DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN PARA DOS VARIABLES TEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL
IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS
Si 𝑓 es una función de 𝑥 y 𝑦 tal que 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦 son continuas en un disco abierto
𝑅, entonces, para todo (𝑥, 𝑦) en 𝑅,
𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦
Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de segundo orden para la siguiente función:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝑦2 − 2𝑦 + 5𝑥2𝑦2
Y valor para 𝑓𝑥𝑦 −1, 2 .
Solución:
Entonces de la función:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝑦2 − 2𝑦 + 5𝑥2𝑦2
Derivando parcialmente con respecto a x:
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕𝑓
𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑥3𝑥𝑦2 − 2𝑦 + 5𝑥2𝑦2
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕
𝜕𝑥3𝑥𝑦2 −
𝜕
𝜕𝑥2𝑦 +
𝜕
𝜕𝑥5𝑥2𝑦2
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 3𝑦2𝜕
𝜕𝑥𝑥 − 2𝑦
𝜕
𝜕𝑥1 + 5𝑦2
𝜕
𝜕𝑥𝑥2
∴ 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 3𝑦2 + 10𝑥𝑦2
Derivando parcialmente con respecto a y:
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕𝑓
𝜕𝑦=
𝜕
𝜕𝑦3𝑥𝑦2 − 2𝑦 + 5𝑥2𝑦2
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕
𝜕𝑦3𝑥𝑦2 −
𝜕
𝜕𝑦2𝑦 +
𝜕
𝜕𝑦5𝑥2𝑦2
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝜕
𝜕𝑦𝑦2 − 2
𝜕
𝜕𝑦𝑦 + 5𝑥2
𝜕
𝜕𝑦𝑦2
∴ 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑥𝑦 − 2 + 10𝑥2𝑦
Del resultado de la primera derivada parcial con respecto a “x”, nuevamente, derivando parcialmente con respecto a x:
𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥=𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕
𝜕𝑥3𝑦2 + 10𝑥𝑦2
𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕
𝜕𝑥3𝑦2 +
𝜕
𝜕𝑥10𝑥𝑦2
𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦 = 3𝑦2𝜕
𝜕𝑥1 + 10𝑦2
𝜕
𝜕𝑥𝑥
∴ 𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦 = 10𝑦2
Del resultado de la primera derivada parcial con respecto a “x”, ahora se deriva parcialmente con respecto a y:
𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑦3𝑦2 + 10𝑥𝑦2
𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕
𝜕𝑦3𝑦2 +
𝜕
𝜕𝑦10𝑥𝑦2
𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 3𝜕
𝜕𝑦𝑦2 + 10𝑥
𝜕
𝜕𝑦𝑦2
∴ 𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑦 + 20𝑥𝑦
Del segundo resultado de la función derivado parcialmente con respecto a “y”, nuevamente, derivando parcialmente con respecto a x:
𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦=
𝜕
𝜕𝑥6𝑥𝑦 − 2 + 10𝑥2𝑦
𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕
𝜕𝑥6𝑥𝑦 −
𝜕
𝜕𝑥2 +
𝜕
𝜕𝑥10𝑥𝑦2
𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 = 6𝑦𝜕
𝜕𝑥𝑥 −
𝜕
𝜕𝑥2 + 10𝑦
𝜕
𝜕𝑥𝑥2
∴ 𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 = 6𝑦 + 20𝑥𝑦
Y utilizando nuevamente el segundo resultado, es decir, la función derivado parcialmente con respecto a “y”, ahora se parcialmente con respecto a “y”:
𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦=𝜕2𝑓
𝜕𝑦2=
𝜕
𝜕𝑦6𝑥𝑦 − 2 + 10𝑥2𝑦
𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕
𝜕𝑦6𝑥𝑦 −
𝜕
𝜕𝑦2 +
𝜕
𝜕𝑦10𝑥𝑦2
𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑥𝜕
𝜕𝑦𝑦 −
𝜕
𝜕𝑦2 + 10𝑥2
𝜕
𝜕𝑦𝑦
∴ 𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑥 + 10𝑥2
Así que los resultados son:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝑦2 − 2𝑦 + 5𝑥2𝑦2
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 3𝑦2 + 10𝑥𝑦2 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑥𝑦 − 2 + 10𝑥2𝑦
𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦 = 10𝑦2
𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑦 + 20𝑥𝑦
𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 = 6𝑦 + 20𝑥𝑦
𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑥 + 10𝑥2
Y para 𝑓𝑥𝑦 −1, 2 :
𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑦 + 20𝑥𝑦
𝑓𝑥𝑦 −1, 2 = 6 2 + 20 −1 2
𝑓𝑥𝑦 −1, 2 = 12 − 40
∴ 𝑓𝑥𝑦 −1, 2 = −28
BIBLIOGRAFÍAS
Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.
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