1
GEOMETRIA ANALITICA
2
SISTEMA COORDENADO CARTESIANOSISTEMA COORDENADO CARTESIANO
1.- El sistema coordenado Unidimensional:
Representado por la recta numérica, que se determina por P1(x1) y P2(x2) se tiene :
La distancia dirigida de P1 a P2 es : P2 - P1 = x2 - x1 La distancia no dirigida es :
P1 P2
( x1 ) ( x2 )
122121 xxPP :es PP
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
P1 Q1 R1 S1 O Q R P2
231xxQP 743)4(3xxPP 1221221
231xx QP 7)4(3xxPP 1221221
Distancia dirigida
Distancia no dirigida
Ejemplo:
xx
3
SISTEMA COORDENADO CARTESIANOSISTEMA COORDENADO CARTESIANO
2.- El sistema coordenado Bidimensional:
Un punto en el plano se determina mediante el par: P (x,y)
Y
X
P (x,y)
0
I (+ , +)II (- , +)
III (- -) IV (+ , -)
El sistema de coordenadas en el plano consiste en un par de rectas orientadas perpendiculares, llamadas ejes coordenadas.
Recta horizontal : eje x (abscisa)
Recta vertical: eje y (ordenada)
La intersección de ambas rectas es el origen.
Las cuatro partes en que el plano queda dividido por los ejes coordenadas se llaman
cuadrantes.
Las coordenadas del punto P se representan por el par ordenado (x,y)
4
DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL PLANOPLANO
Sean los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
La distancia entre P1 y P2
Se determina por:
Esta expresión se obtiene
observando la figura en cuyo
triángulo rectángulo P1QP2 , se tiene:
donde:
sustituyendo en ( 1 ), se tiene finalmente.
212
21221 )y(y)x(x)P,d(P
) 1 ( . . .QPQPPP2
22
12
21
121 XXMNQP
122 YYSTQP
212
21221 )y(y)x(x|PP|
Y
X
(O,y2)
T
S(O,y1)
M (x1 ,0) N (X2 , 0)
Q (x2 ,y1)
P2 (X2 ,Y2)
P1
(x1 , y1)
5
DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL PLANOPLANO
2
122
1221 )y(y)x(x)P,d(P
Ejemplo 1: Si P1 = (8 , 6) y P2 = ( 5 , 2) Hallar d(P1 , P2) = 21PP
525432)(65)(8)P,d(P 222221
Ejemplo 2: Demostrar que los puntos A(-2 ,-1) , B(2, 2 ) y C(5 , -2) son los
vértices de un triángulo isósceles.
251491225AC
51692225BC
59161222AB
22
22
22
A (-2 ,-1)
B (2, 2 )
C (5 , -2)
y
x
AB BCComo el triángulo ABC es isósceles.
6
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDACONOCIDA
P2 (x2, y2)
P(x,y)
P1 (x1, y1)
Sea el segmento y el punto que divide a
en la razón entonces, las coordenadas
de P Serán:
Si P es la punto medio entonces : ;
21PP
21PP
2
1
PP
PPr
1r , r1
rxxx 21
-1r , r1
ryyy 21
2
xxx 21
2
yyY 21
)y,x(P
7
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDACONOCIDA
en la figura P1QP PRP2 entonces : rPP
PPRPQP
2
1
2
Para hallar la Ordenada y del punto P
-1r , 1r
ryy y ryy1)y(rryy ryy
ryryy-yy)r(yy-yryy
y-y r
PP
PP
212121
21212
1
2
1
P2 (x2, y2)
P
P1 (x1,y1)
(x,y)
Q
R
x
y
8
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDACONOCIDA
en la figura P1QP PRP2 entonces : rPP
PP
PR
QP
2
11
Para hallar la abscisa x del punto P
-1r , 1rrxx
x rxx1)x(rrx xrx
rxrxx-xx)r(xx-xrxx
x-x r
PPPP
212121
21212
1
2
1
x
P2 (x2, y2)
P
P1 (x1,y1)
(x,y)
Q
R
x
y
9
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDACONOCIDA
P2 (x2, y2)
P
P1 (x1,y1)
en la figura P1QP PRP2 entonces :
(x,y)
Q
R
rPP
PP
PR
QP
2
11
Observaciones
1. Si r > 0 , el punto P(x , y) está en el interior del segmento:
1. Si r < 0 , el punto P(x , y) está en el exterior del segmento:
2. Si P(x,y) es el punto medio del segmento entonces la razón r = 1
21PP
21PP
21PP
1PP
PP
2
1 Luego las coordenadas del punto P son:
2
yyy ;
2
xxx 2121
x
y
10
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDACONOCIDA
3
1
PB
AP
Ejemplo 1. Si A(2,3) y B(4,8) son los extremos de un segmento. Hallar las
coordenadas del punto P(x,y) donde:
Solución:
2
5
4
10
31
1
(4)31
2
r1
rxxx 21
4
17
31
1
(8)31
3
r1
ryyy 21
4
17 ,
2
5 P :Luego
11
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDACONOCIDA
3
1
PB
AP
Ejemplo 1. Si A(2,3) y B(4,8) son los extremos de un segmento. Hallar las
coordenadas del punto P(x,y) donde:
Solución:
4
17 ,
2
5 P :Luego
417
y31
y83y
25
x31
x42x
31
PBAP
12
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDACONOCIDA
Ejemplo 2. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son: A(-2,3) y B(6 ,-3)
Solución: A(-2,3)
B(6,-3)
P(x,y)
Q1
1
1
1y
2
1
y3
3)(y3
10x
2
1
x2
6x
2
1
PA
BP
1y2
y3
3)(y3
2x2
x2
6x
2QA
BQ
02
33
2
yyy 2
2
26
2
xxx 2121
Punto medio M(x,y) :
M
P(10/3 , -1) Q(2/3 ,1)
13
PENDIENTE DE UNA RECTAPENDIENTE DE UNA RECTA
P1 (x1,y1)
L
x
y
ANGULO DE INCLINACIÓN
Se llama ángulo de inclinación al ángulo formado por la recta L y el eje x positivo, en sentido antihorario.
