M5.tex
INDICEIntroduccin....................................................... 5
4.2.1. Criterio de Pringsheim .................................. 40
4.2.2. Criterio que proviene de la serie geome trica ............ 42
4.2.3. Criterio de la integral ................................... 44
4.2.4. Estimacio n del error ..................................... 45
5. Series alternadas ................................................ 49
5.1. Concepto de serie alternada ................................... 49
6. Series de potencias .............................................. 53
6.1. Concepto de serie de potencias ................................ 54
6.2. Propiedades de las series de potencias ......................... 55
6.2.1. Derivacio n de una serie de potencias ................... 55
6.2.2. Integracio n de una serie de potencias ................... 56
7. Los nu meros complejos ........................................ 57
7.1. Los nu meros complejos ....................................... 59
7.2. Suma y producto de nu meros complejos ...................... 59
7.3. Conjugacio n ................................................... 60
7.4. La forma polar de un nu mero complejo ....................... 62
7.5. La forma exponencial de un nu mero complejo ............... 65
7.6. Los nu meros complejos y la electricidad ...................... 68
Solucionario ....................................................... 70
Glosario ............................................................. 84
Sumario ............................................................ 84
Bibliografa ........................................................ 85
INTRODUCCIONEn los mdulos anteriores nos hemos concentrado en las herramientas que permiten estudiar comportamientos continuos. Por ejemplo, la distancia que recorre un coche se puede expresar en funcin del tiempo, que en principio fluye de manera continua. Sin embargo, existen otros fenmenos que no fluyen de forma continua, sino que necesitan un determinado tiempo para producirse. Por ejemplo, el crecimiento de una poblacin no se produce de manera continua, sino a intervalos regulares, y los pagos a un banco tampoco, puesto que son lo se realizan una vez al mes.Las herramientas que hemos visto hasta ahora nos permiten, por ejemplo, calcular el peso de un cubo de arista x y de densidad constante k y estudiar lo que sucede cuando hacemos que la arista tienda a 0.
Para resolver este problema so lo hay que tener en cuenta que el peso viene determinado por el volumen del cubo multiplicado por la densidad del material, P = kx3. Esta relacin nos indica que cuando x tiende a 0, el peso del cubo tiende a 0 de manera continua.
Sin embargo, detenga monos a pensar un poco. Supongamos que inicial- mente no tenemos material; si aadimos una molcula, entonces el peso aumentara una cantidad p1. Este fenmeno no es continuo, y no hay manera de que lo sea: o bien tenemos la molcula y el peso es p1, o bien no tenemos la molcula y el peso es 0.
Muchos de los modelos que utilizamos para explicar la realidad se basan en la idea de que podemos fraccionar la cantidad que estudiamos tantas veces como se quiera, sin que el comportamiento de esta cantidad vari Las tcnicas matemticas de funciones continuas y funciones derivables nos permiten estudiar estos tipos de modelos. En este mdulo introduciremos las tcnicas matemticas para estudiar fenmenos que se producen a intervalos regulares de tiempo, en los que el concepto de continuidad no tiene sentido.
OBJETIVOSLos objetivos que podris alcanzar al final de este mdulo didctico son los siguientes: 1. Definir el concepto de sucesin.
2. Comprobar si una sucesin verifica las propiedades de acotacin y de monotona 3. Definir el concepto de lmite de una sucesin 4. Conocer las propiedades fundamentales del lmite de una sucesin 5. Distinguir los casos de indeterminaciones en el clculo de lmites y resolver los casos concretos, utilizando los criterios adecuados.
6. Comprender el concepto de sucesiones equivalentes y utilizarlas para el clculo de lmites.
7. Definir el concepto de serie.
8. Describir y aplicar los criterios de convergencia de las series de trminos positivos.
9. Reconocer las series alternadas.
10. Estudiar la convergencia de una serie alternada mediante el criterio de Leibniz.
11. Calcular el error entre el valor de la suma de la serie y la suma de un nmero finito de trminos 12. Comprender el concepto de serie de potencias y calcular su radio de convergencia.
13. Calcular la suma de una serie.
SUCECIONES DE NUMEROS REALES1.1. Concepto general de sucesinUna sucesin es el nombre matemtico que hace referencia a una lista infinita de nmeros. En una lista podemos hablar de primer te mino, segundo termino, etc., que corresponden a la posicin que ocupan en dicha sucesin.
Podemos formalizar todo esto un poco ms podemos asociar cada nmero entero positivo n con un nmero real xn , y el conjunto ordenado:
x1 , x2 , x3 ,..., xn ... Define una sucesion infinita. Observad que cada te rmino de la sucesio n tiene asignado un nu mero entero positivo (el puesto que ocupa en la lista) y podemos hablar del primer te rmino (x1), del segundo te rmino x2 y, en general, del te rmino n-esimo (xn). Cada te rmino (xn) tiene un te rmino siguiente (xn +1), por lo que, en consecuencia, no hay uultimo te rmino.
La forma ms facil para construir una sucesio n es a partir de una regla o frmula que defina el trmino n-simo. As, por ejemplo, la frmula xn = 1 define la sucesin:
1 111, 2 , 3 ,..., n ... En algunas ocasiones son necesarias dos o mas frmulas para describir los elementos de la lista. Por ejemplo, si consideramos la sucesio n x2n1 = 1 y x2n = n; en este caso, los primeros trminos de la sucesio n son:
1, 1, 1, 2, 1, 3,..., 1,n...
Otra forma de definir una sucesio n es mediante una frmula de recurrencia, que permite calcular un te rmino a partir de los anteriores. Si tomamos x1 = x2 = 1 y la frmula de recurrencia, xn+1 = xn + xn1 , tendremos:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ... Esta sucesio n se conoce como sucesio n de Fibonacci, nombre que recibe de la persona que la estudio al tratar un problema relativo a los procesos hereditarios en los conejos.Hasta ahora, todas las sucesiones que hemos visto han empezado con los valores de n = 1, 2, 3 .. ., aunque esto no sea estrictamente necesario. Por ejemplo, si definimos la sucesio n mediante el te rmino general, x = 1+ 1 n2es razonable considerar que n toma los valores 3, 4, 5 ... As pues, podemos definir de manera formal el concepto de sucesio n como vemos a continuacio n:Una sucesio n de nu meros reales es una aplicacio n h de los nu meros naturales IN en el conjunto IR de los nu meros reales:h : IN IRn h(n) = xnLa imagen de n recibe el nombre de te rmino n-e simo o te rmino general de la sucesio n.No olvide is que lo u nico que hemos hecho es reciclar el concepto de funcio n continua, donde hemos fijado el dominio de la funcio n como el conjunto IN.Ejercicio 1.1.Calculad el te rmino general de las siguientes sucesiones:a) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ... b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 ... c) 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ... 2 3 4
5 6 7d) 1, 2 3, 2, 5, 6 7 ... e) 2 , 4 , 6 , 8 , 10
12 143 4 5 6
7 , 8 , 9 ... f) 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ... 2 6 24
120
720
5 040Una vez ha quedado definido el concepto de sucesio n, vamos a presentar algunas de sus propiedades. Sin embargo, antes analizaremos que quiere decir que dos sucesiones son iguales.Dos sucesiones {xn } y {yn } son iguales si xn = yn para todo n IN.A partir de la definicin tenemos que las sucesiones {xn } = {1, 1 , 1 , , 1 }
2 3 n
Y {yn } = { 1 , 1 , , 1 } son diferentes a pesar de que yn = xn+1 . O tam-
2 3 n+1
bie n que {xn } = {1, 1 , 1 , , 1 } y {yn } = {1, 3, 1 , , 1 } son distintas
2 3 n3 n
al diferir en el segundo te rmino.
1.2. Sucesiones acotadasConsideramos las sucesiones de te rmino general xn = 1 , yn = n y zn = sin ny las representamos gra ficamente:x = 1n
yn =nzn =sin nA partir de los gra ficos podemos observar co mo la sucesio n yn crece de forma indefinida, mientras que los valores xn y zn nunca esta n por encima de 1. As, xn y zn son sucesiones acotadas; por el contrario, yn es no acotada.Una sucesio n esta acotada si existe un nu mero K tal que los valores que toma la sucesio n nunca superan el valor K .Una sucesio n {xn } es acotada si existe un nu mero real K tal que:|xn | Kn IN.Entonces, K es una cota de la sucesio n {xn }.Ejemplo 1.1.A partir de la definicio n demostraremos que xn = 1Puesto que n 1, podemos decir que 1 1 . Por tanto, la sucesio n es acotada.Los hechos que se presentan a continuacio n son una consecuencia de la definicio n de sucesio n acotada que hemos visto:1) Para demostrar que una sucesio n esta acotada, tenemos que comprobar que ningu n valor de xn supera un determinado valor K .2) La definicio n no aporta un procedimiento que nos permita calcular el nu mero K . Observaremos que no hay un lugar donde se diga que esta cota sea u nica.3) Veamos co mo se puede demostrar que una sucesio n no esta acotada a partir de un caso concreto: que quiere decir que {xn } = n es no acotada?Para ilustrar este concepto so lo necesitaremos presentar una cota K , que sea, por ejemplo, 10. Para ver que la sucesio n no esta acotada, es necesario encontrar un valor de n tal que xn > 10. Por ejemplo, podemos tomar n = 11 teniendo en cuenta que x11 = 11 > 10. Si, en lugar de K = 10, tomamos K = 100, entonces tenemos que encontrar el valor de n tal que xn > 100. En este caso, n = 101, porque x101 = 101.Podramos dar un valor de K tan grande como se quiera y encontraramos un valor de n tal que xn > K. As, xn es no acotada.Una sucesio n es no acotada si para cualquier valor de K , arbitraria- mente grande, existe un n natural tal que |xn | > K .4) Recordemos que no es un nu mero real. Este hecho implica que una sucesio n con un nu mero finito de te rminos esta siempre acotada.Ejemplo 1.2.Demostremos que xn =
n2 +1 n
es no acotada.Tenemos que probar que dado un valor K arbitrariamente grande, entonces existe un valor de n tal que |xn | K .Sin embargo, xn =
n2 +1 1, que podemos escribir como xn = n +nn
> K . Puesto que npuede hacerse arbitrariamente grande, es imposible encontrar un valor K tal que xn < K para todo valor de n.Si queremos determinar el valor de n tal que xn > K , entonces n > K .Ejercicios1.2. Probad que xn =
n n +1
es acotada.1.3. Probad que xn = n2 es no acotada.1.4. Estudiad si la sucesio n 1, 1 , 2, 1, 1 , 3, 1, 1 , 4, 1, 1 , 5 ... es acotada.2 3 4 5xn1.5. Considerad la sucesio n establecida por la relacio n xn+1 =si esta sucesio n es acotada.1.3. Sucesiones mono tonas
con x1 = 1. Estudiad2Volvemos a las sucesiones del tema anterior, y consideramos las sucesionesde te rmino general xn = 1 , yn = n y zn = sin n.x = 1n
yn =nzn =sin nTal y como se observa en los gra ficos, la sucesio n xn decrece de maneraindefinida, yn crece indefinidamente y zn ni crece ni decrece. Una sucesio n {xn } s creixent es creciente si para todo n IN severifica que xn xn+1 . Una sucesio n {xn } es estrictamente creciente si para todo n INse verifica que xn < xn+1 . Una sucesio n {xn } es decreciente si para todo n IN se verifica que xn xn+1 . Una sucesio n {xn } es estrictamente decreciente si para todon IN se verifica que xn > xn+1 .Una sucesio n {xn } es mono tona si es creciente o decreciente.Ejemplo 1.3.Nos proponemos demostrar que la sucesio n con te rmino general xn =creciente.
n n +1
es mono tona
Notacio n?Si queremos comprobar que la sucesio n es mono tona creciente, tenemos que demostrar que xn xn+1 .
