sen tdf= -3x+2y+cos t,

10) dx dydt =2x-y+l, dr=13x-2y-7

J ( e-Sl e-2t) e-:Jt e-Uv= 3 + 3 dt = - 9 - 6 +C2

Reemplazando estos valores de u y v en (33) se obtiene la solucióngeneral del sistema dado:

(2 1\ 1x= 3t+C1-g) e'- 2e2t+C2 eH

y=(- ~ t-C1- ~) et+2 C2 eH

J ( 2 e') 2 e'u= 3-3 dt=3t-3-+C1


Luego si s > 0, ti C'Ule'l'O I""YO!' (1'1l' ('('l'O lit' obtiene:

1 dxlT/I(,r) - JUJ.\ "(' -.¡' dx11

Sea I(x) = x", entonces

Ejemplo rs

l'[l](s) - - (3)1

Por 1'11" 1, si s > ° entonces tenemos:

Por ejemplo. si f (x) = 1 cuando x > 0, entonces

(2)F(s) = ..Qf](s) = J~e-RXf(x)dx

a la "IIITI'sl'0ndcncia se le llama "la transformación de Laplace" y a F(s),"la tlll,,~llInnada de Laplace de f" y la notaremos por:

(1)

Si a 1111:1 función dada f(x), definida para todo valor positivo de x,se IIlIl'c' "flITt'sponder una nueva función:

l. Trunsformacién de Laplace

11rt",sformación de'JI' ,)lt,,(~e

CAPITULO VI

La propiedad de linealidad, una de las más importantes propiedadesde la transformación de Laplace, está planteada por el siguiente teorema.

11sen <ux] (s)(J)

-S2 + ~'2

(s> O) (7)

11cos wx] ( s )s

-S2 + ~2

Los lectores pueden comprobar fácilmente los siguientes resultados:

•Ejenlplo 3

s-a•(6)

1_[[f](s) --_

por consiguiente, cuando (s - a) > ° se tiene:

_ e-(8-4) ] co

S - a o..L'[f](s) =J~rZ eaz dx = J:c(3-4) dx =

Sea f(x) = eaz cuando x ;» 0, a una constante. Entonces:

Ejemplo 2

(5)n (n -1) .. ·2·1feo n! 1 n!- xOrzdx =-- =-

s s· .. s s o sn S Sfl.-l• • •

. . .nfeo n(n-1) feo= _ Xf1-1 e-8Z dx = Xf1-1 c8Z dx =s o s s o

_[[f] (s)

Aplicando la relación (4) sucesivamente se tiene

(4)nfeo_[[f] (s) = - c8Z Xf1-1 dxS o

182 Laplace

-- -_ ----2 s-a 2 s+a s2-a2a1 11 1

[eaz - e-aZ] 1 1

L[senh ax] = _[ = -1.'[eaz] - - L[~]2 2 2

ii) Sea f (x) = senh ax, cuando x > 0, a constan te. Entonces

_[[cosh ax] = L [eaz + ~] = ~L[ eaz] + ~L[ e~]222

1 1 lIs-- +- ----2 s-a 2 s- (-a) s2-a2

i) Sea f(x) = cosh ax, cuando x> 0, a constante. Entonces

Ejemplo 5

2! 1! 1 a2s2- 2as+ 2= - - 2a - + a2 - = -----

S3 ~ S ~

Sea f(x) = (x - a)2, a constante. Entonces

Ejemplo 4

.L[af + bg](s) = J~e-8~(af(x) + bg(x)) dx

= a J~rO. ¡(x) dx + bJ~e-O>g(x) dx = aL[/] + bL[g]

Aplicando la definición de transformada de Laplace,

Demostración:

donde a" b son constantes.

(8)_[[af + bg] = a_[[/] + b1.'[g]

La transformación de Laplace es una operación lineal, es decir:

Teorema 1

Laplace 188

(10)

tal que nos

.L'[f] =J~'"__..dx = J~..,.......'1.e-·'I. dx= r'¡tJ~e(Z4¡2)' dx

Eje1l1plo 6

Sea t (x) = eZ2, entonces

Tomamos ahora en el siguiente ejemplopermita ver que no existe su transformada de

Por ejemplo, en la tabla 1, la transformada de Laplace de la función• 1

eU es 1/s-a y la transformada inversa de Laplace de -- es la función e":s-a

una funciónLaplace.

(9)

f(x) F(s) =..LlIJ s

1 l/s s>Ox,. n! /S"+1 s>O

1eU s>as-a

scos (l)X s>Os:! + (1)2

(1)

sen (J)X s>Os2+ (1)2

Scosh ax s > lalS'J._a2

senh axa

s> lalr-a2

Tabla 1

F = ..L'(/)

f = _[-1 (F)

Los resultados de los ejemplos 1 - 5 están dados en la tabla 1, en lacual F(s) es la transformada de Laplace de f(x), es decir, la función Fque corresponde a la función dada t. Podemos pensar también en lacorrespondencia inversa, llamada "la transformación inversa de Laplace"y denotado por:

1) eazx 2) eOJ sen wx. 3) X2 - 4.

4) sen x cos x. 5) cos" X. 6) sen (x + b).

7) x3e-Z 8) senh'' x, 9) (x + 1) e·

10) cosh x {'OS s.

Hallar .[(/) de las siguientes funciones: (a, w son constantes)

EJERCICIOS

Esto completa la prueba.

41ím Jbf(X)lr~Z dx. Joof(x)lr3Z dx.b....oo o o

Luego, si s > a la última expresión tiende al valor M/ (s - a), cuandob -+ 00, por lo tanto existe el lírnite:

M- [1 - e-(S--4)b]

s-a

M Jb- e-(,--4)Z

s-a z=0= M J: e-('-4)z dx =

Sea:

Demostración

donde M, a son algunas constantes. Entonces la transformada de Laplacede 1 existe para todo s > a.

(11)para todo

Sea f (x) una función integrable, definida en [0.1] y que satisfacela condición:

Teorema 2

Evidentemente la integral en (10) diverge a infinito para todo s, esdecir, la transformada de en no existe para ningún valor de s.

El ejemplo 6 nos muestra que algunas funciones no poseen transformada de Laplace, y el siguiente teorema nos garantiza la existenciade la transformada para una función dada.

Laplace 185

30) e-ZZ senh x.

28) e-X cos 2x.27) eX sen x.

Utilizando el ejercicio anterior hallar la transformada de:

Si .[(/) = F(s) entonces .[(eClZf(x)) = F(s-a).

26) Demuestre el siguiente teorema:

1 1{ 1-s2---s=-2- 3 s- 2

Sugerencia

24)1

23)1

25)

21)s+a

1 1-+-S S2

22)1a

20)

119)

s18)

117)

16) Demostrar que f(x) = eZ2 no satisface la condición (11).Hallar la transformada inversa de:

x2 + 11

13)12) cosh x.senh x.11)

Demostrar las siguientes funciones satisfacen la condición (11) en el teorema 2 para algún valor de M y a.

186 Laplace

Aplicando (1) a la segunda derivada de I~f" = (/')', se tiene:

..[(/') = -eB'o/(O) + s J~e-'9zt(X)dX = s..[(/) - {(O).

Por lo tanto, de (2) tenemos que existe la transformada de Laplace de laderivada l' (x)) esto es:

..le-aZI(x) I < M e-8Z ear&= M e-(8-4)X ~ O (x ~ 00)

Si 1I (x) I < M ~ entonces se tiene para s > a que:

..[(f'] = J «Je-3Z l' (x) dx = e-3Z 1(x) ] «J - J «J ( - s) e-3Z 1(x ) dxo _o o

= e-B;J1 {( x) ] «J + s J «J ( 2 ) e-BZ {( x ) dx_o o

Sea:

Demostración

( 1)2(/') = s..[(/) - 1(0)

Si 1 satisface la condición (11) del teorema 2, entonces tenemos:

Teorema 3

2. Transformación de una ecuación diferencial ordinaria

36)35)

(s-2)2-133)3

34)1s

32)

Hallar la transformada inversa de:

Loplac6 187

y = .[-l{L(y)} = y(O) . .[-1 ( 1 ) + y'(O) .['-1 ( 1) (9). ~+4 ~+4

Aplicando la transformación inversa, .[-1 a la ecuación (8) se obtiene y:

(8)s -1

.[(y) = - y(O) + y'(O)s2+4 S2+4....

Dividiendo por (S2+4) :

(s2+4)_['(y) = s y(O) +y'(O)(7)•

,o,

{S2s: (y) - s y (O) - y' (O) } +4.[' (y ) = O

Utilizando la -fórmula (3):

'[(y") +4'[(y) = O,o,s: (y" +4 y) = .[ (O) = O,

Aplicando la transformación de Laplace a ambos miembros de la ecuación(6) se tiene

(6)y" + 4 y = O. Hallar su solución general.

Consideremos la ecuación diferencial:

Ejemplo 1

etc.

.1.'-1(/"') = slL(/) -s2/(0) -sl'(O) -1"(0) (4)

.[(f<·» = s4.[(f) -fll(O) -s2/'(0) -sl"(O) -1"'(0) (5)

Así sucesivamente:

Et]"¡ = sEt]'¡ - 1'(0) = s{s.[(/) - I(O)} - 1'(0)

= s2L(/) - s{(O) - 1'(0) (3)

~188 .Laplace

1 1=-+-

52 ss..c(y) - y(O) - .E(y)

De (1) :

L(y' - y) = L(x + 1), ó, "[(y') -L(y) = L(x) + L(I)

Aplicando la transformación de Laplace a la ecuación dada se tiene:

Solución:

Resolver y' - y = x + 1 de acuerdo con la condición inicial y(O) = 1.

Ejenlplo 2

la cual es bien conocida en los estudios anteriores.Vemos en el ejemplo 1, que al aplicar la transformación de Laplace a

una ecuación diferencial lineal, ésta se convierte en una ecuación algebraica.luego al resolver la ecuación algebraica obtenida se puede encontrar fácilmente "la transformada de la soluci6n, _[' (y)" y de esta manera obtenerla solución ((y" aplicando finalmente la inversa E:'.

(11)y = el cos 2x + C« sen 2x

entonces la solución (10) toma la forma:

el = Y (O) , e 2= y' (O) /2

Se observa que y(O), y' (O) /2 pueden tomar cualquier valor, es decir, pueden considerarse como constan tes arbitrarias:

( 10)y'(O)

y = y(O) -cos 2x + --sen 2x2

luego tenemos:

1En la tabla 1 se ve que la transformada inversa de 5/ (52+4) es - sen 2x,

2

La",.. 189

y = (~-1 - x) + (~- 1)+ el' - 3ea' - x - 2.

Reemplazando (13) en (1'2) obtenemos la solución de la ecuación dada:

.[-1 [ 1] - _[-1[ 1 ] - .[-1 [_!_] - .[-1 [_!_] = eZ _ 1- x. (s-1)s2 s-1 S S2

(13)

_[-1[ 1 ] = .[-1 [ 1 ] = .[-1 (~) = eZ - 1.(s-l)s s-l s

•

entonces, aplicando la transformación inversa,

1 1 1-

(s-l)s s-l s

1 1 1 1-(s-l) S2 s-l S S2

Para hallar la transformada inversa en (12) utilizaremos las siguientesfórmulas de "fracciones parciales":

(12)( 1) (1) (1)y - ..['-1 + .[-1 + ..['-1( S - 1)S2 ( S - 1) s s - 1

Por lo tanto, obtenemos y aplicando la transformada inversa

1 {1 1 }..['(y) - -- - + - + 1s-1 S2 s

1 1 1 1ó, (s-l) ..['(y) = -., + - + y(O) = - + - + 1. Y separando la trans-

s- s S2 sformada de la solución y se tiene:

190 Laplace

De la tabla 1 tenemos:

1Sea F(s) - hallar _[-l(F), ó, f(x)

S2 (s- 1)

Ejemplo 3

Si _[-l(F) = {(x) entonces _[-1e F(S)) = J:{(t)dt.

Nota: El teorema, 4 puede expresarse de la siguiente forma:

puesto que g(O) = O.

..[(/) = "[(g') = s..[(g) -g(O) = s..[(g)

Sea g(x) = J:/'(t)dtJ entonces g'(x) = f(x), aplicando el teorema

3 se tiene:

Demostración

(14)_[[!:{(t) dt ] = ~_[(f]

Si f satisface la condición (11) del teorema 2, entonces:

Teorema 4

En el teorema 3 hemos visto que a la derivada de 1(x) le correspondela multiplicación de L(/) por s (y adición de una constante - ((O) ).Ahora vamos a demostrar que a la integración de f le corresponde la división de L(/) por s.

Lo",.. 191

1 1L{s_[(i) - i(O)} - . - _[(i) -

e s

,o,

- Eo_[ (sen pt)di 1 J tL_[ (-) + - E i(dt)-dt e o

Aplicando la transformación de Laplace a la ecuación (17) se tiene:

• di 1J tL- + - i (t ) dt = - E¿ sen ptdt e o .

entonces:

q(O) = O, i(O) = O• (16)

u (t) = E¿ sen pt

donde i es la corriente y q es la carga eléctrica acumulada en la placadel condensador. Si

(15).di q dq .

-L - + - = v(t), - - = tdt e dt

En el circuito - L- e (ver la figura) tenemos

Ejemplo 4

_[_1( 1 ) = _[-1( 1 ) = Joo(et-1).dt = er.-x-1.S2 ( s - 1) s (s - 1) o

Aplicando otra vez el teorema 4 se tiene:

.[-1( 1 ) = Jooet dt = e~-1s(s-1) o

entonces:

192 Laplace

e, pe {1 }i ( t ) - - cos' t - cos pt.plLC-l Vil:

Reemplazando (20) en (19) obtenemos la corriente i(t) :

1cos ~ . t - cos pt

yLC

1

(20)

152+_

Le1p2 __LC

.c- [ S]E:'- 52+ p2

515..[-1

entonces la transformada inversa será:

1S2+ -

LC1p2 __LC

5s1s

Pero,

( 19)

Aplicando la transformación inversa ..[-1 tenemos:

( 18)(EoPI L)5..[[tl =

entonces:

Laplace 198

)'(0) = O, y' (O) .. O.20) y" + 2y' + 2y = x - e+.

y(O) = 1, ",(0) = -1.,19) y" - 4y' + 3y = cos x.