La variación de es : 0° 180°
14
PENDIENTE DE UNA RECTAPENDIENTE DE UNA RECTA
Sea el ángulo formado por la recta L
y el eje X
La pendiente m de la recta L es:
Si la recta L pasa por los puntos P1 (x1 , y1) ; P2 (x2 , y2); la pendiente
es:
( Ver Figura )
m = Tg
1212
12 x x, xx
yym
QP1 (x1,y1)
L
P2 (x2,y2)
X
Y
y2 - y1
x2 - x1
15
PENDIENTE DE UNA RECTAPENDIENTE DE UNA RECTA
m = Tg
1212
12 x x, xx
yym
Q
P1
(x1,y1)
L
P2 (x2,y2)
X
Y
y2 - y1
x2 - x1
OBSERVACIONES
1. Si m > 0 entonces el ángulo de inclinación es agudo ( < 90° )
2. Si m < 0 entonces el ángulo de inclinación es obtuso ( > 90° )
3. Si m = 0 entonces el ángulo de inclinación es 0° ó 180°.
4. Si m = entonces el ángulo = 90° .
16
PENDIENTE DE UNA RECTAPENDIENTE DE UNA RECTA
m = Tg
1212
12 x x, xx
yym
Q
P1
(x1,y1)
L
P2 (x2 ,y2)
X
Y
y2 - y1
x2 - x1
Ejemplo 1: Hallar la pendiente de la recta L que pasa por los puntos :
P1(2,1) y P2(5,6)
3
5
2-5
1-6
xx
yym
12
12
17
PENDIENTE DE UNA RECTAPENDIENTE DE UNA RECTA
Ejemplo 2: Los vértices de un triángulo son los puntos A(2 , -2) , B(-1 , 4) y C(4 , 5). Calcular la pendiente de cada uno de sus lados.
SOLUCION:
B(-1,4)
C(4,5)
A(2,-2)2
7
24
)2(5m
5
1
)1(4
45m
221
)2(4m
AC
BC
AB
x
y
o
18
ÁNGULO ENTRE DOS RECTASÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
Sean las rectas L1 y L2 que forman un ángulo .
Entonces:
Donde: m1 = Pendiente recta inicial L1.
m2 = Pendiente recta final L2 .
Nota:
1) Si L1 es paralela a L2 m1 = m2
2) Si L1 es Perpendicular a L2 m1 . m2= -1 ó m1 =
12
12
m . m 1
m - mtg
L1L2
X
Y
2m
1
19
ÁNGULO ENTRE DOS RECTASÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
DEMOSTRACIÓN
Sean las rectas L1 y L2 que forman un ángulo , 1 ángulo de inclinación de la recta inicial L1 y 2 ángulo de inclinación de la recta final L2 .
Donde: m1 =tg 1 Pendiente recta inicial L1.
m2 = tg 2 Pendiente recta final L2 .
1mm ; m . m 1
m - mα tg 21
12
12
L1L2
X
21
A B
C
Por geometría elemental sabemos que todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes . Entonces en el ABC :
1 2
1 2
1 2
1 21 2
tgtg1
tg- tg tg
) - tg( tg -
Luego:
20
LA RECTALA RECTA
DEFINICIÓN: La línea recta es el lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) del lugar la pendiente “m” resulta siempre una constante.