El smbolo quiere decir queno sabemos si la desigualdad es cierta o no.?xn xn+1n?n +1n?n +1?
n +1 (n + 1)+1 n +1 n +2 n(n + 2)n2 + 2n
(n + 1) (n + 1)? n2 + 2n +1 0 1Teniendo en cuenta que todas las desigualdades anteriores son equivalentes y la u ltima es cierta, entonces tenemos que todas las desigualdades son ciertas. As, la sucesio n es mono tona creciente.Ejercicios1.6. Demostrad que la sucesio n de te rmino general xn = n es creciente.1+ (1)n1.7. Estudiad si la sucesio n xn =
es creciente.n1.8. Probad que la sucesio n de te rmino general xn = n + (n + 1)+ + 2n es creciente.1.9. Estableced para que valores de x la sucesio n xn = xn es mono tona.Hemos resuelto el problema del ejemplo 1.3 con un me todo esta ndar, pero lo hubie semos podido resolver de otra manera: hemos definido las suce- siones como una aplicacio n de un subconjunto de los nu meros naturalesa los reales. So lo tenemos que ver si la aplicacio n tiene sentido cuando cambiamos n por x, pensando que esta definida en un subconjunto de los nu meros reales y que toma valores en los reales. De esta forma, podramos aplicar las teoras del ca lculo diferencial y, en particular, el hecho de queuna funcio n es creciente si su derivada es positiva.El estudio de las propiedades de xn = h(n) a partir de las propiedades deh(x) so lo se puede llevar a cabo si:1) Tenemos la expresio n explcita del te rmino general.2) La funcio n h(x) esta definida en el intervalo [1, +).No podemos aplicar esta idea si en la expresio n del te rmino general aparece kn , donde k es un nu mero real negativo, una funcio n de n! o una suma que vara te rmino a te rmino.Ejemplo 1.4.Demostramos que la sucesio n con te rmino general xn =
nn +1
es mono tona creciente.Para comprobar que la funcio n es mono tona creciente definimos h(n) = n
y cam-biamos n por x; entonces, h(x) =
xn +1 . Esta funcio n se define en [1, +) y es derivable.x +1 Calculemos su derivada: h (x) = 1 . Debido a que la derivada es siempre positiva,(x+1)la sucesio n es mono tona creciente.Ejercicios1.10. Indicad en que casos podemos estudiar el crecimiento de las sucesiones a partir del crecimiento de las funciones asociadas:a) xn = n.1+ (1)nb) xn = .nc) xn = n + (n + 1)+ + 2n.1.11. Demostrad que la sucesio n con te rmino general xn =no es mono tona.
n + (1)nn + (1)n+1
es acotada pero2n1.12. Comprobad que la sucesio n xn =n!
es acotada.2. Lmite de una sucesio nEn el siglo III a.C., Arqumedes intento calcular el nu mero . Su idea era utilizar una secuencia de polgonos regulares que tendan hacia el crculo.Construimos algunos polgonos regulares a partir del crculo de radio 1. Las figuras que obtenemos son:Polgono 4 lados. A rea = 2.Polgono 8 lados. A rea = 2,828...Polgono 16 lados. A rea = 3.Observamos que la sucesio n, adema s de ser creciente y estar acotada, parece que tiende hacia un nu mero determinado, el a rea del crculo, que es .Ejercicios111
1 1 12.1. Dada la sucesio n xn = 1, 1 2 , 1 2 + 4 , 1 2 + 4 8 ..., calculad los te rminosxn de manera explcita y estableced hacia do nde intus que tiende xn .2.2. Sea xn el a rea de un tria ngulo iso sceles de lado 1 y a ngulo
. Sin hacer ca lculos,2nexplicad por que la sucesio n x1 , x2 , x3 ... es decreciente. Hacia que nu mero tiende lasucesio n?Explicad gra ficamente por que la sucesio n x1 , 2x2 , 4x3 , 8x4 ... es creciente. Si tiende hacia un nu mero en particular, cua l es?2.1. Lmite de una sucesio nUno de los conceptos ma s complicados al embarcarnos en un primer curso de ana lisis matema tico es el de la convergencia. Consideremos la sucesio n que se define mediante esta recurrencia:1 xn+1 = 2
3 xn + .nSi calculamos los primeros te rminos, obtenemos la siguiente tabla:nxnx 2n
12345121,751,7321428571,73205081143,06253,0003188783,000000008
Notad que x2 tiende a 3 y, por tanto, parece que la sucesio n tiende a 3.Pero que significa que una sucesio n tiende hacia un nu mero? Empecemos por determinar que significa tender a 0.Ejemplo 2.1.De las sucesiones que tene is a continuacio n, cua les os parece que tienden a 0?1) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ... 1 1 1 1
1 1 12) 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ... 13) 1, ,2
1 1 1 1 1 1, , , , ,3 4 5 6 7 8
... 14) 1, ,2
1, 1,3
1 1 1, , 1,5 6 8
... 15) 0, ,2
1, 0,3
1 1 1, , 0,5 6 8
... Las sucesiones que parece que tienden a cero son la 2), la 3) y la 5), dado que podemos estar tan cerca de cero como queramos.Por ejemplo, consideramos la sucesio n 3), que viene dada por:1 1 1
1 1 1 11, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ... Supongamos que queremos encontrar el valor de n a partir del cual la sucesio n sea menor que 0,1.1Puesto que xn = n , si queremos que xn < 0,1 es necesario que:111n > 10 (x11 = 11 , x12 = 12 , x13 = 13 .. .).Vamos a ponerlo un poco ma s difcil: encontrad el valor de n a partir del cual la sucesio n sea menor que 0,01.1Puesto que xn = n , si queremos que xn < 0,01, es necesario que:111n > 100 (x101 = 101 , x102 = 102 , x103 = 103 .. .).Observad que no importa que cota os pidan, por pequea que sea (la llama- remos ); siempre hay un elemento de la sucesio n (N ) que verifica |xN | < ,|xN +1 | < , |xN +2 | < ... y todos los te rminos son menores que .En nuestro caso, si queremos encontrar el te rmino a partir del cual |xn | < ,1es necesario quen
< . Por este motivo n > 1 . Para finalizar, podemosasegurar que N = 1 + 1, donde [x] denota la parte entera del nu mero x.Ejercicio 2.3.Considerad la sucesio n xn =
( 1)n.n2a) Encontrad el te rmino a partir del cual |xn | < 0,1. b) Encontrad el te rmino a partir del cual |xn | < 0,01. c) Encontrad el te rmino a partir del cual |xn | < .A continuacio n presentamos el procedimiento que se sigue cuando quere- mos saber si una sucesio n tiende hacia un nu mero x:Dado un nu mero positivo , tan pequeo como se quiera, hay que encontrar un te rmino de la sucesio n, denominado N , tal que todos los te rminos de la sucesio n se encuentren a una distancia de x menorque , es decir, |xn x| < .Ejemplo 2.2.111
1 1 1 2Dada la sucesio n xn = 1, 1 2 , 1 2 + 4 , 1 2 + 4 8 ..., demostrad que tiende a 3 .2+ (1)En la solucio n del ejercicio 2.1 hemos probado que xn = 2 .33 , so lo tenemos que ver que, dado , podemos encontrar un N a partir del cual xn 2 < .Sustituyendo tenemos:
2+
(1)n 2n
2 < 3 3 ( 1) < 3 2n 13 2n13 1 ln3 1
< < 2n< n ln(2)lnPor lo tanto, N >
1 3 .ln 2
ln3 < nln 2Este ca lculo es formal, puesto que por lo general no se utiliza para calcular el lmite de una sucesio n. Ma s adelante desarrollaremos otros me todos que nos evitara n la realizacio n del ca lculo de lmites utilizando el juego de los .Llegados a este punto, ya estamos preparados para presentar una definicio n formal. Una sucesio n {xn } convergera o tendera al lmite x si para cualquier nu mero positivo (), tan pequeo como se quiera, encontramos un entero N que satisface |xn x| < si n > N .La sucesio n {xn } converge o tiende a x si para cada > 0 existe unentero N tal que |xn x| < para todo n > N .Entonces, escribiremos que limn
xn = x o bien que xn x cuandon .Una sucesio n se denomina convergente si x existe, y divergente en caso contrario.Antes de empezar con las propiedades de los lmites, vamos a detenernos un instante para analizar la definicio n que acabamos de dar.La convergencia hace referencia al comportamiento de la cola de la suce- sio n. As, si en una sucesio n cambiamos los 10 primeros te rminos (o los100 primeros o los 1.000 primeros), esto no afectara a la convergencia.Ejercicio 2.4.Determinad un ejemplo de sucesio n {xn } que sea divergente, pero tal que {|xn |} sea convergente.2.2. Propiedades del lmite de una sucesio nDada una sucesio n xn y un valor x, ya hemos visto el me todo para probar si la sucesio n tiende o no al lmite x. Es posible que la sucesio n tenga dos lmites? El teorema que veremos ahora nos indica que esto no es posible, es decir, que cuando una sucesio n converge, tiene lmite u nico.Si limn
xn = x y limn
xn = y, entonces x = y. Una sucesio n conver-gente tiene lmite u nico.Observad que toda sucesio n convergente esta acotada, ya que despue s de los primeros te rminos se ve restringida a moverse dentro de un lado.Toda sucesio n convergente es acotada.Definicio nDecimos que k es cota superior de la sucesio n {xn }si xn < k para todo n.Decimos que k es cotainferior de la sucesio n {xn } sixn > k para todo n.Creciente acotada Creciente no acotadaObservamos que la segunda sucesio n corresponde a xn = n; no es acotada y, en consecuencia, no puede converger (hemos probado que una sucesio nconvergente es acotada). En el gra fico de la izquierda hemos representadonxn =
, que es convergente y parece converger hacia la menor cotan +1 .superior de xnTeorema de la convergencia mono tonaa) Una sucesio n creciente acotada superiormente {xn } es convergen- te y el lmite es la menor de las cotas superiores.b) Una sucesio n decreciente acotada inferiormente {xn } es conver- gente y el lmite es la mayor de las cotas inferiores.Ejemplo 2.3.Aplicamos el teorema a una sucesio n curiosa. Probemos que la sucesio n:tiene lmite.
xn = 1 +
1 1++ ... +2 3
1n 1
ln nRecordemos que la funcio n ln t viene dada por el a rea cerrada entre 1 y t de la funcio n1f (t) = .t
ln t =
t 1
dx.1Observemos que el valor de 1++
1 x1 1+ ... +
es el a rea de los recta ngulos (como2 3 n 1podemos ver en la segunda figura del margen), de donde tenemos que la sucesio n xn es el a rea sombreada.Tambie n se aprecia que xn es creciente, ya que xn+1 es igual a xn ma s el a rea entre x = ny x = n + 1.Y la sucesio n esta acotada por 1, puesto que los valores de xn se pueden colocar en un cuadrado de a rea 1.Esta sucesio n es creciente y es acotada; por lo tanto, tiene lmite. Su lmite es la llamadaconstante de Euler 0.57...
a rea sombreada == 1 + 1 + 1 + 1 + 12345El teorema es u til en especial cuando las sucesiones vienen dadas por una relacio n de recurrencia. Es difcil aplicarlo en caso de que la sucesio n se defina mediante su te rmino general, porque no siempre resulta fa cil verque es acotada.
a rea sombreada == 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ln 62345Ejercicios2.5. Calculad el lmite de xn =acotacio n de la funcio n.