18) y" - 21' = xe:C. y(O) = TI, y'(O.) = O.

.'17) y" + y = x - erIJ• y(O) = O, y'(O) = o.

. .16) y" + y' = x. y (O) = 1, y' (O) = 1.

15) y" - 3y' + 2y = senh x. y(O) = O, 1'(0) = o.••

14) y" - 21' + y = e". y(O) = O, y'(O) = 1.

11) y" + 4y = x. y (O) = 1, y' (O) = O.

12) y" - y = sen x. y (O) =.O, y' (O) = - 1/2.

13) 'j" _Oy' - 2y = x + 1. y(O) = 0, y'(O) = O.

Resolver las siguientes ecuaciones:

1 1 11) 2) 3)

s(s2+1) s(s2-9) s2(s+4)

1 1 14) 5) 6)

r(s2+a2) r(s-1 ) s(s4-1)

1 s+1 s-27) 8) 9)

s2(s4-1 ) S2(S2+ 1) s(s2-4)

10)(5+ 1) 2

r(s2-1 )

Hallar la transformada inversa de:

EJERCICIOS

194 Ejerckio.

L::2 k (k -1) akxk-2 =L~=o(k +2)(k +1)ak+2xk

Entonces

I:~oL (k I 'I.)(k-1) ak+2+{ k(k 1)-2k+n(n+l)}a ..JXk O (3)

x2L:=z k(k-1)akxk-l= L:=~k(k-l)akxk= L~:o k(k-l)akxtx ~~ kakxk-1 = ~oo katxk= ~oo kakxku.: L.; LJk~O

Pero

Derivando (2) y reemplazando en (1) se recibe:

(1-x2) ~oo k(k-1)akxt-2-2x~oo kakxk-1+n(n+l) ~oo atxk=O~k=2 LJk=l LJk;8

(2)

La ecuación (1) es llamada "ecuación de Legendre." Como severá más adelante esta ecuación diferencial aparece generalmenteen algunos problemas que se desarrollan en coordenadas polares.

Primero se hallará una solución en serie de potencias alrededorde cero. Como ya se ha visto en capítulos anteriores la solución enserie de potencias de x, alrededor de cero, tiene la forma:

( 1)(1-x2) d2y -2x t +n(n+1)=OdX2

§1-Ecuación de Legendre

Las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden tienenmuchas aplicaciones en la ingeniería, en la química, en la físicaetc. Se hará a continuación un estudio sobre algunas de estasecuaciones.

Ecuaciones de Legendrey de Bessel

CAPITULO VII

(7)Aplicando sucesivamente (4) se ve Que

an+2 = On+4 = antO = = O

Como en la práctica n es generalmente un número enteropositivo de ahora en adelante se considerará la ecuación de Legendreen este caso particular.

Si en la ecuación (4), k toma el valor de n se recibe:(n+2) (n+ 1)an+2=O

en donde los coeficientes a2P+l (P=O, 1, 2, ...... ) se determinan conayuda de la expresión (4) dando sucesivamente a k los valores1, 3, 5, ....... Como las soluciones (5) y (6) son linealmenteindependientes se puede obtener a partir de ellas la solución generalde la ecuación:

(6)

En este caso se obtiene una solución uimpar" de la ecuación deLegendre :

ii) Si 00=0 y al~O se obtiene de (4) que los coeficientes delas potencias pares son todos iguales a cero:

ao=o.~ o.= =O

(5)

Se pueden determinar, además, los valores de los coeficientes depotencias pares y se obtiene una solución "par" de la ecuacíon deLegendre:

í) Si oooAfO y 01=0 entonces, de (4) se recibe que los coeficientesde las potencias impares son iguales II cero. es decir:

a1=03=06=············=0

(k+2) (k+ 1)01+.= - ("Cn+ 1) -k(k+ 1»)a. ( 4 )o bien

La ecuación (3) se satisface si los coeficientes de Xl (k=O. 1. 2······)son cero. por esto se puede plantear la siguiente ecuación:

(.+2) (k+ 1)a1+2+ (-k(k-1) -2k+n(n+ 1)}a. =0

196 Ecuaciones de Legendre y Bessel

Como no existe condición alguna para a; se le puede dar cualquiervalor, por ejemplo:

Cl,a-JP= 2Pp! (n-2p) ! (2n) ! (n-p) ! On

(-1)P(2n-2p) ! (n !)Z=-p i (n-2p) ! (n-p)! x (2n)! a" (9)

Con estos ultimos valores la expresión (8) toma la forma siguiente:(-I)"n !n !2P(2n-2p) !

21'·n(n-l) ..·..·(n-p+ 1) (2n-2p) !(2n) ! (n-p) !2p·n! (2n-2p) !

(2n) !

_ 2n. (2n-l)·· ....(2n-2p+ 1)(2,,- 2)(2"-4) ......(2n-2p+ 2)(2n- 2P)!- 2n·(2n-2) (2n.-4) ....··(2n-2p+2)· (2n-2p) !

- (n-2p)!~2n-'1)(2n-3)·· ....(2n-2p+ 1)

Peron(n-l) ...... (n-2p+l)=n(n-l)··· ..·(n-2p+l)·(n-2p)! j(n-2p)!

n!

( 8 )

entonces

nCn-l) ...... (n-2p+ l)a"= (-1)1'·21'·P !(2n-l) (2n-3) ...... (2n-2p+ l)a"-2"

Multiplicando miembro a miembro las igualdades anteriores se. recibe:

(n-2p+2)(n- 2P+1)a"-2p+2= -2·P· (2n-2p+ l)an-2"(para k=n-2p)

.............................................

Por 10 tanto cuando n es un número entero positivo una de la8soluciones de la ecuación de Legendre es un polinomio de grado n.Para hallar la forma exacta de esta solución se procede como sigue:en la ecuación (4) se dan a k los valores n-2. n-4. n-6, ...... y seobtiene:

n(n-1)an=-2·1(2n-1)nn.:¡ (para k=n-2)(n-2)(n-3)on-2= -2·2(2n-3)an-4 (para k=n-4)(n-4)(n-5)an-4= -2·3(2n-5)0"_6 (para k=n-6)

Ecuación de Le,elltlr. 191

1- 1 n(1J+ 1)k k2--~-=----:;2;::---- __.l (k-oc) .

1+ ¡+ k;

k(k+l)-n(n+l)(k+2)(k+l)

Nota. Si n 8S un número entero, una solución de (ét ecuaciónde Legendre es P" (x) y la otra solución no es un polinomio sinouna serie infinita. De (4) se recibe que el radio de convergenciade esta serie infinita es uno:

1J=0 (1-x2)y"-2xy'='O Po(x) =1

n=l (1-x2)y"-2xy' +2y=0 PI (x) =x

n=2 (l-x2)y"-2xy' +6y=0 P2(x) = 3 X2- 12 2

• 5 3n=3 (1-x2)y"-2xy' +12y=0 P3(x) = x3- 2 x2

n=4 (1-x2)yli -2xy' +20y= O P.(x) = 35 • 15 "+ 3x- x- 88 4

A continuación aparecen algunos ejemplos de ecuaciones deLegendre con su correspondiente solución polinómica P,,(x) :

Esta solución es llamada polinomio de Legendre de grado n y susímbolo es Pn(x) , por tanto

,"",'" (-1)P(2n-2p) ! n-2pPn(x) =LJp:o 2np! (n-2p) ! (n-p) ! x

(2n)! {xn- tt(n-1) xn-2+ n(n-1)(n-2)(n-3) xn- •..••.. } (13)2"(n !)2 2.(2n-1) 22·2! (2n-l)(2n-3)

( 12)¿'" (-1)P(2n-2p) !- xn-2Py- p=o 2"P! (n-2p) ! (n-p) !

Si n es par, se obtiene un polinomio par como una solución de laecuación de Legendre, si n es impar se obtiene un polinomio impar.En general, en cualquiera de los dos casos n=2m o n=2m+ 1, lasolución tiene la forma

(11)

(10)(2n) !an= 2n(n !)2

Reemplazando (10) en (9) se recibe:_ (-1) P(2n-2p) !

an-2P- 2np! (n-2p) ! (n-p) !

198 Ecuación de Legendre

Aplicando la fórmula de Leibniz,

-fx~1(!(X).g(X)}=I::.o k! (:~k)! !tn-Itl(x)g(ll) (x),

en la rorrnulu d Rodr(¡u z. se obtiene:

(2)Pn(l)=l,(2)

"~ ~.., --=-=-7( -_1"-:-)"~(-:-2n-:-------'2P7)'-:-:!~Xn- 2 P = Pn (X)-Wp=o 2n(n-p)! (n-2p) !

(2n-2p) ! xn-2P(n-2p) !

(-l)Pn!p! (n-p) !

1 ..,pn(x2-1)n2nn! dxn

entonces

(n-2P"G.O)(2n-2p) ! xn-2P(n-2p) !

dnX2n-2Pdxn = (2n-2p) (2n-2p-1) ...... (2n-2p-n+ 1)x2n-2P-n

Pero como

Para demostrar (1) se hace el desarrollo binomial de (x2-1)n,entonces:

¿nn (x2-1)n= t: {I::=o p! (:~p)! (x2)n-p(-1)p}~n n ! dnx2n-2p

=wp=o p! (n-p) ! (-l)P dxn

§ 2-Propiedades de Pn(x)

Como el polinomio de Legendre es muy importante en lapráctica, se darán a continuación algunas de sus propiedades.

(1) Pn(x)= 2n~! !xnn (x2-1)n (1)

Esta expresi6n se llama "F6rmula de Rodríguez".

Por esto esta otra solución no tiene valor finito en x= 1 o x= -1.Entonces PII(x) es la única solución de la ecuación de Legendrepara cualquier x, Si n no es entero. ambas soluciones son seriesinfinitas, y sus radios de convergencia son iguales a uno. En estecaso no existe solución alguna válida para cualquier x. Por estarazón en la práctica n es número entero.

Ecuación de Legendr« 199

Esta última ecuación toma también la forma siguient :

Multiplicando ambos miembros de la ecuación (8) por P", y laecuación (9) por Pn Y restando se obtiene:

[Pm Ix «1-x2)P'n) - r, fx {(I-x2) P'm} ]

+ {n(n+l) -m(m+ l} PnP", =0

(9)

En la misma formaddx {(1-x2) P'm} +m(m+l)Pm=O

Como Pn(x) es una solución de la ecuación de Legendre, debesatisfacerla y por tanto

ddx {(1-x2)P'n}+n(n+l)Pn=0 (8)

•

(7)

La ecuación de Legendre puede tambien escribirse en la formasiguiente:

(6)(n:2¡:m)(3)

En la misma forma se puede demostrar quePn(-l)=(-l)n

Reemplazando (4) en (3) se obtiene el valor de Pn(l):

1Pn(l)= 271 , ·n!.(1+1)n=1 (5)n.

(4)(para n:2¡:k)}(para n=k)

{dk(X-l)n} _d le --OX :D=1

=n!

entonces

dk(x-l)ndxlc =n(n-l)······(n-k+l)(x-l)n-Ic

Pero

1 dnPn(x) = 2nn! dxn {(x~ l)n(x+ 1)71)

1 ~n n! dk(x-l)n dn-t(x+l)1I- 2nn! Wk:O k! (n-k) ! dxle dxll-t (3)


Aplicando la fórmula de Leibniz se demuestra que el primersumando de (10) es igual a cero. Entonces

J I. 1 JI d"-1(%2-1)" d"+1(%2-1)n-1 (Pn)2d%= - (2"n Irl -1 dXn-1 d%"+l dx

1 {[ d"-2(x2-1)" dn+1(z2-1)" JI= - (2"n 1)2 dXn-2 dX"+1_1

JI d"-2(x2-1)"- -1 dXn-2

(10)JI d"-I(%2-1)"- -1 d%"-1

Aplicando la fórmula de Rodriguez e integrando sucesivamente porpartes, se recibe:

Esta propiedad se llama "ortogonalidad del polinomio de Legendre.( 4 ) JI 2 2

-1 (Pn(z)} d%= 2n+ 1

Teniendo en cuanta que, por hipótesis, n::t¡:m se concluye que

r~1Pnex)p",(x)dx=O

entonces

Pero como

J~l f% [(1- %2)(P",P'n-PnP'",} Jd%=[ (1-%2){P",P'n-PnP'",} J~I=0

Integrando miembro a miembro esta ecuación entre -1 y 1 serecibe:

JI : [(1-Z2) {P",P' n- PnP' ",l]d%+ {n(n+ l)-m(m+ lnJI PnP",dx=O-1 X -1

Ecuación de Leg~ndr" 201•

es decir en el puesto de k se pone n-p. Pero en (15) 101 valores

n=k+p(n, P). (k, P)

Para calcular el valor de (15) se cambian los índices de :E comosigue:

(15)

Para demostrar la expresión anterior es necesario hacer el desarrollobinomial del primer miembro de (14) :.

(14)(5)

2n+l2

Substituyendo (12) y (13) en (11) se recibe:

JI 2 _ (-1)" ,(-1)n22"+I(n!)2-1 {Pn} d.%'- (2nn 1)2 (2n). (2n+ 1).(2n) !

(13)

y aplicando sucesivamente la integración por partes se obtiene elvalor de la siguiente integral:

J1 JI ( 1)"22"+'( ')1(.%'2-1)"d.%'= (x+ 1)"(r-1)" d.%'= - n.-1 -1 (2n+l)(2n) !