ECUACIONES DE LA RECTA
1) Forma Punto Pendiente :
Si la recta pasa por el punto P1 ( x1 , y1 ) y cuya pendiente es “m” entonces
la ecuación de la recta está dado por :
12
12
xx
yym
y - y1 = m ( x - x1 )
P1(x1,y2)
x
P2(x2 ,y2)y
21
LA RECTALA RECTA
)xm(xyyxx
yym 11
1
1
P1(x1,y1)
x
P(x, ,y)
y
DEMOSTRACIÓN
La recta L pasa por el punto P(x1 , y1) y tiene pendiente conocida “m” y sea P(x , y) un punto cualquiera de la recta L.
L
Por definición de pendiente de una recta se tiene:
)xm(xyy :L 11
22
LA RECTALA RECTA
01y3x : L 63x5y
2)3(x5y)xm(xyy
p(2,5) , 3m
11
P(2 , 5)
x
P(x, ,y)y
Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto P(2 ,5) y tiene pendiente 3.
SOLUCION: L
)xm(xyy :L 11
23
12
12
xx
yym
LA RECTALA RECTA
La recta L pasa por los puntos : P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) entonces la
pendiente ......(1)
2 ) Ecuación de la Recta que pasa por 2 puntos:
Si la recta L pasa por lo puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) su ecuación
es:
DEMOSRACION:
)x(xxx
yyyy : L 1
12
121
y - y1 = m ( x - x1 )
P1(x1,y1)
x
P2(x2 ,y2)y
)x(xxx
yyyy : L 1
12
121
Se conoce la ecuación de la recta en su forma punto pendiente
y - y1 = m( x - x1 )......(2)
Remplazando (1) en (2) se tiene:
24
LA RECTALA RECTA
Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por los puntos P1 ( -2 , -3)
y P2 ( 4 , 6)
SOLUCIÓN:
y - y1 = m ( x - x1 )
)x(xxx
yyyy : L 1
12
121
0 2y -3x : L
6x362y2)(x2
3)3(y
2)(x6
9)3(y2)(x
24
36)3(y
))2((x)2(4
)3(6))3((y
25
LA RECTALA RECTA
3) Pendiente y ordenada en el origen:
Una Recta con Pendiente “ m “ y que corta al eje y ; en el punto ( 0,b ) ; su
ecuación es :
DEMOSTRACIÓN:
y = mx + b
L
x
y
( 0 , b)
bmxy
mxb-y0)m(xby
)xm(xyy :L 11
26
LA RECTALA RECTA
4 ) Ecuación Simétrica
Si una Recta corta a los ejes
Coordenados en ( a , 0 ) y ( 0 , b );
su Ecuación es :
5 ) Ecuación General
La Ecuación General de una Recta esta representado por :
Donde :
En la Ecuación ( 1 ) ; si :
A = 0 By + C = 0 ; es una recta Horizontal
B = 0 Ax + C = 0 ; es una recta Vertical
1b
y
a
x
Ax + By + C = 0 . . . ( 1 )
B
Am
( 0,b )
( a,0 ) x
y
27
LA RECTALA RECTA
Distancia de un punto a una Recta
Sea la Recta L: Ax + By + C = 0 y
Sea el Punto P1( x1, y1 ) ; la distancia
“d” del punto P a la recta L esta dado
por:
L
x
y
d
P (x1 , y1 )
22
11
BA
CByAxL)d(P,
Distancia entre dos rectas paralelas
Dadas las rectas paralelas :
L1 : Ax + By +C1 = 0 y L2 : Ax + By +C2 = 0
la distancia de L1 a L2 está dado por:
22
2121
BA
CC)L,d(L
28
LA RECTALA RECTA
L
x
y
dP (5 ,4 )
22
11
BA
CByAxL)d(P,
Ejemplo1. Hallar la distancia del punto P(5 ,
4) a la recta L : 3x + 4y - 6 = 0
L
55
25
25
25L)d(P,
43
64(4)3(5)L)d(P,
22
29
LA RECTALA RECTA
L
x
y
d
Q (5 ,6 )
535
515
5
15
5
15L)d(R,
21
72(-2)-1(4)L)d(R,
BA
CByAxL)d(R,
2222
11
Ejemplo2. Hallar la distancia que existe entre el punto R(4 , -2) del plano y la recta que pasa por los puntos P(-3 , 2) y Q(5 , 6)
SOLUCIÓN
LP (-3 ,2 )
R (4 ,-2 )
2
1
8
4
35
26m
Aplicamos la ecuación punto pendiente de la recta: y - y1 =m(x - x1)
0 7 2y x :L 3x4-2y3)(x21
2y
30
LA RECTALA RECTA
Posición Relativa de 2 Rectas
Sean las rectas : L1: A1x + B1y + C1 = 0
L2: A2x + B2y + C2 = 0
* Si L1 // L2 m1 = m2 ó
* Si L1 L2 m1 . m2 = -1 ó A1A2 + B1B2 = 0
* Si L1 y L2 son coincidentes :
2
1
2
1
B
B
A
A
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
31
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIA
DEEFINICION: La Circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de puntos en el plano tal que la distancia de un punto fijo a cada uno de ellos es una constante.
