LONGITUD DE ARCO EN FORMA POLAR TEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL

LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA POLAR

Sea f una función cuya derivada es continua en un intervalo 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽. La longitud de lagráfica de 𝑟 = 𝑓 𝜃 , desde 𝜃 = 𝛼 hasta 𝜃 = 𝛽 es:

𝑠 = 𝛼

𝛽

𝑓 𝜃 2 + 𝑓′ 𝜃 2𝑑𝜃 = 𝛼

𝛽

𝑟2 +𝑑𝑟

𝑑𝜃

2

𝑑𝜃

LONGITUD EN UNA CURVA POLAR

EJEMPLO: Encontrar la longitud de una curva polar 𝑟 = 𝑓 𝜃 = 2 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃, 0, 2𝜋

SOLUCIÓN:

𝑟 = 2 − 2 cos𝜃 ;𝑑𝑟

𝑑𝜃= 2𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑠 = 𝛼

𝛽

𝑟2 +𝑑𝑟

𝑑𝜃

2

𝑑𝜃

= 0

2𝜋

2 − 2 cos 𝜃 2 + 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2𝑑𝜃

= 0

2𝜋

4 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 4 cos2 𝜃 + 4 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃

𝑠 = 0

2𝜋

4 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 4 cos2 𝜃 + 4 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃

= 0

2𝜋

4 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 4 cos2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃

Recordando que:

cos2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 1

Entonces:

𝑠 = 0

2𝜋

4 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 4 cos2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃

= 0

2𝜋

4 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 4 1 𝑑𝜃

= 0

2𝜋

4 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 4 𝑑𝜃

𝑠 = 0

2𝜋

4 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 4𝑑𝜃

= 0

2𝜋

8 − 8 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑑𝜃

= 0

2𝜋

8 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃

= 0

2𝜋

8 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑑𝜃

= 8 0

2𝜋

1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑑𝜃

Antes de continuar:

𝑠𝑒𝑛2𝜃 =1

2−1

2cos 2𝜃

Despejando el término “1 − cos 𝜃”:

𝑠𝑒𝑛2𝜃

2=1

2−1

2cos 𝜃

𝑠𝑒𝑛2𝜃

2=1

21 − cos 𝜃

2 𝑠𝑒𝑛2𝜃

2= 1 − cos 𝜃

1 − cos 𝜃 = 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃

2

Continuando:

𝑠 = 8 0

2𝜋

1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑑𝜃

= 8 0

2𝜋

2𝑠𝑒𝑛2𝜃

2𝑑𝜃

= 8 0

2𝜋

2 𝑠𝑒𝑛2𝜃

2𝑑𝜃

= 8 2 0

2𝜋

𝑠𝑒𝑛2𝜃

2𝑑𝜃

= 16 0

2𝜋

𝑠𝑒𝑛𝜃

2𝑑𝜃

𝑠 = 4 0

2𝜋

𝑠𝑒𝑛𝜃

2𝑑𝜃

Aplicando el método de sustitución:

𝑧 =𝜃

2

2𝑧 = 𝜃

𝜃 = 2𝑧

𝑑𝜃 = 2 𝑑𝑧

Entonces:

𝑠 = 4 0

2𝜋

𝑠𝑒𝑛𝜃

2𝑑𝜃

𝑠 = 4 0

2𝜋

𝑠𝑒𝑛 𝑧 2 𝑑𝑧

𝑠 = 4 0

2𝜋

𝑠𝑒𝑛 𝑧(2 𝑑𝑧) = 4 2 0

2𝜋

𝑠𝑒𝑛 𝑧 𝑑𝑧

= 8 0

2𝜋

𝑠𝑒𝑛 𝑧 𝑑𝑧

= 8 − cos 𝑧 02𝜋 = 8 −cos

𝜃

20

2𝜋

= 8 −cos2𝜋

2+ cos

0

2

= 8 −cos 𝜋 + cos 0

= 8 1 + 1 = 16

∴ 𝑠 = 16 𝑢

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA LONGITUD DE ARCO DE UNA FUNCIÓN DADA

𝑟 = 2 − 2 cos 𝜃

BIBLIOGRAFÍAS

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.