Pero

(11)

202 EClUlción de Legendre

Multiplicando ambos miembros de esta expresi6n por (x-h) ycomparando con la igualdad (16) se recibe:

f'oo nPnh"=(x-h)f'oo P'nCx)"hn~".1 Wn:aComparando 101 Qoeftclentes de h'l se tiene:

Si se deriva la fórmula (14) con respecto a x se tiene:

h(1-2hx+h2)-S/2= f'oo Ptn(x)"hn (18)w'n:o

(17)(n+ l)P"+I- (2n+ 1)xPn+nPn-1 =0o bien

Comparando los coeficientes de h" se obtiene:x.P,,- P"-I= (n+ 1)P"+1-2nxP,,+ (n-1)P"-1

Entonces

Aplicando (14) en (16) se recibe:. h Loo Loox- P hn P hn-11-2hx+h2 n=O ,," = "=1 n ,,"

(16)

Si se deriva la fórmula (14) con respecto a h se obtienex-h f'oo

(1-2hx+x2) .J1-2hx+h2 = i...Jn=1nPn(x) "hn-I

autores definen el polinomio de Legendre con la fórmulaAlgunos(14).(6)

.J1-2hx+ h"l

fa

f'oo {~S2 (2n-2p) 1 (- wn=o wp:o 2n-P(n-p) !p ! (n-2p) !

= f'oo Pn(x)hn'-.Jn•o

1

Por lo cual

f'OO f' k ~oo f';;;:'-.J,,=o Wp:o - wn:o wp=o

de P fluctúan entre O y k entonces los valores mínimo y máximoque toma p son respectivamente O y k, antes del cambio de índicesy O, n/2 (o (n-l)/2) después del cambio de índices. Por otra parteel primer valor de n es cero. Entonces

Ecudción de Legen(',e lOa

Entonces .

( 1 )1%=~ t

Como ya se ha visto, una solución de la ecuación de Legendrees un polinomio de grado n : Pn(x). Esta solución es llamadatambien "Función de Legendre de primera clase". En esta sección......se hallará otra solución de la ecuación de Legendre la cual tiendea cero cuando x tiende a infinito.

Para obtener esta otra solución es necesario hacer el siguientecambio de variable en la ecuación (1) § 1:

§ 3-Funcjón de Legendre de Segunda Clase, Qn(X).

(20)P' n-%p' n-1=nPn-1

Entonces

Aplicando al segundo sumando de esta expresión la fórmula (19)se obtiene:

n(P' n-XP' n-I) - (n-l) {%p'n-1- P' n-2}= (2n-l)Pn-1o bien

Derivando (24) con respecto a x se obtiene:nP' n- (2n-l)xpl n-I- (2n-1) Pn-1 +(n-l) P' n-2=0

La fórmula (17) también puede escribirse en la forma siguiente:nPn- (2n-l)xPll_1 + (n-l)Pn-2=0 (24)

Se demostrará a continuación la fórmula (20), las otras quedancomo ejercicio para el lector.

(20)(21)(22)(23)

P' n-%p' n-1=nP n-I

P' n+1-P' n-1= (2n+ 1)P;(x2 -1) P' n=nxPn - nPTI-1

(%2-1) P' n= - (n+ l)xPn + (n+ 1)Pn+1

De las fórmulas (17) y (19) se pueden deducir muchas relaciones,por ejemplo:

(19)nP; =XP'Il- p' n-I


(8 ){I, - O

Corno se cst á conside rundo a 11 como un número entero positivo,vut onccs

a1{2(n+l)}=0

En primer término se considera el valor s=n+ 1.

Con este valor se puede obtener a partir de la segunda ecuaciónde (5) el coeficiente al:

(7)-ns=n+1.Entonces

5(s-1) -n(n+ 1)={s- (n+ 1)){s+n} =0

Teniendo en cuenta que ao~O. de la primera ecuación de (5) serecibe:

ak(k+s) (k+s+ 1)=ak+2{(k+s+2) (k+s+ 1)-n(n+ 1)} (6)

} (5)

Se obtiene entonces que:ao{s(s-l) -n(n+ l)} =0al{s(s+ 1) -n(n+ 1)}=O

Derivando (3), reemplazando en (2) y asociando se recibe:

L~=oak(k+s) (k+s+ l)tk+.

-L~=o aA-{(k+s) (k+ 5-1) -n(n+ 1)}ik+3-2 =0 ( 4 )

( 3 )

La solución en serie de potencias de t es, (ver § 9, IV):

(2)(t2-1) d2y +2t dy +_n(nt; ll_y=Odt? dt •

Con esta transformación la ecuación de Legendre torna la formasiguiente:

(1- t~){t4 ~;; +2/3 Yt }- 7 {-t'J. ~}-}+n(n+l)Y.::::O

o bien

dy dv dt .) dy- - ------..-.---_..- -t- .-dx - dt dx - - dt

_!!21_=_É_(_t2_f.y_)_d_!_=t4 d~y + 2t3-!!y_dX2 dt dt dx di! di

Ecuacion ,le l...el(t>ntlrt> 205

(17)y =CI P71 (x) +C2Qn (x)en donde CI y C, son constantes arbitrarias.

Esta solución se llama "{unción de Legendre de segunda clase"O bien solución Qn(X) de la ecuación de Legendre.

Si, por otra parte, se considera el valor s=- n, se halla otrasolución, pero ésta coincide con el Polinomio de Legendre. Sepuede entonces concluir que la solución general de la ecuación deLegendre es:

(16)

Regresando a la variable original (x) se obtiene una solución de laecuación de Legendre:

_ 1 \,00 2n(n+2m)! (n+ 1n) ! 1_y- Xn+lWm=o m! (2n+2m+l)! x?m -Qn(X)

Reemplazando en (3) el valor de s (s= n+ 1) y los valores de loscoeficientes dados en (14), se obtiene la solución de la ecuación (2):

_ 1 \,00 2n(n+2m)! (n-t·m) ! thn (15)Y-tn+IWm:=o m! (2n+2m+1)!

(14)2"(n+2m) ! (n+m) !a - -=-__:__~-~~__;_""',....-7--21ft- m! (2n+2m+l) !

o bien

(13)

la expresión (11) toma la siguiente forma:n! (n+l)(n+2)(n+3)···(n+2m)

a2m= 2.4 ... (2m) ·1.3.5··· (2n+2m+ 1)

(12)

Dando a a¿ un valor conveniente, por ejemplon!

Haciendo un desarollo semejante al que aparece en seccionesanteriores se obtiene el valor de los coeficientes a2m(m=O, 1, ...... )

(n+ 1) (n+2) ... (n+2m) (11)a2m= -2.4 ... 2m. (2n+3) (2n+5) ... (2n+2m+ 1) ao

(10)

De (8) y (9) se concluye que los coeficientes impares son igualesa cero, es decir:

Reemplazando el valor de s en (6) se recibe:at(k+n+ 1)(k+n+2) =ak+2(k+2) (k+2n+3) (k=O, 1, ) (9)


Reemplazando cslolt valores en la ecuación (4) se obtiene laecuación diferencial (1). Como las soluciones de la ecuación (2) son,

Derivando (5) se recibe:v' = (l-x~)m/2ylm+l)_mx(l_x2)1II/2-1y(m)

v" = (1-x2) m/2y(m+2) -2mx(1- t"2)1II/2-1y(1II+l)

-m (1- (nz-l)x2) Cl-x2)m/2-2y,m)

(5)Para hace!' más sencilla la ecuación (4) se hace:

v= (l_x2)m/2y'm)

Entonces la ecuación (3) toma la forma siguiente:(l-x2)ylm+2)-2(m+\I)xy(mtl)+ (n(n+ 1)-m(m+ 1)}ylm) =0 (4)

dmdxm (xy') =xy(m+l)+my(m)Además

= (l_x2)ylm+2) -2mxy(m+1l-m(m-l)y(lJl)+ 3! (m-3) !

+ m(m-l)2m!

Pero de acuerdo con la fórmula de Leibniz se tiene que:a- dm d dm-1----r-:::-{(1-x2)y") = (l-x2) y" +m (1-X2) y"dxln. dxm dx dx=:»

Derivando con respecto a x se obtiene:dm dmdxm {(I-x2)y"}-2 dxm (xy')+n(n+l)y(m)=o (3)

(2)considerar la ecuación de Legendre

(l-x2)y" -2xy' +n(n+ l)y=O

.es necesario

Como fácilmente puede observarse cuando m=O la ecuaciónanterior se reduce a la ecuación de Legendre.

Para hallar la solución de la ecuación asociada

en donde m y n toman cualquier valor entero positivo y m<n.

( 1)

S 4-Funciones Asociadas de Legendre, P:(x) , Q;:(x).

La ecuación asociada de Legendre es:

(1-x2) ~~ -2x ~~ + {n(n+ 1) ----:1=--_m-;--=2-}oV=O

Ecuación de Legendrll lOf

(10)(n=t=k)

Entonces, integrando miembro a miembro, se recibe:

(n(n,+ 1) -k(k+ 1)}J~lP:(x)P':(x)dx=OPor consiguiente :

J~lP';(x)P':(x)dx=O

Multiplicando ambos miembros de la ecuación (8) por P: y laecuación (9) por P: y restando se obtiene:

fx [(1- X2){Pl t% P':-P: :x P:'} ]-t. (n(n+ 1)-k(k+ 1)}P:P:'=O

Entonces P,: y P: satisfacen respectivamente las siguientesecuaciones:

a dI>'!-dX{C1-%2) dx" }+{n(nt1)- 1~%2}P:=O (8)

fx {C1-X2) dJx': }+{kCk+l)- 1~x2 }P:=O (9)

Para esto se escribe la ecuación asociada en la forma siguiente:

fx {(1-X2) ~~ }+{n(n+l)- 1~X2 }Y=O (7)

Como el valor de Pn(%) es finito para cualquier valor de x entoncesP:(x) es la única solución que toma valores finitos para cualquierx, Como ya en la sección anterior se estudió la ortogonalidad delpolinomio de Legendre, en esta sección se demostrará que lasfunciones asociadas P:(x) tienen la misma propiedad.

(6)

P'"'(%) = (1_%2),"/l dmpn(%)" dx'"

Q:(%) =(1-%2)"''' d'"fx~%)

De acuerdo con la transformación (5) se obtienen las soluciones dela ecuación (1):

entonces la soluciones de (4) son:1m) _ d"'P_ry_ d"'Q"

y - d%"" d%m

P.(%),


En esta sección se estudiará el caso particular en el cual 11. es unnúmero entero y además el método de resolución por medio deser ics. La ccuncrcn (Interior es llamada ecuación de RCMtfel y esIr ccuentcrnontr 'pi le lcln II Cfsica.

( 2 )o bien

( 1)d2y 1 dy ( n2)_(:[i2+-x- dx + 1- Xl y-O

§ 5-Ecuación de Bessel (1)•

(12)

Entonces

J1 (P''')2d - (-1)1c1.3···(2k-l)(k+m)! J' (x2-1)lcd-1 le x- 21ck! (k-m) ! -1 X

2 (k+m) !2k+1 -(k-m)!

es una constan te y su valor es:(k+m) !(-1)"'1·3···(2k-1)·-- --(k-m) !

es un polinomio de grado m+k, Se concluye quedm+k { dm pie }dxm+k (1-X2)m---axm.

Pero como d=Pit dx» es un polinomio de k-m grado y (1-x2)m esun polinomio de 2m grado, entonces

(1-x2)mdmpt/dxm

(11)

(utilizando la fórmula de Rodríguez)

= (-1)771 JI dm {(1- 2)771dmPIe } •2tk! -1 dxm x dx»

Integrando por partes, m veces, se recibe:

J~1(Pr:)2dx=(-1)mJ~1 ;~:l{(l-X~)771 d~1e }.Pkdx

En el caso en que n=k se tiene:

J I (P'::)2dx=Jl (1- x2)m dmPIcle dx'"-1 -1

.Ecuación de 8e,.el 209

(12)

En este caso se da a ao el siguiente valor:1

(11)22mm! (n+1)(n+2)· .. (n+m)

(-l)ma2m = -::2::-.--:-4 ·-"--;;;:2-m--"-."""'7:(2::-n-+~2~)""7(2~n:"'_+-:---:-;4):--.-.. -;-::(2;:-n--:+~2;:-m~):--ao

(-l)m

Con un procedimiento análogo al empleado en secciones anterioresse puede hallar el término general que represente los coeficientespares a2m:

(10)

De (8) y (9) se recibe que los coeficientes impares son iguales acero, es decir:

(9)(k =2 3 4 ), , ,

De la ecuación (6) se recibe la relación general entre loscoeficientes:

(8)a1=0(2n+ 1)a1 =0,

i) Caso en el cual s=n.Reemplazando el valor de s, en la segunda ecuación de (5) se

halla el valor de al:

(7)-ns=n,De la primera ecuación de (5) se obtiene el valor de s:

(6)(k=2, 3, 4, ...... )

(5)(k=O) }(k=l)

(s2-n2)ao=0{(s+1)2-n2}a1=0

Entonces

una solución de la ecuación dada. Derivando (3), reemplazando en(2) y asociando se obtiene:

f1°O (k+s)2-n2}a.xk+'+ f1°O a.x.+'+2=0 (4)~.=o ~.=o

(3)(ao~O)

Para hallar una solución de la ecuación dada se hará undesarrollo semejante al empleado en secciones anteriores. Sea

210 Ecuación de Bessel

Dando a k sucesivamente los valores 2n, 2n-2, 2n-4, , 4, 2, seobtiene:

(16)k(k-2n)ak= -ak-2

ii) Caso en el cual $=-nHaciendo un desarrollo semejante al' anterior se obtiene:

al =a3= ...... =0

se puede observar que los coeficientes de la serie ln(x) son menoresque los coeficientes de (15). Como la serie exponencial convergepara cualquier x, la serie ln(x) tambien converge para cualquiervalor de x y además su convergencia se realiza en forma rápida,es decir que para hallar un valor aproximado de ln(x) se necesitanpocos términos. Por ejemplo:..

10(1)= 1-0.25+0.016-0.0004+ .. ··.. =0. 766......