Centro (C) : Punto fijo
radio r : distancia constante
d(P , C) = r
C(h,k)
r
P(x,y)
32
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIA
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
C
r
E
D
F
A BLT
LN
1. Centro de la circunferencia. “ C “
2. Radio de la circunferencia “ r “
3. Diámetro de la circunferencia
4. Cuerda de la circunferencia
5. Recta tangente a la circunferencia. LT
6. Recta normal a la circunferencia. LN
ABFD
33
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIA
Una Circunferencia queda completamente definida, si se conoce su centro y su radio.
Ecuaciones de la Circunferencia:
1) Forma Ordinaria:
Sea el Centro de la Circunferencia
C ( h,k ) y radio r .
Si P (x,y) es un punto
Por distancia:
2) Forma canónica
si el Centro es el origen su ecuación es :
C(h,k)
r
P(x,y)
0 X
Y
r PC
rk)(yh)(x 22
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
222 ryx 0
P(x,y)
X
Y
34
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIAEjemplo 1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro C(-3 , -4) y radio 5.
Solución.
222 rkyhx
254y3x 22 Ejemplo 2. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A (2 , 3) y B(-4 , 5). Hallar la ecuación de la curva.
Solución.
C
Las coordenadas del centro :
104y1x
104312ACr
4) , 1C()2
53 ,
2
42C(
22
22
y
x
B
A
35
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIAEjemplo 3. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el
eje x y que pasa por los dos puntos A(1 , 3) y B(4 , 6)
4591791x7x
426x36168xx912xx
364-x91x
22
22
22
r
364)(x91)(xB)d(C,A)d(C,r 22
y
x
BA
C(x,0)
450-y7x 22 La ecuación de la circunferencia:
36
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIAObservaciones:
222 kkyhx
C(h,k)Si la circunferencia es tangente al eje x su ecuación es :
x
y
k
x
y
C(h,k)h
Si la circunferencia es tangente al eje y su ecuación es :
222 hkyhx
37
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIA3) Ecuación General
Desarrollando la ecuación ordinaria de la circunferencia tenemos:
2,
2
D-C CentroSu
E4FED
21
r
4E
4D
-Fr4
E4
D-F
2E
y2D
x
4E
4D
F- 2E
Eyy 2D
Dx x
0FEyDxyx
22
222
2222
2222
22
22
Completando cuadrados lo llevamos a su forma ordinaria
Esta ecuación tiene la misma forma que:
Se llama forma general de la circunferencia.
)........(1 0rkh2ky2hxyx
rk2ykyh2xhxrkyhx22222
22222222
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
38
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIA
Ejemplo 3. Reduciendo las ecuaciones dadas a la forma ordinaria , determinar si representa o no una circunferencia.
a. 2x2 + 2y2 - 6x +10y + 7 = 0
b. 4x2 + 4y2 +28x - 8y + 53 = 0
c. 16x2 + 16y2 - 64x + 8y + 177 = 0
Solución.
- Si D2 + E2 - 4F > 0 ; la Circunferencia es real
- Si D2 + E2 - 4F < 0 ; la Circunferencia es imaginaria
- Si D2 + E2 - 4F = 0 ; la Circunferencia representa un punto
4FED21
r 22
2,
2
D-C CentroSu
E
39
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIA
5)(y)2
3-(x10)2(y)
2
3-2(x
2
25
2
9-7)
2
55y2(y )
2
3 3x 2(x
0710y6x2y2x a.
22522
252
22
22
22
Luego la ecuación es una circunferencia
de centro C (3/2 , -5/2) y radio 55
25
y23
x
5425
49
27
25
5yy 23
3x-x
027
5y3xy x
0710y6x2y2x a.
22
22
22
22
22
40
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIA
0)1-(y)2
7(x)1-(y4)
2
74(x
449-53)1y24(y )2
7 x 74(x
0538284y4x b.
2222
22
2
22
yx
Luego la ecuación representa el punto C(-7/2 , 1)
Luego la ecuación representa un conjunto vacío o una circunferencia imaginaria.
7)4
1(y2)-(x)
4
116(y2)16(x
164-177)4
1
2
y16(y )
2
4 4x16(x
01778y64x16y16x c.
2222
22
22
22
41
CURVAS CÓNICASCURVAS CÓNICAS
Una Cónica es el conjunto de puntos cuyas distancias dirigidas a un punto fijo
( Foco ) y a una Recta fija ( Directriz ), es una razón constante llamada
excentricidad.
Si:
e = 1 ; la cónica se llama Parábola.
e < 1 ; la cónica se llama Elipse.
e > 1 ; la cónica se llama Hipérbola.
F
PM
) e ( Constante PM
PF
42
LA PARÁBOLALA PARÁBOLAEs el conjunto de puntos que equidistan
de una recta fija llamada directriz y de un
punto fijo llamado Foco.
