DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN PARA DOS VARIABLES TEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL

IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS

Si 𝑓 es una función de 𝑥 y 𝑦 tal que 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦 son continuas en un disco abierto

𝑅, entonces, para todo (𝑥, 𝑦) en 𝑅,

𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦

Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de segundo orden para la siguiente función:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝑦2 − 2𝑦 + 5𝑥2𝑦2

Y valor para 𝑓𝑥𝑦 −1, 2 .

Solución:

Entonces de la función:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝑦2 − 2𝑦 + 5𝑥2𝑦2

Derivando parcialmente con respecto a x:

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕𝑓

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑥3𝑥𝑦2 − 2𝑦 + 5𝑥2𝑦2

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑥3𝑥𝑦2 −

𝜕

𝜕𝑥2𝑦 +

𝜕

𝜕𝑥5𝑥2𝑦2

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 3𝑦2𝜕

𝜕𝑥𝑥 − 2𝑦

𝜕

𝜕𝑥1 + 5𝑦2

𝜕

𝜕𝑥𝑥2

∴ 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 3𝑦2 + 10𝑥𝑦2

Derivando parcialmente con respecto a y:

𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕𝑓

𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑦3𝑥𝑦2 − 2𝑦 + 5𝑥2𝑦2

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑦3𝑥𝑦2 −

𝜕

𝜕𝑦2𝑦 +

𝜕

𝜕𝑦5𝑥2𝑦2

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝜕

𝜕𝑦𝑦2 − 2

𝜕

𝜕𝑦𝑦 + 5𝑥2

𝜕

𝜕𝑦𝑦2

∴ 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑥𝑦 − 2 + 10𝑥2𝑦

Del resultado de la primera derivada parcial con respecto a “x”, nuevamente, derivando parcialmente con respecto a x:

𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑥=𝜕2𝑓

𝜕𝑥2

𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑥3𝑦2 + 10𝑥𝑦2

𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑥3𝑦2 +

𝜕

𝜕𝑥10𝑥𝑦2

𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦 = 3𝑦2𝜕

𝜕𝑥1 + 10𝑦2

𝜕

𝜕𝑥𝑥

∴ 𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦 = 10𝑦2

Del resultado de la primera derivada parcial con respecto a “x”, ahora se deriva parcialmente con respecto a y:

𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑥=

𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑦3𝑦2 + 10𝑥𝑦2

𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑦3𝑦2 +

𝜕

𝜕𝑦10𝑥𝑦2

𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 3𝜕

𝜕𝑦𝑦2 + 10𝑥

𝜕

𝜕𝑦𝑦2

∴ 𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑦 + 20𝑥𝑦

Del segundo resultado de la función derivado parcialmente con respecto a “y”, nuevamente, derivando parcialmente con respecto a x:

𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑦=

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑥6𝑥𝑦 − 2 + 10𝑥2𝑦

𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑥6𝑥𝑦 −

𝜕

𝜕𝑥2 +

𝜕

𝜕𝑥10𝑥𝑦2

𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 = 6𝑦𝜕

𝜕𝑥𝑥 −

𝜕

𝜕𝑥2 + 10𝑦

𝜕

𝜕𝑥𝑥2

∴ 𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 = 6𝑦 + 20𝑥𝑦

Y utilizando nuevamente el segundo resultado, es decir, la función derivado parcialmente con respecto a “y”, ahora se parcialmente con respecto a “y”:

𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑦=𝜕2𝑓

𝜕𝑦2=

𝜕

𝜕𝑦6𝑥𝑦 − 2 + 10𝑥2𝑦

𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦 =𝜕

𝜕𝑦6𝑥𝑦 −

𝜕

𝜕𝑦2 +

𝜕

𝜕𝑦10𝑥𝑦2

𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑥𝜕

𝜕𝑦𝑦 −

𝜕

𝜕𝑦2 + 10𝑥2

𝜕

𝜕𝑦𝑦

∴ 𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑥 + 10𝑥2

Así que los resultados son:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝑦2 − 2𝑦 + 5𝑥2𝑦2

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 3𝑦2 + 10𝑥𝑦2 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑥𝑦 − 2 + 10𝑥2𝑦

𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦 = 10𝑦2

𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑦 + 20𝑥𝑦

𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 = 6𝑦 + 20𝑥𝑦

𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑥 + 10𝑥2

Y para 𝑓𝑥𝑦 −1, 2 :

𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑦 + 20𝑥𝑦

𝑓𝑥𝑦 −1, 2 = 6 2 + 20 −1 2

𝑓𝑥𝑦 −1, 2 = 12 − 40

∴ 𝑓𝑥𝑦 −1, 2 = −28

BIBLIOGRAFÍAS

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.