(15)

Comparando la serie (14) con la serie_~ _[00 (-l)m ( X )2'"e • - -m=O m! 2

x { 1 (X)2 1 ( .x )4 1 (X)" }JI (x) = 2 1- 1! 2 ! 2 + 2! 3 ! 2 - 3! 4 ! 2 + ......

(Ejemplo)

1 (X)2 1 (X)4 1 (X)"10(x)=1-(1')': .2 + (2!)2 2 -(3!)2 2 + ......

Esta solución es llamada "función de Bessel de orden n" y engeneral se denota por ln(x).

(14)_ _ _( x )n\,o> (-l)m (X )2mY-Yl-ln(X) - 2 Wm=o m! (n+m) ! 2

o bien

Con estos valores para s y a2mse obtiene una solución particularde la ecuación de Bessel:

s=v -xn ~oo (-l)m 2m- 1- Wm=o 2n+2mm! (n+m) ! X

(13)

Entonces

Ecuación de 8e,,0' 111

o bien

De (18) Y (20) se halla una relación entre JII-¡' J", L,..1 :

n n·X Ju-Jn+l = - X J" 1-J"-I

(20)J' n(x) = - ; Jn(x) +Jn-I (x)

Entonces

o bien

(19)

De la misma manera, derivando xnJn (x) con respecto a x, se obtienela expresión siguiente:

ddx

(18)

Multiplicando por Xii, se recibe:

J' TI (x) = n [« (x) -]n+l (x)X

J'nx"

o bien

(17)Entonces

.(_l)m+l (X )2m__ n

m! (n+m+ 1)! 2 - J"+1 (x)jx

_ 1 ~(X) (-l)mm (X )2111-1- 2n Wm:o m! (n+m)! 2

x ~(X) (-l)m ( X )2(m-l)

2n+l Wm=l (m-1)! (n+m) ! 2

(-1) 111 (X) 2m}m! (n+m) ! 2

x se obtiene:

Propiedades de Jn(x)

i) Relaciones entre Jn(x), J"+I(X) y ]n-l(X).

(Fórmulas de Recurrencia)Derivando ]n(x)/x1l con respecto a

d d {~(X) 1dx {Jn(x)/xn} = dx Wm=o 2n

Es decir que se contradice la hipótesis de que ao~O. En la secciónsiguiente se estudia la manera de hallar otra solución de la ecuaciónde Bessel.


gunda serie de (27) se puede hacer laPero como n 1

(27)

Por tantoe; e-_!)= ~co {~CO ( X )"+2P (-l)P t»

!..Jn=O u.,\ 2 P! (n+P) !~-oo {~CO (X )U+2P (-l)P

+ !..J".-I WP=-1I 2 P! (n+p) !

~co v- ~co ~oo ~ -co ~co

!..Jk=O wP:o= !..Jn:O u.;+!..Jn=-l !..Jp=-n

Entoncés

Pero como en (25) p toma los valores O, 1, 2, , entonces n tomalos valores +O, +1, +2, Además para n positivo, p toma loavalores O, 1, 2, 3,······ y para n negativo p es sucesivamente - n,-n+1, -n+2, , porque de (26) se puede concluir que:

n+p=k-p2_O o bien p2_-n

(26)n=k-2p(n, P)(k, P)

Para calcular el valor de (25) es necesario hacer un cambio deíndices de ~, como sigue:

(25)

Haciendo el desarrollo en serie de Taylor del primer miembro de(24), se recibe la expresión siguiente:

e~(c-+)=L:=o {~ (t-+)}"/k!~co (X)" 1 ~t k ! tt-p(- 1 )1'

- !..Jk=O 2 k ! !..Jp:o p! (k - p) ! t_~co (X )"~t (-1)" tt-2p-!..J,,=o 2 !..JP:o p! (k-P) !

En donde

(24)ii)

(23)

se da a n el valor cero, se obtiene:J'o(x) = -JI (z)

Si en (18)

(22)

(21)2nx ]n(X) =]TI+l(X) +]n-l(X)

Otra relación es la suma de (18) y (20) :2J' n(X) =Jn-1 (x) -Jn+1 (x)

•Ecuación de Bessel 213

o bien

Por tanto, la fórmula (24) toma la forma siguiente:

ei(:'(seri8)= E:=_""Jn(X) ·eni8

t- 1 =ei8-e-(8=2; sen 8t

Entonces

(Ejemplo 2)

En la fórmula (24) se hace:t=ei8=cos 8+; sen 8

En la misma forma, si se deriva (24) con respecto a t, se recibe lafórmula (21). '.

•

Comparando los coeficientes de t» se tiene la fórmula (22):

o bien

(24) en (28) se recibe:

(t- ~ ) [:=_coJn(X) ·tn= E:=_""J' ,,(x) ·t"Substituyendo

12

(28)1 (t- 1 )e~(t--})=\'co J'n(x)tn2 t Wn=-""

(Ejemplo 1)

Derivando la expresión (24) (miembro a miembro) conrespecto a x, se obtiene:

Se concluye que

e ~ (t--})= E:=oJn(X) ..tn+ [:=-1J,,(x)t"= E:=-"" Jn(X) -t»

Algunos autores utilizan la fórmula (24) para definir [« (x).

transformación n+p=q, entonces\,CO (X )n+2p (-l)P \''''' (X )-n+211 (-l)q(-I)7LWp=-n 2 p! (n+p) ! Wt=o 2 q! (-n+q) ~.

= (-I)"J-,,(x) =Jn(X) (n<O)


Pero por simetría de las funciones trigonométricas

J:sen (x sené) sen 2pOdO=0 (34)

Entonces, 8ulnond (3~) y (34), se recibe:

Multiplicando (30) por cos 2pO (p=O, 1, 2, ...... ) e integrando conrespecto a O, de O a 7C, se obtiene:

7C/'lp{X) =~"cos (x sen O) cos 2pOdO (33).0

(32)

(P~q)

(P=q)7C2

Se sabe Que: r:cos 2POcos 2qOdO=0

De la misma manera, la segunda igualdad de (29) se convierte enla siguiente:

(30)

entonces

Teniendo en cuenta Que l-n=(-l)nln, de la primera igualdad de(29) se recibe:

cos (x sen O)=lo(x) +(]l-l-l) cosO+(/,+/-,) cos20+ (!3+ l-3) cos 38+ .

=/o+2{l2 cos 20+ I,cos 40+ }

(29)

sen (x sen O)= I:~",_aoln(X) sen nO

Comparando las partes reales y además las partes imaginarias, seobtienen las expresiones siguientes:

cos (x sen O)= r::=_ooln(X) cos nO

cos (x sen O)+i sen (x sen O)=L:~",_oo ln(x) {cos nO+i sen nO}

Ecuación de BeslJel 215

Esta última ecuaci6n toma también la forma siguiente:

- d -[x{v dy _y dv } J+ (a1-{32)xyv- Odx dx dx

Multiplicando (39) por v y (40) por y y restando se obtiene:

1 {v j (x.-!!Y_)-y-~-(x_É~)} -1-(a2_(32)yv=0x dx dx dx dx

y y=lo(ax) es su solución. En la misma forma v=loC(3x) es unasoluci6n de la siguiente ecuaci6n:

1 _d _ (x'!!!!_-) +(32V=0 (40)x dx dx

(39)1 __d_(x dy ) +a2 =0x dx dx y•

o bien

la ecuaci6n se transforma en la siguiente:

!!2+_1_ _!ly_ +a2y=0dx" x dx

Haciendo en (38) el cambio de variablet=ax

iii) Para mayor sencillez se considera en el desarrollo la funciónde Bessel de orden cero. La ecuación correspondiente es:

d2y 1 dy _dt2 + t (1/+ y-O (38)

y una soluci6n es 10Ct).

Esta f6rmula es también utilizada para definir ln(x).

(37)(n=O, 1, 2, )7rln(x) = J:cos{x sen O-nO} se

En general las expresiones (35) y (36) pueden ser escritas comosigue:

(36)

De la misma manera de (31) se tiene:

1't12P+l (x) =J:cos {x sen 0- (2P+1)O) ae

rrl'l.p(x) =J:cos (x sen O) cos 2pOdO'+J:sen (x sen O) sen 2pOdO

=J:cos{x sen 0-2PO}dO (35)


Oc las igualdades (43) y (45) se obtiene la ortogonalidad de lasucesión (47):

(n=l, 2, 3, ...... )Es decir que

(46)son las raíces positivas de la ecuación

Jo(x)=O

...... a, n,

..,Se supone ahora Que

Utilizando la fórmula (20) para n=l, se obtiene de la expresión(44) la siguiente igualdad:

J: s (JoC#x)} +dx =+ {{Jo(#)} 21- {JI (fl)} 2} (45)

o bien

J: x (Jo (f3x) "dx = Jo (fl)Jl (fl) +fJ {JoCflit'¡ (fl) _J' OC/:)Jl (f3)}

= J0C:) {J'1C.B)+ ~ JI (fJ)} ++{]1GB))2 (44)

Si se desea saber el valor de la fórmula anterior para a=(3, sehace a={3+é en (43), y luego se hace que é tienda a cero:

IimJl xJo(f3x+éx)Jo(fjx)dx•• 0 o

= lim_j/3 +é)Jo({:3)JI (I! té) 2I!JO«(:J+ é)/l (fl), .. o 2(:Jé+E

Utilizando la fórmula (23), la igualdad (42) toma la forma:

J~xJo(ax) Jo(f3x)dx= a]c«(:J)J, (~2=-jlO«(X)JI (f:J) (a~tJ) (43)

Teniendo en cuenta que y=Jo(ax) y v =Jo(f3x) , la expresión (41)puede escribirse así:

(al-{J2) J: sJ,(ax)JoC(:Jx)dx=Jo(a)[ dJoJ~X) J:I:l-Jo({:1)[ dJod~X) ] lD= t=/:)Jo(a)J' o(fJ) -aJo (f!)]' oCa) (42)

Integrando miembro a miembro, se tiene:

{ ti ddy--y ~V} + (.c(!- (:J2)J' xyudx = O (41)x x %=, o

Ecuacion. ti" IJ""u" :117

en donde

l(x)=1(Ejemplo 8)

Sientonces

(51)

entonces

Para hacer esto se multiplica (50) por x!o(anx) y se integra deOal:

J: x!o(a"x)/(x)dx=Cn J: x {!:>(anx)}2dx=Cn {J1(a,,)} 2/2

en donde los valores de los coeficientes C« (n=1, 2,.3, ) seobtienen con ayuda de las igualdades (48) y (-19).

Si 1(x) es una función definida en el intervalo (O, 1), entonces sepuede desarrollar por medio de la sucesión (47) como sigue:

1(x) =C¡Jo(a¡x) +C2JO(a2x) + +CnJo(anx) + (50)

Fig. 38

y

1.0

25 Xo al

(49)

(48)

Es decir, que(47)Jo(a¡x), Jo(a2x), , Jo(a"x), ..


(5)Entonces

r(x+ 1)=Joo e-tt"dt =[ - t"e-tJOG+xJeo t,\-le-tdto -o o

=xJ~e-tt~-ldt =~r(X)

Se estudiarán algunas propiedades de esta función:i)

pero como se está estudiando el caso general, es necesario dar a00 un valor adecuado de manera que para el caso particular X=n,este valor de 00 coincida con el valor (3). Para hacer esto esnecesario definir la función Gamma, T'(X), la cual es unageneralización del factorial (n!) ;

r(x)=J~e-ttA-Idt ( 4 )

(3)

En la sección anterior se dio a ao el valor1

ao= 2/1n!

(2 )

."Rn esta sección se considera a X como un número cualquiera.Para hallar una solución de (1) se hace el mismo desarrollo delcapitulo anterior y se obtiene: (s=:.\.)

Leo ( l)my=aox" -1n=1 n1! (X+l)(X+2)···(X+m)

(1)

'~.6- Ecuación de Bessel (11)

j.:y_+ __!__d+y_+(l_ x: )Y=OdX2 x dx x .

Entonces

se recibe:

JI 1 Jt d .Ox!o(anx)dx=-- -"d",-{xJI (ar.x) }dX=/l (an)/ana; o x

C1l=2J~x/oCa "x)dx / {/1(a,,)} 1.

Pero de acuerdo con (19):dx/o (x) =dx {X/l (x)}

Ecuación d. a.... ..

(10)

Esta ültirna expresión es semejante a la segunda integral si sehace el cambio de variable t=cos28.

Entonces se concluye que:r(x)rCJL) = r(x+ JL)B(X, fL)

(9)

y la segunda integral, por definición, es:

B(X, JL)=J: tA-1(1-t)"'-ldtPero de acuerdo con (8), la primera integral es igual a r(x+JL)

Entonces

En esta integración se hace el siguiente cambio de variable:x=r cos e, r=r sen e (x, y) -+ (r, e)

JJ ( )dxdy= JJ ( )rdrde

r(x)r(JL) =4J~e-2lx2A-1dx J~e-tly''''-ldy=4J~J~e-C·'··'>x2A-ly2".-ldxdy

Entonces

(8)r (X) =J~e-ttA-1dt=2 J~e-"'x2A-1d%De la misma manera

iii) Haciendo, en (4), el cambio de variable l=x2, se recibe:

(7)r(n+1)=n!Por consiguiente:

Pero de acuerdo con (4) se ve que:

r(1)= J~e-'dt=[ -e-tJ~ =1

ji) Si X=n (número entero positivo), se recibe de (5) Quer(n+ 1)=nr(n) =n(n-l)r(n-l) =......=n !r(l)


(18)

Si X=n, la soluci6n (17) es en particular:

( x )-"r- (-1)'" ( x )''''¡_,,(x):. 2 1...J•• o,n t re -n+m+ 1) TP ro de (14) 8 "olb Que:

l..a otra soluci6n de la ecuaci6n de Bessel es, (para s= -A.) :

( x )-"~CO (I-)m ( % )'"y=y,=J-,,(%)= 2 Wm.:o m! r(-X+m+1) 2 (17)

(16) .