n x para x > 0, demostrando antes la monotona y la2.6. Considerad la sucesio n definida por la recurrencia:xn+1 =
1 2 xn + .2 xnCon x1 = 2; estudiad la monotona de la sucesio n e indicad si esta acotada y si tiene lmite.2.3. Aritme tica de los lmites finitosA continuacio n veremos una serie de resultados que nos permiten calcular lmites sin utilizar la definicio n.Dadas las sucesiones {xn } e {yn } tales que lim
xn = x y limn
yn = y,entonces:1) Para cualquier nu mero , limn
xn = x.2) limn
xn + yn = x + y.3) limn
xn yn = x y.4) limn
xn yn = x y.5) Si y = 0, lim
xn = x .n yn y6) limn
xyn = xy .Una de las propiedades ma s u tiles de la aritme tica de los lmites finitos esla denominada regla del bocadillo.Regla del bocadilloSi {xn } y {zn } son dos sucesiones convergentes tales que lim
xn == limn
zn = x, si xn yn zn n > n0 ; entonces yn es convergentey limn
yn = x.Ejemplo 2.4.Mediante el uso de la regla del bocadillo calculamos el lmite de la sucesio n de te rmino general:Observamos que:
1xn =n2
1+(n + 1)2
+ +
1.(n + n)2(n + 1)
1 min,n2
1 (n + 1)2
, ,
1 (n + n)2
xn =
1 1+n2(n + 1)2 1
+ +1
1(n + n)2 1 (n + 1)
max
, , ,n2 (n + 1)2 (n + n)2Puesto que la funcio n f (x) = 1x21
es decreciente, entonces:1(n + 1)
xn = 1
1
1
(n + n)2
n2 + (n+1)2 + + (n+n)2 (n + 1) n2n +1
1
1
n
n +1 4n2 xn = n2 + (n+1)2 + + (n+n)2 n2Hacemos un paso en el lmite y tenemos:limn
n +1 4n2
limn
1xn =n21
1+(n + 1)21
+ +
1 (n + n)21
limn
n +1 n20 limn
xn =n2
+(n + 1)2
+ +
(n + n)2
0.Por la regla del bocadillo tenemos que limn
1xn =n2
1+(n + 1)2
+ +
1 (n + n)2
= 0.Ejercicio 2.7.Con la ayuda de la regla del bocadillo, calculad los lmites de:a) xn =b) xn =c) xn =
n+n2 +1 1+n2 +1 sin n .n
nn2 +2 2n2 +2
+ ++ +
n .n2 + nn .n2 + nd) xn =
cos 1 + cos 2 + ... + cos n .n2e) xn =
n + ( 1)n.n + cos nComo consecuencia de la regla del bocadillo, obtenemos el siguiente re-sultado:TeoremaSi {xn } es una sucesio n convergente tal que lim
xn = 0 y {yn } es unasucesio n acotada (no necesariamente convergente), entonces xn ynes convergente y limn
xn yn = 0.Ejemplo 2.5.Calculemos limn
sin n .n1Observemos que limn n
= 0 y que sin n esta acotada por 1. Por la propiedad anteriorsin npodemos asegurar que limn n
= 0.2.4. Sucesiones con lmite infinitoHasta ahora so lo hemos tratado sucesiones que tienen lmite acotado. Sinembargo, que
sucede con las sucesiones crecientes y no acotadas, porejemplo 1, 2, 3 ... o bien 1, 4, 9 .. .? Estamos tentados de afirmar que las sucesiones tienden a .Observad que no so lo las funciones mono tonas crecientes son las que podemos esperar que tiendan a . Considerad la sucesio n de te rmino ge-neral n + (1)n ; los primeros te rminos son 0, 3, 2 5, 4 1.000,1.003 ... Os parece que tiene la propiedad de tender a ?Cuando hemos definido el concepto de sucesio n convergente hacia un nu mero x, la idea ha sido dar un nu mero tan pequeo como quisie - ramos cercano a x, y ver que a partir de un determinado te rmino, la sucesio n estaba tan pro xima a x como el nu mero establecido, y que no se alejaba. Utilizaremos la misma idea para definir el concepto de tender a .Es cierto que la sucesio n xn = n + (1)n tiende a ? Es decir, a partir de un determinado te rmino, el resto toma valores superiores a 10? Estete rmino es x102 = 103. Es cierto que los te rminos de la sucesio n sonsuperiores a 100? La respuesta es que a partir de x10.002 = 10.003, s. Yas podramos estar jugando hasta que nos cansa semos: so lo es necesario tener en cuenta que, dado un k arbitrariamente grande, hay que encontrar el te rmino de la secuencia a partir del cual todos los te rminos siguientes son mayores que k.Una sucesio n {xn } tiende a + si para todo nu mero real K > 0 existeun entero N tal que n > N ; en este caso, xn > K . Lo denotaremospor limn
xn = +.Una sucesio n {xn } tiende a si para todo nu mero real K < 0 existeun entero N tal que n > N ; entonces, xn < K . Lo denotaremos porlimn
xn = .2.5. Aritme tica de los lmitesEn la aritme tica de los lmites finitos, todos los casos aparecen deter- minados, mientras que en la aritme tica de los lmites infinitos quedan casos indeterminados y no es posible determinar a priori el valor del lmite.Consideramos el caso +. Presentamos ahora unos cuantos ejemplos: Sea xn = n y yn = n2 , entonces limn
xn = + y limn
yn = .Y limn
xn + yn = limn
n n2 = . Sea xn = n y yn = n, entonces limn
xn = + y limn
yn = .Y limn
xn + yn = limn
n n = 0. Sea xn = n2 y yn = n, en tal caso limn
xn = + y limn
yn = .Y limn
xn + yn = limn
n2 n = .En cualquiera de los casos que hemos presentado sera necesario llevar a cabo un estudio particular.A continuacio n presentamos una serie de tablas que restringen el lmite de una suma, de un producto y de una potencia.1) limn
xn + yn .Donde a y b son nu meros reales.2) limn
xn yn . La funcio n signosgn(x) =
1 si x < 01 si x > 0Donde a, b IR {0}.3) limn
xyn .
nDonde a (0, 1),b > 1 y c IR {0}.No es lo mismo que el lmite tienda a 1 que el hecho de que la sucesio n seaconstante igual a 1. El lmite de la sucesio n constante igual a 1 es 1.2.6. Co mo solucionar las indeterminaciones?No existen reglas generales que nos permitan resolver los lmites indeter- minados; no obstante, se pueden dar algunas indicaciones.2.6.1. Me todo generalSuponemos que tenemos el te rmino general xn = h(n), donde h(x)esta bien definida para x lo bastante grande.Si lim h(x) existe, entonces lim
xn = lim h(x).x
n
xEl me todo no se puede aplicar si aparecen expresiones de la forma (1)n ,n! o sumas en las que el nu mero de te rminos depende de n.Si el lim h(x) no existe, entonces el lim
xn puede existir o no.x
nEjemplo 2.6.Calculemos el limn
1 n sin .nObservemos que limn
n = y que limn
1 sin n = 0. Es un lmite de la forma 0 y,por lo tanto, indeterminado.Calculamos el lmite pensando en que la variable es continua, y lo transformamos en un lmite de la forma 0 para poder aplicar la regla de LHpital:limx+
x sin
1 x
= limx+
sin 1 1 =xcos 1
1 =limx+
x x2 1=limx+
cos
x2 1 = cos 0 = 1. xPuesto que el lmite existe, tenemos que limn
1 n sin = 1.nEjemplo 2.7.Consideremos el limn
n + (n + 1) + ... + 2n . Este lmite no se puede calcular por elme todo general, ya que la cantidad de sumandos del te rmino general depende de n.Ejemplo 2.8.Consideramos el limn
sin(2n). Aplicamos el me todo general y el lim sin(2x) no exis-xte, mientras que sin(2n) es 0 para todo n. Por lo tanto, el limn
sin(2n) = 0.2.6.2. Caso 00 y 0Queremos calcular lim
xyn . Suponemos que lim
xyn
= l; si tomamosn n
n nlogaritmos neperianos en cada miembro de la igualdad, obtenemos que:limn
yn ln xn = ln l,de donde tenemos que:
liml = en
yn ln xn.En tal caso, so lo tenemos que resolver la indeterminacio n del tipo 0 .Ejemplo 2.9.Calculemos limn
1 n n2 .1
1 El limn
n = y el limn n2
= 0, lo cual quiere decir que el limn
n n2 es la de forma 0y, en consecuencia, indeterminado.limAplicamos el hecho de que l = en
yn ln xn
a nuestro caso: 1
lim
1ln n
lim
ln nlimn
n n2 = en n2
= en n2 .Observamos que ahora tenemos un lmite de la forma que ya se encuentra en la formageneral; por lo tanto:
ln n
ln x1 1lim
= lim
= lim
x = lim
= 0.n n2
x x2
x 2x
x 2x2De esta manera, limn
1 n n2 = e0 = 1.2.6.3. Caso 1Este caso necesita algo de justificacio n. Comencemos por la sucesio n:xn =
1 n1+
. nSe puede demostrar que la sucesio n xn = 1+ 1
es acotada y crecientey, por lo tanto, tiene lmite. El valor de este lmite recibe el nombre de nu mero e.Es decir:limn
1 n1+
= e nEn general, si {xn } es una sucesio n de nu meros reales tales que lim
xn = ,entonces limn
1 xn1+ xn
= e.Conversio n de la indeterminacio n 1 a 0 Si limn
xn = 1 y limn
yn = , entonces:limn
limxyn = en
(xn 1) ynEjemplo 2.10.Calculemos:
a 1
1 nlimn
n + b n2
, a > 0 y b > 0.11Calculamos limn
a n + b n2
1+1 =2
= 1 y limn
n = ; por tanto, es de la forma 1 .Aplicamos:entonces:
limn
limxyn = en
(xn 1) yn; a 11 a 1
1 n
lim
n + b n 1 nlimn
n + b n2
= en2 .Para calcular el lmite cambiamos la n por x:11 a 11
a x +b x
limx
x + b x2 1
x = limx
2 11x11=limx
a x ln a +b x ln b 1 2 x 2 1 x211=limx
a x ln a + b x ln b=2ln a + ln b=2
= ln a b, a 1
1 n
de donde tenemos que limn
n + b n2
= eln
ab = a b.2.6.4. Criterio de StolzHasta el momento hemos estudiado situaciones donde era posible pasar al caso general.El criterio de Stolz resulta u til especialmente para determinar el lmite de sucesiones en las que aparecen sumas de te rminos que se incremen- tan con n.Criterio de StolzSean {xn } e {yn } dos sucesiones donde {yn } es mono tona creciente o decreciente e yn = 0 n IN tales que:o bien:
limn
xn = limn
yn = 0 limn
yn = .Si existe = lim
xn+1 xn
IR {, +}, entonces tenemosque lim
n yn+1 ynxn = .n ynEjemplo 2.11.Calculando limn
12 + 22 + ... + n2n3
, vemos que {n3 } es creciente y que limn
n3 = y,por tanto, podemos aplicar el criterio de Stolz:lim
12 + 22 + ... + (n + 1)2 (12 + 22 + ... + n2 )
= lim
(n + 1)2
= 1 .n
(n + 1)3 n3
n 3n2 + 3n +1 32.6.5. Desarrollo en polinomio de TaylorSupongamos que queremos calcular lim n! sin 1 . En este caso no pode-n n!mos definir una funcio n de x y aplicar la regla de LHpital porque contiene una expresio n n!. Cuando nos encontramos ante este problema, podemos utilizar desarrollos en polinomio de Taylor en x = 0. Esta te cnica so lo esaplicable si el error que tenemos tiende a 0 cuando n tiende a .Observamos que el desarrollo en polinomio de Taylor de la funcio n sin xcuando x esta pro xima de 0 es:x3 x5 7sin x = x 3! + 5! + O(x ).Si f (x) es una funcio n tal que lim f (x) existe y el lmite es finito, entoncesx0 xidecimos que f (x) = O(xi ) (se lee f (x) es del mismo orden que xi ).Algunas de las propiedades de los O(xi ) son:1) O(xi )+ O(xj ) = O(xi ) si i j.2) Si k es un valor constante, entonces kO(xi ) = O(xi ).3) xj O(xi ) = O(xi+j ).4) O(xi )O(xj ) = O(xi+j ).Ejercicio 2.8.Calculad los siguientes lmites, si es que existen:a) lim
n + a n
. b) lim
n2. c) lim
4n3
+ 8n 1 .n
n + bn!
n n +2 1+2+ + n
n
7n3 + 6nln n!d) limn nn
. e) limn
5n2
. f) lim .n ln nng) limn
1! + 2! + + n!n!