Elementos:
Foco: Punto fijo F
Eje Focal: Recta DD’ y pasa por el Foco
Vértice: Punto V
Cuerda:
Cuerda Focal:
Lado Recto:
Radio Vector:
Directriz : DD
F
MP
F
M
R
D’
D
V
N
PFPM
Y
MN
HD
LR
FH
H
D
L
x
43
LA PARÁBOLALA PARÁBOLAEcuaciones de la Parábola:
1) Si el Vértice es el Origen y su eje
Focal es el eje X
F( p,0) ; P( x,y)
d(P,F) = d( p,L)
Elevando al cuadrado y
simplificando se tiene:
- Si: p > 0 ; la Parábola se abre a la
Derecha.
- Si: p < 0 ; la Parábola se abre a la
Izquierda.
Y
X
L
D’
Y
X
D
D’
F
F(p,0)
o
o
V
V
VFp
y2 = 4px
P(x,y)D
pxypx 22
44
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Y
X
L
D’
Y
X
D
D’
F
F(p,0)
o
o
V
V
VFp
P(x,y)
D
ELEMENTOS
1. El vértice V(0,0)
2. El foco F(p,0)
3. Lado Recto LR = | 4 p |
4. Ecuación de la directriz: x = - p
L
R
L
y2 = 4px
R
45
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Ecuaciones de la Parábola:
2) Si el Vértice es el Origen y su eje
Focal es el eje Y, su ecuación es:
- Si p > 0; la Parábola se abre hacia
arriba.
- Si p < 0; la Parábola se abre hacia
abajo
Y
X
DD’
Y
X
DD’
F
F
o
o
V
V
VF p
x2 = 4py
L R
L R
46
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
ELEMENTOS
1. El vértice V(0,0)
2. El foco F(0 , p)
3. Lado Recto LR = | 4 p |
4. Ecuación de la directriz: y = - p
Y
X
DD’
Y
X
DD’
F
F
o
o
V
V
VF p x2 = 4py
L R
L R
47
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA Ejemplo 1. Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la
longitud del lado recto y graficar.
a. x2 - 12y = 0 b . y2 + 8x = 0
Solución:
Y
X
3
DD’
F
oV
0)(p 3p124p4pyx
forma la de esecuación La
12yx012y xa.
2
22
1. Vértice V(0,0)
2. Foco F(0,p) F(0,3)
3. Directriz y = - p y = -3
4. Lado Recto LR= 4p LR = 12
como p> 0 la parábola se abre hacia arriba.
-3
48
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA Ejemplo 1. Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la
longitud del lado recto y graficar.
a. x2 - 12y = 0 b . y2 + 8x = 0
Solución:
Y
X-2
D
D’
Fo
V
0)(p -2p-84p4pxy
forma la de esecuación La
-8xy08xy b.
2
22
1. Vértice V(0,0)
2. Foco F( p , 0) F( -2, 0)
3. Directriz x = - p x = - ( -2) = 2
4. Lado Recto LR= 4p LR = 8
como p< 0 la parábola se abre hacia la izquierda.
2
49
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Ecuación Ordinaria de la Parábola:
3) Si el Vértice es V ( h, k ), el eje
focal es Paralelo al eje x su
ecuación es:
Con Foco: F( h+p , k )
- Si: p > 0 ; Se abre a la Derecha.
- Si: p < 0 ; Se abre a la Izquierda.
( y - k )2 = 4p ( x - h )
D
D’
D
D’
FV
V
Y
Y
X
X
(h,k)
(h,k)F
50
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
( y - k )2 = 4p ( x - h )
D
D’
D
D’
FV
V
Y
Y
X
X
(h,k)
(h,k)F
ELEMENTOS
1. El vértice V( h , k)
2. El foco F(h + p , k)
3. Lado Recto LR= 4p
4. Ecuación de la directriz x = h - p
51
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Ecuación Ordinaria de la Parábola:
ii ) Si el eje Focal es Paralelo al eje Y,
su ecuación es:
Con Foco: F ( h , k+p )
- Si: p > 0 ; Se abre hacia arriba.
- Si: p < 0 ; Se abre hacia abajo.
( x - h )2 = 4p ( y - k ) DD’
DD’
F
V
V
Y
Y
X
X
(h,k)
(h,k)
F
52
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
( x - h )2 = 4p ( y - k )
DD’
DD’
F
V
V
Y
Y
X
X
(h,k)
(h,k)
F
ELEMENTOS
1. El vértice V( h , k)
2. El foco F( h , k + p)
3. Lado Recto LR= 4p
4. Ecuación de la directriz y = k - p
53
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
5. La Ecuación General de la Parábola esta dado por:
x2 + Dx + Ey + F = 0 ; Si tiene eje focal paralelo al eje Y.
y2 + Dx + Ey + F = 0 ; Si tiene eje focal paralelo al eje X.