Entonces, utilizando (5) y (15), la soluci6n (2) puede escribirsecomo sigue:

.. ( x )"~CID (-1)111 ( % )Y=Y1=J,,(%)= 2 Wm~o m! r(X+m+l) 2 'tia

(15)

Con este estudio que se ha hecho de la funci6n Gamma sepuede dar a ao el valor

(14)(11=0, 1, 2, 3, )1rC-n) =0

o bien

Nota. En este libro no se halla el valor de la integral (11),' ypara determinar su valor puede estudiarse cualquier libro que tratela función Gamma, por ejemplo "Whittaker and Watson, ModernAnalysís. "v) De (12) se recibe que:

lirn T'CX)= lirn 7r' _ 11' lim 1 = ±::lO (13)A+-n A+-ft rC1-x.) sen 7r'A. n! A+-n sen 7r'X

En el caso particular en que X=1/2 se tiene:

r( ~)= '¡1(

(12)

Corno es sabido el valor de esta integral es lr/sen 7r'X, entonces:

iv) Si en (10) se hace u=1- A, se obtiene:

r'(:\)r(1-A)=r(1)B(:\,I--X)=J:tA-1(1-t)-Adt (11)

Ecuación (If' 8ft"ft' 11

=IA(x)In ~ + [Serie ,de potencias de x]

oJ->.(x) x (X )->.~oo (-l)m ( X )271loA. . -In 2' 2 wm=o m! r( -A.+m+ 1) 2

(X )-A~OO (-l)m a { 1 }( X )2m

+. 2 wm:o In ! OA r(-A+ m+ 1). 2

= -I->.(x) In ~ + [Serie de potencias de x]

Derivando (16) Y (17) con respecto a A, se obtiene:

oJ~!;) (~ )AIn ~ [::0 m! r~~~~+l) ( ~ )271lI ( X )A~'" (-l)m. a { 1 } (

-+ 2 Wm=o m ! ax r(A+m+l)

(21). ,= 1 [ OJA(X)

'It oA.

.solución, si se hace A.=n se llega a una indeterminación y ésta seevita derivando con respecto a, A. el numerador y el denominadorpor separado, como sigue:

Yn(X)=li~ YA(X)=li~[ o~ {JA(X) cos 'ltA-I_>.(x)} / { o~ sen 'itA} ]

es también una soluci6n de la ecuaci6n de Bessel. En esta nueva

(20)IA(X) COS 'ltA.-J-A(X)sen 'itA

lineales

Esta relación se había planteado en la sección anterior y diceclaramente que f.; y In son linealmente dependientes. Si A. no esun número entero JA(X) y J-A(X) son linealmente independientes yde acuerdo con la teoría general de las ecuaciones diferenciales

(19)J-n(X) = (-l)nJn(x)Por consiguiente

_ ( X )-n~... (_1)71+1' ( X )2n+2p- 2 Wp",o (n+ p) !r(p+ 1) 2

Entonces_( x )-n~... (-1)7Il ,( X )2m

J-n(X) - 2 Wm.=nn! r( -n+m+ 1) 2

n>mpara1r(-n+m+ 1) =0


La función cll'ndrlca de orden 1/2 puede reducirse a unafunci6n .elemental

2) Demostrar que las fórmulas de recurrencia, que aparecen en elejercicio anterior, también se cumplen para YA(x), Hil)(x) y Hi')(x).

,

i) J' A(x) = .,; JA (x) - J>.+1(x)

ii) J'A(X) = - X JA(X) +JA-l (x)X

1) Demostrar las fórmulas de recurrencia para' cualquier valor deX:

EJERCICIOS

Sin embargo, en la práctica, se utilizan muchas soluciones de laecuación de Bessel y sus simbolos más generales son K>.(x) , 1A(x).Una solución cualquiera de la ecuación de Bessel es.llamada "funeión':eilíndrica", porque la ecuación de Bessel aparece generalmente enalgunos problemas que se plantean en coordenadas cilíndricas.

(25)

(24)

También se pueden tomar como soluciones linealmente independienteslas expresiones H¡l) y Hi2), definidas así:

Hi1)(x) =/>.(x) +iY>.(x)

(23) .y=A/)..(x) +BY>.(x)

Como J>.(x) y Y>.(x) (para cualquier valor de X) son dos solucioneslinealmente independientes, la solución general de la ecuación deBessel es

Nótese que Yn(x) no tiene valor finito en x=o porque contieneln(x/2). Entonces' /n(X) es la única solución de la ecuación deBessel que tiene valor finito en x = o.

Teniendo en cuenta (19) la igualdad (21) toma la forma siguiente:

Yn(x) = !Jn(x)ln ~. + [Serie de potencias de x] (22)

Ecuación de Be••el 211

De (24) Y (25) se reciben las expresiones siguientea :

(29)

.En la misma forma se puede demostrar la segunda igualdad de (26).

De (20) se obtiene:

Entonces

senx=~OO (-1)'111 x2m+1Wm:o (2m+l)!

Pero como el desarrollo en serie de potencias de sen x es

(x )~~.... 2·(-1)m.[-t (x) = 2 wm=o (2m+ 1) ! ,,¡ 1t (X)21"

_ 1 (2 )~~OO (-1)m x2m+1 (28)- ,,¡ 1t X Wm=o (2m+ 1) !

•

Con este valor la serie (27) toma la forma siguiente:

m '.r( 1 ) _ {1.2.... ··'n} {1·3··.... (2m+ 1)} I2 + m+1 - 2m+l 'V 1t

_ (2m+1)! ...¡ 1(

22m+l

Entonces

r( ~ +rn+1)=(m+ ~ )(m- ~ ) ~ • ~ .r( ~)(2m+1)(2m-1) ··3·1 J 1(

2m+l

(27)

Para demostrar esta igualdad se da a A. el valor 1/2 en la serie(16) y se obtiene:

J}_(X)=( x ~+~...._---:-'(~l~)m-.,___( x2 )2m:1 2 J u.: ( 1 )m! r 2 +m+1

(26)J~(X)=J ;x sen xJ_! (X)=J ;x cos x


H~~)2(X)=~ ;x {sen x-i cos x}= -iJ ;x e(Z

Hi2?2(X)= / 2 {senx+icosx}=i / 2 e-t:cy "X Y "X

Con ayuda de las fórmulas de recur rencia, las funcionescilíndricas de orden n/2 también pueden expresarse como funcioneselementales.

Ecuación IIp IJ,."nl 225

De la miSIl1Qm nern; el líquido acumulado entre las paredes 1\1> '/

( J )

un tiempo át esAB p u(x) Jt-CD p u(x+Jx) ·L1t

{u(x+L1x) -u(x) }=pL1yL1t{U(X)-t4(X+JX}=-pL1yL1t L1x L1x

atraviesa la pared cn, en el intevalo

Fig. 39xdel líquido. En la misma..

forma se puede calcularla cantidad de líquido queát : CD p u(x+Jx) -át,

Entonces la cantidad de líquido acumulado entre AB y Cl) en

u (x+ tlx)-.....

AA. ~,:::::::,:::::-::¡Dy+.ó.y •••••••••••••• '.;.-

§ 1-Introducción

Las ecuaciones que contienen derivadas parciales se llamanecuaciones diferenciales parciales y aparecen frecuentemente enproblemas de ftsica, química, ingeniería. etc.

Se- estudia a continuación, como ejemplo, la ecuación decontinuidad aplicada en física. Se considera un flujo estacionarioen dos dimensiones cuya velocidad v= (u, v) es conocida en cualquierpunto y un elemento ABCn (ver Fig. 39). En primer término secalcula la cantidad deliquido que atraviesa lapared AB en un tiempoAl, teniendo en cuentaque la componentehorizontal de la velocidady es u(x, y). Estacantidad de líquido esigual AB p u(x) Jt endonde p es la densidad

Ecuaciones diferencialesparciales

CAPITULO VIII

En general, para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales_parciales, es necesaria una condición de in tegr abilidad : ce por esto

( 8 )

Como ya se ha estudiado en el capítulo 11 § 4 (Diferencialexacta) el sistema (6) no tiene solución si no se satisface la"condición de integrabilidad" :

OU ( 02cp 02qJ ,) ovay = oy OX = ox ay _-(ji'

llama" ecuaciones diferenciales parciales de primer orden."

de ecuacíones de (6) contienende primer orden, por esto se les,

La ecuación (5) o el sistemaúnicamente derivadas parciales

(7)

entonces la ecuación (5) toma la forma siguiente:02 a2~qJ~+ qJ-O0%' oy2-

(6)_()q:J =vay .u,

Si para la velocidad v = (u, v) se puede ha-llar una función qJ

tal que

Si dentro del elemento no se produce ni desaparece líquido entoncesla cantidad acumulada es igual a cero y se obtiene la ecuación (5):

ou + ov -O (5)ox oy-Esta es la llamada Ecuación de Continuidad.

(4)

se obtiene, de laTomando Ax y Ay como cantidades infinitésimasexpresión (3), la cantidad. siguiente:

{ OU OV}- P 0% + oy dx dy Al

(3)_ [U(X+AX) -u(x) + o(y+Ay) -v(y) JLlZ Ay Alp Ax Ay

El total de líquido acumulado en el recinto es la suma de (1) y (2),es decir

Be es igual aBe p át v(y) -AD p At v(y+Ay)

==P Ax át {V(Y-+A~~ -v(y) } Ay (2)

228 Ecuaciones parciales

(10)~t<!. a'cp =_ox' + ay' CT

Teniendo en cuenta la ecuaci6n (6) se obtiene la llamada lO ecuaciónde Pol.8on " :

(9)OU + oV --uoX ay

Si en el ejemplo anterior se considera que hay una fuente deliquido en el interior del elemento ABCD el total de líquidoacumulado e"§ igual a la cantidad de liquido surgido de la fuente. I

Si la cantidad surgida en un tiempo At es p CT Ax Ay At, la ecuaciónserá:

11. Ecuación de Peísson

La ecuaci6n de Laplace se puede generalizar fácihnente en elcaso de tres dim enslone s :

o'cp 02cp 02cpox' + ay' + oz~ -o

l. Ecuación de Laplace

La ecuaci6n (7) es llamada ecuación de Laplace en dosdimensiones y como ya se ha visto en el ejemplo anterior significala continuidad de una cantidad física, por ejemplo la velocidad delflujo, la fuerza eléctrica, el calor, etc.

Como la ecuaci6n (7) contiene segundas derivadas es unaecuaci6n diferencial parcial de segundo orden. La mayoría de lasecuaciones que aparecen en la práctica de ingeniería son ecuacionesdiferenciales parciales. de segundo orden y por esta razón, en estelibro, se tomarán como puntos de estudio algunos problemas prácticosde esto tipo.

que la teoría sobre sistemas de ecuaciones diferenciales parcialesde primer orden es muy complicada, mas sin embargo ha sidoestudiada en forma muy completa y las aplicaciones de estos sistemasson diversas, por ejemplo en la mecánica, (ecuaci6n de Hamilton,ecuación de Hamilton-Jacobi), en la teoría de la relatividad deEinstein, etc, y tienen relaci6n con la geometría diferencial.

Ecuaciones parcial., 229

Pero en este caso el valor de aT/ax debe calcularse en' x+Jx.Entonces' el calor acumulado entre AB y De es:

En 12 misma forma, el calor que atraviesa la pared DC vienedado por la expresión siguiente:

-k DC (aT) Ji (13)ax aI+ 4:11

en donde k es un factor de proporcionalidad, llamado en este casocoeficiente de conducción del calor. (El signo negativo proviene dela propiedad del calor de tender de una temperatura alta a unatemperatura baja).

(12)

Fig. 40x+axx

:c•

rr _ _.,.vx

.-_....-._.r-------.,y+.:lyatraviesa una pared esproporcional al gradientede la temperatura normala la pared y tambiénproporcional a la área de lapared. Si Ts x, y, i) es latemperatura en el punto(x, y) y tiempo t, entoncesla cantidad de calor queatraviesa la pared A.B en un tiempo át es

-kAB oT Jtox

DA

y • - • - - - • - • -S:•••••••

Como en el ejemplo anterior se considera el flujo del calor endos dimensiones y se calcula el total de calor acumulado dentro delelemento ABCn. (Fig. 40). Según la ley de conducción del calorla cantidad de calor que

111. Ecuación de conducción del calor

en donde a es la intensidad de la fuente, o la magnitud de la cargaeléctrica, etc.

(11)

o bien, en tres dimensiones:02<p 02cp 02cpOX2+ oy:!- + OZ2-=-q


Esta es la ••ecuacl6tt de conducci6n del calor." El tactor,,1 • C¡·01coe8elen·te di trl".ml.16n del calor."