. h) limn
1+ 22 + + nnnn
. i) limn
n n!. n3. Series de nu meros realesConsideremos n nu meros reales a1 ,..., an , la suma de los cuales es a1 + +an . Una manera ma s compacta de presentar esta suma es mediante la notacio n siguiente:n ai .i=1Recordemos algunas de las sumas finitas ma s conocidas:n2,i=1
n i2 =i=1
n(n + 1)(n + 2) y6
n i3i=1
n(n + 1) 2= .2El problema es que sucede si en lugar de tomar un nu mero finito de te r- minos, tomamos un nu mero infinito. Este problema se lo plantearon por primera vez en la antigua Grecia, y fue Zeno n quien lo formulo indirecta- mente.Aquiles trata de alcanzar una tortuga en movimiento que le lleva cierta ventaja. Durante el tiempo invertido por Aquiles en llegar a la posicio n donde se encontraba la tortuga, e sta ha realizado un pequeo desplazamiento. As, cuando Aquiles recorre la distancia que le separa de la posicio n que ocupaba la tortuga, e sta ya ha vuelto a desplazarse. De este modo, Aquiles nunca llegara hasta la tortuga.Imaginemos que la tortuga decide esperar a Aquiles; en tal caso, e ste tendra que recorrer la mitad de la distancia que lo separa de la tortuga, despue s la mitad de la mitad, y as sucesivamente; en consecuencia, Aquiles nunca llegara a la posicio n de reposo de la tortuga. Ante este concepto de regresio n infinita, llegaremos a la conclusio n de que Aquiles nunca hubiese podido empezar su desplazamiento y, por tanto, el movimiento es imposible.Observad que este razonamiento se basa en la posibilidad de fraccionar el espacio (o el tiempo) en intervalos tan pequeos como queramos. Las matema ticas que modelan la realidad admiten posibilidades como e sta, lo cual llena de sentido los conceptos de continuidad y de ca lculo infinitesi- mal. Desde un punto de vista matema tico, un segmento es infinitamente divisible, mientras que un alambre no lo es. El segmento matema tico es un modelo que permite estudiar la realidad fsica, no una copia fiel de la realidad, motivo por el cual nos resultara u til a la hora de estudiar pro- blemas relacionados con cuerpos materiales (cuerdas vibrantes, cuerposrgidos, etc.). Por otra parte, nos va a proporcionar el modelo del tiempo y el espacio como un continuo.Realmente, el movimiento es observable. Los filo sofos Aristo teles y Berg- son han distinguido entre la posibilidad ideal de fraccionar de manera indefinida el espacio y el tiempo, y la posibilidad de hacerlo realmente. Si lo consideramos desde este punto de vista, la paradoja de Zeno n no es tal paradoja.Sin embargo, ya pode is suponer que esta manera de hacer las cosas no acaba de convencernos, ya que significara, entre otras cosas, tener que cambiar las matema ticas, puesto que no modelaran la realidad que vemos.Admitimos la posibilidad de fraccionar de manera indefinida el tiempo y el espacio, lo cual nos conduce a la introduccio n del concepto de serie.Para evitar encontrarnos con dos cuerpos movie ndose, supondremos que la tortuga esta parada a una distancia de una unidad de Aquiles. Tambie n supondremos que Aquiles esta situado en el centro de coordenadas y que se mueve con una velocidad uniforme v. Observamos que Aquiles tarda 1 para llegar a una distancia de A1 = 1 unidades de la tortuga. Para recorrer la mitad de la distancia que separa a Aquiles de la tortuga ( 1 unidades), eltiempo es 1 . Y as sucesivamente.Si denominamos A0 el punto de partida y An los puntos donde se situ a Aquiles sucesivamente, la distancia que ha recorrido Aquiles cuando se encuentra en An es 1 1 , y el tiempo que ha necesitado es 1 + 1 +.. .+ 1 .2nCua nto vale esta suma?
2v22 v
2n vNo olvidemos que Aquiles se mueve a una velocidad constante (v) y, de- bido a que la distancia recorrida es 1 1 , tenemos que el tiempo que hanecesitado Aquiles es Tn = 1 1 1 . Por tanto:v2n111
1 1 +2v22 v
+ ... +
=1.2n v v 2nCuando n tiende a infinito, tenemos que la distancia tiendea1y el tiempo que tarda Aquiles en atrapar a la tortuga es 1 . Observad que Zeno n no tuvo en cuenta que la acumulacio n indefinida de cantidades (espacios o tiempos) puede tener como consecuencia una cantidad finita (es decir, un nu mero). Debemos a Eudoxo y Arqumedes la primera formulacio n de la idea de que cantidades finitas se alcanzan por acumulacin de cantidades infinitas. Sin embargo, hasta la llegada de Euler no se llevara a cabo su formulacio n completa.3.1. Concepto de serieSea {an } una sucesio n de nu meros reales. Consideramos la sucesio n aso- ciada {Sn } de sus sumas parciales:Sn = a1 + a2 + + an .Se conoce como serie la pareja formada por las dos sucesiones {an } y {Sn },que representaremos mediante el smbolo: an .n=1Una serie es convergente si converge la sucesio n de sus sumas par- ciales, y denominamos suma de la serie el lmite de la sucesio n de sus sumas parciales, que representamos mediante el smbolo: an .n=1Si una serie no es convergente, se denomina divergente.Observad que una serie es un tipo muy particular de sucesio n.3.2. Series geome tricasAl empezar el apartado ya estuvimos viendo esta serie que se conoce por serie geome trica de razo n k en kn . Si la n empieza a partir de 0, se trata de la serie 1+ k + k2 + + kn + Partimos de la sucesio n de las sumas parciales hasta el te rmino n; en tal caso:
Notacio nEl smbolo an denota an , donde n0 es unn=n0nu mero natural.Sn = 1 + k + k2 + + kn .La ventaja de hacer sumas parciales es que podemos multiplicar y sumar de la manera tradicional. Por tanto:Sn= 1 + k + k2 + + kn ,kSn= k + k2 + k3 + + kn+1 .Tras restar ambas expresiones, tenemos:kSn Sn = kn+1 1.Por tanto:
kn+1 1Sn =
k 1 .Puesto que la serie es el lmite de las sumas parciales, nos encontramos conque esta serie converge si |k| < 1 y su lmite es ki =i=0
1.1 k Para |k| > 1, el lmite de la sucesio n de sumas parciales tiende a infinito. Para el caso k = 1 tenemos que:Sn = 1 +1+1+ +1 = n + 1.Por tanto, la sucesio n de sumas parciales tiende a infinito. Para k = 1 nos encontramos con que:Sn = 1 + (1) +1+ (1) + + (1)n .Entonces, si n = 2k, tenemos que S2k = 1; si n = 2k + 1, obtenemos que S2k+1 = 0. Por tanto, la sucesio n de las sumas parciales es oscilante: en algunas ocasiones es 0 y en otras es 1. En este caso, dado que la sucesio n no converge, la serie es divergente.Convergencia de la serie geome trica segu n los valores de k: ki esi=0
convergente si |k| < 1
divergentesi |k| 11Adema s, si |k| < 1 su suma es . kEjemplo 3.1.Calculemos kn con |k| < 1.n=mEscribimos primero la suma parcial hasta el te rmino n con m < n; entonces:Sn = km + km+1 + km+2 + + kn .De esta forma:
Sn= km + km+1 + km+2 + + kn ,kSn= km+1 + km+2 + km+3 + + kn+1 .Restando ambas expresiones, tenemos:kSn Sn = kn+1 km ,que permite escribir:
Sn =
kn+1 km. k 1Si pasamos al lmite cuando n tiende a infinito, tenemos: ki = k .i=m
1 kEste ejemplo nos permitira ilustrar el siguiente teorema:La insercio n o la supresio n de un nu mero finito de te rminos en una serie convergente no influye en su convergencia, pero s en su suma.Si se aade o se suprime un nu mero finito de te rminos en una serie divergente, e sta continu a siendo divergente.Observamos que hemos conseguido llegar al estudio completo de la serie geome trica: tenemos la capacidad de determinar su convergencia y, en caso de que sea convergente, tambie n podemos calcular su suma.La serie geome trica es convergente. En este caso, si |k| < 1: ki = k .i=m
1 kA la hora de estudiar una serie, nos planteamos dos preguntas fundamen- tales:a) Cua ndo es convergente una serie?b) Si la serie es convergente, cua l es el valor de su suma?3.2.1. La sucesio n an debe tender a ceroSi una serie es convergente, entonces la sucesio n {an } debe tender a 0. Si {an } tendiese a una constante K , entonces la sucesio n de las sumas parciales, para n grande, se comportara como nK . Esta sucesio n no se encuentra acotada, de manera que la serie es divergente.Si an es convergente, entonces limn
an = 0.El hecho de que limn
an = 0 no implica que an sea convergente.Esto significa que la condicio n limn
an = 0 es necesaria pero no suficiente.Como veremos en el siguiente apartado, existen series cuyo te rmino gene- ral tiende a 0 pero la serie diverge.Este criterio resulta inu til si lo que queremos saber es si una serie es diver-gente: so lo hay que ver que limn
an = 0.Ejemplo 3.2.Vamos a estudiar si existe alguna posibilidad de que la serie 1
sea convergente.Ya que lim
1= 0, entonces puede ser convergente o no.n n!Ejemplo 3.3.Ahora estudiaremos si hay posibilidades de que la serie n sea convergente.Puesto que limn
n = , podemos asegurar que es divergente.Ejercicio 3.1.Determinad de entre estas series cua les pueden ser convergentes:a) b n . b) b n . c) np .Nota: Pode is usar que lim
nan = 0 lim
n!|an | = 0 n
n3.3. La serie armo nica generalizadaSi una serie converge, entonces los nu meros an deben tender 0, cuando n es grande. Podemos encontrar ejemplos de sucesiones {an } en los que la serie no converge, aunque:limn
an = 0.Consideramos ahora la misma paradoja que la de Zeno n, suponiendo que la velocidad decrece gradualmente, de manera que Aquiles necesita T mi- nutos para ir de 1 a 1 , T minutos para ir de 1 a 3 , T minutos para ir de 32 2a 7T