Ejemplo1 . Hallar la ecuación de la parábola cuyos vértices y focos son los
puntos (-4,3) y (-1 , 3) respectivamente. Hallar también las
ecuaciones de su directriz , eje focal y LR.
Solución:
-4
3V
-1
FLa parábola es de la forma:
(y - k)2 = 4p(x - h)
4)12(x3y4)4.3(x3y
33314VFp
22
22
Directriz: x = h - p =-4 -3 =-7 x+7=0
Eje de la parábola y=k y = 3 , LR = 12
54
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Ejemplo2 . Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los
puntos V (3 , 3 ) y F(3 , 1 ) respectivamente. Hallar también las
ecuaciones de su directriz , eje focal y LR.
Solución:
V
oF
La parábola es de la forma:
(x - h)2 = 4p(y –k )
3)--8(y3x3)-4(-2)(y3-x
21333VFp
22
22
Directriz: y = k - p = 3 – (-2) = 5 y – 5 = 0
Eje de la parábola x = 3 x – 3 = 0
LR = 8
L R
55
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Ejemplo 3. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Las ecuaciones
de la directriz y eje, y la longitud del lado recto.
4y2 -48x -20y - 71 =0
Solución:
Completando cuadrados para la variable y, se tiene:
De donde h = -2 , k = 5/2 , 4p = 12 , p=3 ; Vértice V( h , k) V( -2 , 5/2)
Foco F( h+p , k ) F( -2 + 3 , 5/2) F( 1 , 5/2)
Ec. De la directriz: x = h - p x = -2 - 3 x = -5
Ec del eje : Y = k y = 5/2 ; LR = 12
2)12(x5/2)(y
2412x425
471
12x 425
5yy
0471
12x5yy 07148x20y4y
2
2
22
56
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Ejemplo 3. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Las ecuaciones
de la directriz y eje, y la longitud del lado recto.
4y2 -48x -20y - 71 =0
Solución:
Completando cuadrados para la variable y, se tiene:
9648x257148x425
5yy4 2
De donde h = -2 , k = 5/2 , 4p = 12 , p=3 ; Vértice V( h , k) V( -2 , 5/2)
Foco F( h+p , k ) F( -2 + 3 , 5/2) F( 1 , 5/2)
Ec. De la directriz: x = h - p x = -2 - 3 x = -5
Ec del eje : Y = k y = 5/2 ; LR = 12
7148x20y 4y2
2)12(x25
y 2412x425
5yy2
2
57
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Ejemplo 4. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Las ecuaciones
de la directriz y eje, y la longitud del lado recto.
4x2 + 48y + 12x – 159 =0
Solución:
Completando cuadrados para la variable x, se tiene:
De donde h = -3/2 , k = 7/2 , 4p = -12 , p= -3
Vértice V( h , k) V( - 3/2 , 7/2 )
Foco F( h , k + p ) F( -3/2 , 7/2 –3 ) F( -3/2 , 1/2 )
Ec. De la directriz: y = k - p y = 7/2 + 3 y = 1 3 / 2 2y – 13 = 02
Ec del eje : x = h x = -3/2 2x + 3 = 0 ; LR = 12
7/2)12(y3/2)(x
4212y4
16812y
49
4159
12y 49
3xx
04
15912y3xx015948y12x4x
2
2
22
58
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Ejemplo 4. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Las ecuaciones
de la directriz y eje, y la longitud del lado recto.
4x2 + 48y + 12x – 159 =0
Solución:
Completando cuadrados para la variable x, se tiene:
16848y915948y49
3xx4 2
De donde h = -3/2 , k = 7/2 , 4p = -12 , p= -3
Vértice V( h , k) V( - 3/2 , 7/2 )
Foco F( h , k + p ) F( -3/2 , 7/2 –3 ) F( -3/2 , 1/2 )
Ec. De la directriz: y = k - p y = 7/2 + 3 y = 1 3 / 2 2y – 13 = 02
Ec del eje : x = h x = -3/2 2x + 3 = 0 ; LR = 12
15948y12x 4x2
)27
-y(1223
x42y1249
3xx2
2
59
LA ELIPSELA ELIPSE
Definición:
Dado 2 puntos fijos F1 y F2 un numero 2a > 0 ; la elipse es el conjunto de
puntos cuya suma de las distancias de un punto de la curva a sus puntos
fijos es siempre igual a 2a.
F2F1
2aPFPF 21
P
CFocos: F1 , F2
C : centro
R 2a , FF2a 21
60
LA ELIPSELA ELIPSEELEMENTOS DE LA ELIPSE:
Focos: F1 y F2 .
Eje Focal: Es la recta que pasa por
los Focos.
Vértice: Puntos V1 y V2.
Centro: C Punto medio de V1 y V2.
Eje Normal: Recta que pasa por el centro
y es al eje Focal.