(19)

Tomando a .Jx, Ay y át como infinitésimos, la ecuación (18) puedeescribirse así:

- (aT) (aT) (aT) (aT) -¿jT.! ax :11+4:11- ax x + ay II+4J - ay , (18)át - e i1x Ay

I

. recibe entonces que:

, ., en donde el factor c.Jx.1y es la capacidad calorífica del elemento y

e es la capacidad calorífica por unidad de superficie. De (17) se

.Con este calor acumulado la temperatura del elemento ABeD. aumenta un .JT y como el aumento de la temperatura es proporcionala la cantidad de calor acumulado se obtiene la expresión siguiente:

(e Ax Ay).JT-(aT) (aT) (aT) (aT) -=k Ax ¿jy át ax a:+4z ax;& + ay '+4J ay 11 (17).Jx .Jy

El total del calor acumulado en el elemento es la suma de las cantidades(14) y (15), es decir:

{_(8T) _(aT) (aT) _(aT)}

k A .J ¿JI ax :1+4:1 ,ax x + ay ,+411 ay 11 (16)x Y.Jx .Jy -

(15)

Por otra parte el calor acumulado entre las paredes Be y AD estádado por la expresión siguiente:

k ,1% Jt[ (~;)'>Jj~(~;). ¡AY

(14)=k Ay At[ (~~).+J.-( ~~). ,1%. Ax

Ecuaciones parclnle. 181

Si JX-tf), de la ecuación (25) se obtiene la ecuación de la onda:

(25)

Si p es la masa por unidad de longitud (densidad lineal), entonces.dm=p áx, La ecuación (24) se transforma en la siguiente:

(24)T(oY) T( oY)0% 11+ 4#1 oX Z

De acuerdo con la ley del movimiento de Newton se recibe:o'J.y

Am ot2

(23)T(oY)oX 11+4#1

En la misma forma la componente vertical de la tensión (en Q) es

tanto la componente de la tensión (en P), en la dirección Y es- Tsen 8, pero como la oscilación es muy pequeña, 8 es pequeño ysen B .. tan 8, entonces:

• - T sen B '. - T tan" =- T ( ~~ )z (22)

x x+ilx

Fig. 41 .

consideran únicamentelas oscilaciones en ladirección del eje Y, por

Q TpT

Sea i1m la masa de un elemento PQ, T la tensión en los extremosP y Q del elementoconsiderado y B el ángulode inclinación de latensión T. (Fig. 41).Para mayor facilidad se

IV. Ecuación de la onda

Se toma en consideración una cuerda que oscila alrededor deeje X y cuyas oscilaciones son pequeñas y además se tiene en cuentaque la forma de la cuerda depende de x y de t, es decir:

s=I'», 1) (21)

En tres dimensiones la ecuación (19) puede generalizarse asi :st _ 2{ 02T 02T OZT}01 -" ox2 + oy2 + 0%2 (20)

232 Ecuaciones parciale,

El primer miembro de In ecuación (5) contiene unlcnrnent :t y ,~Igundo solam 'nt 'x, y, 'lor tunto cada uno d Il()~no un tiene

( 5 )X" V"~ Z"X =- y - Z

entonces(4)

o bien, dividiendo por X· Y·Z:X" y" Z"X + Y + Z =0

Con estos valores la ecuación (1) se transforma en la siguiente:X"·Y·Z+X·Y"·Z+XY·Z"=O (3)

o'u-:::-,::-=X·Y·Z"(z)oz'

En la misma forma, '

_o_'u::-_X. Y"(y).Zay2 ,

Derivando (~ con respecto a x se obtiene:

o'u =X"(x)Y.Zox2

Se supone que u(x, y, z) sea un producto de tres funciones X(x),Y(y), Z(z), es decir

u(x, y, z) ~X(x). Y(y) ·Z(z) (2)

§2-Método de Variables Separables

Para resolver las ecuaciónes de segundo grado planteadas enla sección anterior existe el método de variables separable que seexplicará a continuación. Ahora, para mayor facilidad, se trata laecuación de Laplace:

(28)

(27)

•como SIgue:En dos o tres dimensiones la ecuación (26) se puede generalizar

(26)

Ecuaciones fHlrt·laltt. 233

(11) .v=r sen qJ

z=z

l. Coordenadas cilíndricas (r, «p, z)Estas coordenadas se relacionan con el sistema cartesiano por

medio de las expresiones siguientes:x=r cos qJ

En algunos casos especiales es conveniente tratar los problemasen coordenadas cilfndricas O esféricas.

es necesaria alguna condición y sobre esto se tratará en la secciónsiguiente.

La expresi6n (10) representa muchas soluciones de acuerdo con losvalores de Jos coefícientes Ah A2, etc. y los valores de las constantesa, b, c. Además, como la ecuaci6n (1) es 'lineal con respecto a u,la suma de dos soluciones es también una soluci6n. Para determinarlos valores de las constantes y dar una forma exacta de soluci6n,

••

En donde Al> A2, Bh B2, el> C, son constantes arbitrarias. Deacuerdo con (2) se obtiene la solución general de la ecuación deLaplace:u (x, y, z) = (Al eCU+A2 e-CU) • (B 1ebll+B, e-bll) (el eC' +C, e-e,) (10)

(9)

La soluci6n, de las ecuaciones (6) y (7), es:X(x) =AI eax+A2 e-CUY(y) =BI ebz+ B2 e-bzZ(z) =el ee,+C, e=

( 8)

Pero las constantes no son independientes sino que van ligadas porla ecuaci6n (4) :

(7)Z"--=Z=-- -- c2y"--.--b2Y _. ,

De la misma manera se deduce que Y"/Y, Z"/Z Son tambiénconstantes

(6)X" y" Z" .)-X-= --y--- z":" (constante)

simultánearnente x, y, z, es decir son iguales a una constante (a2) :


En In misma íor mn tj obti nc

(17)2 sen <p cos <p <7Ur or OqJ

aU =~~ aY + au_ O<p =cos aU _ sen p aUaX aY ax o<p aX lp ay Y O<p

a2u_ =_~ {cos <p aU _ sen rp ~~} é?Y +-~-{cos qr-.au _ sen rp .al/.}~({IoX' ar ar r oo» ax exp ar r '(XI) ox

=cos' ({J a't:'_ + sen2 <p a~ze + sen:?cp au + 2~en qJ cos ({J Vilar2 r2 OlP2 Y 'Ur r? (;(fJ

Si u es una función de x, y, z, de (11) se puede concluir que u esuna función de Y, (P, z y por otra parte, utilizando (13), (14), (15)Y (16), se puede obtener la expresión de las derivadas de u conrespecto a las nuevas variables, como sigue:

(16)

En la misma forma se recibe:O<p _ coS<pay Y

(15)Y

sen q.J----yOrp- - -aX

o bienFig. 42

Derivando la segunda ecuación de (12)con respecto a x, se obtiene:

O(/) ysec' n,- -= ---oY' oX xJ

y(14)

De la misma manera,ayay-=sen qJ

z

aY x-=-=cos<paX Y

o bienz

P(x, y, z)(13)

aY2Y--=2xaX '

Derivando la primera ecuación de (12) con respecto a x Se

recibe:

(12)tan <p=y/xDe (11) se obtiene

Ecuaciones /H,r('lal~, 285

(24)

y se puede hallar su soLución suponiendo inicialmente que sea elproducto de tres funciones:

u(p, O, lp) = P(p) .6(0) .<l>«(/))

(23)

a2U ()2u 02"ax2+ ay' + OZ2 Fig. 43

1 o ( 2 OU) 1 a ( O au) 1 0'14= p2 ap p ap + p1 sen 8 ao sen ZiiJ + p2 sen' lJ (kp1

y

La ecuación de Laplace en estesistema coordenado es:

(22)

(p, O, (/J).

La relación entre (x, y,z) y t».' O, cp) aparece acontinuación:

x=p sen Ocos <P

y=p sen 6 sen qJ

z=p.cosO

D. Coordenadas esféricas,~

y se sigue el mismo procedimiento desarrollado en coordenadascartesianas. (ver §4).

Para resolver esta ecuación se supone que la solución tiene laforma de producto de funciones:

utr, ip, z) =R(,.) <I>(cp) Z(z) (21)

Entonces, en coordenadas ciUndricas, la ecuación de Laplace tomala forma siguien te.

(1214 ()2u (]2u a2u 1 (12u 1 ou OZuax2 + ay! + OZ2-= o,.-¡-+rr- (Xp2 +r or + az2 =0 (20)

(19)

La siguiente expresión es la suma de (17) y (18):02U o'u o'u 1 a2u 1 e«aX2-+ oy2 = 01'2 +-,.2 acp" +-r 'ai"

a'u 02U cos' qJ a!u + cos' rp 3Moy2 =sen' qJ 01'2 + 1'2 ()<p'! r 01'

_ 2 sen cp co~tp .OU + 2 sen rp cos rp a~u (18)1'2 0qJ r a,. Otp

236 Ecuaciones parC:ÚJle&

(7)X" (s) = -4;-X(X)aLas solucione" d (ft) y (1) son respectivamente

(6)TI/(/) = -kt T(t)entonces

(5)T" X"-=---a' - -k2T - X-

Pero como el primer miembro de esta ecuación es una funci6n det y no contiene x y como el segundo miembro es una funci6n de xy solamente de x, ambos miembros deben ser iguales a una constante(- .2), es decir

(4)I XI/(x)a X(.t)

TI/(/)T(t)

o bien

Derivando y reemplazando en (1) se recibe:X(x) T"(/) =a' XI/(x) T(t)

(3)

anteriormente se puede pensar Que la solución de la ecuación (1)tiene la forma siguiente:

y(x, t) =X(x)· T(/)

de variables separables explicadoAplicando el método

Esta es la .. condición frontera " y el problema Que consiste enhallar la solución Que satistace esta condición es llamado en general.. problema frontera de una ec:uaci6ndiferencial."

(2)

En donde y es la elongación y a es una constante dada.Como ambos extremos estan fijos se cumple Que

x=o }.para .)'=0%=1

( 1)a'y -a2 0'1'0/2 - 'Ox2

§3-Vibración de una Cuerda de Longitud L

Se considera una cuerda cuyos extremos están fijos. La ecuaciónQue rige las vibraciones es (§ 1. (26))

En § 5 se estudiará más detenidamente.

JIibrnctén de una ru~rdn 281

Con10 para cada valor de n resulta una solución, la suma de ésta.es también solución. por tanto

Para cada valor de n, en las ecuaciones (8) y (9), A, B y o tomanvalores diferentes los cuales serán denominados por An. B«, o"(n=l, 2, 3,······). Reemplazando (8), (13) Y (16) en (3) se obtiene:

Yn(-t, t)=Cnsen(nI1l'x)sen(n;at+on). (C~=AII·BJI) (17)

(16)(n=l, 2, 3,······)na 11'

Ik=k,.

o bien

(15)kl-=n1l' (n=l, 2, 3,······)4

Por consiguiente

(14)

Entonces. de acuerdo con (11) se recibe que

X(I)=Bsen (: 1)=0

Con el valor é=O, la ecuación (9) puede escribirse ast :

X(x) = B sen ( -}x) (13)

Nota. Si B=O entonces y(x, t) =0, la cual es una solución trivialdel problema.

Si é=1I'. de (9) se obtiene:

X(x)=Bsen (!x+7r)=-Bsen (!x)

Si en (9) se hace x=O, se obtiene el valor de s, como sigue:B sen é=O, o bien é=O (12)

(11)y además aplicando la ecuación (3), se recibe:

X(O) = X(/) =0

en donde A, B, o y é son constantes de integración (ver IV §2, iv).Teniendo en cuenta la condición (2), es decir la condición frontera,

y(O, ti=sü. t)=O (10)

(9)X(x) =B sen (: X+é)

(8)Tet) =A sen (kt +8)

238 Vil,rarión de una cuerda

(20)2 JI mn xe". tos Om= g(x) sen - ,- dxmn a o I

o bien

De la misma manera de (22) se obtiene la siguiente relación:

( m7Ca) 2 J' mn x de: ¡ cosom=T og(%)sen 1 x (25)

(24)

la expresi6n (23) toma la forma siguiente:

2 J' m7t%e",seno"'=7 of(%)sen 1 dx

Pero de acuerdo con la ortogonalidad de la función senó,

J' nnx "17r%o sen 1 sen -¡-d%=O (n~m)

~ (n=m),

(23)

Si se multiplican ambos miembros de (21) por sen (m7t%/I) y seintegra se obtiene:

J' mn:»o f(x) sen 1 dx

"... J' n7t mn=4::1 en sen on o sen x sen 1 x dx

(22)~oo (n7ta) n7tg(%) = 1..J.,..1 e.,. 1 cos O,. sen 1 x

(21)

en donde /(%) y g(%) representan la forma inicial y la velocidadinicial de la cuerda respectivamente.

De (18) se obtienen las dos ecuaciones siguientes:

1:00 n7t/(%) = e" sen o" sen --,xna1 ,

(20)( oy(%, t)_) =st»:al '=0

(19)y(x, O) -/(%)t=O,

Para hallar los valores de en y 011 es necesario dar otra condición,la cual por 10 general es la condición inicial. La condición deeste problema es:

(18),,~ (n7r \ ( nna )y(%, t)= U.."lellSen ¡xJsen 1 t'1-~1I

J'il,ración de III1t1 .'",·r,I" :1 9

Teniendo en cuenta (3) y (4) la ecuación (2) toma la forma Il¡uiente:

(4)aT =0(Xp

Además la temperatura en un punto depende únicamente de sudistancia r al centro del cilindro. Entonces

(3)oT =0OZ

Como la temperatura T no depende de z, asi la longitud del cilindrosea infinita, entonces

(2)oT _ 2( 02T 1 oT 1 O'T O'T)at -1(, or~+-¡ or +~ (kp2 + OZ2

en donde ,,2 es el coeficiente de transmisión del calor. Pero como•

el problérna se refiere a un cilindro la ecuación (1) debe ttansformarsea coordenadas cilíndricas (r,"II qJ, z). De la ecuación (20) §2 serecibe:

(1)

La ecuación (20) § 1 es la ecuación de la conducción de calor:

§ 4 Conducción del calor en un cilindroSe considera un cilindro de radio o y longitud infinita el cual

inicialmente está a una temperatura Ts. Si de alguna manera semantiene la temperatura de la superficie a cero grados, hallar latemperatura T en cualquier punto y en cualquier tiempo.

Nota. La expresión (21) y (22) representan el desarrollo de¡(x) y g(x) en series de Fourier.

y(x, t) =L:..1sen (";X)[ sen (n;ot) -rc, COS~,.)+cos (n;ot) .(C,.sen ~1I)]

= :0 1::.1!sen (nl71x)(sen n~ot ).{ J:g(x) sen "~x dx}

+ ~ 1::21sen \ nln:x) cos ( n~at ) { J:¡(x) sen n¡x dx} (27)

Reemplazando (24) y (26) en la ecuación (18) se obtiene la solucióndel problema dado.