2 4 3 4 1 18 y, en general, n minutos para ir de 2n1 a 2n .La serie infinita que vemos a continuacio n representa el tiempo total que necesita para la carrera:T + T + T + + T + 23nEn este caso, la experiencia fsica no sugiere ninguna suma obvia o na- tural para asignar a esta serie, de ah que sumemos de manera matema tica.Podemos ver co mo se comporta la serie:11+ +2
113 + + n
+ sumando sus te rminos con la ayuda de un ordenador. Entonces observa- remos que a partir de un te rmino determinado, la suma acumulada deja de crecer. Y esto sucede porque, a partir de un momento dado, los te rminos que se acumulan son tan pequeos en comparacio n con la suma ya acu- mulada, que el nu mero de dgitos que muestra el ordenador no refleja el incremento que se produce en la suma. Este hecho puede inducirnos a pensar que la llamada serie armnica es convergente; sin embargo, no es as.Para comprobar que una sucesio n (en este caso, la de las sumas parciales) no converge, so lo hay que ver que alguna de las subsucesiones no conver- ge. Consideramos la sucesio n indicada por las sucesivas potencias de 2, kn = 2n con n = 1, 2 ... El razonamiento que seguiremos se lo debemos al matema tico france s Nicola s de Oresme (s. XIV):1111Skn= 1 + 2 + 3 + 4 + + 2n == 1 +
1 1++231 1
1 4+ +1
12n1 +1 1
+ +1
1 2n >> 1+ 2 +4 + 411
+ +1
++=2n 2nn= 1 +
2 + 2 + + 2
= 1 + .2Es evidente que Skn se hace tan grande como queramos y que, por lo tanto,n es divergente.La generalizacio n de la serie armo nica es: 1npy se denomina serie armo nica generalizada.Convergencia de la serie armo nica generalizada en funcio n de losvalores de p: 1 esnp
convergente si p > 1
divergentesi p 13.4. Propiedades generales de las seriesLas propiedades de mayor relevancia que verifican las series son e stas:1) Si aadimos o suprimimos un nu mero finito de te rminos que sumen A, la serie nueva tiene el mismo cara cter que la primera. Si la primera serie es convergente y su suma es S, entonces la suma de la segunda serie es S A, que modifica la suma pero no el cara cter de la serie.2) El cara cter de una serie no cambia si multiplicamos por un nu merok = 0. En este caso: kan = k ann=1
n=13) Si an y bn son series convergentes con lmites S1 y S2 , entoncesn=1
n=1 an + bn = S1 + S2 .n=14. Series de te rminos positivos4.1. DefinicinUna serie es de te rminos positivos si el te rmino general es siempre positi- vo, es decir, an > 0 para todo valor de n. Los criterios que se siguen hacen referencia a las series de te rminos positivos.4.2. Criterios de comparacio nA continuacio n vamos a explicitar un par de criterios que, de hecho, ya hemos utilizado.Comparacio n por diferenciaDadas dos series an y bn tales que an bn n si n n0 :a) Si an diverge, entonces bn diverge.b) Si bn converge, entonces an converge.Ejemplo 4.1.Demostremos que 1 es convergente.Puesto que 1 < 1 y 1 es convergente, entonces 1 es convergente.2n +12n 2n
2n +1Ejemplo 4.2.Demostremos que 1n1
es divergente.Debido a que 1
> 1 y 1 es divergente, entonces 1
es divergente.n1n n
n1Comparacio n por paso al lmite por divisio nSi tenemos dos series an y bn :a) Si lim
an < y b
converge, entonces a
converge.n bnnnb) Si lim
an = 0 y b
diverge, entonces a
diverge.n bnnnEjemplo 4.3.Demostremos que 1 es convergente.2n 1Observamos que:
limn
1
2n 1 1 2nAl ser 1 convergente, entonces 1 es convergente.2n 2n 1A la hora de estudiar el cara cter de una serie es conveniente simplificar su te rmino general.Ejemplo 4.4.Probamos que n=1
1+ 1 n 1+ 2n
1 n 2
es convergente.Cuando n , podemos ver que 1+ 1
e y que 1+ 1
1. Por tanto, elte rmino dominante es 2n .Si comparamos el te rmino general de la serie con 1 tenemos: 1+ 1 n 1+ 1 2nnlim
2n = lim
1 1+1+
1 = e.n12n
n n 2Puesto que 1 es convergente y el lmite del cociente es finito:n=1
1+ 1 n 1+ 2n
1 n 2es convergente.4.2.1. Criterio de PringsheimA estas alturas ya hemos estudiado dos series de te rminos positivos: la serie geome trica y la serie armo nica generalizada.Supongamos que ahora queremos estudiar la convergencia de una serie de te rmino general an . Aplicamos el criterio de comparacio n por paso al lmite con la serie armo nica generalizada.Recordemos que la serie armo nica generalizada verifica: 1 esnp1
convergente si p > 1divergentesi p 1pSi bn =, lo u nico que tenemos que hacer es calcular el limn
n an . Me-diante el criterio de comparacio n de la divisio n tenemos:1) Si limn
1np a 1.)np2) Si limn
np an = 0 y bn diverge, entonces an tambie n diverge. (Don-de 1np
diverge si p
1.)Criterio de Pringsheima) Si limnb) Si limn
np an < y p > 1, entonces an converge.np an = 0 y p 1, entonces an diverge.Observaciones1) Resulta especialmente u til cuando tenemos expresiones del tipo n . Por este motivo sera conveniente aplicar infinite simos que transformen las funciones en expresiones polinomiales.2) El nu mero p se elige, en general, como la diferencia de grados entre el denominador y el numerador.Ejemplo 4.5.Estudiemos el cara cter (la convergencia o la divergencia) de n +2 .n3 +3 sin nLa funcio n seno esta acotada cuando n . Puesto que el numerador es de grado 1 y el denominador grado 3, entonces p = 3 1 = 2.Comprobe moslo:lim
n2n +2
= lim
1+ 2
= 1.n
n3 +3 sin n
n 1+3 sin n Puesto que el lmite es finito y p = 2 > 1, entonces tenemos que n +2 esn3 +3 sin nconvergente.Ejemplo 4.6.Estudiemos el cara cter (la convergencia o la divergencia) de ln n .nEl criterio general es igualar las potencias del numerador y del denominador. Por este motivo, tendramos que escoger p = 2.Calculemos el lmite:
lim
n2 ln n = lim
ln n = .nn2
nEl lmite es y p = 2 > 1. Por lo tanto, el criterio no decide.Si escogemos p = 1, entonces:
lim
n1 ln n = lim
ln n.nn2
n nCalculamos este lmite aplicando la regla de LHpital al lmite de la funcio n asociada:lim
ln x LHpital= lim
1 x = 0.Por lo tanto:
x x
x 1lim
n1 ln n = lim
ln n= 0.nn2
n nDebido a que el lmite resulta 0 y p = 1, el criterio no decide.Pero nadie esta diciendo que las p tengan que ser enteras. Escogemos p = 1 + 1 ; entonces:2lim
1 ln n n2
= lim
ln n
= 0.n
n2n n 2El lmite es 0 y p = 1 + 1 > 1. Ahora estamos en condiciones de aplicar el criterio de2Pringsheim y, por tanto, la serie ln n es convergente.n24.2.2. Criterio que proviene de la serie geome tricaYa hemos encontrado un criterio que utiliza la serie armo nica generaliza- da como modelo. Sin embargo, recordemos que tenamos otra serie, la geome trica, que verifica: ki esi=0
convergente si |k| < 1divergentesi |k| 1Cua ndo podemos afirmar que una serie se comporta como la serie geo- me trica?Observemos que el te rmino general de la serie geome trica es an = kn y recordamos que al desarrollar el tema de sucesiones ya habamos estudiado diferentes formas de determinar que una sucesio n en el lmite se comporta como kn .Una primera manera de decirlo es: limn
an+1 = k. Esto quiere decir que enanel lmite an+1 = kan y que, por tanto, se comporta como si fuese an = kn .Dado que la serie geome trica es convergente si k < 1, entonces tenemos que an es convergente. Ana logamente, si k > 1, entonces an es divergente. El caso k = 1 es dudoso.Aplicad este criterio a la serie armo nica generalizada.Criterios del cociente y de la razDada la serie an tal que an > 0 n IN, suponemos quen=1lim
an = (cociente) o bien lim
n an
= (raz). Entonces:n an1
na) Si < 1, la serie an es convergente.n=1b) Si > 1, la serie an es divergente.n=1c) Si = 1, el criterio no decide.Es conveniente aplicar el criterio del cociente cuando hay expresiones de la forma kn o n!.Es conveniente aplicar el criterio de la raz en caso de que haya expresiones de la forma nn .A veces es conveniente sustituir n! por en nn 2n (fo rmula de Stirling).Ejemplo 4.7.Determinemos para que valores de p > 0 la serie npn converge.n=1Si queremos aplicar el criterio del cociente, antes tenemos que calcular el lmite:limn
an+1an
= limn
(n + 1)pn+1npn
= p limn
n +1 n
= p.Por tanto, la serie es convergente si 0 < p < 1 y es divergente si p > 1. Para p = 1, elcriterio no decide. Sin embargo, para p = 1, la serie es n. Puesto que el te rminon=1general no tiende a 0 ( limn
n = ), tendremos que para p = 1 es divergente.La serie converge si 0 < p < 1 y diverge si p 1.4.2.3. Criterio de la integralConsideremos una funcio n y = f (x) decreciente x n0 ; entonces, como podemos ver en el gra fico del margen:Por lo tanto: Ana logamente:
n f (k) k=2 f (k) k=2
nf (x)dx.1 f (x)dx.1
Suma por defecto nn1f (x)dx f (k).1 k=1Puesto que la integral y las series esta n encajonadas, se puede afirmar quela serie y la integral tienen el mismo cara cter.
Suma por excesoCriterio de la integralSea y = f (x) una funcio n tal que f (x) > 0 y decreciente para x n0 .Entonces, f (k) y f (x) tienen el mismo cara cter.k=1Ejemplo 4.8.Vamos a determinar el cara cter de la serie n=2
1. n ln nEl te rmino general de la serie se establece a partir de f (n) = 1n ln n
; por lo que tienesentido definir la funcio n real f (x) = 1x ln x
. Observad que so lo nos interesa lo que pasaen el infinito, motivo por el cual el extremo inferior es siempre arbitrario. 1
c 1= lim
= lim ln ln x|c = lim ln ln c ln ln a = .ax ln x
c
a x ln x
c
cDado que la integral es divergente, tenemos que la serie n=2
1n ln n
tambie n es divergen-te.Ejercicios4.1. Estudiad la convergencia o la divergencia de las siguientes series:a)
n.b) n +1
c)
1 | sin n| .n=1
(4n 1)(4n 3)
2nn=1
n=1
n +1 n2
n2n=1 ne)
ln n
. f) nen2 . g) (n!)