Eje Mayor: Segmento
Eje Menor: Segmento
Cuerda: Segmento
Cuerda Focal: segmento
Lado Recto: Segmento
Directriz: Rectas D’D.
D D
D’ D’
Q
V1 V2
C
L LM
B1
B21
N RR21VV
21BB
MNMQ
LR
F1 F2
61
LA ELIPSELA ELIPSEEcuaciones de la Elipse:
1) Centro en el Origen y eje Focal el
eje x ; su ecuación es:
b2 = a2 - c2
Elementos
1. Los vértices son: V1 ( -a,0 ) ; V2 ( a,0 ) :
2. Los focos: F1(- c,0 ) ; F2 (c , 0 )
3. Extremos del eje menor: B1(0 , -b) , B2 (0 , b)
4. Lado recto : 5. Ecuación de la directriz:
6. Excentricidad :
V2V1
F2F1(-a,0) (a,0)
D D
D’D’
X
Y
1b
y
a
x2
2
2
2
B2
B1
a
2bLR
2
c
ax
2
1a
ce
62
LA ELIPSELA ELIPSEEcuaciones de la Elipse:
2) Si el eje Focal es el eje Y su ecuación
es:
b2 = a2 - c2
Elementos
1. Los vértices son: V1 (0 , -a ) ; V2 ( 0 , a )
2. Los focos: F1( 0 , - c) ; F2 ( 0 , c )
3. Extremos del eje menor: B1( -b , 0) , B2 ( b , 0)
4. Lado recto :
5. Ecuación de la directriz: 6. Excentricidad :
V1
V2
F1
F2
(0,-c)
(0,c)
X
Y
1a
y
b
x2
2
2
2
B1 B2
a
2bLR
2
c
ay
2
1a
ce
63
LA ELIPSELA ELIPSE
V1
V2
F1
F2
(0,-c)
(0,c)
X
Y
B1 B2
Ejemplo: Hallar las coordenadas del vértice y focos, la longitud de los ejes mayor y menor , la excentricidad y la longitud del lado recto.
Graficar la curva. 9x2 + 4y2 = 36 Solución:
Dividiendo cada término entre 36
19
y
4
x364y9x
2222
a = 3 , b= 2 , c2 = a2 - b2 = 9 - 4 =
1. Los vértices son: V1 (0 , -3 ) ; V2 ( 0 , 3 )
2. Los focos: F1( 0 , - ) ; F2 ( 0 , )
3. Extremos del eje menor: B1( -2 , 0) , B2 ( 2 , 0)
4. Lado recto : 5. Excentricidad :
6. Longitud del eje mayor =2a =6
7. Longitud del eje menor = 2b = 4
5 5
3
8
a
2bLR
2
3
5
a
ce
64
LA ELIPSELA ELIPSE
V2V1
F2F1
D D
D’D’
X
YB2
B1
Ejemplo: Hallar las coordenadas del vértice y focos, la longitud de los ejes mayor y menor , la
excentricidad y la longitud del lado recto. Graficar la curva. 16 x2 + 25 y2 = 400 Solución:
Dividiendo cada término entre 400
116y
25x
40025y16x22
22
a = 5 , b= 4 , c2 = a2 - b2 = 25 –16 = 9 c = 3
1. Los vértices son: V1 (-5 , 0 ) ; V2 ( 5 , 0 )
2. Los focos: F1( -3 , 0) ; F2 ( 3 , 0 )
3. Extremos del eje menor: B1( 0 , -4 ) , B2 ( 0 , 4 )
4. Lado recto : 5. Excentricidad :
6. Longitud del eje mayor =2a = 10
7. Longitud del eje menor = 2b = 8
532
a2b
LR2
53
ac
e
65
LA ELIPSELA ELIPSE
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE :
1 - Si el centro es el Punto C( h , k)
y tiene eje Focal Paralelo al
eje X, su ecuación es:
1b
ky
a
hx2
2
2
2
LA ELIPSELA ELIPSE
V2V1
F2F1
D D
D’D’
X
YB2
B1
a
2bLR
2
c
ahx
2
1a
ce
O
C
k
h
Elementos
1. Los vértices son: V1 ( h -a,k ) ; V2 (h + a ,k ) :
2. Los focos: F1( h- c,k ) ; F2 ( h + c ,k )
3. Extremos del eje menor: B1( h , k - b) , B2 (h ,k+ b)
4. Lado recto : 5. Excentricidad
6. Ecuación de la directriz:
b2=a2-c2
66
LA ELIPSELA ELIPSE
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE :
2- Si el centro es el punto C( h,k)
el eje Focal es Paralelo al eje y
su ecuación es: 1
a
ky
b
hx2
2
2
2
Elementos
1. Los vértices son: V1 (h k -a ) ; V2 ( h , k+a )
2. Los focos: F1( h , k- c) ; F2 ( h , k +c )
3. Extremos del eje menor: B1( h- b , k) ,
B2 ( h + b , k)
4. Lado recto :
5. Ecuación de la directriz:
6. Excentricidad :
V1
V2
F1
F2
X
Y
B1 B2
a
2bLR
2
c
aky
2
1a
ce
C
h
k
DD’
222 cab
67
LA ELIPSELA ELIPSE ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
La Ecuación General es: Donde A B y son del mismo signo.