240 Conducción del calor

~16)

para cualquier valor de t. Por tantoR(o) =lo(a>..) =0

(15)R(a) S(/) =0

Pero como Yo(Ar) no tiene valor finito en r=O (ver VI § 6) entoncesla única soluci6n aceptable en r=O es loCAr).

Ahora se tienen en cuenta las condiciones del problema:r=a entonces T(a, t) =0 (14)

De (6) se recibe que

Como la ecuaci6n (12) puede reducirse a una ecuación de Bessel(ver cap. VI §5), sus soluciones son

loCAr) y Yo(Ar) (13)

(12)

La ecuaci6n (10) puede escribirse así:

R"(r) +l..R'(r) +A' R(r) =0r

(11)Entonces

R" (r) 1 R' (r)R(r) +-y R(r) = -AS (10)

De (8) se reciben las siguientes ecuaciones:S'(/)/S(t) = _K2A2 (9)

Como ya se ha dicho, los miembros de (7) deben ser iguales a unaconstante y por conveniencia sea -K2A2 esta constante, entonces

S'(/) =K2{ R"(r) +1.. R'(r)} = -K'lA' (8)S(/) R(r) r R(r)

(7)S'(t) -K2{ R"(r) +1.. R (r)}S(/) - R(r) r R(r)

o bien

Derivando (6) y, reemplazando en (5) se obtiene:

R (r) S'(/)=K2 {R" (r) + ~R' (r) } su,

Empleando el. método de variables separables, se hacero, t) =R(r) .su, (6)

Conducción ,161 r"I(),. 241

entonces la ecuación del líquido es, según (7) S 1, la siguiente:a2V a2V a2Va:cv. + Oy2.+ OZ2 =0 (2)

( 1)aV~-=wazaV .ay =v,

que existe una función V (potencialEn hidrodinámica se estudiade velocidad) tal que:

aVax =u,

~5-Velocidad de un Líquido en la Cercanía de una Esfera.

En un liquido en movimiento con velocidad constante U, seintroduce una esfera de radio a. Sean u, v, w las componentes dela velocidad del líquido después de haber introdacido la esfera.

De (19) y (22) se obtiene la solución del problema dado.

(22)(n=l, 2,,· .... ·)2ToesPero de acuerdo con el ejemplo 3 § 5 VI el valor de A71 (n=1, 2, ...... )

(21)

Reemplazando (20) en (19) se recibe:

r,= [:=1 A1I lo(An r)

(20)

es la solución general. Para determinar los valores de las constantesAn es necesario recurrir a la condición inicial:

t=O, T(r, O) =To (constante)

ti-. t) = [~=1An Jo(An r) exp, {_I(,2 An2t} (19)tantoLa suma de estas soluciones lo es también de la ecuación y por

De (11) Y (13) se obtiene, para cada valur de n, la soluciónTn(r, t)=Anlo(A.nr)exp. {_,,2A.n2t} (n=I,2, ...... ) (18)

Jo (aA.n) % =0 (n 1, 2, 3, ...... ).Es decir

(17)Jo (x) =0

aA.1tlas raíces de la ecuación

Sean

242 JIelocidad de un líquido

Como el primer miembro de (6) es una función de p y el segundnes una función de e, ambos miembros de (6) deben ser igu Il'" &l

una constante, la cual, por conveniencia, es n (n·'¡- 1). I)(l (61 '41obtienen las dos ecuaciones siguientes:

k t(p2~:)=n(n+l) \'1)

(6 )1 d ( 2 dR ) 1 d ( d(8))JI dp p dp = - (ti) sen () dO sen e dO

o bien

Derivando (5) Y reemplazando en (4), se recibe:1 d ( 2 dR) 1 d ( d®)p~ ap ,P dp .(8)+ p'J.sen 7)- dO- sen O dO R=O

(5 )

Aplicando el método de variables separables, se supone que V(p, 8)

tiene la forma siguiente:ll(p, O) =R(p) ·(8)(0)

Fig. 44

z

Teniendo en cuenta

1 o ( oV)+ p1 sen e ae sen 8 00 =O ( 4 )

Si se considera que la dirección de lavelocidad antes de introducir la esfera esparalela al eja Z (y por tanto la velocidaddel líquido no depende de~, es decir queel potencial es una función de p y O) sededuce que 02V/o.p2=O y por consiguientese recibe la ecuación (4) de la eco (3):

1 o ( 2 oV)p2 op P Op

coordenadas esféricas para hacerlo mas fácil.(23) ~ 2 la ecuación (2) toma la formasiguiente:

~2 ;p (p2 ~~ ) + p2 s~n 8 o~(sen O ~~ )

Como el problema se refiere a una esfera se debe pasar t\

Velocidad de un líqui(lo 243

Nota. En la ecuación (6), n puede tomar cualquier valor:número racional, real o complejo. Pero para que se cumpla lacondición física es necesario que n tome únicamente un valorentero. Este análisis se hace frecuentemente en el problemafrontera de una ecuación diferencial. El problema de fijar los valoresde las constantes y determinar las soluciones correspondientes es

(15)

o bien, en la variable inicial O:PlI (cos O) (n=O, 1, 2, 3, .. ·.. ·)

.11 debe ser entero para que se cumpla la condi ión física, y por.,.tanto la solución de la ecuación (12) es

Pn(t) (n=O, 1, 2, 3, .. ·.. ·) (14)

Pero como V(p, e) tiene valor finito en cualquier punto (P, e), fuerade la esfera, entonces ®(O) tiene valor finito para cualquier e talq ue ü:s;.eS;_7t, es decir ® es finito para -1~t~l. Ya se ha dichoque si n no es un numero entero no existe solución de la ecuaciónde Legendre que tenga valor finito en t= +1 y si n .es entero laúnica solución finita en estos dos puntos es Pn(t). e concluye que

(13)

cuyas soluciones son:

(12)

Se obtiene entonces la ecuación diferencial de Legendred<8>2t dt +n(n+ 1)(8)=0

En la ecuación (8) se hace el siguiente cambio de variable:cos O=t, sen e·dO= -dt (11)

(10)p-n-lp",

Esta ecuación diferencial de segundo orden se puede reducir a unaecuación con coeficientes constantes, (ver IV §4) Y sus solucionesson:

(9 )

La ecuación (7) también puede escribirse así:

P 2d2R +2pdR n(n+l)R=Odp2 dp

(8 )1 d ( d<8»- (!j) Sen (J de sen e dO =n(n+ 1)

244 Velocidad de un liquido

Se considera en segundo término la condición en la superficie dela esfera, en donde la velocidad radial es igual a cero, porque Ml

no es cero el líquido atraviesa la paredes de la esfera. T nieneloen cuenta QU \ las componentes de la velocidad en las dlr ('Iotl"x, y, z 80n r 'MI' rcelvum nt

,

Pero como PI (cos 8) =cos 8 (ver § 1 cap. VI) entoncesBo=B2=B;¡=······=0, B1=U (22)

(21)

A partir de (19) y (20) se puede plantear la siguiente ecuación:

De (17) se obtiene

V(p, 8) --. L~=oB; pn P; (cos 8) (p - oc) (20)

(19)v - U z = U p cos O (p ~ 00)o bien

aV -UazaV -Oay ,

De (1) Y (18) se recibe:

aV -Oax .

(18)«-r=

Para determinar tos valores de An y B; (n=O, 1, 2, 3,.·····) seconsidera en prrmer término que para. un punto alejado dé la esferael flujo es uniforme y de velocidad U paralela al eje Z. Como ladistancia de un punto cualquiera al origen es p, entonces para unpunto alejado del origen P-=. es decir:

(u, u, w) - (O, O, U) cuando

._(17)

en donde An y B; son constantes arbitrarias. Por tanto la soluci6ngeneral es la suma de estas soluciones para los diferentes valoresde n:

De (5), (10) y (15) se reciben las soluciones de la ecuación:(Anp-n-I+Bnpn) P; (cosO) (n=O, 1,2,3,······) (16)

llamado" problema del valor propio" y en las secciones anterioresse estudió este problema de acuerdo con las "condiciones frontera"correspondientes. (ver (16) § 3, (18) §4).

•Velocidad de un líqt,¡,l() 245

a3UAl = 2' An=O (n=\=l) (26)

Sustituyendo los valores de An, B; (n =O,1, 2,······) en (17) se obtienela solución correspondiente al problema:

V(p, ())=U{p+ :;2}P1 (cos())=U{p+ :;2} cos() (27)

O también, en las variables iniciales x, y, z:

V(x, y, Z)=U.Z{1+~3 (X2+y2+Z2)-S12} (28)

De (28) se pueden obtener las componentes de la velocidad (u, v. w),

si se ap.lica la ecuación (1).~

Entonces

Comparando los coeficientes de P; (n=O, 1, 2,······) se obtiene:AnCn+1) a-n-2=O (n=\=l), A1(2) a-3=U

aV aV avx = ax ' v= ay , W = az

se puede expresar la componente radial por aV/ap. De acuerdocon la condición de superficie esta componente es igual a cero:

aV/ap=o para p=a (23)

De (17) y (22) se plantea la siguiente ecuación

~~ E:=oAn(-n-1) p-11-2 r, (cos())+UP1 (cos é) (24)

En ton ces de (23) se recibe:

~oo An(n+1) a-n-2 P« (cos())-UPl (cos())=O (25)W"'.l

246 JIelocidad de un liquido

II §3y-l 1 y-x-3=C (x+y-l)3( 1 ) are tan 2 In {,%I+ (y_l)2} +C (2 )x

(3 ) y-2x-3= C(x+l)3 (4) 10x-5y+2=C e~z+IOll

( 5) 2x-y=2In (y-x-1) +C (6) (2x+y-4)2=C (x+y-l)( 7) (x-y) (2x+y-3)'=C (8 ) (y +3x-5) 2= C (y+2x-3)(9) 4x+8y+5=C e4Z-8J1 (10) (Y_X_2)4=C (5y+x+~(13) y2_x2y+,%4=C (14) x2+2xy3_3y6=C(15) x2-3xyl¡:.I+2y=C (16) x2-xy4-6y8=C

2x+y..ri -y'=C2'% 1

(17) (18) x2----=Cy' ytII §4

( 1 ) x2+xy_y2=C (2) X3+y4-x2y+3y= C(3) x sen y-j-y eos X=C (4) x3 + x2y2+ y3= C( 5 ) 2x cos 2j_2x8y2+sen 2y=C (6) x2y-x tany=C

\

y /11 x-x lny=C \( 7 ) ( 8 ) (X4+y4) /4 +xy3+er sen y=C•

(y-2x)'=C X (Y-X)3

y3=C x exp, (-2x3/3y3)In (X2+y2)+4 are tan (y/x) =Cx=C exp. (-seny/x)

In x+ ~ {are sen ~} I=C

2.%+x2+y+l =C ez

are sen x+are seny=C

II §2x

=C( 1) In (y-x) + ( 2)x-y(3 ) (x+y)'=C (2X+y)2 (4)

(5) X4=C2 (x'+y') (6)

(7) x2.'- 4 y21n (y/O) (8)

(9) x=Csen (y/x) (10)

,%2+1=C (y+1)4ey2-2y (9)

In Iny+'% In x-x=Cx-y-In {sen (x+y) -j-cos (x+y)} = C(2x+>,+3) In (2x+y+3) =x+C (13)

{1t x+Y} .x+tan 4- 2 =C (15)

b2,%2-a1yl=C (2) 2x2+y=C x2y (3) cos x+seny=Cx=C y2 (5) eY=sen x+C,%21::12+12y+72,ln(6-y) =C (7) Y(X+2)2=C eZ. '

Respuestas1I § 1

( 1)(4 )

( 6)

( 8)

(10)

(11)

(12)

(14)

( 3) y2=C r=( 6) Xl l.v' In «' I e

(2) x-y=C(5) x2+y2-Cx=-.a~

(1) X2+y2=C(4) y=C X2 .

II § 8

( 1) y=C x-C', 4y=x2

(3) y=C x-ec, s=s (In%-1)

(2) y=Cx+Jl+C2, y=J1-x2

(4) y=Cx+J~_I' y=x+"2::¡ox1/:1

(5) y=Cx+JI-C2-CarccosC, y=senx(7) (y-l)2=C(x-l) (8) y=1+{C-J1-x}2, y=l(9) y2=2(1+2C) (x+C) (10) y=(x+a)ln(x+a)+C(x+a)+b-x

(11) m(y. b ) = ( 1. m) (mx + a) In (mx + a)

C+4 e~xy= C_elix

1 C sen x+cos xy--+. - 2x C cos x - sen x(18)

(16)

1I §7

(15) y' sen x=x+C

(17) 1:. x(2C + x2)Y 2C-x2

1 1(14) -=C eY+- (sen y-j-cos y)x 2

(12) Cxy+y (/nx+l)=1

y=C x2+x2ln x-xC 1x=--- In (cos y)cosy cosy

y=C e2x_ery=C sen x+sen2 x

jJ.=x, 2x3y3+3x2= CI-'=X-2y-2; x-1y-l+lny=CjJ.=e-fl3, e-y3 {x3 +3} = C

jJ.=eY/x, etl {y2_2Y+2+ ~} =C

u= eX+Y, eX+JI [cos x +sen y} = C

(6)

( 8 )

_ ( 4 )y=Cx2+x4/2C

y Jx+J1+X

C b{a sen x+cos x}y= e4X_a2+1

y=ax+cx/ Jl-x2X=C Jl-y2+ {Jl-y2 are sen y-y}

x3 2x Cy-3=5+3+ X2

(2)

(11)

(5)

(7 )

(9)

(10)

1I §6

( 1) y=C/x+x4/5(3)

11 §5

( 1 ) I-'=ez, e» (x-y)=C (2)

(3) l-'=y-2, y2-x+l=Cy (4)(5 ) tt=y, (X~yS+y3)/3+3y2/2= C (6 )

(7) l-'=e2x, e2x {X2y2+3}=C (8 )

(9) 1-'=ex-y, eX-Y(x2+y) =C (10)

(10) x ln l n (x-y)=C(9) x arc tan y-í-y arc tan xe C

248 Respuestas

+ (x-l) -1 {-_!_-_!_ (x-l) +_!_ (x-l) 2_ __!_ (x-l) 3+ ...... 12 2 2 2

( 4) y -= CI) x {l t ~ ~~ t ~ x. ""...... } + .1'2 { 1+~+ ~2 +~3 +......}

b) y= Co(x-l) -l{t + (x-l)}

(2 )

(3 )

b) =Co(x-l) -1{1 + (x-l)}

II §10

X' x4 ~5(5) a) y=l+x-3-4-5-· ....·

b) y= - (X-l)2+.!(X-l)4+~ (x-l) "+ ......4 20

(6) y=Co(I-X)+{X-X2+ ~3_ ~. + ......}

(7) y={x+ x2 + x' +2...x4+ }+Co {1+X+_!_X2+_!_x3+.!x.+ }2 6 24 2 2 8

( 8 ) Y= {X +!X2 + !.x4+ 110%~+ } +e, {1- ~2 + ~3 - ~. + ;~ +......}

(9) Y = {x+ ~2 _ ~8 _ ~ + } +e,{1- ~' + ~'+ }

{X2 x' 11 } { x' .1'3 x' x~ }(10) y= X+2+4+ 60x!l+ ...... +Co 1-2+6+24- 30 + ......