. h) 5n=1
nn +1
n=1
n=1
(2n)!
n=1
n nni) 2
+1 . j)
n .n=1
3n +1
n!n=14.2. Determinad para que valores de x > 0 las series que tenemos a continuacio n son convergentes: na) nxn . b) x . nnn=1
n=14.2.4. Estimacio n del errorUno de los problemas con que nos encontramos a la hora de estudiar series es que tenemos la capacidad de determinar si convergen, pero en caso de que converjan es bastante difcil determinar con exactitud cua l es su suma.En la pra ctica, so lo nos interesa determinar la suma con una cierta preci- sio n y, para hacerlo, sumamos un nu mero finito de te rminos. Es decir, kqueremos calcular an y, en lugar de esto, calculamos an ; entonces,n=1el error que cometemos es: kErrk = an an =
n=1an .n=1
n=1
n=k+1Pero si escribimos an = f (n) y f (x) es una funcio n positiva mono tonadecreciente, se tiene que:n=k+1
an
f (x)dx,kya que el valor de la integral es el a rea delimitada por la curva y el eje X ,y la suma de la serie es la suma de las a reas de los recta ngulos.Cuando an = f (n) y f (x) es mono tona decreciente, entonces:k Errk = an an =
an
f (x)dx.n=1
n=1
n=k+1 kEjemplo 4.9.Consideremos la serie 1 .n2n=11) Demostraremos que es convergente.2) Aproximaremos el valor de la suma de la serie utilizando los cinco primeros te rminos y aportaremos una estimacio n del error.3) Si queremos calcular la serie con un error menor que 108 , cua ntos te rminos ten- dramos que sumar?1) La serie es convergente porque es la serie armo nica con p = 2.2) La suma de los cinco primeros te rminos es:S5 =
1 1+1 22
1 1 1+++32 42 52
5.269=3.600
1,46361111.Para calcular el error aplicamos que: 1
1Err =
n2n=65So lo tenemos que calcular la integral:
dx. x2 1x25
cdx = limc 5
1dx = limx2c
1 cx 5
1 1= lim +=c c 5
1= 0,2.5por lo tanto, 1n2n=1
= 1,5 0,2.3) Si nos piden la cantidad de te rminos que tenemos que sumar para que el error sea menor que 0.5 108 , tendremos que calcular en que momento la cota del error esmenor que esta cantidad. Por lo tanto: Errn
1 cdx = limx2
1dx = lim
1 c
= lim
1 1 1 = .n c n x2
c
x n
c nc nSi queremos que Errn < 108 , entonces 1En los ejemplos que hemos visto hasta ahora se ha supuesto que la funcio n f (x) era decreciente para x 1. Se podra hacer exactamente lo mismo en caso de que f (x) fuese decreciente cuando x a. En tal caso, se debera imponer que n a.Ejemplo 4.10.Nos proponemos demostrar que la serie nen es convergente y determinar el nu meron=1de te rminos que hay que sumar si queremos calcular la serie con un error menor que 0,1.Partimos de f (x) = xex y observamos que f (x) = (x 1)ex ; llegaremos a la con- clusio n, entonces, de que la serie es decreciente si x > 1. En este caso: nen n=2
xex dx.1Calculamos la integral por partes: c climc+
xex dx = lim1 c+
(x + 1)ex 1
= 2e1 .Si queremos determinar el nu mero de te rminos que necesitamos para calcular la integral con un error menor que 0,1, tenemos que utilizar la cota de la integral. Sin embargo, para que podamos aplicarla necesitamos que e sta sea decreciente; por tanto, so lo podremos acotar la cola para n > 1.Calculamos cuando:
i=n+1
iei 0,1.Aplicamos la cota del error:i=n+1
iei
xex dx = (n + 1)en .nComo se ve, so lo es necesario que determinemos para que valor de n tenemos que(n + 1)en < 0, 1.Si ahora damos valores a la n vemos que para n = 3(3 + 1)e3 = 4e3 = 0,19915 y paran = 4(4 + 1)e4 = 5e4 = 0,091578 < 0,1. Por lo tanto, n 4.Ejercicio 4.3.Para las siguientes series, calculad:1) La suma de los cuatro primeros te rminos.2) El error que cometemos al aproximar la serie por la suma de los cuatro primeros te rminos.3) Cua ntos te rminos tenemos que sumar si queremos un error menor que 0,01.
Gra fico de los te rminos de la sucesio n (n + 1)ena)
.b)
1 . c) 1 .n3n=1
n=1
n2 +1
n=1
n2 + nEl criterio de la integral nos ha permitido calcular las sumas y acotar los errores a partir de una integral impropia. Sin embargo, se podra hacer lo mismo si, en lugar de acotar por una integral, lo hacemos por una serieque sabemos sumar.nSuponemos que ai bi y n0 . Sea Sn = ai ; entonces:i=0nErrn = ai ai =
ai
bi .i=0
i=0
i=n+1
i=n+1El problema de utilizar este criterio viene dado por la dificultad de encon- trar bi .Ejemplo 4.11.Calculamos el valor de la serie n=1
11+ 2n
con un error menor que 0,01.Para calcular el valor aproximado de la serie, sumaremos los n primeros te rminos; por este motivo tenemos que calcular a partir de que valor n, Errn < 0,01.Observamos que 1+ 2n > 2n y, por lo tanto, 11+ 2n
1< . As pues:2n1 1
1
n+11Errn =
log2 100 = ln 100 = 6,643856189. Esto significa que n 7.7Por lo tanto: S n=1
12n +1
= 0,7567075575 0,76.Ejercicio 4.4.Calculad el valor de la serie n=1
n(n + 1)2n
con un error menor que 0,01.5. Series alternadas5.1. Concepto de serie alternadaHasta el momento hemos estudiado series de te rminos positivos. Cuando las series tienen te rminos positivos y negativos, su estudio resulta mucho ma s complicado. En esta parte del mo dulo so lo vamos a estudiar con detalle un tipo de series que tienen te rminos positivos y negativos, es decir, las series alternadas.Una serie es alternada, si es de la forma: (1)n an con an > 0 n.Una forma de simplificar su estudio es definir un nuevo concepto: el deserie absolutamente convergente. Observacio nUna serie gente.
an es absolutamente convergente si
|an | es conver-
Si una serie an es absolutamente convergente entonces an tambie n es convergente.Observad que |an | es de te rminos positivos. Su convergencia se estudiamediante los criterios del apartado anterior.Ejemplo 5.1.Queremos demostrar que la serie (1)n!
es convergente.n=1Para verlo, estudiamos su convergencia absoluta. So lo tendremos que demostrar, en estecaso, que la serie 1n!
es convergente.n=1Por este motivo, aplicamos el criterio del cociente, as: = lim
an= lim
1n! = lim
1= 0.n an1
n 1
n1!
n nPuesto que < 1, entonces 1n!
es convergente; as, la serie es absolutamente conver-gente y, por lo tanto, (1)n!
tambie n es convergente.n=1A continuacio n presentamos la herramienta que nos permitira estudiar lasseries alternadas:Teorema de LeibnizSi tenemos una sucesio n an mono tona decreciente de te rminos po-sitivos, entonces: la serie (1)n an es convergente si, y so lo si,n=1limn
an = 0.Ejemplo 5.2.Estudiamos la convergencia de la serie (1) .nn=1Observamos que esta serie no es absolutamente convergente, porque 1 es divergente.nIntentamos aplicar el criterio de Leibniz.Observamos que el te rmino general de la serie es an = 1
n=11n . Definimos f (x) = x ; es unafuncio n decreciente porque f (x) = 1convergente.Ejercicios
< 0. Y, puesto que limn
1= 0, entonces esn5.1. Determinad cua les de las siguientes series convergen y cua les no: na) sin n . b) (1)
+ cos 3n.n3n=1n
n=1
n2 + nnc) (1)n2n=1
.d) n=1
(1) .ln(n + 2)5.2. Decid cua les de las siguientes series son convergentes y cua les son absolutamente convergentes:a) (1)
(1)n
(1)nn=1
n . b)
n=1
. c)n3 + n
. n!n=1La gran ventaja que nos aportan las series alternadas es que podemos cal- cular con mucha facilidad la suma aproximada de la serie.Criterio de AbelSi la serie an es alternada, |an | es decreciente y lim
an = 0. Si
n=1S = an , entonces:n=1kErrk = an S < |ak+1 |. n=1O, dicho de otra manera, si so lo sumamos los k primeros te rminos, en- tonces el valor hacia donde tiende la serie dista de esta suma el valor del primer te rmino que negligimos.Ejemplo 5.3.Calculamos (1)n
con un error menor que 0,001. 1 1 1Observamos que |an | = f (n) = n . Si f (x) = x , f (x) = x2 y, en consecuencia, esdecreciente para x > 0. Puesto que limn
f (n) = 0, por el teorema de Abel tenemos quela serie converge.1 .Si aproximamos la serie por la suma de los primeros n te rminos, entonces Errn n +1 Si queremos que Err 0,001, en tal caso n+1 1 , de donde tenemos que n 999.Por lo tanto, (1)nn=1
999 (1)n nn=1
= 0,6936474306.Ejemplo 5.4.Consideremos la serie (1)
n pn
. Para que valores de p converge la serie?Dado que limn
n=1(1)n pnn!
n!= 0, si queremos aplicar el criterio de Leibniz, tenemos quepnver que an =n!
es decreciente. Debido a que en esta serie aparecen expresiones n!, nopodemos aplicar el test de la derivada. Dado que aparecen expresiones n!, para ver quean+1an+1 < an so lo tendremos que comprobar quean
< 1. Pero:an+1 =
p n+1n+1! = p .an p n n!
n +1 En caso de que n > p, entonces para todo p.
an+1an
< 1 y, por lo tanto, la serie alternada es convergenteEjercicio 5.3.Considerad las series que tene is a continuacio n:a) ( 1)n 2nn=1
. b) ( 1)n ln 1 . nn=11) Demostrad que las series son convergentes.2) Calculad S4 y determinad el error que cometemos al aproximar el valor de la serie con S4 .3) Determinad el nu mero de te rminos que necesitamos si queremos calcular la serie con un error menor que 0,001.6. Series de potenciasEn una computadora somos capaces de definir sumas y productos, de ah que los polinomios este n definidos y se puedan calcular. Sin embargo, supongamos que queremos calcular ex o sin x. En general, el problema con el que nos encontramos es co mo podemos aproximar una funcio n, f (x), para un polinomio, Tn (x); ya hemos visto antes la solucio n a este problema, y e sta consiste en desarrollar un polinomio de Taylor.nTn (x) = f i) (a)i=0
(x a)ii!.Si en lugar de sumar n te rminos hacemos que n tienda a , tendremos unaserie de la forma: iT (x) = f i) (a) (x a) .i!i=0Ante todo esto, es probable que nos preguntemos si f (x) = T (x) o, dicho de otro modo, si el valor de la funcio n y de la serie coinciden para cual- quier valor de x. Intentaremos responder a esta pregunta a lo largo de este mo dulo; aunque estamos en condiciones de adelantar que la respuesta, en general, es no.Ejemplo 6.1. 1Nos disponemos a determinar la serie de Taylor de la funcio n e x2 para a = 0.11Observamos que f (0) = lim e x2 = 0. Calculamos f (x) = e x2x3
; entonces:2 1
x0
1 3LHpital
1 LHpitallim
e x2 =2 lim x3
=2 lim
x4 = 3 lim x =x0 x3
1 x0 e x2 1
x0
2 x3
1e x2
x0
1e x2LHpital=3 lim
x2 1
3=lim
x 1 = 0.x0 2 x2
2 x0
e x2En general, se puede deducir (aunque no es necesario que lo haga is!) que f n) (0) = 0n 1 y, por tanto, T (x) = 0, que no es igual a f (x) = e x2 .6.1. Concepto de serie de potenciasUna serie de potencias es una generalizacio n de un polinomio de Taylor.Una serie de la forma an (x a)n se denomina serie de potencias.Observemos que xn es una serie de potencias donde a = 0 y an = 1 paran=11todo n. No olvide is que esta serie es la geome trica y su suma es si x|x| < 1.Dada una serie de potencias, nos preguntamos para que valores de x la serie converge. No obstante, tenemos un problema: la serie que obtenemos no tiene por que ser alternada ni de te rminos positivos, motivo por el cualestudiaremos su convergencia absoluta.La serie que estamos considerando es |an ||x a|n y, al ser de te rminosn=1positivos, podemos aplicar el criterio del cociente y asegurar convergencia an+1 si lim
|x a| < 1.n anEl lim
n se conoce como radio de convergencia y se denotan an+1 por R.Si x (a R, a + R), entonces la serie es absolutamente convergente.A continuacio n aparecera enunciado el resultado ma s importante que re- suelve el problema de la convergencia de una serie de potencias.Si x (a R, a + R), entonces T (x) = f (x).Ejercicios6.1. Calculad el radio de convergencia de las series que tene is a continuacio n:a) x
. b) x
. c) nxn .nn=1
n!n=1
n=16.2. Calculad para que valores de x la serie es absolutamente convergente:a) (x 1)n!n=1
. b) (x 2)n ln nn=1
. c) n(x + 1)n .n=1Una serie de potencias muy importante viene dada por an = f
(a) . En estecaso, la serie = f
(a) (x
n!a)n recibe el nombre de serie de Taylor.n=0
n!Ejemplo 6.2.Calculamos la serie de Taylor de f (x) = ex cuando a = 0. Observamos que f n) (x) = expara todo n y, por tanto, f n) (0) = 1. As pues, la serie de Taylor de la funcio n ex es xn.n!n=06.2. Propiedades de las series de potenciasEn este apartado veremos algunas propiedades de las series de potencias que nos van a permitir determinar sumas de series que seran difciles de encontrar sin estas herramientas.6.2.1. Derivacio n de una serie de potenciasConsideramos la serie an (x a)n con radio de convergencia R > 0
y sea f (x) para x (a R, a + R) la funcio n hacia donde converge la serie de potencias.Entonces, la serie nan (x a)n1 con radio de convergencia R con- verge hacia f (x) si x (a R, a + R).Ejemplo 6.3.Calculamos la serie de potencias de la funcio n 1(1 x)2
1a partir de f (x) = .1 xPartimos de:
f (x) =
11 x
= xn , si |x| < 1.n=0Derivando los dos lados, tenemos:1(1 x)2
= nxn1 .n=1Y si reordenamos los te rminos tenemos:1(1 x)2
= (n + 1)xn .n=06.2.2. Integracio n de una serie de potenciasConsideramos la serie an (x a)n con radio de convergencia R > 0
y sea f (x) para x (a R, a + R) la funcio n hacia donde converge laserie de potencias. En tal caso, la serie an
(x a)n+1 con radion +1 de convergencia R converge hacia x f (s)ds si x (a R, a + R).Ejemplo 6.4.Calculamos la serie de potencias de la funcio n ln(1 + x) a partir de f (x) = 1 .1 xPartimos de:
f (x) =
11 x
= xn si |x| < 1.n=0Y cambiamos x por x; entonces:
11+ x
= (x)n .n=0Integrando en cada lado tenemos: x1
ds =
(1)n x
n+10 1+ s
n=0
n +1 n+1ln(1 + x) ln 1 =
( 1)n xn +1 ln(1 + x) =
n=0 (1)n x
n+1n=0
n +1 Ejercicios6.3. Partiendo de f (x) = 1 , calculad el desarrollo en serie de Taylor de f (x) = arctan x.1+x6.4. Calculad 1 ex2 dx con un error menor que 0,001, utilizando la serie de Taylor de0f (x) = ex .7. Los nu meros complejosMuchos de los feno menos relacionados con seales son ma s fa ciles de explicar mediante los nu meros complejos que con los nu meros reales.Desde el siglo XVI hasta el XVIII, uno de los problemas principales con el que se han encontrado las matema ticas ha sido el ca lculo de las races de un polinomio.Los babilonios ya conocan la solucio n de una ecuacio n de segundo grado, expresada de la siguiente forma: x2 + ax + b = 0. Las races del polinomio x2 + ax + b vienen dadas por la fo rmula:a a2 4 bx1,2 = 2Esta solucio n presentaba un problema: en algunas ocasiones daba races sin sentido. Por ejemplo, si consideramos el polinomio x2 + 2x + 2 = 0,aplicando la fo rmula anterior obtenemos:x1,2 =
2 22 4 22
2 42
2 212
= 1 1.El valor 1 carece de sentido en IR y, por tanto, estas soluciones sonimposibles. A partir de la gra fica observamos que la funcio n no tiene ninguna raz.