Ax2 + By2 + Dx + Ey +F =0Ejemplo. La ecuación de una elipse es 9x2 + 25y2 - 36x + 150y + 36 = 0 , reducir
esta ecuación a la forma ordinaria y determinar las coordenadas de centro, vértices, focos, longitudes del eje mayor y menor, lado recto y la excentricidad
Solución:
1
93y
252x
2253y25 2x9
22536-3636yy25 2 4xx9
-36 6yy25 4x x9
-36150y)25y(36x)(9x
036150y36x25y9x
22
22
2222
22
22
22
a2 = 25 , b2 =9 c2 = a2 - b2 = 25 - 9 =16
a = 5 , b = 3 , c = 4
68
LA ELIPSELA ELIPSE
V2V1
F2F1
X
Y
B2
B1
5
18
5
2x9
a
2bLR
2
5
4
a
ce
O C
1. Centro: C(2 , -3) , h = 2 , k= -3
2. Vértices:: V1 ( h -a,k ) ; V2 ( h + a ,k )
V1 ( 2-5 , -3 ) ; V2 ( 2+5 , -3 ) V1 ( -3 , -3 ) ; V2 ( 7 , -3 )
2. Focos: F1( h- c,k ) ; F2 ( h + c ,k ) F1( -2 , -3 ) ; F2 ( 6 ,-3 )
3. Extremos del eje menor: B1( h , k - b) , B2 (h ,k+ b) B1( 2 , -6) , B2 ( 2 , 0)
4. Lado recto : 5. Excentricidad:
1
9
3y
25
2x 22
a2 = 25 , b2 =9
c2 = a2 - b2 = 25 - 9 =16
a = 5 , b = 3 , c = 4
69
LA ELIPSELA ELIPSEEjemplo. Los focos de una elipse son los puntos F1 (-4 , -2) y F2( -4 , -6), y la
longitud de cada lado recto es 6 . Hallar la ecuación de la elipse y su
excentricidad.
Solución:
V1
V2
F1
F2
X
Y
B1 B2
El eje focal de la elipse es paralelo a l eje y la ecuación es de la forma:
1a
k)-(y
b
h)-(x2
2
2
2
3a.....(2)b6a
2ba
2bLR
.....(1)4.........bacba
2c4(-2)-6-FF 2c Si
222
22222
21
C
70
21
42
ac
e
116
4)(y12
4)(x :ecuación la tienese Luego
4)4,(2
62 ,
244
C
Fy F de medio punto el es centro El
32b4a
-1a 4a01)4)(a-(a04-3a-a
22
21
2
LA ELIPSELA ELIPSEReemplazando (2) en (1)
71
Ejemplo. Los focos de una elipse son los puntos F1 (-2 , -2) y F2( 4 , -2 ) . Hallar
la ecuación de la elipse si uno de sus vértices está sobre la recta
L : x – y – 8 = 0.
Solución:
LA ELIPSELA ELIPSE
1
b
ky
a
hx2
2
2
2
V2V1
F2F1
Y
O
C
Con los datos del problema , la
ecuación de la elipse es:
5a08kahLk)a,V(h
2)C(1,2
22,
242
Ck)C(h,
x
16925bcab
3c62c)F,d(F2222
21
1
162y
251x
:E 22
72
Ejemplo. La ecuación de una elipse es 9x2 + 4y2 – 8y –32 = 0 . Hallar la
excentricidad y lado recto.
Solución:
LA ELIPSELA ELIPSE
35
eac
e
38
32(4)
a2b
LR
5c549cbac4b , 9a
1k , 0h191y
40x
3643212yy40x9
2
222222
22
22
73
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Ejemplo . Con los datos de la figura . Hallar el foco, ecuación de la directriz, longitud del lado recto.
Solución:
-4
(0,2)
V
La parábola es de la forma:
P : y2 + Dx + Ey + F = 0
-1Dy 0E -4,F-82F (3)y (2) sumando
4...(3)F2E 0F2E4P (0,2)
4...(2)F2E0F2E-4P (0,-2)
...(1) 0F -4D P 0) , (-4
(0,-2)y2 - x – 4 = 0 y2 = ( x + 4 ) h = -4 , k = 0 , 4p =1 p = 1 4
Foco: F( h + p ,k ) F(-4 + 1 4 , 0 )=F(- 15 4 , 0)
Directriz: x = h - p =-4 – 1 4 = -17 4 4x+ 17=0
LR = 1