(1) y= {x- !x'+ ;8 XT_ •••••. } +Co {l- ~ xJ+ 118X6_ ..•••. }

(2) a) y= {!x8+ :2 ~+112x;+ ...... } +Co {1+x+x2+ ~ x3+ 152x'+ ...... }

b) Y={(~+I)-(X+l)2+~ (X+l):I-! (X+l).+ ...... }

+Co {1+ !(x+l)2+ !ex+1)4+ }

(3) y={!X3+ 152X'+ ~x ...+ ...... }+Co{1+2X+3X2+4X3+5X4+ }

JI §9

•

(3) "=0.5, 10==1. k1=-0.5. k'=-0.5, k"=-0.5, k'''=-O.!lk,= ......0. 5. y(O. 5) = -o. 5

k'" =0.133k" =0.125,k'=O.10=0, k1=0.031.Y (0.5) =0. 043

a=0.5. b=0.043. 10=0.252, k¡=0.287'k"=0.514~ k"'-,O.655. k2=0.391. y(1)=0.365

( 2) h=O. S,

k2=0.067,

h =0.5.'k' =0.126.

k"'=0.125k" =O.25,k'=O,

III §2

(1) h=O. S, 10=0, k1=0.125,k,= 0.063, y (0.5) = O. 104

y (0.4) =0.06

y(O. 8) =0.23

y (1. O) =0. 71

y(O. 2) ==0.01. y(O. 3) -:-0.03,y(0.6)=0.13. y(0.7)=0.18.y(1.0) =0.35

)' (O. 9) =O.66.

(3) y(O.l) =0. OO.y(O. 5) =0. 09.

Y (O.9) =0:29.

(1) y(l. 2) =1. 20. y(1. 4) =1. 40. y(l. 6) =1.60. y (1. 8) =1. 80

y(2. O) =2.00

(2) y(0.1)=0.10. y(0.2) =0. 19. y(0.3)=0.27, )'(0.4)=0.35y(O. 5) ==0.42. y(O. 6) =0.49, y(O. 7) =0 ..55, y(0.8) =0.61

3 3y+ 1= (x-1) --(X-1)3_-(x-1)4_ ......2 4

~ 115y--= (x-l) +-(x-1)2+-(x-1)1I+-(x-l)4+ ......2 2 2 24

(4)x~ 17

)'=x- 10 + 1080 x9_ ......

117y=x-_X3 __ X4_ x~+ ......6 4 120

1 1y+ 1= (.~-1)+ (x-l) 2_3 (X-1)3+3 (x-l) 4+ ......1 1 1y-1 ='2 (X-1)2+-8 (X-1)4+20(x-1)1I+ ......

1 1 1 3y + 1== -2" (.1'-1)'-2" (.1'-1)3-2" (x-l)4_ 20 (x-1)&- ......

x3 4y=x+-+-x!l+· ..·..3 15

( 2 )

III § 1

(10)

( 9 )

(8)

(7)

( 6 )

( 5 )

(3)

II § 11

250 Respuestas

Fig. 47

Fig. 46

Fig. 45

IV 11

JJI § 3

( 1) Fig. 45( 2) Fig. 46(3) Fig. 47

11:::-0.5+E. 111=1. k.=-O.5+t. k'=-0.5+E. k"=-O.5+Bk"!= -O. 5+e. k-t=-O. 5+E. y(O-f E) =f. limy(e) =0

,..O

(40)

(39)

(37)

(36)

(35)

(34)

(22) y=elz(C1S+C.) +%•

(24) Y=Cl+C.e -,. +.%(%+2)

(21) y= (sl+l) +C1 ~+C2 e-az

(23) y=%'+e-.s{C1 coa .I+C2 sen x}

(20)

(18)

(14)

(16)

31o=- SS elz/1

" 110=" elz-- e-2;»8

8 3.)'0=-.1 e8.r+-.r e-3z

11 11

(19)

(17)

(15)

(10)

(13)

:.{ti. '1eJ e •(62) y. el tltln~" I ,11COI2x I 10 (sen xl 2 COS x) I JO (la"

(59)

(58) y=e-'Jr{C1 cos x+C2 sen x} + ~ x e-2x sen x

e2.r e-2ry=C1C-4Z+C2,-sz+ 3737 {16sen%+59cosx}- 185 {8senx+ll COS%}

y=e~J'{Cl cos x+C~ sen %}+~ (cos x-sen x) + 410e-2,1; (sen %-2 COI.t)(60)

. eZ(57) y=C1 ez+C, e<1/4>Z+146{-11 sen 2%+5 cos 2%}

1 1(54) y=C1+e-Z(C, x+Ca)-2 sen%- 25 (3 sen 2x+4cos2%)

(55) y=C¡ eJ:+Cs e= + C3 cos At/'i x + C. sen "';2-%- 6) 2 x sen At/2%

(56) y =e-~Z(CJ x+ C%)_e-2z sen %

1(53) y=C1 ez+C't e:« +C. cos x+ C. sen x+-% (cos %+2 sen x)4

1 1(52) y=C1et.r+c2,-rz+ 50 (senx-3cosx) + 212 (5senl%-9cos2x)

1(49) y=e2z {CI cos x+C2 sen x} +4 cos x

1(47) y=e-z (Cl %+C,) - 2- {3 sen 2x+4 cos 2%}o

%(46) ,=C1 cos x+ C, sen %+z (cos x+sen x)

(43) 1 ( 1 \ xy=C1 +C. el+C. e-z+6"e!!Z-x "3%1+2)+2(%-3) eZ

y=e2.r(C1 x+C.) + e-Z,¡:(C3 x+C.) +X2 e!z.( 1;2 - 1!8)

-%2e-21·(1;2 + 1~8)

(45) y=C1 e-z+C, coe %+Ca sen %+ ~ e.r(x-« ~) +~ (%+2) e=

(44)

1(42) y=C,+C1 x+C. e-tz+.X(%-l) e2z

{6 )

(~) y-=e-~.c(C¡x+C~)

(4) y=e-r.·r(C¡ x+C,)

(1) y=C¡e.c+Czea.c.

( 3) Y =C, e2:r +C2 eO.r

(5) y=C,e4.r+C2e-41z

IV §8

(14)

(12)

(10)

(6 )

. 2(5) y=C1 e-r+C2 e-2.l'+9c.r(6x-5)

3y=C¡ ez+C2 e-~.&+xeZ--e-Z4

(1) y=C¡e2Z+C,eJ.&-se2.e

IV §6

-2:- sen x

V 11d2s

(2) d2% dx( 1) -eZ-2%:::O - (1+/)-- (1-/)x=t2-1dl2 di' di

(3 ) d2% =.!( dX)2 _..!.( dX)3 _ 1 ds~

di' x di x di x+1 di

( 4 ) d2% 1 ds: ( 1) d2x d%dl2 +rn: 1-12 x=O ( 5 ) dl2 ::; (1+x) di

(10) Yl=I-2s.

( 8 )

{ 1: %'.+1 }+C1 %+.. 1 (4.5) (8.9»12.13)··· ... (4m) (4m+l)

( 1 ) ~ e +e f'Ga 1 ",'''+lr= o ¡ LJ.... 2"'m ! (2m+ 1) ..

IV 19

(10)

y=C1 e-z+C2 e-2z+ ( ~2 _%+ 1)1 1y-Ct e"+C2 e-4Z_-ell_-e-Z

- 10 18

(9)

1(7) y=e.r(C¡%+C2)+2"%2e.t+3

1(8) y=C. +C, e-4Z+ 17 (4 sens-cos x)

Re"JU(·"tII 257

{x=et(~I+t)+e-t-3C2e2t

y= -- e-t+C2 e2t3

{X={C, COS 3/-C!! sen 3/} e2t>'={3C2 cos 31+3C, sen 3/} e2t

{x={ -Cl COS t-C,! sen t} c'y={(-2C,+C2) cost+(-C1-2C2) sen t} e'

{%=2 re, cos t +C2 sen t) e-2t.

y={(C,+C2) cost+(C2-C1) sent} e=!

(4)

( 3 )

(2 )

( 1 )

V §3

(10)

(9)

(8 )

.1 1

{%=Cl e2'+C2 e3t-3t-9

y=2C, e2'+C2 e3t_.!t+!.3 9

x=e1 e'+2C, e4l +et{ ~ -!}+e4t{~ t- !}{ y= -C,.,+C, eu-et( ~ + !)+e4t(~ + !)

1

{X=Cl e-2t+"3 e'-e-C

. 13 9y=5C, e-2l+C2 e-3t+-et_-e-t

24 47

(5) {X=2el e3t-2C, e-C-4et

y=C1 ellt+C, e-t-~t et4

, 3

{x= (3e1+l)t e'+C2. e' +-¡-e-e

(6) 1y. Cl et-2~-t

V *2( 1 )

, %=2C,e:it-2~e-' ( 2 , { %=3lC,+C~t) e'\ y=C, e"l,+C2 e:' I

y=C2 ee

(3 ) { %= C1 el + C2 eH ( 4') { %=Cl+~ e3ty = - CI e' +2C2 e4t y = -2C1 +C2 eSl

( 5 ) { x=3(C1 + C2 t) e-u( 6 ) { x = C2 e-'U

y={3(C,+C2t) +C2} «:v y = C1 el + C2 e-U

(7) { x=-(C1+C2t) e"ty= {- (e,+C, t) +C!!} e3,

258

(27) _1.--_

(S-1Y'-tl

(30) S'.''tS+3nI(29)

(22) 1 -t- x

(21) - ~ st'17h al.f "11-1

(19) ('11-1)1 X

(17) ( 18) eo s b:r::.

2. x.(15) ce s z ~!~eI ~(13) , ...x.}.~I~e

al (Q ...7)X.nc x e < eIh Sf'1l bx

(11) Sf1l~ x fi-ex(S -+ I )lI- (S - 1 )'1-

(12) cOt¡~ X ~ e~

(8) (9) s6

(6) (O S b.,. oS· 5e71 hs~+ f

( 5) _J_ ~ SZs 2(s\.~)

Z

I

(S - ct)~ (3) ~a - ~1

( 10)

(7)

(4)

( 1)

VI § 1

(10) {X=C¡COS31I-CZSen3t+ly =CI{2 cos 3i+ 3 sen 3t} + C2{2 sen 3t- 3 cos 3t} +3

{X={2C¡Cost+2C2sent}e-'¿I+-.!..sent

y={C¡+C2) cos t+ (C2-C¡) se: t} e-2t-~ cos t+~ sen t8 8

(9 )

(8 )

( 7 )

" 7 1( 17 3X I ,(19) I = Cf e ¿(J e - S ~:r:. • ro (O s X.

"'" J t zx: ~(18) ti:: - T •T e - x e.

-x x2.(16) 1= 3 - 2. e +T - x.(11) d- -l sen r ..feos x: + x.

I .. 1 3% J(,-Jt.(15) ~.: - - e ~ e _Lx. e - - e" 41 , 3 2 {J.,

~ =- x ex t

"1= - t S~"x.( 11>~ = -i.be112t.f" co!2x. t- t (12)

1 v:r. ,(13) d= -z¡- e -2 --¡¡ (14)

(7) f~~r.-Stftr} -~ (8) , + x. - st." X. - (0$ X.

(9)±lstnSt.z:r.-coSh2.1-t-lj (10) 2 cosh z + 2Se11hx -2x -2 -xii

(6) t{coskxt"(os%}-rlt ~

(5) e -2: -X-T(4) ~ - ~J sm QX

(1) 1 - co s 1:

1 -p%. _~(36).y7_ r e «~f,-pa. x

VI § 2

, -r1 ,.....-

(35) i¡;::'=- p=1 e ~n.ii-r .z,(34)3el.~ %.

260 Respuestas

-°0°-

1) C.R. Wylie . Advanced Engineering Mathernatics , M c Gral¿ niu ,Ne u. York, 1960

2) E. Kreyszic. Advanced Engineering Mathematics, ] obn Wiley ,Neto York, 1962

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Bibliografía

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ARtA: MATEMÁTICAS18-0683-2

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El estudio de las Eeuaclenas Diferenciales ha prolresado paralelamente al avance de la Fisica, de manera que muchos problemasimportantes de esta ciencia se plantean en forma de ecuacionesdiferenciales, las cuales tienen en la actualidad múltiples aplicaciones en el campo de la Ingeniería, Química, Economía, Agronomía, etc.,de ahí que su estudio sea indispensable para la especulación en todaciencia natural.

Esta obra, didácticamente elaborada con problemas y ejercicios,puede ser un texto muy útil para el estudiante conforme avance enlos estudios de sus diferentes asignaturas técnicas, y un excelentelibro de consulta para el ingeniero.

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