Grfica del polinomio x2 + 2x + 2 A pesar de todo, algunos matema ticos empezaron a utilizar races de la Notaforma a + b1, muy a menudo como divertimento, sin que esta actividadtuviese ninguna utilidad. Para simplificar la notacio n, introdujeron el
El nu mero imaginario j sedenota en algunos librossmbolo j en lugar de
1 y lo denominaron parte imaginaria, ya que
mediante i.no exista en el mundo real. As pues, j es tal que j2 = 1.Seguro que os estare is preguntando por que continuaron trabajando con el smbolo j. Pues bien, el u nico motivo era que, mediante este smbolo, eran capaces de encontrar las races de un polinomio de tercer o cuarto grado.Cardano descubrio la solucio n de los polinomios de tercer grado. Consi- deramos un polinomio de tercer grado de la forma x3 + a2 x2 + a1 x + a0 .Para determinar sus races, efectuamos algunos ca lculos:q = a1 a2 , r = a1 a2
3a0
a3 2 , s
3=r q3 + r2 .33627
1,2Entonces, las races x1 , x2 y x3 son:a2
s1 + s2
a2 3x1 = s1 + s2
3 , x2,3 =
2 3
(s1 s2 )j.Cuando a2 = 0, esta fo rmula se puede escribir de una manera ma s com-pacta.En primer lugar hacemos:donde a = a1 y b = a0
a3 2d =+274Entonces, las races x1 , x2 y x3 vienen dadas por:x = 3 b d a23 3 b dAtencio n, a primera vista parece que aparezcan cuatro races, pero so lo habra tres, ya que dos de ellas siempre esta n repetidas. (Recordad que un polinomio de grado n u nicamente tiene n races.)Ejemplo 7.1.Aplicamos la fo rmula de Cardano para el polinomio:x3 6x +4 = 0.Calculamos primero el discriminante, d =
b 2a 3 42
(6)3
4 27
d =+427
= 4 8 = 4 = 2 1 = 2 j.Las races vendra n dadas por x = 3
d
a
. Sustituyendo cuando tomamoslos dos signos positivos:
2 3 3
2 dx = 3
4 2 + 2j
3 3
6 2 + 2j
= 3
2+ 2j
2 .3 2+ 2jTodava no podemos calcular races cu bicas, pero observad que (1 + j)3 = 1+3j +3j2 +j3 , y puesto que j2 = 1, obtendremos que j3 = j. Por lo tanto, (1 + j)3 = 1 + 3j 3 j == 2+ 2j y de aqu, 1+ j = 3 2+ 2j. La raz es:x = 1 + j 2
2= 1 + j +
1 j = 1 + j + 2(1 j) == 1 + j +
1+ j2(1 j)1 (1)
1+ j 1 j= 1 + j + 2(1 j)2
1 j2= 1 + j +1 j = 2.Pode is comprobar que x = 2 es una raz de x3 6x +4 = 0.As, hemos encontrado una raz real mediante nu meros que no tienen ningu n sentido real. Esta aplicacio n pra ctica nos hace que entendamos el hecho de que algunos matema ticos mantuviesen el intere s por los nu meros complejos.Ejercicio 7.1.Calculad las races de x2 + 4x +5 = 0.7.1. Los nu meros complejosA pesar de que hemos operado con los nu meros complejos, todava no los hemos definido, y tampoco hemos especificado cua les son sus operaciones.Un nu mero complejo es una pareja de nu meros reales (a, b) que es- cribiremos z = a + bj.El nu mero a recibe el nombre de parte real del nu mero z. El nu mero b se denomina parte imaginaria del nu mero z.El conjunto de todos los nu meros complejos lo denotamos por C.Dado un nu mero complejo, z = a + bj, definimos la funcio n parte real, Re(z), como la parte real del nu mero complejo, Re(z) = Re(a + bj) = a. Del mismo modo, definimos la funcio n parte imaginaria, Im(z), como la parte imaginaria del nu mero complejo, Im(z) = Im(a + bj) = b.Si un nu mero complejo es de la forma z = a +0 j = a, es un nu mero real; si, por otra parte, el nu mero complejo es de la forma z = b j, recibe el nombre de nu mero imaginario.7.2. Suma y producto de nu meros complejosLa suma se construye sumado por separado las partes reales y las imagina- rias.La suma de dos nu meros complejos z1 = a + bj y z2 = c + dj viene dada por:z1 + z2 = (a + bj)+ (c + dj) = (a + c)+ (b + d)j.Dado que estamos sumando reales, nos encontramos con que la suma de los nu meros reales complejos tiene las mismas propiedades que la suma de los nu meros reales.Para el producto de nu meros complejos pediremos que se satisfaga la pro- piedad distributiva, con la condicio n de que j2 = 1.El producto de dos nu meros complejos z1 = a + bj y z2 = c + dj viene dado por:z1 + z2 = (a + bj) (c + dj) = ac + adj + bcj + bdj2 = (ac bd)+ (ad + bc)j.Ejemplo 7.2.Calculamos la suma y el producto de z1 = 1 + 2j y z2 = 2 + 3j.z1 + z2 = (1 + 2j)+ (2 + 3j) = (1 + 2) + (2 + 3)j = 3 + 5j.z1 z2 = (1 + 2j) (2 + 3j) = (1 2 2 3) + (1 3+2 2)j = 4+ 7j.Ejercicio 7.2.Calculad la suma y el producto de:a) z1 = 1 + 2j y z2 = 2 + 3j.b) z1 = 1 2j y z2 = 2 j.c) z1 = 1+ 3j y z2 = 1 + 4j.7.3. Conjugacio nEn el caso de los nu meros complejos, podemos definir una operacio n adi- cional que recibe el nombre de conjugacio n.Si tenemos el nu mero complejo z = a + bj, definimos el conjugadode z, z de esta forma:z = a bj.Ejemplo 7.3.Efectuamos el ca lculo de z = 1 + 2j.So lo tenemos que aplicar la definicio n z = 1 2j.Las propiedades de la conjugacio n son las siguientes:1) z = z.2) z1 + z2 = z1 + z2 .3) z1 z2 = z1 z2 .Ejercicios7.3. Calculad los conjugados de:a) z = 2 + 3j.b) z = 1 2j.7.4. Calculad los resultados de las siguientes operaciones cuando z1 = 1 + j, z2 = 2 + jy z3 = 1 + 2j: a) z1 + z2 + z3 . b) z1 z2 + z3 .Si un nu mero complejo z verifica:a) z = z, entonces z es un nu mero real.b) z = z, entonces z = bj; z = bj z es un nu mero imaginario.Demostracio na) Partimos de z = a + bj e imponemos que z = z; entonces, a bj = a + bj. Por lo tanto, puesto que b = b, es necesario que b = 0.b) Partimos de z = a + bj e imponemos que z = z; entonces a bj = a bj. Por tanto, puesto que a = a, es necesario que a = 0.Ejercicio 7.5.Utilizando las propiedades de la conjugacio n, comprobad que si p(x) es un polinomio real que tiene una raz z, entonces z tambie n es raz de p(x).Podemos dividir dos nu meros complejos mediante la conjugacio n.Ejemplo 7.4.Calculamos la divisio n z1 siendo z z2
= 1 + 2j y z2
= 2 + 3j.Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. En- tonces:z1 = z1 z2 = (1 + 2j) (2 3j) = 1 2 2 (3) + j(1 (3) + 2 2) = 8+ j .z2 z2 z2
(2 + 3j) (2 3j)
22 + 33 13Para dividir dos nu meros complejos, se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.Ejercicios7.6. Calculad:
a) j .b) 1+2j 1+j
2+j .7.7. Calculad el nu mero inverso de:a) 3+j
2j
j . b) 2+4j .7.8. Encontrad la parte real e imaginaria de z = 1+j 2 de dos formas diferentes:1ja) calculando primero la divisio n y b) calculando primero el cuadrado del numerador ydel denominador.Por u ltimo, podemos definir el mo dulo de un nu mero complejo:El mo dulo de un nu mero complejo z = a + bj, que acostumbra a escribirse |z|, es:|z| = z = a2 + b2 .Algunas propiedades del mo dulo son:1) Re(z) |z|.2) Im(z) |z|.3) |z1 + z2 | |z1 | + |z2 |.4) |z1 z2 | = |z1 ||z2 |.5) Si IR, entonces |z| = |||z|.7.4. La forma polar de un nu mero complejoHasta mediados del siglo XIX, los nu meros complejos eran una herra- mienta matema tica que se tena que explicar. La fundamentacio n de los nu meros complejos se debe, de manera independiente, a Carl Friedrich Gauss (1777-1855)ya William Rowan Hamilton (1805-1865), quienes pro-pusieron la definicio n actual de los nu meros complejos como una pareja de nu meros reales (a, b) que podemos escribir a + bj y que satisface ciertaspropiedades.Con esta expresio n tenemos que cualquier punto del plano de coordenadas se puede identificar con un nu mero complejo.Entonces, el mo dulo es la distancia del punto (a, b) al origen de coorde- nadas. Si interpretamos los nu meros complejos como puntos del planoreal, se pueden representar mediante la norma del vector y el
a ngulorespecto del eje X . Es decir, podemos escribir un nu mero complejo z = a + bj como a = r cos y b = r sin . So lo tenemos que escribir r y en funcio n de a y b.Para calcular r, elevamos al cuadrado a = r cos y b = r sin y los sumamos. As:a2 + b2 = (r cos )2 + (r sin )2 = r2 sin2 + cos2 = r2 .Puesto que r se refiere a un radio y es un nu mero positivo, tenemos que el radio r = a2 + b2 .Para encontrar el valor de expresamos el cociente b en funcio n de r y ;entonces:b = r sin = tan .a r cos Por tanto, = arctan
b .aSi a = 0, entonces la divisio n no tiene sentido. En este caso, = si b > 02y = si b < 0.2La funcio n tan x es -perio dica, mientras que las funciones sin x y cos x son b 2-perio dicas. Por lo tanto, el resultado correcto sera = arctanoa b bien = arctan
+ . Es decir, tenemos dos posibles a ngulos, pero so loauno de ellos es correcto. Si tomamos la convencio n de las calculadoras: 2
, entonces cos 0. Por tanto, si a 0, el valor del a ngulo b sera = arctan b
a , mientras que si a 0, el valor del a ngulo sera == arctana
+ .La forma polar de un nu mero z = a + bj viene dada por:z = r cos + jr sin donde:
barctana
si a > 0
r = a2 + b2 y = arctan a + si a < 0 si a = 0 y b > 02
2si a = 0 y b < 0Ejemplo 7.5.Calculamos la forma polar de z = 1 + 2j.En primer, lugar calculamos el radio r = 1 2 + 22 = 5, y puesto que a = 1 y es positiva, entonces = arctan 2 = 1, 107148718.1La forma polar resulta indicada en especial para calcular el producto de dos nu meros complejos.Calculamos el producto z1 = a + bj = r1 (cos 1 + +j sin 1 ) y z2 = a + bj == r2 (cos 2 + j sin 2 ). Para hacer esto, so lo necesitamos las formas tri- gonome tricas que vemos a continuacio n: cos (1 + 2 ) = cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 y sin (1 + 2 ) = sin 1 cos 2 + cos 1 sin 2 .z1 z2= r1 (cos 1 + j sin 1 ) r2 (cos 2 + j sin 2 ) = = r1 r2 (cos 1 + j sin 1 ) (cos 2 + j sin 2 ) = = r1 r2 (cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 )+ j (sin 1 cos 2 + cos 1 sin 2 )== r1 r2 (cos (1 + 2 )+ j sin (1 + 2 )) .El producto de los nu meros complejos z1 = a + bj = r1 (cos 1 +j sin 1 ) y z2 = a + bj = r2 (cos 2 + +j sin 2 ) es:z1 z2 = r1 r2 (cos(1 + 2 )+ j sin(1 + 2 )).Es decir, se multiplican los mo dulos y se suman los argumentos.Ejemplo 7.6.Calculamos el producto de z1 = 1 + j y z2 = 1 + j 3 , utilizando la forma polar.2 2Tambie n calculamos la forma polar de z1 . El radio es r1 = 1 2 + 12 = 2. Puesto que elte rmino real es positivo, entonces:1 = arctan
1 1
= arctan 1 = .4
Calculamos la forma polar de z2 . El radio es r2 =Puesto que el te rmino real es negativo, entonces:
1 22
22
1 34 4
= 1.2 = arctan
3 2
12
+ = arctan 3 + =
4+ = .3 3Y ahora, para calcular el producto, multiplicamos los radios y sumamos los argumentos. Por lo tanto:z1 z2= r1 r2 (cos (1 + 2 )+ j sin (1 + 2 )) == 2 1 cos + 4 + j sin + 4 =4 3 4 3= 2 cos 19 + j sin 19 = 1 3 1 + j 1 1 3 .12 12 2 27.5. La forma exponencial de un nu mero complejoParece que la forma polar tiene pocas ventajas, pero es un paso intermedio para la introduccio n de la forma exponencial. El uso de esta formulacio n ha simplificado todos los problemas que tienen que ver con funciones perio dicas.Ya sabe is que es ex , donde x es un nu mero real; pues bien, ahora veremos que es ez , donde z es un nu mero complejo.Para resolver este problema utilizaremos los polinomios de Taylor, as que partimos de la funcio n f (x) = ex con x real. La serie de Taylor de ex cuando a = 0 es: iex = x . i!i=0Esta serie es convergente para cualquier valor de x, y para comprobarloso lo tenemos que calcular el radio de convergencia:lim
xn = lim
x n n ! = lim
n = .n xn+1
n
xn+1(n+1)!
n xPor tanto, nos encontramos con que la serie es siempre convergente y que su suma es ex .Es razonable definir la exponencial de un nu mero complejo de la mismamanera que en el caso real:ez = zi!i=0Es posible tomar su parte real y la imaginaria: i Re
|z|i
= e|z| .i!i=0
i!i=0Ana logamente para la parte imaginaria. Dado que ambas series son aco- tadas, tenemos que son series no divergentes y, por lo tanto, podemos agrupar los te rminos como queramos.La funcio n exponencial compleja verifica:ez1 +z2 = ez1 ez2 .Y si utilizamos esta propiedad tenemos:ea+bj = ea ebj .Ya sabemos calcular la exponencial de un nu mero real; en tal caso, ahora so lo nos quedara saber la manera de calcular la exponencial de nu meros imaginarios puros.ejb =
(jb)i=i!i=0= 1 + (jb)+
(jb)2+2!
(jb)3+3!
(jb)4+ =b2b3b4= 1 + (jb) 2! j 3! + 4! + =b2b4b6
b3b5b7=1 2! + 4! 6! + + j
b 3! + 5! 7! + == cos b + j sin b.A partir de este resultado se puede demostrar una de las igualdades ma s sorprendentes, aque lla que relaciona elementos tan diferentes como el smbolo j, el nu mero e y el nu mero . Esta igualdad recibe el nombre de fo rmula de De Moivre.e2j = 1, que tambie n se puede escribir ej +1 = 0.Comprobacio nPartiendo de la igualdad ejb = cos b + j sin b cuando b = 2; entonces:e2j = cos(2)+ j sin(2) = 1 + j 0 = 1.La forma exponencial de un nu mero complejo z = a + bj es:z = rej ,donde r = a2 + b2 y es el argumento del nu mero complejo.La forma exponencial presenta una indeterminacio n, ya que si z = rej+2kjcon k entero, entonces z = rej+2kj = rej e2kj = rej 1k = rej .Dados dos nu meros complejos z1 , z2 , entonces z1 = z2 si r1 = r2 y1 = 2 + 2k, para algu n k ZZ.
La forma exponencial resulta especialmente ventajosa para el ca lculo efec- tivo de potencias de nu meros complejos.Ejemplo 7.7.Calculamos (cos x + j sin x)n .Observamos que cos x + j sin x = ejx . Por tanto, (cos x + j sin x)n = ejx = cos nx + j sin nx.Ejemplo 7.8.Calculamos z100 si z = 1 + j.
= enjx =Expresamos z1 en la forma exponencial:1) Ca lculo del radio: r = 12 + 12 = 2.2) Ca lculo del argumento de z. Ya que a = 1 y es positiva, tenemos = arctan 1 = .1 4As,z = 2ej 4 .Entonces, z100 = 2100 e100j
= 250 e25j ; para simplificar el ca lculo utilizaremos lafo rmula de De Moivre:z100= 250 e212j+j = 250 e212j ej == 250 e2j 12 ej == 250 (1)12 ej = 250 (cos + j sin ) = = 250 (1+ j 0) = 250 .Ejercicios7.9. Calculad cos + j sin 20 .12 127.10. Encontrad los nu meros complejos tales que z = 1 .7.11. Calculad la parte real e imaginaria de los nu meros siguientes:5
3 a) e 4 j . b) 2e 4 j + 3e 6 j . c) e2+3j . d) e 4 j e 4 j .7.12. Escribid en forma exponencial:a) e (1 j) . b) 3 cos + j sin
. c) 5
cos + j sin
5 cos + j sin .244
6 6 2 27.13. Sea z = 1+j . Calculad z2 y z4 .27.6. Los nu meros complejos y la electricidadEn este momento es muy probable que os este is preguntado cua l es la utilidad de los nu meros complejos en el mundo de los nu meros reales.A finales de 1893 surgio su primera gran aplicacio n pra ctica, de la mano de un ingeniero de General Electric, Charles P. Steinmetz, mientras estudiaba la corriente alterna.Si la corriente es continua (como por ejemplo, la que proporciona una pila o una batera), entonces el voltaje es constante (V ). Este voltaje acelera los electrones, que crean una corriente de intensidad (I ) en un medio de resistencia (R). Como es natural, estas cantidades se tienen que relacionar de alguna manera:V = I R.En el caso de las corrientes alternas, la relacio n no pareca estar tan clara, y lo podemos comprobar leyendo las propias palabras de Steinmetz:El voltaje empieza en cero hasta un ma ximo; entonces, la funcio n decrece hasta cero y el voltaje decrece hasta un mnimo con el mismo valor que el ma ximo anterior, y vuelve a crecer hasta cero. Y as, vuelve a empezar.Por lo tanto, en todos los ca lculos de corriente alterna, en lugar de utilizar un nu mero real, el investigador tena que trabajar con complicadas fun- ciones que dependan del tiempo necesario para representar la corriente alterna. As, la teora de la corriente alterna era tan complicada que el investigador no pudo llegar demasiado lejos.La idea de representar la corriente alterna mediante un nu mero complejo fue la solucio n del problema de la corriente alterna. As como la teora dela corriente continua utiliza el a lgebra de los nu meros reales, la teora de la corriente alterna utiliza la de los complejos.La idea de Steinmetz se basa en el siguiente hecho: supongamos que tene- mos un motor que genera un voltaje oscilante; en tal caso, V se representa en notacio n exponencial compleja por su mo dulo, que es el ma ximo volta- je que puede generar el motor. Asociamos la intensidad (I ) de la corriente alterna con un nu mero complejo; su mo dulo es la ma xima intensidad de la corriente y el argumento de j describe el desfase con el voltaje que su- fre la corriente al circular por el circuito. Por este motivo, el voltaje y la intensidad tienen un desfase que depende del circuito.El circuito ma s sencillo esta constituido por una resistencia (que disipa energa), una bobina (que crea un campo magne tico) y un condensador (que acumula carga ele ctrica). As pues, podemos representar la resistencia mediante un nu mero real R, la capacitancia por XC y la impedancia de la bobina por XL .Lo que se observa en un circuito es que la resistencia no produce desfase entre el voltaje y la intensidad. Si el circuito en cuestio n esta constituido por un u nico condensador, se produce un desfase de entre el voltaje y la intensidad; y si el circuito so lo tiene una bobina, se produce un avance de .Para explicar estos fe
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